JP7292755B2 - 弾塑性解析方法及び弾塑性解析プログラム - Google Patents

Description

本発明は、弾塑性解析方法及び弾塑性解析プログラムに関する。

一般に金属等の固体材料に荷重をかけると、その材料は変形する。荷重を解除（除荷）したときに、荷重をかける前の形状に戻る場合、その変形は弾性変形といわれる。また、除荷しても形状が変わらない場合の変形は塑性変形といわれる。一般に金属材料は、ある荷重までは弾性変形をするが、ある荷重を超えると塑性変形を生じる。弾性変形から塑性変形に移行する応力－ひずみ曲線上の点は弾性限界および降伏点といわれる。そして、弾性変形から塑性変形に移行することは塑性化といわれる。このような性質を「弾塑性」と称し、弾塑性を示す材料を「弾塑性体」と称する。また、弾塑性体の弾塑性変形挙動を解析することを「弾塑性解析」と称する。

一般的な構造材料の多く(金属、岩石、土、砂、粘土、コンクリート、プラスチック、ガラスなど)は弾塑性体である。そのため、弾塑性解析は、特に構造材料を用いた構造体の強度、又は材料の加工時の変形量等を評価するために重要である。構造体の弾塑性変形挙動を評価する方法として、例えば、構造材料の塑性化の条件を、降伏関数とよばれるスカラー値関数を導入して規定し、塑性ひずみ増分を、塑性ポテンシャルとよばれるスカラー値関数に基づく流れ則を用いて評価する方法がある。とくに、塑性ポテンシャルとして降伏関数を用いる場合の流れ則は関連流れ則といわれ、降伏関数とは異なる塑性ポテンシャルを用いる場合の流れ則は非関連流れ則といわれる。弾塑性解析の初期値境界値問題の支配方程式は、運動量保存則、角運動量保存則、変位－ひずみ関係式、応力－ひずみ関係式、塑性ひずみに関する方程式、からなる。従来技術においては、塑性ひずみに関する方程式として流れ則が用いられている。弾塑性解析の初期値境界値問題を解析的に解くことは難しいため、構造体を微小な領域に分割し、領域毎に関数を補間することにより、偏微分方程式を連立一次方程式に置き換えて数値計算を行う有限要素法を用いて評価することが行われている。例えば、特許文献１には、流れ則とさまざまなモデルを組み合わせた塑性構成式を用いて加工時の材料のひずみをシミュレーションする応力－ひずみ関係シミュレート方法が開示されている。

特開２００８－１４２７７４号公報

従来技術の流れ則を用いて構造材料の弾塑性解析を行う場合、途中で荷重の方向が急激に変化する荷重履歴において、解析結果と実験結果が一致しない場合がある。解析結果が実験結果と一致しない例として、図１Ａに示すように、弾塑性体Ａが単純せん断を受けて発生した塑性変形が残った状態で、最初に受けた単純せん断と直交する方向に弾性限界を超える引張を受け、その後弾性限界を超える圧縮を受けた場合の弾塑性変形挙動がある。図１Ｂに、塑性ひずみに応じて硬化する弾塑性構成則を有する材料において、図１Ａの最初の単純せん断（ａからｅまで）を受けた弾塑性体Ａの弾塑性変形挙動（せん断ひずみγとせん断応力τとの関係）を示す典型的な応力－ひずみ曲線の例を示す。なお、図１Ｂのａ点からｅ点は、図１Ａのａ状態からｅ状態に相当する。

図１Ｂに示すように、せん断ひずみγの増加に伴い、原点（開始時）から降伏点ａまで弾性変形が進み、点ａから点ｂまでのせん断ひずみγの増加分はすべて塑性ひずみである。塑性ひずみの増加に伴い、点ａから点ｂの間でせん断応力τが増加している。点ｂでせん断の向きを反転させると、せん断ひずみγのうち、弾性ひずみが減少する。これは弾性除荷といわれる。さらに逆向きにせん断変形を進めると弾性除荷が進み、逆向きの降伏点ｃに達する。ここまでの弾塑性変形挙動において、バウシンガー（Ｂａｕｓｃｈｉｎｇｅｒ）効果といわれる現象が見られる。バウシンガー効果とは、塑性ひずみに応じて硬化する弾塑性構成則を有する材料を、ある順方向に荷重をかけて降伏させ、次に逆方向に荷重をかけて降伏させた場合、逆方向に荷重をかけた場合の降伏応力の絶対値｜τ^Ｙ _ｃ｜が順方向の降伏応力の絶対値｜τ^Ｙ _ａ｜よりも小さくなる現象である。

次に、点ｃから点ｄまで、最初とは逆方向の塑性せん断ひずみが増加し、それに伴い、せん断応力τの絶対値も増加する。点ｄでせん断の向きを反転させると、弾性除荷が進む。点ｅにおいて弾性ひずみはゼロとなる。このときに残っているひずみγ_ｅは塑性せん断ひずみである。

点ｅの変形を保った弾塑性体Ａに、単純せん断と直交する方向に弾性限界を超える引張変形をほどこし（図１Ａの状態ｆ）、その後弾性限界を超える圧縮変形をほどこした際（図１Ａの状態ｇ）の弾塑性体Ａの弾塑性変形挙動（直ひずみεと直応力σとの関係）の典型的な応力－ひずみ曲線（ｉ）を図１Ｃに示す。図１Ｃに示されているすべての応力－ひずみ曲線は、弾性変形、塑性化、塑性ひずみに応じた硬化、弾性除荷、バウシンガー効果など、図１Ｂで説明した弾塑性変形における特徴的な挙動を示している。

ただし、ここで解析結果と実験結果が一致しないという問題が発生する。実験結果では、弾塑性体Ａに、まず横方向にせん断荷重をかけて降伏させた後に、横方向のせん断と直交する縦方向に荷重をかけて降伏させた場合の縦方向の応力－ひずみ関係と、最初から縦方向に荷重をかけて降伏させた場合の縦方向の応力－ひずみ関係とは、完全に一致する。つまり、図１Ａに示す荷重履歴を経て引張および圧縮を受ける弾塑性体Ａの応力－ひずみ曲線（図１Ｃの（ｉ））は、図１Ｄに示す荷重履歴を受ける弾塑性体Ｂのように、図１Ａに示す単純せん断の履歴を経ることなく引張（図１Ｄの状態ｈ）および圧縮（図１Ｄの状態ｊ）を受けた場合の応力－ひずみ曲線（図１Ｃの（ｉｉｉ））と完全に一致する。ところが、従来技術の弾塑性解析方法で得られる解析結果は、図１Ｃの応力－ひずみ曲線（ｉｉ）のように、図１Ｃの応力－ひずみ曲線（ｉｉｉ）とは大きく異なる。このように、従来技術の弾塑性解析方法では、途中で荷重の方向が急激に変化する荷重履歴において、弾塑性変形挙動を十分に再現できないという問題があった。

従来技術の弾塑性解析方法では、流れ則の改良、降伏関数の改良、および塑性ポテンシャルの導入、改良等により、解析結果が実験結果と合うように解析方法が様々な方法で修正されている。しかし、従来技術に基づいてバウシンガー効果を十分に再現するように修正された解析方法では、過去の荷重履歴で発生した塑性せん断ひずみと同じ方向のせん断ひずみを生じさせない弾塑性変形挙動は、その塑性せん断ひずみの有無にかかわらず変化しないという現象（特定の方向の塑性変形履歴に対する弾塑性変形挙動の不変性）を十分に再現することができず、逆に特定の方向の塑性変形履歴に対する弾塑性変形挙動の不変性を満たすように修正された解析方法では、バウシンガー効果を十分に再現することができないという問題があった。

従来、弾塑性解析のために用いられている関連流れ則は、式（１）のように表わされる。

ここで、ｄε^p _ijは塑性ひずみ増分テンソル、σ_ijは応力テンソル、スカラー値関数であるｆ＝ｆ（σ_ij）は弾塑性物質の塑性化の条件を定義する降伏関数、λは定数である。非関連流れ則の場合は、式（１）においてスカラー値関数ｆ＝ｆ（σ_ij）の代わりに弾塑性物質の塑性ポテンシャルg＝g（σ_ij）を用いる。

（式１）は、個々の弾塑性体に対して、塑性ひずみ増分テンソルと応力テンソルを結びつける材料構成則が存在することと、その材料構成則を表現するための、応力テンソルのスカラーポテンシャル関数が存在することを、暗黙の前提としている。従来技術の弾塑性解析方法で用いられる流れ則においては、式（１）の中に、変位増分は含まれていない。つまり、式（１）は、塑性ひずみ増分が変位増分とは無関係であることを意味する。しかし現実には、同じ応力状態において、変位増分が異なれば、異なる塑性ひずみ増分が観察され得る。従って、変位増分といかなる関係も有しない塑性ひずみ増分の表現式は、実際の現象を適切に表現しているとは言い難い。従来の弾塑性解析方法で、バウシンガー効果と、特定の方向の塑性変形履歴に対する弾塑性変形挙動の不変性と、を同時に再現することができない理由もここにあると考えられる。

