JP3550296B2 - 構造物の張力および曲げ剛性の測定方法 - Google Patents
構造物の張力および曲げ剛性の測定方法 Download PDFInfo
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Description
【０００１】
【発明の属する技術分野】
本発明は、橋梁ケーブル、張弦梁等の建築構造物や、生産過程の線材、板材、電線など、張力が作用する一次元はりで表される構造物における張力および曲げ剛性の測定方法に関する。
【０００２】
【従来の技術】
吊橋や斜張橋等のケーブル架設過程や架設後の維持管理においては、ケーブルにかかる張力が設計範囲内のものであるかを確認することが不可欠である。また、線材や板材等の生産過程においては、これらにかかる張力を確認することによって品質管理等を行っている場合がある。
【０００３】
このような構造物の張力を測定する方法としては、ロードセルや油圧ジャッキを用いて直接に測定する方法のほか、構造物にハンマーや加振機等によって衝撃を与え、構造物の振動を検出して周波数分析を行うことにより構造物の固有振動数を得て、この固有振動数から張力を推定する方法等が提案されている。
【０００４】
このような方法は、構造物の固有振動数と張力との間に成り立つ関係から構造物にかかる張力を算出している。この関係から張力を算出するためには、構造物の長さ、断面積、密度等が必要であるが、特に構造物の曲げ剛性は張力に大きな影響を及ぼし、また張力によってその値が変化するため、張力とともにこの曲げ剛性の値も同時に推定することによってより高い精度を得る方法（特開平０９−１０１２８９号）等も提案されている。
【０００５】
また一方、この関係を具体的に解くためには、構造物の支持形態を表す境界条件が必要となるが、従来、この境界条件としては、計算が容易な単純支持（ピン支持）あるいは固定支持を表す境界条件が用いられていた。
【０００６】
【発明が解決しようとする課題】
しかし、実際の構造物の支持形態は完全な単純支持や固定支持ではあり得ず、実際の構造物の支持形態を考慮することなく、上述のように単純支持や固定支持の境界条件を用いることは、計算が容易となる点で有効ではあるが、このような境界条件のもとで算定される構造物の張力等には誤差が含まれることとなり、高い精度が望めないという問題があった。
【０００７】
特に、構造物にかかる張力が弱い場合や曲げ剛性が大きい場合、あるいは構造物の長さが短い場合には、構造物の支持形態、すなわち上述の境界条件の設定が算定結果に大きな影響を与えることとなる。したがって、このような場合には、算定される構造物の張力等に含まれる誤差が大きく、実際の値とかけ離れた結果しか得られないという問題があった。
【０００８】
本発明は、上記のような課題に鑑みてなされたものであり、境界条件の設定が算定結果に大きな影響を与える場合においても、構造物の張力および曲げ剛性を同時に精度よく測定する方法を提供することを目的とする。
【０００９】
【課題を解決するための手段】
上記課題を解決する本発明にかかる構造物の張力および曲げ剛性の測定方法は、張力の作用している構造物に衝撃を与え、この構造物上の任意の点における振動を検出して周波数分析を行うことにより複数の固有振動数を得て、こうして得られた複数の固有振動数およびその次数と、この構造物に作用する張力および曲げ剛性との間に成り立つ関係から、この構造物の張力および曲げ剛性を算出する方法であって、この算出過程において、この構造物が回転バネ支持されていることを表現する境界条件を用い、構造物の張力および曲げ剛性とともに、境界条件となる前記回転バネのバネ定数の値を算出することを特徴とするものである。
【００１０】
この方法によれば、構造物の支持条件として回転バネ支持を表現する境界条件を用いるため、この回転バネのバネ定数が適切に設定されることによって実際の支持形態を十分に近似する支持条件を表現することができ、したがって、構造物の張力および曲げ剛性が精度よく測定される。
【００１１】
さらに、この回転バネ支持を表現する境界条件に未知数のバネ定数を含め、構造物の張力および曲げ剛性とともに、このバネ定数をも算出することにより、実際の構造物の支持条件を十分に近似する適切なバネ定数の値が算出され、このバネ定数のもとで構造物の張力および曲げ剛性が算出されるため、さらに精度よく構造物の張力および曲げ剛性を測定することができる。
【００１２】
また、このようにして構造物の張力、曲げ剛性およびバネ定数が算出されれば、逆に、この算出結果である構造物の張力、曲げ剛性およびバネ定数からこの構造物の複数の固有振動数を計算し、こうして算出結果から逆算して得られた複数の固有振動数と、実際に振動を検出して周波数分析を行うことにより得られた複数の固有振動数とを比較することによって、前記算出結果の妥当性の判定を行うことが望ましい。このような判定を行えば、妥当であると判定された算出結果については高い信頼性が得られるとともに、算出結果が妥当でないと判定されれば、計算の条件を改めるなどした上で繰り返し計算を行うことにより、最終的に信頼性の高い算出結果を得ることができる。
【００１３】
この算出結果の妥当性の判定のための具体的な条件としては、算出結果から逆算された複数の固有振動数と、実際に測定された複数の固有振動数とを、各固有振動数の次数ごとに差をとり、これらの差のうち最大のものの値が所定値以下となっているかを判定する条件や、あるいは、算出結果から逆算された複数の固有振動数と、実際に測定された複数の固有振動数との、各固有振動数の次数ごとの差の二乗を平均した値が所定値以下となっているかを判定する条件等を挙げることができる。
【００１４】
上記算出過程の具体的な手順としては、まず、回転バネのバネ定数の値を仮定しておき、この仮定のもとで構造物の張力および曲げ剛性を算出し、こうして算出された構造物の張力および曲げ剛性、ならびに、仮定したバネ定数からこの構造物の複数の固有振動数を逆算し、この逆算して得られた複数の固有振動数と、実際に振動を検出して周波数分析を行うことにより得られた複数の固有振動数とを比較することにより、バネ定数の仮定の妥当性を判定するという一連の手順を、この判定においてバネ定数の仮定の妥当性が得られるまで繰り返し行う方法を挙げることができる。
【００１５】
このように回転バネのバネ定数の値を仮定すれば未知数が減るため、構造物の張力および曲げ剛性の算出が容易となり、また、このバネ定数の値の仮定については、算出結果から逆算した固有振動数を用いて、その妥当性が判断されるため、繰り返し計算の結果、最終的には、実際の構造物の支持条件を十分に近似する適切なバネ定数が得られ、ひいては、高い信頼性を有する構造物の張力および曲げ剛性を得ることができる。
【００１６】
なお、この測定方法においては、構造物上の複数の点における振動を検出してそれぞれ周波数分析を行い、これらの分析結果を統合して構造物の固有振動数を得ることが望ましい。このように、複数点の振動を検出することとすれば、ある１つの振動検出点が振動モードの節に位置することによって、その振動モードの振動が検出されない場合であっても、他の振動検出点において振動が検出されることから、上述の算出過程においてその計算の基礎となる構造物の固有振動数を高い精度で得ることができる。
【００１７】
また、構造物全体を加振することが困難な長大な構造物の張力および曲げ剛性を測定する場合等においては、以下の測定方法が推奨される。
【００１８】
すなわち、本発明にかかる第２の構造物の張力および曲げ剛性の測定方法は、張力の作用している構造物に衝撃を与え、この構造物上の異なる２点における振動を検出して、これら２点における振動の比からこの構造物の振動伝達関数を求める周波数分析を行うことにより、この振動伝達関数の極大値または極小値を示す複数の周波数を得て、こうして得られた振動伝達関数の極大値または極小値を示す複数の周波数およびその次数と、この構造物の張力および曲げ剛性との間に成り立つ関係から、この構造物の張力および曲げ剛性を算出する方法であって、この算出過程において、この構造物が回転バネ支持されていることを表現する境界条件を用い、構造物の張力および曲げ剛性とともに、境界条件となる前記回転バネのバネ定数の値を算出することを特徴とするものである。
【００１９】
この方法によれば、構造物の支持条件として回転バネ支持を表現する境界条件を用いるため、この回転バネのバネ定数が適切に設定されることによって実際の支持形態を十分に近似する支持条件を表現することができ、したがって、構造物の張力および曲げ剛性が精度よく測定されるとともに、振動伝達関数が得られればよいことから、後述するように、小さな加振力により、短時間で測定が行われる。
【００２０】
さらに、この回転バネ支持を表現する境界条件に未知数のバネ定数を含め、構造物の張力および曲げ剛性とともに、このバネ定数をも算出することにより、実際の構造物の支持条件を十分に近似する適切なバネ定数の値が算出され、このバネ定数のもとで構造物の張力および曲げ剛性が算出されるため、さらに精度よく構造物の張力および曲げ剛性を測定することができる。
【００２１】
また、このようにして構造物の張力、曲げ剛性およびバネ定数が算出されれば、逆に、この算出結果である構造物の張力、曲げ剛性およびバネ定数から振動の検出を行う前記２点間の振動伝達関数の極大値または極小値を示す複数の周波数を逆算し、こうして算出結果から逆算して得られた振動伝達関数の極大値または極小値を示す複数の周波数と、実際に振動を検出して周波数分析を行うことにより得られた振動伝達関数の極大値または極小値を示す複数の周波数とを比較することによって、前記算出結果の妥当性の判定を行うことが望ましい。このような判定を行えば、妥当であると判定された算出結果については高い信頼性が得られるとともに、算出結果が妥当でないと判定されれば、計算の条件を改めるなどした上で繰り返し計算を行うことにより、最終的に信頼性の高い算出結果を得ることができる。
【００２２】
この算出結果の妥当性の判定のための具体的な条件としては、算出結果から逆算された振動伝達関数の極大値または極小値を示す複数の周波数と、実際に測定された振動伝達関数の極大値または極小値を示す複数の周波数とを、各周波数の次数ごとに差をとり、これらの差の最大のものの差の値が所定値以下となっているかを判定する条件や、あるいは、算出結果から逆算された振動伝達関数の極大値または極小値を示す複数の周波数と、実際に測定された振動伝達関数の極大値または極小値を示す複数の周波数との、各周波数の次数ごとの差の二乗を平均した値が所定値以下となっているかを判定する条件等を挙げることができる。
【００２３】
上記算出過程の具体的な手順としては、まず、回転バネのバネ定数の値を仮定しておき、この仮定のもとで構造物の張力および曲げ剛性を算出し、こうして算出された構造物の張力および曲げ剛性、ならびに、仮定したバネ定数から振動の検出を行う前記２点間の振動伝達関数の極大値または極小値を示す複数の周波数を逆算し、この逆算して得られた振動伝達関数の極大値または極小値を示す複数の周波数と、実際に振動を検出して周波数分析を行うことにより得られた振動伝達関数の極大値または極小値を示す複数の周波数とを比較することにより、バネ定数の仮定の妥当性を判定するという一連の手順を、この判定においてバネ定数の仮定の妥当性が得られるまで繰り返し行う方法を挙げることができる。
【００２４】
