JP6240721B1 - 応力・歪み算出システム及び応力・歪み算出プログラム - Google Patents

Abstract

【課題】コンクリート内部の応力と歪みを簡便に求めることが可能な応力・歪み算出システムを提供する。【解決手段】本発明に係る応力・歪み算出システムは、コンクリートに混入されている組成成分が化学反応膨張する際の膨張エネルギーが入力される入力ステップ（Ｓ１１）と、コンクリート内部の応力と膨張歪みとの関係が線形関係であると近似することで、前記入力ステップ（Ｓ１１）で入力された前記膨張エネルギーから、コンクリート内部の応力と全歪みを算出する算出ステップ（Ｓ１２）と、前記算出ステップ（Ｓ１２）で算出される応力と全歪みを出力する出力ステップ（Ｓ１３）と、を実行することを特徴とする。【選択図】 図６

Description

本発明は、セメント系材料の構成成分の化学反応による体積変化がもたらすコンクリート内部における応力と歪みを求める応力・歪み算出システムに関するもので、その際に総エネルギー一定則に基づく。

コンクリートの体積変化としては、例えば、乾燥によって収縮することが知られている。このため、鉄筋コンクリートを有する構造体では、コンクリートの乾燥による収縮に伴って鉄筋コンクリートにひび割れが発生する場合がある。

材料の面からコンクリートの乾燥収縮ひび割れを抑制する方法の一つに、コンクリートに膨張材を添加して抑制する方法がある。膨張材が添加されたコンクリートによる構造体では、硬化過程における比較的早い時期に膨張することで、鉄筋などの拘束材によってコンクリートに圧縮応力を導入しておき、後の硬化過程で、乾燥収縮等により発生する引張応力を相殺するなどして、ひび割れの発生を抑制する。

コンクリート構造体におけるひび割れを予測する上では、コンクリートの硬化過程で、温度、乾燥収縮、アルカリ骨材反応、DEFなどの体積変化によってコンクリート内に発生する応力や歪みを解析することが重要であり、従来、有限要素法を用いた初期歪による解析方法などが提案されてきた。

例えば、特許文献１（特開２００４−１５１０１５号公報）には、コンクリートを有限要素法を用いて解析する３次元解析方法であって、ａ ）コンクリートを弾性解析して各要素の３次元空間における応力度を求める工程と、ｂ ）前記応力度から導かれる弾性歪みにクリープ係数を乗じた応力度によるクリープに対する自由歪みを求める工程と、を有することを特徴とする３次元解析方法が開示されている。
特開２００４−１５１０１５号公報

ところで、近年、エトリンガイトの遅延生成（ＤＥＦ：Delayed Ettringite Formation）によるコンクリート構造体の遅延性膨張に基づくひび割れが注目され始めている。この他にも、化学反応による膨張はアルカリ骨材反応、カルシウム塩、マグネシウム塩などの水和によってももたらされるものであり、化学反応によるコンクリートの膨張・ひび割れの解明、そしてその防止は、今後の重要なコンクリート技術の一部となることが予想される。

これらの化学反応による体積膨張の特徴は、多くの場合に化学的な膨張による外部仕事が、拘束の程度に拘わらず、ほぼ一定であることである。しかしながら、従来の解析ではこれらを最初から定まっている初期歪として取り扱う解析に限られてきた。 即ち、コンクリートに混入された膨張材の化学的な膨張エネルギーが拘束の程度に拘わらず一定であるという、より一般的に認証できる総エネルギー一定則に基づいて、FEM解析による任意形状構造物の、応力と歪みを算出する技術についての具体的な提案がなされていない、という問題があった。

この発明は、上記課題を解決するものであって、本発明に係る応力・歪み算出システムは、コンクリートに混入されている組成成分が化学反応膨張する際の膨張エネルギーが入力される入力ステップと、コンクリート内部の応力と膨張歪みとの関係が線形関係であると近似することで、前記入力ステップで入力された前記膨張エネルギーから、コンクリート内部の応力と全歪みを算出する算出ステップと、前記算出ステップで算出される応力と全歪みを出力する出力ステップと、を実行することを特徴とする。

