JP2006228227A - 脅威対象がある状況下での地形追随飛行用の軌道を自動的に生成する混合整数線形計画法 - Google Patents

Abstract

【課題】地形に沿って飛行し、障害物及び多数の脅威対象を避ける航空機飛行軌道を生成する方法を提供する。
【解決手段】乗物の経路を計画する方法は：乗物の動力特性を表す第１の複数の制約条件を決定する工程と；障害物との衝突を表す第２の複数の制約条件を決定する工程と；脅威対象についての視認性を表す第３の複数の制約条件を決定する工程と；混合整数線形計画法について第１、第２、第３の複数の制約条件を用いて、障害物及び脅威対象を含む環境下で、開始地点から目的地点まで乗物についての軌道を生成する工程を有する。
【選択図】図１

Description

本発明は契約番号Ｆ３３６１５−９９−Ｃ３６１３に基づいて成された。米国政府は契約の下、本発明に対する権利を有する。

本発明は、乗物を自動で制御する方法に関し、特に地形追随飛行用の航空機を自動で制御する方法に関する。

障害物のある環境下で多数の移行路を計画する目的から、混合整数線形計画法(ＭＩＬＰ)(mixed integer linear programming)を用いた技術が近年開発されてきた。２００２年１２月の決定及び制御に関するＩＥＥＥ４１回目会議の議事録に於けるＭ.Ｇ.アール及びＲ.ダンドリアによる“混合整数線形計画法を用いたマルチエージェントシステムのモデル化及び制御”に示されるような技術が少なくとも実験状況で有用であることが証明され、移行路を計画するためにＭＩＬＰを実行する研究システムが構築されてきた。

混合整数線形計画法(ＭＩＬＰ)の問題点は、線形計画法(ＬＰ)の問題点に非常に近似しており、それは最良の解決策が見い出された状況下で、一組の線形目的関数及び制約条件があることである。ＭＩＬＰの問題点は、ＬＰの問題点とは、幾つかの変数が整数に限定されている点のみが異なり、このようにして、ＭＩＬＰの問題点の解空間は、同様のＬＰの問題点(整数に限定された点を除いたＭＩＬＰの問題点)の解空間の一部である。問題点の定式化としてＭＩＬＰを用いることの最大の利点は、速くて、並行処理可能なことであり、及びＩＬＯＧ ＣＰＬＥＸが容易に利用できる市販のＭＩＬＰソルバ(solver)を用いることができることである。

ＡＭＰＬのような数学的プログラムモデル化言語が開発され、複雑な問題を表す更に高いレベルの構成を上手に利用し、Ｃ＋＋のような高レベルのコンピュータ言語の如く多数のソルバにマップされる能力は、多くのプログラマにとって一層多用途であり、多数のプラットフォームについての複合言語にマップされ(即ち、適合され)得る。

２００１年９月の２００１年ヨーロッパ制御会議に於けるＴ.ショウウエナース、Ｂ.デ.ムーア、Ｅ.フェロン、及びＪ.ハウによる“多数の乗物の移行路を計画する混合整数計画法”は、多数の乗物に対して燃料が適切な移行路の計画と、２次元空間に於ける乗物動力特性及び障害物の二重積分とを組み合わせる基本的なＭＩＬＰ問題の定式化を記載している。

２００２年１０月の通信、制御及びコンピュータ化に関する恒例の４０回目のアラートン会議に於けるＴ.ショウウエナース、Ｅ.フェロン、及びＪ.ハウによる“自動乗物に対する安全なリシーディングホライゾン計画”は、安全な操作を組み合わせることにより、固定化された障害物と限定された長さの計画期間を用いて、ＭＩＬＰ移行路計画の実行が元々(priori)安全であることを保証している。

２００２年５月のアメリカ制御会議に於けるＪ.ベリングハム、Ａ.リチャード、及びＪ.ハウによる“自動航空機のリシーディングホライゾン(receding horizon)の制御”は、比較的大きな障害物の背後に陥ることを避けるべく、コスト対実行(go)マップを用いて、ＭＩＬＰ移行路計画のリシーディングホライゾンの実行を強化(augment)している。

２００３年５月のアメリカヘリコプター協会の５９回目のフォーラム議事録に於けるＴ.ショウウエナース、Ｂ.メッター、Ｅ.フェロン、及びＪ.ハウによる“全てが覆われた自動回転翼航空機の案内に対する混成構造”は、全てが覆われた飛行軌道計画を供給する第１段階として、ＭＩＬＰ移行路計画の問題に於ける、多数の線形時不変(ＬＴＩ)モード及び離散型有限時間の機動作戦の使用を許している。

上記の参考文献は、脅威対象を有する環境に於ける移行路計画には言及していない。地形を飛行し、障害物及び多数の脅威対象を避ける航空機飛行軌道を生成する方法を求めるニーズがある。

発明の要旨
本発明は、乗物の経路を計画する方法を提供し、：乗物の動力特性を表す第１の複数の制約条件を決定する工程と；障害物との衝突を表す第２の複数の制約条件を決定する工程と；脅威対象についての視認性を表す第３の複数の制約条件を決定する工程と；混合整数線形計画法について第１、第２、第３の複数の制約条件を用いて、障害物及び脅威対象を含む環境下で、開始地点から目的地点まで乗物についての軌道を生成する工程を有する。

他の態様に於いて、本発明は、乗物の経路を制御する方法を提供し、乗物の動力特性を表す第１の複数の制約条件を決定する工程と；障害物との衝突を表す第２の複数の制約条件を決定する工程と；脅威対象についての視認性を表す第３の複数の制約条件を決定する工程と；混合整数線形計画法について第１、第２、第３の複数の制約条件を用いて、一連の制御動作を生成し、開始地点から目的地点まで乗物を動かす工程を有する。

発明の詳細な説明
本発明は、障害物のある領域にて、自動乗物の最適移行路を計画する近年開発されたアプローチを、障害、領域、脅威対象の回避を伴う陸地誘導へ特別に適用される３次元へと拡大する。このアプローチは、都会及び非都会の両タイプ設定に於いて、多数の既知の地上の脅威対象を有する挑むべき領域にて、地形追随飛行を実行する回転翼航空機に適用され得る。
混合整数線形計画法(ＭＩＬＰ)は、問題の定式化の基礎を成し、問題の定式化からＣＰＬＥＸのような市販されているＭＩＬＰソルバを使用することにより、適切な解が得られる。得られる適切な解は、燃料、時間、高度及び脅威対象にさらされること、及び他の所定の基準について特定されるコスト関数に関して、適切であろう。ＭＩＬＰアルゴリズムのリシーディングホライゾンの実行は、リアルタイム又は略リアルタイムで実行することを可能にすべく用いられ得る。典型的な課題となるサイズ及び演算時間の概算が、回転翼航空機の地形追随飛行の場合に供給される。

標準的な混合整数線形計画法(ＭＩＬＰ)の問題は、以下のフォームで示される。

ここで、

添字ｘは整数に限定される。式(２)の制約条件に対して、整数に限定される添字ｘの部分に対応する列は、整数に制限され、一方、列の残りの部分は連続した整数である。

実用可能な解が存在するならば、適切な解ｘは対象となる関数(１)下の値が最小である変数のベクトルであり、ｘは制約条件(２)及び限界(３)を充たす。即ち、他の如何なるｘ^*≠ｘに対して、ｆ(ｘ^*)≧f(ｘ)又はｘの何れかは、(２)、(３)及び整数に制約されることの少なくとも１つを充足しない。

混合整数線形計画法は特に、障害物のある環境にて移行路を計画するのに適している、なぜなら連続した制約条件は乗物の動力特性を表し、一方、整数への制約は障害物に対する衝突制約条件を表している。

線形、時間不変量(ＬＴＩ)、連続した時間プラント動力特性については、

及び最初と最後の条件は、夫々ｓ_Oとｓ_Fに定められる。

特に、この記述の残りの部分について、入力として加速度を具えた二重整数モデルから成るプラント動力特性は、

である。

と定義することにより、式(５)は式(４)の形式に書き直され、それは

及び

と設定することにより、

を得る。

ＬＰ又はＭＩＬＰ問題としての軌道計画問題を公式化する目的から、プラント動力特性は選択された期間と区別される必要があり、

をもたらす。

式(６)を帰納的に用いて、注釈ｓ_k＝ｓ[ｋ]、ｕ_k＝ｕ[ｋ]とすると、

Ｎ時間工程についての問題と仮定すると、
ｓ_F＝ｓ_N

これを式(７)に適用すると、１セットの目的制約条件を得る。

他の制約条件がない場合に於いて、式(８)の解は１セットのＮ個の区分的な一定の制御｛ｕ₀,……,ｕ_N-1｝であり、Ｎ期間に於いてｓ₀からｓ_Fまで、連続したシステム(５)を操縦する。

ｖ_x、ｖ_y、ｖ_zの速度制約条件は、以下のように示される。
ｖ_min≦ｖ_k≦ｖ_max (９)
ここで

式(７)を式(９)に適用して、時間ｋ∈｛０，…,Ｎ−１｝について、速度制約条件を得る。

(ｕ_x ｕ_y ｕ_z)の制御の制限は、ｋ∈｛０，…,Ｎ−１｝について、以下のように表される。
ｕ_min≦ｕ_k≦ｕ_max (11)
ここで
ｕ_min＝[ｕ_x,min ｕ_y,min ｕ_z,min]^T,ｕ_max＝[ｕ_x,max ｕ_y,max ｕ_z,max]^Tである。

