JP2016024199A - 主として単分散の粒子から構成された試料分画において粒子の平均二乗半径を測定する方法、および懸濁状態における既知形状の単分散粒子の寸法を多角度光散乱（Ｍａｌｓ）によって判断する方法 - Google Patents

主として単分散の粒子から構成された試料分画において粒子の平均二乗半径を測定する方法、および懸濁状態における既知形状の単分散粒子の寸法を多角度光散乱（Ｍａｌｓ）によって判断する方法 Download PDF

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Abstract

【課題】溶液における、さまざまな構造および数百ナノメートルまでのサイズの小さい粒子が、光散乱手段によって測定され得る方法が呈示される。
【解決手段】従来のレイリー・ガンス近似が拡張されることを可能にし、それによって、粒子の平均二乗半径の測定を、より大きいサイズ範囲にわたって可能にする、発明の技術が記載される。そのような判断は、収集されたデータを、いずれにしてもそのほんの少数しか存在しない特定の閉形式モデルにあてはめる必要性を回避する。この新しい方法は、散乱が入射照射の方向に関する向きに依存する不規則形状粒子の構造的特徴を判断することに対して特に重要である。
【選択図】図２

Description

背景
光散乱法は、小さい粒子のサイズおよびしばしば構造を判断する手段として長く用いられてきた。この発明の目的のため、用語「小さい粒子」は、数百ナノメートルまでのサイズの粒子を指す。これらのほとんどは、寸法が１００ｎｍ未満の粒子としてさらに規定されるナノ粒子である。そのような粒子が溶液にあるとき、測定は、通常は、単分散の分画の集団からなされる。単分散は、一般的に、非対称流フィールドフローフラクショネーション（Ａ４Ｆ）、流体力学クロマトグラフィまたはサイズ排除クロマトグラフィによるような、クロマトグラフ分離手段によって達成される。伝統的に、分画された粒子のそのような測定は、一般的に偏光された、レーザ源からの微細な光束で少量を照射し、次いで、そのような粒子によって図１に示されるような複数の角度に散乱された光を測定することによって、行なわれる。これらの測定は多角度光散乱（ＭＡＬＳ）測定と呼ばれる。均一な球体については、実験データは、一般的に、最小二乗平均によって、しばしば「ミー理論」と呼ばれるローレンツの散乱理論にあてはめられる。我々は、そのような理論を単に「ローレンツ・ミー」またはＬＭ理論と呼ぶことにする。
仮定された粒子モデルの、収集され実験的に重み付けされたデータへの最小二乗あてはめを用いて、最良の対応するモデルパラメータ（たとえばサイズ、屈折率など）、およびそれによって、単分散粒子分画の測定値を導き出す。
均一な球体については、構造が球状に対称な粒子を含むよう、ＬＭ理論はその一般化と並んで適用される。しかしながら、大部分の対象の粒子は球状に対称ではない。これは、当然のことながら、収集されたＭＡＬＳ散乱データが、入射光の方向に関する粒子の向きに依存することになるということを意味する。溶液において、および多くの粒子が散乱された信号に寄与する状態では、収集された信号は、すべての向きにわたる平均化を表すことになる。しかし、向きに関係なく、測定された散乱データにあてはめられ得る構造は、球体以外にはない。
そのような粒子の構造のなんらかの測定値を得るために、ある重要な近似がしばしば用いられる。それは、レイリー・ガンス（ＲＧ）近似と呼ばれ、特に巨大分子の研究のために適用される。ＲＧ近似は、各粒子が非常に小さい要素から形成されるという仮定で始まり、その各々は入射光の波長と比較して非常に小さい。そのような要素は光を独立して散乱させると仮定される。したがって、これらの要素から形成される粒子からの散乱は、それに入射するのと同じ偏光で光を散乱させる。したがって、全散乱波は各要素からの寄与の和から構成される。しかしながら、粒子の各散乱要素は、波がそれを通過する際に、入射する電気的励起に応答し、それによって、個々の同相散乱素子の重畳からの散乱波の位相に寄与する。
ＲＧ近似の適用については２つの要件がある。第１に、
Figure 2016024199
であり、式中、ｍ＝ｎ／ｎ０であり、ｎは粒子の屈折率であり、ｎ０は周囲媒質の屈折率であり、第２に、
Figure 2016024199
であり、式中、
Figure 2016024199
およびｎ０λ＝λ０である。式（２）は、前方散乱波が非散乱波から著しく逸脱せず、非常に小さな角度については、レイリー・ガンス理論の「ほとんど不可視の」制限である式（１）から逸脱しないという事実の結果である。
