JP2008039971A - レンズ系設計法 - Google Patents

Abstract

【課題】光軸に対して回転対称なレンズ系において正確な収差係数を用いて高次収差を計算するレンズ系設計方法を提供する。
【解決手段】光軸に対して回転対称なレンズ系における入射瞳面上の座標値と物体面上の座標値による３個の回転不変量をＵ，Ｖ，Ｗとし、この回転不変量のそれぞれの冪乗数をｉ，ｊ，ｋとし、光学系の物体面上の位置または像面上の位置の光軸からの距離をｙ_sとし、光学系の入射瞳面上の位置または射出瞳面上の位置の光軸からの距離をｙ_tとし、光学系の物体面上の位置または像面上の位置の光軸からの距離ｙ_sと３個の回転不変量Ｕ，Ｖ，Ｗに対する収差係数をＡ_ijkとし、光学系の入射瞳面上の位置または射出瞳面上の位置の光軸からの距離ｙ_tと３個の回転不変量Ｕ，Ｖ，Ｗに対する収差係数をＢ_ijkとしたとき、光学系の収差ｙを次式
【数１９６】

により表して高次収差計算をするレンズ系設計方法。
【選択図】図１

Description

本発明は、カメラ、顕微鏡、双眼鏡、複写機、投影機など、あらゆる光学分野に使用されるレンズ系（光学系）の設計方法に関する。

従来レンズ系は、光軸上に屈折光学素子または、反射光学素子または、それらを複数枚組み合わせたもので構成され、それらの光学系を構成するパラメータ(曲率半径、間隔、屈折率など)を最適に設計することで収差を補正し、所望の性能を得ていた。最適なパラメータ値を求めるために、現設計時点での収差値と、その設計値のパラメータをわずかに変化した場合の収差の変化率を求め、それらの値から、最小二乗法または減衰最小二乗法（DLS法）によりさらに良い設計解を得ていた。しかし、パラメータ値に対して収差値がきわめて非線形なために、最小二乗法または減衰最小二乗法による最適値を一回で求められることは稀で、何回も繰り返して計算することにより、所望の性能を得ていた。

しかし、DLS法などにより一旦設計解に収束すると、他にさらに良い解があってもそこに移動することは極めて困難で、何らかの手動的な操作によりパラメータを大幅に移動させなければ、別の設計解に収束することはできない。パラメータをどのように動かすかは、従来からレンズ設計者の勘と経験に頼らなければならなかった。そこで、最近になって、このような局所的な設計解で停止せずに、その極小値を乗り越えてもっと別の設計解を探索するというような、「グローバル最適化」を行うようなレンズ設計アルゴリズムが提案されるようになってきた。S. C. Johnstonによる方法は、その「グローバル最適化」の一つの方法であって、パラメータの変動に対して比較的変動がゆるやかな、高次の収差から最適化して、最後に最低次の収差まで最適化することにより、実収差による極小値を乗り越えて、よりグローバルに最適化する方法である（例えば、非特許文献１参照）。

S. C. Johnston［SPIE International Lens DesignConference Vol.554 p48-p51 (1985)］

このような高次収差から最適化を行うためには、当然高次収差係数を計算することが必要である。従来、高次収差係数の計算方法に関しては多くの論文があるが、どの論文でも高次収差の計算方法はかなり複雑であり、5次収差までは一般的に計算できるが、7次収差以上になると、球面収差以外はあまり知られていないのが実情である。

そこで、本発明では、従来計算が複雑で困難であった高次収差を、汎用的に計算する方法を提供することを課題としている。また、高次収差により最適化するために、高次収差のパラメータによる微係数を計算する必要があるが、その微係数を差分により近似して計算すると、次数が高くなるほどかなり計算時間がかかるようになる。そこで、本発明では、微係数をもっと短時間で計算する方法をも提供することを課題としている。

また、レンズ系の波動光学的評価のために、Zernike係数を求める場合があるが、そのためには、波面収差係数(ニーボアの係数)から求める必要があるが、高次の波面収差係数は、通常瞳面を分割して後、多数の光線追跡をして、それらの波面収差から数値解析（最小二乗法）により求められている。しかし、高次の収差まで求めるためには、かなり多数本の光線追跡をしないと、正確には求められないのが現状である。ところが、収差論的な計算方法であると、数値解析と違って、追跡する光線本数に依存せずに正確に計算できることが期待される。

前記課題を解決するために、第１の本発明に係るレンズ系設計方法は、光軸に対して回転対称なレンズ系における高次収差係数の３個の添え字を、それぞれの回転不変量の冪乗数で表して高次収差を計算する。

また、第２の本発明に係るレンズ系設計方法は、光軸に対して回転対称な光学系における入射瞳面上の座標値と物体面上の座標値による３個の回転不変量をＵ，Ｖ，Ｗとし、この回転不変量のそれぞれの冪乗数をｉ，ｊ，ｋとし、光学系の物体面上の位置または像面上の位置の光軸からの距離をｙ_sとし、光学系の入射瞳面上の位置または射出瞳面上の位置の光軸からの距離をｙ_tとし、光学系の物体面上の位置または像面上の位置の光軸からの距離ｙ_sと３個の回転不変量Ｕ，Ｖ，Ｗに対する収差係数をＡ_ijkとし、光学系の入射瞳面上の位置または射出瞳面上の位置の光軸からの距離ｙ_tと３個の回転不変量Ｕ，Ｖ，Ｗに対する収差係数をＢ_ijkとしたとき、この光学系の収差ｙを次式

により表して高次収差を計算する。

また、第３の本発明に係るレンズ系設計方法は、光軸に対して回転対称なレンズ系における物体面座標値と入射光線方向の正接による３個の回転不変量をＵ，Ｖ，Ｗとし、この回転不変量のそれぞれの冪級数をｉ，ｊ，ｋとし、光学系の物体面上の位置または像面上の位置の光軸からの距離をｙ_sとし、光学系の入射光線方向または屈折光線方向の正接をｔ_yとし、光学系の物体面上の位置または像面上の位置の光軸からの距離ｙ_sと３個の回転不変量Ｕ，Ｖ，Ｗに対する収差係数をＡ_ijkとし、光学系の入射光線方向または屈折光線方向の正接ｔ_yと３個の回転不変量Ｕ，Ｖ，Ｗに対する収差係数をＢ_ijkとしたとき、この光学系の収差ｙを次式

により表して高次収差計算をする。

このとき、高次収差による非点収差の計算方法は、レンズ系の像面での位置および射出瞳面上の位置または光線方向の正接を、入射瞳面上の座標値または物体面上の座標値で微分した量から求めることが好ましい。

また、高次収差のレンズ形状を示すパラメータによる微分を計算するときには、パラメータによる微分計算した面以後の収差係数に、像面位置と射出瞳面位置の移動による微分の項を付加させないで、レンズ系全体の収差係数についてのパラメータによる微分を計算して後、パラメータによる近軸最終像面位置の移動による項を追加することが好ましい。

本発明により、高次収差の汎用的な計算が可能になり、計算時間と計算機のメモリーの制約がなければ、何次の次数までの収差でも計算可能となった。また、高次収差による非点収差の計算が可能となった。

さらに、高次収差をパラメータで微分することにより、微分を差分近似する場合よりも高速で高次収差を最適化することが可能となった。

従来、レンズの収差係数は、M.Herzberger[J. Opt. Soc. Amer.,29(1939),395]の論文にあるように、回転対称な光学系では、物体面上の点、または像面上の点の座標値を（ｓ，ｙ_ｓ，ｚ_ｓ）、入射瞳面上の点、または射出瞳面上の点の座標値を（ｔ，ｙ_ｔ，ｚ_ｔ）とすると、回転不変量

により、収差を

等のように展開して、３次収差係数はＡ_1i、５次収差係数はＡ_1ik、というように、収差係数の次数により係数の添え字の個数が異なっている。しかし、収差係数の次数により係数の添え字が異なっていると、収差係数の次数毎に異なった配列を用意する必要があり、異なった次数の収差係数をプログラムで汎用的に一括して処理するためには、非常に不便である。そこで、回転不変量を、

