JP4856538B2 - 曲率連続性を有する形で複数辺での曲面マッチングを行うためのシステムと方法 - Google Patents

Description

本発明は、一般的にグラフィックスモデリングシステムにおける曲面の生成及び変更に関するものである。

曲線に基づいた曲面生成スキームは、自由幾何学形状のモデリングのためのコンピュータ支援幾何学デザイン（ＣＡＧＤ）で非常に広く使われている。これらのスキームの中で最も単純なものが、複数の曲線間を補間して曲面を形成するスキニングである。ロフティングとしても知られるこの方法においては、複数の「リブ」つまり断面部分上に沿って曲面を広げる。曲面は対応する位置の各断面部分の形状を保持し、１つの断面部分から次の断面部分へとスムーズに繋がる。図１Ａはスキニングのテクニックを図示している。左側が「リブ」つまり断面部分であり、これらが右側に示されている生成された「スキン」曲面の基礎として使用されることに留意されたい。

図１Ｂ及び図１Ｃに示されるように、曲線のネットワーク間を補間するさらに複雑な方法も十分に開発されており、現代の幾何学形状モデリングシステムで手軽に利用できる。これらの方法は非常に直感的で効果的な曲面生成ツールをデザイナーに提供する。というのは、描かれる曲面は入力曲線が示唆する「アイデア」に正確に沿うものであり、こうして曲線の作成するのは大抵の場合において曲面を一から作り出すことよりかなり容易であるからである。図１Ｂ及び図１Ｃでは、左側の基本曲線のネットワーク間を補間し右側の曲面を形成する。

一般的な意味では、「連続性」とは２つの物が如何に繋がるかを説明する言葉である。Ｃ^ｎとＧ^ｎの２種類の連続性が一般的には議論される。ここで、ｎは連続性の次数を表す。Ｃ^ｎ連続性とは、ｎ次の「パラメトリック」な連続性を意味する。これは、ｎ次までの全ての導関数の大きさと方向が一致しなくてはならないということを意味する。一方、Ｇ^ｎ連続性とはｎ次の「幾何学的」な連続性を意味し、Ｃ^ｎ条件からの再パラメータ化を許容することで、その定義は先の定義よりもゆるいものとなっている。１次の連続性は良い例である。２つの曲線の間のＣ^１連続性では、２つの端の接線ベクトルが同一であることが要求されるが、その一方で、Ｇ^１条件では、２つの端の接線ベクトルが平行であることのみが要求さる。幾何学的連続性は、パラメトリックな連続性程の厳しい条件ではないが、接続される２箇所の接続部分近辺がスムーズに「見える」十分条件を記述するという点で、ＣＡＧＤではより有用である。

クラスＡ（またはクラス１と呼ばれることもある）の幾何学的デザインでは、審美的完成度を高めたり、空気力学的な目標を達成するために、曲面の特質の厳格な基準を設定することが一般的である。大抵の場合、クラスＡの曲面には曲率連続性がある一方で、望まれる形状／形体に必要な最も単純な数学的表示を提供し、望ましくない起伏がないことが要求される。

例えば、車体の自由曲面モデリングでは、生成された曲面の部分同士が互いに（Ｇ^２もしくはそれ以上の）良い連続性を維持することと共に、光を当てて見た場合に全箇所でスムーズな見た目が表現されていることが要求される。また、曲面が常に「シンプル」で「クリーン」であること、つまりは、妥当な数のコントロールポイントがり、コントロールネットが良い構成をしていて、優れたパラメータのフローを有することが要求される。曲面が幾何学形状的に必要以上に複雑な場合、既存の幾何学形状に基づいた更なる幾何学形状生成、メッシュ生成、及びＮＣツールパス生成などのその後のプロセスに問題を生じさせる可能性がある。幾何学的構成物を変更するにあたり、コントロールポイントの編集に大きく依存するデザイナーにとって、クリーンでない、つまり「粗雑な」コントロールネット構成は望ましくない。上記の特質は全て、最近の幾何学形状モデリングシステムの様々な分析ツールを用いて検証することができる。これらのツールの幾つかは図２に説明されている。

図２Ａ乃至図２Ｄは、６つの曲面からなるモデルに使用される様々な曲面分析ツールを示している。図２Ａは連続性ニードルプロットを示す。これは、異なる長さと方向のニードル（ベクトル）によって曲面間の非連続性の尺度を示すものである。図２Ｂは曲面等高線プロットを示し、ここで、各等高線は曲面上の一定の光反射率を表している。スムーズな等高線はスムーズな曲面を反映している。図２Ｃは曲率ニードルプロットを示し、曲面上の断面曲率の分布を表している。このプロットは曲面上の曲率の「フロー」を図示しており、異なる種類の形状欠陥の良い指標である。図２Ｄはゼブラプロットを示す。これは、光を照射した室内でモデルを検査する車体デザインプロセスの形状検査環境を模したものである。等高線プロットと同様に、このプロットは曲面のスムーズさをはっきりと目に見える形で示す。

