JP2006513416A - 表面トポグラフィの再構成 - Google Patents

Abstract

物体の表面を再構成するためのシステムが、物体の表面を表す測定結果の二次元格子受けるための入力部１２０を含む。各格子点に対して、前記測定結果は、ｘ方向及びｙ方向への前記表面の傾斜についての対応する情報を含む。プログラムの制御下で動作するプロセッサ１００が、前記格子の二次元部分を選択し、前記選択された部分の全ての格子点の測定結果に対応する前記表面の部分をフィッティングする。前記選択された部分の各格子点に対して、フィッティングは対応する第１及び第２の傾斜の情報に基づく。前記システムの出力部１６０は、少なくとも再構成された表面部分の表現をユーザに供給する。

Description

本発明は、物体の表面を再構成(reconstruction)する方法であって、前記物体は測定結果の二次元格子により表される方法に関する。各格子点に対して、測定結果(measurements)は、第１の方向への前記表面の第１の傾斜及び異なる第２の方向への前記表面の第２の傾斜についての対応する情報を含む。本発明はさらに、前記方法を実行するためのソフトウェア及び物体の表面を再構成するためのシステムに関する。

シリコンウェハ等の物体の表面は、測定された傾斜から再構成され得る。傾斜(slope)は、典型的には、ラインに沿って表面を走査し、傾斜を測定することにより測定される。測定結果は２次元格子に結果としてなり、各格子点に対して、「水平」方向の傾斜と「垂直」方向の傾斜とが与えられる。測定結果は、（例えばレーザからの）光が表面に投射され、反射角が測定されて、傾斜についての情報を提供するような偏向法(deflectometry)を用いて得られてもよい。図1は、矩形の座標線に沿う測定点を持つ典型的な等間隔の測定格子(measurement
grid)を示す。

多くのアプリケーションに対して、実際の表面（すなわち表面のトポグラフィ）は、測定された傾斜に基づいて決定される必要がある。現在の再構成アルゴリズムは、測定格子を通る経路に沿った線積分を実行することに基づく。例えば、各「水平」経路（すなわち座標線の一つに平行な各経路）に沿って斯かる線積分を実行することにより、トポグラフィが再構成され得る。経路に沿う各点に対して、線積分は、経路の方向に格子点で測定された傾斜を用いる。一般に、測定された傾斜は測定誤差を含む。経路に沿う積分は、経路方向の傾斜の全ての測定誤差を累積する。このように、格子点で決定される表面のトポグラフィは、それゆえ、一義的に決定されず、格子を通る選択された経路に依存する。(i,j)から(i+1,j)へ、そして(i+1,j+1)へ、そして(i,j+1)へ、そして(i,j)へと戻る経路のような閉経路に沿う線積分は、一般に、表面トポグラフィに対する開始値(starting
value)を与えないであろう。

一般に、測定結果は、矩形の座標線に沿う測定点を持つ図１の規則的な等間隔の測定格子には結果としてならないであろう。実際には、測定走査線は必ずしも直線ではなく、曲がるかもしれない。走査中一方向しか傾斜情報を得ない測定システムが用いられる場合、走査は両方の方向に行われる必要がある。斯かる場合、一方の方向の測定結果が、他方の方向の測定結果と完全には一列に並ばないかもしれない。測定結果の不規則性(irregularities)を補償するために、通例較正処理が、完全に等間隔の矩形測定格子を得るために測定点の位置を補正するために実行される。斯かる較正は、通例、それ自体測定結果にさらなる誤差を導入し且つ時間のかかる補間に基づく。

本発明の目的は、表面のトポグラフィの再構成の改善された方法を提供することにある。本発明の他の目的は、斯かる方法を実行するためのソフトウェア及び該方法を実行するためのシステムを提供することにある。

