JP6042370B2 - モデル推定装置、行動予測装置、方法、及びプログラム - Google Patents

Description

本発明は、モデル推定装置、行動予測装置、方法、及びプログラムに係り、特に、外部刺激に対する個体の反応時刻を予測するためのモデル推定装置、行動予測装置、方法、及びプログラムに関する。

従来より、顧客の購買時刻を予測する技術が存在する（例えば、非特許文献１）。非特許文献１では、次の２種類の変動因子を採用した上で各顧客の影響度パラメータを購買データから推定し、各顧客が次に購買を行う時刻を予測している。第１に、商品の定価、値引き、陳列、顧客の在庫状況をマーケティング刺激として採用している。第２に、直前の購買時刻のみを履歴依存性として採用している。具体的には、購買時刻の間隔が指数分布あるいはＥｒｌａｎｇ−２分布に従うと仮定している。

また、変動因子としてＥメール、ダイレクトメール、ＴＶ広告のマーケティング刺激と、顧客間の相互作用を採用し、購買時刻の予測を行う技術が存在する（例えば、非特許文献２）。ただし、顧客間の相互作用の大きさはデータから推定され、購買履歴の依存性は考慮していない。

Sunil Gupta, "Stochastic Models of Interpurchase Time With Time-Dependent Covariates", Journal of Marketing Research, Vol. 28, No. 1, pp. 1-15, 1991. Rikiya Takahashi, Hideyuki Mizuta, Naoki Abe, Ruby L. Kennedy, Vincent J. Jeffs, Ravi Shah, Robert H. Crites, "Collective Response Spike Prediction for Mutually Interacting Consumers", Data Mining (ICDM), 2013 IEEE 13th International Conference on, pp.727-736, 2013.

しかしながら、従来技術の非特許文献１及び２では、予測装置の数理的な取り扱いやすさを保つ目的で、マーケティング刺激あるいは顧客間の相互作用が区分的に定常であるという仮定を置いている、という問題がある。

ここで「区分的に定常」とは、ある決められた時間幅内では変動因子の時間変動が無視できる（定常である）ことを指す。具体的には、非特許文献１では一週間、非特許文献２では購買と購買の間の各期間、をその時間幅に設定している。この仮定が有効であるための条件は、変動因子が、定常であると設定した時間幅に比べて十分に遅い時間スケールで変動していることであるが、この条件は現実の条件に合わない可能性が高い。

例えば、広告によって顧客の購買意欲を高める例を考えると、新聞チラシやテレビコマーシャルによって喚起された購買意欲が１週間以上減衰することなく持続するという仮定は、扱う商品によっては当てはまらない可能性がある。また、顧客によって平均的な購買間隔は異なり、購買間隔が一ヶ月以上になる場合も十分に考えられるが、その期間一回のテレビコマーシャルの効果が定常的に働くと考えるのは不自然である。

また、上記と同様に、予測装置の数理的な取り扱いやすさを保つため、非特許文献１では、現在の行動頻度関数が直前の購買時刻にのみ影響を受けるというマルコフ的挙動を仮定として置いている。非特許文献２では、現在の行動頻度関数は過去の購買履歴に影響を受けないという仮定を置いている。しかし、現実の顧客の購買行動は過去の一連の購買履歴の影響を受けると考えるのが自然であり、その不自然な仮定が推定及び予測精度を悪化させる可能性がある。

本発明は、上記問題点を解決するために成されたものであり、外部刺激に対する個体の反応時刻を精度よく予測するためのモデルパラメータを推定することができるモデル推定装置、方法、及びプログラムを提供することを目的とする。

また、外部刺激に対する個体の反応時刻を精度よく予測できる行動予測装置、及びプログラムを提供することを目的とする。

上記目的を達成するために、第１の発明に係るモデル推定装置は、入力として、個体の各々について観測された、前記個体の反応行動の発生時刻及び行動内容の時系列データと、観測された、前記個体に反応行動を発生させるための外部刺激の発生時刻の時系列データとを受け付ける入力部と、個体ｕの各々について、時刻ｔにおいて単位時間当たりに前記個体ｕが反応行動を発生させる確率を表す行動頻度関数λ（ｔ）のもとで、一定期間内において前記個体が前記反応行動を各時刻ｔ_ｊ ^ｕに発生する確率ｐ（｛ｔ_ｊ ^ｕ｝｜λ（ｔ））を、以下の式に従って、各時刻ｔ_ｊ ^ｕに前記反応行動が発生する確率と、各時刻ｔ_ｊ ^ｕを除く前記一定期間内に前記反応行動が発生しない確率との乗算値としてモデル化する場合において、それぞれが独立事象であって、かつ、前記外部刺激に対応する変動因子を含む少なくとも３つの変動因子ｌに対して与えられた少なくとも３つの因数関数ｒ_ｌに、少なくとも３つの階層からなる階層関係を与え、前記因数関数ｒ_ｌを、直前の階層の因数関数ｒ_ｌ−１の積分の関数として定義し、前記行動頻度関数λ（ｔ）を、前記少なくとも３つの因数関数ｒ_ｌの乗算値とし、各時刻ｔ_ｊ ^ｕを除く前記一定期間内に前記反応行動が発生しない確率における積分計算を、低位階層の因数関数ｒ_０から順番に前記一定期間の時間積分値を算出することを繰り返すことにより行うようにモデル化する階層的モデル化部と、前記入力部によって受け付けた、前記個体の各々について観測された、前記個体の反応行動の発生時刻及び行動内容の時系列データと、観測された、前記個体に反応行動を発生させるための外部刺激の発生時刻の時系列データとに基づいて、前記個体毎に用意された、前記少なくとも３つの因数関数ｒ_ｌで用いられるパラメータであって、前記個体における前記変動因子ｌの影響度を表す影響度パラメータの、個体全体における分布を表す全体パラメータを推定する全体パラメータ推定部と、前記全体パラメータ推定部によって推定された前記全体パラメータに基づいて、前記個体毎の前記影響度パラメータを推定する個別パラメータ推定部と、を含んで構成されている。

ただし、区間［ｔ_０ ^ｕ，Ｔ］が、前記一定期間を表す。

また、第１の発明に係るモデル推定装置において、前記全体パラメータ推定部は、前記個体毎の、観測された前記個体の反応行動の発生時刻の時系列に対する前記個体の影響度パラメータの尤度関数を乗算した値から設定された周辺尤度関数が、前記入力部によって受け付けた、前記個体の各々について観測された、前記個体の反応行動の発生時刻及び行動内容の時系列データに対して最尤化されるように、前記全体パラメータを推定してもよい。

第１の発明に係る行動予測装置は、入力として、前記個体の各々について観測された、前記個体の反応行動の発生時刻及び行動内容の時系列データと、観測された、前記個体に反応行動を発生させるための外部刺激の発生時刻の時系列データとを受け付ける入力部と、第１の発明に係るモデル推定装置によってモデル化された、前記個体の各々に対する前記個体が前記反応行動を時系列に発生する確率ｐ（｛ｔ_ｊ ^ｕ｝｜λ（ｔ））と、前記推定された前記個体毎の前記影響度パラメータと、前記入力部によって受け付けた、前記個体の各々について観測された、前記個体の反応行動の発生時刻及び行動内容の時系列データと、観測された、前記個体に反応行動を発生させるための外部刺激の発生時刻の時系列データとに基づいて、前記個体の各々について、前記行動頻度関数λ（ｔ）を推定する行動確率推定部と、前記行動確率推定部によって推定された前記個体の各々についての前記行動頻度関数λ（ｔ）と、前記外部刺激の発生予定時刻とに基づいて、前記個体毎に、個体ｕが前記反応行動を各時刻ｔ_ｊ ^ｕに発生する確率ｐ（｛ｔ_ｊ ^ｕ｝｜λ（ｔ））に従って、前記個体ｕの反応行動の発生時刻を予測する行動時刻予測部と、を含んで構成されている。