燃料及び時間の両方に適切な解について、対象となる関数を以下のようにしたい。

ここで
Ｘ＝[ｘｙｚ]^T, Ｘ_k＝Ｘ[ｋ]＝Ｗｓ_k, Ｘ_F＝Ｗｓ_F, Ｗ＝[Ｉ０]
である。

は、ｓ_kとｓ_F間の(ｘ,ｙ,ｚ)空間の１つの基準距離であり、ｒ及びｑは負でない重み付け要因である。式(12)の第１及び第２の語は、夫々燃料コスト及び未到着コストとして知られている。目的関数に於ける未到着コストは、最小時間の公式化にとって重要である。

１つの基準関数は線形でないから、更なるスラック変数(slack variable)ｖ_k及びｗ_kが導入されて、以下の制約条件について、所望の効果を生成する。

制約条件(13)及び(14)が、正の重み付けｑ及びｒと結合されると、また適切な解に於いて

を夫々保証する。

制約条件(13)はｋ∈｛０，…,Ｎ−１｝に対するＭＩＬＰ制約条件として、２つの別々の不等式に分解される。
ｕ_k−ｖ_k≦０, -ｕ_k−ｖ_k≦０ (15)

同様に、制約条件(14)は、２つの別々の不等式に分解され、式(７)を用いて拡張され、ｋ∈｛１，…,Ｎ−１｝に対するＭＩＬＰ制約条件として書かれる。

制約条件(13)及び(14)にて決定されるスラック変数は、目的関数(12)を便利に示すべく用いられる。

基本的なＬＰ軌道計画の問題は、このように目的地の制約条件(8)、速度の制約条件(10)、エネルギー(15)及び時間(16)についてのスラック変数の制約条件、制御の制限(11)、及び目的関数(17)から構成される。これらの条件下に於ける適切な解は、(17)で定義される最小コストで、Ｎ時間内にシステム(５)をｓ_oからｓ_Fに搬送する一連の制御動作と呼ばれる。

現行のＬＰ問題は、障害物との衝突の制約条件を含むように拡張される。３−Ｄに於けるｎ個の平面によって境界付けられるあらゆる任意の凸多面体について、多面体の内部は以下の不等式の組の結合によって表され得ることが示される。
ａ₁ｘ＋ｂ₁ｙ＋ｃ₁ｚ＞ｄ₁
： (18)
ａ_nｘ＋ｂ_nｙ＋ｃ_nｚ＞ｄ_n

ｓ_kが不等式(18)によって規定される領域の外側にあることを要求する衝突の制約条件は以下のように書き直せる。

ここでＭ＞＞０は、任意の大きな数であり、ｂ_k1は２値変数である。制約条件(19)及び(20)は、本来、(18)内の不等式の少なくとも１セットを実質的に否定し、ｓ_kが不等式(18)によって規定される領域の外側にあることを強いる。制約条件(19)を以下のように短く書くことにより、

各障害物ｉについて、及びｓ_kを式(７)に置き換えることにより、障害物に対する最終的なＭＩＬＰの障害物との衝突の制約条件
ｉ∈｛１，…,ｐ｝
は、ｋ∈｛１，…Ｎ｝について

ｂⁱ _k∈整数
となる。

障害物を避けるＭＩＬＰ軌道計画の問題は、基本的なＬＰ軌道計画内の制約条件、即ち式(８)、(10)、(11)、(15)、(16)、(17)に加えて障害物との衝突の制約条件(21)を含む。

Ｎが時間工程の数とすると、上記のＭＩＬＰ問題は

制約条件、３Ｎ＋３Ｎ＋３(Ｎ−１)連続変数、及び

から構成され、ｐは障害物の数であり、ｎ_iは障害物ｉを規定する平面の数である。

ＭＩＬＰ軌道計画の問題は、リシーディングホライゾン枠組みにて実施されて、問題のサイズを減じることにより、ＭＩＬＰの問題を解決するのに要求される演算努力を減じる。障害物を避けるリシーディングホライゾン軌道計画は、一連のＭＩＬＰ問題として実施される。
非常に遠く離れて位置し、達するのに多くの時間工程を要するｓ₀からｓ_Fまでの、最適な全軌道を計画することに代えて、問題は、より少ない時間工程Ｎを有するサイズが一層小さな下位問題に小分けされ、各下位問題内にて特定の目的状況ｓ_F(目的制約条件(８))に達するのに最早演算努力は要求されない。
代わりに、第１の下位問題は初期状態としてｓ₀を用いて、第１の下位問題から計画された軌道のサブセットのみが実施される(即ち、ｓ₁とｓ₂のみ)。その結果、第１の下位問題からのｓ₂が第２の下位問題等に於ける初期状態としてｓ_N＝ｓ_Fが演算される下位問題まで用いられ、ｓ_N＝ｓ_Fが演算される場合は、下位問題の全軌道が実施されて、乗物は目的地に達する。

全ての軌道を促進すべく、各下位問題の個々の軌道と同様に、目的地により接近するために、“最終コスト”として知られる更なる項(term)が目的関数に入る。

目的関数はこのようになる。

及び項を受け入れる為に、

追加のスラック変数ｗ_Nが式(14)に従って導入され、制約条件(16)はまだ保持されているが、範囲ｋ∈｛１，…Ｎ−１｝に亘って導入される。

“地域飛行”は地域調査及び人工の対象物を用いる戦術であり、敵が視覚的、光学的、電子的に航空機を探知し、又は見つける能力を低下させる。地形追随飛行(ＮＯＥ)は、群落、障害物にまで、又は周囲の光が許すまで、地上に接近する作戦行動によって特徴付けられる地域飛行の範疇である。本発明は、自動ＮＯＥ飛行を可能にする新規性のある方法を提供し、それは障害物を避けるだけでなく、障害物を積極的に利用して、既知の敵の構成員に探知されることを最小にする。

地域飛行は、障害物回避の変化であると考えられるが、いくつかの重要な違いがある。(１) 障害物は種々の箇所に略散らばっている一方、地域は乗物の下方で不変である。(２)障害物との衝突を避けるのに普通は十分であるが、地域飛行に於いて、対象物は低く位置しており、敵の視界外である。本発明は、地域を乗物が通過する３次元“フロアタイル”として作動する一連の障害物として構築する一方、軌道を地域に接近させることを維持する高度コストを導入することにより、基本的な地域飛行に取り組む(approach)。

ここでｚ_k＝ｚ[ｋ]＝Ｚ_sk,Ｚ＝[００１０００]であり、及びａ_zは正の重み付け要因である。目的関数(24)をＭＩＬＰ内で実行可能にすべく、式(７)を次のように置き換えることにより、スラック変数ｚ_k及び以下の制約条件が導入され得る。

式(24)及び(25)はともに、各地点にてコストを高度に比例する軌道に結びつける。重み付け要因ａ_zを元の目的関数(22)の他の重み付け要因ｒ、ｑ、及びｐと合わせることにより、ＮＯＥ飛行の攻撃性を変えることができる。

本発明の一実施例に於いて、地域は三角形が不規則に配列されたネットワーク(ＴＩＮ)として表され得る、なぜならそれは地域を格子状にモデル化する正攻法だからである。ＴＩＮは同様に方向付けられた三角形の単なるパターンであり、該パターンは規則的な四角形に基づく格子パターンの頂部に位置し、格子の各ポイントには高度が割り当てられており、その１つは図１に示される。図１は、三角形が不規則に配列されたネットワークを用いた地域(10)を示す。図に於いて、菱形は開始地点を表し、＊は目的地を表す。

ＭＩＬＰにて地域飛行を実施する正攻法は、ＴＩＮ地域内の各三角形を、３つの垂直壁を具えた障害物としてモデル化することであり、各垂直壁は図２に示すように隣の三角形に繋がった側壁に隣接して位置し、該側壁に直に対向する。図２は、地域タイルを用いた障害物(12)を表す図である。

地点ｓ_o及びｓ_Fは、地域上のどこかに位置し、目的関数毎に地域にできるだけ接近している間は、地域との衝突を避けるべく軌道が要求される。

文中にて考えられる脅威対象は、地上から空中へのミサイル(ＳＡＭ)位置、非航空機武器(ＡＡＡ)ユニット、及びレーダー位置のような地表、即ち地上の脅威対象として既知である。脅威対象を避ける問題を扱う種々の取り組みがある。この一層広い文脈に於いて、ＭＩＬＰは数学的プログラミングツールとしては独特である、なぜなら障害物と地域の両方を考慮に入れる脅威対象を避ける問題の公式化ができ、これは他の現行の方法にはない事例である。

