JP3285566B2 - オブジェクトをグラフィックで表現する方法 - Google Patents

Description

【発明の詳細な説明】

【０００１】

【発明の属する技術分野】本発明は概してグラフィック
システムに関し、さらに詳細には接続されたゼロ次元の
ポイントで表現されるグラフィックオブジェクトを表現
する方法及びオブジェクトを表現するグラフィックデー
タを格納するメモリに関する。

【０００２】

【従来の技術】コンピュータグラフィックスにおいて、
様々な一次元グラフィックエレメントを使用して多くの
異なる方法で三次元空間でオブジェクトを表現すること
ができる。グラフィックオブジェクトを表現するのに通
常利用する公知の表現は陰表現、幾何学的表現、容積表
現、及びパーティクル表現である。

【０００３】陰表現 陰表現では、グラフィックオブジェクトは任意の数学的
関数や物理的関数から生成することができる。たとえ
ば、中空の球体のアウトラインを描く場合、レンダリン
グエンジンに（デカルト座標で）関数ｘ²＋ｙ²＋ｚ²＝
ｒを加えるだけであり、中実の球体の場合は関数はｘ²
＋ｙ²＋ｚ²≦ｒである。色やそのほかのマテリアルのプ
ロパティも、同様に、合成して生成することができる。
関数を使用すると、様々な幾何学的形状、物理的オブジ
ェクト、実在のまたは想像上のモデルを描くことができ
る。陰関数は、人物像などの複雑なオブジェクトの合成
には適していない。

【０００４】幾何学的表現 これまで、三次元オブジェクトはポリゴンのファセット
のメッシュとして幾何学的にモデリングされてきた。通
常、ポリゴンは三角形をしている。各ファセットのサイ
ズは、ファセットの部分においてオブジェクトの湾曲度
に対応するようになっている。オブジェクトの湾曲度が
高く、比較的平坦な部分が少ないほど、多くのポリゴン
が必要である。ポリゴンのモデルは多くの用途、たとえ
ば仮想トレーニング環境、三次元モデリングツール、及
びビデオゲームなどに使用される。幾何学的表現は、特
徴として、グラフィックオブジェクトのサーフェスの特
徴を処理するにすぎない。

【０００５】しかし、変形オブジェクトの部分的な湾曲
度にファセットのサイズが対応できないために、ポリゴ
ンのモデルが変形する場合に問題が生じる。さらに、変
形により部分的な相対的解像度が変化することがある。
どちらの場合も、変形した湾曲によってオブジェクトを
再メッシュしなければならなくなる。計算の時間に関し
て、再メッシュ（ポリゴン化（polygonization））は比
較的高くつくため、前処理ステップとして通常行われ
る。したがって、ポリゴンのモデルは動的に変形しなけ
ればならないオブジェクトにはあまり適していない。

【０００６】容積表現 別の表現では、三次元空間でオブジェクトをサンプリン
グし、ＭＲＩやＣＴスキャンなどの容積データセットを
生成する。各サンプルをボクセルという。典型的なデー
タセットは何百万というボクセルを含むことができる。
容積データセットをレンダリングするには、オブジェク
トはセグメント化されるのが普通である。等サーフェス
（Iso-surfaces）を識別して特定の容積部分にフォーカ
スすることができる。たとえば、人間の頭の容積データ
セットでは、骨や軟組織などのマテリアルのプロパティ
によってボクセルをセグメント化することができる。

【０００７】ボクセルの数は大量であるため、容積デー
タセットを物理ベースでモデリングしたり変形したりす
るのは、いまだに計算としては大変費用のかかる演算で
ある。サーフェスの特徴にのみ関心が向けられることが
多いため、オブジェクトの内部は効率を考えると無視す
ることができる。

【０００８】パーティクル表現 オブジェクトのパーティクル表現は、風洞のシミュレー
ションなど、流体の流れをモデリングするのに使用され
ることが多い。方向の速度など、ある属性をパーティク
ルに与えて、流体の流れを通して個々のパーティクルを
追跡したり、完全な流れを視覚化したりする。

【０００９】パーティクル表現の別の応用として、煙、
塵、または霧などの「雲状の（cloud like）」オブジェ
クトの視覚化が挙げられる。シェーディングされたモデ
ルを、発光するパーティクルに適用すると雲状のオブジ
ェクトをレンダリングすることができる。また、エネル
ギー関数を利用して部分空間にパーティクルを押しこめ
ることでサーフェスをモデリングすることもできる。パ
ーティクルの雲の利点は、雲が非常に変形しやすいとい
うことである。欠点としては、雲のパーティクルが連結
されておらず、力を加えられると別々に動いてしまうと
いうことである。さらに、パーティクルは、中実のオブ
ジェクトまたはモデルのサーフェスの構造を表すにはま
ったく不向きである。

【００１０】モデリングの留意点 様々な表現におけるグラフィックオブジェクトの非物理
的モデリング及び物理的モデリングのために、多くの技
術が公知である。非物理ベースのモデルは、スプライン
関数、ベジエ曲線などを使うことが多い。このとき、コ
ントロールポイントを操作することで所望の変形度にす
る。

【００１１】物理的な技術は、主に二つのカテゴリ、つ
まり剛体力学、及び動的変形とに分けられる。剛体力学
は、通常、ニュートン力学の結果である微分方程式を解
く。コンピュータシステムでは、数値的には、積分器を
使用して微分方程式を解くことができる。有限要素法
（FEM: finite element method）またはマススプリング
システムによって、動的な変形をモデリングすることが
できる。

【００１２】レンダリングの留意点 こうした従来の基関数（primitives）のレンダリング時
間は、モデリングするオブジェクトの複雑度によって変
わる。たとえば、複雑なオブジェクトを幾何学的に表現
するには、ポリゴンは通常、ピクセルのサイズほどに非
常に小さくなり、オブジェクトは多くのポリゴンによっ
て表現される。ポリゴンは通常、三角形を定義する頂点
で表現される。

【００１３】ポリゴンをレンダリングするには、三角形
の突起をスキャン変換（ラスタ化）して、投影内におさ
まる各ピクセルの密度を計算する。これは、約一個以下
のピクセルをポリゴンで覆う場合、比較的時間のかかる
演算である。ポリゴンをポイントサンプルと取り替えた
り、ポイントサンプルをスクリーンに投影したりして、
オブジェクトをレンダリングする技術としてより効率的
にすることができる。

【００１４】ボリュームをレンダリングするには多くの
技術が公知である。概して、ボリュームレンダリングは
かなり複雑である。ボクセル数が制限されていない限
り、リアルタイムレンダリングは時間がかかるものであ
る。

【００１５】リアルタイムレンダリングシステムは、Po
nomarovらに１９９８年７月１４日付与された米国特許
第５，７８１，１９４号“Real-time Projection of Vo
xel-based Object”に記載されており、サーフェスボク
セル間で増分的なベクトルを用いて一連のサーフェスボ
クセルを構成する。こうした表現は、かなり詳細なサー
フェス部分を表すオブジェクトのモデリング及び表現を
できるようにする。剛体の動きのモデリングは、物理ベ
ースの方法が使えないため、現実感に欠けるスクリプト
機構を使って行われる。この方法では、オブジェクトが
現実には変形する可能性を考慮していない。オブジェク
トは、衝突及びその他の変形力に反応しない空間におけ
る剛体としている。

【００１６】従来技術では、別々のパーティクルまたは
ポイントは、グラフィックシステムにおけるメタ基関数
（meta-primitive）として使われてきた（例として、Le
voyらの“The Use of Points as a Display Primitiv
e”University of North Carolina Technical Report 8
5-022, 1985参照）。これには、オブジェクトをポイン
ト表現に変換するプロセスが説明されている。ここで、
各ポイントはポジション及び色を有している。また、滑
らかなサーフェスとしてポイントをレンダリングするプ
ロセスについても説明している。

【００１７】ポイントはゼロ次元の密度サンプルとして
モデリングされ、オブジェクト順の投影を用いてレンダ
リングされる。レンダリング時に、複数のポイントを同
一のピクセルに投影することができ、こうしたポイント
の密度をフィルタリングして、問題のピクセルに最終的
な密度を得られるようにしなければならない場合もあ
る。このフィルタリングは、スクリーン上に投影したポ
イントのポジションから、それに相当するピクセルの中
心までの距離に比例する密度を重みづけして行う。重み
づけは、ガウシアンフィルタでモデリングされる。高度
な深度バッファ（Ｚバッファ）を使うと、深度値の狭い
領域においてポイントのブレンドを行うことができる公
差で深さの比較を行うことができる。利点として、こう
したポイント表現によるとどんな視点からでもオブジェ
クトのレンダリングを行うことができる、ということが
ある。

【００１８】別の技術においては、１９９８年７月の、
Grossmanらによる、“Sample Rendering,”Proceedings
of the Eurographics Workshop ’98, Rendering Tech
niques 1998, Drettakis, G., Max, N.(eds.), １８１
ページから１９２ページに記載されているように、ポイ
ントサンプルは、正三角形の格子における三角形のメッ
シュの垂直な投影をサンプリングすることで得られる。
三角形のメッシュの投影により覆われる格子の三角形ご
とに、サンプルポイントが追加される。正三角形の格子
を選択して、各ピクセルが少なくとも一つのサンプルに
よって覆われるように保証するのに十分密度の高い適切
なサンプリングを行う。

【００１９】

【発明が解決しようとする課題】公知の表現にはすべ
て、いくつかの制限がある。したがって、最良の特徴を
組み込み、モデリング及びレンダリングを簡略にする表
現が所望されている。

【００２０】この発明は、上記のような課題を解決する
ためになされたもので、表現を簡略にすることが可能
な、オブジェクトをグラフィックで表現する方法を得る
ことを目的とする。

【００２１】

【課題を解決するための手段】この発明に係るオブジェ
クトをグラフィックで表現する方法は、グラフィックオ
ブジェクト表現のデータを生成する方法であって、オブ
ジェクトの表面を、画面の解像度に関連する格子分解能
を有する複数のセルに分割し、各セルは、それぞれ１個
のポイントを有し、リンクによって隣接するセル中のポ
イントを連結し、オブジェクトの属性を、各ポイントと
上記各リンクへ割り当てる。

【００２２】

【００２３】

【００２４】

【００２５】

【００２６】

【００２７】

【００２８】

【００２９】

【００３０】

【００３１】

【００３２】

【００３３】

【００３４】

【００３５】

【００３６】

【００３７】

【００３８】

【００３９】

【００４０】

【００４１】

【００４２】

【００４３】

【００４４】

【００４５】

【００４６】

【００４７】

【発明の実施の形態】実施の形態１． １．序論及び概観 サーフェスエレメント、すなわち「サーフェル（surfel
s）」として表されるグラフィックオブジェクトの生
成、モデリング、及びレンダリングについて説明する。
サーフェルの定義は、三次元サーフェルグリッドにおい
て接続したゼロ次元のポイントサンプルである。本発明
によると、三次元のグリッドとは、オブジェクト空間へ
の画像面解像度の投影であり、これによってサーフェル
がピクセルサイズの間隔をおいた三次元ボリュームが生
じる。対して、従来技術のレンダリング基関数は、オブ
ジェクト空間においてサンプリングされるのが普通であ
る。

【００４８】各サーフェルは、画像面のピクセルに投影
を行う。サーフェルは整数のグリッドポジションである
８つのノードによって定義される「セル（cell）」のい
ずれかの場所に位置する。これは、水平の走査線及び垂
直の走査線の交差する点が整数のピクセル位置にあると
考えられ、またこうした四つのポジションで結ばれたエ
リアがピクセルで表される場合の、画像面上のピクセル
の定義と類似している。

【００４９】サーフェルは、ポジション・色・不透明度
・ポイントのポジションにおけるサーフェスの法線につ
いての情報（属性（attributes））を格納する。速度や
静止質量など、追加の属性は、物理的オブジェクトまた
はモデルを表現するサーフェルに属することができる。

