JP5115769B2 - 描画装置、描画方法、及びプログラム - Google Patents

Description

本発明は、ｎ次元ハイパーキューブの正射影像を描画する、描画装置、描画方法、及びこれらを実現するためのプログラムに関する。

近年、ハイパーキューブは、種々のネットワークシステムに適用されている。ハイパーキューブは、各次元で一般化された正多胞体であり、例えば、２次元においては正方形、３次元においては立方体、４次元においては正八胞体となる。

そして、ネットワークシステムにハイパーキューブが適用されると、多数のノードを相互接続する際の配線数と、ホップ数とが低減される。ホップ数とは、出発元のノードから目的のノードに到達するまでに経由されるノードの数をいう。更に、ハイパーキューブが適用されたネットワークシステムでは、ルーティングの単純化、及びフレキシビリティの向上化も図られる。

ハイパーキューブが適用されたネットワークシステムの具体例としては、マルチプロセッサシステムが挙げられる。マルチプロセッサシステムでは、各ノードはプロセッサであり、ハイパーキューブの各頂点にプロセッサが配置される（特許文献１及び２参照。）。また、他の具体例としては、データ転送システムが挙げられる。データ転送システムでは、各ノードはルータ等の転送装置であり、ハイパーキューブの各頂点に転送装置が配置される。

また、ハイパーキューブが適用されたネットワークシステムでは、ネットワークの状況を管理者に伝えるため、ハイパーキューブを画面上に描画することが求められている。更に、ハイパーキューブの描画は、その他に、教育の現場、データ構造の解析等においても求められることがある。

従来においては、ハイパーキューブの描画は、先ず、ユークリッド空間内に、ハイパーキューブのモデルを定義し、次に、定義されたモデルの各頂点の正射影と頂点間を結ぶ辺の正射影とを表示画面上に描画することによって行われる。

具体的には、先ず、射影元であるｎ次元のハイパーキューブのモデルを構築するため、ｎ×２^ｎの配列が用意され、初期化が行われる。そして、配列の各要素に、頂点の座標を表す値を設定して、ｎ×２^ｎの配列が構築される。例えば、ｎ＝３の場合は、（０，０，０）、（０，０，１）、（０，１，０）、（０，１，１）、（１，０，０）、（１，０，１）、（１，１，０）、（１，１，１）の８個の座標を表す、３×８の配列が構築される。

次に、構築された配列から、各頂点の正射影後の座標が算出される。この座標算出のための演算処理は、２^ｎ回行われることとなる。その後、頂点間に辺が存在しているかどうかが判定され、存在する場合は、各頂点に加え、当該頂点間に存在する辺が表示画面上に描画される。そして、この結果、ハイパーキューバが表示画面に表示される。

特開２００１−１９７００６号公報 特開２００６−０８０７０３号公報 特開２００８−０６６８４３号公報

ところで、上述の処理によってハイパーキューブの描画が行われる場合、初期化処理、正射影を求める処理、及び辺の存在を判定する処理といった各処理で扱われるデータ量は、次元の増加に伴い、２の指数乗のオーダの単位で増加する。このため、描画処理を実行する計算装置においては、次元の増加に伴い、メモリ消費量及び処理負担が著しく増大するため、描画速度が大幅に低下してしまう。

本発明の目的の一例は、上記問題を解消し、ｎ次元ハイパーキューブの正射影像を描画する際に処理すべきデータ量の増大化を抑制し、描画速度の向上化を図り得る、描画装置、描画方法及びプログラムを提供することにある。

上記目的を達成するため、本発明の一側面における描画装置は、表示画面上にｎ（ｎは１以上の自然数）次元のハイパーキューブを描画する描画装置であって、
０から２^ｎ−１までの第１の整数型データそれぞれのｎビットの２進数表現を求め、前記第１の整数型データそれぞれの２進数表現の各桁をｎ次元座標系の座標軸上の位置に置き換えて、前記第１の整数型データそれぞれに対応する座標を求め、求めた各座標を前記ハイパーキューブの各頂点とする、頂点特定部と、
ｉが０以上ｎ−１以下の整数であるときに２^ｉから算出されるｎ個の第２の整数型データそれぞれから、ｎビットの２進数表現を求め、求めた各２進数表現における各桁をｎ次元座標系の座標軸上の位置に置き換えて、前記第２の整数型データそれぞれに対応する座標を求め、更に、求めた各座標が終点となる正規直交基底を設定する、ベクトル設定部と、
前記頂点毎に、前記正規直交基底を適用して、当該頂点から伸びる前記ハイパーキューブの辺を特定し、特定した前記ハイパーキューブの辺を前記表示画面上に描画する、描画処理部と、
を備えていることを特徴とする。

また、上記目的を達成するため、本発明の一側面における描画方法は、表示画面上にｎ（ｎは１以上の自然数）次元のハイパーキューブを描画するための描画方法であって、
（ａ）０から２^ｎ−１までの第１の整数型データそれぞれのｎビットの２進数表現を求め、前記第１の整数型データそれぞれの２進数表現の各桁をｎ次元座標系の座標軸上の位置に置き換えて、前記第１の整数型データそれぞれに対応する座標を求め、求めた各座標を前記ハイパーキューブの各頂点とする、ステップと、
（ｂ）ｉが０以上ｎ−１以下の整数であるときに２^ｉから算出されるｎ個の第２の整数型データそれぞれから、ｎビットの２進数表現を求め、求めた各２進数表現における各桁をｎ次元座標系の座標軸上の位置に置き換えて、前記第２の整数型データそれぞれに対応する座標を求め、更に、求めた各座標が終点となる正規直交基底を設定する、ステップと、
（ｃ）前記頂点毎に、前記正規直交基底を適用して、当該頂点から伸びる前記ハイパーキューブの辺を特定し、特定した前記ハイパーキューブの辺を前記表示画面上に描画する、ステップと、
を有することを特徴とする。

