JP2013004037A - 振動抑制方法 - Google Patents
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Abstract
【解決手段】運動体に付加された第1の入力によって運動体に生じる第1の応答に、第1の応答の変位が0となる時刻において、第2の入力を運動体に付加して生じる第2の応答を重ね合わせて、互いに打ち消し合うインプットシェイピング法を適用する場合に、n自由度かつ時変の振動における複数のモード間のエネルギの移り変わりのうち、モード間の相互作用によるものを無視し、固有振動数および減衰比の変化によるものを考慮して、第1の入力に対する第2の入力の大きさを決定する。
【選択図】図4
Description
本発明の実施の形態にかかる運動体の振動抑制方法について、運動体の一例であるロボットアーム10を用いて説明する。
図1に示すように、ロボットアーム10は、多関節型ロボットアームであり、n個のリンクL1,・・・,Lnと、それぞれのリンクLを動作可能に接続するn個の関節J1,・・・,Jnとを備えている(nは自然数)。また、関節Jの部分を示す図2および図1に示すように、このロボットアーム10のそれぞれのリンクLおよび関節Jは、1つの平面内で動作可能となっている。
次に、非線形な式である数4をθ=θ0まわりの1次のテイラー展開により線形化を行うと、数5が得られる。なお、数5におけるφ、Ch、Km、Kh、Kgは、数6〜数10の通りである。
モード解析は、本来は線形時不変系を対象とする解析手法の一つである。ここでは、このモード分解を連続時間で記述される線形時変系に適用し、入力値整形に利用する。
行列C(t)、剛性行列K(t)、n行縦ベクトルの入力f(t)、偏差角ベクトルφ(t)を用いて、数11のように表せる。
次に、ロボットアーム10に付加された第1の入力によってロボットアーム10に生じる第1の応答に、ロボットアーム10に第2の入力を付加して生じる第2の応答を重ね合わせて、互いに打ち消し合うような第2の入力の値を、振動モードごとに算出方法について説明する。
次に、複数モードを対象とした入力値整形の方法を示す。まず、入力fとして任意の参照入力frefを与えると、対応する各モードへの入力uiは、数56のように表される。
次に、ロボットアーム10の残留振動を抑制する加減速パターン(数59)を生成する方法について説明する。本手法により加減速パターンを整形した結果、対応する速度パターン(数60)、変位指令値(数61)は、(数62)、(数63)から大きく変わらないものとする。これにより、加減速パターンを整形した後もモード形状の時間推移は変わらないものとみなせる。すると、数15、数22より、数64で表される加減速パターン(数59)が残留振動を抑制する加減速パターンとして生成される。ただし、κ=[κ1・・・κn]は動作終了時に、対応する速度パターン(数60)が0となるように、信頼領域Dogleg法によりκを変化させながら数56〜数58、数64を繰り返し評価することにより決めることが望ましい。また、Γは対角実行列であり、整形後の指令値(数61)が参照指令値(数63)と同じ値で終わるようにその要素を決めることが望ましい。
ここで、上述した数31の状態方程式において、数32にて表される右辺第一項の行列のうちの非対角要素を無視して(すなわち0として)、対角要素のみを取り出した行列D(t)を用いて、数34のように近似した本発明の考え方について、さらに説明する。
まず、実施例1として、1自由度線形時変系について説明する。具体的には、上記実施の形態にて説明した手法を、図6に示す可変ばねを有する1自由度振動系に適用し、本手法の時変系に対する有効性を確かめる。特に固有周期の変化に対する補正が、高速にパラメータが変化する際に重要となることを本実施例1にて示す。
図6に示す可変ばねを有する1自由度振動系を考える。ばねの自然長は一定である。質量は1に正規化し、図示右向きを正として質量の位置をξとする。固有振動数をωn(t)とすると、ばね定数はωn 2となる。また、右向きを正として指令値をξ0とする。すると、この系の運動方程式は数65で表される。