【００５０】隣り合うサーフェルは互いに「リンク（li
nks）」によって接続されている。リンクの伸びてない
長さはサーフェルの相対的な間隔を定義する。なお、サ
ーフェルはセルのいずれの場所にも配置することができ
る。弾性やダンピング（damping）など、さらなる属性
を、オブジェクトが変形可能である場合にリンクに付加
することができる。サーフェルやリンクの属性を格納す
るデータ構造はポインタにより接続されるアイテムのリ
ストである。６つの隣り合うサーフェルは８つ接続され
ているものとする。

【００５１】こうした表現により、サーフェル及びピク
セル間を一対一でマッピングすることを定義することで
オブジェクト空間及び画像空間を結びつける。サーフェ
ルは、スクリーンの解像度に応じて生成される。このた
め、各サーフェルが一つのピクセルにマップされる場合
には、いかなるピクセルよりも小さいディテールは考慮
されない。

【００５２】オブジェクト空間と画像空間とを結合する
のは、簡単で、効率的で、高速なレンダリングを提供す
るためである。

【００５３】サーフェルは、一般的なレンダリング基関
数として使用することができる。本発明は、従来技術の
表現（陰関数、幾何学、ボクセル及びパーティクル）か
らサーフェルを生成する技術を提供する。最近傍補間を
使用したオブジェクト順の投影プロセスによって、それ
に対応するピクセルにサーフェルを投影することを提案
する。

【００５４】本表現において、サーフェルオブジェクト
は互いに相互作用して、「物理的にもっともらしい変形
（physically plausible deformations）」となること
ができる。変形できるようにするために、各サーフェル
に質量を割り当て、かつ各サーフェルをスプリングによ
って隣り合うサーフェルに接続し、サーフェルオブジェ
クトをマススプリングシステムとしてモデリングするこ
とができる。

【００５５】さらに、たとえば、回転または内部及び外
部の力によってセルから「引っ張られた（pulled）」サ
ーフェルのためにサーフェスに「穴（holes）」ができ
る場合の、画質を高める技術についても説明する。こう
した技術には、ビュー変換の剪断のゆがみ、オブジェク
トのスーパーサンプリングまたはスケーリング、及びス
プラッティングがある。

【００５６】１．１ サーフェル 図１に示されているように、オブジェクトを表現、モデ
リング、及びレンダリングするのに使用可能なグラフィ
ック基関数について説明する。この基関数をサーフェス
エレメント、または省略して「サーフェル（surfel）」
１００という。サーフェルは上記の表現、すなわち陰関
数１０１、ポリゴン１０２、ボクセル１０３、及びパー
ティクル１０４に関連付けることができる。サーフェル
１００は、画像面の解像度を有する三次元グリッドで定
義されるセルのゼロ次元のポイントサンプルとして定義
する。ポジション、色、質量などの属性は、サーフェル
に割り当て可能である。

【００５７】複数のサーフェルを互いに接続して、オブ
ジェクトの任意の二次元面などの二次元多様体を形成す
ることができる。サーフェル多様体は互いに接続してよ
り複雑な二次元多様体を形成することができる。この多
様体は、現実のまたは想像上の任意のオブジェクトの
「アウトラインを描く（outline）」ことができる。

【００５８】１．２ スクリーンの解像度 図２に示すように、サーフェル１００（中実：solid）
は、整数のグリッドポジションである８つのノード２０
１（オープン：open）によって定義されるセル２００の
いずれかの場所に配置することができる。図３に示すよ
うに、各サーフェルは６つの隣接するサーフェルを持
ち、各セルごとに一つが各セル２００の面に隣り合って
いる。グリッドポジションは、画像面２０３のピクセル
２０２のサイズ及びロケーションに相当する。言いかえ
ると、ゼロ次元のサーフェルのロケーションの境界を定
義するグリッドは、画像面またはディスプレイスクリー
ンの解像度で定義される。

【００５９】スクリーンの解像度によるサンプリングに
よって、オブジェクト空間及び画像空間の間に直接的な
対応が提供される。このようにサーフェルを定義するこ
とで、オブジェクトの変形は、たびたびサンプリングを
しなくてよいという意味でより容易なものになる。「サ
ーフェル化した（surfelized）」オブジェクトの処理に
かかる時間が短縮される。ピクセルサイズの間隔をあけ
たサーフェルグリッドによって、オフセットでサーフェ
ルを格納できるようになり、また予め計算したビュー変
換したオフセットを使用することで効率的にサーフェル
オブジェクトをレンダリングすることができるようにな
る。

【００６０】１．３ サーフェルリンク 図４に示すように、グラフィックオブジェクトを、リン
ク３００で接続される三次元のサーフェル１００の集合
として示す。したがって、６つの隣り合うサーフェルは
８連結されている。言いかえると、サーフェルがセルの
いずれかの場所にある場合、サーフェルはセルの６つの
面を通り、対角線にそって接続している。対角線に沿っ
てリンクを接続することにより、メッシュの「崩壊（co
llapsing）」が防止される。６つの隣り合う、８つの接
続されたサーフェルは、グラフィックオブジェクトの表
面または二次元多様体を表現する。

【００６１】表１において、従来技術のポリゴン、ボク
セル、及びパーティクルを本発明によるサーフェルと比
較する。この表は、公知の従来技術の表現の基関数と同
様の属性を有するサーフェルを示す。

【００６２】

【表１】

【００６３】方法によっては、ポリゴンがおよそ１ピク
セルのサイズである場合、変換したポリゴンのピクセル
の属性をサーフェルが有する。サーフェルは、サーフェ
ルが位置するセルが１×１×１ピクセルの大きさであ
り、６つの隣り合うサーフェルを有する場合、抽出した
８つの接続したサーフェスボクセルとして考えることも
できる。サーフェルオブジェクトは、スクリーンまたは
イメージグリッドの解像度において定義されるパーティ
クルの雲のマッピングとして考えることもできる。

【００６４】サーフェルは、また、他とは異なる点をも
つ。たとえば、サーフェルは、幾何学形状においてボク
セルやパーティクルとは異なっている。サーフェルはグ
リッドの点でポリゴンやパーティクルと異なる。サーフ
ェルはリンク方法の点でボクセルやパーティクルと異な
る。そして、サーフェルは変形方法の点でポリゴンやボ
クセルと異なる。

【００６５】従来技術の基関数と比較して、サーフェス
エレメントの定義方法における最も重要な違いは、それ
がスクリーンの解像度によってサンプリングされるとい
うことである。ボクセル及びパーティクルは、通常、オ
ブジェクトの解像度によってサンプリングされる。ポリ
ゴンはスクリーンの解像度でサンプリングすることがで
きる。しかし、オブジェクトが変形している場合、投影
またはレンダリングの直前にサンプリングを行わなけれ
ばならない。サーフェルについては、スクリーンの解像
度へのサンプリングは前処理のステップにおいて１度行
うことができる。

【００６６】本発明によるスクリーンの解像度のサンプ
リングにおいて、グラフィックオブジェクトは、各最も
近いピクセルに各サーフェルを投影するだけでオブジェ
クトのサーフェスを再構成するのに十分なサーフェルを
含む。たとえば、１００のサーフェルによる１００の矩
形のサーフェルポリゴンは、スクリーン上に１００のピ
クセルによる１００の画像面を作り出す。サーフェルは
ピクセルに直接マッピングする。サーフェルのスクリー
ンへの貢献（contribution）は、１ピクセル以上でも以
下でもない。

【００６７】２．サーフェルオブジェクトのデータ構造 図５に示すように、各サーフェル１００は、関連するサ
ーフェル属性４０１のセットを有し、各リンク３００は
リンク属性４０３を有する。オブジェクトのモデリング
及びレンダリングに使われる属性は図６においてより詳
細に示す。

【００６８】サーフェル属性４０１は、ポジション
（ｘ）、オフセット（ｏ）、色（ｒｇｂ）、不透明度
（α）、法線（ｎ）、角速度（ω）、法線（ｎ）、静止
質量（ｍ）、及び８つ以下のリンクを含むことができ
る。リンク属性４０３は、伸びてない長さ（ｌ）、弾性
定数（ｅ）、ダンピング定数（ｄ）、及び左右のサーフ
ェルポインタ（ｐ₁及びｐ_r）を含むことができる。

【００６９】法線を各サーフェルに格納するのは、レン
ダリング中に法線の補間を行わないようにするためであ
る。代わりに、法線の補間はサーフェルの生成中に行わ
れる。法線の格納とは、サーフェルオブジェクトに必要
なレンダリングスピードと格納容量との間のトレードオ
フである。

【００７０】各サーフェルはまた、モデリング中にサー
フェルオブジェクトの動的状態を表すさらなる属性を有
することもできる。これらは図１７及び図１９を参照し
てより詳細に説明する。

【００７１】２．１ サーフェルリスト 図７に示されるように、処理中のトラバースを最小限に
抑えるためにシーケンシャルリスト６００としてサーフ
ェルデータを構成する。リスト６００において、リスト
における二つの隣り合うサーフェルはサーフェルオブジ
ェクトにおいて隣接している。リスト６００を生成する
ために、サーフェルＳ_oから開始する。ポジション
（ｘ、ｙ）における「最初の（first）」サーフェルと
して、サーフェルＳ_oで始めると、各隣り合うサーフェ
ルをリストに追加し、最後のサーフェルＳ_nで終わる。
リスト６００のサーフェルにオフセットでアクセスす
る。オフセットは二つのサーフェルのポジション間の差
分ベクトルである。

【００７２】前のサーフェルに対するオフセットを格納
して、サーフェルの投影を可能にする。オフセットを格
納する場合、ビューイングマトリックス（viewing matr
ix）を使用して各サーフェルのビュー座標を計算する必
要をなくすことができる。オフセットを格納するため、
サーフェルはシーケンシャルリストまたはアレイとして
格納することができる。リストにおいて隣り合うサーフ
ェルはオブジェクトにおいても隣り合う。

【００７３】サーフェルは８つ接続しているため、サー
フェルをピクセルの間隔で配置すると、オフセットは、
｛±1,0,0｝、｛0,±1,0｝または｛0, 0,±1｝のいずれ
かである。オフセットは特定のビューのために予め計算
することができ、また、ルックアップテーブルに格納す
ることができる。サーフェルのオブジェクト座標は、リ
ンクしたリスト６００で前のサーフェルポジションにオ
フセットを加えることで生成できる。

【００７４】どのサーフェルを最初に選択するかは、オ
ブジェクトによって決まる。たとえば、球体では、第１
のサーフェルは球体の「上部（top）」にすることがで
き、リストは球体を「包み込む（around）」。なお、
「左（left）」及び「右（right）」の隣り合うサーフ
ェルはリストで隣り合っても良いが、「上（up）」及び
「下（down）」の隣り合うサーフェルはシーケンシャル
リストのいずれの場所に配置しても良い。リストにおい
て隣り合うサーフェルがオブジェクトにおいては隣り合
っていない場合、サーフェルはリスト６００のいずれの
場所にも配置することができる。

【００７５】サーフェルは６つの面のセル、つまりピク
セルサイズの間隔をおいた三次元グリッドにおいてゼロ
次元のポイントとして定義されるため、隣り合うサーフ
ェルのセル間のオフセットは多くのサーフェルと同じに
なる。画像面への投影のスピードをアップさせるため、
各オフセットは１度しかスクリーン空間オフセットに変
わらず、その後ルックアップテーブルに格納される。ル
ックアップテーブルは予め計算することができる。投影
中において、各サーフェルの各ビュー座標は、テーブル
ルックアップを使用して見つけられる。

