JP3112931B2 - 表面をモデル化するための方法と、この方法を実施するための装置 - Google Patents

表面をモデル化するための方法と、この方法を実施するための装置

Info

Publication number
JP3112931B2
JP3112931B2 JP02513303A JP51330390A JP3112931B2 JP 3112931 B2 JP3112931 B2 JP 3112931B2 JP 02513303 A JP02513303 A JP 02513303A JP 51330390 A JP51330390 A JP 51330390A JP 3112931 B2 JP3112931 B2 JP 3112931B2
Authority
JP
Japan
Prior art keywords
node
data
coordinates
nodes
satellite
Prior art date
Legal status (The legal status is an assumption and is not a legal conclusion. Google has not performed a legal analysis and makes no representation as to the accuracy of the status listed.)
Expired - Lifetime
Application number
JP02513303A
Other languages
English (en)
Other versions
JPH04501929A (ja
Inventor
マレ，ジヤン―ロラン
Original Assignee
アソシアシオン・スイアンテイフイツク・プール・ラ・ジエオロジ・エ・セ・ザプリカシオン
ソシエテ・ナシオナル・エルフ・アキテーヌ（プロデユクシオン）
トタル，コンパニ・フランセーズ・デ・ペトロル
コンパニ・ジエネラル・ドウ・ジエオフイズイツク
Priority date (The priority date is an assumption and is not a legal conclusion. Google has not performed a legal analysis and makes no representation as to the accuracy of the date listed.)
Filing date
Publication date
Application filed by アソシアシオン・スイアンテイフイツク・プール・ラ・ジエオロジ・エ・セ・ザプリカシオン, ソシエテ・ナシオナル・エルフ・アキテーヌ（プロデユクシオン）, トタル，コンパニ・フランセーズ・デ・ペトロル, コンパニ・ジエネラル・ドウ・ジエオフイズイツク filed Critical アソシアシオン・スイアンテイフイツク・プール・ラ・ジエオロジ・エ・セ・ザプリカシオン
Publication of JPH04501929A publication Critical patent/JPH04501929A/ja
Application granted granted Critical
Publication of JP3112931B2 publication Critical patent/JP3112931B2/ja
Anticipated expiration legal-status Critical
Expired - Lifetime legal-status Critical Current

Links

Classifications

    • G—PHYSICS
    • G01—MEASURING; TESTING
    • G01V—GEOPHYSICS; GRAVITATIONAL MEASUREMENTS; DETECTING MASSES OR OBJECTS; TAGS
    • G01V1/00—Seismology; Seismic or acoustic prospecting or detecting
    • G01V1/28—Processing seismic data, e.g. for interpretation or for event detection
    • G01V1/282—Application of seismic models, synthetic seismograms
    • A—HUMAN NECESSITIES
    • A61—MEDICAL OR VETERINARY SCIENCE; HYGIENE
    • A61F—FILTERS IMPLANTABLE INTO BLOOD VESSELS; PROSTHESES; DEVICES PROVIDING PATENCY TO, OR PREVENTING COLLAPSING OF, TUBULAR STRUCTURES OF THE BODY, e.g. STENTS; ORTHOPAEDIC, NURSING OR CONTRACEPTIVE DEVICES; FOMENTATION; TREATMENT OR PROTECTION OF EYES OR EARS; BANDAGES, DRESSINGS OR ABSORBENT PADS; FIRST-AID KITS
    • A61F2/00—Filters implantable into blood vessels; Prostheses, i.e. artificial substitutes or replacements for parts of the body; Appliances for connecting them with the body; Devices providing patency to, or preventing collapsing of, tubular structures of the body, e.g. stents
    • A61F2/02—Prostheses implantable into the body
    • A61F2/30—Joints
    • A61F2/3094—Designing or manufacturing processes
    • A61F2/30942—Designing or manufacturing processes for designing or making customized prostheses, e.g. using templates, CT or NMR scans, finite-element analysis or CAD-CAM techniques
    • G—PHYSICS
    • G06—COMPUTING; CALCULATING OR COUNTING
    • G06T—IMAGE DATA PROCESSING OR GENERATION, IN GENERAL
    • G06T17/00—Three dimensional [3D] modelling, e.g. data description of 3D objects
    • G06T17/20—Finite element generation, e.g. wire-frame surface description, tesselation
    • A—HUMAN NECESSITIES
    • A61—MEDICAL OR VETERINARY SCIENCE; HYGIENE
    • A61F—FILTERS IMPLANTABLE INTO BLOOD VESSELS; PROSTHESES; DEVICES PROVIDING PATENCY TO, OR PREVENTING COLLAPSING OF, TUBULAR STRUCTURES OF THE BODY, e.g. STENTS; ORTHOPAEDIC, NURSING OR CONTRACEPTIVE DEVICES; FOMENTATION; TREATMENT OR PROTECTION OF EYES OR EARS; BANDAGES, DRESSINGS OR ABSORBENT PADS; FIRST-AID KITS
    • A61F2/00—Filters implantable into blood vessels; Prostheses, i.e. artificial substitutes or replacements for parts of the body; Appliances for connecting them with the body; Devices providing patency to, or preventing collapsing of, tubular structures of the body, e.g. stents
    • A61F2/02—Prostheses implantable into the body
    • A61F2/30—Joints
    • A61F2/3094—Designing or manufacturing processes
    • A61F2/30942—Designing or manufacturing processes for designing or making customized prostheses, e.g. using templates, CT or NMR scans, finite-element analysis or CAD-CAM techniques
    • A61F2002/30943—Designing or manufacturing processes for designing or making customized prostheses, e.g. using templates, CT or NMR scans, finite-element analysis or CAD-CAM techniques using mathematical models
    • A—HUMAN NECESSITIES
    • A61—MEDICAL OR VETERINARY SCIENCE; HYGIENE
    • A61F—FILTERS IMPLANTABLE INTO BLOOD VESSELS; PROSTHESES; DEVICES PROVIDING PATENCY TO, OR PREVENTING COLLAPSING OF, TUBULAR STRUCTURES OF THE BODY, e.g. STENTS; ORTHOPAEDIC, NURSING OR CONTRACEPTIVE DEVICES; FOMENTATION; TREATMENT OR PROTECTION OF EYES OR EARS; BANDAGES, DRESSINGS OR ABSORBENT PADS; FIRST-AID KITS
    • A61F2/00—Filters implantable into blood vessels; Prostheses, i.e. artificial substitutes or replacements for parts of the body; Appliances for connecting them with the body; Devices providing patency to, or preventing collapsing of, tubular structures of the body, e.g. stents
    • A61F2/02—Prostheses implantable into the body
    • A61F2/30—Joints
    • A61F2/3094—Designing or manufacturing processes
    • A61F2/30942—Designing or manufacturing processes for designing or making customized prostheses, e.g. using templates, CT or NMR scans, finite-element analysis or CAD-CAM techniques
    • A61F2002/30952—Designing or manufacturing processes for designing or making customized prostheses, e.g. using templates, CT or NMR scans, finite-element analysis or CAD-CAM techniques using CAD-CAM techniques or NC-techniques
    • A—HUMAN NECESSITIES
    • A61—MEDICAL OR VETERINARY SCIENCE; HYGIENE
    • A61F—FILTERS IMPLANTABLE INTO BLOOD VESSELS; PROSTHESES; DEVICES PROVIDING PATENCY TO, OR PREVENTING COLLAPSING OF, TUBULAR STRUCTURES OF THE BODY, e.g. STENTS; ORTHOPAEDIC, NURSING OR CONTRACEPTIVE DEVICES; FOMENTATION; TREATMENT OR PROTECTION OF EYES OR EARS; BANDAGES, DRESSINGS OR ABSORBENT PADS; FIRST-AID KITS
    • A61F2240/00—Manufacturing or designing of prostheses classified in groups A61F2/00 - A61F2/26 or A61F2/82 or A61F9/00 or A61F11/00 or subgroups thereof
    • A61F2240/001—Designing or manufacturing processes
    • A61F2240/002—Designing or making customized prostheses
    • G—PHYSICS
    • G01—MEASURING; TESTING
    • G01V—GEOPHYSICS; GRAVITATIONAL MEASUREMENTS; DETECTING MASSES OR OBJECTS; TAGS
    • G01V2210/00—Details of seismic processing or analysis
    • G01V2210/60—Analysis
    • G01V2210/66—Subsurface modeling

Landscapes

  • Engineering & Computer Science (AREA)
  • Physics & Mathematics (AREA)
  • Health & Medical Sciences (AREA)
  • Life Sciences & Earth Sciences (AREA)
  • Geometry (AREA)
  • General Physics & Mathematics (AREA)
  • Remote Sensing (AREA)
  • Acoustics & Sound (AREA)
  • Manufacturing & Machinery (AREA)
  • Biomedical Technology (AREA)
  • Heart & Thoracic Surgery (AREA)
  • Vascular Medicine (AREA)
  • Oral & Maxillofacial Surgery (AREA)
  • Animal Behavior & Ethology (AREA)
  • General Health & Medical Sciences (AREA)
  • Public Health (AREA)
  • Veterinary Medicine (AREA)
  • Cardiology (AREA)
  • Orthopedic Medicine & Surgery (AREA)
  • Environmental & Geological Engineering (AREA)
  • Geology (AREA)
  • General Life Sciences & Earth Sciences (AREA)
  • Transplantation (AREA)
  • Geophysics (AREA)
  • Computer Graphics (AREA)
  • Software Systems (AREA)
  • Theoretical Computer Science (AREA)
  • Position Fixing By Use Of Radio Waves (AREA)
  • Spray Control Apparatus (AREA)
  • Management, Administration, Business Operations System, And Electronic Commerce (AREA)
  • Processing Or Creating Images (AREA)
  • Electrotherapy Devices (AREA)
  • Investigation Of Foundation Soil And Reinforcement Of Foundation Soil By Compacting Or Drainage (AREA)
  • Communication Control (AREA)
  • Length Measuring Devices With Unspecified Measuring Means (AREA)
  • Geophysics And Detection Of Objects (AREA)
  • Application Of Or Painting With Fluid Materials (AREA)