として、収差を

というように、収差係数の３個の添え字を，それぞれの回転不変量の冪乗数で表し、どの次数の収差係数も，添え字を３個に統一するようにする。すると、３次収差係数はＡ₁₀₀, Ａ₀₁₀, Ａ₀₀₁, Ｂ₁₀₀, Ｂ₀₁₀, Ｂ₀₀₁、つまり、Ａ_ijk，Ｂ_ijkにおいてｉ＋ｊ＋ｋ＝１、５次収差係数はＡ₂₀₀, Ａ₁₁₀, Ａ₁₀₁, Ａ₀₂₀, Ａ₀₁₁, Ａ₀₀₂, Ｂ₂₀₀, Ｂ₁₁₀, Ｂ₁₀₁, Ｂ₀₂₀, Ｂ₀₁₁, Ｂ₀₀₂、つまりｉ＋ｊ＋ｋ＝２、というように、添え字の合計数により収差係数の次数が異なるが、プログラミングするときに収差係数の次数毎に異なった配列を用意する必要がなく、異なった次数であっても収差係数の汎用的な処理が可能となる。汎用的な計算方法が確立すれば、計算時間と計算機のメモリーの制約がなければ、何次の次数までの収差でも計算可能となる。そして、低次の収差から順に計算する場合は、

とすれば良い。この場合収差の最大次数は、２N+1であり、N=1と指定すれば３次収差が、N=2と指定すれば５次収差までが、N=3と指定すれば７次収差までが計算できる。

ところで、従来レンズの収差係数は、Seidel収差係数やHerzbergerによる係数のように、物体面座標値と入射瞳面座標値の関数の係数として与えられてきた。そこで、第一の展開方法として高次収差についても、物体面座標値と入射瞳面座標値の関数の係数として計算する方法を示す。ところが、カメラレンズや望遠鏡のレンズのように、物体がほぼ無限遠にある場合、物体面座標値と入射瞳面座標値の関数の係数として表すのは困難である。そこで、第二の展開方法として、松居吉哉の「レンズ設計法」(共立出版)のP79からにあるように、物体面座標値と入射光線方向の正接の関数の係数として計算する方法を示す。

先ず、第一の展開方法で、単一のレンズ面による収差係数の計算方法について、説明する。第一段階として、レンズ面上での光線到達位置を、物体面座標値と入射瞳座標値の冪級数展開で計算する方法を示す。図２の、第一の展開方法による高次収差計算過程の概略図では、Ｖ1の矢印で表してある。図1にあるように、物体位置をｓ、入射瞳位置をｔ、物体面上の点Ｓの座標値を（ｓ，ｙ_ｓ，ｚ_ｓ），入射瞳面上の点Ｔの座標値を（ｔ，ｙ_ｔ，ｚ_ｔ）とし、光軸をx軸とする。点Ｓと点Ｔを通過した光線がレンズ面上の点Ｒに到達するとし、点Ｒの座標値を（ｘ，ｙ，ｚ）とし、レンズ面と光軸との交点を原点（0，0，0）とする。そして、レンズ面上での位置関係が

であるとする。ここで、係数C_mはレンズの形状によってのみ決まる係数である。物体面上の点Ｓを出た光線が、レンズに到達するまでの光線の式は、図１において、横軸が光軸でそれをx軸、縦軸をｙ軸とすると、図１より明らかなように、

となり、図１の縦軸をy軸の代わりにz軸とすると、

となる。ただし、

である。従って、

となる。そこで、回転不変量を、

として、

と置く。ただし、summationの記号の定義として、

は、(２N+1)次から(２M+1）次までの収差の和を表すものとする。

とすると、式(1-1-8)〜(1-1-12)より、

となり、係数を比較すると、

となる。ｌ＋ｍ＋ｎ＝Ｎのとき、Ｆ_lmnはＵ，Ｖ，ＷのN次の係数であるが、式(1-1-16)を見ると、Ａ_ijk，Ｂ_ijkはＵ，Ｖ，Ｗの(N-1)次までの係数の積和で表されることがわかる。つまり、Ｕ，Ｖ，Ｗの(N-1)次までの係数Ａ_ijk，Ｂ_ijkを計算して後、Ｕ，Ｖ，ＷのN次の係数Ｆ_lmnを計算するというように、漸化的に計算すれば良い。なお、冪級数で表される関数どおしの積の冪級数の係数を,係数比較により計算する方法は、Duncan T. Mooreがgradient index光線方程式を冪級数展開により求めた方法を参考にした[J. Opt. Soc. Amer. 65，451(1975)を参照]。また、

とすると、漸化式

が成り立つ。

とすると、

となる。式(1-1-6)に式(1-1-11)、(1-1-19)を代入すると、

となる。式(1-2-21)の係数を比較すると、

となる。これで、第一段階のレンズ面上での光線到達位置の冪級数展開の係数を求めたことになる。

なお、式(1-1-7)に式(1-1-12),(1-1-20)を代入すると、式(1-1-21)においてｙ_ｓ，ｙ_ｔの代わりにｚ_ｓ，ｚ_ｔを置き換えた式になる。一般的に回転対称なレンズ系では、ｙ方向の座標値や方向余弦をｚ方向の座標値や方向余弦に置き換えても成り立つので、以後の標記においては、ｙ方向で成り立つ式のみ標記し、z方向で成り立つ式を省略するときもある。

次に、第二段階として、屈折後の像面座標値を物体面座標値と入射瞳座標値の冪級数展開で計算する方法を示す。図２の、第一の展開方法による高次収差計算過程の概略図では、Ｖ２の矢印で表してある。図１にあるように、第一段階で求めた点Ｒ（ｘ、ｙ、ｚ）から屈折して、像面上の点Ｓ′と射出瞳面上の点Ｔ′を通過し、点Ｓ′の座標値を（ｓ′，ｙ′_ｓ，ｚ′_ｓ），点Ｔ’の座標値を（ｔ′，ｙ′_ｔ，ｚ′_ｔ）とする。そして、屈折式により、点Ｓ′の冪級数展開の係数を求める。ボルン・ウオルフ著：「光学の原理I」（邦訳：東海大学出版会）のP192によると、屈折前の媒質の屈折率をn₀,屈折後の媒質の屈折率をn₁,屈折前の光線の方向余弦を（Ｃ_x，Ｃ_y，Ｃ_z）、屈折後の光線の方向余弦を（Ｃ_x′，Ｃ_y′，Ｃ_z′）とすると、屈折の法則は、ベクトルＮ（ｎ₀Ｃ_x−ｎ₁Ｃ_x′，ｎ₀Ｃ_y−ｎ₁Ｃ_y′，ｎ₀Ｃ_z−ｎ₁Ｃ_z′）が、点（ｘ，ｙ，ｚ）における曲面と直交することと同じなので、式(1-1-1)を

の形に書き直すと、

が成立する。ゆえに、

となる。従って、

と置くと、図１において、横軸をx軸、縦軸をｙ軸とすると、図１より明らかなように、入射光線と屈折光線のx方向の方向余弦はそれぞれ、

となり、入射光線と屈折光線のｙ方向の方向余弦はそれぞれ、

となり、図１の縦軸をy軸の代わりにz軸とすると、入射光線と屈折光線のｙ方向の方向余弦はそれぞれ、

となる。式(1-2-5)に、式(1-2-9)〜(1-2-12)を代入することにより、

となり、式(1-2-6)に、式(1-2-9),(1-2-10),(1-2-13),(1-2-14)を代入することにより、

となる。このレンズの曲率半径をｒとすると、２Ｃ₁＝１／ｒであり、式(1-2-15)より、

となる。そこで、像面上での係数を求めるために、

と置く。また、

と置いて、式(1-2-7)、(1-2-8)の平方根の冪級数展開を求めるが、平方根をテーラー展開して求めるよりも、

の両辺を2乗して係数を比較する方が、はるかに速く計算できる。その方法を以下に説明すると、先ず、式(1-2-22)において、式(1-1-8)〜(1-1-10)より、

となる。従って、

と置くと、

となる。また、

と置いて、係数を比較して、

となる。Ｏ_ijkは、０次の場合はゼロなので、式(1-2-28)で、Ｏ_2lmnのN次の係数は、Ｏ_ijkの（N-1）次までの係数の積で与えられる。式(1-2-22)の両辺を２乗して、式(1-2-25)、(1-2-27)を代入すると、

