JP2015081894A - 表面形状測定装置及び表面形状測定方法 - Google Patents

Abstract

【課題】測定対象の形状とともに絶対位置も取得可能な、表面形状測定装置及び方法を提供する。
【解決手段】演算器２２は、光学素子１６Ａ〜１６Ｄの相対移動時の被測定面２６のモアレ像の変化に基づいて、撮像器２０の任意の受光素子が受光した光線の、被測定面２６上の反射点の法線ベクトルｎを求める。さらに、複数の受光素子にそれぞれ対応する法線ベクトルｎに基づいて被測定面２６の形状を合成する。加えて、撮像器２０と被測定面２６とを相対的に角度変化させたときの、被測定面２６上の任意の反射点に対応する、角度ごとの受光素子に基づいて、被測定面２６の絶対位置を求める。
【選択図】図１

Description

本発明は、表面形状測定装置及び表面形状測定方法に関する。

従来から、被測定面を撮像して、この撮像データに基づいて被測定面の表面形状を測定する、表面形状測定方法が知られている。例えば、特許文献１〜３、非特許文献１〜２では、被測定面に縞パターンを映り込ませるとともに、この縞パターン像に基づいて、被測定面の形状を求める、デフレクトメトリを行っている。また、非特許文献３〜４では、被測定面にモアレ像を映り込ませるとともに、このモアレ像に基づいて、被測定面の形状を求める、モアレデフレクトメトリを行っている。また、非特許文献５〜９では、被測定面上の任意の点の法線ベクトルを求めて、これらの法線ベクトルを積分することによって、被測定面の表面形状を求めている。

特開２００６−２１４９１４号公報 特開２０１０−１９７３９１号公報 特開２０１３−２４７３７号公報

エム．シー．クナウアー（M. C. Knauer）外２名、「位相測定デフレクトメトリ：鏡面測定の新しいアプローチ（Phase Measuring Deflectometry: a new approach to measure specular free-form surfaces）」、国際光工学会論文集（Proceedings of SPIE）、平成１６年、第５４５７巻、p．３６６−３７６ ジー．ハウスラー（G. Hausler）外３名「マイクロデフレクトメトリ−ナノメートルレベルでの高さ解像度を持った３次元のマイクロトポグラフィーを取得する新しいツール（Microdeflectometry-a novel tool to acquire three-dimensional microtopography with nanometer height resolution）」、オプティクスレターズ（Optics Letters）、平成２０年、第３３巻、ｐ．３９６−３９８ オー．カフリ（O. Kafri）外１名、「モアレデフレクトメトリを用いた鏡面反射解析（Reflective surface analysis using moire deflectometry）」、アプライドオプティクス（Applied Optics）、昭和５６年、第２０巻、第１８号、ｐ．３０９８ オー．カフリ（O. Kafri）外１名「モアレデフレクトメトリ（Moire deflectometry）」、ワイリー（Wiley）、平成１年、モアレメトロジーの物理学、第６章 エー．アグラワル（A. Agrawal）外２名「勾配センサから表面を再構成する際のレンジについて（What is the Range of surface reconstructions from gradient sensor）」、平成１８年、コンピュータヴィジョン欧州会議（European Conference on Computer Vision (ECCV)）、p.５７８−５９１ エー．アグラワル（A. Agrawal）外２名「勾配場に基づく表面再構成の代数的アプローチ（An algebraic approarch to surface reconstruction from gradient fields）」、平成１７年、コンピュータヴィジョン国際会議（International Conference on Computer Vision）、p.１７４−１８１ アール．ティー．フランコット（R. T. Frankot）外１名、「シェーディングアルゴリズムを用いた、形状への積分可能性を高める方法（A Method for enforcing integrability in shape from shading algorithm）」、パターン解析と機械知能に関する米国電気電子学会紀要（IEEE transactions on pattern analysis and machine intelligence）、平成１０年、第１０巻、第４号、p.４３９−４５１ ピー．コヴェシ、「法線と関連付けた形状による表面形成（Shapeles correlated with surface normals Produce Surfaces）」、平成１７年、コンピュータヴィジョン国際会議（International Conference on Computer Vision）、p９９４−１００１ エス．エットル（S. Ettl）外３名、「勾配データに基づく表面再構成（Shape reconstruction from gradient data）、平成１７年、応用光学（Applied Optics）、第４７巻、第１２号、p.２０９１−２０９７

ところで、被測定面の形状を求める際に、その絶対位置を取得したいとの要望がある。測定対象が立体形状である場合など、一回の撮像で測定対象の全表面を撮像することが困難である場合に、測定対象を回転させるなどして、複数回撮像を行う必要がある。さらにこれらの撮像データを合成して、最終的な測定対象の立体表面形状を求める。この撮像データの合成の際に、絶対位置、つまり所定の基準位置からの測定対象の位置が分かっていないと、撮像データの合成（被測定面データの繋ぎ合わせ）が困難となる。そこで、本発明は、測定対象の形状とともに絶対位置も取得可能な、表面形状測定装置及び方法を提供することを目的とする。

本発明は、表面形状測定装置に関する。当該装置は、被測定面に光を照射する光源と、前記光源から被測定面までの光路上に設けられるとともに、それぞれに格子が形成され、前記被測定面に前記格子によるモアレ像を投影させる、複数の光学素子と、複数の受光素子を備えるとともに、前記被測定面の前記モアレ像を撮像する撮像器と、前記撮像器が撮像した前記モアレ像に基づいて、前記被測定面に関する演算処理を行う演算器と、を備える。前記複数の光学素子は相対移動させられ、前記演算器は、前記光学素子の相対移動時の前記被測定面のモアレ像の変化に基づいて、任意の前記受光素子が受光した光線の、前記被測定面上の反射点の法線ベクトルを求めるとともに、複数の前記受光素子にそれぞれ対応する法線ベクトルに基づいて前記被測定面形状を合成し、前記撮像器と前記被測定面とを相対的に角度変化させたときの、前記被測定面上の任意の反射点に対応する、角度ごとの前記受光素子に基づいて、前記被測定面の絶対位置を求める。

