JP6494218B2 - 劣決定系線型方程式の求解装置、被検体情報取得装置 - Google Patents
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Description
機器では、人体内部の3次元構造を、2次元平面への投影観測画像から再構成する。推定したい3次元構造を未知ベクトルx、X線投影のような観測過程を行列A、観測信号をbとおくと、この観測過程は次のように定式化できる:
Aは係数行列、bは定数ベクトルあるいは右辺ベクトルとも呼ばれる。
劣決定系線型方程式は解が無数に存在するので、一般に正則化と呼ばれる技術を適用することによって解を一意に決定する。
スパース正則化のアルゴリズムは大きく2種類に分類することが出来る。「Greedy algorithm」と「L1正則化」である。Greedy algorithmで最も性能が良い方法が、非特許文献1に開示されたsubspace pursuit(以下SPと略記する。)であり、L1正則化で最も性能が良い方法が非特許文献2に開示されたFISTAである。
ステップS301では、係数行列A、定数ベクトルbの値を設定する。また、非ゼロ要
素の数Kを設定する。Kの値はユーザが決めるものであり、K≦M/2を満たす任意の値が設定される。
以下、変数xの要素番号の集合をΩと表記し、全体集合をΩall:={1,2,…,N}と表記する。
ステップS304では、疑似誤差ε(t−1):=ATr(t−1)を計算し、疑似誤差の絶対値が大きい順にK個の要素を抽出する。抽出されたK個の要素の要素番号の集合
をΔΩ(t)とする。
ステップS305では、集合Ωp (t)=Ω(t−1)∪ΔΩ(t)を求め、射影作用素P(t):=Ωall→Ωp (t)を生成する。Ωp (t)の要素数はK個以上M個以下である。例えば、Ωall:={1,2,…,5}でΩp (t):={1,3,5}のとき、射影作用素P(t)は以下の行列になる。
ただし、z(t):=P(t)x(t)は部分問題での変数であり、次元はK以上M以下である。
次元がMのとき、式(3)は正則であり解が一意に決まるので、通常の連立方程式の求解法、例えばJacobi法、Gauss-Seidel法、SOR法のような直接法や共役勾配法のような反
復解法を用いる。一方、次元がM未満のときは優決定系なので、最小二乗法の問題と捉え、例えば次式を求解する:
ゼロ要素候補の値に基づき、前記求めるべき変数のN個の要素の値を更新する更新ステップと、を実行することを特徴とする劣決定系線型方程式の求解装置である。
以下、本発明に係る求解方法および求解装置の好ましい実施形態について、図面を参照して詳しく説明する。
図2は、本発明の実施形態に係る求解装置として機能するコンピュータの基本構成を示すブロック図である。このコンピュータは、大略、バス207を介して接続されたCPU201、表示装置202、入力装置203、RAM204、ハードディスク装置205、NIC206等から構成される。
ディスク装置205には、OS(オペレーティングシステム)や、コンピュータが行うべき後述の各処理をCPU201に実行させるためのプログラムやデータが保存されている。これらのプログラムがRAM204にロードされ、CPU201によって実行されることで、本コンピュータが連立線型方程式を数値的に解くための求解装置として機能する。NIC(ネットワークインターフェースコントローラ)206は、外部装置とのデータ通信を行う際のインターフェースとして機能するものである。本コンピュータはこのNIC206を介して外部装置とプログラムやデータの送受信を行う。
次に、本実施形態に係る劣決定系線型方程式の求解方法について説明する。ここでは、解くべき連立線型方程式としてAx=bが与えられるものとする。Aは係数行列であり、bが定数ベクトル(右辺ベクトル)であり、xが求めるべき変数ベクトルである。また、変数ベクトルの次元、つまり変数xの要素数はNであり、定数ベクトルの次元、つまり方程式の数はMであり、1≦M<N(M,Nは整数)である。
ステップS102において、CPU201は、変数xのメモリ領域を確保し、初期値x(0)を設定する。また、反復回数t=1に設定する。
ステップS104において、CPU201は、残差r(t−1)を用いて疑似誤差ε(t−1):=ATr(t−1)を計算する。そして、CPU201は、疑似誤差の絶対値が大きい順にM個の要素を抽出し、抽出されたM個の要素の要素番号の集合をΔΩ(t)とする。
ただし、射影作用素は陽に確保する必要はない。したがって、プログラムの実装では、
非ゼロ要素候補の要素番号(つまりΩp (t)の要素)だけをメモリに記憶しておけばよい。以下に述べる部分問題を取り扱う場合でも、射影作用素P(t)の計算を行うよりも、非ゼロ要素候補の要素番号に対応する部分を抽出する操作を行う方が計算量的に有利である。
ただし、z(t):=P(t)x(t)である。変数z(t)の要素数はM個以上2M個以下である。方程式はM個なので、要素数がM個の場合以外は不良設定問題になる。よって、式(7)の部分問題は、なんらかの正則化法を用いて求解する。
評価関数の第1項は式(7)の連立方程式の残差ベクトルのL2ノルムであり、残差ノルムと呼ばれる。また、第2項は解ベクトルzのL1ノルム(ベクトルzの全要素の絶対値和)に定数λを乗じたものである。この評価関数L1は、解ベクトルzが正解に近づくほど第1項が小さくなり、解ベクトルzがスパースになるほど(ゼロ要素が増すほど)第2項が小さくなる、という性質をもつ。