となり、係数を比較して、

となる。

また、式(1-2-23)において、式(1-1-8)〜(1-1-12)、式(1-2-18)、式(1-2-19)より、

となり、

と置くと、係数を比較して、

となる。ｌ＋ｍ＋ｎ＝Ｎのとき、Ｐ_lmnはＵ，Ｖ，ＷのN次の係数であるが、式(1-2-33)を見ると、Ａ_ijk，Ａ_ijk′，Ｂ_ijk，Ｂ_ijk′のＵ，Ｖ，Ｗの(N-1)次までの係数の積和で表されることがわかるので、Ｕ，Ｖ，Ｗの(N-1)次までの係数Ａ_ijk，Ａ_ijk′，Ｂ_ijk，Ｂ_ijk′を計算して後、Ｕ，Ｖ，ＷのN次の係数Ｐ_lmnを計算するというように、漸化的に計算すれば良い。式(1-2-23)の両辺を２乗して、式(1-1-19),(1-2-33)を代入することにより、

となる。また、

と置いて、係数を比較して、

となる。Ｓ_ijk，Ｘ_ijkも、0次の場合はゼロなので、式(1-2-37)，(1-2-38)で、Ｓ_2lmn，Ｘ_2lmnのN次の係数は、Ｓ_ijk，Ｘ_ijの（N-1）次までの係数の積で与えられる。式(1-2-35),(1-2-36)を式(1-2-34)に代入して、係数を比較して、

となる。

式(1-1-19)，(1-2-20)，(1-2-21)より、

となる。これを

と置く。また、

と置く。これらを式(1-2-15)に代入して、項別に展開すると、

となる。係数を比較すると、最も低次の項は、

となる。

それより高次の項は、

と置いて、ｉ＋ｊ＋ｋ＝０の場合以外の合計を、

のように表すと、

となる。これらの像面上での点Ｓ′の冪級数展開係数が、単一のレンズ面による像面での収差係数になる。

次に、第三段階として、レンズ面上の点（ｘ、ｙ、ｚ）と、像面上の点Ｓ′の冪級数展開係数から、射出瞳面上の点Ｔ′の冪級数展開係数を求める。図２の、第一の展開方法による高次収差計算過程の概略図では、Ｖ３の矢印で表してある。像面上での点Ｓ′の冪級数展開係数だけでなく、射出瞳面上の点Ｔ′の冪級数展開係数を求めるのは、複数の面にまたがって収差係数を求めるために必要だからである。射出瞳座標値を（ｔ′，ｙ_t′，ｚ_t′）とすると、その座標値は図１より明らかなように、レンズ面の位置（ｘ，ｙ，ｚ）および物体面座標値（ｓ′，ｙ_s′，ｚ_s′）より、

と表すことができる。従って式(1-3-1)より、

となる。

と置き、これと、式(1-1-11)と式(1-2-18)とを式(1-3-3)に代入すると、

となる。従って、係数を比較して、

となる。

次に、第二の展開方法として、物体面座標値と入射光線方向の正接により展開する方法で、単一のレンズ面による収差係数の計算方法について、説明する。この方法を用いると、物体がほぼ無限遠にある場合でも計算が容易である。

第一段階として、レンズ面上での光線到達位置を物体面座標値と入射光線方向の正接の冪級数展開で計算する方法を示す。図３の、第二の展開方法による高次収差計算過程の概略図では、Ｖ1の矢印で表してある。図１において、物体位置をｘ＝ｓ、物体面上の点Ｓの座標値を（ｓ，ｙ_s，ｚ_s），物体側の光線の方向余弦を（ｃ_x，ｃ_y，ｃ_z）とし、光軸をx軸とする。点Ｓと点Ｔを通過した光線がレンズ面上の点Ｒに到達するとし、点Ｒの座標値を（ｘ，ｙ，ｚ）とし、レンズ面と光軸との交点を原点（0，0，0）とする。そして、レンズ面上での位置関係が式(1-1-1)と同様であるとする。入射光線のy, z方向の正接をｔ_ｙ，ｔ_ｚとすると、ｔ_ｙ＝ｃ_ｙ/ｃ_x，ｔ_ｚ＝ｃ_ｚ/ｃ_xであり、物体面上の点Ｓを出た光線が、レンズに到達するまでの光線の式は、

となる。そこで、回転不変量を、

として、

と置く。ただし、

であるとする。ｙ^２＋ｚ^２を式(1-1-14)と同様な式で式(2-1-3)〜(2-1-5)のような回転不変量で展開すると、式(1-1-16)と同様な式で係数が求められる。このとき、ｘを式(1-1-19)と同様な式で展開すると、式(1-1-20)と同様な式になる。式(2-1-1)に(2-1-6)、式(1-1-19)を代入すると、

となり、係数を比較すると、

となる。

次に、第二段階として、第二の展開方法で、屈折光線方向の正接を物体面座標値と入射光線方向の正接の冪級数展開で計算する方法を示す。図３の、第二の展開方法による高次収差計算過程の概略図では、Ｖ２の矢印で表してある。第一段階で求めた点（ｘ、ｙ、ｚ）から、ｙ方向にｔ_ｙ、z方向にｔ_ｚの正接で屈折して、像面上の点Ｓ′を通過し、点Ｓ′の座標値を（ｓ′，ｙ′_ｓ，ｚ′_ｓ），とする。そして、屈折式により、点Ｓ′の冪級数展開の係数を求める。第一の展開方法と同様に、BornとWolfの「光学の原理I」のP192によると、屈折前の媒質の屈折率をn,屈折後の媒質の屈折率をn′,屈折前の光線の方向余弦を（ｃ_x，ｃ_y，ｃ_z）、屈折後の光線の方向余弦を（ｃ′_x，ｃ′_y，ｃ′_z）とすると、屈折の式(1-2-5)、(1-2-6)において、

であるので、

と置いて、式(1-2-5)に代入すると、第一の展開方法の場合と同様に、

となり、

となる。そこで、屈折後の光線における正接の係数を求めるために、

と置く。また、

と置いて、式(2-2-4)、(2-2-5)の平方根の冪級数展開を求めるが、この場合も平方根をテーラー展開して求めるよりも、

の両辺を2乗して係数を比較する方が、はるかに速く計算できる。その方法を以下に説明すると、先ず、式(2-2-12)の両辺を2乗して、式(2-1-5)を代入すると、

となる。式(2-2-14)より明らかなように、Ｔ_00k（ｋ≠0）以外はゼロであることが分かる。従って、

と置いて、係数を比較して、

として、式(2-2-16)を式(2-2-14)に代入して係数を比較して、

となる。

また、式(2-2-13)において、式(2-2-8),(2-2-9)より、

となり、

と置くと、係数を比較して、

となる。ｌ＋ｍ＋ｎ＝Ｎのとき、Ｐ_lmnはＵ，Ｖ，ＷのN次の係数であるが、式(2-2-20)を見ると、Ａ_Tijk，Ｂ_TijkのＵ，Ｖ，Ｗの(N-1)次までの係数の積和で表されることがわかるので、Ｕ，Ｖ，Ｗの(N-1)次までの係数Ａ_Tijk，Ｂ_Tijkを計算して後、Ｕ，Ｖ，ＷのN次の係数Ｐ_lmnを計算するというように、漸化的に計算することができる。式(2-2-13)の両辺を2乗して、式(2-2-20)を代入することにより、

となる。また、

と置いて、係数を比較して、

となる。Ｔ′_ijkも、0次の場合はゼロなので、式(2-2-23)で、Ｔ′_2lmnのN次の係数は、Ｔ′_ijkの（N-1）次までの係数の積で与えられる。式(2-2-22)を式(2-2-21)に代入して、係数を比較して、