また、本発明に係る応力・歪み算出システムは、コンクリート内部の応力と膨張歪みとの間に複数の線形関係があると近似することを特徴とする。

また、本発明に係る応力・歪み算出システムは、コンクリートに混入されている組成成分が化学反応膨張する際の膨張エネルギーが入力される入力ステップと、前記入力ステップで入力された前記膨張エネルギーが、コンクリート内部の応力のｍ乗と膨張歪みのｎ乗の積に比例すること（ただし、ｍ、ｎは実数）に基づいて、コンクリート内部の応力と全歪みを算出する算出ステップと、前記算出ステップで算出される応力と全歪みを出力する出力ステップと、を実行することを特徴とする。

また、本発明に係る応力・歪み算出プログラムは、コンクリートに混入されている組成成分が化学反応膨張する際の膨張エネルギーが入力される入力ステップと、コンクリート内部の応力と膨張歪みとの関係が線形関係であると近似することで、前記入力ステップで入力された前記膨張エネルギーから、コンクリート内部の応力と全歪みを算出する算出ステップと、前記算出ステップで算出される応力と全歪みを出力する出力ステップと、をコンピューターに実行させることを特徴とする。

また、本発明に係る応力・歪み算出プログラムは、コンクリート内部の応力と膨張歪みとの間に複数の線形関係があると近似することを特徴とする。

また、本発明に係る応力・歪み算出プログラムは、コンクリートに混入されている組成成分が化学反応膨張する際の膨張エネルギーが入力される入力ステップと、前記入力ステップで入力された前記膨張エネルギーが、コンクリート内部の応力のｍ乗と膨張歪みのｎ乗の積に比例すること（ただし、ｍ、ｎは実数）に基づいて、コンクリート内部の応力と全歪みを算出する算出ステップと、前記算出ステップで算出される応力と全歪みを出力する出力ステップと、をコンピューターに実行させることを特徴とする。

本発明に係る応力・歪み算出システム及び応力・歪み算出プログラムによれば、コンクリート内部の応力（Δσ）と膨張歪み（Δε_che）との関係が線形関係であると近似することで、入力ステップで入力された膨張エネルギー（ΔＥ_che）から、コンクリート内部の応力（Δσ）と全歪み（Δε）を算出するので、コンクリート内部の応力と全歪みを簡便に求めることが可能となる。

また、本発明に係る応力・歪み算出システム及び応力・歪み算出プログラムによれば、各種化学反応の膨張エネルギーを実験的に求めておけば、コンクリート内部の応力と歪みを任意の拘束状態、応力場において、初期歪法以上に精度よく簡便に求めることが可能となる。初期歪法は、拘束の程度によって初期ひずみが異なるので、拘束の程度が分からない場合にはその値を求めることが不可能なのである。

本発明の実施形態に係る応力・歪み算出プログラムを実行可能なコンピューターシステムの一例を示す図である。 コンクリート構造体を示す模式図である。 領域Ａの内部に働く力を示す図である。 歪みΔε_cheと応力Δσの関係をグラフ化したものである。 時間ステップで生じる化学的な膨張エネルギーΔＥ_cheの一例を示す図である。 本発明の実施形態に係る応力・歪み算出プログラムのフローチャートを示す図である。 本発明の実施形態に係る応力・歪み算出方法における応力解析のフローチャートの概略を示す図である。 ステップＳ１０６のより詳細なフローを示す図である。

以下、本発明の実施の形態を図面を参照しつつ説明する。図１は本発明の実施形態に係る応力・歪み算出プログラムを実行可能なコンピューターシステムの一例を示す図である。

図１において、１０はシステムバス、１１はＣＰＵ（Ｃｅｎｔｒａｌ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ Ｕｎｉｔ）、１２はＲＡＭ（Ｒａｎｄｏｍ Ａｃｃｅｓｓ Ｍｅｍｏｒｙ）、１３はＲＯＭ（Ｒｅａｄ Ｏｎｌｙ Ｍｅｍｏｒｙ）、１４は外部情報機器との通信を司る通信制御部、１５はキーボードコントローラなどの入力制御部、１６は出力制御部、１７は外部記憶装置制御部、１８はキーボード、ポインティングデバイス、マウスなどの入力機器からなる入力部、１９は印刷装置などの出力部、２０はＨＤＤ（Ｈａｒｄ Ｄｉｓｋ Ｄｒｉｖｅ）等の外部記憶装置、２１はグラフィック制御部、２２はディスプレイ装置をそれぞれ示している。