この脅威対象を避ける公式化に於ける重大な前提は、視線方向に見えること及び対象物が不透明であるとの仮定である。脅威対象は、位置が知られており、地域の表面に固定された空間内の個々の点によって示されるが、一般に空間のどこかに固定され得る。脅威対象及び障害物が存在する図３、図４及び図５を考える。図３、図４及び図５に於いて、項目(20)(22)(24)(26)(28)は障害物であり、点(30)(32)(34)(36)は脅威対象の位置を示す。影付けられた領域(38)(40)(42)(44)(46)(48)(50)は安全地帯である。
軌道生成アルゴリズムは、障害物の背後の“影”を利用することを狙っており、影内にあるルートをできるだけ多く優先的に選択することにより、全ての既知の脅威対象に見えるように露出することを最小限にすることを追求している。この視線方向に見えるとの仮定は、レーダー、赤外線センサ、及び光学センサのような光学的及び無線を基とした検知機構を用いる全ての脅威対象に等しく適用可能である。ＭＩＬＰ問題を公式化する目的で、脅威対象を避ける２つのタイプが考えられ、それは絶対的と比較的である。絶対的に脅威対象を避けるタイプに於いては、全ての脅威対象に対して見えるように露出することは完全に避けられ、既知のどの脅威対象に対しても乗物が視認される時はない。
比較的に脅威対象を避けるタイプに於いては、全ての脅威対象に見えるように露出することはできるだけ避けられるが、脅威対象の露出と燃料消費、目標への適時の到着のような他の判断基準対象との間でバランスが採られる。多数の脅威対象に対して、実際の環境では、脅威対象を絶対的に避けることがしばしば不可能であるから、本記載では比較的に脅威対象を避けるタイプのみを考慮する。

図３、図４、及び図５は、安全地帯を示す図である。図５の暗い影部の領域(52)は技術的に２つの異なる安全地帯内にある。この類推は、図４に示すような多数の脅威対象及び多数の障害物の場合に拡張される。その場合に於いて、脅威対象と障害物の各結び付きに対応した１つの“影”がある。ｍ個の障害物及びｎ個の脅威対象について、ｍ×ｎ個の影がある。しかし、図５に示すように、これらの影は一部又は全部が互いに重なり、幾つかの場合に於いて、覆い隠し、又は他の影によって覆い隠される。

理論的には、脅威対象を避けるＭＩＬＰロジックは、２つの方法で実施される。(１)影を“安全地帯”と考え、ＭＩＬＰ問題を安全地帯内の航行を助長するように公式化する。又は(２)影のない領域を“非安全地帯”と考え、ＭＩＬＰ問題を非安全地帯を避けるように公式化する。第２の実施形態について、非安全地帯は避けるべきとの意味では障害物に近似しているものとして扱われるが、比較的な意味ではそうではない。
軌道が非安全地帯と交差する各時間に、正のコストが割り当てられ得る。他方で、安全地帯について、負のコストが同様に割り当てられる。２つのアプローチは最初は非常に近似しているように見えるが、安全地帯の公式化は、位相的な特性と同様に、その固有の望ましい幾何学的特性故に扱うのがより簡単である。
上記の如く、障害物は凸状であると仮定する。この凸状であるとの仮定故に、安全地帯は容易に決定される。定性的に述べれば、安全地帯は(１)“前面”の組(脅威対象に対向する障害物の側部)に、(２)(a)脅威対象(点)と(b)“背面”に隣接するこれら“前面”の縁の両方が交差する面の組を加えることによって境界付けられる。
図３は、２次元に於けるこのことを示している。３次元(立方体)に於ける対応した安全地帯は、無限の高さのピラミッドから小さなピラミッドを引いたものであり、小さなピラミッドは基端部として立方体の“前面”を有し、同じ頂部を共有している。１つの脅威対象に於いて、多数の障害物の場合は、脅威対象に見られない領域、即ち安全地帯全体は、各障害物及び脅威対象に関連した全ての安全地帯の単なる組み合わせである。図５に示す場合のように、たとえ１つの障害物が他の障害物の一部又は全部を、脅威対象の視界から妨害しても、これは真である、なぜなら一旦１つの影の内側にいれば、他の影によって覆い隠されようと、隠されまいと、安全だからである。他方では、非安全地帯は近似した位相的特性を有さない。

多数の脅威対象及び多数の障害物について、如何なる脅威対象によっても見つからない領域が存在する。これは、１組の安全地帯の交差箇所として定義され、別の脅威対象に対応する各組は図５に於ける最も暗い領域として示される。しかし、これらの領域は常には存在せず、絶対的な脅威対象を避けることのみに有用であり、故に本記載とは関係がない。記載されてきたことをより数学的に描くべく、点集合位相表記(point-set topology notation)が用いられ得る。ｔ個の脅威対象とｏ個の障害物があると仮定する。ｔ×ｏ個の安全地帯があり、夫々が１つの脅威対象と１つの障害物に関連する。安全地帯は下付き文字及び上付き文字が付されて、以下の如く示される。
Ｓⁱ _j
ここで
ｉ∈｛１，…ｏ｝
は障害物を示し、
ｊ∈｛１，…ｔ｝
は脅威対象を示す。脅威対象ｊに対応した安全地帯は、以下のようになる。

安全地帯が３次元に於いて、ｎ個の平面で境界付けられる凸状の多面体と仮定すると、該多面体の内側は、以下の不等式の組み合わせの結合として表される。
ａ₁ｘ＋ｂ₁ｙ＋ｃ₁ｚ≦ｄ₁
： (26)
ａ_nｘ＋ｂ_nｙ＋ｃ_nｚ≦ｄ_n

以下の制約条件を有すると仮定する。

ここで、Ｍ＞＞０は、任意の大きな数であり、ｂ_ki及びｂ´_kは２進数の変数である。

ｂ´_k＝０は、ｓ_kが(26)で規定される安全地帯内に位置することを含むことが容易に判るだろう。

各障害物ｉ及び脅威対象ｊについて、(27)を短縮形である

と書くことにより、及びｓ_kを式(７)に置換することにより、最終的なＭＩＬＰの脅威対象を避ける制約条件は、障害物について、
ｉ∈｛１，…ｏ｝
であり、及び脅威対象については、
ｊ∈｛１，…ｔ｝
であり、ｋ∈｛１，…Ｎ｝について、

となる。

制約条件(30)からｂ^ｊ _k＝０が少なくとも１つの以下の組｛ｂ´¹、^j _k,…,ｂ´⁰、^j _k｝がゼロである構成を含むことが判るだろう。即ち、時間ｋに於いて、軌道は、少なくとも１つの障害物の背後の脅威対象ｊから隠れている。これは、以下の如く表される。

我々は(24)に追加される更なる項目を具えた目的関数に対する制約条件(29)(30)を、

について考える。

制約条件(29)(30)(31)(32)は、以下のことを保証する。

(33)を確立するには、(31)の逆を証明すれば十分である。理論的根拠は時間ｋに於ける軌道が脅威対象ｊから本当に見ることができない、又は略見ることができないならば、

であり、(32)内のｂ^j _k＝１に関連する正のコストにより、解ｂ^j _k＝０がソルバには好ましい。このようにして、(29)(30)(31)(32)により、軌道が脅威対象ｊから見ることができる各時間工程ｋについて、正のコストａ_Tjを基本的に割り当てる。これは夫々離れた脅威対象に見えるように露出したことへの罰則であると考えられ得る。脅威対象に露出したことのコストの重み付け要因ａ_Tjは脅威対象ｊに依存している、なぜなら脅威対象の重み付けの微分が許されるからである。更に遠く離れ、又は重要でないと思われる脅威対象には、より低い重み付けが与えられ、或る脅威対象へ視認的に露出することは、他の比較的小さな脅威対象よりも強調される。

上記に呈した問題の公式化に基づくＭＩＬＰ軌道計画アルゴリズムの実行が記載される。特に、アルゴリズムはＭＩＬＰリシーディングホライゾン方法を用いて、格子を基とする地域に亘るヘリコプタ用の地域飛行軌道を生成する。軌道を生成するＭＩＬＰを実現可能にする第１の重要な工程は、実際のヘリコプタ性能特性のパラメータ化である。
乗物の動力特性に二重積分モデル(５)を使用しているから、ヘリコプタの速度限界(９)と加速度限界(11)を特定する必要がある。更に進んだ乗物モデルが(５)の代わりに用いられるならば、更に念入りにヘリコプタ特性をパラメータ化することができる。しかし、ＭＩＬＰ問題の公式化に於いて、乗物の動力特性全体は線形でなければならず、動作の式はボディフレームと慣性系との間の非線形変換を含むとの事実により、乗物を慣性系にモデル化することが大きく制限される。動作の非線形式の線形近似、又は動作に関するあらゆる非線形式の線形近似を引き出すことは可能であるが、その引き出す技術は問題を十分に取り除かない(scale well)新たな変数が導入され、取り扱いにくさに繋がる。
成功するＭＩＬＰアルゴリズムへの第２の重要な考えは、目的関数(22)に於ける重み付け値の選択である。目的関数はそれによって最適な解が決定される尺度であるから、重み付け値は最適なＭＩＬＰ軌道の動作に大きな影響を有する。各ミッションのタイプについて、適切な軌道の生成に最も適切な重み付け値の独自の組がある。例えば、時間重視型のミッションは、燃料重視型ミッションの重みの組とは全く異なる重みの組を有する。地域飛行の公式化について、所望の効果を得るべく、高度重みは他の重みに比較して適切に選択されなければならない。