となる。

そして、式(2-2-10),(2-2-11)より、

となる。これを

と置く。またＧ_ijkを式(1-2-38)と同様な式で定義する。これらを式(2-2-7)に代入して、項別に展開すると、

となる。係数を比較すると、最も低次の項は、

となる。

それより高次の項は、

と置いて、ｉ＋ｊ＋ｋ＝０の場合以外の合計を、

のように表すと、

となる。

次に、第三段階として、レンズ面上の位置（ｘ、ｙ、ｚ）と、屈折光線方向の正接の冪級数展開係数から、像面上の点Ｓ′の冪級数展開係数を求める。図３の、第二の展開方法による高次収差計算過程の概略図では、Ｖ３の矢印で表してある。像面座標値を（ｓ′，ｙ′_s，ｚ′_s）とすると、レンズ面上の位置（ｘ，ｙ，ｚ）および入射光線のｙ，ｚ方向の正接ｔ_ｙ，ｔ_ｚより、

となり、

と置き、これと、式(1-1-19),(2-1-6),(2-2-8)を式(2-3-1)に代入すると、

となる。従って、係数を比較して、

となる。

以上で、各面での高次収差を計算する方法を示したが、次に複数のレンズ面にまたがる収差係数を、第一の展開方法で計算する方法を示す。すなわち図４において、第一のレンズ面に対する物体面上の点Ｓ₀の座標値を（ｓ₀，ｙ_ｓ0，ｚ_ｓ0）、入射瞳面上の点Ｔ₀の座標値を（ｔ₀，ｙ_ｔ0，ｚ_ｔ0）、第一のレンズ面と光軸すなわちx軸との交点を原点（0，0，0）とし、像面上の点Ｓ₁の座標値を（ｓ₁，ｙ_ｓ1，ｚ_ｓ1）、射出瞳面上の点Ｔ₁の座標値を（ｔ₁，ｙ_ｔ1，ｚ_ｔ1）とする。次に、第二のレンズ面に対する物体面上の点はＳ_１すなわち（ｓ₁，ｙ_ｓ1，ｚ_ｓ1）であり、入射瞳面上の点はＴ_１すなわち（ｔ₁，ｙ_ｔ1，ｚ_ｔ1）である。そして、第二のレンズ面に対する像面上の点Ｓ₂の座標値を（ｓ₂，ｙ_ｓ2，ｚ_ｓ2）、射出瞳面上の点Ｔ₁の座標値を（ｔ₂，ｙ_ｔ2，ｚ_ｔ2）とする。さらに、前記のような方法で、各面の座標値が収差係数により、

と計算できたとする。ただし、上式で、回転不変量を、

と定義する。ｙ_ｓ2，ｙ_ｔ2をｙ_ｓ0，ｙ_ｔ0の冪級数で展開するために、

と置いた式と、式(3-3)，(3-4)に、式(3-1)，(3-2)，(3-5) 〜(3-10)を代入した式とを係数比較することにより、式(3-11)，(3-12)の収差係数が求められる。レンズ系全体の収差係数を求めるためには、上記の操作を逐次行えば良い。なお、第二の展開方法で計算する場合は、ｙ_ｔ0，ｚ_ｔ0，ｙ_ｔ１，ｚ_ｔ１，ｙ_ｔ２，ｚ_ｔ２の代わりに、それぞれ第一のレンズ面に入射する光線方向の正接t_ｙ0，t_ｚ0，第二のレンズ面に入射する光線方向の正接t_ｙ1，t_ｚ1，第二のレンズ面から射出する光線方向の正接t_ｙ2，t_ｚ2に置き換えれば良い。

しかし、この方法では、Ｕ₁，Ｖ₁，Ｗ₁の冪乗にＵ₀，Ｖ₀，Ｗ₀の冪乗を代入するために、収差係数が高次になるほど、著しく計算時間が長くなる。各面での収差係数を見る必要が無く、ただ単に最終像面での高次収差を見るためには、以下の計算方法の方が速く計算できる。

複数のレンズ面にまたがる収差係数を求める別の方法について、第一の展開方法で、第一段階として、第二面以後のレンズ面上の到達位置を求める方法を示す。すなわち、第二面以後の物体面位置をＳ（ｓ，ｙ_s，ｚ_s）、入射瞳座標値をＴ（ｔ，ｙ_t，ｚ_t）、レンズ面の位置をＲ（ｘ，ｙ，ｚ）とし、物体面位置と入射瞳位置が第一面の物体面位置（ｓ₀，ｙ_s0，ｚ_s0）と入射瞳座標位置（ｔ₀，ｙ_t0，ｚ_t0）により、

ただし、

と表されるとする。また、レンズ面上での位置関係が式(1-1-1)を満足するとする。物体面上の点Ｓを出た光線が、レンズに到達するまでの光線の式は、式(1-1-6)，(1-1-7)と同様の式で表されるので、

となり、

と置き、ｘを式(1-1-19)と同様な展開係数で展開して代入すると、

となり、係数を比較すると、

となる。

次に、第二段階として、複数のレンズ面にまたがる収差係数を求める場合の、屈折後の像面での座標値を、第一面の物体面位置と入射瞳座標位置の冪級数展開で計算する方法を示す。第一段階で求めた点（ｘ、ｙ、ｚ）から屈折して、像面上の点Ｓ′と射出瞳面上の点Ｔ′を通過し、点Ｓ′の座標値を（ｓ′，ｙ′_ｓ，ｚ′_ｓ），点Ｔ′の座標値を（ｔ′，ｙ′_ｔ，ｚ′_ｔ）とする。そして、屈折式により、点Ｓ′の冪級数展開の係数を求めると、単一のレンズ面での収差係数を求めたのと同じ式(1-2-17)のようになる。そこで、像面上での係数を求めるために、

と置く。そして、単一のレンズ面による収差係数を求めた場合と同じように、

と置く。式(3-2-4)の展開係数は式(1-2-39)と同様な式になるが、式(3-2-3)の展開係数は式(1-2-30)とは異なり、式(1-2-22)に、式(3-1-1),(3-1-2)を代入して2乗し、その左辺は、

となる。

と置くと、係数を比較して、

となる。また左辺は、式(3-2-3)を2乗して、

となり、また、

と置いて、係数を比較して、

となる。式(3-2-5)〜(3-2-10)より、

となる。

式(1-2-17)において、式(1-2-41)，(1-2-42)のように置き、また、式(3-2-1)〜(3-2-4)より、

となる。これらを式(1-2-17)に代入して、項別に展開すると、

となる。係数を比較すると、最も低次の項は、

となる。それより高次の項は、式(1-2-46)のように置いて、式(1-2-47)のように表すと、

となる。これらの像面上での点Ｓ′の冪級数展開係数が、複数のレンズ面にまたがる場合の、像面での収差係数になる。

次に、第三段階として、レンズ面上の位置（ｘ、ｙ、ｚ）と、像面上の点Ｓ′の冪級数展開係数から、射出瞳面上の点Ｔ′の冪級数展開係数を求める。像面上での点Ｓ′の冪級数展開係数だけでなく、射出瞳面上の点Ｔ′の冪級数展開係数を求めるのは、さらに次の面にまたがって収差係数を求めるために必要である。これは、式(1-3-4)のように置くと、単一のレンズ面の場合と同様に、式(1-3-6)〜(1-3-9)と同様な式になる。

次に、複数のレンズ面にまたがる収差係数を、第二の展開方法、すなわち第一レンズ面の物体面座標値と入射光線方向の正接により展開する方法で計算する方法について、説明する。この方法だと、物体がほぼ無限遠にある場合でも計算が容易である。

第二の展開方法で、第一段階として、レンズ面上での光線到達位置を計算する方法を示す。すなわち、第二面以後の物体面位置をＳ（ｓ，ｙ_s，ｚ_s）、入射光線の正接をｔ_y，ｔ_z、レンズ面の位置をＲ（ｘ，ｙ，ｚ）とし、物体面位置と入射光線の正接が、第一面の物体面位置（ｓ₀，ｙ_s0，ｚ_s0）と，第一面の入射光線の正接ｔ_y0，ｔ_z0により、

ただし、

と表されるとする。

ｙ^２＋ｚ^２を式(1-1-14)と同様な式で式(2-1-3)〜(2-1-5)のような回転不変量で展開すると、式(1-1-16)と同様な式で係数が求められる。このとき、ｘを式(1-1-19)と同様な式で展開すると、式(1-1-20)と同様な式になる。さらに、レンズ面上での光線到達位置を求めるために、