本発明は、上記の事情に鑑みて為されたもので、弾塑性解析にあたり、塑性ひずみ増分テンソルと応力テンソルを結びつける材料構成則の存在を必要とせず、その材料構成則を表現するための応力テンソルのスカラーポテンシャル関数の存在も必要としない、塑性ひずみに関する方程式を導入する。この新たな塑性ひずみに関する方程式を導入することにより、バウシンガー効果と、特定の方向の塑性変形履歴に対する弾塑性変形挙動の不変性と、を同時に再現できる、弾塑性解析方法及び弾塑性解析プログラムを提供することを例示的課題とする。

上記の課題を解決するために、本発明の例示的側面としての弾塑性解析方法、弾塑性解析プログラムは、以下の構成を有する。

（１）本発明の一態様は、境界値問題を数値的に解く数値解析手法を用いて行う弾塑性体の弾塑性解析方法であって、動的又は静的平衡状態にある弾塑性体に塑性ひずみテンソルは変えずに荷重増分を負荷後の擬似的平衡状態における全ひずみテンソルから前記塑性ひずみテンソルを差し引いて得られる試行弾性ひずみテンソルを求めるステップと、前記試行弾性ひずみテンソルに基づいて試行弾性ひずみ指標を決定するステップと、前記弾塑性体の材料特性に基づいて決定される弾性限界ひずみ指標を、前記試行弾性ひずみ指標から差し引いて得られる値に基づいて、前記荷重増分に対応する塑性ひずみ増分指標を決定するステップと、前記塑性ひずみ増分指標に基づいて塑性ひずみ増分テンソルを決定するステップと、を含む弾塑性解析方法である。

（２）本発明の他の態様は、境界値問題を数値的に解く数値解析手法を用いて行う弾塑性体の弾塑性解析方法であって、動的又は静的平衡状態にある弾塑性体に塑性変形勾配テンソルは変えずに荷重増分を負荷後の擬似的平衡状態における全変形勾配テンソルに、前記塑性変形勾配テンソルの逆テンソルを作用させる数学的処理をほどこして試行弾性変形勾配テンソルを求めるステップと、前記試行弾性変形勾配テンソルに基づいて試行弾性変形勾配指標を決定するステップと、前記試行弾性変形勾配指標と、前記弾塑性体の材料特性に基づいて決定される弾性限界変形勾配指標との比に基づいて、前記荷重増分に対応する塑性変形勾配増分指標を決定するステップと、前記塑性変形勾配増分指標に基づいて塑性変形勾配増分テンソルを決定するステップと、決定された前記塑性変形勾配増分テンソルを用いて塑性ひずみ増分テンソルを決定するステップと、を含む弾塑性解析方法である。

（３）本発明の他の態様は、境界値問題を数値的に解く数値解析手法を用いて行う弾塑性体の弾塑性解析方法であって、動的又は静的平衡状態にある弾塑性体に塑性変形勾配テンソルは変えずに荷重増分を負荷後の擬似的平衡状態における対数全変形勾配テンソルから対数塑性変形勾配テンソルを差し引いて得られる対数試行弾性変形勾配テンソルを求めるステップと、前記対数試行弾性変形勾配テンソルに基づいて対数試行弾性変形勾配指標を決定するステップと、前記対数試行弾性変形勾配指標から、前記弾塑性体の材料特性に基づいて決定される弾性限界変形勾配指標の対数を取って得られる対数弾性限界変形勾配指標を差し引いて得られる値に基づいて、前記荷重増分に対応する対数塑性変形勾配増分指標を決定するステップと、前記対数塑性変形勾配増分指標に基づいて対数塑性変形勾配増分テンソルを決定するステップと、決定された前記対数塑性変形勾配増分テンソルを用いて対数塑性ひずみ増分テンソルを決定するステップと、を含む弾塑性解析方法である。

（４）本発明の他の態様は、境界値問題を数値的に解く数値解析手法を用いて行う弾塑性体の弾塑性解析プログラムであって、コンピュータに、動的又は静的平衡状態にある弾塑性体に塑性ひずみテンソルは変えずに荷重増分を負荷後の擬似的平衡状態における全ひずみテンソルから前記塑性ひずみテンソルを差し引いて得られる試行弾性ひずみテンソルを求める手順と、前記試行弾性ひずみテンソルに基づいて試行弾性ひずみ指標を決定する手順と、前記弾塑性体の材料特性に基づいて決定される弾性限界ひずみ指標を、前記試行弾性ひずみ指標から差し引いて得られる値に基づいて、前記荷重増分に対応する塑性ひずみ増分指標として決定する手順と、前記塑性ひずみ増分指標に基づいて塑性ひずみ増分テンソルを決定する手順と、を含む手順を実行させるための弾塑性解析プログラムである。

（５）本発明の他の態様は、境界値問題を数値的に解く数値解析手法を用いて行う弾塑性体の弾塑性解析プログラムであって、コンピュータに、動的又は静的平衡状態にある弾塑性体に塑性変形勾配テンソルは変えずに荷重増分を負荷後の擬似的平衡状態における全変形勾配テンソルに、前記塑性変形勾配テンソルの逆テンソルを作用させる数学的処理をほどこして試行弾性変形勾配テンソルを求める手順と、前記試行弾性変形勾配テンソルに基づいて試行弾性変形勾配指標を決定する手順と、前記試行弾性変形勾配指標と、前記弾塑性体の材料特性に基づいて決定される弾性限界変形勾配指標との比に基づいて、前記荷重増分に対応する塑性変形勾配増分指標を決定する手順と、前記塑性変形勾配増分指標に基づいて塑性変形勾配増分テンソルを決定する手順と、決定された前記塑性変形勾配増分テンソルを用いて塑性ひずみ増分テンソルを決定する手順と、を含む手順を実行させるための弾塑性解析プログラムである。

（６）本発明の他の態様は、境界値問題を数値的に解く数値解析手法を用いて行う弾塑性体の弾塑性解析プログラムであって、コンピュータに、動的又は静的平衡状態にある弾塑性体に塑性変形勾配テンソルは変えずに荷重増分を負荷後の擬似的平衡状態における対数全変形勾配テンソルから対数塑性変形勾配テンソルを差し引いて得られる対数試行弾性変形勾配テンソルを求める手順と、前記対数試行弾性変形勾配テンソルに基づいて対数試行弾性変形勾配指標を決定する手順と、前記対数試行弾性変形勾配指標から、前記弾塑性体の材料特性に基づいて決定される弾性限界変形勾配指標の対数を取って得られる対数弾性限界変形勾配指標を差し引いて得られる値に基づいて、前記荷重増分に対応する対数塑性変形勾配増分指標を決定する手順と、前記対数塑性変形勾配増分指標に基づいて対数塑性変形勾配増分テンソルを決定する手順と、決定された前記対数塑性変形勾配増分テンソルを用いて対数塑性ひずみ増分テンソルを決定する手順と、を含む手順を実行させるための弾塑性解析プログラムである。

本発明の更なる目的又はその他の特徴は、以下添付図面を参照して説明される好ましい実施の形態によって明らかにされるであろう。

本発明に係る弾塑性解析方法、弾塑性解析プログラムによれば、バウシンガー効果と、特定の方向の塑性変形履歴に対する弾塑性変形挙動の不変性と、を同時に再現することができる。

弾塑性体に単純せん断の後でせん断の方向と直交する方向に引張及び圧縮を作用させる荷重履歴を示す模式図。 図１Ａの単純せん断を受ける弾塑性体の弾塑性変形挙動の一例を示す応力－ひずみ曲線。 図１Ａの単純せん断と直交する方向に引張および圧縮を受ける弾塑性体の応力－ひずみ曲線の解析値及び実験値の例。 弾塑性体に図１Ｃ（ｉｉｉ）の応力－ひずみ曲線を与える荷重履歴を示す模式図。 実施形態１における数値計算方法のフローチャート。 実施形態２における試行弾性ひずみの主軸及び試行弾性主ひずみ。 実施形態２における試行弾性ひずみのせん断成分が極大となり、かつそのせん断成分が最大となる面（α）を示す図。 実施形態２における試行弾性ひずみのせん断成分が極大となる面（β）を示す図。 実施形態２における試行弾性ひずみのせん断成分が極大となる面（γ）を示す図。 実施形態３における数値計算方法のフローチャートの一例。 実施形態３における数値計算方法のフローチャートの他の例。 実施例の試験体の座標系を示す図。 実施例の試験体にステップ（１）のせん断荷重を負荷した図。 実施例の試験体にステップ（２）のせん断荷重を負荷した図。 実施例の試験体にステップ（２）のせん断荷重をせん断ひずみの弾性成分がゼロとなるまで除荷した図。 実施例の試験体にステップ（４）の引張荷重を負荷した図。 実施例の試験体にステップ（４）の圧縮荷重を負荷した図。 実施例のステップ（１）からステップ（３）までの数値計算値を示す図。 実施例のステップ（４）と塑性変形の履歴がない場合の数値計算値を示す図。

