JP7318721B2

JP7318721B2 - 近似関数計算装置、方法及びプログラム

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Publication number: JP7318721B2
Application number: JP2021551033A
Authority: JP
Inventors: 浩気濱田
Original assignee: Nippon Telegraph and Telephone Corp
Current assignee: Nippon Telegraph and Telephone Corp
Priority date: 2019-10-10
Filing date: 2019-10-10
Publication date: 2023-08-01
Anticipated expiration: 2039-10-10
Also published as: JPWO2021070317A1; US20220335104A1; AU2019469886B2; CN114503102A; WO2021070317A1; EP4044050A4; AU2019469886A1; EP4044050A1

Description

本発明は、関数の近似を行うための区間ごとの近似関数を作成する方法に関する。

暗号化された数値を復元すること無く特定の演算結果を得る方法として、秘密計算と呼ばれる方法がある。非特許文献１の方法では、３つの秘密計算装置に数値の断片を分散させるという暗号化を行い、３つの秘密計算装置が協調計算を行うことにより、数値を復元すること無く、加減算、定数加算、乗算、定数倍、論理演算(否定、論理積、論理和、排他的論理和)、データ形式変換(整数、二進数)の結果を３つの秘密計算装置に分散された状態、すなわち暗号化されたまま保持させることができる。

秘密計算で複雑な関数値を多く計算する場合には、一括写像と呼ばれる方法を用いて参照表を使ってあらかじめ次数を決めた多項式で関数を区間ごとに近似し、一括写像を用いて近似した多項式の各係数を求め、求まった各係数により定まる多項式を用いた計算により近似値を得るという方法がある。一括写像については、非特許文献１を参照のこと。

三品気吹、五十嵐大、濱田浩気、菊池亮、「高精度かつ高効率な秘密ロジスティック回帰の設計と実装」、In CSS, 2018.

しかしながら、従来の方法では、固定小数点数を使う場合などパラメータに誤差が含まれるときには所望の誤差で近似を行うために、区間の幅を小さくする必要があることがあった。そのため、定義域全体をカバーする区間の数は多かった。

本発明の目的は、従来よりも少ない数の区間で定義域全体の区間ごとの近似を実現する近似関数計算装置、方法及びプログラムを提供することを目的とする。

この発明の一態様による方法に関する近似関数計算装置は、x₀,x₁はx₀<x₁の関係を満たす所定の数であり、D=[x₀,x₁]は関数f(x)を近似したい区間であり、εは近似で許容される誤差であり所定の数であり、kは所定の0以上の整数であり、bはx₀<b<x₁の関係を満たす数であり、関数g_b(x)は関数f(x)のbにおけるk次までのテイラー展開であり、関数g_b(x)を求めるテイラー展開部と、区間[x₀,b]における関数g_b(x)による関数f(x)の近似の誤差の上界を求める第一誤差上界計算部と、第一誤差上界計算部の処理により求まった誤差の上界を用いて、区間[x₀,b]における関数g_b(x)による関数f(x)の近似の誤差の上界がε以下となる最大のbである展開位置b'を求める展開位置計算部と、x₂はb'<x₂≦x₁を満たす数であり、区間[b',x₂]における関数g_b'(x)による関数f(x)の近似の誤差の上界を求める第二誤差上界計算部と、第二誤差上界計算部の処理により求まった誤差の上界を用いて、区間[b',x₂]における関数g_b'による関数f(x)の近似の誤差の上界がε以下となる最大のx₂である右端位置x₂'を求める右端位置計算部と、区間[x₀,x₂']と、関数g_b'(x)についての情報とを出力する出力部と、区間[x₂',x₁]を区間Dとする、テイラー展開部、第一誤差上界計算部、展開位置計算部、第二誤差上界計算部、右端位置計算部及び出力部の処理を繰り返す制御部と、を備えている。

近似する関数を上手く選択することにより、パラメータに誤差が含まれる場合にも出力の誤差を小さくし、少ない数の区間で定義域全体の区間ごとの近似を実現することができる。