また、上記発明において、前記演算器は、前記光学素子の相対移動に伴う、前記受光素子の輝度変化に基づいて、当該受光素子が受光した光線の、前記光源から前記被測定面までの経路に沿った入射ベクトルを求めることが好適である。

また、上記発明において、前記演算器は、前記撮像器に対して、ピンホールカメラモデルに基づくカメラキャリブレーションを行うことで、任意の前記受光素子が受光した光線の、前記被測定面から当該受光素子までの経路に沿った反射ベクトルを求めることが好適である。

また、上記発明において、前記演算器は、前記入射ベクトル及び反射ベクトルに基づいて、前記被測定面における光線の反射点における法線ベクトルを求めることが好適である。

また、上記発明において、前記撮像器は、前記撮像器と前記被測定面とが第１の角度及び前記第１の角度とは異なる第２の角度であるときの、前記光学素子の相対移動時の前記被測定面のモアレ像の変化を、それぞれ撮像し、前記演算器は、前記第１及び第２の角度であるときの、前記光学素子の相対移動に伴う前記受光素子の輝度変化に基づいて、前記第１の角度であるときの任意の前記受光素子に受光された光線の前記被測定面上の反射点と反射点が等しい前記第２の角度であるときの光線を受光した前記受光素子を求め、これらの前記受光素子に基づいて、前記反射点の絶対位置を求めることが好適である。

また、上記発明において、前記被測定面を備える測定対象物は回転テーブル上に配置され、前記回転テーブルによる前記被測定面の回転により、前記撮像器と被測定面とが相対的に角度変化することが好適である。

また、上記発明において、前記演算器は、前記回転テーブルによる前記被測定面の回転を、前記撮像器の回転に置き換える演算を行うことが好適である。

また、上記発明において、前記撮像器の光軸と、前記複数の光学素子の移動軸とが直交していることが好適である。

また、本発明は、表面形状測定方法に関する。当該方法では、光源によって被測定面に光を照射し、前記光源から被測定面までの光路上に、それぞれに格子が形成された複数の光学素子を設けるとともに、前記被測定面に前記格子によるモアレ像を投影させ、複数の受光素子を備える撮像器に、前記被測定面の前記モアレ像を撮像させ、前記撮像器が撮像した前記モアレ像に基づいて、前記被測定面に関する演算処理を行う。さらに、前記複数の光学素子を相対移動させ、前記光学素子の相対移動時の前記被測定面のモアレ像の変化に基づいて、任意の前記受光素子が受光した光線の、前記被測定面上の反射点の法線ベクトルを求め、複数の前記受光素子にそれぞれ対応する法線ベクトルに基づいて前記被測定面形状を合成し、前記撮像器と前記被測定面とを相対的に角度変化させたときの、前記被測定面上の任意の反射点に対応する、角度ごとの前記受光素子に基づいて、前記被測定面の絶対位置を求める。

本発明によれば、測定対象の形状とともにその絶対位置も取得可能となる。

本実施形態に係る表面形状測定装置を例示する斜視図である。 被測定面の撮像の様子を表す図である。 撮像器の開口角について説明する図である。 カメラキャリブレーションについて説明する図である。 カメラキャリブレーション後の光学系を例示する図である。 光学素子を例示する図である。 光学素子の相対移動による輝度変化を説明する図である。 光学素子の相対移動による輝度変化を説明する図である。 光学素子の相対移動による輝度変化を説明する図である。 被測定面の絶対位置を説明する図である。 被測定面の絶対位置を説明する図である。 被測定面の合成について説明する図である。 被測定面の絶対位置を説明する図である。 光学系の回転について説明する図である。 光学系の回転について説明する図である。

図１に、本実施形態に係る表面形状測定装置１０を例示する。表面形状測定装置１０は、光源１２、回転テーブル１４、光学素子１６Ａ〜１６Ｄ、移動ステージ１８Ａ、１８Ｂ、撮像器２０、及び演算器２２を備える。

光源１２は、測定対象物２４の被測定面２６に向かって光を照射する。撮像器２０が被測定面２６を撮像するときに影が映り込むことを防ぐために、光源１２は、被測定面２６の全面を照射可能な光源であることが好適である。例えば、光源１２は面光源であってよい。

回転テーブル１４は、被測定面２６を有する測定対象物２４を保持するとともに回転させる。これにより、被測定面２６と撮像器２０とが相対的に角度変化する。回転テーブル１４は、例えば９０°回転が可能なテーブルであってよい。

光学素子１６Ａ〜１６Ｄは、光源１２と被測定面２６との間の光路上に設けられる。光学素子１６Ａ〜１６Ｄには、それぞれ格子Ｇが形成され、被測定面２６には、図２下段で示すように、複数の格子Ｇが重なることによって生じるモアレ像（干渉縞像）が投影される。

図１に戻り、格子Ｇは、例えば、ガラスや石英等の透光性基材の表面に非透光性の材料を蒸着等することにより形成される。格子Ｇのパターンは、表面形状測定装置１０で用いられる光源１２から照射される光の特性や測定対象物２４の反射特性に応じて設定することが好適である。例えば、光学素子１６Ａ〜１６Ｄは、５９本／ｃｍ（１５０本／インチ）のピッチで平行線が配列された一次元格子を備えるロンキー格子であってよい。