［実施形態１］
以下、本発明の実施形態１に係る弾塑性体の解析方法について図２を参照して説明する。弾塑性解析の初期値境界値問題の支配方程式は、運動量保存則、角運動量保存則、変位－ひずみ関係式、応力－ひずみ関係式、塑性ひずみに関する方程式、からなる。従来技術においては、塑性ひずみに関する方程式として流れ則が用いられている。

弾塑性体は、ひずみがその弾塑性体の弾性限界を超えると塑性変形する。この弾性限界におけるひずみを「弾性限界ひずみ」と称する。また、弾性限界ひずみを超えたぶんのひずみを「塑性ひずみ」と称する。本実施形態では、テンソル量に対して一意に定義される「指標」を導入する。本実施形態でいう「指標」とは、テンソルに適切な数学的処理を施して得られるスカラー値又はベクトル値を表す。本発明の発明者らは、従来用いていた流れ則に代えて、弾性限界ひずみに対して一意に定義される弾性限界ひずみ指標を用いた塑性ひずみに関する方程式を導入することによって、実験結果と整合する弾塑性解析結果が得られることを発見した。具体的には以下のとおりである。

実施形態１では、ひずみが十分小さく、弾塑性体の変形が十分小さいとみなすことができる微小変形の場合の弾塑性解析の初期値境界値問題を、例えば有限要素法などの適切な数値解析手法で計算して数値解析結果を得る方法について説明する。動的あるいは静的平衡状態にある弾塑性体に、荷重増分を負荷し（図２のステップＳ１０）、塑性ひずみテンソルは変えずに、荷重増分を負荷した後の擬似的平衡状態における全ひずみテンソルを得る。この全ひずみテンソルε^totalと塑性ひずみテンソルε^pの差を求め、試行弾性ひずみテンソルε^eとする（ステップＳ１２）。即ち、
ε^e＝ε^total－ε^p …式（２）
である。試行弾性ひずみテンソルとは、繰り返し計算のために試行的に与える微小な弾性ひずみテンソルである。次に、試行弾性ひずみテンソルε^eに基づいて一意に定義される試行弾性ひずみ指標ε^eiを決定する（ステップＳ１４）。試行弾性ひずみ指標ε^eiはスカラー又はベクトルである。

弾塑性材料ごとの材料特性である弾性限界ひずみに基づいて一意に定義される弾性限界ひずみ指標をε^criとする（ステップＳ１６）。弾性限界ひずみ指標ε^criはスカラー又はベクトルである。弾性限界ひずみ指標ε^criは定数であっても何らかの物理量の関数であってもよい。そして、試行弾性ひずみ指標ε^eiから弾性限界ひずみ指標ε^criを差し引いて得られる値に基づいて、塑性ひずみ増分指標ｄε^piを決定する。例えば、試行弾性ひずみ指標ε^eiから弾性限界ひずみ指標ε^criを差し引いて得られる値を塑性ひずみ増分指標ｄε^piとする（ステップＳ１８）。つまり、
ε^ei－ε^cri＝ｄε^pi …式（３）
である。ただし、ε^ei≦ε^criである場合は、ｄε^pi＝０とする。即ち、
ｄε^pi＝ε^ei－ε^cri （ε^ei＞ε^cri） …式（３Ａ）
ｄε^pi＝０ （ε^ei≦ε^cri） …式（３Ｂ）
とする。式（３Ａ）および式（３Ｂ）の条件式の中の不等号は、指標がベクトル値である場合はベクトルに適切な数学的処理を施して得られるスカラー値に基づいて評価される。

この塑性ひずみ増分指標ｄε^piを用いて、塑性ひずみ増分テンソルの成分ｄε^ｐ _ijを決定する（ステップＳ２０）。ここで、ｄε^p _ijは、座標系ｘ_１－ｘ_２－ｘ_３を設定した場合に、ｉ面（ｘ_ｉ軸に直交する面）のｘ_ｊ軸方向への塑性ひずみ増分を表す。この場合、例えば実施形態２に示す方法で、指標を用いてテンソルの成分を決定することができる。そして、弾塑性体の全体における釣り合い誤差を計算する（ステップＳ２２）。次に、ステップＳ１０で与えた荷重増分に対する釣り合い誤差計算の結果が終了条件を満たすか否かを判定する（ステップＳ２４）。終了条件は、例えば弾塑性体の全体における釣り合いの誤差が予め定めた誤差の範囲内に到達した場合である。ステップＳ２４で終了条件を満たす場合（Ｓ２４：Ｙ）は、ステップＳ２６に進む。ステップＳ２４で終了条件を満たさない場合（Ｓ２４：Ｎ）は、ステップＳ１２に戻って新たに試行弾性ひずみテンソルを与えて以降のステップを繰り返す。ステップＳ２６において、予め定めた荷重増分が終了した（荷重増分をすべて与えた）か否かを判定する。ステップＳ２６において、予め定めた荷重増分が終了していない場合（Ｓ２６：Ｎ）は、ステップＳ１０に戻って新たな荷重増分を与えて以降のステップを繰り返す。ステップＳ２６において、予め定めた荷重増分が終了した場合（Ｓ２６：Ｙ）は、数値解析を終了する。

［実施形態２］
実施形態１で説明した、微小変形の場合における一般的な弾塑性解析方法についての具体的な一例である実施形態２について、図面を参照して説明する。静的状態における弾塑性体の微小変形を考える。実施形態２では、実施形態１で説明した弾性限界ひずみ指標ε^criの一例である弾性限界せん断ひずみε^crを考慮する。なお、弾性限界せん断ひずみε^crは、弾塑性体の材料試験により得られる数値である。実施形態２では、弾性限界せん断ひずみε^crを正の定数とする。

この静的平衡状態にある弾塑性体に、荷重増分を負荷し、塑性ひずみテンソルε^pは変えずに、荷重増分を負荷後の擬似的平衡状態における全ひずみテンソルε^totalを得る。この全ひずみテンソルε^totalと塑性ひずみテンソルε^pの差を求め、試行弾性ひずみテンソルε^eとする。即ち、試行弾性ひずみテンソルε^eは、式（２）で定義される。

この試行弾性ひずみテンソルの成分を、図３に示す主軸座標系とせん断成分が極大となる面に設定された座標系で表す。図３では、試行弾性ひずみテンソルの主軸をｘ_１、ｘ_２、ｘ_３で表す。対応する試行弾性主ひずみはε¹、ε²、及びε³であり、ε¹≧ε²≧ε³とする。図４に示すように、せん断成分が極大となる面の１つである面（α）における試行弾性ひずみの成分を、ε^(α) _S、ε^(α) _S⊥、及びε^(α) _Nと表す。これらは、それぞれ、試行弾性ひずみの面（α）における最大せん断方向Ｓの成分、試行弾性ひずみの面（α）における最大せん断方向Ｓに直交する方向の成分、及び試行弾性ひずみの面（α）に垂直な方向の成分である。図４の座標系ｘ’_１－ｘ_２－ｘ’_３は、主軸座標系ｘ_１－ｘ_２－ｘ_３をｘ_２軸を中心に反時計回りにπ／４回転させて得られる。試行弾性ひずみの主方向とせん断成分が極大となる面を図４のように定義する限り、最大せん断成分ε^(α) _Sは常に非負の値をとり、ε^(α) _S⊥は常にゼロとなる。このようにして、試行弾性ひずみ指標として、試行弾性せん断ひずみの絶対値の極大値を得る。

次に、面（α）上において、塑性ひずみ増分の成分を各軸についてそれぞれｄε^p(α) _S、ｄε^p(α) _S⊥、及びｄε^p(α) _Nと表す。荷重増分に対する面（α）上の塑性ひずみ増分ｄε^p(α) _S及びｄε^p(α) _S⊥を規定する式は、弾性限界せん断ひずみε^crを用いて、下記式（４Ａ）及び（４Ｂ）のように表される。

試行弾性ひずみの面（α）における最大せん断成分のうち、弾性限界せん断ひずみε^crを超える部分は、式（４Ａ）のように塑性ひずみ増分に割り当てられる。また、せん断成分が極大となるという面（α）の定義からε^(α) _S⊥＝０であるので、式（４Ｂ）のように常にｄε^p(α) _S⊥＝０となる。式（４Ａ）及び式（４Ｂ）は、図５及び図６に示すように、せん断成分が極大となる他の面（β）及び（γ）においても同様に成立する。なお、ε^(α) _S、ε^(β) _S、ε^(γ) _Sが、実施形態２で採用した試行弾性ひずみ指標であり、これらが実施形態１で定義した試行弾性ひずみ指標ε^eiの一例である。