図１において、ＣＰＵ１１は、ＲＯＭ１３内のプログラム用ＲＯＭ、或いは、大容量の外部記憶装置２０に記憶されたプログラム等に応じて、外部機器と通信することでデータを検索・取得したり、また、図形、イメージ、文字、表等が混在した出力データの処理を実行したり、更に、外部記憶装置２０に格納されているデータベースの管理を実行したり、などといった演算処理を行うものである。

また、ＣＰＵ１１は、システムバス１０に接続される各デバイスを統括的に制御する。ＲＯＭ１３内のプログラム用ＲＯＭあるいは外部記憶装置２０には、ＣＰＵ１１の制御用の基本プログラムであるオペレーティングシステムプログラム（以下ＯＳ）等が記憶されている。また、ＲＯＭ１３あるいは外部記憶装置２０には出力データ処理等を行う際に使用される各種データが記憶されている。メインメモリーであるＲＡＭ１２は、ＣＰＵ１１の主メモリ、ワークエリア等として機能する。

入力制御部１５は、キーボードや不図示のポインティングデバイスからの入力部１８を制御する。また、出力制御部１６は、プリンタなどの出力部１９の出力制御を行う。

外部記憶装置制御部１７は、ブートプログラム、各種のアプリケーション、フォントデータ、ユーザーファイル、編集ファイル、プリンタドライバ等を記憶するＨＤＤ（Ｈａｒｄ Ｄｉｓｋ Ｄｒｉｖｅ）や、或いはフロッピーディスク（ＦＤ）等の外部記憶装置２０へのアクセスを制御する。本発明の応力・歪み算出方法を実現するプログラムは、上記のような外部記憶装置２０に記憶されている。また、グラフィック制御部２１は、ディスプレイ装置２２に表示する情報を描画処理するための構成である。

また、通信制御部１４は、ネットワークを介して、外部機器と通信を制御するものであり、これによりシステムが必要とするデータを、インターネットやイントラネット上の外部機器が保有するデータベースから取得したり、外部機器に情報を送信したりすることができるように構成される。

外部記憶装置２０には、ＣＰＵ１１の制御プログラムであるオペレーティングシステムプログラム（以下ＯＳ）以外に、本発明の応力・歪み算出システムをＣＰＵ１１上で動作させるシステムプログラム、及びこのシステムプログラムで用いるデータなどがインストールされ保存・記憶されている。

本発明の応力・歪み算出方法を実現するシステムプログラムで利用されるデータとしては、基本的には外部記憶装置２０に保存されていることが想定されているが、場合によっては、これらのデータを、通信制御部１４を介してインターネットやイントラネット上の外部機器から取得するように構成することも可能である。また、本発明の応力・歪み算出方法を実現するシステムプログラムで利用されるデータを、ＵＳＢメモリやＣＤ、ＤＶＤなどの各種メディアから取得するように構成することもできる。

次に、上記のようなシステム構成のコンピューターにより実行可能な本発明に係る応力・歪み算出方法について、以下説明する。本発明に係る応力・歪み算出方法は、コンクリート内部の化学的な膨張エネルギーに基づいて、コンクリート内部の応力と歪みを算出するものである。以下、本発明の実施形態に係る応力・歪み算出方法が依拠するコンクリート構造体における総エネルギー一定則の概要について説明する。

コンクリート構造体は、任意の拘束鋼材を適宜に配置されながらセメントと水との反応によって生成される水和物として構成された硬化体（構造体）であり、構造体の内部領域で体積膨張を生じさせながら拘束鋼材などの他の領域に一定の仕事量を発揮すると共に外界に熱放散しながらそこからの拘束力も受ける軟化領域も含む弾塑性体である。

これらのエネルギー関係を熱力学第一法則やニュートンの第三法則を適用して整理すると、コンクリート硬化体において、内部から熱的に外界へ放出された熱量をΔＨ、化学作用によって力学的な外的環境に作用する力学的エネルギーをΔＭ、及び内部で自ら貯えた内部エネルギー変化をΔＱとして、コンクリート硬化体から外界へエネルギー移動する方向を正の符号として変化させた場合には、熱力学第一法則によって一般的に次式が成立する。

