JP5736769B2 - ポンプバレルの振動予測方法 - Google Patents

Description

本発明は、ＬＮＧタンク等のタンクに設けたポンプバレルが地震時等のタンク振動に伴って受ける振動を予測するために用いるポンプバレルの振動予測方法に関するものである。

ＬＮＧタンクのうち、地上式のＰＣ（プレストレストコンクリート）ＬＮＧタンクや地下式のＬＮＧタンクは、そのタンク底やタンク側壁に、貯蔵液体であるＬＮＧの出し入れを行うための配管を貫通させて設けることが難しい。

そのため、これらのＬＮＧタンクでは、タンク屋根より、下端側をタンクの内底部付近に配置させるようにしてあるポンプバレルを吊下げて設けてなる構成として、該タンク屋根側より上記ポンプバレルを用いてＬＮＧの出し入れを行うようにする構成が採用されている。

ところで、上記ポンプバレルは上記したようにタンク屋根よりタンクの内底部付近まで上下方向に延びるものであるため、タンクの大型化に伴って上記ポンプバレルの上下寸法が長くなると、該ポンプバレルは、上下両端部の支持点以外に、上下方向の中間部にも、支持部材を介して上記タンクの側壁に支持させるようにするための支持点を設けて、支持を行う必要が生じる。又、この場合、地震時等のタンクの振動時に上記ポンプバレルに生じる振動を考慮して、該ポンプバレルの上下方向中間部の支持点を適切に配置する必要がある。

すなわち、上記ポンプバレルは、上記したようにタンク側壁に支持部材を介して支持させた構成とすると、地震等によってタンクが振動するときに、該ポンプバレルには、タンク側壁の振動が支持部材を介して伝達されるようになる。

又、上記ポンプバレルは、タンクの運用時には上記ＬＮＧのような該タンクに貯蔵された液体に浸るものであるため、地震等によってタンクが振動する際に該タンク内で貯蔵液体の揺動（スロッシング）が生じると、その液体に運動の影響も受けるようになる。

よって、上記ポンプバレルには、上記タンク側壁の振動と、タンク内で揺動する貯蔵液体の運動の双方の影響を受けた振動が生じる。

そのため、上記ポンプバレルを設計するときには、たとえ、上記のような地震時等のタンクの振動時に上記ポンプバレルに振動が生じるとしても、該振動するポンプバレルとタンク側壁が干渉する虞や、ポンプバレルをタンク側壁に取り付けるために用いている支持部材に座屈等の損傷を招くような過大な荷重が作用する虞や、ポンプバレルにおける液体流通用の配管自体に過大な荷重が作用する虞が生じないように、該ポンプバレルの構造や該ポンプバレルの上下方向における上記支持部材による支持個所を適切に設定する必要がある。

かかる観点から、地震時等のタンクの振動時に上記ポンプバレルに発生する振動を解析して予測することが求められている。この種の振動解析を行う場合、通常は、構造物の地震時等における振動を解析する手法として広く一般的に採用されている汎用解析プログラムによる３次元ＦＥＭ解析を用いた解析が行われる。

又、地上式ＰＣＬＮＧタンクで用いるポンプバレルとしては、たとえば、液体流通用の上下方向に延びる３本の配管を、平面視で正三角形の各頂点に位置するように配置すると共に、該各配管における上下方向中間部の対応する高さ位置同士を、連結部材を介して相互に連結して束にし、この配管の束の上下方向中間部を、多段の支持部材を介してタンク側壁に固定して支持させるようにした剛構造設計が当初採用されていた（たとえば、特許文献１参照）。

なお、液体のラグランジュアン汎関数の変分計算に関し、本発明者等は、液体領域の変動を考慮した変分計算の方法について従来提案している（たとえば、非特許文献１参照）。

特開平７−３１０８９９号公報

内海（Utsumi, M.），石田（Ishida, K.），日詰（Hizume, M.），"非線形スロッシングを受ける浮き屋根の内部共振（Internal resonance of a Floating Roof Subjected to Nonlinear Sloshing）"，アメリカン ソサイエティ オブ メカニカル エンジニアズ（ＡＳＭＥ），ジャ−ナル オブ アプライド メカニクス（Journal of Applied Mechanics），Ｖｏｌ．７７，２０１０年１月，ｐ．０１１０１６

ところが、上記ポンプバレルの振動を予測する場合に、上記汎用解析プログラムによる３次元ＦＥＭ解析による振動解析を用いようとすると、ポンプバレルのタンク側壁との連成振動を求めるために、タンクの全体構造、及び、ポンプバレルを構成している配管と該配管同士の連結部材とタンク側壁に支持させるための支持部材についての全体の要素分割が必要とされ、更には、該ポンプバレルが設けられているのがタンクの周方向の一部であるにも関わらず、タンクに貯蔵された液体の揺動を該液体全体で解析することも必要になるため、設計のためのパラメータスタディや、入力データの作成等に時間がかかり、更には、ＦＥＭ解析を行うための計算自体にも時間がかかってしまう。そのため、解析作業に手間とコストが嵩むというのが実状である。

かかる観点から、ポンプバレルの振動解析を効率的に行うことができるようにして、ポンプバレルにおける支持点の適切配置等、ポンプバレルの設計のパラメータスタディを行うためのより便利な振動解析手法が望まれるが、従来、タンクの外周部における周方向の一部にのみ液面を貫通する配管が存在しているような構成について、該配管の振動解析を効率よく行うための手法は特に提案されていないというのが実状である。

なお、特許文献１には、地震時等のタンクの振動時にポンプバレルに発生する振動を予測する手法に関する記載はない。又、非特許文献１では、地震時等のタンクの振動時にポンプバレルに発生する振動の予測については特に触れていない。

そこで、本発明は、ＬＮＧタンク等のタンクに設けられるポンプバレルの振動解析を行うための入力データ作成、及び、計算に要する時間を低減することができて、地震時等のタンクの振動時におけるポンプバレルの振動解析を効率よく行うことができるようにするためのポンプバレルの振動予測方法を提供しようとするものである。

