JP6543639B2 - サンプルにおける等方性拡散及び／又は異方性拡散を定量化するための方法 - Google Patents

Description

本発明概念は、サンプルにおける等方性拡散及び／又は異方性拡散を定量化するための方法に関する。

リオトロピック液晶［１］から脳組織［２］まで、広範囲にわたる多孔性材料は、メゾスコピック長さスケールで様々なサイズ、形状、及び整列度を有する異方性細孔を含む。この材料の完全な特徴付けは、これらの全てのパラメータを推定する必要があるが、残念なことに、２つの磁場勾配パルスを伴うＳｔｅｊｓｋａｌ−Ｔａｎｎｅｒシーケンス［３］に基づく従来の拡散ＭＲＩ法を使用するときに、検出されるＭＲＩ（磁気共鳴撮像）信号に対する該パラメータの影響は、どうしようもなく複雑である。このシーケンスは、以下において、単一磁場勾配パルス（ｓＰＦＧ）シーケンス又は実験と称され得る。

拡散ＭＲＩ（ｄＭＲＩ）において、画像の各ボクセル（典型的には、ミリメートルサイズのものであり得る）は、水のマイクロメートルスケールの並進変位に関する情報を含む［１５］。ｓＰＦＧは、拡散テンソル撮像（ＤＴＩ）法において使用され、平均拡散（ＭＤ、見かけの拡散係数（ＡＤＣ）でもある）、及び拡散異方性（異方性度（ＦＡ））の定量化を可能にする。ｓＰＦＧに基づくＤＴＩ測定値は、細胞構造の変化に非常に敏感であるが、ｓＰＦＧは、一般に、高度に組織化された白質束においてだけ、ロバストな推定を提供する。低秩序の組織では、ＤＴＩ法は、その変化の性質への洞察を殆ど提供せず、一般によくある誤解につながる場合がある。例えば、ＦＡの変化は、白質の整合性を表すと考えられるが、多くの要因（細胞死、浮腫、神経膠症、炎症、髄鞘形成の変化、交差繊維の接続性の増加、細胞外液又は細胞内液の増加など）がＦＡの変化を引き起こし得る。ＦＡ及びＭＤなどの測定値の限られた特異性は、神経病理学又は局所的な解剖学的変化に測定を関連付ける能力を妨げる［２４、２５、２６、２７］。ｓＰＦＧとは対照的に、非従来的なｄＭＲＩシーケンスは、ボクセル内の細胞の形状、サイズ、及び膜特性の分布に関する情報を提供することによって、マクロレベル及びミクロレベルのスケール間の橋渡しを始めることができる。

化学シフトと拡散異方性テンソルとの間の形式的類似性を基にして、「マジック角回転」などの固体ＮＭＲ（核磁気共鳴）技法を拡散ＭＲＩに適用できることが示された［４］。最も簡単な形態において、ｑベクトルのマジック角回転は、異方性の混乱的な影響を受けない、等方性拡散率の分布の推定を可能にする。

特許文献１は、エコー信号に対する異方性の寄与が、例えばマジック角回転を用いることによって最小になるように、脱位相ベクトルｑ（ｔ）の連続変調又は離散変調によって、拡散強調エコー信号減衰の等方性拡散強調をどのように達成することができるのかを開示している。特許文献２は、２つの異なる勾配変調スキームによって得られるエコー減衰曲線の分析によって、顕微鏡的拡散異方性及び／又は平均拡散率を定量化するための方法を開示しており、一方の勾配変調スキームが等方性拡散強調に基づくものであり、もう一方の勾配変調スキームが異方性拡散強調に基づくものである。特許文献２は、例えば単一パルス勾配スピンエコー（ＰＧＳＥ）を使用して、異方性拡散強調を達成することができることを開示している。

国際公開第２０１３／１６５３１２号 国際公開第２０１３／１６５３１３号

これらの従来の方法は、とりわけ、顕微鏡的異方性度のエコー信号減衰及び定量化に対する等方性及び異方性の寄与の分離を可能にするが、いくつかの場合において、拡散強調を引き起こすために使用される勾配変調スキームに関してより大きい自由度を有するが、それでも、例えば拡散分光法を使用した組織の特徴付けの目的で、顕微鏡的拡散異方性及び／又は平均拡散率などの、微細構造特性を分析し、定量化することができることが望ましい。例えば、等方性拡散符号化は、いくつかの場合において、より古く安価な設備で満たすことが困難であるスルーレート及び最大強度に関して、高い要件をハードウェアに課す場合がある。

本発明概念の目的は、等方性拡散符号化を引き起こす拡散符号化磁場勾配パルスシーケンスの使用を必要としない、サンプルにおける等方性拡散及び／又は異方性拡散を定量化するための方法を提供することである。更なる目的は、本発明概念の以下の要約から理解することができる。

本発明概念の一態様によれば、サンプルにおける等方性拡散及び／又は異方性拡散を定量化するための方法が提供され、本方法は、
拡散符号化磁場勾配パルスシーケンスＧ_ｉ＝_{１、・・・、ｍ}を使用して、サンプルに対して拡散強調磁気共鳴測定を行うことを含み、各磁場勾配パルスシーケンスＧ_ｉは、磁場勾配パルスシーケンスＧ_ｉの拡散符合化テンソルｂ_ｉが１〜３つの非ゼロ固有値を有するように生成され、式中、

であり、ｑ_ｉ（ｔ）は、

に比例し、τは、エコー時間である。

本方法は、試料に関する該測定から得られる磁気共鳴エコー信号を表すデータを収集することを更に含み、エコー信号を表す該データの少なくともサブセットは、異方性拡散強調を引き起こす一組の磁場勾配パルスシーケンスで取得され、該一組の磁場勾配パルスシーケンスの各勾配パルスシーケンスの拡散符号化テンソルは、３つの非ゼロ固有値を有し、これらの３つの固有値のうちの少なくとも１つが、他の固有値とは異なる。本方法は、該データを使用して、等方性拡散の程度及び／又は異方性拡散の程度を算出することを更に含む。

本発明の方法は、とりわけ、拡散符号化テンソルが３つの非ゼロ固有値を有し、そのうちの少なくとも１つが他とは異なるように、磁場勾配パルスシーケンス（又は短く「パルスシーケンス」）を使用して拡散符号化を行い、エコー信号に対するサンプル材料における拡散異方性の影響を制御することを可能にする、異方性拡散強調を引き起こす、という洞察に基づく。下で更に詳細に説明されるように、これは、顕微鏡的拡散特性（等方性拡散及び異方性拡散など）の、特に、磁気共鳴測定の空間分解能よりも小さいサンプル内の顕微鏡的区画の顕微鏡的拡散特性の、正確な特徴付けを可能にする。更に、従来技術（全てが等しい３つの非ゼロ固有値を有する拡散強調テンソルによって達成することができる）にあるような等方性拡散強調の使用に依存しない状態で、そのような特徴付けが可能である。これは、より広い範囲の設備に対して正確な拡散の測定を行うことを可能にすることができる。

本発明の方法によれば、各磁場勾配パルスシーケンスＧ_ｉは、磁場勾配パルスシーケンスＧ_ｉの拡散符合化テンソルｂ_ｉが１〜３つの非ゼロ固有値を有するように生成される。換言すれば、各磁場勾配パルスシーケンスＧ_ｉは、１〜３つの非ゼロ固有値を有するパルスシーケンスＧ_ｉの拡散符号化テンソル表現ｂ_ｉが存在するように生成される。同様に、上で述べられる、異方性拡散強調を引き起こす一組の磁場勾配パルスシーケンスの各磁場勾配パルスシーケンスについて、３つの非ゼロ固有値を有し、そのうちの少なくとも１つが他の２つの固有値とは異なる、拡散符号化テンソル表現が存在する。異方性拡散強調を引き起こす一組の磁場勾配パルスシーケンスは、拡散符号化磁場勾配パルスシーケンスＧ_{ｉ＝１、・・・、ｍ}の少なくともサブセットを形成することができる。異方性拡散強調を引き起こす該勾配パルスシーケンスの各々の拡散符号化テンソルの少なくとも１つの固有値は、好都合に、他の２つの固有値のいずれかと少なくとも５％、更に好ましくは少なくとも１０％異なり得る。これは、サンプルにおける十分な程度の異方性拡散強調を確実にし、以降の算出を容易にし、また、ハードウェアの要件を低減させることができる。

該データのサブセットは、サンプルの同じ部分から取得されるエコー信号を表すことができ、該部分は、異なる程度の等方性拡散、又は異なる程度及び／若しくは配向の異方性拡散を表す、複数の部分容積を含み、等方性拡散の程度及び／又は異方性拡散の程度の算出は、該部分容積のうちの少なくとも１つについて、等方性拡散の程度の推定値及び／又は異方性拡散の程度の推定値を算出することを含むことができる。

特に、該一部分は、拡散強調磁気共鳴測定の空間分解能に合致する空間拡張を有することができる。したがって、部分容積の各１つは、空間分解能未満である拡張を有することができる。そのような部分容積は、以下において、「顕微鏡的部分容積」と称され得る。したがって、上記において、及び以下において、該データを使用して算出される等方性拡散の程度及び／又は異方性拡散の程度は、サンプルのサブ分解能又は「顕微鏡的」部分容積の等方性拡散の程度及び／又は異方性拡散の程度と称され得る。

各部分容積の拡散は、拡散テンソル表現Ｄを有することができる。換言すれば、各部分容積は、それぞれの拡散テンソルＤによって定義可能である拡散を有することができる。したがって、一部分内は、拡散テンソルＤの分布（例えば、ガウス分布）によって表すことができる。

好ましくは、サンプルに対して複数の拡散強調磁気共鳴測定を行うことができる。少なくとも２つの、好ましくは複数の拡散符号化磁場勾配パルスシーケンスＧ_{ｉ＝１、・・・、ｍ}は、１〜３つの非ゼロ固有値を有するテンソル表現ｂ_ｉを有する。少なくとも２つの、好ましくは複数の拡散符号化磁場勾配パルスシーケンスは、互いに異なる。

一実施形態によれば、異方性拡散強調を引き起こす該一組の磁場勾配パルスシーケンスは、第１の組の磁場勾配パルスシーケンスを形成し、該データのサブセットは、第１の組の磁場勾配パルスシーケンスで取得される第１のエコー減衰曲線を表すデータの第１のサブセットを形成し、該データは、等方性又は異方性拡散強調を引き起こす第２の組の磁場勾配パルスシーケンスで取得される第２のエコー減衰曲線を表すデータの少なくとも第２のサブセットを更に含む。それによって、２つの異なるエコー減衰曲線を表すエコー信号に基づいて、等方性拡散及び／又は異方性拡散を定量化することができる。「第１の」及び「第２の」という決定は、単に、それぞれの組の磁場勾配パルスシーケンス及びデータのサブセットに対するラベルとして解釈されるべきであることに留意されたい。これらの決定は、必ずしも任意の特定の順序付けを、すなわち、第１の組のパルスシーケンスが第２の組のパルスシーケンスに先立ってサンプルに適用されることを暗示するとは限らない。実際に、これらの決定は、逆の順序で、更には、任意のインターリーブ方式で適用することができる。

第１の組の各パルスシーケンスは、該パルスシーケンスの拡散符号化テンソルの第１の固有値及び第２の固有値が互いに等しくなるように生成することができる。第１の組の拡散符号化テンソルの第３の固有値は、第１及び第２の固有値とは異なる（それによって、異方性拡散強調を引き起こす）。更に、第２の組の各パルスシーケンスは、該パルスシーケンスの拡散符号化テンソルの第１の固有値及び第２の固有値が互いに等しくなるようなものであり得る。拡散符号化テンソルの異なる大きさの第１及び第２の固有値を使用することで、結果として得られるエコー信号に対する、サンプル材料における拡散異方性が有する影響を変動させるように変換する。したがって、この様式で磁場勾配パルスシーケンスを生成することは、等方性及び異方性に関するサンプルの拡散特性を探索することを可能にする。

磁場勾配パルスの第１の組のパルスシーケンス及び第２の組のパルスシーケンスは、変動する最大勾配強度を有し得る。拡散強調テンソルに関して、これは、第１（又は第２）の組を通して変動する第１（又は第２）の組のパルスシーケンスの拡散符号化テンソルの形跡として表すことができる。それによって、拡散強調の強度を変動させることができる。

一実施形態によれば、第１の組の各パルスシーケンスについて、次式によって定義可能な第１の拡散符号化テンソル不変量Δ_ｂ，１が存在し、

式中、ｂ_ｘｘ ^ＰＡＳは、該パルスシーケンスの拡散符号化テンソルの第１の固有値を表し、ｂ_ｙｙ ^ＰＡＳは、該パルスシーケンスの拡散符号化テンソルの第２の固有値を表し、ｂ_ｚｚ ^ＰＡＳは、該パルスシーケンスの拡散符号化テンソルの第３の固有値を表し、
第１の組のパルスシーケンスは、第１の組のパルスシーケンスの第１の拡散符号化テンソル不変量Δ_ｂ，１が互いに等しくなるように生成される。この様式で第１の組の拡散符号化磁場勾配パルスシーケンスの生成を制御することによって、データの第１のサブセットによって表される第１のエコー減衰曲線は、同じ程度の異方性Δ_ｂ，１を有する拡散符号化テンソルを使用して取得される、エコー減衰曲線を表すことができる。