更に、上記目的を達成するため、本発明の一側面におけるプログラムは、コンピュータによって、表示画面上にｎ（ｎは１以上の自然数）次元のハイパーキューブを描画するためのプログラムであって、
前記コンピュータに、
（ａ）０から２^ｎ−１までの第１の整数型データそれぞれのｎビットの２進数表現を求め、前記第１の整数型データそれぞれの２進数表現の各桁をｎ次元座標系の座標軸上の位置に置き換えて、前記第１の整数型データそれぞれに対応する座標を求め、求めた各座標を前記ハイパーキューブの各頂点とする、ステップと、
（ｂ）ｉが０以上ｎ−１以下の整数であるときに２^ｉから算出されるｎ個の第２の整数型データそれぞれから、ｎビットの２進数表現を求め、求めた各２進数表現における各桁をｎ次元座標系の座標軸上の位置に置き換えて、前記第２の整数型データそれぞれに対応する座標を求め、更に、求めた各座標が終点となる正規直交基底を設定する、ステップと、
（ｃ）前記頂点毎に、前記正規直交基底を適用して、当該頂点から伸びる前記ハイパーキューブの辺を特定し、特定した前記ハイパーキューブの辺を前記表示画面上に描画する、ステップと、
を実行させることを特徴とする。

本発明における、描画装置、描画方法及びプログラムによれば、ｎ次元ハイパーキューブの正射影像を描画する際に処理すべきデータ量の増大化を抑制でき、描画速度の向上化を図ることができる。

図１は、整数型データ及び２^ｉの一例を示す図である。 図２は、整数型データの２進数表現の座標への置き換えを説明する図である。 図３は、排他的論理和とハイパーキューブの頂点との対応を説明する図である。 図４は、本発明の実施の形態１における描画装置の構成を示すブロック図である。 図５は、本発明の実施の形態１における描画装置の動作を示すフロー図である。 図６は、図５に示した各ステップを説明する図であり、図６（ａ）〜（ｅ）は、それぞれ異なるステップに対応している。 図７は、本発明の実施の形態２における描画装置の構成を示すブロック図である。 図８は、本発明の実施の形態２における描画装置の動作を示すフロー図である。 図９は、図８に示した各ステップを説明する図であり、図９（ａ）〜（ｄ）は、それぞれ異なるステップに対応している。 図１０は、実施の形態２における単位ハイパーキューブと描画ハイパーキューブとの一例を示す図である。 図１１は、本発明の実施の形態１及び２における描画装置を実現できるコンピュータの一例を示すブロック図である。

（原理）
先ず、符号無し整数型データ（以下、本明細書では、単に「整数型データ」という。）のビット長がＮ（Ｎは自然数）の環境下において、０から２^ｎ−１までの整数型データ（以下「第１の整数型データ」とする。）の２進数表現が求められる。ｎはＮ以下の自然数である。次に、各第１の整数型データの２進数表現の各桁を、ｎ次元座標系の座標軸上の位置に置き換えて（後述の図２参照）、第１の整数型データそれぞれに対応する座標が求められる。そして、求められた各座標は、ｎ次元空間の単位ハイパーキューブの頂点と対応付けられる。つまり、第１の整数型データそれぞれは、ｎ次元空間の単位ハイパーキューブの頂点と同一視される。

従来から、ハミング距離が１であるビット列同士の関係が、トポロジーとしてハイパーキューブ構造を持つ事が知られている。これに対して、本発明では、上述したように、第１の整数型データが、ハイパーキューブの頂点と同一視される。このため、第１の整数型データを、単位ハイパーキューブそのものとして扱うことができるので、以下の性質（１）及び（２）が成立する。

（１）第１の整数型データの２進数表現と、２^ｉ（０≦ｉ≦ｎ−１）から算出されるｎ個の整数型データ（以下「第２の整数型データ」とする。）の２進数表現との排他的論理和を求め、排他的論理和の各桁をｎ次元座標系の座標軸上の位置に置き換えると、得られた座標は、第１の整数型データが対応する頂点とハイパーキューブ上の辺で結ばれた頂点に対応する。

（２）単位ハイパーキューブの各辺は、ｎ次元空間の正規直交基底を構成するいずれかのベクトルと平行となる。また、単位ハイパーキューブの各辺の長さは、各ベクトルの長さと同一となる。

ここで、上記の性質（１）及び（２）について、図１〜図３を用いて具体的に説明する。図１は、整数型データ及び２^ｉの一例を示す図である。図２は、整数型データの２進数表現の座標への置き換えを説明する図である。図３は、排他的論理和とハイパーキューブの頂点との対応を説明する図である。

図１に示すように、ｎ＝４の場合は、ハイパーキューブの頂点の数は１６個（２^４個）であり、第１の整数型データは、０〜１５までの整数、即ち、｛０、１、２、３、４、５、６、７、８、９、１０、１１、１２、１３、１４、１５｝となる。また、第２の整数型データ（２^ｉ）は、｛１、２、４、８｝となる（０≦ｉ≦３）。

そして、例えば、第１の整数型データが「１３」であるとすると、２進数表現は、１１０１となるので、各桁を４次元座標系の座標軸上の位置に置き換えると、座標は（１，１，０，１）となる（図２参照）。この座標（１，１，０，１）は、単位ハイパーキューブの頂点の１つに対応する（図３参照）。

一方、第２の整数型データ｛１，２，４，８｝それぞれの２進数表現は、｛０００１，００１０，０１００，１０００｝となり、これらから得られる座標は、正規直交基底の各終点に相当する。また、｛０００１，００１０，０１００，１０００｝と、１３の２進数表現（＝１１０１）との排他的論理和は、{１１００，１１１１，１００１，０１０１}となる。更に、これらの排他的論理和から得られる座標は、（１，１，０，０）、（１，１，１，１）、（１，０，０，１）、（０，１，０，１）となる。そして、図３に示すように、これらの座標で表される点は、単位ハイパーキューブにおいて、頂点（１，１，０，１）と辺で結ばれた頂点と一致し、性質（１）及び（２）が成立する。