本発明は、上記課題を解決するために、請求項１に対応して、円筒状のタンク側壁とタンク屋根とからなるタンクの外周部における周方向の一部に、上記タンク屋根よりタンクの内底部付近まで上下方向に延びる複数本の配管と、該各配管同士の水平方向に対応する個所同士を結合する配管結合部材と、該配管結合部材により結合された配管の或る個所をタンク側壁に支持させるための水平方向の配管支持部材とからなるポンプバレルを備えたポンプバレル付きタンクの解析モデルを作成し、該解析モデルについて、タンクの底面の中心を原点とするタンク全体についての円筒座標を設定し、次に、タンク内の液体のラグランジュアン汎関数の変分と、タンク側壁及びタンク屋根からなるタンクシェルのラグランジュアン汎関数の変分と、配管及び、配管に接続された配管結合部材及び配管支持部材からなる梁部材のラグランジュアン汎関数の変分を求めると共に、該各変分を基に、上記ポンプバレル付きタンクの支配方程式系を変分原理の形で導き、次いで、タンク内の液体の速度ポテンシャルの解、及び、液面変位の解のモード展開式として上記配管が介入した状態で適用可能な許容関数を求め、且つ前記タンク内の液体の速度ポテンシャルの解を求めるときに、タンクの底面の中心を原点としてタンク全体について設定された円筒座標に加えて、配管毎に該配管の中心を基準とする局所的円筒座標を設定して、各配管の周辺領域で上記局所的円筒座標に基づいて求めた液体の速度ポテンシャルにおける第１種ベッセル関数に関する項を、タンク全体について設定した上記円筒座標での速度ポテンシャルである該円筒座標でのラプラス方程式の解で置き換えて、各配管表面とタンク側壁での境界条件にガレルキン法を適用してなる速度ポテンシャルを設定して、その解を求めるようにし、又、上記タンクシェルの変位の解を、液体と非連成時の固有モードで展開した形に表してなる許容関数を求め、更に、上記梁部材の変位の解を、各梁部材におけるタンク接合部での適合条件を満たす静的変位に、両端固定時の固有モードが加算された形に表してなる許容関数を求め、その後、上記液体運動、タンクシェルの変位及びポンプバレルの梁部材の変位の解の許容関数を、上記変分原理に代入し、ガレルキン法により離散化させて一般化座標に関する時間の常微分方程式を導出して、該導出された常微分方程式を解くことにより、上記ポンプバレルの応答を計算するようにするポンプバレルの振動予測方法とする。

本発明のポンプバレルの振動予測方法によれば、以下のような優れた効果を発揮する。
（１）円筒状のタンク側壁とタンク屋根とからなるタンクの外周部における周方向の一部に、上記タンク屋根よりタンクの内底部付近まで上下方向に延びる複数本の配管と、該各配管同士の水平方向に対応する個所同士を結合する配管結合部材と、該配管結合部材により結合された配管の或る個所をタンク側壁に支持させるための水平方向の配管支持部材とからなるポンプバレルを備えたポンプバレル付きタンクの解析モデルを作成し、該解析モデルについて、タンクの底面の中心を原点とするタンク全体についての円筒座標を設定し、次に、タンク内の液体のラグランジュアン汎関数の変分と、タンク側壁及びタンク屋根からなるタンクシェルのラグランジュアン汎関数の変分と、配管及び、配管に接続された配管結合部材及び配管支持部材からなる梁部材のラグランジュアン汎関数の変分を求めると共に、該各変分を基に、上記ポンプバレル付きタンクの支配方程式系を変分原理の形で導き、次いで、タンク内の液体の速度ポテンシャルの解、及び、液面変位の解のモード展開式として上記配管が介入した状態で適用可能な許容関数を求め、且つ前記タンク内の液体の速度ポテンシャルの解を求めるときに、タンクの底面の中心を原点としてタンク全体について設定された円筒座標に加えて、配管毎に該配管の中心を基準とする局所的円筒座標を設定して、各配管の周辺領域で上記局所的円筒座標に基づいて求めた液体の速度ポテンシャルにおける第１種ベッセル関数に関する項を、タンク全体について設定した上記円筒座標での速度ポテンシャルである該円筒座標でのラプラス方程式の解で置き換えて、各配管表面とタンク側壁での境界条件にガレルキン法を適用してなる速度ポテンシャルを設定して、その解を求めるようにし、又、上記タンクシェルの変位の解を、液体と非連成時の固有モードで展開した形に表してなる許容関数を求め、更に、上記梁部材の変位の解を、各梁部材におけるタンク接合部での適合条件を満たす静的変位に、両端固定時の固有モードが加算された形に表してなる許容関数を求め、その後、上記液体運動、タンクシェルの変位及びポンプバレルの梁部材の変位の解の許容関数を、上記変分原理に代入し、ガレルキン法により離散化させて一般化座標に関する時間の常微分方程式を導出して、該導出された常微分方程式を解くことにより、上記ポンプバレルの応答を計算するようにしてあるので、ポンプバレルの配管に接続した配管結合部材や配管支持部材からなる梁部材の変位を求めるために該梁部材をＦＥＭ要素分割する手法に比して、ポンプバレルに生じる振動を解析する際の計算の自由度を低減させることができるため、地震時等のタンクの振動時に、該タンクの振動と、タンク内で揺動する貯蔵液体の運動の双方に連成してポンプバレルに生じる振動を解析するための計算の高速化を図ることができる。又、上記のように計算の自由度が減ることに伴って、入力データの作成も容易になる。
（２）よって、従来、ポンプバレルの振動の予測を汎用解析プログラムによる３次元ＦＥＭ解析によって振動解析する場合には、入力データの作成と計算に数日を要していたが、上記本発明のポンプバレルの振動予測方法を用いる場合は、入力データの作成を４０〜５０分程度、計算を十数秒程度で実現することが可能になり、ポンプバレルの設計用パラメータスタディを従来に比して便利なものとすることができる。
（３）更には、動液圧、構造系の変位及び応力の時刻歴応答、或る時刻での分布、周波数応答を解析するための時間及びコストを低減させる効果が期待できる。