このＲＧ近似では、特に、さまざまな重要な散乱粒子、分子およびそれらの凝集塊のサイズならびに構造の測定に関係する、液体のクロマトグラフィの手段による粒径分画の分離能力を含むときには、得られるかもしれない多くの興味深い結果がある。たとえば、最も用いられ、最もよく知られている結果は、厳密解が先に論じられた複雑なＬＭ理論から得られ得る半径ａの均一な球体についてのそれである。強度Ｉ０の、入射する、鉛直方向に偏光された光についての、単位立体角当たりの散乱強度は、
Figure 2016024199
によって与えられ、式中、
Figure 2016024199
である。関数Ｇ（ｕ）は、
Figure 2016024199
によって与えられ、
Figure 2016024199
である。
データを式（５）の単純な角度依存性にあてはめることは、もちろん、そのようなデータをＬＭ理論にあてはめるより、はるかに容易である。しかしながら、式（１）および（２）の制限は、一般的に、より大きな均一な球体および／または高屈折率の球体を排除する。
関数Ｐ（θ）は、しばしば、「粒子形状因子」または粒子散乱関数と呼ばれる。式（１）および（２）のＲＧ基準を満たす粒子による光の散乱は、入射光の方向に関するＲＧ粒子構造および向きに依って、常にそのような関数によって表され得る。均一な球体などのような単純な分類の構造に対しては、それらの形式は相対的に単純であるが、より複雑な構造の粒子に対しては、および特に向きが検出された散乱信号に影響する場合には、それをそのような閉形式で呈示することは可能ではないかもしれない。Ｐ（０°）＝１であることに注意されたい。
ランダムコイル分子などのような他のいくつかの重要な閉形式例があり、そこでは、
Figure 2016024199
であり、および
Figure 2016024199
である。コイルの平均二乗鎖長はしばしばｎｂ２と等しいＬ２と呼ばれる。コイルが長さＬの堅い薄いロッドになる場合、すべての向きにわたって平均される形状因子は、
Figure 2016024199
であるよう示され得、式中、
Figure 2016024199
である。
非球状的に対称な粒子の場合のそれらのすべての向きにわたって平均される他の閉形式結果は、
Figure 2016024199
である半径ａの薄い円板に対するそれであり、
Figure 2016024199
である。Ｊ１（ｕ）は次数１の第１種ベッセル関数である。
しかしながら、無限に薄くなく、ＲＧ近似の適用に対する要件を満たさないロッドまたは円板については、測定が比較され構造が抽出され得る解析形式がほとんどないことを注記すべきである。ＲＧ近似には、半軸ａ、ｂおよびｃそれぞれの楕円体からの散乱を記述する解析形式がある。それは、入射光束の方向に関する３つの軸の向き（その方向余弦を介する）に臨界的に依存する。ランダムな向きが結果として効果的な平均化をもたらして、理論上導出される散乱パターンを形成する、そのような楕円体の懸濁物から開始して、３つの軸の相対的な長さをそのような測定から導き出す試みを、すべての向きにわたって平均されるそのような粒子から収集されたＭＡＬＳデータをあてはめるよう試みることによって行なうことは、非常に困難であろう。より単純な回転楕円体および超楕円体などのようなより複雑な構造による散乱の詳細について記述した、発明者による論文が、「応用光学」（Applied Optics）、７巻、１８７９〜１８９６頁における１９６８年の彼の論文に見出され得る。
粒子の集団から複数の検出器素子位置θｉに散乱された光の各測定、およびこれらの多角度光散乱（ＭＡＬＳ）測定Ｉ（θｉ）の解釈と、θ→０とする極限値におけるレイリー・ガンス近似によって関連付けられるのは、平均二乗半径＜ｒｇ ２＞と呼ばれる導出された量である。質量Ｍの粒子は小さい質量要素ｍｉから形成されると仮定される。次いで、そのような粒子の平均二乗半径は、
Figure 2016024199
で与えられ、各質量要素ｖｉの密度ρは同じと仮定される。したがって、ｍｉ＝ρｖｉおよびＭ＝Σρｖｉ＝ρＶである。Ｖは個々の要素ｖｉによって形成される粒子の体積である。したがって、半径ａの均一な球体の体積Ｖは、単に
Figure 2016024199
であり、一方、高さｈ、半径ａおよび厚みｔのチューブの体積は、πｈｔ（２ａ−ｔ）であろう。これに基づき、半径ａの球体については、
Figure 2016024199
であり、チューブについては、
Figure 2016024199
であることが容易に示される。
構造に関係なく、式（１）および（２）を満たす非常に小さい粒子に対しては、散乱光強度の初期変動（傾き、つまりθ＝０°でｄＰ（θ）／ｄ［ｓｉｎ２θ／２］）を測定することによって、粒子の平均二乗半径を、直接、および粒子の形状または向きのいかなる演繹的な知識からも独立して、判断してもよいことが示され得る。これは、めったに用いられないが、ＲＧ理論の非常に重要な結果である。