図１は、近似関数計算装置の機能構成の例を示す図である。図２は、近似関数計算方法の処理手続きの例を示す図である。図３は、コンピュータの機能構成例を示す図である。

以下、本発明の実施の形態について詳細に説明する。なお、図面中において同じ機能を有する構成部には同じ番号を付し、重複説明を省略する。

[近似関数計算装置及び方法]
近似関数計算装置は、図１に示すように、テイラー展開部１、第一誤差上界計算部２、展開位置計算部３、第二誤差上界計算部４、右端位置計算部５、出力部６及び制御部７を例えば備えている。

近似関数計算方法は、近似関数計算装置の各構成部が、以下に説明する及び図２に示すステップＳ１からステップＳ７の処理を行うことにより例えば実現される。

以下、近似関数計算装置の各構成部について説明する。

[テイラー展開部１]
テイラー展開部１には、区間D=[x₀,x₁]についての情報が入力される。区間Dは、関数f(x)を近似したい区間である。x₀,x₁はx₀<x₁の関係を満たす所定の数である。後述するように、区間Dは、制御部７により更新される。

テイラー展開部１は、関数g_b(x)を求める（ステップＳ１）。

求まった関数g_b(x)は、第一誤差上界計算部２及び第二誤差上界計算部４に出力される。また、後述する展開位置計算部３により求められる展開位置b'に対応する関数g_b'(x)が、出力部６に出力される。

kは所定の0以上の整数であり、bはx₀<b<x₁の関係を満たす数であり、関数g_b(x)は関数f(x)のbにおけるk次までのテイラー展開である。

関数g_b(x)は、例えば以下の式により表される。f⁽ⁱ⁾は、関数fをi回微分した関数である。

g_b(x)=a₀+a₁(x-b)+…+a_k(x-b)^k
a_i=f⁽ⁱ⁾(a)/i!

[第一誤差上界計算部２]
第一誤差上界計算部２には、テイラー展開部１が求めた関数g_b(x)が入力される。

第一誤差上界計算部２は、区間[x₀,b]における関数g_b(x)による関数f(x)の近似の誤差の上界を求める（ステップＳ２）。ここで、「誤差の上界」とは、より具体的には「誤差の絶対値の上界」のことである。

求まった誤差の上界は、展開位置計算部３に出力される。

例えば、区間[x₀,b]内の、所定の間隔の位置をc0,c1,…,cMとする。この場合、第一誤差上界計算部２は、ei=max_i=1,2,,M|f(ci)-g_b(ci)|を求め、このeiを区間[x₀,b]における関数g_b(x)による関数f(x)の近似の誤差の上界とする。

[展開位置計算部３]
展開位置計算部３には、第一誤差上界計算部２が求めた誤差の上界が入力される。

展開位置計算部３は、第一誤差上界計算部２の処理により求まった誤差の上界を用いて、区間[x₀,b]における関数g_b(x)による関数f(x)の近似の誤差の上界がε以下となる最大のbである展開位置b'を求める（ステップＳ３）。

求まった展開位置b'は、第二誤差上界計算部４、右端位置計算部５及び出力部６に出力される。

例えば、テイラー展開部１で、区間D内の、所定の間隔のb0,b1,…,bNに対応する関数g_b0(x),g_b1(x),…,g_bN(x)が求められるとする。b0<b1<…<bNであるとする。この場合、第一誤差上界計算部２では、i=1,2,…,Nとして、区間[x₀,b_i]における関数g_bi(x)による関数f(x)の近似の誤差の上界eiが求められる。この場合、展開位置計算部３は、ei≦εとなる最大のiを求める。この場合、この最大のiに対応するbiが展開位置b'となる。

なお、展開位置計算部３は、二分探索法により、展開位置b'を求めてもよい。

[第二誤差上界計算部４]
第二誤差上界計算部４には、展開位置計算部３が求めた展開位置b'が入力される。

第二誤差上界計算部４は、区間[b',x₂]における関数g_b'(x)による関数f(x)の近似の誤差の上界を求める（ステップＳ４）。x₂は、b'<x₂≦x₁を満たす数である。

求まった誤差の上界は、右端位置計算部５に出力される。

例えば、区間[b',x₂]内の、所定の間隔の位置をd0,d1,…,dMとする。この場合、第一誤差上界計算部２は、ei=max_i=1,2,,M|f(di)-g_b'(di)|を求め、このeiを区間[b',x₂]における関数g_b'(x)による関数f(x)の近似の誤差の上界とする。