このように回転バネのバネ定数の値を仮定すれば未知数が減るため、構造物の張力および曲げ剛性の算出が容易となり、また、このバネ定数の値の仮定については、算出結果から逆算した振動伝達関数の極大値または極小値を示す周波数を用いて、その妥当性が判断されるため、繰り返し計算の結果、最終的には、実際の構造物の支持条件を十分に近似する適切なバネ定数が得られ、ひいては、高い信頼性を有する構造物の張力および曲げ剛性を得ることができる。
【００２５】
【発明の実施の形態】
上述のように、本発明にかかる測定方法は、構造物の固有振動数を用いる測定方法と、振動伝達関数を用いる測定方法の２つの方法がある。
【００２６】
まず、固有振動数を用いる測定方法について説明する。
【００２７】
この固有振動数を用いる測定方法は、測定対象となる構造物の複数の固有振動数を実測する過程と、実測された固有振動数から構造物の張力および曲げ剛性を算出する過程の、大きく２つの過程に分けることができる。
【００２８】
そこで、固有振動数を実測する過程から説明する。
【００２９】
図１は、橋梁に架けられたケーブル１０を測定対象として、本発明の測定方法を採用する場合の装置システムの一実施形態を示す概念図である。このケーブル１０上には、ケーブル１０の互いに異なる位置における振動を検出するため、２つの振動センサ２１，２２が取付けられている。これらのセンサ２１，２２によって検出された振動は、アンプ３０を介して高速フーリエ変換器（ＦＦＴ）４０に送られて周波数分析される。そして、この結果がパソコン５０に入力されて、固有振動数ｆｉの算出、さらに後述する構造物の張力Ｔおよび曲げ剛性ＥＩの算出が行われるようになっている。
【００３０】
固有振動数の実測は、このケーブル１０にハンマー等で衝撃を与えて振動を生じさせ、この振動を振動センサ２１，２２によって検出することによって行われる。なお、これら振動センサ２１，２２が検出する振動は、振動変位、振動速度または振動加速度等のいずれであってもよい。
【００３１】
図２に、振動センサ２１，２２によって測定されたケーブル１０の振動速度を高速フーリエ変換器４０で周波数分析を行った結果の一例をグラフ化して示す。図２（ａ）は、振動センサ２１による結果、図２（ｂ）が振動センサ２２による結果を表しており、これらのグラフの横軸は振動数を、縦軸は振動速度の対数値を表している。
【００３２】
この図２において、ケーブル１０の固有振動数ｆｉはこのグラフの複数のピークとして表れている。この固有振動数ｆｉは、この周波数分析の結果からパソコン５０によって検出するようになっている。また、固有振動数ｆｉの次数（振動モードの次数）ｉは、図２において各ピークの上に付したように、振動数の小さい順に決定される。
【００３３】
この図２（ａ）と（ｂ）とを比較すると、振動センサ２１，２２で検出される周波数分析の結果は、ともに同じ系の振動を検出しているものであるため、当然に同じ固有振動数ｆｉが検出されるが、両者の間でピークの表れ方に差があることが分かる。例えば、１０次、１３次等のピークは、図２（ｂ）では読み取りにくいが、図２（ａ）ではピークが高く読み取りやすい。これは、振動センサ２２の取付位置がこれらの振動モードの節の位置近傍にあるためと考えられる。しかし、複数の次数の振動を検出する場合には、すべての振動モードの節の位置を避けて振動センサを配置することは実際上不可能である。したがって、１つの振動センサのみによれば、必然的に、このような読み取りにくいピークが生じてしまう。そこで、複数の固有振動数ｆｉおよびその次数ｉを確実に検出するためには、図１に示す測定方法のように、測定対象となる構造物の複数位置の振動を検出して周波数分析を行い、こうして得られる複数の周波数分析結果を用いて固有振動数ｆｉを算出することが望ましい。
【００３４】
なお、このように固有振動数ｆｉの検出の確実性を向上させるためには、複数位置の振動を検出できればよく、この実施形態のように、必ずしも複数の振動センサを用いて同時的に振動の検出を行わなくともよい。
【００３５】
次に、このようにして得られた複数の固有振動数ｆｉから、構造物の張力Ｔおよび曲げ剛性ＥＩを算出する過程について説明する。この算出過程は、構造物の複数の固有振動数ｆｉおよびその次数ｉと、構造物の張力Ｔおよび曲げ剛性ＥＩとの間に成り立つ関係を用いるものである。そこで、この関係を導出する過程から説明する。
【００３６】
図３に示すような１次元はりで表される構造物において、張力Ｔが作用する場合のたわみｗに関する運動方程式は、一般に次式で表される。
【００３７】
【数１】
【００３８】
ただし、ｗは構造物のたわみ変位、ＥＩは曲げ剛性、Ｔは張力、ρは密度、Ａは断面積を表している。
【００３９】
ここで、たわみ変位をｗ（ｘ，ｔ）＝Ｗ（ｘ）ｅｘｐ（ｊωｔ）と変数分離し、（１）式を解くと、たわみのモードＷの一般解は次式で表される。
【００４０】
【数２】
【００４１】
ただし、
【００４２】
【数３】
【００４３】
【数４】
【００４４】
ここで、構造物両端における支持条件が、ピン支持にバネ定数Ｋの回転バネを加えた条件と考える。このとき、構造物両端（ｘ＝０，ｘ＝Ｌ）におけるたわみ変位Ｗは零であり、また、構造物両端における曲げモーメントは回転バネとつりあうことから、以下の境界条件が得られる。
【００４５】
【数５】境界条件
【００４６】
【数６】
【００４７】
【数７】
【００４８】
【数８】
【００４９】
なお、バネ定数Ｋは未知数である。
【００５０】
（２）式に、これらの境界条件（５）〜（８）式を用いることにより、次式に示す振動数方程式が導かれる。
【００５１】
【数９】
【００５２】
なお、
【００５３】
【数１０】
【００５４】
振動数方程式（９）を解くと、最終的に次式が得られる。
【００５５】
【数１１】
【００５６】
以上のようにして、構造物の固有振動数ｆｉおよびその次数ｉと、構造物の張力Ｔおよび曲げ剛性ＥＩとの間に成り立つ関係式（１１）が導かれる。なお、この式（１１）に含まれる媒介変数α，β，θは、式（３）、（４）、（１０）によって消去することができることから、この式（１１）は、固有振動数ｆｉおよびその次数ｉと、算出対象となる張力Ｔ、曲げ剛性ＥＩおよびバネ定数Ｋと、さらに既知の値として扱う密度ρ、断面積Ａおよび長さＬと、のみからなる関係式となっている。
【００５７】
この測定方法における算出過程とは、実測によって得られる構造物の固有振動数ｆｉおよびその次数ｉに対して、上述のように理論的に導かれた（１１）式の関係に最も適合する構造物の張力Ｔ、曲げ剛性ＥＩおよびバネ定数Ｋを算出するためのものである。以下、その具体的な手順について説明する。
【００５８】
この算出過程では、（１１）式の形に着目して最小２乗法を適用する。
【００５９】
（１１）式中のθは、（１０）式に定義されているようにα，βを含み、これらα、βは、（３）、（４）式で定義されているように固有振動数（角振動数ω）の関数となっているため、θは固有振動数の関数となっている。そこで、固有振動数の次数ｉに対応するθの値をθｉとして表すこととし、さらに、（１１）式中の（ｉ−θｉ／π）をＸｉで置き換える。
【００６０】
このようにすれば、固有振動数ｆｉの２乗値が、その次数ｉに対応する変数Ｘｉの多項式で表現されるため、複数個の固有振動数ｆｉの値と、その次数ｉにおけるＸｉの値（θｉの値）を用いて、この（１１）式に最小２乗法を適用することにより、同式の係数である構造物の張力Ｔおよび曲げ剛性ＥＩを得ることができる。具体的には、（１１）式に最小２乗法を適用することにより得られる次式を用いて、構造物の張力Ｔおよび曲げ剛性ＥＩが得られる。
【００６１】
【数１２】
【００６２】
ただし、上述したように、（１２）式によって張力Ｔおよび曲げ剛性ＥＩを求めるためには、Ｘｉの値、すなわちθｉの値が必要である。しかし、このθｉは、（１０）式に定義されているように、張力Ｔ、曲げ剛性ＥＩ、さらにバネ定数Ｋの関数となっているため、これら張力Ｔ等の値が決定されていなければ求めることができない。
【００６３】
そこで、バネ定数Ｋについては適当な値を仮定しておき、このバネ定数Ｋの仮定のもとで、θｉ（正確にはＸｉ）から張力Ｔおよび曲げ剛性ＥＩを算出する（１２）式と、張力Ｔおよび曲げ剛性ＥＩからθｉを算出する（１０）式とを用いて繰り返し計算を行うことにより張力Ｔおよび曲げ剛性ＥＩを求めることとする。
ここで、第ｊ回目の繰り返し計算によって得られる張力Ｔ、曲げ剛性ＥＩおよび媒介変数θは、上付き文字ｊを付して、Ｔ（ｊ），ＥＩ（ｊ），θｉ （ｊ）と表すこととする。
【００６４】
また、適当な値を仮定したバネ定数Ｋについては、その仮定した値が適当であるかを判定し、不適当な仮定であるならば、新たな値を仮定して再び上述の張力Ｔおよび曲げ剛性ＥＩを求める繰り返し計算を行うこととする。
【００６５】
このバネ定数Ｋの仮定の適不適の判定は、仮定したバネ定数Ｋの値、およびこのＫの値のもとで上記繰り返し計算により求められた張力Ｔおよび曲げ剛性ＥＩを有する系では、どのような振動が起こり、どのような固有振動数ｆｉを有するかを逆に計算し、この逆算によって得られた固有振動数ｆｉと実測によって得られる固有振動数ｆｉとを比較検討することによって行う。
【００６６】
なお、この張力Ｔおよび曲げ剛性ＥＩから固有振動数ｆiを求める計算においては、張力Ｔ、曲げ剛性ＥＩおよびバネ定数Ｋは定数として扱い、θiから固有振動数ｆiを算出する（１１）式と、固有振動数ｆiから（３）、（４）式を介してθiを算出する（１０）式とを用いて繰り返し計算を行う。ここで、第ｋ回目の繰り返し計算によって得られる固有振動数ｆiおよび媒介変数θiについては、上付き文字ｋを付して、ｆi (k) ，θi (k)と表すこととする。
【００６７】
図４に、以上のような算出過程の具体的な手順をフローチャートとして示し、以下、このフローチャートに沿って、各手順を説明する。
【００６８】
ステップＳ１：バネ定数Ｋを仮定する。ここでは、橋梁ケーブルでは固定と見なせる場合も多いので、仮定するバネ定数Ｋの初期値としては、Ｋ＝∞が推奨される。以下、ステップＳ６までは、この仮定したバネ定数Ｋのもとで、最も適当な張力Ｔおよび曲げ剛性ＥＩを算出する過程である。
【００６９】
ステップＳ２：媒介変数θｉ （０）の初期値を設定する。この初期値とは、仮定したＫのもとで、Ｔ，ＥＩを得るための繰り返し計算に用いる初期値である。例えば、θｉ （０）＝０のように設定すればよい。
【００７０】
ステップＳ３：（１２）式により、設定した初期値θｉ （０）と、実測によって得られる固有振動数ｆｉおよびその次数ｉとから、Ｔ（０），ＥＩ（０）を計算する。
【００７１】
ステップＳ４：（１０）式により、Ｔ（ｊ−１）およびＥＩ（ｊ−１）と、実測によって得られる固有振動数ｆｉおよびその次数ｉとから、θｉ （ｊ）を計算する。ただし、ωｉ＝２πｆｉである。なお、ｊは繰り返し計算を示したもので、ここではｊ−１回目の繰り返し計算によって得られたＴ（ｊ−１），ＥＩ（ｊ−１）から、ｊ回目の繰り返し計算の結果としてθｉ （ｊ）を得ている。ここに、ｊ＝１，２，…である。
【００７２】
ステップＳ５：（１２）式により、θｉ （ｊ）と、実測によって得られる固有振動数ｆｉおよびその次数ｉとから、Ｔ（ｊ）およびＥＩ（ｊ）を計算する。
【００７３】
ステップＳ６：Ｔ（ｊ）およびＥＩ（ｊ）を得る繰り返し計算の収束判定を行う。ここでは、繰り返し回数ｊ−１回目に算出されたＴ（ｊ−１）と、ｊ回目に算出されたＴ（ｊ）との比を用いた次の判別式を満足するかによって収束判定を行っている。
【００７４】