とする。式(2-1-1)に式(4-1-1)，(4-1-2)，(4-1-5)を代入すると、

となり、係数を比較すると、

となる。

次に、第二段階として、第二の展開方法で、屈折後の光線方向の正接を第一レンズ面の物体面座標値と入射光線方向の正接の冪級数展開で計算する方法を示す。第一段階で求めた点（ｘ，ｙ，ｚ）から、ｙ方向にｔ′_ｙ、z方向にｔ′_ｚの正接で屈折して、像面上の点Ｓ′を通過し、点Ｓ′の座標値を（ｓ′，ｙ′_ｓ，ｚ′_ｓ），とする。そして、Ｌ，Ｌ′を式(2-2-4)，(2-2-5)のように置くと、式(2-2-6)，(2-2-7)のような式になる。そこで、屈折後の光線における正接の係数を求めるために、

と置く。また、式(2-2-10)，(2-2-11)のように置いて、式(2-2-4)，(2-2-5)の平方根の冪級数展開を求めるが、この場合も平方根をテーラー展開して求めるよりも、式(2-2-12)，(2-2-13)の両辺を2乗して係数を比較する方が、はるかに速く計算できる。その方法を以下に説明すると、先ず、式(2-2-12)，(2-2-13)において、

と置くと、式(2-2-18)，(2-2-19)から式(2-2-20)が導かれたように、式(4-2-3)，(4-2-4)に式(4-1-1)，(4-1-2)，(4-2-1)，(4-2-2)を代入して、係数を比較して、

となる。ｌ＋ｍ＋ｎ＝Ｎのとき、Ｐ_lmn，Ｐ′_lmnはＵ，Ｖ，ＷのN次の係数であるが、式(4-2-5)，(4-2-6)を見ると、Ａ_Tijk，Ｂ_Tijk，Ａ′_Tijk，Ｂ′_TijkのＵ，Ｖ，Ｗの(N-1)次までの係数の積和で表されることがわかるので、Ｕ，Ｖ，Ｗの(N-1)次までの係数Ａ_Tijk，Ｂ_Tijk，Ａ′_Tijk，Ｂ′_Tijkを計算して後、Ｕ，Ｖ，ＷのN次の係数Ｐ_lmn，Ｐ′_lmnを計算するというように、漸化的に計算すれば良い。式(2-2-12)，(2-2-13)の両辺を2乗して、式(4-2-5)，(4-2-6)を代入することにより、

となる。また、式(2-2-22)のように置いて，係数を比較して式(2-2-23)のようになり、

と置いて、係数を比較して、

となる。Ｔ_ijk，Ｔ′_ijkも、0次の場合はゼロなので、式(2-2-23)で、Ｔ_2lmn，Ｔ′_2lmnのN次の係数は、Ｔ_ijk，Ｔ′_ijkの（N-1）次までの係数の積で与えられる。式(2-2-22)，(4-2-9)を式(4-2-7)，(4-2-8)に代入して、係数を比較して、

となる。

そして、式(2-2-10)，(2-2-11)より、式(2-2-25)のようになり、これを式(2-2-26)のように置く。またＧ_ijkを式(1-2-38)と同様な式で定義する。これらを式(2-2-7)に代入して、項別に展開すると、

となる。係数を比較すると、最も低次の項は、

となる。

それより高次の項は、式(2-2-30)のように置いて、ｉ＋ｊ＋ｋ＝０の場合以外の合計を、式(2-2-31)のように表すと、

となる。これらは屈折光線方向の正接の冪級数展開係数である。

次に、第三段階として、レンズ面上の点Ｒ（ｘ，ｙ，ｚ）と、屈折光線方向の正接の冪級数展開係数から、像面上の点S’の冪級数展開係数を求める。物体面座標値を（ｓ′，ｙ′_s，ｚ′_s）とし、式(2-3-3)のように置くと、式(2-3-5)〜(2-3-8)と同様な式になる。

次に、高次収差による非点収差を計算する方法を示す。図５において、入射光線の方向余弦Ｙ₀をΔＹ₀だけ変動させたとき、Gauss像面ＧＢ₀での光線ＡＢが光線Ａ′Ｂ′となる場合、ＡＢとＡ′Ｂ′の交点をＣとする。Ｃから光軸(ｘ軸)に平行に引いた直線とGauss像面との交点をＢ₀とする。Gauss面上での到達位置がＧＢ＝ｙ_ｓFからＧＢ′＝ｙ_ｓF＋Δｙ_ｓFと変化し，∠Ｂ₀ＣＢ＝θから∠Ｂ₀ＣＢ′＝θ＋Δθと変化した場合、Gauss像面からレンズ方向へのメリジオナル像面位置をｍとすると、図５により明らかなように、

となり、Gauss像面からレンズ方向へのメリジオナル像面位置ｍは、

となる。

また図６のように、像面付近で子午面(ｘｙ面)内で光軸からθ傾いている光線ＡＢがあり、光線ＡＢとGauss像面との交点をＢとするとき、光軸に平行でＡと交差する軸をｘ′軸として、ｘ′軸とGauss像面との交点をＢ₀とし、∠Ｂ₀ＡＢ＝θとする。入射光線の方向余弦を子午面からΔＺ₀だけ変動させたときのGauss像面での光線ＡＢ′の到達位置の変化をＢＢ′＝Δｚ_ｓF、角度の変化を∠ＢＡＢ′＝Δφとし、Ｓ像位置をＡＢ₀＝ｓとし、ＡＢ＝ｓ′とすると、図６より明らかなように、

ただし、

となる。式(5-3)，(5-4)より、

となる。そして、ＡＢ′をｘ′ｚ面に射影して、Ｂ′のｘ′ｚ面上の射影点をＢ₀′とし、∠Ｂ₀ＡＢ₀′＝Δφ′とすると、

となり、式（5−6）を式（5−5）に代入して、

となる。

第一の展開方法として,高次収差が、レンズ系全体の物体面座標値（ｓ₀，ｙ_ｓ0，ｚ_ｓ0）と入射瞳面座標値（ｔ₀，ｙ_ｔ0，ｚ_ｔ0）の関数の係数として表される場合、入射光線の方向余弦Ｙ₀を微小変動させることは、入射瞳座標値ｙ_ｔ0を微小変動させることと同じなので、

と表すことができる。レンズ系全体の像面座標値を（ｓ_F，ｙ_ｓF，ｚ_ｓF）、射出瞳面座標値を（ｔ_F，ｙ_ｔF，ｚ_ｔF）とすると、

となり、

となる。式(5-1-1)〜(5-1-4)を、式(5-2)に代入することにより、

となり、高次収差の第一の展開方法による子午面内での非点収差が計算できる。

次に、高次収差の第一の展開方法によるサジタル面内での非点収差を求めると、式(5-5)において、入射光線の方向余弦を子午面からΔＺ₀だけ変動させることは、入射瞳座標値ｚ_ｔ0を微小変動させることと同じなので、

と表すことができ、

であるので、

となる。式(5-7)に式(5-1-6)〜(5-1-9)を代入することにより、

となり、高次収差の第一の展開方法によるサジタル面内での非点収差が計算できる。

レンズ系全体の像面座標値（ｓ_F，ｙ_ｓF，ｚ_ｓF）と、射出瞳面座標値（ｔ_F，ｙ_ｔF，ｚ_ｔF）が、レンズ系全体の物体面座標値（ｓ₀，ｙ_ｓ0，ｚ_ｓ0）と入射瞳面座標値（ｔ₀，ｙ_ｔ0，ｚ_ｔ0）により、

と表されるとする。ただし、回転不変量Ｕ₀，Ｖ₀，Ｗ₀が、式(3-5)〜(3-7)で表されるとする。このとき、式(5-1-5)，(5-1-10)における微分は、

となるが、回転対称な光学系では、非点収差を求める光線追跡は子午面内での光線追跡のみで充分であるので、式(5-1-15)〜(5-1-18)において、ｚ_ｓ0＝ｚ_ｔ0＝0として良く、従って回転不変量は、

となり、ゆえに式(5-1-15)〜(5-1-18)は、

となる。

と置いて、式(5-1-22)と式(5-1-26)、式(5-1-24)と式(5-1-27)をそれぞれ係数比較して係数を求めると、

となる。ただし、式(5-1-28)におけるＡ′_Ｓ、または式(5-1-29)におけるＡ′_Ｔの添え字が ｌ−１＝−１ である場合の係数、または ｍ−１＝−１ である場合の係数は、値がゼロであることに注意する必要がある。式(5-1-26)，(5-1-27)を式(5-1-5)に代入し、式(5-1-23)，(5-1-25)を式(5-1-10)に代入し、