自由曲面モデリングでは、一般的に複雑な形状は様々なナーブス曲面を使用してモデリングされる。スムーズさ及び審美面での要求を満たすために、特にクラスＡの曲面モデリングでは、生成された曲面が互いに曲率連続性を有していることが非常に重要である。曲線に基づいた曲面生成においては、幾つかの選択された曲線が既存の曲面の境界であることがあり（エッジ曲線もしくはトリム曲線）、生成された曲面は大抵の場合、既存の曲面に対して自動的に接線連続性もしくは曲率連続性を有することが望まれる。この代替手段として、ユーザーが各曲面の形状を手動で作成編集し、その後その形状が連続性を有するように互いに「マッチ」させることもできる。

殆どのＣＡＤシステムは、共通の境界に沿って曲率が連続した形で２つの曲面をマッチさせる機能を有する。しかし、１つの辺のマッチング機能のみを用いて数個の曲面間で連続性を持たせるのは非常に困難で時間の掛かる作業である。通常１つの曲面境界に沿ってマッチングを行うと、隣接する境界に沿った連続性を1つ、２つ破壊してしまう。デザイナーはコントロールポイントを編集し、マッチングを繰り返し行う必要がある。

従って本技術分野では、デザイナーが幾何学的拘束を受けながら、ナーブス曲面を隣接曲面との４つのエッジに沿って同時にマッチさせることを可能にするコンピュータで実行する方法のためのシステム、プロセス、及びコンピュータプログラム製品が求められている。

先行技術の上述の欠点に対処するため、本発明はグラフィックモデリングシステムにおいて改良された曲面生成及び曲面変更が実行できるようにすることを目的とする。各種実施例のその他の目的は本願に記載されているか、当業者には明らかなものである。

好ましい実施例は、グラフィックモデリングシステムにおいて曲率連続性を有する形で複数辺での曲面マッチングを行うためのシステム及び方法を提供する。好ましい実施例においては、接線方向に関する曲面マッチング及び曲率に関する曲面マッチングを行うための改良されたアルゴリズムが使用され、これにより所定の曲面と隣接する１つもしくは複数の曲面との間の連続性が改善される。

上記は、後述する本発明の詳細な説明を当業者がより良く理解できるよう、本発明の特徴及び技術的な効果についてかなり広範に概要を述べたものである。本発明の更なる特徴と効果は本発明の請求項の主題となるものあり、以下において説明する。当業者は、本願に開示されている概念及び特定の実施例を、本発明と同じ目的を果たすために他の構成を変更もしくはデザインするための基礎として容易に使用できることを理解するであろう。当業者はまた、これらの同等な構築は最も広義な形での本発明の精神及び範囲から逸脱するものではないことを認識するであろう。

下記の発明の詳細な説明に進む前に、本特許で使用している単語または語句の定義を説明することは有意義であろう。「含む」および「から成る」という用語およびそれらの派生語は、制限のない包含を意味する。「または」という用語は包含的であり、「および／または」を意味する。「に関連する」または「と関連する」という語句およびそれらの派生語は、〜を含む、〜内に含まれる、相互に接続する、〜を包含する、〜に包含される、〜に接続するもしくは〜と接続する、〜と連結するもしくは〜に連結する、〜と伝達できる、〜と提携する、インターリーブする、並列する、〜に隣接する、〜に境を接するもしくは〜と境を接する、〜を有する、〜の性質を有する、等を意味する。「コントローラー」という用語は、少なくとも１つの操作を制御するデバイス、システム、またはそれらの部品の全てを意味し、そのようなデバイスが、ハードウェア、ファームウェア、ソフトウエアまたは少なくとも２つの同様なものを組み合わせたものに実装されているかを問わない。特定のコントローラーに関連する機能性は集中型でも分散型でもよく、ローカルかまたは遠隔かは問わないことに留意されたい。本特許では特定の単語および語句の定義を提供するが、当業者は、そのような定義は、殆どではないにしても多くの場合、そのように定義された単語および語句の従来の使用および今後の使用に当てはまることが理解できるであろう。

本願に記載の図１乃至図８、及び本願記載の発明の原理を説明するために用いられている様々な実施例は例を示すためだけのものであり、如何なる場合でも本発明の範囲はこれらのみに限定して解釈されるべきではない。当業者は、本発明の原理は適宜に準備されたものであればどのようなデバイスを用いても実施できることを理解するであろう。本出願の多数の革新的な教示を、現時点で好ましいとする実施例を特に参照しながら説明する。

