JP3021136B2 - ３次元シミュレーション方法 - Google Patents

Description

【発明の詳細な説明】

【０００１】

【産業上の利用分野】本発明は半導体装置の３次元空間
における３次元シミュレーション方法に関する。

【０００２】

【従来の技術】一般に、半導体装置の特性解析や評価の
ために半導体装置内の電位分布、電子分布及び正孔分布
等をコンピュータにより解析するデバイスシミュレーシ
ョン技術が公知である（例えばＳ．Ｓｅｌｂｅｒｈｅｒ
ｒ，“Ａｎａｌｙｓｙｓ ａｎｄ Ｓｉｍｕｌａｔｉｏ
ｎ ｏｆ Ｓｅｍｉｃｏｎｄｕｃｔｏｒ Ｄｅｖｉｃｅ
ｓ”，Ｓｐｒｉｎｇｅｒ−Ｖｅｒｅｌａｒ， １９８
４）。

【０００３】以下、従来のデバイスシミュレーション方
法について述べる。先ず、計算機に半導体装置を構成す
る絶縁膜および電極の形状、さらには電極に印加する電
圧あるいは半導体内部の不純物濃度分布に関するデータ
を入力する。次に、これらのデータおよび離散化用の格
子点生成情報に基づき数値解析用の格子点を形成し、各
格子点上での不純物濃度等を設定する。さらに、半導体
内部での電位分布を記述するポアソン方程式と、電子お
よび正孔の輸送現象を記述する輸送方程式との３つの基
本方程式を数値的に解く。最後に、求められた数値解を
記録し出力する。ここで、３つの基本方程式を解くには
１次元空間あるいは２次元空間で解くのが一般的であっ
た。

【０００４】ところが、近年の半導体装置の微細化にと
もない３次元空間で解く３次元デバイスシミュレーショ
ンの必要が生じたため、３次元デバイスシミュレーショ
ンを行う際に入力する３次元不純物濃度分布の算出方法
として、解析関数を用いる方法（例えば、 Ｍ．Ｔｈｕ
ｒｎｅｒ ｅｔ．ａｌ．，“Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ Ｔｒ
ｅａｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｎｏｎｒｅｃｔａｎｇｕｌａｒ
ｆｉｅｌｄ−ｏｘｉｄｅ ｆｏｒ ３Ｄ ＭＯＳＦＥ
Ｔ Ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ，”Ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ
ｏｆ Ｓｉｍｉｃｏｎｄｕｃｔｏｒ Ｄｅｖｉｃｅｓ
ａｎｄ Ｐｒｃｅｓｓｅｓ， ｖｏｌ．３，ｐ．３７
５， １９８８）および３次元プロセスシミュレータを
用いる方法（例えば、小田中他，ＳＭＡＲＴ：スーパー
コンピュータ上の３次元プロセス／デバイス統合化シミ
ュレータ，信学技報，ＳＤＭ８７−７６，ｐ．１７，
１９８７）が提案されている。

【０００５】

【発明が解決しようとする課題】然し乍ら、上述した従
来の解析関数による３次元不純物濃度の算出方法におい
ては、実際の半導体装置の製造プロセスに即した不純物
濃度を精度良くかつ高速に求めることが困難であるとい
う問題点があった。また、３次元プロセスシミュレータ
を用いる方法では、プロセスモデルの精度が悪いため、
高精度の不純物濃度が得られないと共に、３次元プロセ
スシミュレータは計算時間が長いという問題点があっ
た。

【０００６】本発明の目的は、上述した問題点に鑑み、
３次元不純物濃度の計算が高速にできると共に、実際の
半導体装置の製造プロセスに即した高精度な３次元不純
物濃度が得られる３次元シミュレーション方法を提供す
るものである。

【０００７】

【課題を解決するための手段】上述した目的を達成する
ため、第１の発明は、半導体内部の３次元不純物濃度分
布を用い、半導体装置の３次元空間における特性解析を
行う３次元シミュレーション方法において、上記半導体
装置の表面に対して垂直軸上に与えられた１次元の不純
物濃度分布と上記垂直軸から離れた点における１次元の
不純物濃度分布との比を表す重み関数を求め、上記垂直
軸上に与えられた１次元の不純物濃度分布と上記重み関
数とを上記半導体装置の表面における２次元マスク形状
を積分範囲として積分し、上記半導体装置内部の３次元
不純物濃度分布を算出し上記半導体装置の３次元空間に
おける特性解析を行うものである。このとき、２次元マ
スク形状が直線及び円弧により囲まれた領域により表さ
れる場合、上記２次元マスク形状を矩形、３角形および
扇形に分割し、分割された矩形、３角形および扇形の積
分範囲についてそれぞれ積分を実行するものである。

