JP4862109B2 - 原子間力顕微鏡装置 - Google Patents

Description

本発明は、原子間力顕微鏡装置に関する。

原子間力顕微鏡（Ａｔｏｍｉｃ Ｆｏｒｃｅ Ｍｉｃｒｏｓｃｏｐｅ（ＡＦＭ））は、探針を試料表面に沿って走査することで、表面凹凸によるカンチレバーの変位を測定し、これを表面の像として形成し、試料の表面をナノスケールで測定する装置である。一般に近接する二つの物体（この場合、探針先端と試料のこと）には必ず力が作用するため、表面凹凸による力の変化をカンチレバーの変位として測定するＡＦＭは試料に対する制約が原理的には存在しない。このためＳＴＭ（走査型トンネル顕微鏡）では観察できない絶縁体表面の構造も観察することができる。

ＡＦＭによる得られる観察像の精度はフィードバック制御器の性能によるが、従来の制御方式であるＰＩ制御などの古典制御では、機構の共振周波数によりその帯域が制限されるという問題がある。そこで現在ではその性能向上に向けて様々な取り組みがなされている。

例えば、ＡＦＭのｚピエゾ素子の駆動を素早くするためのカウンターバランス法やアクティブダンピング法（非特許文献１７、非特許文献１８）、シフトモードもしくはライン毎の情報をフィードフォワード補償する方法（非特許文献１３）、カンチレバーのＱ値制御（非特許文献１９）などがＡＦＭの制御に導入されている。しかしながら、 それらのほとんどはＰＩ制御などの古典的な制御が一般的であり、アナログ回路での実装が主流となっている（非特許文献２０）。あるいはＨ_∞ループシェービング法（非特許文献２１）や適応制御法(非特許文献１５)などの現代制御も適用されているが、Ｂｏｄｅの積分定理などによりフィードバック制御系が受ける制約は免れない。

ＡＦＭの動作方式としては、コンタクトモード、ノンコンタクトモード、タッピングモードの３つの方式がある。コンタクトモードは、探針を試料表面に接触させて走査を行う接触方式、ノンコンタクトモードは探針を試料表面に接触させず、カンチレバーの振動周波数の変化から表面形状を測定する非接触方式、タッピングモードは探針を試料表面に周期的に接触させ、カンチレバーの振動振幅の変化から表面形状を測定する周期的接触方式である（非特許文献２、３を参照）。このうち、コンタクトモードによる表面形状の解析方法は、カンチレバーの変位を一定に保つようにピエゾのＺ軸を制御し、その操作量ｕ（ｔ）を表面形状として記録する方法が一般的であるが、上述のように機構の共振周波数によりその帯域が制限されてしまう欠点があった。

そこで、非特許文献１では、外乱オブザーバによる試料の表面推定方法（ＳＴＯ）が提案されている。この制御法は、プラントのモデル化により、物体の表面形状は外乱オブザーバと同様の推定機構により推定できることを明らかにしている。このことから、ＳＴＯは、閉ループによる帯域制限がないため、操作量ｕ（ｔ）が実際に表面形状に追従しなくても、従来法に対して優位であることが示されている。

なお、非特許文献１０では、ハードウェアを工夫することによりＡＦＭの高速化を行っているが、以下で説明する本発明に係る実施形態では、制御を工夫することによりＡＦＭの高速走査における画像の劣化を防ぐ。

「原子間力顕微鏡のナノスケールサーボ装置の製作と制御に関する研究」, 電気学会産業計測制御研究会，ＩＩＣ−０６−１３２，ｐ．１−６（２００６） 「はじめてのナノプローブ技術」，工業調査会（２００１） 「走査型プローブ顕微鏡」，丸善（２００５） 「システム制御理論入門」，実教出版（２０００） 「マルチレートフィードフォワード制御を用いた完全追従制御法」，計測自動制御学会論文集，３６，ｐ．７６６−７７２（２０００） 「スイッチング制御とＰＴＣに基づく磁気ディスク装置のＲＲＯ補償」，電気学会産業計測研究会，ＩＩＣ−０４−６９，ｐ．１３−１８（２００４） 「Ｈａｒｍｏｎｉｃ ａｎａｌｙｓｉｓ ｂａｓｅｄ ｍｏｄｅｌｉｎｇ ｏｆ ｔａｐｐｉｎｇ ｍｏｄｅ ＡＦＭ」，Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ ｏｆ ｔｈｅ Ａｍｅｒｉｃａｎ Ｃｏｎｔｒｏｌ Ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅ，ｐ．２３２−２３６（１９９９） 「ＭＡＴＬＡＢによる制御のためのシステム同定」，東京電機大学出版局（１９９６） 「ＭＡＴＬＡＢによる制御のための上級システム同定」，東京電機大学出版局（２００４） 「高速ビデオレートＡＦＭ」，計測と制御、第４５巻、第２号、ｐ．９９−１０４（２００６） 「表面形状学習型ＰＴＣに基づく原子間力顕微鏡のナノスケールサーボの提案」, 電気学会産業計測制御研究会，ＩＩＣ−０７−５２，ｐ．７−１２（２００７） 「原子間力顕微鏡のナノスケールサーボ装置の製作と制御に関する研究」，電気学会産業計測制御研究会，ＩＩＣ−０６−１３２，ｐ．１−６（２００６） 「Ｒｏｂｕｓｔ Ｔｗｏ−Ｄｅｇｒｅｅ−ｏｆ−Ｆｒｅｅｄｏｍ Ｃｏｎｔｒｏｌ ｏｆ ａｎ Ａｔｏｍｉｃ Ｆｏｒｃｅ Ｍｉｃｒｏｓｃｏｐｅ」，Ａｓｉａｎ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｃｏｎｔｒｏｌ，Ｖｏｌ．６，Ｎｏ．２，ｐ．１５６−１６３（２００４） 「Ｒｏｂｕｓｔ Ｃｏｎｔｒｏｌ Ａｐｐｒｏａｃｈ ｔｏ Ａｔｏｍｉｃ Ｆｏｒｃｅ Ｍｉｃｒｏｓｃｏｐｙ」，Ｃｏｎｆ． Ｄｅｃｉｓｉｏｎ Ｃｏｎｔｒ．，ｐ．３４４３−３４４４（２００３） 「Ｏｎ Ａｕｔｏｍａｔｉｎｇ Ａｔｏｍｉｃ Ｆｏｒｃｅ Ｍｉｃｒｏｓｃｏｐｅｓ： Ａｎ Ａｄａｐｔｉｖｅ Ｃｏｎｔｒｏｌ Ａｐｐｒｏａｃｈ」，Ｃｏｎｆ． Ｄｅｃｉｓｉｏｎ Ｃｏｎｔｒ．，ｐ．１５７４−１５７９（２００４） 「Ｄｉｇｉｔａｌ ｃｏｎｔｒｏｌ ｏｆ ｒｅｐｅｔｉｔｉｖｅ ｅｒｒｏｒｓ ｉｎ ｄｉｓｋ ｄｒｉｖｅ ｓｙｓｔｅｍ」，ＩＥＥＥ Ｃｏｎｔｒ．Ｓｙｓｔ． Ｍａｇ．，Ｖｏｌ．１０，Ｎｏ．１，ｐｐ．１６−２０（１９９０） Ｒｅｖ．Ｓｃｉ．Ｉｎｓｔｒｕｍ．，７６，０５３７０８（２００５） Ｐｒｏｃ．Ｎａｔｌ．ＵＳＡ．Ｓｃｉ．ＵＳＡ，９８，１２４６８（２００１） Ｐｈｙｓ．Ｒｅｖ．Ｌｅｔｔ．９０，０４６８０８（２００３） 「Ｐｒｏｐｏｓａｌ ｏｆ Ｓｕｒｆａｃｅ Ｔｏｐｏｇｒａｐｈｙ Ｏｂｓｅｒｖｅｒ ｆｏｒ Ｔａｐｐｉｎｇ Ｍｏｄｅ ＡＦＭ」，ＩＩＣ−０７−１１９（２００７） 「Ｒｏｂｕｓｔ Ｃｏｎｔｒｏｌ Ａｐｐｒｏａｃｈ ｔｏ Ａｔｏｍｉｃ Ｆｏｒｃｅ Ｍｉｃｒｏｓｃｏｐｙ」，Ｃｏｎｆ．Ｄｅｃｉｓｉｏｎ Ｃｏｎｔｒ．，ｐ．３４４３−３４４４（２００３） 「Ｐｒｏｐｏｓａｌ ｏｆ Ｓｕｒｆａｃｅ Ｔｏｐｏｇｒａｐｈｙ Ｌｅａｒｎｉｎｇ Ｏｂｓｅｒｖｅｒ ｆｏｒ Ｃｏｎｔａｃｔ Ｍｏｄｅ ＡＦＭ」，ＩＩＣ−０７−１１７，ｐ．７−１２（２００７） 「Ｚｅｒｏ Ｐｈａｓｅ Ｅｒｒｏｒ Ｔｒａｃｋｉｎｇ Ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｆｏｒ Ｄｉｇｉｔａｌ Ｃｏｎｔｒｏｌ」，Ｔｒａｎｓ．ＡＳＭＥ，Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｄｙｎａｍｉｃ Ｓｙｓｔｅｍｓ，Ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔ，ａｎｄ Ｃｏｎｔｒｏｌ，Ｖｏｌ．１０９，ｐ．６５−６８（１９８７） 「Ｚｅｒｏｓ ｏｆ ｓａｍｐｌｅｄ ｓｙｓｔｅｍ」，Ａｕｔｏｍａｔｉｃａ，２０，１，ｐ．３１−３８（１９８４） 「Ｐｅｒｆｅｃｔ Ｔｒａｃｋｉｎｇ Ｃｏｎｔｒｏｌ Ｍｅｔｈｏｄ Ｂａｓｅｄ ｏｎ Ｍｕｌｔｉｒａｔｅ Ｆｅｅｄｆｏｒｗａｒｄ Ｃｏｎｔｒｏｌ」，Ｔｒａｎｓ．ＳＩＣＥ，Ｖｏｌ．３６，Ｎｏ．９，ｐ．７６６−７７２（２０００）

しかしながら、ＳＴＯはプラントのモデル化誤差が大きいとき、正確な測定を不可能にする欠点がある。

上記課題を解決するために、本発明に係る原子間力顕微鏡装置は、試料表面の表面形状をコンタクトモードで画像化する原子間力顕微鏡装置であって、試料表面と原子間力を介して相互作用する探針を有し、原子間力によってたわみを生ずるカンチレバーと、カンチレバーに向けて第１のレーザ光を入射するレーザ光提供手段と、カンチレバーが第１のレーザ光を反射することにより発せられた第２のレーザ光を検出する光検出手段と、試料を載せたピエゾ素子と、試料表面と探針との間の距離をピエゾ素子に入力電圧を入力することにより制御し、第２のレーザ光の強度の相対変化からカンチレバーのたわみを出力電圧として検出し、行きの走査の間に表面形状を計測および記憶し、行きの走査と同一ラインの帰りの走査において、記憶された表面形状を用いて制御し、出力電圧から、試料表面の表面形状を推定するコントローラと、推定された表面形状を記録するデータ記憶手段とを備えたことを特徴とする。