この発明の基礎を与える、ある数学的、論理的形式が導き出され、それによって、式（１）および（２）の要件が測定された角度の範囲全体にわたって満たされないときでさえ、さまざまな重要な粒子構造的特徴が非常にさまざまな重要な粒子分類の単分散溶液のＭＡＬＳの測定から導出され得る。各検出角度におけるそのような測定は、当然、照射される試料量に存在する、寄与する粒子のすべての向きにわたる平均化に対応する。これらの粒子はチューブ、ロッド、楕円体、さまざまなタイプの凝集塊、プランクなどを含む。式（１）および（２）において暗黙の制限のいくつかの対象であるＲＧ近似に一部基いて、この発明の方法は従来得難かった特徴の演繹を可能にする。実際、この発明の方法は、これらの式の有効性の範囲がＲＧ近似の従来の限界をはるかに越えて拡張されるとき、しばしば適用され得る。
Applied Optics, volume 7, pages 1879-1896, 1968
発明の概要
その質的構造および組成が既知である、液体に支持される粒子の本質的に単分散の試料が、照射された粒子によって複数のｎ個の散乱角度に散乱された微細な光束に晒される。これらの多角度光散乱（ＭＡＬＳ）データの検出および測定、ならびにｎ個の角度の各々での測定と関連付けられる実験の不確かさから、測定された試料の収集されたＭＡＬＳ散乱データを表現する関数形状因子П（θ）が形成され、収集されたデータへの最小二乗あてはめを表現する。次数ｎの多項式（ｎは、散乱されるデータが収集される角度の数未満である）によって一般的に表されるこの導出された形状因子は、通常０°と１８０°との間において、測定される散乱角度を含むことになる範囲にわたって拡張することになる。式（１）および（２）が周辺的に有効かもしれない特殊な状況下では、θ＝０°で評価されるｓｉｎ２（θ／２）に関するП（θ）の導関数は、散乱粒子の平均二乗半径＜ｒｇ ２＞の測定値を与えることが可能であることが示される。先に、たとえば電子顕微鏡検査によって判断されたかもしれないような、散乱粒子の既知の構造および任意の演繹的に既知の寸法が与えられるとして、そのように導出される＜ｒｇ ２＞の値を用いて、ＭＡＬＳ測定がなされた粒子試料の指定された寸法を計算する。たとえば、仮に散乱粒子が、その直径が先に測定された長いロッドであるとしたら、単分散のロッドの長さはそのような測定から直ちに計算され得る。
ＭＡＬＳ測定の幾何学的配置を示す図である。 シングルウォールカーボンナノチューブの分画された試料についての、収集されたＭＡＬＳデータのセットに対するＲＧロッドモデルの最良あてはめを示す図である。 ５次多項式関数ｆ５(ｓｉｎ２（θ／２）)の、図２のデータ点への、正規化されていないあてはめを示す図である。 ３次多項式関数ｆ３(ｓｉｎ２（θ／２）)の、図２のデータ点への、正規化されていないあてはめを示す図である。
この発明の詳細な記載
上に論じられるように、照射された粒子の集団からの散乱光強度の検出は、収集され解析され得るＭＡＬＳデータのセットを形成することになる。そのような測定がなされる前に、散乱集団のすべての構成要素が同じサイズおよび物性であることを保証することが重要である。本質的に単分散の分画を得るためには、多分散系の試料は分画されなければならない。液体に支持される粒子については、これは、一般的には、最初は多分散系である試料の非対称流フィールドフローフラクショネーション（Ａ４Ｆ）によって達成される。先に言及されたように、頻繁に用いられる他の分画手段は、流体力学クロマトグラフィおよびサイズ排除クロマトグラフィを含む。そのような測定から散乱粒子のサイズおよび構造的特性をそのようなデータから導き出すために、それらの構造の、なんらかの演繹的な情報が一般的には必要である。
粒子が均一な球体である場合、たとえば、収集されたデータをローレンツ・ミー散乱理論にあてはめることによって、粒子のサイズおよびそれらの屈折率までもが導き出され得る。散乱粒子がレイリー・ガンス近似によって十分に記述される場合、そのような測定と関連付られて、データは、上記の背景部において論じられたように式５にあてはめられ得る。ＲＧ粒子の集団からの散乱光強度の角度変動は、先に呈示された対応する粒子形状因子Ｐ（θ）に正比例することに注目されたい。
ＲＧ近似の適用に対する基準は式（１）および（２）によって要約されるが、多くのタイプの粒子については、それらは文献で長く注記されてきたように、過度に限定的であり得る。たとえば、公称の屈折率１．３３の水における屈折率１．５９のポリスチレンラテックス球に対して、式（１）は、
Figure 2016024199
が≪１であることを必要とするだろう。しかし、値は、実際には０．２であり、当然のことながら、その要件によって示唆されるように１．０未満より有意に小さくはない。実際、１００ｎｍ（ナノ粒子のいわゆる「定義」）を十分に越える直径に対しては、たとえば、式（５）の適用を介するＲＧ近似の使用は、ローレンツ・ミー理論の直接的な適用によって示されるそれに非常に近いサイズを生じさせるよう示され得る。