試行弾性ひずみのせん断成分が極大となり、かつそのせん断成分が最大となる面という面（α）の定義から、ε^(α) _S≧ε^(β) _S、かつε^(α) _S≧ε^(γ) _Sであるので、塑性変形がゼロではない場合は次の３つのケース、即ち（ケース１）ｄε^(α) _S＞０、ｄε^(β) _S＝０、ｄε^(γ) _S＝０、（ケース２）ｄε^(α) _S＝ｄε^(β) _S＞０、ｄε^(γ) _S＝０、（ケース３）ｄε^(α) _S＝ｄε^(γ) _S＞０、ｄε^(β) _S＝０、の場合に限定される。これらの場合について、塑性ひずみ増分テンソルの、主軸座標系ｘ_１－ｘ_２－ｘ_３における成分を特定する必要がある。この成分からなるベクトルをｄε^p≡［ｄε^p ₁₁，ｄε^p ₂₂，ｄε^p ₃₃，ｄε^p ₁₂，ｄε^p ₂₃，ｄε^p ₃₁］^Tと定義する。ここと、これ以降で、ベクトルまたは行列に対する上付きのＴは転置を表す。

（ケース１）の場合、数値解析の精度の範囲内でε¹＞ε²＞ε³という不等式を満たす必要がある。また、ｄε^(α) _S＞０、ｄε^(β) _S＝０、ｄε^(γ) _S＝０を満たすように荷重増分が十分小さい必要がある。塑性ひずみ増分テンソルの成分は、図４に示す座標系ｘ’_１－ｘ_２－ｘ’_３においてｄε^p _1’1’＝ｄε^p ₂₂＝ｄε^p _3’3’＝ｄε^p _1’2＝ｄε^p _23’＝０及びｄε^p _3’1’＝ｄε^(α) _Sという対称テンソル成分として規定される。（ケース１）の場合、テンソル量の座標変換則から次のベクトルが与えられる。
（ケース１）

試行弾性ひずみのせん断成分が極大となる面α、β、γは互いに直交していないため、塑性ひずみ増分テンソルのこれらの面における成分と、塑性ひずみ増分テンソルの主軸座標系における成分とは、テンソル量の座標変換則を通して関連しない。従って、（ケース２）及び（ケース３）については、塑性ひずみ増分テンソルのα、β、γにおける成分と主軸座標系における成分とを関連づける行列の特異値分解を導入し、塑性ひずみ増分テンソルの主軸座標系における成分を特定する。

（ケース２）では、塑性ひずみ増分テンソルの面αおよび面βにおける成分を用いて、以下のベクトルを構成する。
（ケース２）

塑性ひずみ増分テンソルの、主軸座標系における成分からなるベクトルｄε^pと、ｄε^p(αβ)は、４行６列の行列Ｍ^（αβ）を用いて、以下のように関連づけられる。

ここで、

である。Ｍ^（αβ）の特異値分解は、４行４列の行列Ｕ、４行６列の行列Ｗ、６行６列の行列Ｖ^{（αβ）Ｔ}を用いて、以下のように表される。

ここで、

である。式（６）のベクトルdε^P（αβ）は、式（１０）の４行４列の行列Ｕを構成するベクトルu^[I](I=1,2,3,4)を用いて、以下のように展開できる。

ここで得られた係数

と、式（１１）の係数

及び式（１２）のベクトル

を用いて、塑性ひずみ増分テンソルの主軸座標系における成分からなるベクトルｄε^pは、

と表される。式（１３）に、面αと面βに対する式（４Ｂ）と（ケース２）の条件のうちｄε^(α) _S＝ｄε^(β) _S＞０を代入すると、（ケース２）に対する係数

が得られる。これを式（１４）に代入すると、（ケース２）における塑性ひずみ増分テンソルの主軸座標系における成分からなるベクトルｄε^pが次のように特定される。
（ケース２）

（ケース３）では、塑性ひずみ増分テンソルの面αおよび面γにおける成分を用いて、以下のベクトルを構成する。

（ケース２）と同様、以下の式が成立する。

ここで、行列Ｕは式（１０）で、行列Ｗは式（１１）で、それぞれ与えられるものと同じであり、

である。式（１６）のベクトルdε^P（αγ）は、式（１０）の４行４列の行列Ｕを構成するベクトルu^[I](I=1,2,3,4)を用いて、以下のように展開できる。

ここで得られた係数

と、式（１１）の係数

及び式（１９）のベクトル

を用いて、塑性ひずみ増分テンソルの主軸座標系における成分からなるベクトルｄε^pは、

と表される。式（２０）に、面αと面γに対する式（４Ｂ）と（ケース３）の条件のうちｄε^(α) _S＝ｄε^(γ) _S＞０を代入すると、（ケース３）に対する係数

が得られる。これを式（２１）に代入すると、（ケース３）における塑性ひずみ増分テンソルの主軸座標系における成分からなるベクトルｄε^pが次のように特定される。
（ケース３）

式（５）、（１５）及び（２２）はそれぞれ、（ケース１）、（ケース２）及び（ケース３）におけるゼロではない塑性ひずみ増分テンソルの主軸座標系における成分を表す。以上のようにして、塑性ひずみ増分テンソルの値に応じて、主軸座標系における塑性ひずみ増分テンソルの成分を求めることができる。このようにして決定された塑性ひずみ増分テンソルの成分を用いて、弾塑性解析の初期値境界値問題を、例えば有限要素法などの適切な数値解析手法で計算して数値解析結果を得る。

上記の実施形態２では、弾性限界ひずみ指標ε^criの一例として、正の定数である弾性限界せん断ひずみε^crを用いた。しかし、弾性限界ひずみ指標ε^criの例はこれに限られない。例えば、正の定数と直ひずみに比例する項の和を用いた弾性限界ひずみε^crを弾性限界ひずみ指標ε^criとしてもよい。即ちε^cr＝ε^c-με^(α) _Nを弾性限界ひずみ指標ε^criとして用いてもよい。ここでε^cは正の定数、μは非ゼロの定数、ε^(α) _Nはμの値によってその方向を一意に決定される面（α）と直交する方向のひずみ成分である。また、相当ひずみの上限値を設定して、これを弾性限界ひずみ指標ε^criとして用いてもよい。

なお、弾性限界ひずみ指標ε^criとしてε^cr＝ε^c-με^(α) _Nを設定した場合は、面αは前述のせん断成分が極大となる面の１つである面からμの値によって一意に決定される方向へ少し傾いた面となり、このときの試行弾性ひずみ指標はε^(α) _S-με^(α) _Nとなる。

［実施形態３］
次に実施形態３として、弾塑性体の形状の変形が無視できない有限変形の場合について図面を参照して説明する。この場合の数値解析方法は、次の２つの方法をとることができる。

（１）試行弾性変形勾配テンソル法
動的あるいは静的平衡状態にある弾塑性体に、荷重増分を負荷し（図７のステップＳ３０）、塑性変形勾配テンソルは変えずに、荷重増分を負荷した後の擬似的平衡状態における全変形勾配テンソルを得る。この全変形勾配テンソルF^totalに、塑性変形勾配テンソルF^pの逆テンソル(F^p)^-1を適切に作用させたものを、試行弾性変形勾配テンソルF^eとする（ステップＳ３２）。即ち、
F^e＝(F^p)^-1〇F^total …式（２３）
である。ここで(F^p)^-1〇F^totalは、塑性ひずみ変形勾配テンソルF^pの逆テンソル(F^p)^-1を全変形勾配テンソルF^totalに適切に作用させる数学的処理を表す。次に、試行弾性変形勾配テンソルF^eに基づいて一意に定義される試行弾性変形勾配指標F^eiを決定する（ステップＳ３４）。試行弾性変形勾配指標F^eiはスカラー又はベクトルである。

弾塑性材料ごとの材料特性である弾性限界変形勾配に基づいて一意に定義される弾性限界変形勾配指標をF^criとする（ステップＳ３６）。弾性限界変形勾配指標F^criはスカラー又はベクトルである。弾性限界変形勾配指標F^criは定数であっても何らかの物理量の関数であってもよい。そして、試行弾性変形勾配指標F^eiを弾性限界変形勾配指標F^criで除して得られる値に基づいて、塑性変形勾配増分指標ｄF^piを決定する。例えば、試行弾性変形勾配指標F^eiを弾性限界変形勾配指標F^criで除して得られる値を塑性変形勾配増分指標ｄF^piとする（ステップＳ３８）。つまり、
F^ei/F^cri＝ｄF^pi …式（２４）
である。ただし、F^ei≦F^criである場合は、ｄF^pi＝０とする。即ち、
ｄF^pi＝F^ei/F^cri （F^ei＞F^cri） …式（２４Ａ）
ｄF^pi＝０ （F^ei≦F^cri） …式（２４Ｂ）
とする。式（２４Ａ）および式（２４Ｂ）の条件式の中の不等号は、指標がベクトル値である場合はベクトルに適切な数学的処理を施して得られるスカラー値に基づいて評価される。