本発明は、追従誤差をできるだけ零にすることにより、高速走査による画像の劣化を抑えることができる。

図１は本発明に係る原子間力顕微鏡装置（ＡＦＭ）の概略を示す図である。 図２はコンタクトモードに基づくカンチレバーの先端と試料表面との間に働く相互作用力を示す図である。 図３は本発明に係るＡＦＭにおける信号の流れを示すブロック図である。 図４はマルチレート制御を示す図である。 図５は制御の手順を示す図である。 図６は面走査経路を示す図である。 図７は面走査経路を示す図である。 図８はボーデ線図を示す図である。 図９は出力電圧の時間変化を示す図である。 図１０は一巡伝達関数を示す図である。 図１１は表面形状オブザーバ（ＳＴＯ）のブロック図である。 図１２は表面形状学習型ＰＴＣ（ＳＴＬ−ＰＴＣ）のブロック図である。 図１３はエラー信号に対するシグナルジェネレータを示す図である。 図１４は補感度関数を示す図である。 図１５は本発明に係るＡＦＭにおいて、従来法を採用して、矩形波状の試料表面を走査したときの出力電圧をシミュレーションした結果を示す図である。 図１６はＳＴＯにおけるＱ（ｓ）の周波数応答を示す図である。 図１７は本発明に係るＡＦＭにおいて、ＳＴＯを採用して、矩形波状の試料表面を走査したときの出力電圧をシミュレーションした結果を示す図である。 図１８Ａはグレーティング素子の形状を示す図である。 図１８Ｂはグレーティング素子の形状を示す図である。 図１９は本発明に係るＡＦＭにより計測された試料の一画像中のエラー信号の重ね合わせを示す図である。 図２０は本発明に係るＡＦＭにより計測された試料の一画像中のエラー信号の重ね合わせを示す図である。 図２１はエラー信号の標準偏差を示した図である。 図２２は本発明に係るＡＦＭにより計測された試料の一画像中のエラー信号の重ね合わせを示す図である。 図２３は本発明に係るＡＦＭにより計測された試料の一画像中のエラー信号の重ね合わせを示す図である。 図２４はエラー信号の標準偏差を示した図である。 図２５は本発明に係るＡＦＭにより計測された試料の画像を示す図である。 図２６は本発明に係るＡＦＭにより計測された試料の画像を示す図である。 図２７は本発明に係るＡＦＭにより計測された試料の画像を示す図である。 図２８は本発明に係るＡＦＭにより計測された試料の表面凹凸の高さの頻度を示す図である。 図２９は本発明に係るＡＦＭにより計測された試料の表面凹凸の高さの頻度を示す図である。 図３０は本発明に係るＡＦＭにより計測された試料の表面凹凸の高さの頻度を示す図である。 図３１は本発明に係るＡＦＭにより計測された試料の表面凹凸の断面波形を示す図である。 図３２は本発明に係るＡＦＭにより計測された試料の表面凹凸の断面波形を示す図である。 図３３は本発明に係るＡＦＭにより計測された試料の表面凹凸の断面波形を示す図である。 図３４は本発明に係るＡＦＭにより計測された試料の画像を示す図である。 図３５は本発明に係るＡＦＭにより計測された試料の画像を示す図である。 図３６は本発明に係るＡＦＭにより計測された試料の画像を示す図である。 図３７は本発明に係るＡＦＭにより計測された試料の表面凹凸の高さの頻度を示す図である。 図３８は本発明に係るＡＦＭにより計測された試料の表面凹凸の高さの頻度を示す図である。 図３９は本発明に係るＡＦＭにより計測された試料の表面凹凸の高さの頻度を示す図である。 図４０は本発明に係るＡＦＭにより計測された試料の表面凹凸の断面波形を示す図である。 図４１は本発明に係るＡＦＭにより計測された試料の表面凹凸の断面波形を示す図である。 図４２は本発明に係るＡＦＭにより計測された試料の表面凹凸の断面波形を示す図である。 図４３はボーデ線図を示す図である。 図４４はボーデ線図を示す図である。 図４５は一巡伝達関数を示す図である。 図４６は一巡伝達関数を示す図である。 図４７は改良型表面形状学習型ＰＴＣ（ＳＴＬ−ＰＴＣ）のブロック図である。 図４８はシグナルジェネレータを示す図である。 図４９は表面形状学習型オブザーバ（ＳＴＬＯ）のブロック図である。 図５０はＱフィルタの周波数応答を示す図である。 図５１はＱフィルタの周波数応答を示す図である。 図５２はＡＦＭによる矩形波状の試料表面の走査をシミュレーションした結果を示す図である。 図５３はＡＦＭによる矩形波状の試料表面の走査をシミュレーションした結果を示す図である。 図５４はＡＦＭによる矩形波状の試料表面の走査をシミュレーションした結果を示す図である。 図５５はＡＦＭによる矩形波状の試料表面の走査をシミュレーションした結果を示す図である。 図５６はグレーティング素子の形状を示す図である。 図５７は標準偏差を示す図である。 図５８は誤差信号を重ね合わせた波形を示す図である。 図５９は誤差信号を重ね合わせた波形を示す図である。 図６０は誤差信号を重ね合わせた波形を示す図である。 図６１は誤差信号を重ね合わせた波形を示す図である。 図６２は誤差信号を重ね合わせた波形を示す図である。 図６３は誤差信号を重ね合わせた波形を示す図である。 図６４はＡＦＭにより計測された試料の画像を示す図である。 図６５はＡＦＭにより計測された試料の画像を示す図である。 図６６はＡＦＭにより計測された試料の画像を示す図である。 図６７はＡＦＭにより計測された試料の画像を示す図である。 図６８はＡＦＭにより計測された試料の断面波形を示す図である。 図６９はＡＦＭにより計測された試料の断面波形を示す図である。 図７０はＡＦＭにより計測された試料の断面波形を示す図である。 図７１はＡＦＭにより計測された試料の断面波形を示す図である。 図７２はＡＦＭにより計測された試料の画像を示す図である。 図７３はＡＦＭにより計測された試料の画像を示す図である。 図７４はＡＦＭにより計測された試料の画像を示す図である。 図７５はＡＦＭにより計測された試料の画像を示す図である。 図７６はＡＦＭにより計測された試料の断面波形を示す図である。 図７７はＡＦＭにより計測された試料の断面波形を示す図である。 図７８はＡＦＭにより計測された試料の断面波形を示す図である。 図７９はＡＦＭにより計測された試料の断面波形を示す図である。 図８０は周波数特性を示す図である。 図８１は周波数特性を示す図である。 図８２は周波数特性を示す図である。 図８３は周波数特性を示す図である。 図８４は本実施形態に係る制御機構を示す図である。 図８５はシミュレーションの結果を示す図である。 図８６はシミュレーションの結果を示す図である。 図８７はシミュレーションの結果を示す図である。 図８８はシミュレーションの結果を示す図である。 図８９は周波数特性を示す図である。 図９０は周波数特性を示す図である。 図９１は周波数特性を示す図である。 図９２は周波数特性を示す図である。 図９３はＡＦＭにより計測された試料の画像を示す図である。 図９４はＡＦＭにより計測された試料の画像を示す図である。 図９５はＡＦＭにより計測された試料の画像を示す図である。 図９６は誤差信号を重ね合わせた波形を示す図である 図９７は誤差信号を重ね合わせた波形を示す図である 図９８は誤差信号を重ね合わせた波形を示す図である 図９９はシミュレーションの結果を示す図である。 図１００はシミュレーションの結果を示す図である。 図１０１はシミュレーションの結果を示す図である。 図１０２はシミュレーションの結果を示す図である。 図１０３はシグナルジェネレータを示す図である。 図１０４はシミュレーションの結果を示す図である。 図１０５はシミュレーションの結果を示す図である。 図１０６はシミュレーションの結果を示す図である。 図１０７はシミュレーションの結果を示す図である。 図１０８はシミュレーションの結果を示す図である。 図１０９はシミュレーションの結果を示す図である。

＜第１の実施形態＞
図１に、一例として、本発明に係るＡＦＭ１００の概略図を示す。図１において、ＡＦＭ１００は、カンチレバー１０１に取り付けられた探針１０２を試料表面１０３に沿って走査し、試料表面１０３と探針１０２との間に働く原子間力によるカンチレバー１０１のたわみと摩擦力によるゆがみを測定することで、試料表面１０３の構造をナノスケールで測定する。

図１に示したＡＦＭ１００において、レーザ光１０４が、レーザ光提供手段１１０によってカンチレバー１０１の背面に斜めから入射される。そして、カンチレバー１０１のたわみとゆがみに起因する変位によるレーザ光１０４の反射角の変化が、四分割フォトダイオード１０５に入射するレーザ光１０６の強度の相対変化から検出される。最終的に、ＡＦＭ１００は、レーザ光１０６の強度の相対変化から、カンチレバー１０１のたわみとゆがみを検出し、試料表面１０３の構造を測定することができる。

なお、ここで示した態様は、あくまでも一例であって、レーザ光１０６の強度の相対変化を検出する装置は、四分割フォトダイオードに限らず、レーザ光の強度の相対変化を検出可能な光検出手段であればよい。また、レーザ光提供手段１１０として、例えば、可視光半導体レーザを用いることができる。

図１に示されているＡＦＭ１００において、コントローラ１０８は、カンチレバー１０１の変位が一定になるようにピエゾ１０７を制御する。そして、コントローラ１０８の出力が変換されて、試料表面１０３の表面形状として、データ記憶手段１０９に記録される。

（１：ＡＦＭの光検出方式）
表面凹凸による「カンチレバーの変位」を測定するには、レーザ光の干渉を測定する方法（光干渉方式）と、カンチレバーの変位によるレーザ光の反射角の変化を測定する光テコ方式がある。本実施形態では、より一般的とされている光テコ方式を用いている。

光テコ方式は、図１に示されているように、１〜４までの各ダイオードに入射する光強度の相対変化を測定するもので、テコの先端（カンチレバー先端）のＹ方向のたわみとテコの先端のＸ方向へのねじれを見る。前者には光強度の（１＋２）−（３＋４）の相対変化を、後者には（１＋４）−（２＋３）の相対変化を検出する。後者は特に、摩擦力の測定となり、ＡＦＭと区別してＦＦＭ（Ｆｒｉｃｔｉｏｎ Ｆｏｒｃｅ Ｍｉｃｒｏｓｃｏｐｅ）と呼ばれる。本実施形態に係るＡＦＭは、たわみのみを測定するので検出方法としては前者のＡＦＭとなる。

（２：コンタクトモードによるモデル化）
ＡＦＭに外乱オブザーバを用いる場合やコントローラの設計のためには、制御対象のモデル化が必要となる。そこでＡＦＭのモデルはカンチレバーと探針・試料間の相互作用から考え、図２のようなモデルを採用する（非特許文献１、７を参照）。測定モードとしては、今回はモデル化を簡単にするためコンタクトモードで測定を行った。

試料にコンタクトした瞬間のバネの長さは自然長であるため、バネ２０３のバネ係数をｋ_１、バネ２０３の自然長をＬ_１０、バネ２０１のバネ係数をｋ_２、バネ２０１の自然長をＬ_２０とする。また、ｂは、摩擦力発生源２０５のダンパ係数、現在の長さをそれぞれＬ_１、Ｌ_２とおき、ｕをピエゾに対する操作量、ｄを試料の凹凸とする。このとき、試料とカンチレバーの相互作用は、図２のように表される。ただし、Ｆ（ｔ）は、カンチレバーがバネ２０１から受ける力、すなわち試料からの原子間力を示している。

図２のモデルから質量ｍをもつカンチレバーの運動方程式をたてれば、

とできる。このモデルから試料の凹凸が入力外乱とモデル化できることを、非特許文献１は示している。実際の実験では、カンチレバーの変位ｙをフォトダイオードとレーザ光を用いて測定しているため、プラントの伝達関数にある一定のゲインｇを掛けた値となる。ゲインｇと出力の関係については次章で説明する。なお、式（１）の詳細な導出方法は、例えば、非特許文献１に記載されている。

（３：システム同定）
（３−１：ＡＦＭの構築）
本発明に係るＡＦＭを、例えば、日本電子株式会社製造のＪＳＰＭ−５２００に、必要な入力信号のインターフェースを接続し、Ｄｓｐａｃｅ１１０４等のコントローラボードを用いることにより制御系のアルゴリズムやハードウェアに改良を加えて構築しても良い。制御系のアルゴリズムの詳細に関しては、例えば、非特許文献８や非特許文献９を参照することができる。