光学素子１６Ａ、１６Ｂと、光学素子１６Ｃ、１６Ｄは、格子パターンが異なっていることが好適である。例えば、光学素子１６Ａ、１６Ｂは、鉛直方向に延伸する一次元格子パターンを備え、光学素子１６Ｃ、１６Ｄには、水平方向に延伸する一次元格子パターンを備えるものであってよい。このようにすることで、後述するように、光源１２からの光線の経路を求めることが可能となる。

移動ステージ１８Ａ、１８Ｂは、複数の光学素子１６Ａ〜１６Ｄを相対移動させる。これにより複数の光学素子１６Ａ〜１６Ｄは、光路上の相対間隔が変化する。移動ステージ１８Ａ、１８Ｂは、例えば一軸ステージであってよい。

移動ステージ１８Ａ、１８Ｂは、すべての光学素子１６Ａ〜１６Ｄを移動させてもよいし、いずれかの光学素子を移動可能とし、残りの光学素子を固定させてもよい。この場合、格子パターンが同一なペアの一方を固定して、他方を移動させることが好適である。例えば、移動ステージ１８Ａ、１８Ｂは、光学素子１６Ａ、１６Ｄを固定して、光学素子１６Ｂ、１６Ｃを移動させる。

移動ステージ１８Ａ、１８Ｂは、それぞれの格子Ｇが平行となるように、光学素子１６Ａ〜１６Ｄを保持してもよいし、非平行な状態で固定してもよい。なお、後述するように、非平行に保持する場合、被測定面２６の形状算出の際に、平行に保持する場合と比較して演算負荷が大きくなる。このことから、それぞれの格子Ｇが平行となるように、移動ステージ１８Ａ、１８Ｂは、それぞれの光学素子１６Ａ〜１６Ｄを保持することが好適である。なお、平行とは完全な平行関係、つまり、格子間の角度が０°である場合のみに限られず、測定結果に対して格子間の角度のずれの影響が実質的に問題にならない角度も含む。

移動ステージ１８Ａ、１８Ｂにより、光学素子１６Ａと１６Ｂの間隔、及び、光学素子１６Ｃと１６Ｄの間隔が変更される。このとき、移動ステージ１８Ａ、１８Ｂの移動方向は、光学素子１６Ａ〜１６Ｄの格子形成面に対して垂直であっても、垂直とは異なる方向であってもよい。なお、後述するように、被測定面２６の形状算出の際の演算負荷を軽減するため、移動ステージ１８Ａ、１８Ｂは、格子形成面に対して垂直方向に光学素子１６Ａ〜１６Ｄを移動させることが好適である。ここで、垂直とは完全な垂直関係のみに限られず、測定結果に対して垂直からの角度のずれの影響が実質的に問題にならない角度も含む。

撮像器２０は、測定対象物２４の被測定面２６に投影されたモアレ像を撮像する機器である。図３に示すように、例えば、撮像器２０は、ＣＣＤセンサやＣＭＯＳセンサ等の受光素子２８が面状に複数配列された受光面３０を備えている。また、撮像器２０は、受光面３０と被測定面２６との間の光路上に、レンズ３２を備えている。ここで、１つの受光素子２８に対して広い開口角で光が入射すると、後述する輝度変化の周期性が低下するおそれがある。そこで、レンズ３２の開口角γを絞り込むことが好適である。例えば、開口角γは、１０ｍｒａｄ以下とすることが好適である。また、撮像器２０は、角度調整ステージ等を備えてもよい。

なお、撮像器２０の光軸Ｌ１と、光学素子１６Ａ〜１６Ｄの移動軸Ｌ２とは、直交していても、非直交であってもよい。ここで、後述するように、被測定面２６の形状算出の際に、光軸Ｌ１と移動軸Ｌ２とが非直交であると、直交であるときと比較して、演算負荷が掛かるようになることから、光軸Ｌ１と移動軸Ｌ２とを直交させるようにすることが好適である。なお、直交とは９０°に交わる場合のみに限られず、測定結果に対して９０°からの角度のずれの影響が実質的に問題にならない角度も含む。

図１に戻り、演算器２２は、撮像器２０が撮像したモアレ像に基づいて、被測定面２６に関する演算処理を行う。演算器２２は、撮像器２０、回転テーブル１４、及び移動ステージ１８Ａ、１８Ｂと通信可能となっている。演算器２２は、これらの機器から送られた信号の演算処理を行ったり、これらの機器に対して制御信号を送信する。

演算器２２は、記憶部３４及び演算処理部３６を含んで構成される。記憶部３４は、移動ステージ１８Ａ、１８Ｂの移動ピッチ、撮像器２０が取り込んだモアレ像の画像データ、及び当該画像データを演算処理するためのプログラム等を記憶する機器である。記憶部３４は、これらの情報を記憶可能な機器であればよく、例えばＲＯＭやＲＡＭ、ＥＰＲＯＭ、ハードディスク装置等の１つまたは複数の組み合わせから構成することができる。

演算処理部３６は、撮像器２０が取り込んだ画像データに対して演算処理を行う。この演算処理によって、後述するように、被測定面２６の形状及び絶対位置が求められる。また、演算処理部３６は、移動ステージ１８Ａ、１８Ｂを駆動させる図示しないモータ等の駆動手段に対して、所定の移動ピッチ（例えば０．１ｍｍ）分の駆動信号を送信する。演算処理部３６は、これらの演算処理が可能な機器であればよく、例えばマイクロコンピュータユニットを含んで構成することができる。