次に、コンクリート硬化体において、拘束鋼材による力学的な拘束度が異なるが、他の条件は全く同じである２つのケースを考えると、２つそれぞれのケース１、２については（１）式より次式（２）、（３）が成立する。

ここで、（２）式から（３）式を差し引くと、次式（４）となる。

ケース１およびケース２の過程において、膨張あるいは収縮作用などの化学的な内部エネルギー変化ならびに発熱から放熱する過程が、現実的にはほぼ同じであると仮定できる場合には、

が成立する。

これらの関係は、コンクリート硬化過程における膨張材の膨張作用あるいは骨材のアルカリ骨材反応などの典型的な例と考えられるので、（４）式から、

が成立する。

（７）式は、拘束の程度に依らず、化学膨張作用によって力学的な外的環境へコンクリート硬化体が作用する力学的エネルギーが一定であることを示しており、結果的にコンクリート硬化体では「総エネルギー一定則」が成立することを証明している。

図２はコンクリート構造体を示す模式図である。また、図３は領域Ａの内部に働く力を示す図である。図２において、領域Ａは化学膨張する膨張領域を、またＣはそれ以外のコンクリート領域を示している。

領域Ａが膨張するときの力をＲとし、Ｐ_iをコンクリート構造体に対する外部からの荷重とし、コンクリート内部の応力をσとし、歪みをεとすると、領域Ａが外部に及ぼす仕事（エネルギー）ξは、（８）式で表すことができる。

逆に、図３に示すように領域Ａの内部には、反力が逆方向に働いて、変位は同じであるから、次式（９）が成立する。

ここで、ε_eは弾性歪みを、ε_crは塑性歪みを、ε_shは乾燥収縮などの体積変化歪みを、またε_cheは化学的な膨張歪みを、それぞれ示している。

（９）式を書き換えて、エネルギー表示とすると、（１０−１）式となる。なお、（１０−１）式において右辺第４項が−となるのは、力と膨張材の変形方向（応力と歪）が反対であることによる。また、（１０−２）式は（１０−１）式を書き換えたものである。

式（１０−２）の左辺は、コンクリート硬化体自身が化学反応によって膨張する際の膨張歪とそれに抗する応力の積の体積積分値であり、化学反応による膨張仕事量を表している。 そして、その仕事量は、右辺第1項の内部応力仕事＋右辺第2項クリープ変形仕事＋右辺第3項の乾燥収縮仕事＋右辺第4項のその領域外へなした外部仕事の和に等しいことを示している。ただし、増分値の仕事量であることに注意する。 即ち、この左辺は、上述した力学的エネルギーΔＭに等しい。

ただし、

である。

ここでより具体的に1次元の簡単な例を示す。 すなわち、コンピューターシステムによる計算処理を前提として、（１２）式を時間ステップにおける変化量として書き換えると、（１３）式となる。ここで、σ₀は着目する計算ステップの一つ前のステップにおける応力を示しており既知である。一方、応力Δσ、膨張歪みΔε_cheは未知数で、時間ステップで生じる化学的な膨張エネルギーΔＥ_cheは与えられる。

図４は（１３）式における膨張歪みΔε_cheと応力Δσの関係をグラフ化したものである。時間ステップで生じる化学的な膨張エネルギーΔＥ_cheと、応力Δσ、膨張歪みΔε_cheは、点線で示すような双曲線の関係を有している。

（１３）式を解いて、コンクリート構造体内部の応力Δσと膨張歪みΔε_cheとを算出するために、本発明に係る応力・歪み算出方法においては、図４の実線で示すように、前記の双曲線の関係を、複数の直線で近似することを行う。

なお、図４に示す例では、前記の双曲線の関係を、２つの直線で近似した例を示しているが、前記の双曲線の関係を、３つ以上の直線で近似させるようにしてもよい。

次式（１４）に示すような近似を行う例で説明する。ここで、ａ，ｂはそれぞれ定数である。

ΔＥ_cheは、時間ステップで生じる化学的な膨張エネルギーであり、例えば、図５に示すように求められている。式（１３）を次式（１５）に変形する。

次に、次式（１６）、（１７）で置換することで、歪みと応力の部分を無次元化して、式（１８）を得る。

この双曲線に(1.0,1.0)で接する直線で近似すると、次式（１９）となる。

したがって、（１６）式、（１７）式から次式（２０）となり、

次式（２１）を得ることができる。

このように、ΔＥ_cheが与えられる場合、双曲線を直線で近似することにより、応力Δσと、膨張歪みΔε_cheとの関係が線形化される。

次に、コンピューターシステムで実行される、本発明の実施形態に係る応力・歪み算出プログラムの概要について説明する。図６は本発明の実施形態に係る応力・歪み算出プログラムのフローチャートを示す図である。

