JP2008508602A - Ｃｍｇアレイにおけるトルクを最適化するための方法及びシステム - Google Patents

Abstract

宇宙船用の運動量制御システム（１００）を開示する。このシステムは姿勢制御システム（１０２）を備える。姿勢制御システムは、所望される宇宙船操作に関するデータを受け取り、その操作を行うためのトルク・コマンドを決定する（３０２）。姿勢制御システムに結合された運動量アクチュエータ制御プロセッサ（１０４）はトルク・コマンドを受け取る。このプロセッサは、トルク・コマンドの生成に必要な値域空間ジンバル・レート（３０４）と、現在のトルクの方向においてトルク提供能力を最大化するのに必要な零空間ジンバル・レート（３１２）とを含むジンバル・レート・コマンドを計算する。少なくとも４個のコントロール・モーメント・ジャイロ（１０６）がプロセッサ（１０４）に結合される。各コントロール・モーメン・ジャイロは、所望される操作がなされるように、ジンバル・レートを受け取り実行する。

Description

本発明は、宇宙船の制御の分野に関し、より詳細には、ＣＭＧアレイにおけるトルクを最適化するための方法及びシステムに関する。

宇宙船の姿勢を制御するため、様々な回転慣性部材が使用される。そのような慣性部材の１つが、コントロール・モーメント・ジャイロスコープ（ＣＭＧ、control moment gyroscope）である。ＣＭＧは典型的に、ジンバル・アセンブリ（gimbal assembly）に取り付けられた、固定又は可変の回転速度を有するフライホイールを備える。ＣＭＧの回転軸は、ジンバル・アセンブリを使用してＣＭＧを動かすことによって、傾けられることができる。この運動は、回転軸及びジンバル軸と直交するジャイロ・トルク（gyroscopic torque）を生み出す。

宇宙船の完全な姿勢制御を達成するために最低限３つのＣＭＧが典型的に使用され、ＣＭＧアレイの各ＣＭＧは線形的に独立した軸についてトルクを与えるように構成される。宇宙船の姿勢制御システムからのトルク用コマンドに応答して、それらのＣＭＧはそれらのジンバル軸について運動する。数学的に表現すると、
Ａω＝τ
のようであり、ヤコビアンＡが、ＣＭＧジンバル・レート（gimbal rate）を３次元アレイのトルクへマップするものである。ここで、Ａは、３×ｎのヤコビアン行列であり、ωは、ｎ個のジンバルについてのジンバル・レートのｎ×１アレイであり、τは、宇宙船へ与えられるトルク成分の３×１アレイである。上記の式と、知られたトルク・コマンドτとを用いて、各ＣＭＧの個々のジンバル・レートが計算される。知られたムーア・ペンローズの擬似逆行列（Moore-Penrose pseudoinverse ）を使用して、ヤコビアン行列を反転すると、１組の可能なジンバル・レートは、
ω＝Ａ^Ｔ（ＡＡ^Ｔ）^−１τ
となる。

所与のＣＭＧアレイについて、アレイ内の個々のＣＭＧの様々なアラインメントが、所与の運動量を生み出す。ＣＭＧアレイのＣＭＧのすべての可能なアラインメントについての運動量の集まりが、運動量エンベロープ（momentum envelope）である。運動量エンベロープの境界は、ＣＭＧの特定のアラインメントに関する達成可能な最大の運動量を表す。一実施形態では、３つのＣＭＧが存在する場合、運動量エンベロープの各点は、一般に、ジンバル角の固有の組合せによって達成される。ＣＭＧの数が完全な姿勢制御のために必要とされるＣＭＧの最低数を超える場合、運動量エンベロープの大多数の点は、ＣＭＧアレイのＣＭＧの１つより多くのアラインメントによって定義される。

反対に、要求されたトルクを生み出すためのコマンドに応答して、ＣＭＧは、幾つかのアラインメントのうちの１つにあるようにすることができ、各アラインメントは、要求されたトルクを生み出すが、それは運動量エンベロープの異なる点にある。従って、３つより多くのＣＭＧを有するＣＭＧアレイの場合、要求されたトルクを発生させるとともに、運動量を生み出す能力を最大化するようなＣＭＧのアラインメントが存在する。

ＣＭＧの使用において、ＣＭＧの運動量ベクトルの構成は、要求されたトルクの１又は複数の成分が提供され得ないような様式となっている可能性が、内在する。数学的に、この状況は、ＡＡ^Ｔの固有値が０に近づいて（ＡＡ^Ｔ）^−１を無限大にさせる場合に、生じる。同様に、行列ＡＡ^Ｔの行列式が０に等しいとき（代数的にｄｅｔ（ＡＡ^Ｔ）＝０と表現される）に、特異性（singularity、特異点）が生じる。３×ｎの行列Ａの場合、これは、行列ＡＡ^Ｔの階数が２以下である、と言うのと等価である。