【００７６】３．サーフェル及びサーフェルオブジェク
トの生成 サーフェル及びサーフェルオブジェクトの生成のため
に、考えられる多くの方法を説明する。

【００７７】３．１ 合成 陰サーフェスからの合成は、通常、球体・平面・立方体
などのオブジェクトまたは分析的に定義可能なその他の
オブジェクトに使用できる。本データ表現によって合成
サーフェルオブジェクトを生成することは、本明細書中
に記載されているデータ構造の詳細な説明を読めば当業
者には明らかである。主要な概念は、サーフェルの合成
が画像面の解像度において行われるということであり、
また隣り合うサーフェルはリンクによって接続されてい
るということである。

【００７８】３．２ 変換 ポリゴンなどの任意の幾何学的オブジェクトは、ポリゴ
ンを生成するために変換しなければならない。これをプ
ロセスの変換という。

【００７９】図８は、グリッドポジション（ｘ、ｙ）で
始まるひとつの二次元平面７１０でサーフェルを生成す
ることができ、かつ（ｘ＋ｌ,ｙ）が次となる順番を示
す。矢印７１１は、隣り合う列の交互の方向を利用して
前後、列順で生成する順を示す。第１の列は左から右へ
とサーフェルを生成して開始する。次の列のサーフェル
は右から左に生成される。この順番により各方向のユニ
ットステップ内で各サーフェルのオフセットが維持され
る。サーフェルはリスト６００のために順次生成され、
隣り合うサーフェルのセル間のオフセットはｘ、ｙにお
いて（１，０，０）または（０，１，０）のいずれかで
ある。

【００８０】３．２．１ 三次元デジタル微分アナライ
ザを使用した変換 三次元スキャン変換は、本発明によるサーフェルオブジ
ェクトに従来技術のポリゴンオブジェクトを変換するの
に使用できる。１９８６年のKaufmanらによって説明さ
れた、“3D Scan-conversion Process for Voxel-based
Graphics,”Proceedings of the 1986 Workshop on In
teractive 3D Graphics, Crow. F., Pizer. S.M. (ed
s.)４５ページから７５ページの方法を応用する。Kaufm
anの方法はポリゴンをボクセルに変換する。Kaufman
は、主要面に平行な円を描くアルゴリズムを使用する。
円は二つの部分、赤道線と極部分に描かれており、一方
で、同時に両半球を生成することによりアルゴリズムを
簡素化するために対称を使用している。対して、ポリゴ
ンを、シーケンシャルリストに格納される６つの隣り合
う８つの接続したサーフェルに変換する。

【００８１】本発明のポリゴンの三次元変換は、線の三
次元スキャン変換をポリゴンのエッジに使用する。エッ
ジ間を走るサーフェルは、塞いで最良の接続を提供す
る。本発明の方法では、ポリゴンエッジをｙにおいてソ
ートしなければならないが、これは走査線がｙ座標軸と
平行であるためである。

【００８２】ＤＤＡ（デジタル微分アナライザ）プロセ
スはもともと、二次元表現においてラインをラスタ化す
るために開発された。特定のラインで、始点及び終点の
ピクセルポジション、及び△ｘ及び△ｙを計算する。次
に、△ｘ及び△ｙを二つのデルタの大きい方で割って、
プロセスに必要なステップの数をこの最も大きいデルタ
と等しくする。最も大きいデルタの方向の各ステップに
ついて、ピクセルのポジションを他の方向のデルタによ
って計算する。このプロセスは簡単であるが効果的であ
る。

【００８３】図８に示すように、ＤＤＡプロセスは次の
ようにポリゴン７００に適用される。三角形７００の三
つのエッジの一つを「ベースエッジ（base-edge）」７
０１として選択し、残りの二つのエッジ７０２と７０３
は「ガイダンスエッジ（guidance-edges）」として選択
する。ベースエッジに平行なライン７０４はプロセスが
ガイダンスエッジに沿って別の増分的なステップを行う
毎に三次元ラスタ化される。

【００８４】本発明のプロセスはKaufmanのアルゴリズ
ムとは異なるが、これは本発明のベースエッジが三次元
において任意に方向付けされることができるからであ
る。Kaufmanのアルゴリズムでは、ポリゴンがｘｙ座表
面と一致していない限り（ベースエッジがｘまたはｚの
座標軸のいずれかである場合）、ベースエッジはかなら
ずｙ座標軸と平行である。

【００８５】ポリゴンのサーフェスの法線を計算して、
ポリゴンが主軸でスパンされる平面と平行かどうかを調
べる。この場合、特定の最適化をプロセスに対して行う
ことができる。

【００８６】ベースエッジ７０１では、△ｘ、△ｙ、及
び△ｚの値を計算し、この三つの三角形の最大値△_max
を求める。三つのインクリメントの合計を計算する。

【００８７】１）ｘ_incr ＝ △ｘ／△_max.、 ２）ｙ_incr ＝ △ｙ／△_max.、 ３）ｚ_incr ＝ △ｚ／△_max。

【００８８】ｘ、ｙ、またはｚに沿って最大値の三角形
の方向でステップを行うと、ベースエッジに沿って三次
元のサンプルポジションが得られる。三角形７００をス
キャン変換すると、二つのガイダンスエッジのｘ方向、
ｙ方向、ｚ方向のデルタが同様に求められる。もう一度
エッジごとの三つの増分の合計を計算するが、今度はこ
のデルタを両方のガイダンスエッジの最大デルタで割
る。これは、スキャン変換する平行なエッジのそれぞれ
について、ベースエッジの向きをガイダンスエッジに沿
うステップが確実に維持するようにするためである。

【００８９】二つのガイダンスエッジに沿った各増分的
ステップの後、ベースエッジと平行なエッジの三次元ラ
スタ化を行う。ガイダンスエッジに沿って各増分的ステ
ップを行うと、このエッジの長さは減少してしまう。エ
ッジの三次元ラスタ化中にみられる各サンプルポジショ
ンにおいて、サーフェルはそのポジションで格納され
る。

【００９０】図９で見られるように、追加されて８つの
接続を提供するサーフェルは、三角形７００の内側に追
加されるだけである。図９では、サーフェル８０１と８
０２のどちらかをリスト６００に追加することができ
る。どのサーフェルが内側にあるかを決めるために、ベ
ースエッジ７０１に関する頂点７１０のポジションを決
定する。これは、頂点７１０を指し、ベースエッジに垂
直な内側方向のベクトル７２０を定義することで行われ
る。内向きのベクトル７２０によって、二つの候補のサ
ーフェルのうちの一つ（この例ではサーフェル８０１）
を選択する。

【００９１】サーフェルをシーケンシャルリストに追加
するたびに、そのポジションは、ポジションに応じてハ
ッシュテーブルに格納される。サーフェルを追加する前
に、ハッシュテーブルをチェックして、そのポジション
においてサーフェルがすでに存在するかどうかを判断す
る。

【００９２】３．２．２ 距離マップを使った変換 従来技術では、距離マップはサンプリングしたボリュー
ムのサーフェスボクセルを正確に表現するために使われ
てきた。ボリューム用の距離マップは、もともと三次元
ボリュームである。各グリッドポジションでは、距離マ
ップはオブジェクト表面への最短距離を格納する。こう
した距離は分析的な描写から計算されるか、またはボリ
ュームのバイナリセグメント化されたデータから抽出す
ることができる。

【００９３】距離マップは、ボリュームからオブジェク
ト表面の正確な再構築を行うプロパティを有している。
距離マップの勾配によってサーフェス法線の方向が得ら
れる。距離の符号により、ボリュームの内側と外側とを
区別する。オブジェクト表面は距離マップの距離ゼロに
配置される。距離マップはオブジェクト表面にわたって
なめらかに変化し、これが高い空間周波数を防止するた
め、比較的低コストの再構築フィルタを使用したサーフ
ェス再構築を行うことができる。

【００９４】図１０は、距離マップを使ってオブジェク
トをサーフェル化するプロセス９００のステップを示
す。ステップ９１０では、サーフェスポリゴン（たとえ
ば、図１１で示す三角形１０００）を、サンプリングし
たボリュームデータ９０１から推定する。ポリゴン１０
００はトリストラップを使って格納することができる。
三角形メッシュの各ポリゴンは三つの頂点、たとえば１
００１から１００３までを含む。ｎ個の三角形を格納す
るには、ｎ＋２個のノードが必要である。

【００９５】ステップ９２０では、トリストリップ（tr
i-strip）データを読み込み、トリストラップのバウン
ディングボックスをステップ９３０において決定する。
ピクセルサイズの間隔をあけたボリュームを、ステップ
９４０のバウンディングボックスによってトリストラッ
プ周辺に定義する。ボリュームの大きさはバウンディン
グボックスの大きさよりも少し大きく、ボリュームの境
界のどれでもトリストラップと一致しない。この条件に
より、オブジェクト表面が位置している場所を特定する
ことができるが、詳しくは以下で述べる。

【００９６】ステップ９５０において、ボリュームの各
整数グリッドポイントポジションの三角形への最短距離
を以下に詳述するように決定する。ステップ９６０にお
いて、ボリュームをトラバースし、（１／２）√２以下
の距離を有するこうしたグリッドポイントにサーフェル
を追加する。これは、サーフェルが含まれるセルの表面
対角線の半分である。（１／２）√２スケーリング因数
を選択して、以下に詳細に述べるように穴の発生を抑え
る。

【００９７】距離計算 トリストラップ１０００で各三角形の距離を計算するに
は、より大きなボリュームの一部であるサブボリューム
（拡大したバウンディングボックス）を、図１２にもあ
るように上記の通り三角形周辺に定義する。サブボリュ
ームの各グリッドポジションでは、三角形への距離を計
算する。この方法は、ポイントＰから頂点Ｖ₀、Ｖ₁、Ｖ
₂、及び法線Ｎをもつ三角形１１００への三次元での最
短距離を計算する。

【００９８】ポイントＰから三角形までの三次元の距離
を計算するには、平坦な三角形によって定義される平面
へポイントＰを垂直に投影して三角形の内側にあるかど
うかを決定する。Ｐの投影が三角形の外側である場合、
三次元最短距離はエッジまたは頂点の一つと垂直なＰか
らベクトルの大きさである。Ｐの投影が三角形の内側で
ある場合、三次元最短距離はＰからその三角形の投影ポ
イントＰ’までのベクトルの大きさである。三角形表面
へのＰの投影を決定するには、ＰをＰ₁及びＮのドット
積を計算することにより法線Ｎに投影する。投影したベ
クトルは、投影ポイントＰ’を生じるＰから引く。

【００９９】図１３及び図１４は、三角形１１００の二
次元投影を示す。投影ポイントＰ’は、図１３の三角形
の内側である。エッジに垂直な全てのベクトルはこの場
合、内側を指す。図１４では、太い矢印で示されるエッ
ジＶ₀Ｖ₁に垂直なベクトルは外側を指し、一方で他の二
つのベクトルは内側を指す。この図は、また、エッジＶ
₀Ｖ₁に最も近いＰ’を示している。三次元の場合、これ
は次のように決定される。

【０１００】Ｖ_jがエッジの終点でありＶ_iが始点である
場合、ベクトルＰＶ_iとベクトルＶ_jＶ_iは、法線Ｎ’が
決定される平面を定義する。この法線は、Ｐ’が内側で
ある場合に三角形の内側を指し、そうでない場合には三
角形から離れたポイントを指す。このことは、三角形法
線Ｎ及びＮ’のドット積の符号を使って調べることがで
きる。

【０１０１】距離計算は、ストリップの各三角形、及び
オブジェクトの全三角形ストリップのためのサブボリュ
ームのあらゆるグリッドポジションについて行う。サブ
ボリュームは重複しているため、ポジションによっては
複数の距離計算をするものもある。この場合、最短距離
を使用する。