次に、モード座標への変換を行う。数71および数72とすれば、数73にて表されるモード座標を用いて、状態方程式は数74と書き換えられる。
次に、数40を満たす数82の最小値をτ'とすると、数83となる。
シミュレーションの例として、固有振動数が数86のようになる場合について考える。ここで、ω0(>0)はt=0における初期固有振動数、a(>0)は固有振動数の時間変化率を表す実定数である。すると、各種関数が、数87〜数91のように、初等関数のみを使って求めることができる。
本発明の手法の特徴は、パラメータが高速に変化する場合にでも適用可能な点にある。先に説明した例を用いて、固有振動数の変化率aが大きい場合でも残留振動が低減可能であることを数値計算によるシミュレーションにより示す。
本発明の手法では、多自由度の複雑な系であっても、入力値整形に必要な関数を補間などの方法により求めることで計算時間の短縮を狙うことができる。α(t)は減衰などによるエネルギ消散量に関連しており、インパルス応答が分かれば容易にα(t)の関数形状を想像することができる。例えば、図7より、振幅が時間とともに増大していく場合には、対応するα(t)は常に1より大きくなり、振幅の変化が小さくなるとα(t)は1に近づいていく。また、η−1(t)についても瞬間的な固有周期の時間変化率に関連している。図7に示したように固有周期が短くなる場合には、2つ目のインパルスの値は大きくなるようにせねばならず、η−1(t)は常に1以上となる。また、固有周期をT(t)(数100)とすると、その変化率は数101のように表され、時間の経過とともに固有周期の変化が小さくなることが分かる。
次に、実施例2として、水平2関節型ロボットアームへの適用例について説明する。
関節jの回転角度をθj,その指令値をθ0j,リンクlの質量をml,リンクlの関節j周りの慣性モーメントをJj,リンクlの長さをbl,関節jからリンクlの質量中心までの距離をlj,関節jのねじり剛性をkjとする。運動方程式は、数103〜数111の条件に基づいて数102のように表される。
本発明の手法により加減速パターンを生成するために必要なパラメータの同定方法について述べる。まず、電子はかりによる測定と幾何形状から求まるパラメータを図18の表に示す。ここで、未知のパラメータはJ1、k1、k2、Cvである。これらは以下に説明するようにして同定した。
まず、全てのモータをサーボオンにした状態で、第1関節21に対する指令角をθ01=0,θ02=θr 2として固定したときの自由応答を測定した。ここで、θr 2は、数123のように表される。
なお、θ02=π/2,7π/12radのときは、鉛直方向の1次固有振動数と水平方向の2次固有振動数が近く、インパクトハンマによる打撃によって鉛直方向の振動が少なからず励起されるとともに、加速度ピックアップが鉛直方向の加速度をも拾ってしまうため、曲線適合は一般粘性減衰をもつ3自由度系のアクセレランスLr(ω)(数126)を用いて行った。
次に、ωr niをi次モードの固有振動数とみなし、このパラメータをもとにJ1,k1,k2を以下のように同定した。数5において数127に示すようにしたときの偏差角φに関する運動方程式(数128)より実固有値解析によって求まる固有振動数をω'r niとする。
次に、粘性減衰行列Cvを求める。ζr iをi次モードのモード減衰比とみなし、θ02=θr 2のときの粘性減衰行列が、定数αr,βrを用いて数131というRayleigh減衰の形で与えられるとすると、定数αr,βrは、i次モードに関して数132という関係を満たす。これより、1次のモーダルパラメータωr n1,ζr 1と、2次のモーダルパラメータωr n2,ζr 2を用いて、定数αr,βrがそれぞれ数133、数134と求まる。
アーム先端の面内振動を評価するため、図23のようにベースから見た座標系ΣB,アーム先端の指令位置から見た座標系ΣH,動作終了後のアーム先端の位置から見た座標系ΣEを定める。なお、θE=[θ1E θ2E]Tは動作終了時における関節の角度である。