ＣＭＧの動きにおける特異性を回避するために、様々な手法が考案された。１つの手法では、（ＡＡ^Ｔ）^−１が０にならないことを保証するために、（ＡＡ^Ｔ）^−１が（ＡＡ^Ｔ＋εＩ）^−１と置き換えられ、この式において、Ｉは単位行列（identity matrix）であり、εは小さい数である。正のεを使用することにより、ｄｅｔ（ＡＡ^Ｔ＋εＩ）^−１が０にならないことを保証する。

この手法は、場合によっては有益であるが、難点は、この手法がジンバル・レートの計算を変えることである。類似の問題が、スカラ式［１／（ａ^２＋ε）］でも見られる。ａ→０となると、［１／（ａ^２＋ε）］→［１／ε］となり、振舞いは整然としているが、［１／ａ^２］と等しくはならない。ヤコビアンＡの場合、誤差εが導入されるため、擬似逆行列は、ジンバル・レートを指令されたトルクへと正確にマップしない。この結果的に生じる誤差は、宇宙船を誤った方向に向け、特に特異点の付近で、大きい望ましくないトルクをもたらすことがあり得る。

（ＡＡ^Ｔ＋εＩ）^−１を用いる手法の更なる欠点は、ジンバル・レート能力（従って、ＣＭＧアレイのトルク能力）が望ましくないほど低くなり得る、特異点の非常に近くまでＣＭＧが既に来ているときまで、働きが非常に少ないことである。必要とされるのは、ＣＭＧの動きの間に利用可能なトルクを最大化するための方法及びシステムである。加えて、ＣＭＧが操作されるときに利用可能な最大トルクを運動量制御システムへ提供することが望ましい。この最適化は、運動量制御システムが、運動量を長い期間にわたって提供することや、短い期間により大きい運動量を提供することを、可能にする。本発明は、現在のトルク・コマンドと直交するトルクを適用することについての特異アレイ（singular array）の不能性については考慮していないが、本発明は、現在指令されている方向において能力を最大化し、これには大きな価値がある。即ち、本発明は、現在指令されているトルクの方向に対してのみ、特異性を回避することを考慮している。しかし、本明細書で説明される本発明を多くの他の特異性回避手法の１つと同時に使用することを妨げるものは、何もない。本発明の教示からのコマンドと特異性回避方法からのコマンドは、１つの次元における性能（本発明）と３つの次元における特異性回避との間の最良の折衷案として選択される様式で、様々な重みを割り当てられ、組み合わされることができる。

本発明の一実施形態では、ＣＭＧアレイの現在のトルクの方向において運動量を最大化するための方法が開示される。この方法は、宇宙船の姿勢調整を行うための所望されるトルクを表すトルク・コマンドを受け取るステップを含む。次に、所望されるトルクを生み出すのに必要とされるレンジ−スペース（range-space、値域空間）ジンバル・レートと、現在のトルクの方向においてトルクを提供する能力を最大化するのに必要とされるヌル−スペース（null-space、零空間）ジンバル・レートとが、計算される。合計ジンバル・レートが、値域空間ジンバル・レートと零空間ジンバル・レートとを加算することによって計算される。その後、合計ジンバル・レートを生み出すために、コマンドがＣＭＧへ提供される。

本発明の別の実施形態では、宇宙船用の運動量制御システムが開示される。運動量制御システムは、姿勢制御システムを備える。姿勢制御システムは、所望される宇宙船操作に関するデータを受け取り、その所望される宇宙船操作を完遂するためのトルク・コマンドを決定する。姿勢制御システムに結合された運動量アクチュエータ制御プロセッサが、そのトルク・コマンドを受け取る。運動量アクチュエータ制御プロセッサは、トルク・コマンドを生み出すのに必要とされる値域空間ジンバル・レートと、現在のトルク・コマンドの方向においてトルクを提供する能力を最大化するのに必要とされる零空間ジンバル・レートとを含むジンバル・レート・コマンドを計算する。少なくとも４個のコントロール・モーメント・ジャイロが、運動量制御アクチュエータ制御プロセッサに結合される。コントロール・モーメント・ジャイロの各々は、所望される出力を生み出すために、ジンバル・レートを受け取り実行する。