第２の発明に係るモデル推定装置は、入力として、顧客の各々について観測された、前記顧客の購買行動の発生時刻及び行動内容の時系列データと、観測された、前記顧客に購買行動を発生させるためのマーケティング刺激の発生時刻の時系列データとを受け付ける入力部と、顧客ｕの各々について、時刻ｔにおいて単位時間当たりに前記顧客ｕが購買行動を発生させる確率を表す行動頻度関数λ（ｔ）のもとで、一定期間内において前記顧客が前記購買行動を各時刻ｔ_ｊ ^ｕに発生する確率ｐ（｛ｔ_ｊ ^ｕ｝｜λ（ｔ））を、以下の式に従って、各時刻ｔ_ｊ ^ｕに前記購買行動が発生する確率と、各時刻ｔ_ｊ ^ｕを除く前記一定期間内に前記購買行動が発生しない確率との乗算値としてモデル化する場合において、それぞれが独立事象であって、かつ、前記マーケティング刺激に対応する変動因子を含む少なくとも３つの変動因子ｌに対して与えられた少なくとも３つの因数関数ｒ_ｌに、少なくとも３つの階層からなる階層関係を与え、前記因数関数ｒ_ｌを、直前の階層の因数関数ｒ_ｌ−１の積分の関数として定義し、前記行動頻度関数λ（ｔ）を、前記少なくとも３つの因数関数ｒ_ｌの乗算値とし、各時刻ｔ_ｊ ^ｕを除く前記一定期間内に前記購買行動が発生しない確率における積分計算を、低位階層の因数関数ｒ_０から順番に前記一定期間の時間積分値を算出することを繰り返すことにより行うようにモデル化する階層的モデル化部と、前記入力部によって受け付けた、前記顧客の各々について観測された、前記顧客の購買行動の発生時刻及び行動内容の時系列データと、観測された、前記顧客に購買行動を発生させるためのマーケティング刺激の発生時刻の時系列データとに基づいて、前記顧客毎に用意された、前記少なくとも３つの因数関数ｒ_ｌで用いられるパラメータであって、前記顧客における前記変動因子ｌの影響度を表す影響度パラメータの、顧客全体における分布を表す全体パラメータを推定する全体パラメータ推定部と、前記全体パラメータ推定部によって推定された前記全体パラメータに基づいて、前記顧客毎の前記影響度パラメータを推定する個別パラメータ推定部と、を含んで構成されている。

ただし、区間［ｔ_０ ^ｕ，Ｔ］が、前記一定期間を表す。

第２の発明に係る行動予測装置は、入力として、前記顧客の各々について観測された、前記顧客の購買行動の発生時刻及び行動内容の時系列データと、観測された、前記顧客に購買行動を発生させるための外部刺激の発生時刻の時系列データとを受け付ける入力部と、第２の発明に係るモデル推定装置によってモデル化された、前記顧客の各々に対する前記顧客が前記購買行動を時系列に発生する確率ｐ（｛ｔ_ｊ ^ｕ｝｜λ（ｔ））と、前記推定された前記顧客毎の前記影響度パラメータと、前記入力部によって受け付けた、前記顧客の各々について観測された、前記顧客の購買行動の発生時刻及び行動内容の時系列データと、観測された、前記顧客に購買行動を発生させるための外部刺激の発生時刻の時系列データとに基づいて、前記顧客の各々について、前記行動頻度関数λ（ｔ）を推定する行動確率推定部と、前記行動確率推定部によって推定された前記顧客の各々についての前記行動頻度関数λ（ｔ）と、前記外部刺激の発生予定時刻とに基づいて、前記顧客毎に、顧客ｕが前記購買行動を各時刻ｔ_ｊ ^ｕに発生する確率ｐ（｛ｔ_ｊ ^ｕ｝｜λ（ｔ））に従って、前記顧客ｕの購買行動の発生時刻を予測する行動時刻予測部と、を含んで構成されている。

第１の発明に係るモデル推定方法は、入力部、階層的モデル化部、全体パラメータ推定部、個別パラメータ推定部を含むモデル推定装置におけるモデル推定方法であって、前記入力部が、入力として、個体の各々について観測された、前記個体の反応行動の発生時刻及び行動内容の時系列データと、観測された、前記個体に反応行動を発生させるための外部刺激の発生時刻の時系列データとを受け付けるステップと、前記階層的モデル化部が、個体ｕの各々について、時刻ｔにおいて単位時間当たりに前記個体ｕが反応行動を発生させる確率を表す行動頻度関数λ（ｔ）のもとで、一定期間内において前記個体が前記反応行動を各時刻ｔ_ｊ ^ｕに発生する確率ｐ（｛ｔ_ｊ ^ｕ｝｜λ（ｔ））を、以下の式に従って、各時刻ｔ_ｊ ^ｕに前記反応行動が発生する確率と、各時刻ｔ_ｊ ^ｕを除く前記一定期間内に前記反応行動が発生しない確率との乗算値としてモデル化する場合において、それぞれが独立事象であって、かつ、前記外部刺激に対応する変動因子を含む少なくとも３つの変動因子ｌに対して与えられた少なくとも３つの因数関数ｒ_ｌに、少なくとも３つの階層からなる階層関係を与え、前記因数関数ｒ_ｌを、直前の階層の因数関数ｒ_ｌ−１の積分の関数として定義し、前記行動頻度関数λ（ｔ）を、前記少なくとも３つの因数関数ｒ_ｌの乗算値とし、各時刻ｔ_ｊ ^ｕを除く前記一定期間内に前記反応行動が発生しない確率における積分計算を、低位階層の因数関数ｒ_０から順番に前記一定期間の時間積分値を算出することを繰り返すことにより行うようにモデル化するステップと、前記全体パラメータ推定部が、前記入力部によって受け付けた、前記個体の各々について観測された、前記個体の反応行動の発生時刻及び行動内容の時系列データと、観測された、前記個体に反応行動を発生させるための外部刺激の発生時刻の時系列データとに基づいて、前記個体毎に用意された、前記少なくとも３つの因数関数ｒ_ｌで用いられるパラメータであって、前記個体における前記変動因子ｌの影響度を表す影響度パラメータの、個体全体における分布を表す全体パラメータを推定するステップと、前記個別パラメータ推定部が、前記全体パラメータ推定部によって推定された前記全体パラメータに基づいて、前記個体毎の前記影響度パラメータを推定するステップと、を含んで実行することを特徴とする。

ただし、区間［ｔ_０ ^ｕ，Ｔ］が、前記一定期間を表す。

第１の本発明に係るプログラムは、コンピュータに、上記の第１の発明に係るモデル推定装置を構成する各部として機能させるためのプログラムである。

第１の本発明に係るプログラムは、コンピュータに、上記の第１の発明に係る行動予測装置を構成する各部として機能させるためのプログラムである。

本発明のモデル推定装置、方法、及びプログラムによれば、個体が反応行動を各時刻ｔ_ｊ ^ｕに発生する確率ｐ（{ｔ_ｊ ^ｕ}｜λ（ｔ））をモデル化する場合において、少なくとも３つの変動因子ｌに対して与えられた少なくとも３つの因数関数ｒ_ｌに、少なくとも３つの階層関係を与え、因数関数ｒ_ｌを直前の階層の因数関数ｒ_ｌ−１の積分の関数として定義し、各時刻ｔ_ｊ ^ｕを除く前記一定期間内に前記反応行動が発生しない確率における積分計算を、低位階層の因数関数ｒ_０から順番に一定期間の時間積分値を算出することを繰り返すことにより行うようにモデル化し、個体における前記変動因子ｌの影響度を表す影響度パラメータの、個体全体における分布を表す全体パラメータを推定し、個体毎の影響度パラメータを推定することで、外部刺激に対する個体の反応時刻を精度よく予測するためのモデルパラメータを推定することができる、という効果が得られる。

また、本発明の行動予測装置、プログラムによれば、モデル化された、前記個体の各々に対する前記個体が前記反応行動を時系列に発生する確率ｐ（｛ｔ_ｊ ^ｕ｝｜λ（ｔ））と、前記推定された前記個体毎の前記影響度パラメータと、に基づいて、個体の各々について行動頻度関数λ（ｔ）を推定し、個体ｕ毎に反応行動の発生時刻を予測することで、外部刺激に対する個体の反応時刻を精度よく予測することができる、という効果が得られる。

本発明の実施の形態に係るモデル推定装置の主要構成を示すブロック図である。 本発明の実施の形態におけるモデル推定処理ルーチンの内容を示すフローチャートである。 ＨＴＲＭにおける時間軸のスケーリングの例を示す図である。 本発明の実施の形態に係る行動予測装置の主要構成を示すブロック図である。 本発明の実施の形態における行動予測処理ルーチンの内容を示すフローチャートである。 顧客毎に推定した行動頻度関数の出力例を示す図である。

以下、図面を参照して本発明の実施の形態を詳細に説明する。

＜本発明の実施の形態の概要＞

まず、本発明の実施の形態の概要を説明する。

本発明の実施の形態は、顧客が単位時間当たりに購買決定を行う確率、すなわち行動頻度関数を各時刻で算出し、その確率に基づき顧客の購買時刻を予測する技術に関するものである。

従来の技術においては、数理的な取り扱いやすさを保つかわりに変動因子の定常性を仮定したり履歴依存性を単純なものに限定したりしているために、推定及び予測精度を悪化させていた。

そこで、本発明の実施の形態では、後述する「Ｔｉｍｅ−ｒｅｓｃａｌｉｎｇ Ｔｈｅｏｒｅｍ（時間伸縮理論）」と呼ばれる確率理論（非特許文献３参照）を階層的に用いることで、マーケティング刺激や過去の購買履歴、顧客間の相互作用といったさまざまな変動因子の影響を、連続時間軸上でかつ多様な形式で取り入れることを可能とする柔軟な予測装置を開発し、上記の課題を解決する。

［非特許文献３］：E. N. Brown, R. Barbieri, et al., “The Time-Rescaling Theorem and Its Application to Neural Spike Train Data Analysis”, Neural Computation, Vol. 14, No. 2, pp. 325-346, 2002.