この判別式を満たしていない場合、ステップＳ４に戻り、この判別式を満たすまでステップＳ４〜Ｓ６を繰り返す。なお、この判別式を満たすＴ（ｊ）およびＥＩ（ｊ）は、ステップＳ１において仮定したバネ定数Ｋのもとで、最も適当なＴ（ｊ）およびＥＩ（ｊ）であると考えられる。
【００７５】
【数１３】
【００７６】
ステップＳ７：以下のステップは、ステップＳ１におけるバネ定数Ｋの仮定の適不適を判定する過程であり、このため、この仮定のもと、ステップＳ６までで得られたＴ（ｊ）およびＥＩ（ｊ）から、繰り返し計算により逆に固有振動数ｆｉを計算する。ここでは、この繰り返し計算のための固有振動数の初期値ｆｉ （０）を設定する。具体的には、実測された固有振動数の値ｆｉをこの初期値として用いることが推奨される。
【００７７】
ステップＳ８：（１０）式により、ｆｉ （ｋ−１）と、ステップＳ６までで得られたＴ（ｊ），ＥＩ（ｊ）とから、θｉ （ｋ）を計算する。具体的には、ｆｉ （ｋ−１）からωｉ （ｋ−１）を算出し、これを（３）、（４）式に代入することで媒介変数α、βを得て、これを（１０）式に代入することによってθｉ （ｋ）が得られる。なお、ｋ＝１，２，…である。
【００７８】
ステップＳ９：（１１）式により、θｉ （ｋ）と、ステップＳ６までで得られたＴ（ｊ），ＥＩ（ｊ）とから、ｆｉ （ｋ）を計算する。
【００７９】
ステップＳ１０：ｆｉ （ｋ）を得る繰り返し計算の収束判定を行う。ここでは、すべての次数ｉにおいて、繰り返し回数ｋ−１回目に算出されたｆｉ （ｋ−１）と、ｋ回目に算出されたｆｉ （ｋ）との比を用いた次の判別式を満足するかによって収束判定を行っている。この判別式を満たしていない場合、ステップＳ８に戻り、この判別式を満たすまでステップＳ８〜Ｓ１０を繰り返す。なお、この判別式を満たすｆｉ （ｋ）は、ステップＳ１で仮定したＫと、ステップＳ６までで算出されたＴ（ｊ）およびＥＩ（ｊ）とによる系における固有振動数である。
【００８０】
【数１４】
【００８１】
ステップＳ１１：こうして得られたｆｉ （ｋ）と、実測によって得られた固有振動数ｆｉとを比較して、バネ定数Ｋの仮定の適不適を判定する。ここでは、すべての次数ｉにおける固有振動数ｆｉについて、計算値ｆｉ （ｋ）と測定値ｆｉとの差を用いた最大値を次の判別式を満足するかによって判定を行っている。この判別式が満たされた場合は、バネ定数Ｋの仮定が妥当であったと判断して計算を終了する。一方、この判別式が満たされなかった場合には、バネ定数Ｋの仮定が妥当でなかったと判断し、ステップＳ１に戻り、バネ定数Ｋに別の値を仮定し、上記ステップＳ１〜Ｓ１１を繰り返し行う。なお、２回目以降の繰り返し計算においては、ステップＳ２で設定するθｉ （０）の初期値には、その直前の繰り返し計算において得られている収束値θｉ （ｊ）を用いることとしてもよい。
【００８２】
【数１５】
【００８３】
以上のようにして、実測された固有振動数ｆｉとその次数ｉから、構造物の張力Ｔと曲げ剛性ＥＩを算定することができる。
【００８４】
次に、振動伝達関数を用いる測定方法について説明する。
【００８５】
上述の固有振動数を用いる測定方法では、固有振動数を測定するために構造物全体を振動させる必要がある。しかし、測定対象となる構造物が長さが数百メートルに及ぶようなケーブル等の場合には、構造物全体を振動させることは容易ではなく、さらに、低次の固有振動数が非常に小さな値（例えば１Ｈｚ以下）となることがあり、振動数の測定に長時間を要する。このため、風などの不規則な外力の影響を受けやすく、必ずしも正確なデータが得られないことがある。この点、この振動伝達関数を用いる測定方法は、構造物の全体を振動させる必要がなく、測定対象が特に大きな構造物である場合等には有効な方法である。
【００８６】
この振動伝達関数を用いる測定方法も、測定対象となる構造物の振動を実測して、固有振動数を用いる方法における固有振動数に相当する、振動伝達関数の極大値または極小値を求める過程と、実測された振動伝達関数の極大値または極小値から構造物の張力および曲げ剛性を算出する過程の、大きく２つの過程に分けることができる。
【００８７】
そこで、まず、実測により振動伝達関数の極大値または極小値を得る過程から説明する。
【００８８】
この測定方法の測定システムとしても、図１に示した装置システム等を挙げることができる。ただし、この振動伝達関数を用いる方法においては、同時に構造物上の２点における振動を検出する必要があるため、図１の装置システムのように、２つの振動センサ２１，２２を配置することが必須である。
【００８９】
振動伝達関数は、測定対象となっているケーブル１０にハンマー等で衝撃を与えて振動を生じさせ、これら２つの振動センサ２１，２２によってそれぞれ検出される振動の比を周波数分析を行うことによって得られる。このハンマー等による加振点は、ケーブル１０の一端からみて２つの振動センサ２１，２２より外側とし、この加振点からケーブル１０の一端に向かう振動入射波成分と、この一端で反射して加振点に向かう振動反射波成分とをこれら２つの振動センサ２１，２２によって測定することが望ましい。なお、振動センサ２１，２２としては、振動変位、振動速度または振動加速度等のいずれを検出するものでもよい。
【００９０】
図５に、振動センサ２１，２２により振動速度を検出し、周波数分析を行うことにより得られた振動伝達関数の一例をグラフ化して示す。この図５において、振動伝達関数の極大値はこのグラフの複数のピークとして表れており、極小値はこのグラフの複数の谷として表れている。
【００９１】
図１に示した装置システムでは、この振動伝達関数から、極大値または極小値の周波数と、図５に各ピークおよび谷に付して示したこれら極大値または極小値の次数をパソコン５０によって検出するようになっている。
【００９２】
なお、このようにして得られる振動伝達関数の極大値または極小値の周波数は、一般に固有振動数よりも高くなるため、複数周期の振動を平均処理して周波数分析を行う場合、固有振動数を測定するよりも振動伝達関数の極大値または極小値の周波数の測定は短時間で行うことができる。したがって、測定中の風の影響等を抑え、高い精度の測定を行うことができる。
【００９３】
さらに、測定する周波数域は振動センサの位置により決定できるため、センサ精度に応じてセンサを配置することにより、最適な周波数域を任意に設定することで、さらに高い測定精度を得ることができる。
【００９４】
また、２つの振動センサを配置した位置の振動伝達関数を得ることができるため、構造物全体では張力等に変化がある場合であっても、任意位置の局所的な張力を得ることができる。
【００９５】
特に、振動センサ位置の近傍のみを加振することで振動伝達関数が得られるため、構造物全体を加振する必要がなく、加振の困難な長大な構造物に対しても容易に適用することができる。
【００９６】
次に、こうして得られた振動伝達関数の極大値または極小値から、構造物の張力および曲げ剛性を算出する過程について説明する。
【００９７】
図６に、振動伝達関数による方法を適用する系を模式的に示す。振動伝達関数による方法では、上述のように２つの振動センサを必要とするが、これらの振動センサは、図６に示すように、構造物の一端（以下、左端という）をｘ軸の原点として、ｘ＝Ｌ１，ｘ＝Ｌ２に配置されている。
【００９８】
この構造物のたわみｗに関する運動方程式は、上述した（１）式と同じであり、たわみ変位ｗを変数分離すれば、たわみモードＷの一般解は（２）式が得られ、この（２）式中のαおよびβは、（３）、（４）式によって定義される。
【００９９】
ここで、構造物両端における支持条件がピン支持にバネ定数Ｋの回転バネを加えた条件と考える。そして、まず、構造物の左端（ｘ＝０）における境界条件を考えると、この左端におけるたわみ変位Ｗは零であり、またこの左端における曲げモーメントは回転バネとつりあうことから、以下の境界条件が得られる。
【０１００】
【数１６】
【０１０１】
【数１７】
【０１０２】
構造物の右端（ｘ＝Ｌ）についても、回転バネによる支持を表現する境界条件としては、上述した固有振動数を用いた方法と同じ境界条件が得られるが、ここでは、次のように考える。すなわち、たわみモードＷの一般解を表す（２）式の右辺第４項：Ｃ４ｅｘｐ（βｘ）は、構造物右端（ｘ＝Ｌ）の近接場（ニアフィールド）の影響を示しているものである。この右端も回転バネで支持されているため、たわみ変位は零である。後述するが、極めて大きな値となるｅｘｐ（βＬ）に対して、この条件を満たすＣ４は極めて小さな値となる。このため、本方法ではＣ４＝０と仮定する。
【０１０３】
（２）式にｘ＝０の境界条件を示す（１６），（１７）式を代入することにより、たわみモードＷは次式のように表現できる。
【０１０４】
【数１８】
【０１０５】
なお、
【０１０６】
【数１９】
【０１０７】
次に、（１８）式で正弦関数項が零になる条件と、そのときの指数関数項の大きさを考える。
【０１０８】
【数２０】
【０１０９】
【数２１】
【０１１０】
参考のため、ｉ＝１，２の条件における指数関数項を計算すると、ｅｘｐ（−π）＝０．０４３，ｅｘｐ（−２π）＝０．００１９であり、十分に小さな値である。すなわち、ｅｘｐ（−βｘ）で表現される構造物左端（Ｌ＝０）の近接場の影響は、左端近傍に限られており、ｘ＝Ｌ１，Ｌ２点のように左端から離れた位置で、正弦波項が最初に零となる条件では、指数関数項は無視できると考えられる。前述した構造物右端（ｘ＝Ｌ）の近接場の影響を示す指数関数項ｅｘｐ（βＬ）は、この逆で極めて大きな値を示すが、その影響は右端近傍に限られており、左端近くの振動値に影響を与えることはない。
【０１１１】
以上の仮定により、最終的にたわみモードＷとして次式が導かれる。
【０１１２】
【数２２】
【０１１３】
この結果、図６に示した２点（ｘ＝Ｌ１、ｘ＝Ｌ２）間の振動伝達関数は次式として与えられる。
【０１１４】
【数２３】
【０１１５】
この式（２３）では、分子および分母が零のとき、伝達関数は極値を示す。極大値に注目すると、次の条件式が得られる。
【０１１６】
【数２４】
【０１１７】
さらにこの（２４）式に、αの定義式である（３）式を代入すると、最終的に極値の次数ｉとその周波数ｆｉとの間に次に関係式が導かれる。
【０１１８】
【数２５】
【０１１９】
以上のようにして、構造物の振動伝達関数の極大値または極小値を示す複数の周波数ｆｉおよびその次数ｉと、この構造物の張力Ｔおよび曲げ剛性ＥＩとの間に成り立つ関係式（２５）が導かれる。なお、このようにして導かれた（２５）式は、ｆｉ，θおよびＬ２の定義が異なるだけで、固有振動数を用いた方法における関係式（１１）と同じ形をしている。
【０１２０】
したがって、固有振動数ｆｉの代わりに、振動伝達関数の極大値を示す周波数ｆｉを用い、θの定義式（１０）の代わりに（１９）式を用い、さらに構造物の長さＬの代わりに振動センサ２２のケーブル左端からの距離Ｌ２を用いれば、上述した（１１）式を用いた図４のフローチャートに沿った手順と同じ手順によって、張力Ｔ、曲げ剛性ＥＩ、さらにバネ定数Ｋを算出することができる。
【０１２１】
また、（２３）式において、極小値に注目してもＬ１とＬ２が異なるだけで、（２５）式に示す関係式と同様の関係式が得られるため、振動伝達関数の極小値を示す周波数ｆｉとその次数ｉを用いても、上述した手順によって張力Ｔ、曲げ剛性ＥＩ、さらにバネ定数Ｋを算出することができる。
【０１２２】
なお、上記実施形態においては、構造物の支持条件としてピン支持に回転バネを加えた条件を用いたが、本発明における測定方法としては、回転バネを用いた支持条件を表現する境界条件であれば、上記境界条件に限定されるものではない。例えば、移動支点を設定することや、摩擦抵抗等を生じるダンパ等を加えた境界条件を設定しても良い。