このように、性質（１）及び（２）が成立することから、０から２^ｎ−１までの第１の整数型データと、２^ｉから求められる第２の整数型データとを用いれば、ハイパーキューブの各辺を特定することができ、表示画面上に各辺を描画することができる。

（実施の形態１）
以下、本発明の実施の形態１における描画装置、描画方法、及びプログラムについて、図４〜図６を参照しながら説明する。最初に、本実施の形態１における描画装置の構成について図４を用いて説明する。図４は、本発明の実施の形態１における描画装置の構成を示すブロック図である。

図４に示す本実施の形態１における描画装置１０は、表示装置３０の表示画面３０ａ上にｎ次元のハイパーキューブを描画する装置である。ｎは１以上の自然数である。図４に示すように、描画装置１０は、頂点特定部１１と、ベクトル設定部１２と、描画処理部１３と、入力部１４と、記憶部１５とを備えている。

入力部１４は、外部からのｎの値の入力を受け付ける。そして、入力部１４は、受け付けたｎの値に基づいて、第１の整数型データと、第２の整数型データとを求める。第１の整数型データは、０から２^ｎ−１までの符号無し整数型データ（整数）であり、例えば、ｎ＝４であれば、１〜１５となる。また、第２の整数型データは、ｉが０以上（ｎ−１）以下の整数であるときに２^ｉから算出される符号無し整数型データ（整数）であり、例えば、ｎ＝４であれば、１，２，４，８となる。また、記憶部１５は、入力部１４が受け付けたｎの値、第１の整数型データ、及び第２の整数型データを記憶する。

頂点特定部１１は、先ず、記憶部１５にアクセスして、第１の整数型データを取得し、各第１の整数型データのｎビットの２進数表現を求める。次に、頂点特定部１１は、第１の整数型データそれぞれの２進数表現の各桁をｎ次元座標系の座標軸上の位置に置き換えて、各第１の整数型データに対応する座標を求める（図２参照）。また、頂点特定部１１は、求めた各座標をハイパーキューブ（図３参照）の各頂点とする。

ベクトル設定部１２は、先ず、記憶部１５にアクセスして、ｎ個の第２の整数型データを取得する。次に、ベクトル設定部１２は、第２の整数型データそれぞれから、ｎビットの２進数表現を求め、求めた各２進数表現における各桁をｎ次元座標系の座標軸上の位置に置き換えて、各第２の整数型データに対応する座標を求める。そして、ベクトル設定部１２は、第２の整数型データから求めた各座標が終点となる正規直交基底を設定する。なお、以降においては、正規直交基底を構成する各ベクトルを「基底ベクトル」と称する。

描画処理部１３は、ハイパーキューブの頂点毎に、正規直交基底を適用して、当該頂点から伸びるハイパーキューブの辺を特定する（図３参照）。具体的には、描画処理部１３は、ハイパーキューブの頂点毎に、以下の処理を実行する。

先ず、描画処理部１３は、頂点の座標の元となった第１の整数型データの２進数表現と、正規直交基底の終点の座標の元となった第２の整数型データの２進数表現との排他的論理和を各終点について算出する。

次に、描画処理部１３は、算出した排他的論理和のうち、頂点の座標の元となった第１の整数型データよりも値が大きくなる排他的論理和を特定し、特定した排他的論理和の各桁をｎ次元座標系の座標軸上の位置に置き換えて座標を求める。そして、描画処理部１３は、求めた座標を描画座標とし、描画座標の点と頂点とを結ぶ線を、ハイパーキューブの辺として特定する。その後、描画処理部１３は、特定したハイパーキューブの辺を、表示画面３０ａ上に描画する。

なお、図４の例では、外部からｎが入力され、入力部１４が、第１の整数型データ及び第２の整数型データを算出しているが、本実施の形態１はこの例に限定されるものではない。例えば、本実施の形態１は、第１の整数型データ及び第２の整数型データが直接入力される態様であっても良いし、第１の整数型データ及び第２の整数型データが予め記憶部１５に格納されている態様であっても良い。

次に、本発明の実施の形態１における描画装置１０の動作について図４及び図５を用いて説明する。図５は、本発明の実施の形態１における描画装置の動作を示すフロー図である。図６は、図５に示した各ステップを説明する図であり、図６（ａ）〜（ｅ）は、それぞれ異なるステップに対応している。以下の説明においては、適宜図４を参酌する。また、本実施の形態１では、描画装置１０を動作させることによって、描画方法が実施される。よって、本実施の形態１における描画方法の説明は、以下の描画装置１０の動作説明に代える。

図５に示すように、先ず、入力部１４が外部からｎの値の入力を受け付ける（ステップＡ１）。また、入力部１４は、受け付けたｎの値に基づいて、第１の整数型データと、第２の整数型データとを求め、これらを記憶部１５に記憶させる。

次に、頂点特定部１１は、第１の整数型データを用いて、ハイパーキューブの頂点を設定する（ステップＡ２）。具体的には、頂点特定部１１は、記憶部１５から、第１の整数型データを取得し、各第１の整数型データのｎビットの２進数表現を求める。更に、頂点特定部１１は、第１の整数型データそれぞれの２進数表現の各桁をｎ次元座標系の座標軸上の位置に置き換えて座標を求める。求められた座標の点は、ハイパーキューブの頂点に対応する。

例えば、ｎ＝４の場合は、１６個の頂点｛（０，０，０，０）、（０，０，０，１）、（０，０，１，０）、（０，０，１，１）、（０，１，０，０）・・・（１，１，１，１）が特定される。また、頂点特定部１１は、各頂点に、当該頂点の座標の元となった第１の整数型データの値、例えば０＝（０，０，０，０）、１＝（０，０，０，１）、・・・等を、頂点番号として、付与する。

次に、ベクトル設定部１２は、第２の整数型データを用いて、描画対象となるハイパーキューブの次元における正規直交基底の正射影を求め、正規直交基底を設定する（ステップＡ３）。