以降、本発明を添付の図面と関連して説明するが、図面において、同じ番号は同じ要素を表す。

以下の詳細な説明は本質的に例示的なものに過ぎず、本発明や、本発明の応用及び使用を限定することは意図されていない。更に、上記の技術分野、背景技術、課題を解決するための手段、及び以下の詳細な説明において提示される表現や含意される理論によって制限されるという意図も存在しない。

以下の詳細な説明は、例示的なＣＭＧアレイ特異性回避システムにおける使用に関して、本発明の使用を説明する。しかし、本発明の適用は、何れかの具体的な応用や実施形態に限定されるものではなく、多くの異なる努力分野でも有益である。

本発明は、トルクを提供するためにＣＭＧアレイのＣＭＧを動かすときに、零空間ステアリング（null-space steering）を利用する。更に、本発明は、すべての時点においてＣＭＧアレイを最適に調整して、選択された方向においてトルクを生み出すアレイの能力を最適化するジンバル角を達成するようにして、それを行う。先に説明されたように、宇宙船をある方向に向けるのに必要な３つの自由度を提供するために、最低限３個のＣＭＧが必要とされる。しかし、多くの場合、３個より多くのＣＭＧが実装される。追加のＣＭＧは、典型的には機械的な冗長性の目的で提供されるが、時には本発明のような高度なステアリング法（steering law）の実施において使用される。それぞれの追加のＣＭＧは、追加の機械的自由度を提供する。先に説明されたように、３次元ベクトル空間では、ＣＭＧのジンバル・レートは、ヤコビアンＡを使用して、
Ａω＝τ （１）
のように３次元トルク・アレイにマップされることができる。

ＣＭＧが３個のこの例では、Ａは３×３の行列、ωは３×１の行列、τは３×１の行列である。追加のＣＭＧが提供されて、ｎがＣＭＧアレイのＣＭＧの数である場合、Ａは３×ｎの行列、ωはｎ×１の行列、τは３×１の行列である。ｎ＞３として、ｎ個のＣＭＧを含むＣＭＧアレイの場合、Ａの非ゼロ特異値（nonzero singular value）に関連するｎ次元ベクトル空間のサブスペース（部分空間）は、値域空間（range space、レンジ・スペース）として知られている。ｒａｎｋ（Ａ）＝３の場合、Ａの値域空間は、３次元の物理トルクが存在する３次元物理空間である。

ｎ次元ベクトル空間の残りは、零空間（null space）として知られている。零空間は、値域空間の外部にあり、値域空間と直交する。値域空間と零空間の両方は、一緒になって、ｎ次元ベクトル空間の完全な広がりをなす。Ａの零空間内に全てが存在するωの値は、物理トルクを生み出さない。３×ｎの行列Ａは、３次元の値域空間と、少なくともｎ−３の次元の零空間とを提供する。

宇宙船の姿勢を変更するとき、値域空間におけるＣＭＧの動きだけが、宇宙船の姿勢に影響を与える。反対に、零空間におけるＣＭＧジンバルの運動は、物理トルクを生み出さず、従って、ＣＭＧによって提供されるトルクに誤差を生み出さない。行列Ｂを、行列Ａの零空間に広がる（span）ものとして、定義されることができる。Ｂを計算する１つの様式は、
Ｂ＝Ｉ−Ａ^Ｔ（ＡＡ^Ｔ）^−１Ａ （２）
であり、上記の式においてＩは単位行列である。

零空間におけるＣＭＧの動きは、ＣＭＧアレイによって提供されるトルクに影響を与えないが、零空間におけるＣＭＧの動きは、それぞれのＣＭＧジンバル角が、トルクを生み出すのに必要とされるｎ×１のアレイである合計ジンバル・レートωにどのように寄与するかについて下記の関係
ω＝ω_ｒ＋ω_ｎ （３）
のように影響を与えるが、この式において、ω_ｒは、値域空間内に存在する合計ジンバル・レート・ベクトルの部分であり、ω_ｎは、零空間内の部分である。

本発明を実施するための例示的な制御システム１００が図１に示されている。制御システム１００の構成要素は、当技術分野において知られており、異なるプロセッサ、ソフトウェア、コントローラ及びセンサなどを使用する様々な様式で組み立てられることができる。制御システム１００は、運動量アクチュエータ制御プロセッサ１０４に結合される姿勢制御システム１０２を含む。ＣＭＧ１０６は、運動量アクチュエータ制御プロセッサ１０４に結合される。各ＣＭＧ１０６には、ＣＭＧ１０６の状態に関する情報を制御システム１００へ提供するための１又は複数のＣＭＧセンサ１０８が関連している。制御システム１００は、一実施形態では、軌道周回衛星などのような宇宙船に搭載される。