同様に、第２の組の各パルスシーケンスについて、次式によって定義可能な第２の拡散
符号化テンソル不変量Δ_ｂ，２が存在し、

式中、ｂ_ｘｘ ^ＰＡＳは、該パルスシーケンスの拡散符号化テンソルの第１の固有値を表し、ｂ_ｙｙ ^ＰＡＳは、該パルスシーケンスの拡散符号化テンソルの前記第２の固有値を表し、ｂ_ｚｚ ^ＰＡＳは、該パルスシーケンスの拡散符号化テンソルの第３の固有値を表し、
第２の組のパルスシーケンスは、第２の組のパルスシーケンスの第２の拡散符号化テンソル不変量Δ_ｂ，２が互いに等しくなるようなものであり、Δ_ｂ，２は、Δ_ｂ，１とは異なる。

一実施形態によれば、等方性拡散の程度及び／又は異方性拡散の程度の算出は、
第１の組のパルスシーケンスで取得される第１のエコー信号と第２の組のパルスシーケンスで取得される第２のエコー信号との間の変化、変動、又は差を分析することによって、等方性拡散の程度及び／又は異方性拡散の程度を算出することを含む。第１の組のパルスシーケンス及び第２の組のパルスシーケンスは、異なる程度の異方性（すなわち、Δ_ｂ，１及びΔ_ｂ，２）を示すように生成することができるので、（例えば、振幅に関する）第１及び第２のエコー信号間の変化、変動、又は差は、等方性拡散の程度及び／又は異方性拡散の程度の推定を可能にする。推定を単純化するために、第１及び第２のエコー信号は、等しい最大勾配強度の勾配パルス（換言すれば、等しい値の拡散強調強度ｂ）で取得することができる。

本発明の方法の範囲内で、該データは、該データの第１のサブセット及び該データの第２のサブセットに加えて、異方性拡散強調を引き起こす第３の組の磁場勾配パルスシーケンスで取得される、第３のエコー減衰曲線を表すデータの少なくとも第３のサブセットを含み、
第３の組の各勾配パルスシーケンスの拡散符号化テンソルは、３つの非ゼロ固有値を有し、そのうちの第１の固有値及び第２の固有値は、互いに等しく、かつ第３の固有値とは異なり、
第３の組の各パルスシーケンスについて、次式によって定義可能な第３の拡散符号化テンソル不変量Δ_ｂ，３が存在し、

式中、ｂ_ｘｘ ^ＰＡＳは、該パルスシーケンスの拡散符号化テンソルの第１の固有値を表し、ｂ_ｙｙ ^ＰＡＳは、該パルスシーケンスの拡散符号化テンソルの前記第２の固有値を表し、ｂ_ｚｚ ^ＰＡＳは、該パルスシーケンスの拡散符号化テンソルの第３の固有値を表し、
第３の組のパルスシーケンスは、第３の組のパルスシーケンスの第３の拡散符号化テンソル不変量Δ_ｂ，３が互いに等しくなるようなものであり、Δ_ｂ，３は、Δ_ｂ，２及びΔ_ｂ，１とは異なる。更なる一定の符号化テンソル異方性の「線」に沿った更なるエコー減衰曲線を表すデータ（例えば、Δ_ｂ，３）を取得することは、サンプルの拡散特性の拡張した探索を可能にする。

一実施形態によれば、第１の組の各パルスシーケンスは、Δ_ｂ，１＞０であるようなものであり、第２の組の各パルスシーケンスは、Δ_ｂ，２＝０であるようなものであり、それによって等方性拡散強調を引き起こし、第３の組の各パルスシーケンスは、Δ_ｂ，３＜０であるようなものである。これは、サンプルの拡散特徴の「形状」を推定し、分析することを可能にする。具体的には、拡散が主に等方性（すなわち、球状）であるか、主に一方向性（すなわち、扁円）であるか、又は主に平面（すなわち、扁長）であるかを推定することが可能になる。

一実施形態によれば、本方法は、該エコー信号を表すデータ（上記によれば、データの少なくとも第１の、第２の、及び第３のサブセットを含むことができる）に基づいて、該エコー信号の各１つの確率がモデル等方性拡散パラメータＤ_ｉｓｏ及び／又はモデル異方性拡散パラメータΔ_Ｄの複数の異なる値の各１つと関連付けられることを示す確率分布を算出することを更に含むことができる。これは、とりわけ、異なる程度の等方性拡散及び／又は異方性拡散を示す領域を含むサンプルに対する、測定中に得られる測定結果の分析を可能にする。確率分布から、そのようなドメイン（すなわち、成分）の数を識別することができる。

確率分布は、該データによって表されるエコー信号をカーネル関数と該確率分布との積に関連付ける連立方程式の数値解を決定することによって算出することができる。連立方程式は、特に、線形連立方程式とすることができる。

確率分布は、同時確率分布ｐとすることができ、カーネル関数は、少なくともＭ×Ｎ個の要素を含む行列Ｋとすることができ、該要素の各々は、次式、

拡散強調強度ｂ、拡散符合化テンソル不変量Δ_ｂ、モデル等方性拡散パラメータＤ_ｉｓｏ、及びモデル異方性拡散パラメータΔ_Ｄの値の組み合わせについての積分に基づく。行列の要素は、拡散強調強度ｂ、拡散符号化テンソル不変量Δ_ｂ、モデル等方性拡散パラメータＤ_ｉｓｏ、及びモデル異方性拡散パラメータΔ_Ｄの値の異なる組み合わせについて算出することができる。

一実施形態によれば、本方法は、
該第１の組の磁場勾配パルスシーケンスの各パルスシーケンスをサンプルに複数回適用することであって、勾配パルスの異なる配向が固定実験室枠に対するものである、適用することと、異なる配向について取得されるエコー信号の測定値を平均することによって該データの第１のサブセットを形成することと、を更に含む。これは、「粉末平均化」と称され得、それによって、ドメイン配向のある優先的な整列が存在する場合、不規則なドメイン配向の効果を模倣することが可能である。そのような「粉末平均化」はまた、第２の組の磁場勾配パルスシーケンスに対して行うこともできる。すなわち、該第２の組の磁場勾配パルスシーケンスの各パルスシーケンスをサンプルに複数回適用することであって、勾配パルスの異なる配向が固定実験室枠に対するものである、適用することと、異なる配向について取得されるエコー信号の測定値を平均することによって該データの第２のサブセットを形成することによる。

一実施形態によれば、該拡散符号化磁場勾配パルスシーケンスＧ_ｉの各１つは、（別個の）３回刺激エコーシーケンスの一部を形成する。これは、特に、比較的短い横緩和時間Ｔ_２を有する材料ドメインを含むサンプルの測定を行うときに好都合であり得る。

一実施形態によると、本方法は、
エコー信号Ｅを拡散符号化テンソルｂ及び拡散テンソルＤに関連付ける関数の展開に基づいて、連立方程式を形成することと、
該データによって表されるエコー信号の測定値及び拡散符号化テンソルｂ_ｉの少なくともサブセットの表現を使用して、前記連立方程式の解を決定することによって平均拡散テンソル＜Ｄ＞及び拡散テンソル共分散テンソルＳを算出することと、
共分散テンソルＳをバルク基底Ｅ _ｂｕｌｋに投影することによって、Ｓの不変バルク成分Ｓ_ｂｕｌｋを算出することと、
共分散テンソルＳを剪断基底Ｅ _{ｓｈｅａｒ}に投影することによって、Ｓの不変剪断成分Ｓ_{ｓｈｅａｒ}を算出することと、
不変バルク成分Ｓ_ｂｕｌｋ及び／又は不変剪断成分Ｓ_{ｓｈｅａｒ}を使用して、等方性拡散の程度及び／又は異方性拡散の程度を算出することと、を更に含む。

この実施形態は、軸対称な拡散符号化テンソルを必要とすることなく、例えば顕微鏡的拡散異方性に関して、微細構造の拡散特性の差を定量化することを可能にする。特に、不変バルク成分Ｓ_ｂｕｌｋは、上で述べられるサンプルの一部分の異なる部分容積間の等方性拡散の程度の変動の推定値を形成することができる。不変剪断成分Ｓ_{ｓｈｅａｒ}は、上で述べられるサンプルの一部分の異なる部分容積間の異方性拡散の方向の変動の推定値を形成することができる。

算出した平均拡散テンソル＜Ｄ＞は、複数の部分容積の一部分を含む、上で述べられる一部分について算出することができる。＜Ｄ＞は、一部分に対する平均拡散テンソルの推定値を表すことができる。同様に、拡散テンソル共分散テンソルＳは、一部分の拡散テンソルの分布の共分散の推定値を表すことができる。

連立方程式は、線形連立方程式とすることができ、データによって表されるエコー信号の測定値は、一定の線形連立方程式を形成するために使用することができ、拡散符号化テンソルの該少なくともサブセットは、線形連立方程式のパラメータを形成するために使用することができる。特に、連立方程式は、関数Ｅ（ｂ）＝〈ｅｘｐ（−＜ｂ，Ｄ＞）〉のキュムラント展開と同等であり得る。

異方性拡散の程度は、不変剪断成分Ｓ_{ｓｈｅａｒ}の合計、及び平均拡散テンソル＜Ｄ＞の二乗の剪断基底Ｅ _{ｓｈｅａｒ}への投影に基づいて算出することができる。特に、異方性拡散の程度は、該合計の分散に基づいて算出することができる。

算出した異方性拡散の程度は、平均拡散テンソル＜Ｄ＞の二乗のバルク基底Ｅ _ｂｕｌｋへの投影と該合計の比率に更に基づき得る。特に、異方性拡散の程度は、該比率に基づいて顕微鏡的異方性度μＦＡの推定値として算出することができる。

Ｓのバルク基底Ｅ _ｂｕｌｋへの投影は、共分散テンソルＳの行列表現と、バルク基底Ｅ _ｂｕｌｋの行列表現との内積を算出することによって算出することができる。

Ｓの剪断基底Ｅ _{ｓｈｅａｒ}への投影は、共分散テンソルＳの行列表現と、剪断基底Ｅ _{ｓｈｅａｒ}の行列表現との内積を算出することによって算出することができる。

＜Ｄ＞の二乗のバルク基底Ｅ _ｂｕｌｋへの投影は、＜Ｄ＞の二乗の行列表現と、バルク
基底Ｅ _ｂｕｌｋの行列表現との内積を算出することによって算出することができる。

顕微鏡的異方性度μＦＡは、具体的には、次式のように算出することができる。

本発明の方法及び上で開示されるその実施形態は、拡散ＭＲＩに対する方法とすることができ、算出した等方性拡散の程度及び／又は異方性拡散の程度は、拡散ＭＲＩデータのボクセルのコントラストパラメータとして使用することができる。

更なる目的と同様に、上記の本発明の概念の特徴及び利点は、添付の図面を参照して、本発明概念の好ましい実施形態の以下の例示的かつ非限定的で詳細な説明を通してより十分に理解されるであろう。図面において、別途提示されない限り、同じ参照番号は、同じ要素に使用される。

勾配波形のいくつかの代表的な実施例を例示する。 理論エコー減衰信号Ｓ（ｂ，Δ_ｂ）対ｂＤ_ｉｓｏを例示する。 いくつかの実験の結果を例示する。 いくつかの実験の結果を例示する。

本発明概念の理解を容易にするために、以下、いくつかの理論概念の考察が図面を参照して提供される。

異方性ガウス拡散
ガウス拡散過程の指向性は、拡散テンソルＤにおいて捕捉される［１１］。その主軸系（ＰＡＳ）において、テンソルは、要素Ｄ_ｘｘ ^ＰＡＳ、Ｄ_ｙｙ ^ＰＡＳ、及びＤ_ｚｚ ^ＰＡＳに関して対角である。この開示の文脈では、その等方性値Ｄ_ｉｓｏ、異方性Δ_Ｄ、及び非対称性η_Ｄによって拡散テンソルを特徴付けることが好都合である。

この形式論は、（例えば［１２］及び［１３］のように）固体ＮＭＲにおける化学シフトテンソルに使用されるものを暗示することに留意されたい。

要素は、規則｜Ｄ_ｚｚ ^ＰＡＳ−Ｄ_ｉｓｏ｜＞｜Ｄ_ｙｙ ^ＰＡＳ−Ｄ_ｉｓｏ｜＞｜Ｄ_ｘｘ ^ＰＡＳ−Ｄ_ｉｓｏ｜に従って秩序付けられる。式（１）における数値因子は、−１／２≦Δ_Ｄ≦１及び０≦η_Ｄ＜１の範囲でパラメータを得るように選択される。η_Ｄ＝０のとき、テンソルは、軸対称である。Δ_Ｄの正値及び負値は、それぞれ、扁長及び扁円のテンソル形状に対応する。要素を秩序付けるための規則は、扁長及び扁円双方のテンソルについて、ｚ軸が主対称軸であることを保証する。しかしながら、本発明概念の範囲から逸脱することなく、他の規則（例えば、ｘ軸又はｙ軸を対称軸として使用する）が使用され得ることに留意されたい。

