JP2022172964A - エネルギーの微分又は非断熱結合を求めるための量子情報処理方法、古典コンピュータ、量子コンピュータ、ハイブリッドシステム、及び量子情報処理プログラム - Google Patents

Abstract

【課題】量子コンピュータを用いてＳＡ‐ＯＯの計算を実行する際にもエネルギーの微分値又は非断熱結合の値を得ることができるようにする。【解決手段】古典コンピュータ１１０が、第１目的関数を設定する。古典コンピュータ１１０が、第１目的関数を最小化するような量子回路Ｕ＾（θ）の回路パラメータθ＊を計算する。古典コンピュータ１１０が、回路パラメータθ＊を定数として持ち、かつ軌道パラメータκを変数として持つ第２目的関数を設定する。古典コンピュータ１１０が、第２目的関数を最小化するような軌道パラメータκ＊を計算する。量子コンピュータ１２０が、量子回路Ｕ＾（θ＊）及びハミルトニアンＨ＾（ｘ，κ＊）の位置パラメータｘによる微分を含む期待値を量子測定し、量子測定の測定結果を取得する。古典コンピュータ１１０が、量子測定の測定結果に基づいて、ハミルトニアンＨ＾（ｘ）に対応するエネルギーの微分を計算する。【選択図】図１

Description

開示の技術は、エネルギーの微分又は非断熱結合を求めるための量子情報処理方法、古典コンピュータ、量子コンピュータ、ハイブリッドシステム、及び量子情報処理プログラムに関する。

従来、量子化学分野において、State-Averaged Orbital-Optimization（以下、単に「ＳＡ‐ＯＯ」と称する。）という手法が知られている（例えば、非特許文献１を参照）。ＳＡ‐ＯＯの計算を実行することにより、分子中の電子の複数のエネルギーの固有状態を得ることができる。非特許文献１には、量子コンピュータを用いてＳＡ‐ＯＯの計算を実行する手法が開示されている。

S. Yalouz, B. Senjean, J. Gunther, F. Buda, T. E. O'Brien, and L. Visscher, A state-averaged orbital-optimized hybrid quantum-classical algorithm for a democratic description of ground and excited states, (2021), Quantum Science and Technology, Volume 6, Number 2

量子コンピュータを用いてＳＡ‐ＯＯの計算を実行すると、基底状態及び励起状態に対応するエネルギーを得ることが可能となる。しかし、量子化学分野においては、エネルギー値そのものだけでなくエネルギーの微分値も得られることが好ましい。さらに、分子または物質の性質を解析する際の重要な物理量の一つとして非断熱結合が知られている。量子化学分野においては、この非断熱結合の値も得られることが好ましい。これに対し、上記非特許文献１では、エネルギーの微分及び非断熱結合の導出については考慮されていない。

開示の技術は、上記の事情を鑑みてなされたものであり、量子コンピュータを用いてＳＡ‐ＯＯの計算を実行する際にもエネルギーの微分値又は非断熱結合の値を得ることができる、量子情報処理方法、古典コンピュータ、量子コンピュータ、ハイブリッドシステム、及び量子情報処理プログラムを提供することを目的とする。

上記の目的を達成するために本開示の第１態様の量子情報処理方法は、古典コンピュータと量子コンピュータとを含むハイブリッドシステムが実行する量子情報処理方法であって、古典コンピュータが、分子の原子核の位置を表す位置パラメータｘを変数として持つハミルトニアンＨ＾（ｘ）を計算し、分子軌道に関するパラメータである軌道パラメータκを変数として持つ演算子であって、かつ分子軌道の回転を表す演算子である軌道回転演算子Ｕ＾_ＯＯ（κ）を決定し、量子回路のパラメータである回路パラメータθを変数として持つ量子回路Ｕ＾（θ）を決定し、前記ハミルトニアンＨ＾（ｘ）に対して軌道回転と活性空間への射影とを行うことにより、ハミルトニアンＨ＾（ｘ，κ）を生成し、前記回路パラメータθを変数として持つ第１目的関数を設定し、古典コンピュータと量子コンピュータとの間の繰り返し計算により、古典コンピュータが、量子コンピュータによる量子測定の測定結果に基づいて、前記第１目的関数を最小化又は最大化するような前記量子回路Ｕ＾（θ）の前記回路パラメータθ^＊を計算し、古典コンピュータが、前記回路パラメータθ^＊を定数として持ち、かつ前記軌道パラメータκを変数として持つ目的関数である第２目的関数を設定し、古典コンピュータが、量子コンピュータによる量子測定の測定結果に基づいて、前記第２目的関数を最小化又は最大化するような前記軌道パラメータκ^＊を計算し、量子コンピュータが、前記回路パラメータθ^＊と前記軌道パラメータκ^＊とに基づいて、前記量子回路Ｕ＾（θ^＊）及び前記ハミルトニアンＨ＾（ｘ，κ^＊）の前記位置パラメータｘによる微分を含む期待値を量子測定することにより、前記量子測定の測定結果を取得し、古典コンピュータが、前記量子測定の測定結果に基づいて、前記ハミルトニアンＨ＾（ｘ）に対応するエネルギーの微分を計算する、処理を含む量子情報処理方法である。

本開示の第２態様の量子情報処理方法は、古典コンピュータと量子コンピュータとを含むハイブリッドシステムが実行する量子情報処理方法であって、古典コンピュータが、分子の原子核の位置を表す位置パラメータｘを変数として持つハミルトニアンＨ＾（ｘ）を計算し、分子軌道に関するパラメータである軌道パラメータκを変数として持つ演算子であって、かつ分子軌道の回転を表す演算子である軌道回転演算子Ｕ＾_ＯＯ（κ）を決定し、量子回路のパラメータである回路パラメータθを変数として持つ量子回路Ｕ＾（θ）を決定し、前記ハミルトニアンＨ＾（ｘ）に対して軌道回転と活性空間への射影とを行うことにより、ハミルトニアンＨ＾（ｘ，κ）を生成し、前記回路パラメータθを変数として持つ第１目的関数を設定し、古典コンピュータと量子コンピュータとの間の繰り返し計算により、古典コンピュータが、量子コンピュータによる量子測定の測定結果に基づいて、量子コンピュータが、前記第１目的関数を最小化又は最大化するような前記量子回路Ｕ＾（θ）の前記回路パラメータθ^＊を計算し、古典コンピュータが、前記回路パラメータθ^＊を定数として持ち、かつ前記軌道パラメータκを変数として持つ目的関数である第２目的関数を設定し、古典コンピュータが、量子コンピュータによる量子測定の測定結果に基づいて、量子コンピュータが、前記第２目的関数を最小化又は最大化するような前記軌道パラメータκ^＊を計算し、量子コンピュータが、前記回路パラメータθ^＊と前記軌道パラメータκ^＊とに基づいて、前記量子回路Ｕ＾（θ^＊）及び前記軌道回転演算子Ｕ＾_ＯＯ（κ^＊）の前記位置パラメータｘによる微分を含む期待値を量子測定することにより、前記量子測定の測定結果を取得し、古典コンピュータが、前記量子測定の測定結果に基づいて、非断熱結合の値を計算する、処理を含む量子情報処理方法である。

開示の技術によれば、量子コンピュータを用いてＳＡ‐ＯＯの計算を実行する際にエネルギーの微分値を得ることができる、という効果が得られる。また、開示の技術によれば、量子コンピュータを用いてＳＡ‐ＯＯの計算を実行する際に非断熱結合の値を得ることができる、という効果が得られる。

本実施形態のハイブリッドシステム１００の概略構成の一例を示す図である。 古典コンピュータ１１０、制御装置１２１、及びユーザ端末１３０として機能するコンピュータの概略ブロック図である。 本実施形態のアルゴリズムを説明するための図である。 本実施形態のハイブリッドシステム１００が実行するシーケンスの一例を示す図である。 本実施形態のハイブリッドシステム１００が実行するシーケンスの一例を示す図である。

以下、図面を参照して開示の技術の実施形態を詳細に説明する。

＜実施形態に係るハイブリッドシステム１００＞

図１に、実施形態に係るハイブリッドシステム１００を示す。本実施形態のハイブリッドシステム１００は、古典コンピュータ１１０と量子コンピュータ１２０とユーザ端末１３０とを備える。古典コンピュータ１１０と量子コンピュータ１２０とユーザ端末１３０とは、図１に示されるように、一例としてＩＰネットワークなどのコンピュータネットワークを介して接続されている。

本実施形態のハイブリッドシステム１００においては、量子コンピュータ１２０が古典コンピュータ１１０からの要求に応じて所定の量子計算を行い、当該量子計算の計算結果を古典コンピュータ１１０へ出力する。古典コンピュータ１１０はユーザ端末１３０へ量子計算に応じた計算結果を出力する。これにより、ハイブリッドシステム１００全体として所定の計算処理が実行される。

古典コンピュータ１１０は、通信インターフェース等の通信部１１１と、プロセッサ、ＣＰＵ（Central processing unit）等の処理部１１２と、メモリ、ハードディスク等の記憶装置又は記憶媒体を含む情報記憶部１１３とを備え、各処理を行うためのプログラムを実行することによって構成されている。なお、古典コンピュータ１１０は１又は複数の装置ないしサーバを含むことがある。また、当該プログラムは１又は複数のプログラムを含むことがあり、また、コンピュータ読み取り可能な記憶媒体に記録して非一過性のプログラムプロダクトとすることできる。

量子コンピュータ１２０は、一例として、古典コンピュータ１１０から送信される情報に基づいて量子ビット群１２３のうちの少なくとも何れかの量子ビットへ照射するための電磁波を生成する。そして、量子コンピュータ１２０は、生成された電磁波を、量子ビット群１２３のうちの少なくとも何れかの量子ビットへ照射することにより、量子回路を実行する。

図１の例では、量子コンピュータ１２０は、古典コンピュータ１１０と通信を行う制御装置１２１と、制御装置１２１からの要求に応じて電磁波を生成する電磁波生成装置１２２と、電磁波生成装置１２２からの電磁波照射を受ける量子ビット群１２３とを備える。量子コンピュータ１２０のうちの電磁波生成装置１２２及び量子ビット群１２３は、ＱＰＵ（Quantum processing unit）でもある。なお、本実施形態において「量子コンピュータ」とは、古典ビットによる演算を一切行わないことを意味するものではなく、量子ビットによる演算を含むコンピュータをいう。

制御装置１２１は、古典ビットにより演算を行う古典コンピュータであり、古典コンピュータ１１０において行うものとして本明細書にて説明する処理の一部又は全部を代替的に行う。例えば、制御装置１２１は、量子回路を予め記憶又は決定しておき、量子回路Ｕ＾（θ）のパラメータθを受信したことに応じて、量子ビット群１２３において量子回路Ｕ＾（θ）を実行するための量子ゲート情報を生成してもよい。

ユーザ端末１３０は、古典ビットにより演算を行う古典コンピュータである。ユーザ端末１３０は、ユーザから入力された情報を受け付け、当該情報に応じた処理を実行する。

古典コンピュータ１１０、制御装置１２１、及びユーザ端末１３０は、例えば、図２に示すコンピュータ５０で実現することができる。コンピュータ５０はCentral processing unit（ＣＰＵ）５１、一時記憶領域としてのメモリ５２、及び不揮発性の記憶部５３を備える。また、コンピュータ５０は、外部装置及び出力装置等が接続される入出力interface（Ｉ／Ｆ）５４、及び記録媒体に対するデータの読み込み及び書き込みを制御するread/write（Ｒ／Ｗ）部５５を備える。また、コンピュータ５０は、インターネット等のネットワークに接続されるネットワークＩ／Ｆ５６を備える。ＣＰＵ５１、メモリ５２、記憶部５３、入出力Ｉ／Ｆ５４、Ｒ／Ｗ部５５、及びネットワークＩ／Ｆ５６は、バス５７を介して互いに接続される。

実施形態のハイブリッドシステム１００は、エネルギーの１階微分、エネルギーの２階微分、又は非断熱結合値を計算する。以下、前提となる事項について説明する。

（ハミルトニアンの説明）
分子の電子状態を表すハミルトニアンは、原子核の位置座標を表す位置パラメータｘに依存する。位置パラメータｘはベクトルである。ハミルトニアンを古典コンピュータ上で計算する手法に関しては、例えば、以下の参考文献を参照されたい。

参考文献１：S. McArdle, S. Endo, A. Aspuru-Guzik, S. C. Benjamin, and X. Yuan, Quantum computational chemistry, Rev. Mod. Phys. 92, 015003 (2020).
参考文献２：Y. Cao, J. Romero, J. P. Olson, M. Degroote, P. D. Johnson, M. Kieferova, I. D. Kivlichan, T. Menke, B. Peropadre, N. P. D. Sawaya, S. Sim, L. Veis, and A. Aspuru-Guzik, Quantum chemistry in the age of quantum computing, Chemical Reviews 119, 10856 (2019).