【０１２３】
また、上記実施形態では、構造物の張力および曲げ剛性とともにバネ定数をも算出するものとしたが、本発明にかかる測定方法としては、構造物の支持条件を回転バネを考慮した境界条件とすれば、例えば、バネ定数の値を算出することなく、所定のバネ定数の値を設定して構造物の張力および曲げ剛性のみを算出することとしても良い。
【０１２４】
さらに、具体的な算出過程においては、バネ定数Ｋの値を仮定して、この仮定のもとで構造物の張力および曲げ剛性の算出を行うものとしたが、このような仮定をせずに直接的に構造物の張力、曲げ剛性、さらにバネ定数を同時的に算出することとしても良い。
【０１２５】
また、上記実施形態は、構造物の張力、曲げ剛性およびバネ定数を得ることができる測定方法であるが、この測定方法は、測定が必要とされる対象が張力のみや曲げ剛性のみである場合であっても当然に適用することができ、これら張力、曲げ剛性およびバネ定数をまとめて算出することによって、高い精度で必要な測定対象の値を得ることができる。
【０１２６】
【実施例】
次に、本発明にかかる測定方法の精度を実験で検証する。
【０１２７】
［実施例１］
固有振動数を用いる測定方法についての実験として、直径６ｍｍおよび８ｍｍの丸棒材を用い、種々の条件のもとで、この丸棒材の張力および曲げ剛性を測定した。表１に丸棒材の直径ｄ、曲げ剛性ＥＩ、長さＬ、張力Ｔなど数値実験で与えた緒言を示す。なお表中のξについては後述する。
【０１２８】
【表１】
【０１２９】
図７に、測定対象とした丸棒材端部の支持形態を示す。この図に示すように、丸棒材６０は、端部に孔を設け、ここにピン７０を通して固定ブロック８０左端面で支持することにより、柔らかい回転バネによって支持されている条件を模擬した。
【０１３０】
図８に、張力Ｔの算定結果を示す。○は回転バネ支持を考慮した境界条件を設定して算出を行った場合の結果であり、▲および■は、回転バネを考慮した場合との比較のため、それぞれ単純支持（ピン支持）および固定支持の境界条件を設定して算出を行った場合の結果を示している。これら単純支持および固定支持を設定した場合とは、図４のフローチャートにおいて、ステップＳ１でバネ定数Ｋの仮定をＫ＝０またはＫ＝∞とし、さらに、ステップＳ７〜Ｓ１１のバネ定数Ｋの仮定について妥当性判断を行わず、Ｋ＝０またはＫ＝∞のままステップＳ６で終了した場合であり、従来の測定方法を表現したものである。
【０１３１】
この図において、横軸に構造物の支持条件の算出結果への影響を表す、次式に示す無次元数ξをとっている。
【０１３２】
【数２６】
【０１３３】
すなわち、このξは、張力Ｔ、曲げ剛性ＥＩおよび構造物長さＬによって決定される値であり、グラフ左側のξが小さな値をとる領域ほど構造物の支持条件が大きな影響を持つ領域となっている。
【０１３４】
また、縦軸は算出された張力Ｔの値を、実際に実験において与えた張力の値Ｔによって除した値、すなわち、張力Ｔの算定精度を表している。したがって、縦軸の値が１で正解値が得られていることになる。
【０１３５】
この図から分かるように、構造物支持条件がバネ支持で近似できる場合において、この支持条件を誤って▲で示す単純支持の境界条件や■で示す固定支持の境界条件として、張力Ｔおよび曲げ剛性ＥＩの算出を行った場合には、張力Ｔの算定結果に誤差を生じ、特にξの値が小さい場合にはさらに大きな誤差を生じてしまうことが分かる。これに対して、本発明の測定方法（固有振動数を用いる方法）によれば、ξの値の小さな境界条件の影響が大きくなる領域であっても誤差が小さく、精度の高い算定結果が得られることが分かる。
【０１３６】
［実施例２］
振動伝達関数を用いる測定方法の実験として、直径６ｍｍの丸棒材を用い、表２に示す種々の条件を組み合わせて、この丸棒材の張力Ｔおよび曲げ剛性ＥＩの測定を行った。この丸棒材の支持形態は図７と同様である。
【０１３７】
【表２】
【０１３８】
図９および図１０に、張力Ｔおよび曲げ剛性ＥＩの算定結果を示す。●は回転バネ支持を考慮した境界条件を設定して算出を行った場合の結果であり、○は固定支持の境界条件を設定して算出を行った場合の結果である。
【０１３９】
これらの図から分かるように、構造物の支持条件がバネ支持で近似できる場合において、この支持条件を誤って○で示す固定支持とみなす境界条件を設定すると、張力Ｔおよび曲げ剛性ＥＩともに大きな誤差を生じることが分かる。特にξの値が小さい場合には大きな誤差が生じることが分かる。これに対して、本発明の測定方法（振動伝達関数を用いる方法）によれば、このような境界条件の影響の大きくなる領域においても誤差が小さく、精度の高い算定結果が得られることが分かる。
【０１４０】
なお、図１１に、条件ξ／π＝４．５８のときの、最終的に算出された張力Ｔ、曲げ剛性ＥＩ、バネ定数Ｋから逆算して得た振動伝達関数と、実測によって得られた振動伝達関数とを示す。この図から分かるように、逆算して得られた振動伝達関数と、実測によって得られた振動伝達関数とはほぼ一致しており、算出された張力Ｔ、曲げ剛性ＥＩ、バネ定数Ｋは実際の系とほぼ一致する精度の高い結果が得られていることが確認できる。
【０１４１】
【発明の効果】
以上のように、本発明によれば、張力の作用している構造物に衝撃を与えて振動を検出し、周波数分析を行って得られた複数の固有振動数から、構造物の張力および曲げ剛性を算出する過程において、この構造物が回転バネ支持されていることを表現する境界条件を用い、構造物の張力および曲げ剛性とともに、境界条件となる前記回転バネのバネ定数の値を算出しているので、実際の構造物の支持形態を十分に近似する支持条件を表現することができるとともに、適切なバネ定数の値が算出されるため、特に高い精度で構造物の張力および曲げ剛性を算出することができる。したがって、構造物にかかる張力が弱い場合や曲げ剛性が大きい場合、あるいは構造物の長さが短い場合など、構造物の支持形態を表す境界条件の設定が算定結果に大きな影響を与える場合であっても、構造物の張力および曲げ剛性を高い精度で測定することができる。
【０１４２】
また、構造物の張力のみを得たい場合であっても、この算出過程に必要となる曲げ剛性も同時に算出されるため、曲げ剛性を事前に測定する必要がなく、容易に測定を行うことができる。あるいはまた、構造物の曲げ剛性のみを得たい場合であっても、曲げ剛性が、張力と同時に算出されるため、張力を別途測定する必要がなく、容易に測定を行うことができる。
【０１４４】
さらにまた、構造物の張力、曲げ剛性およびバネ定数の算出結果から固有振動数を逆算し、実際に測定された固有振動数と比較することによって、前記算出結果の妥当性を判定することとすれば、算出結果に高い信頼性を得ることができる。
【０１４５】
また、回転バネのバネ定数の値を仮定しながら構造物の張力および曲げ剛性の算出を行うこととすれば、未知数を減らして張力および曲げ剛性の算出を容易なものとすることができる。
【０１４６】
さらに、構造物上の２点の振動を検出して振動伝達関数を求める周波数分析を行い、この振動伝達関数の極大値または極小値を示す複数の周波数から、構造物の張力および曲げ剛性を算出することとすれば、この振動伝達関数の極大値または極小値を示す周波数は一般に固有振動数より高いため、測定を短時間で行うことができ、測定中の風等の影響を抑えて高い精度の測定を行うことができる。また、振動センサの精度等に応じて振動検出位置を選定することにより測定周波数域を任意に設定することができるため、さらに高い測定精度を得ることができる。さらに、振動センサの位置近傍の振動伝達関数が得られるため、構造物の局所的な張力等を得ることができる。また、振動センサ位置の近傍のみを加振することで振動伝達関数が得られるため、構造物全体を加振する必要がなく、加振の困難な長大な構造物に対しても容易に適用することができる。
【図面の簡単な説明】
【図１】本発明にかかる測定方法を採用する装置システムの一実施形態を示す概略図である。
【図２】固有振動数を用いる測定方法において、振動センサに検出された振動を周波数分析した結果の一例を示すグラフである。
【図３】固有振動数を用いる測定方法の説明図である。
【図４】固有振動数を用いる測定方法の算出過程の具体的手順を示すフローチャートである。
【図５】振動伝達関数を用いる測定方法において、周波数分析により得られた振動伝達関数の一例を示すグラフである。
【図６】振動伝達関数を用いる測定方法の説明図である。
【図７】実施例における丸棒材端部の支持形態の説明図である。
【図８】固有振動数を用いる測定方法による、張力Ｔの算定結果である。
【図９】振動伝達関数を用いる測定方法による、張力Ｔの算定結果である。
【図１０】振動伝達関数を用いる測定方法による、曲げ剛性ＥＩの算定結果である。
【図１１】振動伝達関数を用いる測定方法による、算出結果から逆算した振動伝達関数と、実測による振動伝達関数を示すグラフである。
【符号の説明】
１０ ケーブル
２１，２２ 振動センサ
３０ アンプ
４０ 高速フーリエ変換器（ＦＦＴ）
５０ パソコン
【発明の属する技術分野】
本発明は、橋梁ケーブル、張弦梁等の建築構造物や、生産過程の線材、板材、電線など、張力が作用する一次元はりで表される構造物における張力および曲げ剛性の測定方法に関する。
【０００２】
【従来の技術】
吊橋や斜張橋等のケーブル架設過程や架設後の維持管理においては、ケーブルにかかる張力が設計範囲内のものであるかを確認することが不可欠である。また、線材や板材等の生産過程においては、これらにかかる張力を確認することによって品質管理等を行っている場合がある。
【０００３】
このような構造物の張力を測定する方法としては、ロードセルや油圧ジャッキを用いて直接に測定する方法のほか、構造物にハンマーや加振機等によって衝撃を与え、構造物の振動を検出して周波数分析を行うことにより構造物の固有振動数を得て、この固有振動数から張力を推定する方法等が提案されている。
【０００４】
このような方法は、構造物の固有振動数と張力との間に成り立つ関係から構造物にかかる張力を算出している。この関係から張力を算出するためには、構造物の長さ、断面積、密度等が必要であるが、特に構造物の曲げ剛性は張力に大きな影響を及ぼし、また張力によってその値が変化するため、張力とともにこの曲げ剛性の値も同時に推定することによってより高い精度を得る方法（特開平０９−１０１２８９号）等も提案されている。
【０００５】
また一方、この関係を具体的に解くためには、構造物の支持形態を表す境界条件が必要となるが、従来、この境界条件としては、計算が容易な単純支持（ピン支持）あるいは固定支持を表す境界条件が用いられていた。
【０００６】
【発明が解決しようとする課題】
しかし、実際の構造物の支持形態は完全な単純支持や固定支持ではあり得ず、実際の構造物の支持形態を考慮することなく、上述のように単純支持や固定支持の境界条件を用いることは、計算が容易となる点で有効ではあるが、このような境界条件のもとで算定される構造物の張力等には誤差が含まれることとなり、高い精度が望めないという問題があった。
【０００７】
特に、構造物にかかる張力が弱い場合や曲げ剛性が大きい場合、あるいは構造物の長さが短い場合には、構造物の支持形態、すなわち上述の境界条件の設定が算定結果に大きな影響を与えることとなる。したがって、このような場合には、算定される構造物の張力等に含まれる誤差が大きく、実際の値とかけ離れた結果しか得られないという問題があった。