【０１０２】サーフェスオブジェクトは、距離がゼロの
ときのポジションに置かれる。この距離ゼロは８つのグ
リッドポジションで境界をおかれるセル内のいずれかの
場所にある。そのため、ボリュームをトラバースする
際、距離の絶対最大値がボリュームにあたるたびにサー
フェルを追加する。これは、ボリュームの境界のいずれ
にもオブジェクトが一致してはならないからである。８
つの接続でサーフェルを追加できるようにするため、サ
ーフェルへの距離が（１／２）√２以下の距離である各
グリッドポジションでサーフェルが追加される。

【０１０３】図１５は、（１／２）√２という値を選択
した理由を説明するものである。８つのグリッドポイン
ト１３０１から１３０８によって境界されるボリューム
の６つの側面をもつセル１３００について考えてみる。
セル１３００は、対角線の（奇数）グリッドポイントが
ないオブジェクトサーフェス１３１０で対角線に区分さ
れている。言いかえると、対角線のグリッドポイントの
距離はゼロに非常に近いが正確にゼロではない。サーフ
ェルはこうしたポジションにおいて生成する必要があ
る。しかし、こうしたサーフェルは８つの接続ではな
く、そのためさらに奇数のポジション１３０２及び１３
０６か、またはポジション１３０４及び１３０８のサー
フェルも生成しなければならない。たとえば、サーフェ
ルが奇数のグリッドポイントを「残して（left of）」
いるセルを切り通す場合、グリッドポイント１３０４及
び１３０８の距離は（１／２）√２よりわずかに少な
く、こうしたポジションのためにサーフェルを追加して
８つの接続を提供する。

【０１０４】しかし、サーフェルが奇数のグリッドポイ
ントを正確に切り通す場合、及びこうしたポイントの距
離がゼロである場合、偶数のグリッドポイントの距離は
（１／２）√２であるため、サーフェルを８つ全てのグ
リッドポイントに追加しなければならない。これは最悪
の場合である。これがオブジェクトの表面全体に関する
場合、結果的に表面は一定の厚さ、たとえば、セルの表
面対角線の長さ√２を有する。

【０１０５】３．２．３ 距離マップとＤＤＡとの比較 三次元ＤＤＡのサーフェル化の利点は、その簡素化にあ
る。このプロセスは整数演算で行われ、ラインに沿って
新しいポジションを計算することができる。距離マップ
を使用したサーフェル化はより複雑であり、またよりメ
モリ集約的である。距離を計算するのに使うボリューム
はサーフェル化中にメモリに格納しなければならない。
こうしたボリュームはきわめて大きくなることがある。

【０１０６】距離マップを使用した変換にはあらゆる整
数グリッドポジションについて、三角形への距離を計算
する変換が必要であるとは言え、ボリュームのセルは１
度以上トラバースされないので、サーフェルがすでにあ
るかどうかをチェックする必要はない。このチェックは
三次元ＤＤＡで変換することが必要になる。

【０１０７】上記のように、レンダリングのためにサー
フェルのリストを効率的にトラバースするため、リスト
６００に順次サーフェルを格納する。三次元ＤＤＡプロ
セスを適用することで、「左から右」から「右から左」
への各増分的ステップでスキャン変換の方向を単に交互
にすることで各三角形のサーフェルのシーケンシャルリ
ストが生じる。距離マップを使用するサーフェル化で、
サーフェルがリストに追加される順序は、ボリュームを
トラバースする順序、層ごとに、及び各層内のサーフェ
ルの順にしたがう。

【０１０８】図１６は、ポリゴンが凸面である限り、三
次元ＤＤＡプロセスを拡張して任意のポリゴン１４００
でサーフェル化することができる方法を示す。これを達
するためにポリゴンの頂点１４０１から１４０６をある
順序で、たとえば時計回りに配置する。ベースエッジ１
４１０及び二つのガイダンスエッジ１４１１から１４１
２を選択する。サーフェル化ラインは凸面１４０５に達
すると、ガイダンスエッジ１４１３をエッジ１４１２に
取りかえる。同様に、凸面１４１２に達すると、エッジ
１４１４をエッジ１４１１と取りかえ、最終的にエッジ
１４１５を使用する。

【０１０９】距離マップは任意の凸面ポリゴンで使用す
ることもできる。三角形の三次元の距離を計算する同じ
プロセスを適用することができる。これにより、最も近
いエッジまたは頂点を決定するために、より多くのエッ
ジ及び頂点に対してグリッドポジションをチェックする
余分なコストが導入される。

【０１１０】３．３ ボクセルからサーフェルを抽出す
る サーフェルは次のようにボリュームデータから生成可能
である。第１のステップでは、ボクセルは画像面の解像
度に再サンプリングされる。第２に、オブジェクトのサ
ーフェス境界のボクセルを抽出し、抽出したボクセルは
次にポイントサンプルまたはサーフェルに変換する。第
３に、６つの隣り合うサーフェルをリンクで接続する。
このステップは、さらにボクセルの抽出を必要とするこ
とがあり、そうして８つの接続を提供する。最後のステ
ップでは、ボリュームデータの欠如によるサーフェスに
おけるギャップを補間で埋めることができる。

【０１１１】３．４ パーティクルの雲をサーフェルに
マッピングする パーティクルの雲を次のようにサーフェルにマッピング
することができる。第１に、スクリーンの解像度のグリ
ッドを雲のまわりに配置する。各セルを調べる。セルが
正確に一つのパーティクルを含む場合、そのパーティク
ルをサーフェルに直接マッピングすることができる。セ
ルが一つ以上のパーティクルを含む場合、そのパーティ
クルを一つのサーフェルに統合しなければならない。セ
ルにパーティクルが含まれていない場合、サーフェルは
隣り合うセルにおいてパーティクルから補間されなけれ
ばならない。

【０１１２】３．５ デティルのレベルの生成 サーフェルの表現は「ズーム（zooming）」をしやすく
するためにデティルの異なるレベルにする、すなわち投
影中の画像面とオブジェクト間の差を変えることができ
る。サーフェル生成後、または生成中に、フィルタを適
用してデティルの異なるレベルを生成することができ
る。通常、これは、レンダリング前の前処理ステップと
して行われる。フィルタリングとダウンサンプリングを
行うことにより、サンプルオブジェクトは解像度が低く
（粗く）なり、アップサンプリングとフィルタリングを
行うことによりサーフェルオブジェクトは解像度が高く
（細かく）なる。たとえば、図２に示される四つの隣り
合うサーフェル１００に属する値を、ディティルオブジ
ェクトのより低いレベルのサーフェルに平均化すること
ができる。その他のフィルタリングまたはサンプリング
の技術を異なる組み合わせのサーフェルに適用して色々
なレベルのディティル、たとえば、１６、４、１、１／
４、１／１６、１／２５６などを提供することができ
る。

【０１１３】４． グラフィックオブジェクトの物理ベ
ースのモデリング グラフィックオブジェクト間の相互作用の物理ベースの
現実的なシミュレーションにおいて、剛体力学と動的変
形の二つのタイプのモデリングが主に使われている。

【０１１４】剛体力学では、グラフィックオブジェクト
は、外部からの力やトルクを受けても剛性を失わない。
ポジション、向き、速度、質量の中心及び慣性因数など
のパラメータを使用して、ニュートン力学による空間及
び時間を通してオブジェクトの通り道をシミュレートす
る。剛体力学の特徴として、オブジェクトの形状はいつ
でも変わらないということがある。

【０１１５】さらに、力学は圧迫したり圧迫させないよ
うにしたりすることができる。圧迫された剛体力学にお
いて、オブジェクト間の相互作用、たとえば衝突などが
起きることがある。圧迫されていない剛体力学におい
て、オブジェクトは別のオブジェクトの動きに関係なく
動く。

【０１１６】動的変形において、オブジェクトは質量、
ポジション、及び潜在的にオブジェクトの全てのサーフ
ェルエレメントの速度を利用して、内部の力及び外部の
力を受ける。マススプリングシステムを利用して、サー
フェルオブジェクトに動的変形の物理ベースのモデリン
グを適用する。サーフェルはポイント質量であり、サー
フェルを接続するリンクは、質量の現実的な物理的な動
きをモデルへのスプリングとして作用する。

【０１１７】４．１ サーフェルオブジェクトの剛体力
学 剛体の物理ベースの力学のシミュレーションは、自然の
法則による現実ワールドの動きをするオブジェクトの動
きに関連している。重力やトルクなどの力をオブジェク
トが受けるときの現実の動きを模倣する。動きが圧力を
受けていない場合、こうしたオブジェクトは、他のオブ
ジェクトとの衝突に影響されることなく、どこにでもま
ったく自由に動く。また、衝突などの圧力を受ける剛体
のシミュレーションを処理するためにこのモデルを拡張
する。

【０１１８】図１７に示されるように、剛体の状態を使
用してサーフェルオブジェクトに剛体力学を実施する。

【０１１９】ポジション及び向き 剛性のサーフェルオブジェクトのポジションを、ある時
間ｔにおいて、ｘ（ｔ）：（ｘ,ｙ,ｚ）のベクトルで説
明する。このベクトルは、「ワールド空間（world spac
e）」座標系の原点からオブジェクトの現在のポジショ
ンまでのオブジェクトの移動を指定する。オブジェクト
の向きは、「四元数（quaternion）」と呼ばれる四つの
変数の集合で定義される。この集合は、それ自体のロー
カルな座標系の三つの軸を中心にしてオブジェクトを回
転させる、回転マトリックスＲ（ｔ）、３×３マトリッ
クスを反映する。

【０１２０】 式 ｐ（ｔ）＝ Ｒ（ｔ）ｐ₀＋ｘ（ｔ）

【０１２１】は、ローカルな座標系の剛性サーフェルオ
ブジェクトの面におけるポイントｐ ₀のポジションを、
ワールド座標系（world coordinate system）のポイン
トｐに定義する。

【０１２２】通常の回転マトリックスの代わりに四元数
を使う。四元数は、ｑ（ｔ）＝（ｑ _s，ｑ_x，ｑ_y，ｑ_z）
と書く四つの数のリストである。この四元数を現実のパ
ートｑ_s、及び想像上の（ｘ，ｙ，ｚ）に分ける。四元
数を使うのには、二つの理由がある。

【０１２３】第１に、９つの回転マトリックスの代わり
に４つの変数しか必要としないため、状態ベクトルのサ
イズが小さくなり、計算も少なくてすむ。第２に、数値
的に、状態ベクトルを積分して解をすすめるため、変数
が数値エラーの蓄積を意味する数値ドリフトを受けやす
くなる。四元数は回転マトリックスよりもドリフトの発
生がはるかに少ない。さらに、四元数の大きさを正規化
するので、四元数の再正規化によるエラー修復が容易で
ある。

【０１２４】四元数には他の利点もある。現実の部分や
想像上の部分に四元数を分割することで、回転角や回転
軸の識別に役立つ。四元数が正規化されるということ
は、その大きさが１と等しくなるということである。想
像上の部分が、オブジェクトが回転する中心となる軸を
定義する。回転部分はラジアンで表す。たとえば、ユニ
ット軸ｕを中心とするラジアンの回転θは、

【０１２５】ｃｏｓ（θ／２），ｓｉｎ（θ／２）ｕ．

【０１２６】で表す。

【０１２７】四元数は、数値の積分のときに使う。マト
リックスを実際に回転させてレンダリングを行わなけれ
ばならないとき、四元数を回転マトリックスに変換す
る。積分を用いて差分式のセットを解かなければならな
いとき、ふたたびマトリックスを四元数に変換する。

【０１２８】速度及び角速度 時間の経過に伴うオブジェクトのポジションは、その速
度による。オブジェクトの速度は、ｘ（ｔ）の微分係数
をとって決定する。

【０１２９】ｖ（ｔ）＝ｘ’（ｔ）＝ｄｘ／ｄｔ

【０１３０】サーフェルオブジェクトの向きを固定する
と、ワールド空間を通るオブジェクトの動きはその線形
速度による。オブジェクトが回転する場合、ｘ’（ｔ）
であるときのｑ’（ｔ）の類似するパラメータを決め
る。

