JP2021146508A - 作図方法 - Google Patents

Abstract

【課題】任意の角度を３等分する作図において、簡便な手順でありながら、従来の作図方法に比べて、誤差を小さくした作図方法を提供する。【解決手段】任意鋭角ＸＯＹにおいて、ＯＸおよびＯＹ上に、ＯＡ＝ＯＢとなる点Ａ，Ｂを求めるステップ１と、正三角形ＡＢＺを作図するステップ２と、辺ＡＢの３等分点Ｅ、Ｆを作図するステップ３と、角ＡＺＢの疑似３等分線のＡＢ上の点Ｌ、Ｍを作図するステップ４と、ＥＬ、ＦＭを基礎に鋭角ＸＯＹの三等分線を作図するステップ５からなる作図方法。【選択図】図１

Description

本発明は、作図方法に関し、より詳細には、任意の角度を３等分する作図において、簡便な手順でありながら、従来の作図方法に比べて、誤差を小さくすることが可能な作図方法に関する。

コンパスと定規だけを用いた角度の等分の厳密な作図方法に関し、特に角度の３等分の作図方法はあり得ないことが数学的に証明されている。より詳細には、ギリシャの３大作図問題のひとつである、『角の３等分問題』について、角の３等分問題とは、『任意に与えられた角度を三等分することは可能か？』という問題であり、通常の作図方法、すなわち、コンパスと目盛りの無い定規を用いた作図法では、一般に与えられた角の三等分を作図することが不可能であることが知られている。しかしながら、目盛りのついた定規を使用する作図方法、折り紙を用いた作図方法、放物線を描ける小道具を用いた作図方法等、道具の使い方を変更したり、新しい道具を追加することにより、角の三等分を作図できる場合があることも知られている。

たとえば、特許文献１は、角の３等分作図補助器を開示する。より詳細には、任意角の３等分作図方法の、習得のため、容易に３等分の作図を行う際の補助となる器具を目的として、一方の端部の縁が円弧状になっている略長方形の透明板の円弧側の上面には、扇形の４分円とその中心点を上端とする中心線が引かれ、その中心線の下端では、１５度の狭角で傾斜線が４ 分円の左角でつながっている。以上の図形を表示し、そして４ 分円の中心点には指示針とその指示針を軸支する為の中心軸を基板上に設けた角の３等分作図補助器が開示されている。このような補助器によれば、ノートなどの用紙に任意角と４等分線と中心角が直角となる直線の一辺を書き入れた図面の上に、発案した３等分作図法の法則をつかって３等分線の印を書き入れられる基板１を置き指示針などを、操作することによって、任意角の４分の１である４等分線に、１２分の１の角度を加えることにより３等分線が引ける印を書き入れられる。以上の構成により容易に作図がかけるとされている。

たとえば、特許文献２は、等分線作図定規器を開示する。より詳細には、等分線を簡単な手法で求めることのできる定規を提供することを目的として、直角２辺と、この２辺間を結ぶ傾斜辺とからなる三角定規において、直角２辺の一辺と傾斜辺との合点を基点とし、この基点と直角２辺の他の一辺の等分点とを結ぶ直線上にスリットによる辺を設けたことを特徴とする等分線作図定規器である。このような等分線作図定規器によれば、測定すべき直線上の２点間の１点に直角２辺の一辺を合わせ、そのときの他の一辺が傾斜辺に交わった点で前記1辺に直交する直線の測定線を引き、この測定線とスリットとが交差する交点が等分点となる。
しかしながら、いずれの作図も特殊な器具により、角の等分を作図するに過ぎず、特に角の３等分は厳密な作図はできないとしても、実用的に許容される誤差の範囲で、円または線分の長さを規定するコンパスおよび直線を引く定規のみを用いて、簡単な手順により、作図する方法を提示するものでない。特に、特許文献２は、角度の等分でなく、線分の等分に関する作図器具である。

特開２００１−１３１５９３号 実開平０３−９５９０１号

以上の技術的問題点に鑑み、本発明の目的は、任意の角度を３等分する作図において、簡便な手順でありながら、従来の作図方法に比べて、誤差を小さくした作図方法を提供することにある。
以上の技術的問題点に鑑み、本発明の目的は、任意の角度を３等分する作図において、従来の作図方法に比べて、誤差を小さくすることにより、作図の線の太さを従来より細くすることが可能な作図方法を提供することにある。