ハミルトニアンは、以下の式（１）によって表される。

なお、数式中において、記号（例えば、Ｘ）上に“－”が付された文字を、以下では、Ｘ^－等として表す場合がある。また、数式中において、記号（例えば、Ｘ）上に“＾”が付された文字を、以下では、Ｘ＾として表す場合がある。

上記式（１）におけるＥ_ｃ（ｘ）は、位置パラメータｘに依存するスカラー値である。また、

は、ｉ番目の分子軌道におけるスピンσに関する生成消滅演算子である。この生成消滅演算子は、以下のフェルミオンの反交換関係を満たす。

は、反交換子である。δはクロネッカーのデルタである。

ｈ_ｉｊ（ｘ）は一電子積分と称され、ｇ_ｉｊｋｌ（ｘ）は二電子積分と称される。なおｉ，ｊ，ｋ，ｌは、インデックスである。位置パラメータｘが、分子の原子核の座標である場合、以下のような定義がなされる。

ここで、φ_ｉ（ｒ；ｘ）は、ｉ番目の分子軌道における電子の波動関数である。ｒは、電子の位置座標である。Ｉ番目の原子核の座標はＲ_Ｉであり、その電荷はＺ_Ｉである。

分子軌道の数がＮである場合、ハミルトニアンを行列によって表現したときのサイズはＯ（ｅ^Ｎ）となる。このため、古典コンピュータが巨大な分子のハミルトニアンを計算することは困難である。

一方、分子軌道の数がＮの場合、量子コンピュータは２Ｎ個の量子ビットでハミルトニアンを扱うことができる。このため、ハミルトニアンを用いて分子軌道に関する計算を実行する場合、量子コンピュータは古典コンピュータに比べて優位性を有している。

［State-averaged orbital optimization］
（活性空間近似）
ハミルトニアンを用いて分子軌道に関する計算を実行する際に、量子コンピュータは古典コンピュータに比べ優位性がある。しかし、現時点の量子コンピュータの計算能力は未だ低い。そこで、本実施形態では、活性空間の近似（以下、活性空間近似と称する。）を導入する。活性空間近似は、古典コンピュータによる量子化学計算においても導入されている。

活性空間近似においては、高いエネルギーを有する軌道（仮想軌道とも称される。）は空いているのに対し、低いエネルギーを有する軌道（占有軌道又はコア軌道とも称される。）は二重占有状態となっていると考えられている。電子の重ね合わせは活性空間における軌道についてのみ考慮されるため、計算に用いられる量子ビットの数を低減させることができる。数学的には、活性空間近似における波動関数は次式によって表される。

は、仮想軌道に対応する状態である。|ψ>は活性空間における波動関数であり状態を表す。

は、占有軌道に対応する状態である。

ハミルトニアンの活性空間への射影を実行する演算子Ｐは、活性空間における任意の状態｜ψ＞を用いて以下の式によって表される。

（Orbital optimization and state average）
活性空間近似の近似精度を向上させるために、「軌道最適化」と称される分子軌道の最適化が利用される場合がある。軌道最適化は、以下のユニタリ演算子であるＵ＾_ＯＯ（κ）によって定式化される。

ここで、κは分子軌道に関するパラメータである。以下、κを軌道パラメータと称する。なお、κ_ｐｑは行列である軌道パラメータκの要素を表す。ｐ，ｑは分子軌道を表すインデックスである。

Ｕ＾_ＯＯ（κ）は、ハミルトニアンＨ＾（ｘ）をＵ_ｏｏ＾^†（κ）Ｈ＾（ｘ）Ｕ＾_ＯＯ（κ）へと変換するための演算子であり、軌道パラメータκを変数として持つ分子軌道の回転を表す演算子である。以下、Ｕ＾_ＯＯ（κ）を軌道回転演算子と称する。

ここで、軌道回転演算子Ｕ＾_ＯＯ（κ）によって回転され、かつ活性空間へ写像されたハミルトニアンＨ＾（ｘ，κ）は、以下の式によって定義される。なお、Ｐは活性空間への射影演算子である。

量子化学計算における軌道最適化では、活性空間におけるハミルトニアンＨ＾（ｘ，κ）に対応するエネルギーが最小化されるような軌道パラメータκが計算される。本実施形態では、活性空間におけるハミルトニアンＨ＾（ｘ，κ）の状態平均エネルギーの最適化を考慮する。具体的には、本実施形態では、状態平均エネルギーを以下のように定義する。

ここで、次式は、活性空間におけるハミルトニアンＨ＾（ｘ，κ）のうちのＫ個の固有エネルギーである。

なお、Ｋ個の固有エネルギーは、活性空間におけるハミルトニアンＨ＾（ｘ，κ）に対応するエネルギーのうち、低い順にＫ個選択された固有エネルギーである。

また、次式は、正の重み係数である。

上記式の正の重み係数は、次式を満たす。

なお、本実施形態ではハミルトニアンＨ＾（ｘ，κ）に対応するエネルギーのうちの低いＫ個の固有エネルギーが固有エネルギーの集合｛Ｅ_Ｓ｝として選択されるが、低いＫ個の固有エネルギー以外の固有エネルギーの集合｛Ｅ_Ｓ｝が選択されてもよい。

以下の参考文献においては、軌道最適化計算は、Variational Quantum Eigensolver（ＶＱＥ）と組み合わせて実行される。

参考文献３：W. Mizukami, K. Mitarai, Y. O. Nakagawa, T. Yamamoto, T. Yan, and Y.-y. Ohnishi, Orbital optimized unitary coupled cluster theory for quantum computer, Phys. Rev. Research 2, 033421 (2020).
参考文献４：T. Takeshita, N. C. Rubin, Z. Jiang, E. Lee, R. Babbush, and J. R. McClean, Increasing the representation accuracy of quantum simulations of chemistry without extra quantum resources, Phys. Rev. X 10, 011004 (2020).

ＶＱＥは、ハミルトニアンＨ＾（ｘ）の基底状態を得るためのアルゴリズムである。なお、以下の参考文献において状態平均のための軌道最適化計算も提案されている。一方で、上記非特許文献１及び以下の参考文献に開示されているsubspace search VQE（ＳＳＶＱＥ）では、基底状態及び励起状態が計算されている。

参考文献５：K. M. Nakanishi, K. Mitarai, and K. Fujii, Subspacesearch variational quantum eigensolver for excited states, Phys. Rev. Research 1, 033062 (2019).

そこで、本実施形態では、ハミルトニアンＨ＾（ｘ，κ）の固有状態を計算するためのアルゴリズムとして３つの手法を採用する。具体的には、本実施形態では、ＳＳＶＱＥ、multistate-contracted VQE（ＭＣＶＱＥ）、及びvariational quantum deflation（ＶＱＤ）を用いてハミルトニアンＨ＾（ｘ，κ）の固有状態を計算する。ＭＣＶＱＥ及びＶＱＤは、以下の参考文献に開示されている。

参考文献６：R. M. Parrish, E. G. Hohenstein, P. L. McMahon, and T. J. Martinez, Quantum computation of electronic transitions using a variational quantum eigensolver, Phys. Rev. Lett. 122, 230401 (2019).
参考文献７：O. Higgott, D. Wang, and S. Brierley, Variational Quantum Computation of Excited States, Quantum 3, 156 (2019).

また、本実施形態では、状態平均エネルギーにおける軌道最適化計算（ＳＡ‐ＯＯ）と上記３つの各々のアルゴリズムとを組み合わせた手法の各々を、以下、ＳＡ‐ＯＯ‐ＳＳＶＱＥ、ＳＡ‐ＯＯ‐ＭＣＶＱＥ、及びＳＡ‐ＯＯ‐ＶＱＤと称する。なお、上記非特許文献１に開示されているＳＡ‐ＯＯ‐ＶＱＥは、本実施形態のＳＡ‐ＯＯ‐ＳＳＶＱＥに対応する。

図３に、本実施形態のアルゴリズムを説明するための図を示す。上記３つのＳＡ‐ＯＯアルゴリズムは、図３に示されるように、２つのステップから構成されている。具体的には、活性空間におけるハミルトニアンＨ＾（ｘ，κ）に対して、図３の左側において示されるような軌道最適化と、図３の右側において示されるような波動関数の最適化とが繰り返される。これらの処理は、状態平均エネルギーが収束するまで繰り返される。

より具体的には、第１のステップとして、活性空間におけるハミルトニアンＨ＾（ｘ，κ）の固有状態を得るための波動関数（又は量子回路の状態）の最適化が実行される。第２のステップとして、状態平均エネルギーを減少させるために軌道パラメータκが更新される。なお、第２のステップは、第１のステップで最適化された波動関数の密度行列が用いられる。以下、３つのアルゴリズムについて詳細に説明する。

（ＳＡ‐ＯＯ‐ＳＳＶＱＥ）
まず、ＳＡ‐ＯＯ‐ＳＳＶＱＥについて説明する。ＳＡ‐ＯＯ‐ＳＳＶＱＥでは、互いに直交する以下の固有状態が設定される。

なお、Ｓは固有状態を識別するためのインデックスであり、固有状態はＫ個存在する。

また、回路パラメータθを有するユニタリ演算子である量子回路Ｕ＾（θ）が設定される。そして、ＳＡ‐ＯＯ‐ＳＳＶＱＥでは、以下の損失関数が最小化されるように回路パラメータθが最適化される。

なお、ｗ_ｓ ^ＶＱＥは、次式を満たす重み係数である。

損失関数が最小となる最適な回路パラメータθ^＊を用いると、Ｋ個の固有状態は以下の式によって表される。

また、固有エネルギーは以下の式によって表される。

なお、ＳＳＶＱＥにおける重み係数ｗ_ｓ ^ＶＱＥは、状態平均エネルギーの重み係数ｗ_ｓ ^ＳＡとは関係ない。

本実施形態では、ＳＡ‐ＯＯ‐ＳＳＶＱＥにおける波動関数を最適化する際に、以下の式に示されるＳＳＶＱＥの損失関数Ｅ^{ＳＳＶＱＥ}が最小となるような回路パラメータθ^＊を計算する。

