JP4682801B2 - 均質化法を用いる構造解析方法、均質化法を用いる構造解析装置及び均質化法を用いる構造解析プログラム - Google Patents

Description

本発明は、均質化法を用いる構造解析に係り、特に、複数のミクロ構造が配置されるマクロ構造体に均質化法を適用して構造解析を行う均質化法を用いる構造解析方法、均質化法を用いる構造解析装置及び均質化法を用いる構造解析プログラムに関する。

構造体、特に複合材料が用いられている構造体の構造設計をシミュレーションにより行うものとして、有限要素法が広く知られている。有限要素法は、解析対象範囲を有限の要素に分割して離散化し、与えられた境界条件を下に近似解を求める方法である。したがって、解析対象が大きな構造体である場合や、構造体が小さくても、内部の微小構造が複雑に複合化している場合等では、必要な精度のシミュレーションを行うために、分割要素数が大きくなり、多くの計算時間を要することになる。

微細構造を有して全体としては不均質な材料特性となっている構造体の構造解析をより容易に行うものとして、非特許文献１に詳述されているような均質化法による解析が知られている。均質化法は、無数のミクロ構造が分布する全体構造物についての現象の数理モデルを与える際に、ミクロ構造内で一様でない応力やひずみをそれらの平均量で置き換える、とのアプローチを用いる（同文献ｐ３−４参照）。そしてその例として、周期的なミクロ構造（ユニットセル）を有する非均質体を等価な均質体で置き換える階層的モデル化が行われる（同文献ｐ５，ｐ１３−ｐ５５）。

例えば、特許文献１には、解析する構造の要素数を低減させて、計算リソースを節約するために、均質化法を用いた構造解析方法等が開示されている。ここでは半導体技術分野の多層配線構造の構造安定性について、厳密な応力計算が必要な最下層以外の構造に、均質化法を適用して同等の機械的挙動を示す均質化構造に置き換えるモデルが用いられている。具体的には、Ｃｕ平板の中にＳｉＯ₂膜が周期的に配置されている複合材料構造について、この周期的な単位構造を構成している材料が等方弾性材料の場合に、この単位構造と同等の機械的挙動を示す弾性定数を求めている。これによって、従来有限要素法を用いると２１１０００要素を要したものが、７７０００要素で済むことが述べられている。

特開２００３−３４７３０１号公報 寺田他，「計算力学レクチャーシリーズ１ 均質化法入門」, 平成１５年７月２５日，丸善株式会社，ｐ１−１５４

このように、周期的なミクロ構造を有する非均質体を等価な均質体で置き換える均質化法の手法により、構造計算に要する時間を短縮できる。しかし、従来技術における均質化法の適用は、３方向に周期性を有するマクロ構造体について行われている。

したがって、１方向にのみ周期性を有し、その周期性の方向に直交する断面内で不均質なマクロ構造体の場合には、従来技術の均質化法が適用できず、元に戻って有限要素法の適用が行われ、多大な解析時間を要することになる。

本発明の目的は、１方向にのみ周期性を有し、断面内で不均質なマクロ構造の構造解析時間を短縮できる均質化法を用いる構造解析方法、均質化法を用いる構造解析装置及び均質化法を用いる構造解析プログラムを提供することである。

本発明に係る均質化法を用いる構造解析方法は、コンピュータによって実行される有限要素法解析に用いられるメッシュに分割された複数の微小要素からなり３次元的に不均質な変形特性を有するミクロ構造が１方向にのみ周期的に配置されるマクロ構造体の構造解析をコンピュータによって行う方法であって、解析対象物であるマクロ構造体を適当な大きさのメッシュに分割し、メッシュ分割された解析用構造データを記憶装置に記憶する分割工程と、記憶装置からマクロ構造体の解析用構造データを取得し、取得した解析用構造データから１方向にのみ周期性のある単位を抽出して、マクロ構造体におけるミクロ構造の繰り返し単位であるユニットセルを特定する工程と、ユニットセルを、一体の均質な材料特性を有するものとしてモデル化したときの変形力と変形とを関連付けるユニットセル均質化弾性係数を求める均質化工程と、マクロ構造体について、その全域にわたって、求められたユニットセル均質化弾性係数を有するものとしてモデル化し、そのモデルに対し予め定めた任意の荷重条件を負荷したときの任意の位置における変形を求めるマクロスケール解析工程と、マクロスケール解析工程によって得られた任意の位置における変形を、その位置におけるユニットセルを構成する微小要素のそれぞれについての境界条件として与えて、有限要素法解析の手法を適用して、微小要素のそれぞれの局所的応答を得るローカル解析工程と、を含むことを特徴とする。

ここで、変形、変形力とは広義の意味であって、いわゆるＮ（ニュートン）の次元を有する力のみならず、曲げ変形を生じさせるもの、ねじり変形を生じさせるものを広く含めて変形力といい、それらによって生じる軸方向伸び縮み歪、せん断歪、曲げ歪、ねじり歪を含めて変形という。不均質な変形特性とは、材料特性が不均質のために変形が不均質に生じる場合と、材料特性は均質であるが、変形力の荷重負荷が不均質であるために変形が不均質に生じる場合、およびこれらが重畳する場合を含む。

また、マクロスケール解析工程は、マクロ構造体においてミクロ構造が周期的に配置される１方向に沿った１次元のモデルとして解析することが好ましい。また、マクロスケール解析工程は、マクロ構造体を１次元の梁モデルとして解析することが好ましい。

また、マクロスケール解析工程は、マクロ構造体において前記ミクロ構造が３次元的変形をする３次元のモデルとして解析することが好ましい。また、マクロスケール解析工程は、マクロ構造体を３次元の直方体モデルとして解析することが好ましい。

また、均質化工程は、ユニットセルに単位変形を与えたときの応力応答に基づいてユニットセル均質化弾性係数を求めることが好ましい。

また、均質化工程は、１つの軸方向引張モード、２つのせん断モード、２つの曲げモード、１つのねじりモードについての単位変形をそれぞれ与えたときの合計６つの応答を１組とする第１均質化弾性係数を求め、マクロスケール解析工程は、第１均質化弾性係数を用い、マクロ構造体を１次元の梁モデルとして解析することが好ましい。