上記課題を達成するために、本発明の作図方法は、
任意鋭角ＸＯＹの３等分の作図方法において、
ＯＸおよびＯＹそれぞれに、ＯＡ＝ＯＢとなる点Ａ，Ｂを求め、
辺ABを一辺とする正三角形ABＺを作成する段階と、
正三角形ABＺの内接円の中心O‘を通り、ABに平行な直線がAOおよびBOそれぞれと交わる点をCおよびDとする一方、ABの中点をO’’とする段階と、
CBとD O’’、 DAとC O’’それぞれの交点Ｋ１およびＫ２を求める段階と、
ＺＫ１およびＺＫ２それぞれの延長線がABと交わる点をＥおよびＦとする段階と、
ＣＤのＣ側への延長線およびＤ側への延長線それぞれが内接円と交わる点をＣ１、Ｃ２として求める段階と、
Ｃ１ＦのＦ側への延長線およびＣ２ＥのＥ側への延長線それぞれが内接円と交わる点をＱ、Ｒとして求める段階と、
ＺＱおよびＺＲそれぞれが、辺ＡＢと交わる点をＬおよびＭとして求める段階と、
ＥＬおよびＦＭそれぞれの中間点ＵおよびＶとＯとを結ぶ段階とを有し、
角XOＵ、角ＵOＶおよび 角ＶOＹそれぞれが、鋭角XOYの３等分に相当する、構成としている。

以上の構成によれば、任意鋭角ＸＯＹの３等分の作図方法として、ＸＯおよびＹＯに跨る任意な辺ＡＢを底辺とする正三角形を作図し、正三角形およびこの正三角形の内接円を利用して、辺ＡＢの３等分点、および正三角形の辺ＡＢに対向する角AＺBの疑似３等分点を作図し、これらの辺の３等分点および角の疑似３等分点との間の中間点を利用すれば、簡便な作図方法でありながら、実用的な誤差の範囲で任意鋭角ＸＯＹの３等分の作図が可能である。

また、任意鋭角ＸＯＹが３０°ないし６０°の場合には、ＥＬおよびＦＭそれぞれの中間点ＵおよびＶとＯとを結び、
任意鋭角ＸＯＹが３０°以下の場合には、Ｅ，Ｆそれぞれの外側に、ＥＬまたはＦＭ相当長さとなるＬ‘，Ｍ‘を求め、ＥＬ‘，およびＦＭ‘それぞれの中間点ＵおよびＶとＯとを結び、
任意鋭角ＸＯＹが６０°以上の場合には、Ｌ，Ｍそれぞれの内側に、ＥＬまたはＦＭ相当長さとなるＬ‘‘，Ｍ‘‘を求め、ＬＬ‘‘，およびＭＭ‘‘それぞれの中間点ＵおよびＶとＯとを結ぶ段階とを有するのがよい。
また、辺ABを一辺とする正三角形ABＺをＺがABに関して反対側に位置するように作成するのがよい。
さらに、点ＥおよびＦはそれぞれ、辺ABの３等分点であり、点ＬおよびＭはそれぞれ、ＬＺおよびＭＺそれぞれが、正三角形ABＺの辺ＡＢに対向する角AＺBの疑似３等分点である。