【０００８】
本発明は、上記のような課題に鑑みてなされたものであり、境界条件の設定が算定結果に大きな影響を与える場合においても、構造物の張力および曲げ剛性を同時に精度よく測定する方法を提供することを目的とする。
【０００９】
【課題を解決するための手段】
上記課題を解決する本発明にかかる構造物の張力および曲げ剛性の測定方法は、張力の作用している構造物に衝撃を与え、この構造物上の任意の点における振動を検出して周波数分析を行うことにより複数の固有振動数を得て、こうして得られた複数の固有振動数およびその次数と、この構造物に作用する張力および曲げ剛性との間に成り立つ関係から、この構造物の張力および曲げ剛性を算出する方法であって、この算出過程において、この構造物が回転バネ支持されていることを表現する境界条件を用い、構造物の張力および曲げ剛性とともに、境界条件となる前記回転バネのバネ定数の値を算出することを特徴とするものである。
【００１０】
この方法によれば、構造物の支持条件として回転バネ支持を表現する境界条件を用いるため、この回転バネのバネ定数が適切に設定されることによって実際の支持形態を十分に近似する支持条件を表現することができ、したがって、構造物の張力および曲げ剛性が精度よく測定される。
【００１１】
さらに、この回転バネ支持を表現する境界条件に未知数のバネ定数を含め、構造物の張力および曲げ剛性とともに、このバネ定数をも算出することにより、実際の構造物の支持条件を十分に近似する適切なバネ定数の値が算出され、このバネ定数のもとで構造物の張力および曲げ剛性が算出されるため、さらに精度よく構造物の張力および曲げ剛性を測定することができる。
【００１２】
また、このようにして構造物の張力、曲げ剛性およびバネ定数が算出されれば、逆に、この算出結果である構造物の張力、曲げ剛性およびバネ定数からこの構造物の複数の固有振動数を計算し、こうして算出結果から逆算して得られた複数の固有振動数と、実際に振動を検出して周波数分析を行うことにより得られた複数の固有振動数とを比較することによって、前記算出結果の妥当性の判定を行うことが望ましい。このような判定を行えば、妥当であると判定された算出結果については高い信頼性が得られるとともに、算出結果が妥当でないと判定されれば、計算の条件を改めるなどした上で繰り返し計算を行うことにより、最終的に信頼性の高い算出結果を得ることができる。
【００１３】
この算出結果の妥当性の判定のための具体的な条件としては、算出結果から逆算された複数の固有振動数と、実際に測定された複数の固有振動数とを、各固有振動数の次数ごとに差をとり、これらの差のうち最大のものの値が所定値以下となっているかを判定する条件や、あるいは、算出結果から逆算された複数の固有振動数と、実際に測定された複数の固有振動数との、各固有振動数の次数ごとの差の二乗を平均した値が所定値以下となっているかを判定する条件等を挙げることができる。
【００１４】
上記算出過程の具体的な手順としては、まず、回転バネのバネ定数の値を仮定しておき、この仮定のもとで構造物の張力および曲げ剛性を算出し、こうして算出された構造物の張力および曲げ剛性、ならびに、仮定したバネ定数からこの構造物の複数の固有振動数を逆算し、この逆算して得られた複数の固有振動数と、実際に振動を検出して周波数分析を行うことにより得られた複数の固有振動数とを比較することにより、バネ定数の仮定の妥当性を判定するという一連の手順を、この判定においてバネ定数の仮定の妥当性が得られるまで繰り返し行う方法を挙げることができる。
【００１５】
このように回転バネのバネ定数の値を仮定すれば未知数が減るため、構造物の張力および曲げ剛性の算出が容易となり、また、このバネ定数の値の仮定については、算出結果から逆算した固有振動数を用いて、その妥当性が判断されるため、繰り返し計算の結果、最終的には、実際の構造物の支持条件を十分に近似する適切なバネ定数が得られ、ひいては、高い信頼性を有する構造物の張力および曲げ剛性を得ることができる。
【００１６】
なお、この測定方法においては、構造物上の複数の点における振動を検出してそれぞれ周波数分析を行い、これらの分析結果を統合して構造物の固有振動数を得ることが望ましい。このように、複数点の振動を検出することとすれば、ある１つの振動検出点が振動モードの節に位置することによって、その振動モードの振動が検出されない場合であっても、他の振動検出点において振動が検出されることから、上述の算出過程においてその計算の基礎となる構造物の固有振動数を高い精度で得ることができる。
【００１７】
また、構造物全体を加振することが困難な長大な構造物の張力および曲げ剛性を測定する場合等においては、以下の測定方法が推奨される。
【００１８】
すなわち、本発明にかかる第２の構造物の張力および曲げ剛性の測定方法は、張力の作用している構造物に衝撃を与え、この構造物上の異なる２点における振動を検出して、これら２点における振動の比からこの構造物の振動伝達関数を求める周波数分析を行うことにより、この振動伝達関数の極大値または極小値を示す複数の周波数を得て、こうして得られた振動伝達関数の極大値または極小値を示す複数の周波数およびその次数と、この構造物の張力および曲げ剛性との間に成り立つ関係から、この構造物の張力および曲げ剛性を算出する方法であって、この算出過程において、この構造物が回転バネ支持されていることを表現する境界条件を用い、構造物の張力および曲げ剛性とともに、境界条件となる前記回転バネのバネ定数の値を算出することを特徴とするものである。
【００１９】
この方法によれば、構造物の支持条件として回転バネ支持を表現する境界条件を用いるため、この回転バネのバネ定数が適切に設定されることによって実際の支持形態を十分に近似する支持条件を表現することができ、したがって、構造物の張力および曲げ剛性が精度よく測定されるとともに、振動伝達関数が得られればよいことから、後述するように、小さな加振力により、短時間で測定が行われる。
【００２０】
さらに、この回転バネ支持を表現する境界条件に未知数のバネ定数を含め、構造物の張力および曲げ剛性とともに、このバネ定数をも算出することにより、実際の構造物の支持条件を十分に近似する適切なバネ定数の値が算出され、このバネ定数のもとで構造物の張力および曲げ剛性が算出されるため、さらに精度よく構造物の張力および曲げ剛性を測定することができる。
【００２１】
また、このようにして構造物の張力、曲げ剛性およびバネ定数が算出されれば、逆に、この算出結果である構造物の張力、曲げ剛性およびバネ定数から振動の検出を行う前記２点間の振動伝達関数の極大値または極小値を示す複数の周波数を逆算し、こうして算出結果から逆算して得られた振動伝達関数の極大値または極小値を示す複数の周波数と、実際に振動を検出して周波数分析を行うことにより得られた振動伝達関数の極大値または極小値を示す複数の周波数とを比較することによって、前記算出結果の妥当性の判定を行うことが望ましい。このような判定を行えば、妥当であると判定された算出結果については高い信頼性が得られるとともに、算出結果が妥当でないと判定されれば、計算の条件を改めるなどした上で繰り返し計算を行うことにより、最終的に信頼性の高い算出結果を得ることができる。
【００２２】
この算出結果の妥当性の判定のための具体的な条件としては、算出結果から逆算された振動伝達関数の極大値または極小値を示す複数の周波数と、実際に測定された振動伝達関数の極大値または極小値を示す複数の周波数とを、各周波数の次数ごとに差をとり、これらの差の最大のものの差の値が所定値以下となっているかを判定する条件や、あるいは、算出結果から逆算された振動伝達関数の極大値または極小値を示す複数の周波数と、実際に測定された振動伝達関数の極大値または極小値を示す複数の周波数との、各周波数の次数ごとの差の二乗を平均した値が所定値以下となっているかを判定する条件等を挙げることができる。
【００２３】
上記算出過程の具体的な手順としては、まず、回転バネのバネ定数の値を仮定しておき、この仮定のもとで構造物の張力および曲げ剛性を算出し、こうして算出された構造物の張力および曲げ剛性、ならびに、仮定したバネ定数から振動の検出を行う前記２点間の振動伝達関数の極大値または極小値を示す複数の周波数を逆算し、この逆算して得られた振動伝達関数の極大値または極小値を示す複数の周波数と、実際に振動を検出して周波数分析を行うことにより得られた振動伝達関数の極大値または極小値を示す複数の周波数とを比較することにより、バネ定数の仮定の妥当性を判定するという一連の手順を、この判定においてバネ定数の仮定の妥当性が得られるまで繰り返し行う方法を挙げることができる。
【００２４】
このように回転バネのバネ定数の値を仮定すれば未知数が減るため、構造物の張力および曲げ剛性の算出が容易となり、また、このバネ定数の値の仮定については、算出結果から逆算した振動伝達関数の極大値または極小値を示す周波数を用いて、その妥当性が判断されるため、繰り返し計算の結果、最終的には、実際の構造物の支持条件を十分に近似する適切なバネ定数が得られ、ひいては、高い信頼性を有する構造物の張力および曲げ剛性を得ることができる。
【００２５】
【発明の実施の形態】
上述のように、本発明にかかる測定方法は、構造物の固有振動数を用いる測定方法と、振動伝達関数を用いる測定方法の２つの方法がある。
【００２６】
まず、固有振動数を用いる測定方法について説明する。
【００２７】
この固有振動数を用いる測定方法は、測定対象となる構造物の複数の固有振動数を実測する過程と、実測された固有振動数から構造物の張力および曲げ剛性を算出する過程の、大きく２つの過程に分けることができる。
【００２８】
そこで、固有振動数を実測する過程から説明する。
【００２９】
図１は、橋梁に架けられたケーブル１０を測定対象として、本発明の測定方法を採用する場合の装置システムの一実施形態を示す概念図である。このケーブル１０上には、ケーブル１０の互いに異なる位置における振動を検出するため、２つの振動センサ２１，２２が取付けられている。これらのセンサ２１，２２によって検出された振動は、アンプ３０を介して高速フーリエ変換器（ＦＦＴ）４０に送られて周波数分析される。そして、この結果がパソコン５０に入力されて、固有振動数ｆｉの算出、さらに後述する構造物の張力Ｔおよび曲げ剛性ＥＩの算出が行われるようになっている。
【００３０】
固有振動数の実測は、このケーブル１０にハンマー等で衝撃を与えて振動を生じさせ、この振動を振動センサ２１，２２によって検出することによって行われる。なお、これら振動センサ２１，２２が検出する振動は、振動変位、振動速度または振動加速度等のいずれであってもよい。
【００３１】
図２に、振動センサ２１，２２によって測定されたケーブル１０の振動速度を高速フーリエ変換器４０で周波数分析を行った結果の一例をグラフ化して示す。図２（ａ）は、振動センサ２１による結果、図２（ｂ）が振動センサ２２による結果を表しており、これらのグラフの横軸は振動数を、縦軸は振動速度の対数値を表している。
【００３２】
この図２において、ケーブル１０の固有振動数ｆｉはこのグラフの複数のピークとして表れている。この固有振動数ｆｉは、この周波数分析の結果からパソコン５０によって検出するようになっている。また、固有振動数ｆｉの次数（振動モードの次数）ｉは、図２において各ピークの上に付したように、振動数の小さい順に決定される。
【００３３】