Description

【発明の詳細な説明】 本発明は、一般的に３次元物体内の調査に係わり、特
に、物体内の表面に関する限定された既知の幾何学的デ
ータの集合に基づいて前記物体内の表面の表示を得る新
たなプロセスに係わる。
３次元物体内の調査は、地質学、地球物理学、生物学
の領域において非常に重要である。
例えば地球物理学においては、探査から得られたデー
タ又は地下資源の開発の間に得られたデータに基づい
て、例えば異なった種類の区域又は異なった特性を持つ
２つの区域の間の境界面に位置する表面の、可能な限り
正確な表示を得ることが必要である。
３次元物体の調査の有効性、特に石油又は他の地下資
源の探査における３次元物体の調査の有効性は、この種
の表面の再構成及び表示に実現され得る精度に従って決
まる。
医学と生物学とにおいては、生体及びその類似物の横
断面の表示を得るための様々な公知のプロセスがあり、
これらのプロセスの目的も、例えば身体の器官の輪郭の
ような、２つの領域の間の境界面に位置する表面を３次
元的に再構成及び表示することである。
開発又は治療されるべき３次元物体内の表面の表示を
得るためのモデル化の技術が、既に幾つか存在してい
る。特に取り上げるに値するものは、Ｂzier補間法と
スプライン関数法である（これらの詳細については、Ge
ometric Modeling,M.E.Mortenson,Ed.John Wiley,1985
を参照のこと）。
しかしこれらの公知の技術は全て、異種のデータを、
即ち表面の点の座標と、表面の固定方位と、２つの別々
の点の間の幾何学的リンク等とに関連するデータを取り
扱うには不適切である。更にこれらの技術は、表面の大
きな分散に対して、及び不連続な表面に対して、折れ曲
り部や切れ目のような表面変則性に対して不適切であ
る。更に明確には、これらの技術に使用される関数が、
収束せず、解を有せず、又は１つの解に定まらない場合
がある。
最後に、公知の技術は、表面データが得られる確実性
の度合いという観念を考慮するが不可能である。
本発明は、従来技術のプロセスの欠点を取り除くこと
と、各の場合に表面の単一で明確なモデルを提供しなが
ら、異種の及び／又は非常に多様な幾何学的データと上
記の変則性とその他の変則性とを考慮に入れることが可
能な方法を提案することとを目的とする。
本発明の別の目的は、幾何学的データと、これらのデ
ータの確実性又は精度の度合いに関するデータとを同時
に使用する方法を提案することである。
この目的のために、本発明は先ず第１に、例えば地質
学的層群又は生体のような３次元物体内の、例えば異な
った種類の区域又は異なった特性を持つ区域の間の境界
面を表示する表面をモデル化する方法に係わり、この方
法は、 − 表面に関する及び前記表面上の個々の点に関連する
幾何学的データの集合を測定装置を用いて得る段階と、 − 前記点の全てがその網目の節点の１つの部分集合で
あるように、前記表面の網目化を行う段階と、 − 前記網目の各々の節点毎に１つの特定のメモリアド
レスに、次の諸データ即ち ＊当該節点の座標、 ＊当該節点のサテライト節点の数、 ＊前記サテライト節点の個々のアドレスと、従って前
記アドレスに関連するデータとへのアクセスを与えるデ
ータ、 ＊必要に応じて当該節点に関連する幾何学的データを
格納する段階と、 − 前記網目の各節点に関して、前記節点とそのサテラ
イト節点との実際座標の加重合計から得られた局所的粗
さ指数を決める段階と、 − 各節点に関連する局所的粗さ指数の合計によって得
られる全体的粗さ指数と、前記幾何学的データの全体的
な逸脱指数との合計を決める段階と、 − 各々の反復段階毎に、前記サテライトの実際座標と
前記節点のサテライトのサテライトの実際座標との加重
組合わせと、前記節点に関連する幾何学的データの組合
わせとが、その合計値を最小化するように合計される反
復的プロセスを用いて、その正確な座標が未知である節
点各々の座標を調整する段階と、 − 各々の節点の調整座標から前記表面の表示を作り出
す段階とを有することを特徴とする。
本発明は、例えば地質学的層群又は生体のような３次
元物体内の、例えば異なった種類の区域又は異なった特
性を持つ区域の間の境界面を表示する表面をモデル構成
するための装置にも係わり、この装置は、 − 前記表面に関する及び前記表面上の個々の点に関連
する幾何学的データの集合を、測定装置を用いて得るた
めの手段と、 − 前記点の全てがその網目の節点の１つの部分集合で
あるように、前記表面の網目化を行うための手段と、 − 前記網目の各々の節点毎に１つの特定のメモリアド
レスに、次の諸データ即ち ＊当該節点の座標、 ＊当該節点のサテライト節点の数、 ＊前記サテライト節点の個々のアドレスと従って前記
アドレスに関連するデータとへのアクセスを与えるデー
タ、 ＊必要に応じて前記当該節点に関連する幾何学的デー
タを格納するための手段と、 − 各節点に関連付けられ及び前記節点とそのサテライ
トとの実際座標の加重合計からその各々が得られる局所
的粗さ指数を合計することによって得られる全体的粗さ
指数と、前記幾何学的データからの全体的な逸脱指数と
の合計を最小化するように、各々の反復段階毎に、前記
サテライトの実際座標と前記節点のサテライトのサテラ
イトの実際座標との加重組合わせと、前記節点に関連す
る幾何学的データの組合わせとが合計される反復的プロ
セスを用いて、その正確な座標が未知である節点各々の
座標を調整するための計算手段と、 − 各々の節点の調整座標から前記表面の表示を作り出
すための手段とを有することを特徴とする。
本発明の他の側面と目的と利点とが、次のような添付
図面を参照して非限定的な実施例として示される、本発
明の好ましい実施例の１つに関する以下の詳細な説明か
らより一層明確になるだろう。
図１は、表面をモデル化するために使用される、網目
化を組み込んだ典型的なグラフを示す。このグラフは、
その頂点が後述の集合Ωを形成する小面の全ての側の集
合によって決められ、更に図１は、表面を形成するため
に使用者によって対話的に付与される網目の節点の移動
を象徴的に表示する矢印をも示す。
図２（ａ）〜２（ｄ）は、４つの異なったタイプのベ
クトル制約を使用する表面形状の制御の４つの事例を示
す。ベクトルλμは図２（ａ）〜２（ｃ）においては
直接的に識別され、且つ図２（ｄ）においては、１つの
所与のベクトルに対する前記ベクトルの直交性によっ
て識別されるものと仮定される。
図３は、本発明の方法を使用してモデル化される、典
型的な複雑な地質学的表面（岩塩ドーム）を示す。
図４は、連続する横断面から得られる個々別々のデー
タから本発明の方法を使用してモデル化される、典型的
な複雑な生物学的表面（胚脳）を示す。
図５は、核ｋの原子Ａ（ｋ）に関連付けられたメモ
リの構成を示す。
図６は、nk個の区分を有する１つの配列内の、１つの
所与の原子の軌道の記憶の第１の例を示す。
図７は、各々２つの区分を有するnk個の配列内の、１
つの所与の原子の軌道の記憶の第２の例を示す。
図８は、幾何学的データ又は制約の記憶を示す。
図９は、１つの所与の原子Ａ（ｋ）に関する幾何学的
データ又は制約の集合の記憶プロセスを示す。
図10は、表面Ｓに関する全ての原子の、１つの配列内
への記憶を示す。
図11は、前記原子の集合に対するアクセスの連鎖を示
す。
これらの図面全てでは、同一の又は類似の要素又は部
品は、同一の照合番号で示される。
その各々の内容が本説明に参照事項として含まれると
思われる幾つかの論文が、次に示されるだろう。
（１）A method of Bivariate interpolation and smoo
th surface fitting based on lacal procedures,H.AKI
MA,J.ACM 17.1,1974、 （２）Shape reconstruction from planar cross−sect
ions,J.D.BOISSONNAT,ACM Transactions on Graphics,v
ol.No.2,1986、 （３）Machine contouring using minimum curvature,
I.C.BRIGGS,Geophysics 17.1,1974、 （４）Triangular Bernstein−Ｂzier patches,G.FAR
IN,Computer−aided geometric design,1986、 （５）Primitives for the manipulation of general s
ubdivisions and the computation of Voronoi diagram
s,L.GUIBAS and J.STOLFI,ACM transactions on Graphi
cs,vol.No.2,1985、 （６）Three−dimentional graphic display of discon
nected bodies,J.L.MALLET,Mathematical Geology,vol.
20,no.8,1988、 （７）Geometrical modelling and geostatistics,J.L.
MALLET,Proceedings of the Third International Geos
tatistics Congress,Kluwer Academic Publishers,198
9、 （８）Discrete Smooth Interpolation,J.L.MALLET,ACM
transactions on Graphics,April issue,1989、 （９）Geometric Modelling,M.E.MORTENSON,John Wile
y,1989。
更に、以下の本発明の１つの好ましい実施例の説明の
後に、参照文献（８）に説明されるプロセスから得られ
及び本発明のプロセスの基礎となる、表面の再構成のプ
ロセスを説明する補遺が続く。
1.複雑な表面の符号化と調整とのための本発明による方
法の説明 1.1 序説 1.1.1 プロセスの特質 以下で説明される１つの工業的方法は、モデル化の際
に遭遇する、 ・異なった領域の間の境界面、 ・異なった地質学的層の間の境界面、 ・異なった生物学的器官の間の境界面等 のような複雑な表面を符号化し調整するために使用され
る。
この符号化段階の結果は、グラフィックコンピュータ
又は他の何れかの装置によって、画像及び／又は立体モ
デル（例えばプラスチック材料からの成形物）に変換さ
れることが可能である。例えば地質学においては、これ
らの画像及び／又は立体モデルが、 ・石油埋蔵層、 ・鉱床、 ・水脈等 のような地球資源の探査、開発、管理を最適化するため
に使用される。
以下で説明されるプロセスは、次のような２つの相補
的な副次プロセスから成る。
1.表面を符号化するための副次プロセス、 2.現時点において使用可能なデータに対して表面を調整
する副次プロセス。
地質学においては、例えば前記データは、 ・所与の表面と平面との交差の中の点の正確な又は近似
的な位置。
・２つの地質学的層の間の境界面に相当する１つの地質
学的表面と坑井との交差の、正確な又は近似的な位置。
・２つの地質学的層の間の境界面に相当する１つの地質
学的表面に接する平面の、正確な又は近似的な位置。
・２つの地質学的層の間の境界面に相当する１つの地質
学的表面を侵す１つの断層の、正確な又は近似的な断層
移動等。
符号化プロセスは、表面の幾何学的モデル構成のため
に特に開発されたDSI法（（８）参照）の新しい変形に
戻づく調整方法を最適化するために考え出されたもので
ある。このDSI法の新しい変形は、未だ公表されてはい
ないが、本書の補遺に示されている。
1.1.2 表面の多小面体面への区分 モデル化されるべき表面をＳとする。図１に示される
ように、且つ前記（６）と（７）とに説明されるよう
に、この表面は、三角形及び／又は多角形の小面の集合
によって近似的に表わされるだろう。これらの小面は次
の２つの特徴を有する。
・これらの面の頂点の座標。これらの頂点がＳ上に規則
正しく分散された１〜Ｎの番号が付けられたＮつの点 の有限集合を形成する。ｋ番目の頂点ｋの座標が、
（▲x k▼，▲y k▼，▲z k▼）と表わされるだろ
う。
・これらの縁部のデータが頂点の対 の間のリンクを形成する。
表面Ｓを形成する三角形及び／又は多角形の縁部の集
合が、その節点が三角形及び／又は多角形の頂点である
グラフＧを形成する。この理由のために、且つ説明を分
かり易くするために、以下では「節点」が「三角形及び
／又は多角形の頂点」の同意語として使用される。