図６において、ステップＳ１１では、時間ステップで生じる化学的な膨張エネルギー（ΔＥ_che）の値が、入力部１８から入力される。

続いて、ステップＳ１２では、与えられた化学的な膨張エネルギー（ΔＥ_che）の値により、コンクリート内部の応力（Δσ）と膨張歪み（Δε_che）の関係が線形式であること（式（１４）や式（２０））に基づいて、コンクリート内部の応力（Δσ）と全歪み（Δε）を次の記述のように算出する。

全歪から乾燥収縮などの体積変化歪み（Δε_shr）と膨張歪み（Δε_che）を差し引いた歪は応力歪み（Δε_e）でこの応力歪成分にその時点での接線剛性（Ｄ）を掛けると応力（Δσ）が算出される。この過程を表すと下式（２２）となる。

この（２２）式と（２０）式（或いは、式（１４））で表されている式を連立して実際の応力（Δσ）が算出される。このとき、応力（Δσ）と膨張歪み（Δε_che）の関係を、上記のように複数の直線で近似するとする考えた方が、連立方程式を立てることを可能とし、本解析の一般化の実現に寄与した。

ステップＳ１３では、ステップＳ１２で算出された応力（Δσ）と全歪み（Δε）を、出力部１９やディスプレイ装置２２から出力する。

このような本発明に係る応力・歪み算出システム及び応力・歪み算出プログラムによれば、コンクリート内部の応力（Δσ）と膨張歪み（Δε_che）との関係が線形関係であると近似することで、入力ステップで入力された膨張エネルギー（ΔＥ_che）から、コンクリート内部の応力（Δσ）と全歪み（Δε）を算出するので、コンクリート内部の応力と全歪みを簡便に求めることが可能となる。

また、本発明に係る応力・歪み算出システム及び応力・歪み算出プログラムによれば、各種化学反応の膨張エネルギーを実験的に求めておけば、コンクリート内部の応力と歪みを任意の拘束状態、応力場において、初期歪法以上に精度よく簡便に求めることが可能となる。初期歪法は、拘束の程度によって初期ひずみが異なるので、拘束の程度が分からない場合にはその値を求めることが不可能なのである。

これまでは、簡単のために１次元の関係のみ（１つの主応力方向のみ）についての記載を行った。次に、エネルギー一定則を成立させる主方向を応力の主方向とする3次元の場合について説明する。

グローバル座標の主応力方向の３方向を考慮する場合には、式（１３）に代え次式（２３）に基づいて、数値解析を行う。ただし、この場合も、当該３方向に独立した直方向のエネルギー一定則が考慮されるのみとなる。

ここで、σ_0,1、σ_0,2、σ_0,3は着目する計算ステップの一つ前のステップにおける応力を示しており既知であり、かつ主応力方向の応力成分である。先ほどと同様、式（２３）の双曲線の関係を、多直線で近似し、式（２３）をマトリクス表示すると、次式（２４）となる。 ただし、主応力の方向は最初から分かってはいないので、第1stepでの主応力方向は、一つ前のステップでの主応力方向となる。 そして、以下述べる手順で計算して、繰り返し収斂計算が必要となる。この部分は既に一般的に数値計算で使用されているニュートン・ラプソン法を用いている。

式（２４）は、主応力方向座標での記述であるから、これを、global座標系（x,y,z）に座標変換して、一般的な表示を得る必要がある。
まず、テンソル変換則（２５）