姿勢制御システム１０２は、宇宙船の位置取りを制御する。姿勢制御システム１０２は、所望される宇宙船操作に関するデータを受け取り、その所望される操作を完遂するための適切なトルク・コマンドを決定する。トルク・コマンドは、運動量アクチュエータ制御プロセッサ１０４へ提供される。運動量アクチュエータ制御プロセッサ１０４は、トルク・コマンドに応答して、指令されたトルクを生み出すのに必要なジンバル・レートを計算する。更に、運動量アクチュエータ制御プロセッサ１０４は、一定の方向においてトルクを提供するようにアレイを最適に調整するために、値域空間と零空間との両方におけるＣＭＧの動きを計算する。

運動量アクチュエータ制御プロセッサ１０４は、上記で特定された計算に基づいて、ＣＭＧの動きが指令されたトルクを生み出すように、必要なコマンドをＣＭＧ１０６に提供し、そして、本発明の教示に従って、トルクを提供しつつ、一定の方向におけるトルクのためにアレイを最適に調整する。一実施形態では、少なくとも４個のＣＭＧが存在し、それにより、値域空間における運動（所望されるトルク）を提供するための３つの数学的自由度と、零空間運動がトルク・オプション構成へステアリングすることを可能にする少なくとも１つの追加の自由度とが存在する。個々のＣＭＧが、専一的に値域空間運動又は零空間運動に充てられる必要は必ずしもなく、むしろ、協調して働くすべてのＣＭＧが、値域空間での効果及び零空間での効果の両方を生み出す。

零空間におけるＣＭＧの動きは、出力トルクがどのように達成されるか、ということを変えることができるので、零空間における動きは、一定の方向におけるトルクのためにアレイを最適に調整するために使用できる。例えば、本発明の一実施形態では、ＣＭＧアレイの各ＣＭＧは、現在のトルクの方向においてトルクを提供する能力が最大化されるように、動かされる。この方向選択の理由は、大部分の宇宙船操作が、３次元運動量空間における線（１次元の線）に近い、加速、惰行及び減速を伴って行われる、ということにある。従って、そのような線に沿ってトルクを提供するアレイの能力を最大化することは、ほぼ全体的な意味において、アレイの能力を最大化する。現在のトルクの方向においてトルクを提供する能力を最大化するために、それぞれの個別のＣＭＧは、そのＣＭＧの運動量ベクトルが現在のトルク・コマンドの方向に対してできるだけ直交になるように、動かされる。やはり、この運動は零空間において生じるので、印加するようにアレイが指令されたトルクに干渉しない。ＣＭＧアレイにおいてトルクを最適化するための方法が図２及び図３を参照して示される。

図２は、例示的なＣＭＧの運動量面（momentum plane）を示している。このＣＭＧについての運動量は、運動量面に限定される。ジンバル軸ｇ_ｉとコマンド・トルクτが図２に示されている。指令されたトルクは、合計の要求されたトルクであり、これは、各ＣＭＧからのトルクのベクトル和によって提供される。ジンバル軸は各ＣＭＧについて固定されるが、ＣＭＧ間では様々であることができ、典型的には様々である。ジンバル角が０の場合の第ｉのＣＭＧの運動量ベクトルは、

である。ジンバル角δだけ回転されたこの運動量ベクトルは、

であり、ここで、

は、軸についての角δの回転についての方向余弦行列（direction-cosine matrix）である。

は、現在のトルクの方向において最大トルク出力を第ｉのＣＭＧに与える、所望される運動量ベクトルである。

は、コマンド・トルクに対してできるかぎり直交となるように計算される。これが生じる場合、

は、いつものように、ジンバル軸ｇ_ｉと直交し、

とｇ_ｉのクロス積は、τ方向に沿って最大の可能な投影を有する。従って、トルク能力は、指令されたトルクの方向に沿って最大化される。

各ＣＭＧについて

を、指令されたトルクと直交させるジンバル角を決定し、決定されたジンバル角を達成するために零空間ジンバル・レートを決定するための方法が、図３のフローチャートに示されている。第１のステップであるステップ３０２において、所望される姿勢調整を実行するコマンド・トルクが決定される。

次にステップ３０４において、要求されたコマンド・トルクτに必要な値域空間ジンバル・レートが、下記の関係
ω_ｒ＝Ａ^Ｔ（ＡＡ^Ｔ）^−１τ （４）
に基づいて決定される。