【０１３１】サーフェルオブジェクトの角速度をｗ
（ｔ）といい、ｗ（ｔ）は、向きによってサーフェルオ
ブジェクトが回転する中心の軸を与えるベクトルであ
る。ｗ（ｔ）の大きさ、|ｗ（ｔ）|は、オブジェクトが
回転する速度を特定する。ｑ（ｔ）の微分係数ｑ’
（ｔ）は、ｗ（ｔ）として想像上のパートをとることで
ｗ（ｔ）から四元数を生じさせることでわかり、現実の
パートにゼロの値を加える。

【０１３２】ｑ_w（ｔ）＝（０，ｗ_x，ｗ_y，ｗ_z） ｑ’（ｔ）＝１／２ｑ_w（ｔ）ｑ（ｔ）

【０１３３】ｑ_w（ｔ）ｑ（ｔ）は、四元数ｑ_w（ｔ）及
びｑ（ｔ）の積である。合わせると、ポジション、向
き、速度、及び角速度は、剛体シミュレーションの状態
ベクトルを含む。状態ベクトルは、全部で１３個の変数
を含んでいる。

【０１３４】ｘ（ｔ）＝ｑ_s，ｑ_x，ｑ_v，ｑ_z，ｘ_x，
ｘ_v，ｘ_z，ｖ_x，ｖ_v，ｖ_z，ｗ_x，ｗ_v，ｗ_z

【０１３５】これら１３個の変数は、積分中の各時間的
なステップごとに更新される。サーフェルオブジェクト
の動きを示す積分方程式、すなわち時間の経過にともな
う状態ベクトルの値をたてると、数値積分を使って方程
式を解くことができる。

【０１３６】ｘ’（ｔ）＝ｆ（ｘ，ｔ）

【０１３７】ここで、関数ｆはｘ（ｔ）の微分係数を計
算する。関数ｆは、時間ｔの後の状態ベクトルｘの状態
を説明する。関数ｆがわかると、ワールド空間のサーフ
ェルオブジェクトの新しいポジション、向き、速度、及
び角速度を導くことができる。関数ｆを解くために、状
態ベクトルｘの微分係数を計算する。

【０１３８】その他の量 さらにいくつかの状態変数を使って、ｘ（ｔ）からｘ’
（ｔ）を計算する。オブジェクトが加速する場合、サー
フェルオブジェクトの新しい速度を計算する。例の力と
して、ユーザ入力から得られる重力または力がある。速
度ｖは加速度ａと等しいため、

【０１３９】Ｆ＝ｍａ または ａ＝Ｆ／ｍ

【０１４０】を使う。

【０１４１】加速度ａを計算するには、サーフェルオブ
ジェクトの質量を知る必要がある。サーフェルオブジェ
クトの質量はシミュレーション中は変化しないので、シ
ミュレーションの前処理状態において全てのサーフェル
の質量を蓄積することでサーフェルオブジェクトの全体
の質量を計算することができる。

【０１４２】角度の加速度の計算のための力Ｆにあたる
ものとしてトルクがある。トルクはそれを回転させるオ
ブジェクトに作用する。この力を重心に整列させると何
も起こらないが、力がオブジェクトのどこか他の場所の
ポイントにかかるとすぐに、力によってオブジェクトは
回転する。

【０１４３】角度の加速度を計算するため、角速度の微
分係数を使う。質量と類似したエンティティを使って、
サーフェルオブジェクトに作用しているトルクＴ（ｔ）
から角度の加速度を決定する。このエンティティは慣性
テンソルＩ（ｔ）という３×３のマトリックスである。
このテンソルは、時間が経つにつれて変化しないため、
シミュレーションを開始する前に普通計算する。テンソ
ルは、オブジェクトのボリュームにそってサーフェルオ
ブジェクトの質量を配分する方法を述べる。実際に、こ
の３×３のマトリックスは３つのエンティティのベクト
ルに導くことができる。

【０１４４】角度の加速度の式を導き出すために、角度
の運動量Ｌ（ｔ）を使う。

【０１４５】Ｌ（ｔ）＝Ｉ（ｔ）ｗ（ｔ）

【０１４６】及びその微分係数

【０１４７】Ｌ’（ｔ）＝Ｔ（ｔ）

【０１４８】ｗ’（ｔ）の式を導くためには、

【０１４９】ｗ’（ｔ）＝（Ｔ（ｔ）―Ｉ’（ｔ）ｗ
（ｔ））／Ｉ（ｔ）

【０１５０】剛体シミュレーション 図１８に示すように、時間に依存するオブジェクト１６
０１の剛性の状態１６００を状態ベクトル１６０２にコ
ピーする。状態ベクトルは、ある時間ステップｈの新し
い状態ベクトル１６０３を生じる数値的積分器１６１０
の入力としてはたらく。状態ベクトル１６０３はサーフ
ェルオブジェクトの状態１６００に再びコピーされて、
空間及び時間のオブジェクトの新しいポジション及び向
きが次の処理ステップに知られる。

【０１５１】衝突検出及び接触力 次に、圧力がかかっていない剛性サーフェルオブジェク
トの動きを説明する。オブジェクトを衝突に反応させた
い場合、物理的な法則による二つのオブジェクト間のエ
ネルギー及び運動量の交換を計算する。これにより、オ
ブジェクトが衝突後に空間を通る新しい通路をたどる剛
体の動きを生じる。計算した力はオブジェクトに吸収さ
れず、全ての力は新しい向き及び新しい速度でオブジェ
クトを方向付けるのに使用される。材料特性によりオブ
ジェクトの動的な変形が可能になる場合、衝突時にエネ
ルギーを発散及び吸収可能であるため、エネルギー交換
の計算も行う。

【０１５２】二つのサーフェルオブジェクト間の衝突検
出には、大量の計算的な手間が必要な場合があるが、こ
れは他のオブジェクトの全てのサーフェルと一つのオブ
ジェクトのすべてのサーフェルを比較しなければならな
いからである。この問題を避けるために、たとえば球面
に対する１２面体など、各サーフェルオブジェクトにつ
いて多面体バウンディングボックスを生成する。適正な
量のポリゴンを有するバウンディングボックスは、サー
フェルオブジェクトの面を一定の正確さで近似すること
が出来、そして、衝突のためにチェックする必要のある
ポリゴンの数を減らすことができる。

【０１５３】二つのサーフェルオブジェクト間の衝突を
検出する場合、オブジェクトのサーフェスの問題の部分
（ポリゴン）を決定し、実際の衝突するサーフェルの検
索を開始するので、これにより一つ一つのサーフェルを
すべての他のサーフェルについてチェックすると言う最
初のタスクが減る。衝突に参加するサーフェルを見つけ
ると、サーフェルオブジェクトの状態ベクトルの属性か
ら接触力を導出することができる。

【０１５４】サーフェルレベルで接触力を決定した後、
新しい速度または向きなどの衝突から生じる状態の変化
を計算することができる。また、以下に述べるマススプ
リングシステムなどを使ってサーフェルオブジェクトを
変形し始めることができる。

【０１５５】４．２ サーフェルオブジェクトの変形の
動的モデリング 剛体モデリングは、オブジェクトの動的な変形を扱わな
い。オブジェクトに作用する力によってオブジェクトの
形が変わる場合、サーフェルオブジェクト内の個々のサ
ーフェルを処理するモデルを使う。サーフェルオブジェ
クトは別々のポイントサンプルから構成されるため、サ
ーフェルオブジェクトの動的変形のシミュレーションは
オブジェクトの各サーフェルの動きをシミュレートする
ことで行う。

【０１５６】特に、各サーフェルはポジション、速度、
力、及び図１９で示されるサーフェルに作用する質量を
有する。したがって各サーフェルについて、次のように
定義する。

【０１５７】ｘ’（ｔ）＝ｖ（ｔ） ｖ’（ｔ）＝ｆ／ｍ＝ａ

【０１５８】上記のように、これらは剛体力学と同じで
ある。

【０１５９】また、剛体力学と類似して、シミュレーシ
ョンを生じさせることができるサーフェルオブジェクト
の状態のスナップショットを撮る。サーフェルオブジェ
クトに存在する各ひとつのサーフェルの状態を反映する
状態ベクトルを生成する。剛体力学と同じく、数値的積
分器にこの状態ベクトルを加えて、時間間隔ｈの終わり
の各サーフェルの新しい状態を反映する新しい状態ベク
トルを計算する。

【０１６０】図１９は、変形シミュレーション中にサー
フェルオブジェクト１７０２の各サーフェル１７０１と
関連付ける変数１７００を示す。サーフェルはゼロ次元
のポイントとしてモデリングされるため、サーフェルの
向きを格納する必要はない。サーフェルの状態のコンテ
ンツに依存する時間は、状態ベクトルを定義する。

【０１６１】 ｘ（ｔ）＝（ｘ_x，ｘ_y，ｘ_z，ｖ_x，ｖ_y，ｖ_z）

【０１６２】サーフェルを置換すると力が生じ、サーフ
ェルリンクでモデリングされる二つのサーフェル間の自
然の距離で分裂を生じさせる。こうしたサーフェルの置
換は、サーフェルオブジェクト間の衝突や、ユーザ入力
による結果として起こり得る。

【０１６３】４．２．１ マススプリングシステム 図２０は、マススプリングシステムにおいてリンク１８
０２によって接続されるサーフェル１８０１の格子とし
てモデリングされるサーフェルオブジェクトの部分１８
００を示す。サーフェル１８０１は質量を有し、リンク
はオブジェクトをこえる力を伝播する。力が一時的なも
のであると、オブジェクトは、力がかかる前に有してい
た形状に戻ろうとする。この場合、オブジェクトはメモ
リを有している。

【０１６４】メモリはリンクに格納される。サーフェル
オブジェクトを生成する場合、共通リンクを共有する二
つのサーフェル間の自然の距離を決定する。これは、サ
ーフェルリンクの属性の一つとして格納される伸びてな
い長さ４２０である（図５参照）。リンクを共有する二
つのサーフェル間の距離が乱れることは、自然のリンク
の長さに反することを意味する。これによりサーフェル
レベルの力が発生する。この力はひとつのサーフェルに
ついて計算されるためバイナリ力という。これは、フッ
クの法則をスプリングに応用することで行うことができ
る。

【０１６５】ｆ_i＝[ｋ_s（|ｄ|−ｌ₀）＋ｋ_d|ｄ’|]ｄ* ｆ_j＝−ｆ_i

【０１６６】ここで、ｆ_iはサーフェルｉに作用する力
であり、ｋ_sはリンクの弾性成分であり、ｋ_dはダンピン
グ因数である。伸びてない長さはｌ₀である。リンクは
二つのサーフェルと接続するため、逆の力を別の端のサ
ーフェルｊにかけることができる。ｄ＝（ｘ_i−ｘ_j）を
計算して、リンクの両終点間のベクトルを定義する。

【０１６７】|ｄ|の値は、ｄ*＝ｄ／|ｄ|がその方向に
おける単位ベクトルであるときにそのベクトルの長さを
定義する。最後に、|ｄ’|はリンクの長さの瞬間の変化
である。これは、速度を引いてその結果をｄ：（ｖ_i−
ｖ_j）ｄ*の単位ベクトルでかけて、計算する。

【０１６８】量（|ｄ|−ｌ₀）は、伸びてない長さｌ₀を
違反しない場合に、ゼロになる。この値がゼロでない場
合、この違反の量をかけるリンクの弾性因数に依存す
る。リンクを共有する二つのサーフェルが別の方向に動
くとき、二つのサーフェル間の距離に変化が生じる。こ
の距離が伸びてない長さと異なるとき、リンクの自然な
長さが乱されるため、力は両方のサーフェルに作用す
る。リンクは二つのサーフェルを元の場所に戻すよう試
みる。