を用いると、

ここで、一般にｎ_ikは、変換する座標軸間の余弦を表す。
同様にして

結局のところ、次式（２８）を得る。

ここで、応力の座標変換マトリックスをＴ_stressとする。

ただし、σ₁₂＝σ₂₃＝σ₃₁＝０であるから、次式（２９）となる。

これを、式（３０）、式（３１）、式（３２）と書くこととする。

σ_localは、新たな増分応力も含めた全応力の主応力である。これから、次式（３３）を得る。

ただし、

である。（３３）式のσ_n,globalの中には、新たな応力増分と前ステップでの応力成分が含まれていることに注意されたい。

せん断応力に関しても、

式（３５）も同様にして、σ_shear,global＝Ｔ_s2σ_localとかけば、

ただし、

である。
テンソル歪みに関しても同様に、

である。

これを工学歪みに直すと、せん断工学歪みは、テンソルせん断歪みの２倍であるから、

この歪み座標変換マトリックスをＴ_strainとする。

ここで、主軸方向の膨張歪のみを考慮して、ε₁₂＝ε₂₃＝ε₃₁＝０である。そうすると、先と同様に、

（４０）
これを、

（４１）

（４２）
と書けば、

ただし、

である。同様にして、

これを、

と書く。そうすると、

となる。ただし、

である。

（３３）式と（４３）式は、対応する応力と歪であり、（３６）式と（４８）式が対応する応力と歪である。これらは独立して（２４）式を満たすと考えられる。

（２４）式の応力は主応力で、local座標系で表示してある。今これを。（３３）式と（４３）式、および、（３６）式と（４８）式を用いて、global座標系に変換するのであるが、（２４）式のσ₀は、全応力の主応力方向の既にそれまでに存在する応力の応力成分で、（３３）式、（４３）式のlocal応力にふくまれている。

このような準備のあと、（２４）式に、（３４）式と（４３）式を代入すると、

となり、これを簡単にして次式のように記載する。

同様にして、（２４）式に、（３６）式と（４８）式を代入すると、

となり、これを簡単して次式のように記載する。

（５１）式と（５３）式とを合わせて書くと、

となり、これを書き直すと、

となり、さらに改めて書き直すと、

となる。
（５６）式が全体座標系で表された総エネルギー一定則である。即ち、総エネルギー一定則が線形化された表示となっており、この形を得たのが一つの発明の特徴点である。
一方、式（５７）及び式（５８）から式（５９）を得る。

ただし、Ｄはコンクリートの接線剛性であり、また、Δε_global,tは全歪みの増分、Δε_global,eは弾性歪みの増分、Δε_global,shrは乾燥収縮などの体積歪みみの増分、Δε_global,cheは化学膨張歪みの増分を示している。

（５６）式と（５９）式をマトリックス表示とすると、

となる。これを次のように書く。

ただし、

である。この逆行列をとって、

（６３）式が3次元空間における、総エネルギー一定則を満たす応力増分を表す構成則となる。 ただし、得られた応力がその直線区間の範囲に入っているかどうかは、判別して範囲に入っていない場合には、正しい直線区間を選択し直して、応力解析をし直さなくてはならない。検討した結果によれば、一本の直線で表しても解は十分に収束し、納得のゆくものであった。しかし、今後の検討で一層の精度向上が望まれるのは言うまでもない。

さて、(６３)式は、エネルギー一定則を満たす係数（a,b）とその応力状態に依存する接線剛性Ｄに依存している。弾性体であれば、Ｄは一定であるがそれでも、多直線で近似した係数（a,b）には、その応力範囲が存在するから、以下で記述する剛性マトリックスの逆行列から直ちに求まるとは限らない。ここに、ニュートン・ラプソン法を用いて収斂計算を行わなければならない必要性が出てくる。まして、コンクリートの軟化を含めた弾塑性体を計算する場合には、Ｄ自身が応力依存性であるから、不平衡力を求めて、収斂計算を行う必要性が出てくる。

もしも、対象が弾性体でかつエネルギー一定則を1直線で近似する場合には、以下の定式化から一度に解を求めることが出来る。また、そうでない場合にもニュートン・ラプソン近似の剛性マトリックスとして使用することが可能となる。実際のコードでは、この不平衡力の修正１次微係数マトリックスとしては、Ｄ＝Ｄ_elastic として、式（６３）の6行目までを用いている。

ここで、（６３）式を書き直すと、

そうすると、

を得る。
コンクリートが、弾性体でかつエネルギー一定則を1直線で近似する場合には、以下に示す定式から繰り返し計算無くして、一度に求めることができる。
（６５）式を用い、仮想仕事の原理から、節点力と変位との関係を有限要素法の適当な変位関数を用いて表す。1要素について、

