JP2007091543A - グレイン形状計算方法 - Google Patents

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Abstract

【課題】 結晶成長において発生するグレインの形状を計算する。
【解決手段】 転位による歪エネルギーをフェーズフィールドモデルに取り込みグレイン形状にたいする時間発展方程式を解く。
【選択図】 図１

Description

本発明は半導体や光通信などの基盤技術の一つである結晶成長技術に係わるもので、特に単結晶成長シミュレータに関するものである。
多くの単結晶成長シミュレータは結晶成長時の温度環境によって発生する熱応力によって転位密度が結晶全体にどのように分布するかを解析する。例えば次の非特許文献１を参照のこと。
N.Miyazaki,Y.Kuroda,M.Sakaguchi, "Dislocation density analyses of GaAs bulk single crystal during growth process", Journal of Crystal Growth 218 (2000) 221-231。
単結晶成長において、グレインと呼ばれる結晶方位の異なる結晶相が母結晶の中にしばしば発生する。グレインは転位密度の増加による歪エネルギーを解放するための再結晶化プロセスによるものと考えられるが、従来の結晶成長シミュレータではグレインの形状を計算することはできなかった。
本発明の目的は再結晶化プロセスによるグレインの発生と成長を記述し、グレイン形状を計算するものである。
単結晶成長時には高温で大きな熱応力が働くため転位密度が増大し歪エネルギーが蓄積される。歪エネルギーが敷居値を超えると母結晶の中に結晶方位の異なる核を生成することで転位密度を減少させ歪エネルギーを緩和する。発生した核は周囲の歪エネルギーを吸収しながら成長し、グレインが形成される。これを再結晶化プロセスと呼ぶ。
本発明はフェーズフィールドモデルに基づいて、熱応力から計算されたり、もしくは実測されたり、もしくは解析的に与えられた転位密度分布からグレインの形状を計算する手法を与えるものである。フェーズフィールドモデルについては次の文献に詳しく述べられている：" Ryo Kobayashi他、"A continuum model of grain boundaries", Physica D 140(2000)141-150。
母結晶内における転位密度分布をＮとすると、それによる歪みエネルギーEs(N)は近似的に
Figure 2007091543
 と与えられる。ここでＧはせん断係数、bはバーガーズベクトルの大きさである。
また、再結晶化よる転位密度の低減率をD0とすると、発生したグレイン内部の転位密度は
Figure 2007091543
 と表される。
場を表す量をuとして母結晶相をu=０、グレイン相をu=１に対応させると、結晶全体のエネルギーE(u,N)は
Figure 2007091543
 と表される。積分は結晶全体（Ω）にわたって行う。ここでf(u)はバルクのエネルギーを表し、u=0とu=1においてそれぞれ極小値を持つ２重ポテンシャルの形
Figure 2007091543
 におくことができる。
W(u,N)は転位による歪エネルギーを表し、
Figure 2007091543
 となる。g(u)に次の形
Figure 2007091543
 を持たせることでW(0,N)とW(1,N)にそれぞれ母結晶とグレイン内における歪エネルギーを表現させることができる。全エネルギーとして（２）式を用いることで場uに対して（６）式のような運動方程式を得る。
Figure 2007091543
 （６）式に（２）、（３）、（４）、（５）式を代入すると
Figure 2007091543
 となる。
上記の式におけるパラメータ（ε、ν、Ｂ）はバウンダリエネルギーやバウンダリ移動度等から求められる量で、近似的に次の関係式から求めることができる。
Figure 2007091543
 ここで、σはグレインバウンダリのエネルギー、Ｑとm0はその移動度を決める活性化エネルギーとプリファクターである。Ｔは系の温度を表し、ｋはボルツマン定数である。またd0は界面の幅を表す量であるが、ここでは計算メッシュの幅程度の値をとるものとする。
転位密度分布N(x)は熱応力を用いて計算されたり、解析的に与えたり、転位密度の測定等から求めることができ、（７）式からバウンダリ形状が時間とともにどのように成長していくかを計算することができる。
本発明によれば結晶の引き下げ速度や炉の温度プロファイル等の成長条件によってどのような形状のグレインが成長するかを計算することができる。これによってグレインを最小限に抑えるための成長条件をシミュレートすることができ、高品質な単結晶作成方法を与えるものである。
（実施例１）
本実施例は２次元計算において転位密度を解析的に与えたときの計算例である。
転位密度はＸ＝０の辺で最大値（1×108m-2）をとり、Ｘ＝１の辺まで線形に減少して最小値（1×10７m-2）になるように設定されている。