閉形式が式（５）〜（８）で示される、相対的に単純な構造に関して、散乱データをＲＧ形式にあてはめることは、冗長ではあるものの、簡単ではあるかもしれないが、より重要なのは、楕円体、チューブ、凝集塊などのようなより複雑な形状の粒子である。この発明の方法は、これらの粒子、およびもちろん、ここに論じられる、より単純な構造に向けられる。我々は、先に論じられ、粒子構造に関して式（９）によって規定された平均二乗半径を参照して、始める。光散乱技術の開発および高分子化学に対するそれらの適用中おいて、巨大分子のモル質量の判断に加えてのそれらサイズの測定は、その目的の１つになった。もちろん、溶液におけるそのような分子は、すべてＲＧ近似によって十分に記述された。この作業の重要な結果は、粒子散乱関数Ｐ（θ）と平均二乗半径＜ｒｇ ２＞を通して暗示されるサイズとの間の関係であった：
Figure 2016024199
したがって、
Figure 2016024199
である。
我々は、球体およびチューブに対する平均二乗半径は既に上に示した。他の対象のものは以下を含む。
Figure 2016024199
これらの結果およびそれらのような他に多くのものは、確かに、そのような粒子の測定に対して利用可能な解析ツールを大いに拡張する。恐らく、さらに大きな重要性であり、およびこの発明の主な特徴であるのは、そのような測定の範囲をＲＧ理論の通常の制限を越えてさえ拡大することにおけるその有用性である。導出された平均二乗半径を用いて粒子サイズおよび構造を直接抽出し、収集されたＭＡＬＳデータを式（５）〜（８）などのような分析形式にあてはめることを試みないことは、新しいことではない。実際、P. Kratochvilは、Huglinの古典的書籍であるLight Scattering from Polymer Solutions (Academic Press, 1972)に対する彼の第７章寄稿において、「…［平均二乗半径］は粒子寸法を特徴付ける非常に好適な量であり、なぜならば、それは…任意の粒子形状に関して等しく規定されるからである。」と明確に述べている。しかしながら、新たであり、ここに呈示される発明の方法に特有であるものは、測定自体を、利用可能な散乱角度の範囲の全体にわたって式（２）によって特徴付けられる粒子に制限する必要はないという事実である。この発明の方法の典型であるこの発明の拡張の例を考えよう。
この発明の典型はカーボンナノチューブ：ＳＷＣＮＴ、つまり、シングルウォールカーボンナノチューブの分画された部分標本の測定である。カーボンナノチューブの研究は、それらの大多数はＭＡＬＳおよび他の光散乱技術をそれらの特徴付けのために用い、近年非常に重要になっている。それらの発見および特性は、 Ando (J. Nanoscience and Nanotechnology 2010, 10, 3726-3738)によって総論に記載されている。この発明に関して特に興味深いのは、Faganら(Adv. Mater. 2010, 20, 1-11 and Anal. Chem. 2008, 80, 2514-2523)による、先に言及されたＡ４Ｆ技術によってしばしば分離されるこれらのナノチューブの測定である。たとえば、Gigaultらによる公開された論文の解釈のいくつか(Microchim Acta 2011, 175, 265-271 and J. Chromatogr. A 2010, 1217, 7891-7897)は、いくつかの点において紛らわしく、というのも、それらは、粒子サイズおよび構造と最もしばしば関連付けられるＲＧ近似ではなく、いわゆるZimm、Berry、またはDebyeプロットと関連付けられる図形操作に基いてモル質量およびサイズを抽出するよう共通して用いられる手順にしばしば注目するからである。実測の目的が懸濁状態における粒子のサイズおよび構造の判断である場合、モル質量特性は本質的に無関係である。
ＲＧ近似を用いて、引用された参考文献において報告されたようなカーボンナノチューブの測定を解釈することになる場合、我々は式（１）および（２）の制限を再び訪れるべきである。式（１）を考える。研究されるＳＷＣＮＴは基本的に単なるグラフェンチューブである。グラファイトそれ自体のさまざまな形式の屈折率は、BondおよびDuley (Aerosol. Sci. Technol. 2006, 40, 27-67, Aerosol. Sci. Technol. 1999, 30, 582-600,およびAstrophys. J. 1984, 287, 694-696)によって、５５０ｎｍにおいて（１．４６〜２．７２）＋（０．０１〜１．４６）ｉの範囲で報告される。６３３ｎｍでは、干渉計測定ピコメトロロジーを用いて、WangおよびNolte（http://meetings.aps.org/link/BAPS.2009.MAR.A25.12）が、グラフェンに対する値を直接３．０＋１．４ｉとして得た。これに基づき、水では、式（１）は、
