JP7205623B2 - 秘密共役勾配法計算システム、秘密計算装置、共役勾配法計算装置、秘密共役勾配法計算方法、共役勾配法計算方法、およびプログラム - Google Patents

Description

この発明は、数値計算技術に関し、特に、秘密計算で連立一次方程式を効率よく解く方法に関する。

対称正定値行列を係数とする連立一次方程式を解くアルゴリズムとして、共役勾配法という方法が知られている。共役勾配法では、反復計算により連立方程式の解の近似値を計算する（例えば、非特許文献１参照）。

通常、共役勾配法は浮動小数点数を用いて計算される。秘密計算で共役勾配法を行う場合も、浮動小数点数を使うことで計算することができる。しかしながら、秘密計算では浮動小数点数の計算コストが大きいため、浮動小数点数を使った秘密計算による共役勾配法は計算コストが非常に大きくなってしまう。

秘密計算で実数を扱う方法には、浮動小数点数の他に固定小数点数を扱うものがある。固定小数点数は浮動小数点数よりも計算コストが小さいため、固定小数点数で実現できれば共役勾配法の計算コストを小さくすることができる。

Jonathan RichardShewchuk, "An Introduction to the Conjugate Gradient Method Without the Agonizing Pain," 1994.

しかしながら、共役勾配法を固定小数点数で実現する場合、計算途中の値でオーバーフローが起こる場合がある。オーバーフローが起こると正しい計算結果が得られなくなるため、オーバーフローが起こらないように共役勾配法を計算できることが望ましい。

この発明の目的は、上記のような技術的課題に鑑みて、共役勾配法を固定小数点数で実現する場合にオーバーフローが起きる確率を低減することである。

上記の課題を解決するために、この発明の一態様の秘密共役勾配法計算システムは、Xをd次元の実対称正定値行列Aとd次元ベクトルとの積を計算するための値の集合とし、b^→をd次元ベクトルとし、fを行列Xとd次元ベクトルx^→からAx^→を計算する関数とし、kをd以下の整数とし、iを1からkまでの各整数とし、x^→ ₀を任意の値が設定されたd次元ベクトルとし、Dを絶対値が1未満かつ0以外の値とし、複数の秘密計算装置を含み、集合Xの秘匿値とベクトルb^→の秘匿値とを入力とし、Ax^→=b^→の解x^→*の近似解x^→ _kを求める。

秘密計算装置は、初期化部と第一計算部と第二計算部と第三計算部と第四計算部と第五計算部と第六計算部と第七計算部と第八計算部と第九計算部とを含む。

初期化部は、次式を秘密計算により計算してベクトルp^→ ₀, r^→ ₀と値ρ₀それぞれの秘匿値を生成する。

第一計算部は、次式を秘密計算により計算してベクトルa^→ _i-1の秘匿値を生成する。

第二計算部は、次式を秘密計算により計算して値γ_i-1の秘匿値を生成する。

第三計算部は、次式を秘密計算により計算して値α_i-1の秘匿値を生成する。

第四計算部は、次式を秘密計算により計算してベクトルd^→ _iの秘匿値を生成する。

第五計算部は、次式を秘密計算により計算してベクトルx^→ _iの秘匿値を生成する。

第六計算部は、次式を秘密計算により計算してベクトルr^→ _iの秘匿値を生成する。

第七計算部は、次式を秘密計算により計算して値ρ_iの秘匿値を生成する。

第八計算部は、次式を秘密計算により計算して値β_iの秘匿値を生成する。

第九計算部は、次式を秘密計算により計算してベクトルp^→ _iの秘匿値を生成する。

この発明によれば、共役勾配法の計算途中の値を小さく押さえることができるため、共役勾配法を固定小数点数で実現する場合にオーバーフローが起きる可能性が低減する。

図１は、秘密共役勾配法計算システムの機能構成を例示する図である。 図２は、秘密計算装置の機能構成を例示する図である。 図３は、秘密共役勾配法計算方法の処理手続きを例示する図である。 図４は、コンピュータの機能構成を例示する図である。

はじめに、この明細書における表記方法および用語の定義について説明する。

＜表記方法＞
文中で使用する記号「^→」（上付き矢印）は、本来直前の文字の真上に記載されるべきものであるが、テキスト記法の制限により、当該文字の直後に記載する。数式中においてはこれらの記号は本来の位置、すなわち文字の真上に記述している。例えば、「a^→」は数式中では次式で表される。