また、均質化工程は、３つの軸方向引張モード、３つのせん断モードについての単位変形をそれぞれ与えたときの合計６つの応答を１組とする第２均質化弾性係数を求め、マクロスケール解析工程は、第２均質化弾性係数を用い、マクロ構造体を３次元の直方体モデルとして解析することが好ましい。

また、マクロ構造体の３次元モデルにおけるローカル解析工程は、周期的に配置される１方向に沿った任意の位置における微小要素のそれぞれの局所的応答を、マクロスケール解析において周期的に配置される１方向に沿った任意の位置における変形の補正項として加えることが好ましい。

また、本発明に係る均質化法を用いる構造解析装置は、有限要素法解析に用いられるメッシュに分割された複数の微小要素からなり３次元的に不均質な変形特性を有するミクロ構造が１方向にのみ周期的に配置されるマクロ構造体の構造解析を行う構造解析装置であって、解析対象物であるマクロ構造体を適当な大きさのメッシュに分割し、メッシュ分割された解析用構造データを記憶する記憶部と、記憶部からマクロ構造体の解析用構造データを取得し、取得した解析用構造データから１方向にのみ周期性のある単位を抽出して、マクロ構造体におけるミクロ構造の繰り返し単位であるユニットセルを特定する手段と、ユニットセルを、一体の均質な材料特性を有するものとしてモデル化したときの変形力と変形とを関連付けるユニットセル均質化弾性係数を求める均質化手段と、マクロ構造体について、その全域にわたって、取得されたユニットセル均質化弾性係数を有するものとしてモデル化し、そのモデルに対し予め定めた任意の荷重条件を負荷したときの任意の位置における変形を求めるマクロスケール解析手段と、マクロスケール解析工程によって得られた任意の位置における変形を、その位置におけるユニットセルを構成する微小要素のそれぞれについての境界条件として与えて、有限要素法解析の手法を適用して、微小要素のそれぞれの局所的応答を得るローカル解析手段と、を含むことを特徴とする。

また、均質化法を用いる構造解析プログラムは、コンピュータによって実行される有限要素法解析に用いられるメッシュに分割された複数の微小要素からなり３次元的に不均質な変形特性を有するミクロ構造が１方向にのみ周期的に配置されるマクロ構造体の構造解析の手順をコンピュータに実行させるためのプログラムであって、コンピュータに、解析対象物であるマクロ構造体を適当な大きさのメッシュに分割し、メッシュ分割された解析用構造データを記憶装置に記憶する分割処理手順と、記憶装置からマクロ構造体の解析用構造データを取得し、取得した解析用構造データから１方向にのみ周期性のある単位を抽出して、マクロ構造体におけるミクロ構造の繰り返し単位であるユニットセルを特定する処理手順と、ユニットセルを、一体の均質な材料特性を有するものとしてモデル化したときの変形力と変形とを関連付けるユニットセル均質化弾性係数を求める均質化処理手順と、マクロ構造体について、その全域にわたって、求められたユニットセル均質化弾性係数を有するものとしてモデル化し、そのモデルに対し予め定めた任意の荷重条件を負荷したときの任意の位置における変形を求めるマクロスケール解析処理手順と、マクロスケール解析工程によって得られた任意の位置における変形を、その位置におけるユニットセルを構成する微小要素のそれぞれについての境界条件として与えて、有限要素法解析の手法を適用して、微小要素のそれぞれの局所的応答を得るローカル解析処理手順と、を実行させるためのものであることを特徴とする。

上記構成により、３次元的に不均質な変形特性を有するユニットセルが１方向にのみ周期的に配置されるマクロ構造の構造解析について、ユニットセルの均質化弾性係数を求め、この均質化弾性係数を用いてマクロ構造について変形力に対する変形を求め、求められた変形を、ユニットセルを構成する各微小要素のそれぞれに与えることで各微小要素の局所的応答を得る。この手順によれば、微小要素についての詳細な解析計算は、均質化弾性係数の算出工程のときと、局所的応答を得るローカル解析工程のときとの２度であり、マクロ構造体全体の変形応答は、均質化弾性係数を用いてマクロスケール解析で行うので、微小要素についての詳細な解析計算は行わなくて済む。したがって、３次元的に不均質な変形特性を有するミクロ構造が１方向にのみ周期的に配置され、周期性に直交する断面内で不均質の変形特性を有するマクロ構造体について、均質化法を適用して各微小要素の変形応答を得ることができる。そして、微小要素の全部について有限要素法を最初から最後まで適用する従来技術に対し、計算時間を短縮することが可能となる。

また、マクロ構造体は周期性配置の１方向に沿った１次元のモデルとして解析されるので、マクロ構造体の解析を簡単なモデルで行うことができる。また、マクロ構造体は１次元の梁モデルとして解析されるので、周知の梁構造解析法を用いることができる。

また、マクロ構造体は３次元のモデルとして解析されるので、例えば周期性配置の１方向に直交する断面内で不均質な荷重が負荷される場合等のモデル化ができ、より精度の高い解析が可能となる。また、マクロ構造体は３次元の直方体モデルとして解析されるので、周知の直方体構造解析法を用いることができる。

また、ユニットセルに単位変形を与えたときの応力応答に基づいて均質化弾性係数を求めるので、各微小要素に基づく計算を行うことなく、変形力−変形の簡単な実験、あるいは簡単なシミュレーション等により、均質化弾性係数を求めることができる。

また、第１均質化弾性係数として、１つの軸方向引張モード、２つのせん断モード、２つの曲げモード、１つのねじりモードについての単位変形をそれぞれ与えたときの合計６つの応答を求める。そして、この第１均質化弾性係数は、マクロ構造体を１次元の梁モデルとして解析する場合に用いられる。これにより梁モデルの解析に適した均質化弾性係数を用いることができる。

