JP2010146369A - Simulation method and program - Google Patents
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Abstract
Description
本発明は、シミュレーション方法及びプログラムに関する。特に、物体を粒子の集まりで表現し、ある時間刻み幅で、各粒子の挙動を数値計算することにより、時間軸上で離散的に分布する時刻ごとの物体の状態を解析する粒子法におけるシミュレーション方法、及びそのシミュレーション方法をコンピュータで実行するプログラムに関する。 The present invention relates to a simulation method and a program. In particular, a particle method simulation that represents the state of an object at each time distributed discretely on the time axis by expressing the object as a collection of particles and numerically calculating the behavior of each particle at a certain time interval. The present invention relates to a method and a program for executing the simulation method on a computer.
コンピュータを用いて物質科学全般の現象を探求する方法として、分子動力学法に基づく分子シミュレーションが知られている。分子シミュレーションによって、分子のポテンシャルエネルギや最安定構造等物質の特性を、分子レベルで解明することが可能である。 Molecular simulation based on molecular dynamics is known as a method for exploring phenomena in general material science using a computer. By molecular simulation, it is possible to elucidate the characteristics of substances such as the potential energy and the most stable structure of molecules at the molecular level.
分子動力学法に基づく分子シミュレーションに関して、種々の研究がなされている。たとえば少ない計算量で分子動力学計算を実行するシミュレーション方法の発明が開示されている（たとえば、特許文献１参照）。 Various studies have been made on molecular simulation based on molecular dynamics methods. For example, an invention of a simulation method for executing molecular dynamics calculation with a small amount of calculation is disclosed (for example, see Patent Document 1).
粒子シミュレーションの動解析を行う場合、摩擦力のモデル化が問題となる。 When performing dynamic analysis of particle simulation, modeling of frictional force becomes a problem.
現在提案されている代表的な粒子法には、ＭＰＳ(Moving Particle Semi-implicit)、ＳＰＨ(Smoothed Particle Hydrodynamics)、ＤＥＭ(Distinct Element Method)などがある。 Typical particle methods currently proposed include MPS (Moving Particle Semi-implicit), SPH (Smoothed Particle Hydrodynamics), and DEM (Distinct Element Method).
これらの手法では、粒子の接触時にせん断力を決定し、その大きさが静止摩擦力を上回らないようにすることで摩擦力をモデル化している。また摩擦力は、接触粒子の運動を妨げる方向、すなわち接触時における粒子の相対速度の方向と反対方向に発生するとしている。 In these methods, the shear force is determined at the time of particle contact, and the friction force is modeled by preventing the magnitude from exceeding the static friction force. The frictional force is generated in a direction that prevents the movement of the contact particles, that is, in a direction opposite to the direction of the relative velocity of the particles at the time of contact.
しかしながら粒子は、物体全体の重心運動に関わらず、常に高周波数で振動している。そのため上記の手法においては、粒子に働く摩擦力の方向は、物体全体の重心運動とは関係なく、原子の振動周期と同じオーダーで目まぐるしく変化することになる。ゆえに、これらの手法では、滑り摩擦時に要するエネルギを正しく計算できない可能性が高い。 However, the particles always vibrate at a high frequency regardless of the center-of-gravity movement of the entire object. Therefore, in the above method, the direction of the frictional force acting on the particles changes rapidly in the same order as the vibration period of the atoms regardless of the center of gravity movement of the entire object. Therefore, with these methods, there is a high possibility that the energy required for sliding friction cannot be calculated correctly.
図６（Ａ）及び（Ｂ）を参照して、上述の内容を詳述する。 The above-described content will be described in detail with reference to FIGS.
図６（Ａ）に、物体全体の摺動の様子を示す。物体は摩擦力Ｆに逆らって、ｘ軸正方向に距離Ｌだけ移動する。物体の重心は常にｘ軸正方向に移動している。この場合、物体には移動中、常に摩擦力Ｆがｘ軸負方向に作用しており、物体に作用する摩擦力の大きさの平均もＦとなる。 FIG. 6A shows how the entire object slides. The object moves against the frictional force F by a distance L in the positive x-axis direction. The center of gravity of the object always moves in the positive x-axis direction. In this case, the frictional force F always acts on the object in the negative direction of the x-axis during the movement, and the average of the magnitude of the frictional force acting on the object is also F.
図６（Ｂ）に物体の接触部粒子の挙動を示す。上述の粒子法によれば、摩擦力を受けるのは接触部の粒子のみであり、粒子の振動は物体の重心の運動方向と同じであるとは限らない。たとえば接触部の原子は、本図に示す軌跡を辿って、ｘ軸正方向に距離Ｌを移動する場合がある。 FIG. 6B shows the behavior of the contact part particles of the object. According to the particle method described above, only the particles at the contact portion receive the frictional force, and the vibration of the particles is not always the same as the direction of motion of the center of gravity of the object. For example, the atoms in the contact portion may follow the locus shown in the figure and move a distance L in the positive x-axis direction.
本図に示す例においては、接触部の原子は最初の時間ｄｔでｘ軸正方向に距離Ｌ１だけ移動する。続く時間ｄｔではｘ軸負方向に距離Ｌ２だけ移動する。最後の時間ｄｔではｘ軸正方向に距離Ｌ３だけ移動する。ここでＬ１−Ｌ２＋Ｌ３＝Ｌを満たす。このとき距離Ｌを摺動する間に、接触部の原子に働く摩擦力の大きさは、最初の時間ｄｔではｘ軸負方向にＦ、次の時間ｄｔではｘ軸正方向にＦ、最後の時間ｄｔではｘ軸負方向にＦであるから、平均して働く摩擦力は、ｘ軸負方向に、（Ｆ−Ｆ＋Ｆ）／３＝Ｆ／３ となり、図６（Ａ）を参照して考察した結果とは異なってしまう。 In the example shown in the figure, atoms of the contact portion is moved in the first time dt in the x-axis positive direction by a distance L 1. It moves to the subsequent time x-axis negative direction in dt distance L 2. Move to the end of the x-axis positive direction in the time dt by a distance L 3. Here, L 1 −L 2 + L 3 = L is satisfied. At this time, while sliding the distance L, the magnitude of the frictional force acting on the atoms in the contact portion is F in the negative x-axis direction at the first time dt, F in the positive x-axis direction at the next time dt, Since it is F in the negative x-axis direction at time dt, the average frictional force is (F−F + F) / 3 = F / 3 in the negative x-axis direction, which is discussed with reference to FIG. The result will be different.