本発明の目的を達成するため、物体の表面を再構成する方法であって、前記物体は測定結果の二次元格子により表され、各格子点に対して、前記測定結果は、第１の方向への前記表面の第１の傾斜及び異なる第２の方向への前記表面の第２の傾斜についての対応する情報を含み、当該方法が、前記格子の二次元部分を選択するステップ及び前記選択された部分の全ての格子点の測定結果に対応する前記表面の部分をフィッティングする(fitting)ステップを含み、前記選択された部分の各格子点に対するフィッティングは、対応する第１及び第２の傾斜の情報に基づくことを特徴とする方法が提供される。前記選択された部分の全ての測定された傾斜に基づいてフィッティングを実行することにより、局所測定誤差の作用が主に誤差の面積(area)まで著しく低減される。本発明によれば、いっそう多くの測定結果が再構成に完全に用いられる。一次元経路に沿った積分演算を実行することに代えて、ここでは、いっそう多くの測定データが関与する二次元フィッティング演算が実行される。さらに、各関与する格子点の１つの測定された傾斜しか用いないことに代えて、ここでは、両方の傾斜が用いられる。これにより、測定誤差の伝搬を著しく低減させることができる。本発明による精密な再構成が望まれる領域をユーザが指示できることが好ましい。選択された領域以外は、従来の再構成が実行されてもよい。従属請求項４に記載される好ましい実施例においては、本発明によるフィッティングが、格子状測定結果によって表される表面の実質的全体にわたって実行される。

従属請求項２の対策によれば、前記フィッティングが、最小二乗演算（least-square minimization operation）を用いて実行される。これはフィッティング誤差を最小化する効果的なやり方である。

従属請求項３の対策によれば、前記最小二乗演算が、第１及び第２の傾斜の情報を含む傾斜ベクトルの発散に等しい圧力場がかけられたソープフィルムの形状を表す式を解くことにより実行される。本発明者は、このようにして、本発明による表面フィッティングが、圧力場がかけられたソープフィルムの形状を表すのと同様のやり方で表現され得ることを洞察した。これにより、表面のトポグラフィを決定するために斯かるソープフィルムの形状を決定するための既知の方法を用いることができる。

従属請求項５の対策によれば、前記格子の各点に対して、前記第１及び第２の傾斜が偏向法を用いて測定される。

本発明の目的を達成するため、請求項１に記載の方法のステップをプロセッサに実行させるコンピュータプログラムが提供される。

本発明の目的を達成するため、物体の表面を再構成するためのシステムが、
− 物体の表面を表す測定結果の二次元格子であって、各格子点に対して、前記測定結果は、第１の方向への前記表面の第１の傾斜及び異なる第２の方向への前記表面の第２の傾斜についての対応する情報を含む格子を受けるための入力部と、
− プログラムの制御下で、前記格子の二次元部分を選択し、前記選択された部分の全ての格子点の測定結果に対応する前記表面の部分をフィッティングするためのプロセッサであって、前記選択された部分の各格子点に対するフィッティングは、対応する第１及び第２の傾斜の情報に基づく、プロセッサと、
− 少なくとも再構成された表面部分の表現(representation)を供給するための出力部とを含む。

従属請求項８の対策によれば、前記システムが、測定格子の各測定点に対して、対応する第１及び第２の傾斜の情報を測定するための測定ユニットを含む。

従属請求項９の対策によれば、前記測定が非直線に沿って実行され、前記測定格子が直接再構成に用いられる。本発明による方法及びシステムは、（ＦＥＭメッシュ内の有限要素に属するノードと同様の）測定点間の接続性(connectivity)が確立され得る限り作用するフィッティングを実行する。格子は、例えば二方向の測定点が等間隔のx,y又はr,φ格子を形成するように整然と配列される必要はない。再構成に用いられる格子への測定格子の較正は必要とされず、これは付加的な誤差の導入を回避する。