図３は、本発明に係るＡＦＭにおける信号の流れを示すブロック図である。図３において、試料を走査するとカンチレバー１０１の変位がＰＤ（フォトダイオード）１０５によって出力され、この信号がＡＤ３０５により変換されＤＳＰ（デジタルシグナルプロセッサ）内でｙ［ｉ］として入力される。また、ＤＳＰ内でＤＡ３０１により変換された操作量ｕ［ｉ］は、アンプ３０２により増幅し駆動電圧としてＰＺＴ（ピエゾ）１０７に印加される。このアンプによるゲインはＫ_ｇ＝２０、ＰＺＴの駆動電圧はＫ_ＰＺＴ＝１５．５９［ｎｍ／Ｖ］である。また、ＤＳＰ内でのＡＤ／ＤＡのゲインは１になるように調整されている。

ＰＤの出力ｘ［Ｖ］はカンチレバーの変位がフォースカーブにしたがって電圧として出力される。したがって、カンチレバーの変位ｘ［Ｖ］をｙ［ｎｍ］として換算するためには、ＰＺＴの駆動電圧とＰＤからの出力の関係式をフォースカーブから求めＫ_ＰＤ＝３．６１×１０^−２［Ｖ／ｎｍ］を得た。

なお、このＫ_ＰＤはＪＳＰＭ−５２００によるフォースカーブの測定データを１次近似したものから求めた結果である。フォースカーブについては、例えば、非特許文献１に示されている。

（３−２同定実験）
システム同定実験では、実験により得られた入出力データを元に最小２乗法を用いてモデルの推定を行う。同定条件としては同定入力（疑似外乱）にＭ系列信号を、モデルの推定にはＡＲＸモデルを用いた（非特許文献８を参照。）。最小２乗法を用いることにより、離散時間における伝達関数は分母２次、分子１次で表され、これを零次ホールドで連続時間に変換する。同定された伝達関数の遅い零次は無視できないため、（１）式からの伝達関数は（２）式で表すことができる。ここで注意されたいのは、Ｍ系列信号はカンチレバーに直接与えることはできないので、図３において、ＤＡ３０１を経由して、Ｍ系列信号をＰＺＴに入力し、ＡＤ３０５の出力から推定を行う。

図８には、ボーデ線図が示されており、式（２）による上記モデルのプラントの周波数特性とサーボアナライザにより同定された周波数特性が比較されている。同定したプラントは５６１０［Ｈｚ］に大きな共振を持ち、低域においてもゲインが高いことがわかる。

また、図９には、本発明に係るＡＦＭにより観測された電圧の時間変化と上記モデルが与える電圧の時間変化との比較が示されている。図９より、モデル出力が測定出力（実際の出力）をある程度再現できていることを確認できる。

（４：コントローラの設計）
（４−１：従来法によるコントローラの設計）
今回提案法との比較に用いるコントローラは製品で使われているコントローラを使用し、これを従来法とした。コントローラの式は以下に示される。

ただし、実験装置がマニュアル通り発振する直前までチューニングしたところ、比例ゲインｋ_ｐ＝６４、ω_ｃ＝２πｆ_ｃ（ｆ_ｃ＝０．５［Ｈｚ］）として設計を行った。図１０は、プラントとコントローラに対する一巡伝達関数を示している。図１０から従来法は、カットオフ周波数が２５２［Ｈｚ］であり、これは比例制御とローパスフィルタがこの帯域まで追従できることを示している。また、ゲイン余裕１４．３［ｄＢ］、位相余裕８９．５［度（ｄｅｇ）］という結果が得られる。

（４−２：表面形状オブザーバ（ＳＴＯ））
操作量ｕと測定出力ｙから、外乱となる試料表面の凹凸ｄをオブザーバを用いて推定する。その推定値

はノミナルプラントの逆モデル

を通した信号から操作量ｕ（ｔ）を差し引いたものを、カットオフ周波数ω_ｃのローパスフィルタＱ（ｓ）を通して得ることができる。図１１は、ＳＴＯの推定ブロック図を示している。図１１において、推定ブロック１１００の中の推定ブロック１１０２は、フィードバックループ１１０１とは独立に、開ループの外乱オブザーバとして、実現されているのが特徴的である。図１１において、表面形状７０３を時刻ｔにおける入力端外乱ｄ（ｔ）とみなせる。そして、表面形状の推定値が出力１１０４から得られる。

非特許文献１では、この特別な外乱オブザーバを表面形状オブザーバ（ＳＴＯ）と呼ばれている。ＳＴＯは、オープンループで構成されているため、閉ループの帯域に制限されず、ナイキスト周波数まではＱ（ｓ）の帯域を上げることができる。したがって、実際にｕ（ｔ）が凹凸に追従しなくても、すなわち追従誤差ｅが零でなくてもノミナルプラントがモデル化誤差を待たなければω_ｃ以下の周波数でも正確に試料の凹凸ｄを推定することができる。またオブザーバの周波数応答は

であり、Ｑ（ｓ）は２次系のローパスフィルタから次式で表すことができる。

（４−３：提案法によるコントローラの設計）
前節で示したＳＴＯはオープンループで構成されているため、閉ループの帯域よりもＱ（ｓ）の帯域を上げられるのが良いとされてきた。しかしながらオブザーバはオープンループであるがゆえに、ｕ（ｔ）の追従性が大きく失われると、Ｌｅｎｎａｒｄ−Ｊｏｎｅｓポテンシャル（非特許文献１を参照）によってプラントのモデル化誤差が大きくなり、ロバスト安定性を大きく失ってしまうことになる。したがって、モデル化誤差の原因となる追従誤差ｅを零にすることでＳＴＯによるデメリットを克服することを考える。そこで、本実施形態では、ＰＴＣ法を適用することにより、学習した追従誤差ｅから生成した目標軌道（後述）に対して完全追従し、フィードフォワード的に追従誤差ｅを抑圧することで制御性能の向上を達成する。

ＰＴＣ法は、図４に示されているような、目標軌道のサンプリング周期Ｔ_ｒと制御周期Ｔ_ｕが異なる２自由度制御系である。指令値の１サンプル周期Ｔ_ｒの間に制御入力をＴ_ｕごとにｎ回切り替える制御法である。ただしｎはプラントの次数である。通常、シングルレートでプラントの逆システムを構成しようとすると、線形連続時間系のプラントを短いサンプリング周期で離散化をしたときに生じる不安定零点の影響により、フィードフォワード制御器が不安定となる。したがって、マルチレート制御にすることによりフィードフォワード制御器はプラントの安定な逆システムを作ることができる（非特許文献５を参照）。

（４−３−１：制御対象の離散化）
図２でモデル化した２次の制御対象を離散化することを考える。状態変数をｘとすると連続時間系の状態法定式は次式となる。

短い方のサンプリング周期Ｔ_ｕで離散化した状態方程式は

と表せる。ただし、ｘ［ｋ］＝ｘ（ｋＴ_ｕ）であり

である。

（４−３−２：表面形状学習型ＰＴＣ）
以下において、試料上でカンチレバーを往復走査させて試料の表面形状を計測するＡＦＭにおいて、行きの走査の間に追従誤差を計測および記憶し、帰りの走査において記憶された追従誤差を用いて追従精度を上げる表面形状学習型ＰＴＣについて説明する。

まず、ＡＦＭの制御に、通常のＰＴＣ法を用いると、目標値はカンチレバーの平衡位置であるため零となる。したがって、このまま走査を行えばフィードバック制御のみとなり、従来の制御法にしかならない。非特許文献６によると、周期的な外乱をサンプル点ごとに抑圧する繰り返しＰＴＣ法を適用することができるが、ＡＦＭの測定に関して試料の表面形状が周期的なもののみを選ぶことはできない。

そこで、ＡＦＭのスキャン方法に注目し、行きと帰りの走査において試料の表面形状を学習・制御するのが、表面形状学習型ＰＴＣ（Ｓｕｒｆａｃｅ Ｔｏｐｏｇｒａｐｈｙ Ｌｅａｒｎｉｎｇ ｗｉｔｈ ＰＴＣ（ＳＴＬ−ＰＴＣ））である。なお、今回は試料の観察にグレーティング素子を用いたが、制御は特にグレーティングでなくても適用可であることに注意されたい。

図１２は、ＳＴＬ−ＰＴＣのブロック図を示している。図１２に示されているＳＴＬ−ＰＴＣの推定ブロックにおいて、表面形状１２０１が入力され、データ記憶手段１２０２に、推定された表面形状が記憶される。また、符号１２０３は、シグナルジェネレータを指し、符号１２０４は、スイッチを指している。操作量ｕは表面形状データを表し、目標値を零とするので出力（電圧）ｙがエラー信号ｅとなる。エラー信号ｅがより小さくなれば、その時のｕを画像化したときに、より正確な画像がとれることを意味する。すなわち、このエラー信号ｅが、表面形状学習型ＰＴＣで用いられる追従誤差となる。

図６は、本発明に係るＡＦＭのプローブの面走査経路を示している。図６に示されているように、試料の画像測定では、本発明に係るＡＦＭに搭載されたＣＰＵにより記憶装置に格納されたＳＴＬ−ＰＴＣを実行するプログラムが読み出されて実行されることにより、Ｘ方向走査において開始位置から走査幅だけ右方向へスキャンが行われ、同じ経路を左方向へスキャンすることで走査開始位置へプローブが戻される。そして、同様にして、Ｙ方向に繰り返し走査が行われることで、面走査が行われる。

このＸ方向における右方向への走査（行きの走査）をフォワードスキャン（ＦＷＳ）、左方向への走査（帰りの走査）をバックワードスキャン（ＢＷＳ）と呼び、双方のスキャンで画像を測定することができる。探針がＦＷＳとＢＷＳで全く同じ経路を走査しているとするならば、スキャン時に現れるエラー信号も理想的には全く同じになるはずである。

そこで、表面形状学習型ＰＴＣでは、ＦＷＳ時に計測および記憶することにより学習したエラー信号から、ＢＷＳ時に現れるエラー信号を打ち消すように制御した学習制御を行う。これにより、フィードバック制御のエラー信号ｅ（追従誤差）を減少させて、追従性を向上させることができる。

図５は、本発明に係るＡＦＭにおける制御の手順を示している。図５に示されているように、Ｘのスキャン波形は三角波形をしており、ＦＷＳ５０１とＢＷＳ５０２で画像の測定を行っている。このＦＷＳ時に図１３のスイッチ１（ＳＷ１）をＴ（＝メモリの段数Ｎ_ｍ×出力信号のサンプリング周期Ｔ_ｙ）秒間オンとし、（スイッチのオンとオフは、符号５０３が指すグラフの高低で示されている。）図１３に示されているスタックメモリ１３０１からなるシグナルジェネレータによりエラー信号を記憶する。ＢＷＳ時にはスイッチ２（ＳＷ２）をオンにすることで、シグナルジェネレータが誤差を零にするための目標軌道を生成し、ＰＴＣにより誤差を零にする。したがって、Ｎ_ｍ段のメモリ列はフィードフォワード補償器として働くことができ、エラー信号をサンプル点ごとに抑圧することが可能となる。ただし、ＦＷＳ時はシグナルジェネレータによる出力はないものとする。

図５において、符号５０４、５０６、５０８は、学習過程を指し、符号５０５、５０７、５０９は、制御過程を指している。

ここで、制御対象は２次であるので状態変数ｘが

のとき、エラー信号に対するシグナルジェネレータを、図１３に示されているように設計できる（非特許文献６を参照）。ただし、ｒ［ｉ］と

は次式となる。

また、ＳＴＯはオープンループであるのでモデル化誤差によりロバスト性が失われるが、提案法はフィードバック制御で補償される。

（４−３−３：ＰＴＣ（完全追従制御）法）
ＰＴＣ法はフィードフォワード制御器とフィードバック制御器からなるマルチレート制御にすることにより、シングルレートでは達成できない完全追従を達成する（非特許文献５を参照）。