【０００８】また、第２の発明は、上記半導体装置の特
性解析のための３次元シミュレーション方法において、
２次元マスク形状を積分範囲とする二重積分をより高速
かる高精度に行うものである。すなわち、２変数関数ｆ
（ｘ―ｘ_０、ｙ―ｙ_０）で表わされる重み関数を用い、
該関数ｆ（ｘ―ｘ_０、ｙ―ｙ_０）は、二重積分を行う領
域が長方形であればｘ_０、ｙ_０についての二重積分を解
析的に行うことができるが、長方形以外の任意の形状の
領域の場合には、ｘ_０、ｙ_０についての二重積分を解析
的に行うことができないという性質を有する。さらに、
前記２次元マスク形状を積分範囲として二重積分するス
テップにおいて、積分領域Ｓを複数個の長方形に分割で
きる場合は複数個の長方形に分割し、複数個の長方形に
分割できない場合は少なくともひとつの直角三角形と少
なくともひとつの長方形に分割する。少なくともひとつ
の三角形が発生した場合は、ｉ番目の直角三角形の直角
の対辺の座標を中心にして、該直角三角形内部の座標
（ｘ、ｙ）と対称な位置の座標（ｘ’、ｙ’）を求め、
ｉ番目の直角三角形の直角をはさむ２辺を辺とした仮想
的な長方形領域で上記関数ｆ（ｘ―ｘ_０、ｙ―ｙ_０）を
ｘ_０、ｙ_０について二重積分した数値Ｃｉ（ｘ、ｙ）を
解析的に求める。次いで、前記ｉ番目の直角三角形の領
域において関数ｆ（ｘ―ｘ_０、ｙ―ｙ_０）をｘ_０、ｙ_０
についての二重積分した数値をＢｉ（ｘ、ｙ）、座標
（ｘ’、ｙ’）において関数ｆ（ｘ’―ｘ _０ 、ｙ’―ｙ
_０ ）をｘ _０ 、ｙ _０ についての二重積分した数値をＢｉ
（ｘ’、ｙ’）とおいたときの、Ｂｉ（ｘ、ｙ）のＢｉ
（ｘ’、ｙ’）に対する比 Ｒ＝ Ｂｉ（ｘ、ｙ）／Ｂｉ（ｘ’、ｙ’） を近似的に求める。前記数値Ｃｉ（ｘ、ｙ）と比Ｒとに
基づき、前記分割の結果生じたすべての直角三角形につ
いて数値Ｂｉ（ｘ、ｙ）を Ｂｉ（ｘ、ｙ）＝Ｃｉ（ｘ、ｙ）＊Ｒ／（１＋Ｒ） という演算によって近似的に求める。さらに、前記分割
の結果生じた長方形のうちｊ番目の長方形の領域におい
てて関数ｆ（ｘ’―ｘ_０、ｙ’―ｙ_０）をｘ_０、ｙ_０に
ついての二重積分した数値Ｄｊ（ｘ、ｙ）を解析的に求
める演算をすべての長方形について行い、前記すべての
直角三角形および長方形についての二重積分値Ｂｉ
（ｘ、ｙ）およびＤｊ（ｘ、ｙ）の総和を求める。これ
により、積分領域Ｓ全体にわたって関数ｆ（ｘ―ｘ_０、
ｙ―ｙ_０）をｘ_０、ｙ_０についての二重積分した数値Ａ
（ｘ、ｙ）をより速く正確に求めることができる。

【０００９】

【作用】第１の発明においては、垂直軸上の１次元濃度
分布と重み関数とを２次元マスク形状を積分範囲として
積分するので、実際の半導体装置の製造プロセスに即し
た高精度な３次元不純物濃度分布が高速に算出される。
さらに、算出された３次元不純物濃度分布により、半導
体装置の３次元空間における特性解析が高精度かつ高速
に行える。また、２次元マスク形状が直線及び円弧によ
り囲まれた領域により表される場合は、この２次元マス
ク形状を矩形、３角形および扇形に分割し、分割された
形状を積分範囲として各形状毎に積分を行うので、計算
が容易になり、計算速度が向上する。