本発明のポンプバレルの振動予測方法の実施の一形態として、円筒型のタンクのポンプバレルに適用する場合の直交座標系に配置した円筒型タンクの解析モデルと、該解析モデルに設定する円筒座標を示すもので、（ａ）はタンクの切断側面を示す図、（ｂ）はタンクの切断平面を示す図である。 図１の振動予測方法でポンプバレルの各配管に対応させて設定する局所的円筒座標を示す平面図である。 図１の振動予測方法で用いるポンプバレルの解析モデルの構成と、その各構成部材の部材端に設定した番号を示す概略斜視図である。 図１の振動予測方法で用いるポンプバレルの解析モデルに設定する円錐台シェル要素の全体変位成分と局所変位成分を示す図である。 図１の振動予測方法で導かれる式（４１）における加振加速度の項と、式（３７）によって決定される固有振動数の各次振動モードとの相関を示すもので、（ａ）は式（４１）のＸ方向加振加速度の刺激係数（Modal excitation coefficient（X direction））と、固有振動数の各次振動モード（Modal number）との相関を示す図、（ｂ）は式（４１）のＹ方向加振加速度の刺激係数（Modal excitation coefficient（Y direction））と、固有振動数の各次振動モード（Modal number）との相関を示す図である。 固有振動数の９次振動モードでのタンクと配管の変位を示すもので、（ａ）はタンクの半径方向変位（Tank displacement mode）を、（ｂ）は１番目の配管の全体座標Ｘ，Ｙ方向への変位（Pipe displacement mode）を、（ｃ）は２番目の配管の全体座標Ｘ，Ｙ方向への変位（Pipe displacement mode）を、それぞれＺ軸方向位置に対応させて示す図である。 固有振動数の１０次振動モードでのタンクと配管の変位を示すもので、（ａ）はタンクの周方向変位（Tank displacement mode）を、（ｂ）は１番目の配管の全体座標Ｘ，Ｙ方向への変位（Pipe displacement mode）を、（ｃ）は２番目の配管の全体座標Ｘ，Ｙ方向への変位（Pipe displacement mode）をそれぞれ示す図である。 図１の振動予測方法で導かれる式（４１）にて所定の加振周波数のＸ方向の５波正弦波共振を与えた場合におけるタンク側壁の半径方向変位（Radial displacement of tank wall）の時刻歴応答を示す図である。 図１の振動予測方法で導かれる式（４１）にて所定の加振周波数のＸ方向の５波正弦波共振を与えた場合における配管の全体座標Ｘ方向の変位（Displacement of pipe 1）の時刻歴応答を示す図である。 図８、図９の時刻歴応答が最大になる時刻での応答分布を示すもので、（ａ）はタンク側壁に作用する動圧（Dynamic pressure）を、（ｂ）はタンクの半径方向変位（Radial displacement of tank wall）を、（ｃ）は１番目と２番目の配管のＸ方向変位（X directional displacement of pipes 1 and 2）を、（ｄ）は１番目と２番目の配管に作用する曲げ応力（Bending stress of pipes 1 and 2）を、それぞれ示す図である。 図８、図９の時刻歴応答が最大になる時刻での所定の配管支持部材に作用する部材座標ｚ方向の変位による曲げ応力（Bending stress）を、部材座標ｘ方向位置（Beam member coordinate x）に相関させて示すもので、（ａ）は部材端Ｎ４−Ｎ１９とＮ４−Ｎ２０にそれぞれ対応する配管支持部材について示す図、（ｂ）は部材端Ｎ６−Ｎ２３とＮ６−Ｎ２４にそれぞれ対応する配管支持部材について示す図である。 図８、図９で時刻歴応答が最大となる時刻での所定の配管支持部材におけるＺ方向変位分布（Displacement in Z direction）を、部材座標ｘ方向（Beam member coordinate x）の位置に相関させて示す図である。 図８、図９で時刻歴応答が最大となる時刻での所定の配管支持部材の軸方向応力（Axial stress）の部材座標ｘ方向（Beam member coordinate x）についての分布を示すもので、（ａ）は部材端Ｎ４−Ｎ１９とＮ４−Ｎ２０にそれぞれ対応する配管支持部材について示す図、（ｂ）は部材端Ｎ６−Ｎ２３とＮ６−Ｎ２４にそれぞれ対応する配管支持部材について示す図である。 図３に示したポンプバレルの構成における配管結合部材を除いた状態で、図１３の場合と同様に、図８、図９で時刻歴応答が最大となる時刻での所定の配管支持部材の軸方向応力（Axial stress）の部材座標ｘ方向（Beam member coordinate x）についての分布を示すもので、（ａ）は部材端Ｎ４−Ｎ１９とＮ４−Ｎ２０にそれぞれ対応する配管支持部材について示す図、（ｂ）は部材端Ｎ６−Ｎ２３とＮ６−Ｎ２４にそれぞれ対応する配管支持部材について示す図である。 タンクに作用する動圧（Dynamic pressure）の加振加速度周波数（Excitation frequency）に対する応答を示す図である。

以下、本発明を実施するための形態を図面を参照して説明する。

図１（ａ）（ｂ）乃至図４は本発明のポンプバレルの振動予測方法の実施の一形態として、たとえば、図１（ａ）（ｂ）に示す如きポンプバレル２付きの円筒状のタンク１におけるポンプバレル２の振動の予測に適用する場合を示すもので、以下のようにしてある。

１．１ 解析モデル
ここで、先ず、本発明のポンプバレルの振動予測方法を適用するポンプバレル付きタンク１の解析モデルについて説明する。

図１乃至図３は、上記ポンプバレル付きタンクの解析モデルを示すもので、円板状のタンク底３と、円筒状のタンク側壁４と、球面状のタンク屋根５から構成されるタンク１において、該タンク屋根５の外周部における周方向の或る個所に、ポンプバレル２を構成するための２本の配管６ｉの上端部が取り付けてある。なお、上記配管６の符号に付したｉは、個々の配管６ｉを識別するために各配管６ｉに与える番号（１、２・・・）であり、後述する各パラメータに付されたｉは、ｉ番目の配管６ｉに関するパラメータであることを示すものである。又、図１中に付したパラメータは、ａは円筒状としてある上記タンク側壁４の半径、Ｈはタンク高さ、Ｈ_１は上記タンク側壁４の高さ、ｈはタンク内に貯蔵された液体９の液深をそれぞれ示すものである。

上記タンク１は、水平面内で直交するＸ軸及びＹ軸と、鉛直上向きのＺ軸からなるＸＹＺ直交座標系における原点Ｏに、タンク底３の中心を配置させてなるものとし、更に、該タンク１について、図１（ａ）（ｂ）に示す如く、上記原点Ｏを基準とする以下のグローバルな円筒座標

を設定する。

なお、「グローバル」とは、空間全体（例えばタンク全体）を表す座標系（グローバル座標系）を示す。又、後述の「ローカル」とは、空間全体の中にある個々の物体（例えば配管）などの局所的なものを表す座標系（ローカル座標系）を示す。

上記各配管６ｉは、たとえば、図１（ａ）（ｂ）及び図３に示すように、上下方向の複数個所（図３では３個所）を、水平な梁部材である配管結合部材７によって互いに結合し、更に、図１（ａ）及び図３に示すように、該各配管６ｉにおける上下方向の複数個所（図３では３個所）を、該各個所毎に２本ずつＶ字状に配した水平な梁部材である配管支持部材８を介してタンク側壁４に取り付けて支持させるようにして、上記配管６ｉと、配管結合部材７と、配管支持部材８により、柔軟骨組構造のポンプバレル２が構成してある。