したがって、

ただし、

すべての要素について、式（６７）を計算して、重複する節点量を加え合わせると、全ての節点変位に関する連立方程式が得られる。
結局の所、全体系の剛性方程式を解けば、変位 が求まり、（６５）式に代入すれば、その時の膨張歪が以下のように求められる。

以上は、具体的な総エネルギー一定則の基づく、コンクリート構造体内部の応力を求める解法である。

次に、本発明の実施形態に係る応力・全歪み算出方法による有限要素法を用いた応力解析の流れの概略について説明する。図７は本発明の実施形態に係る応力・歪み算出方法における応力解析のフローチャートの概略を示す図である。また、図８はステップＳ１０６のより詳細なフローを示す図である。以下、フローチャートの概要について説明する。

図７のフローチャート図において、ステップＳ１０１からステップＳ１０５までは、通常の弾性剛性マトリックスを導いて、変位、歪を求めるまでのステップである。なお、ステップＳ１０２の剛性マトリックス［Ｋ］は、（６７）式において、Ω_dd ^-1＝１としたものを用いる。

本発明の実施形態に係る応力・歪み算出方法においてポイントとなるステップは、ステップＳ１０６であり、このステップＳ１０６が一般の有限要素法を用いた応力解析と異なっている点である。膨張歪を求めるステップＳ１０６においては、（５６）式に基づいて処理がなされる。

着目する現在のstepの前stepで（２４）式のσ₀ が求められており、次のstepでのiterationが開始されるが、そのstepでのエネルギー増分は与えられる。そして、現ステップの現在のiteration直前の応力σ₀からΔσ求め、対応する膨張歪Δε_che を、（５６）式から求める。

ステップＳ１０７、ステップＳ１０８、ステップＳ１０９はその膨張歪Δε_cheによる応力増分を求めるステップであり、ステップＳ１０９において、前回のiterationからの差をとって応力増分を更新する。

ステップＳ１０８における構成則ｆ（関数）は、歪みと応力との関係を記述する関数であり、適宜適切なものを用いることができる。本実施形態では、格子等価連続体モデルに基づいた構成則ｆを用いるようにしている。

ステップＳ１１０はその応力（応力増分＋前step応力）による不平衡力を求めて、新たな応力増分を求めるステップである。

このiterationを通じて、不平衡力がゼロないし十分に小さくなるまで回数を増やして収斂を計る。

ただこの際に、（２４）式では、主応力ならびに主歪み表示になっており、その方向は実際のglobal座標系の応力によって変化するから、iterationごとに主応力が変わり、各step毎に変化している。

ステップＳ１１０におけるΔ｛Ｆ｝＝｛Ｒ｝は残差であり、これに基づく値が収束すると、iterationのループを抜けるようになっている。

次に、本発明の他の実施形態に係る応力・歪み算出システム及び応力・歪み算出プログラムについて説明する。

さて、今まで述べてきた定式化においては、（１３）式や（２３）式のように、応力とひずみの積が一定の場合であるが、（１３）式や（２３）式においては、線形化されたものとなっており、総エネルギー一定則を拡張することが可能である。すなわち、

の場合にも、線形化は簡単であるから、結局、この定式化はこれらの場合も含んでいることになる。

ここで、σ_0,1、σ_0,2、σ_0,3は着目する計算ステップの一つ前のステップにおける応力を示しており定数である。

このように、他の実施形態では、膨張エネルギーが、コンクリート内部の応力のｍ乗と膨張歪みのｎ乗の積に比例すること（ただし、ｍ、ｎは実数）に基づいて、コンクリート内部の応力と全歪みを算出するようにする。

なお、この他にも、これまでに述べた線形化手法は、力と変位（歪み）が積の形で表されている場合には有力な数値解析手法になる。ほんの１例であるが、例えば、気体要素は、理想気体であれば

であるが、実在気体は、

などと記述されるようであるが、（７３）式の圧力ｐと体積ｖとの関係は簡単に区分線形化できるので、容易に数値解析法に取り入れることができる。これはほんの１例であり、他にも広い応用が考えられる。