本発明の一実施例は、図６に示すように、動力特性(５)を有する乗物が、頂部に障害物を有する格子状の地域に亘ってＮＯＥ軌道を進む(file)との前提(scenario)を用いる。ＭＩＬＰ問題は、ＭＡＴＬＡＢ環境下で構築され、続いてこれまで略記した制約条件及び問題の設定が構築され、式(１)、(２)、(３)にて合成ベクトル及び行列を規定する。次に、全てのＭＩＬＰ問題を描くｍｐｓフォーマットのテキストファイルが描かれ、ＣＰＬＥＸ ＭＩＬＰソルバにて読まれる。適切な解が演算された後に、結果はプロット及び分析の為にＭＡＴＬＡＢに戻される。我々は１つの時間工程期間を有するリシーディングホライゾン方法を用いているから、ＭＩＬＰソルバは各時間工程の終わりにて繰り返し要求される(called)。我々は上記した多数解を有する地域を三角形に分割する技術を用いないが、多数解技術の応用はより低コストの解をもたらすことが予想され、同じサイズの問題及び同様の解時間について、ＮＯＥ軌道は乗物から更に離れた地域特性を考えることができ、及び結果としてのコストは全体として最適に近くなる。例示内容は、多数の障害物及び脅威対象が生成されてきたことに対して、脅威対象を避けることを証明できる。図７は、多数の脅威対象(60)(62)及び障害物(64)(66)(68)(70)(72)(74)に対して、脅威対象を避けることを示している。最適な軌道は、脅威対象(星印)へは最小限にしか露出していない。

脅威対象を避ける内容を構築し、視覚化し、分析することが比較的困難である故に、図７に示す例は意図的に非常に簡単であるが、ＭＩＬＰソルバは合理的な時間内に、一層複雑な内容を解くことができる。図６及び図７に示すようなＭＩＬＰ軌道の生成は、ここで述べる価値のある幾つかのおもしろい挑戦を提供する。第１に、ＭＩＬＰ問題が適切に制約されなかったとき、求めている解が普通は最適な解であるから、例えば最適な解は望ましからぬ動作を示し、地域の地図が側壁を有する一連の三角形の“フロアタイル”として定義されるから、ＭＩＬＰに於ける衝突の制約条件は、障害物の表面上の軌道点が、三角形の“フロアタイル”の重なりが少しも無く、衝突と考えられないように定義される。
図８は、地域の重なりが無い制約条件下のＭＩＬＰ問題についての妥当な軌道(80)を示しており、地域の障害物の下方及び間を通る。図９は、リシーディングホライゾン下の軌道(80)を示し、高い高度コストを有し、境界壁が無い。図８に示す軌道はＭＩＬＰソルバにより有効であると考えられる、なぜなら如何なる衝突制約条件をも妨害しないからである。明白な解は図１０に示すように、地域ブロックの定義にて、有限であるが小さな重なりを含むことである。同様に、図９の形式の軌道は、等しく有効である、なぜなら解は地域ブロックの縁に沿い(run along)、如何なる衝突制約条件をも妨害しないからである。
このタイプの解は、高い高度の重み付け値に対してリシーディングホライゾン状況では一般的である、なぜならより低い高度を求めることは、目的地により近づくことよりも高い報酬があるからである。解は地域地図を囲む４つの障害平面を構築することである。最終的に、図７に示すように、脅威対象を避けるために、障害物及び安全地帯が夫々(18)及び(26)のようにモデル化される方法故に、“前面”即ち脅威対象に直面する障害物の面は、安全地帯の内側と障害物の外側に同時にあると考えられている。この問題に対する解は、安全地帯の平面的な“前面”を稍内側に移動させることである。

この点まで、本記載は実際の飛行軌道上にて、図６に軌道(52)として示すように、ＭＩＬＰ計画された軌道を実行することについてどのように行うかに取り組んでいない。これが、実際の飛行のハードウエア及びソフトウエア内で、ＭＩＬＰと他の構成部品との間のインターフェイスを考えれることの必要性である。上記の記載に於いて、式(６)に繋がる連続時間のＬＴＩシステムの時間離散化を簡潔に述べた。時間離散化が招来する問題は、計画された軌道内に於ける点間の連続性が欠如していることである。結果として、問題の公式化にて特定される他の制約条件と同様に、障害物は、計画された軌道内でこれらの繋がり点にてのみ実施され、点間では実施されない。障害物を避ける場合に於いて、特に最適な解は、図７に示すように、目的関数を最小化すべく、障害物をかろうじて避けて通るものになり易い。従って、仮に繋がり点を接続する一連の直線に続いて行くべきならば、障害物に衝突しそうである。問題への解は繋がり点間の距離を明らかにするために、実際のサイズよりも大きな障害物をモデル化することにある。この技術はまた、質点ではない乗物について生じる同様の問題を取り扱う。各障害物は乗物の寸法に従って同様に拡大する。更に、脅威対象を避ける公式化に於いて、障害物の境界を広げる一方、同時に同じ量だけ安全地帯の境界を収縮させるのに注意する必要があり、非質点乗物によって障害物と衝突することがより容易になり、探知を避けることがより困難となるとのロジックに注意する必要がある。更に進んだ実施に於いて、乗物は障害物を避ける目的からある大きさを有し、脅威対象を避ける為に分離し一層小さな大きさを有する。

生じる他の基本的な問題はメカニズムであり、該メカニズムを用いて乗物がＭＩＬＰ問題によって生成される軌道に続く。この問題は時間を離散化する時間長さの選択に緊密に関係し、同じ計画期間についての問題サイズと、軌道点のまばらな分離とが相対する(tradeoff)。ＭＩＬＰ軌道を実施する最も簡単な方法は、計画された軌道点を次々と辿る中間地点の追跡者を有することである。更に進んだ技術は、乗物の動力特性と同様に動作の式を考慮する非線形の外側ループを含む。我々は、この進んだ非線形の技術をＭＩＬＰに基づく経路計画へのアプローチと結びつけることにより、自動的な地形追随飛行に対する最良の全閉ループ解が提供されると信じる。ＭＩＬＰ経路計画と他のシステムの構成要素との間のインターフェイスの重要な要素は、ＭＩＬＰ経路計画への入力である。本記載により提供されるアルゴリズムは本来障害物を避ける機能を発揮するから、適切なＭＩＬＰ問題が構築されるように、障害物のデータをＭＩＬＰに基づく経路計画に組み合わせる手段がなければならない。おそらく、情報はオフラインのデータベース、光学センサから処理されたデータ、又は両方の組み合わせから生じる。しかし、ＭＩＬＰ問題へのあらゆる制約条件を、できるだけ関連付けることは重要である。
従って、現在のＭＩＬＰ問題に最も関連する障害物を選択するのに特に工夫された方法がなければならず、該方法は環境をモデル化する際に、問題のサイズを詳細なレベルと入れ替えることができる。

本発明は、基本的な３次元のＭＩＬＰ障害物を回避する経路計画のアルゴリズムを、地域に接近して滞在することと、障害物と衝突することを避けることとが同程度の優先度を有する地域飛行を実行するまでに拡張し、且つ適切な経路計画によって既知の脅威対象に見えるように露出することを最小とするように構成された新規性のある脅威対象を回避する公式化を導入する。
多数の脅威対象及び障害物に対して脅威対象を避ける内容と同様に、固定された状況及びリシーディングホライゾン状況の両方にて、地域上を飛行し、障害物を避けるＭＩＬＰ生成された軌道の例が記載されてきた。

記載されてきた本発明の実施例は、リシーディングホライゾンアプローチを用いて、より長い時間スケールのＭＩＬＰ軌道計画問題を解決するが、固定した障害物に対する１つの乗物及び３次元内の地域に制限され、大きな障害物の背後の罠を避ける特殊な手段を持たない。問題への制約条件が行列形式で明確に表されてきた。

混合整数線形プログラム(ＭＩＬＰ)に関して最適な軌道生成に対する問題公式化の例を記載する。先ず、ＭＩＬＰに於ける１つの最適な軌道生成問題を公式化し、次に我々の問題の範囲をリシーディングホライゾン制御、地形追随飛行、視認性の制限数及び安全保証を含むように拡張することを確立する。我々はまた、視認性領域を演算すべくアルゴリズムの記載を含む。

基本的な軌道計画ＬＰ問題は、適切な線形プラント動力学から開始する。

問題は、一定の到着時刻問題として公式化される。時間工程ts＝総時間＝Ｎとし、Ｎは時間工程の数であり、総時間は乗物が開始状態から最終状態まで移行するまでの時間である。次に、上記の動力学を以下のように離散化する。
ｓ[ｋ＋１]＝Ａｓ[ｋ]＋Ｂｕ[ｋ]
ここで

以下の最初及び最終の制約条件に基づき：

及び注釈ｓ_k＝ｓ[ｋ]；ｕ_k＝ｕ[ｋ−１]と仮定すると、以下の一組の方程式を得る。

ｓ_N＝ｓ_Fであるから、我々は以下を得る。

または、行列形式で、

次に、エネルギーコスト関数のスラック変数を考える。標準的な線形プログラミング(ＬＰ)問題は以下の形式となる。

しかし、これまでは我々は以下のみを得た。
Ｄ_B≦Ｄ_Aｕ≦Ｄ_B

最小時間、最小エネルギー関数を実行する１つの方法は、コスト関数を以下のようにする。

ここで、ｄ₁(ｓ₁，ｓ₂)は２点間の１つの基準距離である。

エネルギー関数を線形関数として実行する１つの方法は、スラック変数ｗ及びｖを以下に導入することである。

(注：ｓ_ix＝ｘ_i,ｓ_iy＝ｙ_i,ｓ_iz＝ｚ_i)