ここで、上記各配管６ｉの振動に関しては、タンク１内に貯蔵された液体９との連成を考える必要がある。そのため、次の４つの仮定の下で解析を行うものとする。
（１）上記配管結合部材７、及び、配管支持部材８については、断面の直径が配管６ｉの断面直径に比べて小さいので、上記タンク１内の液体９との相互作用は考えず、配管６ｉ、及び、タンク１の弾性変位によって生じた運動エネルギ、及び、弾性歪みエネルギを介して、配管６ｉ及びタンク１と連成振動するものとする。
（２）上記液体９の運動は非圧縮完全流体の渦なし流れとする。
（３）上記タンク１は柔軟な軸対称シェル（タンクシェル）としてモデル化する。なお、タンクシェルとは、上記タンク１における曲面を有する部分、すなわち、タンク側壁及びタンク屋根を指すものである。
（４）上記タンク１内で液体９が揺動（スロッシング）するときのスロッシング周波数に比して高い周波数域で起こる運動を対象とするため、液面波高は小さく、線形理論を用いる。

次に、各配管６ｉに関して、図２に示すように、上記タンク１について設定したグローバルな円筒座標に加えて、該各配管６ｉに関して液体との連成振動解析のための図２に示す如き局所的円筒座標を導入する。図２において、

である。

更に、上記配管６ｉ、配管結合部材７及び配管支持部材８によって構成された上記柔軟骨組構造のポンプバレル２について、各構成部材の識別を行うために、図３に示すように、上記各配管６ｉと各配管結合部材７と各配管支持部材８のそれぞれの両端である部材端に、個別の番号Ｎ１〜Ｎ２６が付してある。図３においてはタンク１を図示してないが、部材端Ｎ７及びＮ１４は、上記各配管６ｉの上端部におけるタンク屋根５との接続部である。又、部材端Ｎ１５〜Ｎ２６は、上記各配管支持部材８におけるタンク側壁４との接続部である。なお、各部材端Ｎ１〜Ｎ６及びＮ８〜Ｎ１３の座標と、タンク屋根５と対応する位置に配置される部材端Ｎ７及びＮ１４と、タンク側壁４と対応する位置に配置される部材端Ｎ１５〜Ｎ２６の接続条件は、後述する数値例題の節（２．１節〜２．４節）で与える。

１．２ 解析手順
本発明のポンプバレルの振動予測方法を概説すると、以下のような解析手順としてある。
（１）先ず、支配方程式系を変分原理（エネルギ原理）の形で導く（１．３節）。
ここで説明を補足すると、本発明のポンプバレルの振動予測方法における解析では、解をモード展開で表し、支配方程式に代入してフーリエ展開のようにして展開係数（時間のみの関数）に関する常微分方程式に帰着させるようにする。このような方法をガレルキン法といい、解をモード関数で表したものを許容関数（ある条件を満たしているので許される関数）と呼ぶ。この方法を実行するためには、支配方程式だけでは不十分で、支配方程式を変分原理の形（変分を乗じて積分した形）に表したものが必要になる。よって、本発明のポンプバレルの振動予測方法では、先ず、支配方程式系を変分原理の形で導くようにするのである。
（２）次に、タンク１内に貯留された液体９の速度ポテンシャルの解、及び、液面変位の解のモード展開式を決定する（１．４節）。
（３）次いで、タンク１の変位の解を、液体９と非連成時の固有モード（ＦＥＭで決定）で展開した形に表す（１．５節；これは、荷重を受けない場合のモードを基底として、任意荷重に対する解を表すことを意味するものである）。
（４）更に、部材変位の解を、両端での適合条件（結合部分での変位の連続性）を満たす静的変位に、両端固定時の固有モードが重畳した（加算された）形に表す（１．６節）。
（５）その後、上記（２）〜（４）で求めた液体９運動、タンク１変位、ポンプバレル２の部材変位の解を上記（１）で導いた変分原理に代入し、ガレルキン法により一般化座標に関する時間の常微分方程式を導出する（１．７節）。しかる後、この常微分方程式を解くことにより、上記ポンプバレル２の応答を計算するようにする。

以下、詳述する。

１．３ 支配方程式系の変分原理による導出
先ず、タンク１に貯蔵された液体９と、タンクシェルと、配管結合部材７及び配管支持部材８からなる梁部材系について、それぞれラグランジュアン汎関数の変分計算を行う。

・液体のラグランジュアン汎関数の変分計算
タンク１内に貯蔵された液体９のラグランジュアン汎関数は次式によって与えられる。

上記液体９の液圧は、圧力方程式より次のように表される。

上記式（１）の変分計算を実行する。変分をとる変数として、上記液圧だけでなく、液体領域Ｖを変動させる量として、下記の量

を考慮する。このような液体領域Ｖの変動を考慮した変分計算の方法は、非特許文献１の付録Ａに詳細に説明している。計算の結果次式を得る。

・タンクシェルのラグランジュアン汎関数の変分計算
次に、タンクシェルのラグランジュアン汎関数を、図４に示すような円すい台シェル要素を用いた有限要素法により求める。図４において

である。タンクシェルのラグランジュアン汎関数を各周方向波数に関して求め、変分をとると下記のようになる。

・梁部材系のラグランジュアン汎関数の変分計算
梁部材系のラグランジュアンを求めるため、各梁部材ｂ（説明の便宜上、上記配管６ｉ及び、配管結合部材７と配管支持部材８を代表する符号としてｂを用いる。後述する各パラメータに付されたｂは、梁部材ｂに関するパラメータであることを示すものである。）に関し部材座標ｘ，ｙ，ｚを設定する。ｘを軸方向座標とし、ｙ，ｚ方向は、鉛直部材ではＸ，Ｙ方向にとり、その他の部材では次のようにしてｘ方向の単位ベクトルｅ_ｘの（Ｘ，Ｙ，Ｚ）成分（ｃ_ｘ，ｃ_ｙ，ｃ_ｚ）からｙ，ｚ方向の単位ベクトルｅ_ｙ，ｅ_ｚの（Ｘ，Ｙ，Ｚ）成分を求めることにより決定する。