加えて、前記中間点ＵおよびＶ点それぞれをＥＬおよびＦＭそれぞれの２等分点として求めるのがよい。

上記課題を達成するために、本発明の作図方法は、
任意鋭角ＸＯＹの３等分の作図方法において、
ＯＸおよびＯＹそれぞれに、ＯＡ＝ＯＢとなる点Ａ，Ｂを求め、
辺ABを一辺とする正三角形ABＺを作成する段階と、
正三角形ABＺの内接円の中心O‘を通り、ABに平行な直線がAOおよびBOそれぞれと交わる点をCおよびDとする一方、ABの中点をO’’とする段階と、
CBとD O’’、 DAとC O’’それぞれの交点Ｋ１およびＫ２を求める一方、ＺＫ１およびＺＫ２それぞれの延長線がＣＤと交わる点をＧおよびＨとする段階と
ＺＫ１およびＺＫ２それぞれの延長線がABと交わる点をＥおよびＦとする段階と、
ＣＤのＣ側への延長線およびＤ側への延長線それぞれが内接円と交わる点をＣ１、Ｃ２として求める段階と、
Ｃ１ＦのＦ側への延長線およびＣ２ＥのＥ側への延長線それぞれが内接円と交わる点をＱ、Ｒとして求める段階と、
正三角形ＡＢＺのＯ‘およびＯ’‘を通る二等分線Ｘ’Ｘ‘と内接円との交点Ｏ’’‘を求める段階と、Ｏ’’‘が二等分点となるように、ＧＦ（またはＥＨ）に相当する長さを底辺ＡＢと平行に引き、内接円との交点Ｇ’およびＦ‘を求める段階と、
ＱＧ’およびＲＦ‘それぞれの二等分位置ＵおよびＶを求め、ＵおよびＶそれぞれをＯと結び段階、とを有し、
角XOＵ、角ＵOＶおよび 角ＶOＹそれぞれが、鋭角XOYの３等分に相当することを特徴とする、構成としている。

鋭角ＸＯＹの３等分の作図方法について、鋭角ＸＯＹが４７°および６０°の場合を例として、本発明の作図方法を以下に詳細に説明する。
図１に示すように、作図の手順は、鋭角ＸＯＹをなすＯＸおよびＯＹ上それぞれに、点ＡおよびＢを作図する段階と（ステップ１）、作図した点ＡおよびＢに基づいて、正三角形ＡＢＺを作図する段階と（ステップ２）、作成した正三角形ＡＢＺに基づいて、正三角形ＡＢＺの辺ＡＢの３等分点ＥおよびＦを作図する段階と（ステップ３）、正三角形ＡＢＺの頂角ＡＺＢ（60°）の疑似３等分線として、辺ＡＢにＬおよびＭを作図する段階と（ステップ４）と、作成した辺ＡＢの３等分点ＥおよびＦ、および作成した疑似３等分線として、辺ＡＢのＬおよびＭに基づいて、ＥＬおよびＦＭを利用して、鋭角ＸＯＹの３等分線を作図する段階（ステップ５）とから、概略構成される。

具体的な作図を図２を参照して、以下に説明する。
まず、図２（Ａ）に示すように、ステップ１に関連して、鋭角ＸＯＹをなすＯＸおよびＯＹ上それぞれに、点ＡおよびＢを作図する。
なお、ＯＡ、ＯＢの長さについて、ＯＡ＝ＯＢとなる限り、ＯＸおよびＯＹそれぞれに任意に設定すればよいが、後に説明する辺ＡＢを底辺とする正三角形ABＺを利用して、任意鋭角ＸＯＹの３等分の作図方法として、辺ＡＢ上にＯと結ぶべき点Ｕおよび点Ｖを求めることから、この観点から、ＯＡまたはＯＢの長さを決定すればよい。
次いで、ステップ２に関連して、作図した点ＡおよびＢに基づいて、正三角形ＡＢＺを作図する。
この場合、辺ABを一辺とする正三角形ABＺをＺがABに関して反対側に位置するように作成するのがよい。

次いで、図２（Ｂ）に示すように、ステップ３に関連して、作成した正三角形ＡＢＺに基づいて、正三角形ＡＢＺの辺ＡＢの３等分点ＥおよびＦを作図する。
具体的には、正三角形ABＺの内接円の中心O‘を通り、ABに平行な直線がAOおよびBOそれぞれと交わる点をCおよびDとする一方、ABの中点をO’’とし、CBとD O’’、 DAとC O’’それぞれの交点Ｋ１およびＫ２を求め、ＺＫ１およびＺＫ２それぞれの延長線がABと交わる点をＥおよびＦとする。
この場合、ＥおよびＦが、ＡＢの辺の長さを３等分する点であることは、初等座標幾何学を用いて、簡単に証明可能である。