Figure 2016024199
を与え、それは、式（１）およびＲＧ近似の適用可能性を十分に超過して満たして現れる値である。
引用された参考文献における測定の一部は、ＲＧ近似を用い、ＳＷＣＮＴの場合に対しては、数百ナノメートルまでの範囲の長さに対しては、電子顕微鏡検査によって多数が十分に確認される値を与える。より注意深く見て、我々は、そのようなチューブの体積測定組成が大きな分画の水（またはそれらが懸濁される流体）を含むことを注記する。入射波長はチューブ直径よりはるかに大きいので、我々は、薄いグラフェンコンテナ単独ではなく、体積重み付けされた屈折率に基いたＲＧ近似の適用可能性を判断するべきである。この値を計算しよう。
半径ａおよび厚みｔのチューブの単位長さ当たりの体積は、単純にπｔ（２ａ−ｔ）である。しかしながら、直径はわずか約１．２ｎｍであり、グラフェンそれ自体の厚みは炭素原子の直径または０．１５４ｎｍ付近であるはずである。したがって、単位長さ当りのコア（core）水の体積は約πａ２であり、ａ＝０．６−０．１５４＝０．４４６ｎｍであり；０．１５４の値は炭素原子の半径を表す。πａ２を水の屈折率約１．３３によって、およびπｔ（２ａ−ｔ）をグラフェンの屈折率（約３＋１．４ｉ）によって重み付けすること、ならびに単位体積πａ２で除することにより、｜ｍ−１｜≒０．７３を得る。恐らく極端に小さい角度を除いて、これは、もちろん式（２）の制限さえ十分に越える大きな値である。これは、ＲＧ理論に基いた測定から物性を導き出す任意の機会を得ることになる場合、式（２）の適用は不可欠になることを直ちに示唆する。したがって、小さい散乱角度における測定は、チューブ長が先に列挙された結果
Figure 2016024199
から導出され得る平均二乗半径＜ｒｇ ２＞の妥当に十分な推定値を可能にするかもしれない。引用された参考文献において報告されるチューブ長が数十ナノメートルにあるので、ａおよびｔを含む項は無視可能であり、それらの項を落として、対応するＲＭＳ半径、つまり＜ｒｇ ２＞＝Ｌ２／１２からＬを直接判断してもよい。これは、当然、単に、無限に細いロッドつまりロッドモデルに対する結果である。GigaultおよびFaganによる先に引用された論文などのような文献において共通して適用されるようなロッドモデルの適用は、データを式（７）にあてはめることに基き、平均二乗半径の測定からは決して計算されないことに注目することは重要である。
ここに論じられるように、構造が、周囲媒質の屈折率に近い、有効に重み付けされる屈折率を有する限り、平均二乗半径値から導出されるサイズに対して期待される結果は、有用かつ妥当に正確であることができる（一般的に約±１０％）ことに注目することは重要である。しかしながら、実効屈折率が大きすぎれば、ＲＧ近似は恐らく失敗する。たとえば、ＳＷＣＮＴが仮に実際はワイヤである場合、つまり、実効屈折率はグラフェンのそれであり、つまり、大きく複雑である場合、適用可能性に対する可能性はない。式（１）｜ｍ−１｜≪１の制限は、ＲＧ近似の主な要件となっている。ラテックス球体およびＳＷＣＮＴの場合、式（１）は、１．０未満の値を与えるが、≪１ではない。粒子が入射放射の波長に匹敵するサイズ以下のものである限り、平均二乗半径の測定に基いた量的結果を導き出すことが期待され得る、ということがこの発明の方法の根本的な結論である。ここに記載される発明まで、そのような、より大きな粒子サイズは、ＭＡＬＳ測定から導出することは可能ではなかった。
図２は、シングルウォールカーボンナノチューブの分画された試料から収集されたデータに対する式（７）のロッドモデルのあてはめを示す。粒子は、最もしばしば非対称流フィールドフローフラクショネーション（Ａ４Ｆ）と呼ばれるWahlundフィールドフローフラクショネーション（Ｗ３Ｆ）を用いて、サイズにより分離された [Cf. K-G. Wahlund and J. C. Giddings, Analytical Chemistry 59, 1332-1339, (1987)]。図３は、分画された試料の９０°散乱強度を示し、垂直軸は、図２に呈示されたスライスに対応している。ＭＡＬＳデータは図２において示される点で収集され、それらの角度位置はｓｉｎ２（θ／２）の横軸値により示される。これらの角度は、表１に明示的に列挙される。そのスライスに対する式（７）についての計算は長さＬ＝２２７±５を与える。ここで平均二乗半径を測定し、式（１２）を適用する場合、我々は、＜ｒｇ ２＞＝１２２±７、およびしたがってＬ＝４２３±２４を、図４に示されるデータに対する典型あてはめに基いて得る。ここで記載されるこの発明の方法は、この図によって最もよく示される。その範囲の多くにわたって、式（２）の有効性は明らかに真ではない。しかしながら、非常に小さい角度で、図４のデータに基いて平均二乗半径を抽出することは、電子顕微鏡測定に基いたこれらのロッドの長さにはるかにより近い値を生ずる。