以上のように、本発明に係る応力・歪み算出システム及び応力・歪み算出プログラムによれば、コンクリート内部の応力と膨張歪みの積である膨張エネルギーを多直線近似で表現することに基づいて、コンクリート内部の応力と歪みを算出することで、コンクリート内部の応力と歪みを簡便に求めることが可能となる。

また、本発明に係る応力・歪み算出システム及び応力・歪み算出プログラムによれば、コンクリート内部の応力（Δσ）と膨張歪み（Δε_che）との関係が線形関係であると近似することで、入力ステップで入力された膨張エネルギー（ΔＥ_che）から、コンクリート内部の応力（Δσ）と全歪み（Δε）を算出するので、コンクリート内部の応力と全歪みを簡便に求めることが可能となる。

また、本発明に係る応力・歪み算出システム及び応力・歪み算出プログラムによれば、各種化学反応の膨張エネルギーを実験的に求めておけば、コンクリート内部の応力と歪みを任意の拘束状態、応力場において、初期歪法以上に精度よく簡便に求めることが可能となる。初期歪法は、拘束の程度によって初期ひずみが異なるので、拘束の程度が分からない場合にはその値を求めることが不可能なのである。

１０・・・システムバス
１１・・・ＣＰＵ（Ｃｅｎｔｒａｌ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ Ｕｎｉｔ）
１２・・・ＲＡＭ（Ｒａｎｄｏｍ Ａｃｃｅｓｓ Ｍｅｍｏｒｙ）
１３・・・ＲＯＭ（Ｒｅａｄ Ｏｎｌｙ Ｍｅｍｏｒｙ）
１４・・・通信制御部
１５・・・入力制御部
１６・・・出力制御部
１７・・・外部記憶装置制御部
１８・・・入力部
１９・・・出力部
２０・・・外部記憶装置
２１・・・インターフェイス部
２１・・・グラフィック制御部
２２・・・ディスプレイ装置

Claims (6)

1. コンクリートに混入されている組成成分が化学反応膨張する際の膨張エネルギーが入力される入力ステップと、
   コンクリート内部の応力と膨張歪みとの関係が線形関係であると近似することで、前記入力ステップで入力された前記膨張エネルギーから、コンクリート内部の応力と全歪みを算出する算出ステップと、
   前記算出ステップで算出される応力と全歪みを出力する出力ステップと、を実行することを特徴とする応力・歪み算出システム。
2. コンクリート内部の応力と膨張歪みとの間に複数の線形関係があると近似することを特徴とする請求項１に記載の応力・歪み算出システム。
3. コンクリートに混入されている組成成分が化学反応膨張する際の膨張エネルギーが入力される入力ステップと、
   前記入力ステップで入力された前記膨張エネルギーが、コンクリート内部の応力のｍ乗と膨張歪みのｎ乗の積に比例すること（ただし、ｍ、ｎは実数）に基づいて、コンクリート内部の応力と全歪みを算出する算出ステップと、
   前記算出ステップで算出される応力と全歪みを出力する出力ステップと、を実行することを特徴とする応力・歪み算出システム。
4. コンクリートに混入されている組成成分が化学反応膨張する際の膨張エネルギーが入力される入力ステップと、
   コンクリート内部の応力と膨張歪みとの関係が線形関係であると近似することで、前記入力ステップで入力された前記膨張エネルギーから、コンクリート内部の応力と全歪みを算出する算出ステップと、
   前記算出ステップで算出される応力と全歪みを出力する出力ステップと、をコンピューターに実行させることを特徴とする応力・歪み解析プログラム。
5. コンクリート内部の応力と膨張歪みとの間に複数の線形関係があると近似することを特徴とする請求項４に記載の応力・歪み解析プログラム。
6. コンクリートに混入されている組成成分が化学反応膨張する際の膨張エネルギーが入力される入力ステップと、
   前記入力ステップで入力された前記膨張エネルギーが、コンクリート内部の応力のｍ乗と膨張歪みのｎ乗の積に比例すること（ただし、ｍ、ｎは実数）に基づいて、コンクリート内部の応力と全歪みを算出する算出ステップと、
   前記算出ステップで算出される応力と全歪みを出力する出力ステップと、をコンピューターに実行させることを特徴とする応力・歪み解析プログラム。

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