次に、演算器２２による演算処理について説明する。演算器２２は、撮像器２０の光学系を、カメラ中心と画像平面から構成されるピンホールカメラの光学系に変換する、カメラキャリブレーションを行う。

図４上段には、撮像器２０のレンズ３２及び受光面３０からなる光学系の概念図が示されている。この光学系では、レンズ３２中心Ｏから入射した光線が受光面３０のそれぞれの受光素子２８に入射する。この光学系を、図４の下段に示すようなピンホールカメラの光学系に変換する。ピンホールカメラモデルでは、受光面３０の背面（光路の下流側）にカメラ中心Ｏを設けるとともに、このカメラ中心Ｏを、受光面３０から入射したすべての光線が通過する。このモデルを用いると、受光面３０上の任意の受光素子２８を通過する光線の経路が一意に定まる。言い換えると、任意の受光素子２８が受光した光線の、被測定面２６から当該受光素子２８までの経路に沿った反射ベクトルを一意に導き出すことができる。

レンズ３２及び受光面３０からなる光学系を、ピンホールカメラモデルによる光学系に変換する方法は既知であり、例えば非特許文献１、２等に記載されているが、例えばレンズ３２の収差や座標系の回転を考慮したパラメータを用いて、当該変換が行われる。座標系の回転とは、例えば、光軸（Ｚ軸）を回転軸として、座標系を１８０°回転させる（反転させる）ことを指す。

ピンホールカメラモデルによるカメラキャリブレーションを行うことで、被測定面２６から反射して受光面３０に入射する反射ベクトルｅの他にも、焦点距離Ｆが求められる。焦点距離Ｆは、受光面３０とカメラ中心Ｏまでの距離を指し、受光面３０の中心ｃを通る反射ベクトルｅから求めることができる。演算処理部３６は、カメラキャリブレーションによって求められた受光面３０上の全受光素子２８に対応する反射ベクトルｅと、焦点距離Ｆを算出するとともに、記憶部３４にこれらのパラメータを記憶させる。

図５には、カメラキャリブレーション後の、被測定面２６及び光源１２を含む光学系の模式図が例示されている。光源１２から射出された光線は、光学素子１６Ａ〜１６Ｄを経由して被測定面２６で反射し、その後受光素子２８にて受光される。この光線の軌跡について、被測定面２６から任意の受光素子２８までの経路に沿った反射ベクトルｅは、上記のカメラキャリブレーションによって既に求められているから、光源１２から被測定面２６までの経路に沿った入射ベクトルが分かれば、被測定面２６の反射点における法線ベクトルを求めることができる。具体的には、反射ベクトルｅ、反射点ｒにおける法線ベクトルｎ、接線ベクトルｔ、及び係数α、βを用いて、以下の数式（１）が得られる。なお、以下では、計算の便宜上、被測定面２６から受光素子２８に向かう反射ベクトルを−ｅで表している。

ここで、入射ベクトルｖと反射ベクトルｅの内積から下記数式（２）が得られる。

さらに、入射ベクトルｖ、法線ベクトルｎ、接線ベクトルｔ、及び係数α、βを用いて、下記数式（３）が得られる。

さらに数式（１）〜（３）から、下記数式（４）が得られる。

ここで、被測定面２６の形状を表す関数をｆ（ｘ，ｙ）とする。なお、座標系はカメラキャリブレーション後の座標系を用いるものとする。すなわち、カメラの光軸（Ｌ１）をｚ軸として、これに直交するようにｘ軸を取り、さらにｚ軸及びｘ軸に直交するようにｙ軸を取る。関数ｆ（ｘ，ｙ）により、法線ベクトルｎは下記数式（５）のように表すことができる。

なお、数式（５）のｆ_ｘ、ｆ_ｙは、それぞれ、関数ｆ（ｘ，ｙ）のｘ、ｙに関する偏導関数である。Ｔは行列の転置を表している。

また、入射ベクトルｖについて、図６のように、光学素子１６Ａ〜１６Ｄの移動軸Ｌ２に対する、入射光線の水平面（ｘ−ｚ平面）上の角度をφ_ｖ、鉛直面（ｘ−ｙ平面）上の角度をφ_Ｈで表すと、下記数式（６）が得られる。

なお、移動軸Ｌ２と撮像器２０の光軸が非直交である場合には、直交状態に対するずれ角度を各座標のパラメータに反映させる。

さらに、反射ベクトルｅについて、カメラの焦点距離Ｆを用いて、下記数式（７）が得られる。

数式（５）〜（７）を、数式（４）に代入すると、下記数式（８）、（９）が得られる。

ただし、κは下記数式（１０）のように表される。

数式（８）〜（１０）によってｆ_ｘ及びｆ_ｙを求めれば、数式（５）によって法線ベクトルｎを求めることができる。数式（８）〜（１０）の各パラメータのうち、反射ベクトル成分ｅ_ｘ、ｅ_ｙ、および焦点距離Ｆは、カメラキャリブレーションにより既知である。入射光の角度φ_Ｈ及びφ_Ｖは、以下のようにして求める。

光源１２と被測定面２６との間には、光学素子１６Ａ〜１６Ｄが設けられている。したがって、光源１２から射出された光線は光学素子１６Ａ〜１６Ｄの格子Ｇを通過する。光線は、格子Ｇの非透過部分に一部または全部遮断されるか、非透過部分の隙間を一部または全部通過することになる。この遮断／通過は、光学素子１６Ａ〜１６Ｄの相対距離の変化に応じて変化する。