と置くと、

となり、係数を比較することにより、

となる。これらにより、非点収差の第一の展開方法による冪級数展開が可能になる。

次に、第二の展開方法として,高次収差が、レンズ系全体の物体面座標値（ｓ₀，ｙ_ｓ0，ｚ_ｓ0）と入射光線方向の正接ｔ_ｙ0，ｔ_ｚ0の関数の係数として表される場合で、物体面が無限遠にある場合、レンズ系全体の像面座標値を（ｓ_F，ｙ_ｓF，ｚ_ｓF）、射出光線方向の正接をｔ_ｙF，ｔ_ｚFとすると、入射光線の方向余弦Ｙ₀を微小変動させる代わりに、物体面座標値ｙ_ｓ0を微小変動させて、

となる。式(5-2-1)，(5-2-2)を式(5-2)に代入することにより、

となり、高次収差の第二の展開方法による子午面内での非点収差が計算できる。また、式(5-7)において、入射光線の方向余弦を子午面からΔＺ₀だけ変動させる代わりに、物体面座標値z_ｓ0を微小変動させて、

と表すことができるので、式(5-2-4)，(5-2-5)を式(5−7)に代入して、

となり、高次収差の第二の展開方法によるサジタル面内での非点収差が計算できる。

レンズ系全体の像面座標値（ｓ_F，ｙ_ｓF，ｚ_ｓF）と、射出光線方向の正接をｔ_ｙF，ｔ_ｚFが、レンズ系全体の物体面座標値（ｓ₀，ｙ_ｓ0，ｚ_ｓ0）と入射光線方向の正接ｔ_ｙ0，ｔ_ｚ0により、

と表す。ただし、回転不変量を、

と置く。このとき、式(5-2-3)，(5-2-6)における微分は、

となるが、回転対称な光学系では、非点収差を求める光線追跡は子午面内での光線追跡のみで充分であるので、式(5-2-14)〜(5-2-17)において、ｚ_ｓ0＝t_ｚ0＝0 として良く、従って回転不変量は、

となり、ゆえに式(5-2-14)〜(5-2-17)は、

となる。

と置いて、式(5-2-21)と式(5-2-25)、式(5-2-23)と式(5-2-26)をそれぞれ係数比較して係数を求めると、

となる。ただし、式(5-2-27)におけるＢ′_Ｓ、または式(5-72)におけるＢ′_Ｔの添え字が ｌ−１＝−１ である場合の係数、または ｍ−１＝−１ である場合の係数は、値がゼロであることに注意する必要がある。

式(5-2-25)，(5-2-26)を式(5-2-3)に代入し、式(5-2-22)，(5-2-24)を式(5-2-6)に代入し、式(5-1-30)，(5-1-31)のように置くと、

となり、係数を比較することにより、

となる。これらにより、非点収差の第二の展開方法による冪級数展開が可能になる。

以上説明したように、高次収差による非点収差の計算方法を、レンズ系の像面での位置および射出瞳面上の位置または光線方向の正接を、入射瞳座標値または物体面座標値で微分した量から求めることにより、非点収差を高精度で求めることができる。

次に、高次収差のパラメータによる微係数を計算する方法を示す。多数のパラメータで実際の収差を自動修正で最適化する場合、収差のパラメータによる微分を差分近似するよりも、収差を数式解析的にパラメータ微分する方が、計算速度が速くなる場合が多いが [J. Opt. Soc. Am. 58, 1494 (1968) 参照]、高次収差においても、差分近似よりも数式解析的にパラメータ微分した方が、計算速度が速くなる場合が多い。

高次収差のパラメータによる微係数の計算では、先ず各面での収差係数のパラメータによる微分を計算するが、各面での収差係数を計算する方法が確立していれば、そ
のパラメータによる微分は極めて簡単である。例えば、その面の曲率半径の逆数がρであるとすると、式(1-1-20)のρによる微分は

である。

このように、各面での収差係数のパラメータによる微分は簡単に求められるが、レンズ系全体での収差係数のパラメータによる微分を計算するのには注意が必要である。すなわち、レンズのある途中の面で曲率半径などのパラメータを微小変化させると、その面以後の像面位置と射出瞳面位置が変わり、レンズ系の最終像面位置まで次々と各面での物体面位置と入射瞳面位置、像面位置と射出瞳面位置が変わることになる。

例えば、図７のように、第一のレンズ面の曲率半径を微小に変動させることにより、光線と第一のレンズ面との交点がＲ₁からＲ₁′に変動し、第一のレンズ面の像面位置がｘ＝ｓ₁からｘ＝ｓ₁′に変動し、射出瞳面位置がｘ＝ｔ₁からｘ＝ｔ₁′に変動したとする。すると、第二のレンズ面の形状が全然変動しなくても、光線と第二のレンズ面との交点がＲ₂からＲ₂′に変動し、第二のレンズ面の像面位置がｘ＝ｓ₂からｘ＝ｓ₂′に変動し、射出瞳面位置がｘ＝ｔ₂からｘ＝ｔ₂′に変動することになる。そして、最終像面まで次々に各面での物体面位置と入射瞳面位置、像面位置と射出瞳面位置が移動することになる。

それをそのまま微分化すると、パラメータを微小変化させた面以後の収差係数の像面位置と射出瞳面位置による微分の項を付加させる必要がある。それをプログラミングすると、プログラミングが複雑になるばかりでなく、計算時間もかなりかかり、パラメータ微分による有利性がなくなる可能性がある。

ところが、「光学の原理I」のP300を読めばわかるように、ｓ₁，ｔ₁をそれぞれ像面位置と射出瞳面位置に置くと便利ではあるが、それが正確に像面位置と射出瞳面位置である必然性はない。そこで、レンズ系全体の収差係数のパラメータによる微分を計算するためには、ある途中面でのパラメータが微小変化しても、その面以後の各面での物体面位置と入射瞳面位置、像面位置と射出瞳面位置は、パラメータが変化しないままの位置であるとした方が良い。例えば、図７において、光線と第一のレンズ面との交点がＲ₁からＲ₁′に変動しても、第一のレンズ面の像面位置がｘ＝ｓ₁のままで、射出瞳面位置がｘ＝ｔ₁のままであるとする。また、第二のレンズ面の像面位置がｘ＝ｓ₂のままで、射出瞳面位置がｘ＝ｔ₂のままであるとする。そしてそれらを微分化しても、パラメータ微分した面以後の収差係数に、像面位置と射出瞳面位置の移動による微分の項を付加させないようにする。

その代わり、レンズ系全体の収差係数のパラメータによる微分を計算して後、予め近軸光線追跡のパラメータによる微分計算により計算した、パラメータによる近軸最終像面位置の移動による項を最後に追加すれば、各面での像面位置と射出瞳面位置の移動による微分の項を付加しなくても、正確な微分量を計算することができる。

以上のことを注意しておいて、計算時間ができるだけかからないような、レンズ系全体での収差係数のパラメータによる微分を計算する方法を考えると、図８のようになる。すなわち、レンズ系の中間の面を第I面とし、第I面のパラメータによる微分を求めると、次のようになる。すなわち、第I面による像面上の座標値を（ｓ_I，ｙ_sI，ｚ_sI）、射出瞳面上の座標値を（ｔ_I，ｙ_tI，ｚ_tI）、第(I-1)面による像面上の座標値を（ｓ_I-1，ｙ_sI-1，ｚ_sI-1）、,射出瞳面上の座標値を（ｔ_I-1，ｙ_tI-1，ｚ_tI-1）とし、第I面による像面上の座標値が第(I-1)面による像面上の座標値により、

と表されるとする。ただし、

とする。この計算は、計算全体の中で占める位置として、図８ではS1で表している。式(6-2)，(6-3)の第I面の曲率半径の逆数ρ_Iによる微分は、ρ_Iを微小変化させても第(I-1)面以前の収差係数には影響を及ぼさないので、

