JP7396024B2 - 情報処理装置、情報処理方法及びプログラム - Google Patents

Description

本発明は、情報処理装置、情報処理方法及びプログラムに関する。

例えば量子アニーリング又はシミュレーテッドアニーリング等の、イジングモデルの基底状態を探索する問題を求解するためのアニーリングアルゴリズム（焼き鈍し法）が知られている。例えば、特許文献１は、イジングモデルの基底状態を探索することにより最適化問題の解を求める演算処理を実行する情報処理装置を開示する。

国際公開第２０１７／０３７８５９号

特許文献１にかかる技術では、イジングモデルにおけるスピン配列の初期状態を乱数でランダムに設定してシミュレーティッドアニーリングアルゴリズムを実行する。初期状態をランダムに設定すると、基底状態からはるかに遠い状態が初期状態として設定される可能性が高くなる。したがって、問題の求解の精度が悪くなるおそれがある。したがって、アニーリングアルゴリズムを実行する場合に問題の求解の精度を向上させる方法が望まれる。

本開示の目的は、このような課題を解決するためになされたものであり、アニーリングアルゴリズムを実行する場合に問題の求解の精度を向上させることが可能な情報処理装置、情報処理方法及びプログラムを提供することにある。

本開示にかかる情報処理装置は、アニーリングアルゴリズムによる求解の対象である問題に応じて予め与えられ、イジングモデルにおける複数のノードの状態をそれぞれ示す複数の二値変数のそれぞれの間の結合の強さを示す結合係数を含む結合係数行列の、少なくとも１つの固有ベクトルを算出する算出手段と、前記固有ベクトルに基づいて決定された初期状態からアニーリングアルゴリズムを実行する演算手段とを有する。

また、本開示にかかる情報処理方法は、アニーリングアルゴリズムによる求解の対象である問題に応じて予め与えられ、イジングモデルにおける複数のノードの状態をそれぞれ示す複数の二値変数のそれぞれの間の結合の強さを示す結合係数を含む結合係数行列の、少なくとも１つの固有ベクトルを算出し、前記固有ベクトルに基づいて決定された初期状態からアニーリングアルゴリズムを実行する。

本開示にかかるプログラムは、アニーリングアルゴリズムによる求解の対象である問題に応じて予め与えられ、イジングモデルにおける複数のノードの状態をそれぞれ示す複数の二値変数のそれぞれの間の結合の強さを示す結合係数を含む結合係数行列の、少なくとも１つの固有ベクトルを算出するステップと、前記固有ベクトルに基づいて決定された初期状態からアニーリングアルゴリズムを実行するステップとをコンピュータに実行させる。

本開示によれば、アニーリングアルゴリズムを実行する場合に問題の求解の精度を向上させることが可能な情報処理装置、情報処理方法及びプログラムを提供できる。

本開示の実施の形態にかかる情報処理装置の概要を示す図である。 実施の形態１にかかる情報処理装置の構成を示す図である。 本実施の形態にかかる連続緩和問題を説明するための図である。 実施の形態にかかる情報処理装置によって実行される情報処理方法を示すフローチャートである。 本実施の形態にかかるプリプロセスによって初期条件を設定したシミュレーテッドアニーリングアルゴリズムの実行結果と比較例にかかるシミュレーテッドアニーリングアルゴリズムの実行結果とを比較する図である。 本実施の形態にかかるプリプロセスによって初期条件を設定したシミュレーテッドアニーリングアルゴリズムの実行結果と比較例にかかるシミュレーテッドアニーリングアルゴリズムの実行結果とを比較する図である。 本実施の形態にかかるプリプロセスによって初期条件を設定したシミュレーテッドアニーリングアルゴリズムの実行結果と比較例にかかるシミュレーテッドアニーリングアルゴリズムの実行結果とを比較する図である。 本実施の形態にかかるプリプロセスによって初期条件を設定したシミュレーテッドアニーリングアルゴリズムの実行結果と比較例にかかるシミュレーテッドアニーリングアルゴリズムの実行結果とを比較する図である。 本実施の形態にかかるプリプロセスによって初期条件を設定したシミュレーテッドアニーリングアルゴリズムの実行結果と比較例にかかるシミュレーテッドアニーリングアルゴリズムの実行結果とを比較する図である。 本実施の形態にかかるプリプロセスによって初期条件を設定したシミュレーテッドアニーリングアルゴリズムの実行結果と比較例にかかるシミュレーテッドアニーリングアルゴリズムの実行結果とを比較する図である。 実施の形態２にかかる情報処理装置によって実行される情報処理方法を示すフローチャートである。

（本開示にかかる実施の形態の概要）
本開示の実施形態の説明に先立って、本開示にかかる実施の形態の概要について説明する。図１は、本開示の実施の形態にかかる情報処理装置１の概要を示す図である。情報処理装置１は、例えばコンピュータとしての機能を有する。

情報処理装置１は、算出手段として機能する算出部２と、演算手段として機能する演算部４とを有する。算出部２は、アニーリングアルゴリズムによる求解の対象である問題に応じて予め与えられる結合係数行列の、少なくとも１つの固有ベクトルを算出する。ここで、結合係数行列は、イジングモデルにおける複数のノードの状態をそれぞれ示す複数の二値変数のそれぞれの間の結合の強さを示す結合係数を含む。二値変数及び結合係数行列の詳細については後述する。演算部４は、固有ベクトルに基づいて決定された初期状態（初期値）からアニーリングアルゴリズムを実行する。