説明を容易にするために、光学素子１６Ａと１６Ｂを例にとると、図７のように、光学素子１６Ａと１６Ｂの距離ξが変化すると、これに応じて受光素子２８の輝度が変化する。例えば光学素子１６Ａと１６Ｂの相対距離がξ０及びξ３のとき、光線は格子パターンに形成された非透過部分の隙間を通過する。このとき、図７下段に示すように、この光線を受光する受光素子２８が検知した輝度が極大値を取る。また、光学素子１６Ａと１６Ｂの相対距離がξ２及びξ４のとき、光線は格子パターンの非透過部分によって遮断される。このとき、受光素子２８が検知した輝度は極小値を取る。この輝度変化は、光学素子１６Ｂの移動軸に対する光線の角度φに応じて変化する。具体的には、格子ピッチΛを用いて、輝度変化の波長λと、光線の角度φは、下記数式（１１）のように表すことができる。

また、図３にて説明したように、受光素子２８に受光される光線の経路は一つのみではなく、レンズ３２の開口角γに起因して複数経路から光線が入射する。これを考慮すると、任意の受光素子２８の輝度変化Ｉ（ξ）は、下記数式（１２）のように記載することができる。なお、数式（１２）では、輝度の直流成分は無視している。

なお、上記数式（１２）は、光学素子１６Ａ〜１６Ｄの格子Ｇがいずれも平行関係にあり、かつ、移動方向に対していずれも垂直である条件下での数式である。格子Ｇがそれぞれ非平行であるとき、及び移動方向に対して傾いているときは、ξやΛに対して、平行状態に対する角度差や移動方向に対する傾きに応じたオフセット値を与える。

数式（１２）において、γはφよりも十分に小さく、０に近いとすると、ｔａｎ（φ＋γ）はｔａｎ（φ）＋γと近似できる。この近似を利用すると、数式（１２）は下記数式（１３）のように変形できる。

数式（１３）のうち、輝度Ｉ（ξ）は受光素子２８から取得できる。また、光学素子１６Ａ，１６Ｂの相対距離ξは移動ステージ１８Ａから取得できる。レンズ３２の開口角γ及び光学素子１６Ａ，１６Ｂの格子ピッチΛは既知である。したがって、受光素子２８の輝度Ｉ（ξ）を測定することで、入射光の角度φを求めることができる。

ここで、数式（１３）の正弦項の分母から、図８に示すように、光学素子１６Ａ，１６Ｂの相対距離ξの増加に伴って、輝度Ｉ（ξ）の振幅（信号強度）は小さくなる。つまり輝度Ｉ（ξ）は減衰振動の挙動を示す。振幅が０となるξ_Ｄは、下記数式（１４）のように表すことができる。

数式（１４）から、隣り合う光学素子がξ_Ｄ以上離れていれば、輝度変化には影響を与えないことが導き出せる。このことから、光源１２から被測定面２６までの光路上に、２種類の光学素子１６Ａ，１６Ｂ及び１６Ｃ，１６Ｄを配置することができる。

具体的には、図９に示すように、格子パターンが異なりかつ隣り合う光学素子１６Ｂと１６Ｃとを、ξ_Ｄ以上離間させる。本実施の形態では、光学素子１６Ｂを、光学素子１６Ａから遠ざける、つまり光学素子１６Ｃに近づけるように移動させることから、光学素子１６Ｂを光学素子１６Ｃに最も近づけたときに、その離間距離がξ_Ｄ以上となるように、両者を配置する。なお、図９では、光学素子１６Ｂの移動距離をｄ１で表している。このことから、光学素子１６Ｂと１６Ｃとの初期離間距離は、ｄ１＋ξ_Ｄ以上であることが好適である。

さらに、一方の光学素子１６Ａ，１６Ｂのペアの相対移動による輝度変化の測定中に、他方の光学素子１６Ｃ，１６Ｄのペアが輝度変化に影響を与えないように、それぞれを配置することが好適である。具体的には、光学素子１６Ａ，１６Ｂを相対移動させて（光学素子１６Ｂを移動させて）輝度変化を測定している際には、光学素子１６Ｃ，１６Ｄの離間距離をξ_Ｄ以上とする。同様にして、光学素子１６Ｃ，１６Ｄを相対移動させて（光学素子１６Ｃを移動させて）輝度変化を測定している際には、光学素子１６Ａ，１６Ｂの離間距離をξ_Ｄ以上とする。

このように光学素子１６Ａ〜１６Ｄを配置するとともに、光学素子１６Ｂと光学素子１６Ｃを順に移動させることで、図９で示すような輝度変化を得ることができる。光学素子１６Ｂの移動時に得た輝度変化から、入射ベクトルｖの水平面（Ｘ−Ｚ平面）上の角度成分φ_ｖが求められる。また、光学素子１６Ｃの移動時に得た輝度変化から、入射ベクトルｖの鉛直面（Ｙ−Ｚ平面）上の角度成分φ_Ｈが求められる。求められた角度φ_Ｈ及びφ_Ｖを数式（８）〜（１０）に代入して、ｆ_ｘ及びｆ_ｙを求めることができる。さらに求められたｆ_ｘ及びｆ_ｙを数式（５）に代入すれば、法線ベクトルｎを求めることができる。