これは本質的には以下になる。

コストベクトルと状態ベクトルを作ることにより、

我々は本質的にｖ_ik及びｗ_ikを以下のようにする。

又は同等に

従って、我々は以下を有する。

上記のコスト関数を行列形式で実際に実行するために、我々は以下の不等式に注目する。

同等の式は

合計するとｋ：∀ｋ∈｛ｘ，ｙ｝,で、以下を得る。

ここで

我々は次のことを知っているから：
ｓ_k＝Ａ^kｓ₀＋Ａ^k-1Ｂｕ₁＋…＋ＡＢｕ_k-1＋Ｂｕ_k

或る再構成の後に、以下を得る。

又は、行列形式で、

我々がこのように定義すると、

∀ｉ,ｋのように上限ｕ_maxをｕに導入すれば、
−ｕ_max≦ｕ_ik≦ｕ_max

その結果、ＬＰ問題公式化は以下となる。

速度制約条件は、ｘ−ｙ平面上の速度に関する八角形の境界、及びｚ要素の最大境界から構成される。

であるから、我々は以下の制約条件を有する。

我々は以下のように設定する。

我々は次のことを知っているから：
ｓ_k＝Ａ^kｓ₀＋Ａ^k-1Ｂｕ₁＋…＋ＡＢｕ_k-1＋Ｂｕ_k

各時間ｋについて、以下を有する。

又は、再構成の後の行列形式で

複合形式は以下になる。

又は、短い形式で
Ｖ_BL≦Ｖ_Aｕ≦Ｖ_BU
となる。

次に、障害物が整数に制約されることを考える。以下で定義される３−Ｄ内の直方体の箱を想定する。

我々は以下のように、２進変数ｂ_*∈｛０,１｝及び以下のような十分大きな数字Ｍ≫０を導入する。

上記の制約条件は、(ｘ,ｙ,ｚ)が箱の外にあることを確実にする、なぜなら最後の不等式は少なくとも１つの２進変数ｂ_*が０であることを要求し、我々が箱の中にある点について確立した少なくとも１つの不等式を否定し、また、点(ｘ,ｙ,ｚ)は６つの箱の境界の少なくとも１つの外にあることを意味するからである。

上記の目的は、６つのユークリッド平面不等式によって記載される。上記概念は、非ユークリッド平面不等式によって定義され得る対象に一般化される。３−Ｄに於ける非ユークリッド平面は、以下の式によって記載され得る。
ｚ＝ａｘ＋ｂｙ＋ｄ

我々は、非ユークリッド平面不等式を障害物の整数への制約に変えることができる。

取り扱いを簡単にすべく、我々は以下の補足的な行列及び変数を導入することにより、ユークリッド不等式を、上記した非ユークリッド不等式と同様に、行列形式に変える。

時間ｋに於けるあらゆるｎ側の２進凸多面体に対して、我々は以下の不等式を有する。

我々が

を設定すれば、

上記の不等式は以下になる。

我々は上記を簡単な例を用いて記載する。以下の不等式によって定義されるピラミッド(ｎ＝５)を有することを想像されたい(図１１に示す)。
ｚ＜−ｘ＋１
ｚ＜ｘ＋１
ｚ＜−ｙ＋１
ｚ＜ｙ＋１
ｚ＞０

ピラミッドの外側にあるべき点(ｘ,ｙ,ｚ)について、以下の５つの不等式の少なくとも４つが真でなければならない。
ｚ≧−ｘ＋１
ｚ≧ｘ＋１
ｚ≧−ｙ＋１
ｚ≧ｙ＋１
ｚ≦０
我々は以下の制約条件を有する。

補足的な行列及び変数を用いることにより、我々は同じ結論を得る。

行列形式に於いて、これは以下になる。

以前のセクションでの以下のことを思い出されたい。
ｓ_k＝Ａ^kｓ₀＋Ａ^k-1Ｂｕ₁＋…＋ＡＢｕ_k-1＋Ｂｕ_k

上記の不等式は以下に書き直される。
θＡ^kｓ₀＋θＡ^k-1Ｂｕ₁＋…＋θＡＢｕ_k-1＋θＢｕ_k−Ｍｂ_k≦θ´

又は行列形式にて

我々がｋ個の時間工程について、全ての不等式を合計すると、以下の複合した制約条件を有する。

我々が以下を定義すれば、

障害物制約条件は、以下になる。

多数の障害物を有する場合を考える。各乗物に対応する一組の障害物の制約条件は、互いに独立しているから、更なる障害物を導入したならば、更なる一組の制約条件を導入することだけが必要である。ｐ個の障害物を有し、各障害物ｉ∈｛１,…,ｐ｝について、ｎ_i個の側面を有すると仮定する。各障害物に対応する制約変数に、障害物を意味する上付き文字を付することにより、以下の制約条件を得る。

前のセクションから以下を思い出していただきたい。

以前のセクションから有する全ての複合行列を組み合わせることにより、我々は最終的なＭＩＬＰ問題の公式化を得る。

Ｎが時間工程の数であると仮定すれば、上記のＭＩＬＰ問題は以下のサイズを有する。
制約条件の数

連続変数の数
３Ｎ＋３Ｎ＋３(Ｎ−１)
不連続変数の数

リシーディングホライゾン制御の実行は、以前に考慮した固定時間の到着、無限期間問題とは僅かに異なるのみである。１つの差は、我々はもはや乗物が計画期間の最後に目的地に到着することは期待しておらず、以下はもはや適用されない。
Ｄ_B≦Ｄ_Aｕ≦Ｄ_B

乗物が計画期間の最後に目的地にいることに限定することに代えて、最終コストを含むようにコスト関数を修正することにより、乗物を目的地Ｓ_Fに更に近づけることを助長する。

我々が以前行ったように、同様の方法でエネルギー関数に於いて、追加の項ｐｄ₁(Ｓ_N,Ｓ_F)を実行することができる。我々は、∀ｋ∈｛ｘ,ｙ｝のようなスラック変数を導入する。
−ｗ_jk≦ｓ_jk−ｓ_Fk≦ｗ_jk
(注：ｓ_ix＝ｘ_i，ｓ_iy＝ｙ_i)

これは本質的に以下となる。

コストベクトルと状態ベクトルを作ることにより、

我々は基本的にｗ_Nkを以下の如く最小化する。
ｗ_Nk＝‖ｓ_Nk−ｓ_Fk‖,
又は同等に、

上記コスト関数を行列形式で実際に実行すべく、以下の不等式について注目する。
−ｗ_Nk≦ｓ_Nk−ｓ_Fk≦ｗ_Nk

同等の式は、
(ｓ_Nk−ｓ_Fk)−ｗ_Nk≦０
−(ｓ_Nk−ｓ_Fk)−ｗ_Nk≦０

我々が、ｋ：∀ｋ∈｛ｘ,ｙ｝を合計すると、

を得る。ここで、

我々は
ｓ_k＝Ａ^kｓ₀＋Ａ^k-1Ｂｕ₁＋…＋ＡＢｕ_k-1＋Ｂｕ_k
であることを知っているから、

幾つかの再構成の後に、以下を得る。

又は、行列形式で

行列形式に於いて、我々は前に有する行列に対して、論じることが出来る。

従って、我々は代わりに以下を得る。

仮に以下を定義したならば、

その結果、ＬＰ問題公式化は、以下になる。

そして、ＭＩＬＰ問題公式化は、以下になる。

Ｎが時間工程の数と仮定すると、上記リシーディングホライゾンのＭＩＬＰ問題は、以下のサイズとなる。
制約条件の数

連続変数の数
３Ｎ＋３Ｎ＋３Ｎ
不連続変数の数

地形追随飛行(ＮＯＥ)について、我々は乗物を地上により近く留まらせることを奨励したいと仮定する。我々は乗物の高度(ｚ)にコストを課すことにより、これを行うことができる。

我々が
Ｚ＝[００１０００]
と定義したならば、

Ｚ_k＝Ｚ_sk
であり、
ａ_Z(ｚ₁＋…＋ｚ_N)＝ａ_Z(Ｚ_S1＋…＋Ｚ_SN)
である。

我々は、
ｓ_k＝Ａ^kｓ₀＋Ａ^k-1Ｂｕ₁＋…＋ＡＢｕ_k-1＋Ｂｕ_k
を知っているから、

ｚ_k＝Ｚ_skを実行可能にするために、以下の制約条件を導入することにより、ｚ_kスラック変数を作る。
ＺＡ^k-1Ｂｕ₁＋…＋ＺＡＢｕ_k-1＋ＺＢｕ_k−ｚ_k＝−ＺＡ^kｓ₀