オイラー回転行列Ｒ_ｚ（α）、Ｒ_ｙ（β）、及びＲ_ｚ（γ）を使用した実験室枠からのＰＡＳの一般回転は、実験室枠の拡散テンソルの以下のｚｚ要素を与える。

式（１）の関係を使用すれば、この表現は、次式のように再構成することができ、

式中、Ｐ_２（ｘ）＝（３×^２−１）／２は、二次のルジャンドル多項式である。式（３）は、次式のように変形され、

軸対称形のテンソルの場合、η_Ｄ＝０である。一貫性の確認として、式（１）の式（４）への挿入は、予想される通りに、Ｄ_ｚｚ（０）＝Ｄ_ｚｚ ^ＰＡＳ及びＤ_ｚｚ（π／２）＝（Ｄ_ｘｘ ^ＰＡＳ＋Ｄ_ｙｙ ^ＰＡＳ）／２を与えることに留意されたい。

拡散強調テンソルｂ
ＮＭＲ信号は、時間的に変動する磁場勾配Ｇ^Ｔ（ｔ）＝｛Ｇ_ｘ（ｔ），Ｇ_ｙ（ｔ），Ｇ_ｚ（ｔ）｝を使用して、並進運動に関する情報によって符合化される。瞬間脱位相ベクトルｑ（ｔ）は、時間積分によって与えられ、

式中、γは、研究した核の磁気回転比である。測定中に、エコー信号は、スピン磁化が位相化されたときの、すなわち、ｑ（τ）＝０のときのエコー時間τで、換言すれば、スピン磁化が位相化される瞬間ｔ＝τで記録することができる。ガウス拡散を仮定すると、信号振幅Ｓは、次式のように記述することができ、

式中、Ｓ_０は、ゼロ勾配振幅（すなわち、非拡散強調のエコー信号）での信号強度であり、ｂ：Ｄは、次式のように定義される一般化スカラー積を示す。

拡散強調行列ｂは、次式によって与えられる。

式（１）と同様に、ｂ行列は、総拡散強調ｂ、異方性Δ_ｂ、及び非対称性η_ｂによって特徴付けることができる。

式（５）〜式（８）のｂ行列の定義は、拡散ＮＭＲ及びＭＲＩに関する標準的な教科書に見出すことができることに留意されたい。例えば、Ｐｒｉｃｅの第４．４．１章［１４］又はＣａｌｌａｇｈａｎの第９．７．２章を参照されたい。しかしながら、固体ＮＭＲの用語法を使用したｂ行列の特徴付けは斬新なものであり、下で示されるように、測定プ
ロトコル及び分析方法を設計するための表記を単純化し、かつ、フレームワークを提供する。ｂ行列の要素は、ランク２テンソルの規則に従って、回転の下で変形する［１６］。したがって、以下において、ｂ行列（すなわち、ｂ）は、ｂテンソルと称され得る。

ｑベクトルの可変角度スピン
球座標において、ｑベクトルは、その勾配ζ（ｔ）、アジマスΨ（ｔ）、及び強度ｑＦ（ｔ）によって定義することができ、ｑは、最大強度であり、Ｆ（ｔ）は、区間０≦Ｆ（ｔ）≦１に正規化される時間依存強度である。デカルト成分は、次式の関係から得ることができる。

式（１０）の式（８）への挿入、及び標準的な三角法の関係の適用は、ｂテンソル要素について以下の表現を与える。

エリクソン他［４］に示されるように、Ψ（ｔ）を含む全ての項は、ζが一定であり、かつ、ｑベクトルの軌跡が少なくとも３回の対称性を有する場合にゼロになり、すなわち、次式のようになる。

式（１１）においてΨ（ｔ）を有する項をゼロにする別の方法は、軌跡が次式の条件を満たす場合であり（参考文献［４］を参照されたい）、

式中、ｎは、ゼロ以外の整数であり、ｔ_ｄは、次式によって与えられる有効拡散時間である。

幾何学的に、このΨ（ｔ）及びＦ（ｔ）の変調は、Ｆ（ｔ）^２に比例する角速度ｄΨ（ｔ）／ｄｔで、ｚ軸の周りをスピンするｑベクトルに対応し、一方で、開口２ζを有する円錐表面の経路に従う。

式（１１）におけるｂテンソル要素の明示的な評価は、次式を与え、

式（９）に挿入すると、次式が得られる。

ｑベクトルの軌跡が式（１２）又は式（１３）に従うものと仮定すると、ｂテンソルは、軸対称であり、ｚ軸を対称の主軸として有し、また、異方性を有し、該異方性は、角度ζを、マジック角ζ＝ａｃｏｓ（１／３^１／２）での（すなわち、参考文献［４］による用語法を使用して）等方性拡散強調を介して、ζ＝０での従来の単一方向の拡散強調から、ζ＝π／２でのいわゆる巡回符号化（すなわち、参考文献［１７］による用語法を使用して）まで変動させることによって調整することができる。Ψ（ｔ）及びＦ（ｔ）の時間変調が同じままである限り、ζの調整は、Δ_ｂだけに影響を及ぼし、ｑ、ｔ_ｄ、又はｂの値には影響を及ぼさない。

勾配変調関数の数値最適化
ｑベクトルの所与の変調Ｆ（ｔ）の場合、その時間依存配向は、式（１３）の積分を介して得られる角Ψ（ｔ）、及びζの選択された一定値によって与えられる。ｑベクトルのデカルト成分は、式（１０）によって算出することができ、勾配変調関数は、次の導関数によって与えられる。

概念的に単純な変調関数は、区間０≦ｔ≦τにおいてＦ（ｔ）＝１であり、別の場合においてはＦ（ｔ）＝０であり、ｔ＝０及びτでの非常に短く強い勾配パルスに対応する。勾配能力が限定されるＭＲＩハードウェアでの実際の実現形態の場合は、Ｆ（ｔ）＝０と１との間の移行があまり突然でないことが必要である。臨床ＭＲＩスキャナのｑＭＡＳ拡散強調に関する最適な勾配波形を見出すための１つの可能な手順は、［１０］で説明されている。手短に言えば、Ｆ（ｔ）は、次式のように展開することができ、

式中、係数ａ_ｍは、所与の波形期間τの制約内での最大拡散強調、及び３つの勾配チャネルの各々に関する最大勾配振幅Ｇ_ｍａｘを得るように、反復的に最適化される。最適化ルーチンの詳細は、参考文献［１０］で説明されている。実験室枠において任意の円錐角及び配向でｑベクトル変調を与えるように重畳することができる１つの軸勾配変調関数及び２つの放射勾配変調関数をもたらし、円錐角ζ＝０及びζ＝π／２の場合の同時最適化の最終結果は、表１に記載される。

表１の係数ａ_ｍは、数値的に最適化されたｑＶＡＳ勾配波形の係数と称され得る。表１を使用して、エコー時間τ、並びにｑベクトル勾配ζ、及び強度ｑの値を選択し、その後に、式（１８）によって正規化されたｑ強度変調Ｆ（ｔ）を算出することによって、明示的な勾配変調関数を得ることができる。有効拡散時間ｔ_ｄは、式（１４）によって算出することができる。ｑベクトル方位角Ψ（ｔ）は、式（１３）によって算出することができる。ｑベクトルのデカルト成分は、式（１０）によって算出することができる。最後に、勾配ベクトルのデカルト成分は、式（１７）によって算出することができる。

勾配波形のいくつかの代表例は、図１に示され、対応するｑベクトル軌跡及びｂテンソル要素を含む。ｑベクトルの方位角Ψ（ｔ）は、時間の関数として変動するので、図１に例示される変調は、ｑベクトルの可変角スピン（ｑＶＡＳ）と称され得る。図１の行１〜４は、図１の列１に示される角度ζ＝０°、３５．３°、５４．７°、及び９０°に対応する。図１の列２は、表１に列記される係数から得られる、勾配変調関数Ｇ_ｘ（ｔ）、Ｇ_ｙ（ｔ）、及びＧ_ｚ（ｔ）（それぞれ、点線、破線、及び実線）を示す。図１の列３は、対応するｑベクトル変調関数ｑ_ｘ（ｔ）（点線）、ｑ_ｙ（ｔ）（破線）、ｑ_ｚ（ｔ）（実線）、及びｑ（ｔ）（一点鎖線）を示す。図１の列４は、正のｘ軸、ｙ軸、及びｚ軸に関連するｑベクトル軌跡（黒線）の３Ｄプロットを示す。これから分かるように、第２行及び第３行のｑベクトル軌跡は、開口２ζを有する円錐の表面に存在する。第１行のｑベクトル軌跡は、ｚ軸と整列する。第４行のｑベクトル軌跡は、ｘｙ平面に存在する。図１の列５は、対応するｂテンソル異方性Δ_ｂ＝１、０．５、０、及び−０．５を示す。

有効拡散係数Ｄ_ｚｚ ^ｅｆｆ
式（１５）の式（７）への挿入は、次式を与え、

次式のように、

式（１６）の関係、及び拡散テンソルの形跡の回転不変性Ｄ_ｉｓｏ＝（Ｄ_ｘｘ＋Ｄ_ｙｙ＋Ｄ_ｚｚ）／３を使用して書き換えることができる。拡散テンソルの軸対称性を仮定すると、式（４）の挿入により次式がもたらされる。

ｂ値に従う因子は、ｂテンソルの異方性、並びに次式による角度βを通した実験室枠における拡散テンソルの配向に依存する、有効拡散係数Ｄ_ｚｚ ^ｅｆｆ（β）と解釈することができる。

式（４）と式（２２）との比較は、固有の拡散異方性の効果がΔ_ｂの値によってスケーリングされ、同様に、ｚ軸とスピンｑベクトルとの角度ζに依存することを示す。Ｄ_ｚｚ ^ｅｆｆの値は、Ｄ_ｚｚ ^ｅｆｆ（０）＝Ｄ_ｉｓｏ（１＋２Δ_ｂΔ_Ｄ）〜Ｄ_ｚｚ ^ｅｆｆ（π／２）＝Ｄ_ｉｓｏ（１−Δ_ｂΔ_Ｄ）の範囲である。

粉末平均化した信号減衰及び有効拡散率分布
同じ値のＤ_ｉｓｏ及びΔ_Ｄを有する不規則に配向された顕微鏡的異方性ドメインのアンサンブルからなる、巨視的なサンプルを考える。ドメイン配向のある優先的な整列が存在する場合、データを「粉末平均化」することによって不規則なドメイン配向を模倣すること、すなわち、ｑ軌跡の対称軸の一連の方向についてデータを記録し、その後に、種々の方向にわたって結果を平均することが可能である。対称軸としてｚ軸を有する（すなわち、η_Ｄ＝０）ｑベクトルによって表される磁場勾配パルスシーケンスによって符合化される巨視的なサンプルの測定において、各ドメインは、式（２１）を式（６）へ挿入するこ
とによって算出することができる信号を生じさせる。

全てのドメインからの寄与を積分することで次式を与え、

式中、Ｐ_β（β）は、角度分布関数であり、区間０≦β≦π／２において正規化される。ドメイン配向の不規則分布は、Ｐ_β（β）＝ｓｉｎβに対応し、次式、

が、式（２４）の積分の評価時にもたらされる。式（２５）において、γ（ｓ，ｘ）は、低域不完全ガンマ関数である。この関数は、例えば、Ｍａｔｌａｂの「ｇａｍｍａｉｎｃ」関数によって、好都合に数値的に評価することができる。式（２５）のガンマ及び二乗根因子は、因数が負であるときには虚数であるが、因数の比率は、実数で正のままであることに留意されたい。γ（ｓ，ｘ）因子はまた、γ（１／２，ｘ）∝ ｅｒｆ（ｘ^１／２）という事実を利用して、誤差関数「ｅｒｆ」に関して記述することもできる。

図２は、式（２５）による理論的信号Ｓ（ｂ，Δ_ｂ）対ｂＤ_ｉｓｏを例示し、図中、ｂは、拡散強調強度であり、Ｄ_ｉｓｏは、等方性拡散率であり、また、Δ_ｂΔ_Ｄにおいて、Δ_ｂ及びΔ_Ｄは、それぞれ、拡散強調ｂ及び拡散テンソルＤの異方性である。表面は、式（２５）によって算出され、パラメータｂ、Ｄ_ｉｓｏ、Δ_ｂ、及びΔ_Ｄは、式（１）及び（９）のそれぞれのテンソル固有値から定義される。

式（２５）の表現は、実験データを分析するための基礎を提供する。Δ_ｂ＝０のとき、式（２５）は、単一指数関数的減衰に変形され、

したがって、異方性による混乱の影響を伴わずに、拡散テンソルの等方性部分を抽出するための簡単な方法を提供する。ｂが約１／Ｄ_ｉｓｏの有限値で一定に保たれるとき、Δ_Ｄの値は、Δ_ｂの関数としてＳの特性変動から決定することができる。