【００１０】また、第２の発明においては、比の値Ｒの
演算と仮想的な長方形で積分した場合の積分値の演算
と、それらの和積商の演算で計算できる。長方形の領域
での積分は解析的に求められる場合を扱っているので、
その式が複雑なものであっても、数値積分を行うよりは
高速である。また、長方形の領域での積分が解析的に求
められるということは、半無限大平面での積分も解析的
に行えることを意味するので、容易に比の値Ｒを演算で
きる。

【００１１】

【実施例】

第１の発明 以下、第１の発明の３次元シミュレーション方法に係わ
る一実施例を図１乃至図４に基づいて説明する。

【００１２】図１は半導体装置（図示略す）の表面に対
する垂直軸上に与えられた１次元不純物濃度分布及び積
分範囲を表す形状を示す鳥瞰図である。同図において、
積分範囲Ｓはｘ，ｙ方向の２次元形状である。ここで示
す形状とは、半導体装置を製造する際に用いられるフォ
トマスクにより、半導体表面が細かく分割される形状を
いう。Ｃ₁ （ｚ）はｚ方向、つまり積分範囲Ｓに対する
垂直軸１（深さ方向）上に与えられた１次元不純物濃度
分布である。

【００１３】図２は３次元不純物濃度分布の計算手順を
示すフローチャートである。同図によれば、先ず、垂直
軸１上に与えられた１次元の不純物濃度分布が入力され
る（ステップ１０１）。

【００１４】その後、３次元不純物濃度分布を求めると
きの積分範囲Ｓを表す半導体装置の表面における形状が
入力される（ステップ１０３）。

【００１５】次に、入力された積分範囲Ｓを表す形状
が、矩形、３角形および扇形に分割される（ステップ１
０５）。即ち、図３（Ａ）に示す形状の積分範囲Ｓを、
図３（Ｂ）に示すように、２つの矩形Ｓ１及びＳ２、１
つの３角形Ｓ３、１つの扇形Ｓ４の積分範囲に分割す
る。続いて、分割された積分範囲Ｓ１，Ｓ２，Ｓ３，Ｓ
４のうち１つが取り出される（ステップ１０７）。

【００１６】さらに、矩形か３角形か扇形であるかによ
って分岐される（ステップ１０９）。しかる後、分割さ
れ取り出された積分範囲Ｓ１，Ｓ２，Ｓ３，Ｓ４毎に３
次元不純物濃度分布が次式（１）により計算される。

【００１７】

【数１】

【００１８】なお、ここで、座標軸ｘ，ｙは半導体装置
の表面に対して平行方向にとられ、座標軸ｚは半導体装
置の表面に対して垂直にとられている。そして、Ｃ
₃ （ｘ，ｙ，ｚ）は、算出される３次元不純物濃度分布
を示し、Ｃ₁ （ｚ）は、垂直軸１上の１次元不純物濃度
分布を示す。さらに、積分範囲Ｓは矩形、３角形または
扇形であり、ｗは垂直軸１上に１次元不純物濃度分布Ｃ
₁ （ｚ）を与えたときに、この不純物濃度Ｃ₁ （ｚ）が
半導体装置の表面に対して平行方向に広がる距離を表す
パラメータである。ｅｘｐで示される関数は、垂直軸１
上の１次元不純物濃度分布Ｃ₁ （ｚ）との比を表す重み
関数である。

【００１９】そして、矩形の積分範囲Ｓ１，Ｓ２の場合
は、上式（１）で示した積分は次式（２）により解析的
に求められる（ステップ１１１）。

【００２０】

【数２】

【００２１】ここで、ａ，ｂは積分区間が矩形で表され
たときのｘ軸、ｙ軸方向の辺の長さであり、ｅｒｆは誤
差関数である。

【００２２】一方、３角形の積分範囲Ｓ３の場合は、上
式（１）で示した２重積分が１回の積分でできる。つま
り、分割された３角形は直角３角形であるので、積分は
次式（３）で表される。

【００２３】

【数３】

【００２４】ここで、直角をなす頂点を原点とし、直角
をはさむ２辺をｘ軸、ｙ軸とした。また、ｘ軸上、ｙ軸
上の辺の長さをそれぞれａ，ｂとした。なお、今回の実
施例では積分範囲Ｓ３は直角３角形の場合を示したが、
任意の３角形においても同様の積分が実行できる。ある
いは任意の３角形を２個の直角３角形に分割し、上記積
分を実行しても良い。