ここでフィードフォワード制御器の設計について述べる。プラントの次数ｎ＝２であることから２サンプル目について式（８）、（９）を考え、時刻ｔ＝ｉＴ_ｒ＝ｋＴ_ｕとすると次式が得られる。

式（１３)で表される制御対象の離散時間状態方程式から次式の安定な逆システムが得られる。

(８)式の制御対象が可制御であれば、行列Ｂの正則性は保証され、(１４)式は極がｚ平面の原点にあることから、安定な逆形であることがわかる。したがって参照値ｒ［ｉ］として制御対象に対する目標軌道の予見値ｒ［ｉ］＝ｘ_ｄ［ｉ＋１］を与えれば、フィードフォワード制御出力が(１５)式が与えられ、ノミナルプラントに対してサンプル点上での完全追従が達成される。外乱やプラントに変動があるときはフィードバック制御器Ｃ［ｚ］により補償される。また、ＰＴＣが成立するときのノミナル出力は式(１６)で表される。

（５：シミュレーションおよび実験）
（５−１：ＳＴＯのシミュレーション）
矩形波状の試料に対するシミュレーションとして、従来法とオブザーバによる推定外乱を図１４〜１７に示した。

図１４は、従来法により得られる補感度関数を示す。

図１５は、本発明に係るＡＦＭにおいて、従来法を採用して、矩形波状の試料表面を走査したときの出力電圧をシミュレーションした結果を示す図である。

図１６は、ＳＴＯにおけるＱ（ｓ）の周波数応答を示す図である。

図１７は、本発明に係るＡＦＭにおいて、ＳＴＯを採用して、矩形波状の試料表面を走査したときの出力電圧をシミュレーションした結果を示す図である。

図１４から、従来法では、閉ループの極はプラントの共振周波数に制限されてしまうが、図１６から、ＳＴＯのオブザーバはプラントの共振周波数に依存せず、ナイキスト周波数に制限されなければローパスフィルタの極に依存していることを確認できる。これにより、図１５の操作量（ｕ）と比較して図１７の推定値（

）は、より正確に試料の表面形状（ｄ）を再現することができる。

以下では、実際に、本発明に係るＡＦＭを用いた実験による検証を行い、その挙動を確認する。

（５−２：グレーティング素子の観察）
図１８Ａ、Ｂは、本発明に係るＡＦＭが観察するグレーティング素子１８０１の形状と寸法を示している。このようなグレーティング素子として、例えば、株式会社島津製作所製の平面ブレーズドホログラフィックグレーティング標準品を使用しても良い。図１８Ａ、Ｂに示されているグレーティング素子の形状は鋸波状溝になっているのが特徴であり、ガラス基板上に樹脂にて回折格子溝が形成され、この溝にＡｌ等の反射膜がコーティングされている。

（５−３：実験）
本発明に係るＡＦＭのＤＳＰのサンプリング周波数を、一例として、１０［ｋＨｚ］とし、以下に示すような結果が得られた。

図２５は、本発明に係るＡＦＭにより、上述したグレーティング素子の表面を従来法により走査して得られた、グレーティング素子の表面の画像を示している。

図２６は、本発明に係るＡＦＭにより、上述したグレーティング素子の表面をＳＴＯにより走査して得られた、グレーティング素子の表面の画像を示している。

図２７は、本発明に係るＡＦＭにより、上述したグレーティング素子の表面をＳＴＬ−ＰＴＣにより走査して、得られたグレーティング素子の表面の画像を示している。

ここで、図２５〜２７において、走査スピードは、３２．２μｍ/ｓである。

図２８は、図２５の場合と同一の条件で、本発明に係るＡＦＭにより、上述したグレーティング素子の表面を従来法により走査して得られた、グレーティング素子の表面凹凸の高さの頻度のヒストグラムを示している。

図２９は、図２６の場合と同一の条件で、本発明に係るＡＦＭにより、上述したグレーティング素子の表面をＳＴＯにより走査して得られた、グレーティング素子の表面凹凸の高さの頻度のヒストグラムを示している。

図３０は、図２７の場合と同一の条件で、本発明に係るＡＦＭにより、上述したグレーティング素子の表面をＳＴＬ−ＰＴＣにより走査して得られた、グレーティング素子の表面凹凸の高さの頻度のヒストグラムを示している。

図３１は、図２５の場合と同一の条件で、本発明に係るＡＦＭにより、上述したグレーティング素子の表面を従来法により走査して得られた、グレーティング素子の断面波形を示している。

図３２は、図２６の場合と同一の条件で、本発明に係るＡＦＭにより、上述したグレーティング素子の表面をＳＴＯにより走査して得られた、グレーティング素子の断面波形を示している。

図３３は、図２７の場合と同一の条件で、本発明に係るＡＦＭにより、上述したグレーティング素子の表面をＳＴＬ−ＰＴＣにより走査して得られた、グレーティング素子の断面波形を示している。

図３４は、本発明に係るＡＦＭにより、上述したグレーティング素子の表面を従来法により走査して得られた、グレーティング素子の表面の画像を示している。

図３５は、本発明に係るＡＦＭにより、上述したグレーティング素子の表面をＳＴＯにより走査して得られた、グレーティング素子の表面の画像を示している。

図３６は、本発明に係るＡＦＭにより、上述したグレーティング素子の表面をＳＴＬ−ＰＴＣにより走査して得られた、グレーティング素子の表面の画像を示している。

ここで、図３４〜３６において、走査スピードは、１６１μｍ/ｓである。

図３７は、図３４の場合と同一の条件で、本発明に係るＡＦＭにより、上述したグレーティング素子の表面を従来法により走査して得られた、グレーティング素子の表面凹凸の高さの頻度のヒストグラムを示している。

図３８は、図３５の場合と同一の条件で、本発明に係るＡＦＭにより、上述したグレーティング素子の表面をＳＴＯにより走査して得られた、グレーティング素子の表面凹凸の高さの頻度のヒストグラムを示している。

図３９は、図３６の場合と同一の条件で、本発明に係るＡＦＭにより、上述したグレーティング素子の表面をＳＴＬ−ＰＴＣにより走査して得られた、グレーティング素子の表面凹凸の高さの頻度のヒストグラムを示している。

図４０は、図３４の場合と同一の条件で、本発明に係るＡＦＭにより、上述したグレーティング素子の表面を従来法により走査して得られた、グレーティング素子の断面波形を示している。

図４１は、図３５の場合と同一の条件で、本発明に係るＡＦＭにより、上述したグレーティング素子の表面をＳＴＯにより走査して得られた、グレーティング素子の断面波形を示している。

図４２は、図３６の場合と同一の条件で、本発明に係るＡＦＭにより、上述したグレーティング素子の表面をＳＴＬ−ＰＴＣにより走査して得られた、グレーティング素子の断面波形を示している。

ここで、図２８、３０、３７、３９に示されているヒストグラムは、操作量ｕ（ｔ）から求められる試料の高さに関するヒストグラムであり、図２９、３８に示されているヒストグラムは、推定値

から求められる試料の高さに関するヒストグラムである。さらに図３１〜図３３、図４０〜図４２は、図２５〜図２７、図３４〜図３６における画像の断面を０．１２５μｍおきに１０列重ねた波形である。

また、図２５〜４２において、走査スピードは、図６に示されているｘ方向にスキャンする速度を表している。走査レンジは、走査スピードが、３２．２μｍ/ｓと１６１μｍ/ｓの両方の場合に、５．５μｍ×５．５μｍあり、スキャン全体にかかる時間はそれぞれ約３分、約４０秒である。図２５〜図２７の各図に示されている画像は走査スピード３２．２μｍ/ｓの時の拡大図、図３４〜図３６の各図に示されている画像は走査スピード１６１μｍ/ｓの時の拡大図である。なお、拡大後の画像のレンジは１．６μｍ×１．６μｍである。

図３４に示されているように、走査スピードを大きくすると従来法では、図２５に示されている走査スピードが小さい場合と比較して、画像が大きく劣化する。一方、図３５に示されているように、ＳＴＯでは、図２６示されている走査スピードが小さい場合と比較して、画像の劣化が減少しており、ＳＴＯは、従来法より優れていることがわかる。

また、走査スピードを大きくした場合、図３７に示されている従来法のヒストグラムでは、高さの示す割合が極端に少ないのに対し、ＳＴＯは高さの示す割合は比較的大きいことがわかる。また、断面波形においても図３２に示す従来法よりも、図４１に示すＳＴＯの方が凹凸の起伏が大きいことも確認できる。しかし、従来法において、ｕ（ｔ）が、試料の表面に対する追従性を大きく失うということは、ＳＴＯによるモデル化誤差が大きくなり画像が劣化しやすいとも言える。このことは、図３５に示されているＳＴＯの画像が、図３６に示されているＳＴＬ−ＰＴＣの画像よりも劣化の度合いが大きく、ＳＴＬ−ＰＴＣの方が、ＳＴＯよりも優れていることからもわかる。

なお、図２８〜３０に示されているヒストグラムにおいて、凸領域の頻度が増加しているのは、凸部分が丸くなっており、この領域の走査量が増加していること意味する。また、従来法とＳＴＬ−ＰＴＣの比較として、エラー信号を±３σで評価したものが、図２１、２４に示されている。図２１と図２４において、学習制御なしは、従来法の結果を示しており、学習制御ありは、ＳＴＬ−ＰＴＣの結果を示している。図２１は、走査スピードが３２．２μｍ/ｓの場合を示しており、凹凸の高さ（６０ｎｍ）に対して４．５３％改善している。一方、図２４は、走査スピードが１６１μｍ/ｓの場合を示しており、凹凸の高さ（６０ｎｍ）に対して５２．５％改善されていることがわかる。

また、図１９、２０、図２２、２３は、１画像中のエラー信号とデータ点（データ取得点）との関係を重ね合わせたものである。

（６：まとめ）
以上説明した本発明に係る実施形態により、従来法とＳＴＯの違いが示され、従来法に対するＳＴＯの優位性を確認することができた。しかし、ＳＴＯはプラントのモデル化誤差に対してロバストでない問題があるため、試料の凹凸の急激な変化のある地点を観測するときに、モデル化誤差が大きくなり、走査スピードが大きくなると、ＳＴＬ−ＰＴＣから得られる画像の方が、ＳＴＯから得られる画像よりも劣化の度合いが少なくなる。これは、ＳＴＬ−ＰＴＣは、追従誤差をＰＴＣにより抑圧でき、モデル化誤差に対してはフィードバックで補償されるため、急激な凹凸の変化に対するＳＴＯの欠点を克服することができるからである。

＜第２の実施形態＞
第２の実施形態においても、図２に示されているような試料表面１０３とカンチレバーの先端１０２との相互作用に関するコンタクトモードに基づくモデルを用いて、質量ｍをもつカンチレバーの先端についての運動方程式をたてると、式（１）のようになる。

このモデルから、非特許文献２に示されている方法により、試料表面１０３の凹凸を入力外乱とするモデル化できる。本実施形態におけるプラントの伝達関数は、非特許文献９に示されているシステム同定の方法により、以下のように同定される。

図４３、４４には、式（１７）によるプラントの周波数特性とサーボアナライザ(株式会社小野測器製)により同定した周波数特性とが比較して示されている。式（１７）のように同定されたプラントは、５５９０［Ｈｚ］に大きな共振を持ち、低域においてもゲインが高いことがわかる。

（実験装置の内部構成）
本実施形態で用いるＡＦＭは、日本電子株式会社製のＪＳＰＭ−５２００の特別仕様であるが、これは一例であり、本実施形態を組み込むことが可能なＡＦＭであればどのようなものでも良い。また、ｄＳＰＡＣＥ１１０４を用いて、ＡＦＭの制御機構を、本実施形態を実施できるように改造しても良い。