好ましい実施例は、グラフィックモデリングシステムにおいて、曲率連続性を有する形で複数辺での曲面マッチングを行うためのシステムと方法を提供する。好ましい実施例においては、接線方向に関する曲面マッチング及び曲率に関する曲面マッチングを行うための改良されたアルゴリズムが使用され、これにより、所定の曲面と隣接する１つもしくは複数の曲面との間の連続性が改善される。

定義−以下は、本出願書類で使用されている幾つかの専門用語の一般的意味の簡潔な定義である。（しかしながら、当事者は文脈上異なる解釈が必要であるかどうかを理解するであろう。）追加の定義は、標準的な技術用語集及び専門誌に記載されている。

Ｂスプライン曲線 ― 頂点のそれぞれが曲線の所定の範囲に影響を及ぼす、パラメータを使って定義される自由曲線。

Ｂスプライン曲面 ― 頂点のそれぞれが曲面の所定の範囲に影響を及ぼす、パラメータを使って定義される自由曲面。

等パラメトリック曲線 ― （ｕ，ｖ）パラメータの１つパラメータ値を一定に保ったままで、もう一方のパラメータのドメイン全体に沿ってＢスプライン曲面をトレースすることで得られるＢスプライン曲線。パラメータｕを一定に保つことで得られる等パラメトリック曲線は、「ｕが一定の等パラメトリック曲線」と呼ばれる。「ｖが一定の等パラメトリック曲線」も同様である。

ノット ― ノットとはＢスプライン曲線もしくはＢスプライン曲面を定義する一要素である数値であり、ノットはその形状のコントロールに用いられる。１つのＢスプラインに使用される全ノットの集合体をノットベクトルと呼ぶ。ノット値間の距離を、ノット間隔と呼ぶ。均一Ｂスプラインにおいてはノット間隔は（通常）１に設定され、非均一な有理Ｂスプラインの場合は、不均等なノット間隔が許容される。

Ｂスプラインセンスの互換性 ― 同一の次数とノット配列を有する場合、一群のＢスプライン曲線はＢスプラインセンスにおいて互換性があるとされる。

本願で開示されている複数辺でのマッチングは、生成された曲面が隣接曲面との接線連続性もしくは曲率連続性を有することが要求される幾つかの曲線に基づいた曲面生成スキームで使用される。これらの曲面構築スキームは２つの基本ステップで構成される。
（１）スキニング、クーンズ曲面、もしくはゴードン曲面などの広く知られた方法を用いて、隣接境界を含めた入力曲線間を補間する最初のベース曲面を作成する。必要があれば、またそれが望まれる場合には、入力曲線は再パラメータ化できる。
（２）このベース曲面を、要求される接線連続性もしくは曲率連続性を有する形で隣接曲面とマッチさせるために、請求項に記載のマッチングのアルゴリズムを使用する。好ましい実施例は、1つのナーブス曲面を幾何学的拘束を受けながら曲率連続性を有する形で隣接曲面に同時にマッチさせるプロセスを提供する。このプロセスのアルゴリズムの１つの実施例での入力としては以下のものがある。
・隣接曲面の１つ乃至４つの境界。各境界は曲面エッジもしくは曲面上のトリムされた 境界曲線であり得る。
・マッチしたトリムされていないナーブス曲面
・マッチング曲面のどのエッジがどの隣接境界曲線にマッチされるのかの指定。
・マッチングする各エッジに沿った望まれる連続性レベル：連続性無し、位置連続性、 接線連続性、もしくは曲率連続性。
・位置連続性、接線連続性、及び曲率連続性の許容値。

このプロセスにおいては、対応する境界曲線の共通の端点上で、入力隣接曲面が要求される連続性を有することを前提としている。マッチングのアルゴリズムは３つの基礎ステップである位置マッチング、接線マッチング、及び曲率マッチングから成る。各ステップは基本的に拘束条件付でフィッティングするイテレーションプロセスである。
位置マッチング
位置マッチングとはつまりは、拘束条件付で曲線を位置許容値内にフィッティングすることである。位置マッチングの概略を以下に記す。
１．隣接境界上のサンプルのマッチングポイントを算出し、そのパラメータ化を決定する。

１．１各マッチングエッジに関して、そのマッチングエッジの対応する等パラメトリック曲線を抽出する。

１．２対応する隣接境界を（例えば、弦偏差、曲線接線偏差、もしくは２つのサンプルポイント間の最大距離などの）特定の基準に基づいてポイントへとサンプル化する。各サンプルポイントに関して、そのポイントから隣接境界曲線の開始ポイントまでの相対的長さを算出する。

１．３各サンプルポイントに関して、特定の相対的長さを有する抽出された等パラメトリック曲線のパラメータ値を算出して逆問題を解くことによって、パラメータ値を決定する。