本開示にかかる情報処理装置１は、上記のように、結合係数行列の固有ベクトルに基づいて決定された初期状態からアニーリングアルゴリズムを実行する。これによって、ランダムに初期状態を設定した場合と比較して、問題の求解の精度が良好となる。なお、情報処理装置１によって実行される情報処理方法を用いても、乱数によってランダムに初期状態を設定した場合と比較して、問題の求解の精度が良好となる。また、情報処理方法を実行可能なプログラムを用いても、乱数によってランダムに初期状態を設定した場合と比較して、問題の求解の精度が良好となる。

（実施の形態１）
以下、実施形態について、図面を参照しながら説明する。説明の明確化のため、以下の記載及び図面は、適宜、省略、及び簡略化がなされている。また、各図面において、同一の要素には同一の符号が付されており、必要に応じて重複説明は省略されている。

図２は、実施の形態１にかかる情報処理装置１００の構成を示す図である。情報処理装置１００は、図１に示した情報処理装置１に対応する。情報処理装置１００は、主要なハードウェア構成として、制御部１０２と、記憶部１０４と、通信部１０６と、インタフェース部１０８（ＩＦ；Interface）とを有する。制御部１０２、記憶部１０４、通信部１０６及びインタフェース部１０８は、データバスなどを介して相互に接続されている。

制御部１０２は、例えばＣＰＵ（Central Processing Unit）等のプロセッサである。制御部１０２は、制御処理及び演算処理等を実行する機能を有する。記憶部１０４は、例えばメモリ又はハードディスク等の記憶デバイスである。記憶部１０４は、例えばＲＯＭ（Read Only Memory）又はＲＡＭ（Random Access Memory）等である。記憶部１０４は、制御部１０２によって実行される制御プログラム及び演算プログラム等を記憶するための機能を有する。また、記憶部１０４は、処理データ等を一時的に記憶するための機能を有する。記憶部１０４は、データベースを含み得る。

通信部１０６は、他の装置と有線又は無線のネットワークを介して通信を行うために必要な処理を行う。通信部１０６は、通信ポート、ルータ、ファイアウォール等を含み得る。インタフェース部１０８は、例えばユーザインタフェース（ＵＩ；User Interface）である。インタフェース部１０８は、キーボード、タッチパネル又はマウス等の入力装置と、ディスプレイ又はスピーカ等の出力装置とを有する。インタフェース部１０８は、ユーザによるデータの入力の操作を受け付け、ユーザに対して情報を出力する。

また、情報処理装置１００は、取得部１１２、固有ベクトル算出部１１４、二値ベクトル生成部１１６、初期状態決定部１１８、演算部１２０、及び演算結果出力部１２２を有する。なお、以下、取得部１１２、固有ベクトル算出部１１４、二値ベクトル生成部１１６、初期状態決定部１１８、演算部１２０、及び演算結果出力部１２２を、「構成要素」と称することがある。

取得部１１２は、取得手段としての機能を有する。固有ベクトル算出部１１４は、固有ベクトル算出手段（算出手段）としての機能を有する。二値ベクトル生成部１１６は、二値ベクトル生成手段（生成手段）としての機能を有する。初期状態決定部１１８は、初期状態決定手段（決定手段）としての機能を有する。演算部１２０は、演算手段としての機能を有する。演算結果出力部１２２は、演算結果出力手段（出力手段）としての機能を有する。また、固有ベクトル算出部１１４及び演算部１２０は、それぞれ、図１に示した算出部２及び演算部４に対応する。なお、これらの構成要素の処理については、図４を用いて後述する。

なお、各構成要素は、例えば、制御部１０２の制御によって、プログラムを実行させることによって実現できる。より具体的には、各構成要素は、記憶部１０４に格納されたプログラムを、制御部１０２が実行することによって実現され得る。また、必要なプログラムを任意の不揮発性記録媒体に記録しておき、必要に応じてそのプログラムをインストールすることで、各構成要素を実現するようにしてもよい。また、各構成要素は、プログラムによるソフトウェアで実現することに限ることなく、ハードウェア、ファームウェア、及びソフトウェアのうちのいずれかの組み合わせ等により実現してもよい。また、各構成要素は、例えばＦＰＧＡ（field-programmable gate array）又はマイコン（Micro Computer）等の、ユーザがプログラミング可能な集積回路を用いて実現してもよい。この場合、この集積回路を用いて、上記の各構成要素から構成されるプログラムを実現してもよい。

＜原理＞
ここで、本実施の形態にかかる情報処理装置１００によって処理される組み合わせ最適化問題の求解の精度を向上させる原理について説明する。組み合わせ最適化問題は、以下の式１で示されるエネルギーＨを最小化するσを求めることと等価である。言い換えると、組み合わせ最適化問題は、エネルギーＨが式１で与えられるイジングモデルの、最低エネルギー状態（基底状態）を求める問題に等しい。
（式１）

ここで、式１の最右辺のσは、以下の式２で定義されるベクトルである。また、σ_ｉ（及びσ_ｊ）は、σの成分である。
（式２）

ここで、σ_ｉは、イジングモデルにおけるノード（格子点）ｉのスピンの状態（イジングスピン）を示す二値パラメータ（二値変数；状態パラメータ）である。式２に示すように、σ_ｉは、－１又は＋１のいずれかの値をとる。また、Ｎは、ノード数である。ここで、σ_ｉは、－１又は＋１のいずれかの値をとるので、ベクトルσは、Ｎ次元超立方体（但しＮ＝２ならば正方形、Ｎ＝３ならば立方体）の頂点の集合の要素で表される。