また、第２均質化弾性係数として、３つの軸方向引張モード、３つのせん断モードについての単位変形をそれぞれ与えたときの合計６つの応答を求める。そして、この第２均質化弾性係数は、マクロ構造体を３次元の直方体モデルとして解析する場合に用いられる。これにより直方体の解析に適した均質化弾性係数を用いることができる。

また、マクロ構造体の３次元モデルのローカル解析工程は、周期性配置の１方向に沿った任意の位置における各微小要素の応答を、周期性配置の１方向に沿ったマクロスケール解析における任意の位置における変形の補正項として加えるので、０次近似としてはマクロスケールの周期性配置の１方向に沿った任意の位置における変形そのものを用いることができ、さらにローカル解析によって補正することでより精度を上げることができる。

以下に図面を用いて本発明に係る実施の形態につき、詳細に説明する。以下において、均質化法を用いる構造解析方法の具体的な適用対象として、車両用の燃料電池スタックを述べるが、この適用例は、あくまで説明のための例示であって、複数の微小要素からなり３次元的に不均質な変形特性を有するミクロ構造が１方向にのみ周期的に配置されるマクロ構造体であれば、それ以外の一般的な複合構造体であってもよい。また、以下において、ユニットセル等は、それを構成する微小要素の数を例えば２７とし、また、簡単な３次元不均質の構成としたが、これは説明を簡単にするためであって、実際の構造物に適合するようにユニットセルを構成する微小要素の数をこれ以外の数とし、また実際の３次元不均質性に適合する構成とすることができる。また、以下において、不均質な変形特性として、周期性の方向に直交する断面内で材料特性は均質であるが変形力が断面内で不均質に負荷される場合を主に述べるが、断面内における材料特性が不均質な場合であってもよい。また、断面内で、材料特性と、負荷される変形力との双方が不均質な場合であってもよい。

均質化法を用いる構造解析においては、マクロ構造体の周期性配置の１方向に沿ったモデルを１次元モデルにする場合と、３次元モデルにする場合とで、処理が異なる。以下では、最初に、マクロ構造体を１次元モデルとする場合を述べ、その後に、マクロ構造体を３次元モデルとする場合について述べる。

図１は、均質化法を用いる構造解析方法が適用される車両用燃料電池スタック１０の様子を示す図である。車両用燃料電池スタック１０は、その外部を覆うケースの中に燃料電池モジュール８が複数整列配置される。また、各燃料電池モジュール８は、燃料電池の単位である単セル６が複数整列配置されて構成される。一例を上げると、１つの燃料電池スタック１０は、２０の燃料電池モジュール８で構成され、各燃料電池モジュール８はそれぞれ２０の単セル６で構成される。したがって、１つの燃料電池スタック１０は、合計４００の単セル６から構成される。

このことは、１つの燃料電池スタック１０は、２０の燃料電池モジュール８が１方向にのみ周期的に繰り返されて配置されるマクロ構造体であると見ることができる。また、各燃料電池モジュール８は、２０の単セル６が１方向にのみ周期的に繰り返されて配置されるマクロ構造体であると見ることができる。また、燃料電池モジュール８の整列配置の方向と、単セル６の整列配置の方向とが同じであるとすると、１つの燃料電池スタック１０は、４００の単セル６が１方向にのみ周期的に繰り返されて配置されるマクロ構造体であると見ることもできる。このように、単セル６は、マクロ構造体である燃料電池スタック１０において１方向にのみ周期的に繰り返して配置されるミクロ構造の単位であり、これを構造解析上のユニットセルと呼ぶことができる。また、単セル６は、周知のように、セパレータや電解質膜、触媒電極層等の複数の部材から構成される複合体であるので、この複数の部材を材料別の微小要素とすれば、単セル６は、複数の微小要素からなるミクロ構造でもある。そして、この単セル６は、これら複数の微小要素の構成により、３次元的に不均質な変形特性を有している。そこで、燃料電池スタック１０を、複数の微小要素からなり３次元的に不均質な変形特性を有するミクロ構造、すなわちユニットセルである単セル６が１方向にのみ周期的に配置されるマクロ構造体として、その構造解析に、均質化法がどのように適用されるかを以下に説明する。

図２は、均質化法を用いる構造解析装置２０のブロック図である。この構造解析装置２０は、ＣＰＵ２２と、解析の条件等を入力するキーボード等の入力部２４と、解析結果を表示するディスプレイ等の出力部２６と、解析に必要なデータやプログラムを記憶する記憶装置２８とを含んで構成される。また、通信制御部を設け、外部の設計装置、例えば燃料電池スタック設計装置等とネットワークによって接続されるものとしてもよい。かかる構造解析装置２０は、３次元シミュレーション計算に適したコンピュータ等で構成することができる。

ＣＰＵ２２は、マクロ構造体である燃料電池スタック１０において１方向にのみ周期的に配置されるユニットセルとして燃料電池の単セル６を特定するユニットセル特定モジュール３０と、ユニットセルを一体の均質な材料特性を有するものとしてモデル化し、それに単位変形を与えて均質化弾性係数を求める単位変形・均質化弾性係数算出モジュール３２と、マクロ構造体である燃料電池スタック１０を１次元梁又は３次元直方体等にモデル化し、そのモデルについて変形力に対する変形を求めるマクロスケール解析モジュール３４と、マクロスケール解析の結果の変形を、ユニットセルである燃料電池用単セル６を構成する微小要素のそれぞれに与えて、その局所的応答を得るローカル解析モジュール３６を含んで構成される。これらの機能は、ソフトウェアで実現でき、具体的にはこれらに対応した、均質化法を用いる構造解析プログラムを実行することで実現できる。これらの機能をハードウェア等で実現することもできる。

かかる構成の構造解析装置２０の作用について、特にＣＰＵ２２の各機能について、以下に詳細に説明する。図３は、均質化法を用いる構造解析方法の手順を示すフローチャートである。このフローチャートの各手順は、均質化法を用いる構造解析プログラムを構成する各処理手順に対応する。