このことは時間刻みｄｔを十分小さくしても、摺動距離を長くしても起こりうることであり、防止策としては、粒子の大きさを十分大きくとる、もしくは十分な時間的、空間的なアンサンブルをとることなどが考えられる。 This can occur even if the time interval dt is sufficiently small or the sliding distance is long. As a preventive measure, the particle size should be sufficiently large, or sufficient time and space can be obtained. It is possible to take an ensemble.
しかしながら、粒子を大きくすると複雑な形状が再現できない、時間アンサンブルを十分とるとフィードバックが必要となり、計算に余分な時間がかかる、空間アンサンブルが十分とれない場合は用いることができない、などの問題点があり実用的ではない。 However, if the particles are enlarged, complicated shapes cannot be reproduced, feedback is required if sufficient time ensemble is taken, extra time is required for calculation, and if the spatial ensemble is not sufficient, it cannot be used. It is not practical.
従来の粒子法における摩擦のモデルでは滑り摩擦によるエネルギ散逸が正しく評価できず、また、滑り摩擦と転がり摩擦とを区別して評価する必要がある。しかし現実の摩擦は、滑り摩擦と転がり摩擦とが混在して生じているため、そこに人為的な仮定を含むことは望ましくない。 The friction model in the conventional particle method cannot correctly evaluate the energy dissipation due to the sliding friction, and it is necessary to evaluate sliding friction and rolling friction separately. However, since actual friction is caused by a mixture of sliding friction and rolling friction, it is not desirable to include artificial assumptions there.
本発明の目的は、高精度なシミュレーションを実現するシミュレーション方法を提供することである。 The objective of this invention is providing the simulation method which implement | achieves a highly accurate simulation.
また、高精度なシミュレーションを実現するシミュレーション方法を実行させるプログラムを提供することである。 Another object of the present invention is to provide a program for executing a simulation method for realizing a highly accurate simulation.
本発明の一観点によれば、物体を粒子の集まりで表現し、ある時間刻み幅で、各粒子の挙動を数値計算することにより、時間軸上で離散的に分布する時刻ごとの該物体の状態を解析する粒子法におけるシミュレーション方法であって、（ａ）第１の物体を構成する第１の粒子と、第２の物体を構成する第２の粒子との、第１の時刻における相対速度に基づいて、前記第１の粒子及び前記第２の粒子に印加される摩擦力を算出する工程と、（ｂ）前記工程（ａ）で算出された摩擦力を加味して、前記第１の時刻の次の第２の時刻における、前記第１の粒子、及び前記第２の粒子の位置を求める工程とを有するシミュレーション方法が提供される。 According to one aspect of the present invention, an object is represented by a collection of particles, and the behavior of each particle is numerically calculated at a certain time step size. A simulation method in a particle method for analyzing a state, in which (a) a relative velocity at a first time between a first particle constituting a first object and a second particle constituting a second object. Based on the above, the step of calculating the frictional force applied to the first particle and the second particle, and (b) the frictional force calculated in the step (a), And a step of determining the positions of the first particles and the second particles at a second time next to the time.
また、本発明の他の観点によると、物体を粒子の集まりで表現し、ある時間刻み幅で、各粒子の挙動を数値計算することにより、時間軸上で離散的に分布する時刻ごとの該物体の状態を解析する粒子法におけるシミュレーションを行うためにコンピュータを、第１の物体を構成する第１の粒子、及び、第２の物体を構成する第２の粒子の初期状態を入力する手段、前記第１の粒子と前記第２の粒子との、第１の時刻における相対速度に基づいて、前記第１の粒子及び前記第２の粒子に印加される摩擦力を算出する手段、前記摩擦力を加味して、前記第１の時刻の次の第２の時刻における、前記第１の粒子、及び前記第２の粒子の位置を求める手段、前記第２の時刻における前記第１の粒子及び前記第２の粒子を表示する表示手段として機能させるためのプログラムが提供される。 Further, according to another aspect of the present invention, an object is represented by a collection of particles, and the behavior of each particle is numerically calculated at a certain time step size. Means for inputting an initial state of the first particles constituting the first object and the second particles constituting the second object to perform a simulation in the particle method for analyzing the state of the object; Means for calculating a frictional force applied to the first particle and the second particle based on a relative velocity at a first time between the first particle and the second particle; , Means for determining the position of the first particle and the second particle at the second time next to the first time, the first particle at the second time, and the Functions as a display means to display the second particle Because of the program is provided.
本発明によれば、高精度なシミュレーションを実現するシミュレーション方法を提供することができる。 ADVANTAGE OF THE INVENTION According to this invention, the simulation method which implement | achieves a highly accurate simulation can be provided.
また、高精度なシミュレーションを実現するシミュレーション方法を実行させるプログラムを提供することができる。 In addition, it is possible to provide a program that executes a simulation method for realizing a highly accurate simulation.