従属請求項１０の対策によれば、前記測定ユニットが偏向法測定ユニットを含む。

本発明のこれらの及び他の特徴は、以下に記載の実施例を参照して明らかになるであろう。

図２は、本発明が実施され得るシステムのブロック図を示す。この例示的なシステムにおいて、表面トポグラフィの再構成は、適宜のプログラムがロードされるプロセッサ１００により実行される。プログラムは、ハードディスク等の固定記憶装置１５０に記憶され、ＤＲＡＭ（図示せず）等のランダムアクセスメモリから実行されてもよい。プロセッサは、入力部１５０を介して受ける測定結果に対して動作する。入力は測定システム１３０から受けてもよい。測定システム１３０はシステム外であってもよい。この場合、測定結果は適宜の通信システム（例えば有線もしくは無線ＬＡＮ、又はインターネット等の広域ネットワーク）を介して受けてもよい。好ましくは、測定システムは、表面の再構成用のシステムの一部である。有利には、測定システムは、例えば参照により含まれることになる米国特許に記載されるような偏向法システム(deflectometry system)である。この記載に対して、測定結果は、各点に対してｘ方向及びｙ方向の傾斜が与えられる、測定点の２次元格子に設けられることが前提とされている。当該方法は、例えばr,φ格子を用いる他の適宜の座標系に対しても同等に作用する。格子は、例えば二方向の測定点が等間隔のx,y格子を形成するように整然と配列される必要はない。すなわち、接続性が（ＦＥＭメッシュ内の有限要素に属するノードと同様の）測定点間に確立され得ることで十分である。

入力部１２０はまたユーザから入力を受けることもできる。マウス１４０及びキーボード１５０等の入力装置が示されている。ユーザへの出力は出力装置１６０を介して供給されてもよい。出力装置１６０はディスプレイを含んでもよい。とりわけ、入力によって、表面の精密な再構成が必要とされる表面（及び/又は格子）の領域をユーザが指示できるようにしてもよい。他の領域に対しては、従来の再構成が行われてもよい。斯かる従来の再構成は、選択された領域のエッジを再構成するために用いられてもよい。以下では、本発明による再構成方法について述べる。

再構成方法
未知の表面のトポグラフィが偏向法測定システムを用いて測定されるドメイン

を考える。この測定システムを用いて、未知の表面

の傾斜

が測定される。測定誤差が生じないならば、表面を表す未知の関数は、

を満たす。ゆえに、表面

は、定関数

は別にして決定される。固有の表面がある点

における表面、ゆえに、

を規定することにより得られる。

一般に、測定された傾斜は測定誤差を含む。この場合、恐らくは（１）を満たす関

が存在しない。なぜなら、

である全ての場合において、（１）を満たす関数が存在しないからである。しかしながら、表面トポグラフィ

に対する値を得るためにドメイン

内の

から

への経路

に沿って（１）を積分することが可能である。

の場合、これらの値は経路

に依存し、それゆえ固有ではないことに注意されたい。これは、表面

を囲む閉経路

に沿う線積分（２）をストークスの定理、ゆえに、

（ここで

は

内の

上の単位法線である）を用いて実行することにより分かる。次に、（１）をほぼ満たす固有関数を見出す方法が提案される。ゆえに、提案された方法により得られる再構成表面は、

がゼロか否かと言う事実に依存しない。

未知の表面トポグラフィは、最小二乗の意味において（１）を満たす関数

によって近似される。ゆえに、この関数は、汎関数(functional)

を最小化する

を持つ関数である。ここでは、積分が測定ドメイン

にわたって実行される。

のいずれの外乱

に対しても最小であるために、最小化関数

は、

を満たさなければならない。最小化問題（４）の解のこの最後の形式(formulation)は、境界条件

を持つ

の弱形式(weak formulation)である。ここで、

は境界

における単位法線である。

形式（６）はまた、（１）の左辺及び右辺の発散をとることによって直接見出される。式（６）はまた、

に等しい圧力分布がかけられたソープフィルムの形状を決定する力学的問題の解を表す。形式（５）において微分の次数は１であるが、形式（６）においては２であることに注意されたい。ゆえに、（６）に代えて（５）を解くことは、未知の関数