具体的には、ベクトル設定部１２は、第２の整数型データそれぞれから、ｎビットの２進数表現を求め、求めた各２進数表現における各桁をｎ次元座標系の座標軸上の位置に置き換えて、各第２の整数型データに対応する座標を求める。例えば、図６（ａ）に示すように、ｎ＝４の場合は、第２の整数型データ｛１，２，４，８｝から、座標｛（０，０，０，１）、（０，０，１，０）、（０，１，０，０）、（１，０，０，０）｝が求められる。そして、ベクトル設定部１２は、第２の整数型データから求めた各座標が終点となる正規直交基底を設定する。

また、図６（ａ）に示すように、ベクトル設定部１２は、各基底ベクトルに、当該基底ベクトルの終点座標の元となった第２の整数型データの値、つまり、正射影前の座標の成分の並びを二進数とみなして得られる値を番号として付与する。具体的には、ｎ＝４の場合であれば、各基底ベクトルには、番号として（１）、（２）、（４）、（８）が付与される。

次に、描画処理部１３は、パラメータｍを０（ゼロ）に設定し（ステップＡ４）、頂点番号ｍの頂点を、正規直交基底の開始点に設定（ステップＡ５）する。具体的には、図６（ｂ）に示すように、ｍ＝０の場合は、描画処理部１２は、頂点０＝（０，０，０，０）を開始点に設定する。

次に、描画処理部１３は、頂点の座標の元となった第１の整数型データの２進数表現と、正規直交基底の終点の座標の元となった第２の整数型データの２進数表現との排他的論理和を各終点について算出する（ステップＡ６）。具体的には、描画処理部１３は、図６（ｃ）に示すように、開始点の座標の成分の並びを２進数とみなして得られる値と、各基底ベクトルの終点の座標の成分の並びを２進数とみなして得られる値との排他的論理和を算出する。

次に、描画処理部１３は、算出した排他的論理和のうち、頂点の座標の元となった第１の整数型データよりも値が大きくなる排他的論理和を特定し、特定した排他的論理和の各桁をｎ次元座標系の座標軸上の位置に置き換えて描画座標を特定する（ステップＡ７）。

具体的には、図６（ｃ）の例では、開始点の座標の元となった第１の整数型データの２進数表現が００００、算出された排他的論理和が｛０００１，００１０，０１００，１０００｝である。よって、すべての排他的論理和が特定され、これらから描画座標｛（０，０，０，１）、（０，０，１，０）、（０，１，０，０）、（１，０，０，０）｝が特定される。

次に、描画処理部１３は、開始点と描画座標の点とを結ぶ線を、ハイパーキューブの辺として特定し、特定したハイパーキューブの辺を、表示画面３０ａ上に描画する（ステップＡ８）。図６（ｃ）に示されるように、開始点（０，０，０，０）と、各描画座標（０，０，０，１）、（０，０，１，０）、（０，１，０，０）、及び（１，０，０，０）との間を結ぶ辺が描画される。

次に、ステップＡ８の実行後、描画処理部１３は、パラメータｍの値が、２^ｎ−１より小さいかどうかを判定する（ステップＡ９）。例えば、ｎ＝４の場合であれば、描画処理部１３は、ｍが１５より小さいかどうかを判定する。ステップＡ９の判定の結果、ｍの値が、２^ｎ−１より小さくない場合は、全ての頂点の開始点への設定が終了しているため、描画装置１０における処理が終了する。

一方、ステップＡ９の判定の結果、ｍの値が、２^ｎ−１より小さい場合は、全ての頂点の開始点への設定が終了していないため、描画処理部１３は、ｍの値を１増加させる（ステップＡ１０）。そして、描画処理部１３は、再度ステップＡ５を実行する。

例えば、再度のステップＡ５の実行において、ｍ＝１となったとすると、描画処理部１２は、頂点１＝（０，０，０，１）を開始点に設定し、これと、基底ベクトルの終点との排他的論理和を算出する。算出された排他的論理和は｛００００，００１１，０１１０，１００１｝となる。開始点の座標から求められる２進数表現は０００１であるから、ステップＡ７では、算出された排他的論理和のうち、｛００１１，０１１０，１００１｝のみが特定される。

従って、図６（ｄ）に示すように、描画座標｛（０，０，１，１）、（０，１，１，０）、（１，０，０，１）｝が特定され、これらと頂点１とを結ぶ辺が描画される。このように、ステップＡ５〜Ａ８が、ｍが（２^ｎ−１）になるまで繰り返し行われる。この結果、図６（ｅ）に示すように、ハイパーキューブの正射影像が、表示装置３０の表示画面３０ａ上に表示される。

また、本実施の形態１におけるプログラムは、コンピュータに、図５に示すステップＡ１〜Ａ１０を実行させるプログラムであれば良い。このプログラムをコンピュータにインストールし、実行することによって、本実施の形態１における描画装置１０と描画方法とを実現することができる。この場合、コンピュータのＣＰＵ（Central Processing Unit）は、頂点特定部１１、ベクトル設定部、描画処理部、及び入力部１４として機能し、処理を行なう。また、コンピュータに備えられたハードディスク等の記憶装置は、記憶部１５として機能する。

以上のように、本実施の形態１では、０から２^ｎ−１までの符号無し整数型データ（第１の整数型データ）と、ｉが０以上（ｎ−１）以下の整数であるときに２^ｉから算出される符号無し整数型データ（第２の整数型データ）とが用いられる。そして、第１の整数型データそれぞれは、ハイパーキューブの頂点と同一視される。このため、本実施の形態１によれば、上述した性質（１）及び（２）を利用して、簡単に、ハイパーキューブの辺の特定及び描画を行うことが可能となる。

また、本実施の形態１では、２^ｎ個の第１の整数型データそれぞれが、単位ハイパーキューブの頂点と同一視されるので、従来、ハイパーキューブのモデルを定義する場合に必要とされたｎ×２^ｎの配列（背景技術の欄参照）を用いる必要がない。本実施の形態１では、代わりに、２^ｎの配列（即ち、第１の整数型データ）で処理が可能になるので、効果、描画装置１０で確保するべきメモリ領域そのものの削減と、メモリ領域の初期化に必要な処理の削減とが図られる。