次に、図24に示す突き出し動作について考える。動作開始時の各関節の角度θSは数143にて表され、動作終了時の関節の角度θEは数144にて表される。
この突き出し動作において、上述にて説明した加減速パターンを導出する際に行った近似の妥当性を検証する。元々の非線形な運動方程式(数4)、剰余項を無視して線形化した運動方程式(数21)、非対角項を無視することによって導いたモードごとの非連成な運動方程式(数34)をそれぞれ数値計算により解いた。その結果得られる偏差角をそれぞれψ=[ψ1 ψ2]T,ψL=[ψL1 ψL2]T,ψM=[ψM1 ψM2]Tとし、図27に示す。また、非線形な運動方程式(数34)の解ψからの誤差を数147、数148のように定義し、図28に示す。
加減速パターンを生成するにあたって、数149を解析的に求めることは困難であるため、差分を用いて数149を計算する。しかしながら、図25に示す加減速パターンは時刻tに関して不連続であるため、微小時間ΔtPを用いて数150とすると、P(t)が不連続になる時刻tにおいて、数151の各要素が他の時刻のときと比べて非常に大きな値をとり、生成される加減速パターンは残留振動を抑制しなくなる。
減速パターン(数154)を図30に示す。なお,ZV Shaperのパラメータとして、同定した1次モードのモーダルパラメータの平均値を数155、数156のように用いた。
生成した指令値θshapedを与えた場合に、参照指令値θrefを与えた場合やZV Shaperにより生成した指令値θZVを与えた場合と比べて残留振動がより抑制されることを数値計算と実験により検証した。なお、以下に示す数値計算による結果は、数4をDormand-Prince法により解いて得られるθから計算したものである。
非減衰1自由度線形時不変系において、固有周期の整数倍の時間だけ一定外力を与えると残留振動が生じないということから、図25のような一定加速度により加減速する加減速パターンを用いても、加速時間と減速時間を調整することにより残留振動をある程度まで抑えられることが予想される。同様に、時変性を考慮しないZV Shaperを用いても加減速時間と系の固有周期の関係により残留振動が効果的に抑えられる場合があると考えられる。しかし、これらの方法では系の固有周期により動作時間を決めなければならないため、必ずしも位置決め時間を短縮することができるとは限らない。それに対し、本発明の手法により生成する加減速パターンは、時変性を考慮しているため、系の固有周期と加減速時間の関係によらず残留振動を抑制でき、位置決め時間を短縮できると考えられる。このことを示すため、動作時間と発生する残留振動の大きさの関係を数値計算と実験により調べた。
図43に示すアームを振り回す動作により、ZV Shaperとの違いを明確にする。この動作は、図24に示す突き出し動作において第2関節22の回転方向を逆向きにしたものである。つまり、第2関節22への指令角θ02の符号を反転させただけであり、固有振動数の時間推移は等しくなる。しかし、1次モードに寄与するトルクが大きくなるため、その分だけ残留振動が大きくなり、時変性を考慮しない従来法との違いが顕著になる。
上述の説明にて述べたとおり、本発明の手法では全てのモードの残留振動を抑制する。しかしながら、これまでに見てきた動作例では2次の振動モードがほとんど励起されなかった。そこで、2次モードの振動も抑制されることを示すため、図48に示すアームを折りたたむ動作により発生する残留振動を、実験によりレーザー変位計で測定した。測定した座標系ΣEにおけるアーム先端の位置を図49に示す。図49よりyE方向の変位には2次モードの成分が多く含まれていると考えられる。そこで、yEのパワースペクトルを図50に示す。図50より、2次モードについてもピークレベルが下がっており、本発明の手法により複数の振動モードが抑制されることが分かる。
次に、実施例3として、垂直2関節型ロボットアームへの適用した例について説明する。具体的には、図51に示す鉛直面内で動作する2関節ロボットアーム20について、残留振動を抑制するための加減速パターンを生成し、数値計算により重力がある場合でも本発明の手法が有効であることを検証した。