式１のＨは、イジングモデルにおけるエネルギー（最小化すべきコスト関数）を示す。また、式２のΣは、イジングモデルにおける二値変数のベクトル（二値変数ベクトル）σ＝｛σ_０，σ_１，・・・，σ_ｉ，・・・，σ_Ｎ｝の定義域を示し、超立方体の頂点の集合になる。言い換えると、ベクトルσは、各ノードｉの二値変数（状態パラメータ）の組み合わせを示す。

なお、式１の右辺第２項から右辺第３項への変形については、以下の式３及び式４と対応させることで、一般性を失うことなく、エネルギーＨは、右辺第３項の形式（Ｈ＝－ΣＪ_ｉｊσ_ｉσ_ｊ）で表され得る。
（式３）

（式４）

ここで、式１のＪ_ｉｊは、σ_ｉとσ_ｊとの間の結合の強さ（相互作用）を示す結合係数（結合定数）である。Ｊ_ｉｊは、例えば、ノードｉとノードｊとの間の距離、又は、ノードｉとノードｊとの間の重みを示す。また、式１の最右辺のＪは、結合係数Ｊ_ｉｊを含む結合係数行列である。つまり、結合係数行列Ｊは、結合係数Ｊ_ｉｊを成分とする行列（Ｎ×Ｎ行列）である。また、Ｊ_ｉｉ＝０、Ｊ_ｉｊ＝Ｊ_ｊｉとする。したがって、結合係数行列Ｊは、対角項＝０の実対称行列である。また、結合係数行列Ｊは、アニーリングアルゴリズムによる求解の対象である問題に応じて予め与えられる。つまり、解くべき組み合わせ最適化問題が決定すれば、結合係数行列Ｊは一意に定まる。

本実施の形態にかかる情報処理装置１００は、シミュレーテッドアニーリングアルゴリズム等のアニーリングアルゴリズムによって、式２で示す制約条件において、式１で示されるエネルギーＨを最小化するσを求める。ここで、一般的に、Ｈを最小化するσを解析的に解くことはできない。そのため、情報処理装置１００は、解を確率的にサンプリングすることによって探索する。例えば、モンテカルロ法に基づくシミュレーテッドアニーリングアルゴリズムを実行する。

次に、上記の式１及び式２を、それぞれ式５及び式６で示すように、エネルギーＨを最小化するｘを求める問題に置き換える。
（式５）

ここで、式５の最右辺のｘは、以下の式６で定義される有界な定義域Ｘに制約された実数ベクトルである。また、ｘ_ｉ（及びｘ_ｊ）は、ｘの成分である。ここで、ｘは、上述したσの制約条件が緩和されたベクトルに対応する。したがって、ｘ_ｉは、σ_ｉに対応する。
（式６）

式６のＸは、実数ベクトルｘ＝｛ｘ_０，ｘ_１，・・・，ｘ_ｉ，・・・，ｘ_Ｎ｝の定義域を示し、超立方体の内点の集合になる。つまり、式５及び式６で示される問題では、σをｘに置き換えることで、定義域が緩和されている。つまり、σ_ｉは－１又は＋１の二値の値のみをとり得るのに対し、ｘ_ｉは、－１又は＋１の二値以外の値をとり得る。なお、Ｈ＝－^ｔｘＪｘ（式５）は、Ｘに極値を持たない。したがって、式５～式６で示される緩和問題の最小値を与える大局的最適解は、元の組み合わせ最適化問題（式１～式２）の大局的最適解に一致し、超立方体の頂点上にあることとなる。なお、式５～式６は、式１～式２の定義域を離散的な整数変数から連続的な実数変数に置き換えた連続緩和問題と呼ばれる。ここで、式５～式６は、式１～式２と同様に、一般的には、解析的に解くことができない。

ここで、この連続緩和問題において、式２に関する超立方体に内接する超球面上でＨを最小とする点（最小点）を初期値とすることを考える。そこで、ｘを、超立方体に内接する超球面上の点｜ｘ｜^２＝Ｎに制約する。そして、上述したように、結合係数行列Ｊは、対角項＝０の実対称（半正定値）行列である。このとき、この超球面上でＨの最小値を与えるｘは、以下の式７で示される、二次形式^ｔｘＪｘに関するレイリー（Rayleigh）商
（式７）

の最大値を与えるベクトルｘ^＊と等しい。

そして、式７の最大値を与えるベクトルｘ^＊（つまり超球面上における最小点）は、行列Ｊの最大固有値に対応する固有ベクトルとして得られる。したがって、実対称行列であるＪの最大固有値λ_ｍａｘに対する固有ベクトル
（式８）

を用いて、
（式９）

であることを、解析的に示すことができる。なお、以降の説明で、式８を、「^～ｘ^＊」と示すことがある。

また、Ｈ＝－^ｔｘＪｘ（式５）がＸに極値を持たないことを考慮すると、ｘ^＊の最近傍にある超立方体の頂点
（式１０）

は、元の組み合わせ最適化問題（式１～式２）の、連続緩和問題（式５～式６）による近似解を与え得ることが推測される。

したがって、結合係数行列Ｊの固有ベクトル^～ｘ^＊を算出し、式１０によって求めたベクトルσ^＊（近似解）を、アニーリングアルゴリズムの解の探索における初期値（初期状態）とすることで、効率的に精度よく解を求めることができると推測される。すなわち、初期状態をランダムに設定した場合と比較して、基底状態に近い初期状態を設定することができるので、問題の求解の精度を向上させることができると推測される。なお、上記の初期値（初期状態）と設定されるベクトルσ（以後、「σ^０」と記載することがある）を算出する処理を、アニーリングアルゴリズムの前の処理という意味で、「プリプロセス」と称する。