部材変位を
ｕ_ｂ，ｖ_ｂ，ｗ_ｂ：ｘ，ｙ，ｚ方向の並進変位
θ_ｂ ：ｘ軸回りの回転変位
とすると、梁部材系のラグランジュアン汎関数の変分は、次式によって与えられる。

後述する１．５節及び１．６節で、各梁部材ｂの変位の許容関数を、タンク１との結合部での適合条件を満たすように定める。この許容関数を上記式（４）及び式（６）に代入し、これらの式を常微分方程式系に変換する。更に、構造系（タンク１及び梁部材ｂ）の加振加速度による慣性力の仮想仕事

を考慮して、構造系のラグランジュアン汎関数の変分［上記式（４）及び式（６）］と慣性力仮想仕事［式（７）]を、次の形にマトリックス表示する。

前述の式（３）と上記式（８）の和を０においたものが、液体−構造連成系の変分原理を与え、各項は次のように支配方程式系を表す：
式（３）の右辺第１項は、液体９内の連続条件（ラプラス方程式）を表す。
式（３）の右辺第２項は、タンク底３の表面で法線方向の流速成分が０となる条件を表す。
式（３）の右辺第３項は、液面の振動速度とＺ方向の流速成分が等しい条件を表す。
式（３）の右辺第４項は、タンク側壁４の表面（タンク内側面）で、法線方向のタンク１と液体９の速度成分が等しい条件を表す。
式（３）の右辺第５項は、配管６ｉの表面で、法線方向の配管６ｉと液体９の速度成分が等しい条件を表す。
式（３）の右辺第６項（最後から４番目の項）は、液体９の体積一定条件を表す。
式（３）の右辺第７項（最後から３番目の項）は、液面で圧力が０となる条件を表す。
式（３）の右辺第８項及び第９項（最後の２項）と式（８）は、動液圧、加振加速度による慣性力を受ける構造系（タンク１及び梁部材ｂ）の運動方程式を表す。

１．４ 液体運動に関する解の許容関数

・速度ポテンシャルの解
加振周波数がスロッシング周波数に比べて高いとき、スロッシング波高は小さいが液体９が接している構造体近くでは液体９の運動が卓越する。このような液体運動を表すラプラス方程式の解によって、速度ポテンシャルを求める。配管６ｉの近くでは、速度ポテンシャルは、配管６ｉに関する局所的円筒座標系

を用いて次のように表される。

配管６ｉのＸ，Ｙ方向の変位によって起こる配管６ｉの周りの周方向波数１の成分を考慮している。上記式（１０）の固有値は、波高ηは小さいことから液面の力学的境界条件を

と近似することにより求めている。注意すべき点は、液面での鉛直方向の流速

は０（ゼロ）でないため、液面の振動速度

を０（ゼロ）としているわけではないことである。高周波数域で、変位より速度が卓越する運動形態に則した近似である。

上記式（９）の右辺第１項は、配管６ｉの近くのみで支配的であり、右辺第２項は他の領域で支配的となる。ここで、液体領域Ｖ全体の液体運動を解析するための一方法として、各配管６ｉの周辺領域で上記式（９）のように解を設定し、これらの解に領域境界での連続条件を課すことが考えられる。しかし、この方法は複雑な計算を要する。この問題を解決するために、本発明では、簡便な近似手法として、各配管６ｉに関する上記解の式（９）の第２項を、グローバルな速度ポテンシャル（全体座標でのラプラス方程式の解）で置き換え、各配管６ｉの表面、及び、タンク側壁４での境界条件にガレルキン法（重み付き残差法）を適用する。すなわち、速度ポテンシャルを次のように与える。

以下、次のように称する。

上記配管６ｉに関するローカルな速度ポテンシャル（式１３）は、ｒ_ｉ→∞ですぐに０に収束し、他の配管 ６ｉ´（≠６ｉ）とタンク側壁４の近くでは省略できる。

・液面変位（波高）の解
液面変位（波高）の解は、独立に設定せず、上述の速度ポテンシャルの解を、液面の運動学的境界条件

に代入して次のように定める。

１．５ タンクシェルの許容関数
各周方向波数ｍに関して上記式（４）に関する固有値問題

を解き、固有モードを求め、節点変位ベクトルをモードの線形結合によって表す。

図４のＦＥＭ要素内の任意点の変位を、節点変位の補間により求めた結果を、次の形に表す。

１．６ 部材変位の許容関数

とする。又、全体座標（Ｘ，Ｙ，Ｚ）から部材座標（ｘ，ｙ，ｚ）への変換を表す行ベクトルを次のように定義する。

部材の自由度を、両端の自由度と部材モード座標に縮小するため、部材ｉｊの変位を両端の並進変位Ｕ_ｉ，Ｕ_ｊ及び回転変位Θ_ｉ，Θ_ｊによる静的変位と、両端固定条件下の梁部材ｂのモード関数で次のように表す。

ここで、右辺第１項が静的変位であり、関数ｆ_１１（ｘ）等は適合条件、たとえば、

より下記のようになる。

上記式（２２）の右辺第２項は、両端固定条件下の部材モード関数の重ね合わせを表し、

である。

いくつかの部材の一端ｊは、タンク屋根５、あるいはタンク側壁４に結合されている。

もし、ｊでの並進３自由度、及び、回転３自由度が、すべて上記式（２０）から計算されるタンクシェルの並進及び回転変位に等しく拘束されれば、式（２２）で次の置換を行う。

ここで

上記式（２５）、式（２６）を次のように表す。

ここで、たとえば、

しかし、上記部材の一端ｊでの６自由度が全てタンク１に拘束されているとは限らず、この場合、上記式（２９）は使うことができない。

そこで、６自由度別に与えられた任意の拘束条件に対する式を得るため、次のパラメータ

と記法

を導入して、次の置換を式（２２）に行う。

その結果、式（２２）は、関数Ｐ_１ｍｐβ（ｘ），Ｑ_１ｋ（ｘ）等の適切な定義により次の形に表される。

１．７ガレルキン方による離散化
前述した変分の式（３）、式（４）、式（６）、式（７）の和を０とおいたものが変分原理を与える。この変分原理［式（３）、式（４）、式（６）、式（７）］に、速度ポテンシャル［式（１１）］、波高［式（１５）］、タンクシェルの変位［式（１９）、式（２０）］、梁部材の変位［式（３３）］を代入し、ガレルキン法により一般化座標に関する時間の常微分方程式系を導出する。

式（３）の右辺の第５項と第９項（最終項）の配管６ｉ表面での式の計算は、図４を参照して、次の２点に留意して行う。
（１）全体速度ポテンシャルの配管６ｉ表面での値は、配管６ｉの外径がタンク１の外径に比べ小さいので、