【０１６９】図２１は８つ以下のその他のサーフェルに
接続するサーフェルの力を蓄積するのに使うことができ
る処理過程１９００を示す。この処理過程は、シーケン
シャルリスト６００（図７）の各サーフェルに実施して
既存のリンクをチェックする。

【０１７０】リンクが見つかると、Compute_Force関数
を呼び出して、共通リンクで接続される両サーフェルに
作用する力を計算する。各ひとつのサーフェルの各力を
決定した後、積分器の微分係数を生じさせる。

【０１７１】リンクの弾性因数とダンピング因数の両方
を使って、モデリングしたサーフェルオブジェクトのマ
テリアルプロパティを調整することができる。こうした
量は自然な張力の動きを考慮し、それに従って弾性因数
を選択する試行錯誤によって求めることができる。

【０１７２】ダンピングは、振動のためにマテリアルが
分解しないようにする弾性因数と関連しなければならな
い。システムは、ｋ_d＝２√（ｍ’ｋ_s）であるときに臨
界減衰するといわれている。ｍ’の値は等しい質量であ
る。リンクの各端においてリンクがサーフェルに重み付
けされるため、こうした二つの質量を「見る（sees）」
リンク、すなわちｍ’＝ｍ／２を仮定することができ
る。実際には、等しい質量は、積分器を通して他のサー
フェルに貢献するリンクが通過するために、より高くな
る。

【０１７３】両因数を選択するのには注意が必要であ
る。弾性及びダンピングが適切に一致していない場合、
振動が生じて、各積算ステップにおいて集中する力のチ
ェーン反応を生じさせ、最終結果としてサーフェルの破
壊が起きることがある。このようになるのは、ダンピン
グ因数が足りなくて、互いに離れるサーフェルをコント
ロールできない場合である。

【０１７４】シミュレーションの実行 図２２は、たとえば衝突などによりサーフェルオブジェ
クトに物理ベースの動的変形がおこったプロセス２００
０を示す。サーフェルオブジェクト２００１は、リンク
２００３によって接続される複数のサーフェル２００２
を含む。サーフェルオブジェクトには多くのサーフェル
があるため、各サーフェルの状態ベクトルを連結して、
サーフェルポジション及び完全なサーフェルオブジェク
ト２００１の速度の１つの大きな状態ベクトル２０１
０、を形成する。

【０１７５】これにより、ｎがオブジェクトのサーフェ
ル数である場合、長さ６ｎの結合した状態ベクトルが生
じる。この力は処理過程１９００で蓄積され、またステ
ップ２０２０で集積されて、個々のサーフェル２００２
の状態を更新するのに使用可能な新しい状態ベクトル２
０３０を生成する。

【０１７６】図２３は、図２２の処理過程２０００で使
用可能なラッパー（wrapper）処理過程２１００を示
す。この処理過程により状態ベクトル２０１０が発生
し、各サーフェルにおける力を蓄積するプロセス１９０
０を呼び出す。ラッパー２１００は積分器２０２０も呼
び出す。この中でエラースケール（err-scale）は許容
可能なエラーの量を測定する。

【０１７７】４．２．２ 変形後のサーフェル法線の決
定 サーフェルが変形中にピクセルグリッドに対して圧力を
受けなくなるため、変形後にサーフェルオフセットと法
線を再び考えなければならなくなる場合がある。サーフ
ェルオフセットは変化することがあるが、これはオフセ
ットがシーケンシャルリストの前のサーフェルへの距離
を測定するからであり、こうして新しいポジションを有
するどんなサーフェルにも再計算を行うことができる。

【０１７８】さらに大きい問題として、図２４乃至図２
６に示されている通り、変形のシミュレーション中にサ
ーフェル法線が変化しない、ということがある。図２４
は、サーフェル法線２２１１のサーフェル化したポリゴ
ンの部分２２１０を示す。図２４乃至図２６に示すよう
に変形した部分２２２０では、サーフェル法線２２１１
は、シミュレーション前と変わらない。これにより、サ
ーフェルオブジェクトがレンダリングされると間違った
表現がされることは明らかである。部分のための正しい
法線２２２１は図２６に示されている。

【０１７９】法線２２２１は、変形したサーフェルを通
過する接平面から見つけられる。サーフェルは接続され
ているため、接平面にある二つの非同一線形ベクトル
は、二つの最も近い隣り合う二つのサーフェルで見つか
る。最も近い隣り合うサーフェルは、サーフェルリンク
から見つけることができる。

【０１８０】５．サーフェスエレメントのレンダリング サーフェルオブジェクトをモデリングすると、表示機器
またはプリンタにおいてレンダリングを行うことができ
る。上記で述べたように、サーフェルは（サーフェル）
ボクセルと近い類似性を有している。両方とも、グリッ
ドにおいて定義される。ボクセルの典型的な定義は、ボ
リュームの整数のグリッドポジションに配置されてい
る、値またはサンプルと考えることができる。本発明に
よると、各サーフェルは、画像面に１ピクセルに投影す
る。全体的に、オブジェクト順レンダリング投影プロセ
スを使う。ピクセルへのサーフェルの一対一のマッピン
グのため、ラスタ化は不要である。

【０１８１】デティルの様々なレベルにおいてサーフェ
ルの表現を行うことにより、ズーム、すなわちサーフェ
ルオブジェクトと画像面との距離の変更を容易にするこ
とができる。この場合、１ピクセル以上または未満のピ
クセルを１ピクセルに投影すると、デティルの対応する
レベルの表現を選択して、サーフェル及びピクセル間の
一対一のマッピングを維持することができる。

【０１８２】図２７は、サーフェルオブジェクトのレン
ダリングパイプライン２３００を示す。パイプライン２
３００は、相当する座標空間で作用する５つの段階２３
０１から２３０５を有する。レンダリング中は、各サー
フェルＳは１３個１組のベクトルとして定義することが
できる。このベクトルは以下の式を含む。

【０１８３】Ｓ＝{ｘ，ｙ，ｚ，ｏ_x，ｏ_y，ｏ_z，ｎ_x，
ｎ_y，ｎ_z，ｒ，ｇ，ｂ，α}

【０１８４】ここで、ｘ，ｙ，ｚはサーフェルのポジシ
ョンであり、ｏはオフセットであり、ｎはサーフェス法
線であり、ｒ，ｇ，ｂはサーフェルの色であり、αはサ
ーフェルの不透明度である（図５，６参照）。

【０１８５】レンダリング装置２３００は、図７のリス
ト６００において第一のサーフェルで開始する。このサ
ーフェルをカメラの位置のためクリップしない場合、サ
ーフェルのポジションはワールド座標から、ビューイン
グマトリックスＭによって変わる。

【０１８６】平行な投影のみを考慮するため、変形はア
フィン変換であり、透視図の分割は不要である。第１の
サーフェルでは、ビュー座標はカメラによって決定され
るクリッピング境界に対してクリップされる。クリッピ
ング境界には、近い面と遠い面と、さらにカメラの描写
を提供するビューポート大きさが含まれている。サーフ
ェルがこうしたクリッピング境界内にある場合、サーフ
ェルを深度バッファに対してチェックする。

【０１８７】光源によるサーフェスの照射をシミュレー
トするには、シェーディングの計算をサーフェルに対し
て行う。光源の照射をモデリングする方法の一つとし
て、各サーフェルにローカルの照射モデルを適用するこ
とがある。ローカルの照射モデルの最も良い結果が得ら
れるのは、フォンシェーディングとして公知の、ここで
使用するものである。フォンシェーディングは計算にお
いてオブジェクトのマテリアルプロパティを使用して、
オブジェクトに高品質のシェーディングを提供する。

【０１８８】５．１ オブジェクト次数の投影 どのピクセルにサーフェルを投影させるかを決定するに
は、０次数、すなわち最近傍補間を実行する。ピクセル
（ｘ、ｙ）の中心が、（ｘ＋０．５、ｙ＋０．５）に位
置していると考える。この場合、最近傍補間とは、サー
フェルのｘ及びｙのビュー座標の整数部分を考慮するだ
けでピクセルポジションが得られることを意味する。

【０１８９】各連続するサーフェルのビュー座標は、ス
クリーン空間のオフセットにサーフェルのオフセットを
変換することでわかる。問題となっているサーフェルの
ビュー座標を、次に、前のサーフェルのビュー座標に関
連付ける。上記に述べたように、こうしたオフセットの
多くは同じであるため、すでに変換したオフセットをル
ックアップテーブルに格納しておき、必要に応じて検索
したりすることができる。このルックアップテーブルへ
インデックスを計算して入れておくことで、ビューイン
グマトリックスを直接使用してビュー座標を計算するこ
とに比べて少ない計算量となる。同様の座標を、平行投
影を用いて直接ビュー座標に変形させるには、全部で１
８の操作（乗算及び加算）が必要である。

【０１９０】オフセットを使ってサーフェルのビュー座
標を決定するには、ビューイングマトリックスを使って
第１のサーフェルの変換を行わなければならない。直交
投影には、各隣のサーフェルのビュー座標を、ビュー変
換させたオフセットを加えることで見つけることができ
る。８つの接続を有するサーフェルでは、考えられるオ
フセットの組み合わせは、{±１，０，０}、{０，±
１，０}、{０，０，±１}である。

【０１９１】ビュー変換したオフセットは予め計算され
て、たとえば、下の式のような独自にインデックスされ
たルックアップテーブルに格納することができる。

【０１９２】index = ｏ_x＋３・ｏ_y＋５・ｏ_z＋５

【０１９３】このとき、ｏはオフセットを示す。このル
ックアップテーブルには、二回の積算と三回の加算のみ
が必要である。さらに３回の加算が必要になり、ビュー
変化したオフセットを追加してビュー座標を得るので、
サーフェルにつき全部で８つの操作が必要になる。

【０１９４】５．２ ぎざぎざのエッジ、テラス、及び
穴 サーフェル表現から生じた画像は、図２８に示されてい
るように、ぎざぎざのエッジはテラス効果２４００など
のエイリアジングアーチファクトという難点がある。こ
れには二つの理由がある。第１に、サーフェルはピクセ
ルの大きさでセルに配置されているポイントサンプルだ
と考えられていること。投影のサンプリング率は、ぎざ
ぎざのエッジなしでは形を再構成するほど高くはないの
である。

【０１９５】第２に、オブジェクトのある方向において
はより多くのサーフェルをピクセルに投影するとはい
え、一つのサーフェルしかピクセルに投影しないため、
結果的に一つしかピクセルに対して値を貢献しない。そ
の他のサーフェル（隠れサーフェスエレメント）は、深
度バッファによって排除される。ぎざぎざのエッジは深
度バッファを使うことの公知の問題である。「ぎざぎざ
（jaggies）」及びテラスは、オブジェクトの色におけ
る高い空間周波数（spatial frequencies）を有する場
所に現れうる。エイリアジングアーチファクトは、以下
により詳細に述べるスプラット技術によって減らすこと
ができる。

【０１９６】図２９及び図３０に示すように、最近傍補
間投影を使う変形したサーフェルのレンダリングのもう
一つの問題に、穴がある。ビューイング方向にほとんど
平行な軸を中心にオブジェクトが回転するとき、または
オブジェクトが変形するときに穴ができる。「穴（hole
s）」の問題に対しては、次の解決法を提示する。

【０１９７】図２９において、オープンサーフェルの破
線のグリッドは元のポジションであり、ソリッドサーフ
ェルの実線のグリッドは、再方向付けのあとのポジショ
ンである。方向付けの後、中心のグリッドポジション
（ピクセル）は、対応するサーフェルがなくなってしま
う。これにより、レンダリングした画像に穴があくので
ある。図３０では、グリッドの一部が二方向に変形して
スクリーン（ピクセル）ポジションに穴があいてしまっ
ている。

