JP3704195B2

JP3704195B2 - 超電導体の電磁界シミュレーション方法

Info

Publication number: JP3704195B2
Application number: JP08653496A
Authority: JP
Inventors: 充澤村; 昌則槌本; 芳生平野
Original assignee: Nippon Steel Corp
Current assignee: Nippon Steel Corp
Priority date: 1996-04-09
Filing date: 1996-04-09
Publication date: 2005-10-05
Anticipated expiration: 2016-04-09
Also published as: JPH09283319A

Description

【０００１】
【発明の属する技術分野】
本発明は、例えばＭＲＩ、リニアモーターカー等の超電導機器において、磁気シールドおよび超電導マグネットなどに使用される超電導体内外の電磁界シミュレーションをおこなう方法に関するものである。
【０００２】
【従来の技術】
近年では、ＭＲＩ、磁気浮上搬送装置など超電導を利用した様々な装置が考案、実用化されている。超電導の応用分野でも特に超電導線材をコイル状に巻き、通電する超電導マグネットとしての利用がほとんどであった。しかし、最近では超電導体をシート状、またはバルク状に加工し、磁界発生源から磁気的に隔絶する磁気シールドとしての利用や、着磁して超電導マグネットとしての利用といった超電導体の磁気的な側面を利用した応用、実用化が広がりつつある。これらの応用では、そのシールド能力や磁界発生能力は、超電導特性、特に超電導体に流れうる最大の電流密度（臨界電流密度；Ｊｃ）とその形状によって様々に変化する。それゆえ、装置設計の段階から超電導の特性と形状を考慮しておく必要がある。しかし、実験でのシミュレーションは経済性及び時間の観点から頻繁に試行実験を行うことは難しい。そこで、実験にかわり計算による超電導体の電磁界シミュレーションによって、必要とする特性や形状をあらかじめ予測し、絞った開発を行うことのできる手法が求められていた。
【０００３】
シールド体や着磁マグネットとして利用する場合、外部の磁場の大きさや方向の変化に対して、超電導体内部にはその磁場の大きさに応じて電流が自発的に流れ、この電流密度値が超電導体に流すことのできる最大の電流密度値（臨界電流密度）が流れる。これを臨界状態と呼ぶが、超電導シミュレーション手法での目標は、超電導体内での電流分布を臨界状態に近づけるように解くことである。つまり、臨界状態とは超電導体内の磁界変動を出来るだけ抑えるべく、自発的に電流を臨界電流密度で流している状態である。これを模擬する手法は、大きく分けて２種類ある。一つは、直接求める変数を磁気ベクトルポテンシャル（Ａ）とする方法（１）であり、もう一つは電流ベクトルポテンシャル（Ｔ）とする方法（２）である。以下にマクスウェル方程式から導かれる基礎方程式をあげておく。
【数１】