２．２つの曲線を相対するの隣接境界上のサンプルポイントに同時にフィットさせる。これには以下の拘束が課せられる。

・固定された端点。

・固定された端の接線方向。

・固定された端の曲率値。

３．全てのフィット曲線が要求される位置許容値の範囲内にあるかを確認する。許容値の範囲内にある場合、マッチング曲面がフィット曲線との「ノット互換性」を持つようにし、終了する。

４．偏差分析に基づき、フィット曲線にノットを適切に挿入する。

５．全てのフィット曲線が位置許容値内に入るまで、ステップ２乃至ステップ４を繰り返す。

６．マッチング曲面の境界コントロールポイントを４つのフィット曲線のコントロールポイントに置き換える。

マッチングするナーブス曲面のウエイトは固定されていることに留意されたい。第１のステップの後では、マッチング曲面は隣接曲面に対して位置連続性を有するようになる。マッチング曲面がより良いコントロールポイント構造と曲面フローを持つように、境界コントロールポイントの変更に基づいて、マッチング曲面の内部コントロールポイントを変更することも可能である。これに続く接線マッチングのステップ及び曲率マッチングのステップにおいては、隣接曲面上のサンプルのマッチポイントと、これらのマッチポイントに対して決定されたマッチング曲面の（ｕ、ｖ）パラメータ値が使用される。

拘束曲線フィッティングには既存の公開された方法がある。好ましい実施例では、４つの曲線を同時にフィットさせるために、２００２年１２月１２日に申請された米国特許出願番号第１０／３１８，３４４号に記載のグローバル曲面フィッティング方法が用いられている。本出願はこの米国出願を参照することによりその全体を含むものである。
接線マッチング
好ましい実施例においては、図３に示すプロセスに沿ったエネルギーを最小化したイテレーションによる拘束最小２乗フィッティングにより、接線を確実にマッチさせる。

最初に、システムもしくはユーザーがマッチング曲面と少なくとも１つの隣接曲面を指定する（ステップ３１０）。次に、隣接曲面のサンプルマッチポイントにおける単位曲面法線をシステムが算出する（ステップ３１５）。

システムは次に、マッチング曲面コントロールポイント上に望ましい線形拘束条件を設定する（ステップ３２０）。その後システムは拘束最小２乗フィッティングを行い、マッチング曲面の全ての関連境界に沿って１次クロス偏導関数を求める。ここで最小２乗項は接線の非連続性の尺度である（ステップ３２５）。

システムはその後、必要な曲面エッジに沿って接線連続性を確認する（ステップ３３０）。接線連続性が特定の許容値内である場合、そこで終了する（ステップ３４５）。

接線連続性が許容値内にない場合、システムは接線の非連続性を分析し（ステップ３３５）、マッチング曲面の適切な位置にノットを挿入する（ステップ３４０）。

接線連続性が得られるまでステップ３２５乃至ステップ３４０を繰り返す（ステップ３２５へ戻る）。

このプロセスにおいて、位置連続性マッチング曲面は以下のように定義される。
Ｘ（ｕ，ｖ）＝ΣΣｗ_ｉｊＰ_ｉｊＮ_ｉ（ｕ）Ｎ_ｊ（ｖ）／ΣΣｗ_ｉｊＮ_ｉ（ｕ）Ｎ_ｊ（ｖ）
ここで、ｕ，ｖは曲面のパラメータであり、Ｎ_ｉ（ｕ）、Ｎ_ｊ（ｖ）はそれぞれｕパラメータ方向、ｖパラメータ方向に沿ったＢスプラインベースの関数である。ステップ３の拘束最小２乗フィッティングによって下記の２次目的関数を最小化する試みが行なわれる。
Ｅ＝ｗ_１Ｅ_Ｇ１＋ｗ_２Ｅ_２＋ｗ_３Ｅ_３＋ｗ_４Ｅ_{ｂｌｅｎｄ}＋ｗ_５Ｅ_{ｓｐｒｉｎｇ}
ここで、

である。

α_ｋ及びβ_ｋは、０．０もしくは０．１のどちらでも良い。α_ｋ＋β_ｋ＝１．０であり、ｎ_ｋはサンプルポイントｋにおける単位曲面法線を表す。サンプルポイントｋが、ｕが一定の等パラメトリック曲線である曲面エッジ上にある場合、α_ｋ＝１であり、β_ｋ＝０．０である。（ｖが一定の場合はそれぞれα_ｋ＝０．０、β_ｋ＝１．０である。）完全な接線連続性を得るためには、マッチングエッジに沿った全てのポイントにおける１次クロス偏導関数は、隣接曲面上の対応するポイントで曲面法線に対して垂直でなければならない。Ｅ_G1は接線の非連続性の尺度である最小２乗項として定義される。