例えば「a^→」のように、文字の直後に上付き矢印が記載された記号（数式中では、文字の真上に矢印が記載された記号）は、列ベクトルを表す。

・^T（上付き添え字のT）は転置を表す。

a^→Tb^→は、ベクトルa^→とベクトルb^→の内積を表す。

＜秘密計算＞
暗号化された数値を復元することなく特定の演算結果を得る方法として、秘密計算と呼ばれる方法がある（例えば、参考文献１参照）。参考文献１に記載された方法では、３つの秘密計算装置に数値の断片を分散させるという暗号化を行い、３つの秘密計算装置が協調計算を行うことにより、数値を復元することなく、加減算、定数加算、乗算、定数倍、論理演算（否定、論理積、論理和、排他的論理和）、データ形式変換（整数、二進数）の結果を３つの秘密計算装置に分散された状態、すなわち暗号化されたまま保持させることができる。

〔参考文献１〕千田浩司、濱田浩気、五十嵐大、高橋克巳、“軽量検証可能3パーティ秘匿関数計算の再考”、CSS、2010年

＜共役勾配法＞
非特許文献１に記載された従来の共役勾配法についてより詳しく説明する。共役勾配法は、d次元の実対称正定値行列Aとd次元ベクトルとの積を計算するための値の集合Xと、d次元ベクトルb^→とを入力とし、Ax^→=b^→の解x^→*=A^-1b^→の近似値を反復計算により計算する方法である。具体的には、近似解の初期値であるベクトルx^→ ₀を任意の値とし、以下の各値をi=1から順に計算していき、十分に大きなkについてベクトルx^→ _kを近似解として出力する。なお、kは、最大でd程度とし、所望の近似の精度に応じて設定される。例えば、d=100とすると、k=10程度に設定すればよい。また、各値の計算は次式の順番どおりに計算する必要はなく、計算可能な範囲で順番を入れ替えても構わないし、複数の値を並列に計算してもよい。

ここで、fは集合Xとd次元ベクトルx^→からAx^→を計算する関数である。集合Xと関数fの具体例としては、以下のようなものが挙げられる。ただし、nは任意の自然数である。

・X={A}, f(X, x^→)=Ax^→
・Bをd行n列の行列とし、X={B}, f(X, x^→)=BB^Tx^→
・Bをd行n列の行列、Cを対角成分が正のd次対角行列とし、X={B, C}, f(X, x^→)=BCB^Tx^→

共役勾配法を秘密計算で行う場合、入出力の値を所定の秘密分散により秘匿した値とし、上記の各値の計算を、例えば上記参考文献１に記載された秘密計算の各演算を組み合わせて実現すればよい。すなわち、集合Xとベクトルb^→とをそれぞれ秘密分散した秘匿値を入力とし、上記の各値を秘密計算により元の値を秘匿したまま計算し、復元すると近似解x^→ _kとなる秘匿値を出力する。

＜発明のポイント＞
本発明では、|D|<1かつD≠0を満たす（言い換えると、絶対値が1未満であり、かつ、0以外である）任意の値Dを設定し、共役勾配法においてa^→ _i-1, γ_i-1, d^→ _i, ρ_iの各値を計算する際に、各値のD倍の値を計算してa^→ _i-1, γ_i-1, d^→ _i, ρ_iの各値とする。これにより、共役勾配法を計算する際に大きくなりやすい途中の値を小さく抑えることができるため、オーバーフローが起こる確率が低減する。本発明では、特に、計算途中の値の大きさは変更するが、最終的に得られる解が変化しないように構成したことがポイントである。

以下、この発明の実施の形態について詳細に説明する。なお、図面中において同じ機能を有する構成部には同じ番号を付し、重複説明を省略する。

［実施形態］
図１を参照して、実施形態の秘密共役勾配法計算システムの構成例を説明する。秘密共役勾配法計算システム１００は、例えば、図１に示すように、N（≧2）台の秘密計算装置１₁, …, １_Nを含む。本実施形態では、秘密計算装置１₁, …, １_Nはそれぞれ通信網９へ接続される。通信網９は、接続される各装置が相互に通信可能なように構成された回線交換方式もしくはパケット交換方式の通信網であり、例えばインターネットやLAN（Local Area Network）、WAN（Wide Area Network）などを用いることができる。なお、各装置は必ずしも通信網９を介してオンラインで通信可能である必要はない。例えば、秘密計算装置１₁, …, １_Nへ入力する情報を磁気テープやUSBメモリなどの可搬型記録媒体に記憶し、その可搬型記録媒体から秘密計算装置１₁, …, １_Nへオフラインで入力するように構成してもよい。