この計算は、ヤコビアンＡが、
Ａ＝［ν_１，ν_２，・・・，ν_ｎ］ （５）
によって表され得ることに着目することによって、行うことができる。

加えて、対称のＡＡ^Ｔ行列は、下記のように記述することができる。

上記マトリクスにおいて、下記の関係が成り立つ。

値域空間ジンバル・レートが決定されると、零空間ジンバル・レートが決定される。ステップ３０６において、所望される運動量ベクトル

が、以下のように決定される。

上記の式で、τはコマンド・トルクであり、ｇ_ｉは第ｉのＣＭＧのジンバル軸である。運動量ベクトル

は、コマンド・トルクτとジンバル軸ｇ_ｉのクロス積からもたらされるので、所望される運動量ベクトル

は、コマンド・トルクτ及びジンバル軸ｇ_ｉと直交することに、留意されたい。

コマンド・トルクτ及びジンバル軸ｇ_ｉと直交する運動量ベクトル

が決定されると、ステップ３０８において、その運動量ベクトルのジンバル角が計算される。

上記の式において、φ_ｉは、運動量ベクトルを、現在の位置から、コマンド・トルクと直交する所望される位置まで回転させるのに必要とされる、ジンバル角の変化である。ｓｇｎ関数は、引数の符号（正又は負）を戻す。符号は、所望される向きを達成するために運動量ベクトルが時計回りに回転せねばならないか又は反時計回りに回転せねばならないかを、決定する。

その後、ステップ３１０において、ジンバル・レート

を決定するために、ジンバル角φ_ｉが使用される。

上記の式において、Ｋは、制御システム設計の分野の当業者に知られた幾つかの基準に基づいて選択されたゲインである。例えば、一実施形態では、Ｋは、ＣＭＧ力学、既存のレート制御ループ、及びその他のファクタの存在下で、安定した閉ループ・システムを生み出す。大まかに言えば、サンプリング遅延及びシステム力学などの他の影響が無視できれば、位置誤差をレート操作（rate actuation）へフィードバックすることは、無条件に安定したシステムをもたらすはずである。

その後、ステップ３１２において、零空間ジンバル・レートを決定するために、ジンバル・レート

が零空間へ投影される。

上記の式において、Ｂ（Ｂ^ＴＢ）^−１Ｂ^Ｔが、ジンバル・レートを零空間に投影する。

その後、ステップ３１４において、全体的なジンバル・レートが計算される。
ω＝ω_ｒ＋ω_ｎ （１２）
従って、ωは、必要とされるトルクを提供するため、及びトルク能力を最大化するための両方に必要とされるジンバル・レートである。

本発明は、現在のトルク・コマンドと直交するトルクをかけることについての特異アレイの不能性について考慮していないが、本発明は、現在指令されている方向においてトルクを生み出す能力を最大化し、これには大きな価値がある。即ち、本発明は、現在指令されているトルクの方向に対してのみ、特異性回避を考慮する。しかし、本発明の教示を、多くの特異性回避の手法と併せて利用することを妨げるものは何もない。例えば、一実施形態では、本発明の教示からのコマンドと、特異性回避方法からのコマンドとは、１つの次元における性能（本発明）と３つの次元における特異性回避との間の最良の折衷案として選択される様式で、様々な重みを割り当てられ、組み合わされることができる。例えば、本発明の教示は、図４に関して説明される零空間ステアリングを使用して（ＡＡ^Ｔ）の行列式を最大化する特異性回避方法と併せて使用されることができ、また、本発明の教示は、図５に関して説明される零空間ステアリングを使用して（ＡＡ^Ｔ）の固有値を最大化する特異性回避方法と併せて使用されることもできる。これらは、もちろん、本発明の教示と併せて使用されることができる特異性回避方法の２つの例に過ぎない。

図４は、零空間ステアリングを使用して（ＡＡ^Ｔ）の行列式を最大化するための方法を示すフローチャートである。第１のステップであるステップ４０２において、一実施形態では、姿勢制御システム１０２によって、宇宙船を動かすのに必要とされるトルクが決定される。次にステップ４０４において、行列式を決定するために、ＡＡ^Ｔ行列の要素が計算される。その結果は、完全に解析的な勾配ステアリング方法（gradient-steering method）であり、ジンバル運動についてのその明示的な解は、数値的サーチ・アルゴリズムを必要としなくさせる。例えば、カラム（列）が
Ａ＝［ν_１，ν_２，…，ν_ｎ］ （１３）
によって表されるヤコビアンＡが与えられた場合（ｎ−ＣＭＧシステムの場合）、対称行列ＡＡ^Ｔの行列式は、下記の式に見出される６つの項に依存する。