図３は、本実施形態に係るＡＦＭの内部における信号の流れをブロック図で示している。

図３の符号３１０で指し示されているように、試料表面１０３を走査するとカンチレバーの先端１０２の変位がＰＤ(四分割フォトダイオード)１０５によって検出され信号として出力される。そして、この信号がＡＤ（ＡＤコンバータ）３０５によりＡＤ変換されＤＳＰ（デジタルシグナルプロセッサ）内でｙ［ｉ］として入力される。

まず、ＰＤ（四分割フォトダイオード）１０５の出力ｘ［Ｖ］は、フォースカーブ（カンチレバー先端に働く力とカンチレバー先端と試料間の距離との関係式）にしたがって出力される。そして、本実施形態では、ＰＤの出力ｘ［Ｖ］を、ｙ［ｎｍ］×Ｋ_PD［Ｖ／ｎｍ］＝ｘ［Ｖ］という変換式を用いてカンチレバーの変位ｙ［ｎｍ］に換算することができる。なお、本実施形態では、フォースカーブから、Ｋ_PD＝２．２４×１０^-2［Ｖ／ｎｍ］としている。

なお、Ｋ_PDは、本実施形態では、一例として、ＪＳＰＭ−５２００によるフォースカーブ（非特許文献２）の測定データを１次近似したものから求めている。

また、図３の符号３２０で指し示されているように、ＤＳＰ内でＤＡ（ＤＡコンバータ）３０１によりＤＡ変換された操作量ｕ［ｉ］は、アンプ３０２により増幅され駆動電圧としてＰＺＴ(ピエゾ)１０７に印加される。アンプ３０２によるゲインは、Ｋ_g＝２０、ＰＺＴの駆動電圧に対するＰＺＴの伸びの比率は、Ｋ_PZT＝１５．５９［ｎｍ／Ｖ］である。すなわち、ｕ［Ｖ］×Ｋ_PZT［ｎｍ／Ｖ］という演算によりｕ［Ｖ］がピエゾの変位に変換される。

また、ＤＳＰ内でのＡＤ／ＤＡのゲインは、１になるよう調整されている。

（従来法によるコントローラの設計）
本発明に係る実施形態との比較に用いる従来法によるコントローラは、製品に用いられている位相遅れ補償器である。従来法によるコントローラの伝達関数は、式（３）のようなものである。

ここで、従来法によるコントローラでは、ゲイン余裕１８．８［ｄＢ］、位相余裕８１［ｄｅｇ］、比例ゲインｋ_p＝６４、ω_c＝２πｆ_c（ｆ_c＝０．５［Ｈｚ］）にチューニングされている。

図４５、４６は、プラントとコントローラに対する一巡伝達関数を示している。図４６から従来法によるコントローラのカットオフ周波数は、１７７［Ｈｚ］であることがわかる

（改良型表面形状学習型ＰＴＣによる改良）
従来法や非特許文献１２のＳＴＯによる欠点を克服するために、非特許文献１１では表面形状学習型ＰＴＣ（ＳＴＬ−ＰＴＣ）が提案されている。本実施形態では、非特許文献１１で提案されている表面形状学習型ＰＴＣをさらに改良した改良型ＳＴＬ−ＰＴＣを用いる。この改良型ＳＴＬ−ＰＴＣの学習アルゴリズムにより、学習した追従誤差ｅに対して完全追従することにより、高精度でＡＦＭにより観測する表面画像を推定することができる。

改良型ＳＴＬ−ＰＴＣにおいても、ここでは、図２に示されているようにモデル化した２次の制御対象を、式（６）〜（１６）を用いて離散化する。

図４７は、改良型ＳＴＬ−ＰＴＣのブロック図を示している。

図４７に示されている改良型ＳＴＬ−ＰＴＣの推定ブロックにおいて、表面形状４７０１が入力され、データ記憶手段４７０２に推定された表面形状が記憶される。

改良型ＳＴＬ−ＰＴＣは、ＦＷＳ時の出力信号(誤差)をＢＷＳ時の指令値として使用して、走査するため、ＦＷＳ時の最後に得られるデータをＢＷＳ時に用いる最初のデータとして保存するスタックメモリを含むシグナルジェネレータ４７０３を必要とする。図４７に示されているブロック図の特徴は、演算４７０４に、離散化されたノミナルプラントＰ_n［ｚ］を含んでいる点にある。このような外乱推定機構を設置することにより、ＦＷＳ時とＢＷＳ時の出力信号のダイナミクスを一致させることができる。

図４８は、シグナルジェネレータ４７０３の詳細を示している図である。

図４８に示されているように、ＦＷＳ時のスイッチ１（ＳＷ１）をＴ（＝メモリの段数Ｎ_d×サンプリング周期Ｔ_y秒間オンとし、図４７に示されている外乱推定機構による外乱推定値の出力端換算値

は、スタックメモリ４８０１を通過し、スタックメモリ１３０１に記憶される。スタックメモリに記憶された

は、感度関数４８０２

を通過することにより、ＢＷＳの出力信号に変換される。ＢＷＳ時にはスイッチ２（ＳＷ２）をオンにすることで、シグナルジェネレータが誤差を零にするための目標軌道を生成し、ＰＴＣによりフィードフォワード的に誤差を抑圧する。

図５は、本発明に係るＡＦＭにおける制御の工程を示している。スイッチの切り替えは、図５に示されているように、Ｘのスキャン波形を観測することにより制御される。図５に示されているように、Ｘのスキャン波形は三角波形をしており、ＦＷＳ１１０１とＢＷＳ１１０２で画像の測定を行っている。このＦＷＳ時に図４８のスイッチ１（ＳＷ１）をＴ（＝メモリの段数Ｎ_d×出力信号のサンプリング周期Ｔ_y）秒間オンとし、（スイッチのオンとオフは、符号１１０３が指すグラフの高低で示されている。）図４８に示されているスタックメモリ４８０１を含むシグナルジェネレータ４７０３によりエラー信号を記憶する。ＢＷＳ時にはスイッチ２（ＳＷ２）をオンにすることで、シグナルジェネレータが誤差を零にするための目標軌道を生成し、ＰＴＣにより誤差を零にする。したがって、Ｎ_d段のメモリ列はフィードフォワード補償器として働くことができ、エラー信号をサンプル点ごとに抑圧することが可能となる。ただし、ＦＷＳ時はシグナルジェネレータによる出力はないものとする。

図５において、符号１１０４、１１０６、１１０８は、学習過程を指し、符号１１０５、１１０７、１１０９は、制御過程を指し示している。

ここで、制御対象は、２次であるので状態変数ｘが

のとき、エラー信号に対するシグナルジェネレータ４７０３は、図４８に示されているように設計できる。ここで、速度指令値

は、式（１２）のようになる。

（表面形状学習型オブザーバ（ＳＴＬＯ））
本実施形態におけるＳＴＬ−ＰＴＣは、指令値のサンプル周期Ｔ_r（＝ｎＴ_u）ごとに追従誤差を零にすることで等価的に操作量ｕ（ｔ）の追従性能を向上させることができる。しかしながら、制御機構が複雑であるということと、プラントＰ_n［ｚ］のダイナミクスを含むため、学習信号とＢＷＳ時のエラー信号が完全一致しないという問題がある。

そこで、本実施形態では、表面形状学習型オブザーバ（Ｓｕｒｆａｃｅ Ｔｏｐｏｇｒａｐｈｙ Ｌｅａｒｎｉｎｇ Ｏｂｓｅｒｖｅｒ（ＳＴＬＯ）も用いる。ＳＴＬＯは、離散化プラントの逆システムを適用することにより推定された外乱を、系の安定性に影響することなくフィードフォワード的に外乱を抑圧して、高精度でＡＦＭにより観測する表面画像を推定することができる。

また、ＳＴＬＯは、ＳＴＬ−ＰＴＣと同様に、ＦＷＳ時においてはリアルタイムで外乱を推定する必要はない。したがって、１サンプル遅れたプラントの逆システムを作ることにより、制御周期Ｔ_u（０．１ｍｓｅｃ（ミリ秒））ごとに外乱ｄを抑圧することができる。ただし、外乱は、０次外乱オブザーバで推定されるので、任意波形に関しては理論的に１サンプル遅れた外乱を推定できるとは限らないということに注意する必要がある。

図４９は、ＳＴＬＯの制御ブロック図を示している。

図４９に示されているＳＴＬＯの推定ブロックにおいて、表面形状４９０１が入力され、データ記憶手段４９０２に推定された表面形状が記憶される。図４９に示されているブロック図の特徴の１つは、演算４９０４に、離散化されたノミナルプラントＰ_n［ｚ］の逆数Ｐ^-1 _n［ｚ］を含んでいる点にある。

ＳＴＬＯでは、離散化プラントの逆システムにより１サンプル遅れて推定された

は、ＦＷＳ時でＳＷ１をＴ秒間オンとし、スタックメモリ４９０３がこれを保存する。ＢＷＳ時においてはスタックメモリが推定外乱を１サンプル遅く出力させることで、ＢＷＳ時における外乱

をサンプル点ごとに抑圧することができる。ＳＴＬＯでは、補償後における誤差やモデル化誤差、ＦＷＳ時には存在しなかった外乱がＢＷＳ時に入ってきた場合には、フィードバックコントローラＣ［ｚ］で補償される。
ここで、１サンプル遅れて推定された外乱

は、モデル化誤差が小さければ、

となる。ここで、Δは、モデル化誤差である。

０次ホールドで１サンプル遅れて離散化されたノミナルプラントの逆システムは離散時間モデルから導出する。式（８）、（９）、（１０）からｚ変換を用いるとパルス伝達関数は

となる。式（１９）から式（１７）を離散化し、１/ｚを掛ければ

と計算される。ただし、サンプリング時間は、０．１ｍｓｅｃ（ミリ秒）である。

本実施形態では、ノイズカットのために、位相遅れのないローパスフィルタＱ［ｚ］を導入している。これはＱフィルタ（非特許文献１６）と呼ばれ、

の入力をｒ［ｋ］、Ｑフィルタの出力ｒ_f［ｋ］とすると、以下の式（２１）で表される関係式が成り立つ。

また、Ｑフィルタの周波数応答は、図５０、５１に示されている。

（シミュレーション）
図５２、５３に矩形波状の試料表面を走査したときのシミュレーションの結果が示されている。図５２、５３において、０．０２ｓｅｃ（秒）より以前が従来法のシミュレーションの結果を示し、０．０２ｓｅｃより以降が改良型ＳＴＬ−ＰＴＣのシミュレーションの結果を示している。

ここで、図５２は、ピエゾの操作量ｕ（ｔ）の時間変化を示しており、図５３は、出力信号ｙ（ｔ）の時間変化を示している。

また、図５４、５５に矩形波状の試料表面を走査したときのシミュレーションの結果が示されている。図５４、５５において、０．０２ｓｅｃより以前が従来法のシミュレーションの結果を示し、０．０２ｓｅｃより以降がＳＴＬＯのシミュレーションの結果を示している。

ここで、図５４は、ピエゾの操作量ｕ（ｔ）の時間変化を示しており、図５５は、出力信号ｙ（ｔ）の時間変化を示している。

改良型ＳＴＬ−ＰＴＣにおいて、指令値(スタックメモリにより学習した信号)のサンプリング時間Ｔ_rが０．２ｍｓｅｃ（ミリ秒（１０^-3秒））であることから、出力信号のサンプリング時間Ｔ_y（０．１ｍｓｅｃ）に対してサンプル点間で補償されない。このため、図５３において、０．０２ｓｅｃより以降に、誤差が生まれる。さらに外乱がステップとなるので、プラントの影響により、ＦＷＳ時で学習した信号