式（２５）における多指数関数的信号減衰は、次式による有効拡散率Ｐ（Ｄ_ｚｚ ^ｅｆｆ）の分布のラプラス変換であると解釈することができ、

であり、Ｄ_ｚｚ ^ｅｆｆの範囲は、Ｄ_ｉｓｏ（１−Δ_ｂΔ_Ｄ）〜Ｄ_ｉｓｏ（１＋２Δ_ｂΔ_Ｄ）であり、別様には、Ｐ（Ｄ_ｚｚ ^ｅｆｆ）＝０である。分布は、Ｄ_ｚｚ ^ｅｆｆ＝Ｄ_ｉｓｏ（１−Δ_ｂΔ_Ｄ）で単一性を有し、ドメイン配向β＝π／２に対応する。式（２８）は、軸対称の化学シフト異方性テンソルについて得られる「粉末パターン」のＮＭＲスペクトルに類似する。分布の平均値は、Ｄ_ｉｓｏであり、一方で、第２の中心モーメントμ_２及び第３の中心モーメントμ_３は、それぞれ、次式のようになる。

多ドメイン材料の信号強度
異なる値のＤ_ｉｓｏ及びΔ_Ｄを有する一群のドメインからなる材料は、積分変換として表すことができる粉末平均化信号を生じさせ、

式中、Ｐ（Ｄ_ｉｓｏ，Δ_Ｄ）は、Ｄ_ｉｓｏ及びΔ_Ｄの２Ｄ同時確率分布である。カーネルＫ（ｂ，Δ_ｂ，Ｄ_ｉｓｏ，Δ_Ｄ）は、式（２５）の右側によって与えられ、２Ｄ「分析空間」（Ｄ_ｉｓｏ，Δ_Ｄ）を２Ｄ「取り込み空間」（ｂ，Δ_ｂ）上へマップする。実験的な一組のデータＩ（ｂ，Δ_ｂ）からＰ（Ｄ_ｉｓｏ，Δ_Ｄ）を推定することは、不良設定問
題とみなすことができ、また、数値的な安定性を確実にするための特別な手順の利益を享受することができる。ＮＭＲ拡散における同様の問題に対処するために使用されるアプローチ及び緩和相関法［１８〜２０］に基づいて、圧縮センシング［８、９］からの何らかの更なるインスピレーションにより、以下に概説される手順が使用され得る。

式（３１）は、離散化し、行列形態で記述することができ、

式中、ｓは、（ｂ，Δ_ｂ）のＭ個の組み合わせについて測定される信号振幅の列ベクトルであり、ｐは、（Ｄ_ｉｓｏ，Δ_Ｄ）のＮ個の離散対に対する確率の求める列ベクトルであり、Ｋは、（ｂ，Δ_ｂ）及び（Ｄ_ｉｓｏ，Δ_Ｄ）対のＭ×Ｎ個のグリッドについて算出されるカーネルＫ（ｂ，Δ_ｂ，Ｄ_ｉｓｏ，Δ_Ｄ）の行列バージョンである。式（３２）は、一組の線形式であり、基本的に、問題が過剰決定される、すなわち、Ｍ＞Ｎである場合に、単純な行列反転によって解くことができる。残念なことに、カーネルの「滑らかさ」は、この直接的な手法を、実験的ノイズに対して極めて敏感にし、入力データベクトルｓの僅かな変化に対する解ベクトルｐの大きな変動を伴う。材料がいくつかの離散的成分からなると仮定すると、疎な解を探すのに好都合であり得、ｐの要素の大部分がゼロであることを意味する。

上記の考慮事項に基づいて、実験データｓと一致する疎な解ｐは、関数を最小にすることによって推定することができ、

式中、１番目の項は、最小二乗法のミスフィットであり、２番目の項は、組織化パラメータλによって強調されるｌ_１−ｎｏｒｍである。ｐの要素への非負制約と組み合わせて、式（３３）は、二次計画問題として公式化することができ、

この式は、例えば、Ｍａｔｌａｂの最適化ツールボックスの「ｑｕａｄｐｒｏｇ」関数によって、容易に解かれる。

例示的な実験
この節及びその後の節において、原理証明実験のいくつかの実施例が、その結果と同様に説明される。これらの実施例によれば、実験は、洗剤Ａｅｒｏｓｏｌ−ＯＴ並びにＨ_２Ｏ及びＤ_２Ｏの等モル混合物からなる水を有するリオトロピック液晶に対して行った。平衡相図（例えば、参考文献［２１］を参照されたい）に基づいて、洗剤の濃度は、３つの異なる液晶相、すなわち、薄層（２５〜７５重量％）、両連続立方（８０重量％）、及び
逆六角形（８５重量％）を与えるように選択した。サンプルは、最初に、１０ｍＬのバイアルに計量し、入念に混合し、その後に、４００μＬを５ｍｍの使い捨てＮＭＲチューブに移した。小角Ｘ線散乱パターン及び^２Ｈ ＮＭＲスペクトルを記録することによって、位相対称性をそれぞれに検証した。２５重量％のＡｅｒｏｓｏｌ−ＯＴサンプルを有する５ｍｍのＮＭＲチューブを、デカノールを有する１０ｍｍのＮＭＲチューブに挿入することによって、２つの別個の拡散テンソル成分を有するサンプルを調製した。

３つの直交する方向に３Ｔ／ｍの最大磁場勾配を与えるＢｒｕｋｅｒ ＭＩＣ−５マイクロイメージングプローブを装備する、１１．７Ｔの磁石を有するＢｒｕｋｅｒ Ａｖａｎｃｅ−ＩＩ ５００ＭＨｚ分光計で、拡散磁気共鳴実験を行った。標準的な^１Ｈスピンエコーパルスシーケンスにおいて１８０°ＲＦパルスの両側に図１に示される波形を含むことによって、ｑＶＡＳ勾配変調を行った。スピンエコーの後半の間に記録した信号は、フーリエ変換の後に高分解能スペクトルをもたらし、したがって、洗剤に由来するものからの水の^１Ｈ信号の分離を可能にする。短い横緩和時間Ｔ_２を有する系を研究する場合は、３回刺激エコーシーケンスにおけるパルス磁場勾配の方向を調整することによって、拡散強調異方性Δ_ｂの変動を行うことが好都合である。３つの勾配方向は、アジマス角Ψ＝０°、１２０°、及び２４０°、並びに勾配ζを有し、式（１６）によってΔ_ｂを与える。

期間δ＝１ｍｓ及び前縁剥離Δ＝１００ｍｓで３対の勾配パルスを使用して３回刺激エコーを行って、７５、８０、及び８５重量％のＡｅｒｏｓｏｌ−ＯＴ／水のサンプルを調査した。勾配パルスの振幅及び角度ζを変動させることによって、取り込み空間（ｂ，Δ_ｂ）の矩形グリッドをサンプリングした。ほぼ同じ最大信号減衰を得るために、最大勾配振幅を約１Ｔ／ｍとし、異なるサンプルについて調整した。立方及び逆六角形のサンプルはどちらも、３回刺激シーケンスで検出可能な十分に幅の狭いＡｅｒｏｓｏｌ−ＯＴの共鳴線を与える。経験的に、水及びＡｅｒｏｓｏｌ−ＯＴの共鳴線は、２５℃で重なるが、この重なりは、温度を８０℃まで上昇させることによって有意でなくなることが分かった。一貫性のために、７５、８０、及び８５重量％のサンプルは全て、８０℃で研究した。サンプルは、平衡相図に従い、^２Ｈ分光測定によって確認されるように、２５℃の時点で同じ液晶位相の状態を維持する。

２５重量％のＡｅｒｏｓｏｌ−ＯＴ／水／デカノールのサンプルを、勾配変調期間τ＝１４０ｍｓ及び最大勾配振幅０．０９０Ｔ／ｍでのスピンエコーバージョンによって、２５℃で研究した。（ｂ，Δ_ｂ）空間は、最大勾配振幅及びζを変動させることによって、ジグザクのパターンでサンプリングした。共鳴線は、フーリエ変換によって分離することができるが、該共鳴線は、異なる拡散挙動を有する複数の成分を含む信号を与えるように、一緒に記録した。実際には、水及びデカノールの末端メチル基だけが、長期にわたるスピンエコーシーケンスを乗り切るために、十分に長いＴ_２を有する。

式（２５）によって必要とされるように、データがドメイン配向の不規則分布に対応することを保証するために、３１個の異なる「円錐配向」、すなわち、ｑベクトル軌跡の主対称軸の配向について取り込みを繰り返し、平均した。これらの方向は、静電反発スキーム（参考文献［２２］及び［２３］を参照されたい）に従って選択した。

例示的な実験の結果
図３は、薄層、両連続立方、及び逆六角形の液晶相の実験データを示す。データは、式（２５）に適合し、既知の微細構造と一致する拡散異方性Δ_Ｄの値をもたらす。Δ_Ｄの徴候は、ｂＤ_ｉｓｏが約１以上である限り、Δ_ｂの関数として、信号の特性変動から抽出することができる。

より詳細には、図３は、（ａ）薄層、（ｂ）両連続立方、及び（ｃ）逆六角形タイプのＡＯＴ／水の液晶について測定した、信号減衰Ｓ（ｂ，Δ_ｂ）対拡散強調強度ｂ及び異方性Δ_ｂを表すデータを示す。最上行は、これらのタイプの概略的な実例を示す。これらのジオメトリは、数十ナノメートルの長さスケールでそれぞれの水区画ジオメトリを特徴付ける。塗り潰した円は、（ｂ，Δ_ｂ）空間に矩形グリッドでサンプリングした実験データ点を表す。グリッドは、調整可能なパラメータとして初期信号強度Ｓ_０、等方性拡散率Ｄ_ｉｓｏ、及び拡散異方性Δ_Ｄを使用して、式（２５）の実験データへの適合を例示する。この適合は、Ｄ_ｉｓｏ／１０^−９ｍ^２ｓ^−１＝３．５３（薄層）、２．３７（立方）、及び１．２２（逆六角形）、並びにΔ_Ｄ＝−０．３８（薄層）、０．００（立方）、及び０．８０（逆六角形）を得る。

液晶／デカノールサンプルの結果は、図４に示される。（ｂ，Δ_ｂ）空間のジグザグのサンプリングは、信号対ｂに関する２Ｄプロットにおけるデータの表示を容易にする。そのようなプロットにおいて、異なるＤ_ｉｓｏを有する複数の成分の存在は、下部包絡線の湾曲として識別することができ、一方で、Δ_Ｄの非ゼロ値は、サンプリングパターンによって与えられる周波数での振動をもたらす。振動の振幅は、Δ_Ｄの強度と関連付けられ、一方で、Δ_ｂ＝１及び−０．５に対応する極大値間の比率は、Δ_Ｄの徴候を与える。

Ｓ（ｂ，Δ_ｂ）データは、上で説明されるｌ_１規則化モデルフリー手法を通して、確率分布Ｐ（Ｄ_ｉｓｏ，Δ_Ｄ）に変換される。結果として得られる分布は、（Ｄ_ｉｓｏ＝１０^−１０ｍ^２／ｓ，Δ_Ｄ＝０）及び（Ｄ_ｉｓｏ＝１０^−９ｍ^２／ｓ，Δ_Ｄ＝−０．５）での成分を含み、それぞれ、デカノール及び水に対応する。分布が２つの成分を含むことが分かると、成分の各々からの信号は、式（２５）によって説明される２成分モデル適合によって、これらの座標及び振幅がより正確に決定される。そのような適合の結果は、図４ｂにも示される。得られた結果は、デカノールの既知の等方性拡散及び液晶相の薄層対称性と一致する。より詳細には、図４ａは、ＡＯＴ／水薄層液晶（内側チューブ）及びデカノール（外側チューブ）を有するチューブインチューブサンプルに関する、実験的な水及びデカノールの信号Ｓ（ｂ，Δ_ｂ）対拡散強調強度ｂを示す。最上部には、（ｂ，Δ_ｂ）空間のジグザグのサンプリングパターンが示される。図４ｂは、Ｓ（ｂ，Δ_ｂ）データと一致する確率密度Ｐ（Ｄ_ｉｓｏ，Δ_Ｄ）を示す。等高線は、ｌ_１規則化されたモデルフリー推定値の結果を示し、一方で、十字は、Ｄ_ｉｓｏ／１０^−９ｍ^２ｓ^−１＝０．０８３（デカノール）及び１．３３（水）、並びにΔ_Ｄ＝０．００＝０．００（デカノール）及び−０．４９６（水）を与える、２成分モデル適合の結果を示す。図４ａの点は、実験データを示し、一方で、黒い線は、２成分モデル適合を表す。

実施形態の説明
本発明概念によれば、サンプルにおける等方性拡散及び／又は異方性拡散を定量化するための方法が提供される。前述の説明を参照すれば、等方性拡散は、例えば、拡散テンソルＤ（上記の式１に関連して定義される）に関する等方性値Ｄ_ｉｓｏによって定量化することができる。異方性拡散は、例えば、拡散テンソルＤの異方性Δ_Ｄによって定量化することができる。