この塑性変形勾配増分指標ｄF^piを用いて、塑性変形勾配増分テンソルの成分ｄF^ｐ _ijを決定する（ステップＳ４０）。ここで、ｄF^p _ijは、座標系ｘ_１－ｘ_２－ｘ_３を設定した場合に、ｉ面（ｘ_i軸に直交する面）のｘ_j軸方向への塑性変形勾配増分を表す。この場合、例えば実施形態２に示す方法で、指標を用いてテンソルの成分を決定することができる。決定された塑性変形勾配増分テンソルに対して、例えばグリーン（Green）の有限ひずみテンソルの定義あるいはアルマンシ（Almansi）の有限ひずみテンソルの定義など、ひずみの適切な定義を適用し、塑性ひずみ増分テンソルを決定する（ステップＳ４２）。そして、弾塑性体の全体における釣り合い誤差を計算する（ステップＳ４４）。次に、ステップＳ３０で与えた荷重増分に対する釣り合い誤差計算の結果が終了条件を満たすか否かを判定する（ステップＳ４６）。終了条件は、例えば弾塑性体の全体における釣り合いの誤差が予め定めた誤差の範囲内に到達した場合である。ステップＳ４６で終了条件を満たす場合（Ｓ４６：Ｙ）は、ステップＳ４８に進む。ステップＳ４６で終了条件を満たさない場合（Ｓ４６：Ｎ）は、ステップＳ３２に戻って新たに試行弾性変形勾配テンソルを与えて以降のステップを繰り返す。ステップＳ４８において、予め定めた荷重増分が終了した（荷重増分をすべて与えた）か否かを判定する。ステップＳ４８において、予め定めた荷重増分が終了していない場合（Ｓ４８：Ｎ）は、ステップＳ３０に戻って新たな荷重増分を与えて以降のステップを繰り返す。ステップＳ４８において、予め定めた荷重増分が終了した場合（Ｓ４８：Ｙ）は、数値解析を終了する。

（２）対数試行弾性変形勾配テンソル法
動的あるいは静的平衡状態にある弾塑性体に、荷重増分を負荷し（図８のステップＳ５０）、塑性変形勾配テンソルは変えずに、荷重増分を負荷した後の擬似的平衡状態における全変形勾配テンソルを得る。この全変形勾配テンソルF^totalの対数を取って得られる対数全変形勾配テンソルLnF^totalと、塑性変形勾配テンソルF^pの対数を取って得られる対数塑性変形勾配テンソルLnF^pとの差に基づいて、対数試行弾性変形勾配テンソルLnF^eを決定する。例えば、対数全変形勾配テンソルLnF^totalと対数塑性変形勾配テンソルLnF^pとの差を対数試行弾性変形勾配テンソルLnF^eとする（ステップＳ５２）。即ち、
LnF^e＝LnF^total－LnF^p …式（２５）
である。対数試行弾性変形勾配テンソルLnF^eに基づいて一意に定義される対数試行弾性変形勾配指標LnF^eiを決定する（ステップＳ５４）。対数試行弾性変形勾配指標LnF^eiはスカラー又はベクトルである。

弾塑性材料ごとの材料特性である弾性限界変形勾配に基づいて一意に定義される弾性限界変形勾配指標F^criの対数を取って得られる対数弾性限界変形勾配指標をLnF^criとする（ステップＳ５６）。対数弾性限界変形勾配指標LnF^criはスカラー又はベクトルである。対数弾性限界変形勾配指標LnF^criは定数であっても何らかの物理量の関数であってもよい。そして、対数試行弾性変形勾配指標LnF^eiから対数弾性限界変形勾配指標LnF^criを差し引いて得られる値を対数塑性変形勾配増分指標ｄLnF^piとする（ステップＳ５８）。つまり、
LnF^ei-LnF^cri＝ｄLnF^pi …式（２６）
である。ただし、LnF^ei≦LnF^criである場合は、ｄLnF^pi＝０とする。即ち、
ｄLnF^pi＝LnF^ei-LnF^cri （LnF^ei＞LnF^cri） …式（２６Ａ）
ｄLnF^pi＝０ （LnF^ei≦LnF^cri） …式（２６Ｂ）
とする。式（２６Ａ）および式（２６Ｂ）の条件式の中の不等号は、指標がベクトル値である場合はベクトルに適切な数学的処理を施して得られるスカラー値に基づいて評価される。

この対数塑性変形勾配増分指標ｄLnF^piを用いて、対数塑性変形勾配増分テンソルの成分ｄLnF^ｐ _ijを決定する（ステップＳ６０）。ここで、ｄLnF^p _ijは、座標系ｘ_１－ｘ_２－ｘ_３を設定した場合に、ｉ面（ｘ_i軸に直交する面）のｘ_j軸方向への対数塑性変形勾配増分を表す。この場合、例えば実施形態２に示す方法で、指標を用いてテンソルの成分を決定することができる。決定された対数塑性変形勾配増分テンソルに対して、例えばグリーン（Green）の有限ひずみテンソルの定義あるいはアルマンシ（Almansi）の有限ひずみテンソルの定義など、ひずみの適切な定義を適用し、対数塑性ひずみ増分テンソルを決定する（ステップＳ６２）。そして、弾塑性体の全体における釣り合い誤差を計算する（ステップＳ６４）。次に、ステップＳ５０で与えた荷重増分に対する釣り合い誤差計算の結果が終了条件を満たすか否かを判定する（ステップＳ６６）。終了条件は、例えば弾塑性体の全体における釣り合いの誤差が予め定めた誤差の範囲内に到達した場合である。ステップＳ６６で終了条件を満たす場合（Ｓ６６：Ｙ）は、ステップＳ６８に進む。ステップＳ６６で終了条件を満たさない場合（Ｓ６６：Ｎ）は、ステップＳ５２に戻って新たに対数試行弾性変形勾配テンソルを与えて以降のステップを繰り返す。ステップＳ６８において、予め定めた荷重増分が終了した（荷重増分をすべて与えた）か否かを判定する。ステップＳ６８において、予め定めた荷重増分が終了していない場合（Ｓ６８：Ｎ）は、ステップＳ５０に戻って新たな荷重増分を与えて以降のステップを繰り返す。ステップＳ６８において、予め定めた荷重増分が終了した場合（Ｓ６８：Ｙ）は、数値解析を終了する。

以上の各実施形態では、塑性ひずみ増分テンソルと応力テンソルを結びつける材料構成則の存在を必要とせず、その材料構成則を表現するための応力テンソルのスカラーポテンシャル関数の存在も必要としない。つまり、従来の弾塑性解析の方法で塑性ひずみ増分を求めるために必須とされてきた、応力テンソルのスカラーポテンシャル関数に基づく流れ則は不要である。また、上記の各実施形態では、従来の弾塑性解析の方法で降伏後の弾塑性変形挙動を解析するために必須とされてきた、降伏関数を移動させたり変形させたりする法則の設定も不要である。降伏後の応力－ひずみ関係と荷重履歴にかかわらず、弾性限界せん断ひずみ指標の設定を解析の途中で変更する必要はなく、変形の全履歴において変わらない。

以上の実施形態によれば、バウシンガー効果と、特定の方向の塑性変形履歴に対する弾塑性変形挙動の不変性と、を同時に再現できる、弾塑性解析方法及び弾塑性解析プログラムを提供することができる。また、構造材料を用いた構造体の強度評価、スプリングバック等の材料加工時の変形量等を、実験をする代わりに数値計算することで精度よく評価することができる。

次に、上記の方法を用いた弾塑性体（試験体）の荷重－変形挙動の数値計算結果について説明する。図９Ａに示すように、座標系ｘ_１－ｘ_２－ｘ_３に配置した一辺の長さa＝１００ｍｍの立方体の弾塑性体１０を考える。この弾塑性体１０の応力－ひずみ関係は下記式（２７）のように表される。

ここで、σ_ijは応力テンソル、ε_klは全ひずみテンソル、Ｃ_ijklは弾性テンソル、ε^p _klは塑性ひずみテンソル、Ｈ（０≦Ｈ＜１）は塑性ひずみ硬化係数である。また、数値計算に用いた弾塑性体１０の物性定数を下記の表１に示す。表１の物性定数は鋼材を想定して設定したものである。なお、式（２７）では、英語アルファベットの小文字下付きの添字に関しては総和規約を用いている。