更に、本実施の形態１では、ハイパーキューブの全頂点（２^ｎ個）について正射影を求める必要はなく、代わりに、ｎ個の基底ベクトルの正射影のみが求められ、射影先の頂点は、表示領域内でのベクトルの加算によって決定される。この結果、正射影を求める処理の削減も図られる。

また、本実施の形態１では、同じ辺が重複して描画されないようにするための判定は、図５においてステップＡ７に示したように、数値データ本来の大小関係に基づいて行われる。このため、判定処理を簡易な処理によって行うことができ、描画装置１０における処理負担の軽減が図られる。

このように、本実施の形態１によれば、ｎ次元ハイパーキューブの正射影像を描画する際に処理すべきデータ量の増大化が抑制され、結果、描画速度の向上化が図られる。

（実施の形態２）
次に、本発明の実施の形態２における描画装置、描画方法、及びプログラムについて、図７〜図９を参照しながら説明する。最初に、本実施の形態２における描画装置の構成について図７を用いて説明する。図７は、本発明の実施の形態２における描画装置の構成を示すブロック図である。

図７に示す描画装置２０は、実施の形態１において図４に示した描画装置１０と異なり、任意ベクトルを用いてハイパーキューブの描画を行うことができる。つまり、実施の形態１における描画装置１０は、基底ベクトルを用いて単位ハイパーキューブを描画していたが、本実施の形態２における描画装置２０は、任意ベクトルを用いてハイパーキューブを描画する。以下、相違点に基づいて、描画装置２０の構成を説明する。また、本実施の形態２では、実施の形態１の処理によって作成されるハイパーキューブを「単位ハイパーキューブ」とし、本実施の形態２において任意ベクトルから得られるハイパーキューブを「描画ハイパーキューブ」とする。

図７に示すように、本実施の形態２では、入力部１４は、ｎの値に加え、ｎ次元の任意ベクトル、及び描画ハイパーキューブの開始点αの入力も受け付ける。具体的には、ｎ次元の任意ベクトルとしては、ｎ個のベクトル成分を有するベクトルが挙げられる。入力部１４は、任意ベクトルの各終点の座標の入力と、開始点αの座標の入力とを受け付ける。また、記憶部１５は、入力部１４が受け付けた、任意ベクトルの各終点及び開始点αの座標を記憶する。

また、描画装置２０は、描画装置１０と異なり、ベクトル関係特定部１６を備えている。ベクトル関係特定部１６は、正規直交基底を射影元、任意ベクトルを射影先としたときの、正規直交基底と任意ベクトルとの関係（以下「ベクトル関係」とする。）を求める。更に、本実施の形態２では、描画処理部１３は、ベクトル関係特定部１６が求めたベクトル関係に基づいて、描画ハイパーキューブの辺の射影像を求める。そして、描画処理部１３は、単位ハイパーキューブの辺の代わりに、描画ハイパーキューブの辺の射影像を表示画面３０ａ上に描画する。

続いて、本発明の実施の形態２における描画装置２０の動作について図８及び図９を用いて説明する。図８は、本発明の実施の形態２における描画装置の動作を示すフロー図である。図９は、図８に示した各ステップを説明する図であり、図９（ａ）〜（ｄ）は、それぞれ異なるステップに対応している。以下の説明においては、適宜図７を参酌する。また、本実施の形態２では、描画装置２０を動作させることによって、描画方法が実施される。よって、本実施の形態２における描画方法の説明は、以下の描画装置２０の動作説明に代える。

図８に示すように、先ず、入力部１４が、外部から、ｎの値、任意ベクトル、及び開始点αの入力を受け付ける（ステップＢ１）。また、ステップＢ１でも、図５に示したステップＡ１と同様に、入力部は、受け付けたｎの値に基づいて、第１の整数型データと、第２の整数型データとを求める。ｎの値、任意ベクトル、開始点α、更には、第１の整数型データ及び第２の整数型データは、受け付けられた後、記憶部１５に記憶される。

次に、頂点特定部１１は、第１の整数型データを用いて、ハイパーキューブの頂点を特定する（ステップＢ２）。ステップＢ２は、実施の形態１において図５に示したステップＡ２と同様のステップである。

例えば、ｎ＝３の場合は、ステップＢ２では、８個の頂点｛（０，０，０）、（０，０，１）、（０，１，０）、（０，１，１）、（１，０，０）・・・（１，１，１）が特定される。また、本実施の形態２においても、頂点特定部１１は、特定した頂点それぞれに、当該頂点の座標の元となった第１の整数型データの値、例えば０＝（０，０，０）、１＝（０，０，１）、・・・等を、頂点番号として、付与する。

次に、ベクトル設定部１２は、第２の整数型データを用いて、描画ハイパーキューブの次元における正規直交基底の正射影を求め、正規直交基底を設定する（ステップＢ３）。ステップＢ３は、実施の形態１において図５に示したステップＡ３と同様のステップである。ステップＢ３においても、ベクトル設定部１２は、各基底ベクトルに、当該基底ベクトルの終点座標の元となった第２の整数型データの値を番号として付与する。

例えば、図９（ａ）に示すように、ｎ＝３の場合は、第２の整数型データ｛１，２，４｝から、座標｛（０，０，１）、（０，１，０）、（１，０，０）｝が求められる。そして、ベクトル設定部１２は、第２の整数型データから求めた各座標が終点となる正規直交基底を設定し、各基底ベクトルに番号として（１）、（２）又は（４）を付与する。

次に、ベクトル関係特定部１６は、ステップＢ３で得られた正規直交基底を射影元、ステップＢ１で入力された任意ベクトルを射影先としたときの、正規直交基底と任意ベクトルとの関係（ベクトル関係）を特定する（ステップＢ４）。