均質化法を用いて構造解析を行うには、最初に、解析の対象物を定める。上記の例では、燃料電池スタック１０の構造解析を行うので、入力部２４から、あるいは図示されていない通信制御部を介し、燃料電池スタック設計装置から、燃料電池スタック１０の構造図等が入力される。それに対して適当な処理を施して、解析に適した単純化を行い、解析の精度に合わせて適当な大きさのメッシュに分割する。メッシュ分割は均等分割で行うことができる。また、必要に応じ、その後、材料特性の同じ部分であって隣接するメッシュを結合する処理等で、解析対象の分割数を低減させる処理を行ってもよい。このようにして、メッシュ分割された燃料電池スタック１０の解析用構造データが解析の対象物として取得される。この取得されたデータは、必要があれば一旦記憶装置２８に記憶される。

次いで、燃料電池スタック１０の解析用構造データから、１方向にのみ周期性のある単位を抽出し、これをユニットセルとして特定する（Ｓ１０）。具体的には、ＣＰＵ２２のユニットセル特定モジュール３０の機能により、解析用構造データの１方向周期性判定が行われてユニットセルの範囲が抽出される。あるいは、解析の方針として、予めユニットセルを何にするかを定めてあるときには、その部分を抽出する。上記の場合には、燃料電池の単セル６を１方向周期性の単位として解析するものとするので、メッシュ分割された単セル６の部分をユニットセルとして抽出する。これと別に、仮に、燃料電池モジュール８を１方向周期性の単位として解析するものとするときは、燃料電池モジュール８をユニットセルとして特定する。

その様子を図４に示す。図４において、単純化処理された後の燃料電池スタックがマクロ構造体４０として示されている。このマクロ構造体４０は、長手方向であるｘ₁方向にのみ規則的に周期的に繰り返して配置されるミクロ構造であるユニットセル５０を有する。各ユニットセル５０は、内部構造的に同じ内容のものであり、上記の例では、燃料電池の単セル６に対応している。マクロ構造体４０は単純に棒状の直方体として示されているが、上記のように燃料電池スタック１０はメッシュ分割がされた構造体データを有するので、マクロ構造体４０の内部はメッシュ分割されている。同様にユニットセル５０も単純に矩形ブロックで示されているが、燃料電池の単セル６の内部も、材料特性の相違に応じて微小要素にメッシュ分割がされている。

図５は、ユニットセル５０を構成する微小要素５１の様子を示す図である。ここでは、ユニットセルが２７の微小要素５１が集合したミクロ構造であることが示されている。ユニットセル５０は、燃料電池の単セル６であるので、ここでは、その構造が、２つのセパレータ５２と、その間に挟まれる膜電極アセンブリ（Ｍｅｍｂｒａｎｅ Ｅｌｅｃｔｏｒｏｄｅ Ａｓｓｅｍｂｌｙ：ＭＥＡ）５４とでモデル化されている。なお、図５に示されるｙ₁方向に沿って、セパレータ５２−ＭＥＡ（５４）−セパレータ５２が配置される。セパレータ５２とＭＥＡ５４とは材料特性が異なるので、それを示すため、ＭＥＡ（５４）を構成する微小要素に斜線を付してある。また、セパレータ５２のｙ₂ｙ₃面内は、均質な構造ではなく、その中央部５６の周りにガス供給路及び生成水排水路等が配置される。したがってセパレータ５２のｙ₂ｙ₃面内は材料特性が不均質で、それを示すために中央部５６の微小要素に斜線が付されている。

ユニットセル５０が特定されると、ユニットセルを一体の均質な材料特性を有するものとしてモデル化され、そのモデルに対し単位変形が与えられ（Ｓ１２）、その応答に基づいて均質化弾性係数が求められる（Ｓ１４）。具体的には、単位変形・均質化弾性係数算出モジュール３２の機能により、ユニットセル５０の均質化モデル化処理、単位変形処理、均質化弾性係数算出処理の順に処理が行われる。

図６は、ユニットセルをモデル化して、均質な材料特性を有するユニットセル６０とする様子を示す図である。この均質な材料特性とは、材料特性的に不均質なユニットセル５０を全体として評価し均質体としたときに、本来の不均質体と等価に見ることができる材料特性のことで、これを、均質化材料特性あるいは均質化弾性係数と呼ぶことができる。図６には、モデル化したユニットセル６０の均質化弾性係数をＤとして示してある。均質化弾性係数に（Ｈ）の記号が付されているのは、Ｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓ（均質）を示すもので、全体にバー（−）を付してあるのは、断面平均を取ってあることを示すためである。なお、文章中においては、これらの付記を省略して、均質化弾性係数を単にＤとして示す。

均質化弾性係数は、モデル化したユニットセル６０に単位変形を与え、その応答から得ることができる。以下に、単位変形と均質化弾性係数との関係を説明するために、いくつかの数式を示す。

式（１）は、弾性体に与えられる変形力Ｆと、それによって生じる変形δｕと、それらを結び付ける均質化弾性係数Ｄの関係を示すものである。

変形δｕとは、変位ｕの変化分であり、それを示すための記号として０が付されている。δｕ（ｘ₁）とは、位置ｘ₁における変形を意味する。なお、変形を示すのには、偏微分を示すのに一般的に用いられるデルタ記号をｕの前に記すことが慣例上用いられ、式（１）等ではそのように記載したが、文章中記号の変換が制約されているため、これに代えてδｕ を用いた。また、δｕに付される記号０も、文章中においては省略した。また、変形力Ｆは式（２）で示すように６次のベクトルである。

なお、式（２）のＴは転置を示す。以下においても同様である。変形力Ｆを与えたときの対象物に生じる応力σは、変形力Ｆが６次のベクトルであるのに対応し６次のベクトルであり、式（３）で表される。

ここで、変形力Ｆの各成分と、応力σの各成分とは、変形力が負荷される断面Ａについての積分を用いて式（４）で与えられる。

このように、変形力Ｆとは、広義の意味であって、いわゆるＮ（ニュートン）の次元を有する力のみならず、曲げ変形を生じさせるもの、ねじり変形を生じさせるものを広く含めている。したがって、式（１）における変形も、広義の変形力によって生じる軸方向伸び縮み歪、せん断歪、曲げ歪、ねじり歪を広く含めている。