式（９）では、式（８）のハミルトニアンＨが、活性空間におけるハミルトニアンＨ＾（ｘ，κ）へと置き換わっている。式（９）においては、軌道パラメータκが固定されたＥ^{ＳＳＶＱＥ}に基づいて回路パラメータθが最適化される。そして、最適な回路パラメータθ^＊を有する量子回路Ｕ＾（θ^＊）に基づいてハミルトニアンＨ＾（ｘ，κ）の固有状態及び固有エネルギーが得られる。その後、後述する軌道パラメータの最適化計算が実行される。

軌道パラメータの最適化の際に用いられる状態平均エネルギーＥ^ＳＡは、以下の式によって定義される。以下の状態平均エネルギーＥ^ＳＡが最小となるような軌道パラメータκ^＊が計算される。

なお、上記式におけるθは、上述した処理によって最適化された回路パラメータθ^＊である。状態平均エネルギーＥ^ＳＡが収束するまで、回路パラメータθの更新と軌道パラメータκの更新とが繰り返される。

（ＳＡ‐ＯＯ‐ＶＱＤ）
次に、ＳＡ‐ＯＯ‐ＶＱＤについて説明する。ＶＱＤは、ハミルトニアンの励起状態を得るためのアルゴリズムである。まず、以下の式に示すように、固有状態を得るための量子回路が設定される。

ここで、｜ψ＞は初期状態であり、Ｕ＾（θ）は量子回路である。ここで、仮に次式に示されるようなＳ－１個の固有状態が得られたとする。

この場合、Ｓ番目の固有状態を得るためのＶＱＤの損失関数の値が最小となるような回路パラメータθ^＊によって表されるＳ番目のハミルトニアンの固有状態は、以下の式によって表される。

β_Ｔは、｜ψ（θ_Ｓ）＞の直交性を担保するための正の定数である。損失関数Ｆ_Ｓ（θ_Ｓ）を最小化するような回路パラメータθ^＊によって表されるＳ番目の固有状態は、次式で表される。

損失関数Ｆ_Ｓの最適化がＳ＝０から順に実行され、繰り返し計算によってＫ番目の損失関数Ｆ_Ｓが最適化される。

本実施形態のＳＡ‐ＯＯ‐ＶＱＤでは、活性空間におけるハミルトニアンＨ＾（ｘ，κ）の固有状態を計算するためのＳ番目の回路パラメータθ_Ｓ ^＊は、ＶＱＤを実行することにより得られる。具体的には、以下に示すＦ_Ｓ ^ＶＱＤ（θ_Ｓ）をＳ＝０，．．．，Ｋ－１について最小化することにより、回路パラメータθ_０ ^＊，．．．，θ_Ｋ－１ ^＊が得られる。

なお、上記式（１２）を最小化することにより回路パラメータθ_０ ^＊，．．．，θ_Ｋ－１ ^＊を得る際には、軌道パラメータκの値は固定された上で回路パラメータの値が計算される。

回路パラメータθ_０，．．．，θ_Ｋ－１が最適化され、かつそれら回路パラメータを用いて固有状態が計算された後、上記式（１０）における状態平均エネルギーＥ^ＳＡが最小となるように軌道パラメータκが計算される。具体的には、状態平均エネルギーＥ^ＳＡが収束するまで、回路パラメータθの更新と軌道パラメータκの更新とが繰り返される。

（ＳＡ‐ＯＯ‐ＭＣＶＱＥ）
次に、ＳＡ‐ＯＯ‐ＭＣＶＱＥについて説明する。ＭＣＶＱＥは２つのステップから構成されている。第１のステップでは、以下の式のＥ^{ＭＣＶＱＥ}（θ）が最小となるような回路パラメータθ^＊が計算される。

第２のステップでは、古典コンピュータを用いてハミルトニアンＨを対角化する。具体的には、以下の式によって表される部分空間Ｓにおけるハミルトニアンが対角化される。

部分空間におけるハミルトニアンはＫ×Ｋの行列として表される。ハミルトニアンの要素ｈ_ＳＴは以下の式によって表される。

なお、ハミルトニアンの要素ｈ_ＳＴは、次のような重ね合わせ状態を用いれば量子コンピュータによって計算可能となる。

また、ハミルトニアンを表す行列ｈから得られるＡ番目の固有ベクトルｖ_Ｓ ^（Ａ）は、以下の式を満たす。

なお、上記式（１５）におけるＥ_Ａは固有ベクトルｖ_Ｓ ^（Ａ）に対応する固有値でもある。上記式（１５）は、ハミルトニアンＨのＡ番目の励起状態｜Ψ_Ａ＞が以下の式によって表されることに対応する。

本実施形態のＳＡ‐ＯＯ‐ＭＣＶＱＥでは、上記式（６）の活性空間におけるハミルトニアンＨ＾（ｘ，κ）を含む以下の損失関数Ｅ^{ＭＣＶＱＥ}（θ）を定義する。

ＳＡ‐ＯＯ‐ＭＣＶＱＥでは、まず、上記式（１３）の損失関数Ｅ^{ＭＣＶＱＥ}（θ）が最小となるような回路パラメータθ^＊が計算される。そして、古典コンピュータによってハミルトニアンを表す行列が対角化される。これにより、上記式（１６）が示すハミルトニアンＨの固有状態と当該固有状態に対応する固有エネルギーとが得られる。その後、下記式（１０Ａ）に示す状態平均エネルギーＥ^ＳＡが最小化されるように軌道パラメータκが更新される。そして、状態平均エネルギーＥ^ＳＡが収束するまで、回路パラメータθの更新と軌道パラメータκの更新とが繰り返される。

（１０Ａ）

（エネルギーの微分について）
ＳＡ‐ＯＯ‐ＳＳＶＱＥ、ＳＡ‐ＯＯ‐ＶＱＤ、及びＳＡ‐ＯＯ‐ＭＣＶＱＥを実行することにより、分子の位置パラメータｘに対応する固有エネルギーが得られる。ここで、固有エネルギーのｘ_μによる解析的な１階微分を考える。なお、ｘ_μは、ベクトルである位置パラメータｘのうちのμ番目の要素である。

本実施形態では、ラグランジュの未定乗数法に基づいて、固有エネルギーの解析的な１階微分が計算される。なお、ＳＡ‐ＯＯ‐ＳＳＶＱＥとＳＡ‐ＯＯ‐ＶＱＤとＳＡ‐ＯＯ‐ＭＣＶＱＥとの間において僅かな差異がある。

（ステップ０）
まず、ＳＡ‐ＯＯ‐ＳＳＶＱＥ、ＳＡ‐ＯＯ‐ＶＱＤ、又はＳＡ‐ＯＯ‐ＭＣＶＱＥを実行する。これにより、各種の損失関数を最小化するような最適な軌道パラメータκ^＊及び最適な回路パラメータθ^＊が得られる。なお、ＳＡ‐ＯＯ‐ＭＣＶＱＥを実行した場合には、ベクトルｖ^（Ａ）も併せて得られる。

（ステップ１）
まず、ラグランジアン

を設定する。また、位置パラメータｘ以外のパラメータに関する極値条件を設定する。なお、θ^－Ａ，κ^－Ａは、ラグランジュの未定乗数である。

（ステップ２）
以下の式を解くことにより、ラグランジュの未定乗数を計算する。

ここで、

は、ラグランジアンＬ_Ａのヘッセ行列である。また、ｆ^ＡはＡ番目のエネルギーの回路パラメータθによる１階微分である。ｇ^Ａは、Ａ番目のエネルギーの軌道パラメータκによる１階微分である。なお、具体的な形式については後述する。

（ステップ３）
上記式（１８）を計算することにより得られたラグランジュの未定乗数を用いることにより、解析的な微分が計算可能となる。

以下、ＳＡ‐ＯＯ‐ＳＳＶＱＥ、ＳＡ‐ＯＯ‐ＶＱＤ、及びＳＡ‐ＯＯ‐ＭＣＶＱＥの手法毎に具体的に説明する。

（ＳＡ‐ＯＯ‐ＳＳＶＱＥによる微分の計算）
ＳＡ‐ＯＯ‐ＳＳＶＱＥにおいて、Ａ番目の固有状態のラグランジアンＬ_Ａは以下の式によって定義される。

ここで、θ_ｉはベクトルである回路パラメータθのｉ番目の要素である。また、κ_ｐｑは、行列である軌道パラメータκの要素である。

また、θ^－Ａ _ｉ及びκ^－Ａ _ｐｑは、ラグランジュの未定乗数である。ここで、ラグランジアンＬ_Ａのうちの位置パラメータｘ以外の全てのパラメータに対して極値条件を課すことにより、以下の式が導出される。

ここで、以下の式で表されるＥ_Ａは、ある特定の状態Ａにおけるエネルギーである。

上記式（２０）のうちの後半２つの部分は、回路パラメータθが最適な回路パラメータθ_＊であり、かつ軌道パラメータκが最適な軌道パラメータκ_＊である場合に満たされる。また、上記式（２０）のうちの上２つの部分を次式（２１）によって置き換え、簡素化すると以下の式（２２）が導出される。

上記式における

及び

は、量子コンピュータによる測定によって計算可能である。このため、上記式（２２）のうちの

及び

を量子コンピュータによって計算することにより、ラグランジュの未定乗数であるθ^－Ａ＊及びκ^－Ａ＊が決定される。

そして、ラグランジュの未定乗数であるθ^－Ａ＊及びκ^－Ａ＊に基づいて、極値条件を課すことにより、エネルギーＥ_Ａの位置パラメータｘによる解析的な微分が計算可能となる。

なお、極値条件がラグランジアンＬ_Ａに適用された場合、次式の関係が成り立つ。

ここで、Ｅ_Ａ ^＊（ｘ）はＳＡ‐ＯＯ‐ＳＳＶＱＥによって得られるエネルギーである。このため、上述した関係は次式によって表される。

より厳密には、上記式（２３）は次式によって表される。

上記式（２４）における右辺の各項は、量子コンピュータによって量子測定をすることで計算可能である。このため、古典コンピュータは、ラグランジュの未定乗数と量子コンピュータによって量子測定された測定結果とに基づいて、上記式（２４）に従って、エネルギーＥ_Ａ ^＊（ｘ）の１階微分を計算することができる。

（ＳＡ‐ＯＯ‐ＶＱＤによる微分の計算）
上記と同様に、ＳＡ‐ＯＯ‐ＶＱＤによって得られたエネルギーに対して以下に示すラグランジアンＬ_Ａ ^ＶＱＤが設定される。

上記式（２５）におけるθ_Ｓｉは、ベクトルである回路パラメータθ_Ｓのｉ番目の要素である。また、θ^－Ａ _Ｓｉ及びκ^－Ａ _ｐｑはラグランジュの未定乗数である。

なお、ＳＡ‐ＯＯ‐ＶＱＤにおいて注意すべき点は、上記式（２５）からもわかるようにＡ番目の固有状態には、全ての回路パラメータθ_０，．．．，θ_Ｋ－１とそれに対応する未定乗数とが含まれている点である。ここで、ラグランジアンＬ_Ａ ^ＶＱＤのうちの位置パラメータｘ以外の全てのパラメータに対して極値条件を課すことにより、以下の式が導出される。