具体的には、ステップＢ４では、図９（ａ）に示すように、ベクトル関係特定部１６は、任意ベクトルの各ベクトル成分と、各基底ベクトルとを対応させ、そして、各ベクトル成分に、当該ベクトル成分に対応している基底ベクトルの番号を付与する。

次に、描画処理部１２は、パラメータｍを０（ゼロ）に設定し（ステップＢ５）、頂点番号ｍの頂点を、正規直交基底の開始点に設定（ステップＢ６）する。具体的には、図９（ｂ）に示すように、ｍ＝０の場合は、描画処理部１２は、頂点０＝（０，０，０）を開始点に設定する。ステップＢ６は、実施の形態１において図５に示したステップＡ５と同様のステップである。

次に、描画処理部１３は、頂点の座標の元となった第１の整数型データの２進数表現と、正規直交基底の終点の座標の元となった第２の整数型データの２進数表現との排他的論理和を各終点について算出する（ステップＢ７）。ステップＢ７は、実施の形態１において図５に示したステップＡ６と同様のステップである。描画処理部１３は、図９（ｃ）に示すように、開始点の座標の成分の並びを２進数とみなして得られる値と、各基底ベクトルの終点の座標の成分の並びを２進数とみなして得られる値との排他的論理和を算出する。

次に、描画処理部１３は、算出した排他的論理和のうち、頂点の座標の元となった第１の整数型データよりも値が大きくなる排他的論理和を特定し、特定した排他的論理和の各桁をｎ次元座標系の座標軸上の位置に置き換えて座標を特定する（ステップＢ８）。ステップＢ８は、実施の形態１において図５に示したステップＡ７と同様のステップである。ステップＢ８で特定される座標は、ステップＡ７特定された単位ハイパーキューブの描画座標と同様のものである。

具体的には、図９（ｃ）の例では、開始点の座標の元となった第１の整数型データの２進数表現が０００、算出された排他的論理和が｛００１，０１０，１００｝である。よって、すべての排他的論理和が特定され、これらから座標｛（０，０，１）、（０，１，０）、（１，０，０）｝が特定される。また、各座標に、排他的論理和の値を番号として付与すると、それぞれ、１（＝００１）、２（＝０１０）、４（＝１００）となる。また、各座標は、ステップＢ２で設定された単位ハイパーキューブの同一番号の頂点と一致する。

次に、描画処理部１３は、ステップＢ６で設定された開始点と、ステップＢ８で特定された座標の点とを結ぶ線を、単位ハイパーキューブの辺として特定する（ステップＢ９）。図９（ｃ）の例では、０番の点と１番の点とを結ぶ辺、０番の点と２番の点とを結ぶ辺、０番号の点と４番の点とを結ぶ辺が特定される。

次に、描画処理部１３は、ステップＢ４で特定されたベクトル関係に基づき、ステップＢ９で特定された辺から、描画ハイパーキューブの辺を特定し、特定した描画ハイパーキューブの辺を、表示画面３０ａ上に描画する（ステップＢ１０）。

図９（ｃ）に示すように、０番の点と１番の点とを結ぶ辺が基底ベクトル（１）に平行であり、０番の点と２番の点とを結ぶ辺が基底ベクトル（２）に平行であり、０番の点と４番の点とを結ぶ辺が基底ベクトル（４）に平行である。従って、描画処理部１３は、任意ベクトルの開始点をαに設定したときの、ベクトル成分（１）、ベクトル成分（２）、及びベクトル成分（４）、それぞれの終点の座標を求める。そして、描画処理部１３は、各終点と開始点αとを結ぶ辺それぞれを描画対象として特定し、描画対象として特定した辺を表示画面３０ａ上に描画する。

次に、ステップＢ１０の実行後、描画処理部１３は、パラメータｍの値が、２^ｎ−１より小さいかどうかを判定する（ステップＢ１１）。ステップＢ１１は、実施の形態１において図５に示したステップＡ９と同様のステップである。ステップＢ１１の判定の結果、ｍの値が、２^ｎ−１より小さくない場合は、単位ハイパーキューブの全ての頂点について開始点への設定が終了しているため、描画装置２０における処理が終了する。

一方、ステップＢ１１の判定の結果、ｍの値が、２^ｎ−１より小さい場合は、単位ハイパーキューブの全ての頂点の開始点への設定が終了していないため、描画処理部１３は、ｍの値を１増加させる（ステップＢ１２）。そして、描画処理部１３は、再度ステップＢ６を実行する。

例えば、再度のステップＢ６の実行において、ｍ＝２となったとすると、描画処理部１２は、頂点２＝（０，１，０）を開始点に設定し、これと基底ベクトルの終点との排他的論理和を算出する。算出された排他的論理和は｛０００，０１１，１１０｝となる。開始点の座標から求められる２進数表現は０１０であるから、ステップＢ８では、算出された排他的論理和のうち、｛０１１，１１０｝のみが特定される。

更に、ステップＢ９では、単位ハイパーキューブの辺として、２番の点と３（＝０１１）番の点とを結ぶ辺、及び２番の点と６（＝１１０）番の点とを結ぶ辺が特定される。そして、２番の点と３番の点とを結ぶ辺は、基底ベクトル（４）に平行であり、２番の点と６番の点とを結ぶ辺は、基底ベクトル（１）に平行である。

従って、描画処理部１３は、任意ベクトルの開始点を、開始点がαであるときのベクトル成分（２）の終点に設定し、この場合のベクトル成分（１）及びベクトル成分（４）それぞれの終点の座標を求める。そして、図９（ｄ）に示すように、描画処理部１３は、このときの開始点と求めた各終点とを結ぶ辺それぞれを描画対象として特定し、描画対象として特定した辺を表示画面３０ａ上に描画する。

ステップＢ６〜Ｂ１０は、ｍが（２^ｎ−１）になるまで繰り返し行われる。この結果、図１０に示す描画ハイパーキューブの正射影像が、表示装置３０の表示画面３０ａ上に表示される。図１０は、実施の形態２における単位ハイパーキューブと描画ハイパーキューブとの一例を示す図である。