次いで、図２（Ｃ）に示すように、ステップ４に関連して、正三角形ＡＢＺの頂角ＡＺＢ（60°）の疑似３等分線として、辺ＡＢにＬおよびＭを作図する。
具体的には、ＣＤのＣ側への延長線およびＤ側への延長線それぞれが内接円と交わる点をＣ１、Ｃ２として求め、Ｃ１ＦのＦ側への延長線およびＣ２ＥのＥ側への延長線それぞれが内接円と交わる点をＱ、Ｒとして求め、ＺＱおよびＺＲそれぞれが、辺ＡＢと交わる点をＬおよびＭとして求める。

ＬおよびＭが、角度ＡＺＢ（60°）の疑似３等分点であることについて、以下、説明する。
ＬＭの長さは、初等座標幾何学により算出可能であり、半径ａの円Ｏに内接する正三角形ＡＢＺにおいて、直線Ｃ２Ｅ又はＣ１Ｆの式を求め、直線Ｃ２Ｅ又はＣ１ＦのＥ側またはＦ側の延長と円Ｏとの交点ＬまたはＭとして求めることが可能である。
ＬＭは、（１６９４−３６３√３）ａ／３１４６≒０．６７２２ａとなり、真値０．６８４０ａ（２ａsin20°）に対して、小さめに誤差１％以下の評価を与える。

次いで、図２（Ｄ）に示すように、ステップ５に関連して、作成した辺ＡＢの３等分点ＥおよびＦ、および作成した疑似３等分線についての辺ＡＢのＬおよびＭに基づいて、ＥＬおよびＦＭを利用して、鋭角ＸＯＹの３等分線を作図する
具体的には、任意鋭角ＸＯＹが３０°ないし６０°の場合には、ＥＬおよびＦＭそれぞれの中間点ＵおよびＶとＯとを結び、
任意鋭角ＸＯＹが３０°以下の場合には、Ｅ，Ｆそれぞれの外側に、ＥＬまたはＦＭ相当長さとなるＬ‘，Ｍ‘を求め、ＥＬ‘，およびＦＭ‘それぞれの中間点ＵおよびＶとＯとを結び、
任意鋭角ＸＯＹが６０°以上の場合には、Ｌ，Ｍそれぞれの内側に、ＥＬまたはＦＭ相当長さとなるＬ‘‘，Ｍ‘‘を求め、ＬＬ‘‘，およびＭＭ‘‘それぞれの中間点ＵおよびＶとＯとを結ぶ段階とを有し、
角XOＵ、角ＵOＶおよび 角ＶOＹそれぞれが、鋭角XOYの３等分に相当する。
角XOＵ、角ＵOＶおよび 角ＶOＹそれぞれは、鋭角XOYの３等分である１５．６７°に対して、誤差１％以下となっている。
なお、中間点ＵおよびＶ点それぞれをＥＬおよびＦＭそれぞれの２等分点として求めるのがよい。この場合、線分の２等分であるので、従来既知の通常の作図方法によればよい。

図３に示すように、任意鋭角ＸＯＹと正三角形ABＺの中央角度Θとの関係について、角度ＸＯＹが０°から９０°の範囲（鋭角）である場合については、本発明者は、 疑似直線関係であることを発見し、ゆえに、任意鋭角ＸＯＹが３０°ないし６０°の場合に、辺ＡＢの３等分点と角AＺBの疑似３等分点との角度差ΔΘを、任意鋭角ＸＯＹが０°ないし３０°の場合、および任意鋭角ＸＯＹが６０°ないし９０°の場合に、そのまま適用することにより、辺ＡＢの３等分点と角AＺBの疑似３等分点との間に、任意鋭角ＸＯＹの３等分線の辺ＡＢとの交点が存在するところ、有効に作図に利用することが可能である。
以上のように、任意鋭角ＸＯＹと正三角形ABＺの中央角度Θとの関係について、疑似直線関係であることから、図３に示すように、任意鋭角ＸＯＹが３０°ないし６０°の場合において、辺ＡＢの３等分点と角AＺBの疑似３等分点との間（角ＥＺＭまたは各ＦＺＬ）は、１°前後であるところ、任意鋭角ＸＯＹが０°以上３０°以下の場合、および、任意鋭角ＸＯＹが６０°以上９０°以下の場合のいずれの場合にも、角度幅が３０°であることから、このΔΘをそのまま利用することが可能である。

