JP2009501334A - 確率質量拡散によるモデルセットの適応 - Google Patents

Abstract

少なくとも１つのパラメータの一連の測定ｚ，Ｒ；Ｍ；(ｔ₁，ｔ₂)を実行し且つ予測を再帰的に実行する方法。その方法は、少なくとも第１の測定インスタンス（Ｍ（ｔ_k）；（ｋ））に基づいて、少なくとも２つのモデル（Ｃ，Ｓ）に対する結果（ｘ，Ｐ）を予測する工程と、次の測定インスタンス（Ｍ（ｔ_k＋Ｔ_p)(ｋ＋Ｔ_p)）の後、対応する時点に対するモデル（Ｃ，Ｓ）を更新し、これにより第１の測定インスタンスに基づいて行なわれる予測が次の測定インスタンスを考慮して更新される工程と、次の測定インスタンス(ｔ_k＋Ｔ_p)(ｋ＋Ｔ_p)に対する少なくとも１つのモデル（Ｃ，Ｓ）を再配置し、これにより一方の更新モデルが他方の更新モデルに影響を及ぼす工程とを有する。少なくとも１つの補完（Ｃ）モデル及び少なくとも１つのサブ（Ｓ）モデルを含むモデルセットの場合、再配置の工程において、ＳモデルがＣモデルに影響を及ぼすことはない。排他的な補完（Ｌ，Ｎ，Ｒ）モデルを含むモデルセットの場合、再配置の工程において、モデルセット（Ｌ，Ｎ，Ｒ）内のモデルの所定の対に対して、より高い確率（μ）を有するモデルはより低い確率を有するモデルに影響を及ぼすが、より低い確率（μ）を有するモデルがより高い確率を有するモデルに影響を及ぼすことはない。

Description

本発明は、確率的モデルに基づく予測に関し、特に再帰的方法、即ち、測定データに基づいて複数の統計的予測モデルの中から選択することに繰り返し関与する予測モデルに関する。

具体的には、本出願は、鳥観図から分かるように物体の２次元的な動きを予測するレーダシステムにおいて適用され、それによりレーダシステムは、例えば、物体の位置を測定し、物体の位置と速度の未来の値を予測すると良い。

図１は、飛行物体の位置を観測するレーダシステムＲを示す鳥観図である。レーダシステムは観測を複数回行なう。図１に示すように、測定された位置Ｍは、所定の測定精度に関連付けられてもよく、円形のガウス確率密度関数（ＰＤＦ）により近似されてもよい。その２つの例を図５に示す。円形領域の半径は、ガウス分布の標準偏差に対応する。

位置の測定値を更に取得して、物体の位置の確率密度関数Ｐos及び推定された速度に対する確率密度関数Ｖelが予測される（例えば図１を参照）。それにより、推定された速度ベクトルは、位置及び速度ベクトルの次の予測のベースとして使用される。

本出願は、より正確で信頼性が高く、要求される計算量が少ないそのような予測の実行を扱うものである。

次に、飛行物体を観測するレーダシステムの好適な例を参照して、本発明の予測方法と関連して周知の予測方法の動作を概略的に示す。そのようなシステムにおいて、可能な飛行経路は、飛行機の性能及びパイロットの与えられた職務により規定されるパイロットの“ふるまい”に依存する。

従来の方法及び本発明の方法は、レーダシステムに応用する等の特定の応用例に限定されないことが理解されるべきである。尚、予測モデルの説明において、測定パラメータの選択は任意である。また、予測モデルは検知されたパラメータの組合せに基づいてもよい。以下の説明において、物体の位置のみを検知するシステムに焦点が当てられる。

典型的なパルスドップラーレーダシステムは、物体の半径方向の位置を高精度に検知する能力があることを認識すべきである。従って、図４に示すように、ＰＤＦは典型的なレーダの応用例の場合に楕円形のＰＤＦにより更に正確に近似される。しかし、容易に理解されるように、楕円形のガウス確率関数に基づく予測は複雑な計算タスクである。楕円形の分布が広く使用されているが、この明細書においては説明を簡単化にするために、円形のＰＤＦを使用する。

以下の図において、測定された位置はＸで表され、位置の測定精度は円形のガウスＰＤＦにより近似される。この明細書の以下の図において、ＰＤＦが円形の表現を示す場合、当該半径は当該ＰＤＦの標準偏差に比例することが理解されるべきである。

予測モデル−モデルセット
今日、複数モデル（ＭＭ）による非線形／非ガウス動的システムのモデリングは、特に高性能システムにおいてはベイズ推定における一般的な手順である。しかし、一般に、この方法は単一モデルの拡張カルマンフィルタからパーティクルフィルタにまで多岐にわたる（非特許文献１を参照）。

実世界システムがある期間にわたる一部のモデルの変化のパターンに従って示され、別のモデルに切り替わる場合、マルコフモード変換モデルと組み合わされるマルチプル動的モデルは特に有用な方法である。

この種のモデリングの典型的な応用例は、センサの測定値により移動する物体を追跡すること、工業プロセスを制御すること等である。

図６において、飛行物体の挙動を表すように、単一の円形のガウスＰＤＦに基づくマヌーバモデルが選択される。すなわち、飛行物体の現在の位置及び速度の所定の推定値に対して、予測位置Ｃp及び予測速度Ｃvが近似される。このモデルは、所定の予測時間内において、加速；減速、左旋回及び右旋回マヌーバの可能性が等しいと仮定する。

図８において、３つのガウスＰＤＦから構成される飛行物体に対する別のモデルを示す。直進オプションＮの可能性がおそらく、左旋回Ｌと右旋回Ｒの可能性より高いと仮定されてもよい。例えば、旅客機の飛行経路を表す時、そのようなモデルはより現実に近いだろう。添字ｐ及びｖは位置及び速度に対応する。

図６に関して上述したマヌーバモデルに対する別の例として、内部のサブセット（Ｓ）モデルを囲む外部の補完（Ｃ）モデルを含む図６及び図７を組み合わせて形成されるマルチプル仮説モデリングが選択されてもよい。

補完モデル（Ｃモデル）の全体の目的は、飛行物体による全ての可能な未来の動作を表すことである。未来の予測位置の尤度は、例えば、図６の円Ｃpにより表されるＰＤＦにより与えられる。従って、排他的な補完モデルセットの目的は、可能な限り別のモデルをオーバラップしない種々のモデルにより２次元フィールドの領域を範囲に含むことである。

サブセットモデル（Ｓモデル）は、少なくとも１つのＣモデルにより示されるシステム状態のサブセットを表すモデルである。Ｓモデルの目的は、時間的に支配するシステム状態を表すことである。Ｓモデルは１つだけ存在することが多い。Ｓp及びＣpのガウスＰＤＦを図５に示す。Ｓp及びＣpにより表される領域が別個のモデルと考えられる場合、それら領域の各々は１になる。それら領域が非ガウスＰＤＦを表している場合、組み合わされた領域が１になるように重み（確率）を与えらえる。（Ｓモデルの目的は、モデルをオーバラップすることにより同一のフィールドをカバーすることである）。

飛行物体の２次元飛行経路を観測するレーダシステムの説明において、図６の補完モデルはマヌーバモデルを表し、図７のサブセットモデルは非マヌーバモデルを表す。

飛行機の応用例の場合、図６及び図７のモデルは、Ｓモデルに対して確率０．７及びＣモデルに対して確率０．３（不図示）で重み付けされてもよい。この同時分布は、非マヌーバがマヌーバより可能性が高いパターンを示し、これは飛行機の殆どの航路の挙動に当てはまる。尚、確率は、事前の仮定に依存し、モデリングが測定値により与えられるような挙動に適合する精度に依存する。これは、周知の従来のベイズの規則により計算されてもよい。

再帰的モデリング
確率の合計が１である３つのガウスＰＤＦに基づく予測モデルに戻る（図８を参照）。そのようなモデルは図９に示す連続する測定にわたり実現され、例えば、左、右、及び直進の各ガウスＰＤＦの可能性は等しいと考えられてもよい。

再帰的方法は、次のＰＤＦの２次元空間における実際の位置及び速度が測定物体の前回の位置により繰返し判定されることを含む。その結果、図９の経路の例は、連続する予測を示すことができる。