図２を参照して、実施形態の秘密共役勾配法計算システム１００に含まれる秘密計算装置１_n（n=1, …, N）の構成例を説明する。秘密計算装置１_nは、例えば、図２に示すように、入力部１１、初期化部１２、第一計算部１３、第二計算部１４、第三計算部１５、第四計算部１６、第五計算部１７、第六計算部１８、第七計算部１９、第八計算部２０、第九計算部２１、反復制御部２２、および出力部２３を含む。この秘密計算装置１_n（n=1, …, N）が他の秘密計算装置１_n'（n'=1, …, N、ただしn≠n'）と協調しながら後述する各ステップの処理を行うことにより本実施形態の秘密共役勾配法計算方法が実現される。

秘密計算装置１_nは、例えば、中央演算処理装置（CPU: Central Processing Unit）、主記憶装置（RAM: Random Access Memory）などを有する公知又は専用のコンピュータに特別なプログラムが読み込まれて構成された特別な装置である。秘密計算装置１_nは、例えば、中央演算処理装置の制御のもとで各処理を実行する。秘密計算装置１_nに入力されたデータや各処理で得られたデータは、例えば、主記憶装置に格納され、主記憶装置に格納されたデータは必要に応じて中央演算処理装置へ読み出されて他の処理に利用される。秘密計算装置１_nの各処理部は、少なくとも一部が集積回路等のハードウェアによって構成されていてもよい。

図３を参照して、実施形態の秘密共役勾配法計算システム１００が実行する秘密共役勾配法計算方法の処理手続きを説明する。

ステップＳ１１において、各秘密計算装置１_nの入力部１１へ集合Xの秘匿値とベクトルb^→の秘匿値とが入力される。集合Xは、d次元の実対称正定値行列Aとd次元ベクトルとの積を計算するための値の集合である。ベクトルb^→は、d次元のベクトルである。入力部１１は、集合Xの秘匿値とベクトルb^→の秘匿値とを初期化部１２へ出力する。

ステップＳ１２において、各秘密計算装置１_nの初期化部１２は、近似解の初期値x^→ ₀を任意の値とし（すなわち、任意の値が設定されたベクトルx^→ ₀を生成し）、次式を秘密計算により計算してベクトルp^→ ₀, r^→ ₀と値ρ₀それぞれの秘匿値を生成する。また、初期化部１２は、反復処理のインデックスiをi=1に初期化する。

初期化部１２は、ベクトルp^→ ₀の秘匿値を第一計算部１３、第二計算部１４、第四計算部１６、および第九計算部２１へ出力する。また、ベクトルr^→ ₀の秘匿値を第六計算部１８へ出力する。さらに、値ρ₀の秘匿値を第三計算部１５および第八計算部２０へ出力する。そして、インデックスiを反復制御部２２へ出力する。

ステップＳ１３において、各秘密計算装置１_nの第一計算部１３は、次式を秘密計算により計算してベクトルa^→ _i-1の秘匿値を生成する。すなわち、従来の共役勾配法で求めるベクトルa^→ _i-1の各値をD倍してベクトルa^→ _i-1の各値とする。第一計算部１３は、ベクトルa^→ _i-1の秘匿値を第二計算部１４および第六計算部１８へ出力する。

ステップＳ１４において、各秘密計算装置１_nの第二計算部１４は、次式を秘密計算により計算して値γ_i-1の秘匿値を生成する。すなわち、従来の共役勾配法で求める値γ_i-1をD倍して値γ_i-1とする。第二計算部１４は、値γ_i-1の秘匿値を第三計算部１５へ出力する。

ステップＳ１５において、各秘密計算装置１_nの第三計算部１５は、次式を秘密計算により計算して値α_i-1の秘匿値を生成する。第三計算部１５は、値α_i-1の秘匿値を第四計算部１６および第六計算部１８へ出力する。