がＢＷＳ時の信号を不必要に改悪させてしまうことになる。ただし、目標軌道には６段のＱフィルタを設置することにより、この影響を低減させている。

これに対して、ＳＴＬＯでは、出力信号と同じＴ_y時間で外乱

を打ち消すように制御するので、サンプル点間で誤差が生まれない。したがって、図５５のような結果が得られる。

（グレーティング素子の観察）
本実施形態に係るＡＦＭによる試料観察では、試料として、一例として、株式会社島津製作所製の平面ブレーズドホログラフィックグレーティング標準品を使用する。このグレーティング素子の形状は矩形波状になっており、ガラス基板上に樹脂にて回折格子溝が形成され、この溝にＡｌ等の反射膜がコーティングされている。図５６は、本実施形態に係るＡＦＭで観察するグレーティング素子５６０１の形状および寸法を示している。

図６４は、ＡＦＭにおいて従来法を用いて、グレーティング素子５６０１の表面を走査して得られた画像を示している。

図６５は、ＡＦＭにおいてＳＴＯを用いて、グレーティング素子５６０１の表面を走査して得られた画像を示している。

図６６は、ＡＦＭにおいて改良型ＳＴＬ−ＰＴＣを用いて、グレーティング素子５６０１の表面を走査して得られた画像を示している。

図６７は、ＡＦＭにおいてＳＴＬＯを用いて、グレーティング素子５６０１の表面を走査して得られた画像を示している。

図６８は、ＡＦＭにおいて従来法を用いて、グレーティング素子５６０１の表面を走査して得られた断面波形を示している。

図６９は、ＡＦＭにおいてＳＴＯを用いて、グレーティング素子５６０１の表面を走査して得られた断面波形を示している。

図７０は、ＡＦＭにおいて改良型ＳＴＬ−ＰＴＣを用いて、グレーティング素子５６０１の表面を走査して得られた断面波形を示している。

図７１は、ＡＦＭにおいてＳＴＬＯを用いて、グレーティング素子５６０１の表面を走査して得られた断面波形を示している。

図６５、６９において、ＳＴＯのローパスフィルタの極は、２０００Ｈｚである。また、図６４〜６７において、ＡＦＭの走査レンジは、５．５μｍ×５．５μｍ（図６４〜６７では、３μｍ×３μｍの走査領域を拡大して示している。）である。そして、図６４〜７１において、ＡＦＭの走査スピードは、３２．２μｍ／秒である。

図７２は、ＡＦＭにおいて従来法を用いて、グレーティング素子５６０１の表面を走査して得られた画像を示している。

図７３は、ＡＦＭにおいてＳＴＯを用いて、グレーティング素子５６０１の表面を走査して得られた画像を示している。

図７４は、ＡＦＭにおいて改良型ＳＴＬ−ＰＴＣを用いて、グレーティング素子５６０１の表面を走査して得られた画像を示している。

図７５は、ＡＦＭにおいてＳＴＬＯを用いて、グレーティング素子５６０１の表面を走査して得られた画像を示している。

図７６は、ＡＦＭにおいて従来法を用いて、グレーティング素子５６０１の表面を走査して得られた断面波形を示している。

図７７は、ＡＦＭにおいてＳＴＯを用いて、グレーティング素子５６０１の表面を走査して得られた断面波形を示している。

図７８は、ＡＦＭにおいて改良型ＳＴＬ−ＰＴＣを用いて、グレーティング素子５６０１の表面を走査して得られた断面波形を示している。

図７９は、ＡＦＭにおいてＳＴＬＯを用いて、グレーティング素子５６０１の表面を走査して得られた断面波形を示している。

図７３、７７において、ＳＴＯのローパスフィルタの極は、２０００Ｈｚである。また、図７２〜７５において、ＡＦＭの走査レンジは、５．５μｍ×５．５μｍ（図７２〜７５では、３μｍ×３μｍの走査領域を拡大して示している。）である。そして、図７２〜７９において、ＡＦＭの走査スピードは、３２２μｍ／秒である。

図６４（図６８）と図７２（図７６）とを比較することにより、ＡＦＭの走査スピードを上げると従来法では画像が大きく劣化することがわかる。また、図７２（図７６）と図７３（図７７）とを比較することにより、従来法と比較して、ＡＦＭの走査スピードを上げても、ＳＴＯでは画像の劣化が減少していることがわかる。しかしながら、ＡＦＭの走査スピードを上げて、高速走査をすると、ＳＴＯでも、高速走査によるｕ（ｔ）の追従性が大きく失われ、モデル化誤差が大きくなり、矩形波の形状を正確に画像化することができなくなることが図７３からわかる。

これに対し、改良型ＳＴＬ−ＰＴＣにより画像化された表面形状は、ＳＴＯにより画像化されたものよりも矩形に近いことが図７４（図７８）からわかる。これは、フィードフォワード補償が誤差信号を抑圧することにより、ｕ（ｔ）の追従性能を向上したからだと考えられる。しかしながら、モデル化誤差とサンプル点間応答の影響により、改良型ＳＴＬ−ＰＴＣでも、所望のピッチを持つ形状よりも大きく画像化されてしまっている。

一方、ＳＴＬＯは、推定された外乱からフィードフォワード的に外乱を打ち消すため、モデル化誤差に対してはフィードバックで補償され、改良型ＳＴＬ−ＰＴＣよりもｕ（ｔ）の追従性能が向上している。このため、ＳＴＬＯは、矩形波の形状を正確に画像化していることが図７５（図７９）からわかる。

この誤差信号の抑圧を定量的に評価するため、図５７には、従来法、改良型ＳＴＬ−ＰＴＣ、ＳＴＬＯの±３σが示されている。標準偏差は、約１００走査分の誤差信号における評価を示している。

上記の誤差信号を重ね合わせた波形が、図５８〜６３に示されている。

図５８〜６０は、ＡＦＭの走査スピードが３２．２μｍ／秒の場合の誤差信号である。図５８は、ＡＦＭにおいて従来法を用いたときの誤差信号である。図５９は、ＡＦＭにおいて改良型ＳＴＬ−ＰＴＣを用いたときの誤差信号である。図６０は、ＡＦＭにおいて、ＳＴＬＯを用いたときの誤差信号である。

図６１〜６３は、ＡＦＭの走査スピードが３２２μｍ／秒の場合の誤差信号である。図６１は、ＡＦＭにおいて従来法を用いたときの誤差信号である。図６２は、ＡＦＭにおいて改良型ＳＴＬ−ＰＴＣを用いたときの誤差信号である。図６３は、ＡＦＭにおいて、ＳＴＬＯを用いたときの誤差信号である。

図５７に示されているように、ＡＦＭの走査スピードが３２．２μｍ／秒の場合において、改良型ＳＴＬ−ＰＴＣでは、従来法に対して５４．６％、±３σが改善され、ＳＴＬＯでは、従来法に対して６８．１％、±３σが改善されている。また、ＡＦＭの走査スピードが３２２μｍ／秒の場合において、改良型ＳＴＬ−ＰＴＣでは、従来法に対して６９．８％、±３σが改善され、ＳＴＬＯでは、８１．０％、±３σが改善されている。

＜第３の実施形態＞
本実施形態は、以下で説明するように、ＳＴＬＯにおいて、低次モデルを用いて容易にプラントの周波数特性を同定できる簡易同定法、および零位相差逆モデル（ＺＰＥＩ）を用いて改良したＳＴＬＯを含む。

（ＡＦＭの内部構成）
本実施形態で用いるＡＦＭは、日本電子株式会社製のＪＳＰＭ−５２００の特別仕様であるが、これは一例であり、本実施形態を組み込むことが可能なＡＦＭであればどのようなものでも良い。また、ｄＳＰＡＣＥ１１０４を用いて、ＡＦＭの制御機構を、本実施形態を実施できるように改造しても良い。

図３は、本実施形態に係るＡＦＭの内部における信号の流れをブロック図で示している。

図３の符号３１０で指し示されているように、試料表面１０３を走査するとカンチレバーの先端１０２の変位がＰＤ(四分割フォトダイオード)１０５によって検出され信号として出力される。そして、この信号がＡＤ（ＡＤコンバータ）３０５によりＡＤ変換されＤＳＰ（デジタルシグナルプロセッサ）内でｙ［ｉ］として入力される。

まず、ＰＤ（四分割フォトダイオード）１０５の出力ｘ［Ｖ］は、フォースカーブ（カンチレバー先端に働く力とカンチレバー先端と試料間の距離との関係式）にしたがって出力される。そして、本実施形態では、ＰＤの出力ｘ［Ｖ］を、ｙ［ｎｍ］×Ｋ_PD［Ｖ／ｎｍ］＝ｘ［Ｖ］という変換式を用いてカンチレバーの変位ｙ［ｎｍ］に換算することができる。なお、本実施形態では、フォースカーブから、Ｋ_PD＝４．２８０４×１０^-2［Ｖ／ｎｍ］としている。

なお、Ｋ_PDは、本実施形態では、一例として、ＪＳＰＭ−５２００によるフォースカーブ（非特許文献２）の測定データを１次近似したものから求めている。

また、図３の符号３２０で指し示されているように、ＤＳＰ内でＤＡ（ＤＡコンバータ）３０１によりＤＡ変換された操作量ｕ［ｉ］は、アンプ３０２により増幅され駆動電圧としてＰＺＴ(ピエゾ)１０７に印加される。アンプ３０２によるゲインは、Ｋ_g＝２０、ＰＺＴの駆動電圧に対するＰＺＴの伸びの比率は、Ｋ_PZT＝１５．５９［ｎｍ／Ｖ］である。すなわち、ｕ［Ｖ］×Ｋ_PZT［ｎｍ／Ｖ］という演算によりｕ［Ｖ］がピエゾの変位に変換される。

また、ＤＳＰ内でのＡＤ／ＤＡのゲインは、１になるよう調整されている。

本実施形態においても、図２に示されているような試料表面１０３とカンチレバーの先端１０２との相互作用に関するコンタクトモードに基づくモデルを用いて、質量ｍをもつカンチレバーの先端についての運動方程式をたてると、式（１）のようになる。

このモデルから、非特許文献２に示されている方法により、試料表面１０３の凹凸を入力外乱とするモデル化できる。本実施形態では、カンチレバーの変位ｙをフォトダイオードとレーザ光を用いて測定しているため、プラントの伝達関数にはある一定のゲインｇを掛けた値となる。式（１）は、本実施形態では、以下に示すようにして、同定される。

（簡易同定法）
本実施形態に係る簡易同定法は、同定入力をswept sineとしたときの周波数特性から、標準２次系の周波数応答に基づいてフィッティングを行う方法である。以下、簡易同定法の同定アルゴリズムについて述べる。

（同定アルゴリズム）
標準２次系の伝達関数は、

である。式（２２）の振幅値を取り、ゲインが最大値を取る時のピーク角周波数

にて、以下の式（２３）に示すゲインのピーク幅Ｍ_ｐを得ることができる。

またＭ_ｐは、Ｍ_ｐ＝ｇ_ｍ−ｇ_ｓ［ｄＢ］（式（２４））から測定される。ここで、ｇ_ｍはピークゲインであり、ｇ_ｓは、直流ゲインである。

式（２４）から得られたＭ_ｐを用いれば、式（２３）からダンピング係数は一意に決まる。

このように、直流ゲインとピークゲイン、ピーク周波数を実験により得られた周波数応答から自動的に取得するようにプログラムを組むことで、標準２次系の概形が得られる。

以上の手順で、以下の式（２５）のような２次モデルの伝達関数が得られる。

なお、サーボアナライザから取得した周波数特性から、Ｍａｔｌａｂ（登録商標）（Ｓｉｇｎａｌ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ Ｔｏｏｌｂｏｘ）に用意されたinvfreqsコマンドにより同定した以下の高次（４次）モデルを比較のために用いる。

ここで、ｂ_０＝９．４６×１０^８、ｂ_１＝１．１４９×１０^１２、ｂ_２＝２．８０９×１０^１８、ａ_０＝８４１４、ａ_１＝１．６４８×１０^９、ａ_２＝６．３７８×１０^１２、ａ_３＝４．３８７×１０^１７である。