図３は、本実施の形態にかかる連続緩和問題を説明するための図である。図３では、説明のため、Ｎ＝２とし、ｘ_１ｘ_２平面で表される２次元空間を考える。このとき、式２から、ベクトルσ（つまり｛σ_１，σ_２｝）は、２次元超立方体である正方形Ｓｑの頂点（１，１），（１，－１），（－１，１），（－１，－１）のいずれかで表され得る。一方、式６から、正方形Ｓｑに内接する円であるＣｒの内部又は円周上の点は、ベクトルｘ（つまり｛ｘ_１，ｘ_２｝）の定義域Ｘに含まれる。

ここで、上述したように、球面上の最小点は、行列Ｊの最大固有値に対応する固有ベクトルとして得られる。したがって、内接円Ｃｒ上の最小点は、行列Ｊの最大固有値に対応する固有ベクトルとして得られる。例えば、行列Ｊの最大固有値に対応する固有ベクトル^～ｘ^＊が、（ａ，－ｂ）と表されるとする。但し、０≦ａ，ｂ≦１とする。このとき、式１０から、ベクトルσ^＊は、（＋１，－１）と表される。このことは、点（ａ，－ｂ）に最も近い正方形Ｓｑの頂点が、（＋１，－１）であることと同義である。この場合、アニーリングアルゴリズムの二値変数の初期値（初期状態）は、σ^０＝（＋１，－１）と設定される。

＜情報処理方法＞
図４は、実施の形態１にかかる情報処理装置１００によって実行される情報処理方法を示すフローチャートである。なお、Ｓ１０４～Ｓ１０８の処理が、上述したプリプロセスに対応する。

まず、取得部１１２は、結合係数行列Ｊを取得する（ステップＳ１０２）。具体的には、取得部１１２は、解くべき問題（組み合わせ最適化問題）に対応する結合係数行列Ｊ（式１に示す）を、例えばユーザがインタフェース部１０８を操作して入力することで、取得してもよい。あるいは、例えば、取得部１１２は、解くべき問題が与えられた場合に、その解くべき問題に対応する結合係数行列Ｊを算出してもよい。

固有ベクトル算出部１１４は、Ｓ１０２の処理で取得された結合係数行列Ｊの固有ベクトルを算出する（ステップＳ１０４）。具体的には、固有ベクトル算出部１１４は、例えば、アーノルディ（Arnoldi）法又はＱＲ法等によって、結合係数行列Ｊの固有ベクトルを算出してもよい。また、実施の形態１においては、固有ベクトル算出部１１４は、結合係数行列Ｊの最大固有値に対応する固有ベクトルを算出してもよい。

二値ベクトル生成部１１６は、Ｓ１０４の処理で算出された固有ベクトルに対応する二値ベクトルを算出する（ステップＳ１０６）。具体的には、二値ベクトル生成部１１６は、式１０で示すように、符号関数ｓｇｎにより、固有ベクトルの各成分の符号に対応した＋１又は－１の成分を有する二値ベクトルσ^＊を生成する。

初期状態決定部１１８は、Ｓ１０６の処理で生成された二値ベクトルから、問題の解の探索における初期状態を決定する（ステップＳ１０８）。具体的には、初期状態決定部１１８は、上述したように、生成された二値ベクトルσ^＊を、ベクトルσの初期値σ^０とする。つまり、初期状態決定部１１８は、生成された二値ベクトルの各成分を、二値変数σ_ｉの初期値として設定する。

上述したように、プリプロセスによって得られた二値ベクトルσ^＊は、元の組み合わせ最適化問題（式１～式２）の近似解となっている可能性が高い。したがって、そのときのエネルギーＨは、プリプロセスを行わない場合と比較して、大局的最適解における値に接近している可能性が高い。そのため、初期状態決定部１１８は、二値変数σ_ｉの初期値（二値ベクトルσ^＊）に対応するエネルギーＨに応じて、適切な逆温度βの初期値β_ｉを決定する。例えば、初期状態決定部１１８は、プリプロセスを用いない場合のエネルギーＨの過渡値が二値ベクトルσ^＊におけるエネルギーＨの値と一致するようなβの過渡値を、β_ｉと決定してもよい。これにより、逆温度β_ｉのとき、初期条件として用いるプリプロセスを行って得られた二値ベクトルσ^＊におけるエネルギーＨの値と、プリプロセスを用いない場合のエネルギーＨの過渡値とが、一致し得る。このような適切な初期値β_ｉを用いない場合、初期条件として用いたσ^＊がランダム状態に熱緩和してしまうので、適切な初期値β_ｉの選択は必要である。

演算部１２０は、Ｓ１０８で決定された初期状態から、アニーリングアルゴリズムを実行する（ステップＳ１１０）。具体的には、演算部１２０は、例えばモンテカルロ法を用いて、シミュレーテッドアニーリングアルゴリズムを実行する。なお、シミュレーテッドアニーリングアルゴリズムの手法については、一般的な手法を採用可能であるので、詳細の説明は省略する（他の実施の形態でも同様）。

これにより、演算部１２０は、最低エネルギー状態（基底状態）における二値変数σ_ｉの組み合わせ（つまりベクトルσ）を確率的に探索する。言い換えると、演算部１２０は、基底状態におけるイジングモデルのスピン配置を推定する。この推定結果は真の基底状態のスピン配置ではないこともありうるが、推定した配置のエネルギーＨの値が低いほど、基底状態に近い二値変数σ_ｉの組み合わせ（つまりベクトルσ）を算出したこととなる。したがって、演算部１２０のアニーリングアルゴリズムの推定結果におけるエネルギーの値が低いほど、問題の求解の精度が高いといえる。