まず、ステップ（１）として、図９Ｂの白抜きの矢印に示すように、弾塑性体１０の上面にｘ_２方向の外部せん断荷重Ｓ１を加え、弾性限界を超えて変形させる。上面の最大変位量δｕ_２は０．３７５ｍｍである。なお、図９Ｂから図９Ｄでは、理解を容易にするために変形前の弾塑性体１０の形状を細線で、変形後の弾塑性体１０の形状を太線で示している。次に、ステップ（２）として、図９Ｃの白抜きの矢印に示すように、上面に－ｘ_２方向の外部せん断荷重Ｓ２を加え、弾性限界を超えて変形させる。ステップ（２）での上面の元の位置からの変位量δｕ_２は－０．３７５ｍｍである。次に、ステップ（３）として、外部せん断荷重Ｓ２を除荷する。除荷は、図９Ｄに示すように、弾性せん断ひずみが全てなくなり、塑性せん断ひずみのみが残るレベルまで行う。

次に、ステップ（３）の状態から、弾塑性体１０に対し、図１０Ａに示すように、ｘ_３方向に弾性限界を超えて１軸引張荷重Ｅを加える。続いて、図１０Ｂに示すように、－ｘ_３方向に弾性限界を超えて圧縮荷重Ｃを加える。以上をステップ（４）とする。弾塑性体１０の上面の最大変位振幅δｕ_３は、引張時、圧縮時とも０．３ｍｍである。ステップ（４）における荷重の負荷方向は、ステップ（１）及びステップ（２）における荷重の負荷方向に対して垂直の方向である。

以上のステップ（１）からステップ（４）までの数値計算の結果を図１１及び図１２に示す。図１１において、ステップ（１）の計算値を白抜きの四角形で示し、ステップ（２）の計算値を白抜きの丸印で示し、ステップ（３）の計算値を黒抜きの三角形で示している。図１１の縦軸はｘ_２方向のせん断荷重を、横軸はｘ_２方向の変位量を示す。図１１に示すように、ステップ（１）でｘ_２方向のせん断力をかけると、Ｙ１の点で弾性限界に到達する。Ｙ１における荷重は１．０×１０^６（Ｎ）である。また、ステップ（２）において、－ｘ_２方向のせん断力を加えていくと、Ｙ２の点で弾性限界に到達する。Ｙ２の荷重は－０．８×１０^６（Ｎ）である。つまり、バウシンガー効果を再現できている。

図１２において、ステップ（４）の引張時及び圧縮時の計算結果を白抜きの四角形で示している。また、せん断荷重を加えないで引張（圧縮）荷重を加えた場合、つまり上述のステップ（１）からステップ（３）の工程を経ないで引張（圧縮）荷重のみを加えた場合の計算値を白抜きの丸印で示している。図１２の縦軸はｘ_３方向の引張（圧縮）荷重を、横軸はｘ_３方向の変位量を示す。

図１２に示すように、ステップ（４）の引張時の弾性限界Ｙ３の荷重は２．０×１０^６（Ｎ）であり、圧縮時の弾性限界Ｙ４の荷重は１．６×１０^６（Ｎ）である。つまり、バウシンガー効果を再現できている。さらに、ステップ（４）の引張（圧縮）荷重による荷重－変位履歴、即ちせん断荷重による塑性変形を生じた後の引張（圧縮）荷重による荷重－変位履歴は、せん断荷重を加えないで引張（圧縮）荷重を加えた場合の荷重－変位履歴と同じであった。つまり、特定の方向の塑性変形履歴に対する弾塑性変形挙動の不変性、この解析例ではｘ_２方向の塑性せん断変形に対するｘ_３方向の引張（圧縮）の弾塑性変形挙動の不変性、を正確に再現できている。

従来の評価方法では、ステップ（１）からステップ（４）で用いる評価式と、せん断荷重を加えないで引張（圧縮）荷重を加えた場合の評価式とで、異なる評価式を使用せざるを得なかった。しかし本実施例においては、同じ評価式を用いることができ、バウシンガー効果と、特定の方向の塑性変形履歴に対する弾塑性変形挙動の不変性とを同時に再現することができた。

上記の数値計算においては、計算結果と実験結果を合わせるための人為的な規則、パラメータ、又は仮説は一切用いていない。また、弾性限界せん断ひずみε^crは、変形履歴の全体にわたって変えていない。にもかかわらず、計算結果はバウシンガー効果及び特定の方向の塑性変形履歴に対する弾塑性変形挙動の不変性の両方を正確に再現できている。これは従来技術の流れ則と降伏関数を用いる数値計算方法ではなしえなかったことである。また、これは計算式に用いた本発明の弾塑性解析方法が誤っていないということの証明でもある。

以上の実施形態及び実施例に例示した弾塑性解析方法は、弾塑性解析プログラムとして構成することができ、金属等の構造材料の弾塑性解析に利用することができる。また本発明は、その弾塑性解析プログラムを記憶した記憶媒体、又は内蔵した弾塑性解析プログラムに従って計算を行う弾塑性解析装置（システム）として構成することができる。

なお、本発明は、以下の趣旨を含む。

［趣旨１］
弾塑性解析方法は、境界値問題を数値的に解く数値解析手法を用いて行う弾塑性体の弾塑性解析方法であって、動的又は静的平衡状態にある弾塑性体に塑性ひずみテンソルは変えずに荷重増分を負荷後の擬似的平衡状態における全ひずみテンソルから前記塑性ひずみテンソルを差し引いて得られる試行弾性ひずみテンソルを求めるステップと、前記試行弾性ひずみテンソルに基づいて試行弾性ひずみ指標を決定するステップと、前記弾塑性体の材料特性に基づいて決定される弾性限界ひずみ指標を、前記試行弾性ひずみ指標から差し引いて得られる値に基づいて、前記荷重増分に対応する塑性ひずみ増分指標を決定するステップと、前記塑性ひずみ増分指標に基づいて塑性ひずみ増分テンソルを決定するステップと、を含む。これにより、バウシンガー効果と、特定の方向の塑性変形履歴に対する弾塑性変形挙動の不変性と、を同時に再現することができる。

［趣旨２］
前記試行弾性ひずみ指標から前記弾性限界ひずみ指標を差し引いて得られる値を、前記荷重増分に対応する前記塑性ひずみ増分指標として決定し、前記試行弾性ひずみ指標が前記弾性限界ひずみ指標以下である場合は、前記塑性ひずみ増分指標をゼロとすることを趣旨とする。

［趣旨３］
弾塑性解析方法は、境界値問題を数値的に解く数値解析手法を用いて行う弾塑性体の弾塑性解析方法であって、動的又は静的平衡状態にある弾塑性体に塑性変形勾配テンソルは変えずに荷重増分を負荷後の擬似的平衡状態における全変形勾配テンソルに、前記塑性変形勾配テンソルの逆テンソルを作用させる数学的処理をほどこして試行弾性変形勾配テンソルを求めるステップと、前記試行弾性変形勾配テンソルに基づいて試行弾性変形勾配指標を決定するステップと、前記試行弾性変形勾配指標と、前記弾塑性体の材料特性に基づいて決定される弾性限界変形勾配指標との比に基づいて、前記荷重増分に対応する塑性変形勾配増分指標を決定するステップと、前記塑性変形勾配増分指標に基づいて塑性変形勾配増分テンソルを決定するステップと、決定された前記塑性変形勾配増分テンソルを用いて塑性ひずみ増分テンソルを決定するステップと、を含む。

［趣旨４］
前記試行弾性変形勾配指標と前記弾性限界変形勾配指標との比を前記荷重増分に対応する前記塑性変形勾配増分指標とし、前記比が１以下である場合は、前記塑性変形勾配増分指標をゼロとすることを趣旨とする。

［趣旨５］
弾塑性解析方法は、境界値問題を数値的に解く数値解析手法を用いて行う弾塑性体の弾塑性解析方法であって、動的又は静的平衡状態にある弾塑性体に塑性変形勾配テンソルは変えずに荷重増分を負荷後の擬似的平衡状態における対数全変形勾配テンソルから対数塑性変形勾配テンソルを差し引いて得られる対数試行弾性変形勾配テンソルを求めるステップと、前記対数試行弾性変形勾配テンソルに基づいて対数試行弾性変形勾配指標を決定するステップと、前記対数試行弾性変形勾配指標から、前記弾塑性体の材料特性に基づいて決定される弾性限界変形勾配指標の対数を取って得られる対数弾性限界変形勾配指標を差し引いて得られる値に基づいて、前記荷重増分に対応する対数塑性変形勾配増分指標を決定するステップと、前記対数塑性変形勾配増分指標に基づいて対数塑性変形勾配増分テンソルを決定するステップと、決定された前記対数塑性変形勾配増分テンソルを用いて対数塑性ひずみ増分テンソルを決定するステップと、を含む。

［趣旨６］
前記対数試行弾性変形勾配指標から前記対数弾性限界変形勾配指標を差し引いて得られる値を前記荷重増分に対応する前記対数塑性変形勾配増分指標とし、前記対数試行弾性変形勾配指標が前記対数弾性限界変形勾配指標以下である場合は、前記対数塑性変形勾配増分指標をゼロとすることを趣旨とする。