測定精度が予測モデルに関して適切である場合、最近の測定値に最も適合するガウスＰＤＦは次の予測の開始点として選択される。

しかし、測定値が左旋回の予測モデルに入る場合、最近の測定値は現実の値に対応するとは限らない。すなわち事後の観点から、物体が実際に左旋回したという仮定は、後の測定値による尤度に応じて拒否又は確定、あるいは評価されてもよい。この評価は、後の測定期間により更に評価されてもよい。

そのため、最適な再帰的モデリングは全ての先のマヌーバの可能性を考慮してもよい。測定値が測定の度に提供されない場合、あるいは測定値が他の現象の検出により曖昧である場合、そのような再帰的モデリングは特に適切である。

周知の最適なＭＭ（複数モデル）追跡法の概念は、開始から現在までの全ての可能なモードの組合せを表し、ベイズの規則によりそのような各組合せの確率を計算することである。その結果、“ストラクチュア（structure）”により示されるように、フィルタ数（組合せ毎に１つ）が指数関数的に増加する（非特許文献２）。

（Ｎ_e，Ｎ_f）＝（Ｎ^k-1 _m，Ｎ^k _m）
ここで、ｋは測定の回数であり、Ｎ_mはモデル数である。Ｎ_eは各周期の開始時の推定値の数であり、Ｎ_fはアルゴリズムにおけるフィルタ数である。

全ての可能性を考慮することにより更に多くのモデル更新期間に基づいて評価を行なうため、計算の負担が大きくなることは容易に理解される。更に、測定が実行されるに従って、いくつかの可能性が現れる確率は非常に低くなる。従って、可能性の低い古い分岐に関連する分岐は考慮されなくてもよい。すなわち、それら分岐は計算の可能な限度内にフィルタ数を保持するために取り除かれる。これは、低い確率を有する組合せが削除され（取り除かれ）、ほぼ同等な状態推定値を有する組合せが組み合わされる（マージされる）ことを意味する。確率の閾値が小さく（且つ、確率が再度正規化され）、マージ方法が少なくとも第１の瞬間及び第２の瞬間を保存する場合、この種の制御は結合ＰＤＦ（確率密度関数）に殆ど影響を及ぼさない。しかし、このように、フィルタ数の安定した制御は存在しない。

フィルタ数の安定した制御を含むＭＨＴの概念をシステム化しようとした努力の結果、ｎ次の一般化擬似ベイズ推定量（ＧＰＢＥｎ）が得られた（非特許文献２を参照）。それらは、モードの組合せをｎタイムステップ（測定周期）の間保持する。それらは以下の構造を有する。

（Ｎ_e，Ｎ_f）＝（Ｎ^n-1 _m，Ｎⁿ _m）
フィルタ数は固定である。

ｎ＝１、即ち、ＧＰＢＥ１の場合のフィルタに対する対応する制限を図１０に示す。

性能と要求される計算量との間の最適な妥協を構成するため、ＩＭＭ（相互作用マルチプルモデルInteracting Multiple Model）アルゴリズムが多くの応用に対して考慮されてきた。その理由は、ＩＭＭモデル相互作用技術が計算構造を以下の式に単純化するからである。

（Ｎ_e，Ｎ_f）＝（Ｎ_m，Ｎ_m）
ＩＭＭにおいて、そのモデルは、予測段階の前の各タイムステップにおいて“相互作用”する。これにより、予測フィルタ数はモデル数と同一の数に減少される。相互作用は、マルコフモード交換モデルにより管理されるマージ処理と考えられる。

一般に、再帰的な非線形／非ガウス推定問題は、非ガウス／非定常確率密度関数を表すことである。種々のバージョンの複数モデル（ＭＭ）法は、確率に従って重み付けされたガウスＰＤＦの合計としてそれを行なう。実際に最適なＭＭ以外の殆どの方法は、各測定の後、予測段階の間にＰＤＦをより適切に表すようにモデルを再配置する（適応させる）必要がある。これは、限定されたフィルタ数が指数関数的に増加する最適なフィルタ数を置換するからである。

次に図１１、図１２、図１４及び図１５により示されるように、図８のマヌーバモデルに基づくＩＭＭモデル等の次善のＭＭ法の測定、更新、再配置及び予測段階を考える。この例において、測定値Ｍは左旋回モデルの中心に入ると仮定される。

図１１において、時間ｔ１で測定が完了した後、時間ｔ１のマヌーバの確率評価は再評価されてもよく、測定が行なわれる可能性の高い１つ以上のＰＤＦモデルの方が仮定した事前のモデルより可能性が高いと考えられる。そのような再評価又は更新を図１２に示す。図１２において、最大の確率μ１が左旋回に割り当てられ、より低い可能性μ２が直進オプションに割り当てられ、更に低い可能性μ３が右旋回に割り当てられる。ここで、全ての可能性の合計は１のままである。更に、更新ステップによると、各モデルは測定結果に依存して２次元空間において移動される。この例において、測定値が偶然左旋回モデルの中心に入ったため、左旋回モデルＬ１は変位しない。しかし、Ｎ１及びＲ１は測定値と先の各予測モデルとの差分に比例して変位する。ＰＤＦの陰影部が暗い程、確率は高い（これは図１１〜図１５及び図２２〜図３７にも当てはまる）。

図１１及び図１２（時間ｔ１）に示すステップに続く図１４は、ＩＭＭ法及び提案された方法等の次善のＭＭ法による再配置に関する。計算上の複雑さを小さく保持するために更新段階において既に使用したモデル毎に（図９に先に示したような３つのモデル毎ではない）２つ以上のモデルが予測に使用されないという条件下で更なる予測が行なわれた場合及び再配置処理が適用されない場合に発生することを調査することにより、そのメカニズムを次に説明する。そのような例を図１３に示す。図１３において、時間ｔ２に対するモデルＬ２、Ｍ２、及びＲ２は、Ｌ１、Ｌ２、及びＬ３に対する時間ｔ１の更新された予測に対応する尤度を有すると予測される。時間ｔ２に対する予測は、全ての方向に広がる可能性があることが分かる。

ＩＭＭ法は、図１２及び図１４から示されるように２次元空間のガウスＰＤＦの中心を変位させて、測定の後に時間ｔ１に対して既に使用されたモデルを再配置することにより上記状況を回避する。全てのモデルは、同一時刻に対する他の個々のモデルの影響に従って変位させられ、それにより最大尤度を有するモデルは、より可能性の低いモデルの動きにある程度の影響を与え、可能性が最小のモデルの動きに最も大きな影響を与える。その結果は、Ｌ１からＬ１’、Ｍ１からＭ１’、及び、Ｒ１からＲ１’への変位を示す図１４に視覚化される。更に、各モデルの確率（不図示）は変更される。

図１２の更新及び図１４の再配置の結果を図１５に示す。図１５において、モデルの配置は更に厳密に最近の測定方向を中心とする。

上記説明において、測定値が明らかに１つのガウスモデルの標準偏差内に入る状況を参照した。更に詳細に後述するように、当然ながらこれは常に当てはまるわけではない。

図８の３つのマヌーバモデルの各々に対して、時間ｋ＋Ｔ_pまでの予測、時間ｋ＋Ｔ_pにおける測定及び時間ｋ＋Ｔ_pのモデルの更新を行なう時間ｋから開始する処理に関する更なる詳細を図１６及び図１７に示す。図６及び図７の組み合わされた補完／サブモデルに対してモデルを更新する処理を図１８〜図２１に更に詳細に示す。図１６〜図２１において、指数ｐは位置であり、ｖは速度、Ｍは測定値、Ｌは左、Ｎは直進、Ｒは右、Ｃは補完、Ｓはサブセット、ｕは更新である。

図１７において、モデルの更新を実証するために、ＰＤＦの相対位置ＬpはＬpuと共に示される。図１８及び図２０のそれぞれに関して、同様のことが図１９及び図２１にも当てはまる。

一般のモデル−状態ベクトル
上述において、２次元レーダの応用例に焦点が当てられた。しかし、上述したように、本発明に係る方法は他のシステムにも適用可能である。従って、従来技術において周知である一般の状態ベクトルに関して、その方法を説明する。