この図２（ａ）と（ｂ）とを比較すると、振動センサ２１，２２で検出される周波数分析の結果は、ともに同じ系の振動を検出しているものであるため、当然に同じ固有振動数ｆｉが検出されるが、両者の間でピークの表れ方に差があることが分かる。例えば、１０次、１３次等のピークは、図２（ｂ）では読み取りにくいが、図２（ａ）ではピークが高く読み取りやすい。これは、振動センサ２２の取付位置がこれらの振動モードの節の位置近傍にあるためと考えられる。しかし、複数の次数の振動を検出する場合には、すべての振動モードの節の位置を避けて振動センサを配置することは実際上不可能である。したがって、１つの振動センサのみによれば、必然的に、このような読み取りにくいピークが生じてしまう。そこで、複数の固有振動数ｆｉおよびその次数ｉを確実に検出するためには、図１に示す測定方法のように、測定対象となる構造物の複数位置の振動を検出して周波数分析を行い、こうして得られる複数の周波数分析結果を用いて固有振動数ｆｉを算出することが望ましい。
【００３４】
なお、このように固有振動数ｆｉの検出の確実性を向上させるためには、複数位置の振動を検出できればよく、この実施形態のように、必ずしも複数の振動センサを用いて同時的に振動の検出を行わなくともよい。
【００３５】
次に、このようにして得られた複数の固有振動数ｆｉから、構造物の張力Ｔおよび曲げ剛性ＥＩを算出する過程について説明する。この算出過程は、構造物の複数の固有振動数ｆｉおよびその次数ｉと、構造物の張力Ｔおよび曲げ剛性ＥＩとの間に成り立つ関係を用いるものである。そこで、この関係を導出する過程から説明する。
【００３６】
図３に示すような１次元はりで表される構造物において、張力Ｔが作用する場合のたわみｗに関する運動方程式は、一般に次式で表される。
【００３７】
【数１】
ただし、ｗは構造物のたわみ変位、ＥＩは曲げ剛性、Ｔは張力、ρは密度、Ａは断面積を表している。
【００３９】
ここで、たわみ変位をｗ（ｘ，ｔ）＝Ｗ（ｘ）ｅｘｐ（ｊωｔ）と変数分離し、（１）式を解くと、たわみのモードＷの一般解は次式で表される。
【００４０】
【数２】
ただし、
【００４２】
【数３】
【数４】
ここで、構造物両端における支持条件が、ピン支持にバネ定数Ｋの回転バネを加えた条件と考える。このとき、構造物両端（ｘ＝０，ｘ＝Ｌ）におけるたわみ変位Ｗは零であり、また、構造物両端における曲げモーメントは回転バネとつりあうことから、以下の境界条件が得られる。
【００４５】
【数５】境界条件
【数６】
【数７】
【数８】
なお、バネ定数Ｋは未知数である。
【００５０】
（２）式に、これらの境界条件（５）〜（８）式を用いることにより、次式に示す振動数方程式が導かれる。
【００５１】
【数９】
なお、
【００５３】
【数１０】
振動数方程式（９）を解くと、最終的に次式が得られる。
【００５５】
【数１１】
以上のようにして、構造物の固有振動数ｆｉおよびその次数ｉと、構造物の張力Ｔおよび曲げ剛性ＥＩとの間に成り立つ関係式（１１）が導かれる。なお、この式（１１）に含まれる媒介変数α，β，θは、式（３）、（４）、（１０）によって消去することができることから、この式（１１）は、固有振動数ｆｉおよびその次数ｉと、算出対象となる張力Ｔ、曲げ剛性ＥＩおよびバネ定数Ｋと、さらに既知の値として扱う密度ρ、断面積Ａおよび長さＬと、のみからなる関係式となっている。
【００５７】
この測定方法における算出過程とは、実測によって得られる構造物の固有振動数ｆｉおよびその次数ｉに対して、上述のように理論的に導かれた（１１）式の関係に最も適合する構造物の張力Ｔ、曲げ剛性ＥＩおよびバネ定数Ｋを算出するためのものである。以下、その具体的な手順について説明する。
【００５８】
この算出過程では、（１１）式の形に着目して最小２乗法を適用する。
【００５９】
（１１）式中のθは、（１０）式に定義されているようにα，βを含み、これらα、βは、（３）、（４）式で定義されているように固有振動数（角振動数ω）の関数となっているため、θは固有振動数の関数となっている。そこで、固有振動数の次数ｉに対応するθの値をθｉとして表すこととし、さらに、（１１）式中の（ｉ−θｉ／π）をＸｉで置き換える。
【００６０】
このようにすれば、固有振動数ｆｉの２乗値が、その次数ｉに対応する変数Ｘｉの多項式で表現されるため、複数個の固有振動数ｆｉの値と、その次数ｉにおけるＸｉの値（θｉの値）を用いて、この（１１）式に最小２乗法を適用することにより、同式の係数である構造物の張力Ｔおよび曲げ剛性ＥＩを得ることができる。具体的には、（１１）式に最小２乗法を適用することにより得られる次式を用いて、構造物の張力Ｔおよび曲げ剛性ＥＩが得られる。
【００６１】
【数１２】
ただし、上述したように、（１２）式によって張力Ｔおよび曲げ剛性ＥＩを求めるためには、Ｘｉの値、すなわちθｉの値が必要である。しかし、このθｉは、（１０）式に定義されているように、張力Ｔ、曲げ剛性ＥＩ、さらにバネ定数Ｋの関数となっているため、これら張力Ｔ等の値が決定されていなければ求めることができない。
【００６３】
そこで、バネ定数Ｋについては適当な値を仮定しておき、このバネ定数Ｋの仮定のもとで、θｉ（正確にはＸｉ）から張力Ｔおよび曲げ剛性ＥＩを算出する（１２）式と、張力Ｔおよび曲げ剛性ＥＩからθｉを算出する（１０）式とを用いて繰り返し計算を行うことにより張力Ｔおよび曲げ剛性ＥＩを求めることとする。
ここで、第ｊ回目の繰り返し計算によって得られる張力Ｔ、曲げ剛性ＥＩおよび媒介変数θは、上付き文字ｊを付して、Ｔ（ｊ），ＥＩ（ｊ），θｉ （ｊ）と表すこととする。
【００６４】
また、適当な値を仮定したバネ定数Ｋについては、その仮定した値が適当であるかを判定し、不適当な仮定であるならば、新たな値を仮定して再び上述の張力Ｔおよび曲げ剛性ＥＩを求める繰り返し計算を行うこととする。
【００６５】
このバネ定数Ｋの仮定の適不適の判定は、仮定したバネ定数Ｋの値、およびこのＫの値のもとで上記繰り返し計算により求められた張力Ｔおよび曲げ剛性ＥＩを有する系では、どのような振動が起こり、どのような固有振動数ｆｉを有するかを逆に計算し、この逆算によって得られた固有振動数ｆｉと実測によって得られる固有振動数ｆｉとを比較検討することによって行う。
【００６６】
なお、この張力Ｔおよび曲げ剛性ＥＩから固有振動数ｆiを求める計算においては、張力Ｔ、曲げ剛性ＥＩおよびバネ定数Ｋは定数として扱い、θiから固有振動数ｆiを算出する（１１）式と、固有振動数ｆiから（３）、（４）式を介してθiを算出する（１０）式とを用いて繰り返し計算を行う。ここで、第ｋ回目の繰り返し計算によって得られる固有振動数ｆiおよび媒介変数θiについては、上付き文字ｋを付して、ｆi (k) ，θi (k)と表すこととする。
【００６７】
図４に、以上のような算出過程の具体的な手順をフローチャートとして示し、以下、このフローチャートに沿って、各手順を説明する。
【００６８】
ステップＳ１：バネ定数Ｋを仮定する。ここでは、橋梁ケーブルでは固定と見なせる場合も多いので、仮定するバネ定数Ｋの初期値としては、Ｋ＝∞が推奨される。以下、ステップＳ６までは、この仮定したバネ定数Ｋのもとで、最も適当な張力Ｔおよび曲げ剛性ＥＩを算出する過程である。
【００６９】
ステップＳ２：媒介変数θｉ （０）の初期値を設定する。この初期値とは、仮定したＫのもとで、Ｔ，ＥＩを得るための繰り返し計算に用いる初期値である。例えば、θｉ （０）＝０のように設定すればよい。
【００７０】
ステップＳ３：（１２）式により、設定した初期値θｉ （０）と、実測によって得られる固有振動数ｆｉおよびその次数ｉとから、Ｔ（０），ＥＩ（０）を計算する。
【００７１】
ステップＳ４：（１０）式により、Ｔ（ｊ−１）およびＥＩ（ｊ−１）と、実測によって得られる固有振動数ｆｉおよびその次数ｉとから、θｉ （ｊ）を計算する。ただし、ωｉ＝２πｆｉである。なお、ｊは繰り返し計算を示したもので、ここではｊ−１回目の繰り返し計算によって得られたＴ（ｊ−１），ＥＩ（ｊ−１）から、ｊ回目の繰り返し計算の結果としてθｉ （ｊ）を得ている。ここに、ｊ＝１，２，…である。
【００７２】
ステップＳ５：（１２）式により、θｉ （ｊ）と、実測によって得られる固有振動数ｆｉおよびその次数ｉとから、Ｔ（ｊ）およびＥＩ（ｊ）を計算する。
【００７３】
ステップＳ６：Ｔ（ｊ）およびＥＩ（ｊ）を得る繰り返し計算の収束判定を行う。ここでは、繰り返し回数ｊ−１回目に算出されたＴ（ｊ−１）と、ｊ回目に算出されたＴ（ｊ）との比を用いた次の判別式を満足するかによって収束判定を行っている。
【００７４】
この判別式を満たしていない場合、ステップＳ４に戻り、この判別式を満たすまでステップＳ４〜Ｓ６を繰り返す。なお、この判別式を満たすＴ（ｊ）およびＥＩ（ｊ）は、ステップＳ１において仮定したバネ定数Ｋのもとで、最も適当なＴ（ｊ）およびＥＩ（ｊ）であると考えられる。
【００７５】
【数１３】
ステップＳ７：以下のステップは、ステップＳ１におけるバネ定数Ｋの仮定の適不適を判定する過程であり、このため、この仮定のもと、ステップＳ６までで得られたＴ（ｊ）およびＥＩ（ｊ）から、繰り返し計算により逆に固有振動数ｆｉを計算する。ここでは、この繰り返し計算のための固有振動数の初期値ｆｉ （０）を設定する。具体的には、実測された固有振動数の値ｆｉをこの初期値として用いることが推奨される。
【００７７】
ステップＳ８：（１０）式により、ｆｉ （ｋ−１）と、ステップＳ６までで得られたＴ（ｊ），ＥＩ（ｊ）とから、θｉ （ｋ）を計算する。具体的には、ｆｉ （ｋ−１）からωｉ （ｋ−１）を算出し、これを（３）、（４）式に代入することで媒介変数α、βを得て、これを（１０）式に代入することによってθｉ （ｋ）が得られる。なお、ｋ＝１，２，…である。
【００７８】
ステップＳ９：（１１）式により、θｉ （ｋ）と、ステップＳ６までで得られたＴ（ｊ），ＥＩ（ｊ）とから、ｆｉ （ｋ）を計算する。
【００７９】
ステップＳ１０：ｆｉ （ｋ）を得る繰り返し計算の収束判定を行う。ここでは、すべての次数ｉにおいて、繰り返し回数ｋ−１回目に算出されたｆｉ （ｋ−１）と、ｋ回目に算出されたｆｉ （ｋ）との比を用いた次の判別式を満足するかによって収束判定を行っている。この判別式を満たしていない場合、ステップＳ８に戻り、この判別式を満たすまでステップＳ８〜Ｓ１０を繰り返す。なお、この判別式を満たすｆｉ （ｋ）は、ステップＳ１で仮定したＫと、ステップＳ６までで算出されたＴ（ｊ）およびＥＩ（ｊ）とによる系における固有振動数である。
【００８０】
【数１４】
ステップＳ１１：こうして得られたｆｉ （ｋ）と、実測によって得られた固有振動数ｆｉとを比較して、バネ定数Ｋの仮定の適不適を判定する。ここでは、すべての次数ｉにおける固有振動数ｆｉについて、計算値ｆｉ （ｋ）と測定値ｆｉとの差を用いた最大値を次の判別式を満足するかによって判定を行っている。この判別式が満たされた場合は、バネ定数Ｋの仮定が妥当であったと判断して計算を終了する。一方、この判別式が満たされなかった場合には、バネ定数Ｋの仮定が妥当でなかったと判断し、ステップＳ１に戻り、バネ定数Ｋに別の値を仮定し、上記ステップＳ１〜Ｓ１１を繰り返し行う。なお、２回目以降の繰り返し計算においては、ステップＳ２で設定するθｉ （０）の初期値には、その直前の繰り返し計算において得られている収束値θｉ （ｊ）を用いることとしてもよい。
【００８２】
【数１５】
以上のようにして、実測された固有振動数ｆｉとその次数ｉから、構造物の張力Ｔと曲げ剛性ＥＩを算定することができる。
【００８４】
次に、振動伝達関数を用いる測定方法について説明する。