なお、以下の式によって表されるＥ_Ａは状態別のエネルギーである。

上記式（２６）における後半２つの式は、回路パラメータθが最適な回路パラメータθ^＊であり、かつ軌道パラメータκが最適な軌道パラメータκ^＊である場合に満たされる。また、上記式（２６）のうちの前半２つの部分を次式（２７）によって置き換え、簡素化すると以下の式（２８）が導出される。

なお、上記式（２８）を導出する際には、以下の条件が利用される。

上記式（２８）における各要素は、量子コンピュータによる量子測定と古典コンピュータによるラグランジュの未定乗数法による計算によって計算可能である。このため、上記のＳＡ‐ＯＯ‐ＳＳＶＱＥの場合と同様に、エネルギーＥ_Ａ ^＊（ｘ）の微分を計算することが可能となる。ＳＡ‐ＯＯ‐ＶＱＤにおけるエネルギーＥ_Ａ ^＊（ｘ）の微分は以下の式によって表される。

（ＳＡ‐ＯＯ‐ＭＣＶＱＥによる１階微分の計算）
ＳＡ‐ＯＯ‐ＭＣＶＱＥにおいては、上述したように上記式（１５）を解くことにより、エネルギーＥ_Ａが計算される。ハミルトニアンＨが位置パラメータｘに依存する場合、行列ｈの各要素ｈ_ＳＴ、固有ベクトルｖ_Ｓ ^（Ａ）、及びエネルギーＥ_Ａも位置パラメータｘに依存する。上記式（１５）を用いると、以下の式が成立する。

なお、上記式（３０）は、座標パラメータｘのうちのμ番目の要素ｘ_μに関する数式であり、以下の関係式を用いることにより導かれる。

これにより、エネルギーＥ_Ａの微分は行列の要素ｈ_ＳＴを微分することにより計算される。ここで、以下のラグランジアンＬ_ＳＴを考慮する。

また、以下の式が成立する。

位置パラメータｘとは異なる全てのパラメータに関して極値条件を考慮すると以下の関係式が成立する。

回路パラメータθが最適な回路パラメータθ^＊であり、かつ軌道パラメータκが最適な軌道パラメータκ^＊である場合に、以下の式が成立する。

なお、上記式が成立することを線形式によって表すと、以下の式（３３）が導出される。

上記式（３３）における各要素を次式（３４）によって置き換え、簡素化すると以下の式（３５）が導出される。

上記式（３４）における右辺の各項は、量子コンピュータによって量子測定をすることが可能である。このため、古典コンピュータは、ラグランジュの未定乗数と量子コンピュータによって量子測定された測定結果とに基づいて、上記式（３５）に従って、行列の要素ｈ_ＳＴの１階微分を計算することができる。そして、上記式（３５）によって計算されたｄｈ_ＳＴ/ｄｘ_μを、上記式（３０）へ代入することによりエネルギーＥ_Ａ ^＊（ｘ）の１階微分が計算される。

（２階微分）
次に２階微分の導出方法について説明する。

（ＳＡ‐ＯＯ‐ＳＳＶＱＥによる２階微分の計算）
ＳＡ‐ＯＯ‐ＳＳＶＱＥによって状態別のエネルギーＥ_Ａ ^＊（ｘ）の２階微分を計算するために、上記式（２０）のラグランジアンにおける極値条件をｘで微分すると、以下の式のようになる。

ここで、上記式（３６）におけるαはθ，κ，θ^－Ａ，κ^－Ａの何れかであり、ｉはインデックスである。なお、ここでは、ラグランジアンは次式のように記述される。

上記の各式を纏めると、以下の式が導出される。

次式を設定しかつ上記の条件を満たすように設定することにより、以下の式（３８）が導出される。

上記の各関係式を用いると以下の式（３９）及び（４０）が導出される。なお、α，β＝θ，κ，θ^－Ａ，κ^－Ａである。また、

である。

上記式（３９）、（４０）、（３７）、及び（３８）は次式に示されるように簡素化できる。

上記の各式を纏めることにより、最終的には以下の式が導出される。

ここで、

は、インデックスμとインデックスνとが入れ替えられた項を表す。

（ＳＡ‐ＯＯ‐ＭＣＶＱＥによる２階微分の計算）
１階微分と同様に、上記式（３１）に示されるラグランジアンの極値条件を満たすように、２階微分は計算される。上記式（３７）と同様に、以下の式が導かれる。

（非断熱結合）
本実施形態では非断熱結合も計算される。固有状態Ｓと固有状態Ｔとの間の非断熱結合は、次式によって定義される。

ここで、｜ψ^＊ _Ｓ（ｘ）＞は、固有状態Ｓを表す。以下、具体的に説明する。

（ＳＡ‐ＯＯ‐ＳＳＶＱＥによる非断熱結合の計算）
ＳＡ‐ＯＯ‐ＳＳＶＱＥにおいて固有状態は次式によって表される。

非断熱結合ｄ_ＳＴ ^μは、以下の式によって計算される。

最適な回路パラメータθ^＊及び最適な軌道パラメータκ^＊の位置パラメータｘ_μによる微分ｄθ^＊／ｄｘ_μ，ｄκ^＊／ｄｘ_μは、上記式（３７）において計算される。なお、次式に示す遷移振幅は、量子コンピュータによって計算可能である。

上記式（４５）における右辺の各項は、量子コンピュータによって量子測定をすることが可能である。このため、古典コンピュータは、ラグランジュの未定乗数と量子コンピュータによって量子測定された測定結果とに基づいて、上記式（４５）に従って、非断熱結合ｄ_ＳＴ ^μを計算することができる。

（ＳＡ‐ＯＯ‐ＭＣＶＱＥによる非断熱結合の計算）
ＳＡ‐ＯＯ‐ＭＣＶＱＥにおける固有状態は次式によって表される。

また、ＳＡ‐ＯＯ‐ＭＣＶＱＥにおける非断熱結合は、以下の式によって表される。

上記式（４６）における右辺の第１項は、以下の式によって計算される。

なお、ｄｈ_ＭＮ／ｄｘ_μは、上記式（３５）において計算される。上記式（４６）の右辺の第２項の形式は、上記式（４５）の右辺の第２項と同様である。このため、上記式（４３）を解くことにより得られるｄθ^＊／ｄｘ_μ，ｄκ^＊／ｄｘ_μを用いることにより、上記式（４６）の右辺の第２項も計算可能である。このため、上記式（４６）に従って、非断熱結合ｄ_ＳＴ ^μを計算することができる。

［実施形態のハイブリッドシステム１００の動作］

次に、実施形態のハイブリッドシステム１００の具体的な動作について説明する。ハイブリッドシステム１００の各装置において、図４及び図５に示される各処理が実行される。なお、以下では、ＳＡ‐ＯＯ‐ＳＳＶＱＥ、ＳＡ‐ＯＯ‐ＶＱＤ、及びＳＡ‐ＯＯ‐ＭＣＶＱＥを用いて、エネルギーの１階微分、エネルギーの２階微分、及び非断熱結合の少なくとも１以上の物理量を計算する場合を例に説明する。

まず、ステップＳ１００において、ユーザ端末１３０は、ユーザから入力された、計算対象に関する情報である計算対象情報と、計算方法に関する情報である計算方法情報とを、古典コンピュータ１１０へ送信する。

計算対象情報には、例えば、分子構造に関する情報、計算する物理量に関する情報、及び計算する状態の数Ｋ等の情報が含まれている。計算する物理量は、エネルギーの１階微分、エネルギーの２階微分、及び非断熱結合の少なくとも１以上の物理量である。分子構造に関する情報の一例としては、解析対象の分子の原子核の位置を表す位置パラメータｘが挙げられる。

計算方法情報には、例えば、ハミルトニアン変換手法、量子回路Ｕ＾（θ）の初期情報、回路パラメータθの初期値、ψの初期状態、回路パラメータθの最適化手法、状態平均エネルギーを計算するための重み、及び軌道パラメータκの初期値等が含まれている。なお、ＳＡ‐ＯＯ‐ＳＳＶＱＥを用いる場合には、計算方法情報には、ＳＳＶＱＥ用の損失関数を計算するための重み係数ｗ_ｓ ^ＶＱＥの情報等が含まれる。また、ＳＡ‐ＯＯ‐ＶＱＤを用いる場合には、計算方法情報には、ＶＱＤ用の損失関数を計算するための重み係数β_Ｔの情報等が含まれる。

次に、ステップＳ１０２において、古典コンピュータ１１０は、ユーザ端末１３０から送信された計算対象情報及び計算方法情報を受信する。そして、ステップＳ１０２において、古典コンピュータ１１０は、計算対象情報のうちの分子の原子核の位置を表す位置パラメータｘ及び計算方法情報のうちのハミルトニアン変換手法に基づいて、位置パラメータｘを変数として持つハミルトニアンＨ＾（ｘ）を計算する。

ステップＳ１０４において、古典コンピュータ１１０は、分子軌道に関するパラメータである軌道パラメータκを変数として持つ演算子であって、かつ分子軌道の回転を表す演算子である軌道回転演算子Ｕ＾_ＯＯ（κ）を決定する。具体的には、古典コンピュータ１１０は、上記式（５）に従って、軌道回転演算子Ｕ＾_ＯＯ（κ）を決定する。

ステップＳ１０６において、古典コンピュータ１１０は、量子回路のパラメータである回路パラメータθを変数として持つ量子回路Ｕ＾（θ）の構造を決定する。具体的には、古典コンピュータ１１０は、ステップＳ１０２で受信した計算対象情報のうちの量子回路Ｕ＾（θ）の初期情報に基づいて、量子回路Ｕ＾（θ）の構造を決定する。

ステップＳ１０８において、古典コンピュータ１１０は、上記ステップＳ１０２で計算されたハミルトニアンＨ＾（ｘ）に対して、軌道回転と活性空間への射影とを行うことにより、ハミルトニアンＨ＾（ｘ，κ）を生成する。具体的には、古典コンピュータ１１０は、上記ステップＳ１０２で計算されたハミルトニアンＨ＾（ｘ）に対して、上記式（６）に示す演算を実行することにより、ハミルトニアンＨ＾（ｘ，κ）を生成する。

ステップＳ１０９において、古典コンピュータ１１０は、回路パラメータθを変数として持つ第１目的関数を設定する。具体的には、古典コンピュータ１１０は、上記ステップＳ１０２で受信した計算方法情報のうちのコスト関数を計算するための重みの情報に基づいて、コスト関数である第１目的関数を設定する。なお、第１目的関数は、用いられる手法に応じて異なる。

ＳＡ‐ＯＯ‐ＳＳＶＱＥが用いられる場合、古典コンピュータ１１０は、ステップＳ１０８で生成されたハミルトニアンＨ＾（ｘ，κ）と、ステップＳ１０２で受信した計算方法情報のうちの重み係数ｗ_ｓ ^ＶＱＥとに基づいて、上記式（９）に示されるような損失関数Ｅ^{ＳＳＶＱＥ}（θ）を第１目的関数として設定する。

ＳＡ‐ＯＯ‐ＶＱＤが用いられる場合、古典コンピュータ１１０は、ステップＳ１０８で生成されたハミルトニアンＨ＾（ｘ，κ）と、ステップＳ１０２で受信した計算方法情報のうちの重み係数ｗ_ｓ ^ＶＱＥとに基づいて、上記式（１２）に示されるような損失関数Ｆ_Ｓ ^ＶＱＤ（θ_Ｓ）を第１目的関数として設定する。