これらの６つの値は、下記の式を使用して、Ａの知られた要素から計算されることができる。

これらの事前に計算された値に関して、（ＡＡ^Ｔ）の行列式は、
ｄｅｔ（ＡＡ^Ｔ）＝Δ＝Ｓ_ｘｘＳ_ｙｙＳ_ｚｚ＋２Ｓ_ｘｙＳ_ｘｚＳ_ｙｚ−Ｓ_ｘｘＳ_ｙｚ−Ｓ_ｙｙＳ_ｘｚ−Ｓ_ｚｚＳ_ｘｙ （１６）
と表現できる。

次のステップであるステップ４０６において、出力トルク方向δの変化に関する行列式の変化Δは、以下のように計算できる。

∂Δ／∂δを計算するために、連鎖法則を使用できる。連鎖法則から、下記のようになる。

その条件で、ヤコビアンＡの要素は下記のように表すことができる。

上記の式において、ｇ_ｉは、第ｉのＣＭＧのジンバル軸レートであり、ｈ_ｉは、第ｉのＣＭＧの角運動量である。従って、第ｉのジンバル角に関するν_ｉの微分は、以下のように計算できる。

行列指数

は、微分における便法として使用される。実際には、この方向余弦行列は、ジンバル軸並びにジンバル角の正弦及び余弦の簡単な関数である。行列指数

は、軸ｇ_ｉについての角δの回転を表す。

ν_ｉに関する行列式の微分は、そのｘ、ｙ、ｚ成分について下記のように表すことができる。

式２１は、式１５を使用して事前に計算できる。その後、出力トルク方向に関する行列式の変化［∂Δ／∂δ］が、式１８に示されたような連鎖法則を使用して、式２０及び式２１から決定される。その結果は、出力トルク方向の増分変化に関する行列式の増分変化についての解析的表現である。

次にステップ４０８において、値域空間ジンバル・レートが、
ω_ｒ＝Ａ^Ｔ（ＡＡ^Ｔ）^−１τ （２２）
を使用して計算される。

その後、ステップ４１０において、零空間ジンバル・レートが、下記の式から計算される。

Ｋは、ジンバル・レートが決して最大値を超えず、ＣＭＧアレイの能力のすべての点について、行列式ｄｅｔ（ＡＡ^Ｔ）が特異性に引き寄せられるより速く特異性から遠ざけられることを保証するために選択された、一定又はそうでない、行列又はスカラ・ゲインである。

Ｂ（Ｂ^ＴＢ）^−１Ｂ^Ｔは、行列式の勾配に従うジンバル運動を正確に零空間に投影するものであり、そのため、出力トルクに影響を与えない。この実施形態では、Ａは階数３を有し、零空間ステアリングはＡＡ^Ｔの可逆性を保証するので、Ａの擬似逆行列について及びＡの零空間（即ち、Ｂ）についての閉形式の解（closed-form solutions）が可能であり、
Ｂ＝Ｉ−Ａ^Ｔ（ＡＡ^Ｔ）^−１Ａ （２４）
であり、この式において、Ｉは３×３の単位行列である。

［∂Δ／∂δは、出力トルク方向に関する行列式の偏微分である。このベクトルの成分は、先にステップ４０６において計算された。表現［∂Δ／∂δ］^Ｔは、∂Δ／∂δの擬似逆行列として使用される。従来の擬似逆行列は、大きさの２乗分の１のファクタを含む。この場合、大きさは、ジンバル角の組において決して０にならないので、この項は除外できる。その結果は、整然と振舞う安定した零空間コマンドとなる。

次にステップ４１２において、合計のｎ×１ジンバル・レート・コマンドωが、値域空間ジンバル・レートと零空間ジンバル・レートとの和として決定される。
ω＝ω_ｒ＋ω_ｎ （２５）
これは、ＣＭＧアレイの各ＣＭＧについての指令されたジンバル・レートである。

第２の実施形態では、零空間ステアリングが、（ＡＡ^Ｔ）の固有値の加重された和を最大化する。ｎ×ｎの行列Ｄの場合、スカラλは、Ｄｘ＝λｘとなるような非ゼロ・ベクトルｘが存在する場合、Ｄの固有値である。固有値は、最初にＤｘ＝λｘを［Ｄ−λ_０Ｉ］ｘ＝０と書き換えることによって、見出されることができる。この式は、ｄｅｔ（Ｄ−λ_０Ｉ）＝０である場合且つその場合に限って、非自明の解を有する。また、

であることも知られている。即ち、固有値の積は、行列の行列式に等しい。従って、間接的に、この実施形態も、行列式を最適化するように試みる様式で、ＣＭＧを操向する。この実施形態の違いは、固有値の各々が個別に扱われることができること、幾つかの応用例においてより多くの多用性を提供し得る手法であることである。