ステップＳ１６において、各秘密計算装置１_nの第四計算部１６は、次式を秘密計算により計算してベクトルd^→ _iの秘匿値を生成する。すなわち、従来の共役勾配法で求めるベクトルd^→ _iの各値をD倍してベクトルd^→ _iの各値とする。第四計算部１６は、ベクトルd^→ _iの秘匿値を第五計算部１７へ出力する。

ステップＳ１７において、各秘密計算装置１_nの第五計算部１７は、次式を秘密計算により計算してベクトルx^→ _iの秘匿値を生成する。第五計算部１７は、ベクトルx^→ _iの秘匿値を出力部２３へ出力する。

ステップＳ１８において、各秘密計算装置１_nの第六計算部１８は、次式を秘密計算により計算してベクトルr^→ _iの秘匿値を生成する。第六計算部１８は、ベクトルr^→ _iの秘匿値を第七計算部１９へ出力する。

ステップＳ１９において、各秘密計算装置１_nの第七計算部１９は、次式を秘密計算により計算して値ρ_iの秘匿値を生成する。すなわち、従来の共役勾配法で求める値ρ_iをD倍して値ρ_iとする。第七計算部１９は、値ρ_iの秘匿値を第八計算部２０へ出力する。

ステップＳ２０において、各秘密計算装置１_nの第八計算部２０は、次式を秘密計算により計算して値β_iの秘匿値を生成する。第八計算部２０は、値β_iの秘匿値を第九計算部２１へ出力する。

ステップＳ２１において、各秘密計算装置１_nの第九計算部２１は、次式を秘密計算により計算してベクトルp^→ _iの秘匿値を生成する。第九計算部２１は、ベクトルp^→ _iの秘匿値を第一計算部１３、第二計算部１４、および第四計算部１６へ出力する。

ステップＳ２２－１において、各秘密計算装置１_nの反復制御部２２は、iがk以上となっているか否か、すなわちi≧kの真偽を判定する。ただし、kは十分に大きな所定の整数である。i≧kが偽、すなわちi<kであれば、ステップＳ２２－２へ処理を進める。i≧kが真であれば、ステップＳ２３へ処理を進める。ステップＳ２２－２において、各秘密計算装置１_nの反復制御部２２は、iをインクリメント、すなわちi=i+1を計算し、ステップＳ１３へ処理を戻す。言い換えると、反復制御部２２は、i=1, …, kの各iについて第一計算部１３から第九計算部２１までを繰り返し実行する制御を行う。

ステップＳ２３において、各秘密計算装置１_nの出力部２３は、ベクトルx^→ _kの秘匿値をAx^→=b^→の解x^→*=A^-1b^→の近似値の秘匿値として出力する。

［変形例］
上述の実施形態では、共役勾配法を秘密計算で実現する場合に本発明を適用する構成を説明した。しかしながら、本発明は秘密計算だけでなく入出力を平文として１台のコンピュータが共役勾配法を計算する場合にも適用することができる。この場合、変形例の共役勾配法計算装置は、実施形態の秘密計算装置１_nと同様に、入力部１１、初期化部１２、第一計算部１３、第二計算部１４、第三計算部１５、第四計算部１６、第五計算部１７、第六計算部１８、第七計算部１９、第八計算部２０、第九計算部２１、反復制御部２２、および出力部２３を備え、各処理部の計算を平文で行うように構成する。すなわち、変形例の共役勾配法計算装置は、平文の集合Xと平文のベクトルb^→とを入力とし、従来の共役勾配法で計算するa^→ _i-1, γ_i-1, d^→ _i, ρ_iの各値をD倍してa^→ _i-1, γ_i-1, d^→ _i, ρ_iの各値とし、平文の近似解x^→ _kを出力すればよい。

＜本発明によって生じる効果＞
共役勾配法では、行列の次元dが大きくなるにつれて、計算途中の値が大きくなる。例えば、行列Aを縦横にk個、ベクトルb^→を縦にk個それぞれ並べた場合、a^→ _i, γ_i, α_i, d^→ _i, x^→ _i, ρ_iの各値は，それぞれ並べる前のk倍、k²倍、k^-1倍、k^-1倍、k^-1倍、k倍になり、a^→ _i, γ_i,ρ_iの各値が元の値よりも大きくなる。