図８０、８１は、簡易同定法により得られた低次（２次）モデルの周波数特性（点線）とサーボアナライザから得られた周波数特性（実線）を示している。また、図８２、８３は、invfreqsコマンドにより得られた高次（４次）モデルの周波数特性（点線）とサーボアナライザから得られた周波数特性（実線）を示している。図８０（８１）と図８２（８３）との比較より、簡易同定法により得られた低次モデルは、invfreqsコマンドにより得られた高次モデルを高精度で近似することができることがわかる。

（コントローラの設計）
本実施形態との比較に用いる従来法によるコントローラは、製品に用いられている位相遅れ補償器である。従来法によるコントローラの伝達関数は、式（３）のようなものである。

ここで、従来法によるコントローラでは、ゲイン余裕１２．２［ｄＢ］、位相余裕８３.７［ｄｅｇ］、比例ゲインｋ_p＝６４、ω_c＝２πｆ_c（ｆ_c＝０．５［Ｈｚ］）、開ループのカットオフ周波数＝２０６［Ｈｚ］にチューニングされている。
（零位相差逆モデル（ＺＰＥＩ）（非特許文献２３）を用いたＳＴＬＯ）
ＺＰＥＩを用いたＳＴＬＯとは、以下で説明する単方向型表面形状学習オブザーバ（Ｓｉｎｇｌｅ Ｄｉｒｅｃｔｉｏｎ−Ｓｕｒｆａｃｅ Ｔｏｐｏｇｒａｐｈｙ Ｌｅａｒｎｉｎｇ Ｏｂｓｅｒｖｅｒ：ＳＤ−ＳＴＬＯ）の欠点を補うものである。

単方向型表面形状学習オブザーバ（ＳＤ−ＳＴＬＯ）は、図７に示されている走査経路において、行きの走査（ＦＷＳ）において得られた表面形状データを、帰りの走査（ＢＷＳ）におけるフィードフォワード信号として与え、表面形状に対する追従精度を向上させるものである。ＳＤ−ＳＴＬＯの制御機構は、図８４に示されるＳＷをすべてＳＷ１にした構造となる。つまり、図４９と同じである。ただし、離散化プラントは最小位相であると仮定し、これの逆システムを作れば、ＦＷＳ時の推定外乱は

となるので、スタックメモリから出力された学習外乱ｄ_{ｓｔａｃｋ}［ｋ］は、

がＢＷＳ開始時に時間軸方向に反転されたデータ構造となり、ｄ_{ｓｔａｃｋ}［ｋ］＝ｚｄ［ｋ］となる。したがって、ＢＷＳ時には位相進み分を修正した学習外乱ｕ_ｆｆ［ｋ］＝ｚ^−１ｄ_{ｓｔａｃｋ}［ｋ］とすれば、実外乱と完全一致する。ただし、ｄ［ｋ］は、実外乱を０次ホールドしたものと近似している。

ＳＤ―ＳＴＬＯにより、非周期的な外乱に対しても適応可能である（非特許文献２２）が、離散時間における逆システムを用いているため、離散時間非最小位相プラントに対しては適用できない。相対次数が３次以上の連続時間モデルは、０次ホールドを用いて離散化すると必ず不安定零点が生じるため（非特許文献２４）、高次モデルに対してはＳＤ−ＳＴＬＯを設計できない。

例えば、invfreqsにより同定したものをＴ_ｓ＝０．０５［ｍｓ］で離散化すると、以下の式（２８）

となり、不安定零点ｚ_０＝−１．２３７５±０．１５６０ｉをもってしまう。

そこで、本実施形態では、高次モデルに対しても安定な逆モデルを設計できるようにするために、零位相差逆モデル（ＺＰＥＩ）を用いて、高次モデルにおいてもＳＴＬＯを適用できるようにする。

零位相差逆モデル（ＺＰＥＩ）は、以下のようにして導出される。

いま０次ホールドを用いて離散化した制御対象を次式とする。

ここで、ｚ^−１は、遅れ演算子である。式（２９）の分子および分母の多項式において、

、

、ｄ＝ｎ−ｍである。ここで、Ａ［ｚ^−１］は安定であると仮定している。不安定零点を扱うために、制御対象の分子を安定零点と不安定零点の２つの部分に分ける。

ここで、Ｂ⁻［ｚ^−１］は、不安定零点および安定限界零点を根とするｓ次モニック多項式であり、Ｂ^＋［ｚ^−１］は、安定零点を根とする（ｍ−ｓ）次多項式である。このときのプラントの零位相差逆モデル（ＺＰＥＩ）は次式で表される。

ただし、Ｂ⁻［ｚ］＝Ｂ⁻［ｚ^−１］ｚ^ｓである。

式（３１）を追従制御系に適用する場合、制御対象の前に置き、［ｓ＋ｄ］ステップ分だけ進めた目標値の未来値ｒ［ｋ＋ｓ＋ｄ］を与えれば、目標値ｒから出力ｙまでの伝達関数がすべての周波数において位相遅れが生じない零位相特性が達成される（非特許文献２３）。ＳＤ−ＳＴＬＯにＺＰＥＩを適用する場合、未来値を与える必要はない。なぜなら［ｓ＋ｄ］ステップ分だけ遅れたＦＷＳ時の学習信号は、ＢＷＳ時において修正できるからである。このときのＳＴＬＯの制御機構は図８４に示されるスイッチをすべてＳＷ２とした構造となる。ＺＰＥＩを用いたＳＤ―ＳＴＬＯの制御アルゴリズムは次にように説明できる。

まず、式（２８）における安定零点および不安定零点を求めると、外乱ｄ［ｋ］から推定外乱

までの出力方程式は、

となる。ｓ＋ｄステップ分遅れて推定された

は、ＦＷＳ時で、図８４のＳ_ＦＷをＴ_ＦＷ秒間オンとし、スタックメモリがこれを記憶する。ＢＷＳ時においてはスタックメモリが

なる信号を出力するので、式（３３）をｕ_ｆｆ［ｋ］＝ｚ^{−（ｓ＋ｄ）}ｄ_{ｓｔａｃｋ}［ｋ］とすれば、低周波領域のみ実外乱ｄ［ｋ］と一致させることができる。したがって、ＢＷＳ時における実外乱は低周波領域のみ制御周期のサンプル点で抑圧される。高周波領域においては、図８７，８８に示されているように、ゲインが低下するため実外乱と一致させることはできない。なお、スイッチングのタイミングは、図５に示されているように、Ｘスキャン波形を観測することによって制御されている。

（２次モデルと４次モデルに対するＳＤ−ＳＴＬＯの比較）
以下で、２次モデルの実外乱ｄと学習外乱ｕ_ｆｆとの比、ｕ_ｆｆ／ｄの周波数特性と４次モデルの実外乱ｄと学習外乱ｕ_ｆｆとの比、ｕ_ｆｆ／ｄの周波数特性とを比較する。

（シミュレーションによる比較）
図８５〜８８は、ｕ_ｆｆ／ｄのシミュレーション結果を示す。

図８５、８６は、本実施形態に係る簡易同定法により同定された２次モデルをＳＤ−ＳＴＬＯを用いたときの、ＢＷＳ時のｕ_ｆｆ／ｄの周波数応答のシミュレーション結果を示している。図８５、８６より、本実施形態に係る簡易同定法により同定された２次モデルをＳＤ−ＳＴＬＯで用いたときに、ノミナルプラントに対して、ゲインは低下することなくかつ位相遅れなく推定できていることがわかる。

図８７、８８は、４次モデルとＺＰＥＩをＳＤ−ＳＴＬＯで用いたときの、ＢＷＳ時のｕ_ｆｆ／ｄの周波数応答のシミュレーション結果を示している。図８７、８８より、位相遅れはないが高周波領域でゲインが低下しており、零位相差逆モデル（ＺＰＥＩ）の特性が現れていることがわかる。

（実験による比較）
図８９〜９２は、実際のＡＦＭにおけるｕ_ｆｆ／ｄを示す。

図８９、９０は、本実施形態に係る簡易同定法により同定された２次モデルをＳＤ−ＳＴＬＯを用いたときに、実際のＡＦＭから得られたＢＷＳ時のｕ_ｆｆ／ｄの周波数応答の結果を示している。図８９、９０のゲイン特性において、約４［ｋＨｚ］〜７［ｋＨｚ］にかけてゲインが増加しているが、これは図８０、８１に示される２次モデルＰ_ｎ（ｓ）と実際の制御対象のモデル化誤差の影響が出ていると考えられる。位相特性に関してもやはりモデル化誤差が影響し、高周波の遅れが目立っていることがわかる。

図９１、９２は、４次モデルとＺＰＥＩをＳＤ−ＳＴＬＯを用いたときに、実際のＡＦＭから得られたＢＷＳ時のｕ_ｆｆ／ｄの周波数応答の結果を示している。

図９１、９２では、４次でモデル化されていることから、モデル化誤差による影響が小さく、シミュレーションに近い結果が得られていることがわかる。

以上により、低次モデルに対する離散時間最小位相プラントでは、高周波領域においてゲインが低下するという問題はないが、モデル化誤差により推定外乱

が変動しｕ_ｆｆ／ｄの周波数特性が大きく変動してしまうことがわかる。高次モデルでは、モデル化誤差による影響は少ないが、高周波領域においてゲインが低下するため、推定外乱

が劣化する。

（試料の計測）
以下では、本実施形態に係るＡＦＭにより、島津製作所株式会社の平面ブレーズドホログラフィックグレーティング標準品（グレーティング素子）を試料として計測した結果について述べる。本実施形態に係るＡＦＭの計測対象である、図１８Ａ、Ｂに示されているグレーティング素子１８０１は、ノコギリ波状になっており、ガラス基板上に樹脂にて回折格子溝が形成され、この溝にアルミ等の反射膜がコーティングされている。

図９３は、従来法を本実施形態に係るＡＦＭで用いて、グレーティング素子１８０１の表面を走査したときに得られる試料表面の三次元画像を示す。

図９４は、ＡＦＭにおいて、ＳＤ−ＳＴＬＯで２次モデルを用いて、グレーティング素子１８０１の表面を走査したときに得られる試料表面の三次元画像を示す。

図９５は、ＡＦＭにおいて、ＳＤ−ＳＴＬＯで４次モデルとＺＰＥＩを用いて、グレーティング素子１８０１の表面を走査したときに得られる試料表面の三次元画像を示す。

図９３〜９５に示されている計測において、走査レンジは、３μｍ×３μｍであり、図９３〜９５は、試料の５．５μｍ×５．５μｍの中央拡大図である。また、図９３〜９５に示されている計測において、走査スピードは、３２２μｍ／ｓで、走査全体にかかる時間は約２０秒である。

図９３〜９５に示されているように、２次モデルと４次モデルを用いたＳＤ−ＳＴＬＯをＡＦＭで用いると、従来法に比べて試料表面の三次元画像の劣化を少なくすることができる。

図９６は、従来法を本実施形態に係るＡＦＭで用いて、グレーティング素子１８０１の表面を走査したときに得られる誤差信号（エラー）を重ね合わせたものを示す。

図９７は、ＡＦＭにおいて、ＳＤ−ＳＴＬＯで２次モデルを用いて、グレーティング素子１８０１の表面を走査したときに得られる誤差信号（エラー）を重ね合わせたものを示す。

図９８は、ＡＦＭにおいて、ＳＤ−ＳＴＬＯで４次モデルとＺＰＥＩを用いて、グレーティング素子１８０１の表面を走査したときに得られる誤差信号（エラー）を重ね合わせたものを示す。

図９６〜９８に示されているように、２次モデルと４次モデルを用いたＳＤ−ＳＴＬＯをＡＦＭで用いると、従来法に比べて、誤差信号（エラー）を小さくすることができる。 すなわち、２次モデルと４次モデルを用いたＳＤ−ＳＴＬＯをＡＦＭで用いると、誤差信号（外乱による影響）を小さくし、表面形状に対する制御入力の追従性能を向上させることができる。