【０００４】
ここでＪ₀、Ｈ₀はそれぞれ外部から与えられる電流密度（強制電流密度）、磁界の強さ（強制磁界）を表し、σ、μはそれぞれ電気伝導度、透磁率を表し、ｔは時間を表している。この式から分かるように、前者は電流密度を外部から条件が与えられる項（強制項）として代入することが可能であるため、単に臨界電流密度の値を代入するだけで、臨界状態を模擬できる反面、軸対称でない三次元問題を解く場合にそのままでは電流の保存則が成り立たない欠点があり、三次元問題を解く場合の障害となっている。というのも、本来求める解が磁場に関する変数、磁気ベクトルポテンシャル（Ａ）であり、電流密度ではないので、電流密度Ｊ₀は、そのＡの外部条件を与える単なるパラメータとして扱われ、その連続性は保証されないのである。
【０００５】
一方、本発明もこの範疇に含められる後者の方法は、計算する行列が大きくなり計算時間の点で不利ではあるが、求める解が電流密度に関する変数、電流ベクトルポテンシャル（Ｔ）であるので、解を求める際に連続性は考慮されて解かれ、三次元問題でも電流の保存則は成立するため任意形状で超電導体を扱うことが比較的容易である。しかし、電流密度を強制項として代入することができないため、個々の微小領域に流れる電流密度を該領域の電気伝導度をもって間接的に操作する必要がある。
【０００６】
この方法での従来の手法を図２に基づき以下に述べる。全体として超電導状態の理想状態（電流密度いくらでも流れる状態）を出発点とし、徐々に臨界電流密度の制限を加えてるシミュレーション方法をとる。それゆえ初期値として理想状態に近くなるよう電気伝導度（σ）を無限大としたいが、計算機上では扱うことができないので、計算機で扱える最大の値に近い値を代入してＶを解くことからシミュレーションを開始する。このＶから各電流密度（Ｊ）分布をもとめ、Ｊｃを超えた微小領域の電気伝導度（σ）を減少させて、再度計算する。以後同様に電流密度（Ｊ）分布をもとめ、Ｊｃを超えた微小領域の電気伝導度（σ）を減少させて、Ｊｃを超えた微小領域がなくなるまで繰り返し計算する。
【０００７】
この場合、問題点が２つある。１つは電気伝導度（σ）の初期値によって最終結果が異なることと、もう１つは、各ループの際にＪｃを超えた微小領域しか扱わないため、一度でもＪｃ以下に低下した微小領域は、本来Ｊｃとするべきであるにもかかわらず、取り残されてしまい、微小領域の分け方で解が異なってしまう点である。前者はσの初期値が計算機の扱える最大値と関係するため、個々の計算機の能力に左右され、収束結果も異なる可能性がある。また、後者では一般に微小領域が全体に小さく取られていれば解の精度が高まるはずが、それとは逆の現象が起こる可能性を有している。従来の方法ではこの微小領域が小さくなればなるほど、図４（Ｂ）に示すがごとく微小領域の平均電流密度として扱うので、そこに流れるＪがＪｃより極端に大きくなり、電気伝導度（σ）の更新幅が大きくなり、更新したσを用い、計算したＪはＪｃよりもかなり低い値になり、計算の対象から外され、本来Ｊｃの値を取る領域が大きく外れたＪのままとなり、結果的に微小領域が小さい方が計算機精度が悪くなる欠点をもっていた。
【０００８】
以上のように問題点としては第１に初期値によって最終結果が異なる点、第２に微小領域の分け方で解が異なってしまう点の２つがあった。
【０００９】
【発明が解決しようとする課題】
本発明は、従来方法の電気伝導度の初期値の任意性をなくし、微小領域分割の大きさによる変動が小さく、計算精度を高め、かつ計算機資源を有効に利用することができる電磁界シミュレーション方法を提供することにある。
【００１０】
【課題を解決するための手段】
本発明は、印加磁場に対して超電導材料の電流密度と、超電導材料内部およびその周囲の磁界分布を予測する目的で、超電導材料を微小領域に分割し、該微小領域に流れる電流密度Ｊを後述の（４）式で記述するポテンシャルＶで表現し、該超電導材料の電流密度が臨界電流密度を超えないよう繰り返し計算する電磁界シミュレーションにおいて、繰り返し計算の１回目に電気抵抗率を含まない支配方程式、具体的には後述の（５）式で該ポテンシャルを算出して各微小領域の電流密度を計算する第１手法と、求めた各微小領域の電流密度と該超電導材料の臨界電流密度値とを比較し、臨界電流密度値を超えた微小領域を計算機の記憶領域に記憶し、以降継続して保持する第２手法と、記憶した微小領域については、該微小領域が電気抵抗率ゼロであるとき、該微小領域の電場と電流密度から該微小領域の電気抵抗率を求めておき、臨界電流密度値Ｊｃを超えた電流密度Ｊの微小領域はその電気抵抗率ρをρ＝ρ・Ｊ／Ｊｃにより増加し、臨界電流密度値Ｊｃより低い電流密度Ｊの微小領域はその電気抵抗率ρをρ＝ρ・Ｊ／Ｊｃにより減少させ、電気抵抗率を含む支配方程式、具体的には後述の（４）式で該ポテンシャルを算出し、再度各微小領域の電流密度を計算する第３手法と、求めた各微小領域の電流密度と該超電導材料の臨界電流密度値とを比較し、該微小領域の電流密度が臨界電流密度を超えた微小領域がある場合は第２手法以降の処理を繰り返し、ない場合は収束とみなし計算を終了する第４手法を特徴とする電磁界シミュレーション方法である。
【００１１】
本発明は前述の第１手法から第４手法までを全て満たすことを特徴とする電磁界シミュレーション方法である。
【００１２】
本発明で述べる超電導材料とは、超電導体のみで構成された材料だけでなく、超電導線材や超電導多層材料といった金属材料を含むものでも良い。該金属材料には銅、銅合金材料や、銀、銀合金などが代表例としてあげられる。
【００１３】
本発明で述べる電流を記述するポテンシャルは、次の（３）および（４）式が考えられるが、本発明では（４）式に限定することとする。（４）式は（３）式に電流バーＪが２方向の成分しか流れない条件（例えば、超電導体のある面内で流れ、厚み方向への電流を無視できる場合を課した場合に得られる式で、上述の制約を受けるものの、（４）式の変数Ｖはスカラー量、つまり変数が１つとして扱えるため簡便であり、計算速度や計算機資源が有効に使える。ここでのバーｎは微小領域の表面法線単位ベクトルである。金属層と超電導層を何層か重ねた材料や酸化物超電導体のように異方性の高く、ある結晶方位については電流が流れにくい性質の材料をシミュレートする場合には（４）式の変数Ｖが有効である。
【数２】