先に説明されたように、ｄｅｔ（ＡＡ^Ｔ）＝０であるとき、ＣＭＧアレイは特異的である。行列の固有値の積は行列の行列式に等しいので、固有値の加重れさた和を最大化することによって、特異性は回避できる。図５は、零空間運動によって（ＡＡ^Ｔ）の固有値を最大化する本発明の一実施形態を説明するフローチャートである。

第１のステップにおいて、必要とされるトルクが決定される（ステップ５０２）。このトルクは、宇宙船の姿勢を変更するのに要求されるトルクである。次にステップ５０４において、行列ＡＡ^Ｔの要素が計算される。行列ＡＡ^Ｔの要素は、第１の実施形態と同様に計算される。

次にステップ５０６において、ＡＡ^Ｔの固有値が計算される。先に説明されたように、ＡＡ^Ｔの固有値は、λについてｄｅｔ（ＡＡ^Ｔ−λＩ）＝０を解くことから見出される。ＡＡ^Ｔは階数３をもつので、３つの固有値λ_１、λ_２、及びλ_３が存在し、ｄｅｔ（ＡＡ^Ｔ−λＩ）＝０の解法は３次多項式であり、閉形式（closed-form）の解析的な解が見出される。更に、これらの固有値はすべて、実数且つ非ゼロであり、更に計算を簡素化する。

ステップ５０８において、固有値の加重された和は、費用関数（cost function）Ｊ、
Ｊ＝αλ_１＋βλ_２＋γλ_３ （２６）
として形成されることができ、最大化される。

式２６において、係数α、β、及びγは、重み係数であり、必要に応じて、特定の固有値を強調するために変化させることができる。代替例として、係数は、等しい重みを与えられることもできる。

ステップ５１０において、ジンバル角に関する費用関数の微分が、連鎖法則を使用して計算される。

上記の式では、前述の場合のように、下記のようである。

更に、この実施形態の場合、下記のようである。

［∂ν_ｉ／∂δ_ｉ］および［∂Ｊ／∂ν_ｉ］の双方とも、先に決定された固有値から解析的に計算できる。［∂Ｊ／∂ν_ｉ］が計算された後、ステップ５１２において、値域空間ジンバル・レートが、先の場合と同様に計算される。
ω_ｒ＝Ａ^Ｔ（ＡＡ^Ｔ）^−１τ （３０）

その後、ステップ５１４において、零空間ジンバル・レートが計算される。

上記の式において、Ｋは、先に説明されたようにゲイン（利得）である。［Ｂ（Ｂ^ＴＢ）^−１Ｂ^Ｔ］は、費用関数の勾配を零空間に投影し、［∂Ｊ／∂δ］は、ジンバル角に関する費用関数の偏微分である。ステップ５１６において、合計ジンバル・レートが、値域空間ジンバル・レートω_ｒと零空間ジンバル・レートω_ｎとの和として計算される。
ω＝ω_ｒ＋ω_ｎ （３２）

この和は、誤差のない所望されるトルクを生み出すとともに、ＣＭＧの特異性に遭遇することなくそのトルクが生み出されることを保証する、ジンバル・レートを与える。これは、特異性の回避のために必要とされる、ＣＭＧアレイの各ＣＭＧについての指令されるジンバル・レートである。現在のトルクの方向において運動量を最大化するジンバル・レート・コマンドは、（ＡＡ^Ｔ）の固有値を最大化するのに必要なジンバル・レートと組み合わされることができ、それにより、３つの次元において特異性に遭遇する可能性を最小化しつつ、現在のトルクの方向において運動量を最大化する最適の組合せのジンバル・レートを提供することができる。

上記の詳細な説明において、少なくとも１つの例示的な実施形態が提示されたが、多数の変形形態が存在することを理解されたい。１又は複数の例示的な実施形態は単なる例に過ぎず、本発明の範囲や、適用可能性や、構成を限定することは意図されていないことも理解されたい。上記の詳細な説明は、１又は複数の例示的な実施形態を実施するための便利なロード・マップを当業者に提供するものである。特許請求の範囲において説明される本発明の範囲及びその法的均等物から逸脱することなく、要素の機能及び構成に様々な変更が施され得ることを理解されたい。

図１は、例示的なＣＭＧ制御システムを示すブロック図である。 図２は、ＣＭＧの運動量面の図である。 図３は、トルク最大化ＣＭＧステアリング法を説明するフローチャートである。 図４は、行列式最大化ＣＭＧステアリング法を説明するフローチャートである。 図５は、固有値ベースのステアリング法を説明するフローチャートである。