ここで、行動頻度関数とは、単位時間当りに顧客が購買決定を行う確率のことである。

また、マーケティング刺激とは、セール、テレビ広告、ダイレクトメールなど事業者が購買促進を目的として顧客に対して行う施策のことである。なお、マーケティング刺激が、外部刺激の一例である。

また、変動因子とは、行動頻度関数を時間変動させる原因である。原因として、マーケティング刺激や顧客の購買履歴などを想定するが、これらの原因に限定されるものでなく、他の様々な原因を採用することができる。なお、本実施の形態では、変動因子として何を採用するか特段の指定はしないものとする。

モデル推定装置１００は、一定期間内において顧客の各々が購買行動を各時刻ｔ_ｊ ^ｕに発生する確率ｐ（{ｔ_ｊ ^ｕ}｜λ（ｔ））を、行動頻度関数λ（ｔ）のもとでモデル化し、全ての顧客間における分布の形状を決める全体パラメータ（パラメータ値の非一様性）を推定し、推定された全体パラメータに基づいて顧客毎の影響度パラメータを推定し、その結果を出力とする。

行動予測装置２００は、顧客の各々について、行動頻度関数を推定し、推定した行動頻度関数に基づいて、顧客毎に購買行動の発生時刻の系列を予測し、その結果を出力とする。

なお、本実施の形態では、顧客の購買行動モデルを学習し、学習した購買行動モデルを用いて、顧客の購買行動の発生時刻を予測する装置として説明するが、これに限定されるものではなく、外部の刺激に対する個体の反応行動の発生時刻を予測するためのモデル推定装置、及び行動予測装置として、様々な応用が可能である。

＜本発明の実施の形態に係るモデル推定装置の構成＞

本発明の実施の形態に係るモデル推定装置１００の構成について説明する。

図１に示すように、本実施の形態に係るモデル推定装置１００は、ＣＰＵと、ＲＡＭと、後述するモデル推定処理ルーチンを実行するためのプログラムや各種データを記憶したＲＯＭと、を含むコンピュータで構成することが出来る。このモデル推定装置１００は、機能的には図１に示すように入力部１０と、演算部２０と、出力部５０とを備えている。

入力部１０は、入力として、顧客の各々について観測された、顧客毎の購買行動の購買時刻及び購買内容（購買価格、購買数など）の時系列データと、観測された、顧客に購買行動を発生させるためのマーケティング刺激の発生時刻の時系列データとを受け付ける。顧客の各々の購買時刻及び購買内容の時系列データは、具体的には、観測された顧客の各々を識別するための顧客識別情報である顧客ＩＤ（ｕと表記）、顧客ｕの購買行動発生時刻の系列（｛ｔ_ｊ ^ｕ｝＝（ｔ_０ ^ｕ，ｔ₁ ^ｕ，ｔ₂ ^ｕ，…）と表記）、顧客ｕの各時刻での購買内容（｛ｍ_ｊ ^ｕ｝＝（ｍ_０ ^ｕ，ｍ₁ ^ｕ，ｍ₂ ^ｕ，…）と表記）、観測時間（開始時刻を０、終了時刻をＴとして［０，Ｔ］と表記）から構成される時系列データの集合として受け付ける。

ただし、購買内容は装置使用者が選択した変動因子の入力を受け付け、受け付けた購買内容に従って適時決められるものとする。例えば、購買金額による購買確率の変動を考慮する場合は、ｍ_ｊ ^ｕ＝購買金額となる。また、購買金額のほかに、購買商品数、購買商品ブランドなども変動因子として想定しうる。なお、マーケティング刺激は必須でないものとする。

また、入力部１０は、入力として、階層的モデル化部３２において用いる、少なくとも３つ以上の変動因子の選択を受け付ける。また、入力部１０は、入力として、選択された変動因子の各々に対応する因数関数、及び因数関数間の階層関係の設定を受け付ける。なお、選択された変動因子の各々に対応する因数関数の各々は、入力として受け付けるのではなく、予めデータベースに記憶しているものを用いてもよい。

また、入力部１０は、入力として、分布型選択部３４において用いる確率分布型の選択を受け付ける。

演算部２０は、顧客購買行動モデル学習部３０と、パラメータ記憶部４０とを含んで構成されている。

パラメータ記憶部４０には、全体パラメータの推定に用いるパラメータ群（例えば、ａ_ｓ，ｂ_ｓ，ａ_ｃ，ｂ_ｃなど）が、入力部１０により受け付けた因数関数の各々と対応付けて格納される。本実施の形態では、パラメータ群をまとめてθ≡（ａ_ｓ，ｂ_ｓ，ａ_ｃ，ｂ_ｃ，…）と表記し、以後、影響度パラメータと呼ぶこととする。影響度パラメータは、変動因子の各々と行動頻度関数の関係を、因数関数の各々に従って数理モデル化する際に定義されるパラメータであり、変動因子の各々の行動頻度関数に対する影響の強さを表す。

顧客購買行動モデル学習部３０は、一定期間内において顧客が購買行動を各時刻ｔ_ｊ ^ｕに発生する確率ｐ（{ｔ_ｊ ^ｕ}｜λ（ｔ））をモデル化する場合において、入力部１０により受け付けた因数関数の各々、及び因数関数間の階層関係の設定に基づいて、行動頻度関数を、受け付けた各因数関数ｒ_ｌの乗算値とし、各時刻ｔ_ｊ ^ｕを除く一定期間内に購買行動が発生しない確率における積分計算を、低位階層の因数ｒ_０から順番に一定期間の時間積分値を解析的に算出することを繰り返すことにより行うようにモデル化する。そして、入力部１０により受け付けた購買時刻及び購買内容の時系列データとマーケティング刺激の時系列データとに基づいて、顧客全体に対する全体パラメータを推定し、推定した全体パラメータに基づいて、顧客毎の影響度パラメータとを推定する。そして、学習の結果として、確率ｐ（{ｔ_ｊ ^ｕ}｜λ（ｔ））のモデルで用いる行動頻度関数と、全体パラメータと、影響度パラメータの各々とを出力する。

顧客購買行動モデル学習部３０は、階層的モデル化部３２と、分布型選択部３４と、全体パラメータ推定部３６と、個別パラメータ推定部３８とを含んで構成されている。

階層的モデル化部３２は、入力部１０により受け付けた因数関数の各々、及び因数関数間の階層関係の設定に基づいて、少なくとも３つ以上の変動因子の各々と行動頻度関数λ（ｔ）との関係を階層的にモデル化する。

ここで、本実施の形態における階層的モデル化の原理について説明する。

行動頻度関数λ（ｔ）に基づく予測装置の数理的な取り扱いの難しさは、期間［ｔ_０ ^ｕ，Ｔ］で購買時系列{ｔ_ｊ ^ｕ}が観測される確率、

の中の積分計算、

に起因する。ただし、Π_ｊ＝１λ（ｔ_ｊ）の項は、各時刻ｔで購買イベントが発生する確率、

は、各時刻点ｔを除く区間［ｔ_０ ^ｕ，Ｔ］で購買イベントが発生しない確率を表している。本実施の形態におけるモデルの学習及び予測は、上記の（１）式により求まる確率に基づいて行われるので、上記（２）式の積分計算は解析的に求められなければならない。

そこで、本実施の形態では、行動頻度関数λ（ｔ）を以下（４）式、及び（５）式の形式で表す。

ただし、ｒ_ｌ（Λ_ｌ（ｔ））は、それぞれ独立したｌ番目の変動因子による時間軸Λ_ｌ（ｔ）を説明変数とする因数関数ｒ_ｌ（Λ_ｌ（ｔ））の積として説明できると仮定する。また、Ｌは変動因子ｌの全体の個数である。一方でこのとき、ｌ＋１番目の因数関数ｒ_ｌ＋１Λ_ｌ＋１（ｔ）（≧０）はｌ番目の因数関数ｒ_ｌΛ_ｌ（ｔ）によってスケーリングされた時間軸Λ_ｌ＋１（ｔ）の関数となるように設計されている。

以上のように、変動因子ごとに分離した単位で階層的にスケーリングされた時間軸の因数関数ｒ_ｌ＋１Λ_ｌ＋１（ｔ）の積として行動頻度関数を表現するモデルを、本実施の形態では、Ｈｉｅｒａｒｃｈｉｃａｌ Ｔｉｍｅ−Ｒｅｓｃａｌｉｎｇ Ｍｏｄｅｌ（階層的時間伸縮モデル、以後、ＨＴＲＭと表記）と呼ぶこととする。