以下、物体を粒子の集まりで表現し、ある時間刻み幅Δｔで、各粒子の挙動を数値計算することにより、時間軸上で離散的に分布する時刻ごとの物体の状態を解析する粒子法におけるシミュレーション方法、及びそのシミュレーション方法をコンピュータで実行するプログラムの実施例について説明する。 Hereinafter, in a particle method in which an object is represented by a collection of particles, and the behavior of each particle is numerically calculated with a certain time step Δt, thereby analyzing the state of the object at each time discretely distributed on the time axis. An embodiment of a simulation method and a program for executing the simulation method on a computer will be described.
質量ｍｉの粒子ｉと質量ｍｊの粒子ｊが摩擦した場合を考える。２つの粒子についての散逸方程式は、拡散係数γ（ｔ）を用いて、下の式（１）及び（２）で表される。
Particles j of particles i and the mass m j of the mass m i is considered a case where the friction. The dissipation equation for the two particles is expressed by the following equations (1) and (2) using the diffusion coefficient γ (t).
・・（１）
(1)
・・（２）
ここでｖｉ、ｖｊは、それぞれ粒子ｉ、ｊの速度を示す。
(2)
Here, v i and v j indicate the velocities of the particles i and j, respectively.
また、粒子ｊに対する粒子ｉの相対速度をｖｒ、粒子ｉと粒子ｊの重心の速度をｖｇとすると、ｖｒとｖｇは、それぞれ下の（３）、（４）式で表される。
Further, the relative velocity of the particle i to particle j v r, when the velocity of the center of gravity of the particle i and the particle j and v g, v r and v g is the respectively bottom (3) is expressed by equation (4) The
・・（３）
(3)
・・（４）
（３）、（４）式を、ｖｉ、ｖｊについて解くと、下の（５）、（６）式を得る。
(4)
When the equations (3) and (4) are solved for v i and v j , the following equations (5) and (6) are obtained.
・・（５）
(5)
・・（６）
式（３）、（５）を式（１）に代入して得られた式と、式（３）、（６）を式（２）に代入して得られた式とを連立することで、以下の式（７）及び（８）が導かれる。
(6)
By combining the equations obtained by substituting equations (3) and (5) into equation (1) and the equations obtained by substituting equations (3) and (6) into equation (2), The following formulas (7) and (8) are derived.
・・（７）
(7)
・・（８）
ここで、
(8)
here,
・・（９）
である。
式（８）を解くと、
(9)
It is.
Solving equation (8),
・・（１０）
が得られる。
(10)
Is obtained.
式（７）、（１０）より、散逸過程においては、重心の運動量は保存され、相対運動のエネルギが散逸されることがわかる。 From equations (7) and (10), it can be seen that in the dissipation process, the momentum of the center of gravity is preserved and the energy of the relative motion is dissipated.
以下、数値積分を実行する。式（８）を離散化すると、ある時刻ｎについて、
Thereafter, numerical integration is executed. When equation (8) is discretized, for a certain time n,
・・（１１）
を得る。
(11)
Get.
式（１１）を、ｖｒ ［ｎ＋１／２］及びｖｒ ［ｎ−１／２］についてまとめると、
Summarizing equation (11) for v r [n + 1/2] and v r [n−1 / 2]:
・・（１２）
となり、更にこれは、
(12)
And this is
・・（１３）
と変形することができる。
(13)
And can be transformed.
一方、粒子ｉについての離散化された散逸方程式は、式（１）、（８）、（１１）より、
On the other hand, the discretized dissipation equation for particle i is given by equations (1), (8), and (11):
・・（１４）
と書ける。式（１３）を式（１４）に代入すると、
(14)
Can be written. Substituting equation (13) into equation (14),
・・（１５）
を得、これを整理すると、
(15)
And organizing this
・・（１６）
となる。
(16)
It becomes.
ここで本願発明者らは、従来のように粒子に阻止力を加える摩擦モデルではなく、２粒子の相対運動で散逸されるエネルギを、摩擦によって散逸されるエネルギと関連づけて考える、たとえば両者を同等と考える摩擦モデルを導入することにした。 Here, the present inventors consider the energy dissipated by the relative motion of the two particles in relation to the energy dissipated by the friction, rather than the friction model in which the blocking force is applied to the particles as in the conventional case. I decided to introduce a friction model.
拡散係数γとクーロン摩擦力とを関係づけるために、２粒子の相対運動による散逸パワー（単位時間当たりの散逸エネルギ）と、摩擦による散逸パワーとを等しいとして、
In order to relate the diffusion coefficient γ to the Coulomb friction force, the dissipation power (dissipation energy per unit time) due to the relative motion of the two particles is equal to the dissipation power due to friction.
・・（１７）
すなわち、
(17)
That is,
・・（１８）
という関係式を導入する。ここで、μは摩擦係数、Ｎは垂直抗力である。
(18)
The following relational expression is introduced. Here, μ is a friction coefficient, and N is a normal force.
式（１６）に式（１８）を代入し、代入した式の右辺に、粒子ｉに働く力のうち、粒子ｊとの間の摩擦力を除く力をｆｉとして加えると、粒子ｉについての離散化された運動方程式（１９）が得られる。
Substituting Equation (18) into equation (16), on the right side of the assignment the formula, of the force acting on the particle i, when a force other than the frictional force between the particle j as f i, of the particle i A discretized equation of motion (19) is obtained.
・・（１９）
同様に、粒子ｊについても、粒子ｊに働く力のうち、粒子ｉとの間の摩擦力を除く力ｆｊを用いて、離散化された運動方程式（２０）を得ることができる。
(19)
Similarly, with respect to the particle j, a discretized equation of motion (20) can be obtained by using the force f j excluding the frictional force between the particle i and the force acting on the particle j.