【００８５】
上述の固有振動数を用いる測定方法では、固有振動数を測定するために構造物全体を振動させる必要がある。しかし、測定対象となる構造物が長さが数百メートルに及ぶようなケーブル等の場合には、構造物全体を振動させることは容易ではなく、さらに、低次の固有振動数が非常に小さな値（例えば１Ｈｚ以下）となることがあり、振動数の測定に長時間を要する。このため、風などの不規則な外力の影響を受けやすく、必ずしも正確なデータが得られないことがある。この点、この振動伝達関数を用いる測定方法は、構造物の全体を振動させる必要がなく、測定対象が特に大きな構造物である場合等には有効な方法である。
【００８６】
この振動伝達関数を用いる測定方法も、測定対象となる構造物の振動を実測して、固有振動数を用いる方法における固有振動数に相当する、振動伝達関数の極大値または極小値を求める過程と、実測された振動伝達関数の極大値または極小値から構造物の張力および曲げ剛性を算出する過程の、大きく２つの過程に分けることができる。
【００８７】
そこで、まず、実測により振動伝達関数の極大値または極小値を得る過程から説明する。
【００８８】
この測定方法の測定システムとしても、図１に示した装置システム等を挙げることができる。ただし、この振動伝達関数を用いる方法においては、同時に構造物上の２点における振動を検出する必要があるため、図１の装置システムのように、２つの振動センサ２１，２２を配置することが必須である。
【００８９】
振動伝達関数は、測定対象となっているケーブル１０にハンマー等で衝撃を与えて振動を生じさせ、これら２つの振動センサ２１，２２によってそれぞれ検出される振動の比を周波数分析を行うことによって得られる。このハンマー等による加振点は、ケーブル１０の一端からみて２つの振動センサ２１，２２より外側とし、この加振点からケーブル１０の一端に向かう振動入射波成分と、この一端で反射して加振点に向かう振動反射波成分とをこれら２つの振動センサ２１，２２によって測定することが望ましい。なお、振動センサ２１，２２としては、振動変位、振動速度または振動加速度等のいずれを検出するものでもよい。
【００９０】
図５に、振動センサ２１，２２により振動速度を検出し、周波数分析を行うことにより得られた振動伝達関数の一例をグラフ化して示す。この図５において、振動伝達関数の極大値はこのグラフの複数のピークとして表れており、極小値はこのグラフの複数の谷として表れている。
【００９１】
図１に示した装置システムでは、この振動伝達関数から、極大値または極小値の周波数と、図５に各ピークおよび谷に付して示したこれら極大値または極小値の次数をパソコン５０によって検出するようになっている。
【００９２】
なお、このようにして得られる振動伝達関数の極大値または極小値の周波数は、一般に固有振動数よりも高くなるため、複数周期の振動を平均処理して周波数分析を行う場合、固有振動数を測定するよりも振動伝達関数の極大値または極小値の周波数の測定は短時間で行うことができる。したがって、測定中の風の影響等を抑え、高い精度の測定を行うことができる。
【００９３】
さらに、測定する周波数域は振動センサの位置により決定できるため、センサ精度に応じてセンサを配置することにより、最適な周波数域を任意に設定することで、さらに高い測定精度を得ることができる。
【００９４】
また、２つの振動センサを配置した位置の振動伝達関数を得ることができるため、構造物全体では張力等に変化がある場合であっても、任意位置の局所的な張力を得ることができる。
【００９５】
特に、振動センサ位置の近傍のみを加振することで振動伝達関数が得られるため、構造物全体を加振する必要がなく、加振の困難な長大な構造物に対しても容易に適用することができる。
【００９６】
次に、こうして得られた振動伝達関数の極大値または極小値から、構造物の張力および曲げ剛性を算出する過程について説明する。
【００９７】
図６に、振動伝達関数による方法を適用する系を模式的に示す。振動伝達関数による方法では、上述のように２つの振動センサを必要とするが、これらの振動センサは、図６に示すように、構造物の一端（以下、左端という）をｘ軸の原点として、ｘ＝Ｌ１，ｘ＝Ｌ２に配置されている。
【００９８】
この構造物のたわみｗに関する運動方程式は、上述した（１）式と同じであり、たわみ変位ｗを変数分離すれば、たわみモードＷの一般解は（２）式が得られ、この（２）式中のαおよびβは、（３）、（４）式によって定義される。
【００９９】
ここで、構造物両端における支持条件がピン支持にバネ定数Ｋの回転バネを加えた条件と考える。そして、まず、構造物の左端（ｘ＝０）における境界条件を考えると、この左端におけるたわみ変位Ｗは零であり、またこの左端における曲げモーメントは回転バネとつりあうことから、以下の境界条件が得られる。
【０１００】
【数１６】
【数１７】
構造物の右端（ｘ＝Ｌ）についても、回転バネによる支持を表現する境界条件としては、上述した固有振動数を用いた方法と同じ境界条件が得られるが、ここでは、次のように考える。すなわち、たわみモードＷの一般解を表す（２）式の右辺第４項：Ｃ４ｅｘｐ（βｘ）は、構造物右端（ｘ＝Ｌ）の近接場（ニアフィールド）の影響を示しているものである。この右端も回転バネで支持されているため、たわみ変位は零である。後述するが、極めて大きな値となるｅｘｐ（βＬ）に対して、この条件を満たすＣ４は極めて小さな値となる。このため、本方法ではＣ４＝０と仮定する。
【０１０３】
（２）式にｘ＝０の境界条件を示す（１６），（１７）式を代入することにより、たわみモードＷは次式のように表現できる。
【０１０４】
【数１８】
なお、
【０１０６】
【数１９】
次に、（１８）式で正弦関数項が零になる条件と、そのときの指数関数項の大きさを考える。
【０１０８】
【数２０】
【数２１】
参考のため、ｉ＝１，２の条件における指数関数項を計算すると、ｅｘｐ（−π）＝０．０４３，ｅｘｐ（−２π）＝０．００１９であり、十分に小さな値である。すなわち、ｅｘｐ（−βｘ）で表現される構造物左端（Ｌ＝０）の近接場の影響は、左端近傍に限られており、ｘ＝Ｌ１，Ｌ２点のように左端から離れた位置で、正弦波項が最初に零となる条件では、指数関数項は無視できると考えられる。前述した構造物右端（ｘ＝Ｌ）の近接場の影響を示す指数関数項ｅｘｐ（βＬ）は、この逆で極めて大きな値を示すが、その影響は右端近傍に限られており、左端近くの振動値に影響を与えることはない。
【０１１１】
以上の仮定により、最終的にたわみモードＷとして次式が導かれる。
【０１１２】
【数２２】
この結果、図６に示した２点（ｘ＝Ｌ１、ｘ＝Ｌ２）間の振動伝達関数は次式として与えられる。
【０１１４】
【数２３】
この式（２３）では、分子および分母が零のとき、伝達関数は極値を示す。極大値に注目すると、次の条件式が得られる。
【０１１６】
【数２４】
さらにこの（２４）式に、αの定義式である（３）式を代入すると、最終的に極値の次数ｉとその周波数ｆｉとの間に次に関係式が導かれる。
【０１１８】
【数２５】
以上のようにして、構造物の振動伝達関数の極大値または極小値を示す複数の周波数ｆｉおよびその次数ｉと、この構造物の張力Ｔおよび曲げ剛性ＥＩとの間に成り立つ関係式（２５）が導かれる。なお、このようにして導かれた（２５）式は、ｆｉ，θおよびＬ２の定義が異なるだけで、固有振動数を用いた方法における関係式（１１）と同じ形をしている。
【０１２０】
したがって、固有振動数ｆｉの代わりに、振動伝達関数の極大値を示す周波数ｆｉを用い、θの定義式（１０）の代わりに（１９）式を用い、さらに構造物の長さＬの代わりに振動センサ２２のケーブル左端からの距離Ｌ２を用いれば、上述した（１１）式を用いた図４のフローチャートに沿った手順と同じ手順によって、張力Ｔ、曲げ剛性ＥＩ、さらにバネ定数Ｋを算出することができる。
【０１２１】
また、（２３）式において、極小値に注目してもＬ１とＬ２が異なるだけで、（２５）式に示す関係式と同様の関係式が得られるため、振動伝達関数の極小値を示す周波数ｆｉとその次数ｉを用いても、上述した手順によって張力Ｔ、曲げ剛性ＥＩ、さらにバネ定数Ｋを算出することができる。
【０１２２】
なお、上記実施形態においては、構造物の支持条件としてピン支持に回転バネを加えた条件を用いたが、本発明における測定方法としては、回転バネを用いた支持条件を表現する境界条件であれば、上記境界条件に限定されるものではない。例えば、移動支点を設定することや、摩擦抵抗等を生じるダンパ等を加えた境界条件を設定しても良い。
【０１２３】
また、上記実施形態では、構造物の張力および曲げ剛性とともにバネ定数をも算出するものとしたが、本発明にかかる測定方法としては、構造物の支持条件を回転バネを考慮した境界条件とすれば、例えば、バネ定数の値を算出することなく、所定のバネ定数の値を設定して構造物の張力および曲げ剛性のみを算出することとしても良い。
【０１２４】
さらに、具体的な算出過程においては、バネ定数Ｋの値を仮定して、この仮定のもとで構造物の張力および曲げ剛性の算出を行うものとしたが、このような仮定をせずに直接的に構造物の張力、曲げ剛性、さらにバネ定数を同時的に算出することとしても良い。
【０１２５】
また、上記実施形態は、構造物の張力、曲げ剛性およびバネ定数を得ることができる測定方法であるが、この測定方法は、測定が必要とされる対象が張力のみや曲げ剛性のみである場合であっても当然に適用することができ、これら張力、曲げ剛性およびバネ定数をまとめて算出することによって、高い精度で必要な測定対象の値を得ることができる。
【０１２６】
【実施例】
次に、本発明にかかる測定方法の精度を実験で検証する。
【０１２７】
［実施例１］
固有振動数を用いる測定方法についての実験として、直径６ｍｍおよび８ｍｍの丸棒材を用い、種々の条件のもとで、この丸棒材の張力および曲げ剛性を測定した。表１に丸棒材の直径ｄ、曲げ剛性ＥＩ、長さＬ、張力Ｔなど数値実験で与えた緒言を示す。なお表中のξについては後述する。
【０１２８】
【表１】
図７に、測定対象とした丸棒材端部の支持形態を示す。この図に示すように、丸棒材６０は、端部に孔を設け、ここにピン７０を通して固定ブロック８０左端面で支持することにより、柔らかい回転バネによって支持されている条件を模擬した。
【０１３０】
図８に、張力Ｔの算定結果を示す。○は回転バネ支持を考慮した境界条件を設定して算出を行った場合の結果であり、▲および■は、回転バネを考慮した場合との比較のため、それぞれ単純支持（ピン支持）および固定支持の境界条件を設定して算出を行った場合の結果を示している。これら単純支持および固定支持を設定した場合とは、図４のフローチャートにおいて、ステップＳ１でバネ定数Ｋの仮定をＫ＝０またはＫ＝∞とし、さらに、ステップＳ７〜Ｓ１１のバネ定数Ｋの仮定について妥当性判断を行わず、Ｋ＝０またはＫ＝∞のままステップＳ６で終了した場合であり、従来の測定方法を表現したものである。
【０１３１】
この図において、横軸に構造物の支持条件の算出結果への影響を表す、次式に示す無次元数ξをとっている。
【０１３２】
【数２６】
すなわち、このξは、張力Ｔ、曲げ剛性ＥＩおよび構造物長さＬによって決定される値であり、グラフ左側のξが小さな値をとる領域ほど構造物の支持条件が大きな影響を持つ領域となっている。
【０１３４】
また、縦軸は算出された張力Ｔの値を、実際に実験において与えた張力の値Ｔによって除した値、すなわち、張力Ｔの算定精度を表している。したがって、縦軸の値が１で正解値が得られていることになる。
【０１３５】