【０１９８】穴は、隣り合うサーフェルを使用して「ふ
さが（filled）」なければならないため、サーフェルへ
の画像面の一対一のマッピングにとって重要な短所であ
る。これには、サーフェルごとにさらなる操作を必要と
する場合があり、そのため処理時間がかかる。以下の説
明において、「穴」の問題に対する解決法を示す。

【０１９９】５．３ サーフェルの剪断ゆがみレンダリ
ング ある解決法では、剪断ゆがみ因数化（因数分解）を利用
してサーフェルオブジェクトのレンダリングを行う。剪
断ゆがみ因数化は、ビュー変換は二つの別のステージに
分けられるという観点にたっており、剪断の後ゆがみが
おこる。

【０２００】Ｍ_view＝Ｐ・Ｓ・Ｍ_warp'

【０２０１】ここで、Ｐは順列マトリックスと言い、Ｓ
は剪断マトリックス、またＭ_warpはゆがみマトリックス
である。剪断オブジェクト空間において、ベース面への
投影は、いわゆるベース面と直交している。

【０２０２】図３１に示すように、因数化は、一般に、
三つのステップを含んでいる。第１に、ボリューム２５
００では、ビューイング方向２５０１と最も平行な主軸
（ｘ ₀）が決定され、また主軸が直交するベース面２５
０２または中間画像を定義する。この軸はベース面のビ
ューイング方向に割り当てられる。この空間での座標の
定義は、Ｐを使った順列によって行われる。この空間は
順列空間と呼ばれる。このベース面は、バウンディング
ボックスの面の一つと一致しており、従ってオブジェク
トの一部とも一致する。

【０２０３】ベース面とボクセルの各スライスとに垂直
なビューイング方向の定義には、図３２及び図３３に示
すように、オブジェクトを剪断しなければならない。図
３２及び図３３で、ライン２６０１はビューイング方向
であり、平行なライン２６０２はスライスである。剪断
は−Ｖ_x／Ｖ_zによって計算する。三次元では、剪断は同
様に、ｙ方向にも行われる。オブジェクトの座標は、Ｓ
を使用する剪断された座標空間に変換される。ボリュー
ムの剪断には、ボクセルの再サンプリングが必要であ
る。

【０２０４】第２に、オブジェクトをベース面２５０２
に投影して、中間画像を生じさせる。剪断ゆがみの変形
がもともと起こるオブジェクトでは、剪断されたボリュ
ームのいくつかのプロパティを活かすことができ、レン
ダリングの速度をあげる。こうしたプロパティの一つ
に、スライスはベース面のピクセルの流れに対して平行
であるということがある。

【０２０５】第３に、図３４に示すように、中間画像を
歪みマトリックスに応じて最終的な画像まで歪ませる。
図３４では、矢印２７０１は剪断であり、矢印２７０２
は投影であり、矢印２７０３は歪みであり、楕円２７０
０はもともと球体のオブジェクトであり、ライン２７０
４はベース面であり、ライン２７０５は画像面である。
剪断歪み因数化をサーフェルオブジェクトへと、次のよ
うに適用する。剪断ステップはオブジェクトの形を変え
る。しかし、ベース面画像には穴はできない。これは、
図３５，３６を使って説明することができる。２次元に
おけるビューイング方向の傾斜は、Ｖ_xとＶ_zが等しい場
合に最大値１．０である。言いかえると、オブジェクト
に垂直な方向のビューイング方向の角度は最大で４５度
であり、これは角度が大きくなるにつれて異なる主軸
を、オブジェクトに垂直な軸にするようにとるからであ
る。

【０２０６】オブジェクトは傾斜に応じて剪断されるた
め、ある方向における剪断も最大で１．０であり、これ
によって、ライン２８０１がベース面であり、矢印２８
０２がビューイング方向であり、グリッド２８１０がオ
ブジェクト空間にあり、グリッド２８０２が剪断空間の
ピクセルグリッドである図３５及び図３６に示すよう
に、全てのピクセルはサーフェルからの貢献を得る。剪
断歪みの異なる段階を実行すると、最終的にビュー変換
が生じる。

【０２０７】最終的な画像の穴は、穴を含まないベース
面の画像をテクスチャマップとなるように定義すること
により防止できる。次にこのテクスチャマップを面での
テクスチャマッピングに使用し、この面を歪ませて最終
的な画像にする。この歪みは、歪みマトリックスに応じ
て変わるオブジェクト空間で定義されるある面として考
えることができる。この変わった、テクスチャマップさ
れた面は、次にスクリーンにレンダリングされる。

【０２０８】５．４ スケーリング 画像面のサーフェルオブジェクトの範囲内にある各ピク
セルが、最も近接するフィルタリングを保持する間、そ
れと関連する少なくとも一つのサーフェルを有すること
を確実にするために、オブジェクトをスケーリングする
こともできる。このスケーリングは、三つの方向すべて
においてピクセルサイズの間隔を維持するよう均一にす
べきである。決定しなければならないのは、オブジェク
トを最小限にスケーリングしなければならないスケール
因数である。

【０２０９】オブジェクトにおける穴のパターンは、回
転角度に依存する。４５度と９０度との間の回転に現れ
るパターンは、０度と４５度との間の回転に現れるパタ
ーンと同じであるが、一方でこれらは、４５度の回転の
ラインに対して反映される。各４５度の回転インターバ
ルでは、穴のパターンはインターバル０度から４５度の
パターンとまったく同じであるか、または反映されたパ
ターンと同じで再び現れる、完全な３６０度の回転に当
てはまる。

【０２１０】ここで、マッピングされたサーフェルを含
むセルでピクセルを考えることにより、スケール因数を
決めることができる。セルの２次元投影は、セルが回転
していない場合にはピクセルのサイズと完全に一致す
る。しかし、セルの２次元投影をピクセルの中心で回転
させると、セルのコーナーはピクセル境界の外側になる
（図３７乃至図３９参照）。

【０２１１】図３７では、サーフェルはピクセルにマッ
ピングされ、図３８ではサーフェルは４５度で回転し、
図３９ではサーフェルは（１／２）√２によってスケー
リングされる。

【０２１２】セルの、ピクセル境界への２次元のコーナ
ーの最大距離は、４５度の回転において生じる。ピクセ
ルが単位正方形（unit squire）であると仮定すると、
この場合のピクセルの中心からコーナーへの距離は（１
／２）√２である。投影のコーナーをピクセル境界にす
るためには、スケール因数も（１／２）√２でなければ
ならない。ピクセルの中心からセルの投影のコーナーま
での距離をこの因数でスケーリングすると、（１／２）
√２である。これによって、ピクセルごとに少なくとも
一つのサーフェルをオブジェクトの範囲において各ピク
セルごとに値に貢献するようにするのである。

【０２１３】スケーリングによって、スクリーンにおけ
るオブジェクトが小さくなることは明らかであり、その
ためオブジェクトのサイズを維持するためには、より大
きなオブジェクトを生成しなければならない。たとえ
ば、１００のサーフェルの半径をもつ球体は、スケーリ
ングなしでは１００のピクセルの半径を有する。球体を
スケーリングする場合、１００ピクセルの半径のレンダ
リングした球体を得るには、球体の半径を１００・√２
にしなければならない。

【０２１４】より解像度の高いオブジェクトを生成して
次により解像度の低いオブジェクトをレンダリングする
原理は、スーパーサンプリングと同じである。ここで、
ワードスケーリングを使用して、スーパーサンプリング
がサーフェルオブジェクトに適用されることを示す。

【０２１５】５．５ スプラッティング エイリアジング及び穴の問題の第３の解決法としては、
図４０及び図４１に示されるスプラッティングを使用す
るということがある。図４０及び図４１で、ピクセルグ
リッド３０００は、サーフェル３００１にマッピングさ
れる。グリッドロケーション３００２には「穴」があ
る。図４１では、サーフェルは、穴を埋めるために、そ
れに比例して拡大されている。

【０２１６】スプラッティングによって、再構成「核
（kernel）」に応じてサーフェルの貢献値は複数のピク
セルに拡大または「伸張（spread）」される。このプロ
セスは、デジタル画像処理からの技術に基づいたもので
あり、この場合、再構成関数を使ってサンプリングした
データから信号を再構成するのに使う。

【０２１７】サンプルでは、単位球体（ユニット部分の
球体）を定義する。球体は、三次元において再構成核を
示す。サンプルをスクリーンに投影すると、球体の範囲
は円になる。円内の各ピクセル（ｘ、ｙ）では、サンプ
ルの貢献を、ｚ軸、すなわちビューイング軸に沿って再
構成核を統合して計算する。オフセットを除いては、こ
の範囲はサンプルとまったく同様であるため、積分を、
いわゆる一般的なフットプリントテーブルと置換するこ
とができる。

【０２１８】再構成フィルタの積分は、ｅｘｐ（−ｘ²
＋ｙ²／２σ²）の形のガウシアン関数により近似され
る。この関数は回転的に対称であり、これは線形的には
各方向で別々に積分可能であることを意味し、その結果
を乗算することで合計の積分を得ることができる。こう
したプロパティは、ガウシアンを使って一般的なフット
プリントテーブルを作成するのに必要である。

【０２１９】一般的なテーブルを作成するには、三次元
核、すなわちユニット領域の球体、を平面に投影し、こ
の投影は円つまりユニット領域の円である。次にユニッ
ト領域の円を、多くの入力、たとえば１００×１００
を、ガウシアンフィルタを使ってテーブルにサンプリン
グするが、この場合、ユニット領域の円に対応しないテ
ーブル入力の値はゼロである。

【０２２０】ボリュームは必ずしも三つすべての方向に
おいて等間隔を有している訳ではないため、ユニット領
域の球体を特定のビューにおいて長円体になるようにし
てもよく、したがって特定のビューにおけるフィルタの
投影を楕円にすることができる。楕円の一般的なフット
プリントテーブルを使用するかわりに、いわゆるビュー
変換したフットプリントテーブルを一般的なフットプリ
ントテーブルからいったん作成する。

【０２２１】ビュー変換したテーブルを使用するために
は、レンダリング装置で二回の計算が必要である。ま
ず、ピクセルの範囲を、ビュー変換したフットプリント
テーブルで計算しなければならない。次に、ビュー変換
したフットプリントテーブルから一般的なフットプリン
トテーブルへのマッピングを計算しなければならない。

【０２２２】ピクセルの範囲は、核またはスプレッド
（spread）の幅を用いて計算する。ビュー変換したテー
ブルから一般的なテーブルへのマッピングは、円から円
へのマッピング、またはユニット領域球体を特定のビュ
ーで長円体に変換する場合には、楕円から円へのマッピ
ング、のいずれかである。

【０２２３】レンダリング中には、ビュー変換したフッ
トプリントテーブルがサンプルの画像ポジションの中心
になる。もう一つのパラメータが、ビュー変換したフッ
トプリントを使うのに必要であり、これがテーブルの大
きさである。大きさはテーブルの範囲とは異なってい
る。テーブルの大きさにより、ビュー変換したテーブル
の入力数が決まる。ビュー変換したテーブルの大きさは
それがカバーするピクセル数より大きくなければなら
ず、大きくない場合にはエイリアジングアーチファクト
を画像に生じる。広い大きさと同様に、大きな範囲を有
するビュー変換したテーブルによって、オブジェクトの
ぼんやりした画像が生じる。ビュー変換したフットプリ
ントテーブルは、ビュー変換したフットプリントテーブ
ルの範囲内にあるピクセルの各ピクセル中心にサンプリ
ングされ、特定のテーブル入力における重みはピクセル
への貢献を計算するのに使われる。

【０２２４】サーフェルに一般的なスプラッティングプ
ロセスを以下のように適用する。ボリュームにおいて、
図４０に示されるように、グリッド間隔は三方向すべて
においてかならずしも等しくなく、獲得の種類によって
変わる。また、出力サンプル（ピクセル）の解像度は、
入力サンプル（ボクセル）の解像度よりも高いのが普通
である。この理由により、グリッドスケールの因数及び
ピクセル対ボクセルの比率を公式に表し、ビュー変換し
たテーブルの範囲を計算する。