・・（２０）
力ｆｉ、ｆｊには、たとえば、重力、電磁力、原子間力等が含まれる。粒子ｉ、ｊの運動は、運動方程式（１９）、（２０）を解くことによって把握される。式（１９）、（２０）から明らかなように、本願発明者らの提案する摩擦モデルによれば、粒子ｉが粒子ｊから受ける摩擦力Ｆｉは、
(20)
The forces f i and f j include, for example, gravity, electromagnetic force, interatomic force and the like. The motion of the particles i and j is grasped by solving the equations of motion (19) and (20). As is clear from the equations (19) and (20), according to the friction model proposed by the present inventors, the frictional force F i that the particle i receives from the particle j is
・・（２１）
で表され、粒子ｊが粒子ｉから受ける摩擦力Ｆｊは、
(21)
The frictional force F j that the particle j receives from the particle i is
・・（２２）
で表される。
(22)
It is represented by
図１及び図２を参照して、実施例によるシミュレーション方法について説明する。 The simulation method according to the embodiment will be described with reference to FIGS.
まず、シミュレーション方法全体の説明に先立って、図１を参照し、相互間に摩擦力を生じる粒子の決定方法について説明する。 First, prior to the description of the entire simulation method, a method for determining particles that generate a friction force between them will be described with reference to FIG.
たとえば物体Ａを構成する粒子の１つである粒子ｐが、物体Ｂを構成する隣接粒子である粒子ｉ、ｊ、及びｋの中心の張る平面において、粒子ｉ、ｊ、ｋの定める三角形（三角要素）に接触したとする。ここで隣接粒子とは、多数の粒子で構成される物体Ｂをボロノイ分割したときに、隣り合う粒子をいう。また、以下粒子の位置が問題となるときには、粒子の中心の位置を粒子の位置と考える。 For example, a particle p that is one of the particles constituting the object A is a triangle (triangle) defined by the particles i, j, and k on a plane extending from the centers of the particles i, j, and k that are adjacent particles constituting the object B. Element). Here, the adjacent particles refer to adjacent particles when the object B composed of a large number of particles is divided by Voronoi. In the following, when the particle position is a problem, the center position of the particle is considered as the particle position.
粒子ｉ、ｊ、ｋの定める三角形の外心をＣ、外心Ｃから線分ｉｊに下ろした垂線の足をＨｉｊ、線分ｊｋに下ろした垂線の足をＨｊｋ、線分ｋｉに下ろした垂線の足をＨｋｉとし、四角形ｉＨｉｊＣＨｋｉの周及び内部から、線分ＣＨｉｊ及び線分ＣＨｋｉを除いた領域を、粒子ｉの支配領域と定める。同様に、四角形ｊＨｊｋＣＨｉｊの周及び内部から、線分ＣＨｊｋ及び線分ＣＨｉｊを除いた領域を粒子ｊの支配領域、四角形ｋＨｋｉＣＨｊｋの周及び内部から、線分ＣＨｋｉ及び線分ＣＨｊｋを除いた領域を粒子ｋの支配領域と定める。 Drop the triangle's outer center defined by the particles i, j, and k to C, the vertical foot from the outer center C to the line segment ij to H ij , and the vertical foot to the line segment jk to H jk and the line segment ki. Let H ki be the foot of the perpendicular line, and define a region obtained by removing the line segment CH ij and the line segment CH ki from the periphery and inside of the square iH ij CH ki as the dominant region of the particle i. Similarly, a region excluding the line segment CH jk and the line segment CH ij from the circumference and the inside of the rectangle jH jk CH ij is defined as the dominant region of the particle j, and from the circumference and the inside of the rectangle kH ki CH jk , the line segments CH ki and The region excluding the line segment CH jk is defined as the dominant region of the particle k.
また、線分ＣＨｉｊ上の点は、粒子ｉの支配領域、粒子ｊの支配領域のいずれかに含める。同様に、線分ＣＨｊｋ上の点は、粒子ｊ、ｋのいずれかの支配領域に含め、線分ＣＨｋｉ上の点は、粒子ｋ、ｉのいずれかの支配領域に含める。 The point on the line segment CH ij is included in either the dominant region of the particle i or the dominant region of the particle j. Similarly, a point on the line segment CH jk is included in any dominated region of the particles j and k, and a point on the line segment CH ki is included in any dominated region of the particles k and i.
そして粒子ｐが、粒子ｉ、ｊ、ｋのいずれの粒子の支配領域に存在するかを確認し、粒子ｐが存在する領域を支配する粒子との間に摩擦力が発生すると考える。たとえば粒子ｐが粒子ｉの支配領域に存在する場合、粒子ｐと粒子ｉとの間に、式（２１）、（２２）で表される摩擦力を導入する。そして両粒子ｐ、ｉは、式（１９）、（２０）に則った相互作用をすると考える。また、粒子ｐが粒子ｉの支配領域に存在する場合、粒子ｐと粒子ｊ、ｋ間の摩擦力は０とする。 Then, it is confirmed whether the particle p is present in the dominant region of the particles i, j, or k, and it is considered that a frictional force is generated between the particle p and the particle that controls the region where the particle p exists. For example, when the particle p exists in the dominant region of the particle i, the frictional force represented by the equations (21) and (22) is introduced between the particle p and the particle i. Both particles p and i are considered to interact according to equations (19) and (20). Further, when the particle p exists in the dominant region of the particle i, the frictional force between the particle p and the particles j and k is set to zero.
なお、上記摩擦力導入の考え方によれば、三角形ｉｊｋの周または内部に接触した粒子ｐは、粒子ｉ、ｊ、ｋのうち最も近い位置にある粒子との間に摩擦力を導入されることになる。 In addition, according to the concept of introducing the frictional force, the particle p that is in contact with the circumference or inside of the triangle ijk is introduced with a frictional force between the particle i, j, and k and the closest particle. become.
次に、図２に示すフローチャートを用いて、実施例によるシミュレーション方法を説明する。 Next, the simulation method according to the embodiment will be described with reference to the flowchart shown in FIG.