そして、この変形力Ｆと、変形δｕとを関係付ける係数が均質化弾性係数Ｄであるが、式（４）から分かるように、変形力Ｆは断面Ａについての積分である。したがって、均質化弾性係数とは、断面Ａについての積分によって平均化されたものである。

単位変形とは、式（５）に示されるように、変形δｕにおける６次の成分のうち１つが１で、他の成分が０であるものである。したがって、上記の例において、単位変形は、６種類あることになる。

図７は、６種類の単位変形を生じさせる６つの変形モードを説明する図である。ここで破線は単位変形を生じさせる変形力が負荷される前のユニットセル６０の断面形状を示し、実線は変形力が負荷されたときの単位変形である。６つの変形モードは、図７（ａ）に示され、式（４）の第１番目の式に対応する１つの軸方向引張モードと、図７（ｂ）に示され、式（４）の第２番目、第３番目の式に対応する２つのせん断モードと、図７（ｃ）に示され、式（４）の第４番目、第５番目の式に対応する２つの曲げモードと、そして図７（ｄ）に示され、式（４）の第６番目の式に対応する１つのねじりモードである。

ここで、式（５）で与えられる単位変形を式（１）に適用すると、その単位変形を生じさせる変形力Ｆは、均質化弾性係数Ｄとなることが式（６）によって示される。

このように、モデル化したユニットセル６０に、単位変形を生じさせるように変形力Ｆを負荷すると、その変形力Ｆがそのまま均質化弾性係数Ｄとなる。このことから、均質化弾性係数Ｄとは、断面Ａについて平均化された剛性、すなわち均質化断面剛性というべきものであることが分かる。式（６）では、式（５）に示される１種類の単位変形に対する６次の均質化弾性係数Ｄが示されているが、上記のように単位変形は６種類あるので、均質化弾性係数Ｄ全体は、６×６のマトリクスで示されることになる。

このような均質化弾性係数Ｄの算出、すなわち単位変形を生じさせる変形力Ｆの算出は、実際のユニットセル５０、すなわち、実際の燃料電池用単セル６を材料特性試験機にかける簡単な実験で求めることができる。あるいは、燃料電池用単セル６を材料別に微小要素に細分割し、各微小要素に適当な材料特性を与えてシミュレーションを実行させることで算出することもできる。

再び図３に戻り、均質化弾性係数Ｄが算出されると、マクロ構造体４０がその均質化弾性係数Ｄを有し、周期性配置の１方向に沿った１次元梁としてモデル化される。そして、均質化弾性係数Ｄを有する１次元梁について周知の梁構造解析手法によりマクロスケール解析が行われる（Ｓ１６）。具体的には、マクロスケール解析モジュール３４の機能により、マクロ構造体４０の構造データを用いて周期性配置の１方向を長手方向とする１次元梁にモデル化し、その梁が均質化弾性係数Ｄを有するものとして、任意の荷重を負荷したときの長手方向の任意の位置における変形を求める。すなわち、任意の荷重条件を入力部２４から与え、それに対する均質化梁モデルの長手方向の任意の位置における断面の変形を算出して出力する。

その様子を図８に示す。ここではマクロ構造体は１次元梁７０にモデル化されており、荷重として、１次元梁７０の一方端が固定され、他方端に荷重Ｗが負荷されている。１次元梁７０はその全域にわたって均質化弾性係数Ｄを有するものであるから、この荷重条件の下での１次元梁７０の任意の位置ｘ_iにおける変形δｕ（ｘ_i）は周知の梁構造解析手法で容易に求めることができる。このように、マクロ構造体について均質化弾性係数を有するモデルを用いることで、任意の荷重条件の下での長手方向の任意の位置における変形を解析できるので、これをマクロスケール解析と呼んでいる。あるいは、これを、次のローカル解析と対比させてグローバル解析と呼ぶこともできる。

マクロスケール解析（Ｓ１６）に続いてローカル解析が行われる（Ｓ１８）。具体的には、ローカル解析モジュール３６の機能により、マクロスケール解析によって１次元梁７０の長手方向の任意の位置ｘ_iにおける変形δｕ（ｘ_i）が求められたので、これを図４のマクロ構造体４０とユニットセル５０とに戻され、ユニットセル５０を構成する各微小要素の応答が求められる。ユニットセル５０は、その内部は図５で説明したように、材料特性の相違に対応してメッシュ化された微小要素５１に分割されている。そこで、その断面に、マクロスケール解析で求められた断面についての変形δｕを適用し、これを各微小要素５１についての境界条件として与え、例えば周知の有限要素法の手法によって、その条件の下での各微小要素５１の応答を求める。各微小要素５１の応答としては、応力、歪等である。

このようにして、任意の荷重条件の下で、マクロ構造体４０におけるユニットセル５０の周期的配置の１方向に沿った任意の位置において、ユニットセル５０を構成する各微小要素５１の応答を求めることができるので、これを局所的応答解析と呼ぶことができ、これをローカル解析と呼んでいる。

上記のように、均質化法を用いる構造解析においては、まず材料特性が異なる微小要素から構成され、３次元的に不均質であるマクロ構造体について、１方向にのみ周期的に配置されるユニットセルを特定する。次に、そのユニットセルを、均質化材料特性を有するものとしてモデル化してその均質化弾性係数を求める。このことで均質化法が適用可能となる。ここでの処理は、ユニットセルの各微小要素についての解析であるので、燃料電池の単セルに対する有限要素法のメッシュ分割の下での処理となり、例えば１０，０００程度のメッシュ分割に対する処理を要する。そして、マクロ構造体を１次元のモデルとして、任意の荷重条件の下での周期性配置の１方向に沿った任意の位置における解析が行われるが、ここでの処理は、ユニットセルの各微小要素についての処理に比べ格段に少なく、例えば数１００の領域分割に対する処理で済む。その後、再びユニットセルの各微小要素の応答解析が行われるが、そこでの処理は、上記の例で、約１０，０００のメッシュ分割に対する処理となる。

