JP2022171190A - 経路検出装置およびプログラム - Google Patents

Abstract

【課題】有向グラフに含まれる特定の種類の単純閉路を検出する。【解決手段】経路検出装置は、強連結成分検出部と、問題生成部と、解取得部と、単純閉路検出部とを備える。強連結成分検出部は、有向グラフに含まれる強連結成分を検出する。問題生成部は、強連結成分について、ＱＵＢＯ問題を生成する。解取得部は、強連結成分について、ＱＵＢＯ問題の解を取得する。単純閉路検出部は、強連結成分について、部分グラフに含まれる単純閉路を検出する。ＱＵＢＯ問題における目的関数に含まれる複数の決定変数は、強連結成分に含まれる複数のノードまたは複数のエッジに対応する。部分グラフは、強連結成分における、解に基づき選択される２以上のノードまたは２以上のエッジを含む一部分であえる。目的関数に含まれるＱＵＢＯ行列は、部分グラフが予め設定された条件を満たす場合に、目的関数が最小となるように設定される。【選択図】図６

Description

本発明の実施形態は、経路検出装置およびプログラムに関する。

有向グラフに含まれる閉路を検出する技術が知られている。有向グラフに含まれる閉路を検出する技術は、例えば、企業間取引において監査すべき対象である循環取引の検出に用いることができる。例えば、企業をノード、支払関係をエッジとした有向グラフを生成し、生成した有向グラフに含まれる単純閉路を検出することによって、企業間の循環取引を検出することができる。

有向グラフに含まれる閉路を検出する従来の技術として、単純閉路検出アルゴリズムが知られている。従来の単純閉路検出アルゴリズムは、有向グラフに含まれる強連結成分を検出し、検出した強連結成分に対して深さ優先探索をすることにより単純閉路を検出する。

しかし、従来の単純閉路検出アルゴリズムは、有向グラフに含まれるノードの個数をＮ、エッジの個数をＥ、単純閉路の個数をＣとした場合、Ｏ_１×（（Ｎ＋Ｅ）×（Ｃ＋１））の計算時間およびＯ_２×（Ｎ＋Ｅ）の計算空間が必要であった。従って、従来の単純閉路検出アルゴリズムは、大規模な有向グラフから単純閉路を検出することは現実的ではなかった。

鈴鹿順美， "グラフ理論を用いた循環取引の検知"， 情報センサー Vol.160 December 2020，P8-11， ［２０２１年４月２６日検索］，インターネット＜ＵＲＬ，https://www.eyjapan.jp/library/issue/info-sensor/2020-12-02.html＞ Johnson, D. B., "Finding all the elementary circuits of a directed graph", SIAM Journal on Computing, 4(1), P77-84, 1975 Tarjan, R., "Depth-first search and linear graph algorithms", SIAM journal on computing, 1(2), P146-160, 1972

本発明が解決しようとする課題は、有向グラフに含まれる特定の種類の単純閉路を、少ない計算時間および少ない計算空間により検出することができる経路検出装置およびプログラムを提供することにある。

実施形態に係る経路検出装置は、有向グラフに含まれる単純閉路を検出する。前記経路検出装置は、強連結成分検出部と、問題生成部と、解取得部と、単純閉路検出部と、出力部と、を備える。前記強連結成分検出部は、前記有向グラフに含まれる１または複数の強連結成分を検出する。前記問題生成部は、前記１または複数の強連結成分のそれぞれについて、ＱＵＢＯ問題を生成する。前記解取得部は、前記１または複数の強連結成分のそれぞれについて、前記ＱＵＢＯ問題の解を取得する。前記単純閉路検出部は、前記１または複数の強連結成分のそれぞれについて、部分グラフに含まれる前記単純閉路を検出する。前記出力部は、検出した前記単純閉路を特定する情報を出力する。前記ＱＵＢＯ問題における目的関数に含まれる複数の決定変数は、前記１または複数の強連結成分のうちの対象の強連結成分に含まれる複数のノードまたは複数のエッジに対応する。前記部分グラフは、前記対象の強連結成分における、前記解に基づき選択される２以上のノードまたは２以上のエッジを含む一部分であえる。前記目的関数に含まれるＱＵＢＯ行列は、前記部分グラフが予め設定された条件を満たす場合に、前記目的関数が最小となるように設定される。

第１実施形態に係る経路検出装置の機能構成を示す図である。 有向グラフの一例を示す図である。 強連結成分の一例を示す図である。 単純閉路の第１例を示す図である。 単純閉路の第２例を示す図である。 第１実施形態に係る経路検出装置の処理を示すフローチャートである。 第２実施形態に係る経路検出装置の処理を示すフローチャートである。 経路検出装置のハードウェア構成を示す図である。

以下、図面を参照しながら実施形態に係る経路検出装置１０について説明する。

（第１実施形態）
図１は、第１実施形態に係る経路検出装置１０の機能構成を示す図である。

経路検出装置１０は、有向グラフに含まれる特定の種類の単純閉路を、少ない計算時間および少ない計算空間により検出する。第１実施形態において、経路検出装置１０は、有向グラフに含まれる複数の単純閉路の全てうちの、確率的に、エッジ数の少ない単純閉路の個数を除き、エッジ数の多い単純閉路を検出する。経路検出装置１０は、プロセッサ、コンピュータまたはサーバ等がプログラムを実行することにより実現される。

経路検出装置１０は、ＱＵＢＯソルバー２２と、グラフ取得部２４と、強連結成分検出部２６と、問題生成部２８と、解取得部３０と、部分グラフ生成部３２と、単純閉路検出部３４と、繰返制御部３６と、出力部３８とを備える。