本方法で行われる種々の算出は、例えば、非一時的なコンピュータ記憶媒体に記憶又は具現化することができる一組のソフトウェア命令を使用して行うことができる。

本方法は、最先端のＮＭＲ分光計又はＭＲＩデバイスを使用して行うことができる。当技術分野でよく知られているように、そのようなデバイスは、デバイスの動作、とりわけ、磁場勾配パルスシーケンスの生成、エコー信号の取り込みを制御するための、並びに取得されたエコー信号を表すデータを形成するために測定信号のサンプリング及びデジタル化を行うための、１つ以上のプロセッサを含むことができる。拡散符号化磁場勾配パルス
シーケンスの生成は、コンピュータ読み出し可能な媒体に（例えば、非一時的なコンピュータ読み出し可能な記憶媒体に）記憶し、デバイスの１つ以上のプロセッサによって実行することができる、ソフトウェア命令を使用して行うことができる。ソフトウェア命令は、例えば、デバイスの１つ以上のプロセッサがアクセスを有する、デバイスのメモリのプログラム／制御セクションに記憶することができる。測定値を表す収集データは、デバイスの、コンピュータの、又はデバイスに接続することができるものなどのデータメモリに記憶することができる。本方法の算出は、コンピュータ読み出し可能な媒体に格納し、デバイスの１つ以上のプロセッサによって実行することができる、ソフトウェア命令を行うことができる。しかしながら、同様に、例えばコンピュータ上の、ＮＭＲ分光計又はＭＲＩデバイスとは別個のデバイスで算出を実行することができる。デバイス及びコンピュータは、例えば、ＬＡＮ／ＷＬＡＮなどの通信ネットワークを介して、又は他の何らかのシリアル若しくはパラレル通信インターフェースを介して通信するように配設することができる。ソフトウェア命令を使用する代わりに、本方法の動作は、いくつかの例を挙げると、１つ以上の集積回路、１つ以上の特定用途向け集積回路（ＡＳＩＣ）、又はフィールドプログラマブルゲートアレイ（ＦＰＧＡ）などの、デバイスの専用回路において行うことができることに更に留意されたい。

本方法は、Ｇｉ＝_{１、・・・、ｍ}と示され得る拡散符号化磁場勾配パルスシーケンスを使用して、サンプルに対して拡散強調磁気共鳴測定を行うことを含む。前述の説明を参照すれば、各磁場勾配パルスシーケンスＧ_ｉは、３つの非ゼロ固有値を有する拡散符号化テンソルｂ_ｉによって定義可能であるか、又はそのような形態での表現を有し、

であり（式（５））、ｑ_ｉ（ｔ）は、

（式（８））に比例する脱位相ベクトルである。

当技術分野でよく知られているように、エコー信号を取得する目的で、各拡散符号化磁場勾配パルスシーケンスは、１つ以上の撮像磁場勾配及び随意に磁場勾配修正勾配を追加することができる。したがって、各拡散強調磁気共鳴測定は、拡散符号化磁場勾配パルスシーケンスＧ_ｉ、撮像磁場勾配シーケンス、及び任意に修正磁場勾配シーケンスを含む磁気パルス勾配シーケンスを使用して行うことができる。いくつかの場合において、これらのシーケンスは、やがて重なり得る。しかしながら、そのような場合においてさえも、シーケンスの少なくとも一部は、上で述べられる特性を有する拡散符号化テンソルｂ_ｉによって説明すること、又は表すことができる。

本方法は、エコー信号の測定値を表すデータを収集することを更に含む。データ収集は、サンプルの対象となる部分から受信したエコー信号をサンプリングし、デジタル化することを含むことができる。上記に即して、各エコー減衰測定は、エコー信号振幅Ｓ_ｉの形態とすることができ、該振幅は、ガウス拡散を仮定すると、式（６）によって与えられるように、拡散符号化テンソルｂ_ｉ及びＤへの依存を有する。測定は、スピンエコー測定、
又は刺激エコー測定、例えば３回刺激エコー測定とすることができる。

一部分は、上で論じられるように、異なる程度の等方性拡散（例えば、上で定義されるＤｉｓｏ）又は異なる程度及び／若しくは配向の異方性拡散（例えば、上で定義されるΔ_Ｄ）を示す複数の「顕微鏡的」部分容積を含む。当技術分野でよく知られているように、ＮＭＲ分光計又はＭＲＩデバイスの空間分解能は、とりわけ、磁場の強度、サンプルに適用される勾配パルスシーケンスの強度、及びスルーレートによって制限される。下に開示されるデータ分析は、一部分内の、すなわち、測定の従来の分解能限界を超える、顕微鏡的部分容積の拡散特性の推定を可能にする。一部分に対応するエコー信号成分を識別するために、サンプルからの測定信号は、当技術分野でよく知られている高速フーリエ変換を受けさせることができ、それによって、サンプルからの各エコー信号のスペクトル成分を、サンプルの複数の空間領域に変換する。

本発明の方法によれば、エコー信号の測定値を表すデータの少なくともサブセットは、異方性拡散強調を引き起こす一組の磁場勾配パルスシーケンスで取得され、一組の磁場勾配パルスシーケンスの各勾配パルスシーケンスの拡散符号化テンソルは、３つの非ゼロ固有値を有し、３つの固有値のうちの少なくとも１つが、他の固有値とは異なる。式（９）を参照すると、各パルスシーケンスの３つの非ゼロ固有値は、ｂ_ｘｘ ^ＰＡＳ、ｂ_ｙｙ ^ＰＡＳ、及びｂ_ｚｚ ^ＰＡＳで示すことができる。同様に、該組の各パルスシーケンスは、総拡散強調ｂ、異方性Δ_ｂ、及び非対称性η_ｂによって定義可能であり、式（９）の定義に従う。これらのパラメータは、各パルスシーケンスの不変パラメータを形成する。パラメータｂは、勾配シーケンスの拡散強調強度を表す。

以下、一実施形態を説明するが、非対称性パラメータη_ｂが０に等しくなるように生成される磁場勾配パルスシーケンスＧ_{ｉ＝１、・・・、ｍ}を使用して、エコー信号を取得する。これは、対応する拡散強調符号化テンソルの固有値のうちの少なくとも２つが等しい（すなわち、ｂ_ｘｘ ^ＰＡＳ＝ｂ_ｙｙ ^ＰＡＳ）ことを暗示する。エコー信号の測定値を表すデータは、上で説明されるように収集することができる。データは、データのいくつかの別個のサブセットを含むことができ、各サブセットは、異なる一組のパルスシーケンスを使用して取得される。例えば、データは、データの第１のサブセット、データの第２のサブセット、及びデータの第３のサブセットを含むことができる。データの第１、第２、及び第３のサブセットは、それぞれ、磁場勾配パルスシーケンスの第１の組（Ｇ_{ｉ＝１、・・・、ｊ}で示される）、第２の組（Ｇ_{ｉ＝ｊ＋１、・・・、ｋ}で示される）、及び第３の組（Ｇ_{ｉ＝ｋ＋１、・・・、ｍ}で示される）を使用して取得される、エコー信号の測定値を表すことができる。これらの３つのデータのサブセット及びパルスシーケンスの組を参照しているが、本方法はまた、より多い数及びより少ない数のどちらのそのようなデータのサブセット及びパルスシーケンスの組にも適用することができる。

第１の組のパルスシーケンスは、それぞれ、異方性Δ_ｂ，１は同じ程度であるが、最大振幅ｂ（式（９）及び式（１６）に従って定義される）が異なるように生成することができる。同様に、第２の組のパルスシーケンスは、それぞれ、異方性Δ_ｂ，２は同じ程度であるが、最大振幅ｂが異なるように生成することができる。同様に、第３の組のパルスシーケンスは、それぞれ、異方性Δ_ｂ，３は同じ程度であるが、最大振幅ｂが異なるように生成することができる。例えば、パルスシーケンスは、表１に関連して説明される手法を使用して生成することができる。図２を参照すると、データの第１、第２、及び第３のサブセットは、それぞれ、一定の異方性、すなわち、Δ_ｂ，１、Δ_ｂ，２及びΔ_ｂ，３のそれぞれの線に沿って取得されるそれぞれのエコー減衰曲線を表すことを理解することができる。このように収集したデータを使用することで、拡散テンソルＤのＤ_ｉｓｏ、及び／又は拡散テンソルＤのΔ_Ｄを算出することができる。

略同程度の異方性拡散及び等方性拡散の不規則に配向された顕微鏡的部分容積のアンサンブルを含むサンプルの場合、各部分容積における拡散を特徴付ける、不規則に配向した拡散テンソルＤのＤ_ｉｓｏ及びΔ_Ｄ（の推定値）は、式（２５）を使用してデータを適合することによって算出することができる。例えば、データの第２のサブセットがΔ^２ _ｂ＝０で取得される場合、拡散テンソルＤの等方性値Ｄ_ｉｓｏは、式２６及びデータの第２のサブセットを使用して直接算出することができる。

部分容積において拡散の配向のある優先的な整列が存在する場合、粉末平均化を適用することができ、第１、第２、及び第３の組の磁場勾配パルスシーケンスの各１つの各パルスシーケンスをサンプルに複数回適用することができ、勾配パルスの異なる配向が固定実験室枠に対するものである。その後に、異なる配向について取得されるエコー信号の測定値を平均することによって、データの第１、第２、及び第３のサブセットを形成することができる。その後に、不規則に配向したドメインを含むサンプルに対する手法と同じ手法で、式（２５）及び式（２６）を使用することができる。

異なる程度の異方性拡散及び／又は等方性拡散を呈する一群の顕微鏡的部分容積を含むサンプル（すなわち、２つ又は多数の成分の材料）の場合、（配向の優先的な整列が存在するかどうかに依存する粉末平均化の有無にかかわらず）データは、各成分についてＤ_ｉｓｏ及び／又はΔを推定するために使用することができる。具体的には、式（３２〜３４）に関連して説明されるデータ分析手法を使用することができる。カーネル行列は、モデルパラメータ（ｂ，Δ_ｂ）及びモデルパラメータ（Ｄ_ｉｓｏ，Δ_Ｄ）の対を使用して算出することができ、測定中に使用される各勾配パルスシーケンスの値に対応する（ｂ，Δ_ｂ）の値及び（Ｄ_ｉｓｏ，Δ_Ｄ）の値は、例えば特定のサンプルの可能な（Ｄ_ｉｓｏ，Δ_Ｄ）の値の範囲の演繹的知識に基づいて、サンプルの対象となる範囲を網羅するように選択される。拡散ＭＲＩに関連して使用される場合は、Ｄ_ｉｓｏ及び／又はΔ_Ｄを使用して、サンプルの一部分を表すボクセルのコントラストを生成することができる。類似の算出を行って、サンプルの他の部分を表すボクセルのコントラストを生成することができる。

上記において、Ｄ_ｉｓｏ及びΔ_Ｄの算出は、式（２５〜２６）を用いて説明されているが、パラメータはまた、他の方法でも算出又は推定することができることに留意されたい。測定データはまた、拡散強調信号を関連する拡散メトリクス、例えばＤ_ｉｓｏ又はΔ_Ｄに関連付ける、異なるモデル関数を使用して適合させることもできる。式（２５）の代替となる一実施例として、拡散率の分布のモーメントμ_２、μ_３などに関する式（２５）の展開を、代わりに使用することができる。別の実施例は、ガンマ分布関数によって拡散率の分布に近似するものである。

上記では、軸対称である拡散符号化テンソルを使用して取得されるエコー信号の測定値に基づいて拡散パラメータが算出される、種々の実施形態を開示してきた。以下では、軸対称の拡散符合化テンソルを必要としない、本発明の方法の実施形態が開示される。１つの目的は、例えばサンプルの一部分の「顕微鏡的」部分容積の拡散特性に基づく顕微鏡的拡散異方性に関して、微細構造の差を定量化することができる方法を提供することである。以下の実施形態の理解を容易にするために、以下、いくつかの理論概念の考察が提供される。

理論
各部分容積において、拡散がガウスであり、かつ拡散テンソルＤによって説明される、一群の部分容積（例えば、「顕微鏡的」部分容積）を含む（拡散ＮＭＲ／ＭＲＩが行われる）サンプルの一部分を考える。一部分内のこれらの微小環境の拡散特性は、テンソルにわたるガウス分布によってモデル化することができる。したがって、テンソルＤは、期待値〈Ｄ〉を有する確率変数と称され得、ここで、〈・〉は、一部分の分布にわたる積分を
表す。次いで、次式による共分散の標準的な定義を使用して定義される４次テンソルＳによって、Ｄの共分散を与えることができ、

式中、

は、Ｄとそれ自体との外積から得られる４次テンソルである。複数のそのような顕微鏡的部分容積を含み、それぞれがガウス拡散を有する一部分からの拡散符号化したＭＲ信号Ｅは、次式によって推定することができ、

式中、〈・，・〉は、内積である。理解を容易にするために、式（３６）は、式（６）に基づいているが、Ｅが、正規化されたエコー信号強度（すなわち、Ｓ／Ｓ_０）を示し、一部分の顕微鏡的環境の各々からの信号寄与を含む点で異なることに留意されたい。更に、以下における表記を単純にするために、式（７）において使用される一般化スカラー積の代わりに、内積が使用される。式（３６）のキュムラント展開から、次式に従い、