初期状態として核は図１（a）のようにＸ＝０の辺に中心を持つ半円で与えられている。半円の内部ではu=1であり、その外部ではu=0である。この初期状態から（７）式を用いて場(u)の時間発展を計算したものが図１(b)および(c)である。
転位密度分布がＸ方向に減少し、Ｙ方向には一定のためグレインがＹ方向に成長しやすい傾向がみられる。
（実施例２）
本実施例は結晶が坩堝形状をした３次元計算において転位密度を解析的に与えたときの計算例である。転位密度を図２（a）に示すように結晶表面で最大値（1×108m-2）をとり、そこから内部に向かって２次関数で減少する形を仮定する。その縦断面分布を図２(b)に示す。
初期状態として、図３(a)に示すように、核を結晶の直胴面とコニカル面の交線上の１点を中心とした半球状に与える。この内部ではu=1、外部でu=0とする。この初期状態から（７）式を用いて場(u)の時間発展を計算したものが図３（ｂ）および（Ｃ）である。グレインは転位密度の大きい方向に伸びることによって歪みエネルギーを解放する。そのためグレインは結晶の周囲を取り巻くように成長していることがわかる。
（実施例３）
本実施例は結晶成長時の温度分布からグレイン形状を予測する手順を示すものである。計算の流れを図４に示す。
（１）結晶成長時における結晶内部での温度分布Ti(x)を成長開始時刻(i=1)から終了時刻(i=n)まで計算する。
（２）温度分布Ti(x)を用いて熱応力分布σi(x)を計算する。
（３）熱応力分布σi(x)から転位密度分布Ni(x)を計算する。
（４）グレインがすでに存在する場合は転位密度分布Ni(x)を用いて場（u）の運動方程式を解きグレイン形状を更新する。
（５）その後、温度分布を１ステップ進め（２）に戻る。
（６）グレインが存在しないときは転位密度の最大値が設定された敷居値を越えているかを判定する。
（７）越えている場合は転位密度分布の最大値で核を発生させるたのち、（５）に進む。
（８）越えていない場合はそのまま（５）に進む。
ここで（３）の計算は例えば前出のMiyazakiらの論文に書かれた方法等を用いるものである。
（実施例４）
上記した実施例の計算方法は、図５、図６に示すように計算機本体１１１とディスプレイ１１２、キーボード１１３とマウス１１４からによって構成される計算機システム上とフレキシブルディスク１１０等の記憶媒体によって実現されている。計算機本体内１１１には、CPU１１６、ハードディスク１１７、メモリ１１８、フレキシブルディスクドライブ１１３等が設置されている。
本発明のアルゴリズムを使用したプログラムの実行ファイルがハードディスク１１７あるいはフレキシブルディスク１１０に予め存在しており、それをキーボードあるいはマウス等の入力装置からの信号により、メモリ上にロードして、プログラムが実行される。
第１の実施例を説明するもので、グレイン形状の時間変化（２次元）を示す。 第２の実施例における結晶内の転位密度分布。(a)転位密度分布の３次元表示、(b)転位密度分布の縦断面表示。 第２の実施例を説明するもので、図２に示された転位密度分布から計算されたグレイン形状の時間変化（３次元）を示す。 第３の実施例を説明する計算手順。 本発明実施例を実装した計算機の図。 本発明実施例を実装した計算機のブロック図。
符号の説明
１１１ 計算機の本体
１１２ ディスプレイ
１１３ フレキシブルディスクドライブ
１１４ マウス
１１５ キーボード
１１０ フレキシブルディスク
１１６ CPU
１１７ ハードディスク
１１８ メモリ

Claims (6)

  1. 結晶が受ける熱環境によって結晶成長を模擬するシミュレータにおいて、転位密度分布からグレイン形状を計算することを特徴とするシミュレーション法。
  2. 請求項１において転位密度が設定した値を越えたときグレインの核を発生させるシミュレーション法。
  3. 請求項１におけるグレイン形状はフェーズフィールドモデルによって計算されるシミュレーション方法。
  4. 請求項１においてグレインは転位による歪みエネルギーを解放するための再結晶化プロセスによって成長することを特徴とするシミュレーション法。
  5. 請求項１において転位による歪みエネルギーが転位密度の１次関数として与えられることを特徴とするシミュレーション法。
  6. 請求項１から５記載のシミュレーション法を書き込んだ記憶媒体。
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* Cited by examiner, † Cited by third party
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KR20150038317A (ko) 2012-08-31 2015-04-08 도시바 미쓰비시덴키 산교시스템 가부시키가이샤 재료조직 예측 장치, 제품 제조 방법 및 재료조직 예측 방법
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