ＱＵＢＯソルバー２２は、ＱＵＢＯ（Quadratic unconstrained binary optimization）問題の解を算出する。ＱＵＢＯソルバー２２は、ＱＵＢＯ問題を受け取り、受け取ったＱＵＢＯ問題の解を出力する。ＱＵＢＯソルバー２２は、最適解を出力してもよいし、近似解を出力してもよい。ＱＵＢＯソルバー２２は、イジング問題の解を算出するソルバーであってもよい。ＱＵＢＯソルバー２２は、例えば、経路検出装置１０を実現するプロセッサまたはコンピュータがＱＵＢＯ問題の求解プログラムを実行することにより実現される。また、ＱＵＢＯソルバー２２は、サーバ等により提供されてもよい。この場合、ＱＵＢＯソルバー２２は、経路検出装置１０の外部に実現されてもよい。ＱＵＢＯソルバー２２が経路検出装置１０の外部に実現される場合、経路検出装置１０は、ネットワークを介してＱＵＢＯソルバー２２に対してＱＵＢＯ問題を与えて、解をＱＵＢＯソルバー２２からネットワークを介して取得する。

グラフ取得部２４は、単純閉路を検出する対象である有向グラフを取得する。有向グラフについては、図２を参照してさらなる詳細を後述する。

強連結成分検出部２６は、取得した有向グラフに含まれる１または複数の強連結成分を検出する。強連結成分については、図３を参照してさらなる詳細を後述する。

問題生成部２８は、検出した１または複数の強連結成分のそれぞれについて、ＱＵＢＯ問題を生成する。ＱＵＢＯ問題における目的関数に含まれる複数の決定変数は、１または複数の強連結成分のうちの対象の強連結成分に含まれる複数のノードまたは複数のエッジに対応する。第１実施形態において、ＱＵＢＯ問題における複数の決定変数は、対象の強連結成分に含まれる複数のエッジに一対一で対応する。

ＱＵＢＯ問題における目的関数に含まれるＱＵＢＯ行列は、部分グラフが予め設定された条件を満たす場合に、目的関数が最小となるように設定される。部分グラフは、対象の強連結成分における、ＱＵＢＯ問題の解に基づき選択される２以上のノードまたは２以上のエッジを含む一部分である。第１実施形態において、ＱＵＢＯ行列は、部分グラフに含まれる２以上のノードのそれぞれにおける入力次数（in-degree）と出力次数（out-degree）との加算値が第１設定値となる場合に、目的関数が最小となるように設定される。

解取得部３０は、１または複数の強連結成分のそれぞれについて、生成されたＱＵＢＯ問題をＱＵＢＯソルバー２２に与えて、ＱＵＢＯ問題の求解を要求する。そして、解取得部３０は、１または複数の強連結成分のそれぞれについて、生成されたＱＵＢＯ問題の解を、ＱＵＢＯソルバー２２から取得する。

部分グラフ生成部３２は、１または複数の強連結成分のそれぞれについて、ＱＵＢＯ問題の解に基づき選択される部分グラフを生成する。より具体的には、部分グラフ生成部３２は、対象の強連結成分における、ＱＵＢＯ問題の解が１となる決定変数に対応する２以上のノードまたは２以上のエッジを含む一部分を、部分グラフとして検出する。本実施形態においては、部分グラフ生成部３２は、対象の強連結成分における、ＱＵＢＯ問題の解が１となる決定変数に対応する２以上のエッジを含む一部分を、部分グラフとして検出する。

単純閉路検出部３４は、１または複数の強連結成分のそれぞれについて、部分グラフに含まれる単純閉路を検出する。単純閉路については、図４および図５を参照してさらなる詳細を後述する。

繰返制御部３６は、１または複数の強連結成分のそれぞれ毎に、問題生成部２８によるＱＵＢＯ問題の生成、解取得部３０によるＱＵＢＯ問題の解の取得、部分グラフ生成部３２による部分グラフの生成を、部分グラフに含まれるエッジの個数が予め設定された閾値以下となるまで繰り返させる。

繰返制御部３６は、２回目以降のＱＵＢＯ問題の生成処理において、直前の処理で用いたＱＵＢＯ行列を変更した新たなＱＵＢＯ行列を用いて、新たなＱＵＢＯ問題を生成させる。そして、繰返制御部３６は、部分グラフに含まれるエッジの個数が閾値以下である場合、繰返処理を終了して、単純閉路検出部３４に部分グラフに含まれる単純閉路を検出させる。従って、繰返制御部３６は、１または複数の強連結成分のそれぞれ毎に、エッジ数が閾値以下とされた部分グラフに含まれる単純閉路を検出することができる。これにより、繰返制御部３６は、単純経路を検出するための計算時間および計算空間を少なくすることができる。

出力部３８は、１または複数の強連結成分の全てについて検出した単純閉路を、有向グラフに含まれる単純閉路として出力する。出力部３８は、検出した単純閉路を表示手段に表示することによりユーザに提示してもよい。また、出力部３８は、検出した単純閉路をネットワークを介して外部の装置に送信してもよい。

図２は、有向グラフの一例を示す図である。有向グラフは、複数のノード間の接続関係を、向きを有するエッジを用いて表したグラフである。エッジの入力側のノードを元ノードと呼び、エッジの出力側のノードを出力先ノードと呼ぶ。

例示した有向グラフは、Ａ，Ｂ，Ｃ，ＤおよびＥの５個のノードを含む。また、例示した有向グラフは、６個のエッジを含む。６個のエッジは、ＡからＢに向かうエッジ（Ａ→Ｂ）と、ＢからＣに向かうエッジ（Ｂ→Ｃ）と、ＣからＡに向かうエッジ（Ｃ→Ａ）と、ＢからＤに向かうエッジ（Ｂ→Ｄ）と、ＤからＡに向かうエッジ（Ｄ→Ａ）と、ＤからＥに向かうエッジ（Ｄ→Ｅ）とを含む。