実施例によるシミュレーション方法では、まずステップＳ１０１において、粒子の位置や速度など、シミュレーションを行うに当たっての初期状態を決定する。 In the simulation method according to the embodiment, first, in step S101, the initial state for performing the simulation, such as the position and velocity of particles, is determined.
次に、ステップＳ１０２において、粒子間のポテンシャル、及び外場が及ぼす力ｆを全ての粒子につき、粒子ごとに導出する。ｆは粒子によって異なりうる力である。 Next, in step S102, the potential between the particles and the force f exerted by the external field are derived for every particle for each particle. f is a force that may vary from particle to particle.
物体を構成する粒子同士は、互いに粒子間のポテンシャルにより結びついている。粒子間のポテンシャルは、たとえばバネやＬｅｎｎａｒｄ−Ｊｏｎｅｓポテンシャルで表現される。どのようなポテンシャルを用いるかについては、ステップＳ１０１またはそれに先立って、シミュレーション実行者が任意に設定することができる。また、外場が及ぼす力とは、たとえば重力場や電磁場が各粒子に与える力を指す。外場の設定も、ステップＳ１０１またはそれに先立って、シミュレーション実行者が任意に行うことができる。 The particles constituting the object are connected to each other by the potential between the particles. The potential between the particles is expressed by, for example, a spring or a Lennard-Jones potential. What potential is used can be arbitrarily set by the simulation executor in step S101 or prior thereto. In addition, the force exerted by the external field refers to the force applied to each particle by, for example, a gravity field or an electromagnetic field. The setting of the outside field can also be arbitrarily performed by the simulation executor in step S101 or prior thereto.
ステップＳ１０３では、たとえば物体Ｂを構成する任意の隣接粒子ｉ、ｊ、ｋの張る平面（粒子ｉ、ｊ、ｋの定める三角要素の周及び内部）に、物体Ａを構成する任意の粒子ｐが接触しているか否かを判定する。 In step S103, for example, an arbitrary particle p constituting the object A is placed on a plane stretched by any adjacent particles i, j, k constituting the object B (around and inside the triangular element defined by the particles i, j, k). Determine whether they are touching.
全ての粒子について接触していない場合には、物体Ａ及びＢを構成する粒子には、ポテンシャル場、及び外場からの力のみが作用するとして、摩擦力の導入は行わず、ステップＳ１０７に進み、物体Ａ及びＢを構成する全ての粒子につき、運動方程式を解いて、時間Δｔ後の粒子の位置を数値計算で求め、粒子を移動させる。 When all the particles are not in contact, it is assumed that only the force field and the force from the external field act on the particles constituting the objects A and B, and the frictional force is not introduced, and the process proceeds to step S107. For all the particles constituting the objects A and B, the equation of motion is solved, the position of the particle after time Δt is obtained by numerical calculation, and the particle is moved.
ステップＳ１０３において、粒子ｉ、ｊ、ｋの定める三角要素の周及び内部に、ある粒子ｐが接触している場合、ステップＳ１０４に進み、粒子ｐの接触点を含む領域を支配する粒子ｍを、粒子ｉ、ｊ、及びｋのうちから決定する。決定方法は図１を参照し、前述した通りである。 In step S103, when a certain particle p is in contact with and around the triangular element defined by the particles i, j, k, the process proceeds to step S104, and the particle m that dominates the region including the contact point of the particle p is determined. Determined from particles i, j, and k. The determination method is as described above with reference to FIG.
ステップＳ１０５においては、ステップＳ１０４で決定された粒子ｍと、粒子ｐとの間に摩擦力を導入する。粒子ｐが粒子ｍから受ける摩擦力をｆｐ、粒子ｍが粒子ｐから受ける摩擦力をｆｍとすると、ｆｐ、ｆｍは、式（２１）、（２２）より、たとえば、
In step S105, a frictional force is introduced between the particle m determined in step S104 and the particle p. The frictional force f p where particles p receives from particles m, when the frictional force particles m receives from particles p and f m, f p, f m is the formula (21) and (22), for example,
・・（２３）
(23)
・・（２４）
の両式を用いて計算される。
(24)
It is calculated using both formulas.
ステップＳ１０５における摩擦力の導入は、ステップＳ１０３で接触していると判定された全ての粒子、及び、ステップＳ１０４で決定された、それらの粒子の接触点を含む領域を支配する粒子について行われる。なお、摩擦力ｆｐ、ｆｍは、粒子によって異なりうる力である。 The introduction of the frictional force in step S105 is performed for all particles determined to be in contact in step S103 and for the particles governing the region including the contact point of those particles determined in step S104. Incidentally, the frictional force f p, f m is the force may vary depending particles.
ステップＳ１０６において、ステップＳ１０２で導出された力ｆに、ステップＳ１０５で導入された摩擦力を加える。これにより、摩擦関係の設定された粒子に働く力は、ｆ＋ｆｐ、または、ｆ＋ｆｍ（粒子によって異なりうる。）となる。また、他の粒子と摩擦関係にない粒子に働く力はｆ（粒子によって異なりうる。）となる。粒子ごとに働く力は、たとえば物体Ａ及び物体Ｂを構成する全ての粒子につき決定される。 In step S106, the frictional force introduced in step S105 is added to the force f derived in step S102. As a result, the force acting on the particles having a frictional relationship is f + f p or f + f m (may vary depending on the particles). The force acting on the particles that are not in a frictional relationship with other particles is f (which may vary depending on the particles). For example, the force acting on each particle is determined for all particles constituting the object A and the object B.
そしてステップＳ１０７において、物体Ａ及びＢを構成する全ての粒子につき、ステップＳ１０６で決定された力を用いて、運動方程式を解き、時間Δｔ後の各粒子の位置を数値計算で求め、各粒子を移動させる。 In step S107, with respect to all the particles constituting the objects A and B, using the force determined in step S106, the equation of motion is solved, the position of each particle after time Δt is obtained by numerical calculation, and each particle is determined. Move.