また、本実施の形態２におけるプログラムは、コンピュータに、図８に示すステップＢ１〜Ｂ１２を実行させるプログラムであれば良い。このプログラムをコンピュータにインストールし、実行することによって、本実施の形態２における描画装置２０と描画方法とを実現することができる。この場合、コンピュータのＣＰＵは、頂点特定部１１、ベクトル設定部、描画処理部、入力部１４、及びベクトル関係特定部１６として機能し、処理を行なう。また、コンピュータに備えられたハードディスク等の記憶装置は、記憶部１５として機能する。

以上のように、本実施の形態２では、任意ベクトルを用いた場合のハイパーキューブの辺の特定が、射影元の基底ベクトルを用いた単位ハイパーキューブの構築によって行われる。よって、本実施の形態２によれば、射影先の空間の任意のベクトルを用いて、ハイパーキューブのトポロジー構造（接続形態）を示す図を、簡単に描画することができる。また、本実施の形態２において、射影先の空間の次元は、一般的な表示装置の次元である２次元に限定されず、３次元以上であっても良い。本実施の形態２は、３次元以上の空間における立体像の構築にもそのまま利用できる。

ここで、実施の形態１及び２におけるプログラムを実行することによって、描画装置を実現するコンピュータについて図１１を用いて説明する。図１１は、本発明の実施の形態１及び２における描画装置を実現できるコンピュータの一例を示すブロック図である。

図１１に示すように、コンピュータ１１０は、ＣＰＵ１１１と、メインメモリ１１２と、記憶装置１１３と、入力インターフェイス１１４と、表示コントローラ１１５と、データリーダ／ライタ１１６と、通信インターフェイス１１７とを備える。これらの各部は、バス１２１を介して、互いにデータ通信可能に接続される。

ＣＰＵ１１１は、記憶装置１１３に格納された、本実施の形態１又は２におけるプログラム（コード）をメインメモリ１１２に展開し、これらを所定順序で実行することにより、各種の演算を実施する。メインメモリ１１２は、典型的には、ＤＲＡＭ（Dynamic Random Access Memory）等の揮発性の記憶装置である。また、本実施の形態１又は２におけるプログラムは、コンピュータ読み取り可能な記録媒体１２０に格納された状態で提供される。なお、本実施の形態におけるプログラムは、通信インターフェイス１１７を介して接続されたインターネット上で流通するものであっても良い。

また、記憶装置１１３の具体例としては、ハードディスクの他、フラッシュメモリ等の半導体記憶装置が挙げられる。入力インターフェイス１１４は、ＣＰＵ１１１と、キーボード及びマウスといった入力機器１１８との間のデータ伝送を仲介する。表示コントローラ１１５は、表示装置３０と接続され、表示装置３０での表示を制御する。データリーダ／ライタ１１６は、ＣＰＵ１１１と記録媒体１２０との間のデータ伝送を仲介し、記録媒体１２０からのプログラムの読み出し、及び処理結果の記録媒体１２０への書き込みを実行する。通信インターフェイス１１７は、ＣＰＵ１１１と、他のコンピュータとの間のデータ伝送を仲介する。

また、記録媒体１２０の具体例としては、ＣＦ（Compact Flash）及びＳＤ（Secure Digital）等の汎用的な半導体記憶デバイス、フレキシブルディスク（Flexible Disk）等の磁気記憶媒体、又はＣＤ−ＲＯＭ（Compact Disk Read Only Memory）などの光学記憶媒体が挙げられる。

本発明によれば、ｎ次元ハイパーキューブの正射影像を描画する際に処理すべきデータ量の増大化を抑制し、描画速度の向上化を図ることができる。本発明は、ｎ次元ハイパーキューブの正射影像の描画に有効であり、マルチプロセッサシステム、ネットワークシステム、教育関連システム等に適用できる。

１０ 描画装置（実施の形態１）
１１ 頂点特定部
１２ ベクトル設定部
１３ 描画処理部
１４ 入力部
１５ 記憶部
１６ ベクトル関係特定部
２０ 描画装置（実施の形態２）
３０ 表示装置
３０ａ 表示画面
１１０ コンピュータ
１１１ ＣＰＵ
１１２ メインメモリ
１１３ 記憶装置
１１４ 入力インターフェイス
１１５ 表示コントローラ
１１６ データリーダ／ライタ
１１７ 通信インターフェイス
１１８ 入力機器
１２０ 記録媒体
１２１ バス

Claims (6)