での値で近似できる。
（２）各配管６ｉに関し、該各配管６ｉに取り付けてポンプバレル２を構成する梁部材ｂの法線ｒ_ｉ方向の速度、速度ポテンシャルの法線方向微分は、次のように計算できる。

よって、常微分方程式系は、次のマトリックス方程式の形に導かれる。

先ず、加振加速度を０とした場合の、液体、タンク、部材連成系の固有値問題

を解いて固有振動数と固有モードを決定する。

次に、加振に対する強制振動解析のため、次の変数変換を行う。

上記式（３８）を、式（３６）に代入するとモード座標ｑに関する常微分方程式が以下のように導かれる。

上記式（３９）は次のように書ける。

上記式（４０）にＭ_ｋ ^−１を乗じ、減衰比ζ_ｋを導入すると

となる。

よって、上記式（４１）、すなわち、速度項に対応するモード座標ｑ（具体的にはｑ（ｔ））の時間による１階微分項としての減衰を含む式を解くことによって、系の応答を計算することができるようになる。

このように、本発明のポンプバレルの振動予測方法によれば、第１に、タンク１内に貯蔵された液体９の速度ポテンシャルを求めるときに、各配管６ｉの近くでの速度ポテンシャルを、配管６ｉ毎の近傍に設定した局所的円筒座標系

を用いた各配管６ｉ近傍でのローカルな速度ポテンシャルと、タンク１の全域に設定したグローバルな円筒座標

を用いたグローバルな速度ポテンシャルとの加算（重ね合わせ）で表す手法を導入していることから、ポンプバレル２における数本の配管６ｉがタンク１内に貯蔵された液体９の領域に部分的に存在（介在）する場合の液体運動の解析的取り扱いが可能になる。

又、第２に、ポンプバレル２の配管６ｉに接続した配管結合部材７や配管支持部材８からなる梁部材ｂの変位を、その両端での適合条件、すなわち、他の部材との結合部分での変位の連続性の条件を満たす静的変位の多項式と、両端固定条件に対するモード関数（固有モード）との加算された形に表すようにして、その解析を行うようにしてあることから、上記各梁部材ｂをＦＥＭ要素分割する手法に比して、計算自由度を大きく低減させることができる。

以上の２点により、地震時等のタンク１の振動時に、該タンク１の振動と、タンク１内で揺動する貯蔵液体９の運動の双方に連成してポンプバレル２に生じる振動を解析する際の計算の自由度を従来に比して低減させることができるため、計算の高速化を図ることできる。又、上記のように計算の自由度が減ることに伴って、入力データの作成も容易になる。

よって、従来、ポンプバレルの振動の予測を汎用解析プログラムによる３次元ＦＥＭ解析によって振動解析する場合には、入力データの作成と計算に数日を要していたが、上記本発明のポンプバレルの振動予測方法を用いる場合は、入力データの作成を４０〜５０分程度、計算を十数秒程度で実現することが可能になり、ポンプバレル２の設計用パラメータスタディを従来に比して便利なものとすることができる。

更には、上記２点の工夫に基づく計算ツールの作成により、動液圧、構造系の変位及び応力の時刻歴応答、或る時刻での分布、周波数応答を解析するための時間及びコストを低減させることができる。

２．１ 数値例題
本発明のポンプバレルの振動予測方法の効果として、以上のようにして決定される上記式（４１）及び式（４２）を基に、数値例題を用いてポンプバレル２の振動予測を行った解析結果について示す。

２．２ 計算パラメータ
数値例題に用いたパラメータを、以下の表１乃至表４に示す。

ポンプバレル２の骨組構造としては、図３に示したものを用いた。図３の構造は、上記表２から分かるようにＸＺ面に関して対称で、２本の配管６ｉを結合する配管結合部材７は、全てＹ軸に平行に配置してある。配管支持部材８は全て水平で長さが等しく、部材端Ｎ２，Ｎ４，Ｎ６，Ｎ９，Ｎ１１，Ｎ１３を通る２本の配管支持部材８のなす角は５６度である。

表５に、タンクに結合された部材端の並進、回転変位の拘束状態を示す。

本解析で考慮したモードは、周方向波数ｍ＝０−５、タンク変位のＺ方向モード次数ｐ＝１−５、液体９の速度ポテンシャルのＺ方向モード次数ｎ＝１−５である。

２．３ 固有振動数及びモード
表６に、式（３７）によって決定される固有振動数を示す。各モードについて、どの周方向波数成分が支配的であるかを調べ、表６に示した。

上記において、

の成分が支配的なモードを、それぞれ、

と以下簡単に呼ぶ。

表６のように、高い周方向波数成分をもつモードが低振動数領域に多く現れる。しかし、下記の点に基づき、９次振動モード及び１０次振動モードが地震によって励起される重要なモードである。

すなわち、

図６、図７に、それぞれ９次振動モード、１０次振動モードでのタンク１、配管６ｉの変位を示す。配管６ｉ（ｉ=１，２）の全体座標Ｘ，Ｙ方向の変位をｕ_Ｘｉ，ｕ_Ｙｉと表記している。

図６に示された９次振動モードに関しては、次の３点が観察できる。
（１）配管６ｉ（ｉ=１，２）について、Ｙ方向変位ｕ_Ｙ１，ｕ_Ｙ２は、Ｘ方向変位ｕ_Ｘ１，ｕ_Ｘ２に比べ非常に小さい。
（２）配管６ｉ（ｉ=１，２）のＸ方向変位ｕ_Ｘ１，ｕ_Ｘ２は同位相、Ｙ方向変位ｕ_Ｙ１，ｕ_Ｙ２は逆位相である。
（３）タンク１と配管６ｉを結ぶ水平な配管支持部材８の位置Ｚ＝２．５ｍ、１３．５ｍ、３２．０ｍで、周方向角座標０度でのタンク側壁４の半径方向の変位［図６（ａ）］が、配管６ｉ（ｉ=１，２）のＸ方向変位に近い値となっている。

図７に示された１０次振動モードに関しては、上記９次振動モードとは対照的に、次の３点が観察できる。
（１）配管６ｉ（ｉ=１，２）について、Ｘ方向変位は、Ｙ方向変位に比べ非常に小さい。
（２）配管６ｉ（ｉ=１，２）のＸ方向変位ｕ_Ｘ１，ｕ_Ｘ２は逆位相、Ｙ方向変位ｕ_Ｙ１，ｕ_Ｙ２は同位相である。
（３）タンク１と配管６ｉを結ぶ水平な配管支持部材８の位置Ｚ＝２．５ｍ、１３．５ｍ、３２．０ｍで、周方向角座標０度でのタンク側壁４の周方向の変位［図７（ａ）］が、配管６ｉ（ｉ=１，２）のＹ方向変位に近い値となっている。