式中、

及びＳは、一部分内のテンソルの共分散である（拡散ＭＲＩの場合では、ボクセルによって表される）。理解を容易にするために、キュムラント展開の詳細な誘導が下で提供される。

式３７における近似は、キュムラント展開であり、ｅ（ｂ）＝ｌｏｇ Ｅ（ｂ）は、次式に従って、ｂ＝０の周囲で展開され（ｂは、式９と類似する総拡散強調に対応する）、

ｂ＝０の場合、これらの関数は、次式のように評価し、

式中、

である。したがって、

である。

拡散テンソルＤの場合、２つの一般的な不変表現は、平均拡散率（ＭＤ）及び異方性度（ＦＡ）である。ＭＤは、次式に従って、等方性基底Ｅ_ｉｓｏへの投影として算出することができ、

式中、Ｅ_ｉｓｏ＝１／３Ｉ、すなわち、恒等テンソルの１／３である。これは、式（１）に関連して定義されるパラメータＤ_ｉｓｏと同等である。同様に、４次共分散テンソルＳを等方性基底に投影して、回転不変パラメータを得ることができる。しかしながら、等方性４次テンソルＳは、２つの等方性成分を有し、これらは、力学の分野と同様に、４次応力テンソルのバルク及び弾性剪断率と解釈することができる（参考文献［２８］を参照されたい）。これらの２つの基底は、次式によって定義することができ、

式中、Ｉは、恒等テンソルである。Ｅ _１＝Ｅ _ｂｕｌｋ及びＥ _２＝Ｅ _{ｓｈｅａｒ}は、直角であること、すなわち、次式のようであることに留意されたい。

式中、δ_ｉｊは、ｉ＝ｊの場合に１であり、その他の場合にはゼロである。

式（４４）にあるように平均拡散率ＭＤを推定することと同様に、４次共分散テンソルは、その２つの等方性基底要素に投影することができる。Ｅ _ｂｕｌｋへの投影は、次式に従って、平均拡散率Ｖ_ＭＤ（Ｓ_ｂｕｌｋでも示される）の分散をもたらす。

これは、以下の式（４９〜５３）に従う。

ＳをＥ _{ｓｈｅａｒ}に投影することで、テンソル固有値の分散に関連する別の不変パラメータをもたらし、

（Ｓ_{ｓｈｅａｒ}と示すこともできる）式中、Ｖ_λ（・）は、拡散テンソル固有値（λ_ｉ，ｉ＝１、２、３）の分散をもたらし、

これは、以下の式（５７〜６４）に従う。Ｓではなく

のＥ _{ｓｈｅａｒ}への投影を考えると、

ここで、以下の関係を利用した。

上記に基づいて、Ｓの投影は、次式に従う。

発明者によって実現されるように、Ｖ_ＭＤは、拡散テンソルのバルク変動（すなわち、サイズの変動）と解釈することができ、ΔＶ_λは、それらの剪断（すなわち、方向間の変動）と解釈することができる。

従来の拡散テンソル撮像（ＤＴＩ）において、しばしば考えられる不変パラメータは、異方性度（ＦＡ）である。平均テンソルの固有値の正規化分散によって定義される（例え
ば、参考文献［２９］を参照されたい）。

式（４４〜４８）及び式（５４〜５６）を利用することによって、ＦＡは、次式に従って、それ自体との外積をとることによってより高次に上がる従来の平均拡散テンソルの、バルク及び剪断基底への投影として表すことができる。

したがって、平均拡散テンソルの分散Ｖ_λ（〈Ｄ〉）を、顕微鏡的区画テンソルの（すなわち、サンプルの一部分の部分容積の拡散テンソルの）固有値の平均分散〈Ｖ_λ（Ｄ）〉と置き換えることによって、顕微鏡的ＦＡ（μＦＡ）を次式に従って得ることができ、

式中、

である。全ての顕微鏡的テンソルが同じ組の固有値を共有する場合、それらは、同じ値のＶ_λ（Ｄ）を共有し、その場合、μＦＡは、顕微鏡的テンソルの正確なＦＡをもたらす。

式（６７）を使用してμＦＡを算出することによって、μＦＡの算出における外積がグローバルに平均化したテンソルではなくローカルな拡散テンソルに対して作用するので、パラメータは、配向分散に対して敏感でなくなる。これはまた、単純な実行及び推定も可
能にする。

テンソルのフォークト表記
実行の目的で、テンソルＤ及びＳは、好都合に、フォークト表記で表すことができ、Ｄを、６×１のサイズの列ベクトルとして表すことを可能にする。

４次の４次テンソルＳは、以下、次式に従ってｄに関して定義される、６×６の分散−共分散行列によって表すことができる。

であるので、完全な場合、Ｓは、次式によって与えられる。

Ｂなどのランク４のテンソルは、６×６の行列（式（７０）に類似）、

によって、又は次式に従って、２１×１の列ベクトルｂによるフォークト表記で表すことができる。

フォークト表記を使用することで、バルク及び剪断基底は、次式によって表すことができる。

上で示されるように、これらの２つの等方性バルク及び剪断基底は、意図的に直角であり、また、式（４５）及び式（４６）から分かるように、これらの基底関数を加えることで、単純な構造の対角単位行列が与えられる。

内積及び外積
実現形態においてテンソルの行列及びベクトル表現を使用する１つの利点は、内積及び外積のソフトウェアでの実行が容易になることである。テンソル（例えば、Ｄ）の外積は、次式に従って算出することができ、

したがって、例えば、

を、又はフォークト表記

で定義することができる。

内積は、＜・，・＞によって表され、要素毎の乗算として定義することができ、後に、次式による合計が続く。

２つの行列の内積はまた、次式に従って定義することもできる。

実施形態の説明
以上を考慮し、好ましい実施形態によれば、複数の異なる拡散符号化磁場勾配パルスシーケンスを使用して、サンプルに対して複数の拡散強調エコー減衰測定が行われ、各磁場勾配パルスシーケンスＧ_ｉは、磁場勾配パルスシーケンスＧ_ｉの拡散符号化テンソルｂ_ｉのように生成される。複数のパルスシーケンスは、１〜３つの、好ましくは２〜３つの非ゼロ固有値を有する拡散符号化テンソルを伴うパルスシーケンスの組み合わせを含むことができる。ＮＭＲ分光器又はＭＲＩデバイスに対する本方法の実行に関する上の考察はまた、本実施形態にもあてはまる。

一般的な場合において、ｑ空間の任意の経路をトラバースするために、時間依存勾配によってｑベクトルを確立することができる。拡散符号化テンソルのランク（すなわち非ゼロ固有値の数）は、経路に依存し、ｓＰＦＧの場合は１になり、ｄＰＦＧの場合は、第１及び第２の勾配パルスが直交方向に沿って適用されたときに２になり、３回ＰＦＧ［４］又はｑ−ＭＡＳ［３０］などの等方性符号化の場合には３になる。例えば、平面拡散符号化テンソル、すなわち、平面において回転対称である符号化は、平面ｑ空間軌跡を生み出す一組の時間変動勾配によって達成することができる。ｂ値は、時間及びｑ値双方の関数であるので、低いｑ値でより低い速度を使用することにより、ｑ平面におけるトラバース速度を変動させることによって、定角ｂ値符号化を確実にすることができる。低ｑ時に、長い拡散時間は、より短い拡散時間を有するより高いｑ値として、同じ符号化パワー（ｂ値）を確立することができる。

パルスシーケンスＧ_ｉを使用して取得されるエコー減衰測定値を表す一組のデータ｛Ｅ_１、．．．、Ｅ_ｍ｝は、列ベクトル表現において収集され、整列することができる。ｂ及び〈Ｄ〉は、（フォークト表記を使用して）６×１のサイズで、ｂ_Ｖ及び〈ｄ〉によって示される列ベクトル表現において整列することができ、同様に、４次テンソルＢ及びＳは、２１×１のサイズで、ｂ及びｓで示される列ベクトル表現として整列することができる
。各ｂ_ｉの要素は、式（５）及び式（８）の定義を使用して得ることができる。これで、式（３７）の内積は、次式による単純な行列演算によって表すことができる。

式（３７）は、線形モデルなので、〈ｄ〉及びｓは、以下の式系を解くために、擬似逆転を使用して推定することができる。

式（８０）は、式（３６）のキュムラント展開に基づく線形連立方程式を形成する。データ｛Ｅ_１、．．．、Ｅ_ｍ｝は、線形系の定数を形成する。パルスシーケンスＧ_ｉ及びその４次テンソル表現ｂ_{１、・・・、ｍ}の拡散符合化テンソル表現ｂ_{ｖ１、・・・、ｍ}は、線形系のパラメータを形成する。

合計で、モデルは、Ｅ_０、〈ｄ〉、及びｓで、１＋６＋２１＝２８個の自由パラメータを有する。擬似逆転を使用した式（８０）の解の推定を可能にするために、バルク成分

と剪断成分

との間の相関が１未満であるように、変動する形態の測定テンソルによってデータを取得しなければならない。これは、従来のｓＰＦＧによってＳの２つの等方性成分の分離が何故できないのかを説明する。符号化テンソルのバルク成分及び剪断成分が完全に相関していないと仮定すると、測定回数が２８を超えた場合に、擬似逆転が行われ得る。しかし
ながら、＜ｄ＞及びｓの投影だけを求める場合は、より少ない測定を使用することができる。

上記において、限られた数の実施例を参照して発明概念が主として記載されている。しかしながら、当業者により容易に理解されるように、上記で開示される実施例以外のその他の実施例は、添付の請求項により定義されたような、発明概念の範囲内で同様に可能である。