ＳＡ‐ＯＯ‐ＭＣＶＱＥが用いられる場合、古典コンピュータ１１０は、ステップＳ１０８で生成されたハミルトニアンＨ＾（ｘ，κ）に基づいて、上記式（１７）に示されるような損失関数Ｅ^{ＭＣＶＱＥ}（θ）を第１目的関数として設定する。

ステップＳ１１０において、古典コンピュータ１１０は、量子計算に必要な各種情報を量子コンピュータ１２０へ送信する。具体的には、古典コンピュータ１１０は、ステップＳ１０９で設定された第１目的関数、ステップＳ１０６で決定された量子回路Ｕ＾（θ）の構造、ステップＳ１０２で受信した計算方法情報のうちの、軌道パラメータκの初期値、回路パラメータθの初期値、回路パラメータθの最適化手法、計算対象情報のうちの計算する状態の数Ｋ、及び測定対象の物理量に関する情報を、量子コンピュータ１２０へ送信する。

ステップＳ１１２において、制御装置１２１は、ステップＳ１１０で古典コンピュータ１１０から送信された各種情報を受信する。

ステップＳ１１４において、制御装置１２１は、ステップＳ１１２で受信した各種情報に応じた量子計算を量子コンピュータ１２０に実行させる。量子コンピュータ１２０は、制御装置１２１による制御に応じて、測定対象の物理量に対する量子測定を実行する。後述するように、古典コンピュータ１１０は、量子コンピュータ１２０による量子測定の測定結果に基づき、第１目的関数を最小化するような回路パラメータθ^＊を得る。

具体的には、量子コンピュータ１２０は、制御装置１２１の制御に応じて、量子ビット群１２３のうちの少なくとも何れかの量子ビットへ照射するための電磁波を生成する。そして、量子コンピュータ１２０は、生成された電磁波を、量子ビット群１２３のうちの少なくとも何れかの量子ビットへ照射し、初期情報に応じた量子回路を実行することにより、最適な回路パラメータθ^＊を生成する。量子回路に含まれる各量子ゲートのゲート操作は対応する電磁波波形へと変換され、生成された電磁波が電磁波生成装置１２２によって量子ビット群１２３に照射される。そして、量子コンピュータ１２０は、回路パラメータθ^＊を出力する。

ステップＳ１１６において、制御装置１２１は、上記ステップＳ１１４で得られた測定結果を、古典コンピュータ１１０へ送信する。

ステップＳ１１８において、古典コンピュータ１１０は、ステップＳ１１６で制御装置１２１から送信された測定結果を受信する。そして、古典コンピュータ１１０は、測定結果に基づいて、回路パラメータθ^＊を計算する。

なお、ステップＳ１１４～ステップＳ１１８の処理によって最適な回路パラメータθ^＊が得られる場合を説明したが、実際の処理では、ＳＳＶＱＥ、ＶＱＤ、及びＭＣＶＱＥの何れか１つの手法に応じて、古典コンピュータ１１０と量子コンピュータ１２０との間において繰り返し計算が実行されることにより、最適な回路パラメータθ^＊が得られる。具体的には、まず、量子コンピュータ１２０は、ある回路パラメータθに対応する電磁波を量子ビット群１２３に照射する。次に、古典コンピュータ１１０は、量子コンピュータ１２０の量子測定による測定結果に対応する期待値Ｅ（θ）を取得し、第１目的関数の値を計算する。そして、古典コンピュータ１１０は、第１目的関数の値に応じて、第１目的関数の値が小さくなるように回路パラメータθを更新する。古典コンピュータ１１０と量子コンピュータ１２０との間において第１目的関数の値が最小となるまで、これらの計算が繰り返され、古典コンピュータ１１０は、最適な回路パラメータθ^＊を得る。

ステップＳ１２０において、古典コンピュータ１１０は、ステップＳ１１８で情報記憶部１１３へ記憶された回路パラメータθ^＊を定数として持ち、かつ軌道パラメータκを変数として持つ目的関数である第２目的関数を設定する。そして、古典コンピュータ１１０は、第２目的関数の値を計算する。

ＳＡ‐ＯＯ‐ＳＳＶＱＥ又はＳＡ‐ＯＯ‐ＶＱＤの手法が用いられる場合、古典コンピュータ１１０は、ステップＳ１０８で生成されたハミルトニアンＨ＾（ｘ，κ）と、ステップＳ１０２で受信した計算方法情報のうちの重み係数ｗ_Ｓ ^ＳＡと、ステップＳ１１８で情報記憶部１１３へ記憶された回路パラメータθ^＊とに基づいて決定される上記式（１０）の状態平均エネルギーＥ^ＳＡ（κ）を、第２目的関数として設定する。一方、ＳＡ‐ＯＯ‐ＭＣＶＱＥの手法が用いられる場合、古典コンピュータ１１０は、ステップＳ１０８で生成されたハミルトニアンＨ＾（ｘ，κ）と、ステップＳ１０２で受信した計算方法情報のうちの重み係数ｗ_Ｓ ^ＳＡと、ステップＳ１１８で情報記憶部１１３へ記憶された回路パラメータθ^＊とに基づいて決定される上記式（１０Ａ）の状態平均エネルギーＥ^ＳＡ（κ）を、第２目的関数として設定する。そして、古典コンピュータ１１０は、第２目的関数の値を計算する。

ステップＳ１２２において、古典コンピュータ１１０は、量子計算に必要な各種情報を量子コンピュータ１２０へ送信する。具体的には、古典コンピュータ１１０は、上記式（１０）内の下記の部分に相当する測定対象の物理量に関する情報を含む各種情報を、量子コンピュータ１２０へ送信する。

ステップＳ１２４において、制御装置１２１は、古典コンピュータ１１０から送信された測定対象の物理量に関する情報を含む各種情報を受信する。

ステップＳ１２５において、制御装置１２１は、ステップＳ１２４で受信した各種情報に応じた量子計算を量子コンピュータ１２０に実行させる。量子コンピュータ１２０は、制御装置１２１による制御に応じて、測定対象の物理量に対する量子測定を実行する。後述するように、古典コンピュータ１１０は、量子コンピュータ１２０による量子測定の測定結果に基づき、第２目的関数を最小化するような軌道パラメータκ^＊を得る。

ステップＳ１２６において、制御装置１２１は、ステップＳ１２４で得られた測定結果を古典コンピュータ１１０へ送信する。

ステップＳ１２８において、古典コンピュータ１１０は、ステップＳ１２６で制御装置１２１から送信された測定結果を受信する。そして、古典コンピュータ１１０は、測定結果と状態平均エネルギーの重み係数ｗ_ｓ ^ＳＡとに基づいて、軌道パラメータκ^＊を計算する。また、古典コンピュータ１１０は、上記第２目的関数の値を計算する。

ステップＳ１３０において、古典コンピュータ１１０は、計算が収束したか否かを判定する。具体的には、古典コンピュータ１１０は、ステップＳ１２０で計算された第２目的関数の値とステップＳ１２８で計算された第２目的関数の値との間の差分が、所定閾値以下であるか否かを判定し、差分が所定閾値以下である場合にはステップＳ１２２へ進む。一方、差分が所定閾値より大きい場合にはステップＳ１０８へ戻り、ステップＳ１０８～ステップＳ１２８の処理を繰り返す。

ステップＳ１３２において、古典コンピュータ１１０は、上記の各処理により得られた回路パラメータθ^＊及び軌道パラメータκ^＊を量子コンピュータ１２０へ送信する。

ステップＳ１３４において、量子コンピュータ１２０は、ステップＳ１３２で古典コンピュータ１１０から送信された回路パラメータθ^＊及び軌道パラメータκ^＊を受信する。

ステップＳ１３６において、古典コンピュータ１１０は、ステップＳ１０２で受信した計算対象情報に基づいて、計算対象の物理量を設定する。具体的には、古典コンピュータ１１０は、ステップＳ１０２で受信した計算対象情報に基づいて、エネルギーの１階微分、エネルギーの２階微分、及び非断熱結合の何れの物理量を計算するのかを設定する。

ステップＳ１３８において、古典コンピュータ１１０は、ステップＳ１３６で設定された物理量に応じて、測定対象となる物理量に関する情報を量子コンピュータ１２０へ送信する。測定対象となる物理量は、計算手法及び計算対象の物理量に応じて異なる。

［エネルギーの１階微分］
（ＳＡ‐ＯＯ‐ＳＳＶＱＥの場合）
ＳＡ‐ＯＯ‐ＳＳＶＱＥを用いてエネルギーの１階微分を計算する場合、古典コンピュータ１１０は、下記式（Ａ１）のうちの、以下の破線部分の物理量を、測定対象の物理量として量子コンピュータ１２０へ送信する。

（Ａ１）

なお、上述したように、式（Ａ１）におけるＡ，Ｓは固有状態を識別するためのインデックスであり、Ｅ（ｘ）は固有エネルギーであり、μはベクトルである位置パラメータｘの要素を識別するためのインデックスであり、ψは活性空間における固有状態であり、Ｕ＾（θ）は量子回路であり、θ^－はベクトルである回路パラメータθの要素に対応するラグランジュの未定乗数であり、ｉはベクトルである回路パラメータθの要素を識別するためのインデックスであり、ｗ^ＶＱＥは固有状態に対する重み係数であり、κ^－は行列である軌道パラメータκの行列要素に対応するラグランジュの未定乗数であり、ｐ，ｑは行列要素を識別するためのインデックスであり、ｗ^ＳＡは状態平均エネルギーの重み係数である。なお、ラグランジュの未定乗数は、上記式（１８）等の連立方程式を解くことにより計算される。

（ＳＡ‐ＯＯ‐ＶＱＤの場合）
ＳＡ‐ＯＯ‐ＶＱＤを用いてエネルギーの１階微分を計算する場合、古典コンピュータ１１０は、下記式（Ａ２）のうちの、以下の破線部分の物理量を、測定対象の物理量として量子コンピュータ１２０へ送信する。

（Ａ２）

（ＳＡ‐ＯＯ‐ＭＣＶＱＥの場合）
ＳＡ‐ＯＯ‐ＭＣＶＱＥを用いてエネルギーの１階微分を計算する場合、古典コンピュータ１１０は、下記式（Ａ３）のうちの、以下の破線部分の物理量を、測定対象の物理量として量子コンピュータ１２０へ送信する。

（Ａ３）

なお、上述したように、式（Ａ３）におけるＴは固有状態を識別するためのインデックスであり、ｈは固有エネルギーを表す行列の要素である。

エネルギーの１階微分を計算する場合、量子コンピュータ１２０は、後述するステップＳ１４２において、上記各式で示されるような、量子回路Ｕ＾（θ^＊）及びハミルトニアンＨ＾（ｘ，κ^＊）の位置パラメータｘによる微分を含む期待値を量子測定する。