Ｅ_２、Ｅ_３、及びＥ_{ｂｌｅｎｄ}は結果として得られるマッチング曲面のスムーズさをコントロールするためのエネルギー項である。これらのエネルギー項無くしては、特にマッチング曲面が高い次数を有する場合、コントロールポイントは急激に変化するようになる可能性がある。

であり、ここでｃ_ｉｊは、前のステップからのコントロールポイントＰ_ｉｊの座標を表す。Ｅ_{ｓｐｒｉｎｇ}は、マッチング曲面の形が元々の曲面に近くなるよう、コントロールポイントの動きの制限を試みるスプリングエネルギー項である。

多くの線形拘束条件は指定できる。内部のコントロールポイントの幾つかは、それが望まれる場合には接線マッチングを行う間固定でき、この固定が拘束条件として指定できる。曲率連続性が曲面のコーナーのどれかにおいて要求される場合には、ねじれ拘束条件が定義されなければならない。ねじれ拘束条件は古典的な３接線定理に由来する。この定理は、
・ 両曲面に接線連続性があり、
・ その法曲率値が３つの異なる接線方向に沿ってマッチしている
場合に限り、２つの曲面ポイントは曲率連続性を有するというものである。
特に曲面コーナーＸ（ｕ、ｖ）でのねじれ拘束条件は以下のように定義される。

であり、Ｎ（ｕ、ｖ）はコーナーでの曲面法線を表す。位置マッチング後、偏導関数Ｘ_ｕ、Ｘ_ｖ、Ｘ_ｕｕ、Ｘ_ｖｖは境界コントロールポイントによって定義されるため、Ｌ、Ｎ、Ｅ、Ｆ、Ｇは一定値となることに留意されたい。従って、ねじれ拘束条件は線形方程式となる。

フィッティング変数は、境界コントロールポイントを除く、マッチング曲面のコントロールポイントの座標である。境界コントロールポイントが固定されると、最小２乗項Ｅ_Ｇ１が残りのコントロールポイントの座標の２次関数となる。スムーズさ及びスプリングエネルギー項もまた２次関数である。式化されたエネルギー最小化した拘束最小２乗フィッティングは、線形法である標準的な２次関数プログラミング解法で解くことができる。目的関数もまた正定であり、最小２乗フィッティングの解は一意的であることが示される。

拘束最小２乗フィッティングの式化は新しいものではない。例えば、ウィリアム・ウェルチ、アンドリュー・ウィトキン著、ＳＩＧＧＲＡＰＨ９２学会報、コンピュータグラフィックス、Ｖｏｌ．２６、Ｎｏ．２、１５７−１６６、１９９２の「変動曲面モデリング」と題された論文にこの定式が説明されており、本出願はこの論文を参照することによりその全体を含むものである。

好ましいプロセスの特にユニークな１つの側面は、接線連続性を得るためにクロス偏導関数をフィッティングさせるにあたり、他のエネルギー項と共に最小２乗項Ｅ_Ｇ１を定義する方法である。このアプローチの主な効果の１つは、曲面境界に沿った１次クロス偏導関数の推定は一切必要ないということである。
これは、以下の方法で接線マッチングを行う従来の方法と対照的である。

１．マッチング曲面の等パラメトリック曲線を抽出する。

２．プロジェクションもしくは回転のどちらかにより、これらの曲線を隣接曲面にマッチさせる。

３．マッチした等パラメトリック曲線の端接線から、曲面クロス偏導関数をフィッティングする。

このアプローチには２つの問題がある。

第１に、２つの曲面エッジに沿ったクロス導関数の推定は、コーナーにおいて「互換性」がない、つまり適合しない可能性がある。第２に、マッチング前の等パラメトリック曲線の端接線が隣接曲面の曲面法線にほぼ平行である場合、この推定は失敗するかもしくは曖昧になる可能性がある。

好ましい実施例では、このフィッティングは接線連続性のための必要十分条件を基に最小２乗項が定義される陰的フィッティングであると考えるため、これら２つの問題は完全に回避される。優れたコントロールポイント構造を有し接線連続性のあるスムーズなマッチング曲面を作るために、最小２乗項はスムーズさ及びスプリングエネルギー項と相互に作用し合う。

更に、好ましい実施例では、優れたコントロールポイント構造を作る上でのＥ_{ｂｌｅｎｄ}の役割を利用する。
曲率マッチング
好ましい実施例の曲率マッチングプロセスでは、図４に示されるプロセスに従い、曲面境界エッジに沿って２次偏導関数をイテレーションによってフィッティングさせることで曲率連続性を得るために、接線連続性のあるマッチング曲面を調節する。曲率マッチングのステップは接線マッチングのそれと同様である。以下に更に説明されるように、主な相違点は曲率連続性の尺度となるように最小２乗項を定義する方法である。