２．４ 時刻歴応答
式（４１）中の減衰比ζ_ｋを０．０３とし、加振入力として、９次振動モードの固有振動数としてのω_９／２π＝３．４６９Ｈｚに近い加振周波数３．５Ｈｚを有する、Ｘ方向の５波正弦波共振

を与えて時刻歴応答を計算した。結果の一例として、図８にタンク側壁４の半径方向変位を、又、図９に配管６ｉ（ｉ＝１）の全体座標Ｘ方向の変位をそれぞれ示す。

図１０は、上記図８、図９で時刻歴応答が最大となる時刻ｔ＝１．４３ｓでの、応答分布を示すものである。図１０（ｄ）の曲げ応力の中立面からの距離ｚは、最大正値、すなわち部材の外半径である。図１０（ｂ），（ｃ）より、図６（ａ），（ｂ）に示された固有振動数の９次振動モードが顕著に励起されていることが確かめられる。

図１１（ａ）（ｂ）は、上記図８、図９で時刻歴応答が最大となる時刻ｔ＝１．４３ｓでの、部材端Ｎ４−Ｎ１９，Ｎ４−Ｎ２０，Ｎ６−Ｎ２３，Ｎ６−Ｎ２４にそれぞれ対応する配管支持部材８（図３参照）の部材座標ｚ方向の変位ｗ_ｂによる曲げ応力−Ｅ_ｂｚ∂^２ｗ_ｂ／∂ｘ^２の分布を示すものである。中立面からの距離ｚは、最大正値、すなわち支持部材の外半径である。ｗ_ｂは鉛直面内での変位である。

図１１（ａ）で、部材端Ｎ４−Ｎ１９に対応する配管支持部材８における曲げ応力と、部材端Ｎ４−Ｎ２０に対応する配管支持部材８の曲げ応力は、逆符号になっている。これは、次の理由による。

すなわち、部材軸に垂直な２本の部材座標軸ｙ，ｚを定める際、式（５ａ）のようにｅ_ｙのＸ成分が正となるようにした。このため、鉛直面内にある部材座標ｚの向きは、部材端Ｎ４−Ｎ１９に対応する配管支持部材８では鉛直方向の全体座標Ｚの向きと逆である。

これらの配管支持部材８の変位については、図１２に上記図８、図９で時刻歴応答が最大となる時刻ｔ＝１．４３ｓにて、部材端Ｎ４−Ｎ１９，Ｎ４−Ｎ２０にそれぞれ対応する配管支持部材８（図３参照）におけるＺ方向変位分布を示すように、共に下向きで殆ど等しい。このため、曲げ応力は、図１１（ａ）のように、絶対値が等しく逆符号となるのである。

同様に、図１１（ｂ）では、部材端Ｎ６−Ｎ２３に対応する配管支持部材８と、部材端Ｎ６−Ｎ２４に対応する配管支持部材８の曲げ応力が逆符号となる。

これは、上記と同様に、式（５ａ）と、図１２に示したように上記図８、図９で時刻歴応答が最大となる時刻ｔ＝１．４３ｓでの部材端Ｎ６−Ｎ２３，Ｎ６−Ｎ２４にそれぞれ対応する配管支持部材８（図３参照）におけるＺ方向変位分布が共に下向きで殆ど等しくなることから説明される。

更に、上記各配管支持部材８については、タンク側壁４との結合部で、該配管支持部材８の曲げ応力がかなり大きくなることが分かる。

図１３（ａ）（ｂ）は、図８、図９で時刻歴応答が最大となる時刻ｔ＝１．４３ｓでの、部材端Ｎ４−Ｎ１９，Ｎ４−Ｎ２０にそれぞれ対応する配管支持部材８（図３参照）と、部材端Ｎ６−Ｎ２３，Ｎ６−Ｎ２４にそれぞれ対応する配管支持部材８（図３参照）の軸方向応力Ｅ_ｂ∂ｕ_ｂ／∂ｘの分布をそれぞれ示すものである。この軸応力は、時刻ｔ＝１．４３ｓで各々の支持位置でのタンク側壁４の半径方向の加速度

が、図８及び図１０(ｂ)から分かるように負(減速)であるため、圧縮応力となる。

又、下記の２点が観察できる
（１）図１３（ａ）より、部材端Ｎ４−Ｎ２０に対応する配管支持部材８（図３参照）の軸方向圧縮応力は、部材端Ｎ４−Ｎ１９に対応する配管支持部材８（図３参照）の軸方向圧縮応力の２倍程度大きい。
（２）図１３（ｂ）より、部材端Ｎ６−Ｎ２４に対応する配管支持部材８（図３参照）の軸方向圧縮応力は、部材端Ｎ６−Ｎ２３に対応する配管支持部材８（図３参照）の軸方向圧縮応力の６倍程度大きい。

ここで、先ず、上記（２）の理由について考える。図３の構造は、ＸＺ面に関して対称で、２本の配管６ｉを結合する配管結合部材７はＹ軸に平行である。部材端Ｎ６−Ｎ１３に対応する配管結合部材７の軸方向の高い剛性のため、部材端Ｎ６とＮ１３間の距離が変わらないように振動が生じる。すなわち、部材端Ｎ６とＮ１３は共にＸ方向に変位する。部材端Ｎ６のＸ方向変位における部材端Ｎ６−Ｎ２３方向の成分は、部材端Ｎ６−Ｎ２４方向の成分より小さい。その理由は、部材端Ｎ６−Ｎ２３に対応する配管支持部材８と、部材端Ｎ６−Ｎ２４に対応する配管支持部材８は共に水平で長さは等しく、且つ部材端Ｎ２３とＮ２４は円筒状のタンク側壁４の表面（内面）に位置しているためである。したがって、上記（２）の結果となる。

このように、上記２本の配管６ｉを結合する配管結合部材７の軸方向の高い剛性が、配管６ｉの同一個所に取り付けてある２本の配管支持部材８同士の軸方向圧縮応力の差異を増加させる。図３に示したように、部材端Ｎ４とＮ１１との間には配管結合部材が設置されていないため、上記（１）、（２）のように、部材端Ｎ４−Ｎ１９に対応する配管支持部材８と、部材端Ｎ４−Ｎ２０に対応する配管支持部材８との軸方向圧縮応力の差は、上記部材端Ｎ６−Ｎ２３に対応する配管支持部材８と、部材端Ｎ６−Ｎ２４に対応する配管支持部材８の軸方向圧縮応力の差よりも小さくなる。