「節点」≡｛三角形及び／又は多角形の頂点｝ 1.1.3 予備定義 サテライトの集合Λ（ｋ） 表面Ｓのｋ番目の節点を の「サテライトの集合」は、 が三角形又は多角形の縁部であるような及び の集合Λ（ｋ）ある。言い換えれば、集合Λ（ｋ）は次
のようなものである。
上記のように、節点 に関係付けられるサテライトの数はnkで表される。
上記の論文（６）と（７）とにおいて言及される軌道
概念は、依然として特定の符号化プロセスの対象ではな
い。本発明の重要な特徴の１つは、その提案されたΛ
（ｋ）の符号化の方法である。
近傍Ｎ（ｋ） 表面Ｓのｋ番目の節点を の近傍Ｎ（ｋ）は、 とそのサテライトとの集合に等しい節点の部分集合Ｎ
（ｋ）である。言い換えれば、 節点 の近傍は、集合Ｎ（ｋ）に属する全ての節点である。従
って、 上記の論文（７）と（８）とにおいて言及される近傍概
念は、依然として特定の符号化プロセスの対象ではな
い。本発明の重要な特徴の１つは、その提案されたＮ
（ｋ）の符号化の方法である。
原子Ａ（ｋ）とその関連する核 表面Ｓのｋ番目の節点を の原子Ａ（ｋ）は、 ・節点 と、 ・アドレス又はコード｛Ａ＊（ji），‥‥,A＊（jn
k）｝の集合Λ＊（ｋ）ら形成される対 であり、 前記アドレス又はコードの集合が、その核が節点 のサテライトである。その対応する原子｛Ａ＊（ji），
‥‥,A＊（jnk）｝の集合が１つのメモリから取り出さ
れることを可能にする。
言い換えれば、 のサテライトの数、 のｊ番目のサテライトの核に対応する原子Ａ（ｊ）のア
ドレス又はアクセスコード である時に、 上記の論文（６）において言及される原子概念は、依然
として特定の符号化プロセスの対象ではない。本発明の
重要な特徴の１つは、その提案されたＡ（ｋ）の符号化
の方法である。
制約と制約のタイプ １つの原子Ａ（ｋ）に関係付けられる「制約」とは、
この原子の核に対応する節点 の位置に関する条件の全てである。例えば地質学におい
ては、次のような制約が、マニュアル又は地球物理学的
な技術を用いて観察又は測定される正確な又は不正確な
データに対する表面の調整にとって最重要である。
・節点 の座標（▲x k▼，▲y k▼，▲z k▼）が正確に知ら
れている。こうした制約は「基準節点」タイプの制約と
呼ばれ、モデル化される表面と坑井との交差を符号化す
るために、地質学において使用されることが可能であ
る。
・節点 の座標（▲x k▼，▲y k▼，▲z k▼）が正確には知
られてはいないが、一定の「確実性係数」を有する。こ
うした制約は「あいまいな（ファジイ）制御節点」タイ
プの制約と呼ばれ、次のような所与のデータによって近
似的に測定されるモデル化された表面の節点の近似的位
置を符号化するために使用されることが可能である。例
えば、 − 地質学における地震データがこのタイプであり、 − 顕微鏡、超音波技術、生物学用スキャナを使用して
観察される器官の断面に対応するデータがこのタイプで
ある。
・節点 に結合するベクトル 一定の「確実性係数」を伴って近似的に知られている。
そうした制約は「あいまいなベクトルリンク」タイプの
制約と呼ばれ、地質学においては、例えば、節点 とが断層の両側にある（図２参照）時に、その断層の断
層移動を符号化するために使用される。
・節点 における表面Ｓに正接する平面に対し直交するベクトル
が、一定の「確実性係数」を伴って近似的に知られて
いる。そうした制約は「あいまいなベクトル法線」タイ
プの制約と呼ばれ、地質学においては、例えば、マニュ
アルの又は地球物理学的技術（音響測深）によって測定
される層傾斜に接する平面を符号化するためなどに使用
される。
上記の「確実性係数」は、その対応するデータに与え
られることが可能な「先験的な」信頼性に比例すると見
なされる値を有する正の数である。これらの「あいまい
制約」を考慮することが、本発明の特徴の１つを成し、
補遺（2.5と2.7.6とを参照）において詳細に説明され
る。
記号表記 説明を簡略にするために、表面の節点の番号と節点自
体との間の区別は行われないだろう。これは次のことを
結果的にもたらす。
・Λ（ｋ）＝節点ｋのサテライト の集合、又は、その対応する番号｛j1,‥‥,jnk｝の集
合。
の集合、又は、その対応する番号｛k,j1,‥‥,jnk｝の
集合。
1.1.4 従来の技術 従来の方法 複雑な表面のモデル化に対応する「従来の技術」の包
括的な説明は、参照文献（７）に示されている。この論
文は、自動製図法及びコンピュータ支援設計（CAD）に
おいて使用される従来的プロセスが、予期に反して複雑
な表面のモデル化に対して不適切である理由を詳細に説
明する。これらの障害を克服するDSI法（DSI/DSA法とし
ても知られる）の基礎が、参照文献（７）において簡略
的に紹介されている。
DSI法 この方法は、三角形及び／又は多角形の小面で作られ
る表面Ｓの「粗さ」の概念に基づく。表面Ｓの節点 における「粗さ」Ｒ の概念は、次のように定義される（参照文献（７）、
（８）、補遺を参照）。
この定義において生じる正又はゼロの係数｛Ｖ
α（ｋ）｝は、使用者によって選択される加重係数であ
る。無限の選択可能範囲の中で最も重要なものは、「調
和加重」と呼ばれ、次の選択から成る。
そのように定義された局所的粗さの各々は、この後で
全体的粗さ へと組み合わされる。
この定義において生じる正又はゼロの係数μ（ｋ）
は、局所的粗さ に変更するために使用される。一様な加重が使用される
場合には、例えば、 μ（ｋ）＝１∀ｋ 係数μ（ｋ）に関する他の可能な選択の中では、次の加
重が使用可能であり、次のｍは所与の正の定数である。
DS1法の原理は、表面の形状を規定するデータ及び制
約を尊重しながら、前記表面を可能な限り滑らかにする
ために、モデル化される表面Ｓの各々の節点 の位置を計算することにある。論文（８）はDSI法の数
学的表現について言及し、前記データと制約とを尊重し
ながら全体的粗さを最小化するための技術を提案する。
DSI法の対話型変形 全体的粗さを最小化するための（８）に提案されたプ
ロセスは、電子計算機（又はマイクロプロセッサ）にお
ける対話型の使用には十分に適してはおらない。この理
由から本書の補遺は、本発明の基礎を成す新たなプロセ
スを提案する。前述のように、本発明の目的は、DSI法
の新たな変形に基づく表面Ｓの符号化及び調整方法を提
案することである。
1.2 本発明の方法によって符号化及び調整された物体
の画像の例 1.2.1 地質学における例 石油探査は一般的に、石油のトラップとして働く可能
性のある地質学的層が探されるという意味で、間接的に
行われる。例えば「岩塩ドーム」と呼ばれる岩塩層の変
形は、一般的に、卓越した石油トラップである。石油の
位置を正確に発見するためには、前記「トラップ」層の
正確な形状を知ることが必要であるが、しかし不幸にし
て、多くの場合、それを効率的にモデル化するのに使用
可能な実際的なプロセスは現在まで存在していない。岩
塩ドームの事例は一般的に最も複雑なものと見なされて
いる。この理由から図３は、この符号化及び調整方法の
効率を証明するために、この方法を用いて得られるよう
な表面の画像の１つを示す。
1.2.2 生物学における例 医学データ取得プロセス（スキャナ又は超音波探査
法）は、石油探査で使用される地震的技術と数学的に同
一である。例えば、超音波技術は地震反射と同一であ
り、スキャナは地震断層撮影法と同様の断層撮影法に基
づいている。これは、本発明の符号化及び調整方法が生
物学的器官の外皮をモデル化するために使用可能である
ことの理由の１つである。図４は、本発明の符号化及び
調整プロセスを使用して得られる、長さ7mmの人間の胎
児の脳のモデルを示す。このように小さな器官（前記脳
は1mmの長さである）は、現在までは顕微鏡薄片の形で
しか見ることが出来なかったということに留意すべきで
ある。
1.3 表面Ｓに対する符号化方法 1.3.1 メモリとメモリアドレス概念 術語「メモリ」は、連続的な操作において、データ、
コード、又は部分的結果を記録し且つこれらの記録を使
用上の必要に応じて取り出すことが可能な、あらゆる電
子計算装置を示す。更にメモリの「アドレス」とは、コ
ンピュータ内の各メモリの物理的位置を識別するあらゆ
るコードである。
1.3.2 原子Ａ（ｋ）の符号化 次の方法又はその変形の１つが、一組のメモリ内にお
いて各々の原子Ａ（ｋ）を符号化し格納するために使用
されることが可能である。
符号化方法 図５に示されるように、アドレスＡ＊（ｋ）で始まる
１つの連続的なメモリ領域が、節点 に対応する原子Ａ（ｋ）に関連する次のデータを連続的
に格納する。
又は、節点 の座標（▲x k▼，▲y k▼，▲z k▼）が取り出され
ることを可能にするアドレス、コード、もしくは他の何
れかのデータ。
又は、節点 に関連したサテライトの数nkが取り出されることを可能
にするアドレス、コード、もしくは他の何れかのデー
タ。
であるnk個の原子｛（Ａ（j1），‥‥Ａ（jnk）｝が取
り出されることを可能にするアドレス又はアクセスコー
ド｛Ａ＊（j1），‥‥,A＊（jnk）｝を含む、メモリ領
域のアドレス。
に与えられる符号化された制約（節1.1.3を参照）。こ
の符号化は節1.1.3で詳細に説明されるだろう。
に関する相補的なデータを含むことが可能な可変的な大
きさを有するメモリ。このデータは、各々の特定の応用
に特有なものである。例えば、石油探査においては、Ａ
（ｋ）が２つの隣り合う層C1とC2を分ける表面の原子で
ある場合に、このInfoフィールドに次のデータを格納す
ることが重要であるだろう。
・原子Ａ（ｋ）に対応する節点 における層C1の物理的特性（間隙率、地震波速度等）の
リスト。
・原子Ａ（ｋ）に対応する節点 における層C2の物理的特性（間隙率、地震波速度等）の
リスト。
・原子Ａ（ｋ）に対応する節点 における層C1の地質学的特性（地質学的面、石油の存在
等）のリスト。
・原子Ａ（ｋ）に対応する節点 における層C2の地質学的特性（地質学的面、石油の存在
等）のリスト等である。
変形１ その核が節点 であるnk個の原子｛Ａ（j1），‥‥,A（jnk）｝を取り
出すためのアドレス又はアクセスコード｛Ａ＊（j1），
‥‥,A＊（jnk）｝がその中に格納されるメモリ領域
が、次の２つの方法で製造化されることが可能である。
1.図６に示されるように、第１の方法は、アドレス｛Ａ
＊（j1），‥‥,A＊（jnk）｝を含むnk個の連続的なメ
モリで作られる１つの配列を使用することにある。
2.第２のプロセス（図７）は、α番目の配列の場合に、 ・その第１のメモリが、原子Ａ（ｋ）のα番目のサテ
ライトに対応する原子のアドレスＡ＊（ｊα）を含み、
且つ ・第２のメモリが、（α＋１）番目の配列のアドレス
を含み、αがサテライトの番号nkに等しい（nb−sat＝n
k）ならば、この第２のメモリが使用されないか、又は
Ａ（ｋ）の最後のサテライトに達し終わったことを表示
するコードを含むように２つの連続的なメモリを各々が
含むnk個の配列を使用することにある。
変形２ 前記nb−satフィールドを格納しないことが可能であ
る。しかしこの場合には、もしアドレス又はアクセスコ
ード｛Ａ＊（j1），‥‥,A＊（jnk）｝のリストが単一
の配列（変形１参照）としてコード化されるならば、リ
ストΛ＊（ｋ）が完了されたことを示すコードを格納す
るために１つのメモリ領域Ａ＊（nk＋１）を加えること
が必要である。
変形３ Satフィールドは、アドレス又はアクセスコード｛Ａ
＊（j1），‥‥,A＊（jnk）｝を含むのに十分なだけ大
きく作られなければならない。
変形４ Infoフィールドの大きさに応じて且つそれがどのよう
に仕切られるかに応じて、多くの変形が可能である。し
かしこれらの変形の全てが、補遺に説明されるDSI法に
基づく調整アルゴリズムに関して原子Ａ（ｋ）の使用に
全く影響しないということが明らかである。
変形５ 他のフィールドが、上記の原子Ａ（ｋ）に加えられる
ことが可能である。しかしこれらの他のフィールドが、
補遺に説明されるDSI法に基づく調整アルゴリズムに関
する原子Ａ（ｋ）の使用に全く影響をしない。
変形６ いずれの変形に関しても、DSI法の効率的な実行にと
って実際に重要なことは、所与の原子Ａ（ｋ）のアドレ
ス又はアクセスコードＡ＊（ｋ）が、その核がＡ（ｋ）
の核のサテライトである原子に対する最も直接的な経路
であるべきであるということである。
上記のメモリ内のＡ（ｋ）の符号化の方法の主要な目
的は、サテライトへの直接的なアクセスを可能にするこ
とである。