以上、角AＺBの疑似３等分点とはいえ、その誤差は、１％以下であり、実用的な作図方法として利用可能であり、任意鋭角ＸＯＹの３等分として、３等分角として大き目に評価する辺ＡＢの３等分点と、逆に、小さ目に評価する角AＺBの疑似３等分とを利用して、視認可能にその中間位置を求めれば、より誤差の小さい作図が可能となり、作図における線の太さを細くすることも可能である。

以上の構成によれば、任意鋭角ＸＯＹの３等分の作図方法として、ＸＯおよびＹＯに跨る任意な辺ＡＢを底辺とする正三角形を作図し、正三角形およびこの正三角形の内接円を利用して、辺ＡＢの３等分点、および正三角形の辺ＡＢに対向する角AＺBの疑似３等分点を作図し、これらの辺の３等分点および角の疑似３等分点との間の中間点を利用すれば、簡便な作図方法でありながら、実用的な誤差の範囲で任意鋭角ＸＯＹの３等分の作図が可能である。
また、作図する際、任意鋭角ＸＯＹの内部、すなわち、二等辺三角形ＡＯＢの内部に線分を引いたりすることなく、任意鋭角ＸＯＹの外部に正三角形ＡＺＢを作成し、辺ＡＢ上に任意鋭角ＸＯＹのＯとを結ぶべき点を求めることが可能であるので、最終的に、任意鋭角ＸＯＹの内部において、任意鋭角ＸＯＹの3等分線を引く場合に便利である。

以下に、本発明の第２実施形態について、図４を参照しながら説明する。以下の説明において、第１実施形態と同様な構成要素については、同様な参照番号を付することによりその説明は省略し、以下では、本実施形態の特徴部分について詳細に説明する。
本実施形態は、任意の角度に対して、ＡＢの３等分点、およびＡＢに対向する角AＺBの疑似３等分点を作図し、これらの辺の３等分点および角の疑似３等分点との間の中間点を利用する作図方法である点では第１実施形態と共通であるが、第１実施形態においては、鋭角ＸＯＹが４７°であるのに対して、本実施形態では、鋭角ＸＯＹが６０°であり、それに伴い、第１実施形態においては、鋭角ＸＯＹに対して、ＯＸおよびＯＹそれぞれに、ＯＡ＝ＯＢとなる点Ａ，Ｂを求め（二等辺三角形ＡＯＢを作成）、辺ABを一辺とする正三角形ABＺを作成するのに対して、本実施形態においては、鋭角ＸＯＹが６０°であることから、二等辺三角形ＡＯＢ自体が正三角形であることから、敢えて辺ABを一辺とする正三角形ABＺを作成するステップを省略して、任意鋭角ＸＯＹの３等分の作図を可能とするものである。

具体的には、図４(A)ないし（Ｄ）に示すように、正三角形ＡＯＢおよびその内接円を利用し、第１実施形態と同様に、鋭角ＸＯＹの対向辺である辺ＡＢ上に、辺の３等分点ＥおよびＦ、および角の疑似３等分点ＲおよびＱとを求め、その中間点ＵおよびＶと点Ｏと結ぶことにより、角XOＵであるΘ１、角ＵOＶであるΘ２および 角ＶOＹであるΘ３それぞれが、鋭角XOYの３等分に相当するものとして、鋭角ＸＯＹ（60°）の３等分の作図を行う。辺ABを一辺とする正三角形ABＺを作成するステップを省略することにより、第１実施形態に比し、より簡便に作図することが可能である。
この場合、第１実施形態と同様に、鋭角ＸＯＹの疑似３等分とはいえ、その誤差が１％以下であり、第１実施形態に比べて、誤差がさらに小さくすることが可能である。