配管結合部材７がないと仮定した場合、部材端Ｎ６の変位の方向は、図３における線分Ｎ２３−Ｎ２４の垂直２等分線の方向に近づく。したがって、部材端Ｎ６の変位の、部材端Ｎ６−Ｎ２３方向と、部材端Ｎ６−Ｎ２４方向の成分の差異が減少し、部材端Ｎ６−Ｎ２３に対応する配管支持部材８と、部材端Ｎ６−Ｎ２４に対応する配管支持部材８との軸方向圧縮応力の差異が低減する。同様に、部材端Ｎ４−Ｎ１９に対応する配管支持部材８と、部材端Ｎ４−Ｎ２０に対応する配管支持部材８の軸方向圧縮応力の差異が低減する。

この考えを確かめるため、図３のポンプバレル２の構成は変化させることなく配管結合部材７を除いた状態を模すことを目的として、該図３の構成における３本の各配管結合部材７の密度、及び、ヤング率を千分の１に低減させた状態について、図１３（ａ）（ｂ）の場合と同様に、図８、図９で時刻歴応答が最大となる時刻ｔ＝１．４３ｓでの、部材端Ｎ４−Ｎ１９，Ｎ４−Ｎ２０にそれぞれ対応する配管支持部材８（図３参照）と、部材端Ｎ６−Ｎ２３，Ｎ６−Ｎ２４にそれぞれ対応する配管支持部材８（図３参照）の軸方向応力の分布について計算を行った。その結果を図１４（ａ）（ｂ）に示す。

図１４（ａ）（ｂ）を図１３（ａ）（ｂ）とそれぞれ比較した結果から、配管結合部材７を除くことにより、配管６ｉの同一個所に取り付けてある２つの各配管支持部材８同士の軸方向圧縮応力の差異は低減することが分かる。又、配管支持部材８に作用する軸方向圧縮応力の最大値を低減させるためには、配管結合部材７を除くことが有効であることが分かる。

２．４ 周方向応答解析結果
図１５に、周波数応答の一例として、タンクに作用する動圧

の加振加速度

の周波数に対する応答を示す。

図１５より、周波数応答の共振ピークが、９次振動モードの固有振動数ω_９／２π＝３．４６９Ｈｚ付近に現れていることが分かる。

なお、本発明は上記実施の形態のみに限定されるものではなく、上記実施の形態では、ポンプバレル２として、２本の配管６ｉを備えた構成について説明したが、配管６ｉの数が１本、又は、３本以上としてあるポンプバレル２を振動予測対象としてもよい。

又、配管６ｉの長さ寸法や配置の変更に応じて、配管結合部材７の配置や本数、配管支持部材８の配置や本数が図示した以外の形式としてあるポンプバレル２を対象として、該ポンプバレルに生じる振動の予測に適用するようにしてもよい。

ポンプバレル２を備えたタンク１であって、地震時、更には、地震時以外にも何等かの加振加速度が入力される可能性のあるタンク１であれば、ＬＮＧタンク以外のいかなる使用目的のタンクであっても振動予測対象としてよい。

円筒状のタンク側壁を有するタンクであって、タンク底の中心を原点Ｏとする円筒座標で表すことが可能なタンク１であれば、タンク側壁４の半径ａと、その高さＨ_１と、タンク１の高さＨの比が図示した以外の比率となる形式のタンク１に装備されたポンプバレル２の振動の予測に適用してもよい。

その他本発明の要旨を逸脱しない範囲内で種々変更を加え得ることは勿論である。

１ タンク
２ ポンプバレル
４ タンク側壁
５ タンク屋根
６ｉ 配管
７ 配管結合部材
８ 配管支持部材
９ 液体
Ｎ１〜Ｎ２６ 部材端

Claims (1)

1. 円筒状のタンク側壁とタンク屋根とからなるタンクの外周部における周方向の一部に、上記タンク屋根よりタンクの内底部付近まで上下方向に延びる複数本の配管と、該各配管同士の水平方向に対応する個所同士を結合する配管結合部材と、該配管結合部材により結合された配管の或る個所をタンク側壁に支持させるための水平方向の配管支持部材とからなるポンプバレルを備えたポンプバレル付きタンクの解析モデルを作成し、
   該解析モデルについて、タンクの底面の中心を原点とするタンク全体についての円筒座標を設定し、
   次に、タンク内の液体のラグランジュアン汎関数の変分と、タンク側壁及びタンク屋根からなるタンクシェルのラグランジュアン汎関数の変分と、配管及び、配管に接続された配管結合部材及び配管支持部材からなる梁部材のラグランジュアン汎関数の変分を求めると共に、
   該各変分を基に、上記ポンプバレル付きタンクの支配方程式系を変分原理の形で導き、
   次いで、タンク内の液体の速度ポテンシャルの解、及び、液面変位の解のモード展開式として上記配管が介入した状態で適用可能な許容関数を求め、
   且つ前記タンク内の液体の速度ポテンシャルの解を求めるときに、タンクの底面の中心を原点としてタンク全体について設定された円筒座標に加えて、配管毎に該配管の中心を基準とする局所的円筒座標を設定して、各配管の周辺領域で上記局所的円筒座標に基づいて求めた液体の速度ポテンシャルにおける第１種ベッセル関数に関する項を、タンク全体について設定した上記円筒座標での速度ポテンシャルである該円筒座標でのラプラス方程式の解で置き換えて、各配管表面とタンク側壁での境界条件にガレルキン法を適用してなる速度ポテンシャルを設定して、その解を求めるようにし、
   又、上記タンクシェルの変位の解を、液体と非連成時の固有モードで展開した形に表してなる許容関数を求め、
   更に、上記梁部材の変位の解を、各梁部材におけるタンク接合部での適合条件を満たす静的変位に、両端固定時の固有モードが加算された形に表してなる許容関数を求め、
   その後、上記液体運動、タンクシェルの変位及びポンプバレルの梁部材の変位の解の許容関数を、上記変分原理に代入し、ガレルキン法により離散化させて一般化座標に関する時間の常微分方程式を導出して、該導出された常微分方程式を解くことにより、上記ポンプバレルの応答を計算するようにすることを特徴とするポンプバレルの振動予測方法。

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