[右端位置計算部５]
右端位置計算部５には、第二誤差上界計算部４が求めた誤差の上界が入力される。

右端位置計算部５は、第二誤差上界計算部４の処理により求まった誤差の上界を用いて、区間[b',x₂]における関数g_b'による関数f(x)の近似の誤差の上界がε以下となる最大のx₂である右端位置x₂'を求める（ステップＳ５）。

求まった右端位置x₂'は、出力部６に出力される。

例えば、区間[b',x₂]内の、所定の間隔の位置をr0,r1,…,rNとする。r0<r1<…<rNであるとする。この場合、第二誤差上界計算部４では、i=1,2,…,Nとして、区間[b',x₂]における関数g_b'(x)による関数f(x)の近似の誤差の上界eiが求められる。この場合、右端位置計算部５は、ei≦εとなる最大のiを求める。この場合、この最大のiに対応するriが右端位置x₂'となる。

なお、右端位置計算部５は、二分探索法により、右端位置x₂'を求めてもよい。

[出力部６]
出力部６には、展開位置計算部３が求めた展開位置b'及び右端位置計算部５が求めた右端位置x₂'が入力される。また、出力部６には、展開位置b'に対応する関数g_b'(x)がテイラー展開部１から入力される。

出力部６は、区間[x₀,x₂']と、関数g_b'(x)についての情報とを出力する（ステップＳ６）。

[制御部７]
制御部７は、区間[x₂',x₁]を区間Dとする、テイラー展開部１、第一誤差上界計算部２、展開位置計算部３、第二誤差上界計算部４、右端位置計算部５及び出力部６の処理を繰り返す（ステップＳ７）。この処理は、x₂'≠x₁である間行われる。制御部７は、x₂'=x₁である場合には、処理を終了する。

言い換えれば、制御部７は、x₂'≠x₁である場合には、区間Dを[x₂',x₁]に更新して、再度ステップＳ１以降の処理を行う。制御部７は、x₂'=x₁である場合には、処理を終了する。

区間[x₀,x₁]の近似を行うとき、従来の方法で多項式による近似を行った場合、あるx*∈[x₀,x₁]について、切り捨てによる誤差の上界の式に|Δ_k||x_*|^kの項が現れるが、上記の実施形態によれば|Δ_k|w^kとすることができる。例えば、x=10⁶のように|x_*|が大きい場合もwは高々x₁-x₀であるため、上記の実施形態により同じ区間幅に対する誤差が大幅に小さくなる。

従来の方法では、xの多項式で近似していたため、xが大きくなるような区間ではx^kの係数の誤差が約|x₀|^k倍に拡大されていた。これに対して、例えば上記の実施形態のようにa_iを適切に取ることで、係数の誤差の拡大を約(x₁-x₀)^k倍に抑えることができる。このため、従来は所望の誤差を達成するために狭い区間を設定せざるを得なかったような原点から遠く離れた区間についても広い幅の区間を設定することができ、区間の数を少なく実現できる。

[変形例]
テイラー展開に対応する剰余項の絶対値の上界はε₁であり、Δ_jはa_jの誤差の上界であり、Δ_*はbの誤差の上界であり、Rは所定の区間でありwはw=max_x∈R|x-b|であり、ε₂は以下の式により定義されるとして、
ε₂=((|a₀|+Δ₀)+(|a₁|+Δ₁)(w+Δ_*)+…+(|a_k|+Δ_k)(w+Δ_*)^k)-(|a₀|+|a₁|w+…+|a_k|w^k)
第一誤差上界計算部２は、所定の区間Rを区間[x₀,b]としたときのε₁+ε₂を、区間[x₀,b]における関数g_b(x)による関数f(x)の近似の誤差の上界としてもよい。

|f^(k+1)(x)|の区間Rにおける最大値をMとするとき、テイラー展開に対応する剰余項の絶対値の上界ε₁は、例えば以下の式により求めることができる。

また、具体的には、Δ_jはa_jの打ち切り誤差の上界であり、Δ_*はbの打ち切り誤差の上界である。

同様に、第二誤差上界計算部４は、所定の区間Rを区間[b',x₂]としたときのε₁+ε₂を区間[b',x₂]における関数g_b'(x)による関数f(x)の近似の誤差の上界としてもよい。