1. 表示画面上にｎ（ｎは１以上の自然数）次元のハイパーキューブを描画する描画装置であって、
   ０から２^ｎ−１までの第１の整数型データそれぞれのｎビットの２進数表現を求め、前記第１の整数型データそれぞれの２進数表現の各桁をｎ次元座標系の座標軸上の位置に置き換えて、前記第１の整数型データそれぞれに対応する座標を求め、求めた各座標を前記ハイパーキューブの各頂点とする、頂点特定部と、
   ｉが０以上ｎ−１以下の整数であるときに２^ｉから算出されるｎ個の第２の整数型データそれぞれから、ｎビットの２進数表現を求め、求めた各２進数表現における各桁をｎ次元座標系の座標軸上の位置に置き換えて、前記第２の整数型データそれぞれに対応する座標を求め、更に、求めた各座標が終点となる正規直交基底を設定する、ベクトル設定部と、
   前記頂点毎に、前記正規直交基底を適用して、当該頂点から伸びる前記ハイパーキューブの辺を特定し、特定した前記ハイパーキューブの辺を前記表示画面上に描画する、描画処理部と、
   を備え、
   前記描画処理部は、前記頂点毎に、
   当該頂点の座標の元となった前記第１の整数型データの２進数表現と、前記正規直交基底の終点の座標の元となった前記第２の整数型データの２進数表現との排他的論理和を各終点について算出し、
   算出した前記排他的論理和のうち、当該頂点の座標の元となった前記第１の整数型データよりも値が大きくなる前記排他的論理和を特定し、特定した前記排他的論理和の各桁をｎ次元座標系の座標軸上の位置に置き換えて座標を求め、求めた前記座標を描画座標とし、
   前記描画座標にある点と当該頂点とを結ぶ線を、前記ハイパーキューブの辺として特定する、ことを特徴とする描画装置。
2. ｎ次元の任意ベクトルの入力を受け付ける、入力部と、
   前記正規直交基底を射影元、前記任意ベクトルを射影先としたときの、前記正規直交基底と前記任意ベクトルとの関係を求める、ベクトル関係特定部と、
   を更に備え、
   前記描画処理部が、前記ベクトル関係特定部が求めた前記関係に基づいて、前記任意ベクトルから得られるハイパーキューブの辺の射影像を求め、前記任意ベクトルから得られるハイパーキューブの辺の射影像を前記表示画面上に描画する、請求項１に記載の描画装置。
3. コンピュータによって、表示画面上にｎ（ｎは１以上の自然数）次元のハイパーキューブを描画するための描画方法であって、
   （ａ）前記コンピュータによって、０から２^ｎ−１までの第１の整数型データそれぞれのｎビットの２進数表現を求め、前記第１の整数型データそれぞれの２進数表現の各桁をｎ次元座標系の座標軸上の位置に置き換えて、前記第１の整数型データそれぞれに対応する座標を求め、求めた各座標を前記ハイパーキューブの各頂点とする、ステップと、
   （ｂ）前記コンピュータによって、ｉが０以上ｎ−１以下の整数であるときに２^ｉから算出されるｎ個の第２の整数型データそれぞれから、ｎビットの２進数表現を求め、求めた各２進数表現における各桁をｎ次元座標系の座標軸上の位置に置き換えて、前記第２の整数型データそれぞれに対応する座標を求め、更に、求めた各座標が終点となる正規直交基底を設定する、ステップと、
   （ｃ）前記コンピュータによって、前記頂点毎に、前記正規直交基底を適用して、当該頂点から伸びる前記ハイパーキューブの辺を特定し、特定した前記ハイパーキューブの辺を前記表示画面上に描画する、ステップと、
   を有し、
   前記（ｃ）のステップにおいて、前記頂点毎に、
   当該頂点の座標の元となった前記第１の整数型データの２進数表現と、前記正規直交基底の終点の座標の元となった前記第２の整数型データの２進数表現との排他的論理和を各終点について算出し、
   算出した前記排他的論理和のうち、当該頂点の座標の元となった前記第１の整数型データよりも値が大きくなる前記排他的論理和を特定し、特定した前記排他的論理和の各桁をｎ次元座標系の座標軸上の位置に置き換えて座標を求め、求めた前記座標を描画座標とし、
   前記描画座標にある点と当該頂点とを結ぶ線を、前記ハイパーキューブの辺として特定する、ことを特徴とする描画方法。
4. （ｄ）前記コンピュータによって、ｎ次元の任意ベクトルの入力を受け付ける、ステップと、
   （ｅ）前記コンピュータによって、前記正規直交基底を射影元、前記任意ベクトルを射影先としたときの、前記正規直交基底と前記任意ベクトルとの関係を求める、ステップと、
   を更に有し、
   前記（ｃ）のステップにおいて、前記（ｅ）のステップで求めた前記関係に基づいて、前記任意ベクトルから得られるハイパーキューブの辺の射影像を求め、前記任意ベクトルから得られるハイパーキューブの辺の射影像を前記表示画面上に描画する、請求項３に記載の描画方法。
5. コンピュータによって、表示画面上にｎ（ｎは１以上の自然数）次元のハイパーキューブを描画するためのプログラムであって、
   前記コンピュータに、
   （ａ）０から２^ｎ−１までの第１の整数型データそれぞれのｎビットの２進数表現を求め、前記第１の整数型データそれぞれの２進数表現の各桁をｎ次元座標系の座標軸上の位置に置き換えて、前記第１の整数型データそれぞれに対応する座標を求め、求めた各座標を前記ハイパーキューブの各頂点とする、ステップと、
   （ｂ）ｉが０以上ｎ−１以下の整数であるときに２^ｉから算出されるｎ個の第２の整数型データそれぞれから、ｎビットの２進数表現を求め、求めた各２進数表現における各桁をｎ次元座標系の座標軸上の位置に置き換えて、前記第２の整数型データそれぞれに対応する座標を求め、更に、求めた各座標が終点となる正規直交基底を設定する、ステップと、
   （ｃ）前記頂点毎に、前記正規直交基底を適用して、当該頂点から伸びる前記ハイパーキューブの辺を特定し、特定した前記ハイパーキューブの辺を前記表示画面上に描画する、ステップと、
   を実行させ、
   前記（ｃ）のステップにおいて、前記頂点毎に、
   当該頂点の座標の元となった前記第１の整数型データの２進数表現と、前記正規直交基底の終点の座標の元となった前記第２の整数型データの２進数表現との排他的論理和を各終点について算出し、
   算出した前記排他的論理和のうち、当該頂点の座標の元となった前記第１の整数型データよりも値が大きくなる前記排他的論理和を特定し、特定した前記排他的論理和の各桁をｎ次元座標系の座標軸上の位置に置き換えて座標を求め、求めた前記座標を描画座標とし、
   前記描画座標にある点と当該頂点とを結ぶ線を、前記ハイパーキューブの辺として特定する、
   ることを特徴とするプログラム。
6. （ｄ）ｎ次元の任意ベクトルの入力を受け付ける、ステップと、
   （ｅ）前記正規直交基底を射影元、前記任意ベクトルを射影先としたときの、前記正規直交基底と前記任意ベクトルとの関係を求める、ステップと、
   を更に前記コンピュータに実行させ、
   前記（ｃ）のステップにおいて、前記（ｅ）のステップで求めた前記関係に基づいて、前記任意ベクトルから得られるハイパーキューブの辺の射影像を求め、前記任意ベクトルから得られるハイパーキューブの辺の射影像を前記表示画面上に描画する、請求項５に記載のプログラム。
   
   

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