関節jの回転角度をθj,その指令値をθ0j,リンクlの質量をml,リンクlの質量中心まわりの慣性モーメントをJGl,リンクlの長さをbl,関節jからリンクlの質量中心までの距離をlj,関節jのねじり剛性をkjとする。運動方程式は数168のようになる。ただし、数169〜数179の関係にある。
図24に示す突き出し動作について考える。重力による釣り合いの位置を考慮すれば動作開始時の指令値θ0S= [θ01S θ02S]Tは、数194を満たすθ0Sとなる。ここで数195である。
参照指令値θrefを与えた場合と比べて、整形した加減速パターン(数59)に対応する角度指令値θshapedを与えたときの方が、残留振動が抑制されることを数値計算により示した。θrefを与えた場合とθshapedを与えた場合について、それぞれDormand-Prince法により数4を数値的に解いた。解いた結果得られるθから計算した、動作終了後のアーム先端の座標系ΣBにおけるy方向の変位を図55に示す。これより、本発明の手法が、重力を考慮しなければならない垂直2関節ロボットアームの残留振動抑制にも有効であることが分かる。
20 ロボットアーム
Jn 関節
Ln リンク
P1 第1のインパルス
P2 第2のインパルス
P3 第1のインパルス列
P4 第2のインパルス列
Claims (5)
- 加速または減速運動が行われる運動体において、加速または減速運動に伴って運動体に生じるn自由度(nは自然数)かつ時変の振動を抑制する振動抑制方法において、
運動体に付加された第1の入力によって運動体に生じる第1の応答に、第1の応答の変位が0となる時刻において、第2の入力を運動体に付加して生じる第2の応答を重ね合わせて、互いに打ち消し合うインプットシェイピング法を適用する場合に、n自由度かつ時変の振動における複数のモード間のエネルギの移り変わりのうち、モード間の相互作用によるものを無視し、固有振動数および減衰比の変化によるものを考慮して、第1の入力に対する第2の入力の大きさを決定する、振動抑制方法。 - 加速または減速運動が行われる運動体において、加速または減速運動に伴って運動体に生じるn自由度(nは自然数)かつ時変の振動を抑制する振動抑制方法において、
運動体に付加された第1の入力によって運動体に生じる第1の応答に、第1の応答の変位が0となる時刻において、第2の入力を運動体に付加して生じる第2の応答を重ね合わせて、互いに打ち消し合うインプットシェイピング法を適用する場合に、n自由度かつ時変の振動における複数のモード間の相互作用によるエネルギの移り変わりを無視し、加速または減速運動を行っている間に運動体自体の姿勢が変化することにより生じるコリオリがした仕事を考慮して、第1の入力に対する第2の入力の大きさを決定する、振動抑制方法。 - 加速または減速運動が行われる運動体において、加速または減速運動に伴って運動体に生じるn自由度(nは自然数)かつ時変の振動を抑制する振動抑制方法において、
運動体に付加された第1の入力によって運動体に生じる第1の応答に、第1の応答の変位が0となる時刻において、第2の入力を運動体に付加して生じる第2の応答を重ね合わせて、互いに打ち消し合うインプットシェイピング法を適用する場合に、n自由度かつ時変の振動におけるモード間の相互作用によるエネルギの移り変わりをゼロと見なして、固有振動数および減衰比の時間変化によるモード間のエネルギの移り変わりを考慮して、第1の入力に対する第2の入力の大きさを決定する、振動抑制方法。 - 各振動モードにおいて、第1の入力に対応する入力を打ち消す第2の入力に対応する入力の大きさを個別に算出して、振動モードごとに算出された入力を合成することで第2の入力の大きさを決定する、請求項1から3のいずれか1つに記載の振動抑制方法。
- 運動体が多関節型ロボットアームであって、ロボットアームに生じるn自由度かつ時変の振動を抑制する、請求項1から4のいずれか1つに記載の振動抑制方法。
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