演算結果出力部１２２は、Ｓ１１０の処理によって実行されたアニーリングアルゴリズムの演算結果を出力する（ステップＳ１１２）。具体的には、演算結果出力部１２２は、例えばインタフェース部１０８を制御して、ユーザが視認できるように、演算結果を表示する。例えば、演算結果出力部１２２は、推定結果におけるエネルギー、及び、二値変数σ_ｉの組み合わせ等を表示してもよい。

＜実験結果＞
図５～図１０は、本実施の形態にかかるプリプロセスによって初期条件を設定したシミュレーテッドアニーリングアルゴリズムの実行結果と比較例にかかるシミュレーテッドアニーリングアルゴリズムの実行結果とを比較する図である。つまり、図５～図１０は、実施の形態１にかかるプリプロセスによって算出された結合係数行列Ｊの固有ベクトルから初期状態を設定した場合と、乱数によってランダムに初期状態を設定した場合とで、アニーリングアルゴリズムの実行結果を比較する図である。図５～図８において、縦軸はエネルギーＨを示し、横軸は逆温度β（時間経過に対応）を表す。また、丸形のドット列は、乱数によってランダムに初期状態を設定した場合の、シミュレーテッドアニーリングアルゴリズムの実行結果（比較例にかかる結果）を示す。また、三角形のドット列は、プリプロセスによって算出された結合係数行列Ｊの固有ベクトルから初期状態を設定した場合の、シミュレーテッドアニーリングアルゴリズムの実行結果（本実施の形態にかかる結果）を示す。

なお、図５～図８にかかる実験では、逆温度βを、０～０．４８の間で、一定量０．００６ごとに、線形に変化させた。したがって、サンプル数は、最大８０点である。また、各温度において、Ｎ回のスピン更新を試みた。また、結合係数Ｊ_ｉｊの各成分がランダムに＋１又は－１の値をとる、Ｎ個のノードの全結合マップ問題に対応するランダムＮ×Ｎ行列Ｋ_Ｎを、ベンチマーク問題として用いた。

図５は、Ｎ＝１０００のランダム行列Ｋ_１０００を結合係数行列Ｊとしたときの実験結果を示す。図６は、Ｎ＝２０００のランダム行列Ｋ_２０００を結合係数行列Ｊとしたときの実験結果を示す。図７は、Ｎ＝４０００のランダム行列Ｋ_４０００を結合係数行列Ｊとしたときの実験結果を示す。図８は、Ｎ＝８０００のランダム行列Ｋ_８０００を結合係数行列Ｊとしたときの実験結果を示す。なお、乱数によってランダムに初期状態を設定した場合に得られた最低エネルギーをＥ_０とする。また、プリプロセスによって算出された結合係数行列Ｊの固有ベクトルから初期状態を決定した場合に得られた最低エネルギーをＥ_１とする。また、乱数によってランダムに初期状態を設定した場合のアニーリングアルゴリズムの実行時間をＴ_０とする。また、プリプロセスによって算出された結合係数行列Ｊの固有ベクトルから初期状態を設定した場合のアニーリングアルゴリズムの実行時間をＴ_１とする。なお、逆温度βの初期値β_ｉは、Ｎの大きさにほとんど依存せず、概ね０．０６であった。

図９は、図５～図８に示した実験結果にかかる、エネルギー改善率Δを示す図である。エネルギー改善率Δ［％］は、以下の式１１で定義される。
（式１１）

図９から、ノード数Ｎが増加するにつれて、エネルギー改善率Δが上昇していることがわかる。したがって、本実施の形態にかかるプリプロセスは、ノード数（格子点の数）が増加するにつれてその効果を発揮する。なお、図５～図８に示すように、Ｎが増加するにつれて、プリプロセスに要する時間が増加している。しかしながら、図５～図８において、Ｔ_０＞Ｔ_１である。また、行列の固有ベクトルを算出するアルゴリズムは多く存在し、計算時間の削減についても多く研究されている。したがって、プリプロセスに要する計算オーバーヘッドについては、それほど大きくない。

図１０は、ランダム行列Ｋ_２０００を結合係数行列Ｊとして２００インスタンスのシミュレーテッドアニーリングアルゴリズムの実験を行ったときの、最低エネルギー到達値の度数分布を示すヒストグラムである。縦軸は推定解のエネルギー値を示し、横軸はそのエネルギー値をとるインスタンスの数を示す。Ｈｓ０は、乱数によってランダムに初期状態を設定した場合のヒストグラムである。Ｈｓ１は、プリプロセスによって算出された結合係数行列Ｊの固有ベクトルから初期状態を設定した場合のヒストグラムである。

図１０から分かるように、プリプロセスを用いた場合のヒストグラムＨｓ１は、プリプロセスを用いなかった場合のヒストグラムＨｓ０よりも、低エネルギーに分布している。また、ヒストグラムＨｓ１は、ヒストグラムＨｓ０よりも、分布の幅（バラつき）が小さくなっている。したがって、プリプロセスを用いることによって、求解の精度が向上することが、本実験で検証されていることが分かる。

なお、実施の形態１では、結合係数行列Ｊの最大固有値に対応する固有ベクトルを算出している。これにより、最大固有値以外の固有値に対応する固有ベクトルから初期状態を決定する場合と比較して、求解の精度が高くなる可能性が高くなる。

（実施の形態２）
次に、実施の形態２について説明する。説明の明確化のため、以下の記載及び図面は、適宜、省略、及び簡略化がなされている。また、各図面において、同一の要素には同一の符号が付されており、必要に応じて重複説明は省略されている。実施の形態２は、結合係数行列Ｊの複数の固有ベクトルそれぞれについて初期状態が決定される点で、実施の形態１と異なる。なお、情報処理装置１００の構成については、実施の形態１と実質的に同様であるので、説明を省略する。