したがって、均質化法を用いる構造解析に要する処理の規模は、ユニットセルを構成する各微小要素に対するローカルな解析が２度と、１次元モデル化されたマクロ構造体に対するグローバルな解析が１度である。つまり、おおよそ、ユニットセルについての有限要素法の解析に要する処理の約２倍プラスアルファで済む。図１の例では、マクロ構造体である燃料電池スタックは４００の燃料電池用単セルから構成されるので、これら全体について有限要素法を適用すると、１つのユニットセルについて要する詳細処理のおおよそ４００倍の処理を要する。このように、均質化法を用いる構造解析によれば、３次元的に不均質なマクロ構造体の構造解析を、従来技術に比して格段に少ない計算時間で処理することが可能になる。

上記の例では、マクロ構造体について均質化弾性係数を有するものとしてモデル化するに当たり、周期性配置の１方向に沿った１次元梁モデルを用いた。これにより、荷重条件として、断面に均一な荷重が負荷される場合に、迅速に構造解析を行うことができる。これに対し、断面に不均一な荷重が負荷される荷重条件の場合には、マクロ構造体に対し、１次元梁モデルを断面方向に拡張して、３次元のモデル化をすることで、詳細な構造解析を行うことができる。

この場合でも、均質化法を用いる構造解析の手順は、図３のフローチャートと同じ手順で、Ｓ１４の均質化弾性係数算出工程、Ｓ１６のマクロスケール解析工程、Ｓ１８のローカル解析工程の内容が変更になるのみである。Ｓ１０、Ｓ１２の工程の内容は図３に関連して説明したものと同一であるので、Ｓ１４からＳ１８の相違点について以下に説明する。

Ｓ１４における均質化弾性係数算出工程においては、均質化弾性係数を算出するときの単位変形を生じさせる変形モードが、１次元梁の場合に用いたものと別のものとなる。図９は、マクロ構造体のモデル化に際して３次元直方体モデルを用いる場合について、均質化弾性係数を算出するための６種類の単位変形を生じさせる６つの変形モードを説明する図である。

この場合の６つの変形モードは、図９（ａ）から（ｃ）に示される３つの軸方向引張モードと、図９（ｄ）から（ｆ）に示される３つのせん断モードである。３つの軸方向引張モードは、それぞれｙ₁軸方向の引張モード、ｙ₂軸方向の引張モード、ｙ₃軸方向の引張モードである。３つのせん断モードは、それぞれ、ｙ₁ｙ₂面内のせん断モード、ｙ₁ｙ₃面内のせん断モード、ｙ₃ｙ₂面内のせん断モードである。

この６つの変形モードについての単位変形を生じさせる変形力から、均質化弾性係数を得ることができるのは、式（６）に関し説明したところと同じである。異なるのは、マクロ構造体４０をモデル化する際に、１次元梁のモデルを用いる場合の均質化弾性係数と、３次元直方体モデルを用いる場合の均質化弾性係数との間の内容である。これらを区別するために、前者を第１均質化弾性係数、後者を第２均質化弾性係数と呼ぶことにする。

Ｓ１６のマクロスケール解析工程は、マクロ構造体を、第２均質化弾性係数を有するものとしてモデル化し、そのモデルの下で任意の荷重を負荷したとき、周期性配置の１方向に沿った任意の位置の断面における変形を求める工程である。図１０は、マクロ構造体４０を、周期性配置の１方向を長手方向とする直方体８０とし、これを均質化弾性係数を有するものとしてモデル化したときの構造解析の手順を説明する図である。図１０（ａ）は、ユニットセル５０が１方向にのみ周期性を有して配置されるマクロ構造体４０を示し、先に述べた図４と同じ内容の図である。図１０（ｂ）は、ユニットセル５０の３次元的変形の様子を示す図で、ユニットセル５０は、その周期的繰り返し方向にε₁の変形をし、その方向に直交する断面内における２つの基本軸の方向にそれぞれε₂とε₃の変形をするものとしてある。ここでε₂とε₃が相互に異なるときが断面内不均質な変形である。

図１０（ｃ）は、マクロ構造体を直方体８０にモデル化する様子を示し、（ｄ）は、一方端が固定され、他方端に荷重Ｗが負荷されるときにおける直方体８２の変形の様子を示す図である。均質化弾性係数を有する直方体８０に任意の荷重が負荷されたときにおいて、長手方向に沿った任意の位置における断面Ａ_iの変形は、周知の直方体構造解析の手法を用いて容易に計算される。このようにしてマクロスケール解析が行われる。

Ｓ１８のローカル解析は、マクロスケール解析によって得られる長手方向に沿った任意の位置の断面Ａ_iにおける変形を、ユニットセル５０の断面に適用し、その応答を得る工程である。応答は、その断面内の２次元的なものとなる。応答の内容は、応力、ひずみ等である。

図１１は、３次元的変形の各成分をどのようにして求めるかを説明するものである。ここでεは、ローカル解析で得られる結果の反映度、すなわち寄与度を示す。図１１（ａ）は、第０近似の場合で、ここではマクロスケール解析によって得られる３次元的変形の各成分がそのまま用いられ、ローカル解析によって得られる結果は考慮されない。すなわちε₁、ε₂、ε₃は、ゼロとされる。換言すれば、マクロ構造体４０の３次元的変形の第０近似としては、直方体８０の変形をそのまま用いることができる。

図１１（ｂ）は、第０近似に対する補正で、ここでは、第１軸方向、すなわちユニットセルの周期性配置の１方向についての変形は、上記第０近似で得られていると考え、これに直交する断面内の２つの基本軸方向について、ローカル解析で得られた応答を補正する。すなわち、ε₁はゼロ、ε₂、ε₃は１とされる。換言すれば、ユニットセル５０の周期性配置の１方向に直交する断面内の変形が補正される。このようにして、マクロスケール解析の結果を断面内において補正することで、３次元的ローカル解析が行われる。