図３は、強連結成分の一例を示す図である。強連結成分は、有向グラフの一部分のグラフであって、任意の２つのノードの間に双方向に行き来が可能な経路を含む極大なグラフである。

図３に示すように、例示した有向グラフに含まれる強連結成分は、Ａ、Ｂ、ＣおよびＤを含むグラフである。Ａ、Ｂ、ＣおよびＤを含むグラフは、Ａ、Ｂ、ＣおよびＤのうちの任意の２つのノードを選択した場合、双方向に行き来が可能な経路が存在する。さらに、Ａ、Ｂ、ＣおよびＤを含むグラフは、他のどのノードを加えても強連結成分とはならない。従って、Ａ、Ｂ、ＣおよびＤを含むグラフは、例示した有向グラフの一部分であって、任意の２つのノードの間に双方向に行き来が可能な経路を含む極大なグラフである。

図４は、単純閉路の第１例を示す図である。図５は、単純閉路の第２例を示す図である。閉路は、ある任意のノードから開始し、開始したノードに戻る経路である。単純閉路は、閉路のうちの、重複するノードが存在しない、すなわち、同一のノードが２個以上含まれない経路である。

図４に示すように、例示した有向グラフに含まれる単純閉路の一つは、Ａ→Ｂ→Ｃ→Ａの経路である。また、図５に示すように、例示した有向グラフに含まれる単純閉路の一つは、Ａ→Ｂ→Ｄ→Ａの経路である。

図６は、第１実施形態に係る経路検出装置１０の処理の流れを示すフローチャートである。経路検出装置１０は、図６に示す流れで処理を実行する。

まず、Ｓ１１において、グラフ取得部２４は、単純閉路を検出する対象である有向グラフを取得する。

例えば、グラフ取得部２４は、表１に示すような、有向グラフに含まれる複数のエッジのそれぞれについて、元ノードと、出力先ノードとが記述された情報を取得する。なお、グラフ取得部２４は、このような記述に限らず他の方法で記述された有向グラフを取得してもよい。

続いて、Ｓ１２において、強連結成分検出部２６は、取得した有向グラフを解析して、取得した有向グラフに含まれる１または複数の強連結成分を検出する。強連結成分検出部２６は、一例として、非特許文献３に示されているTarjan’s algorithmを用いて、有向グラフから強連結成分を検出することができる。

続いて、経路検出装置１０は、１または複数の強連結成分のそれぞれについて、Ｓ１４からＳ２０までの処理を実行する（Ｓ１３とＳ２１との間のループ処理）。

Ｓ１４において、問題生成部２８は、Ｓ１４からＳ２０までの処理を実行する対象の強連結成分について、ＱＵＢＯ問題を生成する。第１実施形態において、ＱＵＢＯ問題における目的関数に含まれる複数の決定変数は、対象の強連結成分に含まれる複数のエッジに一対一で対応する。

続いて、Ｓ１５において、解取得部３０は、対象の強連結成分について、生成されたＱＵＢＯ問題をＱＵＢＯソルバー２２に与えて、ＱＵＢＯ問題の求解を要求する。そして、解取得部３０は、対象の強連結成分について、生成されたＱＵＢＯ問題の解を、ＱＵＢＯソルバー２２から取得する。

続いて、Ｓ１６において、部分グラフ生成部３２は、対象の強連結成分について、ＱＵＢＯ問題の解に基づき選択される部分グラフを生成する。より具体的には、部分グラフ生成部３２は、対象の強連結成分における、ＱＵＢＯ問題の解が１となる決定変数に対応する２以上のノードまたは２以上のエッジを含む一部分を、部分グラフとして検出する。第１実施形態においては、部分グラフ生成部３２は、対象の強連結成分における、ＱＵＢＯ問題の解が１となる決定変数に対応する２以上のエッジを含み、解が０となる決定変数に対応するエッジを含まない一部分を、部分グラフとして検出する。

ここで、第１実施形態において、問題生成部２８は、ＱＵＢＯ問題における目的関数として、式（１）に示す関数を生成する。

Ｅは、対象の強連結成分に含まれるエッジの個数である。ｉおよびｊは、１以上Ｅ以下の整数であり、エッジのインデックスを表す。ｘ_ｉは、Ｅ個のエッジのうちのｉ番目のエッジに対応する決定変数である。ｘ_ｊは、Ｅ個のエッジのうちのｊ番目のエッジに対応する決定変数である。

Ｑ_ｉ，ｊは、ＱＵＢＯ行列に含まれるｉ番目のエッジに対応する決定変数とｊ番目のエッジに対応する決定変数との組に乗算される係数である。

第１実施形態において、ＱＵＢＯ行列は、Ｅ×Ｅの正方行列である。第１実施形態において、ＱＵＢＯ行列は、部分グラフに含まれる２以上のノードのそれぞれにおける入力次数と出力次数との加算値が第１設定値となる場合に、目的関数が最小となるように設定される。入力次数は、ノードへと入るエッジの個数である。出力次数は、ノードから出るエッジの個数である。

第１実施形態において、ＱＵＢＯ行列に含まれる係数であるＱ_ｉ，ｊは、式（２）により表される。

Ｑ^α _ｉ，ｊは、ｉ番目のエッジに対応する決定変数とｊ番目のエッジに対応する決定変数との組に乗算される係数の第１項である。Ｑ^{ｓｏｕｒｃｅ} _ｉ，ｊは、ｉ番目のエッジに対応する決定変数とｊ番目のエッジに対応する決定変数との組に乗算される係数の第２項である。Ｑ^{ｄｅｓｔｉｎａｔｉｏｎ} _ｉ，ｊは、ｉ番目のエッジに対応する決定変数とｊ番目のエッジに対応する決定変数との組に乗算される係数の第３項である。