以下に、本発明の第３実施形態について、図５を参照しながら説明する。以下の説明において、第１実施形態と同様な構成要素については、同様な参照番号を付することによりその説明は省略し、以下では、本実施形態の特徴部分について詳細に説明する。
本実施形態は、鋭角ＸＯＹが６０°であり、ＯＸおよびＯＹそれぞれに、ＯＡ＝ＯＢとなる点Ａ，Ｂを求めることにより形成される二等辺三角形ＡＯＢ自体が正三角形であることから、敢えて辺ABを一辺とする正三角形ABＺを作成するステップを省略して、任意鋭角ＸＯＹの３等分の作図をする点において、第２実施形態と共通であるが、第２実施形態においては、ＡＢ上に、ＡＢの３等分点、およびＡＢに対向する角AＺBの疑似３等分点を作図し、これらの辺の３等分点および角の疑似３等分点との間の中間点を利用して作図を行うが、本実施形態においては、ＡＢ上にＡＢの３等分点、およびＡＢに対向する角AＺBの疑似３等分点を作図する代わりに、正三角形ＡＯＢの内接円上に鋭角ＸＯＹのＯと結ぶべき点ＵおよびＶを作図する点において、相違する。

正三角形ＡＯＢおよびその内接円を利用し、正三角形ＡＯＢの内接円上に鋭角ＸＯＹのＯと結ぶべき点ＳおよびＴを作図することにより、鋭角ＸＯＹ（60°）の３等分の作図を行うことで、辺ABを一辺とする正三角形ABＺを作成するステップを省略することにより、第２実施形態と同様に、第１実施形態に比し、より簡便に作図することが可能である。
具体的には、図５に示すように、ＯＫ１およびＯＫ２それぞれの延長線がＣＤと交わる点をＧおよびＨとし、正三角形ＡＯＢのＯ‘およびＯ’‘を通る二等分線ＸＸと内接円との交点Ｏ’’‘を求め、Ｏ’’‘が二等分点となるように、ＧＦ（またはＥＨ）に相当する長さLＬ1を底辺ＡＢと平行に引き、内接円との交点Ｇ’およびＦ‘を求め（図５（Ａ））、ＱＧ’およびＲＦ‘それぞれの二等分位置ＳおよびＴを求め（図面上、LＬ３＝（LＬ1＋LＬ２）／２）（図５（Ｂ））、ＳおよびＴそれぞれをＯと結び（図５（Ｃ））、それにより、角XOＳであるΘ１、角ＳOＴであるΘ２および 角ＴOＹであるΘ３それぞれが、鋭角XOYの３等分に相当する（図５（Ｄ））。なお、ＱＧ’およびＲＦ‘それぞれの二等分位置の作図方法は、線分の長さの二等分に相当する作図であり、従来既知の方法である。
ＦＧの長さは、座標幾何学により、求めることが可能であり、内接円の半径ａに対して、0.6939ａであり、ＯＦ‘（またはＯＧ‘）は、鋭角XOYの３等分線における３等分角の中央角度として、大き目の誤差を与え、一方、ＯＰ（またはＯＱ）は、鋭角XOYの３等分線とにおける３等分角の中央角度として、小さ目の誤差を与えることから、鋭角XOYのより厳密な３等分線は、ＯＦ‘（またはＯＧ‘）とＯＰ（またはＯＱ）との間にある。
この場合、第１実施形態および第2実施形態と同様に、鋭角XOYの疑似３等分とはいえ、その誤差は１％以下であり、ＱＧ’およびＲＦ‘それぞれの二等分位置ＵおよびＶを利用することから、第２実施形態に比べて、誤差をさらに小さくすることが可能である。

以上、本発明の実施形態を詳細に説明したが、本発明の範囲から逸脱しない範囲内において、当業者であれば、種々の修正あるいは変更が可能である。
たとえば、本実施形態において、鋭角ＸＯＹの３等分の作図方法として、鋭角ＸＯＹが６０°および４７°の場合について説明したが、それに限定されることなく、たとえば、ＸＯＹが鋭角である限り、任意の角度に対して、辺ＡＢの３等分点、および正三角形の辺ＡＢに対向する角AＺBの疑似３等分点を作図し、これらの辺の３等分点および角の疑似３等分点との間の中間点を利用すれば、簡便な作図方法でありながら、実用的な誤差の範囲で任意鋭角ＸＯＹの３等分の作図が可能である。