【０２２５】しかし、サーフェルでは、こうした二つの
因数は二つとも１に等しい。したがって、ビュー変換し
たフットプリントテーブルの大きさは比較的小さくする
ことができる。半径の範囲が１．５の再構成核は、スク
リーンの範囲を３ピクセルにする。５×５から１０×１
０の大きさでは、サーフェルに適用するスプラッティン
グには十分である。

【０２２６】レンダリング装置は、スクリーンへサーフ
ェルを投影することで開始し、ビュー変換したフットプ
リントテーブルをスクリーンのｘ、ｙポジションを中心
にする。テーブルの範囲内にある各ピクセルの中心で
は、そのピクセルのテーブル入力を決定し、そしてその
入力の重みをピクセルの値に適用する。

【０２２７】剪断ゆがみ、スケーリング、及びスプラッ
ティングの比較 剪断ゆがみには、ベース面へのオブジェクトの投影が、
軸によってベース面と整列する三次元グリッドで行われ
るという利点がある。最終画像に穴が生じないようにす
るため、ゆがんだベース面画像には、そのピクセル値を
補間する必要がある。剪断ゆがみの欠点としては、シー
ンにおける各オブジェクトは別々の画像にレンダリング
する必要があり、結果できた画像をブレンドして最終的
なシーンを構成しなければならない。これは複雑であ
り、オーバーヘッドとなる。

【０２２８】レンダリング前にオブジェクトをスケーリ
ングすることで、複数のサーフェルをひとつのピクセル
に投影する。もとのレンダリングプロセスはオブジェク
トをレンダリングするのに適用され、プロパティは、一
つのサーフェルが最終的にピクセルにその値に貢献し、
サーフェルが最も小さい深度値で１になる、というもの
である。因数（１／２）√２でオブジェクトをスケーリ
ングすると、ピクセルにつき少なくとも一つのサーフェ
ルができる。スケーリングをすると画像面のオブジェク
トが小さくなるため、スケーリングでは、最初に大きい
オブジェクトを生成しなければならない。

【０２２９】穴の問題に対する最後の解決法として、周
辺のピクセルへのサーフェルの貢献をスプラッティング
することがある。サーフェルの値は、各サーフェルに関
連するフィルタに応じて重みづけされ、この重みづけら
れた値をピクセルに割り当てる。画像は、全ての貢献を
ピクセルに蓄積することで生じる。このようにして、穴
は、ピクセルに周辺のサーフェルを貢献することによっ
て埋められるが、これは周辺サーフェルのスプレッドが
十分広いということを条件とする。スプラッティングす
ると、スプラッティングがもともとオブジェクトの色を
ぼやけさせるので、オブジェクトのサーフェスのぎざぎ
ざのエッジ及びテラスをアンチエイリアジングさせる。
サーフェルのスプレッドが大きくなりすぎた場合、ぼや
ける度合いも大きくなりすぎる。

【０２３０】スプラッティングの技術を使って、高速レ
ンダリング技術を有するサーフェル表現をおこなった
り、コンスタントな再サンプリングをせずにオブジェク
トの変形を行うことができる。最初は、オブジェクトの
サーフェルは８個の接続であり、したがって、互いに離
れている多くとも一つのピクセルでは、スプラッティン
グに使われるテーブルは比較的小さいままにすることが
できる。６×６及び８×８ピクセルの範囲のテーブル
は、穴を埋めるのに十分である。

【０２３１】オブジェクトが変形して大きな穴がサーフ
ェスに生じてしまった場合、オブジェクトをすぐに再サ
ンプリングする必要はない。まず、より大きな穴も埋め
ることができるように、核をスプラッティングする範囲
を拡大する。大きすぎる範囲は、レンダリングをかなり
スローダウンさせるため、オブジェクトを時々再サンプ
リングすることが必要であり、またはサーフェルの大き
な穴のポジションでサーフェルを部分的に生成させるこ
とが必要である。

【０２３２】以上のように、本実施の形態においては、
オブジェクトのサーフェスを、画像面解像度に関連する
グリッド解像度を有する複数のセルに分割することでオ
ブジェクトを表現する方法を提供する。ひとつのポイン
トと、隣り合うセルのポイントとを含む各セルは、リン
クによって接続される。オブジェクトの属性を各ポイン
トおよびリンクに割り当て、リンクの属性を各リンクに
割り当てる。

【０２３３】各ポイントに割り当てられるオブジェクト
の属性は、オブジェクトに関連するポイントのポジショ
ン、相当するセルのオブジェクトの一部の色および不透
明度、相当するセルのサーフェスの一部への法線を含む
ことができ、各リンクに割り当てられるオブジェクトの
属性は、リンクによって接続される二つの隣り合うポイ
ントの距離の伸びてない長さ、およびリンクに関連する
弾性定数およびダンピング定数を含むことができる。

【０２３４】本発明は、特定の用語及び実施の形態を使
って説明している。様々なほかの応用例及び修正例を、
本発明の精神及び範囲内において行うことができる。し
たがって、添付の特許請求の範囲の目的は、発明の真の
精神及び範囲内におけるこうした変更例及び修正例をす
べてカバーすることである。

【０２３５】

【発明の効果】この発明においては、グラフィックオブ
ジェクト表現のデータを生成する方法を提供する。ひと
つのポイントと、隣り合うセルのポイントとを含む各セ
ルは、リンクによって接続される。オブジェクトの属性
を各ポイントおよびリンクに割り当て、リンクの属性を
各リンクに割り当てる。

【０２３６】各ポイントに割り当てられるオブジェクト
の属性は、オブジェクトに関連するポイントのポジショ
ン、相当するセルのオブジェクトの一部の色および不透
明度、相当するセルのサーフェスの一部への法線を含む
ことができ、各リンクに割り当てられるオブジェクトの
属性は、リンクによって接続される二つの隣り合うポイ
ントの距離の伸びてない長さ、およびリンクに関連する
弾性定数およびダンピング定数を含むことができる。そ
の結果、最良の特徴を組み込み、表現を簡略にすること
ができる、オブジェクトをグラフィックで表現する方法
を得ることができる。

【図面の簡単な説明】

【図１】 陰表現、ポリゴン表現、ボクセル表現、及び
パーティクル表現から合成、変換、マッピング、及び抽
出によって生成可能なサーフェスエレメント（サーフェ
ル）を示す図である。

【図２】 隣り合うセルを定義するオブジェクトに投影
する画像面解像度を有するグリッドを示す図である。

【図３】 隣り合うセルを定義するオブジェクトに投影
する画像面解像度を有するグリッドを示す図である。

【図４】 ６つに隣り合い８つが接続されたサーフェル
のメッシュを示す図である。

【図５】 サーフェルのデータ構造を示すブロック図で
ある。

【図６】 サーフェルの属性を示すブロック図である。

【図７】 サーフェルリストのブロック図である。

【図８】 サーフェルにポリゴンをスキャン変換するポ
リゴンを示す図である。

【図９】 内側のサーフェル及び外側のサーフェルを有
するポリゴンを示す図である。

【図１０】 距離マップを使用したサーフェル化プロセ
スの流れ図である。

【図１１】 ポリゴンのトリストリップを示す図であ
る。

【図１２】 投影した距離を示す図である。

【図１３】 内側に投影したポイントを示す図である。

【図１４】 外側に投影したポイントを示す図である。

【図１５】 平坦面によって区分けされたサーフェルの
セルを示す図である。

【図１６】 サーフェル化される任意のポリゴンを示す
図である。

【図１７】 剛体の状態を示すブロック図である。

【図１８】 サーフェルオブジェクトの剛体のモデリン
グを行うプロセスの流れ図である。

【図１９】 変形可能なサーフェルオブジェクトの動的
な状態の図である。

【図２０】 マススプリングシステムとしてモデリング
されたサーフェルオブジェクトのメッシュを示す図であ
る。

【図２１】 サーフェルオブジェクト上に力を蓄積する
過程を示すプログラムリストである。

【図２２】 サーフェルオブジェクトを変形するプロセ
スの流れ図である。

【図２３】 動的な状態のベクトルを生成する過程を示
すプログラムリストである。

【図２４】 変形中のサーフェスの法線を示す図であ
る。

【図２５】 変形中のサーフェスの法線を示す図であ
る。

【図２６】 変形中のサーフェスの法線を示す図であ
る。

【図２７】 サーフェルレンダリングパイプラインを示
す流れ図である。

【図２８】 レンダリングの作為を示す図である。

【図２９】 レンダリングの作為を示す図である。

【図３０】 レンダリングの作為を示す図である。

【図３１】 剪断ゆがみ因数分解（factorization）を
示す図である。

【図３２】 剪断前のボクセルのスライスを示す図であ
る。

【図３３】 剪断後のボクセルのスライスを示す図であ
る。

【図３４】 画像面のゆがみを示す図である。

【図３５】 剪断でゆがんだピクセルグリッドを示す図
である。

【図３６】 剪断でゆがんだピクセルグリッドを示す図
である。

【図３７】 スケーリングしたサーフェルを示す図であ
る。

【図３８】 スケーリングしたサーフェルを示す図であ
る。

【図３９】 スケーリングしたサーフェルを示す図であ
る。

【図４０】 スプラッティングされたサーフェルを示す
図である。

【図４１】 スプラッティングされたサーフェルを示す
図である。

【符号の説明】

１００ サーフェル（surfel）、１０１ 陰関数、１０
２ ポリゴン、１０３ボクセル、１０４ パーティク
ル、２００ セル、２０１ ノード、２０２ピクセル、
２０３ 画像面、３００ リンク、４０１ サーフェル
属性、４０３リンク属性、６００ シーケンシャルリス
ト、７００ ポリゴン、７０１ ベースエッジ、７０
２，７０３ ガイダンスエッジ、７２０ 内側方向のベ
クトル、１０００ ポリゴン、１３００ セル、１３０
１〜１３０８ グリッドポイント、１３１０ オブジェ
クトサーフェス、１４０１〜１４０６ 頂点、１４１０
〜１４１２ エッジ、１６００ 剛性の状態、１６０１
オブジェクト、１６００ 剛性の状態、１６０２，１
６０３ 状態ベクトル、１６１０ 数値的積分器、１８
００ サーフェルオブジェクトの部分、１８０１ サー
フェル、１８０２リンク、２０００ プロセス、２００
１ サーフェルオブジェクト、２００２サーフェル、２
００３ リンク、２０３０，２０１０ 状態ベクトル、
２３００ レンダリングパイプライン、２４００ テラ
ス効果、２５００ ボリューム、２５０１ ビューイン
グ方向、２５０２ ベース面、２７００ 楕円。

───────────────────────────────────────────────────── フロントページの続き (73)特許権者 597067574 201 ＢＲＯＡＤＷＡＹ， ＣＡＭＢＲ ＩＤＧＥ， ＭＡＳＳＡＣＨＵＳＥＴＴ Ｓ 02139， Ｕ．Ｓ．Ａ. (72)発明者 コリン・イー・オーステルバーン オランダ国、2461 エスカー・ランゲラ ール、ウェー・オンツィフトストラート 41 (58)調査した分野(Int.Cl.⁷，ＤＢ名) G06T 15/00 - 17/50

Claims (1)

(57)【特許請求の範囲】
1. 【請求項１】 グラフィックオブジェクト表現のデータ
   を生成する方法であって、 上記オブジェクトの表面を、画面の解像度に関連する格
   子分解能を有する複数のセルに分割し、 各セルは、それぞれ１個のポイントを有し、 リンクによって隣接するセル中の上記ポイントを連結
   し、 上記オブジェクトの属性を、上記各ポイントと上記各リ
   ンクへ割り当てる ことを特徴とする方法。