又は、行列形式で

そして、複合形式は、

我々が

と定義したならば、

我々は、
Ｚ_B≦Ｚ_Aｕ−Ｉ^N×Nｚ≦Ｚ_B
を有する。

これをＲＨ問題公式化に於ける現行の行列に加えて、以下を生じる。

或いは、我々がＮＯＥ制約条件を非ＲＨ公式化に導入すれば、以下を有する。

Ｎが時間工程の数とすると、上記リシーディングホライゾンのＭＩＬＰ問題は、以下のサイズとなる。
制約条件の数

連続変数の数
３Ｎ＋３Ｎ＋３Ｎ＋Ｎ
不連続変数の数

或いは、我々がＮＯＥ制約条件を非ＲＨ公式化に導入すれば、問題のサイズは、
制約条件の数

連続変数の数
３Ｎ＋３Ｎ＋３(Ｎ−１)＋Ｎ
不連続変数の数

我々は、ＭＩＬＰに於ける種々の問題の公式化を提供してきた。１つの暗黙の想定は、これらの各問題に解があることであった。しかし、常にそうではない。実際に、制約条件の非常に簡単な取り扱いについて、我々はこれらの修正された問題について解が存在しないことを容易に示すことができる。例えば、特定の状況下で乗物が開始し終了することを要求するあらゆる期間固定型ＭＩＬＰ問題について、乗物が利用できる最大速度及び／又は最大加速度を厳しく制限することにより解が存在しないことを容易に示すことができる。同様に、あらゆるリシーディングホライゾンのＭＩＬＰ問題について、我々は乗物が高速で運行することを許すが、非常に制限された加速度／減速度、及び問題の公式化に於いて乗物が障害物を“見る”ことができるが、衝突を避けることが数学的にできないような限定された期間で運行することは許さない。
これらの両ケースに於いて、特定の問題の公式化によって課される全ての制約条件を充足する解は存在しない。第１の場合に於いて、速度と加速度の制約条件を充足する如何なる提示される解も、所定時間に目的地に到着しない。第２の場合に於いて、速度と加速度の制約条件を充足する如何なる提示される解も、衝突の制約条件を充足せず、その逆もしかりである。
前者の場合に於いて、問題を悪性の問題とのみ考える(call)ことができる、なぜなら乗物が不可能な点に達することを求めているからである。

これは、問題の制約条件をより実際的な値に再定義することにより、解決される。後者の場合は、安全な作戦行動への動機付けである。この場合にもたらされる危険は、実際の環境に於いてＭＩＬＰ軌道計画を実行すべきならば、非常に現実的である。従って、解決工程に於いて、この場合が現れないことを確実にするメカニズムを導入するのが望ましい。 乗物モデルが各軸に於ける二重積分のモデルであるから、乗物がいかなる障害物にも衝突しないことを確実にする１つの方法は、乗物の最大速度(vmax)、乗物の最大加速度(umax)、先読み時間期間(Ｎ)を適切にスケーリングすることであり、最悪の場合に於いて、理論上の解が未だ存在しているが、該解は対象となる障害物の背後に一時的又は永久に停止していることを含む。これは、以下の制約条件を乗物の動力特性に課することにより容易に達成される。
ｖ_max≦Ｎ×ｕ_max
これは、乗物が計画期間として、時間工程の同じ数にて停止することを確実にする。

そうでなければ、理論上の解(最適か否か)が存在するが、ＭＩＬＰ問題が大きすぎて、あらゆる有効な解(次善であっても)が、実時間での乗物制御との関連で、ソルバが解を得るのに非現実的な時間量を要する他の場合もある。安全を保証する見地から、我々が適切に障害物を検知し、規定された最大速度制限に固執し、規定された減速ができると仮定すれば、ソルバが実時間環境に於いて、適切な特定時間内に妥当な解に戻ることができないときはいつでも、我々は乗物を強制的に停止させることができる。最大減速及び計画期間に結びつく乗物の速度制限は、まだここで適用する。このメカニズムは実際に作動する、なぜなら殆ど全てのＭＩＬＰソルバは、ユーザーが設定できる中断値(time-out value)を有し、該中断値を越えてソルバは中断前に見つけた最良の解を示し、又は有効な次善の解が見つからなかったことを示す。

我々は、３−Ｄを通して、障害物に対する軌道を生成することを目的とし、軌道に亘って、乗物は、位置が知られている地上の脅威対象の視野方向内には入らない。その例が中心街領域であり、多数のビルディングが脅威対象についての視野方向への障害として役立つ。

既知の脅威対象についての視野方向が、計画された全軌道に亘って完全に避けられるならば、避けられるべき障害物に近似した、脅威対象に見付かる全ての空間を決定でき、計画された軌道はこれらの空間と交差しない。これにより、現行のＭＩＬＰ問題の公式化を用いることができる。しかし、典型的な３−Ｄの場合、問題を逆に考えることはしばしば容易である。即ち、軌道が避ける必要がある障害物のような非安全地帯を決定する代わりに、脅威対象によって見付からない安全領域の概念を導入する。我々は、そのような安全領域を、１つの脅威対象と１つの障害物に関連した空間であると正式に決定し、該空間内では脅威対象に見付からない。幾何学的に、各安全地帯は、脅威対象(地点)及びこれらの前記側部の縁とが交差する面と同様に、脅威対象に直面した障害物の側部によって境界付けられる。図３は、２−Ｄに於ける安全地帯を示している。立方体について３−Ｄに於ける対応する安全地帯は、無限の高さを有するピラミッドから、基端部として立方体の“前面”を具えて、頂部を共有する小さなピラミッドを引いたものである。

基本的には、安全地帯はＭＩＬＰアルゴリズムに於いて決定し実行するのに、幾つかの理由から、非安全地帯よりも幾何学的に簡単である。
第１に、１つの脅威対象、１つの障害物の場合に対する安全地帯は、脅威対象下の障害物に投げかけられた単なる“影”であり、このように凸状の障害物を決定することが簡単である。
第２に脅威対象が１つで多数の障害物の場合、脅威対象に見付からない１組の空間、即ち安全地帯の全体は、各障害物に関する全ての安全地帯の単なる結合である。図１２は、空間がどのように見えるかを示している。図１２に於いて、脅威対象が地点(100)に位置する。障害物(102)(104)は脅威対象からの視線方向を阻止して、安全地帯(106)(108)を生成する。たとえ、１つの障害物が部分的又は全体的に脅威対象からの視界を阻止しても、これは真である、なぜなら“影”の１つの内側にあれば、他の障害物の“影”にあろうとなかろうと、安全であるからである。図４は、なぜこれが真であるかを示す。他方では非安全地帯は同様の“洗練された”特性を有さない。図５は、脅威対象が１つで、多数の障害物の場合についての安全地帯全体を示す。
第３に、もし多数の脅威対象と多数の障害物があれば、安全地帯全体は安全地帯の組の交差箇所として決定され、各組は脅威対象に対応する。

我々が記載したことをより数学的な図で描くために、ポイント設定位相幾何学から注釈を用いる。ｔ個の脅威対象とｏ個の障害物があると仮定する。我々はｔ×ｏ個の安全地帯を有し、各々は１つの脅威対象及び１つの障害物と関連する。各安全地帯は脅威対象によって投げかけられた障害物の背後の“影”に喩えられる。安全地帯に下付き文字と上付き文字を以下のように付す。
Ｓⁱ _j
ここで
ｉ∈｛１,…,ｏ｝
は障害物を示し、
ｊ∈｛１,…,ｔ｝
は脅威対象を示している。

安全地帯全体は、以下になる。

各障害物は平面的な不等式の有限数にて決定されると仮定し、各障害物と脅威対象に関係した安全地帯はまた、平面的な不等式の有限数にて決定される。我々が以下の式で定義される３−Ｄ内の直方体の箱を有すると仮定する。

我々は各時間工程ｋについて、２進変数ｂ_k∈｛０,１｝を有し、Ｍ＞＞０は以下の如く十分に大きい。

最初に我々は
ｂ^box _k＝０
は(ｘ,ｙ,ｚ)が時間ｋに於いて箱の内側にあることを意味していることを示す。

安全地帯を直方体の箱内に制限する代わりに、上記で導入した補助的な行列及び変数を用いることにより、上記の制約条件を平面制約条件(しかし、必ずしもユークリッドである必要はない)によって定義される３−Ｄ空間を含むように一般化する。我々がｓ個の平面的制約条件又は側部にて定義される安全地帯を有すると仮定すると、我々は以下の制約条件を有する。

我々が

を設定すると、

上記不等式は
−θｓ_k−Ｍｂ_k≦−θ′
ｂ_k1＋…＋ｂ_ks−Ｍｂ′_k≦０
となる。

全てのｋ∈｛１,…,Ｎ｝について、上記の不等式を合計し、及び続いて上記した以下の同様の簡略化工程を合計すれば、我々は以下を有する。

我々が

を定義すれば、

制約条件は

となる。

従来通り、ｂ′_k＝０は、軌道が障害物補足行列及び時間ｋに於ける変数(θ,θ′)によって定義される安全地帯の内側にあることを意味する。我々が、各障害物ｉ∈｛１,…,ｏ｝、及び各脅威対象

によって定義される１つの安全地帯を有すると仮定する。

我々は、以下の制約条件を有する。

上記の制約条件は、組の少なくとも１つ｛ｂ′^1,j _k,…,ｂ′^o,j _k｝がゼロであることを保証する。即ち、時間ｋにあって、軌道は少なくとも１つの障害物の背後の脅威対象ｊからの視界から隠れている。全ての脅威対象ｊと時間工程ｋを合わせて、軌道は、全ての時間工程にて障害物の背後の視界から、全ての脅威対象から隠れる。