以下（６）式の展開で示されるように、ＨＴＲＭでは、上記（２）式の積分計算は時間軸Λ_ｌ＋１（ｔ）と一致する。

すなわち、各因数関数ｒ_ｌ−１（Λ_ｌ−１（ｔ））の積分であるΛ_ｌ（ｔ）が解析的に得られることが、上記（２）式の積分計算の解析解が存在するための条件となる。ＨＴＲＭの利点は、複数の因数関数の積で表現される行動頻度関数は複雑に時間変動することができる一方で、上記（２）式の積分計算の解は解析的に保証されるという点にある。

図３にＨＴＲＭにおいて時間軸がスケーリングされる様子を示す。各階層の垂線の上側の目盛りが購買時刻、上側の波形が行動頻度関数、下側の目盛りが実時間軸を表している。各階層において、新しい時間軸Λ_ｌ＋１（ｔ）が現在の時間軸Λ_ｌ（ｔ）を因数関数ｒ_ｌ（Λ_ｌ（ｔ））でスケーリングすることが表されている。階層が進むごとに、その時間軸での行動頻度関数は因数関数ｒ_ｌ（Λ_ｌ（ｔ））を失っていき、すなわち時間変動は緩やかになっていき、最終的に行動頻度関数の値は１となる。

従来技術において、２階層のＨＴＲＭに相当するモデルは非特許文献１、及び非特許文献４（S. Shimokawa, S. Shinomoto,“Estimating Instantaneous Irregularity of Neuronal Firing”, Neural Computation, Vol. 21, No. 7, pp. 1931-1951, 2009.）に例がみられるが、任意の階層での定式化及び３階層以上での応用を行った例は存在しない。従来技術で２階層のモデルのみが考えられてきたのは、刺激と履歴依存性をモデルに同時に導入できる最も単純なモデルであったためであるが、２階層以上の複雑なモデルは解析的に扱えないため提案されてこなかった。今回、本発明の実施の形態におけるＨＴＲＭが従来の２階層モデルの単なる拡張ではないことは以下の２点から明らかである。

１点目は、定式化についてである。従来の２階層化（λ_２（ｔ）と表記）は、

を再実行してモデルを３階層（λ_３（ｔ）と表記）に拡張しようとすると、

となるが、このときλ_２（ｔ）はｔの複雑な関数の積分で与えられるので、Λ_２（ｔ）を解析的に得ることが不可能である。

つまり、階層（すなわち独立事象である変動因子）を３以上に設定し、より複雑なモデルを実現するために、Ｌ（≧３）個の因数の積として、因数関数を定義し、さらに各因数関数ｒ_ｌ（Λ_ｌ（ｔ））を直前の因数関数ｒ_ｌ−１（Λ_ｌ−１（ｔ））の積分の関数として定義する、というのが本実施の形態における階層的モデル化の成果である。

２点目は、３階層以上での応用についてである。複数の変動因子が存在する場合を考えると、本発明の実施の形態では、行動頻度関数に対する変動因子の各々の効果をすべて積の形で導入することが可能である。その結果、１度の積で表される２階層モデルでは表現できない、複雑な時間変動を許容する行動頻度関数のモデルを本発明では実現することができる。そのため、マーケティング刺激などに対する人間の非線形な応答を表現する上で、本発明の実施の形態に係るＨＴＲＭは強力なツールとなる。

以上が、本実施の形態における階層的モデル化の原理である。

、階層的モデル化部３２による行動頻度関数λ（ｔ）及び時間軸Λ_Ｌ（ｔ）のモデル化の例について説明する。ただし、簡単のため、ｔ_ｊ ^ｕを単にｔ_ｊと表記する。４つの例について説明する。

例１では、変動因子として、セールによって購買が促進される効果、過去の購買の影響、及び直前の購買の影響を用いて、それぞれ、ｒ_０（Λ_０（ｔ））＝ｒ_０（ｔ），ｒ_１（ｔ），ｒ_２（ｔ）の中でモデル化する。

このとき行動頻度関数は、

で表現される。

まず、セールによって購買が促進される効果を表す因数関数ｒ_０（ｔ）については、セールが開始されると、行動頻度関数の値が上昇し、その効果が時間とともに減少していく状況をα関数で表現する場合、以下（８）式によりモデル化する。

ただし、ｃ_０は基礎レート、ｓ_ｉはｉ番目のセール開始時刻、ａ_ｓ（≧０）はセールのインパクトの強さ、１／ｂ_ｓ（≧０）はセール効果の持続時間を表す。なお、α関数以外の関数であっても良く、状況に応じて決めることができる。

次に、過去の購買行動に促進される効果を表す因数関数ｒ1（Λ1（ｔ））については、非特許文献５（T. Iwata, A. Shah, Z. Ghahramani, “Discovering Latent Influence in Online Social Activities via Shared Cascade Poisson Processes”, Proceedings of the 19th ACM SIGKDD International Conference on Knowledge Discovery and Data Mining, pp. 266-274, 2013.）に記載されているＨａｗｋｅｓ過程によって、以下（９）式によりモデル化する。

ただし、ｔ_ｊは顧客のｊ番目の購買時刻、ａ_ｈ（≧０）はインパクトの強さ、１／ｂ_ｈ（≧０）は効果の持続時間、Ｎ（ｔ）は時刻ｔまでに発生した購買イベントの回数を表す。なお、インパクトの強さａ_ｈが購買内容ｍ_ｊに依存すると仮定することも可能である。

次に、直前の購買の影響を表す因数関数ｒ2（Λ2（ｔ））については、ワイブル分布、ｆ_Κ（ｘ）＝κｘ^Κ−１ｅｘｐ（−ｘ^Κ），のハザード率で表現する場合、ワイブル分布の累積分布をＦ_Κ（ｘ）＝１−ｅｘｐ（−ｘ^Ｋ）として、以下（１０）式によりモデル化する。

ただし、κはワイブル分布の形状パラメータである。なお、ワイブル分布ではなく別の分布を用いることも可能であり、実用例としては、Ｅｒｌａｎｇ−２分布が挙げられる（非特許文献１参照）。

また、どの分布が適切であるかはデータごとに精査されるべきものであり、各パラメータｃ_０、ｓ_ｉ、ａ_ｓ、ｂ_ｓ、ａ_ｈ、ｂ_ｈ、κは、後述する個別パラメータ推定部３８において推定される。

上記のように３つの因数関数をモデル化したとき、上記（６）式の積分計算における、スケーリングされた時間軸Λ_１（ｔ）、Λ_２（ｔ）、Λ_３（ｔ）は、それぞれ、下記（１１）式〜（１３）式によって与えられる。

ただし、ｍａｘ（ｘ，ｙ）はｘとｙのいずれか大きい方を取る関数である。このように、本実施の形態における学習及び予測時に必要な上記（２）式の積分計算は解析関数Λ_３（Ｔ）によって与えられるといえる。

なお、仮に、３つの変動因子を同一時間軸ｔの上で発生するものとして非階層的に、

で取り入れた場合、積分計算∫_０ ^Ｔλ（ｔ）ｄｔはそのままでは実行できず、ｒ_０（ｔ）とｒ_１（ｔ）が購買イベント［ｔ_ｊ，ｔ_ｊ＋１］で定常であると仮定して計算しなくてはならない。この場合、仮定した状況で作成したモデルは、顧客の実態を十分に反映していない問題を生じやすい。

次に、例２として、さらに広告（テレビＣＭや新聞チラシ）に接触したことによる購買確率の変動を取り入れてモデル化する例について説明する。もっとも単純な取り入れ方は、例１のｒ_０（ｔ）を、接触の効果が指数関数的に減衰すると仮定して、

とするものである。ただし、ｗ_ｋはｋ番目の広告接触時刻、ａ_ｃは広告のインパクトの強さ、１／ｂ_ｃは広告効果の持続時間を表す。指数関数ｅｘｐ［−ｂ_ｃ（ｔ−ｗ_ｋ）］ではなく、より複雑なα関数（ｔ−ｗ_ｋ）ｅｘｐ［−ｂ_ｃ（ｔ−ｗ_ｋ）］でモデル化する、あるいは人間の記憶の減衰の仕方（非特許文献５参照）を考慮してベキ関数、

でモデル化する方法も考えられる。もちろん広告の種類に応じてインパクトの強さを表すパラメータａ_ｃを別々に用意することも可能である。

次に、例３として、例えば１分間と１０分間のテレビＣＭでは１回のイベントで与えるインパクトは異なりうるが、その差異をモデル化する例について説明する。差異を取り入れる方法の１つとして、例１のｒ_０（ｔ）を、以下（１６）式とする。