表１ Ｋ５ガラスセルに対する光散乱検出器角度θおよびｓｉｎ２（θ／２）
Figure 2016024199
多くのタイプの粒子試料に関して、ＲＧ理論の適用は、それらの演繹的な既知の構造から、またはそれらの関連付けられる平均二乗半径を導き出すことによって、それらの重要な構造的特性を抽出するのに十分であることになる。しかしながら、図２の例において示されるような、式（１）を十分に満たさないかもしれないいくつかの粒子分類については、式（２）は依然として非常に小さい角度において有効なままかもしれない。この後者の所見は、式（１１）の適用は平均二乗半径を生ずると期待されるかもしれないが、この目的のためには、我々は、粒子形状因子Ｐ（θ）を、非常に小さい角度において、より現実的な平均二乗半径の値を生ずる関数と、置換することを必要とすることを示唆する。この発明の方法は、広範囲の散乱角度にわたって記録されたデータを用いて、θ＝０でのｓｉｎ２（θ／２）に関する導関数がより正確な散乱粒子の平均二乗半径の測定値を与える形状因子を生じさせる。我々はこれを関数的形状因子П（θ）と呼ぶ。
この非常に特別な関数形式の導入およびそれを生成する手段を後述する。式（１０）から直接進む代りに、形状因子П（θ）は、それ自体が、ここに開示される発明の手順の独自の基礎である。歴史的には、式（１０）は平均二乗半径＜ｒｇ ２＞を計算するための基礎である。そのような手順は、最初の傾きを計算するために必要とされる質および量の、十分に小さい散乱角度のデータにアクセスすることに常に依存する。しかしながら、そのような小さい角度において収集されたデータは、この最初の傾きの正確な値の抽出において相当な不確かさを生ずる、相対的に大きな変動をしばしば有する。加えて、そのようなデータは、多くの場合、式（１１）の適用から傾きを計算するのに十分に広範囲の小さい角度にわたって、十分な量で利用可能ではない。
解析関数П（θ）は、θ→０°とする極限値で、
Figure 2016024199
を介して粒子散乱関数Ｐ（θ）と関係する。したがって、θ→０とする極限値で、Ｐ（θ）≡П（θ）である。
試料から収集されたＭＡＬＳデータの測定からの解析関数П（θ）の生成および適用は、この発明の基礎である。それは下記のステップによって導き出される：
ｉ）単分散の試料からｎ個の散乱角度θｉ（ｉ＝１，…，ｎ）でＭＡＬＳデータＩ（θｉ）＝Ｉｉを収集する；
ｉｉ）収集されたデータ（Ｉ１，Ｉ２，…，Ｉｎ）の、次数ｍの多項式関数への最小二乗あてはめを、角度変数ξにおいて計算する；
Figure 2016024199
ｉｉｉ）関数ｆｍ（ξ）を、П（θ）＝ｆｍ（ξ）／ｃ０であるように、正規化する。П（０°）＝１であることに注意されたい。
収集された角度データの尺度は式（２１）の最終判断と無関係であることに注意すべきである。解析関数П（θ）はしたがって、実測から導き出される。そのような測定は、照射された粒子による、入射光の方向に関するその向きのすべてにわたる散乱の平均化に対応する。仮に、薄い剛性のロッドの集団からの散乱を測定する場合、導関数П（θ）は、式（７）によって記述される複雑な散乱と有効に同一であろうが、しかし、代りにｓｉｎ２（θ／２）においてべき級数として表現されるであろう。しかし、解析関数П（θ）は、無限に細いロッドのそのような集団が暗示するよりはるかに一般的である。測定される多くのタイプの粒子については、生じたП（θ）は、角度の最も小さいものを除いて、式（２）の制限に従わないことになる。これらは、平均二乗半径＜ｒｇ ２＞を生じさせるのに必要な測定に関して常に最も得難い角度である。ＭＡＬＳ測定から収集された散乱データから解析関数П（θ）を導出することによって、この発明の方法は、式（２）の制約を十分に越えてある粒子に対してでさえも、粒子の構造的特徴の回復を可能にする平均二乗半径を生じさせることが可能である。
収集されたデータの関数ｆｍ（ξ）への最小二乗あてはめは、係数ｃｉ（ｉ＝０，１，…，ｍ）の値、およびそれによってП（θ）を生じさせる。このように導出された関数の形式から、平均二乗半径は式（１１）から、つまり
Figure 2016024199
から計算される。
しかしながら、П（θ）＝ｆｍ（ξ）／ｃ０であるため、我々は直接の結果
Figure 2016024199
を有する。
周知のように、重み付けされる最小二乗あてはめは、各データＩ（θｉ）の二乗された差項の、その正規化された相反する標準偏差
Figure 2016024199