1.3.3 制約の符号化 １つの原子Ａ（ｋ）に関する各々の制約が、その説明
が次で行われる各々に１つの特定のメモリ領域内に格納
されるだろう。
制約の符号化のためのプロセス 図８に示されるように、１つの所与の原子に付与され
る１つの特定の制約の符号化は、２つのフィールド、即
ちConstraintとNextとを含む１つのメモリ領域の中で行
われる。これらの２つのフィールドは次のように使用さ
れる。
・Constraint＝ 符号化された制約（下記参照）に関するデータか、又
は符号化された制約に関連したデータを含む１つのメモ
リ領域のアドレスもしくはアクセスコードを含む、メモ
リ領域。
符号化された制約に関連したデータは、その符号化さ
れた制約のタイプを識別するコードを含む（節1.1.3参
照）。
・Next＝ 現時点の制約が原子Ａ（ｋ）に付与された最後の制約
であることを表示する１つのコードか、又はその次の制
約を含む１つのメモリ領域のアドレス（下記参照）を含
むメモリ領域。
１つの原子に付与される全ての制約を格納するためのプ
ロセス 節1.3.2に説明されるように、１つの原子Ａ（ｋ）を
符号化することは、次のものを格納するために使用され
る１つのConstフィールドを必要とする。次のものと
は、 ・その原子Ａ（ｋ）が制約を持たないことを表示する１
つのコードか、又は原子Ａ（ｋ）に関連した第１の制約
を含む１つのメモリ領域のアドレスである。
原子Ａ（ｋ）に関連したｎ番目の制約のアドレスが、
（ｎ−１）番目の制約（ｎ＞１）のNextフィールド内に
格納される場合には、図９に示されるように、このこと
は、Ａ（ｋ）に関連した全ての制約の全てがＡ（ｋ）に
付与されるということを意味する。この符号化方法は、
その他のデータの構成を変更することなしに、新たな制
約が加えられること、又は古い制約が取り除かれること
とを可能にする。
所与の制約に関連したデータの例 節1.1.3は、生物学と地質学とにおいて遭遇する複雑
な表面の符号化と調整のために最も重要な制約タイプの
３つの例を示す。これらのタイプの制約の各々に対し
て、データが、前述され且つ図９に示されたConstaint
フィールドに付与されなければならない。
「あいまいな制御節点」タイプの制約の場合には、そ
の制約タイプに加えて、少なくとも次のデータを格納す
ることが必要である。即ち −制約が付与される原子Ａ（ｋ）の核に対応する節点 の近似的な座標（▲x k▼，▲y k▼，▲z k▼）。
−前記近似的座標（▲x k▼，▲y k▼，▲z k▼）に
対して与えられることが可能な信頼性に比例した「確実
性係数」（正の数）である。
「あいまいなベクトルリンク」タイプの制約の場合に
は、このタイプに加えて、少なくとも次の諸データを格
納することが必要である。
−制約が付与される原子Ａ（ｋ）の核 のアドレス、 −節点 の３つの近似的な座標。
−前記ベクトル の近似的座標に対して与えられることが可能な信頼性に
比例した「確実性係数」（正の数）などである。
「あいまいベクトル法線」タイプの制約の場合には、
このタイプに加えて、少なくとも次の諸データを格納す
ることが必要である。
−その制約が付与される原子Ａ（ｋ）の核に対応する節
点 における表面Ｓに直交するベクトルの３つの近似的な
成分。
−前記ベクトルの前記近似的成分に与えられることが
可能な信頼性に比例した「確実性係数」（正の数）であ
る。
これらの３つの制約タイプは、補遺の節2.5と2.7.6で
詳細に説明される。
変 形 これまで、各々の制約のｘ、ｙ、ｚに共通する唯一の
確実性係数だけが導入されたが、３つまでの異なった確
実性係数が、これらの３つの成分に割り当てられること
が可能である。
1.3.4 表面Ｓの符号化 補遺に示されるDSI法の変形のプログラミングを最適
化するために、三角形及び／又は多角形の小面で構成さ
れた表面が、その核（節点）が前記三角形及び／又は多
角形の頂点であるＮ個の原子の集合として符号化され
る。これらの原子｛Ａ（１），‥‥Ａ（ｋ）｝各々のた
めのデータとコードは、 −１つの配列の中に（図10参照）か、又は −それらのNextフィールドによってリンクされたメモリ
領域のAtomフィールドの中に（図11参照）格納されるこ
とが可能である。この場合に、ｋ番目の原子に関連した
Nextフィールドは、その次の（ｋ＋１）番目の原子のア
ドレス又はアクセスコードを含まなければならない。最
後の原子Ａ（Ｎ）に関連したNextフィールドは、最後の
原子に到達し終わったことを表示するコードを含まなけ
ればならない。
原子を容易に付加及び／又は除去することが間違いな
く可能であるならば、第２の解決がより有利である。し
かしこの解決策は、第１の解決策よりも多くのメモリを
必要とする。
1.3.5 変形 説明を単純化するために、データを符号化するために
使用されるメモリ領域が、これまで複数のフィールドに
区分されており、これらのフィールドの各々が、 ・１つの名称、 ・１つのメモリ場所 を与えられているとしている。
この特許で説明される符号化プロセスは、使用される
メモリ領域内のこれらのフィールドの名称と順序とには
依存しないということが明らかである。更に、格納プロ
セスを変更することなしに、特定の応用のために新たな
フィールドを加えることが常に可能である。
1.4 表面Ｓの調整 1.4.1 序説 節1.3で説明された方法によって符号化される表面を
Ｓとする。
・この表面Ｓが、DSI法の全体的粗さの基準に関して可
能な限り滑らかであるように（参照文献（７）、
（８）、補遺、及び節1.1.4を参照）、 ・この表面Ｓが、この表面の形状に関するデータと制約
とを、それらの確実性が如何なるものであろうと、可能
な限り尊重するように（節1.1.1と1.1.3を参照）、 幾つかの節点 の座標を最適に調整するための、この符号化に基づく方
法が以下で説明されるだろう。
この目的のために、補遺において説明され且つ節1.3
において説明された符号化方法を使用するように意図さ
れた、DSI法の新たな変形が使用される。測定データ又
は観察データを考慮して、この方法は、次の式を使用し
て、固定されていない各々の節点 の３つの座標（▲ｘ α▼，▲ｙ α▼，▲ｚ α▼）
を連続的に及び反復的に調整する。
DSI法の新たな変形を説明する補遺に従って、これら
の更新関数▲ｆｘ α▼（ ），▲ｆｙ α▼（ ），▲ｆ
ｚ α▼（ ）は、点αにおけるDSI等式の局所的形式か
ら誘導され、次のような形式を有する（補遺の節2.4.
1、2.4.2、2.7.3を参照のこと）。
加重係数｛Ｖα（ｋ）｝とμ（ｋ）の性質と役割と
が、節1.1.4で説明されており、更に、参照文献（８）
と補遺において説明される。項｛▲Γｘα ｉ▼，▲Γ
ｙα ｉ▼，▲Γｚα ｉ▼｝，｛▲γｘα ｉ▼，▲
γｙα ｉ▼，▲γｚα ｉ▼｝，｛▲Ｑｘα ｉ▼，
▲Ｑｙα ｉ▼，▲Ｑｚα ｉ▼｝の値は、節点 に付与された制約のタイプと値とに依存し、それらの各
々の正確な定式化は補遺に示される。
加重係数｛Ｖα（ｋ）｝が、節1.1.4と補遺とにおい
て説明される調和加重に相応する時には、加重関数▲ｆ
ｘ α▼（ ），▲ｆｙ α▼（ ），▲ｆｚ α▼（ ）が
単純化され、次のような形式を採ることが可能である。
以下では、節1.3に説明された符号化に基づくこれら
の関数の計算のプロセスが説明される。
1.4.2 記号表記 計算プロセスの説明を単純化するために、次のような
記号表記と定義とが使用される。
・演算ブロックは、開いた中括弧｛で開始し、閉じる中
括弧｝で終わる何れかの一組の演算である。１つのブロ
ック内における演算は、個別の演算であっても又は一組
の演算であってもよい。
・術語「作業用メモリ」又は「作業用変数」は、計算の
間に中間結果を格納するために使用されるあらゆるメモ
リ領域を意味する。
・メモリｍの中に表現ｅを「ロードする」ことは、値ｅ
を計算し且つメモリｍの中にその結果を格納する演算で
ある。そうした演算は次のように表記される。
ｍ ← ｅ ・数値を格納するために使用される何れのメモリｍの場
合も、ｍを増分ｉだけ増加させることは、値ｍ＋ｉを計
算し且つその結果をメモリｍの中に格納する演算であ
る。こうした演算は次のように表記される。
ｍ ← ｍ＋ｉ 上記の演算においては、その増分ｉは、 −１つの定数、 −１つのメモリの内容、又は −１つの算術表現であってよい。
1.4.3 調和加重を用いた調整プロセス 係数｛Ｖα（ｋ）｝が、節1.1.4と補遺において説明
される調和加重である時には、節点 に関して関数▲ｆｘ α▼（ ），▲ｆｙ α▼（ ），▲
ｆｚ α▼（ ）によってとられる値▲ｆｘ α▼，▲ｆｙ
α▼，▲ｆｚ α▼は、Ｓの符号化に基づく次のプロセス
によって効率的に計算されることが可能である。
０）次の作業用メモリを割り当てる。
１）次の初期設定を行う（順序は問題ではない） ２）Ａ（α）のサテライトの数をηαとする。この数は
Ａ（α）のnb−satフィールドから得られることが可能
である。
３）原子Ａ（α）のSatフィールドからアクセス可能な
原子Ａ（α）のサテライトの集合をΛ（α）とする。各
々のサテライトｋ∈Λ（α）毎に、次のブロックの演算
を反復する。
｛ ・3.1）Ａ（ｋ）のサテライトの数ηｋを決定する。
この数はＡ（ｋ）のnb−satフィールドから得られるこ
とが可能である。
・3.2）原子Ａ（ｋ）の節点 の座標（▲x k▼，▲y k▼，▲z k▼）を決める。こ
れらの座標はＡ（ｋ）のNodeフィールドから得られるこ
とが可能である。
・3.3）Ａ（ｋ）内のデータから、加重係数の値μ
（ｋ）を計算又は決定する（節1.1.4と補遺とを参
照）。
・3.4）次の演算を行う（順序は重要ではない）。
・3.5）原子Ａ（ｋ）のSatフィールドからアクセス可
能な原子Ａ（ｋ）のサテライトの集合をΛ（ｋ）とす
る。各々のサテライトＢ∈Λ（ｋ），β≠α毎に、次の
ブロックの演算を行う。
｛ ・3.5.2）原子Ａ（β）の核 の現時の座標（▲ｘ β▼，▲ｙ β▼，▲ｚ β▼）
を決める。これらの座標はＡ（β）のNodeフィールドか
ら得られることが可能である。
・3.5.3）次の３つの演算を行う（順次は重要ではな
い）。
｝ ・3.6）次の３つの演算を行う（順序は重要ではな
い）。
｝ ・４）次の演算を行う。
・５）原子Ａ（α）のConstフィールドによってアクセ
ス可能な、前記原子に付与された制約の集合をＣ（α）
とする。各々の制約ｃεＣ（α）毎に、次のブロックの
演算を反復する。
｛ ・5.1）制約ｃのタイプを決める。
・5.2）制約ｃのタイプに応じて、次の２つの演算を
行う。
・5.2.1）制約ｃに固有のデータを抽出する。
・5.2.2）（5.2.1）で選択されたデータに基づいて、
次の表現の値を計算する（補遺の節2.5、2.7を参照）。
・5.3）次の演算を行う（順次は重要ではない）。
｝ ・６）次の演算を行う（順次は重要ではない）。
このプロセスの終わりに作業用メモリ▲ｆｘ α▼，▲
ｆｙ α▼，▲ｆｚ α▼は、節点 の座標の値を調整するために使用される関数▲ｆｘ α▼
（ ），▲ｆｙ α▼（ ），▲ｆｚ α▼（ ）の値を含
む。
この調整プロセスは、「自由」節点、即ち、制御節点
に一致しない節点に対してのみ行われなければならな
い。（節1.1.3を参照）。
1.4.4 変形 変形１ 調和加重係数の場合において前節で説明されたDSI法
に基づく調整プロセスの実行は、他のあらゆる種類の加
重の場合に対しても非常に容易に採用されることが可能
である。そのプロセスの一般的構造は不変のままであ
り、唯一の変化は、ステップ（０）において割り当てら
れる作業用メモリの増分に関する変化である。これらの
作業用メモリがどのように増加されるかは、採用される
加重に応じて決まる。
例えば、次のような加重係数｛Ｖα（ｋ）｝が選択さ
れる場合には、 この場合に、その関連する調整関数が次の関数であるこ
とを確かめることは容易である。
その場合に、節点 におけるこれらの関数の値▲ｆｘ α▼，▲ｆｙ α▼，▲
ｆｚ α▼を計算するために使用される方法は、調和加重
に関して説明された方法と概ね同一である。
０）次の作業用メモリを割り当てる。
１）次の初期設定を行う（順序は重要ではない）。
２）Ａ（α）のサテライトの数をηαとする。この数は
Ａ（α）のnb−satフィールドから得られることが可能
である。
３）原子Ａ（α）のSatフィールドからアクセス可能な
原子Ａ（α）のサテライトの集合をΛ（α）とする。各
々の衛星ｋ∈Λ（α）毎に、次のブロックの演算を反復
する。
｛ ・3.1）Ａ（ｋ）のサテライトの数nkを決定する。こ
の数はＡ（ｋ）のnb−satフィールドから得られること