最初に、システムもしくはユーザーがマッチング曲面と少なくとも１つの隣接曲面を指定する（ステップ４１０）。次に、システムが１つもしくは複数の接線方向に沿った隣接曲面上のサンプルポイントにおける法曲率を算出する（ステップ４１５）。ここで、境界曲線の接線方向と平行な方向は選択できない。好ましい実施例では３つの方向が使用され、ここで、３方向の内の１方向がマッチング曲面の１次クロス偏導関数の方向（等パラメトリック曲線の端の接線方向）でなければならない。

システムは次に、マッチング曲面のコントロールポイント上の望まれる線形拘束条件を設定する（ステップ４２０）。その後システムはマッチング曲面の全ての要求される境界に沿って２次偏導関数に対して、拘束最小２乗フィットを行う。ここで、最小２乗項は曲率の非連続性の尺度となる（ステップ４２５）。

システムは、必要な曲面エッジに沿って曲率連続性を確認する（ステップ４３０）。曲率連続性が指定の許容値内である場合、そこで終了する（ステップ４４５）。

曲率連続性が許容値内にない場合、システムは曲率の非連続性を分析し（ステップ４３５）、マッチング曲面の適切な位置にノットを挿入する（ステップ４４０）。

曲率連続性が得られるまでステップ４２５乃至ステップ４４０を繰り返す（ステップ４２５へ戻る）。

古典的な３接線定理とは、２つの曲面ポイントが接線連続で、それらの曲面ポイントの３つの異なる接線方向に沿った法曲率値がマッチしている場合に限り、２つの曲面ポイントは曲率連続性を有するというものである。リンケージ曲線定理とは、スムーズな曲線に沿って接線連続性を有する２つの曲面は、その曲線に沿った全てのポイントにおいて、その２つの曲面の法曲率がその曲線の接線以外の方向に沿って一致する場合に限り曲率連続性を有するというものである。曲率の非連続性の尺度となる最小２乗項Ｅ_ｇ２は以下のように定義される。

ここで、ｋ_ｎは法曲率を表し、

である。

更に、ａ_ｋ、ｂ_ｋ、ｃ_ｋ、ｄ_ｋは隣接曲面の４つの接線方向に沿った各サンプルポイントでの法曲率値である。（４方向の内１方向から最大３方向までが使用される。）特にサンプルポイントがｕの一定な等パラメトリック曲線である曲面エッジ上にある場合、α_ｋ＝１．０であり、β_ｋ＝０である。（ｖが一定の場合はそれぞれα_ｋ＝０．０、β_ｋ＝１．０である。）他の２つの接線方向、Ｘ_ｕｄｕ_ｋ１＋Ｘ_ｖｄｖ_ｋ１及びＸ_ｕｄｕ_ｋ２＋Ｘ_ｖｄｖ_ｋ２は使用しても使用しなくても良く、任意選択できる。実施に当たってここでは、ｄｕ_ｋ１＝０．５、ｄｖ_ｋ１＝０．５、ｄｕ_ｋ２＝０．５、及びｄｖ_ｋ２＝−０．５と設定した３つの方向を使用する。曲率マッチングにおけるフィッティング変数は、位置連続性及び接線連続性を定義するコントロールポイントを除くコントロールポイントの座標である。これらの「位置」コントロールポイント及び「接線」コントロールポイントを固定した後は、Ｅ_ｇ２は２次関数であることに留意されたい。接線マッチングと同様に、曲率マッチングにおける拘束フィッティングは、２次関数プログラミング解法を用いて解くことができる。

上記の曲率マッチングのプロセスは、曲率連続性を得るために法曲率値をフィッティングさせる革新的なアプローチを採用しており、特に曲率の尺度として最小２乗項を定義する方法が革新的である。

開示されたプロセスでは、２次偏導関数の推定は一切必要としない。殆どの公知のシステムは、曲率連続性を有する形で等パラメトリック曲線を隣接曲面にマッチングさせ（推定ステップ）、マッチした等パラメトリック曲線の端２次導関数からの曲面２次偏導関数をフィッティングさせることで曲率マッチングを解決する。
曲線に基づいた曲面構築
曲線に基づいた曲面構築スキームでは、良く知られているクーンズ曲面法（４つの境界による曲面用）、スキニング法（ロフト曲面用）、もしくはゴードン曲面法（双方向ロフト用）を位置マッチングのステップの代わりに用いることができる。必要があれば、またそれが望まれる場合には、入力曲線の再パラメータ化が必要となる可能性もある。これらの方法により、特定の許容値内で隣接曲面との位置連続性を有するベース曲面が生成される。このベース曲面を接線連続性及び曲率連続性を有する形でマッチさせるにあたり、このプロセスでは隣接曲面境界上のポイントをサンプリングし、最近点法もしくは既述の長さマッチング法によりこれらのポイントのパラメータ化を決定することのみが必要となる。サンプリングの完了後、前述のように接線マッチング及び曲率マッチングのアルゴリズムを応用することができる。