実際の演算では、光学素子１６Ａ〜１６Ｄの相対移動時の、被測定面２６上に投影されたモアレ像の変化に基づいて、法線ベクトルｎを求める。すなわち、演算処理部３６が任意の受光素子２８を選択して、この受光素子２８の、光学素子１６Ａ〜１６Ｄの相対移動に伴う輝度変化を求める。さらにこの輝度変化から、当該受光素子２８が受光した光線の、光源１２から被測定面２６に向かう角度φ_Ｈ及びφ_Ｖを求める。これにより、入射ベクトルｖが求められる。

さらに演算処理部３６は、入射ベクトルｖ及び反射ベクトルｅから、任意の受光素子２８に対応する法線ベクトルｎ、つまり、当該受光素子２８が受光した光線の、被測定面２６上の反射点における法線ベクトルｎを求める。この演算を、例えば受光面３０上のすべての受光素子２８に対して行う。

次に、演算処理部３６は、求めた法線ベクトルｎを用いて、被測定面２６の形状を合成する。被測定面２６上の任意の点を示すベクトルとして、図１０に示すように、カメラ中心Ｏから被測定面２６の反射点ｒを結ぶベクトルｒを用いる。ベクトルｒは下記数式（１５）のように表すことができる。

ここで、ｋは倍率を表すスカラー値である。さらに、法線ベクトルｎ及び反射ベクトルｅを、同次座標ｎ_ｈ、ｅ_ｈに改めると、それぞれ下記数式（１６）、（１７）のように表すことができる。

ここで、被測定面２６の形状を表す関数ｚ＝ｆ（ｘ，ｙ）上の任意の点をｒ（ｘ，ｙ，ｚ）とすると、図１１に示すように、ベクトルｒとｋｅの差からなるベクトルは、法線ベクトルｎ_ｈと直交する。このことから、下記数式（１８）が導き出せる。

数式（１８）から、被測定面２６の形状を表す関数は、下記数式（１９）のように表される。

数式（１９）で与えられた関数を、各受光素子２８に適用する。受光面３０上では、複数の受光素子２８が面上に配置されている。図１２に示すように、受光素子２８の番号（画素番号）を、受光面３０に沿って互いに直交するｉ軸及びｊ軸を用いて、（ｉ，ｊ）（ｉ＝１，２…，Ｉ ｊ＝１，２…，Ｊ）とすると、数式（１９）は下記数式（２０）のように表すことができる。

法線ベクトルｎの要素（ｆ_xi,j，ｆ_yi,j）は上述したように受光素子２８の輝度変化から求めることができ、また反射ベクトルｅの要素（ｅ_xi,j，ｅ_yi,j，Ｆ）は、カメラキャリブレーションにより求めることができる。したがって倍率ｋ_i,jが分かれば、被測定面２６の形状を求めることができる。

ここで、受光素子２８は離散的に分布しているから、これにより求めた被測定面上の点（反射点）も、離散的に分布することになる。倍率ｋ_i,jを求めるに当たり、本来離散的に分布する被測定面上の反射点は、隣接する反射点間で連続するという条件を用いる。数式（２０）に隣接する反射点は下記数式（２１）のように表される。

数式（２０）、（２１）を用いると、これらの数式によって表される反射点の中点αは、下記数式（２２）のように表すことができる。

さらに、中点αにおいて、数式（２０）、（２１）のｚが等しくなると仮定すると、数式（２０）〜（２２）から、下記数式（２３）が得られる。

数式（２３）は、ｋ_i,jとｋ_i+1,jとの関係式である。ｉ＝１，２…Ｉであり、ｊ＝１，２…Ｊであるから、これらのすべての要素について方程式を作ると、Ｉ×Ｊ個の連立方程式ができる。これを行列で表すと、下記数式（２４）及び（２５）のようになる。

行列Ｍは、下記数式（２６）、（２７）で示す行列要素Ｍ_i,j、Ｍ_i+1,j以外の成分は０となる対角行列である。

また、数式（２４）のうち、０はｋと同じ要素数を持つゼロベクトルである。数式（２４）と同様の式は、ｋ_i,jとｋ_i-1,j、ｋ_i,jとｋ_i,j+1、ｋ_i,jとｋ_i,j-1のそれぞれについて得ることができる。したがって、４×Ｉ×Ｊ個の連立方程式が得られる。

上記連立方程式に、ある受光素子２８に対応するベクトルｒ（＝ｋｅ）の倍率ｋを与える。例えばｋ_1,1＝１０とする。これは、下記数式（２８）のように表すことができる。

行列Ｆは、ｋと同じ要素数を持つ行ベクトルであり、下記数式（２９）のように表される。

この制約条件の下で、ラグランジュ未定乗数法を用いて、数式（２４）、（２８）で表される連立方程式を解くと、ベクトルｋ＝ｋ_i,j（ｉ＝１，２…Ｉ，ｊ＝１，２…Ｊ）を求めることができる。ベクトルｋを求めることで、数式（１５）、（１７）を用いて、被測定面２６の点群データを求めることができ、これにより、被測定面２６の形状が合成される。

上述したように、任意のｋ_i,jを与えることで被測定面２６の形状を合成できるが、図１３に示すように、ｋ_i,jの値に応じて被測定面２６の倍率（大きさ）や位置が変化する。そこで、演算処理部３６は、被測定面２６の絶対位置（基準位置からの距離）を示す倍率ｋ_i,jを求める演算処理を行う。

絶対位置の特定には、いわゆるステレオヴィジョンの原理を利用する。一般的なステレオヴィジョンでは、２つの撮像器を異なる角度で配置するとともに、これらの撮像器で撮影したそれぞれの画像において、同じ計測点が写る画素（対応点）を見つけて、この計測点の三次元座標を求める。