がソボレフ空間(Sobolev space)

にあることで十分であり、

（一次導関数が存在し、連続である）にあることは必然ではないことを意味する。さらに、形式（６）において、測定された傾斜

の一次導関数が存在しなければならない。

経路積分（２）を実行することに代えて（５）を解く利点は以下の通りである。
− 両方の測定された傾斜の信号が、測定された表面のトポグラフィを決定するために同時に用いられる。
− 全ての測定された傾斜のデータが、測定された表面のトポグラフィを再構成するために用いられる。
− 決定されたトポグラフィは、単純な線積分法を用いて選択されなければならない積分経路に依存しない。
− 圧力分布がかけられたソープフィルムの問題(loaded soap film problem)と同様、決定されたトポグラフィに対する測定傾斜データの誤差の作用は主に不正確さ(inaccuracy)のロケーションに制限される。線積分法を用いる場合、局所誤差は残りの積分経路に沿って伝搬し、ゆえに、再構成されたトポグラフィに対して大きな作用（大きな誤差）を持つ。

式（５）は有限要素法(Finite Element Method (FEM))を用いて解かれることが好ましい。むろん、他の方法、例えばスペクトル法を用いた方法が上記式を解くために用いられてもよい。代替的には、式（６）が例えば有限差分法を用いて解かれ得る。（５）を解くための有限要素法の形式はCartesian座標で実行されるであろう。他の座標系に対しては、形式は現在論じられているものと同様である。

Cartesian座標系

を考える。測定格子

は、

及び

である

の離散点

からなると仮定する。これらの離散測定点でもって、四角形有限要素メッシュが、図１に示されるような

及び

に対する点

、

、

及び

を結ぶことにより確立される。ゆえに、測定ドメインが、測定格子のノード

を用いて

の四角形要素

に分割される。測定ドメイン

を四角形要素に分割する選択は限定的ではない。例えば、各四角形要素が図３に示されるように２つの三角形に分割される場合、三角形要素からなる有限要素メッシュが作成され得る。この場合、要素の数が２倍に増加する。

未知の表面トポグラフィ

が近似関数

の有限の組の一次結合、ゆえに、

として書かれる。（８）を（３）に代入し、係数

に対して汎関数

を最小化することにより、すなわち、

で（８）を（４）に代入することにより

が生じる。この一次式の特異組(singular set)は、

番目の式（ここで

は

が最大値を持つインデックスである）を条件

により置換することにより正則になる。この一次式の組の解は、測定された表面トポグラフィの近似(８)を決定する。

有限要素近似において、測定ドメイン

の有限要素

への細分が、（９）における積分を

と書くために用いられる。関数

は、図４に示されるように、要素毎に双一次(bi-linear)であるように選択され、１つのノードにおいて値１を持ち、他の全てのノードにおいて０を持つ。図４は、４つの要素

、

、

及び

に示される要素メッシュ上の区分的双一次基底関数(piecewise bilinear base function)を示す。

これら要素にわたる積分の評価のために、標準四角形要素への実際の四角形要素のアイソパラメトリック変換が実行される。すなわち、

ここで、

であり、

であり、ノード数関数

には、要素の実際の４つのノードが用いられる。ここで、要素

にわたる関数

の積分が、

であることが分かる。ここで、

はヤコビマトリクス(Jacobian matrix)

の行列式である。双一次近似または基底関数

は、

であることが分かり、それらの勾配(gradient)は、

である。（９）の右辺の積分の評価において、測定された傾斜値を伴う積分が生じる。（１０）、（１１）及び（１２）を用いて、これらの積分は、標準四角形要素にわたる積分に変換される。標準要素上で、傾斜ベクトルの変動(variations)は、双一次関数