による好適な重み付けによってなされてもよく、Ｉ（θｉ）の標準偏差はρｉである。この重み付けされる最小二乗あてはめの詳細は、他のところに見出され得る。この開示については、各二乗された差が等しく重み付けされる、最も単純な最小二乗あてはめ手順のみを考える。
多項式次数（ｍ）の最適値がどのように選択されるかを判断することが残っている。「経験則」として、ｍ≒２ｋＬ＝４πＬ／λを選択するかもしれず、Ｌは、散乱粒子のおおよその「サイズ」（直径、長さなど）である。おおよその長さ２２５ｎｍのＳＷＣＮＴロッドの場合、水における６５８ｎｍの波長では、これは約６つの項を示唆するだろう。代替的に、選択はデータへのПｍ（θ）のあてはめの検査によってなされてもよい。したがって、図４は、次数５へのあてはめを示し、一方、図５は、次数３への下位あてはめを示す。非常に重要なのは、より小さい角度における、つまり式（２）が有効である場合でのあてはめである。そのようなあてはめの質が判断され得る定量的手段があるが、鍵は、常に、低い角度におけるデータが選択された多項式表現のプロットと比較されるときに観察可能な偏差になる。図４の５次あてはめの優勢は、図５の３次あてはめとの比較によって明確に示される。
一旦、溶離部分標本の平均二乗半径が、簡潔に記述されたこの発明の方法によって判断されると、そのさらなる適用はＭＡＬＳデータを形成した粒子構造のさらなる演繹的な情報に依存してもよい。たとえば、セルロースまたはカーボンナノチューブのロッドなどのようなロッドについては、我々は、電子顕微鏡検査または他の手段によって得られていることになるなんらかの構造的情報を必要とすることになる。分画技術がそのような粒子の試料をそれらの長さによって分離した（各分画は単分散の長さに対応する）と仮定して、先の試料の電子顕微鏡検査測定はこの寸法の測定でロッドの均一厚みを確認していることになる。式（１２）を、鏡検測定から導き出した値ａとともに適用して、各単分散の分画の長さを直ちに計算してもよい。各分画（スライス）に対するそのような結果から、サイズ分布および数密度分布は、たとえば、米国特許６，７７４，９９４に記載される方法を用いて、完全なデータセットから抽出されてもよい。
液体懸濁状態における粒子については、それらの平均二乗半径＜ｒｇ ２＞を判断する方法は、以下を辿る：
１）懸濁物において、粒子と粒子との相互作用および多重散乱を回避する好適な濃度で、既知の構造の粒子の試料を調製する；
２）各分画が、有効に単分散粒子である、つまりすべて同じ組成および寸法の粒子から構成されるように、試料をクロマトグラフィまたは他の手段によって分画する；
３）そのような粒子の単分散の分画を、微細な光束（好ましくは、レーザ源からの、鉛直方向に偏光された、および単色である光束であるが、多波長が有用かもしれない）で照射し、散乱光の強度Ｉ（θｉ）を複数のｎ個の散乱角度θｉ（ｉ＝１，２，…，ｎ）で測定する；
４）収集されたデータの次数ｍの多項式関数への最小二乗あてはめをξにおいて計算する；
Figure 2016024199
５）ステップ（４）のあてはめの次数ｍの最適化を、角度θｉにおける測定された散乱強度Ｉｉ（θｉ）（ｉ＝１，…，ｎ）へのそのようなあてはめの目視比較によって、または非常に可能性の高い次数を選択するよう、ｍ≒４πＬ／λのような先に呈された関係によって、または他の手段によって、行なう；
６）そのような選択されたあてはめから、ｉ＝０，１，…，ｍに対する次数ｍの多項式関数ｆｍ（ξ）の累乗ξｉの係数ｃｉを計算する；
７）
Figure 2016024199
から平均二乗半径を計算する。
係数ｃ０は、収集されたデータ値を、形状因子はＰ（θ）≦１であるという要件と相応させるのに必要な正規化を与えることに注意されたい。
呈示された発明の要素は液溶体における粒子の懸濁物に排他的に向けられないことを指摘することは、重要である。この方法は、米国特許３，６２４，８３５において最初に開示されたような空気における単一粒子測定を含む、空気などのような気体における粒子に対するさらなる適用を有する。気相または真空相における粒子については、照射される粒子は単分散でなければならない。単一粒子も、それから散乱される光の角度変動の測定からそのように測定されてもよい。したがって、直径数百ナノメートルのエアロゾル粒子の平均二乗半径が、複数の散乱角度におけるそれらの散乱光強度の測定から、十分な精度で判断され得る。代替的に、そのような測定は、続いて、厳密なＬＭ理論からの反復する抽出に対して「シード」値として用いられてもよい値を生じさせてもよい。そのような測定は、単一粒子に微細なレーザ光束を通過させ、そのような通過中に生じた散乱光を球面上に位置された複数の検出器で収集することによって、しばしば達成される。そのような測定が可能な典型的な装置が、雑誌「応用光学（Applied Optics）」、第２７巻、２１７〜２２１頁、１９８８年における、発明者による論文に記載されている。