［エネルギーの２階微分］
（ＳＡ‐ＯＯ‐ＳＳＶＱＥの場合）
ＳＡ‐ＯＯ‐ＳＳＶＱＥを用いてエネルギーの２階微分を計算する場合、古典コンピュータ１１０は、下記式（Ｂ１）のうちの、以下の破線部分の物理量を、測定対象の物理量として量子コンピュータ１２０へ送信する。なお、上述したように、式（Ｂ１）におけるＥ^{ＳＳＶＱＥ}はＳＳＶＱＥを用いた場合の第１目的関数に相当する損失関数であり、Ｅ^ＳＡは状態平均エネルギーであり、μ，νはベクトルである位置パラメータｘの要素を識別するためのインデックスであり、ｉ，ｊはベクトル要素を識別するためのインデックスであり、ｐ，ｑ，ｍ，ｎは行列要素を識別するためのインデックスであり、（μ⇔ν）は隣接する項のμとνとが入れ替えられた項を表す。

（Ｂ１）

なお、式（Ｂ１）には、エネルギーの１階微分に対応する項も含まれている。このため、エネルギーの２階微分を計算する場合、量子コンピュータ１２０は、後述するステップＳ１４２において、量子回路Ｕ＾（θ^＊）及びハミルトニアンＨ＾（ｘ，κ^＊）の位置パラメータｘによる微分を含む期待値の測定結果も利用しつつ量子測定を実行する。

［非断熱結合］
（ＳＡ‐ＯＯ‐ＳＳＶＱＥの場合）
ＳＡ‐ＯＯ‐ＳＳＶＱＥを用いて非断熱結合の値を計算する場合、古典コンピュータ１１０は、下記式（Ｃ１）のうちの、以下の破線部分の物理量を、測定対象の物理量として量子コンピュータ１２０へ送信する。

（Ｃ１）

（ＳＡ‐ＯＯ‐ＭＣＶＱＥの場合）
ＳＡ‐ＯＯ‐ＭＣＶＱＥを用いて非断熱結合の値を計算する場合、古典コンピュータ１１０は、下記式（Ｃ２）のうちの、以下の破線部分の物理量を、測定対象の物理量として量子コンピュータ１２０へ送信する。

（Ｃ２）

なお、式（Ｃ２）におけるＭ，Ｎは固有状態を識別するためのインデックスであり、ｖは固有状態に対応する固有ベクトルである。

非断熱結合の値を計算する場合、量子コンピュータ１２０は、後述するステップＳ１４２において、式（Ｃ１）又は（Ｃ２）で示されるような、量子回路Ｕ＾（θ^＊）及び軌道回転演算子Ｕ＾_ＯＯ（κ^＊）の位置パラメータｘによる微分を含む期待値を量子測定する。

ステップＳ１４０において、量子コンピュータ１２０は、ステップＳ１３８で古典コンピュータ１１０から送信された、測定対象の物理量に関する情報を受信する。

ステップＳ１４２において、量子コンピュータ１２０は、ステップＳ１４０で受信した測定対象の物理量に関する情報と、ステップＳ１２０で受信した計算方法情報に含まれる各種情報に基づいて、測定対象の物理量を量子測定することにより、量子測定の測定結果を取得する。

ステップＳ１４４において、量子コンピュータ１２０は、量子測定の測定結果を古典コンピュータ１１０へ送信する。

ステップＳ１４６において、古典コンピュータ１１０は、ステップＳ１４４で量子コンピュータ１２０から送信された測定対象を受信する。

ステップＳ１４８において、古典コンピュータ１１０は、ステップＳ１４４で受信した測定結果に基づいて、計算対象の物理量を計算する。

具体的には、古典コンピュータ１１０は、量子コンピュータ１２０により得られた測定結果と、回路パラメータθ^＊、軌道パラメータκ^＊、及び重み係数ｗ_ｓ ^ＶＱＥ，ｗ_ｓ ^ＳＡ等とに基づいて、上記各式の右辺の各項の測定結果の和を計算することにより、上記各式の左辺が表すエネルギーの１階微分、エネルギーの２階微分、及び非断熱結合の値の少なくとも１以上の物理量を計算する。

ステップＳ１５０において、古典コンピュータ１１０は、ステップＳ１４８で得られた計算結果をユーザ端末１３０へ送信する。

ステップＳ１５２において、ユーザ端末１３０は、古典コンピュータ１１０から送信された計算結果を受信する。

以上説明したように、実施形態のハイブリッドシステムは、古典コンピュータが、分子の原子核の位置を表す位置パラメータｘを変数として持つハミルトニアンＨ＾（ｘ）を計算し、分子軌道に関するパラメータである軌道パラメータκを変数として持つ演算子であって、かつ分子軌道の回転を表す演算子である軌道回転演算子Ｕ＾_ＯＯ（κ）を決定する。また、古典コンピュータは、量子回路のパラメータである回路パラメータθを変数として持つ量子回路Ｕ＾（θ）を決定し、ハミルトニアンＨ＾（ｘ）に対して軌道回転と活性空間への射影とを行うことにより、ハミルトニアンＨ＾（ｘ，κ）を生成し、回路パラメータθを変数として持つ第１目的関数を設定する。そして、量子コンピュータが、第１目的関数を最小化又は最大化するような量子回路Ｕ＾（θ）の回路パラメータθ^＊を計算する。古典コンピュータは、回路パラメータθ^＊を定数として持ち、かつ軌道パラメータκを変数として持つ目的関数である第２目的関数を設定する。量子コンピュータは、第２目的関数を最小化又は最大化するような軌道パラメータκ^＊を計算する。量子コンピュータは、回路パラメータθ^＊と軌道パラメータκ^＊とに基づいて、量子回路Ｕ＾（θ^＊）及びハミルトニアンＨ＾（ｘ，κ^＊）の位置パラメータｘによる微分を含む期待値を量子測定することにより、量子測定の測定結果を取得する。そして、古典コンピュータは、量子測定の測定結果に基づいて、ハミルトニアンＨ＾（ｘ）に対応するエネルギーの微分を計算する。これにより、量子コンピュータを用いてＳＡ‐ＯＯの計算を実行する際にエネルギーの微分値を得ることができる。

また、実施形態のハイブリッドシステムは、古典コンピュータが、分子の原子核の位置を表す位置パラメータｘを変数として持つハミルトニアンＨ＾（ｘ）を計算し、分子軌道に関するパラメータである軌道パラメータκを変数として持つ演算子であって、かつ分子軌道の回転を表す演算子である軌道回転演算子Ｕ＾_ＯＯ（κ）を決定する。また、古典コンピュータは、量子回路のパラメータである回路パラメータθを変数として持つ量子回路Ｕ＾（θ）を決定し、ハミルトニアンＨ＾（ｘ）に対して軌道回転と活性空間への射影とを行うことにより、ハミルトニアンＨ＾（ｘ，κ）を生成し、回路パラメータθを変数として持つ第１目的関数を設定する。そして、量子コンピュータが、第１目的関数を最小化又は最大化するような量子回路Ｕ＾（θ）の回路パラメータθ^＊を計算する。古典コンピュータは、回路パラメータθ^＊を定数として持ち、かつ軌道パラメータκを変数として持つ目的関数である第２目的関数を設定する。量子コンピュータは、第２目的関数を最小化又は最大化するような軌道パラメータκ^＊を計算する。量子コンピュータは、回路パラメータθ^＊と軌道パラメータκ^＊とに基づいて、量子回路Ｕ＾（θ^＊）及び軌道回転演算子Ｕ＾_ＯＯ（κ^＊）の位置パラメータｘによる微分を含む期待値を量子測定することにより、量子測定の測定結果を取得する。そして、古典コンピュータは、量子測定の測定結果に基づいて、非断熱結合の値を計算する。これにより、量子コンピュータを用いてＳＡ‐ＯＯの計算を実行する際に非断熱結合の値を得ることができる。

また、古典コンピュータと量子コンピュータとの間の適切な役割分担により、ＳＡ‐ＯＯの計算を実行する際に、エネルギーの微分及び非断熱結合の値を得ることができる。

なお、本開示の技術は、上述した実施形態に限定されるものではなく、この発明の要旨を逸脱しない範囲内で様々な変形や応用が可能である。

例えば、上記実施形態において、古典コンピュータ１１０と量子コンピュータ１２０との間の情報の送受信はどのようになされてもよい。例えば、古典コンピュータ１１０と量子コンピュータ１２０との間における、量子回路のパラメータの送受信及び測定結果の送受信等は、所定の計算が完了する毎に逐次送受信が行われてもよいし、全ての計算が完了した後に送受信が行われてもよい。

また、上記実施形態では、ユーザ端末１３０から古典コンピュータ１１０へ計算対象情報が送信され、古典コンピュータ１１０が計算対象情報に応じた計算を実行する場合を例に説明したが、これに限定されるものではない。ユーザ端末１３０は、ＩＰネットワークなどのコンピュータネットワークを介して古典コンピュータ１１０又は古典コンピュータ１１０がアクセス可能な記憶媒体又は記憶装置に計算対象情報を送信してもよいが、記憶媒体又は記憶装置に記憶して古典コンピュータ１１０の運営者に渡し、当該運営者が古典コンピュータ１１０に当該記憶媒体又は記憶装置を用いて計算対象情報を入力するようにしてもよい。

また、上記実施形態では、電磁波の照射によって量子回路が実行される場合を例に説明したが、これに限定されるものではなく、異なる方式によって量子回路が実行されてもよい。

また、上記実施形態では、損失関数を第１目的関数又は第２目的関数として設定し、それらの目的関数の値が最小となるようなパラメータを計算する場合を例に説明したがこれに限定されるものではない。例えば、損失関数の逆数を第１目的関数又は第２目的関数として設定し、目的関数の値が最大となるようなパラメータを計算するようにしてもよい。

また、上記実施形態では、量子コンピュータ１２０が量子計算を実行する場合を例に説明したが、これに限定されるものではない。例えば、量子コンピュータの挙動を模擬する古典コンピュータによって量子計算が実行されてもよい。

また、上記実施形態では、異なる組織によって古典コンピュータ１１０及び量子コンピュータ１２０が管理されている場合を想定しているが、古典コンピュータ１１０及び量子コンピュータ１２０は同一の組織によって一体として管理されていてもよい。この場合には、量子計算情報の古典コンピュータ１１０から量子コンピュータ１２０への送信及び量子コンピュータ１２０から古典コンピュータ１１０への測定結果の送信は不要となる。また、この場合には、量子コンピュータ１２０の制御装置１２１において上述の説明における古典コンピュータ１１０の役割を担うことが考えられる。

なお、上記実施形態においては、「××のみに基づいて」、「××のみに応じて」、「××のみの場合」というように「のみ」との記載がなければ、本明細書においては、付加的な情報も考慮し得ることが想定されていることに留意されたい。一例として、「ａの場合にｂする」という記載は、明示した場合を除き、「ａの場合に常にｂする」ことを必ずしも意味しない。

また、上記実施形態において、「最適化する」又は「最適化されたパラメータ」等の表現が用いられているが、これら「最適化」の表現は、最適な状態に近づけることを意味することに留意されたい。このため、ある関数が最小となるようなパラメータを得ようとする場合、当該関数を最適化して得られたパラメータは、当該関数が最小となるような大局解ではなく、局所解である場合も想定されることに留意されたい。

また、何らかの方法、プログラム、端末、装置、サーバ又はシステム（以下「方法等」）において、本明細書で記述された動作と異なる動作を行う側面があるとしても、開示の技術の各態様は、本明細書で記述された動作のいずれかと同一の動作を対象とするものであり、本明細書で記述された動作と異なる動作が存在することは、当該方法等を本開示の技術の各態様の範囲外とするものではない。