で近似される。（２１）を（１０）、（１１）及び（１２）により得られた式に代入することにより、

なる形の積分が生じる。これら積分は分析的に評価され得る。しかしながら、ここでは、４点ガウス求積規則(4 point Gaussian quadrature rule)が適用される。この方法の積分点及び重みは、

である。

全ての積分を実行すると、要素マトリクス及びベクトルが、大マトリクス及びベクトルにまとめられる。ここで、条件

が上述した式に与えられ、その結果の一次離散式の組

が解かれなければならない。（２８）を解くためにいくつかの技術が存在する。直接法であるガウス消去処理（ＬＵ分解）を用いることが好ましい。式の系が非常に大きい場合、反復処理、例えば、Gauss-Seidel、Multigrid等が（２８）を解くために用いられ得る。

例：
このセクションでは、提案された方法の精度及び効率が、仮想測定データを用いて吟味される。
測定ドメインが

であると仮定する。テスト表面は厳密な傾斜ベクトル(exact slope vector)

を持つ

である。初期表面が図５Ａに示され、２１×２１点の等間隔測定格子を用いてここで提案されている方法により厳密なベクトル（３０）から得られた再構成表面が図５Ｂに示されている。打切り誤差、すなわち、再構成表面と厳密に規定された表面との差が図６に示されている。再構成表面は初期表面を非常によく近似している。次に、得られた再構成表面の精度が、測定格子を変える及び／又はノイズを傾斜ベクトルに付加して吟味される。

第１に、規定されたテスト表面を有限離散メッシュを用いて再構成する際の打切り誤差を吟味する。規定されたテスト表面を有限離散メッシュを用いて再構成する際の打切り誤差が表１に示されている。ここで、

は

ノルム

であり、

は無限大（または最大）ノルム

である。打切り誤差は、メッシュサイズ（すなわち、要素の典型的な寸法、例えば、要素にはまる最大円の半径）に対し二次的(quadratically)に減少する。この挙動は双一次要素を用いて予測されている。

表１：規定されたテスト表面を再構成する際の打切り誤差

第２に、同一のメッシュ（測定グリッド）を用いて、傾斜値の振幅に等しい振幅を持つホワイトノイズ（ランダム値）が傾斜ベクトル

に付加される。ここで、

であり、

及び

は範囲

にあるランダム値を与える。この場合、再構成テスト表面と初期テスト表面との差は打切り誤差及び傾斜データのノイズによりもたらされる。図７は、２１×２１の点からなる格子に関し、図７Ａは、ｘ方向の原傾斜を示し、図７Ｂは、ｙ方向の原傾斜を示し、図７Ｃは、表面を再構成するために用いられる傾斜でｘ方向のノイズを持った傾斜を示し、図７Ｄは、表面を再構成するために用いられる傾斜でｙ方向のノイズを持った傾斜を示し、図７Ｅは、再構成表面を示し、図７Ｆは、再構成表面の誤差を示す。原傾斜の振幅と同じ振幅を持つホワイトノイズが付加された傾斜を用いても、再構成表面は原表面を極めて良好に近似している。問題は既知の傾斜において一次的であるので、傾斜ベクトルのノイズによりもたらされる差は、ノイズの振幅に対して一次的である。再構成表面と初期テスト表面との差が表２に示されている。表１及び表２から導かれるように、再構成表面と原表面との差は傾斜のノイズにより主にもたらされる。ノイズの振幅が半分にされると、再構成表面と原表面との差も半分になる。振幅の異なるこれら２つの検討されたケースのノイズの挙動は、繰り返し不可能なランダムに生成された値のために異なることに注意されたい。