状態ベクトルｘ（ｋ）により時刻ｋにおける動的システムを示す。

移動する物体は、水平な２次元デカルト座標系において以下の状態ベクトル成分を有してもよい。

動的システムの状態は、センサ（例えば、レーダ）から取得される測定値により推定されてもよい。

推定された状態ベクトルは上記と同一の形式、即ち、ｘ＾（ｋ｜ｋ）を有してもよい。ここで、“＾”の印は推定値を実際の値と区別し、第１番目の時間添字は推定の時間を示し、第２番目の時間添字は使用された最後の測定値を示す。このように、ｘ＾（ｋ＋１｜ｋ）は時間ｋ＋１における状態ベクトルの推定値であり、時間ｋを含む時間ｋまでの測定値が使用された。この最後の表現は、時間ｋからの（１ステップ）予測値と呼ばれる。簡単にするために、“＾”の印は省略されることが多い。

状態ベクトル推定は、不確実な測定値により示されてもよく、その推定の精度を示す。ガウス不確実性（確率密度関数）の通常の例において、それらは共分散行列Ｐにより完全に表される。上記状態推定の場合、共分散行列は以下のようになる。

ここで、対角成分は各座標における変動である。即ち、
ｐ_ii＝σ² _ii （３）
である。ここで、ｉは行番号及び列番号であり、非対角成分は行及び列の各状態成分の共分散である。即ち、
ｐ_ij＝ρ_ijσ_iσ_j （４）
である。ここで、ρは相関係数であり、σは標準偏差であり、ｉ及びｊはそれぞれ行番号及び列番号である。

Ｐ（ｋ｜ｋ）の左上の２×２の行列は、２次元の位置不確実性を表し、位置推定値を中心とするｘｙ平面の楕円として視覚化される。同様に、右下の２×２の行列は２次元の速度不確実性である。これは、“速度ベクトルの上部”に楕円として視覚化される。これを図３８に示す。

再帰的フィルタのブロック図
図３は、一般の再帰的フィルタを示すブロック図である。図は、計算の１周期に対する信号の流れ及び機能ブロックを示す。周期間隔は任意の時間Ｔであり、一定であってもよく又は変化してもよい。

図３において、測定値及び状態ベクトルは、共分散行列Ｒ及びＰをそれぞれ有するｚ及びｘで示される。フィルタは、状態／共分散更新ブロック“State & cov. update”（７）及び（８）（以下で与えられる式を参照）、並びに状態／共分散予測ブロック“State & cov. pred.”（１３）の２つの必須のブロックと、予想測定値／ゲートブロック”Exp. Meas., Gating”のオプションブロックとを含む。いくつかの応用例において、最後のブロックは、不要の測定値を遮断するために使用される。そのブロックは、測定の予想値（６）及び実際の測定値が入るべき領域／ボリュームを計算する。

再帰的フィルタの基本関数は以下の通りである。時間指標ｋにおいて、測定値ｚ（ｋ）、Ｒ（ｋ）（５）が存在する。ｘ（ｋ｜ｋ−１）、Ｐ（ｋ｜ｋ−１）で示される先に予測した推定値、すなわち時間指標kに対して時間指標kより前に予測された推定値は、時間指標ｋの対応する測定値ｚ（ｋ）、Ｒ（ｋ）と共に予想測定値／ゲートブロックに提供される。結果は状態／共分散更新ブロックに提供され、そのブロックに対しては測定値ｚ（ｋ）、Ｒ（ｋ）が更に入力される。ｘ（ｋ｜ｋ）、Ｐ（ｋ｜ｋ）（７）の更新された推定値が提供される。最後に、更新結果は、次の時間指標に対するｘ（ｋ｜ｋ＋１）、Ｐ（ｋ｜ｋ＋１）（１３）の状態変数及び共分散を予測するために状態／共分散予測ブロックにおいて処理される。処理は次の時間指標に対する結果及び測定値を使用して繰り返される。

ＩＭＭアルゴリズム
更新：
（１次）方程式により与えられるように、実際の状態ベクトルｘ（ｋ）に関連する時間ｋにおける測定値（ベクトル）ｚ（ｋ）を仮定する。

ｚ（ｋ）＝Ｈｘ（ｋ）＋ｖ（ｋ） （５）
ここで、Ｈはいわゆる測定行列であり、ｖは測定ノイズである。

測定値の精度は、この公式化において、測定ノイズ共分散行列Ｒにより示される。

予想測定値は、測定された予測状態ベクトルの一部であり、例えば、この例においては位置である。

ｚ（ｋ｜ｋ−１）＝Ｈｘ（ｋ｜ｋ−１） （６）
更新の方程式は、モデルｉに対して以下のように書かれてもよい。

ｘ_i（ｋ｜ｋ）＝ｘ_i（ｋ｜ｋ−１）＋Ｋ_i（ｋ）(ｚ（ｋ）−Ｈ_iｘ_i（ｋ｜ｋ−１）)
Ｐ_i（ｋ｜ｋ）＝（Ｉ−Ｋ_i（ｋ）Ｈ_i）Ｐ_i（ｋ｜ｋ−１）（Ｉ−Ｋ_i（ｋ）Ｈ_i）'
＋Ｋ_i（ｋ）ＲＫ_i（ｋ）' （７）
更新利得行列Ｋ_iは、カルマンゲインとして計算されてもよい。

Ｋ_i（ｋ）＝Ｐ_i（ｋ｜ｋ−１）Ｈ_i'［Ｈ_iＰ_i（ｋ｜ｋ−１）Ｈ_i'＋Ｒ］^-1 （８）
上記の予測及び更新の方程式は、周知のカルマンフィルタ方程式を構成する。（特に、上記の共分散更新方程式は、異なるが同等である多くの形式で書かれる）。

例えば、左旋回及び右旋回モデルを含む非線形の応用例において、それら方程式は線形モデルに対する元のカルマンフィルタ方程式からいわゆる拡張カルマンフィルタ方程式の同様に周知の形式に僅かに変更されてもよい。

モデルの確率の更新は、周知のベイズの規則に従う。

ここで、ｌi（ｚ（ｋ｜ｉ）はモデルｉを仮定した場合の測定値ｚの尤度を意味する。

確率予測
確率予測は以下のように書かれてもよい。

μ（ｋ＋１｜ｋ）＝Ｍ_Pμ（ｋ｜ｋ） （１０）
ここで、Ｍ_Pは、多くの場合にマルコフモード変換モデルに基づく確率予測行列である。

モデル相互作用
モデルデータ相互作用は、確率予測により管理される。

各モデルｉに対して、

である。

ここで、Δｘ_ij＝ｘ_j（ｋ｜ｋ）−ｘ_i ^I（ｋ） （１２）
である。そして、Ｎはモデル数であり、ｍ_ijは確率予測行列Ｍ_pの成分である。

モデルデータ予測
時刻ｋから時刻ｋ＋１までの線形モデルに対する標準の離散時間状態ベクトル予測は以下のように書かれてもよい。

ｘ_i（ｋ＋１｜ｋ）＝φ_iｘ_i（ｋ｜ｋ）
Ｐ_i（ｋ＋１｜ｋ）＝φ_iＰ_i（ｋ｜ｋ）φ′＋Ｑ_i （１３）
ここで、ｉはモデル番号であり、
φは、例えば、直線的予測である決定論的予測モデルであり、
φ′は、φの転置行列であり、
Ｑは、物体マヌーバをモデリングするために使用されるプロセスノイズ共分散行列と呼ばれることが多い確率的予測モデルである。非マヌーバ物体のモデルの場合、これはヌルの行列である。

左旋回や右旋回モデル等の非線形モデルの場合、それら方程式は僅かに異なる形式をとる。これは、いわゆる拡張カルマンフィルタの理論から周知である。

ＩＭＭフィルタのブロック図
図３９は、２モデルの例に対するＩＭＭフィルタを示すブロック図である。図３９は、計算の２周期に対する信号の流れ及び機能ブロックを示す。測定が行なわれた時、時間を時間指標ｋで示す。周期間隔は任意の時間Ｔ_pであり、一定であってもよく又は変化してもよい。図３９において、測定値及び状態ベクトルは、共分散行列Ｒ及びＰをそれぞれ有するｚ及びｘで示される。指標１及び２は２つの異なるモデルを示す。