図１２は、マクロ構造体４０の断面内で不均一な荷重が負荷される場合の様子の一例を示す図である。図１２（ａ）は、マクロ構造体４０を示し、（ｂ）はマクロ構造体４０の中で１方向にのみ周期的に配置される単位であるユニットセル５０を特定する様子を示す。（ｃ）は、マクロ構造体を、均質化弾性係数を有する直方体８０にモデル化し、その一方端を固定し、他方端において、その上辺と下辺にそれぞれ荷重Ｗを負荷する様子を示す図である。上辺と下辺との間の領域には、荷重は負荷されない。この場合の長手方向に沿った任意の断面Ａ_iにおける変形の大きさの分布の様子が、矢印の長さで示されている。すなわち、上辺と下辺に対応するところの変形が最も大きく、断面Ａ_i内において変形が不均一となっている。これがマクロスケール解析の結果である。

図１２（ｄ）は、マクロスケール解析の結果である不均一変形分布を、ユニットセル５０の断面に適用する様子を示す図である。ユニットセル５０の内部は、３次元的に材料特性に応じて微小要素に分割されているので、適用された不均一変形分布に対し、それぞれの微小要素が応答する。その応答は、その微小要素における応力やひずみである。このようにして、断面内不均一な荷重の負荷に対するローカル解析が行われる。

図１３は、マクロ構造体４０の断面内で不均一な荷重が負荷される場合の様子を他の例で示す図である。図１３（ａ）は、マクロ構造体４０と、マクロ構造体４０の中の１方向にのみ周期的に配置される単位であるユニットセル５０を示し、（ｂ）は、均質化弾性係数Ｄを有する直方体８０にマクロ構造体をモデル化する様子を示し、（ｃ）は、モデル化した直方体８０をメッシュに分割する様子を示す。

図１３（ｄ）は、モデル化した直方体８０の一方端を固定し、他方端の端面Ａ_iにおいて、４つの支持材９０を介し荷重Ｗを負荷する様子を示す図である。図１３（ｅ）に示すように、４つの支持材は、直方体８０の他方端の端面Ａ_i内における４つの支持点９２で固定される。すなわち端面Ａ_iの断面内において、荷重Ｗは、４つの支持点９２に偏在して負荷される。この荷重条件の下でマクロスケール解析が行われ、その結果が、ユニットセル５０に適用されて、ユニットセル５０を構成する各微小要素の応答を求めることで、ローカル解析が行われる。

このようにして、マクロ構造体を、均質化弾性係数を有するものとしてモデル化する際に、３次元モデルを用い、ユニットセルの周期性配置の１方向に直交する断面内の不均一変形について、詳細なローカル解析を行うことができる。

上記において、材料特性は線形特性を有することを前提として述べているが、材料特性が非線形、すなわち、変形が変形力に対し非線形関係にある場合についても、均質化弾性係数Ｄを変形の関数Ｄ（δｕ）と考えることで、同様に実施を行うことが可能である。すなわち、非線形性のバネ特性、非線形性の物性、固定以外の接触問題等の大規模非線形問題についても、計算処理数を低減して解析結果を得ることが可能となる。

本発明に係る実施の形態である均質化法を用いる構造解析方法が適用される車両用燃料電池スタックの様子を示す図である。 本発明に係る実施の形態において、均質化法を用いる構造解析装置のブロック図である。 本発明に係る実施の形態において、均質化法を用いる構造解析方法の手順を示すフローチャートである。 本発明に係る実施の形態において、マクロ構造体から、周期性のある単位を抽出し、これをユニットセルとして特定する様子を示す図である。 本発明に係る実施の形態において、ユニットセルを構成する微小要素の様子を示す図である。 本発明に係る実施の形態において、ユニットセルをモデル化して、均質な材料特性を有するユニットセルとする様子を示す図である。 本発明に係る実施の形態において、６種類の単位変形を生じさせる６つの変形モードを説明する図である。 本発明に係る実施の形態において、マクロ構造体がその均質化弾性特性を有する１次元梁としてモデル化される様子を示す図である。 他の実施の形態において、３次元直方体モデルを用いる場合について、均質化弾性係数を算出するための６種類の単位変形を生じさせる６つの変形モードを説明する図である。 他の実施の形態において、マクロ構造体を、均質化弾性係数を有する直方体としてモデル化したときの構造解析の手順を説明する図である。 他の実施の形態において、３次元的変形の各成分をどのようにして求めるかを説明する図である。 他の実施の形態において、マクロ構造体の断面内で不均一な荷重が負荷される場合の様子の一例を示す図である。 他の実施の形態において、マクロ構造体の断面内で不均一な荷重が負荷される場合の様子について他の一例を示す図である。

符号の説明

６ 単セル、８ 燃料電池モジュール、１０ 燃料電池スタック、２０ 構造解析装置、２２ ＣＰＵ、２４ 入力部、２６ 出力部、２８ 記憶装置、３０ ユニットセル特定モジュール、３２ 単位変形・均質化弾性係数算出モジュール、３４ マクロスケール解析モジュール、３６ ローカル解析モジュール、４０ マクロ構造体、５０ ユニットセル、５１ 微小要素、５２ セパレータ、５４ ＭＥＡ、５６ 中央部、６０ モデル化したユニットセル、７０ １次元梁、８０，８２ 直方体、９０ 支持材、９２ 支持点。

Claims (11)