本実施形態では、上記の原理を利用して、撮像器２０と被測定面２６とを相対的に角度変化させるとともに、この角度変化の際の、被測定面２６上の任意の反射点に対応する、角度ごとの受光素子２８の情報に基づいて、被測定面２６の絶対位置を求める。

具体的には、撮像器２０を固定するとともに、被測定面２６を回転テーブル１４によって回転させる。回転角度Δθは、０°より大きく４５°以下であってよい。好適には、５°としてよい。さらにこの回転を、被測定面２６を固定させて撮像器２０を回転させた状態に置き換える。図１４に示すように、ある回転中心から被測定面２６をψだけ回転させることは、光学素子１６と撮像器２０で構成される計測系を、回転中心に対して−ψだけ回転させることと等価である。また、図１４に示されているように、被測定面２６を角度ψだけ回転させると、入射ベクトルｖの角度は２ψだけ変化する。なお、図１４では、角度変化前の入射ベクトルｖを、光学素子１６の移動軸と平行としている。角度変化による入射ベクトルｖの変化を表すと、下記数式（３０）のようになる。

上記数式（３０）では、角度変化前の入射ベクトルをｖ_１で表し、角度変化後の入射ベクトルをｖ_２で表している。数式（３０）から、任意の入射ベクトルｖ_１を選択するとともに、数式（３０）の右辺が２ψになる入射ベクトルｖ_２を探索する。例えば、被測定面２６の回転軸に垂直な面と交わる受光素子２８の列から、入射ベクトルｖ_２の候補を選択する。

入射ベクトルｖ_２が求められると、入射ベクトルｖ_１、ｖ_２に対応する反射ベクトルｅ_１、ｅ_２が求められる。この２つの反射ベクトルｅ_１、ｅ_２が最も近づく点を被測定面２６上の反射点とすると、当該反射率の倍率ｋを求めることができる。具体的には下記数式（３１）のようになる。

ここで、ベクトルＴはカメラ中心Ｏの相対的な位置を示す。ベクトルＴは、例えば、キャリブレーションプレートを用いて求めることができる。図１５の下段には、キャリブレーションプレート３８が例示されている。キャリブレーションプレート３８は、プレート上に規則的なパターンが形成された板部材である。

被測定面２６の測定に先立って、キャリブレーションプレート３８を回転テーブル１４に保持させる。さらに回転前後のキャリブレーションプレート３８を撮像器２０にて撮像する。回転前後でキャリブレーションプレート３８の画像は図１５下段のように変化する。

次に、キャリブレーションプレート３８の特徴点（例えば中心点）を基準とした座標系を求めて、２つのキャリブレーションプレート３８を合わせる（一致させる）ように座標系の回転を計算すると、カメラ中心Ｏの移動量Ｔを求めることができる。

被測定面２６の回転前後の反射ベクトルｅ_１、ｅ_２、カメラ中心Ｏの移動ベクトルＴを数式（３１）に代入することで、倍率ｋ_１、ｋ_２を求めることができる。このうち、被測定面２６回転前の倍率ｋ_１を数式（２４）、（２８）で表される連立方程式に適用すると、被測定面２６の絶対位置を示すベクトルｋ＝ｋ_i,j（ｉ＝１，２…Ｉ，ｊ＝１，２…Ｊ）を求めることができる。

次に、実際の表面形状測定プロセスについて説明する。まず、事前校正を行う。具体的には、カメラキャリブレーションを行うことで、全受光素子２８に対応する反射ベクトルｅと焦点距離Ｆを求める。反射ベクトルの算出に当たり、被測定面２６を所定の角度θだけ回転させた前後の反射ベクトルｅ_１及びｅ_２を求める。また、キャリブレーションプレート３８を用いて、カメラ中心Ｏの移動ベクトルＴを求める。

次に、データ計測を行う。測定対象物２４を回転テーブル１４に保持するとともに、光学素子１６Ａ〜１６Ｄを相対移動させて、撮像器２０に被測定面２６に投影されたモアレ像を撮像させる。撮像器２０のフォーカスは被測定面２６に合わせておく。さらに、被測定面２６をΔθ回転させて、撮像器２０にこのときのモアレ像も撮像させる。

次にデータ処理を行う。演算処理部３６は、被測定面２６回転前のモアレ像の画像から、任意の受光素子２８の輝度変化を求め、これに基づいて入射ベクトルｖ_１を求める。また、被測定面２６回転後のモアレ像の画像から、入射ベクトルｖ_２を求める。さらに、任意の入射ベクトルｖ_１を選択し、これと被測定面上の反射点を等しくする入射ベクトルｖ_２を数式（３０）により求める。求められた入射ベクトルｖ_１及びｖ_２にそれぞれ対応する反射ベクトルｅ_１及びｅ_２を求めてこれらと予め取得したカメラ中心Ｏの移動ベクトルＴを数式（３１）に代入する。これにより絶対位置を示す倍率ｋ_１が求められる。

さらに演算処理部３６は、入射ベクトルｖ_１と反射ベクトルｅ_１から、法線ベクトルｎ_１を求める。法線ベクトルｎ_１と倍率ｋ_１から、被測定面２６の形状及び絶対値を求める。

上記の測定装置を用いて、表面形状測定を行った。光源１２としてＭＥＴＡＰＨＡＳＥ ＴＥＣＨＮＯＬＯＧＩＥＳ社製の白色照明（１４６ｍｍ×２５４ｍｍ）を用いた。光学素子１６として、豊和産業社製のロンキー格子（２６０ｍｍ×１６０ｍｍ）を用いた。光学素子１６の移動ステージ１８として、シグマ光機社製のＳＧＳＰ２０−２０を用いた。撮像器２０として、Ｂａｓｌｅｒ社製のＣＣＤカメラである、ＧｉｇＥカメラ（型式：ａｃＡ１３００−３０ｇｍ）を用いた。演算器２２として、パーソナルコンピュータを用いた。また、計測対象として、曲率半径が１００ｍｍの凹面ミラーを用いた。回転テーブル１４による凹面ミラーの回転角度は５°とした。直径は４５ｍｍであった。