図１１は、実施の形態２にかかる情報処理装置１００によって実行される情報処理方法を示すフローチャートである。なお、Ｓ２０４～Ｓ２０８の処理が、上述したプリプロセスに相当する。まず、Ｓ１０２と同様にして、取得部１１２は、結合係数行列Ｊを取得する（ステップＳ２０２）。

固有ベクトル算出部１１４は、Ｓ２０２の処理で取得された結合係数行列Ｊの、複数の固有ベクトルを算出する（ステップＳ２０４）。なお、固有ベクトルの算出方法については、Ｓ１０４の処理の方法と実質的に同様である。具体的には、固有ベクトル算出部１１４は、結合係数行列Ｊの複数の固有値のうちの値の大きな予め定められた数の固有値にそれぞれ対応する複数の固有ベクトルを算出してもよい。また、固有ベクトル算出部１１４は、結合係数行列Ｊの全ての固有値にそれぞれ対応する複数の固有ベクトルを算出してもよい。

二値ベクトル生成部１１６は、Ｓ２０４の処理で算出された複数の固有ベクトルにそれぞれ対応する複数の二値ベクトルを算出する（ステップＳ２０６）。具体的には、Ｓ１０６の処理と同様にして、二値ベクトル生成部１１６は、式１０で示すように、符号関数ｓｇｎにより、複数の固有ベクトルそれぞれについて、各成分の符号に対応した＋１又は－１の成分を有する二値ベクトルσ^＊を生成する。

初期状態決定部１１８は、Ｓ２０６の処理で生成された複数の二値ベクトルそれぞれから、問題の解の探索における複数の初期状態を決定する（ステップＳ２０８）。具体的には、Ｓ１０８の処理と同様にして、初期状態決定部１１８は、生成された複数の二値ベクトルσ^＊それぞれについて、ベクトルσの初期値σ^０とする。つまり、初期状態決定部１１８は、生成された複数の二値ベクトルそれぞれについて、各成分を二値変数σ_ｉの初期値として決定する。さらに、Ｓ１０８の処理と同様に、初期状態決定部１１８は、複数の二値ベクトルそれぞれについて、二値変数σ_ｉの初期値（二値ベクトルσ^＊）に対応するエネルギーＨに応じて、適切な逆温度βの初期値β_ｉを決定する。

演算部１２０は、Ｓ２０８で決定された複数の初期状態それぞれについて、アニーリングアルゴリズムを実行する（ステップＳ２１０）。具体的には、演算部１２０は、複数の初期状態それぞれについての複数回のシミュレーテッドアニーリングアルゴリズムを実行する。言い換えると、Ｍ個（Ｍは２以上の整数）の固有ベクトルが算出された場合（つまりＭ個の初期状態が決定された場合）、演算部１２０は、Ｍ回のシミュレーテッドアニーリングアルゴリズムを実行する。これにより、演算部１２０は、複数回実行されたアニーリングアルゴリズムそれぞれについて、最低エネルギー状態（基底状態）における二値変数σ_ｉの組み合わせ（つまりベクトルσ）を算出する。なお、情報処理装置１００が複数の制御部１０２等によって並列処理を実行可能である場合、演算部１２０は、Ｍ回のシミュレーテッドアニーリングアルゴリズムを、並行して実行してもよい。

そして、演算部１２０は、実行されたアニーリングアルゴリズムの複数の解（演算結果）のうち、基底状態におけるエネルギーが最小となる解を、最適解として決定する（ステップＳ２１１）。つまり、演算部１２０は、Ｍ回実行されたシミュレーテッドアニーリングアルゴリズムについてのＭ個の解のうち、エネルギーが最小となる解を、最適解として決定する。

演算結果出力部１２２は、アニーリングアルゴリズムの演算結果を出力する（ステップＳ２１２）。実施の形態２においては、演算結果出力部１２２は、Ｓ２１１の処理で推定された最適解に関する、エネルギー、及び、二値変数σ_ｉの組み合わせ等を表示してもよい。

上述したように、実施の形態２にかかる情報処理装置１００は、結合係数行列Ｊの複数の固有ベクトルを算出し、複数の固有ベクトルそれぞれに基づいて決定された複数の初期状態についてのアニーリングアルゴリズムをそれぞれ実行する。そして、実施の形態２にかかる情報処理装置１００は、実行されたアニーリングアルゴリズムの複数の推定解のうち、エネルギーが最小となる解を、最適推定解として決定する。これにより、実施の形態１にかかる方法よりも、さらに求解の精度を向上させることが可能となる。

上述したように、実施の形態１においては、最大固有値に対応する固有ベクトルに設定された初期状態を用いてアニーリングアルゴリズムを実行する。これにより、上述した実験結果で示されるように、プリプロセスを行わない場合と比較して、求解の精度を向上させることができる。一方、初期状態を結合係数行列Ｊの複数の固有値のうちの最大固有値に対応する固有ベクトルに設定したときに、必ず、求解の精度が最も高くなるわけではない。結合係数行列Ｊによっては、初期状態を最大固有値以外の固有値に対応する固有ベクトルに設定したときに、求解の精度が最も高くなることもあり得る。したがって、実施の形態２のように、結合係数行列Ｊの複数の固有ベクトルそれぞれに基づいて決定された複数の初期状態についての複数の解のうちエネルギーが最小となる解を最適解として決定することで、求解の精度をさらに向上させることができる。