【００１４】
本発明で述べる電気抵抗率を含む支配方程式は（５）式の有限要素回路法と呼ばれる支配方程式である。
【数３】

【００１５】
（５）式の各変数は表１に示す標記に従う。但しｔは時間である。
【００１６】
【表１】

【００１７】
本発明で述べた電気抵抗率を含まない支配方程式とは、（７）式を指す。これは電気抵抗率が零としてマクスウェル方程式から定式化した式である。
【数４】

【００１８】
本発明で述べた臨界電流密度値を超えた微小領域を計算機の記憶領域に記憶し、保持することとは、臨界電流密度値を超えた微小領域がどれなのかを計算機のメモリ上で記憶させ、一度超えた微小領域は第４手法で収束と判定されるまで保持することを意味する。具体的には微小領域に分割した数（要素数；Ｎｅ）の配列を用意し、初期設定としてある値（例えば０）を全ての配列に代入し、臨界電流密度値を超えた微小領域の通し番号に対応する配列に初期設定と違う別の値（例えば１）を代入し、一度超えた微小領域は第４手法で収束と判定されるまで保持することを指す。
【００１９】
本発明での微小領域の電場Ｅ_scは、印加磁界に対応する磁気ベクトルポテンシャルＡ₀と、各微小領域の電流密度による反磁界に対応する礎気ベクトルポテンシャルＡ_exで表される。具体的にＥ_scは（１５）式および（１６）式で表される。
【数５】

ここでμ₀、π、ｈはそれぞれ透磁率、円周率、超電導材料の厚みを指し、ｊ（ｒ′）はｒ′の位置での電流密度を指す。また、積分は超電導材料の微小領域の表面積分を意味する。
【００２０】
本発明での該微小領域の電場Ｅ_scと電流密度Ｊから該微小領域の電気抵抗率ρを求める方法は、オームの法則に従い、（１７）式より求めることを指す。
【数６】