実施形態の構成では、近似解の値を変えることなく、|D|<1かつD≠0を満たす任意のDについて、共役勾配法を計算する際に出現する残差の二乗和ρ_iをD倍、行列と基底ベクトルの積a^→ _iをD倍、行列に関する基底ベクトルの二乗和γ_iをD²倍、残差の二乗和と基底ベクトルの比α_iを1/D倍にすることができ、a^→ _i, γ_i,ρ_iの各値を小さく抑えることができる。

本発明によれば、上述の例のように、例えば、行列Aを縦横にk個、ベクトルb^→を縦にk個それぞれ並べた場合にも、D=1/kと設定することで、a^→ _i, γ_i, α_i, d^→ _i, x^→ _i, ρ_iの各値は、それぞれ並べる前の1倍、1倍、1倍、k^-1倍、k^-1倍、1倍とすることができる。これにより、解の値を変えることなく、途中の値を元の値以下に押さえることができるため、オーバーフローが起こる確率が低減する。

以上、この発明の実施の形態について説明したが、具体的な構成は、これらの実施の形態に限られるものではなく、この発明の趣旨を逸脱しない範囲で適宜設計の変更等があっても、この発明に含まれることはいうまでもない。実施の形態において説明した各種の処理は、記載の順に従って時系列に実行されるのみならず、処理を実行する装置の処理能力あるいは必要に応じて並列的にあるいは個別に実行されてもよい。

［プログラム、記録媒体］
上記実施形態で説明した各装置における各種の処理機能をコンピュータによって実現する場合、各装置が有すべき機能の処理内容はプログラムによって記述される。そして、このプログラムを図４に示すコンピュータの記憶部１０２０に読み込ませ、制御部１０１０、入力部１０３０、出力部１０４０などに動作させることにより、上記各装置における各種の処理機能がコンピュータ上で実現される。

この処理内容を記述したプログラムは、コンピュータで読み取り可能な記録媒体に記録しておくことができる。コンピュータで読み取り可能な記録媒体としては、例えば、磁気記録装置、光ディスク、光磁気記録媒体、半導体メモリ等どのようなものでもよい。

また、このプログラムの流通は、例えば、そのプログラムを記録したDVD、CD-ROM等の可搬型記録媒体を販売、譲渡、貸与等することによって行う。さらに、このプログラムをサーバコンピュータの記憶装置に格納しておき、ネットワークを介して、サーバコンピュータから他のコンピュータにそのプログラムを転送することにより、このプログラムを流通させる構成としてもよい。

このようなプログラムを実行するコンピュータは、例えば、まず、可搬型記録媒体に記録されたプログラムもしくはサーバコンピュータから転送されたプログラムを、一旦、自己の記憶装置に格納する。そして、処理の実行時、このコンピュータは、自己の記憶装置に格納されたプログラムを読み取り、読み取ったプログラムに従った処理を実行する。また、このプログラムの別の実行形態として、コンピュータが可搬型記録媒体から直接プログラムを読み取り、そのプログラムに従った処理を実行することとしてもよく、さらに、このコンピュータにサーバコンピュータからプログラムが転送されるたびに、逐次、受け取ったプログラムに従った処理を実行することとしてもよい。また、サーバコンピュータから、このコンピュータへのプログラムの転送は行わず、その実行指示と結果取得のみによって処理機能を実現する、いわゆるASP（Application Service Provider）型のサービスによって、上述の処理を実行する構成としてもよい。なお、本形態におけるプログラムには、電子計算機による処理の用に供する情報であってプログラムに準ずるもの（コンピュータに対する直接の指令ではないがコンピュータの処理を規定する性質を有するデータ等）を含むものとする。

また、この形態では、コンピュータ上で所定のプログラムを実行させることにより、本装置を構成することとしたが、これらの処理内容の少なくとも一部をハードウェア的に実現することとしてもよい。

Claims (6)

1. Xをd次元の実対称正定値行列Aとd次元ベクトルとの積を計算するための値の集合とし、b^→をd次元ベクトルとし、fを集合Xとd次元ベクトルx^→からAx^→を計算する関数とし、kをd以下の整数とし、iを1からkまでの各整数とし、x^→ ₀を任意の値が設定されたd次元ベクトルとし、Dを絶対値が1未満かつ0以外の値とし、
   複数の秘密計算装置を含み、上記集合Xの秘匿値と上記ベクトルb^→の秘匿値とを入力とし、Ax^→=b^→の解x^→*の近似解x^→ _kを求める秘密共役勾配法計算システムであって、
   上記秘密計算装置は、
   次式を秘密計算により計算してベクトルp^→ ₀, r^→ ₀と値ρ₀それぞれの秘匿値を生成する初期化部と、
   