ステップＳ１０７で全ての粒子についての移動が終わったら、ステップＳ１０８にでシミュレーションを終了するか否かを決定する。終了を選択した場合は、ステップＳ１０９に進み、シミュレーションは完了する。終了しない場合は再びステップＳ１０２に戻り、ステップＳ１０２〜Ｓ１０８の工程を繰り返す。 When the movement for all the particles is completed in step S107, it is determined in step S108 whether or not to end the simulation. When the end is selected, the process proceeds to step S109, and the simulation is completed. If not finished, the process returns to step S102 again, and steps S102 to S108 are repeated.
実施例によるシミュレーション方法によれば、２粒子の相対運動で散逸されるエネルギを、摩擦によって散逸されるエネルギと関連づけて、たとえば両者を同等と考えて、摩擦モデルを導入することで、高精度のシミュレーションを実行することができる。 According to the simulation method according to the embodiment, the energy dissipated by the relative motion of the two particles is related to the energy dissipated by the friction, for example, both are considered to be equivalent, and a friction model is introduced. Simulation can be performed.
本願発明者らは、実施例によるシミュレーション方法の妥当性を、滑り摩擦を伴う運動、転がり摩擦を伴う運動の双方について検証した。 The inventors of the present application verified the validity of the simulation method according to the example for both the motion with sliding friction and the motion with rolling friction.
図３（Ａ）及び（Ｂ）を参照して、滑り摩擦を伴う運動のシミュレーションの妥当性について説明する。 With reference to FIG. 3 (A) and (B), the validity of the simulation of the motion accompanied by sliding friction is demonstrated.
図３（Ａ）に検証モデルを示す。大きな板の上に小さな板を載置し、小さな板の上面に１０（Ｎ）の荷重を加えながら、側面を１０（Ｎ）の力で引っ張る。上面への荷重は、小さな板の最表面を構成する粒子に均等に与えられ、側面を引く力は、当該側面の最表面を構成する粒子に均等に与えられるものとした。小さな板は、大きな板の上面を、引っ張り方向に等加速度直線運動を行う。 FIG. 3A shows a verification model. A small plate is placed on a large plate, and the side surface is pulled with a force of 10 (N) while applying a load of 10 (N) on the upper surface of the small plate. The load on the upper surface was equally applied to the particles constituting the outermost surface of the small plate, and the force pulling the side surface was equally applied to the particles constituting the outermost surface of the side surface. The small plate performs a constant acceleration linear motion in the pulling direction on the upper surface of the large plate.
図３（Ｂ）に、摩擦係数を、０．０、０．１及び０．５としたときの加速度の理論値、及び、実施例によるシミュレーション方法を用いて行ったシミュレーションでの加速度値を示す。 FIG. 3B shows theoretical values of acceleration when the friction coefficient is 0.0, 0.1, and 0.5, and acceleration values in a simulation performed using the simulation method according to the embodiment. .
摩擦係数が０．０の場合、加速度の理論値は、１．２１７×１０５（ｍ／ｓ２）であり、実施例によるシミュレーションにおける加速度は、１．２２０×１０５（ｍ／ｓ２）である。また、摩擦係数が０．１、０．５の場合、それぞれ加速度の理論値は、１．０９５×１０４（ｍ／ｓ２）、６．０８３×１０４（ｍ／ｓ２）であり、実施例によるシミュレーションにおける加速度は、１．０９８×１０４（ｍ／ｓ２）、６．１３４×１０４（ｍ／ｓ２）である。 When the friction coefficient is 0.0, the theoretical value of acceleration is 1.217 × 10 5 (m / s 2 ), and the acceleration in the simulation according to the example is 1.220 × 10 5 (m / s 2 ). It is. When the friction coefficients are 0.1 and 0.5, the theoretical values of acceleration are 1.095 × 10 4 (m / s 2 ) and 6.083 × 10 4 (m / s 2 ), respectively. The acceleration in the simulation according to the example is 1.098 × 10 4 (m / s 2 ) and 6.134 × 10 4 (m / s 2 ).
実施例によるシミュレーション方法を用いて行ったシミュレーションでの加速度値と理論値との間の誤差は、すべての摩擦係数について１．０％未満である。このことから、実施例によるシミュレーション方法を用いて、高精度にシミュレーションを行えることがわかる。 The error between the acceleration value and the theoretical value in the simulation performed using the simulation method according to the embodiment is less than 1.0% for all the friction coefficients. This shows that the simulation can be performed with high accuracy using the simulation method according to the embodiment.
次に、図４（Ａ）及び（Ｂ）を参照して、転がり摩擦を伴う運動のシミュレーションの妥当性について説明する。転がり摩擦に関しては、円筒の側面を２枚の板で挟み、下側の板を固定し、上側の板を摺動する力学系を使って検証した。上側の板と円筒側面の固定点をマーカー（指標）とし、実施例によるシミュレーション方法でシミュレーションを行ったときのマーカーの動きを確認した。 Next, with reference to FIGS. 4A and 4B, the validity of the simulation of the motion accompanied by rolling friction will be described. The rolling friction was verified by using a dynamic system in which the side surface of the cylinder was sandwiched between two plates, the lower plate was fixed, and the upper plate was slid. The fixed point between the upper plate and the side surface of the cylinder was used as a marker (index), and the movement of the marker when the simulation was performed by the simulation method according to the example was confirmed.
図４（Ａ）及び（Ｂ）に、シミュレーションにおけるマーカーの位置を示す。両図においては、矢印の方向に時間が進行している。また、図４（Ａ）の右端写真に示される状態と、図４（Ｂ）の左端写真に示される状態との間にも、時間の経過がある。 4A and 4B show marker positions in the simulation. In both figures, time advances in the direction of the arrow. Also, there is a lapse of time between the state shown in the rightmost photo in FIG. 4A and the state shown in the leftmost photo in FIG.