また、結合係数行列Ｊの複数の固有値のうち値の大きな固有値に対応する複数の固有ベクトルに応じて決定された初期状態で実行されたアニーリングアルゴリズムの解では、エネルギーが低くなる可能性が高い。したがって、結合係数行列Ｊの複数の固有値のうちの値の大きな予め定められた数の固有値にそれぞれ対応する複数の固有ベクトルを算出することで、求解の精度をさらに向上させることができる。さらに、結合係数行列Ｊの全ての固有値にそれぞれ対応する複数の固有ベクトルを算出することで、エネルギーが最小となる初期状態が必ず決定されることとなる。したがって、求解の精度をさらに向上させることができる。

なお、複数の固有ベクトルに応じて複数の初期状態を設定して、複数回のアニーリングアルゴリズムを実行すると、１つの問題に要する処理時間が長くなる可能性がある。この場合、複数の初期状態それぞれについての複数回のアニーリングアルゴリズムを並列して実行することで、計算コストは増大するが、処理時間の増大を抑制しつつ、求解の精度を高くすることができる。

（変形例）
なお、本発明は上記実施の形態に限られたものではなく、趣旨を逸脱しない範囲で適宜変更することが可能である。例えば、上述したフローチャートにおいて、各処理（ステップ）の順序は、適宜、変更可能である。また、複数ある処理（ステップ）のうちの１つ以上は、省略されてもよい。

また、上述した実施の形態では、プリプロセスは、シミュレーテッドアニーリングアルゴリズムに対して適用されるとした。つまり、本実施の形態にかかるプリプロセスは、通常の電子式コンピュータ（古典コンピュータ）で実行されるアニーリングアルゴリズムに対して適用されるとした。しかしながら、本実施の形態にかかるプリプロセスは、量子アニーリングに対しても適用可能である。つまり、本実施の形態にかかるプリプロセスは、量子コンピュータで実行されるアニーリングプロセスに対しても適用され得る。

上述の例において、プログラムは、様々なタイプの非一時的なコンピュータ可読媒体（non-transitory computer readable medium）を用いて格納され、コンピュータに供給することができる。非一時的なコンピュータ可読媒体は、様々なタイプの実体のある記録媒体（tangible storage medium）を含む。非一時的なコンピュータ可読媒体の例は、磁気記録媒体（例えばフレキシブルディスク、磁気テープ、ハードディスクドライブ）、光磁気記録媒体（例えば光磁気ディスク）、ＣＤ－ＲＯＭ（Read Only Memory）、ＣＤ－Ｒ、ＣＤ－Ｒ／Ｗ、半導体メモリ（例えば、マスクＲＯＭ、ＰＲＯＭ（Programmable ROM）、ＥＰＲＯＭ（Erasable PROM）、フラッシュＲＯＭ、ＲＡＭ（Random Access Memory））を含む。また、プログラムは、様々なタイプの一時的なコンピュータ可読媒体（transitory computer readable medium）によってコンピュータに供給されてもよい。一時的なコンピュータ可読媒体の例は、電気信号、光信号、及び電磁波を含む。一時的なコンピュータ可読媒体は、電線及び光ファイバ等の有線通信路、又は無線通信路を介して、プログラムをコンピュータに供給できる。

上記の実施形態の一部又は全部は、以下の付記のようにも記載されうるが、以下には限られない。
（付記１）
アニーリングアルゴリズムによる求解の対象である問題に応じて予め与えられ、イジングモデルにおける複数のノードの状態をそれぞれ示す複数の二値変数のそれぞれの間の結合の強さを示す結合係数を含む結合係数行列の、少なくとも１つの固有ベクトルを算出する算出手段と、
前記固有ベクトルに基づいて決定された初期状態からアニーリングアルゴリズムを実行する演算手段と
を有する情報処理装置。
（付記２）
符号関数により、前記固有ベクトルの各成分の符号に対応した＋１又は－１の成分を有する二値ベクトルを生成する生成手段と、
前記二値ベクトルに基づいて、前記問題の解の探索における初期状態を決定する決定手段と
をさらに有する付記１に記載の情報処理装置。
（付記３）
前記決定手段は、前記二値ベクトルに基づいて、前記複数の二値変数の初期値を決定する
付記２に記載の情報処理装置。
（付記４）
前記算出手段は、前記結合係数行列の最大固有値に対応する前記固有ベクトルを算出する
付記１～３のいずれか一項に記載の情報処理装置。
（付記５）
前記算出手段は、前記結合係数行列の複数の前記固有ベクトルを算出し、
前記演算手段は、複数の前記固有ベクトルそれぞれに基づいて決定された複数の前記初期状態についてのアニーリングアルゴリズムをそれぞれ実行し、実行されたアニーリングアルゴリズムの複数の解のうち、エネルギーが最小となる解を、最適解として決定する
付記１～３のいずれか一項に記載の情報処理装置。
（付記６）
前記算出手段は、前記結合係数行列の複数の固有値のうちの値の大きな予め定められた数の固有値にそれぞれ対応する複数の前記固有ベクトルを算出する
付記５に記載の情報処理装置。
（付記７）
前記算出手段は、前記結合係数行列の全ての固有値にそれぞれ対応する複数の前記固有ベクトルを算出する
付記５に記載の情報処理装置。
（付記８）
前記演算手段は、複数の前記初期状態それぞれについてのアニーリングアルゴリズムを並列して実行する
付記５～７のいずれか一項に記載の情報処理装置。
（付記９）
アニーリングアルゴリズムによる求解の対象である問題に応じて予め与えられ、イジングモデルにおける複数のノードの状態をそれぞれ示す複数の二値変数のそれぞれの間の結合の強さを示す結合係数を含む結合係数行列の、少なくとも１つの固有ベクトルを算出し、
前記固有ベクトルに基づいて決定された初期状態からアニーリングアルゴリズムを実行する
情報処理方法。
（付記１０）
符号関数により、前記固有ベクトルの各成分の符号に対応した＋１又は－１の成分を有する二値ベクトルを生成し、
前記二値ベクトルに基づいて、前記問題の解の探索における初期状態を決定する
付記９に記載の情報処理方法。
（付記１１）
前記二値ベクトルに基づいて、前記複数の二値変数の初期値を決定する
付記１０に記載の情報処理方法。
（付記１２）
前記結合係数行列の最大固有値に対応する前記固有ベクトルを算出する
付記９～１１のいずれか一項に記載の情報処理方法。
（付記１３）
前記結合係数行列の複数の前記固有ベクトルを算出し、
複数の前記固有ベクトルそれぞれに基づいて決定された複数の前記初期状態についてのアニーリングアルゴリズムをそれぞれ実行し、実行されたアニーリングアルゴリズムの複数の解のうち、エネルギーが最小となる解を、最適解として決定する
付記９～１１のいずれか一項に記載の情報処理方法。
（付記１４）
前記結合係数行列の複数の固有値のうちの値の大きな予め定められた数の固有値にそれぞれ対応する複数の前記固有ベクトルを算出する
付記１３に記載の情報処理方法。
（付記１５）
前記結合係数行列の全ての固有値にそれぞれ対応する複数の前記固有ベクトルを算出する
付記１３に記載の情報処理方法。
（付記１６）
複数の前記初期状態それぞれについてのアニーリングアルゴリズムを並列して実行する
付記１３～１５のいずれか一項に記載の情報処理方法。
（付記１７）
アニーリングアルゴリズムによる求解の対象である問題に応じて予め与えられ、イジングモデルにおける複数のノードの状態をそれぞれ示す複数の二値変数のそれぞれの間の結合の強さを示す結合係数を含む結合係数行列の、少なくとも１つの固有ベクトルを算出するステップと、
前記固有ベクトルに基づいて決定された初期状態からアニーリングアルゴリズムを実行するステップと
をコンピュータに実行させるプログラム。