図３９は、確率の更新（９）及び予測（１０）に対するモデルの確率μ及び機能ブロックを示す。更に図３９は、“状態／共分散相互作用”（１１）に対する機能ブロック及びその相互作用が確率の予測により“支配”されることを示す。これは、ＩＭＭフィルタの基本的な処理である。
Ｂ．リスティック、Ｓ．アルラムパラム、及びＮ．ゴードン（B.Ristic, S.Arulampalam, and N.Gordon）、カルマンフィルタを超えた、追跡応用のためのパーティクルフィルタ（Beyond the Kalman Filter, Particle Filters for Tracking Applications）、アーテックハウス（Artech House）、２００４年 Ｙ．バーシャロム、Ｘ．Ｒ．リー、及びＴ．キルバラジャン（Y.Bar-Shalom, X.R.Li, and T.Kirubarajan）、追跡及び航法への応用を伴う評価（Estimation with Applications to Tracking and Navigation） ニューヨーク：ジョン、ウィリー アンド サンズ（New York: John Wiley & Sons）、２００１年 Ｓ．ブラックマン、及びＲ．ポポリ（S.Blackman and R.Popoli）、現代の追跡システムの設計と分析（Design and Analysis of Modern Tracking Systems）、アーテックハウス（Artech House）、１９９９年 Ｈ．Ａ．Ｐ．ブロム（H.A.P.Blom）、システムを突然に変更するための効果的なフィルタ（An Efficient Filter for Abruptly Changing Systems）第２３回ＩＥＥＥコンファレンス（決定と制御）予稿集（in Proc. 23rd IEEE Conf. Decision and Control）、ネバダ州ラスベガス（Las Vegas, NV）、１９８４年１２月

既存の解決策に関する問題
高性能な次善のベイズの解決策（例えば、最適でないＭＭ、ｎが大きいＧＰＢＥｎ）に関する主な問題は計算負荷である。今日、ＩＭＭは、多くの応用例に対して最も“費用対効果が高い”（即ち、性能対計算）解決策であると考えられている。

ＩＭＭのモード交換モデルに結合されるモードのマージは多くの利点を有するが、その方法は欠点にも結び付く。例えば、ＩＭＭは、モードのマージがモード交換モデルに結合されるということから得られる。予測が測定値の更新周期毎に１回のみ行なわれる時、ＩＭＭは問題を引き起こさない。しかし、それに当てはまらない応用例が多く存在する。そのような応用例は以下のようなものであるかもしれない。

−検出の確率＜１であるセンサ
−適切な測定データを見つけるために予測が複数回行なわれる必要がある場合の不確実な関連
−最適な測定時間を見つけるために予測が繰返し行なわれる、適応センサ
−予想された測定時間が未知であり、適切な測定データのセットを見つけるために予測が複数回行なわれる必要がある、マルチセンサの応用
−一般に測定指向でないデータ予測。

ＩＭＭに関する別の問題は、“マヌーバモデル”と“非マヌーバモデル”との間の相互作用である。システム状態が“非マヌーバ”である場合、予測ボリュームをマヌーバモデルの設計から予想されたボリュームより小さくする。マヌーバゲートが他の手段により拡大されなかった場合、マヌーバが発生したなら、このことは追跡の喪失につながるかもしれない（非特許文献３、第４、５、６節、２３２ページを参照）。

本発明の第１の目的は、多くの応用例に対してより正確に予測を実行でき、多くの応用例において周知の方法より計算の負担が少ない、少なくとも１つの補完モデル及び少なくとも１つのサブモデルを含むモデルセットに基づく予測方法を提供することである。

この目的は、請求項１で定義される主題により達成される。

本発明の第２の目的は、多くの応用例に対してより正確に予測を実行でき、多くの応用例において周知の方法より計算の負担が少ない、排他的な補完モデルを含むモデルセットに基づく予測方法を提供することである。

この目的は、請求項２で定義される主題により達成される。

本発明の更なる目的は、計算の負担を更に軽減する方法を示すことである。

この目的は、請求項３で定義される主題により達成される。

更なる利点は、本発明の以下の詳細な説明から明らかになるだろう。

本発明は、測定値の更新後にモデルセットを再配置する“確率質量拡散”（ＰＭＤ）原理と呼ばれる新しい概念に関する。

まず、多くのレーダの応用例に適用されるＩＭＭ法に密接に関連して計算の動作と結果に焦点を当てて本発明を更に詳細に説明し、その後、動的システム／信号の再帰的推定が使用される一般の応用例を説明する。

この目的のため、まず、ＰＭＤ法とＩＭＭ法の各々に対して同一の補完モデル／サブセットモデルが使用され、測定値が明らかにモデル間の曖昧な領域又は所定のモデル内に入る４つの例に焦点を当てる。

参照記号は、再配置されたモデルセットを示す添字ａにより拡張される以外は図１６〜図２１に対して上述された参照記号と同一である。

ＩＭＭ及び提案された方法は、測定及び更新段階において同一である。以下の再配置（相互作用及び適応）の相違点を以下に説明する。

とりわけ、提案された方法及びＩＭＭは、再配置段階（相互作用及び適応）が実行される方法及び影響力の大きさにおいて異なる。それらについては以下に説明する。

図２２〜図２５は、測定値ＭがサブセットモデルＳp内に入る場合のＩＭＭ及びＰＭＤのサブセット／補完モデルに関する。図２２及び図２３はＰＭＤ及びＩＭＭの双方に関し、図２４はＩＭＭのみに関し、図２５はＰＭＤのみに関する。

図２２において、物体の速度及び位置は、それぞれのサブセットモデル及びそれぞれの補完モデルに従って予測される。この例によると、位置の測定値Ｍは補完モデル及び補助位置モデルの内部に入る。

図２３において、補完モデルＣpu及びＣvu、並びに補助モデルＳpu及びＳvuの位置及び速度は、測定値の位置に従って変位する。全てのモデルの標準偏差は、予測値に関して非常に減少する。測定値が予測モデル内に入るため、更新モデルの領域は双方とも測定値の位置を含む。モデルの更新に対する正確な関係は、標準のカルマンフィルタアルゴリズム［２、３］に従って公式化される。

図２４において、公知のＩＭＭモデルに従うモデル再配置を示す。

それぞれの補完モデルＣpu及びＣvu、並びにそれぞれの補助モデルＳpu及びＳvuは他方に影響を与え、Ｃpa及びＣva、並びにＳpa及びＳvaの値及び確率は変更される。

ＰＭＤ法によると、この与えられた例においてモデルの相互作用は生じない。これは、Ｃpa及びＣvaがＣpu及びＣvuにそれぞれ等しく、Ｓpa及びＳvaがＳpu及びＳvuにそれぞれ等しいことを意味する。これはサブセットモデルの確率が補完モデルの確率より高い場合に当てはまり、測定値が双方のモデルの領域内で取得された場合の正常な結果である。しかしながら、あまり重要ではないもあり、その状況を導かない過去の測定値に依存することもある。

従って、測定値がサブセットモデルＳ内に入り、サブセットモデルの更新された確率が最大になる場合、再配置のステップにおいて、モデルＣ，Ｓの各々は他方に影響を及ぼさない。

図２２〜図３７の矢印は、他方の又はその他のモデルに影響を与える１つ以上のモデルを示す。尚、影響を受けたモデルの変位は、矢印で示した以外の方向であってもよい。

図２６〜図２９は、測定値ＭがサブセットモデルＳp外であるが、補完モデル内に入る場合のＩＭＭ及びＰＭＤに対するサブセット／補完モデルに関する。図２６及び図２７はＰＭＤ及びＩＭＭに関し、図２８はＩＭＭのみに関し、図２９はＰＭＤのみに関する。

図２７において、補完モデルは実質的に変位し、サブセットモデルに対する影響はより少ないことが分かる。その理由は、（それが領域Ｃp内である限り）補完モデルの設計により大きく変位する傾向が大きくなるからである。サブセットモデルの設計により、領域Ｓp外で変位する傾向は小さくなる。更新は上記関係に従って実行される。

図２８において、公知のＩＭＭモデルに関連して、双方のモデルが相互に影響することが分かる。

しかし、図２９においては、補完モデルのみがサブセットモデルに影響を及ぼす。

従って、測定値がサブセットモデルＳ外であり、サブセットモデルの更新された確率が最小になった場合、再配置のステップにおいて、補完モデルＣのみがサブセットＳモデルに影響を及ぼす。