図５は４つの隣接曲面にマッチされるマッチング曲面を示す。このマッチング曲面は双三次ベジエ曲面である。この曲面は完全な位置連続性を有しており、接線の非連続性は４つの曲面エッジに沿って（度で）示されている。

図６は接線マッチング後の出力曲面を示す。この曲面は実際には双方向ロフト機能を使用して作られている。図５の結果との唯一の相違点は接線マッチングのステップである。接線が連続したマッチング曲面もまた双三次ベジエ曲面である。接線許容値は０．０５度である。接線マッチングのためのアルゴリズムはノットを一切挿入せずに接線連続性を成立させることができることに留意されたい。

図７は、中間曲面を接線連続性を有する形でその４つの隣接曲面とマッチングした結果を示す。部分曲率ニードルの「ミスマッチ」が示すように、マッチング曲面はその隣接曲面と曲率が連続していないことに留意されたい。図８は同じ曲面の曲率マッチングの結果を示す。部分曲率ニードルは曲面エッジに沿ってマッチし、曲面が互いに曲率連続性を有することを示していることに留意されたい。このケースでは、曲率値の差は１％以内である。

好ましい実施例は、曲率連続性を有する形で複数辺での曲面マッチングを行うための新しいプロセス及びアルゴリズムを提供する。好ましいプロセスの特に革新的な側面としては、下記の事柄が含まれる。

接線連続性を得るための、１次曲面クロス導関数のグローバル拘束でエネルギーを最小化した最小２乗陰的フィッティング。

曲率連続性を得るための、法曲率値のグローバル拘束でエネルギーを最小化した最小２乗フィッティング。

複数辺でのマッチングを行うアルゴリズムはすでに開発されており、ロフト、双方向ロフト、及び境界曲面ツールを含めた様々な曲線に基づいた曲面構造ツールで使用されている。

本特許で開示されている複数辺でのマッチングを行うアルゴリズムは、他の問題を解決するためにその用途を拡大することができる。
・曲率連続性を有する形で曲面コーナーをまとめてマッチングさせる。
・ｎ個の辺のあるホールをｎ個のトリムされていない曲面で埋める。
・曲率連続性を有するスムーズなシートボディーを形体するための、１組の曲面をグローバルマッチングする。

これらの問題を解決するための1つの重要なステップは、曲面と単位曲面法線との間の望ましい境界、主要な曲率値、及びこれらの境界に沿った主要曲率方向を公知のテクニックを用いて決定することである。これらの情報が一度入手できれば、請求項の範囲に記載の接線マッチング及び曲率マッチングのためのアルゴリズムが適用される。

本願で用いられている用語及び従来のテクニックはコンピュータ支援幾何学デザインの技術分野の当業者には良く知られたものであろう。モレトンに与えられた米国特許番号第５６３６３３８号；Ｇ．セルニッカー及びＤ．ゴサード著、「自由形状デザインのための変形可能な曲線及び曲面の有限要素」、コンピュータグラフィックス、２５、ｐｐ．２５７−２６６、１９９１；Ｇ．セルニッカー及びウィル・ウェルチ著、「変形可能なＢスプライン曲面の線形拘束」、インターアクティブ３Ｄグラフィックシンポジウム学会報、２５（２）、１６５−１７０、１９９２；Ｇ．ファリン及びＤ．ハンスフォード著、「ディスクリートクーンズパッチ」、コンピュータエーデッドジオメトリックデザイン１６、６９１−７００、１９９９；Ｈ．パーク等著、「複数の曲線再フィッティングに基づく近似ナーブス曲線の互換性の方法」コンピュータエーデッドデザイン、３２、２３７−２５２、２０００；Ｊ．ペグナ及びＦ．ウォルター著、「ブレンド曲面の曲率連続性を保証するための幾何学規準」、Ｊ．メカニカルデザイン、１１４、２０１−２１０、１９９２；Ｊ．ピータース著、「幾何学連続性」、コンピュータ支援幾何学デザインのハンドブック、エルセビア、２００２；Ｍ．スジルバシ−ナギ著、「Ｂスプライン曲面のほぼ曲率連続なフィッティング」、Ｊ．ジオメトリーアンドグラフィックス、Ｖｏｌ．２、Ｎｏ．１、３３−４３、１９９９、を更に参照しても良く、これらは全て参照することにより本願に含まれるものである。