参考文献一覧
上の開示において、一対の角括弧「［］」間の１つ以上の数字は、対応するように番号付けられた以下の参考文献一覧の参考文書を指す。
［１］Ｐ．Ｔ．Ｃａｌｌａｇｈａｎ，Ｏ．Ｓｏｄｅｒｍａｎ，Ｅｘａｍｉｎａｔｉｏｎ
ｏｆ ｔｈｅ ｌａｍｅｌｌａｒ ｐｈａｓｅ ｏｆ Ａｅｒｏｓｏｌ ＯＴ／ｗａｔｅｒ ｕｓｉｎｇ ｐｕｌｓｅｄ ｆｉｅｌｄ ｇｒａｄｉｅｎｔ ｎｕｃｌｅａｒ ｍａｇｎｅｔｉｃ ｒｅｓｏｎａｎｃｅ，Ｊ．Ｐｈｙｓ．Ｃｈｅｍ．，８７（１９８３）１７３７〜１７４４。
［２］Ｍ．Ｅ．Ｍｏｓｅｌｅｙ，Ｊ．Ｋｕｃｈａｒｃｚｙｋ，Ｈ．Ｓ．Ａｓｇａｒｉ，Ｄ．Ｎｏｒｍａｎ，Ａｎｉｓｏｔｒｏｐｙ ｉｎ ｄｉｆｆｕｓｉｏｎ−ｗｅｉｇｈｔｅｄ ＭＲＩ，Ｍａｇｎ．Ｒｅｓｏｎ．Ｍｅｄ．，１９（１９９１）３２１〜３２６。
［３］Ｅ．Ｏ．Ｓｔｅｊｓｋａｌ，Ｊ．Ｅ．Ｔａｎｎｅｒ，Ｓｐｉｎ ｄｉｆｆｕｓｉｏｎ ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔｓ：Ｓｐｉｎ ｅｃｈｏｅｓ ｉｎ ｔｈｅ ｐｒｅｓｅｎｃｅ ｏｆ ａ ｔｉｍｅ−ｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ｆｉｅｌｄ ｇｒａｄｉｅｎｔ，Ｊ．Ｃｈｅｍ．Ｐｈｙｓ．，４２（１９６５）２８８〜２９２。
［４］Ｓ．Ｅｒｉｋｓｓｏｎ，Ｓ．Ｌａｓｉｃ，Ｄ．Ｔｏｐｇａａｒｄ，Ｉｓｏｔｒｏｐｉｃ ｄｉｆｆｕｓｉｏｎ ｗｅｉｇｈｔｉｎｇ ｉｎ ＰＧＳＥ ＮＭＲ ｂｙ ｍａｇｉｃ−ａｎｇｌｅ ｓｐｉｎｎｉｎｇ ｏｆ ｔｈｅ ｑ−ｖｅｃｔｏｒ，Ｊ．Ｍａｇｎ．Ｒｅｓｏｎ．，２２６（２０１３）１３〜１８。
［５］Ｌ．Ｆｒｙｄｍａｎ，Ｇ．Ｃ．Ｃｈｉｎｇａｓ，Ｙ．Ｋ．Ｌｅｅ，Ｐ．Ｊ．Ｇｒａｎｄｉｎｅｔｔｉ，Ｍ．Ａ．Ｅａｓｔｍａｎ，Ｇ．Ａ．Ｂａｒｒａｌｌ，Ａ．Ｐｉｎｅｓ，Ｖａｒｉａｂｌｅ−ａｎｇｌｅ ｃｏｒｒｅｌａｔｉｏｎ ｓｐｅｃｔｒｏｓｃｏｐｙ ｉｎ ｓｏｌｉｄ−ｓｔａｔｅ ｎｕｃｌｅａｒ ｍａｇｎｅｔｉｃ ｒｅｓｏｎａｎｃｅ，Ｊ．Ｃｈｅｍ．Ｐｈｙｓ．，９７（１９９２）４８００〜４８０８。
［６］Ａ．Ｂａｘ，Ｎ．Ｍ．Ｓｚｅｖｅｒｅｎｙｉ，Ｇ．Ｅ．Ｍａｃｉｅｌ，Ｃｈｅｍｉｃａｌ ｓｈｉｆｔ ａｎｉｓｏｔｒｏｐｙ ｉｎ ｐｏｗｄｅｒｅｄ ｓｏｌｉｄｓ
ｓｔｕｄｉｅｄ ｂｙ ２Ｄ ＦＴ ＮＭＲ ｗｉｔｈ ｆｌｉｐｐｉｎｇ ｏｆ ｔｈｅ ｓｐｉｎｎｉｎｇ ａｘｉｓ，Ｊ．Ｍａｇｎ．Ｒｅｓｏｎ．，５５（１９８３）４９４〜４９７。
［７］Ｙ．−Ｑ．Ｓｏｎｇ，Ｌ．Ｖｅｎｋａｔａｒａｍａｎａｎ，Ｍ．Ｄ．Ｈｕｒｌｉｍａｎｎ，Ｍ．Ｆｌａｕｍ，Ｐ．Ｆｒｕｌｌａ，Ｃ．Ｓｔｒａｌｅｙ，Ｔ１−Ｔ２ ｃｏｒｒｅｌａｔｉｏｎ ｓｐｅｃｔｒａ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｕｓｉｎｇ ａ ｆａｓｔ ｔｗｏ−ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ Ｌａｐｌａｃｅ ｉｎｖｅｒｓｉｏｎ，Ｊ．Ｍａｇｎ．Ｒｅｓｏｎ．，１５４（２００２）２６１〜２６８。
［８］Ｍ．Ｌｕｓｔｉｇ，Ｄ．Ｄｏｎｏｈｏ，Ｊ．Ｍ．Ｐａｕｌｙ，Ｓｐａｒｓｅ ＭＲＩ：Ｔｈｅ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ ｃｏｍｐｒｅｓｓｅｄ ｓｅｎｓｉｎｇ
ｆｏｒ ｒａｐｉｄ ＭＲ ｉｍａｇｉｎｇ，Ｍａｇｎ．Ｒｅｓｏｎ．Ｍｅｄ．，５８（２００７）１１８２〜１１９５。
［９］Ｍ．Ｍｏｂｌｉ，Ｍ．Ｗ．Ｍａｃｉｅｊｅｗｓｋｉ，Ａ．Ｄ．Ｓｃｈｕｙｌｅｒ，Ａ．Ｓ．Ｓｔｅｒｎ，Ｊ．Ｃ．Ｈｏｃｈ，Ｓｐａｒｓｅ ｓａｍｐｌｉｎｇ ｍｅｔｈｏｄｓ ｉｎ ｍｕｌｔｉｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ＮＭＲ，Ｐｈｙｓ．Ｃｈｅｍ．Ｃｈｅｍ．Ｐｈｙｓ．，１４（２０１２）１０８３５〜１０８４３。
［１０］Ｄ．Ｔｏｐｇａａｒｄ，Ｉｓｏｔｒｏｐｉｃ ｄｉｆｆｕｓｉｏｎ ｗｅｉｇｈｔｉｎｇ ｉｎ ＰＧＳＥ ＮＭＲ：Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ
ｏｆ ｔｈｅ ｑ−ＭＡＳ ＰＧＳＥ ｓｅｑｕｅｎｃｅ，Ｍｉｃｒｏｐｏｒｏｕｓ Ｍｅｓｏｐｏｒｏｕｓ Ｍａｔｅｒ．，１７８（２０１３）６０〜６３。
［１１］Ｐ．Ｊ．Ｂａｓｓｅｒ，Ｊ．Ｍａｔｔｉｅｌｌｏ，Ｄ．Ｌｅ Ｂｉｈａｎ，ＭＲ ｄｉｆｆｕｓｉｏｎ ｔｅｎｓｏｒ ｓｐｅｃｔｒｏｓｃｏｐｙ ａｎｄ ｉｍａｇｉｎｇ，Ｂｉｏｐｈｙｓ．Ｊ．，６６（１９９４）２５９〜２６７。
［１２］Ｋ．Ｓｃｈｍｉｄｔ−Ｒｏｈｒ，Ｈ．Ｗ．Ｓｐｉｅｓｓ，Ｍｕｌｔｉｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｓｏｌｉｄ−ｓｔａｔｅ ＮＭＲ ａｎｄ ｐｏｌｙｍｅｒｓ，Ａｃａｄｅｍｉｃ Ｐｒｅｓｓ，Ｓａｎ Ｄｉｅｇｏ，（１９９４）。
［１３］Ｍ．Ｄｕｅｒ，Ｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎ ｔｏ ｓｏｌｉｄ−ｓｔａｔｅ ＮＭＲ ｓｐｅｃｔｒｏｓｃｏｐｙ，Ｂｌａｃｋｗｅｌｌ Ｐｕｂｌｉｓｈｉｎｇ Ｌｔｄ，Ｏｘｆｏｒｄ，（２００４）。
［１４］Ｗ．Ｓ．Ｐｒｉｃｅ，ＮＭＲ ｓｔｕｄｉｅｓ ｏｆ ｔｒａｎｓｌａｔｉｏｎａｌ ｍｏｔｉｏｎ，Ｃａｍｂｒｉｄｇｅ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ Ｐｒｅｓｓ，Ｃａｍｂｒｉｄｇｅ，（２００９）。
［１５］Ｐ．Ｔ．Ｃａｌｌａｇｈａｎ，Ｔｒａｎｓｌａｔｉｏｎａｌ ｄｙｎａｍｉｃｓ ＆ ｍａｇｎｅｔｉｃ ｒｅｓｏｎａｎｃｅ，Ｏｘｆｏｒｄ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ
Ｐｒｅｓｓ，Ｏｘｆｏｒｄ，（２０１１）。
［１６］Ｇ．Ｂ．Ａｒｆｋｅｎ，Ｈ．−Ｊ．Ｗｅｂｅｒ，Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ｍｅｔｈｏｄｓ ｆｏｒ ｐｈｙｓｉｃｉｓｔｓ，４ｔｈ ｅｄ．，Ａｃａｄｅｍｉｃ Ｐｒｅｓｓ，Ｓａｎ Ｄｉｅｇｏ，（１９９５）。
［１７］Ｖ．Ｊ．Ｗｅｄｅｅｎ，Ｄ．Ｌ．Ｒｏｓｅｎｅ，Ｒ．Ｗａｎｇ，Ｇ．Ｄａｉ，Ｆ．Ｍｏｒｔａｚａｖｉ，Ｐ．Ｈａｇｍａｎｎ，Ｊ．Ｈ．Ｋａａｓ，Ｗ．−Ｙ．Ｉ．Ｔｓｅｎｇ，Ｔｈｅ ｇｅｏｍｅｔｒｉｃ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｏｆ ｔｈｅ ｂｒａｉｎ
ｆｉｂｅｒ ｐａｔｈｗａｙｓ，Ｓｃｉｅｎｃｅ，３３５（２０１２）１６２８〜１６３４。
［１８］Ｋ．Ｐ．Ｗｈｉｔｔａｌ，Ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ｌａｒｇｅ ｏｎｅ−ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ａｎｄ ｔｗｏ−ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｒｅｌａｘａｔｉｏｎ ｄａｔａ ｓｅｔｓ，Ｊ．Ｍａｇｎ．Ｒｅｓｏｎ．Ａ，１１０（１９９４）２１４〜２１８。
［１９］Ｄ．Ｂｅｒｎｉｎ，Ｄ．Ｔｏｐｇａａｒｄ，ＮＭＲ ｄｉｆｆｕｓｉｏｎ ａｎｄ ｒｅｌａｘａｔｉｏｎ ｃｏｒｒｅｌａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄｓ：Ｎｅｗ ｉｎｓｉｇｈｔｓ ｉｎ ｈｅｔｅｒｏｇｅｎｅｏｕｓ ｍａｔｅｒｉａｌｓ，Ｃｕｒｒ．Ｏｐｉｎ．Ｃｏｌｌｏｉｄ Ｉｎｔｅｒｆａｃｅ Ｓｃｉ．，１８（２０１３）１６６〜１７２。
［２０］Ｊ．Ｍｉｔｃｈｅｌｌ，Ｔ．Ｃ．Ｃｈａｎｄｒａｓｅｋｅｒａ，Ｌ．Ｆ．Ｇｌａｄｄｅｎ，Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ ｏｆ ｒｅｌａｘａｔｉｏｎ
ａｎｄ ｄｉｆｆｕｓｉｏｎ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｓ ｉｎ ｔｗｏ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓ，Ｐｒｏｇ．Ｎｕｃｌ．Ｍａｇｎ．Ｒｅｓｏｎ．Ｓｐｅｃｔｒｏｓｃ．，６２（２０１２）３４〜５０。
［２１］Ｂ．Ｊｏｎｓｓｏｎ，Ｂ．Ｌｉｎｄｍａｎ，Ｋ．Ｈｏｌｍｂｅｒｇ，Ｂ．Ｋｒｏｎｂｅｒｇ，Ｓｕｒｆａｃｔａｎｔｓ ａｎｄ ｐｏｌｙｍｅｒｓ ｉｎ ａｑｕｅｏｕｓ ｓｏｌｕｔｉｏｎ，Ｊｏｈｎ Ｗｉｌｅｙ ＆ Ｓｏｎｓ Ｌｔｄ，（１９９８）。
［２２］Ｍ．Ｂａｋ，Ｎ．Ｃ．Ｎｉｅｌｓｅｎ，ＲＥＰＵＬＳＩＯＮ，Ａ ｎｏｖｅｌ
ａｐｐｒｏａｃｈ ｔｏ ｅｆｆｉｃｉｅｎｔ ｐｏｗｄｅｒ ａｖｅｒａｇｉｎｇ ｉｎ ｓｏｌｉｄ−ｓｔａｔｅ ＮＭＲ，Ｊ．Ｍａｇｎ．Ｒｅｓｏｎ．，１２５（１９９７）１３２〜１３９。
［２３］Ｄ．Ｋ．Ｊｏｎｅｓ，Ｍ．Ａ．Ｈｏｒｓｆｉｅｌｄ，Ａ．Ｓｉｍｍｏｎｓ，Ｏ
ｐｔｉｍａｌ ｓｔｒａｔｅｇｉｅｓ ｆｏｒ ｍｅａｓｕｒｉｎｇ ｄｉｆｆｕｓｉｏｎ ｉｎ ａｎｉｓｏｔｒｏｐｉｃ ｓｙｓｔｅｍｓ ｂｙ ｍａｇｎｅｔｉｃ ｒｅｓｏｎａｎｃｅ ｉｍａｇｉｎｇ，Ｍａｇｎ．Ｒｅｓｏｎ．Ｍｅｄ．，４２（１９９９）５１５〜５２５。
［２４］Ｌｅ Ｂｉｈａｎ，Ｄ．，Ｊ．Ｂ．Ｈ．：Ｄｉｆｆｕｓｉｏｎ ＭＲＩ ａｔ
２５：ｅｘｐｌｏｒｉｎｇ ｂｒａｉｎ ｔｉｓｓｕｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ａｎｄ
ｆｕｎｃｔｉｏｎ（２０１２）。
［２５］Ａｓｓａｆ，Ｙ．，Ｐ．Ｏ．：Ｄｉｆｆｕｓｉｏｎ ＭＲＩ ａｔ ２５：ｅｘｐｌｏｒｉｎｇ ｂｒａｉｎ ｔｉｓｓｕｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ａｎｄ ｆｕｎｃｔｉｏｎ（２００８）。
［２６］Ｊｏｎｅｓ，Ｄ．Ｋ．，Ｋ．Ｔ．Ｒ．Ｔ．Ｒ．：Ｗｈｉｔｅ ｍａｔｔｅｒ ｉｎｔｅｇｒｉｔｙ，ｆｉｂｅｒ ｃｏｕｎｔ，ａｎｄ ｏｔｈｅｒ ｆａｌｌａｃｉｅｓ：ｔｈｅ ｄｏｓ ａｎｄ ｄｏｎ’ｔ’ｓ ｏｆ ｄｉｆｆｕｓｉｏｎ ｍｒｉ（２０１３）
［２７］Ｖｏｓ，Ｓ．Ｂ．，Ｊ．Ｄ．Ｋ．Ｊ．Ｂ．Ｖ．Ｍ．Ａ．Ｌ．Ａ．：Ｔｈｅ ｉｎｆｌｕｅｎｃｅ ｏｆ ｃｏｍｐｌｅｘ ｗｈｉｔｅ ｍａｔｔｅｒ ａｒｃｈｉｔｅｃｔｕｒｅ ｏｎ ｔｈｅ ｍｅａｎ ｄｉｆｆｕｓｉｖｉｔｙ ｉｎ ｄｉｆｆｕｓｉｏｎ ｔｅｎｓｏｒ ｍｒｉ ｏｆ ｔｈｅ ｈｕｍａｎ ｂｒａｉｎ（２０１２）
［２８］Ｍｏａｋｈｅｒ，Ｍ．：Ｆｏｕｒｔｈ−ｏｒｄｅｒ ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｔｅｎｓｏｒｓ：ｏｌｄ ａｎｄ ｎｅｗ ｆａｃｔｓ，ｎｏｔｉｏｎｓ ａｎｄ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ．Ｔｈｅ Ｑｕａｒｔ．Ｊｏｕｒ．ｏｆ Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ ａｎｄ Ａｐｐｌｉｅｄ Ｍａｔｈ．６１（２）（２００８）１８１〜２０３
［２９］Ｂａｓｓｅｒ，Ｐ．Ｊ．，Ｐｉｅｒｐａｏｌｉ，Ｃ．：Ｍｉｃｒｏｓｔｒｕｃｔｕｒａｌ ａｎｄ ｐｈｙｓｉｏｌｏｇｉｃａｌ ｆｅａｔｕｒｅｓ ｏｆ ｔｉｓｓｕｅｓ ｅｌｕｃｉｄａｔｅｄ ｂｙ ｑｕａｎｔｉｔａｔｉｖｅ−ｄｉｆｆｕｓｉｏｎ−ｔｅｎｓｏｒ ｍｒｉ．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｍａｇｎｅｔｉｃ Ｒｅｓｏｎａｎｃｅ，Ｓｅｒｉｅｓ Ｂ １１１（３）（１９９６）２０９〜２１９
［３０］Ｖａｌｅｔｔｅ，Ｊ．，Ｇｉｒａｕｄｅａｕ，Ｃ．，Ｍａｒｃｈａｄｏｕｒ，Ｃ．，Ｄｊｅｍａｉ，Ｂ．，Ｇｅｆｆｒｏｙ，Ｆ．，Ｇｈａｌｙ，Ｍ．Ａ．，ＬｅＢｉｈａｎ，Ｄ．，Ｈａｎｔｒａｙｅ，Ｐ．，Ｌｅｂｏｎ，Ｖ．，Ｌｅｔｈｉｍｏｎｎｉｅｒ，Ｆ．：Ａ ｎｅｗ ｓｅｑｕｅｎｃｅ ｆｏｒ ｓｉｎｇｌｅ−ｓｈｏｔ ｄｉｆｆｕｓｉｏｎ−ｗｅｉｇｈｔｅｄ ｎｍｒ ｓｐｅｃｔｒｏｓｃｏｐｙ ｂｙ ｔｈｅ ｔｒａｃｅ ｏｆ ｔｈｅ ｄｉｆｆｕｓｉｏｎ ｔｅｎｓｏｒ．ＭＲＭ ６８（６）（２０１２）１７０５〜１７１２