光散乱測定およびクロマトグラフ分離の当業者には明らかなように、私がその実施について列挙した基本的な要素から逸脱しない、私が発明し記載した方法の多くの明らかな変形例があり、すべてのそのような変形例は、しかし、上に記載された私の発明の明らかな実現例であり、私の特許請求の範囲への参照により含まれる。
多項式次数（ｍ）の最適値がどのように選択されるかを判断することが残っている。「経験則」として、ｍ≒２ｋＬ＝４πＬ／λを選択するかもしれず、Ｌは、散乱粒子のおおよその「サイズ」（直径、長さなど）である。おおよその長さ２２５ｎｍのＳＷＣＮＴロッドの場合、水における６５８ｎｍの波長では、これは約６つの項を示唆するだろう。代替的に、選択はデータへのПｍ（θ）のあてはめの検査によってなされてもよい。したがって、図３は、次数５へのあてはめを示し、一方、図４は、次数３への下位あてはめを示す。非常に重要なのは、より小さい角度における、つまり式（２）が有効である場合でのあてはめである。そのようなあてはめの質が判断され得る定量的手段があるが、鍵は、常に、低い角度におけるデータが選択された多項式表現のプロットと比較されるときに観察可能な偏差になる。図３の５次あてはめの優勢は、図４の３次あてはめとの比較によって明確に示される。

Claims (14)

  1. 主として単分散の粒子から構成された試料分画における粒子の平均二乗半径を測定する方法であって、
    Ａ）前記試料分画を微細な光束により照射するステップと、
    Ｂ）そのような試料により散乱された光を複数のｎ個の散乱角度で測定するステップと、
    Ｃ）、多項式関数
    Figure 2016024199
     （式中、ξ＝ｓｉｎ２（θ／２）およびｍ≦ｎ−１）の導出を、ｎ個の散乱角度で収集されたデータに対する前記関数の最小二乗あてはめをなすことにより行なうステップと、
    Ｄ）それによって、係数ｃ０，ｃ１，…，ｃｍを導出するステップと、
    Ｅ）関数П（θ）＝ｆｍ（ξ）／ｃ０を形成するステップと、
    Ｆ）
    Figure 2016024199
     から前記平均二乗半径を判断するステップとによる、方法。
  2. 前記微細な光束はレーザからである、請求項１に記載の方法。
  3. 前記微細な光束は偏光される、請求項１に記載の方法。
  4. 前記多項式関数は、前記関数の、ｎ個の散乱角度で収集されたデータへの、重み付けされた最小二乗あてはめから導出される、請求項１に記載の方法。
  5. 各収集された角度の散乱強度Ｉｉ（θｉ）と関連付けられるそのような重み付けは、
    Figure 2016024199
     に比例し、ρｉはＩｉ（θｉ）の測定された標準偏差である、請求項４に記載の方法。
  6. 懸濁状態において既知形状の単分散粒子の寸法を多角度光散乱（ＭＡＬＳ）によって判断する方法であって、
    Ａ）前記懸濁された粒子の試料分画を微細な光束によって照射するステップと、
    Ｂ）そのような粒子からの散乱光強度を複数の散乱角度で測定するステップと、
    Ｃ）前記散乱光強度を、最小二乗平均によって、間隔０°≦θ≦１８０°内において、その値がθ＝０で１．０であり、すべての角度θで０≦ｆ（θ）≦１であるように正規化される解析多項式関数ｆ（θ）にあてはめるステップと、
    Ｄ）前記解析関数の傾きを、ｓｉｎ２（θ／２）に関して、θ＝０で計算するステップと、
    Ｅ）前記傾きから前記散乱粒子の平均二乗半径＜ｒｇ ２＞を導出するステップと、
    Ｆ）それから、前記単分散粒子の寸法を計算するステップとによる、方法。
  7. 前記解析関数は形式
    Figure 2016024199
     であり、ｍは、測定される散乱角度の数未満である、請求項６に記載の方法。
  8. 前記粒子は、短軸ａが既知であり長軸ｂが関係
    Figure 2016024199
     から判断される回転楕円体である、請求項６に記載の方法。
  9. 前記短軸ａは、微視的な手段によって測定された、請求項８に記載の方法。
  10. 前記微細な光束はレーザからである、請求項６に記載の方法。
  11. 前記複数の散乱角度は範囲０°＜θｉ＜１８０°内にある、請求項６に記載の方法。
  12. 前記解析関数は形式
    Figure 2016024199
     であり、ｍは、測定される散乱角度の数未満である、請求項６に記載の方法。
  13. 前記粒子は、その半径がａであり、厚みがｔであり、および平均二乗半径
    Figure 2016024199
     であるチューブである、請求項６に記載の方法。
  14. 前記微細なレーザ光束は鉛直方向に偏光される、請求項６に記載の方法。
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