この図から分かるように、構造物支持条件がバネ支持で近似できる場合において、この支持条件を誤って▲で示す単純支持の境界条件や■で示す固定支持の境界条件として、張力Ｔおよび曲げ剛性ＥＩの算出を行った場合には、張力Ｔの算定結果に誤差を生じ、特にξの値が小さい場合にはさらに大きな誤差を生じてしまうことが分かる。これに対して、本発明の測定方法（固有振動数を用いる方法）によれば、ξの値の小さな境界条件の影響が大きくなる領域であっても誤差が小さく、精度の高い算定結果が得られることが分かる。
【０１３６】
［実施例２］
振動伝達関数を用いる測定方法の実験として、直径６ｍｍの丸棒材を用い、表２に示す種々の条件を組み合わせて、この丸棒材の張力Ｔおよび曲げ剛性ＥＩの測定を行った。この丸棒材の支持形態は図７と同様である。
【０１３７】
【表２】
図９および図１０に、張力Ｔおよび曲げ剛性ＥＩの算定結果を示す。●は回転バネ支持を考慮した境界条件を設定して算出を行った場合の結果であり、○は固定支持の境界条件を設定して算出を行った場合の結果である。
【０１３９】
これらの図から分かるように、構造物の支持条件がバネ支持で近似できる場合において、この支持条件を誤って○で示す固定支持とみなす境界条件を設定すると、張力Ｔおよび曲げ剛性ＥＩともに大きな誤差を生じることが分かる。特にξの値が小さい場合には大きな誤差が生じることが分かる。これに対して、本発明の測定方法（振動伝達関数を用いる方法）によれば、このような境界条件の影響の大きくなる領域においても誤差が小さく、精度の高い算定結果が得られることが分かる。
【０１４０】
なお、図１１に、条件ξ／π＝４．５８のときの、最終的に算出された張力Ｔ、曲げ剛性ＥＩ、バネ定数Ｋから逆算して得た振動伝達関数と、実測によって得られた振動伝達関数とを示す。この図から分かるように、逆算して得られた振動伝達関数と、実測によって得られた振動伝達関数とはほぼ一致しており、算出された張力Ｔ、曲げ剛性ＥＩ、バネ定数Ｋは実際の系とほぼ一致する精度の高い結果が得られていることが確認できる。
【０１４１】
【発明の効果】
以上のように、本発明によれば、張力の作用している構造物に衝撃を与えて振動を検出し、周波数分析を行って得られた複数の固有振動数から、構造物の張力および曲げ剛性を算出する過程において、この構造物が回転バネ支持されていることを表現する境界条件を用い、構造物の張力および曲げ剛性とともに、境界条件となる前記回転バネのバネ定数の値を算出しているので、実際の構造物の支持形態を十分に近似する支持条件を表現することができるとともに、適切なバネ定数の値が算出されるため、特に高い精度で構造物の張力および曲げ剛性を算出することができる。したがって、構造物にかかる張力が弱い場合や曲げ剛性が大きい場合、あるいは構造物の長さが短い場合など、構造物の支持形態を表す境界条件の設定が算定結果に大きな影響を与える場合であっても、構造物の張力および曲げ剛性を高い精度で測定することができる。
【０１４２】
また、構造物の張力のみを得たい場合であっても、この算出過程に必要となる曲げ剛性も同時に算出されるため、曲げ剛性を事前に測定する必要がなく、容易に測定を行うことができる。あるいはまた、構造物の曲げ剛性のみを得たい場合であっても、曲げ剛性が、張力と同時に算出されるため、張力を別途測定する必要がなく、容易に測定を行うことができる。
【０１４４】
さらにまた、構造物の張力、曲げ剛性およびバネ定数の算出結果から固有振動数を逆算し、実際に測定された固有振動数と比較することによって、前記算出結果の妥当性を判定することとすれば、算出結果に高い信頼性を得ることができる。
【０１４５】
また、回転バネのバネ定数の値を仮定しながら構造物の張力および曲げ剛性の算出を行うこととすれば、未知数を減らして張力および曲げ剛性の算出を容易なものとすることができる。
【０１４６】
さらに、構造物上の２点の振動を検出して振動伝達関数を求める周波数分析を行い、この振動伝達関数の極大値または極小値を示す複数の周波数から、構造物の張力および曲げ剛性を算出することとすれば、この振動伝達関数の極大値または極小値を示す周波数は一般に固有振動数より高いため、測定を短時間で行うことができ、測定中の風等の影響を抑えて高い精度の測定を行うことができる。また、振動センサの精度等に応じて振動検出位置を選定することにより測定周波数域を任意に設定することができるため、さらに高い測定精度を得ることができる。さらに、振動センサの位置近傍の振動伝達関数が得られるため、構造物の局所的な張力等を得ることができる。また、振動センサ位置の近傍のみを加振することで振動伝達関数が得られるため、構造物全体を加振する必要がなく、加振の困難な長大な構造物に対しても容易に適用することができる。
【図面の簡単な説明】
【図１】本発明にかかる測定方法を採用する装置システムの一実施形態を示す概略図である。
【図２】固有振動数を用いる測定方法において、振動センサに検出された振動を周波数分析した結果の一例を示すグラフである。
【図３】固有振動数を用いる測定方法の説明図である。
【図４】固有振動数を用いる測定方法の算出過程の具体的手順を示すフローチャートである。
【図５】振動伝達関数を用いる測定方法において、周波数分析により得られた振動伝達関数の一例を示すグラフである。
【図６】振動伝達関数を用いる測定方法の説明図である。
【図７】実施例における丸棒材端部の支持形態の説明図である。
【図８】固有振動数を用いる測定方法による、張力Ｔの算定結果である。
【図９】振動伝達関数を用いる測定方法による、張力Ｔの算定結果である。
【図１０】振動伝達関数を用いる測定方法による、曲げ剛性ＥＩの算定結果である。
【図１１】振動伝達関数を用いる測定方法による、算出結果から逆算した振動伝達関数と、実測による振動伝達関数を示すグラフである。
【符号の説明】
１０ ケーブル
２１，２２ 振動センサ
３０ アンプ
４０ 高速フーリエ変換器（ＦＦＴ）
５０ パソコン
Claims (6)
- 張力の作用している構造物に衝撃を与え、この構造物上の任意の点における振動を検出して周波数分析を行うことにより複数の固有振動数を得て、
こうして得られた複数の固有振動数およびその次数と、この構造物に作用する張力および曲げ剛性との間に成り立つ関係から、この構造物の張力および曲げ剛性を算出する方法であって、
この算出過程において、この構造物が回転バネ支持されていることを表現する境界条件を用い、構造物の張力および曲げ剛性とともに、境界条件となる前記回転バネのバネ定数の値を算出することを特徴とする構造物の張力および曲げ剛性の測定方法。 - 算出結果として得られる構造物の張力、曲げ剛性およびバネ定数からこの構造物の複数の固有振動数を逆算し、
こうして算出結果から逆算して得られた複数の固有振動数と、実際に振動を検出して周波数分析を行うことにより得られた複数の固有振動数とを比較することによって、前記算出結果の妥当性の判定を行う請求項１記載の構造物の張力および曲げ剛性の測定方法。 - 張力の作用している構造物に衝撃を与え、この構造物上の任意の点における振動を検出して周波数分析を行うことにより複数の固有振動数を得て、
こうして得られた複数の固有振動数およびその次数と、この構造物に作用する張力および曲げ剛性との間に成り立つ関係から、この構造物の張力および曲げ剛性を算出する方法であって、
この算出過程において、この構造物が回転バネ支持されていることを表現する境界条件を用い、境界条件となる前記回転バネのバネ定数の値を仮定して、この仮定のもとで構造物の張力および曲げ剛性を算出し、
こうして算出された構造物の張力および曲げ剛性、ならびに、仮定したバネ定数からこの構造物の複数の固有振動数を逆算し、
この逆算して得られた複数の固有振動数と、実際に振動を検出して周波数分析を行うことにより得られた複数の固有振動数とを比較することにより、バネ定数の仮定の妥当性を判定するという一連の手順を、
この判定においてバネ定数の仮定の妥当性が得られるまで繰り返し行うことを特徴とする構造物の張力および曲げ剛性の測定方法。 - 張力の作用している構造物に衝撃を与え、この構造物上の異なる２点における振動を検出して、これら２点における振動の比からこの２点間の振動伝達関数を求める周波数分析を行うことにより、この振動伝達関数の極大値または極小値を示す複数の周波数を得て、
こうして得られた振動伝達関数の極大値または極小値を示す複数の周波数およびその次数と、この構造物の張力および曲げ剛性との間に成り立つ関係から、この構造物の張力および曲げ剛性を算出する方法であって、
この算出過程において、この構造物が回転バネ支持されていることを表現する境界条件を用い、構造物の張力および曲げ剛性とともに、境界条件となる前記回転バネのバネ定数の値を算出することを特徴とする構造物の張力および曲げ剛性の測定方法。 - 算出結果として得られる構造物の張力、曲げ剛性およびバネ定数から振動の検出を行う前記２点間の振動伝達関数の極大値または極小値を示す複数の周波数を逆算し、
こうして算出結果から逆算して得られた振動伝達関数の極大値または極小値を示す複数の周波数と、実際に振動を検出して周波数分析を行うことにより得られた振動伝達関数の極大値または極小値を示す複数の周波数とを比較することによって、前記算出結果の妥当性の判定を行う請求項４記載の構造物の張力および曲げ剛性の測定方法。 - 張力の作用している構造物に衝撃を与え、この構造物上の異なる２点における振動を検出して、これら２点における振動の比からこの２点間の振動伝達関数を求める周波数分析を行うことにより、この振動伝達関数の極大値または極小値を示す複数の周波数を得て、
こうして得られた振動伝達関数の極大値または極小値を示す複数の周波数およびその次数と、この構造物の張力および曲げ剛性との間に成り立つ関係から、この構造物の張力および曲げ剛性を算出する方法であって、
この算出過程において、この構造物が回転バネ支持されていることを表現する境界条件を用い、境界条件となる前記回転バネのバネ定数の値を仮定して、この仮定のもとで構造物の張力および曲げ剛性を算出し、
こうして算出された構造物の張力および曲げ剛性、ならびに、仮定したバネ定数から振動の検出を行う前記２点間の振動伝達関数の極大値または極小値を示す複数の周波数を逆算し、
この逆算して得られた振動伝達関数の極大値または極小値を示す複数の周波数と、実際に振動を検出して周波数分析を行うことにより得られた振動伝達関数の極大値または極小値を示す複数の周波数とを比較することにより、バネ定数の仮定の妥当性を判定するという一連の手順を、
この判定においてバネ定数の仮定の妥当性が得られるまで繰り返し行うことを特徴とする構造物の張力および曲げ剛性の測定方法。
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| JP07470898A JP3550296B2 (ja) | 1998-03-23 | 1998-03-23 | 構造物の張力および曲げ剛性の測定方法 |
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| CN102121858A (zh) * | 2010-12-20 | 2011-07-13 | 浙江大学 | 部分斜拉桥拉索钢绞线张力测试方法 |
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-
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