図３０〜図３３は、測定値Ｍが１つのマヌーバモデル内に入る場合のＩＭＭ及びＰＭＤに対する３マヌーバガウスモデルに関する。図３０及び図３１はＰＭＤ及びＩＭＭの双方に関し、図３２はＩＭＭのみに関し、図３３はＰＭＤのみに関する。

図３１において、ＩＭＭ法及びＰＭＤ法に共通のモデルの更新を示す。そのモデルは、図示するように測定値の方向に変位し、その確率は、測定値が入る所定のマヌーバモデルが最大の確率を得るように更新されることが分かる。

図３２において、ＩＭＭに関連して、全てのモデルがモデルの変位及び確率の再評価に関して他のモデルに影響を及ぼすことが示される。

図３３において、ＰＭＤに関連して、測定値が入るモデルのみがモデルの変位及び確率の再評価に関して残りのモデルに影響を及ぼすことが示される。これは、より高い確率を有するモデルがより低い確率を有するモデルに影響を及ぼすというＣモデルに対するＰＭＤの原理として理解されるだろう。

図３３の例において、より高い確率のモデルがより低い確率のモデルに影響を及ぼす。徐々に確率が変化する３つのモデルが生じる場合、最大の確率のモデルは他の２つのモデルに影響を及ぼし、中間の確率のモデルは最小の確率のモデルに影響を及ぼす。

従って、測定値が所定のモデルＬ，Ｎ，Ｒ内に入り、その測定値内のモデルの更新された確率が最大になるなら、再配置のステップにおいて、測定値が入るモデルのみが残りのモデルに影響を及ぼす。理解されるように、必要とされる計算動作の回数は減少される。

図３４〜図３７は、測定値Ｍが２つのマヌーバモデルの間に入る場合のＩＭＭ及びＰＭＤに対する３マヌーバガウスモデルに関する。図３４及び図３５はＰＭＤ及びＩＭＭの双方に関し、図３６はＩＭＭのみに関し、図３７はＰＭＤのみに関する。

図３５において、ＩＭＭ法及びＰＭＤ法に共通のモデルの更新を示す。全てのモデルは、図示するように測定値Ｍの方向に変位し、その確率は、測定値が間に入る２つの所定のマヌーバモデルが最大の確率を得るように更新されることが分かる。

図３６において、ＩＭＭに関連して、全てのモデルがモデルの変位及び確率の再評価に関して他のモデルに影響を及ぼすことが示される。

図３７において、ＰＭＤに関連して、測定値が間に入るモデルのみがモデルの変位と確率の再評価との両方に関して残りのモデルに影響を及ぼすことが示される。これは、より高い確率を有するモデルがより低い確率を有するモデルに影響を及ぼし、その場合に２つのモデルが同一の確率を有するというＣモデルに対するＰＭＤの原理として理解されるだろう。

従って、測定値が２つの所定のモデルＬ，Ｎ，Ｒの間に入り、測定値が間に入るモデルの更新された確率が等しくなった場合、再配置のステップにおいて、測定値が間に入る特定の２つのモデルのみが残りの１つ以上のモデルに影響を及ぼす。理解されるように、必要とされる計算動作の回数は減少する。

用語
次に、図１６〜図３７の種々のＰＤＦを示す用語を対応するＰＤＦの平均値、標準偏差及び確率の一般的な概念に置換する一般的な用語で本発明の方法を説明する。

左旋回マヌーバＰＤＦに関して以下に説明する。尚、全てのパラメータに対する完全な説明は不要である。
┌−−−−−−−−┬−−−−−−−−┬−−−−−−−−−−−┬−−−−−−−−┐
｜ 予測 ｜ 更新 ｜ 再配置： ｜ＰＤＦパラメータ｜
｜ ｜ ｜ 適応（ａ）／ ｜ ｜
｜ ｜ ｜ 相互作用（Ｉ） ｜ ｜
├−−−−−−−−┼−−−−−−−−┼−−−−−−−−−−−┼−−−−−−−−┤
｜Ｌpp，Ｌvp ｜ Ｌpu；Ｌvu ｜ Ｌpa；Ｌva ｜ ｜
├−−−−−−−−┼−−−−−−−−┼−−−−−−−−−−−┼−−−−−−−−┤
｜ｘ_i ^p ｜ｘ_i ^u ｜ｘ_i ^l，ｘ_i ^a ｜平均値／ ｜
｜ ｜ ｜ ｜状態ベクトル ｜
｜Ｐ_i ^p ｜Ｐ_i ^u ｜Ｐ_i ^l，Ｐ_i ^a ｜共分散行列 ｜
｜μ_i ^p ｜μ_i ^u ｜μ_i ^l，μ_i ^a ｜確率 ｜
└−−−−−−−−┴−−−−−−−−┴−−−−−−−−−−−┴−−−−−−−−┘
以下において、添字ＩはＩＭＭ法に従う再配置において使用されるパラメータに関し、添字ａは本発明に係るＰＭＤ法の下の再配置に関する。添字ｉは、任意の所定のモデル／ＰＤＦ（サブセット／補完、排他的な補完）に関する。

従来技術の説明において、時間の共通の表記が使用され、時間指標kを有する測定値（及びデータ更新）の時刻を示した。それら時刻の間の一定の時間Ｔが仮定されることが多い。本発明の説明において、ｔ_kである時刻のより一般的な表記及びＴ_pである測定の間の時間が適用される。従って、この明細書において、時刻ｋはｔ_kに対応し、ｋ＋１はｔ_k＋Ｔ_pに対応する。従来技術の説明において時間指標ｋ及びｋ＋１を使用したが、本発明の説明においてはｋ｜ｋに対応して表記ｕ及びｋ＋１｜ｋに対応して表記ｐを有する。

確率質量拡散によるモデルの適応；基本処理
本発明に係る確率質量拡散の１つの面は、確率質量がより高い確率を有するモデルからより低い確率を有するモデルに流れることである。μ₂μ₁の場合に２つのモデルを仮定する。即ち、
μ₁ ^α＝μ₁ ^u＋Δμ₁₂
μ₂ ^α＝μ₂ ^u＋Δμ₁₂ （１４）
であり、ここで、指数ａは再配置された確率を示し、指数ｕは測定値によるモデルの更新時に入手された確率を示す。

流れは確率の差分の関数である。本発明の好適な実施例によるとその量は正比例する。即ち、上記例の場合に以下のようになる。

Δμ₁₂＝κ（μ₂ ^u−μ₁ ^u） （１５）
ここで、κは拡散係数である。

モデルデータに対する影響は、以下の通りである。

ｘ₁ ^α＝（μ₁ ^uｘ₁ ^u＋Δμ₁₂ｘ₂ ^u）／μ₁ ^α
ｘ₂ ^α＝ｘ₂ ^u （１６）
そして、
Ｐ₁ ^α＝｛μ₁ ^u（Δｘ₁₁Δｘ₁₁'＋Ｐ₁ ^u）＋Δμ₁₂（Δｘ₁₂Δｘ₁₂'＋Ｐ₂ ^u）｝／μ₁ ^α
Ｐ₂ ^α＝Ｐ₂ ^u （１７）
である。ここで、
Δｘ₁₁＝ｘ₁ ^u−ｘ₁ ^α
Δｘ₁₂＝ｘ₂ ^u−ｘ₁ ^α （１８）
である。

本発明に係る推定の重要な点は、先の節で説明したように、Ｃモデル又はＳモデルとしてモデルを眺めることである。Ｃモデルの場合、拡散は確率勾配により与えられる方向に進んでもよい。ＣモデルとＳモデルとの間には、ＣモデルからＳモデルへの流れがあるがその逆はない。Ｃモデルが可能な限り独立しているべきであるため、拡散係数κ_CはＣモデル間の流れに対して小さい。ＳモデルはＣモデルの境界の内に常にあるべきであるため、拡散係数κ_SはＣモデルからＳモデルの流れに対して大きい。それら係数は設計パラメータであり、所定の応用例に最適になるように選択されるべきである。典型的な値は、以下の範囲にあるかもしれない。