1. コンピュータによって実行される有限要素法解析に用いられるメッシュに分割された複数の微小要素からなり３次元的に不均質な変形特性を有するミクロ構造が１方向にのみ周期的に配置されるマクロ構造体の構造解析を前記コンピュータによって行う方法であって、
   解析対象物であるマクロ構造体を適当な大きさの前記メッシュに分割し、メッシュ分割された解析用構造データを記憶装置に記憶する分割工程と、
   前記記憶装置から前記マクロ構造体の解析用構造データを取得し、取得した前記解析用構造データから１方向にのみ周期性のある単位を抽出して、前記マクロ構造体における前記ミクロ構造の繰り返し単位であるユニットセルを特定する工程と、
   前記ユニットセルを、一体の均質な材料特性を有するものとしてモデル化したときの変形力と変形とを関連付けるユニットセル均質化弾性係数を求める均質化工程と、
   前記マクロ構造体について、その全域にわたって、前記求められたユニットセル均質化弾性係数を有するものとしてモデル化し、そのモデルに対し予め定めた任意の荷重条件を負荷したときの任意の位置における変形を求めるマクロスケール解析工程と、
   前記マクロスケール解析工程によって得られた前記任意の位置における変形を、その位置における前記ユニットセルを構成する前記微小要素のそれぞれについての境界条件として与えて、前記有限要素法解析の手法を適用して、前記微小要素のそれぞれの局所的応答を得るローカル解析工程と、
   を含むことを特徴とする均質化法を用いる構造解析方法。
2. 請求項１に記載の均質化法を用いる構造解析方法において、
   前記マクロスケール解析工程は、前記マクロ構造体において前記ミクロ構造が周期的に配置される１方向に沿った１次元のモデルとして解析することを特徴とする均質化法を用いる構造解析方法。
3. 請求項２に記載の均質化法を用いる構造解析方法において、
   前記マクロスケール解析工程は、前記マクロ構造体を１次元の梁モデルとして解析することを特徴とする均質化法を用いる構造解析方法。
4. 請求項１に記載の均質化法を用いる構造解析方法において、
   前記マクロスケール解析工程は、前記マクロ構造体において前記ミクロ構造が３次元的変形をする３次元のモデルとして解析することを特徴とする均質化法を用いる構造解析方法。
5. 請求項４に記載の均質化法を用いる構造解析方法において、
   前記マクロスケール解析工程は、前記マクロ構造体を３次元の直方体モデルとして解析することを特徴とする均質化法を用いる構造解析方法。
6. 請求項１に記載の均質化法を用いる構造解析方法において、
   前記均質化工程は、前記ユニットセルに前記単位変形を与えたときの前記応力応答に基づいて前記ユニットセル均質化弾性係数を求めることを特徴とする均質化法を用いる構造解析方法。
7. 請求項６に記載の均質化法を用いる構造解析方法において、
   前記均質化工程は、１つの軸方向引張モード、２つのせん断モード、２つの曲げモード、１つのねじりモードについての前記単位変形をそれぞれ与えたときの合計６つの前記応力応答を１組とする第１均質化弾性係数を求め、
   前記マクロスケール解析工程は、前記第１均質化弾性係数を用い、前記マクロ構造体を１次元の梁モデルとして解析することを特徴とする均質化法を用いる構造解析方法。
8. 請求項６に記載の均質化法を用いる構造解析方法において、
   前記均質化工程は、３つの軸方向引張モード、３つのせん断モードについての前記単位変形をそれぞれ与えたときの合計６つの前記応力応答を１組とする第２均質化弾性係数を求め、
   前記マクロスケール解析工程は、前記第２均質化弾性係数を用い、前記マクロ構造体を３次元の直方体モデルとして解析することを特徴とする均質化法を用いる構造解析方法。
9. 請求項８に記載の均質化法を用いる構造解析方法において、
   前記ローカル解析工程は、周期的に配置される１方向に沿った任意の位置における前記微小要素のそれぞれの前記局所的応答を、前記マクロスケール解析において前記周期的に配置される１方向に沿った任意の位置における変形の補正項として加えることを特徴とする均質化法を用いる構造解析方法。
10. 有限要素法解析に用いられるメッシュに分割された複数の微小要素からなり３次元的に不均質な変形特性を有するミクロ構造が１方向にのみ周期的に配置されるマクロ構造体の構造解析を行う構造解析装置であって、
    解析対象物であるマクロ構造体を適当な大きさの前記メッシュに分割し、メッシュ分割された解析用構造データを記憶する記憶部と、
    前記記憶部から前記マクロ構造体の解析用構造データを取得し、取得した前記解析用構造データから１方向にのみ周期性のある単位を抽出して、前記マクロ構造体における前記ミクロ構造の繰り返し単位であるユニットセルを特定する手段と、
    前記ユニットセルを、一体の均質な材料特性を有するものとしてモデル化したときの変形力と変形とを関連付けるユニットセル均質化弾性係数を求める均質化手段と、
    前記マクロ構造体について、その全域にわたって、前記取得されたユニットセル均質化弾性係数を有するものとしてモデル化し、そのモデルに対し予め定めた任意の荷重条件を負荷したときの任意の位置における変形を求めるマクロスケール解析手段と、
    前記マクロスケール解析工程によって得られた前記任意の位置における変形を、その位置における前記ユニットセルを構成する前記微小要素のそれぞれについての境界条件として与えて、前記有限要素法解析の手法を適用して、前記微小要素のそれぞれの局所的応答を得るローカル解析手段と、
    を含むことを特徴とする均質化法を用いる構造解析装置。
11. コンピュータによって実行される有限要素法解析に用いられるメッシュに分割された複数の微小要素からなり３次元的に不均質な変形特性を有するミクロ構造が１方向にのみ周期的に配置されるマクロ構造体の構造解析の手順を前記コンピュータに実行させるためのプログラムであって、前記コンピュータに、
    解析対象物であるマクロ構造体を適当な大きさの前記メッシュに分割し、メッシュ分割された解析用構造データを記憶装置に記憶する分割処理手順と、
    前記記憶装置から前記マクロ構造体の解析用構造データを取得し、取得した前記解析用構造データから１方向にのみ周期性のある単位を抽出して、前記マクロ構造体における前記ミクロ構造の繰り返し単位であるユニットセルを特定する処理手順と、
    前記ユニットセルを、一体の均質な材料特性を有するものとしてモデル化したときの変形力と変形とを関連付けるユニットセル均質化弾性係数を求める均質化処理手順と、
    前記マクロ構造体について、その全域にわたって、前記求められたユニットセル均質化弾性係数を有するものとしてモデル化し、そのモデルに対し予め定めた任意の荷重条件を負荷したときの任意の位置における変形を求めるマクロスケール解析処理手順と、
    前記マクロスケール解析工程によって得られた前記任意の位置における変形を、その位置における前記ユニットセルを構成する前記微小要素のそれぞれについての境界条件として与えて、前記有限要素法解析の手法を適用して、前記微小要素のそれぞれの局所的応答を得るローカル解析処理手順と、
    を実行させるための均質化法を用いる構造解析プログラム。

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