［趣旨７］
弾塑性解析プログラムは、境界値問題を数値的に解く数値解析手法を用いて行う弾塑性体の弾塑性解析プログラムであって、コンピュータに、動的又は静的平衡状態にある弾塑性体に塑性ひずみテンソルは変えずに荷重増分を負荷後の擬似的平衡状態における全ひずみテンソルから前記塑性ひずみテンソルを差し引いて得られる試行弾性ひずみテンソルを求める手順と、前記試行弾性ひずみテンソルに基づいて試行弾性ひずみ指標を決定する手順と、前記弾塑性体の材料特性に基づいて決定される弾性限界ひずみ指標を、前記試行弾性ひずみ指標から差し引いて得られる値に基づいて、前記荷重増分に対応する塑性ひずみ増分指標として決定する手順と、前記塑性ひずみ増分指標に基づいて塑性ひずみ増分テンソルを決定する手順と、を含む手順を実行させるための弾塑性解析プログラムである。

［趣旨８］
弾塑性解析プログラムは、境界値問題を数値的に解く数値解析手法を用いて行う弾塑性体の弾塑性解析プログラムであって、コンピュータに、動的又は静的平衡状態にある弾塑性体に塑性変形勾配テンソルは変えずに荷重増分を負荷後の擬似的平衡状態における全変形勾配テンソルに、前記塑性変形勾配テンソルの逆テンソルを作用させる数学的処理をほどこして試行弾性変形勾配テンソルを求める手順と、前記試行弾性変形勾配テンソルに基づいて試行弾性変形勾配指標を決定する手順と、前記試行弾性変形勾配指標と、前記弾塑性体の材料特性に基づいて決定される弾性限界変形勾配指標との比に基づいて、前記荷重増分に対応する塑性変形勾配増分指標を決定する手順と、前記塑性変形勾配増分指標に基づいて塑性変形勾配増分テンソルを決定する手順と、決定された前記塑性変形勾配増分テンソルを用いて塑性ひずみ増分テンソルを決定する手順と、を含む手順を実行させるための弾塑性解析プログラムである。

［趣旨９］
弾塑性解析プログラムは、境界値問題を数値的に解く数値解析手法を用いて行う弾塑性体の弾塑性解析プログラムであって、コンピュータに、動的又は静的平衡状態にある弾塑性体に塑性変形勾配テンソルは変えずに荷重増分を負荷後の擬似的平衡状態における対数全変形勾配テンソルから対数塑性変形勾配テンソルを差し引いて得られる対数試行弾性変形勾配テンソルを求める手順と、前記対数試行弾性変形勾配テンソルに基づいて対数試行弾性変形勾配指標を決定する手順と、前記対数試行弾性変形勾配指標から、前記弾塑性体の材料特性に基づいて決定される弾性限界変形勾配指標の対数を取って得られる対数弾性限界変形勾配指標を差し引いて得られる値に基づいて、前記荷重増分に対応する対数塑性変形勾配増分指標を決定する手順と、前記対数塑性変形勾配増分指標に基づいて対数塑性変形勾配増分テンソルを決定する手順と、決定された前記対数塑性変形勾配増分テンソルを用いて対数塑性ひずみ増分テンソルを決定する手順と、を含む手順を実行させるための弾塑性解析プログラムである。

［趣旨１０］
弾塑性解析システムは、境界値問題を数値的に解く数値解析手法を用いて行う弾塑性体の弾塑性解析システムであって、動的又は静的平衡状態にある弾塑性体に塑性ひずみテンソルは変えずに荷重増分を負荷後の擬似的平衡状態における全ひずみテンソルから前記塑性ひずみテンソルを差し引いて得られる試行弾性ひずみテンソルを求める試行弾性ひずみテンソル取得部と、前記試行弾性ひずみテンソルに基づいて試行弾性ひずみ指標を決定する試行弾性ひずみ指標決定部と、前記弾塑性体の材料特性に基づいて決定される弾性限界ひずみ指標を、前記試行弾性ひずみ指標から差し引いて得られる値に基づいて、前記荷重増分に対応する塑性ひずみ増分指標を決定する塑性ひずみ増分指標決定部と、前記塑性ひずみ増分指標に基づいて塑性ひずみ増分テンソルを決定する塑性ひずみ増分テンソル決定部と、を含む弾塑性解析システムである。

［趣旨１１］
弾塑性解析システムは、境界値問題を数値的に解く数値解析手法を用いて行う弾塑性体の弾塑性解析システムであって、動的又は静的平衡状態にある弾塑性体に塑性変形勾配テンソルは変えずに荷重増分を負荷後の擬似的平衡状態における全変形勾配テンソルに、前記塑性変形勾配テンソルの逆テンソルを作用させる数学的処理をほどこして試行弾性変形勾配テンソルを求める試行弾性変形勾配テンソル取得部と、前記試行弾性変形勾配テンソルに基づいて試行弾性変形勾配指標を決定する試行弾性変形勾配指標決定部と、前記試行弾性変形勾配指標と、前記弾塑性体の材料特性に基づいて決定される弾性限界変形勾配指標との比に基づいて、前記荷重増分に対応する塑性変形勾配増分指標を決定する塑性変形勾配増分指標決定部と、前記塑性変形勾配増分指標に基づいて塑性変形勾配増分テンソルを決定する塑性変形勾配増分テンソル決定部と、決定された前記塑性変形勾配増分テンソルを用いて塑性ひずみ増分テンソルを決定する塑性ひずみ増分テンソル決定部と、を含む弾塑性解析システムである。

［趣旨１２］
弾塑性解析システムは、境界値問題を数値的に解く数値解析手法を用いて行う弾塑性体の弾塑性解析システムであって、動的又は静的平衡状態にある弾塑性体に塑性変形勾配テンソルは変えずに荷重増分を負荷後の擬似的平衡状態における対数全変形勾配テンソルから対数塑性変形勾配テンソルを差し引いて得られる対数試行弾性変形勾配テンソルを求める対数試行弾性変形勾配テンソル取得部と、前記対数試行弾性変形勾配テンソルに基づいて対数試行弾性変形勾配指標を決定する対数試行弾性変形勾配指標決定部と、前記対数試行弾性変形勾配指標から、前記弾塑性体の材料特性に基づいて決定される弾性限界変形勾配指標の対数を取って得られる対数弾性限界変形勾配指標を差し引いて得られる値に基づいて、前記荷重増分に対応する対数塑性変形勾配増分指標を決定する対数塑性変形勾配増分指標決定部と、前記対数塑性変形勾配増分指標に基づいて対数塑性変形勾配増分テンソルを決定する対数塑性変形勾配増分テンソル決定部と、決定された前記対数塑性変形勾配増分テンソルを用いて対数塑性ひずみ増分テンソルを決定する対数塑性ひずみ増分テンソル決定部と、を含む弾塑性解析システムである。

［趣旨１３］
記憶媒体は、境界値問題を数値的に解く数値解析手法を用いて行う弾塑性体の弾塑性解析プログラムであって、コンピュータに、動的又は静的平衡状態にある弾塑性体に塑性ひずみテンソルは変えずに荷重増分を負荷後の擬似的平衡状態における全ひずみテンソルから前記塑性ひずみテンソルを差し引いて得られる試行弾性ひずみテンソルを求める手順と、前記試行弾性ひずみテンソルに基づいて試行弾性ひずみ指標を決定する手順と、前記弾塑性体の材料特性に基づいて決定される弾性限界ひずみ指標を、前記試行弾性ひずみ指標から差し引いて得られる値に基づいて、前記荷重増分に対応する塑性ひずみ増分指標として決定する手順と、前記塑性ひずみ増分指標に基づいて塑性ひずみ増分テンソルを決定する手順と、を含む手順を実行させるための弾塑性解析プログラムを記憶させた、コンピュータ読み取り可能な記憶媒体である。

［趣旨１４］
記憶媒体は、境界値問題を数値的に解く数値解析手法を用いて行う弾塑性体の弾塑性解析プログラムであって、コンピュータに、動的又は静的平衡状態にある弾塑性体に塑性変形勾配テンソルは変えずに荷重増分を負荷後の擬似的平衡状態における全変形勾配テンソルに、前記塑性変形勾配テンソルの逆テンソルを作用させる数学的処理をほどこして試行弾性変形勾配テンソルを求める手順と、前記試行弾性変形勾配テンソルに基づいて試行弾性変形勾配指標を決定する手順と、前記試行弾性変形勾配指標と、前記弾塑性体の材料特性に基づいて決定される弾性限界変形勾配指標との比に基づいて、前記荷重増分に対応する塑性変形勾配増分指標を決定する手順と、前記塑性変形勾配増分指標に基づいて塑性変形勾配増分テンソルを決定する手順と、決定された前記塑性変形勾配増分テンソルを用いて塑性ひずみ増分テンソルを決定する手順と、を含む手順を実行させるための弾塑性解析プログラムを記憶させた、コンピュータ読み取り可能な記憶媒体である。