κ_c∈（０．０１，０．１） （１９）
κ_s∈（０．１，０．５） （２０）
更なる実施例によると、上述の再配置処理はモデル（Ｃモデル）の更に大きなセットにわたり動作するように拡張され、その点においても拡散処理に類似する。モデルの大きなグループに対するそのような再配置処理は、異なる方法で実現されてもよい。１つの方法は、“滝”（又は水に広がる輪）のように、セット全体がカバーされるまで、最大の確率を有するモデルから開始し、そのモデルが最近接するモデルに影響を及ぼすようにし、その後、それらモデルが確率の変化量の方向に次に近接するモデルに“影響”を及ぼすようにすることである。本発明に係る別の計算上好適な方法は、以下に説明する“１ステップ法”である。この方法において、“影響”は「モデルの距離」として示すパラメータに依存する。

要約すると、その処理は以下のように説明される。

少なくとも１つのパラメータの一連の測定ｚ，Ｒ；Ｍ；（ｔ₁，ｔ₂）を実行し、少なくとも同一の又は少なくとも別のパラメータの予測を再帰的に実行する方法である。その予測方法は、例えば、可能な各測定インスタンス（ｔ_k，ｔ_k＋Ｔ_p）に対応する複数の予測期間に対して、各々の異なる平均値（ｘ_i ^p, …）、各々の共分散行列（Ｐ_i ^p, …）、及び対応する各々の確率（μ_i ^p, …）を有する少なくとも２つの二者択一的モデル（ＰＤＦ）を含むモデルセット（ＰＤＦ）を規定することに基づく。このモデル（ＰＤＦ）は、例えば、２次元平面の種々のマヌーバに対応する可能な結果を近似する。

この方法は、
−少なくとも第１の測定インスタンス（Ｍ（ｔ_k））に基づいて、少なくとも２つのモデル（Ｃ，Ｓ）に対する結果（ｘ，Ｐ）を予測する工程と、
−次の測定インスタンス（Ｍ（ｔ_k＋Ｔ_p））の後、対応する時点のモデル（Ｃ，Ｓ）を更新し、これにより第１の測定インスタンスに基づいて行なわれる予測が次の測定インスタンスを考慮して更新される工程と、
−次の測定インスタンス（Ｍ（ｔ_k＋Ｔ_p））に対する少なくとも１つのモデル（Ｃ，Ｓ）を再配置し、これにより一方の更新モデルが他方の更新モデルに影響を及ぼす工程とを有する。

少なくとも１つの補完（Ｃ）モデルとなくとも１つのサブ（Ｓ）モデルを含むモデルセットの場合、再配置の工程において、ＳモデルはＣモデルに影響を及ぼすことはない。

排他的な補完（Ｌ，Ｎ，Ｒ）モデルを含むモデルセットの場合、再配置の工程において、モデルセット（Ｌ，Ｎ，Ｒ）内のモデルの所定の対に対して、より高い確率（μ）を有するモデルはより低い確率を有するモデルに影響を及ぼすが、より低い確率（μ）を有するモデルがより高い確率を有するモデルに影響を及ぼすことはない。

上記方法によるモデルの“再配置”又は適応は、可能な限りＰＤＦを変更せず、モデル／フィルタを可能な限り互いに対して独立にしておくという本発明の要求を満たす。それら要求の理由は、全てのモードシーケンスが保持されるためにフィルタの再配置が行なわれない最適なＭＭと、再配置が適切なモードシーケンスの適度な表現を保証する“必要な弊害”である次善の解決策とから理解される。

本発明を更に別の側面から見ると、本発明は、ある確率（μ_j）を有する第１のモデルｊが以下の式に従って第２のモデルｉの確率（μ_i）を変更することに適用される。

μ_i ^α＝μ_i ^u＋Δμ_ij
μ_j ^α＝μ_j ^u＋Δμ_ij （２１）
である。ここで、μ_j ^u＞μ_i ^uと仮定し、κは定数であるとすると、
Δμ_ij＝κ（μ_j ^u−μ_i ^u） （２２）
である。

確率質量拡散によるモデルの適応；行列形式
本発明に係るモデルの更新の工程と、モデルの予測の工程とは、本発明の背景においてＩＭＭに対して説明した形式と同一の形式をとる。

以下において、ＩＭＭのモデル相互作用のステップに対応する本発明に係るモデルの適応のステップを説明する。

基本処理を示す方程式は、先に示した方程式（１４）〜（１８）に対する代替例として任意の所定数のモデルに対する行列形式で与えられてもよい。ここで、添字ｐ＝予測された確率、Ｉ＝相互作用された確率、ａ＝適応された確率、及びｕ＝更新された確率である。行列Ｍ_pは確率予測行列であり、Ｍ_dは確率拡散行列である。

重要な点は、確率質量拡散を行列形式で書くことである。以下に定義されるように、確率拡散行列Ｍ_dを導入する。

μ^α＝Ｍ_dμ^u （２３）
その結果、確率の計算の完全な周期が以下のように書ける。

μ^p＝Ｍ_pμ^α＝Ｍ_pＭ_dμ^u （２４）
ＩＭＭの対応する表現は以下の通りである。

μ^p＝μ^I＝Ｍ_pμ^u （２５）
ＰＭＤモデルの適応は、この表記を使用してＩＭＭ相互作用と同一の形式で書かれてもよいが、ここでは確率拡散行列を使用する。

ｘ_i ^α＝Σ_jｍ_d,ijμ_j ^uｘ_j ^u／μ_i ^α （２６）
Ｐ_i ^α＝Σ_jｍ_d,ijμ_j ^u（Δｘ_ijΔｘ_ij ^T＋Ｐ_j ^u／μ_i ^α （２７）
であり、ここで、Δｘ_ij＝ｘ_j ^u−ｘ_i ^α （２８）
である。

上記方程式はＩＭＭ相互作用に対応する。

ｘ_i ^I＝Σ_jｍ_p,ijμ_j ^uｘ_j ^u／μ_i ^I （２９）
Ｐ_i ^I＝Σ_jｍ_p,ijμ_j ^u（Δｘ_ijΔｘ_ij ^T＋Ｐ_j ^u／μ_i ^I （３０）
であり、ここで、Δｘ_ij＝ｘ_j ^u−ｘ_i ^I （３１）
である。

上記で与えられた１ステップ法に基づく確率拡散行列Ｍ_dの詳細な定義は以下の通りである。

所定のＰＤＦを表すように設計されたモデルのセットは、ある主システムパラメータに沿って並べられる可能性が最も高い。本発明で使用される例において、それは予測モデルの旋回速度ωである。３モデルの場合、（−ω，０，ω）の旋回速度を有する３つのＣモデルは、モデル指数ｉ∈（１, ２, ３）が与えられる。“モデルの距離”ｄ_mは、セット中の任意の２つの（選択された）モデルに対して以下のように定義される。

ｄ_m＝｜ｉ−ｊ｜ （３２）
同様の距離の尺度は、多次元においてもモデルのセットを常に規定できる。

本発明によると、確率質量拡散は１つのステップで実行され、Ｃモデルに対する拡散係数は以下のように定義される。

κ＝（κ_C）^|i-j| （３３）
ここで、ｉ及びｊは先に規定されたモデル番号である。

拡散方程式（１４）〜（１８）は、下記のように一般的な数のＳモデル及びＣモデルに対する行列形式で書かれてもよい。

まず、拡散行列Ｍ_d及び確率ベクトルμは、Ｓモデル及びＣモデルにそれぞれ関連する部分に細分される。即ち、
┌ ┐
｜Ｉ Ｍ_dS｜
Ｍ_d ＝｜ ｜ （３４）
｜０ Ｍ_dC｜
└ ┘
及び
┌ ┐
｜μ_S ｜
μ ＝｜ ｜ （３５）
｜μ_C ｜
└ ┘
である。

単一のＳモデルの場合、Ｍ_dの成分は以下の通りである。

Ｉ＝１ （３６）
また、Ｍ_dSは行行列である。

Ｍ_dS＝｛ｍ_dS,j｝^Nc _j=1 （３７）
ここで、NcはＣモデルの数であり、成分は以下の形式をとる。

ｍ_dS,j＝κ_sｍａｘ（μ_C,j−μ_s，０）／μ_C,j （３８）

単一のＳモデルが選択され、１つのＣモデルにより又は各Ｃモデルにより個別に、あるいは結合Ｃモデル推定により影響を受ける。説明したように、単一のＳモデルは各Ｃモデルにより個別に影響を受ける。