ここで、ｗ_ｋ ^{ｓｔａｒｔ}、ｗ_ｋ ^ｅｎｄはそれぞれｋ番目の広告の接触開始時刻と接触終了時刻である。接触時間が長いとそれだけ受ける影響が大きくなる。ｇ（ｔ−ｔ´）は畳み込み関数であり、例２と同様に指数関数やベキ関数などを当てはめることができる。広告だけでなく例１で示したセール効果においても同様のモデル化が可能である。

次に、例４として、ある顧客ｕの購買イベントが別の顧客ｕ´の行動頻度関数に影響を与えるようにモデル化する例について説明する。以下の項をいずれかの階層の因数関数ｒｌ（Λ，（ｔ））に組み込んで導入することにより実現される。

ただし、

は顧客ｕ´のｊ_ｕ´番目の購買イベント時刻、ｇ（ｘ）は畳み込み関数を表している。畳み込み関数については、非特許文献２ではベキ関数、非特許文献５では指数関数が用いられている。この相互作用の項をどの階層に導入するかは装置使用者の裁量に任される。例１あるいは例２のｒ_０（ｔ）に加える場合は実時間軸上で効果をモデル化することになり、ｒ１（Λ_１（ｔ））に加える場合はセールや広告の変動因数でスケーリングした時間軸上でモデル化することになる。どちらにせよ、例１で挙げた履歴依存性を同時に考える場合は、ＨＴＲＭでないと積分計算∫_０ ^Ｔλ（ｔ）ｄｔの実行は容易ではなく、区分的定常性を仮定しなくてはならない。

以上のように、階層的モデル化部３２は、入力部１０により受け付けた因数関数の各々、及び因数関数間の階層関係の設定に基づいて、顧客ｕの各々について、時刻ｔにおいて単位時間当たりに顧客ｕが購買行動を各時刻ｔ_ｊ ^ｕに発生する確率ｐ（{ｔ_ｊ ^ｕ}｜λ（ｔ））を、上記（１）式に従って、各時刻ｔに購買行動が発生する確率と、各時刻ｔを除く一定期間内に購買行動が発生しない確率との乗算値としてモデル化する場合において、上記（６）式に従って、少なくとも３つ以上の変動因子ｌに対して与えられた少なくとも３つ以上の因数関数ｒ_ｌに、少なくとも３つ以上の階層からなる階層関係を与え、因数関数ｒ_ｌを直前の階層の因数関数ｒ_ｌ−１の積分の関数として定義し、行動頻度関数λ（ｔ）を、上記（４）式に従って、少なくとも３つの因数関数ｒ_ｌの乗算値とし、各時刻ｔを除く一定期間内に購買行動が発生しない確率における上記（３）式の積分計算を、低位階層の因数関数ｒ_０から順番に一定期間の時間積分値を算出することを繰り返すことにより行うように、上記（４）式〜（６）式に従って、行動頻度関数λ（ｔ）及び時間軸Λ_Ｌ（ｔ）をモデル化し、モデルをパラメータ記憶部４０に格納すると共に、結果を出力部５０に出力する。

分布型選択部３４は、入力部１０により受け付けた確率分布型の選択に基づいて、顧客全体に対する影響度パラメータの確率分布形状を選択する。

指数分布族には代表的なものに、正規分布（Ｓ_１（ｘ）＝ｘ，Ｓ_２（ｘ）＝ｘ^２）、ガンマ分布（Ｓ_１（ｘ）＝ｘ，Ｓ_２（ｘ）＝ｌｏｇ（ｘ））、逆正規分布（Ｓ_１（ｘ）＝ｘ，Ｓ_２（ｘ）＝ｘ^−１）などがあり、非特許文献１と非特許文献２ではガンマ分布が用いられている。本実施の形態では、正規分布（Ｓ_１（ｘ）＝ｘ，Ｓ_２（ｘ）＝ｘ^２）、ガンマ分布（Ｓ_１（ｘ）＝ｘ，Ｓ_２（ｘ）＝ｌｏｇ（ｘ））、逆正規分布（Ｓ_１（ｘ）＝ｘ，Ｓ_２（ｘ）＝ｘ^−１）の何れかを選択しても良いが、特定の指数分布族に限定するものではない。

全体パラメータ推定部３６は、入力部１０により受け付けた顧客の購買行動の発生時刻及び行動内容の時系列データと、マーケティング刺激の発生時刻の時系列データと、階層的モデル化部３２によりモデル化した行動頻度関数のモデルと、パラメータ記憶部４０に格納されている影響度パラメータと、分布型選択部３４により選択した確率分布型とに基づいて、顧客の購買行動及び行動内容の時系列データに対して最尤化されるように全体パラメータμとνを推定し、推定した全体パラメータμとνをパラメータ記憶部４０に格納すると共に、結果を出力部５０に出力する。

本実施の形態では、セールや広告に対する反応の大きさや購買履歴に対する依存性は顧客毎に異なりうる。つまり、影響度パラメータθは顧客毎に異なりうるので、顧客ｕの影響度パラメータを特にθ^ｕと表記する。

顧客間での影響度パラメータの違いをモデル化するため、影響度パラメータθ^ｕ＝（θ_１ ^ｕ，θ_２ ^ｕ，θ_３ ^ｕ…）の各成分θ_ｌ ^ｕの顧客間分布を２変数指数分布族、p（θ_１ ^ｕ｜μ_１，ν_１）＝ｅｘｐ［μ_１Ｓ_１（θ_ｌ ^ｕ）＋ν_１Ｓ_２（θ_ｌ ^ｕ）−Ｂ(μ_１，ν_１)＋Ｃ（θ_ｌ ^ｕ）］， l＝１，２，３，…でモデル化する。ただし、Ｓ_１（θ_ｌ ^ｕ）とＳ_２（θ_ｌ ^ｕ）は２変数指数分布族を特徴付ける十分統計量、μ_１とν_１は分布の形状を決める２つのパラメータである。このとき影響度パラメータθ^ｕの従う確率分布は以下の（１８）式で表現される。

ここで、μ＝（μ_１，μ_２，μ_３，…）とν＝（ν_１，ν_２，ν_３，…）は顧客全体におけるθ^ｕの分布形状を決める全体パラメータである。

全体パラメータ推定部３６では、経験ベイズ法を用いて、全体パラメータμとνを推定する。まず、顧客毎の影響度パラメータの尤度関数ｐ（{ｔ_ｊ ^ｕ｜θ^ｕ}）は、階層的モデル化部３２において影響度パラメータθ^ｕの関数としてモデル化された行動頻度関数λ（ｔ｜θ^ｕ）を用いて、

と計算する。これは点過程と呼ばれる確率理論から導かれる。この尤度関数と（１０４）で選択したθ^ｕの確率分布ｐ（θ^ｕ｜μ，ν）から、ベイズの定理に基づき（μ，ν）に対する周辺尤度関数が以下（２０）式のようにして計算する。

ただし、Ｄは全顧客のデータを表す。（μ，ν）はこの周辺尤度関数ｐ（Ｄ｜μ，ν）を最尤化されるように推定する。このように、周辺尤度関数などを用いてモデルパラメータをすべてデータから推定する方法を経験ベイズ法と呼ぶ。

周辺尤度関数ｐ（Ｄ｜μ，ν）の最尤化は解析的には不可能であるので、ＥＭ法を用いて実行する。ＥＭ法の下、周辺尤度を最尤化する（μ，ν）は次の更新ルールを繰り返し実行することで得られる。

ただし、（μ^ｐ，ν^ｐ）はｐ番目の更新値を表し、Ｅ［Ｚ（θ^ｕ｜{ｔ_ｊ ^ｕ}μ^ｐ，ν^ｐ）］は以下（２３）式で定義されるθ^ｕについての事後平均を表す。

ただし、Ｚ（θ^ｕ）は任意のθ^ｕの関数である。

個別パラメータ推定部３８は、全体パラメータ推定部３６で推定された全体パラメータ（＾μ，＾ν）に基づいて、以下（２４）式に従って、顧客毎の影響度パラメータを事後平均として推定し、推定した顧客毎の影響度パラメータをパラメータ記憶部４０に格納すると共に、結果を出力部５０に出力する。

＜本発明の実施の形態に係る行動予測装置の構成＞

図４に示すように、本実施の形態に係る行動予測装置２００は、ＣＰＵと、ＲＡＭと、後述する行動予測処理ルーチンを実行するためのプログラムや各種データを記憶したＲＯＭと、を含むコンピュータで構成することが出来る。この行動予測装置２００は、機能的には図４に示すように入力部２１０と、演算部２２０と、出力部２５０とを備えている。

入力部２１０は、入力として、顧客の各々について観測された、顧客毎の購買行動の購買時刻及び購買内容の時系列データと、観測された、顧客に購買行動を発生させるためのマーケティング刺激の発生時刻の時系列データと、マーケティング刺激の発生予定時刻とを受け付ける。