たとえば、本実施形態において、鋭角ＸＯＹの３等分の作図方法として、コンパスおよび定規を用いた作図方法について説明したが、それに限定されることなく、たとえば、ＣＡＤの作図アルゴリズムとして利用可能であり、ＸＯＹが鋭角である限り、任意の角度に対して、辺ＡＢの３等分点、および正三角形の辺ＡＢに対向する角AＺBの疑似３等分点を作図し、これらの辺の３等分点および角の疑似３等分点との間の中間点を利用すれば、簡便な作図方法でありながら、実用的な誤差の範囲で任意鋭角ＸＯＹの３等分の作図が可能であり、作図の線の太さを細くすることも可能である。

たとえば、第３実施形態において、鋭角ＸＯＹを６０°とした場合に、ＡＢ上にＡＢの３等分点、およびＡＢに対向する角AＺBの疑似３等分点を作図する代わりに、正三角形ＡＯＢの内接円上に鋭角ＸＯＹのＯと結ぶべき点ＳおよびＴを作図する方法を説明したが、それに限定されることなく、たとえば、ＸＯＹが鋭角である限り、任意の角度に対して、正三角形ＡＯＢの内接円上に鋭角ＸＯＹのＯと結ぶべき点ＵおよびＶを作図することにより、より誤差の小さい作図が可能である。この場合、第３実施形態において、鋭角ＸＯＹが６０°ゆえに、辺ABを一辺とする正三角形ABＺを作成するステップを省略したが、ＸＯＹが６０°でない任意鋭角の場合には、辺ABを一辺とする正三角形ABＺの内接円上に、鋭角ＸＯＹのＯと結ぶべき点ＳおよびＴを作図することになる。

本発明の第１実施形態に係る作図方法の手順を示すフロー図である。 本発明の第１実施形態に係る作図方法の手順を示す図である。 本発明の第１実施形態に係る作図方法において、任意鋭角ＸＯＹと正三角形ABＺの中間角度との関係を示すグラフである。 本発明の第２実施形態に係る作図方法において、任意鋭角ＸＯＹが６０°の場合の図２と同様な図である。 本発明の第３実施形態に係る作図方法において、任意鋭角ＸＯＹが６０°の場合の図２と同様な図である。

LＬ1：ＦＧ相当長さ
LＬ２：ＰＱ相当長さ
LＬ３：（LＬ1＋LＬ２）／２
ＸＯＹ：任意鋭角
ABＺ：正三角形
Ｘ‘Ｘ’：正三角形ABＺの二等分線
O’’：ABの中点
O’’’：正三角形ABＺの二等分線と内接円との交点
Ｋ１：CBとD O’’の交点
Ｋ２：DAとC O’’の交点
Ｅ：ＺＫ１の延長線がABと交わる点
Ｆ：ＺＫ２の延長線がABと交わる点
Ｇ：ＺＫ１の延長線がＣＤと交わる点
Ｈ：ＺＫ２の延長線がＣＤと交わる点
Ｃ１：ＣＤのＣ側への延長線が内接円と交わる点
Ｃ２：ＣＤのＤ側への延長線が内接円と交わる点
Ｑ：ＬＦのＦ側への延長線が内接円と交わる点
Ｒ：ＭＥのＥ側への延長線が内接円と交わる点
Ｌ：ＺＱが辺ＡＢと交わる点
Ｍ：ＺＲが辺ＡＢと交わる点
Ｕ：ＥＬの中間点
Ｖ：ＦＭの中間点
Ｓ：LＬ３の長さの端点
Ｔ：LＬ３の長さの端点

Claims (6)