上記の設備にて被測定面の形状測定を行ったところ、計算上の曲率半径は９８．３ｍｍとなり、直径は４４．５ｍｍとなり、いずれも実形状とよく一致した結果を得た。

１０ 表面形状測定装置、１２ 光源、１４ 回転テーブル、１６ 光学素子、１８ 移動ステージ、２０ 撮像器、２２ 演算器、２４ 測定対象物、２６ 被測定面、２８ 受光素子、３０ 受光面、３２ レンズ、３４ 記憶部、３６ 演算処理部。

Claims (9)

1. 被測定面に光を照射する光源と、
   前記光源から被測定面までの光路上に設けられるとともに、それぞれに格子が形成され、前記被測定面に前記格子によるモアレ像を投影させる、複数の光学素子と、
   複数の受光素子を備えるとともに、前記被測定面の前記モアレ像を撮像する撮像器と、
   前記撮像器が撮像した前記モアレ像に基づいて、前記被測定面に関する演算処理を行う演算器と、
   を備え、
   前記複数の光学素子は相対移動させられ、
   前記演算器は、
   前記光学素子の相対移動時の前記被測定面のモアレ像の変化に基づいて、任意の前記受光素子が受光した光線の、前記被測定面上の反射点の法線ベクトルを求めるとともに、
   複数の前記受光素子にそれぞれ対応する法線ベクトルに基づいて前記被測定面形状を合成し、
   前記撮像器と前記被測定面とを相対的に角度変化させたときの、前記被測定面上の任意の反射点に対応する、角度ごとの前記受光素子に基づいて、前記被測定面の絶対位置を求める、
   ことを特徴とする、表面形状測定装置。
2. 請求項１に記載の表面形状測定装置であって、
   前記演算器は、前記光学素子の相対移動に伴う、前記受光素子の輝度変化に基づいて、当該受光素子が受光した光線の、前記光源から前記被測定面までの経路に沿った入射ベクトルを求めることを特徴とする、表面形状測定装置。
3. 請求項２に記載の表面形状測定装置であって、
   前記演算器は、前記撮像器に対して、ピンホールカメラモデルに基づくカメラキャリブレーションを行うことで、任意の前記受光素子が受光した光線の、前記被測定面から当該受光素子までの経路に沿った反射ベクトルを求めることを特徴とする、表面形状測定装置。
4. 請求項３に記載の表面形状測定装置であって、
   前記演算器は、前記入射ベクトル及び反射ベクトルに基づいて、前記被測定面上の反射点における法線ベクトルを求めることを特徴とする、表面形状測定装置。
5. 請求項１から４のいずれか１つに記載の表面形状測定装置であって、
   前記撮像器は、前記撮像器と前記被測定面とが第１の角度及び前記第１の角度とは異なる第２の角度であるときの、前記光学素子の相対移動時の前記被測定面のモアレ像の変化を、それぞれ撮像し、
   前記演算器は、前記第１及び第２の角度であるときの、前記光学素子の相対移動に伴う前記受光素子の輝度変化に基づいて、前記第１の角度であるときの任意の前記受光素子に受光された光線の前記被測定面上の反射点と反射点が等しい前記第２の角度であるときの光線を受光した前記受光素子を求め、これらの前記受光素子に基づいて、前記反射点の絶対位置を求めることを特徴とする、表面形状測定装置。
6. 請求項１から５のいずれか１つに記載の表面形状測定装置であって、
   前記被測定面を備える測定対象物は回転テーブル上に配置され、
   前記回転テーブルによる前記被測定面の回転により、前記撮像器と被測定面とが相対的に角度変化することを特徴とする、表面形状測定装置。
7. 請求項６に記載の表面形状測定装置であって、
   前記演算器は、前記回転テーブルによる前記被測定面の回転を、前記撮像器の回転に置き換える演算を行うことを特徴とする、表面形状測定装置。
8. 請求項１から７のいずれか１つに記載の表面形状測定装置であって、
   前記撮像器の光軸と、前記複数の光学素子の移動軸とが直交していることを特徴とする、表面形状測定装置。
9. 光源によって被測定面に光を照射し、
   前記光源から被測定面までの光路上に、それぞれに格子が形成された複数の光学素子を設けるとともに、前記被測定面に前記格子によるモアレ像を投影させ、
   複数の受光素子を備える撮像器に、前記被測定面の前記モアレ像を撮像させ、
   前記撮像器が撮像した前記モアレ像に基づいて、前記被測定面に関する演算処理を行う、表面形状測定方法であって、
   前記複数の光学素子を相対移動させ、
   前記光学素子の相対移動時の前記被測定面のモアレ像の変化に基づいて、任意の前記受光素子が受光した光線の、前記被測定面上の反射点の法線ベクトルを求め、
   複数の前記受光素子にそれぞれ対応する法線ベクトルに基づいて前記被測定面形状を合成し、
   前記撮像器と前記被測定面とを相対的に角度変化させたときの、前記被測定面上の任意の反射点に対応する、角度ごとの前記受光素子に基づいて、前記被測定面の絶対位置を求める、
   ことを特徴とする、表面形状測定方法。