時間の経過とともに、上側の板に付けられたマーカーと、円筒の側面に付けられたマーカーとが、前者は直線的に、後者は円周に沿って、ほぼ等しい距離だけ移動していることが認められる。実施例によるシミュレーション方法によれば、板の摺動に伴う円筒の転がり運動を適切にシミュレートすることが可能である。 As time passes, the marker attached to the upper plate and the marker attached to the side surface of the cylinder are moved by the same distance along the circumference of the former linearly and the latter. Is recognized. According to the simulation method according to the embodiment, it is possible to appropriately simulate the rolling motion of the cylinder accompanying the sliding of the plate.
このように、実施例によるシミュレーション方法を用いることによって、滑り摩擦、転がり摩擦を区別することなく、これらを伴う運動を自然に再現することができる。また、摩擦時に発生するエネルギを正しく評価することも可能である。このため、高精度のシミュレーションを行うことができる。 As described above, by using the simulation method according to the embodiment, it is possible to naturally reproduce the motion accompanied by these without distinguishing between sliding friction and rolling friction. It is also possible to correctly evaluate the energy generated during friction. For this reason, a highly accurate simulation can be performed.
実施例によるシミュレーション方法は、プログラムにより、コンピュータで実行することができる。 The simulation method according to the embodiment can be executed by a computer by a program.
図５は、実施例によるシミュレーション方法を用いてシミュレーションを行うシミュレーション装置のシステム構成図である。本図に構成を示したシミュレーション装置を使用して、図２にフローチャートで示したシミュレーション方法を実施することができる。 FIG. 5 is a system configuration diagram of a simulation apparatus that performs simulation using the simulation method according to the embodiment. The simulation method shown in the flowchart of FIG. 2 can be implemented using the simulation apparatus having the configuration shown in FIG.
まず、キーボードなどの入力装置から、図２のＳ１０１に対応して、粒子位置や粒子の速度などの粒子の初期状態が入力される。また、これと同時に、またはこれに先立って、キーボードなどの入力装置から、粒子間のポテンシャルや外場を表現する関数を設定することができる。 First, an initial state of particles such as a particle position and a particle velocity is input from an input device such as a keyboard corresponding to S101 in FIG. At the same time or prior to this, a function expressing the potential between particles or an external field can be set from an input device such as a keyboard.
中央処理装置は、メインメモリ中の制御プログラムの指令を受け、メインメモリ中の粒子の移動位置決定プログラムを実行する。 The central processing unit receives a command from a control program in the main memory, and executes a particle movement position determination program in the main memory.
粒子の移動位置決定プログラムは、粒子間のポテンシャル及び外場から作用する力を、全ての粒子について導出する部分（図２のＳ１０２で示される部分）、物体Ｂを構成する隣接粒子ｉ、ｊ、及びｋの定める三角要素の周及び内部に、物体Ａを構成する粒子ｐが接触しているとき、粒子ｐの接触点を含む領域を支配する粒子（∈ｉ、ｊ、ｋ）を決定する部分（図２のＳ１０３及びＳ１０４で示される部分）、粒子ｐと、粒子ｐの接触点を含む領域を支配する粒子（∈ｉ、ｊ、ｋ）とが相互に及ぼし合う摩擦力を計算し、これを粒子間ポテンシャル及び外場が与える力に加算する部分（図２のＳ１０５及びＳ１０６で示される部分）、全ての粒子につき運動方程式を解いて移動位置を決定する部分（図２のＳ１０７で示される部分）に大別される。 The particle movement position determination program is a part for deriving the potential acting between the particles and the force acting from the external field for all the particles (the part indicated by S102 in FIG. 2), the adjacent particles i, j constituting the object B, And a part that determines a particle (∈i, j, k) that dominates a region including the contact point of the particle p when the particle p constituting the object A is in contact with and around the triangular element defined by k (Part indicated by S103 and S104 in FIG. 2), the frictional force between the particle p and the particle (∈i, j, k) that controls the region including the contact point of the particle p is calculated. Is added to the interparticle potential and the force applied by the external field (the part indicated by S105 and S106 in FIG. 2), and the part for determining the moving position by solving the equation of motion for all particles (shown by S107 in FIG. 2). Part) That.
図２を参照して説明したように、まず、入力装置から入力された情報に基づいて、全ての粒子について、粒子ポテンシャル場及び外場から受ける力が算出される。 As described with reference to FIG. 2, first, the forces received from the particle potential field and the external field are calculated for all particles based on the information input from the input device.
次に、隣接粒子ｉ、ｊ、及びｋの定める三角要素の周及び内部に、粒子ｐが接触しているか否かが判定され、接触している場合には、粒子ｐの接触点を含む領域を支配する粒子（∈ｉ、ｊ、ｋ）が決定される。 Next, it is determined whether or not the particle p is in contact with and around the triangular element defined by the adjacent particles i, j, and k. If the particle p is in contact, the region including the contact point of the particle p is determined. The particles (εi, j, k) that dominate are determined.
そして粒子ｐ、及び、粒子ｐの接触点を含む領域を支配する粒子（∈ｉ、ｊ、ｋ）に作用する摩擦力が計算される。計算は、たとえば式（２３）、（２４）に基づいて行われる。摩擦力の算出は、物体Ｂを構成する任意の隣接３粒子の定める三角要素の周及び内部に接触している物体Ａの全ての粒子、及びそれらの粒子の接触点を含む領域を支配する物体Ｂの粒子の全てについて行われる。 Then, the frictional force acting on the particle p and the particle (εi, j, k) that controls the region including the contact point of the particle p is calculated. The calculation is performed based on, for example, formulas (23) and (24). The calculation of the frictional force is performed by calculating all the particles of the object A in contact with the circumference and the inside of the triangular element defined by any adjacent three particles constituting the object B, and the object governing the region including the contact point of these particles. This is done for all of the B particles.