ｓｏｕｒｃｅ_ｉは、ｉ番目のエッジの元ノードを表す。ｓｏｕｒｃｅ_ｊは、ｊ番目のエッジの元ノードを表す。ｄｅｓｔｉｎａｔｉｏｎ_ｉは、ｉ番目のエッジの出力先ノードを表す。ｄｅｓｔｉｎａｔｉｏｎ_ｊは、ｊ番目のエッジの出力先ノードを表す。

そして、αは、正の実数である。例えば、αは、初期値がユーザ等により設定される。

係数の第１項であるＱ^α _ｉ，ｊは、ＱＵＢＯ行列の対角成分の係数に－４αを加算し、対角成分以外の係数に０を加算することを表す。係数の第２項であるＱ^{ｓｏｕｒｃｅ} _ｉ，ｊは、元エッジが共通する２つのエッジの組に対応する係数に＋１を加算し、元エッジが共通しない２つのエッジの組に対応する係数に０を加算することを表す。係数の第３項であるＱ^{ｄｅｓｔｉｎａｔｉｏｎ} _ｉ，ｊは、出力先エッジが共通する２つのエッジの組に対応する係数に＋１を加算し、出力先エッジが共通しない２つのエッジの組に対応する係数に０を加算することを表す。

例えば、問題生成部２８は、表１に示した有向グラフに含まれる強連結成分について、式（２）を実行した場合、下記の表２に示すＱＵＢＯ行列を生成することができる。

式（２）に従って算出されたＱＵＢＯ行列を含む目的関数は、部分グラフに含まれる２以上のノードのそれぞれにおける入力次数と出力次数との加算値が２×αとなるように、Ｎ個の決定変数の値が選択された場合に、最小値となる。すなわち、式（２）に従って算出されたＱＵＢＯ行列を含む目的関数を用いたＱＵＢＯ問題は、部分グラフに含まれる２以上のノードのそれぞれにおける入力次数と出力次数との加算値が２×αとなる近傍において、大域的最小値を返す。なお、２×αは、第１設定値に相当する値である。

従って、式（２）に従って算出されたＱＵＢＯ行列を含む目的関数を用いたＱＵＢＯ問題は、対象の強連結成分のうちの、入力次数と出力次数との加算値が２×αより大きいノードからエッジを除き、入力次数と出力次数との加算値が２×α以下のノードのエッジを残すような、解を返すことができる。このため、式（２）に従って算出されたＱＵＢＯ行列を含む目的関数を用いたＱＵＢＯ問題は、多重エッジおよび多重経路を高い確率で除いた部分グラフを選択する解を返すことができる。

なお、ＱＵＢＯ行列は、式（２）に示す行列に限らず他の行列であってもよい。例えば、ＱＵＢＯ行列は、式（２）に示す行列に係数が乗算された行列であってもよい。また、ＱＵＢＯ行列における係数の第１項であるＱ^α _ｉ，ｊは、ＱＵＢＯ行列の対角成分の係数に－４αを加算するのではなく、－１×Ａ×αを加算してもよい。なお、Ａは、正の整数である。

Ｓ１６に続いて、Ｓ１７において、繰返制御部３６は、生成した部分グラフのエッジ数を検出する。続いて、Ｓ１８において、繰返制御部３６は、対象の強連結成分について、生成した部分グラフに含まれるエッジの個数が予め設定された閾値以下であるか否かを判断する。繰返制御部３６は、生成した部分グラフに含まれるエッジの個数が閾値より多い場合（Ｓ１８のＮｏ）、処理をＳ１９に進める。

Ｓ１９において、繰返制御部３６は、ＱＵＢＯ行列の算出に用いるαを所定量減少させる。繰返制御部３６は、Ｓ１９を終えると、処理をＳ１４に戻す。そして、問題生成部２８は、Ｓ１４から処理を繰り返す。

部分グラフに含まれるエッジの個数は、ノードにおける入力次数と出力次数との加算値の、部分グラフの全体の合計に比例する。このため、部分グラフに含まれるエッジの個数は、αの増加に従って、単調増加する。従って、繰返制御部３６は、αを変更して、ＱＵＢＯ問題の生成および部分グラフの生成を繰り返すことにより、部分グラフに含まれるエッジの個数を目的値に制御することができる。例えば、繰返制御部３６は、二分探索により部分グラフに含まれるエッジの個数を目的値に制御することができる。

繰返制御部３６は、部分グラフに含まれるエッジの個数が閾値以下である場合（Ｓ１８のＹｅｓ）、処理をＳ２０に進める。

Ｓ２０において、単純閉路検出部３４は、対象の強連結成分のそれぞれについて、部分グラフに含まれる単純閉路を検出する。例えば、単純閉路検出部３４は、深さ優先探索処理により、部分グラフから単純閉路を検出する。例えば、単純閉路検出部３４は、非特許文献２に記載されたJohnson’s algorithmを用いて、部分グラフに含まれる単純閉路を検出することができる。

Ｓ２１において、経路検出装置１０は、１または複数の強連結成分の全てについて、Ｓ１４からＳ２０までの処理を実行したか否かを判断する。経路検出装置１０は、１または複数の強連結成分の全てについては実行が完了していない場合には、未実行の強連結成分について、Ｓ１４からＳ２０までの処理を実行する。経路検出装置１０は、１または複数の強連結成分の全てについて、Ｓ１４からＳ２０までの処理を完了した場合には、処理をＳ２２に進める。