が可能である。その後で次の演算を行う。
・3.2）原子Ａ（ｋ）の節点 の座標（▲x k▼，▲y k▼，▲z k▼）を決める。こ
れらの座標はＡ（ｋ）のNodeフィールドから得られるこ
とが可能である。
・3.3）Ａ（ｋ）内のデータから、加重係数の値μ
（ｋ）を計算又は決定する（節1.1.4と補遺とを参
照）。
・3.4）次の演算を行う（順序は重要ではない）。
・3.5）原子Ａ（ｋ）のSatフィールドからアクセス可
能な原子Ａ（ｋ）のサテライトの集合をΛ（ｋ）とす
る。各々のサテライトβ∈Λ（ｋ）β≠α毎、次のブロ
ックの演算を行う。
｛ ・3.5.2）原子Ａ（β）の核 の現下の座標（▲ｘ β▼，▲ｙ β▼，▲ｚ β▼）
を決める。これらの座標はＡ（β）Nodeフィールドから
得られることが可能である。
・3.5.3）次の３つの演算を行う（順序は必要ではな
い）。
｝ ・3.6）次の３つの演算を行う（順序は重要ではな
い）。
｝ ・４）次の演算を行う。
・５）原子Ａ（α）のConstのフィールドによってアク
セス可能な、前記原子に付与された制約の集合をＣ
（α）とする。各々の制約ｃ∈Ｃ（α）毎に、次のブロ
ックの演算を反復する。
｛ ・5.1）制約ｃのタイプを決める。
・5.2）制約ｃのタイプに応じて、次の２つの演算を
行う。
・5.2.1）制約ｃに固有のデータを抽出する。
・5.2.2）（5.2.1）で選択されたデータに基づいて、
次の表現の値を計算する（補遺の節2.5、2.7を参照）。
・5.3）次の演算を行う（順次は重要ではない）。
｝ ・６）次の演算を行う（順次は重要ではない）。
原子のInfoフィールドの中に格納される数値パラメタ
は、DSI法によって補間される（補遺の節2.1.2、2.2を
参照）。この場合に、その方法は、表面の調整のために
使用される上記の方法と概ね同一である。その唯一の変
更は、節点の３つの座標の調整に通常は使用される３つ
の関数の１つだけを使用することと、補間されたパラメ
タに従ってそれを計算することとにある。
本発明は、特に次の分野に適用されることが可能であ
る。
−地質学又は地球物理学において、本発明は、例えば地
球物理学的シミュレーション又は地下資源開発シミュレ
ーションがそれに基づいて行われることが可能な立体３
次元モデルを作るために、表面モデルを作る上で使用さ
れることが可能である。本発明は、地球物理学的現象又
は資源開発上の現象のディジタル又はアナログのシミュ
レータを初期設定するためのデータ集合を得るためにも
使用可能である。更に本発明は、グラフィクスワークス
テーションと関連して、上記のようなシミュレーション
をモニタするのに使用される画像を、スクリーン上に表
示し且つ紙にプリントするために使用されることが可能
である。
−生物学又は医学においては、器官及び／又はプロテー
ゼの３次元モデルを作るために、又は形成外科の効果を
シミュレートするために、使用されることが可能であ
る。同時に、ディスプレイされた又はプリントされた２
次元画像が、上記の操作をモニタするために使用される
ことが可能である。
しかし本発明は、更に一般的にあらゆる種類の表面、
特にあらゆる天然又は人工の表面のモデル構成に適用さ
れる。本発明はコンピュータ支援設計（CAD）において
特に有益である。
最後に本発明は、上記において説明され及び添付図面
に示された実施例には全く限定されず、当業者は、本発
明の範囲から逸脱することなく、上記の実施例を変化及
び部分変更させることが可能である。
補遺 2. 複雑な表面の対話型モデル構成のためのDSI法の新
たな変形 地質学と生物学とにおける１つの共通の問題は、互い
に異なった種類又は異なった特性を有する領域の間の境
界面のような複雑な表面をモデル化することである。Ｂ
zier補間法とスプライン関数（９）とに基づく従来の
モデル構成技術は、このタイプの異種なデータを処理す
ることにはて適切ではない。異なったアプローチの１つ
は、DSI（‘Discrete Smooth Interpolation'）法
（８）に基づいている。このアプローチでは、異種なデ
ータの最大可能量を考慮に入れるようにその頂点が決め
られなけれはならない不均整な三角形の面を使用するこ
とによって、表面がモデル構成される。
2.1 序説：問題の提示 2.1.1 表面Ｓ及び関連の定義 図１を参照すると、3Dユークリッド空間（0|x,y,z）
内に埋め込まれた連続した平らな三角形の小面で作られ
る１つの表面をＳとする。この表面は、連結している必
要もなく、又は閉じられている必要もない。次の記号表
記が使用される。
Ｇ＝Ｇ（Ｓ）＝三角形の縁部の集合、 Ω＝Ω（Ｓ）＝三角形の頂点の集合、 Ｎ＝｜Ω｜＝Ω内の点の数。
Ｇは、その節点がΩの点であるグラフであり、この集
合Ωが、これらの節点に番号を与えるために使用される
整数の指数｛1,…,N｝の集合によって識別される。節点
ｋεΩの近傍Ｎ（ｋ）は、次のように定義される。
Ｎ（ｋ）＝ｓ（ｋ）が１つの所与の正の数である時
に、多くともＳ（ｋ）個のステップにおいて節点ｋから
到達されることが可能なΩの節点によって構成されるΩ
の部分集合。
以下では、これらの近傍Ｎ（ｋ）が次のような対称の
特性を有する。
α∈Ｎ（β）⇔β∈Ｎ（α） 従って、このように定義される近傍Ｎ（ｋ）は、Ｓ自
体の近似的なトポロジと見なされることが可能な１つの
トポロジをＧに基づいて生成させる。
2.1.2 問題1:Ωに基づいて定義される関数の推定 各々の節点ｋεΩの位置が既知であると仮定し、及び
全ての節点Ｋ∈Ωに対し定義され且つΩの部分集合につ
いてだけ知られている関数を（ｋ）とする。
Ｌ＝節点の集合ｌ∈Ω、ここで（ｌ）＝ｌが既知
である場合、 Ｉ＝節点の集合ｉ∈Ω、ここで（ｉ）＝ｉが未知
である場合、 ＝Ω−Ｌ 一般的にＬはΩとは異なっておる。更にΩに基づいて
定義され且つ値｛（ｌ）＝l:l∈Ｌ｝を補間する関
数（ｋ）が無限にある。我々の目的は、 ・関数（．）の全体的粗さと、 ・関数（．）と幾つかの制約とそれが満たすべきデー
タとの間の相違とを 測定して、所与の基準Ｒ＊（）を最小化する関数をそ
うした関数の中から選択することである。
2.1.3 問題点2:表面Ｓの調整 この場合に、節点ｋ∈Ωの１つだけの部分集合Ｌの点
が、既知の位置 を有する。
Ｌ＝節点の集合 が既知である場合、 Ｉ＝節点の集合ｉ∈Ω、ここで が未知である場合、 ＝Ω−Ｌ 第１の問題の場合と同様に、一般的にＬはΩとは異な
っておる。更に、点 を補間する空間Ｓが無限にある。我々の目的は、 ・表面Ｓの全体的粗さと、 ・表面Ｓと幾つかの制約とそれが満たすべきデータとの
間の相違とを測定して、所与の基準 を最小化する関数をそうした関数の中から選択すること
である。
各々のベクトル の成分（ｘ（ｋ），ｙ（ｋ），ｚ（ｋ））の独立
性を考慮し、次のように記述することによって、この第
１の問題の解を第２の問題を解くために使用することが
容易である。
Ｒ＊（）＝Ｒ＊（ｘ）＋Ｒ＊（ｙ）＋Ｒ（ｚ） 集合Ωが、表面上に置かれた正方形の格子の節点を相
当する非常な特殊な場合には、Ｂzier、スプライン、
又はBriggsタイプの補間法（（９）、（１）、（３）参
照）の使用が考慮されてもよい。不幸にしてこれらの方
法は、不規則的な格子に対しては適切ではなく、節2.2.
3、2.5、2.7.2に説明される制約を考慮しない。
2.2 Ωに基づいて定義される関数（ｋ）の補間 この節は、参照論文（８）に示されるDSI（Discrete
Smooth Interpolation）法を概略的に紹介する。
2.2.1 記号表記 次の表現では、は大きさＮの縦行列を表す。
問題は、格子の節点に番号を付ける方法に依存しな
い。従って、記号表記を単純化するために、行列が次
のように２つの副行列ＩとＬに分けられることが可
能であるように、その行列φの要素の置換が行われたも
のと仮定されるだろう。
更に、‖・‖Ｄが、大きさＮの何れの縦行列Ｘの場合
にも次式が成り立つように、１つの正方形（Ｎ×Ｎ）の
正の半有限の行列Ｄに関連した１つのセミノルムを表
す。
2.2.2 全体的粗さＲ（）の基準の定義 ｛Ｖα（ｋ）｝が所与の正、負、ゼロの加重係数であ
る時に、次の式によって定義される局所粗さ基準をＲ
（|k）とする。
Ｒ（|k）は、μ（ｋ）がΩに基づいて定義された所
与の加重関数である時には、次のように定義される全体
的粗さ基準Ｒ（）を与えるために使用されることが可
能である。
Ｒ（）は、係数｛Ｖα（ｋ）｝とμ（ｋ）とによっ
て完全に定義される。また次のような１つの正方形（Ｎ
×Ｎ）の対称な正の半有限の行列〔Ｗ〕が常に存在する
ということを立証すること（（８）を参照）は容易であ
る。
Ｒ（|k）＝１・〔Ｗ（ｋ）〕・ ２・２・３ 最小自乗という意味での線形制約の考慮 １つの正方（Ｎ×Ｎ）行列［Ai］と１つのＮ縦行列Bi
とが線型制約を定義すると見なす。
［Ai］・Bi １つの正方形（Ｎ×Ｎ）の正の半有限の行列［Di］の
場合に、「」は、可能な限り小さな、 を意味する。
このタイプの条件が幾つかある時には、これらの制約
の違反の度合いが、次のように定義される基準ρ（）
によって測定されることが可能である。
2.2.4 問題の解 Ωに基づいて定義され且つデータ（（ｌ）＝l:l
∈Ｌ｝を補間する全ての関数（ｋ）の中から、次の基
準を最小化する関数が選択される。
Ｒ＊（）＝Ｒ（）＋ρ（） Ｒ＊（）を展開して、次の式が得られる。
行列の仕切りは、Ｒ＊（）を定義するために使用
される行列［ｗ＊］及びＱの類似の仕切りを導く。
条件∂Ｒ＊（）／∂Ｉ＝［０」は、その全ての関
数｛（ｋ）:kεΩ｝が問題の１つの解を構成すること
を特徴とする、次の「DSI等式」を与える。
2.3 DSI等式の解の一意性 定義 グラフＧの各々の連結成分がＬに属する節点を少なく
とも１つ含むならば、φが既知である節点の集合Ｌは、
Ｒ＊（）に関して整合的であると言われる。
定理 全体的粗さ基準Ｒ（）が次のようであるならば、 Ｒ（）に基づくDSI等式は、１つの一意の解を有す
る。
証明 上記の定理は理論的にのみ重要であって、本特許に説
明される方法には全く影響しない。従って前記定理はこ
こでは証明を必要としない。
2.4 DSI等式の局所的形式 次の述べる事柄では、DSI行列等式を直接的に解く代
わりに、１つの反復的なアプローチが、［Ｗ＊］の計算
と格納とを不要にする。この反復的アプローチは、本特
許において使用される反復的アプローチである。
記号表記を単純化するために、次の述べる事柄では、
DSI等式の正の半有限の行列［Di］が対角行列であると
仮定されるだろう。更に、タイプ［Ai］・Biの線型
制約が存在する時に、次の記号表記が使用される。
2.4.1 ∂Ｒ＊（）／∂２の計算 Ｒ（φ/k）の定義は次の論理的帰結をもたらす。
これから次の関係が演繹される。
Diの対角構造を考慮して、 のα番目の要素が次のものであることが容易に立証され
る。
Ｒ＊（φ）の定義を考慮して、次のものを演繹するこ
とが可能である。
解は、∂Ｒ＊（）／∂α＝０のような解であ
り、従ってのα番目の成分αは、次の等式を満たさ
なければならない。
この開示では、この等式は、節点αにおけるDSI等式
の局所的形式と呼ばれる。
2.4.2 反復アルゴリズムのための命題 DSI等式の上記の局所的形式は、解を推定する明白
なアルゴリズムを提示する。例えば、反復（ｎ＋１）に
おいて、解(n+1)のα播目の成分▲（ｎ＋１） α▼
は、次のような反復アルゴリズムを与えるようにDSI
（α）等式を満たさなければならない。
φαが未知である場合の節点の指数の集合をＩとし、 １つの最初の近似解をとし、 一方（より多くの反復が必要とされる） ｛ 全ての対し（α∈Ｉ）、 ｛ ｝ ｝ この非常に単純なアルゴリズムは、DSI等式内で生じ
る行列［Ｗ］を明らかに使用することはない。しかし、
［Ｗ＊］を導くために使用される積である｛Ｖα（ｋ）
・Ｖβ（ｋ）｝のような積を反復的に計算しなければな
らない。
実際に最初の近似解が正しい解に近いならば、僅かな
反復しか必要とされず、計算の間接コストが極めて僅か
なものとなる。例えばこれは、幾つかの局所的変更が使
用者によって行われる前の解に最初の解が等しくさせ
られる対話型コンテクストにおいて生じる。この場合に
は、間接コストの僅かな増加にも係わらず、DSI等式の
局所的形式がその全体的形式よりも遥かに使用し易いが
故に、この局所的形式が好ましい。
この提案されたアルゴリズムが実際に収束することを
示すために、Ｒ＊（）がαの関数として表現可能で
あることに留意すべきである。
係数Ａ、Ｂ、Ｃはαから独立しており、及び、 全体的基準Ｒ＊（）の最小値は、DSI（α）の等式に