   

   
   次式を秘密計算により計算してベクトルa^→ _i-1の秘匿値を生成する第一計算部と、
   

   

   
   次式を秘密計算により計算して値γ_i-1の秘匿値を生成する第二計算部と、
   

   

   
   次式を秘密計算により計算して値α_i-1の秘匿値を生成する第三計算部と、
   

   

   
   次式を秘密計算により計算してベクトルd^→ _iの秘匿値を生成する第四計算部と、
   

   

   
   次式を秘密計算により計算してベクトルx^→ _iの秘匿値を生成する第五計算部と、
   

   

   
   次式を秘密計算により計算してベクトルr^→ _iの秘匿値を生成する第六計算部と、
   

   

   
   次式を秘密計算により計算して値ρ_iの秘匿値を生成する第七計算部と、
   

   

   
   次式を秘密計算により計算して値β_iの秘匿値を生成する第八計算部と、
   

   

   
   次式を秘密計算により計算してベクトルp^→ _iの秘匿値を生成する第九計算部と、
   

   

   
   を含む秘密共役勾配法計算システム。
2. Xをd次元の実対称正定値行列Aとd次元ベクトルとの積を計算するための値の集合とし、b^→をd次元ベクトルとし、fを集合Xとd次元ベクトルx^→からAx^→を計算する関数とし、kをd以下の整数とし、iを1からkまでの各整数とし、x^→ ₀を任意の値が設定されたd次元ベクトルとし、Dを絶対値が1未満かつ0以外の値とし、
   上記集合Xの秘匿値と上記ベクトルb^→の秘匿値とを入力とし、Ax^→=b^→の解x^→*の近似解x^→ _kを求める秘密共役勾配法計算システムで用いられる秘密計算装置であって、
   次式を秘密計算により計算してベクトルp^→ ₀, r^→ ₀と値ρ₀それぞれの秘匿値を生成する初期化部と、
   

   

   
   次式を秘密計算により計算してベクトルa^→ _i-1の秘匿値を生成する第一計算部と、
   

   

   
   次式を秘密計算により計算して値γ_i-1の秘匿値を生成する第二計算部と、
   

   

   
   次式を秘密計算により計算して値α_i-1の秘匿値を生成する第三計算部と、
   

   

   
   次式を秘密計算により計算してベクトルd^→ _iの秘匿値を生成する第四計算部と、
   

   

   
   次式を秘密計算により計算してベクトルx^→ _iの秘匿値を生成する第五計算部と、
   

   

   
   次式を秘密計算により計算してベクトルr^→ _iの秘匿値を生成する第六計算部と、
   

   

   
   次式を秘密計算により計算して値ρ_iの秘匿値を生成する第七計算部と、
   

   

   
   次式を秘密計算により計算して値β_iの秘匿値を生成する第八計算部と、
   

   

   
   次式を秘密計算により計算してベクトルp^→ _iの秘匿値を生成する第九計算部と、
   

   

   
   を含む秘密計算装置。
3. Xをd次元の実対称正定値行列Aとd次元ベクトルとの積を計算するための値の集合とし、b^→をd次元ベクトルとし、fを集合Xとd次元ベクトルx^→からAx^→を計算する関数とし、kをd以下の整数とし、iを1からkまでの各整数とし、x^→ ₀を任意の値が設定されたd次元ベクトルとし、Dを絶対値が1未満かつ0以外の値とし、
   上記集合Xと上記ベクトルb^→とを入力とし、Ax^→=b^→の解x^→*の近似解x^→ _kを求める共役勾配法計算装置であって、
   次式を計算してベクトルp^→ ₀, r^→ ₀と値ρ₀を生成する初期化部と、
   

   

   
   次式を計算してベクトルa^→ _i-1を生成する第一計算部と、
   

   

   
   次式を計算して値γ_i-1を生成する第二計算部と、
   

   

   
   次式を計算して値α_i-1を生成する第三計算部と、
   

   

   
   次式を計算してベクトルd^→ _iを生成する第四計算部と、
   

   