Ｓ２２において、出力部３８は、１または複数の強連結成分の全てについて検出した単純閉路を、出力する。経路検出装置１０は、Ｓ２２を終了すると、本フローを終了する。

以上のような第１実施形態に係る経路検出装置１０は、有向グラフに含まれる１または複数の強連結成分のそれぞれについて、入力次数と出力次数との加算値が多いノードからエッジを除き、入力次数と出力次数との加算値が少ないノードからエッジを除かないように、部分ノードを検出する。これにより、経路検出装置１０は、有向グラフから、多重エッジおよび多重経路を高い確率で除いた部分グラフを検出することができる。

そして、経路検出装置１０は、このような部分グラフから単純閉路を検出する。従って、経路検出装置１０は、有向グラフに含まれるエッジ数の多い単純閉路を、少ない計算時間および少ない計算空間で検出することができる。

（第２実施形態）
つぎに、第２実施形態に係る経路検出装置１０を説明する。第２実施形態に係る経路検出装置１０は、有向グラフに含まれる特定の種類の単純閉路を、少ない計算時間および少ない計算空間により検出する。本実施形態において、経路検出装置１０は、有向グラフに含まれる複数の単純閉路の全てうちの、確率的に、エッジ数の多い単純閉路の個数を除き、エッジ数の少ない単純閉路を検出する。

なお、第２実施形態に係る経路検出装置１０は、第１実施形態と同一のブロック構成を有し、それぞれが略同一の機能を有する。第２実施形態において、第１実施形態と同一または対応する係数、変数、機能ブロックおよびステップについて、同一の記号または符号を付けて適宜説明を省略し、相違点を中心に説明をする。

図７は、第２実施形態に係る経路検出装置１０の処理の流れを示すフローチャートである。第２実施形態に係る経路検出装置１０は、図７に示す流れで処理を実行する。

第２実施形態に係る経路検出装置１０の処理は、図６に示す第１実施形態の処理と比較して、Ｓ１４に代えてＳ３１となり、Ｓ１６に代えてＳ３２となり、Ｓ１９に代えてＳ３３となっている点において異なる。

まず、Ｓ１１において、グラフ取得部２４は、有向グラフを取得する。続いて、Ｓ１２において、強連結成分検出部２６は、取得した有向グラフに含まれる１または複数の強連結成分を検出する。

続いて、経路検出装置１０は、１または複数の強連結成分のそれぞれについて、Ｓ３１からＳ２０までの処理を実行する（Ｓ１３とＳ２１との間のループ処理）。

Ｓ３１において、問題生成部２８は、対象の強連結成分について、ＱＵＢＯ問題を生成する。第２実施形態において、ＱＵＢＯ問題における目的関数に含まれる複数の決定変数は、対象の強連結成分に含まれる複数のノードに一対一で対応する。

続いて、Ｓ１５において、解取得部３０は、対象の強連結成分について、生成されたＱＵＢＯ問題をＱＵＢＯソルバー２２に与えて、ＱＵＢＯ問題の求解を要求する。そして、解取得部３０は、対象の強連結成分について、生成されたＱＵＢＯ問題の解を、ＱＵＢＯソルバー２２から取得する。

続いて、Ｓ３２において、部分グラフ生成部３２は、対象の強連結成分について、ＱＵＢＯ問題の解に基づき選択される部分グラフを生成する。第２実施形態においては、部分グラフ生成部３２は、対象の強連結成分における、ＱＵＢＯ問題の解が１となる決定変数に対応する２以上のノードを含み、解が０となる決定変数に対応するノードを含まない一部分を、部分グラフとして検出する。

ここで、第２実施形態において、問題生成部２８は、ＱＵＢＯ問題における目的関数として、式（３）に示す関数を生成する。

Ｎは、対象の強連結成分に含まれるノードの個数である。ｉおよびｊは、１以上Ｎ以下の整数であり、ノードのインデックスを表す。

ｘ_ｉは、Ｎ個のノードのうちのｉ番目のノードに対応する決定変数である。ｘ_ｊは、Ｎ個のノードのうちのｊ番目のノードに対応する決定変数である。

Ｑ_ｉ，ｊは、ＱＵＢＯ行列に含まれるｉ番目のノードに対応する決定変数とｊ番目のノードに対応する決定変数との組に乗算される係数である。

第２実施形態において、ＱＵＢＯ行列は、Ｎ×Ｎの正方行列である。第２実施形態において、ＱＵＢＯ行列は、部分グラフに含まれる２以上のノードのそれぞれにおける接続されていないノードの個数が第２設定値となる場合に、目的関数が最小値となるように設定される。

第２実施形態において、ＱＵＢＯ行列に含まれる係数であるＱ_ｉ，ｊは、式（４）により表される。

Ｑ_ｉ，ｊは、ｉ番目のノードに対応する決定変数とｊ番目のノードに対応する決定変数との組に乗算される係数である。Ｅｄｇｅｓは、対象の強連結成分に含まれる複数のエッジの集合を表す。（ｉ，ｊ）は、ｉ番目のノードから出てｊ番目のノードに入るエッジを表す。

従って、式（４）により表されるＱ_ｉ，ｊは、同一のノードの組に対応する係数は、－１となる。異なるノードの組に対応する係数は、エッジにより接続される場合には、０とされ、エッジにより接続されていない場合には、１／（１＋β）とされる。βは、正の実数であり、第２設定値に対応する。例えば、βは、初期値がユーザ等により設定される。

式（４）に従って算出されたＱＵＢＯ行列を含む目的関数は、部分グラフに含まれる２以上のノードのそれぞれにおける接続していないノードの個数がβとなるように、Ｎ個の決定変数の値が選択された場合に、最小値となる。すなわち、式（４）に従って算出されたＱＵＢＯ行列を含む目的関数を用いたＱＵＢＯ問題は、部分グラフに含まれる２以上のノードのそれぞれにおける接続していないノードの個数がβとなる近傍において、大域的最小値を返す。