となる。この計算は、計算全体の中で占める位置として、図８ではS2で表してある。

次にレンズ系全体の像面上の座標値（ｓ_F，ｙ_sF，ｚ_sF）を逆から第(I+1)面まで係数比較して、第I面による像面上の座標値（ｓ_I，ｙ_sI，ｚ_sI）と、射出瞳面上の座標値（ｔ_I，ｙ_tI，ｚ_tI）で冪級数展開したものを、

と表す。この計算は、図８では、Ｖ２の矢印で計算方向を示してある。レンズ系全体の像面上の座標値（ｓ_F，ｙ_sF，ｚ_sF）の、第I面のパラメータρ_Iによる微分を求めると、第I面のパラメータρ_Iが微小変化することにより第(I+1)面以後の各面の収差係数は変化しないので、式(6-9)，(6-10)の収差係数は変化しない。従って、

となる。式(6-11)，(6-12)に、式(6-2)，(6-3)，(6-7)，(6-8)を代入して係数比較することにより、レンズ系全体の像面上の座標値（ｓ_F，ｙ_sF，ｚ_sF）の、第I面のパラメータρ_Iによる微分が、第(I-1)面による像面上の座標値と射出瞳面上の座標値の冪級数展開であらわすことができる。これを、

と表す。この計算は、図８では、Ｓ１，Ｓ２，Ｖ２の結果により、矢印Ｖ３のように、第I面から、第F面について、パラメータ微分を計算したことになる。

そして、式(6-8)，(6-9)における第(I-1)面による像面上の座標値（ｓ_I-1，ｙ_sI-1，ｚ_sI-1）は、各面の収差係数を次々と係数比較することにより、レンズ系全体の物体面上の座標値（ｓ₀，ｙ_s0，ｚ_s0）と入射瞳座標値（ｔ₀，ｙ_t0，ｚ_t0）とにより、

のように表すことができる。ただし、回転不変量を、式(3-5)〜(3-7)のように定義する。また式(6-15)，(6-16)の計算は、I-1=2以上の場合は、各面の物体面座標値と入射瞳座標値が、レンズ系全体の物体面上の座標値（ｓ₀，ｙ_s0，ｚ_s0）と入射瞳座標値（ｔ₀，ｙ_t0，ｚ_t0）で表して計算する方法、すなわち、式(3-1-1)から式(3-2-17)までにより示された方法で計算しても良い。この計算は、図８のＶ１のような計算方向で行う。

式(6-13)，(6-14)に、式(6-15)，(6-16)を代入して係数比較し、レンズ系全体の物体面上の座標値（ｓ₀，ｙ_s0，ｚ_s0）と入射瞳座標値（ｔ₀，ｙ_t0，ｚ_t0）とにより冪級数展開した第I面の収差係数のρ_Iによる微分が求められる。これを、

と表す。この計算は、図６では、Ｓ２と矢印Ｖ３に矢印Ｖ１を継ぎ足して、矢印Ｖ４のように、レンズ系全体の物体面から第F面（最終像面）まで計算したことになる。なお、レンズ系全体の物体面から第I面までの、パラメータρ_Iによる微分を求めてから（これは図8ではＶ１＋Ｓ１に相当する）、矢印Ｖ２のように最終面から第（I+1）面までの収差係数を係数比較して後、先に求めたパラメータρ_Iによる微分と係数比較して、レンズ系全体のパラメータ微分を求めても良い。

最後に、予め近軸光線追跡のパラメータによる微分計算により計算した、パラメータによる近軸最終像面位置または最終射出瞳位置の移動による項を追加する。その方法を図９によって示す。

図９において、現在のレンズデータにより、レンズ系全体の最終レンズ面上の点Ｒ_Ｆからレンズ系全体の像面上の点Ｂに向けて光線が進行したとする。そして、最終レンズ面とレンズ系全体の像面との光軸上の距離をｓ_Ｆとする。次に、第I面のパラメータρ_Iが微小シフトした場合の、レンズ系全体の最終レンズ面上の点をＲ_Ｆ′とし、その光線と、パラメータが微小シフトする前のレンズ形全体の像面との交点をＢ′とする。しかし、第I面のパラメータρ_Iが微小シフトすることによって、レンズ系全体の像面位置が変動し、その光線との交点をＣ′とする。そして、最終レンズ面と、第I面のパラメータρ_Iが微小シフトした場合のレンズ系全体の像面との光軸上の距離をｓ_Ｆ′とする。また、Ｂから光軸に平行に引いた線と、線ＣＣ′を延長した線との交点を、Ｃ₀とする。さらに、パラメータが微小シフトする前の光線と最終射出瞳面との交点をｔ_Ｆ、第I面のパラメータρ_Iが微小シフトした場合の光線と最終射出瞳面との交点をｔ_Ｆ′とする。

図９で、第I面のパラメータρ_Iが微小シフトした場合の最終像面での光線到達位置の変化量は、Ｃ₀Ｃ′であるが、一方ＣＣ′は、ＢＢ′とほぼ同じなので、
Ｃ₀Ｃ′＝ Ｃ₀Ｃ＋ＢＢ′ …(6-19)
が成り立つ。また、図９において、縦軸がｙ軸の場合、光軸と、Ｂ,Ｄとの距離はそれぞれ、ｙ_ｓF，ｙ_ｔFなので、

となる。式(6-19)においてＢＢ′は 補正前の最終像面での光線到達位置の第I面のパラメータρ_Iによる微分ｄｙ_sF／ｄρ_Iに相当し、式(6-20)において(ｓ_Ｆ′-ｓ_Ｆ)は最終像面位置の第I面のパラメータρ_Iによる微分ｄｓ_F／ｄρ_Iに相当するので、式(6-17)の補正は、

となる。従って、収差係数の微分の補正は、

となる。また同様にして、式(6-18)の補正は、最終射出瞳面位置の第I面のパラメータρ_Iによる微分ｄｔ_F／ｄρ_Iにより、

となる。従って、収差係数の微分の補正は、

となる。

以上，第一の展開方法について、高次収差のパラメータによる微分の計算方法を説明してきたが、第二の展開方法の場合、式(6-1)から式(6-18)において、ｙ_t，ｚ_tの代わりに、光線のｙ方向、z方向の正接ｔ_y，ｔ_zを置き換えれば良い。パラメータによる最終像面位置の移動による項の追加は、式(6-21)の代わりに、

とすれば良い。従って、収差係数の微分の補正は、

となる。なお、第二の展開方法の場合、最終光線の光線方向の正接を補正する必要はない。

次に、高次収差による非点収差のパラメータによる微分を求める方法を示す。第一の展開方法による非点収差の係数の微分は、式(5-1-28)，(5-1-29)をパラメータで微分して、

とし、式(5-1-34)〜(5-1-37)をパラメータで微分して、もう一回式(5-1-34)〜(5-1-37)を用いて、

となる。

第二の展開方法による非点収差の係数の微分は、式(5-2-27)，(5-2-28)をパラメータで微分して

とし、式(5-2-31)〜(5-2-34)をパラメータで微分して、もう一回式(5-2-31)〜(5-2-34)を用いて、

となる。なお、これらの式において、収差係数の微分は、パラメータによる近軸最終像面位置または最終射出瞳位置の移動による補正をしたものを用いることが必要である。

以上説明したように、高次収差による非点収差の計算方法を、レンズ系の像面での位置および射出瞳面上での位置または光線方向の正接を、入射瞳座標または物体面座標値で微分した量から求めることにより、差分近似で求めるよりも計算時間を早くすることができる。

以上のような計算方法により高次収差を計算した実施例を次に示す。まず、実施例１として、図１０のようなダブルガウスタイプのレンズ（焦点距離50mm，F1.4）における高次収差の計算例を示す。このレンズのレンズデータは表１のようになる。表１のように、物体からレンズの第一面までの距離は1000ｍｍある。そして、表１の媒質でAIRとあるのは空気を表す。

そして、本発明の方法により計算されたF1.4の7割の場合の高次球面収差による横収差を２１次まで求めたものは、表２のようになる。これを見ると、最大次数が５次の場合、３次に比べて実際の収差から少し離れているが、7次以上になると収差の最大次数が高くなるほど、実際の収差に収束していくことがわかる。