展開位置計算部３は、展開位置b'を求めるために必要な、誤差の上界に対応する位置bの情報を第一誤差上界計算部２に出力してもよい。この場合、第一誤差上界計算部２は、誤差の上界に対応する位置bの情報を受け取った後に、その位置に対応する誤差の上界を求めもてよい。

また、第一誤差上界計算部２は、誤差の上界を求めようとする位置bの情報をテイラー展開部１に出力してもよい。この場合、テイラー展開部１は、第一誤差上界計算部２から誤差の上界を求める位置bの情報を受け取った後に、その位置bに対応する関数g_b(x)を求めてもよい。

以上、本発明の実施の形態について説明したが、具体的な構成は、これらの実施の形態に限られるものではなく、本発明の趣旨を逸脱しない範囲で適宜設計の変更等があっても、本発明に含まれることはいうまでもない。

実施の形態において説明した各種の処理は、記載の順に従って時系列に実行されるのみならず、処理を実行する装置の処理能力あるいは必要に応じて並列的にあるいは個別に実行されてもよい。

例えば、近似関数計算装置の構成部間のデータのやり取りは直接行われてもよいし、図示していない記憶部を介して行われてもよい。

[プログラム、記録媒体]
上記説明した各装置における各種の処理機能をコンピュータによって実現する場合、各装置が有すべき機能の処理内容はプログラムによって記述される。そして、このプログラムをコンピュータで実行することにより、上記各装置における各種の処理機能がコンピュータ上で実現される。例えば、上述の各種の処理は、図３に示すコンピュータの記録部２０２０に、実行させるプログラムを読み込ませ、制御部２０１０、入力部２０３０、出力部２０４０などに動作させることで実施できる。

この処理内容を記述したプログラムは、コンピュータで読み取り可能な記録媒体に記録しておくことができる。コンピュータで読み取り可能な記録媒体としては、例えば、磁気記録装置、光ディスク、光磁気記録媒体、半導体メモリ等どのようなものでもよい。

また、このプログラムの流通は、例えば、そのプログラムを記録したDVD、CD-ROM等の可搬型記録媒体を販売、譲渡、貸与等することによって行う。さらに、このプログラムをサーバコンピュータの記憶装置に格納しておき、ネットワークを介して、サーバコンピュータから他のコンピュータにそのプログラムを転送することにより、このプログラムを流通させる構成としてもよい。

このようなプログラムを実行するコンピュータは、例えば、まず、可搬型記録媒体に記録されたプログラムもしくはサーバコンピュータから転送されたプログラムを、一旦、自己の記憶装置に格納する。そして、処理の実行時、このコンピュータは、自己の記憶装置に格納されたプログラムを読み取り、読み取ったプログラムに従った処理を実行する。また、このプログラムの別の実行形態として、コンピュータが可搬型記録媒体から直接プログラムを読み取り、そのプログラムに従った処理を実行することとしてもよく、さらに、このコンピュータにサーバコンピュータからプログラムが転送されるたびに、逐次、受け取ったプログラムに従った処理を実行することとしてもよい。また、サーバコンピュータから、このコンピュータへのプログラムの転送は行わず、その実行指示と結果取得のみによって処理機能を実現する、いわゆるASP（Application Service Provider）型のサービスによって、上述の処理を実行する構成としてもよい。なお、本形態におけるプログラムには、電子計算機による処理の用に供する情報であってプログラムに準ずるもの（コンピュータに対する直接の指令ではないがコンピュータの処理を規定する性質を有するデータ等）を含むものとする。

また、この形態では、コンピュータ上で所定のプログラムを実行させることにより、本装置を構成することとしたが、これらの処理内容の少なくとも一部をハードウェア的に実現することとしてもよい。