よって与えられる値そのものである値α＝−B/（2A）
の場合に得られる。このことは、反復プロセスの各ステ
ップにおいて、正又はゼロの関数Ｒ＊（）の値が減少
するが故に前記アルゴリズムが収束するということを示
す。
2.5 あいまいデータの考慮 この節は、節2.7.6に後述されるような、幾何学的モ
デル構成にとって特に重要である２つのタイプの線型制
約を紹介する。この節の目的は、未知の値｛λ：λ∈
Ｉ｝に関するあいまいデータを考慮に入れることであ
る。そうしたデータは、実際には正の加重係数である確
実性係数W2∈R+と組み合わされると仮定される。
2.5.1 単離されたあいまいデータの場合 その未知の値λが、W2λに等しい確実性係数を有す
る１つの不確実なデータに近いと仮定される、１つの節
点指数をλεＩとする。
λλ 前式においては次の条件：λ：を表す。
そうした条件は、次の項を有するｉ番目の制約として
DSI法において容易に考慮される。
従って、局所的DSI（α）等式に使用されるその対応
する係数▲Γα ｉ▼，▲Ｑα ｉ▼，▲γα ｉ▼は、次に
よって定義される。
2.5.2 微分のあいまいデータの場合 その未知の値λが、別の指数μ≠λに対応する別の
値μに関係付けられると仮定される、１つの節点指数
をλ∈Ｉとする。この関係が次の形であり、そのΔλμ
が１つの所定の値である。
（μ−λ）Δλμ この関係がファジイであると仮定され、確実性係数▲
Ｗ２ λμ▼を含む次の条件によってモデル構成され
る。
そうした条件は、次の項を有するｉ番目の制約として
DSI法において容易に考慮される。
従って、DSI（α）等式に使用されるその対応する係
数▲Ｔα ｉ▼，▲Ｑα ｉ▼，▲γα ｉ▼は、次のように
定義される。
2.5.3 確実性係数の選択 DSI（α）等式の項▲Ｍ＊ α▼を次のものとみなす。
上記の２つの例では、項▲γα ｌ▼はゼロに等しい
か、又は次の確実性係数に等しい。
これは、▲Ｗ2 i▼に対して、Ｍαの所定のパーセンテ
ージpiを選択することを示す。
その場合に、DSI（α）等式の項▲Ｍ＊ α▼は次の通
りであり、 前式でPi（α）は、所与の百分率piに等しいか又はゼロ
に等しい。
2.6 加重係数の選択 荷重係数｛Ｖα（ｋ）｝と｛μ（ｋ）｝の選択は、そ
の｛μ（ｋ）｝係数が正であるか又はゼロに等しくなけ
ればならないということを除いて、完全に自由である。
次では、これらの２つの係数群の選択の方法の一例が示
される。
2.6.1 ｛Ｖα（ｋ）｝調和加重係数の選択 次のように定義されるｋの「軌道」をΛ（ｋ）とす
る。
Λ（ｋ）＝Ｎ（ｋ）−｛ｋ｝ Λ（ｋ）の要素の数を｜Λ（ｋ）｜とする。加重係数
｛Ｖα（ｋ）｝が次の定義に従って選択されるならば、
この加重は調和加重と呼ばれる。
調和関数は、これらの関数が、この点を中心とする１
つの円の上では、これらの関数の平均に対していずれの
点においても等しいという特徴的特性を有する。同様に
ｋがもし節点ｋを取り囲む値αの平均に等しいなら
ば、Ｒ（|k）＝０であり、この理由から、調和関数と
の類推によって、術語「調和」がこの節で説明される加
重係数｛Ｖα（ｋ）｝に適用されている。
DSI（α）等式がこれらの係数によって展開されるな
らば、次の等式が得られる。この等式は容易にプログラ
ミング言語に翻訳される。
2.6.2 ｛μ（ｋ）｝係数の選択 係数｛μ（ｋ）｝は、補間の滑らかさを局所的に変更
するために導入されている。異なった形でこれを行う特
別な理由がなければ、一様な加重が使用されることが可
能である。
μ（ｋ）＝１∀ｋ∈Ω 一様でない加重の全ての中では、滑らかな関数がデー
タの近傍において必要とされるならば、次の関数が特に
重要と思われる。
2.7 幾何学的モデル化への適用 この節は、三角形化された表面Ｓ自体を推定するため
にDSI頬を使用する方法を示し、この三角形化された表
面Ｓに関して、次のものから構成される部分データが使
用可能であると仮定されるだろう。
・三角形の幾つかの頂点の正確な位置 ・三角形の幾つかの頂点の近似的な位置。
・Ｓの形状を明示するベクトル制約などである。
この目的のために、R3の始点とΩの現下の節点とを結
ぶ現下のベクトルとしてαが定義される。またｘ、
ｙ、ｚがR3の直交底辺上のその部分（ox,oy,oz）を
表す。
2.7.1 全体的粗さ基準Ｒ（φ）の定義 通例のように、節点Ωの集合が、次のように２つの部
分集合ＩとＬとに分けられる。
その位置 が既知である節点ｌ∈Ｌが、制御節点と呼ばれる。その
目的は、加重係数｛Ｖα（ｋ）｝の１つの所与の集合に
基づく次の局所的基準 が可能な限り小さいように、その残りの点ｉ∈Ｉの位置
を決めることである。
この基準は、局所的DSI基準のベクトル形式を形成す
る。その関連する全体的なベクトルDSI基準 は、｛μ（ｋ）｝が負ではない所与の加重係数である場
合に、次のように定義される。
前述のように、Ｒ（ｘ）,R（ｙ）,R（ｚ）を定
義する。
ピタゴラスの定理から次の式が得られる。
2.7.2 最小自乗形の意味での線型制約の考慮 次の行列が、Ｎが集合Ωの節点の総数であるような大
きさであると見なす。
次の制約を成分x,y,ｚに満たさせるために、 次の基準が導入される。
2.7.3 問題の解 データ を補間する表面Ｓの全体の中から、次の基準を最小化さ
せるものを選択することが目的である。
この等式が次のように書き換え可能であることを立証
するので容易である。
成分x,y,ｚの独立性を考慮して、 従ってベクトルDSI基準を最小化することは、現下のベ
クトル の３つの成分に適用される、その対応する３つのDSI基
準を最小化することと同等である。
2.7.4 注意 もし表面Ｓが幾つかの分離した断片で形成されるなら
ば、節2.3で説明された定理は、各々の断片内の少なく
とも１つの三角形の頂点が既知の位置を有するならば前
記問題に一意の解が存在することを保証する。
2.7.5 対話型の使用 幾何学的モデル化では、その目的は、節点Ωの集合に
関連したグラフＧの幾何学的形状を対話型で定義するこ
とである。この目的のために、初期形状が既知であり、
使用者が幾つかの節点を移動させ、幾つかの制約（基準
節点とあいまいなデータ）を対話型に変化させるものと
仮定される。この場合に、これらの変更は、DSI法のベ
クトル形式を介して節点ｉ∈Ｉに伝えられる。
前述のようにこの問題は、その３つの座標（x,y,z）
に対応する３つの副次的な問題に分解される。これらの
３つの問題を解くための最善の方法は、その対応するDS
I等式の局所的形式に関連付けられた反復アルゴリズム
を使用することである。
モデル化方法の各ステップの間では、制御節点の位置
が変更可能であるばかりでなく、部分集合Ｌ自体が必要
に応じて変化させられることも可能である。例えば、節
点の部分集合Гに対してだけDSIを適用するためには、
がΩ中のГの相補集合を表す時に、Ｌ⊃であるよう
にＬを選択することが必要である。
更にその問題が、各々別々に解かれ及び３つの座標に
対応する３つの副次的な問題に分解されるが故に、異な
った部分集合Lx,Ly,Lzが必要に応じて各々の座標に関し
て定義されることが可能である。例えば、（x,y）座標
が変更されてはならないならば、LxとLyが全体集合Ωに
等しいことで十分である。
2.7.6 あいまいな幾何学データの考慮 最初はDSI法は、例えば地質学と生物学とにおいて、
自然科学の分野で遭遇する複雑な表面をモデル構成する
よう意図された。この場合には、次のような考慮にいれ
るべき遥かに不明確なデータが一般的に存在する。
あいまいな制御節点 定義によって、「あいまいな制御節点」とは、所与の
確実性の度合い▲Ｗ２ λ▼を有する１つの所与のベクト
ルλに近似的に等しいものとして知られている位置 を有する、任意の節点λεＩである。節2.5.1によれ
ば、そうしたあいまいなデータは、次のような制約をＲ
＊（ｘ）,R＊（ｙ）,R＊（ｚ）基準に導入するこ
とによって、DSI法によって考慮されることが可能であ
る。
あいまいなベクトル制約 多くの応用においては、１つの表面の２つの節点 とを結ぶベクトル を制御することが必要である。定義によって、そうした
制約が一定の度合いの確実性▲Ｗ２ λμ▼で満足させ
られなければならないならば、そうした制約は「あいま
いなベクトル制約」と呼ばれる。このタイプの制約のい
くつかの例が図２に示される。
実際には、２つの点 の少なくとも１つが、例えば λ∈Ｉに対応する位置のような未知の位置を有し、次の
ような２つの重要な場合が考慮されなければならない。
・その第１の場合は、１つの対称物体の形状が が所与のベクトルλμに等しいように制御されなけれ
ばならない図2aと図2bとに相当する。
・その第２の場合は、１つの対象物体の形状が が所与のベクトルに直交するように制御されなければ
ならない図2cに相当する。１つの表面に対して垂直のベ
クトルが制御されなければならない時には、この状況が
生じる。この場合には、もしが表面の節点λにおける
垂直ベクトルであるならば、全てのμ∈Ｎ（λ）に関す
る全てのベクトル とのその直交性を制御することが適切である。
節2.5.2を参照すると、第１の場合は、▲Ｗ２ λμ
▼に等しい加重係数を有するＲ＊（ｘ）,R
＊（ｙ）,R＊（ｚ）基準の中に次のような制約を導
入することによってDSI法において容易に考慮に入れら
れる。
第２の場合に関しては、次に示される等式の故に、問
題はあまり相違していない。
この場合は、前記等式の右側の値（▲ｘ λ▼，▲
ｙ λ▼，▲ｚ λ▼）と（▲ｘ μ▼，▲ｙ μ▼，▲
ｚ μ▼）とが、反復プロセスの先行ステップにおいて
推測されるその対応する値に設定されることが可能であ
る。
であるならば、第２の場合は前記第１の場合と同一と
なる。
注意 上記で説明された通りのあいまいなデータを考慮に入
れる際には、その制約の３つの全ての成分に関して唯一
の確実性係数▲Ｗ２ λμ▼が使用される。実際には、
このことは不可欠ではなく、これら３つの成分の独立性
の故に、これらの３つの異なった成分に対応する３つの
異なった確実性係数▲Ｗx2 λμ▼，▲Ｗy2 λμ▼，
▲Ｗz2 λμ▼を使用することが常に可能である。
2.8 概括 結論の前に、本アプローチの幾つかの明らかな概括が
言及に値する。
・DSI法は、あらゆる種類の多角形の面に対して使用さ
れることが可能である。実際には、三角形が最も単純な
多角形であり且つコンピュータプログラムにおいて取扱
いが容易であるが故に、三角形の使用が勧められる。
・DSI法は、3D空間内の多角形曲線を推定するために使
用されることが可能である。この場合には三角形がセグ
メントによって置き換えられる。
2.9 結論 DSI等式の局所的形式は、例えば地質学及び生物学に
おいて遭遇する複雑な表面のモデル構成のために単純で
強力な手段を提供する。特に、 ・表面をモデル構成するために使用される網目に関して
は制限が全くなく、その形成のために自動アルゴリズム
を使用することが可能である。例えばその網目が三角形
で作られる場合には、Delaunay法（文献（２）、（５）
を参照）から導かれるアルゴリズムを使用することが可
能である。更にその網目の大きさは、表面の複雑性に局
所的に適合させられることが容易に可能である（（４）
を参照）。
・DSI法は、多量の正確な又はあいまいなデータを処理
することが可能である。このことは、その目的が美的な
表面を生成させることではなく、正確な又はあいまいな
データを首尾一貫した形に調整することにある、自然科
学において特に有益である。
・局所DSI等式から得られるアルゴリズムは、対話型の
使用を可能にするのに十分なだけ高速である。
小面の表示については何も言及されなかった。その適
用に応じて、平面を採用することも可能である。しかし
必要に応じて、これらの小面は、網目の節点を補間する
非平面の表面断片によって表されることが可能である。
───────────────────────────────────────────────────── フロントページの続き (73)特許権者 999999999 トタル，コンパニ・フランセーズ・デ・ ペトロル フランス国、75781・パリ・セデツク ス・16、リユ・ミシエル―アンジユ・５ (73)特許権者 999999999 コンパニ・ジエネラル・ドウ・ジエオフ イズイツク フランス国、91341・マスイイ、リユ・ レオン―ミゴ・１ (72)発明者 マレ，ジヤン―ロラン フランス国、54000・ナンシー、リユ・ ドウ・ラ・クロワ―ガネエ・８ (58)調査した分野(Int.Cl.7，ＤＢ名) G06T 17/00 - 17/50