表２：ノイズが傾斜ベクトルに付加された場合の再構成テスト表面と初期テスト表面との差

上述した実施例は本発明を制限するというよりは解説するものであり、当業者であれば添付請求項の範囲から逸脱することなく多くの他の実施例を設計できるであろうことに留意されたい。各請求項において、括弧内に置かれた如何なる参照符号も当該請求項を限定するものとみなしてはならない。“有する”及び“含む”なる用語は、請求項に記載されたもの以外の要素及びステップの存在を排除するものではない。本発明は、幾つかの個別素子を有するハードウェアにより、及び適切にプログラムされたコンピュータにより実現することができる。幾つかの手段を列挙する装置請求項において、これらの手段の幾つかはハードウェアの同一アイテムにより具現化することができる。コンピュータプログラムは、光記憶媒体等の適切な媒体に記憶／頒布されてもよいが、インターネット又は無線通信システムを介して配信される等、他の形態で頒布されてもよい。

測定格子に対応する四角形有限要素メッシュを示す。 本発明が実施され得るシステムのブロック図を示す。 三角形要素からなる有限要素メッシュを示す。 ４つの有限要素に示された要素メッシュ上の区分的双一次基底関数を示す。 例示的な初期表面を示す。 本発明による方法により厳密な傾斜から得られた再構成表面を示す。 打切り誤差、すなわち、再構成表面と厳密に規定された表面との差を示す。 ｘ方向の原傾斜を示す。 ｙ方向の原傾斜を示す。 表面を再構成するために用いられる傾斜でｘ方向のノイズを含む傾斜を示す。 表面を再構成するために用いられる傾斜でｙ方向のノイズを含む傾斜を示す。 再構成表面を示す。 再構成表面の誤差を示す。

Claims (10)

1. 物体の表面を再構成する方法であって、前記物体は測定結果の二次元格子により表され、各格子点に対して、前記測定結果は、第１の方向への前記表面の第１の傾斜及び異なる第２の方向への前記表面の第２の傾斜についての対応する情報を含み、当該方法は、前記格子の二次元部分を選択するステップ及び前記選択された部分の全ての格子点の測定結果に対応する前記表面の部分をフィッティングするステップを含み、前記選択された部分の各格子点に対するフィッティングは、対応する第１及び第２の傾斜の情報に基づくことを特徴とする方法。
2. 最小二乗演算を用いて前記フィッティングを実行するステップを含むことを特徴とする請求項１に記載の方法。
3. 第１及び第２の傾斜の情報を含む傾斜ベクトルの発散に等しい圧力場がかけられたソープフィルムの形状を表す式を解くことにより前記最小二乗演算を実行するステップを含むことを特徴とする請求項２に記載の方法。
4. 前記格子の前記選択された部分は実質的に前記格子全体であることを特徴とする請求項１に記載の方法。
5. 前記格子の各点に対して偏向法を用いて前記第１及び第２の傾斜を測定するステップを含むことを特徴とする請求項１に記載の方法。
6. 請求項１乃至５の何れか一項に記載の方法のステップをプロセッサに実行させるコンピュータプログラム。
7. 物体の表面を再構成するためのシステムであって、
   − 物体の表面を表す測定結果の二次元格子であって、各格子点に対して、前記測定結果は、第１の方向への前記表面の第１の傾斜及び異なる第２の方向への前記表面の第２の傾斜についての対応する情報を含む格子を受けるための入力部と、
   − プログラムの制御下で、前記格子の二次元部分を選択し、前記選択された部分の全ての格子点の測定結果に対応する前記表面の部分をフィッティングするためのプロセッサであって、前記選択された部分の各格子点に対するフィッティングは、対応する第１及び第２の傾斜の情報に基づく、プロセッサと、
   − 少なくとも再構成された表面部分の表現を供給するための出力部とを含むことを特徴とするシステム。
8. 測定格子の各測定点に対して、対応する第１及び第２の傾斜の情報を測定するための測定ユニットを含むことを特徴とする請求項７に記載のシステム。
9. 前記測定は非直線に沿って実行され、前記測定格子が直接再構成に用いられることを特徴とする請求項８に記載のシステム。
10. 前記測定ユニットは偏向法測定ユニットを含むことを特徴とする請求項８又は９に記載のシステム。
    

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