従って、式（４）に従って算出されたＱＵＢＯ行列を含む目的関数を用いたＱＵＢＯ問題は、対象の強連結成分のうちの、接続していないノードの個数がβより多いノードを除き、接続していないノードの個数がβ以下のノードを残すような、解を返すことができる。このため、式（４）に従って算出されたＱＵＢＯ行列を含む目的関数を用いたＱＵＢＯ問題は、エッジ数の多い単純閉路を除き、エッジ数の少ない単純閉路を残した相互に密に接続された２以上のノードを含む部分グラフを選択する解を返すことができる。

なお、ＱＵＢＯ行列は、式（４）に示す行列に限らず他の行列であってもよい。例えば、ＱＵＢＯ行列は、式（４）に示す行列に係数が乗算された行列であってもよい。また、ＱＵＢＯ行列における、エッジにより接続される異なるノードの組に対応する係数は、１／（Ｂ＋β）であってもよい。なお、Ｂは、正の整数である。

Ｓ３２に続いて、Ｓ１７において、繰返制御部３６は、部分グラフのエッジ数を検出する。続いて、Ｓ１８において、繰返制御部３６は、対象の強連結成分について、生成した部分グラフに含まれるエッジの個数が予め設定された閾値以下であるか否かを判断する。繰返制御部３６は、生成した部分グラフに含まれるエッジの個数が閾値より多い場合（Ｓ１８のＮｏ）、処理をＳ３３に進める。

Ｓ３３において、繰返制御部３６は、ＱＵＢＯ行列の算出に用いるβを所定量減少させる。繰返制御部３６は、Ｓ３３を終えると、処理をＳ３１に戻す。そして、問題生成部２８は、Ｓ３１から処理を繰り返す。

部分グラフに含まれるエッジの個数は、ノードにおける接続されていないノードの個数の、部分グラフの全体の合計が多い程、多くなる。このため、部分グラフに含まれるエッジの個数は、βに比例する。従って、繰返制御部３６は、βを変更して、ＱＵＢＯ問題の生成および部分グラフの生成を繰り返すことにより、部分グラフに含まれるエッジの個数を目的値に制御することができる。例えば、繰返制御部３６は、二分探索により部分グラフに含まれるエッジの個数を目的値に制御することができる。

繰返制御部３６は、部分グラフに含まれるエッジの個数が閾値以下である場合（Ｓ１８のＹｅｓ）、処理をＳ２０に進める。

Ｓ２０において、単純閉路検出部３４は、対象の強連結成分のそれぞれについて、部分グラフに含まれる単純閉路を検出する。

Ｓ２１において、経路検出装置１０は、１または複数の強連結成分の全てについて、Ｓ３１からＳ２０までの処理を実行したか否かを判断する。経路検出装置１０は、１または複数の強連結成分の全てについては実行が完了していない場合には、未実行の強連結成分について、Ｓ３１からＳ２０までの処理を実行する。経路検出装置１０は、１または複数の強連結成分の全てについて、Ｓ３１からＳ２０までの処理を完了した場合には、処理をＳ２２に進める。

Ｓ２２において、出力部３８は、１または複数の強連結成分の全てについて検出した単純閉路を、出力する。経路検出装置１０は、Ｓ２２を終了すると、本フローを終了する。

以上のような第２実施形態に係る経路検出装置１０は、有向グラフに含まれる１または複数の強連結成分のそれぞれについて、接続していないノードの個数が多いノードを除き、接続していないノードの個数が少ないノードを除かないように、部分ノードを検出する。これにより、経路検出装置１０は、有向グラフから、エッジ数の多い単純閉路を高い確率で除いた部分グラフを検出することができる。

そして、経路検出装置１０は、このような部分グラフから単純閉路を検出する。従って、経路検出装置１０は、有向グラフに含まれるエッジ数の少ない単純閉路を、少ない計算時間および少ない計算空間で検出することができる。

（ハードウェア構成）
図８は、経路検出装置１０のハードウェアブロック図である。経路検出装置１０は、一例として、図８に示すような一般のコンピュータ（情報処理装置）と同様のハードウェア構成により実現される。経路検出装置１０は、図８に示すような１つのコンピュータまたはサーバにより実現されてもよいし、協働して動作する複数のコンピュータまたはサーバにより実現されてもよい。また、経路検出装置１０は、一部に専用のハードウェア回路を備える構成であってもよい。

経路検出装置１０は、メモリ２０４と、１または複数のハードウェアプロセッサ２０６と、記憶装置２０８と、操作装置２１０と、表示装置２１２と、通信装置２１４とを備える。各部は、バスにより接続される。

メモリ２０４は、例えば、ＲＯＭ２２２と、ＲＡＭ２２４とを含む。ＲＯＭ２２２は、経路検出装置１０の制御に用いられるプログラムおよび各種設定情報等を書き換え不可能に記憶する。ＲＡＭ２２４は、ＳＤＲＡＭ（Synchronous Dynamic Random Access Memory）等の揮発性の記憶媒体である。ＲＡＭ２２４は、１または複数のハードウェアプロセッサ２０６の作業領域として機能する。

１または複数のハードウェアプロセッサ２０６は、メモリ２０４（ＲＯＭ２２２およびＲＡＭ２２４）にバスを介して接続される。１または複数のハードウェアプロセッサ２０６のそれぞれは、例えば、ＣＰＵ（Central Processing Unit）であってもよいし、演算用のハードウェア回路であってもよい。