また、誤差信号を定量的に評価すると、走査速度が３２．２μｍ／ｓのときに、従来法の場合の±３σは６２．４［ｎｍ］となり、ＳＴＬＯの場合の±３σは、３８．６［ｎｍ］となり、ＺＰＥＩを用いたＳＴＬＯの場合±３σは、４０．３［ｎｍ］となる。このように、ＳＴＬＯ、およびＺＰＥＩを用いたＳＴＬＯの±３σは、いずれも従来法よりも小さく、ＳＴＬＯ、およびＺＰＥＩを用いたＳＴＬＯにより試料の形状を従来法よりも高精度で計測することができる。

上述のように、ＺＰＥＩを用いたＳＴＬＯは、離散時間非最小位相プラントに対しても安定な逆モデルを設計することができるので、高次モデルでも低次モデルと同様な制御アルゴリズムを構成できる。これにより、ＡＦＭにおいて、ＺＰＥＩを用いたＳＴＬＯを用いることにより、試料の形状を、従来法よりも高精度で計測することができる。

＜第４の実施形態＞
本実施形態は、以下で説明するように、ＰＬＳ−ＳＴＬＰＴＣを含む。
（前列走査型表面形状学習ＰＴＣ（ＰＬＳ−ＳＴＬＰＴＣ））
本実施形態に係る前列走査型表面形状学習ＰＴＣ（Ｐｒｅ−Ｌｉｎｅ Ｓｃａｎｎｉｎｇ Ｓｕｒｆａｃｅ Ｔｏｐｏｇｒａｐｈｙ Ｌｅａｒｎｉｎｇ ｗｉｔｈ ＰＴＣ（ＰＬＳ−ＳＴＬＰＴＣ））は、以下で説明する単方向型表面形状学習ＰＴＣ（ＳＤ−ＳＴＬＰＴＣ）（非特許文献１１）の欠点を補うものである。

ＳＤ−ＳＴＬＰＴＣでは、実信号と学習信号にできるだけ差異が生じないように、外乱推定機構(図４７)を設置する必要があった。図４８に示されているように、ＦＷＳ時のスイッチ１（ＳＷ１）をＴ（＝メモリの段数Ｎ_ｄ×サンプリング周期Ｔ_ｙ）秒間オンとし、外乱推定機構により推定された出力端外乱

はスタックメモリ４８０１に記憶される。記憶された

は感度関数４８０２

を通過することにより、ＢＷＳの出力信号に変換される。ＢＷＳ時にはスイッチ２（ＳＷ２）をオンにすることで、シグナルジェネレータが誤差を零にするための目標軌道を生成し、ＰＴＣによりフィードフォワード的に誤差を抑圧する。

ここで、制御対象は２次であるので状態変数ｘが

のとき、エラー信号に対するシグナルジェネレータは図４８のように設計できる。ただし、速度指令値

は、式（１２）となる。

上記のＳＤ−ＳＴＬＰＴＣによる制御を用いて、実際の出力信号（実信号）と学習信号および外乱と制御入力のシミュレーションの結果を図９９〜１０２に示す。図９９、１００は、矩形波サンプルの計測のシミュレーションの結果を示したものであり、図１０１、１０２は、三角波サンプルの計測のシミュレーションの結果を示したものである。矩形波サンプルと三角波サンプルのいずれの計測のシミュレーションの結果において、学習信号は実信号に対して厳密に折り返された形ではないことがわかる。これは、ＦＷＳ時とＢＷＳ時の外乱形状が異なることから、実信号と学習信号のダイナミクスに差異が生じるためである。つまり、ダイナミクスに差異を生じさせないためには、ＢＷＳ時の出力信号はＢＷＳ時の外乱から生成しなければならない。ＳＤ−ＳＴＬＯに適用されている方法で外乱を推定することはできるが、プラントの条件や高周波領域における学習信号の劣化が問題となるので、入力端外乱を出力端外乱に換算しなければならない。この時ＦＷＳ時の出力信号にはプラントＰ_n［ｚ］のダイナミクスが影響することになる。したがって、学習信号はＢＷＳ時の出力信号と厳密には完全一致させることはできない。

そこで、ＰＬＳ−ＳＴＬＰＴＣでは、ＦＷＳ時とＢＷＳ時の出力信号のダイナミクスが完全一致するので、上記のような問題点を解決することができる。

ＰＬＳ−ＳＴＬＰＴＣは、ＦＷＳ時とＢＷＳ時を含む前走査列（１ライン前）から得られた情報を、次走査列（次のライン）に逐次適用する。つまり、ＰＬＳ−ＳＴＬＰＴＣは、前列と次列の表面形状が同一であれば両走査列の出力信号のダイナミクスは完全一致する。したがって、ＰＬＳ−ＳＴＬＰＴＣは、次走査列の出力信号をサンプル点（Ｔ_ｒ）ごとに完全抑圧でき、制御入力の性能を向上させることができる。

ＰＬＳ−ＳＴＬＰＴＣの制御機構は図１２と同様である。ただし、本実施形態における制御アルゴリズムは単方向型でなく前走査列型学習である。また、図１０３は、シグナルジェネレータの詳細な図を示している。

以下で、図１０３のシグナルジェネレータで実行される制御アルゴリズムについて説明する。図１０３において、Ｔ_ＦＷは、ＦＷＳ時の走査時間を示し、ＢＷＳ時の走査時間をＴ_ＢＷとする。また、この時のメモリはＦＩＦＯ型となる。スイッチ１（ＳＷ１）をＴ_ＦＷ＋Ｔ_ＢＷ（＝メモリの段数Ｎ_ｄ×サンプリング周期Ｔ_ｙ)秒間オンとし、この区間において出力信号を学習すれば、学習した出力信号は次列目の同一区間においてＰＴＣの目標値として出力され、完全追従がなされる。ただし、ＰＬＳ−ＳＴＬＰＴＣにおいても、速度指令値

は、式（１２）となる。

上記のＰＬＳ−ＳＴＬＰＴＣによる制御を用いて、外乱と制御入力および出力信号のシミュレーションの結果を図１０４〜１０７に示す。図１０４、１０５は、矩形波サンプルの計測のシミュレーションの結果を示したものであり、図１０６、１０７は、三角波サンプルの計測のシミュレーションの結果を示したものである。

図１０４〜１０７のシミュレーションにおいて、０．０２［秒］より前では、学習期間でありＰＬＳ−ＳＴＬＰＴＣは実行されていない。つまり、０．０２［秒］より前では、従来法によりシミュレーションが実行されている。

図１０４〜１０７のシミュレーションにおいて、０．０２[秒]より後に、ＰＬＳ−ＳＴＬＰＴＣによるフィードフォワード制御が開始される。図１０５、１０７に示されているように、ＰＬＳ−ＳＴＬＰＴＣによるフィードフォワード制御により、出力信号はサンプル点ごとに完全抑圧される。ただし、これ以降の走査においても、学習と制御が同時に実行され、外乱の完全抑圧が達成される。

また、図１０８は、図１０５を拡大したものを示し、図１０９は、図１０７を拡大したものを示している。図１０８と図１０９の結果から、ＰＬＳ−ＳＴＬＰＴＣを用いると、前走査列と次走査列の形状が同一であれば、どのような形状であっても完全追従が達成されることがわかる。

Claims (5)

1. 試料表面の表面形状をコンタクトモードで画像化する原子間力顕微鏡装置であって、
   前記試料表面と原子間力を介して相互作用する探針を有し、前記原子間力によってたわみを生ずるカンチレバーと、
   前記カンチレバーに向けて第１のレーザ光を入射するレーザ光提供手段と、
   前記カンチレバーが前記第１のレーザ光を反射することにより発せられた第２のレーザ光を検出する光検出手段と、
   前記試料を載せたピエゾ素子と、
   前記試料表面と前記探針との間の距離を前記ピエゾ素子に入力電圧を入力することにより制御し、前記第２のレーザ光によりフォトダイオードが受ける縦方向の光強度の相対変化から前記カンチレバーの前記たわみを出力電圧として検出し、行きの走査の間に表面形状を計測および記憶し、前記行きの走査と同一ラインの帰りの走査において、記憶された前記表面形状を用いて帰りの走査の追従誤差を生成し、前記追従誤差から、前記試料表面の表面形状を計測するコントローラと、
   計測された前記追従誤差を記録するデータ記憶手段とを備え、
   前記コントローラは、前記追従誤差から生成される目標軌道のサンプリング周期と制御周期が異なり、マルチレート制御を用いる完全追従制御法により追従誤差を抑圧して、前記試料表面の表面形状を計測することを特徴とする原子間力顕微鏡装置。
2. 試料表面の表面形状をコンタクトモードで画像化する原子間力顕微鏡装置であって、
   前記試料表面と原子間力を介して相互作用する探針を有し、前記原子間力によってたわみを生ずるカンチレバーと、
   前記カンチレバーに向けて第１のレーザ光を入射するレーザ光提供手段と、
   前記カンチレバーが前記第１のレーザ光を反射することにより発せられた第２のレーザ光を検出する光検出手段と、
   前記試料を載せたピエゾ素子と、
   前記試料表面と前記探針との間の距離を前記ピエゾ素子に入力電圧を入力することにより制御し、前記第２のレーザ光によりフォトダイオードが受ける縦方向の光強度の相対変化から前記カンチレバーの前記たわみを出力電圧として検出し、行きの走査の間に表面形状を計測および記憶し、前記行きの走査と同一ラインの帰りの走査において、記憶された前記表面形状を用いて制御し、前記試料表面の表面形状を推定するコントローラと、
   前記表面形状を記録するデータ記憶手段とを備え、
   前記コントローラは、前記コントローラの制御対象を前記追従誤差から生成される目標軌道のサンプリング周期で離散化した状態方程式から導出される離散化プラントの逆システムを用いて、前記試料表面の表面形状を推定することを特徴とする原子間力顕微鏡装置。
3. 前記コントローラは、前記試料表面の表面形状を推定するときに、不安定零点と安定限界零点とを根とする多項式と、安定零点を根とする多項式とを含む零位相差逆モデルを用いることを特徴とする請求項３に記載の原子間力顕微鏡装置。
4. 試料表面の表面形状をコンタクトモードで画像化する原子間力顕微鏡装置であって、
   前記試料表面と原子間力を介して相互作用する探針を有し、前記原子間力によってたわみを生ずるカンチレバーと、
   前記カンチレバーに向けて第１のレーザ光を入射するレーザ光提供手段と、
   前記カンチレバーが前記第１のレーザ光を反射することにより発せられた第２のレーザ光を検出する光検出手段と、
   前記試料を載せたピエゾ素子と、
   前記試料表面と前記探針との間の距離を前記ピエゾ素子に入力電圧を入力することにより制御し、前記第２のレーザ光によりフォトダイオードが受ける縦方向の光強度の相対変化から前記カンチレバーの前記たわみを出力電圧として検出し、１ライン前の行きの走査と帰りの走査の間に追従誤差を計測および記憶し、前記行きの走査と帰りの走査の次のラインの行きの走査と帰りの走査において、記憶された前記追従誤差を用いて制御し、前記追従誤差から、前記試料表面の表面形状を計測するコントローラと、
   計測された前記追従誤差を記録するデータ記憶手段とを備え、
   前記コントローラは、前記追従誤差から生成される目標軌道のサンプリング周期と制御周期が異なり、マルチレート制御を用いる完全追従制御法により追従誤差を抑圧して、前記試料表面の表面形状を推定することを特徴とする原子間力顕微鏡装置。
5. 前記ピエゾ素子の入力電圧と前記出力電圧までの伝達関数の周波数特性を取得するサーボアナライザをさらに備え、
   前記伝達関数は、前記サーボアナライザが取得した前記周波数特性に含まれる、ピークゲインと、直流ゲインと、ピーク周波数とから、標準２次系で自動的に同定されることを特徴とする請求項１に記載の原子間力顕微鏡装置。

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