［趣旨１５］
記憶媒体は、境界値問題を数値的に解く数値解析手法を用いて行う弾塑性体の弾塑性解析プログラムであって、コンピュータに、動的又は静的平衡状態にある弾塑性体に塑性変形勾配テンソルは変えずに荷重増分を負荷後の擬似的平衡状態における対数全変形勾配テンソルから対数塑性変形勾配テンソルを差し引いて得られる対数試行弾性変形勾配テンソルを求める手順と、前記対数試行弾性変形勾配テンソルに基づいて対数試行弾性変形勾配指標を決定する手順と、前記対数試行弾性変形勾配指標から、前記弾塑性体の材料特性に基づいて決定される弾性限界変形勾配指標の対数を取って得られる対数弾性限界変形勾配指標を差し引いて得られる値に基づいて、前記荷重増分に対応する対数塑性変形勾配増分指標を決定する手順と、前記対数塑性変形勾配増分指標に基づいて対数塑性変形勾配増分テンソルを決定する手順と、決定された前記対数塑性変形勾配増分テンソルを用いて対数塑性ひずみ増分テンソルを決定する手順と、を含む手順を実行させるための弾塑性解析プログラムを記憶させた、コンピュータ読み取り可能な記憶媒体である。

１０：弾塑性体
Ｓ１，Ｓ２：外部せん断荷重
Ｅ：引張荷重
Ｃ：圧縮荷重

Claims (9)

1. 境界値問題を数値的に解く数値解析手法を用いて行う弾塑性体の弾塑性解析方法であって、
   コンピュータに、
   動的又は静的平衡状態にある弾塑性体に塑性ひずみテンソルは変えずに荷重増分を負荷後の擬似的平衡状態における全ひずみテンソルから前記塑性ひずみテンソルを差し引いて得られる試行弾性ひずみテンソルを求めるステップと、
   前記試行弾性ひずみテンソルに基づいて試行弾性ひずみ指標を決定するステップと、
   前記弾塑性体の材料特性に基づいて決定される弾性限界ひずみ指標を、前記試行弾性ひずみ指標から差し引いて得られる値に基づいて、前記荷重増分に対応する塑性ひずみ増分指標を決定するステップと、
   前記塑性ひずみ増分指標に基づいて塑性ひずみ増分テンソルを決定するステップと、
   を含むプロセスを実行させる弾塑性解析方法。
2. 前記コンピュータに、
   前記試行弾性ひずみ指標から前記弾性限界ひずみ指標を差し引いて得られる値を、前記荷重増分に対応する前記塑性ひずみ増分指標として決定し、前記試行弾性ひずみ指標が前記弾性限界ひずみ指標以下である場合は、前記塑性ひずみ増分指標をゼロとするプロセスを実行させる、請求項１に記載の弾塑性解析方法。
3. 境界値問題を数値的に解く数値解析手法を用いて行う弾塑性体の弾塑性解析方法であって、
   コンピュータに、
   動的又は静的平衡状態にある弾塑性体に塑性変形勾配テンソルは変えずに荷重増分を負荷後の擬似的平衡状態における全変形勾配テンソルに、前記塑性変形勾配テンソルの逆テンソルを作用させる数学的処理をほどこして試行弾性変形勾配テンソルを求めるステップと、
   前記試行弾性変形勾配テンソルに基づいて試行弾性変形勾配指標を決定するステップと、
   前記試行弾性変形勾配指標と、前記弾塑性体の材料特性に基づいて決定される弾性限界変形勾配指標との比に基づいて、前記荷重増分に対応する塑性変形勾配増分指標を決定するステップと、
   前記塑性変形勾配増分指標に基づいて塑性変形勾配増分テンソルを決定するステップと、
   決定された前記塑性変形勾配増分テンソルを用いて塑性ひずみ増分テンソルを決定するステップと、
   を含むプロセスを実行させる弾塑性解析方法。
4. 前記コンピュータに、
   前記試行弾性変形勾配指標と前記弾性限界変形勾配指標との比を前記荷重増分に対応する前記塑性変形勾配増分指標とし、前記比が１以下である場合は、前記塑性変形勾配増分指標をゼロとするプロセスを実行させる、請求項３に記載の弾塑性解析方法。
5. 境界値問題を数値的に解く数値解析手法を用いて行う弾塑性体の弾塑性解析方法であって、
   コンピュータに、
   動的又は静的平衡状態にある弾塑性体に塑性変形勾配テンソルは変えずに荷重増分を負荷後の擬似的平衡状態における対数全変形勾配テンソルから対数塑性変形勾配テンソルを差し引いて得られる対数試行弾性変形勾配テンソルを求めるステップと、
   前記対数試行弾性変形勾配テンソルに基づいて対数試行弾性変形勾配指標を決定するステップと、
   前記対数試行弾性変形勾配指標から、前記弾塑性体の材料特性に基づいて決定される弾性限界変形勾配指標の対数を取って得られる対数弾性限界変形勾配指標を差し引いて得られる値に基づいて、前記荷重増分に対応する対数塑性変形勾配増分指標を決定するステップと、
   前記対数塑性変形勾配増分指標に基づいて対数塑性変形勾配増分テンソルを決定するステップと、
   決定された前記対数塑性変形勾配増分テンソルを用いて対数塑性ひずみ増分テンソルを決定するステップと、
   を含むプロセスを実行させる弾塑性解析方法。
6. コンピュータに、
   前記対数試行弾性変形勾配指標から前記対数弾性限界変形勾配指標を差し引いて得られる値を前記荷重増分に対応する前記対数塑性変形勾配増分指標とし、前記対数試行弾性変形勾配指標が前記対数弾性限界変形勾配指標以下である場合は、前記対数塑性変形勾配増分指標をゼロとするプロセスを実行させる、請求項５に記載の弾塑性解析方法。
7. 境界値問題を数値的に解く数値解析手法を用いて行う弾塑性体の弾塑性解析プログラムであって、
   コンピュータに、
   動的又は静的平衡状態にある弾塑性体に塑性ひずみテンソルは変えずに荷重増分を負荷後の擬似的平衡状態における全ひずみテンソルから前記塑性ひずみテンソルを差し引いて得られる試行弾性ひずみテンソルを求める手順と、
   前記試行弾性ひずみテンソルに基づいて試行弾性ひずみ指標を決定する手順と、
   前記弾塑性体の材料特性に基づいて決定される弾性限界ひずみ指標を、前記試行弾性ひずみ指標から差し引いて得られる値に基づいて、前記荷重増分に対応する塑性ひずみ増分指標として決定する手順と、
   前記塑性ひずみ増分指標に基づいて塑性ひずみ増分テンソルを決定する手順と、
   を含む手順を実行させるための弾塑性解析プログラム。
8. 境界値問題を数値的に解く数値解析手法を用いて行う弾塑性体の弾塑性解析プログラムであって、
   コンピュータに、
   動的又は静的平衡状態にある弾塑性体に塑性変形勾配テンソルは変えずに荷重増分を負荷後の擬似的平衡状態における全変形勾配テンソルに、前記塑性変形勾配テンソルの逆テンソルを作用させる数学的処理をほどこして試行弾性変形勾配テンソルを求める手順と、
   前記試行弾性変形勾配テンソルに基づいて試行弾性変形勾配指標を決定する手順と、
   前記試行弾性変形勾配指標と、前記弾塑性体の材料特性に基づいて決定される弾性限界変形勾配指標との比に基づいて、前記荷重増分に対応する塑性変形勾配増分指標を決定する手順と、
   前記塑性変形勾配増分指標に基づいて塑性変形勾配増分テンソルを決定する手順と、
   決定された前記塑性変形勾配増分テンソルを用いて塑性ひずみ増分テンソルを決定する手順と、
   を含む手順を実行させるための弾塑性解析プログラム。
9. 境界値問題を数値的に解く数値解析手法を用いて行う弾塑性体の弾塑性解析プログラムであって、
   コンピュータに、
   動的又は静的平衡状態にある弾塑性体に塑性変形勾配テンソルは変えずに荷重増分を負荷後の擬似的平衡状態における対数全変形勾配テンソルから対数塑性変形勾配テンソルを差し引いて得られる対数試行弾性変形勾配テンソルを求める手順と、
   前記対数試行弾性変形勾配テンソルに基づいて対数試行弾性変形勾配指標を決定する手順と、
   前記対数試行弾性変形勾配指標から、前記弾塑性体の材料特性に基づいて決定される弾性限界変形勾配指標の対数を取って得られる対数弾性限界変形勾配指標を差し引いて得られる値に基づいて、前記荷重増分に対応する対数塑性変形勾配増分指標を決定する手順と、
   前記対数塑性変形勾配増分指標に基づいて対数塑性変形勾配増分テンソルを決定する手順と、
   決定された前記対数塑性変形勾配増分テンソルを用いて対数塑性ひずみ増分テンソルを決定する手順と、
   を含む手順を実行させるための弾塑性解析プログラム。

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