   
   次式を計算してベクトルx^→ _iを生成する第五計算部と、
   

   

   
   次式を計算してベクトルr^→ _iを生成する第六計算部と、
   

   

   
   次式を計算して値ρ_iを生成する第七計算部と、
   

   

   
   次式を計算して値β_iを生成する第八計算部と、
   

   

   
   次式を計算してベクトルp^→ _iを生成する第九計算部と、
   

   

   
   を含む共役勾配法計算装置。
4. Xをd次元の実対称正定値行列Aとd次元ベクトルとの積を計算するための値の集合とし、b^→をd次元ベクトルとし、fを集合Xとd次元ベクトルx^→からAx^→を計算する関数とし、kをd以下の整数とし、iを1からkまでの各整数とし、x^→ ₀を任意の値が設定されたd次元ベクトルとし、Dを絶対値が1未満かつ0以外の値とし、
   複数の秘密計算装置を含み、上記集合Xの秘匿値と上記ベクトルb^→の秘匿値とを入力とし、Ax^→=b^→の解x^→*の近似解x^→ _kを求める秘密共役勾配法計算システムが実行する秘密共役勾配法計算方法であって、
   各秘密計算装置の初期化部が、次式を秘密計算により計算してベクトルp^→ ₀, r^→ ₀と値ρ₀それぞれの秘匿値を生成し、
   

   

   
   各秘密計算装置の第一計算部が、次式を秘密計算により計算してベクトルa^→ _i-1の秘匿値を生成し、
   

   

   
   各秘密計算装置の第二計算部が、次式を秘密計算により計算して値γ_i-1の秘匿値を生成し、
   

   

   
   各秘密計算装置の第三計算部が、次式を秘密計算により計算して値α_i-1の秘匿値を生成し、
   

   

   
   各秘密計算装置の第四計算部が、次式を秘密計算により計算してベクトルd^→ _iの秘匿値を生成し、
   

   

   
   各秘密計算装置の第五計算部が、次式を秘密計算により計算してベクトルx^→ _iの秘匿値を生成し、
   

   

   
   各秘密計算装置の第六計算部が、次式を秘密計算により計算してベクトルr^→ _iの秘匿値を生成し、
   

   

   
   各秘密計算装置の第七計算部が、次式を秘密計算により計算して値ρ_iの秘匿値を生成し、
   

   

   
   各秘密計算装置の第八計算部が、次式を秘密計算により計算して値β_iの秘匿値を生成し、
   

   

   
   各秘密計算装置の第九計算部が、次式を秘密計算により計算してベクトルp^→ _iの秘匿値を生成する、
   

   

   
   秘密共役勾配法計算方法。
5. Xをd次元の実対称正定値行列Aとd次元ベクトルとの積を計算するための値の集合とし、b^→をd次元ベクトルとし、fを集合Xとd次元ベクトルx^→からAx^→を計算する関数とし、kをd以下の整数とし、iを1からkまでの各整数とし、x^→ ₀を任意の値が設定されたd次元ベクトルとし、Dを絶対値が1未満かつ0以外の値とし、
   上記集合Xと上記ベクトルb^→とを入力とし、Ax^→=b^→の解x^→*の近似解x^→ _kを求める共役勾配法計算装置が実行する共役勾配法計算方法であって、
   初期化部が、次式を計算してベクトルp^→ ₀, r^→ ₀と値ρ₀を生成し、
   

   

   
   第一計算部が、次式を計算してベクトルa^→ _i-1を生成し、
   

   

   
   第二計算部が、次式を計算して値γ_i-1を生成し、
   

   

   
   第三計算部が、次式を計算して値α_i-1を生成し、
   

   

   
   第四計算部が、次式を計算してベクトルd^→ _iを生成し、
   

   

   
   第五計算部が、次式を計算してベクトルx^→ _iを生成し、
   

   

   
   第六計算部が、次式を計算してベクトルr^→ _iを生成し、
   

   

   
   第七計算部が、次式を計算して値ρ_iを生成し、
   

   

   
   第八計算部が、次式を計算して値β_iを生成し、
   

   

   
   第九計算部が、次式を計算してベクトルp^→ _iを生成する、
   

   

   
   共役勾配法計算方法。
6. 請求項２に記載の秘密計算装置または請求項３に記載の共役勾配法計算装置としてコンピュータを機能させるためのプログラム。

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