また、本願明細書中において、プログラムが予めインストールされている実施形態として説明したが、当該プログラムを、コンピュータ読み取り可能な記録媒体に格納して提供することも可能である。

また、本実施形態のハイブリッドシステムの各構成要素は、単一のコンピュータ又はサーバによって実現しなければならないものではなく、ネットワークによって接続された複数のコンピュータに分散して実現されてもよい。

例えば、上記各実施形態の古典コンピュータが実行する処理は、ネットワークによって接続された複数の古典コンピュータが分散して処理するようにしてもよい。または、例えば、上記各実施形態の量子コンピュータが実行する処理は、ネットワークによって接続された複数の量子コンピュータが分散して処理するようにしてもよい。この場合には、少なくとも１以上の古典コンピュータと少なくとも１以上の量子コンピュータとによってハイブリッドシステムが構成される。例えば、複数の古典コンピュータと複数の量子コンピュータとによってハイブリッドシステムが構成される場合を考える。

例えば、エネルギーの微分を計算する場合、複数の古典コンピュータのうちの１つの古典コンピュータが、分子の原子核の位置を表す位置パラメータｘを変数として持つハミルトニアンＨ＾（ｘ）を計算し、分子軌道に関するパラメータである軌道パラメータκを変数として持つ演算子であって、かつ分子軌道の回転を表す演算子である軌道回転演算子Ｕ＾_ＯＯ（κ）を決定し、量子回路のパラメータである回路パラメータθを変数として持つ量子回路Ｕ＾（θ）を決定し、ハミルトニアンＨ＾（ｘ）に対して軌道回転と活性空間への射影とを行うことにより、ハミルトニアンＨ＾（ｘ，κ）を生成し、回路パラメータθを変数として持つ第１目的関数を設定する。そして、１つの古典コンピュータと１つの量子コンピュータとの間の繰り返し計算により、複数の古典コンピュータのうちの１つの古典コンピュータが、１つの量子コンピュータによる量子測定の測定結果に基づいて、第１目的関数を最小化又は最大化するような量子回路Ｕ＾（θ）の回路パラメータθ^＊を計算する。複数の古典コンピュータのうちの１つの古典コンピュータが、回路パラメータθ^＊を定数として持ち、かつ軌道パラメータκを変数として持つ目的関数である第２目的関数を設定する。複数の古典コンピュータのうちの１つの古典コンピュータが、１つの量子コンピュータによる量子測定の測定結果に基づいて、第２目的関数を最小化又は最大化するような軌道パラメータκ^＊を計算する。複数の量子コンピュータのうちの１つの量子コンピュータが、回路パラメータθ^＊と軌道パラメータκ^＊とに基づいて、量子回路Ｕ＾（θ^＊）及びハミルトニアンＨ＾（ｘ，κ^＊）の位置パラメータｘによる微分を含む期待値を量子測定することにより、量子測定の測定結果を取得する。そして、複数の古典コンピュータのうちの１つの古典コンピュータである特定古典コンピュータが、量子測定の測定結果に基づいて、ハミルトニアンＨ＾（ｘ）に対応するエネルギーの微分を計算する。

また、例えば、非断熱結合の値を計算する場合、複数の古典コンピュータのうちの１つの古典コンピュータが、分子の原子核の位置を表す位置パラメータｘを変数として持つハミルトニアンＨ＾（ｘ）を計算し、分子軌道に関するパラメータである軌道パラメータκを変数として持つ演算子であって、かつ分子軌道の回転を表す演算子である軌道回転演算子Ｕ＾_ＯＯ（κ）を決定し、量子回路のパラメータである回路パラメータθを変数として持つ量子回路Ｕ＾（θ）を決定し、ハミルトニアンＨ＾（ｘ）に対して軌道回転と活性空間への射影とを行うことにより、ハミルトニアンＨ＾（ｘ，κ）を生成し、回路パラメータθを変数として持つ第１目的関数を設定する。そして、１つの古典コンピュータと１つの量子コンピュータとの間の繰り返し計算により、複数の古典コンピュータのうちの１つの古典コンピュータが、１つの量子コンピュータによる量子測定の測定結果に基づいて、第１目的関数を最小化又は最大化するような量子回路Ｕ＾（θ）の回路パラメータθ^＊を計算する。そして、複数の古典コンピュータのうちの１つの古典コンピュータが、回路パラメータθ^＊を定数として持ち、かつ軌道パラメータκを変数として持つ目的関数である第２目的関数を設定する。複数の古典コンピュータのうちの１つの古典コンピュータが、１つの量子コンピュータによる量子測定の測定結果に基づいて、第２目的関数を最小化又は最大化するような軌道パラメータκ^＊を計算する。そして、複数の量子コンピュータのうちの１つの量子コンピュータが、回路パラメータθ^＊と軌道パラメータκ^＊とに基づいて、量子回路Ｕ＾（θ^＊）及び軌道回転演算子Ｕ＾_ＯＯ（κ^＊）の位置パラメータｘによる微分を含む期待値を量子測定することにより、量子測定の測定結果を取得する。そして、複数の古典コンピュータのうちの１つの古典コンピュータである特定古典コンピュータが、量子測定の測定結果に基づいて、非断熱結合の値を計算する。

１００ ハイブリッドシステム
１１０ 古典コンピュータ
１１１ 通信部
１１２ 処理部
１１３ 情報記憶部
１２０ 量子コンピュータ
１２１ 制御装置
１２２ 電磁波生成装置
１２３ 量子ビット群
１３０ ユーザ端末

Claims (18)

1. 古典コンピュータと量子コンピュータとを含むハイブリッドシステムが実行する量子情報処理方法であって、
   古典コンピュータが、分子の原子核の位置を表す位置パラメータｘを変数として持つハミルトニアンＨ＾（ｘ）を計算し、分子軌道に関するパラメータである軌道パラメータκを変数として持つ演算子であって、かつ分子軌道の回転を表す演算子である軌道回転演算子Ｕ＾_ＯＯ（κ）を決定し、量子回路のパラメータである回路パラメータθを変数として持つ量子回路Ｕ＾（θ）を決定し、前記ハミルトニアンＨ＾（ｘ）に対して軌道回転と活性空間への射影とを行うことにより、ハミルトニアンＨ＾（ｘ，κ）を生成し、前記回路パラメータθを変数として持つ第１目的関数を設定し、
   古典コンピュータと量子コンピュータとの間の繰り返し計算により、古典コンピュータが、量子コンピュータによる量子測定の測定結果に基づいて、前記第１目的関数を最小化又は最大化するような前記量子回路Ｕ＾（θ）の前記回路パラメータθ^＊を計算し、
   古典コンピュータが、前記回路パラメータθ^＊を定数として持ち、かつ前記軌道パラメータκを変数として持つ目的関数である第２目的関数を設定し、
   古典コンピュータが、量子コンピュータによる量子測定の測定結果に基づいて、前記第２目的関数を最小化又は最大化するような前記軌道パラメータκ^＊を計算し、
   量子コンピュータが、前記回路パラメータθ^＊と前記軌道パラメータκ^＊とに基づいて、前記量子回路Ｕ＾（θ^＊）及び前記ハミルトニアンＨ＾（ｘ，κ^＊）の前記位置パラメータｘによる微分を含む期待値を量子測定することにより、前記量子測定の測定結果を取得し、
   古典コンピュータが、前記量子測定の測定結果に基づいて、前記ハミルトニアンＨ＾（ｘ）に対応するエネルギーの微分を計算する、
   処理を含む量子情報処理方法。
2. ＳＳＶＱＥ（Subspace-search variational quantum eigensolver）を用いてエネルギーの１階微分値を計算する場合、
   量子コンピュータは、以下の式（Ａ１）に示される右辺の各項を量子測定することにより、右辺の各項の前記量子測定の測定結果を出力し、
   古典コンピュータは、以下の式（Ａ１）の右辺の各項の前記測定結果の和を計算することにより、以下の式（Ａ１）の左辺が表すエネルギーの１階微分値を計算する、
   請求項１に記載の量子情報処理方法。
   

   

   
   （Ａ１）
   なお、Ａ，Ｓは固有状態を識別するためのインデックスであり、Ｅ（ｘ）は固有エネルギーであり、μはベクトルである前記位置パラメータｘの要素を識別するためのインデックスであり、ψは活性空間における固有状態であり、Ｕ＾（θ）は前記量子回路であり、θ^－はベクトルである前記回路パラメータθの要素に対応するラグランジュの未定乗数であり、ｉはベクトルである前記回路パラメータθの要素を識別するためのインデックスであり、ｗ^ＶＱＥは固有状態に対する重み係数であり、κ^－は行列である前記軌道パラメータκの行列要素に対応するラグランジュの未定乗数であり、ｐ，ｑは行列要素を識別するためのインデックスであり、ｗ^ＳＡは状態平均エネルギーの重み係数である。
3. ＶＱＤ（Variational quantum deflation）を用いてエネルギーの１階微分値を計算する場合、
   量子コンピュータは、以下の式（Ａ２）に示される右辺の各項を量子測定することにより、右辺の各項の前記量子測定の測定結果を出力し、
   古典コンピュータは、以下の式（Ａ２）の右辺の各項の前記測定結果の和を計算することにより、以下の式（Ａ２）の左辺が表すエネルギーの１階微分値を計算する、
   請求項１に記載の量子情報処理方法。
   

   

   
   （Ａ２）
   なお、Ａ，Ｓは固有状態を識別するためのインデックスであり、Ｅ（ｘ）は固有エネルギーであり、μはベクトルである前記位置パラメータｘの要素を識別するためのインデックスであり、ψは活性空間における固有状態であり、Ｕ＾（θ）は前記量子回路であり、θ^－はベクトルである前記回路パラメータθの要素に対応するラグランジュの未定乗数であり、ｉはベクトルである前記回路パラメータθの要素を識別するためのインデックスであり、κ^－は行列である前記軌道パラメータκの行列要素に対応するラグランジュの未定乗数であり、ｐ，ｑは行列要素を識別するためのインデックスであり、ｗ^ＳＡは状態平均エネルギーの重み係数である。
4. ＭＣＶＱＥ（Multistate-contracted variational quantum eigensolver）を用いてエネルギーの１階微分値を計算する場合、
   量子コンピュータは、以下の式（Ａ３）に示される右辺の各項を量子測定することにより、右辺の各項の前記量子測定の測定結果を出力し、
   古典コンピュータは、以下の式（Ａ３）の右辺の各項の前記測定結果の和を計算することにより、以下の式（Ａ３）の左辺が表すエネルギーの１階微分値を計算する、
   請求項１に記載の量子情報処理方法。
   

   

   
   （Ａ３）
   なお、Ｓ，Ｔは固有状態を識別するためのインデックスであり、ｈは固有エネルギーを表す行列の要素であり、μはベクトルである前記位置パラメータｘの要素を識別するためのインデックスであり、ψは活性空間における固有状態であり、Ｕ＾（θ）は前記量子回路であり、θ^－はベクトルである前記回路パラメータθの要素に対応するラグランジュの未定乗数であり、κ^－は行列である前記軌道パラメータκの行列要素に対応するラグランジュの未定乗数であり、ｐ，ｑは行列要素を識別するためのインデックスであり、ｗ^ＳＡは状態平均エネルギーの重み係数である。
5. ＳＳＶＱＥ（Subspace-search variational quantum eigensolver）を用いてエネルギーの２階微分値を計算する場合、
   量子コンピュータは、以下の式（Ｂ１）に示される右辺の各項を量子測定することにより、右辺の各項の前記量子測定の測定結果を出力し、
   古典コンピュータは、以下の式（Ｂ１）の右辺の各項の前記測定結果の和を計算することにより、以下の式（Ｂ１）の左辺が表すエネルギーの２階微分値を計算する、
   請求項１に記載の量子情報処理方法。
   