演算部２２０は、行動確率推定部２３０と、行動時刻予測部２３２と、パラメータ記憶部４０とを含んで構成されている。

パラメータ記憶部２４０には、モデル推定装置１００によりモデル化された、顧客の各々に対する顧客が購買行動を時系列ｔ_ｊ ^ｕに発生する確率ｐ（{ｔ_ｊ ^ｕ}｜λ（ｔ））で用いられる行動頻度関数λ（ｔ）及び時間軸Λ_Ｌ（ｔ）と、推定された全体パラメータと、推定された顧客毎の影響度パラメータとが格納されている。

行動確率推定部２３０は、顧客ｕの各々に対して、入力部２１０により受け付けた当該顧客ｕ毎の購買行動の発生時刻及び行動内容の時系列データと、マーケティング刺激の発生時刻の時系列データと、パラメータ記憶部２４０に記憶された行動頻度関数λ（ｔ）と、時間軸Λ_Ｌ（ｔ）と、全体パラメータと、及び当該顧客ｕの影響度パラメータ＾θ^ｕとに基づいて、行動頻度関数λ（ｔ｜＾θ^ｕ）を推定する。

図６に、影響度パラメータθ^ｕに基づき顧客毎の行動頻度関数λ（ｔ｜＾θ^ｕ）を推定したときの分布を可視化した例を示す。なお、図６は、モデル推定装置１００における例１のモデル化によって得られた確率ｐ（{ｔ_ｊ ^ｕ}｜λ（ｔ））と、推定した顧客毎の影響度パラメータ＾θ^ｕとを用いた場合の出力例である。

図６（Ａ）はセールの影響度パラメータ（ａ_ｓ，ｂ_ｓ）、図６（Ｂ）は履歴依存性の影響度パラメータ（ａ_ｈ，ｂ_ｈ，κ）の推定値をプロットしたものである。各プラス印が顧客毎のパラメータ値を表している。３人の顧客に対して、推定された影響度パラメータから顧客毎の行動頻度関数を推定し、顧客毎にグラフ化したものが図６（Ｃ−１）〜図６（Ｃ−３）である。横軸は時間、縦軸はレートの大きさ、短い縦棒の列は観測された購買時刻の系列を示している。行動頻度関数の推定値が高い時期は実際に購買決定を行う可能性が高い。図６（Ｃ−１）の顧客はセールや購買履歴にあまり反応しないが、図６（Ｃ−２）と図６（Ｃ−３）の顧客はセール（セール開始時刻はＳ_iで示す）にも購買履歴にも大きく影響を受けているのが分かる。図６（Ｃ−２）の顧客は購買直後に購買レートが下がる特徴が見られる。逆に図６（Ｃ−３）の顧客は購買直後に行動頻度関数の推定値が上昇している。図６の例のように、ＨＴＲＭは顧客一人一人の購買特性を詳細に抽出することができる。変動因子の定常性を仮定したり履歴依存性を単純なものに限定する従来の技術では、このような詳細な購買特性を抽出することはできない。

行動時刻予測部２３２は、行動確率推定部２３０により推定された顧客の各々についての行動頻度関数λ（ｔ｜＾θ^ｕ）と、パラメータ記憶部２４０に記憶された時間軸Λ_Ｌ（ｔ）と、入力部２１０により受け付けたマーケティング刺激の発生予定時刻とに基づいて、顧客毎に、顧客ｕが購買行動を各時刻ｔ_ｊ ^ｕに発生する確率ｐ（{ｔ_ｊ ^ｕ}｜λ（ｔ））に従って、顧客ｕの次の購買行動の発生時刻を予測し、予測した顧客毎の予測値を出力部２５０により出力する。

ここで、入力部２１０により受け付けた、マーケティング刺激の発生予定時刻をＩ^ｕ（ｔ＞Ｔ）と表記することとする。なお、モデル推定装置１００における例１において挙げた行動頻度関数λ（ｔ）のモデル化のように、顧客全体向けのマーケティング刺激を用いる場合には、Ｉ^ｕ（ｔ）＝Ｉ（ｔ）である。

行動時刻予測部２３２は、具体的には、期間［０，Ｔ］で観測された顧客ｕの購買が{ｔ_ｊ ^ｕ}＝（ｔ_０ ^ｕ，ｔ_１ ^ｕ，ｔ_２ ^ｕ，ｔ_３ ^ｕ，…，ｔ_ｎ ^ｕ）であったとすると、次の購買行動の発生時刻ｔ_ｎ＋１ ^ｕ（＞Ｔ）の予測分布を、

によって求める。ただし、Λ_Ｌ（ｔ）はＨＴＲＭで最も深い階層のスケーリング時間である。行動頻度関数は事業者が入力するマーケティング刺激の発生予定時刻に応じて、予測値＾ｔ_ｎ＋１ ^ｕが予測分布の平均で与えられる。

ただし、平均操作に必要な積分が容易に実行できない場合は、モンテカルロシミュレーションを用いて、以下（２７）式に示すように、予測分布からｔ_ｎ＋１ ^ｕのサンプルτ_ｚを十分な個数（ｚ＝１，２，…Ｎ_ＭＣ）生成し、サンプル平均を行う。

また、直後の購買時刻だけでなく購買時刻の系列（ｔ_ｎ＋１ ^ｕ，ｔ_ｎ＋２ ^ｕ，…，ｔ_ｎ＋ｋ ^ｕ，…）を予測したい場合も、モンテカルロシミュレーションを用いて、

のようにして予測値を求めることができる。ただしτ_ｚ ^ｋは、ｚ回目のモンテカルロシミュレーションによって予測分布から生成された購買時刻の系列の（ｎ＋ｋ）番目の購買時刻である。

＜本発明の実施の形態に係るモデル推定装置の作用＞

次に、本発明の実施の形態に係るモデル推定装置１００の作用について説明する。入力部１０において、顧客毎の購買行動の購買時刻及び購買内容の時系列データと、マーケティング刺激の発生時刻の時系列データと、少なくとも３つ以上の変動因子の選択と、選択された変動因子の各々に対応する因数関数、及び因数関数間の階層関係の設定と、確率分布型の選択とを受け付けると、モデル推定装置１００は、図２に示すモデル推定処理ルーチンを実行する。

まず、ステップＳ１００では、選択された変動因子の各々に対応する因数関数の各々、及び因数関数間の階層関係の設定を取得する。

次に、ステップＳ１０２では、ステップＳ１００で取得した因数関数の各々、及び因数関数間の階層関係の設定に基づいて、上記（４）式〜（６）式に従って、行動頻度関数λ（ｔ）及び時間軸Λ_Ｌ（ｔ）をモデル化し、パラメータ記憶部４０に格納する。

ステップＳ１０４では、入力部１０により受け付けた確率分布型の選択に基づいて、顧客全体に対する影響度パラメータの確率分布形状を選択する。

ステップＳ１０６では、入力部１０により受け付けた顧客の購買行動の発生時刻及び購買内容の時系列データと、マーケティング刺激の発生時刻の時系列データと、パラメータ記憶部４０に格納されている影響度パラメータとを取得する。

そして、Ｓ１０８では、ステップＳ１０６で取得した、顧客の購買行動の発生時刻及び購買内容の時系列データ、マーケティング刺激の発生時刻の時系列データ、及び影響度パラメータと、ステップＳ１０２でモデル化した行動頻度関数のモデルと、ステップＳ１０４で選択した確率分布形状とに基づいて、上記（２１）式〜（２２）式に従って、全体パラメータμとνの更新を繰り返すことにより、全体パラメータμとνを推定し、パラメータ記憶部４０に格納する。

ステップＳ１１０では、ステップＳ１０８で推定した全体パラメータに基づいて、上記（２４）式に従って、顧客毎に影響度パラメータを推定し、パラメータ記憶部４０に格納する。

そして、ステップＳ１１２では、ステップＳ１０２でモデル化した行動頻度関数λ（ｔ）及び時間軸Λ_Ｌ（ｔ）と、ステップＳ１０８で推定した全体パラメータと、ステップＳ１１０で推定した顧客毎の影響度パラメータとを、出力部５０により出力して処理を終了する。

＜本発明の実施の形態に係る行動予測装置の作用＞

次に、本発明の実施の形態に係る行動予測装置２００の作用について説明する。入力部２１０において、顧客毎の購買行動の購買時刻及び購買内容の時系列データと、マーケティング刺激の発生時刻の時系列データと、マーケティング刺激の発生予定時刻とを受け付けると、行動予測装置２００は、図５に示す行動予測処理ルーチンを実行する。

まず、ステップＳ２００では、入力部２１０により受け付けた顧客毎の購買行動の発生時刻及び行動内容の時系列データと、マーケティング刺激の発生時刻の時系列データとを取得すると共に、パラメータ記憶部２４０に記憶された行動頻度関数λ（ｔ）と、時間軸Λ_Ｌ（Ｔ）と、全体パラメータと、及び顧客ｕ毎の影響度パラメータθ^ｕと、マーケティング刺激の発生予定時刻とを取得する。