Claims (20)

1. サンプルにおける等方性拡散及び／又は異方性拡散を定量化するための方法であって、
   拡散符号化磁場勾配パルスシーケンスＧ_{ｉ＝１、・・・、ｍ}を使用して、前記サンプルに対して拡散強調磁気共鳴測定を行うことであって、各磁場勾配パルスシーケンスＧ_ｉが、前記磁場勾配パルスシーケンスＧ_ｉの拡散符号化テンソルｂ_ｉが１〜３つの非ゼロ固有値を有するように生成され、式中、
   であり、ｑ_ｉ（ｔ）が、
   に比例する脱位相ベクトルであり、τが、エコー時間である、測定を行うことと、
   磁気共鳴エコー信号の測定値を表すデータを収集することであって、前記エコー信号を表すデータの少なくともサブセットが、異方性拡散強調を引き起こす一組の磁場勾配パルスシーケンスで取得され、前記一組の磁場勾配パルスシーケンスの各勾配パルスシーケンスの前記拡散符号化テンソルが、３つの非ゼロ固有値を有し、前記３つの固有値のうちの少なくとも１つが、他の固有値とは異なる、データを収集することと、
   前記データを使用して、等方性拡散の程度及び／又は異方性拡散の程度を算出することと、を含む、方法。
2. 前記データのサブセットが、前記サンプルの一部分からのエコー信号を表し、前記一部分が、異なる程度の等方性拡散、又は異なる程度及び／若しくは異なる配向の異方性拡散を示す複数の部分容積を含み、等方性拡散の程度及び／又は異方性拡散の程度の前記算出が、前記部分容積のうちの少なくとも１つについて、等方性拡散の程度の推定値及び／又は異方性拡散の程度の推定値の算出を含む、請求項１に記載の方法。
3. 前記一組の磁場勾配パルスシーケンスが、第１の組の磁場勾配パルスシーケンスを形成し、前記データのサブセットが、前記第１の組の磁場勾配パルスシーケンスで取得される第１のエコー減衰曲線を表すデータの第１のサブセットを形成し、
   前記データが、等方性又は異方性拡散強調を引き起こす第２の組の磁場勾配パルスシーケンスで取得される第２のエコー減衰曲線を表すデータの少なくとも第２のサブセットを更に含む、請求項１又は２に記載の方法。
4. 前記第１の組の各パルスシーケンスが、前記パルスシーケンスの前記拡散符号化テンソルの第１の固有値及び第２の固有値が互いに等しくなるようなものであり、
   前記第２の組の各パルスシーケンスが、前記パルスシーケンスの前記拡散符号化テンソルの第１の固有値及び第２の固有値が互いに等しくなるようなものである、請求項３に記載の方法。
5. 磁場勾配パルスの前記第１の組及び前記第２の組の前記パルスシーケンスが、変動する最大勾配強度を有する、請求項４に記載の方法。
6. 前記第１の組の各パルスシーケンスについて、次式によって定義可能な第１の拡散符号
   化テンソル不変量Δ_ｂ，１が存在し、
   式中、ｂ_ｘｘ ^ＰＡＳが、前記パルスシーケンスの前記拡散符号化テンソルの第１の固有値を表し、ｂ_ｙｙ ^ＰＡＳが、前記パルスシーケンスの前記拡散符号化テンソルの第２の固有値を表し、ｂ_ｚｚ ^ＰＡＳが、前記パルスシーケンスの前記拡散符号化テンソルの第３の固有値を表し、
   前記第１の組のパルスシーケンスが、前記第１の組の前記パルスシーケンスの前記第１の拡散符号化テンソル不変量Δ_ｂ，１が互いに等しくなるようなものである、請求項３〜５のいずれか一項に記載の方法。
7. 前記第２の組の各パルスシーケンスについて、次式によって定義可能な第２の拡散符号化テンソル不変量Δ_ｂ，２が存在し、
   式中、ｂ_ｘｘ ^ＰＡＳが、前記パルスシーケンスの前記拡散符号化テンソルの第１の固有値を表し、ｂ_ｙｙ ^ＰＡＳが、前記パルスシーケンスの前記拡散符号化テンソルの前記第２の固有値を表し、ｂ_ｚｚ ^ＰＡＳが、前記パルスシーケンスの前記拡散符号化テンソルの第３の固有値を表し、
   前記第２の組のパルスシーケンスが、前記第２の組の前記パルスシーケンスの前記第２の拡散符号化テンソル不変量Δ_ｂ，２が互いに等しくなるようなものであり、Δ_ｂ，２が、Δ_ｂ，１とは異なる、請求項６に記載の方法。
8. 等方性拡散の程度及び／又は異方性拡散の程度の算出が、
   前記第１の組のパルスシーケンスで取得される第１のエコー信号と前記第２の組のパルスシーケンスで取得される第２のエコー信号との間の変化、変動、又は差を分析することによって、等方性拡散の程度及び／又は異方性拡散の程度を算出することを含む、請求項３〜７のいずれか一項に記載の方法。
9. 前記データの前記第１のサブセット及び前記データの前記第２のサブセットに加えて、前記データが、異方性拡散強調を引き起こす第３の組の磁場勾配パルスシーケンスで取得されるデータの少なくとも第３のサブセットを含み、
   前記第３の組の各勾配パルスシーケンスの前記拡散符号化テンソルが、３つの非ゼロ固有値を有し、そのうちの第１の固有値及び第２の固有値が、互いに等しく、かつ第３の固有値とは異なり、
   前記第３の組の各パルスシーケンスについて、次式によって定義可能な第３の拡散符号化テンソル不変量Δ_ｂ，３が存在し、
   式中、ｂ_ｘｘ ^ＰＡＳが、前記パルスシーケンスの前記拡散符号化テンソルの第１の固有値を表し、ｂ_ｙｙ ^ＰＡＳ前記パルスシーケンスの前記拡散符号化テンソルの前記第２の固有値を表し、ｂ_ｚｚ ^ＰＡＳが、前記パルスシーケンスの前記拡散符号化テンソルの第３の固有値を表し、
   前記第３の組のパルスシーケンスが、前記第３の組の前記パルスシーケンスの前記第３の拡散符号化テンソル不変量Δ_ｂ，３が互いに等しくなるようなものであり、Δ_ｂ，３が、Δ_ｂ，２及びΔ_ｂ，１とは異なる、請求項３〜８のいずれか一項に記載の方法。
10. 前記第１の組の各パルスシーケンスが、Δ_ｂ，１＞０であるようなものであり、前記第２の組の各パルスシーケンスが、Δ_ｂ，２＝０であるようなものであり、前記第３の組の各パルスシーケンスが、Δ_ｂ，３＜０であるようなものである、請求項９に記載の方法。
11. 前記エコー信号を表す前記データに基づいて、前記エコー信号の各１つの確率がモデル等方性拡散パラメータＤ_ｉｓｏ及び／又はモデル異方性拡散パラメータΔ_Ｄの複数の異なる値の各１つと関連付けられることを示す確率分布を算出することを更に含む、請求項３〜１０のいずれか一項に記載の方法。
12. 前記確率分布が、前記データによって表される前記エコー信号をカーネル関数と前記確率分布との積に関連付ける連立方程式の解を決定することによって算出される、請求項１１に記載の方法。
13. 前記確率分布が、同時確率分布であり、前記カーネル関数が、少なくともＭ×Ｎ個の要素を含む行列であり、前記要素の各々が、次式、
    拡散強調強度ｂ、拡散符合化テンソル不変量Δ_ｂ、前記モデル等方性拡散パラメータＤ_ｉｓｏ、及び前記モデル異方性拡散パラメータΔ_Ｄの値の組み合わせについての積分に基づく、請求項１２に記載の方法。
14. 前記第１の組の磁場勾配パルスシーケンスの各パルスシーケンスを前記サンプルに複数回適用することであって、前記勾配パルスの異なる配向が固定実験室枠に対するものである、適用することと、
    前記異なる配向について取得されるエコー減衰の測定値を平均することによって前記データの第１のサブセットを形成することと、を更に含む、請求項１〜１３のいずれか一項に記載の方法。
15. 前記拡散符号化磁場勾配パルスシーケンスＧ_ｉの各１つが、３回刺激エコーシーケンスの一部を形成する、請求項１〜１４のいずれか一項に記載の方法。
16. エコー信号Ｅを拡散符号化テンソルｂ及び拡散テンソルＤに関連付ける関数の展開に基
    づいて、連立方程式を形成することと、
    前記データによって表されるエコー信号の測定値及び前記拡散符号化テンソルｂ_ｉの少なくともサブセットの表現を使用して、前記連立方程式の解を決定することによって平均拡散テンソル＜Ｄ＞及び拡散テンソル共分散テンソルＳを算出することと、
    前記共分散テンソルＳをバルク基底Ｓ_ｂｕｌｋに投影することによって、Ｓの不変バルク成分Ｅ _ｂｕｌｋを算出することと、
    前記共分散テンソルＳを剪断基底Ｓ_{ｓｈｅａｒ}に投影することによって、Ｓの不変剪断成分Ｅ _{ｓｈｅａｒ}を算出することと、
    前記不変バルク成分Ｓ_ｂｕｌｋ及び／又は前記不変剪断成分Ｓ_{ｓｈｅａｒ}を使用して、等方性拡散の程度及び／又は異方性拡散の程度を算出することと、を更に含む、請求項１〜３のいずれか一項に記載の方法。
17. 前記連立方程式が、関数Ｅ（ｂ）＝〈ｅｘｐ（−＜ｂ，Ｄ＞）〉のキュムラント展開と同等である、請求項１６に記載の方法。
18. 前記異方性拡散の程度が、前記不変剪断成分Ｓ_{ｓｈｅａｒ}の合計、及び前記平均拡散テンソル＜Ｄ＞の二乗の前記剪断基底Ｅ _{ｓｈｅａｒ}への投影に基づいて算出される、請求項１６又は１７に記載の方法。
19. 前記異方性拡散の前記程度が、前記平均拡散テンソル＜Ｄ＞の二乗の前記バルク基底Ｅ _ｂｕｌｋへの投影と前記合計の比率に基づいて算出される、請求項１８に記載の方法。
20. 前記異方性拡散の程度が、前記比率に基づいて顕微鏡的異方性度μＦＡの推定値として算出される、請求項１９に記載の方法。