１ 情報処理装置
２ 算出部
４ 演算部
１００ 情報処理装置
１１２ 取得部
１１４ 固有ベクトル算出部
１１６ 二値ベクトル生成部
１１８ 初期状態決定部
１２０ 演算部
１２２ 演算結果出力部

Claims (10)

1. アニーリングアルゴリズムによる求解の対象である問題に応じて予め与えられ、イジングモデルにおける複数のノードの状態をそれぞれ示す複数の二値変数のそれぞれの間の結合の強さを示す結合係数を含む結合係数行列の、少なくとも１つの固有ベクトルを算出する算出手段と、
   前記固有ベクトルに基づいて決定された初期状態からアニーリングアルゴリズムを実行する演算手段と
   を有する情報処理装置。
2. 符号関数により、前記固有ベクトルの各成分の符号に対応した＋１又は－１の成分を有する二値ベクトルを生成する生成手段と、
   前記二値ベクトルに基づいて、前記問題の解の探索における初期状態を決定する決定手段と
   をさらに有する請求項１に記載の情報処理装置。
3. 前記決定手段は、前記二値ベクトルに基づいて、前記複数の二値変数の初期値を決定する
   請求項２に記載の情報処理装置。
4. 前記算出手段は、前記結合係数行列の最大固有値に対応する前記固有ベクトルを算出する
   請求項１～３のいずれか一項に記載の情報処理装置。
5. 前記算出手段は、前記結合係数行列の複数の前記固有ベクトルを算出し、
   前記演算手段は、複数の前記固有ベクトルそれぞれに基づいて決定された複数の前記初期状態についてのアニーリングアルゴリズムをそれぞれ実行し、実行されたアニーリングアルゴリズムの複数の解のうち、エネルギーが最小となる解を、最適解として決定する
   請求項１～３のいずれか一項に記載の情報処理装置。
6. 前記算出手段は、前記結合係数行列の複数の固有値のうちの値の大きな予め定められた数の固有値にそれぞれ対応する複数の前記固有ベクトルを算出する
   請求項５に記載の情報処理装置。
7. 前記算出手段は、前記結合係数行列の全ての固有値にそれぞれ対応する複数の前記固有ベクトルを算出する
   請求項５に記載の情報処理装置。
8. 前記演算手段は、複数の前記初期状態それぞれについてのアニーリングアルゴリズムを並列して実行する
   請求項５～７のいずれか一項に記載の情報処理装置。
9. アニーリングアルゴリズムによる求解の対象である問題に応じて予め与えられ、イジングモデルにおける複数のノードの状態をそれぞれ示す複数の二値変数のそれぞれの間の結合の強さを示す結合係数を含む結合係数行列の、少なくとも１つの固有ベクトルを算出し、
   前記固有ベクトルに基づいて決定された初期状態からアニーリングアルゴリズムを実行する
   情報処理方法。
10. アニーリングアルゴリズムによる求解の対象である問題に応じて予め与えられ、イジングモデルにおける複数のノードの状態をそれぞれ示す複数の二値変数のそれぞれの間の結合の強さを示す結合係数を含む結合係数行列の、少なくとも１つの固有ベクトルを算出するステップと、
    前記固有ベクトルに基づいて決定された初期状態からアニーリングアルゴリズムを実行するステップと
    をコンピュータに実行させるプログラム。

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