   

   
   （Ｂ１）
   なお、Ａは固有状態を識別するためのインデックスであり、Ｅ（ｘ）は固有エネルギーであり、Ｅ^{ＳＳＶＱＥ}はＳＳＶＱＥを用いた場合の前記第１目的関数に相当する損失関数であり、Ｅ^ＳＡは状態平均エネルギーであり、μ，νはベクトルである前記位置パラメータｘの要素を識別するためのインデックスであり、ψは活性空間における固有状態であり、Ｕ＾（θ）は前記量子回路であり、θ^－はベクトルである前記回路パラメータθの要素に対応するラグランジュの未定乗数であり、ｉ，ｊはベクトル要素を識別するためのインデックスであり、κ^－は行列である前記軌道パラメータκの行列要素に対応するラグランジュの未定乗数であり、ｐ，ｑ，ｍ，ｎは行列要素を識別するためのインデックスであり、
   

   

   
   は隣接する項のμとνとが入れ替えられた項を表す。
6. 古典コンピュータと量子コンピュータとを含むハイブリッドシステムが実行する量子情報処理方法であって、
   古典コンピュータが、分子の原子核の位置を表す位置パラメータｘを変数として持つハミルトニアンＨ＾（ｘ）を計算し、分子軌道に関するパラメータである軌道パラメータκを変数として持つ演算子であって、かつ分子軌道の回転を表す演算子である軌道回転演算子Ｕ＾_ＯＯ（κ）を決定し、量子回路のパラメータである回路パラメータθを変数として持つ量子回路Ｕ＾（θ）を決定し、前記ハミルトニアンＨ＾（ｘ）に対して軌道回転と活性空間への射影とを行うことにより、ハミルトニアンＨ＾（ｘ，κ）を生成し、前記回路パラメータθを変数として持つ第１目的関数を設定し、
   古典コンピュータと量子コンピュータとの間の繰り返し計算により、古典コンピュータが、量子コンピュータによる量子測定の測定結果に基づいて、量子コンピュータが、前記第１目的関数を最小化又は最大化するような前記量子回路Ｕ＾（θ）の前記回路パラメータθ^＊を計算し、
   古典コンピュータが、前記回路パラメータθ^＊を定数として持ち、かつ前記軌道パラメータκを変数として持つ目的関数である第２目的関数を設定し、
   古典コンピュータが、量子コンピュータによる量子測定の測定結果に基づいて、量子コンピュータが、前記第２目的関数を最小化又は最大化するような前記軌道パラメータκ^＊を計算し、
   量子コンピュータが、前記回路パラメータθ^＊と前記軌道パラメータκ^＊とに基づいて、前記量子回路Ｕ＾（θ^＊）及び前記軌道回転演算子Ｕ＾_ＯＯ（κ^＊）の前記位置パラメータｘによる微分を含む期待値を量子測定することにより、前記量子測定の測定結果を取得し、
   古典コンピュータが、前記量子測定の測定結果に基づいて、非断熱結合の値を計算する、
   処理を含む量子情報処理方法。
7. ＳＳＶＱＥ（Subspace-search variational quantum eigensolver）を用いて非断熱結合を計算する場合、
   量子コンピュータは、以下の式（Ｃ１）に示される右辺の各項を量子測定することにより、右辺の各項の前記量子測定の測定結果を出力し、
   古典コンピュータは、以下の式（Ｃ１）の右辺の各項の前記測定結果の和を計算することにより、以下の式（Ｃ１）の左辺が表す非断熱結合の値を計算する、
   処理を含む請求項６に記載の量子情報処理方法。
   

   

   
   （Ｃ１）
   なお、Ｓ，Ｔは固有状態を識別するためのインデックスであり、μはベクトルである前記位置パラメータｘの要素を識別するためのインデックスであり、ψは活性空間における固有状態であり、Ｕ＾_ＯＯ（κ）は前記軌道回転演算子であり、Ｕ＾（θ）は前記量子回路であり、ｊはベクトルである前記回路パラメータθの要素を識別するためのインデックスであり、κ_ｐ，ｑは行列である前記軌道パラメータκの行列要素であり、ｐ，ｑは行列要素を識別するためのインデックスである。
8. ＭＣＶＱＥ（Multistate-contracted variational quantum eigensolver）を用いて非断熱結合を計算する場合、
   量子コンピュータは、以下の式（Ｃ２）に示される右辺の各項を量子測定することにより、右辺の各項の前記量子測定の測定結果を出力し、
   古典コンピュータは、以下の式（Ｃ２）の右辺の各項の前記測定結果の和を計算することにより、以下の式（Ｃ２）の左辺が表す非断熱結合の値を計算する、
   処理を含む請求項６に記載の量子情報処理方法。
   

   

   
   （Ｃ２）
   なお、Ｓ，Ｔ，Ｍ，Ｎは固有状態を識別するためのインデックスであり、μはベクトルである前記位置パラメータｘの要素を識別するためのインデックスであり、ψは活性空間における固有状態であり、ｖは固有状態に対応する固有ベクトルであり、Ｕ＾_ＯＯ（κ）は前記軌道回転演算子であり、Ｕ＾（θ）は前記量子回路である。
9. 前記古典コンピュータと前記量子コンピュータとはコンピュータネットワークを介して接続されており、
   前記古典コンピュータと前記量子コンピュータとは、前記コンピュータネットワークを介して情報の送受信を行う、
   請求項１～請求項８の何れか１項に記載の量子情報処理方法。
10. 量子コンピュータが、請求項１～請求項９の何れか１項に記載の量子情報処理方法のうちの量子コンピュータが実行する部分の処理を実行する量子情報処理方法。
11. 古典コンピュータが、請求項１～請求項９の何れか１項に記載の量子情報処理方法のうちの古典コンピュータが実行する部分の処理を実行する量子情報処理方法。
12. 請求項１～請求項９の何れか１項に記載の量子情報処理方法のうちの量子コンピュータが実行する部分の処理を実行する量子コンピュータ。
13. 請求項１～請求項９の何れか１項に記載の量子情報処理方法のうちの古典コンピュータが実行する部分の処理を実行する古典コンピュータ。
14. 請求項１３に記載の古典コンピュータと請求項１２に記載の量子コンピュータとを備えるハイブリッドシステム。
15. 量子コンピュータに、請求項１～請求項９の何れか１項に記載の量子情報処理方法のうちの量子コンピュータが実行する部分の処理を実行させるための量子情報プログラム。
16. 古典コンピュータに、請求項１～請求項９の何れか１項に記載の量子情報処理方法のうちの古典コンピュータが実行する部分の処理を実行させるための量子情報プログラム。
17. 少なくとも１以上の古典コンピュータと少なくとも１以上の量子コンピュータとを含むハイブリッドシステムのうちの１つの古典コンピュータである特定古典コンピュータが実行する量子情報処理方法であって、
    １つの古典コンピュータが、分子の原子核の位置を表す位置パラメータｘを変数として持つハミルトニアンＨ＾（ｘ）を計算し、分子軌道に関するパラメータである軌道パラメータκを変数として持つ演算子であって、かつ分子軌道の回転を表す演算子である軌道回転演算子Ｕ＾_ＯＯ（κ）を決定し、量子回路のパラメータである回路パラメータθを変数として持つ量子回路Ｕ＾（θ）を決定し、前記ハミルトニアンＨ＾（ｘ）に対して軌道回転と活性空間への射影とを行うことにより、ハミルトニアンＨ＾（ｘ，κ）を生成し、前記回路パラメータθを変数として持つ第１目的関数を設定し、
    １つの古典コンピュータと１つの量子コンピュータとの間の繰り返し計算により、１つの古典コンピュータが、量子コンピュータによる量子測定の測定結果に基づいて、前記第１目的関数を最小化又は最大化するような前記量子回路Ｕ＾（θ）の前記回路パラメータθ^＊を計算し、
    １つの古典コンピュータが、前記回路パラメータθ^＊を定数として持ち、かつ前記軌道パラメータκを変数として持つ目的関数である第２目的関数を設定し、
    １つの古典コンピュータが、１つの量子コンピュータによる量子測定の測定結果に基づいて、前記第２目的関数を最小化又は最大化するような前記軌道パラメータκ^＊を計算し、
    １つの量子コンピュータが、前記回路パラメータθ^＊と前記軌道パラメータκ^＊とに基づいて、前記量子回路Ｕ＾（θ^＊）及び前記ハミルトニアンＨ＾（ｘ，κ^＊）の前記位置パラメータｘによる微分を含む期待値を量子測定することにより、前記量子測定の測定結果を取得し、
    特定古典コンピュータが、前記量子測定の測定結果に基づいて、前記ハミルトニアンＨ＾（ｘ）に対応するエネルギーの微分を計算する、
    処理を実行する量子情報処理方法。
18. 少なくとも１以上の古典コンピュータと少なくとも１以上の量子コンピュータとを含むハイブリッドシステムのうちの１つの古典コンピュータである特定古典コンピュータが実行する量子情報処理方法であって、
    １つの古典コンピュータが、分子の原子核の位置を表す位置パラメータｘを変数として持つハミルトニアンＨ＾（ｘ）を計算し、分子軌道に関するパラメータである軌道パラメータκを変数として持つ演算子であって、かつ分子軌道の回転を表す演算子である軌道回転演算子Ｕ＾_ＯＯ（κ）を決定し、量子回路のパラメータである回路パラメータθを変数として持つ量子回路Ｕ＾（θ）を決定し、前記ハミルトニアンＨ＾（ｘ）に対して軌道回転と活性空間への射影とを行うことにより、ハミルトニアンＨ＾（ｘ，κ）を生成し、前記回路パラメータθを変数として持つ第１目的関数を設定し、
    １つの古典コンピュータと１つの量子コンピュータとの間の繰り返し計算により、１つの古典コンピュータが、１つの量子コンピュータによる量子測定の測定結果に基づいて、１つの量子コンピュータが、前記第１目的関数を最小化又は最大化するような前記量子回路Ｕ＾（θ）の前記回路パラメータθ^＊を計算し、
    １つの古典コンピュータが、前記回路パラメータθ^＊を定数として持ち、かつ前記軌道パラメータκを変数として持つ目的関数である第２目的関数を設定し、
    １つの古典コンピュータが、１つの量子コンピュータによる量子測定の測定結果に基づいて、前記第２目的関数を最小化又は最大化するような前記軌道パラメータκ^＊を計算し、
    １つの量子コンピュータが、前記回路パラメータθ^＊と前記軌道パラメータκ^＊とに基づいて、前記量子回路Ｕ＾（θ^＊）及び前記軌道回転演算子Ｕ＾_ＯＯ（κ^＊）の前記位置パラメータｘによる微分を含む期待値を量子測定することにより、前記量子測定の測定結果を取得し、
    特定古典コンピュータが、前記量子測定の測定結果に基づいて、非断熱結合の値を計算する、
    処理を実行する量子情報処理方法。

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