我々は、以下を

全てのｉ∈｛１,…,ｏ｝、ｊ∈｛１,…,ｔ｝について行列形式で表すことができる。
その結果、我々は以下を有する。

我々がｂ′^1,j _k＋…＋ｂ′^o,j _k≦ｏ−１を、全てのｊ∈｛１,…,ｔ｝、ｋ∈｛１,…,Ｎ｝について行列形式で表すとすると、我々は先ず以下に気付く。

故に、全てのｊ∈｛１,…,ｔ｝について、我々は以下を有する。

最終的に全てのｊ∈｛１,…,ｔ｝について合計することにより、我々は以下を得る。

仮に我々が

を定義すれば、その結果、我々は以下を有する。

そして、現行のＭＩＬＰ問題公式化に対し、脅威対象の視認性の新たな制約条件を論じれば、記号形式で以下の如く表される。

その結果、我々は以下を有する。

脅威対象の視認性について絶対的なアプローチの不利な点は、脅威対象に見付かる露出が合理的に最小である(しかし、ゼロではない)多くの問題が省略されて、幾つかの問題は結果として解がないことである。この限定に対する解は、関連する脅威対象の視認性の制約条件の組を構築することであり、乗物は脅威対象の領域の外に留まることを後押しされるが、要求はされず、結果として生じる軌道は脅威対象の視認性、時間、エネルギー、及び／又は他の最適な基準との間にて、最も均衡の採れたものとなる。

上記の如く、我々は、障害物と脅威対象の各組み合わせに対する以下の制約条件を有する。

及び時間ｋに於けるあらゆる脅威対象ｊに対して見えないことを保証する以下の制約条件を有する。
ｂ′^1,j _k＋…＋ｂ′^o,j _k≦ｏ−１

我々が上記の制約条件を以下の如く修正すれば、
ｂ′^1,j _k＋…＋ｂ′^o,j _k−Ｍｂ^j _k≦ｏ−１

その結果、元の制約条件について以前に用いられた同じ主張に続いて、ｂ^j _k＝０が時間ｋに於いて、軌道が脅威対象に見えないことを意味することを示すことができる。ｂ^j _k＝１は軌道が脅威対象から見える、又は見えないの何れかを意味するものではないが、我々が上記の制約条件を以下のａ_t＞０を具えたコスト関数と組み合わせれば、

その結果、我々は正のコストをあらゆるｂ^j _k＝１へ結びつけ、時間ｋに於ける軌道が脅威対象ｊにとって本当に見えないならば、ソルバはｂ^j _k＝１に対してｂ^j _k＝０を解として特別扱いし(favor)、他のすべてについての低コストが同じになることを達成する。このようにして、ｂ^j _k＝１は、時間ｋに於いて軌道が脅威対象ｊに見付かることを意味すると言っても間違いではない。従って、修正されたコスト関数について、我々は基本的に各時間工程について、正のコストを各脅威対象に見付かることに結びつけ、実際的である限り、軌道が脅威対象から見えない状態を維持することを促す全体効果を有する。

我々が関係する脅威対象に視認される制約条件を要約すべく、我々は全てのｋ∈｛１,…,Ｎ｝について以下の修正された制約条件を最初に示す。
ｂ′^1,j _k＋…＋ｂ′^o,j _k−Ｍｂ^j _k≦ｏ−１
及び、以下を定義し、

以下を得る。

全てのｊ∈｛１,…,ｔ｝について、我々は、

を有する。

最終的に、我々は、

を有する。

我々が

を定義し、我々が以前のセクションで作ったＴ_A1，Ｔ_A2，Ｔ_A3，Ｔ_B1，χ_T1，及びχ_T2について、以前の定義を想定すると、その結果、我々の関連する脅威対象の視認性についての制約条件は以下の形式を有し、

そして、現行のＭＩＬＰ問題の公式化に対し、新たな脅威対象の視認性についての制約条件を論じれば、記号形式で以下の如く表される。

その結果、我々は以下を得る。

乗物が、多数の偵察対象を見ることができる(必ずしも同時ではない)最適な軌道、即ち都市環境下に於ける爆弾による損傷の評価についての軌道を生成することを望んでいると仮定する。換言すれば、各偵察対象について、我々は、そこから偵察対象が乗物の視線内にある少なくとも１つの箇所を乗物が訪れなければならないことを要求する。脅威対象からの視認性に関して、安全地帯は非安全地帯よりも実行するのに容易であることを、以前のセクションから想起する。従って、我々が偵察対象を脅威対象として考え、安全(又は非安全)地帯を、そこから偵察対象を見ることができない(又はできる)箇所として考えるならば、各脅威対象についてそのような偵察任務を行うために、計画された軌道に於いて、少なくとも１つの時間工程に関連する全ての安全地帯の外側に居なければならない。我々の解は軌道が安全地帯の外側にあることを要求するから、上記で考慮したように、我々が障害物について確立した基本的な問題の公式化を導入する。ｓ個の平面制約条件によって定義される障害物についての以下の制約条件を想起する。
θ₁ｓ_k−Ｍｂ_k1≦θ₁′
：
θ_sｓ_k−Ｍｂ_ks≦θ_s′
ｂ_k1＋…＋ｂ_ks≦ｓ−１

最後の制約条件、即ち
ｂ_k1＋…＋ｂ_ks≦ｓ−１
は以下のように変更される必要がある。
ｂ_k1＋…＋ｂ_ks−Ｍｂ′_k≦ｓ−１
ｂ′_k∈｛０,１｝
故に、元の制約条件
ｂ_k1＋…＋ｂ_ks≦ｓ−１
は、ｓ_kが障害物の外にあることを要求し、修正された制約条件ｂ′_k＝０が時間ｋに於いて、安全地帯の外にあることを意味する。

我々が

を設定すれば、

上記の不等式は、以下になる。
θｓ_k−Ｍｂ_k≦θ′
ｂ_k1＋…＋ｂ_ks−Ｍｂ′_k≦ｓ−１

上記したように、同様の操作工程を追随して、上記の制約条件を以下のように減らす。

我々が、

を定義したならば、

その結果、制約条件は

となる。

一般に、我々は多数の偵察対象と多数の障害物を有しているから、偵察対象及び障害物に関する各地帯に対して、多数の安全地帯を有する。我々は障害物ｉと対象ｊの各組み合わせについて、上記の安全地帯制約条件を定義する。

以前の説明から、ｂ′^i,j _k＝０は、軌道が時間ｋに於いて、障害物ｉと偵察対象ｊに関する安全地帯の外側にあることを意味する。我々は各対象について、以下の制約条件を有する。
ｊ∈｛１,…,ｔ｝
及び時間
ｋ∈｛１,…,Ｎ｝
ｂ′^1,j _k＋…＋ｂ′^o,j _k−Ｍｂ^j _k≦０

ｂ′^j _k＝０が全ての障害物ｉ∈｛１,…,ｏ｝について、ｂ′^i,j _k＝０を意味することは明らかである。即ち、時間ｋに於いて、軌道が偵察対象ｊの全ての安全地帯の外側にあり、従って軌道は偵察対象ｊに視認される。各偵察対象ｊについて、所望の軌道が、少なくとも１つの時間工程についての偵察対象に関する全ての安全地帯の外側にあることを要求するためには、我々は各対象について以下の制約条件を有する。
ｊ∈｛１,…,ｔ｝:
ｂ^j ₁＋…＋ｂ^j _N≦Ｎ−１

これはｂ^j _k＝０であること、即ち各対象ｊについて少なくとも１つの時間工程ｋがあることを要求する。即ち、各偵察対象について、軌道は偵察対象の視線内であり、偵察対象は少なくとも一度は軌道内にある。

我々が全てのｉ∈｛１,…,ｏ｝,ｊ∈｛１,…,t…,t｝,について、以下を行列形式で表せば、

我々は

を有する。

我々が全てのｊ∈｛１,…,ｔ｝,ｋ∈｛１,…,Ｎ｝,について、以下を行列形式で表し、
ｂ′^1,j _k＋…＋ｂ′^o,j _k−Ｍｂ^j _k≦０

を定義すると、
我々は最初に

に気付く。故に全てのｊ∈｛１,…,ｔ｝,について、我々は

を有する。

最終的にｊ∈｛１,…,ｔ｝,を全て合計することによって、我々は

を有する。

我々が残りの制約条件ｂ^j ₁＋…＋ｂ^j _N≦Ｎ−１をｊ∈｛１,…,ｔ｝,について、行列形式で表現すれば、我々は

を有する。
故に、ｊ∈｛１,…,ｔ｝,を全て合計することによって、我々は

を有する。

我々が

を設定すれば、我々は

を有し、現行のＭＩＬＰ問題の公式化に対する新たな脅威対象の視認性についての制約条件を論じれば、記号形式で以下の如く表される。

その結果、我々は

を有する。

安全地帯は非安全地帯よりも計算しやすい、なぜなら多数の脅威対象及び多数の障害物に対する全体的な安全地帯は、結合した安全地帯の交差箇所にあり、各結合は脅威対象に関連する。更に、１つの脅威対象と１つの障害物に関連する安全地帯は、個々に計算される。これは、アルゴリズム形式で成され得る。

以下は、この手順の記載である。
１．各多面体(障害物)の面に対して、それが脅威対象と対向しているかをチェックする。面ｎの法線と、脅威対象ｔから面ｐ上のあらゆる点へ生じるベクトルとのドット積は負でなければならない、即ちｎ×(ｐ−ｔ)＜０である。
２．チェックするときに、脅威対象に対向していない面に隣接している全ての縁を見つける。境界が現実に脅威対象に対向している面か否かの決定も同様である。
３．これらの各縁については、脅威対象点ｔに結合した２つの端点ｐ１、ｐ２によって決定される(合計３つ)。これは面を定義する。一般に、面は式ｎ×ｐ＝ｎ×ｐ^*によって定義され、ｎは面の法線であり、ｐ＝[ｘ,ｙ,ｚ]であり、ｐ^*は面上の任意の点である。
ｎ×ｐ≧ｎ×ｐ^*の形式の平面境界について、法線ｎは対象の外側に向かい、面の縁を示す点は、脅威対象に見られるように、反時計方向にｐ１、ｐ２に割り当てられる必要があるとの約束事を我々は理解している。例えば、図１１のピラミッド(90)の左側面の最も左側の縁について、目視(脅威対象)されるように、ｐ１はピラミッドの頂点に位置し、ｐ２は基端部に位置する。我々はｎ＝(ｐ１−ｔ)×(ｐ２−ｔ)及びｐ^*＝ｔと設定することにより、これを平面境界を定義する為に用いる。
４．これらの平面と上記の“前面”を組み合わせる(collection)ことで、安全地帯の境界を形成する。