【００２５】上式（３）で表した積分は解析的な計算が
行えないので、被積分関数（ｅｘｐとｅｒｆの積）に現
れるガウス関数（ｅｘｐ）および誤差関数（ｅｒｆ）を
有理関数で近似する（例えば、数学公式Ｉ、岩波新
書）。これにより、積分を実行することができるように
なる（ステップ１１３）。この方法を用いることによ
り、計算精度を与えることによってその精度内で一致す
る近似関数を求めることができる。

【００２６】その後、積分は解析的に計算され、与えら
れた精度内での積分計算が正確かつ高速に実行される
（ステップ１１５）。なお、本実施例では、被積分関数
を有理関数で近似した後、積分を行ったが、計算精度お
よび計算時間が問題にならない場合には数値積分により
計算を行ってもよい。

【００２７】さらに、扇形の積分範囲Ｓ４の場合は、上
式（１）で示した２重積分が１回の積分でできる。この
積分は円柱座標（ｘ＝ｒ・ｃｏｓθ，ｙ＝ｒ・ｓｉｎ
θ，ｚ＝ｚ）で書き表した場合次式（４）で表される。

【００２８】

【数４】

【００２９】ここで、扇形の中心を原点とし、半径を
ａ、２辺のはさむ角をαとした。上式（４）で表した積
分は解析的な計算が行えないので、３角形の場合と同様
に被積分関数を有理関数で近似して積分を実行する。あ
るいは、数値積分を行ってもよい。

【００３０】続いて、矩形、３角形および扇形のそれぞ
れについて求めた積分の和がとられ、３次元不純物濃度
分布が得られる（ステップ１１７）。そして、取り出さ
れた積分範囲Ｓ１，Ｓ２，Ｓ３，Ｓ４について３次元不
純物濃度分布が算出されると、分割された積分範囲Ｓが
他に存在するか否かが判断される（ステップ１１９）。
この結果、他に積分範囲Ｓが存在する場合は、ステップ
１０７乃至ステップ１１７が繰り返される。

【００３１】さらに、垂直軸１に与えられた１次元の不
純物濃度分布および積分範囲Ｓを表す形状が存在する場
合は、ステップ１０１乃至ステップ１１９が繰り返され
る（ステップ１２１）。斯くして、算出された３次元不
純物濃度分布を３次元デバイスシミュレータに入力する
ことにより、半導体装置の特性解析が行われる。

【００３２】図４は半導体装置の表面における３次元不
純物濃度分布の等濃度線図である。同図によれば、積分
範囲Ｓを表す形状の周囲に複数本の３次元不純物濃度分
布Ｃ₃ （ｘ，ｙ，ｚ）の等濃度線が示されている。

【００３３】本実施例では、垂直軸１上に与えられた１
次元の不純物濃度分布は１次元プロセスシミュレーショ
ンの結果を用いたが、実際に製造された半導体装置につ
いてその表面から垂直方向に測定した不純物濃度を用い
てもよい。また、１次元不純物濃度および積分範囲を表
す形状の組は、１組のみに限定されるものではなく、半
導体装置の形状が複雑になった場合には、濃度分布およ
び積分区間の組を複数組入力し、各組により求められる
３次元不純物濃度分布の総和を求めてもよい。 第２の発明 第１の発明では、三角形の領域における積分を有理関数
で近似していた。このとき、必要な精度が得られない場
合があるという欠点がある。また、数値積分を用いる
と、膨大な処理時間がかかるという欠点がある。そこ
で、三角形領域における積分を、数値積分を用いずに行
って、高速かつ高精度に求める方法を第２の発明として
以下に説明する。

【００３４】第２の発明による基本的な演算フローチャ
ートを図５に示す。今回の実施例では、パターンニング
されたレジストにより一部がマスクされている真性半導
体基板に不純物をイオン注入し、さらに熱拡散を行った
後の不純物の３次元密度分布を計算する場合を例にとっ
て説明する。レジストが図６に示すようにパターンニン
グされているとすると、不純物密度Ｎ（ｘ，ｙ，ｚ）は
式（５）により近似的に与えられることが知られてい
る。