Claims

x₀,x₁はx₀<x₁の関係を満たす所定の数であり、D=[x₀,x₁]は関数f(x)を近似したい区間であり、εは近似で許容される誤差であり所定の数であり、kは所定の0以上の整数であり、bはx₀<b<x₁の関係を満たす数であり、関数g_b(x)は関数f(x)のbにおけるk次までのテイラー展開であり、
関数g_b(x)を求めるテイラー展開部と、
区間[x₀,b]における関数g_b(x)による関数f(x)の近似の誤差の上界を求める第一誤差上界計算部と、
前記第一誤差上界計算部の処理により求まった誤差の上界を用いて、区間[x₀,b]における関数g_b(x)による関数f(x)の近似の誤差の上界がε以下となる最大のbである展開位置b'を求める展開位置計算部と、
x₂はb'<x₂≦x₁を満たす数であり、区間[b',x₂]における関数g_b'(x)による関数f(x)の近似の誤差の上界を求める第二誤差上界計算部と、
前記第二誤差上界計算部の処理により求まった誤差の上界を用いて、区間[b',x₂]における関数g_b'による関数f(x)の近似の誤差の上界がε以下となる最大のx₂である右端位置x₂'を求める右端位置計算部と、
区間[x₀,x₂']と、関数g_b'(x)についての情報とを出力する出力部と、
区間[x₂',x₁]を前記区間Dとする、前記テイラー展開部、前記第一誤差上界計算部、前記展開位置計算部、前記第二誤差上界計算部、前記右端位置計算部及び前記出力部の処理を繰り返す制御部と、
を含む近似関数計算装置。
請求項１の近似関数計算装置であって、
前記関数g_b(x)は、以下の式により表され、
g_b(x)=a₀+a₁(x-b)+…+a_k(x-b)^k
a_i=f⁽ⁱ⁾(a)/i!
前記テイラー展開に対応する剰余項の絶対値の上界はε₁であり、Δ_jはa_jの誤差の上界であり、Δ_*はbの誤差の上界であり、Rは所定の区間でありwはw=max_x∈R|x-b|であり、ε₂は以下の式により定義されるとして、
ε₂=((|a₀|+Δ₀)+(|a₁|+Δ₁)(w+Δ_*)+…+(|a_k|+Δ_k)(w+Δ_*)^k)-(|a₀|+|a₁|w+…+|a_k|w^k)
前記第一誤差上界計算部は、前記所定の区間Rを区間[x₀,b]としたときのε₁+ε₂を前記誤差の上界とし、
前記第二誤差上界計算部は、前記所定の区間Rを区間[b',x₂]としたときのε₁+ε₂を前記誤差の上界とする、
近似関数計算装置。
x₀,x₁はx₀<x₁の関係を満たす所定の数であり、D=[x₀,x₁]は関数f(x)を近似したい区間であり、εは近似で許容される誤差であり所定の数であり、kは所定の0以上の整数であり、bはx₀<b<x₁の関係を満たす数であり、関数g_b(x)は関数f(x)のbにおけるk次までのテイラー展開であり、
テイラー展開部が、関数g_b(x)を求めるテイラー展開ステップと、
第一誤差上界計算部が、区間[x₀,b]における関数g_b(x)による関数f(x)の近似の誤差の上界を求める第一誤差上界計算ステップと、
展開位置計算部が、前記第一誤差上界計算部の処理により求まった誤差の上界を用いて、区間[x₀,b]における関数g_b(x)による関数f(x)の近似の誤差の上界がε以下となる最大のbである展開位置b'を求める展開位置計算ステップと、
第二誤差上界計算部が、x₂はb'<x₂≦x₁を満たす数であり、区間[b',x₂]における関数g_b'(x)による関数f(x)の近似の誤差の上界を求める第二誤差上界計算ステップと、
右端位置計算部が、前記第二誤差上界計算部の処理により求まった誤差の上界を用いて、区間[b',x₂]における関数g_b'による関数f(x)の近似の誤差の上界がε以下となる最大のx₂である右端位置x₂'を求める右端位置計算ステップと、
出力部が、区間[x₀,x₂']と、関数g_b'(x)についての情報とを出力する出力ステップと、
制御部が、区間[x₂',x₁]を前記区間Dとする、前記テイラー展開部、前記第一誤差上界計算部、前記展開位置計算部、前記第二誤差上界計算部、前記右端位置計算部及び前記出力部の処理を繰り返す制御ステップと、
を含む近似関数計算方法。
請求項１又は２の近似関数計算装置の各部としてコンピュータを機能させるためのプログラム。