行列Ｍ_dCの成分は、以下の形式をとる。

ｍ_dC,ij＝（κ_c）^|i-j|ｍａｘ（μ_C,j ^u−μ_C,i ^u，０）／μ_C,j ^u （３９）
であり、ここで、ｉ≠ｊであり、ｉ及びｊはＣモデル番号である。部分行列Ｍ_dCの対角成分は以下の通りである。

これら方程式は、上述のような基本拡散処理を示す。しかし、以下の節において小さな変更を示す。

転送される質量の制限
転送される確率質量が受信者の確率より非常に大きい場合、受信者のモデルの状態推定に結果として与える影響は大きく、確率質量は制限内でドナーモデル推定の推定値と等しくなる。拡散処理が１ステップ手順として実行されるなら、これは、そのモデルの順番、即ち、そのモデルの空間関係は変更されてもよいという結果になるかもしれない。ここで、モデルの順番を保存する拡散される確率質量を制限する好適な方法を示す。上記の方程式（３９）は以下のように書かれる。

ｍ_dC,ij＝ｍｉｎ｛（κ_c）^|i-j|ｍａｘ（μ_C,j ^u−μ_C,i ^u，０），μ_C,i ^u｝／μ_C,j ^u （４１）
この方程式を計算する種々のステップが図４１に模式的に示される。

本発明のブロック図
図４０は、図３９に示すＩＭＭ法に密接に対応する２モデルの例に対して本発明を示すブロック図である。

確率質量拡散（Prob.mass diffusion）と、状態及び共分散適応（State & cov.adaptation）の機能ブロック内に示される信号の流れ図は、１つのＣモデル及び１つのＳモデルを含む第１の例に言及している。この場合、モデル１（μ₁）はＣモデルであり、Ｃモデルは最大の確率を有する。信号の流れ図は、２つのＣモデルを含む例に言及してもよい。その場合、モデル１（μ₁）は最大の確率を有する。

図３９及び図４０の第１の測定周期と比較すると、本発明に係る確率質量拡散と、状態及び共分散適応とは確率予測と分離される。

本発明の利点
本発明の主な利点は以下の通りである：
−多くの応用例において、以下の２つの理由のために、この方法により要求される計算量は少ない（ＩＭＭより）。

−−拡散行列が常に０の成分を複数含む。これはＩＭＭにおける対応する動作に当てはまるとは限らない。

−−分離されたモデルの適応及びモデルの予測は、測定の度に予測が複数回行なわれる場合に計算量を節減する。

−小さすぎるトラックゲート（非特許文献３で説明される小さなトラックゲート）の回避。換言すると、空間確率密度関数の更に適切な予測が行なわれる。

−広範囲にわたるシミュレーションにより確定されるように、より正確な結果（ＩＭＭより）が取得される。

計算に関する側面
図３９の第２の測定周期は、時間ｋ＋Ｔ_pにおいて測定が行なわれない状況でのＩＭＭ再帰的ループ処理を示している。これにより、２つのＰＤＦの添字１と２が、例えば、補完／サブセットモデルのシナリオ等のモデリングに対して使用される。

図４０の第２の測定周期は、時間ｋ＋Ｔ_pにおいて測定が行なわれない状況でのＰＭＤ再帰的ループ処理を示している。これにより、２つのＰＤＦの添字１と２が、補完／サブセットモデルのシナリオ等のモデリングに対して使用される。

上記の双方の状況に対して、時間ｋ＋１において測定値がないため、パラメータは更新によって予測された値から変更されない。即ち、
ｘ_i ^u＝ｘ_i ^p
Ｐ_i ^u＝Ｐ_i ^p
μ_i ^u＝μ_i ^p （４２）
である。

従って、測定値が欠如している場合、ＩＭＭ法及びＰＭＤ法により要求される更新処理の計算ステップはより少ない。

しかし、相互作用（ＩＭＭ）／再配置（ＰＭＤ）を実行する場合、図３９と図４０とを比較すると、ＩＭＭ法に従って予測値を生成するためにＩＭＭ法に従って全てのＰＤＦモデルが相互作用し、本発明に係るＰＤＭ処理に従って適応が不要となることが明らかになる。容易に理解されるように、本発明の必要とされる計算量は、測定値が欠如している状況の場合に非常に減少する。

これは、測定値が欠如している状況を検査する場合にその影響は特に明らかになるが、実際に測定が連続して行なわれる場合にＰＭＤ処理により要求される計算量はＩＭＭより少ないということに当てはまる。計算の観点からＩＭＭと比較した本発明の利点は、拡散行列Ｍ_dが完全な行列にはならないことである（非対角成分の半分がゼロ）が、これは、Ｍ_pがＩＭＭモデル相互作用において使用される場合には当てはまらないことが多い。

測定値の更新毎に予測が複数回行なわれる応用例において、本発明によると、１回の再配置のみが必要である。

尚、典型的なレーダの応用例において、小さな信号／干渉の数値等の多くの理由により測定値が提供されない場合がある。

予測が更新毎に数回行なわれる必要がある他の応用例において、本発明の同一の計算上の利点が存在する。計算の簡単化は１つのみが使用される（又は１つも使用されない）いくつかの測定値が存在する応用例にも当てはまる。別のそのような応用例は、適用される測定に最適な時間を設定するために予測が複数回行なわれる場合である。

飛行物体の位置を測定するレーダシステムとその飛行物体の未来の位置及び速度の対応する予測に関連する測定許容差を示す図である。 一般の再帰的モデルに対する計算処理を示す図である。 測定値が楕円形のガウス測定許容差に関連付けられるレーダシステムを示す図である。 公知の代表的なガウス分布を示すグラフである。 マヌーバモデルを示す図である。 非マヌーバモデルを示す図である。 ３つの補完モデルを含むマヌーバモデルを示す図である。 マルチプルモデルを示す図である。 ＧＰＢＥ１モデルに従うモデルのマージを示す図である。 、 、 、 、 モデルの予測、測定、更新、再配置、及び予測に関与する再帰的段階を示す図である。 、 図８の３マヌーバモデルに対するモデルの予測及び更新を示す図である。 、 、 、 図６の補完モデルと図７のサブセットモデルとのモデルの組合せに対するモデルの予測及び更新を示す図である。 、 、 、 測定値がＳモデルの予測内に入るＣとＳの組合せモデルに対する公知のＩＭＭモデルと比較して、本発明に対するモデルの予測、更新及び再配置を示す図である。 、 、 、 測定値がＣモデルの予測内に入るＣとＳの組合せモデルに対する公知のＩＭＭモデルと比較して、本発明に対するモデルの予測、更新及び再配置を示す図である。 、 、 、 測定値が明らかに左旋回予測モデル内に入る３マヌーバモデルに対する公知のＩＭＭモデルと比較して、本発明に対するモデルの予測、更新及び再配置を示す図である。 、 、 、 測定値が予測モデルの直進と左旋回との間に入る３マヌーバモデルに対する公知のＩＭＭモデルと比較して、本発明に対するモデルの予測、更新及び再配置を示す図である。 例えば、２次元で示すレーダシステムに関連する位置及び速度ベクトルを示す図である。 測定が行なわれる最初の測定インスタンスと測定が行なわれない次の測定インスタンスに対する公知のＩＭＭモデルの計算処理を示す図である。 測定が行なわれる最初の測定インスタンスと測定が行なわれない次の測定インスタンスに対する本発明の計算処理を示す図である。 本発明の更なる実施例を示す図である。

Claims (15)