1. 任意鋭角ＸＯＹの３等分の作図方法において、
   ＯＸおよびＯＹそれぞれに、ＯＡ＝ＯＢとなる点Ａ，Ｂを求め、
   辺ABを一辺とする正三角形ABＺを作成する段階と、
   正三角形ABＺの内接円の中心O‘を通り、ABに平行な直線がAOおよびBOそれぞれと交わる点をCおよびDとする一方、ABの中点をO’’とする段階と、
   CBとD O’’、 DAとC O’’それぞれの交点Ｋ１およびＫ２を求める段階と、
   ＺＫ１およびＺＫ２それぞれの延長線がABと交わる点をＥおよびＦとする段階と、
   ＣＤのＣ側への延長線およびＤ側への延長線それぞれが内接円と交わる点をＣ１、Ｃ２として求める段階と、
   Ｃ１ＦのＦ側への延長線およびＣ２ＥのＥ側への延長線それぞれが内接円と交わる点をＱ、Ｒとして求める段階と、
   ＺＱおよびＺＲそれぞれが、辺ＡＢと交わる点をＬおよびＭとして求める段階と、
   ＥＬおよびＦＭそれぞれの中間点ＵおよびＶとＯとを結ぶ段階とを有し、
   角XOＵ、角ＵOＶおよび 角ＶOＹそれぞれが、鋭角XOYの３等分に相当することを特徴とする、作図方法。
2. 任意鋭角ＸＯＹが３０°ないし６０°の場合には、ＥＬおよびＦＭそれぞれの中間点ＵおよびＶとＯとを結び、
   任意鋭角ＸＯＹが３０°以下の場合には、Ｅ，Ｆそれぞれの外側に、ＥＬまたはＦＭ相当長さとなるＬ‘，Ｍ‘を求め、ＥＬ‘，およびＦＭ‘それぞれの中間点ＵおよびＶとＯとを結び、
   任意鋭角ＸＯＹが６０°以上の場合には、Ｌ，Ｍそれぞれの内側に、ＥＬまたはＦＭ相当長さとなるＬ‘‘，Ｍ‘‘を求め、ＬＬ‘‘，およびＭＭ‘‘それぞれの中間点ＵおよびＶとＯとを結ぶ段階とを有する、請求項１に記載の作図方法。
3. 辺ABを一辺とする正三角形ABＺをＺがABに関して反対側に位置するように作成する、請求項１または請求項２に記載の作図方法。
4. 点ＥおよびＦはそれぞれ、辺ABの３等分点であり、点ＬおよびＭはそれぞれ、ＬＺおよびＭＺそれぞれが、正三角形ABＺの辺ＡＢに対向する角AＺBの疑似３等分点である、請求項１または２に記載の作図方法。
5. 前記中間点ＵおよびＶ点それぞれをＥＬおよびＦＭそれぞれの２等分点として求める、請求項４に記載の作図方法。
6. 任意鋭角ＸＯＹの３等分の作図方法において、
   ＯＸおよびＯＹそれぞれに、ＯＡ＝ＯＢとなる点Ａ，Ｂを求め、
   辺ABを一辺とする正三角形ABＺを作成する段階と、
   正三角形ABＺの内接円の中心O‘を通り、ABに平行な直線がAOおよびBOそれぞれと交わる点をCおよびDとする一方、ABの中点をO’’とする段階と、
   CBとD O’’、 DAとC O’’それぞれの交点Ｋ１およびＫ２を求める一方、ＺＫ１およびＺＫ２それぞれの延長線がＣＤと交わる点をＧおよびＨとする段階と
   ＺＫ１およびＺＫ２それぞれの延長線がABと交わる点をＥおよびＦとする段階と、
   ＣＤのＣ側への延長線およびＤ側への延長線それぞれが内接円と交わる点をＣ１、Ｃ２として求める段階と、
   Ｃ１ＦのＦ側への延長線およびＣ２ＥのＥ側への延長線それぞれが内接円と交わる点をＱ、Ｒとして求める段階と、
   正三角形ＡＢＺのＯ‘およびＯ’‘を通る二等分線Ｘ’Ｘ‘と内接円との交点Ｏ’’‘を求める段階と、Ｏ’’‘が二等分点となるように、ＧＦ（またはＥＨ）に相当する長さを底辺ＡＢと平行に引き、内接円との交点Ｇ’およびＦ‘を求める段階と、
   ＱＧ’およびＲＦ‘それぞれの二等分位置ＵおよびＶを求め、ＵおよびＶそれぞれをＯと結び段階、とを有し、
   角XOＵ、角ＵOＶおよび 角ＶOＹそれぞれが、鋭角XOYの３等分に相当することを特徴とする、作図方法。
   

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