次に、ステップＳ２０２では、顧客ｕの各々について、ステップＳ２００で取得した、顧客ｕ毎の購買行動の発生時刻及び行動内容の時系列データと、マーケティング刺激の発生時刻の時系列データと、行動頻度関数λ（ｔ）と、時間軸Λ_Ｌ（Ｔ）と、全体パラメータと、及び当該顧客ｕの影響度パラメータθ^ｕとに基づいて、行動頻度関数λ（ｔ｜＾θ^ｕ）を推定する。

次に、ステップＳ２０４では、ステップＳ２０２で推定した顧客ｕの各々についての行動頻度関数λ（ｔ｜＾θ^ｕ）と、ステップＳ２００で取得した時間軸Λ_Ｌ（Ｔ）及びマーケティング刺激の発生予定時刻とに基づいて、顧客ｕ毎に、上記（２５）式に従って、次の購買行動の発生時刻の予測分布を計算し、上記（２６）式に従って、次の購買行動の発生時刻の予測値を計算する。

そして、ステップＳ２０６では、ステップＳ２０４で計算した、顧客毎の次の購買時刻の予測値を出力部２５０により出力し処理を終了する。

以上説明したように、本実施の形態に係るモデル推定装置によれば、顧客が購買行動を各時刻ｔ_ｊ ^ｕに発生する確率ｐ（{ｔ_ｊ ^ｕ}｜λ（ｔ））をモデル化する場合において、少なくとも３つの変動因子ｌに対して与えられた少なくとも３つの因数関数ｒ_ｌに、少なくとも３つの階層関係を与え、因数関数ｒ_ｌを直前の階層の因数関数ｒ_ｌ−１の積分の関数として定義し、各時刻ｔ_ｊ ^ｕを除く一定期間内に購買行動が発生しない確率における積分計算を、低位階層の因数関数ｒ_０から順番に一定期間の時間積分値を算出することを繰り返すことにより行うようにモデル化し、顧客における変動因子ｌの影響度を表す影響度パラメータの、顧客全体における分布を表す全体パラメータμとνを推定し、顧客毎の影響度パラメータθ^ｕを推定することで、マーケティング刺激に対する顧客の購買時刻を精度よく予測するためのモデルパラメータを推定することができる。

また、本実施の形態に係る行動予測装置によれば、モデル化された、顧客の各々に対する顧客が購買行動を時系列に発生する確率ｐ（｛ｔ_ｊ ^ｕ｝｜λ（ｔ））と、推定された顧客毎の影響度パラメータと、に基づいて、顧客の各々について行動頻度関数λ（ｔ）を推定し、顧客ｕ毎に次の購買行動の発生時刻を予測することで、マーケティング刺激に対する顧客の購買時刻を精度よく予測することができる。

なお、本発明は、上述した実施形態に限定されるものではなく、この発明の要旨を逸脱しない範囲内で様々な変形や応用が可能である。

例えば、外部の刺激に対する個体の反応行動の発生時刻を予測するためのモデル推定装置、及び行動予測装置に、本発明を適用してもよい。この場合には、モデル推定装置の入力部は、入力として、個体の各々について観測された、個体の反応行動の発生時刻及び行動内容の時系列データと、観測された、個体に反応行動を発生させるための外部刺激の発生時刻の時系列データとを受け付ける。また、階層的モデル化部は、個体ｕの各々について、時刻ｔにおいて単位時間当たりに前記個体ｕが反応行動を発生させる確率を表す行動頻度関数λ（ｔ）のもとで、一定期間内において前記個体が前記反応行動を各時刻ｔ_ｊ ^ｕに発生する確率ｐ（｛ｔ_ｊ ^ｕ｝｜λ（ｔ））を、上記（１）式に従って、各時刻ｔ_ｊ ^ｕに前記反応行動が発生する確率と、各時刻ｔ_ｊ ^ｕを除く前記一定期間内に前記反応行動が発生しない確率との乗算値としてモデル化する場合において、それぞれが独立事象であって、かつ、前記外部刺激に対応する変動因子を含む少なくとも３つの変動因子ｌに対して与えられた少なくとも３つの因数関数ｒ_ｌに、少なくとも３つの階層からなる階層関係を与え、前記因数関数ｒ_ｌを、直前の階層の因数関数ｒ_ｌ−１の積分の関数として定義し、前記行動頻度関数λ（ｔ）を、少なくとも３つの因数関数ｒ_ｌの乗算値とし、各時刻ｔ_ｊ ^ｕを除く前記一定期間内に反応行動が発生しない確率における積分計算を、低位階層の因数関数ｒ_０から順番に一定期間の時間積分値を算出することを繰り返すことにより行うように、行動頻度関数λ（ｔ）及び時間軸Λ_Ｌ（ｔ）をモデル化する。また、全体パラメータ推定部は、入力部によって受け付けた、個体の各々について観測された、個体の反応行動の発生時刻及び行動内容の時系列データと、観測された、個体に反応行動を発生させるための外部刺激の発生時刻の時系列データとに基づいて、個体毎に用意された、少なくとも３つの因数関数ｒ_ｌで用いられるパラメータであって、個体における前記変動因子ｌの影響度を表す影響度パラメータの、個体全体における分布を表す全体パラメータを推定する。また、個別パラメータ推定部は、全体パラメータ推定部によって推定された全体パラメータに基づいて、個体毎の影響度パラメータを推定する。

また、行動予測装置の行動確率推定部は、モデル化された、個体の各々に対する個体が反応行動を時系列に発生する確率ｐ（｛ｔ_ｊ ^ｕ｝｜λ（ｔ））と、推定された個体毎の影響度パラメータと、入力部によって受け付けた、個体の各々について観測された、個体の反応行動の発生時刻及び行動内容の時系列データと、観測された、個体に反応行動を発生させるための外部刺激の発生時刻の時系列データとに基づいて、個体の各々について、行動頻度関数λ（ｔ）を推定する。また、行動確率推定部は、行動確率推定部によって推定された個体の各々についての行動頻度関数λ（ｔ）と、外部刺激の発生予定時刻とに基づいて、個体毎に、個体ｕが反応行動を各時刻ｔ_ｊ ^ｕに発生する確率ｐ（｛ｔ_ｊ ^ｕ｝｜λ（ｔ））に従って、個体ｕの反応行動の発生時刻を予測する。

１０、２１０ 入力部
２０、２２０ 演算部
３０ 顧客購買行動モデル学習部
３２ 階層的モデル化部
３４ 分布型選択部
３６ 全体パラメータ推定部
３８ 個別パラメータ推定部
４０、２４０ パラメータ記憶部
５０、２５０ 出力部
１００ モデル推定装置
２００ 行動予測装置
２３０ 行動確率推定部
２３２ 行動時刻予測部

Claims (8)

1. 入力として、個体の各々について観測された、前記個体の反応行動の発生時刻及び行動内容の時系列データと、観測された、前記個体に反応行動を発生させるための外部刺激の発生時刻の時系列データとを受け付ける入力部と、
   個体ｕの各々について、時刻ｔにおいて単位時間当たりに前記個体ｕが反応行動を発生させる確率を表す行動頻度関数λ（ｔ）のもとで、一定期間内において前記個体が前記反応行動を各時刻ｔ_ｊ ^ｕに発生する確率ｐ（｛ｔ_ｊ ^ｕ｝｜λ（ｔ））を、以下の式に従って、各時刻ｔ_ｊ ^ｕに前記反応行動が発生する確率と、各時刻ｔ_ｊ ^ｕを除く前記一定期間内に前記反応行動が発生しない確率との乗算値としてモデル化する場合において、
   それぞれが独立事象であって、かつ、前記外部刺激に対応する変動因子を含む少なくとも３つの変動因子ｌに対して与えられた少なくとも３つの因数関数ｒ_ｌに、少なくとも３つの階層からなる階層関係を与え、前記因数関数ｒ_ｌを、直前の階層の因数関数ｒ_ｌ−１の積分の関数として定義し、前記行動頻度関数λ（ｔ）を、前記少なくとも３つの因数関数ｒ_ｌの乗算値とし、各時刻ｔ_ｊ ^ｕを除く前記一定期間内に前記反応行動が発生しない確率における積分計算を、低位階層の因数関数ｒ_０から順番に前記一定期間の時間積分値を算出することを繰り返すことにより行うようにモデル化する階層的モデル化部と、
   前記入力部によって受け付けた、前記個体の各々について観測された、前記個体の反応行動の発生時刻及び行動内容の時系列データと、観測された、前記個体に反応行動を発生させるための外部刺激の発生時刻の時系列データとに基づいて、前記個体毎に用意された、前記少なくとも３つの因数関数ｒ_ｌで用いられるパラメータであって、前記個体における前記変動因子ｌの影響度を表す影響度パラメータの、個体全体における分布を表す全体パラメータを推定する全体パラメータ推定部と、
   前記全体パラメータ推定部によって推定された前記全体パラメータに基づいて、前記個体毎の前記影響度パラメータを推定する個別パラメータ推定部と、
   を含むモデル推定装置。
   