【００３５】 Ｎ（ｘ，ｙ，ｚ）＝π^-1Ｗ^-2Ｎ_MAX ｅｘｐ（−ｚ² ／Ｗ² ） ×∬ｅｘｐ［−（ｘ−ｘ₀ ）² ／Ｗ² −（ｙ−ｙ₀ ）² ／Ｗ² ］ｄｘ₀ ｄｙ₀ …（５） Ｎ_MAX ，Ｗはイオン注入のエネルギー、熱拡散の温度・
時間などによって決まるパラメータである。

【００３６】式（５）において、ｅｘｐ［-(ｘ−ｘ₀ ）
² ／Ｗ² −（ｙ−ｙ₀ ）² ／Ｗ² ］が、２変数関数ｆ
（ｘ−ｘ₀ ，ｙ−ｙ₀ ）であり、∬ｅｘｐ［−（ｘ−ｘ
₀ ）² ／Ｗ² −（ｙ−ｙ₀ ）² ／Ｗ² ］ｄｘ₀ ｄｙ₀ が
二重積分して得られる関数Ａ（ｘ，ｙ）である。

【００３７】積分はレジストによりマスクされていない
領域Ｓについて行う。式（５）は一般には解析的に求め
ることはできない。図６（Ａ）のレジストでマスクされ
ていない領域Ｓを長方形と直角三角形に分割すると図７
が得られる。図８に示す長方形のマスクについて式
（５）を積分すると式（６）が得られる。

【００３８】

【数５】

【００３９】式（６）において、｛ｅｒｆｃ［（ｘ−
ａ）／Ｗ］−ｅｒｆｃ（ｘ／Ｗ）｝×｛ｅｒｆｃ［（ｙ
−ｂ）／Ｗ］−ｅｒｆｃ（ｙ／Ｗ）｝が、二重積分した
数値Ｃ_i （ｘ，ｙ）あるいはＤ_j （ｘ，ｙ）に相当す
る。

【００４０】図９のような長方形の場合は式（６）を座
標変換することにより解析的に計算できる。図１０に示
す直角三角形のマスクについて式（５）の積分を行うと
式（７）のようになり、ｙ₀ についての積分は解析的に
行えない。

【００４１】

【数６】

【００４２】式（７）において、

【００４３】

【数７】

【００４４】が、数値Ｂ_i （ｘ，ｙ）に相当する。第２
の発明を用いて、図１０に示した直角三角形のマスクに
ついて、Ｎ_MAX ＝１０²⁰cm^-3，Ｗ＝０．２μｍ，ａ＝ｂ
＝２μｍとしてＮ（ｘ，ｙ，０）を計算した結果が図１
１，１２である。

【００４５】比Ｒは次のようにして求めたものを用い
た。 関数ｆ（ｘ−ｘ₀ ，ｙ−ｙ₀ ） ＝π^-1Ｗ^-2Ｎ_MAX ｅｘｐ［−（ｘ−ｘ₀ ）² ／Ｗ² −（ｙ−ｙ₀ ）² ／Ｗ² ］ を、ｘ₀ が正である半無限大平面ｘ₀ ，ｙ₀ で積分して
関数Ｅ（ｘ）を求めると、

【００４６】

【数８】

【００４７】であるから、比Ｒは

【００４８】

【数９】

【００４９】Ｆ，Ｆ’はそれぞれ直角三角形の辺と座標
（ｘ，ｙ）、（ｘ’，ｙ’）との最近接距離 複合はそれぞれについて座標が直角三角形の内部であれ
ば上側を、そうでない場合は下側をとるという式によっ
て求められる。

【００５０】また、図１０の場合のように直角が原点に
あり、直角をはさむ二辺がｘ軸，ｙ軸上にあるのではな
い一般の直角三角形の場合については座標変換によっ
て、本実施例と同様に演算を行うことができる。以上の
処理を用いて、マスクされていない領域Ｓを分割した長
方形、直角三角形のそれぞれの領域について（ｘ，ｙ，
ｚ）での不純物密度を求めて、これらの数値を加算する
と、図６のような形状のマスクについての不純物密度を
求めることができる。

【００５１】第２発明の高速性を示すために、式（７）
をシンプソンの公式を用いて従来の数値積分法によって
計算した結果が図１３，１４である。本発明を用いた計
算結果である図１１，１２は従来の方法を用いた図１
３，１４とほぼ一致している。図１１〜１４はそれぞれ
４６×４６点の計算結果であるが、エンジニアリングワ
ークステーションＡＳ４３７０を用いたときの計算時間
は、第２の発明を用いた場合（図１１，１２）の計算に
要した時間は３秒であったが、数値積分を用いた場合
（図１３，１４）に要した計算時間は１４分であった。
本発明によって、従来よりおよそ３００倍高速に演算処
理を行えたことがわかる。