Claims (17)

    (57)【特許請求の範囲】
  1. 【請求項１】地質学的層群又は生体のような３次元物体
    内の、異なった種類の領域又は異なった特性を持つ２つ
    の領域の間の境界面を表示する表面（Ｓ）をモデル化す
    る方法であって、該方法が、 − 前記表面に関する且つ前記表面上の個々の点に関連
    する幾何学的データの集合を、測定装置を用いて得る段
    階と、 前記点の全てがその網目の節点 の１つの部分集合であるように、前記表面の網目化を行
    なう段階と、 − 前記網目の各々の節点 毎に１つの特定のメモリアドレスに、次の諸データ、即
    ち ＊当該節点の座標（▲x k▼，▲y k▼，▲z k▼）
    と、 ＊当該節点のサテライト節点の数（nb−sat）と、 ＊前記サテライト節点の特定のアドレスと従って前記ア
    ドレスに関連するデータへとのアクセスを与えるデータ
    （Sat）と、 ＊前記当該節点におそらくは関連する幾何学的データ
    （Const）と を格納する段階と、 − 前記網目の各節点に関して、前記節点とそのサテラ
    イト節点との実際座標の加重合計から得られた局所的粗
    さ指数（Ｒ（|k））を決める段階と、 − 各節点に関連する局所的粗さ指数の合計によって得
    られる全体的粗さ指数（Ｒ（））と、前記幾何学的デ
    ータの全体的な逸脱指数（ρ（））との合計（Ｒ
    ＊（））を決める段階と、 − 前記合計を最小化するように、各々の反復段階毎
    に、前記節点のサテライトの実際座標と該サテライトの
    サテライトの実際座標との加重組合せと、前記節点に関
    連する幾何学的データの組合せとが合計される反復的方
    法を用いて、その正確な座標を知ることができない節点
    各々の座標を調整する段階と、 − 各々の節点の調整された座標（▲x k▼，▲
    y k▼，▲z k▼）から前記表面の表示を作り出す段階と
    を有することを特徴とする方法。
  2. 【請求項２】前記表面が三角形を用いて網目化されるこ
    とを特徴とする請求項１に記載の方法。
  3. 【請求項３】前記調整段階が、前記節点と前記サテライ
    トとの３つの空間座標（▲x k▼，▲y k▼，▲
    z k▼）を別々に使用する、３つの別々の副次的段階を有
    することを特徴とする請求項１又は２に記載の方法。
  4. 【請求項４】前記幾何学的データが節点座標データ を含むことを特徴とする請求項１から３のいずれか一項
    に記載の方法。
  5. 【請求項５】前記幾何学的データが２つの所与の節点間
    のベクトル のデータを含むことを特徴とする請求項１から４のいず
    れか一項に記載の方法。
  6. 【請求項６】前記幾何学的データがモデル化されるべき
    表面に対して垂直なベクトル（）のデータを含むこと
    を特徴とする請求項１から５のいずれか一項に記載の方
    法。
  7. 【請求項７】前記幾何学的データの少なくとも幾つか
    が、前記データが知られている確実性の度合いを表示す
    る係数（w2 λ,w2 λμ）と関連付けられることと、前記
    データの逸脱指数が前記確実性の度合いをその中に組み
    込むこととを特徴とする請求項４から６のいずれか一項
    に記載の方法。
  8. 【請求項８】前記網目の少なくとも幾つかの節点の区域
    内の３次元物体の特性を測定する段階と、得られた測定
    値を当該の節点に固有のアドレス（Info）に格納する段
    階とを更に有することを特徴とする請求項１から７のい
    ずれか一項に記載の方法。
  9. 【請求項９】各々の局所的粗さ係数において、当該節点
    の重み付け（Ｖα（ｋ）：α＝ｋ）と重み付け（Ｖ
    α（ｋ）：α∈Λ（ｋ））との間の比率が、負の符号を
    付与された、前記節点のサテライトの数nkに等しいこと
    を特徴とする請求項１から８のいずれか一項に記載の方
    法。
  10. 【請求項１０】加重組合わせが同一の重み付けを使用す
    ることを特徴とする請求項９に記載の方法。
  11. 【請求項１１】前記局所的粗さ係数の合計が加重された
    合計であることを特徴とする請求項１から10のいずれか
    一項に記載の方法。
  12. 【請求項１２】前記加重組合わせが前記局所的粗さ係数
    に関連付けられた重み付けμ（ｋ）をも使用することを
    特徴とする請求項10と組み合わされた請求項11に記載の
    方法。
  13. 【請求項１３】前記表面が地質学的層群における異なっ
    た特性又は異なった種類の２つの区域を分ける１つの表
    面であることと、前記表面の表示が前記層群の地下資源
    の探査を最適化するために使用されることとを特徴とす
    る請求項１から12のいずれか一項に記載の方法。
  14. 【請求項１４】前記表面が、２次元物体に交差する１つ
    の平面の付近で前記２次元物体の特性の変化を表示し、
    前記特性が残りの次元によって表示されることと、前記
    表面の表示が前記層群の地下資源の探査又は開発を最適
    化するために使用されることとをを特徴とする請求項１
    から12のいずれか一項に記載の方法。
  15. 【請求項１５】前記表面の表示が平らな支持物の上のグ
    ラフィク表示であることを特徴とする請求項１から14の
    いずれか一項に記載の方法。
  16. 【請求項１６】前記表面の表示が３次元モデルであるこ
    とを特徴とする請求項１から14のいずれか一項に記載の
    方法。
  17. 【請求項１７】地質学的層群又は生体のような３次元物
    体内の、異なった種類の領域又は異なった特性を持つ２
    つの領域の間の境界面を表示する表面（Ｓ）をモデル化
    するための装置であって、該装置が、 − 前記表面に関する且つ前記表面上の個々の点に関連
    する幾何学的データの集合を、測定装置を用いて得るた
    めの手段と、 − 前記点の全てがその網目の節点の１つの部分集合で
    あるように、前記表面の網目化を行うための手段と、 − 前記網目の各々の節点毎に１つの特定のメモリアド
    レスに、次の諸データ、即ち ＊当該節点の座標（▲x k▼，▲y k▼，▲z k▼）
    と、 ＊当該節点のサテライト節点の数（nb−sat）と、 ＊前記サテライト節点の特定のアドレスと従って前記ア
    ドレスに関連するデータとへのアクセスを与えるデータ
    （Sat）と、 ＊前記当該節点におそらくは関連する幾何学的データ
    （Const）と を格納するための手段と、 − 各節点に関連付けられ且つ前記節点とそのサテライ
    トとの実際座標の加重合計からその各々が得られる局所
    的粗さ指数（Ｒ（|k））を合計することによって得ら
    れる全体的粗さ指数（Ｒ（））と、前記幾何学的デー
    タからの全体的な逸脱指数（ρ（））との合計（Ｒ＊
    （））を最小化するように、各々の反復段階毎に、前
    記節点のサテライトの実際座標と該サテライトのサテラ
    イトの実際座標との加重組合わせと、前記節点に関連し
    た幾何学的データの組合わせとが合計される反復的方法
    を用いて、その正確な座標が未知である節点各々の座標
    を調整するための計算手段と、 − 各々の節点の調整された座標から前記表面の表示を
    作り出すための手段とを有することを特徴とする装置。
JP02513303A 1989-09-20 1990-09-19 表面をモデル化するための方法と、この方法を実施するための装置 Expired - Lifetime JP3112931B2 (ja)