説明を簡潔かつ明確にするために、本発明と共に使用するに適した全てのデータ処理システムに関し、その完全な構成とオペレーションが本願に図示もしくは記載されているわけではないことを当業者は認識するであろう。そうではなく、本発明に特有なデータ処理システム、もしくは本発明を理解するのに必要なデータ処理システムのみが図示及び記載されている。データ処理システムの構成とオペレーションで本願に記載されていないものは、当技術分野で公知の様々な現行の実施方法及び使用例に沿ったもので良い。

本発明は完全に機能的なシステムとして記載されているが、本発明のメカニズムの少なくとも一部は、機械で使用可能な様々な形態の媒体に収められた指示として頒布させることができることを当業者は理解するであろうことと、また本発明が、実際の頒布のために使用される指示もしくはシグナルを含む媒体の特定の種類に関わらず、同じ様に応用できることは、特記すべき事項である。機械で使用可能な媒体の例としては読み取り専用メモリ（ＲＯＭ）もしくは電気的消去、プログラム可能型読み取り専用メモリ（ＥＥＰＲＯＭ）などの不揮発性のハードコードされた媒体；フロッピーディスク、ハードディスクドライブ、及びコンパクトディスク読み取り専用メモリ（ＣＤ−ＲＯＭ）、もしくはデジタル多用途ディスク（ＤＶＤ）などのユーザーが記録できる媒体；及び、デジタルコミュニケーションリンク及びアナログコミュニケーションリンクなどの伝達型媒体が含まれる。

本発明の実施例はその詳細が記載されているが、本願が開示する発明は、その最も広範な精神及び範囲から逸脱することなく、様々な形で変更、置き換え、変形、及び改良できるということを当業者は理解するであろう。

本出願内の記載は如何なるものであれ、特定の構成要素、ステップ、もしくは機能が、特許請求の範囲に含まれなければならない不可欠な構成要素であると示唆するものではない。つまり、特許に含まれる内容の範囲は、請求項の範囲によってのみ定義されるものである。また、これらの請求項はどれも、「（ため）の手段」という言葉が分詞の後に続かない限り、合衆国法典第３５編第１２条の第６段落の発動を意図するものではない。

本発明及び本発明による効果をより完全に理解するために、付随する図面と併せながら下記に説明をする。なお、図内の同じ数字は同じものを示す。

図１Ａ乃至Ｃは一般的な曲線に基づいた曲面生成方法を図示している。図１Ａは一連の曲線を補間して曲面を形成する様子を図示している。図１Ｂは２ｘＮ個の曲線ネットワークを補間して曲面を形成する様子を図示している。図１ＣはＭｘＮ個の曲線ネットワークを補間して曲面を形成する様子を図示している。 図２Ａ乃至図２Ｄは様々な曲面特質の分析ツールを示している。図２Ａは連続性ニードルプロットを示す。図２Ｂは曲面等高線プロットを示す。図２Ｃは曲率ニードルプロットを示す。図２Ｄはゼブラプロットを示す。 本発明の好ましい実施例の1つによるプロセスを図示している。 本発明の好ましい実施例のもう1つによるプロセスを図示している。 ４つの隣接曲面にマッチするマッチング曲面を示す。 接線マッチング後の出力曲面を示す。 ４つの隣接曲面の間にある曲面を接線連続性を有する形でその４つの隣接曲面にマッチさせた結果得られる図を示す。 曲面の曲率マッチングの結果得られる図を示す。

Claims (2)

1. コンピュータ化されたグラフィックモデリングシステムにおいて実行される曲率マッチングを行う方法において、
   第１曲面１つと、該第１曲面とＢスプライン曲線である共通の境界線を有する少なくとも１つの隣接曲面とをユーザーが指定するステップと、
   該第１曲面の該境界線上のポイントに対応する該隣接曲面の該境界線上のポイントでの法曲率を前記グラフィックモデリングシステムにより決定するステップと、
   該第１曲面の境界線に沿って最小２乗フィットを前記グラフィックモデリングシステムにより行うステップと、
   を含み、
   該最小２乗フィットが、
   ｋ_ｎが前記第１曲面の法曲率を示し、ａ_ｋ、ｂ_ｋ、ｃ_ｋ、ｄ_ｋが対応する各ポイントでの該隣接曲面の法曲率値であり、ｕ、ｖが該第１曲面のパラメータであり、α_ｋ及びβ_ｋが０．０もしくは１．０であり、またα_ｋ＋β_ｋ＝１．０として、同じ方向同士の法曲率の差を項として有する方程式
   

   

   を用いて行なわれることを特徴とする曲率マッチングを行う方法。
2. 前記第１曲面の前記境界線にノットを加えて、該第１曲面と前記隣接曲面との境界線上の曲率連続性が特定の許容値内となるようにするステップを更に含み、
   前記曲率連続性は、前記方程式におけるＥ _ｇ２ により表される、
   請求項１に記載の方法。

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