【００５２】

【発明の効果】以上説明したように第１の発明によれ
ば、垂直軸上の１次元濃度分布と、重み関数と、これら
の積の積分範囲を表わす２次元マスク形状とから３次元
不純物濃度を算出するので、実際の半導体装置の製造プ
ロセスに即した高精度な３次元不純物濃度が高速に算出
できる。さらに、算出された３次元不純物濃度により半
導体装置の特性解析を高精度かつ高速に行うことができ
る。また、２次元マスク形状を矩形、３角形および扇形
に分割し、分割された形状を積分範囲として各形状毎に
積分を行うので、計算が容易となり、計算速度が向上で
きる。

【００５３】また、第２の発明によれば、数値積分を行
った場合よりも高速に三角形領域の積分演算を近似的に
行うことが可能になる。

【図面の簡単な説明】

【図１】第１の発明の垂直軸上の１次元不純物濃度分布
及び積分範囲を表わすマスク形状を示す鳥瞰図である。

【図２】第１の発明の３次元不純物濃度分布の計算処理
を示すフローチャートである。

【図３】第１の発明の積分範囲を表わす形状を示す図で
ある。

【図４】第１の発明の３次元不純物濃度分布の等濃度線
図である。

【図５】第２の発明における関数ｆ（ｘ−ｘ₀ ，ｙ−ｙ
₀ ）をｘ₀ −ｙ₀ 平面の領域Ｓでｘ₀ ，ｙ₀について二
重積分した数値Ｂ（ｘ，ｙ）を求めるフローチャートで
ある。

【図６】第２の発明におけるパターンニングされたレジ
スタにより一部がマスクされたシリコン基板（（Ａ）上
面図、（Ｂ）Ａ−Ａ’で切断した断面図）である。

【図７】図６に示したマスクされていない領域を長方形
と直角三角形に分割した図形である。

【図８】第２の発明における解析的に積分が行える積分
領域を説明するための、一つの角が原点にあり、辺がｘ
軸，ｙ軸に平行な長方形である。

【図９】第２の発明における解析的に積分が行える積分
領域を説明するための一般的な長方形である。

【図１０】第２の発明における直角が原点にあり、直角
をはさむ辺がｘ軸，ｙ軸にある直角三角形の積分領域で
ある。

【図１１】第２の発明を用いて計算した不純物濃度の立
体図である。

【図１２】第２の発明を用いて計算した不純物濃度の等
高線図である。

【図１３】従来の方法であるシンプソンの公式による数
値積分によって計算した不純物濃度の立体図である。

【図１４】従来の方法であるシンプソンの公式による数
値積分によって計算した不純物濃度の等高線図である。

【符号の説明】

１ 垂直軸 Ｓ，Ｓ１，Ｓ２，Ｓ３，Ｓ４ 積分範囲 Ｃ₁ （ｚ） １次元不純物濃度分布 Ｃ₃ （ｘ，ｙ，ｚ） ３次元不純物濃度分布 １１ レジスト １３ シリコン基板

───────────────────────────────────────────────────── フロントページの続き (58)調査した分野(Int.Cl.⁷，ＤＢ名) G06F 17/50 H01L 21/66 ＪＩＣＳＴファイル（ＪＯＩＳ)

Claims (3)