１または複数のハードウェアプロセッサ２０６は、ＲＡＭ２２４の所定領域を作業領域としてＲＯＭ２２２または記憶装置２０８に予め記憶された各種プログラムとの協働により各種処理を実行し、経路検出装置１０を構成する各部の動作を統括的に制御する。また、１または複数のハードウェアプロセッサ２０６は、ＲＯＭ２２２または記憶装置２０８に予め記憶されたプログラムとの協働により、操作装置２１０、表示装置２１２および通信装置２１４等を制御する。

記憶装置２０８は、フラッシュメモリ等の半導体による記憶媒体、磁気的または光学的に記録可能な記憶媒体等の書き換え可能な記録装置である。記憶装置２０８は、経路検出装置１０の制御に用いられるプログラムおよび各種設定情報等を記憶する。

操作装置２１０は、マウスおよびキーボード等の入力デバイスである。操作装置２１０は、ユーザから操作入力された情報を受け付け、受け付けた情報を１または複数のハードウェアプロセッサ２０６に出力する。

表示装置２１２は、情報をユーザに表示する。表示装置２１２は、１または複数のハードウェアプロセッサ２０６から情報等を受け取り、受け取った情報を表示する。なお、通信装置２１４または記憶装置２０８等に情報を出力する場合、経路検出装置１０は、表示装置２１２を備えなくてもよい。通信装置２１４は、外部の機器と通信して、ネットワーク等を介して情報を送受信する。

本実施形態の経路検出装置１０で実行されるプログラムは、インストール可能な形式または実行可能な形式のファイルでＣＤ－ＲＯＭ、フレキシブルディスク（ＦＤ）、ＣＤ－Ｒ、ＤＶＤ（Digital Versatile Disk）等のコンピュータで読み取り可能な記録媒体に記録されて提供される。

また、本実施形態の経路検出装置１０で実行されるプログラムを、インターネット等のネットワークに接続されたコンピュータ上に格納し、ネットワーク経由でダウンロードさせることにより提供するように構成してもよい。また、本実施形態の経路検出装置１０で実行されるプログラムをインターネット等のネットワーク経由で提供または配布するように構成してもよい。また、本実施形態の経路検出装置１０で実行されるプログラムを、ＲＯＭ等に予め組み込んで提供するように構成してもよい。

情報処理装置を経路検出装置１０として機能させるためのプログラムは、例えば、グラフ取得モジュール、強連結成分検出モジュール、問題生成モジュール、解取得モジュール、部分グラフ生成モジュール、単純閉路検出モジュール、繰返制御モジュール、および、出力モジュールを含むモジュール構成となっている。さらに、プログラムは、ＱＵＢＯソルバーモジュールを含んでもよい。このプログラムは、１または複数のハードウェアプロセッサ２０６により実行されることにより各モジュールがメモリ２０４のＲＡＭ２２４にロードされ、１または複数のハードウェアプロセッサ２０６を、グラフ取得部２４、強連結成分検出部２６、問題生成部２８、解取得部３０、部分グラフ生成部３２、単純閉路検出部３４、繰返制御部３６および出力部３８として機能させる。さらに、このプログラムは、１または複数のハードウェアプロセッサ２０６を、ＱＵＢＯソルバー２２として機能させてもよい。なお、これらの構成は、一部または全部がハードウェアにより構成されていてもよい。

本発明のいくつかの実施形態を説明したが、これらの実施形態は、例として提示したものであり、発明の範囲を限定することは意図していない。これら新規な実施形態は、その他の様々な形態で実施されることが可能であり、発明の要旨を逸脱しない範囲で、種々の省略、置き換え、変更を行うことができる。これら実施形態やその変形は、発明の範囲や要旨に含まれるとともに、請求の範囲に記載された発明とその均等の範囲に含まれる。

１０ 経路検出装置
２２ ＱＵＢＯソルバー
２４ グラフ取得部
２６ 強連結成分検出部
２８ 問題生成部
３０ 解取得部
３２ 部分グラフ生成部
３４ 単純閉路検出部
３６ 繰返制御部
３８ 出力部

Claims (10)

1. 有向グラフに含まれる単純閉路を検出する経路検出装置であって、
   前記有向グラフに含まれる１または複数の強連結成分を検出する強連結成分検出部と、
   前記１または複数の強連結成分のそれぞれについて、ＱＵＢＯ問題を生成する問題生成部と、
   前記１または複数の強連結成分のそれぞれについて、前記ＱＵＢＯ問題の解を取得する解取得部と、
   前記１または複数の強連結成分のそれぞれについて、部分グラフに含まれる前記単純閉路を検出する単純閉路検出部と、
   検出した前記単純閉路を特定する情報を出力する出力部と、
   を備え、
   前記ＱＵＢＯ問題における目的関数に含まれる複数の決定変数は、前記１または複数の強連結成分のうちの対象の強連結成分に含まれる複数のノードまたは複数のエッジに対応し、
   前記部分グラフは、前記対象の強連結成分における、前記解に基づき選択される２以上のノードまたは２以上のエッジを含む一部分であり、
   前記目的関数に含まれるＱＵＢＯ行列は、前記部分グラフが予め設定された条件を満たす場合に、前記目的関数が最小となるように設定される
   経路検出装置。
2. 前記複数の決定変数は、前記対象の強連結成分に含まれる前記複数のエッジに対応し、
   前記ＱＵＢＯ行列は、前記部分グラフに含まれる２以上のノードのそれぞれにおける入力次数と出力次数との加算値が第１設定値となる場合に、前記目的関数が最小となるように、設定される
   請求項１に記載の経路検出装置。
3. 前記問題生成部は、下記式（１）に示す前記目的関数を生成し、
   

   