【００２１】
本発明での臨界電流密度値を超えた電流密度の微小領域はその電気抵抗率を増加し、臨界電流密度値より低い電流密度の微小領域はその電気抵抗率を減少させる方法とは、ρ＝ρ・Ｊ／Ｊｃにより、電流密度Ｊが臨界電流密度Ｊｃに収束するように増減させて、繰り返し計算することを指す。
【００２２】
【発明の実施の形態】
本発明を図１に基づき説明する。ここで第１手法から第４手法までは図１における（ａ）から（ｄ）の計算ステップに対応する。前述のように従来の手法での問題点は初期値の任意性と微小領域の細分化に伴う解の精度悪化の２点である。これらは同形状で同特性をもつ超電導材料の計算結果が計算上の初期設定値や領域区分の方法によって異なることを意味する。本発明では、電気抵抗率をゼロとみなした時間に依存しない支配方程式で簡単に計算することで初期値を設定することなく、初期値の任意性の問題解決を図っている。これが第１手法をおこなう理由である。
【００２３】
また、領域の区分の方法で異なる最大の原因は、微小領域の電流密度がＪｃ近傍の値になるべきところ、図４（Ｂ）のようにＪｃ近傍の値とかけ離れた値に留まってしまう点である。このため第２手法において第３手法で操作する微小領域をチェックし、それを以降の繰り返し計算の際にも保持し、一度でも臨界電流密度を超えたことのある微小領域は第３手法において電気抵抗率を増減させて、電流密度Ｊが臨界電流密度Ｊｃ近傍の値に収まるよう計算している。これを第４手法において、繰り返し計算することにより、微小領域の細分化に伴う解の精度悪化を避けることができ、本来の領域の区分の微細化を伴った計算精度向上が図れる。これが第２手法、第３手法および第４手法をおこなう理由である。
【００２４】
また、第３手法では微小領域で初めて臨界電流密度を超えた場合は、該領域の電気抵抗率を該領域の電場と電流密度から求めることで、適当な電気抵抗値を得ることができ、計算収束を速め、計算機資源の有効利用ができる。
このように計算精度を高め、計算機資源を有効に利用することができる。さらに、この解析結果を用いて超電導材料を使用した装置設計などに対して経済的、時間的にも削減できる利点を持つ。
【００２５】
【実施例】
円筒加工したＣｕ／Ｎｂ／Ｎｂ−Ｔｉの３０層の多層材でＮｂ−Ｔｉ層の１層の厚みが平均１８μｍの材料について円筒軸に垂直に磁界を印加した場合（図７) について有限要素回路法をもちいて解析を行った。解析に利用した微小領域の区分は半径方向に１分割、同径方向に１０分割、長さ方向に８分割した。微小領域の形状は三角形であり、微小領域要素数は１６０である。多層材のサイズは内径２０mm、長さ２０mm、厚さ１mmである。超電導体の臨界電流密度を通電法で測定し、その結果を材料特性値として用いた。計算結果と実験値を比較した図が図８である。このように実験値と定性的に１０％の相対誤差で一致する。また本解析の収束までのループ回数は平均１３回であり、従来の方法では平均２４回であった。約半分で計算ことができた。加えて、微小領域分割数を６倍に増やしても、５％の精度で同じ値に収束した。このように計算機資源の有効利用が図れ、超電導体を含んだ材料の、形状と特性値を盛り込んでの電磁気的な応答能力を精度よく予測することが可能となった。
【００２６】
【発明の効果】
本発明を用いることにより、収束までのループ回数を低減し、かつ初期値を与える必要がないため計算解の初期値による任意性がなく一意の解が得られ、精度を高める上で必要な微小領域の細分化をおこなっても、収束結果の変わらない安定した解が得られた。これにより計算機資源の有効利用が図れ、超電導体を含んだ材料の、形状と特性値を盛り込んでの電磁気的な応答能力を精度よく予測できる効果がある。
【図面の簡単な説明】
【図１】本発明の方法の流れ図の例。
【図２】従来方法の流れ図。
【図３】従来方法で超電導板に垂直な磁界が印加された場合に初期値σにより得られる連続した電流分布図。
【図４】従来方法での微小領域区分が大きい場合の電流分布と繰り返し計算による電流分布の変化（Ａ）。微小領域区分が大きい場合の電流分布と繰り返し計算による電流分布の変化（Ｂ）を示す図。
【図５】本発明の方法で超電導板に垂直な磁界が印加された場合に初期値を必要としない第１手法により得られる連続した電流分布図。
【図６】本発明方法での微小領域区分が小さい場合の電流分布と繰り返し計算による電流分布の変化図。
【図７】円筒加工したＣｕ／Ｎｂ／Ｎｂ−Ｔｉの多層材の形状、配置と磁界測定点。
【図８】円筒加工したＣｕ／Ｎｂ／Ｎｂ−Ｔｉの多層材の計算結果（予測値）と実験結果（実験値）との比較を示す図。
【符号の説明】
（ａ）請求項の第１手法に対応する流れ図の箇所。
（ｂ）請求項の第２手法に対応する流れ図の箇所。
（ｃ）請求項の第３手法に対応する流れ図の箇所。
（ｄ）請求項の第４手法に対応する流れ図の箇所。
（２１）微小領域。
（２２）印加磁界の方向。
（２３）超電導材料。
（２４）初期値の電気電導度σを用いて得た電流密度分布。
（２５）電流を変化させる方向と大きさを概念的に示す矢印。
（２６）超電導材料の臨界電流密度を示す点線
（２７）電気電導度σを減少させる微小領域の範囲
（２８）極端なＪｃ以下の微小領域が発生した箇所
（２９）電気抵抗率を含まない支配方程式から得た電流密度分布。
（３０）電気抵抗率を増加させる微小領域の範囲。

Claims

印加磁場に対して超電導材料の電流密度と、超電導材料内部およびその周囲の磁界分布を予測する目的で、超電導材料を微小領域に分割し、該微小領域に流れる電流密度Ｊを下記（４）式で記述するポテンシャルＶで表現し、該超電導材料の電流密度が臨界電流密度を超えないよう繰り返し計算する電磁界シミュレーションにおいて、繰り返し計算の１回目に電気抵抗率を含まない下記（７）式で表される支配方程式で該ポテンシャルを算出して各微小領域の電流密度を計算する第１手法と、求めた各微小領域の電流密度と該超電導材料の臨界電流密度値とを比較し、臨界電流密度値を超えた微小領域を計算機の記憶領域に記憶し、以降継続して保持する第２手法と、記憶した微小領域については、該微小領域が電気抵抗率ゼロであるとき、該微小領域の電場と電流密度から該微小領域の電気抵抗率を求めておき、臨界電流密度値Ｊｃを超えた電流密度Ｊの微小領域はその電気抵抗率ρをρ＝ρ・Ｊ／Ｊｃにより増加し、臨界電流密度値Ｊｃより低い電流密度Ｊの微小領域はその電気抵抗率ρをρ＝ρ・Ｊ／Ｊｃにより減少させ、電気抵抗率を含む下記（５）式で表される支配方程式で該ポテンシャルを算出し、再度各微小領域の電流密度を計算する第３手法と、求めた各微小領域の電流密度と該超電導材料の臨界電流密度値とを比較し、該微小領域の電流密度が臨界電流密度を超えた微小領域がある場合は第２手法以降の処理を繰り返し、ない場合は収束とみなし計算を終了する第４手法を特徴とする超電導体の電磁界シミュレーション方法。