Applications Claiming Priority (2)

Application Number Priority Date Filing Date Title
FR8912341A FR2652180B1 (fr) 1989-09-20 1989-09-20 Procede de modelisation d'une surface et dispositif pour sa mise en óoeuvre.
FR89/12341 1989-09-20

Publications (2)

Publication Number Publication Date
JPH04501929A JPH04501929A (ja) 1992-04-02
JP3112931B2 true JP3112931B2 (ja) 2000-11-27

Family

ID=9385689

Family Applications (1)

Application Number Title Priority Date Filing Date
JP02513303A Expired - Lifetime JP3112931B2 (ja) 1989-09-20 1990-09-19 表面をモデル化するための方法と、この方法を実施するための装置

Country Status (9)

Country Link
US (1) US5465323A (ja)
EP (1) EP0444183B1 (ja)
JP (1) JP3112931B2 (ja)
AT (1) ATE129584T1 (ja)
CA (1) CA2042067C (ja)
DE (1) DE69023222T2 (ja)
FR (1) FR2652180B1 (ja)
NO (1) NO179427C (ja)
WO (1) WO1991004544A1 (ja)

Families Citing this family (88)

* Cited by examiner, † Cited by third party
Publication number Priority date Publication date Assignee Title
US5777608A (en) * 1989-03-10 1998-07-07 Board Of Regents, The University Of Texas System Apparatus and method for in-parallel scan-line graphics rendering using content-searchable memories
JPH05266146A (ja) * 1992-03-19 1993-10-15 Matsushita Electric Ind Co Ltd 物体形状の表現装置
US5724264A (en) 1993-07-16 1998-03-03 Immersion Human Interface Corp. Method and apparatus for tracking the position and orientation of a stylus and for digitizing a 3-D object
EP0641993B1 (en) * 1993-09-03 1999-06-30 Canon Kabushiki Kaisha Shape measuring apparatus
JPH0786556A (ja) * 1993-09-17 1995-03-31 Nec Corp 四面体分割方式
FR2725814B1 (fr) * 1994-10-18 1997-01-24 Inst Francais Du Petrole Methode pour cartographier par interpolation, un reseau de lignes, notamment la configuration de failles geologiques
US5594651A (en) * 1995-02-14 1997-01-14 St. Ville; James A. Method and apparatus for manufacturing objects having optimized response characteristics
US5844570A (en) * 1995-05-02 1998-12-01 Ames Research Laboratories Method and apparatus for generating digital map images of a uniform format
US6697748B1 (en) 1995-08-07 2004-02-24 Immersion Corporation Digitizing system and rotary table for determining 3-D geometry of an object
US5850229A (en) * 1995-12-15 1998-12-15 Raindrop Geomagic, Inc. Apparatus and method for geometric morphing
US6044170A (en) * 1996-03-21 2000-03-28 Real-Time Geometry Corporation System and method for rapid shape digitizing and adaptive mesh generation
FR2747490B1 (fr) * 1996-04-12 1998-05-22 Inst Francais Du Petrole Methode pour generer un maillage 3d respectant la geometrie d'un corps, dans le but de realiser un modele representatif de ce corps
US6024576A (en) * 1996-09-06 2000-02-15 Immersion Corporation Hemispherical, high bandwidth mechanical interface for computer systems
US5884219A (en) * 1996-10-10 1999-03-16 Ames Maps L.L.C. Moving map navigation system
US6199015B1 (en) 1996-10-10 2001-03-06 Ames Maps, L.L.C. Map-based navigation system with overlays
US5945996A (en) * 1996-10-16 1999-08-31 Real-Time Geometry Corporation System and method for rapidly generating an optimal mesh model of a 3D object or surface
US5886702A (en) * 1996-10-16 1999-03-23 Real-Time Geometry Corporation System and method for computer modeling of 3D objects or surfaces by mesh constructions having optimal quality characteristics and dynamic resolution capabilities
US6148034A (en) * 1996-12-05 2000-11-14 Linden Technology Limited Apparatus and method for determining video encoding motion compensation vectors
US5905657A (en) * 1996-12-19 1999-05-18 Schlumberger Technology Corporation Performing geoscience interpretation with simulated data
US6128577A (en) * 1996-12-19 2000-10-03 Schlumberger Technology Corporation Modeling geological structures and properties
US6052650A (en) * 1997-02-27 2000-04-18 Schlumberger Technology Corporation Enforcing consistency in geoscience models
US7920143B1 (en) * 1997-03-27 2011-04-05 At&T Intellectual Property Ii, L.P. Method for defining animation parameters for an animation definition interface
US6106561A (en) * 1997-06-23 2000-08-22 Schlumberger Technology Corporation Simulation gridding method and apparatus including a structured areal gridder adapted for use by a reservoir simulator
US6208347B1 (en) 1997-06-23 2001-03-27 Real-Time Geometry Corporation System and method for computer modeling of 3D objects and 2D images by mesh constructions that incorporate non-spatial data such as color or texture
US6246784B1 (en) * 1997-08-19 2001-06-12 The United States Of America As Represented By The Department Of Health And Human Services Method for segmenting medical images and detecting surface anomalies in anatomical structures
AU3991799A (en) 1998-05-14 1999-11-29 Metacreations Corporation Structured-light, triangulation-based three-dimensional digitizer
US6313837B1 (en) 1998-09-29 2001-11-06 Schlumberger Technology Corporation Modeling at more than one level of resolution
US6512516B1 (en) * 1998-10-05 2003-01-28 Mitsubishi Electric Research Laboratories, Inc. Voxel-based system to permit rapidly deforming volumetric objects made up of inhomogeneous material
US6195618B1 (en) 1998-10-15 2001-02-27 Microscribe, Llc Component position verification using a probe apparatus
US6504541B1 (en) * 1998-10-21 2003-01-07 Tele Atlas North America, Inc. Warping geometric objects
US6820043B2 (en) 1998-11-02 2004-11-16 T-Surf Corporation Modeling continuous properties on discontinuous surfaces
US6356263B2 (en) 1999-01-27 2002-03-12 Viewpoint Corporation Adaptive subdivision of mesh models
US6208939B1 (en) * 1999-07-13 2001-03-27 Monolith Co., Ltd. Topography information data processing method and apparatus based on manifold corresponding thereto
RU2305864C2 (ru) 1999-08-23 2007-09-10 ВИЛЛЕ Джеймс А. СТ. Система и способ изготовления
GB2374444B (en) 2000-01-06 2004-08-11 Schlumberger Holdings System and method for multi-resolution fairing of non-manifold models
US6980940B1 (en) * 2000-02-22 2005-12-27 Schlumberger Technology Corp. Intergrated reservoir optimization
FR2806194A1 (fr) * 2000-03-07 2001-09-14 Inst Nat Rech Inf Automat Traitement de donnees pour une construction perfectionnee d'images multidimensionnelles
US7065242B2 (en) * 2000-03-28 2006-06-20 Viewpoint Corporation System and method of three-dimensional image capture and modeling
US6370491B1 (en) * 2000-04-04 2002-04-09 Conoco, Inc. Method of modeling of faulting and fracturing in the earth
US6968299B1 (en) * 2000-04-14 2005-11-22 International Business Machines Corporation Method and apparatus for reconstructing a surface using a ball-pivoting algorithm
US6915243B1 (en) * 2000-08-25 2005-07-05 International Business Machines Corporation Surface topology and geometry reconstruction from wire-frame models
US6560540B2 (en) 2000-09-29 2003-05-06 Exxonmobil Upstream Research Company Method for mapping seismic attributes using neural networks
US6438493B1 (en) * 2000-09-29 2002-08-20 Exxonmobil Upstream Research Co. Method for seismic facies interpretation using textural analysis and neural networks
WO2002082352A1 (en) * 2001-04-03 2002-10-17 Conocophillips Company Method of modeling of faulting and fracturing in the earth
JP4584575B2 (ja) * 2001-07-06 2010-11-24 クゥアルコム・インコーポレイテッド ３ｄ画像に表示される３ｄサーフェイスとインタラクトする画像処理方法
US6662112B2 (en) 2001-08-31 2003-12-09 Exxonmobil Upstream Research Company Method for classifying AVO data using an interpreter-trained neural network
CN1295659C (zh) * 2001-12-29 2007-01-17 田捷 利用半边数据结构实现三维网格模型的简化方法
EP1394569B1 (fr) * 2002-08-26 2004-11-03 Total S.A. Procédé de calcul de réalisations maillées d'un réservoir
US7260250B2 (en) * 2002-09-30 2007-08-21 The United States Of America As Represented By The Secretary Of The Department Of Health And Human Services Computer-aided classification of anomalies in anatomical structures
GB2396448B (en) * 2002-12-21 2005-03-02 Schlumberger Holdings System and method for representing and processing and modeling subterranean surfaces
EP1376381A1 (en) * 2003-02-12 2004-01-02 Agilent Technologies Inc Method and system for data sampling
US7777740B2 (en) * 2003-02-20 2010-08-17 Binary Simplex, Inc. Spatial decomposition methods using bit manipulation
US8497860B2 (en) 2003-02-20 2013-07-30 Binary Simplex, Inc. Spatial decomposition methods using bit manipulation
US7266479B2 (en) * 2003-06-18 2007-09-04 Cadence Designs Systems, Inc. System and method for high-order accurate device model approximation
US7292247B2 (en) * 2004-01-26 2007-11-06 Microsoft Corporation Dynamically determining directions of freedom for control points used to represent graphical objects
US7136067B2 (en) * 2004-01-26 2006-11-14 Microsoft Corporation Using externally parameterizeable constraints in a font-hinting language to synthesize font variants
US7187382B2 (en) 2004-01-26 2007-03-06 Microsoft Corporation Iteratively solving constraints in a font-hinting language
US7236174B2 (en) * 2004-01-26 2007-06-26 Microsoft Corporation Adaptively filtering outlines of typographic characters to simplify representative control data
US7672818B2 (en) 2004-06-07 2010-03-02 Exxonmobil Upstream Research Company Method for solving implicit reservoir simulation matrix equation
US7386249B2 (en) * 2005-06-07 2008-06-10 Lexmark International, Inc. Roller with mechanical properties influenced by rotation
WO2007044277A2 (en) * 2005-10-04 2007-04-19 Aztec Ip Company, L.L.C. Parametrized material and performance properties based on virtual testing
CA2659020C (en) * 2006-06-21 2018-08-07 Terraspark Geosciences, L.P. Extraction of depositional systems
CN100399360C (zh) * 2006-08-22 2008-07-02 中国科学院计算技术研究所 一种三维人体模型的网格简化约束方法
US7894625B2 (en) * 2007-03-22 2011-02-22 The Procter & Gamble Company Method for developing three dimensional surface patterns for a papermaking belt
AU2008322505B9 (en) * 2007-11-14 2014-10-02 Cgg Jason (Netherlands) B.V. Seismic data processing
WO2009075945A1 (en) 2007-12-13 2009-06-18 Exxonmobil Upstream Research Company Parallel adaptive data partitioning on a reservoir simulation using an unstructured grid
EP2271952A4 (en) * 2008-04-11 2014-06-04 Terraspark Geosciences Llc VISUALIZATION OF GEOLOGICAL CHARACTERISTICS USING DATA PRESENTATIONS THEREOF
US9536022B1 (en) 2009-06-01 2017-01-03 Paradigm Sciences Ltd. Systems and methods for modeling faults in the subsurface
US8711140B1 (en) 2009-06-01 2014-04-29 Paradigm Sciences Ltd. Systems and methods for building axes, co-axes and paleo-geographic coordinates related to a stratified geological volume
US8600708B1 (en) 2009-06-01 2013-12-03 Paradigm Sciences Ltd. Systems and processes for building multiple equiprobable coherent geometrical models of the subsurface
US9418182B2 (en) 2009-06-01 2016-08-16 Paradigm Sciences Ltd. Systems and methods for building axes, co-axes and paleo-geographic coordinates related to a stratified geological volume
US8743115B1 (en) 2009-10-23 2014-06-03 Paradigm Sciences Ltd. Systems and methods for coordinated editing of seismic data in dual model
FR2979815B1 (fr) * 2011-09-14 2013-10-11 Anatomic Procede de determination d'une surface externe d'une partie femorale d'une prothese de genou
US10114134B2 (en) 2012-03-02 2018-10-30 Emerson Paradigm Holding Llc Systems and methods for generating a geological model honoring horizons and faults
US9759826B2 (en) 2012-04-03 2017-09-12 Paradigm Sciences Ltd. System and method for generating an implicit model of geological horizons
WO2014023737A2 (en) * 2012-08-08 2014-02-13 Total Sa Method for enhancing the determination of a seismic horizon
EP3418778B1 (en) 2013-03-15 2020-07-15 Emerson Paradigm Holding LLC Systems and methods to build sedimentary attributes
EP2869096B1 (en) 2013-10-29 2019-12-04 Emerson Paradigm Holding LLC Systems and methods of multi-scale meshing for geologic time modeling
GB201402643D0 (en) * 2014-02-14 2014-04-02 Univ Southampton A method of mapping images of human disease
US10422923B2 (en) 2014-03-28 2019-09-24 Emerson Paradigm Holding Llc Systems and methods for modeling fracture networks in reservoir volumes from microseismic events
US9690002B2 (en) 2015-06-18 2017-06-27 Paradigm Sciences Ltd. Device, system and method for geological-time refinement
US11154403B2 (en) 2015-12-03 2021-10-26 Rutgers, The State University Of New Jersey System and method for making personalized fibrocartilage implants
US10466388B2 (en) 2016-09-07 2019-11-05 Emerson Paradigm Holding Llc System and method for editing geological models by switching between volume-based models and surface-based structural models augmented with stratigraphic fiber bundles
CN109684674B (zh) * 2018-12-04 2023-05-05 中国航空工业集团公司西安飞机设计研究所 一种舱门气动载荷处理方法
US11156744B2 (en) 2019-01-10 2021-10-26 Emerson Paradigm Holding Llc Imaging a subsurface geological model at a past intermediate restoration time
US10520644B1 (en) 2019-01-10 2019-12-31 Emerson Paradigm Holding Llc Imaging a subsurface geological model at a past intermediate restoration time
CN110362913B (zh) * 2019-07-08 2023-05-02 李敏 基于Phi函数进行干涉计算的卫星组件布局优化设计方法
US20210240889A1 (en) * 2020-02-04 2021-08-05 Exxonmobil Upstream Research Company Discontinuous Interpolation Using Continuous Formulation, C1 or C0 FEM Discretization, and Scalable Solver

Family Cites Families (3)

* Cited by examiner, † Cited by third party
Publication number Priority date Publication date Assignee Title
CA1250064A (en) * 1985-03-29 1989-02-14 Kenichi Anjyo Method for constructing three-dimensional polyhedron model
IT1183790B (it) * 1985-04-03 1987-10-22 Cselt Centro Studi Lab Telecom Procedimento e apparecchiatura per la produzione di fibre ottiche per trasmissione nel medio infrarosso
US4930092A (en) * 1987-01-20 1990-05-29 Auto-Trol Technology Corporation Polygon display apparatus and method

Also Published As

Publication number Publication date
JPH04501929A (ja) 1992-04-02
NO179427B (no) 1996-06-24
NO911911D0 (no) 1991-05-16
FR2652180B1 (fr) 1991-12-27
FR2652180A1 (fr) 1991-03-22
CA2042067C (fr) 2001-05-15
WO1991004544A1 (fr) 1991-04-04
EP0444183B1 (fr) 1995-10-25
DE69023222D1 (de) 1995-11-30
ATE129584T1 (de) 1995-11-15
NO179427C (no) 1996-10-02
EP0444183A1 (fr) 1991-09-04
DE69023222T2 (de) 1996-10-24
NO911911L (no) 1991-07-19
US5465323A (en) 1995-11-07
CA2042067A1 (fr) 1991-03-21

Similar Documents

Publication Publication Date Title
JP3112931B2 (ja) 表面をモデル化するための方法と、この方法を実施するための装置
Zhu et al. Real‐time biomechanically‐based muscle volume deformation using FEM
Dick et al. A hexahedral multigrid approach for simulating cuts in deformable objects
Garcia et al. Automatic grid generation for modeling reservoir heterogeneities
US7711532B2 (en) Method for building a three dimensional cellular partition of a geological domain
RU2282242C2 (ru) Способ выравнивания решетки узлов в соответствии с характерными чертами в цифровом изображении
CN102057302A (zh) 二维地球物理数据的三维可视化
CN102057373A (zh) 虚拟石油系统
CA2816931A1 (en) Constructing geologic models from geologic concepts
CN102057303A (zh) 虚拟石油系统
CA2564156A1 (en) System and method for approximating an editable surface
Penninga et al. A tetrahedronized irregular network based DBMS approach for 3D topographic data modeling
Wolff et al. Distance fields on unstructured grids: Stable interpolation, assumed gradients, collision detection and gap function
Yoo et al. Shape reconstruction, shape manipulation, and direct generation of input data from point clouds for rapid prototyping
Euler et al. A new tool to seal a 3d earth model: a cut with constraints
Ng-Thow-Hing et al. Interactive display and animation of B-spline solids as muscle shape primitives
Natali et al. Rapid modelling of interactive geological illustrations with faults and compaction
Selimi et al. Computational geometry applications
Patel et al. Modeling terrains and subsurface geology
Wietzerbin et al. Parameterization of complex 3D heterogeneities: a new CAD approach
Prilepov et al. Cubic gradient-based material interfaces
Ju et al. Subdivision meshes for organizing spatial biomedical data
Tuohy et al. Non‐linear Data Representation for Ocean Exploration and Visualization
Klein et al. Mesh generation from boundary models with parametric face representation
Crouch Medial techniques for automating finite element analysis

Legal Events

Date Code Title Description
R250 Receipt of annual fees

Free format text: JAPANESE INTERMEDIATE CODE: R250

R250 Receipt of annual fees

Free format text: JAPANESE INTERMEDIATE CODE: R250

R250 Receipt of annual fees

Free format text: JAPANESE INTERMEDIATE CODE: R250

FPAY Renewal fee payment (event date is renewal date of database)

Free format text: PAYMENT UNTIL: 20070922

Year of fee payment: 7

FPAY Renewal fee payment (event date is renewal date of database)

Free format text: PAYMENT UNTIL: 20080922

Year of fee payment: 8

FPAY Renewal fee payment (event date is renewal date of database)

Free format text: PAYMENT UNTIL: 20090922

Year of fee payment: 9

FPAY Renewal fee payment (event date is renewal date of database)

Free format text: PAYMENT UNTIL: 20100922

Year of fee payment: 10

EXPY Cancellation because of completion of term