   ｉおよびｊは、１以上Ｅ以下の整数であり、
   Ｅは、前記対象の強連結成分に含まれる前記複数のエッジの個数であり、
   ｘ_ｉは、ｉ番目のエッジに対応する決定変数であり、
   ｘ_ｊは、ｊ番目のエッジに対応する決定変数であり、
   Ｑ_ｉ，ｊは、前記ＱＵＢＯ行列に含まれるｉ番目のエッジに対応する決定変数とｊ番目のエッジに対応する決定変数との組に乗算される係数である
   請求項２に記載の経路検出装置。
4. Ｑ_ｉ，ｊは、下記式（２）により表され、
   

   

   Ｑ^α _ｉ，ｊは、ｉ番目のエッジに対応する決定変数とｊ番目のエッジに対応する決定変数との組に乗算される係数の第１項であり、
   Ｑ^{ｓｏｕｒｃｅ} _ｉ，ｊは、ｉ番目のエッジに対応する決定変数とｊ番目のエッジに対応する決定変数との組に乗算される係数の第２項であり、
   Ｑ^{ｄｅｓｔｉｎａｔｉｏｎ} _ｉ，ｊは、ｉ番目のエッジに対応する決定変数とｊ番目のエッジに対応する決定変数との組に乗算される係数の第３項であり、
   αは、正の実数であり、
   ｓｏｕｒｃｅ_ｉは、ｉ番目のエッジの元ノードを表し、
   ｓｏｕｒｃｅ_ｊは、ｊ番目のエッジの出力先ノードを表し、
   ｄｅｓｔｉｎａｔｉｏｎ_ｉは、ｉ番目のエッジの元ノードを表し、
   ｄｅｓｔｉｎａｔｉｏｎ_ｊは、ｊ番目のエッジの出力先ノードを表す
   請求項３に記載の経路検出装置。
5. 前記１または複数の強連結成分のそれぞれ毎に、前記ＱＵＢＯ問題の生成および前記ＱＵＢＯ問題の解の取得を繰り返させる繰返制御部をさらに備え、
   前記繰返制御部は、
   ２回目以降の前記ＱＵＢＯ問題の生成処理において、直前の処理で用いたαから所定量減少させた新たなαを用いて、新たな前記ＱＵＢＯ問題を生成させ、
   前記部分グラフに含まれるエッジの個数が閾値以下である場合、繰返処理を終了して、前記部分グラフに含まれる前記単純閉路を検出させる
   請求項４に記載の経路検出装置。
6. 前記複数の決定変数は、前記対象の強連結成分に含まれる前記複数のノードに対応し、
   前記ＱＵＢＯ行列は、前記部分グラフに含まれる２以上のノードのそれぞれにおける接続されていないノードの個数が第２設定値となる場合に、前記目的関数が最小値となるように、設定される
   請求項１に記載の経路検出装置。
7. 前記目的関数は、下記式（３）により表され、
   

   

   ｉおよびｊは、１以上Ｎ以下の整数であり、
   Ｎは、前記対象の強連結成分に含まれる前記複数のノードの個数であり、
   ｘ_ｉは、ｉ番目のノードに対応する決定変数であり、
   ｘ_ｊは、ｊ番目のノードに対応する決定変数であり、
   Ｑ_ｉ，ｊは、前記ＱＵＢＯ行列に含まれるｉ番目のノードに対応する決定変数とｊ番目のノードに対応する決定変数との組に乗算される係数である
   請求項６に記載の経路検出装置。
8. Ｑ_ｉ，ｊは、下記式（４）により表され、
   

   

   βは、正の実数であり、
   Ｅｄｇｅｓは、前記対象の強連結成分に含まれるエッジの集合であり、
   （ｉ，ｊ）は、ｉ番目のノードからｊ番目のノードへと向かうエッジである
   請求項７に記載の経路検出装置。
9. 前記１または複数の強連結成分のそれぞれ毎に、前記ＱＵＢＯ問題の生成および前記ＱＵＢＯ問題の解の取得を繰り返させる繰返制御部をさらに備え、
   前記繰返制御部は、
   ２回目以降の前記ＱＵＢＯ問題の生成処理において、直前の処理で用いたβから所定量減少させた新たなβを用いて、新たな前記ＱＵＢＯ問題を生成させ、
   前記部分グラフに含まれるエッジの個数が閾値以下である場合、繰返処理を終了して、前記部分グラフに含まれる前記単純閉路を検出させる
   請求項８に記載の経路検出装置。
10. 情報処理装置を、有向グラフに含まれる単純閉路を検出す経路検出装置として機能させるためのプログラムであって、
    前記情報処理装置を、
    前記有向グラフに含まれる１または複数の強連結成分を検出する強連結成分検出部と、
    前記１または複数の強連結成分のそれぞれについて、ＱＵＢＯ問題を生成する問題生成部と、
    前記１または複数の強連結成分のそれぞれについて、前記ＱＵＢＯ問題の解を取得する解取得部と、
    前記１または複数の強連結成分のそれぞれについて、部分グラフに含まれる前記単純閉路を検出する単純閉路検出部と、
    検出した前記単純閉路を特定する情報を出力する出力部と、
    して機能させ、
    前記ＱＵＢＯ問題における目的関数に含まれる複数の決定変数は、前記１または複数の強連結成分のうちの対象の強連結成分に含まれる複数のノードまたは複数のエッジに対応し、
    前記部分グラフは、前記対象の強連結成分における、前記解に基づき選択される２以上のノードまたは２以上のエッジを含む一部分であり、
    前記目的関数に含まれるＱＵＢＯ行列は、前記部分グラフが予め設定された条件を満たす場合に、前記目的関数が最小となるように設定される
    プログラム。

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