ステップS401では、CPU201が、変数z(0)とy(1)に初期値を設定し、反復回数k=1、μ(1)=1とする。
ステップS402では、CPU201が変数zのステップ幅βを決定する。ステップ幅βには、次式で定義される∇L2のLipschitz定数の逆数を設定するが、次元が大きくな
ると計算時間が膨大になるので、近似値で代替してもよい。ただし、近似値はLipschitz
定数の逆数を超えてはならない。
ステップ幅βは黄金分割探索(golden section search)によって決定することもでき
る。また、計算可能であれば次式によりステップ幅βを求めることも有効である:
ここで、proxγは下記式で定義される関数である。
γは反復回数に対して単調減少するように、例えば以下のように設定する。
ただし、kMAXはユーザが設定した最大反復回数である。
残差ノルムを最も小さくする変数xをメモリに記憶しておき、そのときの変数xの値を最適解として出力してもよい。
本実施形態の求解方法を被検体情報取得装置における画像再構成処理に適用した例について説明する。被検体情報取得装置とは、観測系によって得られた観測データから被検体の内部の情報を表す画像データを再構成する装置であり、例えば、医用画像診断装置(X線CT、MRI、光音響トモグラフィ、超音波診断装置など)や非破壊検査装置が該当する。
は、観測系601を構成する信号発生源や検出器の物理的特性などを元に理論的に作成してもよいし、内部構造が既知のサンプルを観測系601で実測した結果から作成してもよい。図6のA1、A2、A3はそれぞれ、信号発生源608と検出器611の特性、信号発生源609と検出器612の特性、信号発生源610と検出器613の特性を示している。
Claims (10)
- 求めるべき変数の要素数がNであり線型方程式の数がMである(M及びNは1≦M<Nを満たす整数)、劣決定系の連立線型方程式を反復計算により解くための求解装置であって、
反復計算を行う計算手段を備え、
前記計算手段は、各反復において、
前記変数のN個の要素のなかから非ゼロ要素候補をM個以上抽出する抽出ステップと、
抽出した非ゼロ要素候補のみを変数とする部分問題を設定し、前記部分問題を不良設定問題として求解する部分問題求解ステップと、
前記部分問題求解ステップで得られた非ゼロ要素候補の値に基づき、前記求めるべき変数のN個の要素の値を更新する更新ステップと、を実行することを特徴とする劣決定系線型方程式の求解装置。 - 前記計算手段は、前記部分問題求解ステップでは、スパース正則化法を用いて前記部分問題を求解することを特徴とする請求項1に記載の劣決定系線型方程式の求解装置。
- 前記計算手段は、前記抽出ステップでは、前記連立線型方程式に前記変数の値を代入したときの左辺と右辺の差である残差に基づいて、抽出する非ゼロ要素候補を決定することを特徴とする請求項1又は2に記載の劣決定系線型方程式の求解装置。
- 前記計算手段は、前記抽出ステップでは、前記残差に基づき前記N個の要素のなかから誤差の絶対値が大きい順に所定個の要素を選択し、前回の反復において抽出した非ゼロ要素候補に対し前記選択した要素を追加することを特徴とする請求項3に記載の劣決定系線型方程式の求解装置。
- 前記計算手段は、各反復において、前記求めるべき変数の関数として定義される評価関数の値、前記連立線型方程式に前記変数の値を代入したときの左辺と右辺の差で定義されるベクトルのノルムである残差ノルム、反復計算の回数、又は、これらのうちの二つ以上の組み合わせにより構成される収束条件を満足するか否かで、反復計算の終了を判断する
ステップ、を実行することを特徴とする請求項1〜4のうちいずれか1項に記載の劣決定系線型方程式の求解装置。 - 前記計算手段は、反復計算の終了後、各反復で得られた前記変数の値のうち、前記評価関数の値又は前記残差ノルムを最も小さくするものを、前記連立線型方程式の解に決定するステップ、を実行することを特徴とする請求項5に記載の劣決定系線型方程式の求解装置。
- 観測系によって得られた観測データから被検体の内部の情報を表す画像データを再構成する被検体情報取得装置であって、
前記観測系の特性を表すデータ、及び、前記観測系によって得られた観測データを取得するデータ取得手段と、
請求項1〜6のいずれか1項に記載の劣決定系線型方程式の求解装置と、を備え、
前記求解装置は、前記観測系の特性を表すデータを行列A、前記観測系によって得られた観測データを定数ベクトルb、被検体の内部の情報を表す画像データを未知変数xとする、連立線型方程式Ax=bの解を計算することを特徴とする被検体情報取得装置。 - 前記求解装置は、
予め与えられた変換行列Φを用いて連立線型方程式(AΦ−1)w=bにおける変数wを求解した後、
x=Φ−1wにより、変数xを求めることを特徴とする請求項7に記載の被検体情報取得装置。 - 前記変換行列Φは、被検体の内部の情報を表す画像データのゼロ要素を増加させるフィルタであることを特徴とする請求項8に記載の被検体情報取得装置。
- コンピュータを、請求項1〜6のうちいずれか1項に記載の劣決定系線型方程式の求解装置として機能させるためのプログラム。
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