   ただし、区間［ｔ_０ ^ｕ，Ｔ］が、前記一定期間を表す。
2. 前記全体パラメータ推定部は、前記個体毎の、観測された前記個体の反応行動の発生時刻の時系列に対する前記個体の影響度パラメータの尤度関数を乗算した値から設定された周辺尤度関数が、前記入力部によって受け付けた、前記個体の各々について観測された、前記個体の反応行動の発生時刻及び行動内容の時系列データに対して最尤化されるように、前記全体パラメータを推定する請求項１記載のモデル推定装置。
3. 入力として、前記個体の各々について観測された、前記個体の反応行動の発生時刻及び行動内容の時系列データと、観測された、前記個体に反応行動を発生させるための外部刺激の発生時刻の時系列データとを受け付ける入力部と、
   請求項１又は２記載のモデル推定装置によってモデル化された、前記個体の各々に対する前記個体が前記反応行動を時系列に発生する確率ｐ（｛ｔ_ｊ ^ｕ｝｜λ（ｔ））と、前記推定された前記個体毎の前記影響度パラメータと、前記入力部によって受け付けた、前記個体の各々について観測された、前記個体の反応行動の発生時刻及び行動内容の時系列データと、観測された、前記個体に反応行動を発生させるための外部刺激の発生時刻の時系列データとに基づいて、前記個体の各々について、前記行動頻度関数λ（ｔ）を推定する行動確率推定部と、
   前記行動確率推定部によって推定された前記個体の各々についての前記行動頻度関数λ（ｔ）と、前記外部刺激の発生予定時刻とに基づいて、前記個体毎に、個体ｕが前記反応行動を各時刻ｔ_ｊ ^ｕに発生する確率ｐ（｛ｔ_ｊ ^ｕ｝｜λ（ｔ））に従って、前記個体ｕの反応行動の発生時刻を予測する行動時刻予測部と、
   を含む行動予測装置。
4. 入力として、顧客の各々について観測された、前記顧客の購買行動の発生時刻及び行動内容の時系列データと、観測された、前記顧客に購買行動を発生させるためのマーケティング刺激の発生時刻の時系列データとを受け付ける入力部と、
   顧客ｕの各々について、時刻ｔにおいて単位時間当たりに前記顧客ｕが購買行動を発生させる確率を表す行動頻度関数λ（ｔ）のもとで、一定期間内において前記顧客が前記購買行動を各時刻ｔ_ｊ ^ｕに発生する確率ｐ（｛ｔ_ｊ ^ｕ｝｜λ（ｔ））を、以下の式に従って、各時刻ｔ_ｊ ^ｕに前記購買行動が発生する確率と、各時刻ｔ_ｊ ^ｕを除く前記一定期間内に前記購買行動が発生しない確率との乗算値としてモデル化する場合において、
   それぞれが独立事象であって、かつ、前記マーケティング刺激に対応する変動因子を含む少なくとも３つの変動因子ｌに対して与えられた少なくとも３つの因数関数ｒ_ｌに、少なくとも３つの階層からなる階層関係を与え、前記因数関数ｒ_ｌを、直前の階層の因数関数ｒ_ｌ−１の積分の関数として定義し、前記行動頻度関数λ（ｔ）を、前記少なくとも３つの因数関数ｒ_ｌの乗算値とし、各時刻ｔ_ｊ ^ｕを除く前記一定期間内に前記購買行動が発生しない確率における積分計算を、低位階層の因数関数ｒ_０から順番に前記一定期間の時間積分値を算出することを繰り返すことにより行うようにモデル化する階層的モデル化部と、
   前記入力部によって受け付けた、前記顧客の各々について観測された、前記顧客の購買行動の発生時刻及び行動内容の時系列データと、観測された、前記顧客に購買行動を発生させるためのマーケティング刺激の発生時刻の時系列データとに基づいて、前記顧客毎に用意された、前記少なくとも３つの因数関数ｒ_ｌで用いられるパラメータであって、前記顧客における前記変動因子ｌの影響度を表す影響度パラメータの、顧客全体における分布を表す全体パラメータを推定する全体パラメータ推定部と、
   前記全体パラメータ推定部によって推定された前記全体パラメータに基づいて、前記顧客毎の前記影響度パラメータを推定する個別パラメータ推定部と、
   を含むモデル推定装置。
   
   ただし、区間［ｔ_０ ^ｕ，Ｔ］が、前記一定期間を表す。
5. 入力として、前記顧客の各々について観測された、前記顧客の購買行動の発生時刻及び行動内容の時系列データと、観測された、前記顧客に購買行動を発生させるための外部刺激の発生時刻の時系列データとを受け付ける入力部と、
   請求項４記載のモデル推定装置によってモデル化された、前記顧客の各々に対する前記顧客が前記購買行動を時系列に発生する確率ｐ（｛ｔ_ｊ ^ｕ｝｜λ（ｔ））と、前記推定された前記顧客毎の前記影響度パラメータと、前記入力部によって受け付けた、前記顧客の各々について観測された、前記顧客の購買行動の発生時刻及び行動内容の時系列データと、観測された、前記顧客に購買行動を発生させるための外部刺激の発生時刻の時系列データとに基づいて、前記顧客の各々について、前記行動頻度関数λ（ｔ）を推定する行動確率推定部と、
   前記行動確率推定部によって推定された前記顧客の各々についての前記行動頻度関数λ（ｔ）と、前記外部刺激の発生予定時刻とに基づいて、前記顧客毎に、顧客ｕが前記購買行動を各時刻ｔ_ｊ ^ｕに発生する確率ｐ（｛ｔ_ｊ ^ｕ｝｜λ（ｔ））に従って、前記顧客ｕの購買行動の発生時刻を予測する行動時刻予測部と、
   を含む行動予測装置。
6. 入力部、階層的モデル化部、全体パラメータ推定部、個別パラメータ推定部を含むモデル推定装置におけるモデル推定方法であって、
   前記入力部が、入力として、個体の各々について観測された、前記個体の反応行動の発生時刻及び行動内容の時系列データと、観測された、前記個体に反応行動を発生させるための外部刺激の発生時刻の時系列データとを受け付けるステップと、
   前記階層的モデル化部が、個体ｕの各々について、時刻ｔにおいて単位時間当たりに前記個体ｕが反応行動を発生させる確率を表す行動頻度関数λ（ｔ）のもとで、一定期間内において前記個体が前記反応行動を各時刻ｔ_ｊ ^ｕに発生する確率ｐ（｛ｔ_ｊ ^ｕ｝｜λ（ｔ））を、以下の式に従って、各時刻ｔ_ｊ ^ｕに前記反応行動が発生する確率と、各時刻ｔ_ｊ ^ｕを除く前記一定期間内に前記反応行動が発生しない確率との乗算値としてモデル化する場合において、
   それぞれが独立事象であって、かつ、前記外部刺激に対応する変動因子を含む少なくとも３つの変動因子ｌに対して与えられた少なくとも３つの因数関数ｒ_ｌに、少なくとも３つの階層からなる階層関係を与え、前記因数関数ｒ_ｌを、直前の階層の因数関数ｒ_ｌ−１の積分の関数として定義し、前記行動頻度関数λ（ｔ）を、前記少なくとも３つの因数関数ｒ_ｌの乗算値とし、各時刻ｔ_ｊ ^ｕを除く前記一定期間内に前記反応行動が発生しない確率における積分計算を、低位階層の因数関数ｒ_０から順番に前記一定期間の時間積分値を算出することを繰り返すことにより行うようにモデル化するステップと、
   前記全体パラメータ推定部が、前記入力部によって受け付けた、前記個体の各々について観測された、前記個体の反応行動の発生時刻及び行動内容の時系列データと、観測された、前記個体に反応行動を発生させるための外部刺激の発生時刻の時系列データとに基づいて、前記個体毎に用意された、前記少なくとも３つの因数関数ｒ_ｌで用いられるパラメータであって、前記個体における前記変動因子ｌの影響度を表す影響度パラメータの、個体全体における分布を表す全体パラメータを推定するステップと、
   前記個別パラメータ推定部が、前記全体パラメータ推定部によって推定された前記全体パラメータに基づいて、前記個体毎の前記影響度パラメータを推定するステップと、
   を含むモデル推定方法。
   
   ただし、区間［ｔ_０ ^ｕ，Ｔ］が、前記一定期間を表す。
7. コンピュータを、請求項１又は２に記載のモデル推定装置を構成する各部として機能させるためのプログラム。
8. コンピュータを、請求項３に記載の行動予測装置を構成する各部として機能させるためのプログラム。