1. 少なくとも１つのパラメータ（Ｐos；Ｖel；ｘ，Ｐ）の一連の測定（ｚ，Ｒ；Ｍ；（ｔ₁, ｔ₂）ｔ１、 ｔ２）を実行し、少なくとも同じ、或いは少なくとも別のパラメータ（Ｐos；Ｖel；ｘ，Ｐ）の予測を再帰的に実行する方法であり、
   前記予測方法が、例えば、可能な各測定インスタンス（ｔ_k，ｔ_k＋Ｔ_p）に対応する複数の予測期間に対して、各々の異なる平均値（ｘ_i ^p , …）、各々の共分散行列（Ｐ_i ^p, …）、及び対応する各々の確率（μ_i ^p, …）を有する少なくとも２つの二者択一的モデル（ＰＤＦ）を含むモデルセット（ＰＤＦ）を規定することに基づき、前記モデル（ＰＤＦ）が例えば２次元平面の種々のマヌーバに対応する可能な結果を近似し、
   −前記モデルセット（ＰＤＦ）が、少なくとも１つの補完（Ｃ）モデルと少なくとも１つのサブ（Ｓ）モデルとを含むものであり、
   前記方法は、
   −少なくとも第１の測定インスタンス（Ｍ（ｔ_k）；（ｋ））に基づいて、少なくとも２つのモデル（Ｃ，Ｓ）に対する結果（ｘ，Ｐ）を予測する工程と、
   −次の測定インスタンス（Ｍ（ｔ_k＋Ｔ_p）（ｋ＋Ｔ_p））の後、対応する時点に対する前記モデル（Ｃ，Ｓ）を更新し、これにより前記第１の測定インスタンスに基づいて行なわれる前記予測が前記次の測定インスタンスを考慮して更新される工程と、
   −前記次の測定インスタンス（ｔ_k＋Ｔ_p）（ｋ＋Ｔ_p）に対する少なくとも１つのモデル（Ｃ，Ｓ）を再配置し、これにより一方の更新モデルが他方の更新モデルに影響を及ぼす工程とを有しており、
   前記再配置する工程に従って、
   前記Ｓモデルが前記Ｃモデルに影響を与えないことを特徴する方法。
2. 少なくとも１つのパラメータ（Ｐos；Ｖel；ｘ，Ｐ）の一連の測定（ｚ，Ｒ；Ｍ；(ｔ₁，ｔ₂）ｔ１、 ｔ２））を実行し、少なくとも同じ、或い、少なくとも別のパラメータ（Ｐos；Ｖel；ｘ，Ｐ）の予測を再帰的に実行する方法であり、
   前記予測方法が、例えば、可能な各測定インスタンス（ｔ_k，ｔ_k＋Ｔ_p）に対応する複数の予測期間に対して、各々の異なる平均値（ｘ_i ^p , …）、各々の共分散行列（Ｐ_i ^p, …）、及び対応する各々の確率（μ_i ^p, …）を有する少なくとも２つの二者択一的モデル（ＰＤＦ）を含むモデルセット（ＰＤＦ）を規定することに基づき、前記モデル（ＰＤＦ）が例えば２次元平面の種々のマヌーバに対応する可能な結果を近似し、
   −前記モデルセットが、排他的な補完（Ｌ，Ｎ，Ｒ）モデルを含むものであり、
   前記方法は、
   −少なくとも第１の測定インスタンス（Ｍ（ｔ_k）；（ｋ））に基づいて、少なくとも２つのモデル（Ｃ，Ｓ）に対する結果（ｘ，Ｐ）を予測する工程と、
   −次の測定インスタンス（Ｍ（ｔ_k＋Ｔ_p）（ｋ＋Ｔ_p））の後、対応する時点に対する前記モデル（Ｃ，Ｓ）を更新し、これにより前記第１の測定インスタンスに基づいて行なわれる前記予測が前記次の測定インスタンスを考慮して更新される工程と、
   −前記次の測定インスタンス（ｔ_k＋Ｔ_p）（ｋ＋Ｔ_p）に対する少なくとも１つのモデル（Ｃ，Ｓ）を再配置し、これにより一方の更新モデルが他方の更新モデルに影響を及ぼし、前記モデルセット（Ｌ，Ｎ，Ｒ）内のモデルの所定の対に対して、より高い確率（μ）を有するモデルがより低い確率を有するモデルに影響を及ぼす工程とを有しており、
   前記再配置する工程に従って、
   前記モデルセット（Ｌ，Ｎ，Ｒ）内のモデルの所定の対に対して、より低い確率（μ）を有するモデルがより高い確率を有するモデルに影響を与えないことを特徴とする方法。
3. 前記モデルの影響は、
   μ_j ^u＞μ_i ^uと仮定し、κが定数であるとした場合、
   μ_i ^α＝μ_i ^u＋Δμ_ij
   μ_j ^α＝μ_j ^u−Δμ_ij （２１）
   ここで、Δμ_ij＝κ（μ_j ^u−μ_i ^u） （２２）
   である方程式に従って、確率（μ_j）を有する第１のモデルｊが第２のモデルｉの確率（μ_i）を変更することを含むことを特徴とする請求項１又は２に記載の方法。
4. 前記モデルの影響は、所定のモデルに対する前記状態推定（Ｘ）及び前記共分散（Ｐ）が少なくとも別のモデルにより影響を受けることを含み、
   それにより確率拡散行列が適用され、
   μ^α＝Ｍ_dμ^u （２６）
   であり、
   Δｘ_ij＝ｘ_j ^u−ｘ_i ^αの場合に、前記状態推定及び共分散は、
   ｘ_i ^α＝Σ_jｍ_d,ijμ_j ^uｘ_j ^u／μ_i ^α （２９）
   Ｐ_i ^α＝Σ_jｍ_d,ijμ_j ^u（Δｘ_ijΔｘ_ij ^T＋Ｐ_j ^u／μ_i ^α （３０）
   に従って影響を受け、
   前記再配置された状態推定は、モデルｉより大きな確率を有する全てのモデルｊから影響を受けることを特徴とする請求項１又は２に記載の方法。
5. 予測は測定値の更新毎に複数回行なわれ、１回の再配置のみが必要とされる請求項１乃至４のいずれか１項に記載の方法。
6. 比例定数κ_C及びκ_Sは、
   κ_C∈（０，０１；０，１） （１９）
   κ_S∈（０，１；０，５） （２０）
   の間隔内にあることを特徴とする請求項３又は４に記載の方法。
7. １次元のモデルセットの場合、前記比例定数は、
   κ＝（κ_C）^|i-j| （３３）
   であり、ここで（ｉ−ｊ）は自然数であり、前記モデルの距離（３２）に対応することを特徴とする請求項３又は４に記載の方法。
8. 前記再配置のステップは、１ステップ手順であることを特徴とする請求項３又は４に記載の方法。
9. 前記測定値が前記サブセットモデル（Ｓ）内に入り、前記サブセットモデルの前記更新された確率が最大になった場合、前記再配置の工程において、前記各モデル（Ｃ，Ｓ）は他方に影響を与えないことを特徴とする請求項１に記載の方法。
10. 前記測定値が前記サブセットモデル（Ｓ）外であり、前記サブセットモデルの前記更新された確率が最小になった場合、前記再配置の工程において、前記補完モデル（Ｃ）のみが前記サブセット（Ｓ）モデルに影響を与えることを特徴とする請求項１に記載の方法。
11. 前記測定値が所定のモデル（Ｌ，Ｎ，Ｒ）内に入り、前記測定値内の前記モデルの前記更新された確率が最大になった場合、前記再配置の工程において、前記測定値が入る前記モデルは残りのモデルに影響を与えることを特徴とする請求項２に記載の方法。
12. より高い確率のモデルはより低い確率のモデルに影響を与えることを特徴とする請求項１１に記載の方法。
13. 前記測定値が２つの所定のモデル（Ｌ，Ｎ，Ｒ）の間に入り、これにより、前記測定値が間に入る前記モデルの前記更新された確率が等しくなった場合、前記再配置の工程において、前記測定値が間に入る前記特定の２つのモデルのみが残りの１つ以上のモデルに影響を及ぼすことを特徴とする請求項２に記載の方法。
14. レーダの応用例（Ｒ）に対して使用され、物体の少なくとも位置（Ｐos）が検知されるか、或いは２次元座標で得られ、前記確率モデルの一部が２次元座標の関連する次の位置（Ｐos）に対応することを特徴とする請求項１乃至１４のいずれか１項に記載の方法。
15. 前記拡散行列の成分は、
    ｍ_dC,ij＝ｍｉｎ｛（κ_C）^|i-j|ｍａｘ（μ_C,j ^u−μ_C,i ^u，０），μ_C,i ^u｝／μ_C,j ^u （４１）
    に従って限定されることを特徴とする請求項４に記載の方法。

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