次に、本発明の方法により計算されたF1.4の場合の高次球面収差による横収差を２１次まで計算したものは、表３のようになる。これを見ると、7割の場合に比べて、最大次数が少ないと実際の収差とはあまり一致せず、最大次数を上げてもなかなか収束せず、最大次数が１７次のあたりから収束することがわかる。

一方、F1.4の場合について、最大NAを1000分割して実際の光線追跡をし、数値解析（最小２乗法）により高次収差係数を計算してから計算された高次収差は表４から表７のようになる。表４、表５、表６、表７は、それぞれfittingする最大未知次数が11次、21次、31次，41次である。

表４と表５を比較するとわかるように、最大次数が３次から１１次までの収差値はかなり異なっている。また、表５と表６を比較するとわかるように、最大次数が１３次から２１次までの収差値はかなり異なっている。つまり、最小２乗法により高次収差係数を計算すると、実際の収差を何次までの未知収差係数でfittingするかによって、計算結果が違ってくることがわかる。

このように、最小２乗法で収差係数を計算すると、fittingする最大未知次数が違うことにより高次収差が異なるのは、収差係数の次数は無限にあって、F1.4の大口径になればなるほど高次収差までとらないとなかなか収束しないのにもかかわらず、有限の次数で実際の収差をまとめようとするからである。従って、最小2乗法である次数までの収差係数を求める場合、それより何次か高次の次数の係数までを未知数として、連立方程式を解かなければならず、しかも、正確に求めたい次数よりもどれだけ高次の次数まで求めると、どれだけの精度が保証できるかという理論はない。

ところが、表４から表７まで順番に表３と比較してみれば分かるように、最小２乗法のfittingする最大未知次数が高くなるに従って、本発明の計算方法で計算した結果に近づいていることが分かる。つまり、本発明のような計算方法で計算すると、高次収差まで正確に計算することができ、しかも、設定した最大次数によって、それより低次の収差係数が変動することはない。

次に、実施例１のレンズデータの像高位置-9.77での光線到達位置を、本発明の計算方法で、高次の歪曲収差として最大次数を２１次まで求めてから計算すると、表８のようになる。一方、同じ像高位置-9.77で、光軸中心から最大像高まで10000分割して主光線を光線追跡し、最小２乗法で高次の歪曲収差として最大次数を１５次まで求めてから計算すると、表９のようになる。

表８を見ると、最大次数を上げれば上げる程、実際の位置に近づく事がわかる。ところが、表９の最小２乗法を見ると、最大次数の中間部分で、実際の位置よりかなりずれていて、数値解析では、高次の歪曲収差係数を正確に計算できないことがわかる。また、表で示しはしないが、fittingする最大未知次数を１５次からさらに上げていくと、かえって精度を上げられず、解が発散することがわかった。従って、高次の歪曲収差を計算する方法は、数値解析では不可能で、本発明による計算方法しかないことが分かる。

次に実施例２として、平行光束で入射するレンズで、面数が20面の場合について、高次収差を最適化した。本発明による高次収差のパラメータ微分と、差分近似とについて、計算時間を比較した。比較のための差分近似に用いた計算方法としては、各面の収差係数を計算してからレンズ全体の収差係数を係数比較で計算する方法は時間がかかるので採用せずに、第二面以後の収差係数を計算するための物体面座標値と入射光線方向の正接を、常に第一面の物体面座標値と入射光線方向の正接の冪級数展開で表す方法、すなわち、式(4-1-1)〜(4-2-17)の式による方法を採用した。７次収差において微分と差分の場合の、最適化の1サイクルあたりの計算時間とパラメータ数の関係は、表1０および図１１のようになる。

表１０および図１１を見ると分かるように、差分近似の場合はパラメータ数にほぼ比例して計算時間が増加していくのに対し、微分の場合はパラメータ数が増えても計算時間はほとんど変わらない。そして、パラメータ数が10の場合、微分の場合の計算時間は差分の約２分の１なのに対し、パラメータ数が20の場合、微分の場合の計算時間は差分の３分の１以下になっている。従って、パラメータ数が多くなるほど微分の方が有利であることが分かる。

高次収差を計算するための、光線の物体面上の位置、入射瞳面上の位置、レンズ面上の光線到達点、像面上の位置、射出瞳面上の位置関係を示す図である。 第一の展開方法による高次収差計算過程の概略図である。 第二の展開方法による高次収差計算過程の概略図である。 複数のレンズ面にまたがる収差係数を求める方法を説明するための図である。 高次収差によるメリジオナル像面の非点収差を計算する方法を示す図である。 高次収差によるサジタル像面の非点収差を計算する方法を示す図である。 レンズのある途中の面で曲率半径などのパラメータを微小変化させると、その面以後の像面位置と射出瞳面位置が次々と変わることを示す図である。 高次収差のパラメータによる微分を計算する方法を示す図である。 図８の方法で計算した後、パラメータによる近軸最終像面位置または最終射出瞳位置の移動による項を追加する方法を示す図である。 実施例１のレンズの光路図である。 ７次収差の最適化において、微分と差分の場合の、最適化の1サイクルあたりの計算時間とパラメータ数の関係を示す図である。

符号の説明

Ｕ，Ｖ，Ｗ 回転不変量 ｉ，ｊ，ｋ 回転不変量の冪乗数 ｙ 高次収差

Claims (5)

1. 光軸に対して回転対称なレンズ系における高次収差係数を３個の添え字を用いた多項式で表し、前記３個の添え字を、それぞれの回転不変量の冪乗数で表して高次収差を計算することを特徴とするレンズ系設計方法。
2. 光軸に対して回転対称なレンズ系における入射瞳面上の座標値と物体面上の座標値による３個の回転不変量をＵ，Ｖ，Ｗとし、前記回転不変量のそれぞれの冪乗数をｉ，ｊ，ｋとし、前記光学系の物体面上の位置または像面上の位置の光軸からの距離をｙ_sとし、前記光学系の入射瞳面上の位置または射出瞳面上の位置の光軸からの距離ｙ_tとし、前記光学系の物体面上の位置または像面上の位置の光軸からの距離ｙ_sと３個の回転不変量Ｕ，Ｖ，Ｗに対する収差係数をＡ_ijkとし、前記光学系の入射瞳面上の位置または射出瞳面上の位置の光軸からの距離ｙ_tと３個の回転不変量Ｕ，Ｖ，Ｗに対する収差係数をＢ_ijkとしたとき、前記光学系の収差ｙを次式
   

   

   により表して高次収差計算をすることを特徴とするレンズ系設計方法。
3. 光軸に対して回転対称なレンズ系における物体面座標値と入射光線方向の正接による３個の回転不変量をＵ，Ｖ，Ｗとし、前記回転不変量のそれぞれの冪級数をｉ，ｊ，ｋとし、前記光学系の物体面上の位置または像面上の位置の光軸からの距離をｙ_sとし、前記光学系の入射光線方向または屈折光線方向の正接をｔ_yとし、前記光学系の物体面上の位置または像面上の位置の光軸からの距離ｙ_sと３個の回転不変量Ｕ，Ｖ，Ｗに対する収差係数をＡ_ijkとし、前記光学系の入射光線方向または屈折光線方向の正接ｔ_yと３個の回転不変量Ｕ，Ｖ，Ｗに対する収差係数をＢ_ijkとしたとき、前記光学系の収差ｙを次式
   

   

   により表して高次収差計算をすることを特徴とするレンズ設計方法。
4. 前記光軸に対して回転対称なレンズ系における高次収差による非点収差は、レンズ系の像面での位置および射出瞳面上の位置または光線方向の正接を、前記入射瞳面上の座標値または前記物体面上の座標値で微分した量から求めることを特徴とする請求項１〜３のいずれか一項に記載のレンズ系設計方法。
5. 前記光軸に対して回転対称なレンズ系における高次収差のレンズ形状を示すパラメータによる微分を計算するときには、前記パラメータによる微分計算した面以後の収差係数に、像面位置と射出瞳面位置の移動による微分の項を付加させないで、レンズ系全体の収差係数についての前記パラメータによる微分を計算して後、前記パラメータによる近軸最終像面位置の移動による項を追加することを特徴とする請求項１〜４のいずれか一項に記載のレンズ系設計方法。

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