Claims (10)

1. 宇宙船のＣＭＧアレイ（１０６）においてトルクを最適化するための方法であって、
   前記宇宙船のための姿勢調整を引き起こすための所望されるトルクを表すトルク・コマンドを受け取るステップ（３０２）と、
   前記所望されるトルクを生み出すのに必要とされる値域空間ジンバル・レートを計算するステップ（３０４）と、
   選択された方向においてトルクを提供する能力を最大化するのに必要とされる零空間ジンバル・レートを計算するステップ（３１２）と、
   前記値域空間ジンバル・レートと前記零空間ジンバル・レートとを加算することによって合計ジンバル・レートを計算するステップ（３１４）と、
   前記合計ジンバル・レートを生成するために前記ＣＭＧへコマンドを提供するステップと、
   を備える方法。
2. 請求項１に記載の方法であって、零空間ジンバル・レートを計算する前記ステップが、アレイ・ヤコビアンの零空間への、前記トルクの現在の方向と直交する運動量ベクトルを生成するジンバル・レートの投影に基づいて、零空間ジンバル・レートを計算するステップ（３１０）を更に備える、方法。
3. 請求項１に記載の方法であって、
   ３つの次元において特異性を回避するジンバル・レートを計算するステップ（４１２）と、
   現在のトルクの方向において運動量を最大化するのに必要とされる前記ジンバル・レートと、３つの次元において特異性を回避する前記ジンバル・レートとの最適な組合せを決定するステップと、
   を更に備える方法。
4. 請求項３に記載の方法であって、３つの次元において特異性を回避するジンバル・レートを計算する前記ステップが、ヤコビアン行列と前記ヤコビアン行列の転置行列との積の行列式の投影に基づいて、零空間ジンバル・レートを計算するステップ（４１０）を更に備える、方法。
5. 請求項３に記載の方法であって、３つの次元において特異性を回避するジンバル・レートを計算する前記ステップが、ヤコビアン行列と前記ヤコビアン行列の転置行列との積の固有値の投影に基づいて、零空間ジンバル・レートを計算するステップ（５１４）を更に備える、方法。
6. 宇宙船用の運動量制御システム（１００）であって、
   所望される宇宙船操作に関するデータを受け取り、前記所望される宇宙船操作を完遂するためのトルク・コマンドを決定するように動作する姿勢制御システム（１０２）と、
   前記姿勢制御システム（１０２）と結合され、前記トルク・コマンドを受け取り、前記トルク・コマンドを生み出すのに必要とされる値域空間ジンバル・レート（３０４）と、選択された方向においてトルクを提供する能力を最大化するのに必要とされる零空間ジンバル・レート（３１２）とを含むジンバル・レート・コマンドを計算するように動作する運動量アクチュエータ制御プロセッサ（１０４）と、
   ＣＭＧアレイであって、少なくとも４つのコントロール・モーメント・ジャイロ（１０６）を含み、それぞれのコントロール・モーメント・ジャイロ（１０６）が、前記ジンバル・レート・コマンドを受け取り、前記所望される操作を生じさせるために前記ジンバル・レート・コマンドを実行するように動作する、ＣＭＧアレイと、
   を備える運動量制御システム。
7. 請求項６に記載の運動量制御システム（１００）であって、前記零空間ジンバル・レートが、アレイヤコビアンの零空間への、前記トルクの現在の方向と直交する運動量ベクトルを生成するジンバル・レートの投影に基づいて、計算される（３１０）、運動量制御システム。
8. 請求項６に記載の運動量制御システムであって、前記運動量アクチュエータ制御プロセッサが、
   ３つの次元において特異性を回避するジンバル・レートを計算し（４１２）、
   現在のトルクの方向において運動量を最大化するのに必要とされる前記ジンバル・レート・コマンドと、３つの次元において特異性を回避する前記ジンバル・レートとの最適な組合せを決定する
   ように更に動作する、運動量制御システム。
9. 請求項８に記載の運動量制御システムであって、３つの次元において特異性を回避する前記ジンバル・レートが、ヤコビアン行列と前記ヤコビアン行列の転置行列との積の行列式の投影に基づいて、零空間ジンバル・レートを計算する（４１０）ことによって決定される、運動量制御システム。
10. 請求項８に記載の運動量制御システムであって、３つの次元において特異性を回避する前記ジンバル・レートが、ヤコビアン行列と前記ヤコビアン行列の転置行列との積の固有値の投影に基づいて、零空間ジンバル・レートを計算する（５１４）ことによって決定される、運動量制御システム。

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