摩擦力は粒子間ポテンシャル場及び外場が与える力に加算され、各々の粒子について作用する力が求められる。 The frictional force is added to the force given by the interparticle potential field and the external field, and the force acting on each particle is obtained.
それから全ての粒子につき運動方程式を解いて、粒子の移動位置を決定する。 Then, the equation of motion is solved for all particles to determine the moving position of the particles.
粒子の移動位置が決定されたら、たとえば２次元的、または３次元的に定められた座標系において、決定された移動位置に粒子を表示する。表示結果は、出力装置、たとえばディスプレイに表示される。 When the movement position of the particle is determined, the particle is displayed at the determined movement position, for example, in a coordinate system determined two-dimensionally or three-dimensionally. The display result is displayed on an output device such as a display.
以上実施例に沿って本発明を説明したが、本発明はこれらに制限されるものではない。 Although the present invention has been described with reference to the embodiments, the present invention is not limited thereto.
たとえば、実施例においては、図１を参照して支配領域を２次元的に説明したが、粒子の支配領域を３次元的に把握することも可能である。たとえば、粒子ｉ、ｊ、ｋ等の支配領域を各粒子の含まれるボロノイ多面体の内部とし、物体Ａの構成粒子ｐが、物体Ｂの構成粒子ｉ、ｊ、ｋ等のいずれかの支配領域に属するようになったとき、粒子ｐと、粒子ｐが属するボロノイ多面体内の粒子との間に、式（２１）、（２２）で表される摩擦力を導入する。なお、ボロノイ面上の粒子ｐについては、当該ボロノイ面をはさむいずれの粒子の支配領域下においてもよい。 For example, in the embodiment, the dominant region is described two-dimensionally with reference to FIG. 1, but it is also possible to grasp the dominant region of particles three-dimensionally. For example, the dominant region of particles i, j, k, etc. is the inside of a Voronoi polyhedron containing each particle, and the constituent particle p of the object A becomes one of the dominant regions of the constituent particles i, j, k, etc. of the object B. When they belong, the frictional force represented by the equations (21) and (22) is introduced between the particles p and the particles in the Voronoi polyhedron to which the particles p belong. Note that the particle p on the Voronoi surface may be under the control region of any particle sandwiching the Voronoi surface.
また、実施例においては、粒子ｐと、粒子ｉ、ｊ、ｋのいずれか１つの間に摩擦関係を導入した。粒子ｐと、複数粒子間に摩擦力を導入することもできる。この場合、粒子ｐと、各粒子との間に、重み付けをして摩擦力を設定することが可能である。 In the embodiment, a frictional relationship is introduced between the particle p and any one of the particles i, j, and k. A frictional force can also be introduced between the particles p and a plurality of particles. In this case, it is possible to set the frictional force by weighting between the particle p and each particle.
その他、種々の変更、改良、組み合わせ等が可能なことは当業者に自明であろう。 It will be apparent to those skilled in the art that other various modifications, improvements, combinations, and the like can be made.
摩擦を伴う種々の現象のシミュレーション、特に機構や弾性の動解析に好適に利用することができる。機構や弾性の動解析における、摩擦によるロス、及び発熱エネルギの見積もりに応用することができる。 It can be suitably used for simulation of various phenomena accompanied by friction, particularly for dynamic analysis of mechanisms and elasticity. It can be applied to estimation of loss due to friction and heat generation energy in dynamic analysis of mechanisms and elasticity.
Ｓ１０１〜Ｓ１０９ ステップ Steps S101 to S109
Claims (8)
（ａ）第１の物体を構成する第１の粒子と、第２の物体を構成する第２の粒子との、第１の時刻における相対速度に基づいて、前記第１の粒子及び前記第２の粒子に印加される摩擦力を算出する工程と、
（ｂ）前記工程（ａ）で算出された摩擦力を加味して、前記第１の時刻の次の第２の時刻における、前記第１の粒子、及び前記第２の粒子の位置を求める工程と
を有するシミュレーション方法。 A simulation method in the particle method in which an object is represented by a collection of particles, and the behavior of each particle is numerically calculated at a certain time interval to analyze the state of the object at each time distributed discretely on the time axis Because
(A) Based on the relative velocity at the first time between the first particle constituting the first object and the second particle constituting the second object, the first particle and the second particle Calculating a frictional force applied to the particles of
(B) A step of obtaining the positions of the first particles and the second particles at the second time next to the first time in consideration of the frictional force calculated in the step (a). A simulation method comprising:
第１の物体を構成する第１の粒子、及び、第２の物体を構成する第２の粒子の初期状態を入力する手段、
前記第１の粒子と前記第２の粒子との、第１の時刻における相対速度に基づいて、前記第１の粒子及び前記第２の粒子に印加される摩擦力を算出する手段、
前記摩擦力を加味して、前記第１の時刻の次の第２の時刻における、前記第１の粒子、及び前記第２の粒子の位置を求める手段、
前記第２の時刻における前記第１の粒子及び前記第２の粒子を表示する表示手段
として機能させるためのプログラム。 By expressing the object as a collection of particles and numerically calculating the behavior of each particle at a certain time step size, simulation in the particle method that analyzes the state of the object at each time distributed discretely on the time axis Computer to do,
Means for inputting the initial state of the first particles constituting the first object and the second particles constituting the second object;
Means for calculating a frictional force applied to the first particle and the second particle based on a relative velocity at a first time between the first particle and the second particle;
Means for determining the positions of the first particles and the second particles at the second time next to the first time in consideration of the frictional force;
A program for functioning as display means for displaying the first particles and the second particles at the second time.
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