(57)【特許請求の範囲】
1. 【請求項１】 半導体装置の表面に対して垂直軸上に与
   えられた１次元の不純物濃度分布と上記垂直軸から離れ
   た点における１次元の不純物濃度分布との比を表わす重
   み関数を求めるステップと、 上記垂直軸上に与えられた１次元の不純物濃度分布と上
   記重み関数とを、上記半導体装置の表面における２次元
   マスク形状を積分範囲として二重積分するステップと、 上記二重積分の結果に基づいて上記半導体装置内部の３
   次元不純物濃度分布を算出するステップと、 上記３次元不純物濃度分布を用いて、上記半導体装置の
   ３次元空間における特性解析を行うステップと を含むこ
   とを特徴とする半導体装置の特性解析のための３次元シ
   ミュレーション方法。
2. 【請求項２】前記重み関数は、２変数関数ｆ（ｘ―
   ｘ_０、ｙ―ｙ_０）で表わされ、該関数ｆ（ｘ―ｘ_０、ｙ
   ―ｙ_０）は、二重積分を行う積分領域Ｓが長方形であれ
   ばｘ_０、ｙ_０についての二重積分を解析的に行うことが
   できるが、長方形以外の任意の形状の領域の場合には、
   ｘ_０、ｙ_０についての二重積分を解析的に行うことがで
   きないという性質を有し、前記２次元マスク形状を積分範囲として二重積分するス
   テップは、 前記積分領域Ｓを複数個の長方形に分割できる場合は複
   数個の長方形に分割し、複数個の長方形に分割できない
   場合は少なくともひとつの直角三角形と少なくともひと
   つの長方形に分割するステップと、 少なくともひとつの三角形が発生した場合は、 ｉ番目の
   直角三角形の直角の対辺の座標を中心にして、該直角三
   角形内部の座標（ｘ、ｙ）と対称な位置の座標（ｘ’、
   ｙ’）を求め、ｉ番目の直角三角形の直角をはさむ２辺
   を辺とした仮想的な長方形領域で上記関数ｆ（ｘ―
   ｘ_０、ｙ―ｙ_０）をｘ_０、ｙ_０について二重積分した数
   値Ｃｉ（ｘ、ｙ）を解析的に求めるステップと、 前記ｉ番目の直角三角形の領域において関数ｆ（ｘ―ｘ
   _０、ｙ―ｙ_０）をｘ_０、ｙ_０についての二重積分した数
   値をＢｉ（ｘ、ｙ）、座標（ｘ’、ｙ’）において関数
   ｆ（ｘ’―ｘ _０ 、ｙ’―ｙ _０ ）をｘ _０ 、ｙ _０ についての
   二重積分した数値をＢｉ（ｘ’、ｙ’）とおいたとき
   の、Ｂｉ（ｘ、ｙ）のＢｉ（ｘ’、ｙ’）に対する比 Ｒ＝ Ｂｉ（ｘ、ｙ）／Ｂｉ（ｘ’、ｙ’） を近似的に求めるステップと、前記数値Ｃｉ（ｘ、ｙ）と比Ｒとに基づき、 前記分割の
   結果生じたすべての直角三角形について数値Ｂｉ（ｘ、
   ｙ）を Ｂｉ（ｘ、ｙ）＝Ｃｉ（ｘ、ｙ）＊Ｒ／（１＋Ｒ） という演算によって近似的に求めるステップと、 前記分割の結果生じた長方形のうちｊ番目の長方形の領
   域においてて関数ｆ（ｘ’―ｘ_０、ｙ’―ｙ_０）を
   ｘ_０、ｙ_０についての二重積分した数値Ｄｊ（ｘ、ｙ）
   を解析的に求める演算をすべての長方形について行うス
   テップと、 前記すべての直角三角形および長方形についての二重積
   分値Ｂｉ（ｘ、ｙ）およびＤｊ（ｘ、ｙ）の総和を求め
   るステップと を含むことを特徴とする請求項１に記載の
   ３次元シミュレーション方法。
3. 【請求項３】 前記Ｂｉ（ｘ、ｙ）のＢｉ（ｘ’、
   ｙ’）に対する比Ｒを求めるステップは、 関数ｆ（ｘ―ｘ_０、ｙ―ｙ_０）をｘ_０が正である半無限
   大平面領域でｘ_０、ｙ_０について二重積分した関数をＥ
   （ｘ）とおいたとき、座標（ｘ、ｙ）と（ｘ’、ｙ’）
   のそれぞれについて、ｉ番目の直角三角形の内部である
   かどうか、または外部であるかの判断を行うステップ
   と、 座標（ｘ、ｙ）と（ｘ’、ｙ’）のそれぞれについて、
   前記ｉ番目の直角三角形の辺との最近接距離Ｆ、Ｆ’を
   演算するステップと、 前記比Ｒを という演算によって近似的に求めるステップと を含み、
   前記±Ｆの複号は座標（ｘ、ｙ）が前記ｉ番目の直角三
   角形の内部にある場合はプラスを、そうでない場合はマ
   イナスをとり、±Ｆ’の複号は座標（ｘ’、ｙ’）がｉ
   番目の直角三角形の内部にある場合はプラスを、そうで
   ない場合はマイナスをとることを特徴とする請求項２に
   記載の３次元シミュレーション方法。