我々は幾つかの障害物を底無しと定義し、地上平面を基にして、障害物の底を境界付ける。この場合に於いて、我々は障害物の底に於ける“仮想”即ち抽出点を未だ必要としており、我々は上記のアルゴリズムを用いて側縁を適切に定義することができる。しかし、我々は任意の２つの抽出点に基づいて如何なる縁も定義しない、なぜなら地上面より下方から安全地帯を境界付ける必要はないからである。

障害物を避ける典型的な問題の複雑さ及びそれをリアルタイムで解決する必要性故に、障害物を避ける問題の全体は、小さな部分に分けることで最善に解決される。短い時間の区切り値(Ｔ)及び長い計画期間(Ｎ)を具えたＭＩＬＰ障害物を避けることを包含する全ての問題を考慮すると、問題は、小さな障害物から成り(account for)、障害領域及び地域を広角に見ることを未だ維持することができる。この問題は非常に大きく、解決に長時間を要する。

より小さく簡単な多数のＭＩＬＰ問題を連続して構築し解決することにより、より合理的な解決時間が達成される一方、短時間の区切り及び長い計画期間の所望の効果を保持することができる。そうすることで、障害物を避ける問題が本質的に多数の時間スケールであるとの点に於いて、該障害物を避ける問題の重要な特性を利用する。即ち、抽出の概念を用いて、問題は必然的に最大の時間スケール(地域航行)、中間の時間スケール(都市の障害物の回避)、及び最小の時間スケール(建物の角を回る、地域の上面を覆う、及び木及び小さな対象物の回避)の小問題に分解される。長い時間スケールの問題は、地域航行のような長い範囲の計画を実行する一方、短い時間スケールの問題は、小さな障害物から成る長い時間スケールの問題によって提供される解を改良する(refine)。

図１３は、２つの時間スケールの例を有する多数の時間スケールの概念を示す。これは実行期間の概念を導入し、実施されるべき計画軌道の一部を示す。一般に、実行期間は計画期間よりも短いが、等価であり得る。時間の区切り(Ｔ)及び計画期間(Ｎ)に関して、これらの３つのパラメータは、異なる時間スケールからの問題が如何に集約されるかを決定する。
手順は、最長の時間スケールＭＩＬＰ経路計画問題が公式化され、現在の乗物の位置ｓ_o及び真の目的地ｓ_Fについて解かれるときに開始する。実行期間の終わりに於ける解は、次の短い時間スケールの問題に対する目的地ｓ_Fとしてとらえられ、同じｓ_Fを再使用する。新たな問題の実行期間の終わりに於ける解は、次の問題の目的地ｓ_Fとしてとらえられ、同様に続き、一方、同じｓ_Fを再使用する。この手順は、最も短い時間スケールの解が、乗物が追随すべき一連の中間地点として与えられたときに終了する。乗物が最も短い時間スケールの問題の実行期間の終わりに対応する中間地点に達したとき、この位置は新たなｓ_oとして指定され、真の目的地に到達する、又は真の目的地が変更するまで、全ての手順が再び開始する。

次に、非均一な時間工程を考える。以前のセクションにて提案された多くのＭＩＬＰ制約条件が、以下の式に基づいている。
ｓ₁＝Ａｓ_o＋Ｂｕ₁
ｓ₂＝Ａ²ｓ_o＋ＡＢｕ₁＋Ｂｕ₂
ｓ₃＝Ａ³ｓ_o＋Ａ²Ｂｕ₁＋ＡＢｕ₂＋Ｂｕ₃
…
ｓ_k＝Ａ^kｓ₀＋Ａ^k-1Ｂｕ₁＋…＋ＡＢｕ_k-1＋Ｂｕ_k

即ち、あらゆるタイプのＭＩＬＰ制約条件(即ち、高さに対する)が、ＭＩＬＰ問題の各時間工程ｉ∈｛１,…,Ｎ｝について、例示される。これは、ＭＩＬＰ問題が各時間工程ｋ∈｛１,…,Ｎ｝についての軌道点ｓ_kで構成される経路についての最適化問題として提示されるからである。この一様な時間工程化は要求されず、常に望ましくはない。例えば、同じようなサイズのＭＩＬＰ問題について、時間の非線形スケーリングが好まれ、時間が将来へ向かって更にまばらに捉えられ、現在に近づいてより精巧に表される。例えば、ｓ_k,ｋ∈｛１,…,Ｎ｝を計画する代わりに、我々はｋ∈｛１,２,４,８,…｝を有する。我々は以下を行うことにより、これを達成することができる。
ｓ₁＝Ａｓ_o＋Ｂｕ₁
ｓ₂＝Ａ²ｓ_o＋ＡＢｕ₁＋Ｂｕ₂
ｓ₄＝Ａ⁴ｓ_o＋Ａ³Ｂｕ₁＋Ａ²Ｂｕ₂＋ＡＢｕ₄＋Ｂｕ₄
ｓ₈＝Ａ⁸ｓ_o＋Ａ⁷Ｂｕ₁＋Ａ⁶Ｂｕ₂＋Ａ⁵Ｂｕ₄＋Ａ⁴Ｂｕ₄＋Ａ³Ｂｕ₈＋Ａ²Ｂｕ₈
＋ＡＢｕ₈＋Ｂｕ₈

将来に向けて、時間間隔の大きな(coarser)表現を選択することにより、少ない時間工程について計画する必要があるから、問題は簡略化される、なぜなら多数の時間工程についての制御ｕ_kは、１つに組み合わされるからである(即ちｕ₃＝ｕ₄である)。非均一の時間工程の方法に対して、ＭＩＬＰ問題を少ない時間工程を具えた同じ計画期間について構築することができ、従って問題サイズをより小さくし、又は或いは同じ問題サイズを有する問題について、長い計画期間を有することができる。

本発明の特定の実施例が、記載されてきたが、以下の請求の範囲で示された発明から離れることなく、開示された実施例に種々の変更がなされることは当業者には明らかであろう。

不規則な三角形に分けられたネットワークを用いる領域図である。 領域タイルを用いる障害物を表す図である。 安全地帯を表す図である。 安全地帯を表す図である。 安全地帯を表す図である。 飛行領域軌道の図である。 多数の脅威対象と障害物がある状況にて、脅威対象を避けることを示す図である。 領域がオーバーラップしない軌道を示す図である。 リシーディングホライゾン制御時の軌道を示す図である。 領域のオーバーラップの拡大図である。 本発明の方法を説明するのに用いられるピラミッドを示す図である。 安全地帯を示す図である。 多数の脅威対象と障害物がある状況にて、脅威対象を避けることを示す図である。

Claims (22)

1. 乗物の移行路を計画する方法であって、
   航空機の動力特性を表す第１の複数の制約条件を決定する工程と、
   障害物に対する衝突を表す第２の複数の制約条件を決定する工程と、
   脅威対象についての視認性を表す第３の複数の制約条件を決定する工程と、
   混合整数線形計画法について、第１、第２及び第３の複数の制約条件を用いて、障害物及び脅威対象を含む環境下で、開始地点から目的地点までの乗物の軌道を生成する工程を有する方法。
2. 第１の複数の制約条件は、１又は２以上の速度制約条件、エネルギ及び時間についてのスラック変数制約条件、及び制御の制限を含む連続した制約条件を有する、請求項１に記載の方法。
3. 第２の複数の制約条件は、整数への制約である、請求項１に記載の方法。
4. 混合整数線形計画法は、リシーディングホライゾン制御アルゴリズムとして実行される、請求項１に記載の方法。
5. 更に、開始地点から目的地点間の複数の各地点に於ける高度に比例する軌道についてのコストを連繋させる工程を有する、請求項１に記載の方法。
6. 軌道は、障害物を用いて乗物の検索を最小限にする地形追随軌道である、請求項１に記載の方法。
7. 混合整数線形計画法は、多数の時間スケールを用いて実施される、請求項１に記載の方法。
8. 多数の時間スケールのうち最長の時間スケールが、最初に実施される、請求項７に記載の方法。
9. 更に、地域を表す第４の複数の制約条件を決定する工程と、
   混合整数線形計画法について、第４の複数の制約条件を用いて、軌道を生成する工程を含む、請求項１に記載の方法。
10. 第３の複数の制約条件は、安全地帯又は非安全地帯の何れかとしてモデル化される、請求項１に記載の方法。
11. 各安全地帯は、脅威対象に面する障害物の側部、及び脅威対象と側部の縁とが交差する面によって境界付けられる、請求項１０に記載の方法。
12. 乗物の移行路を制御する方法であって、
    乗物の動力特性を表す第１の複数の制約条件を決定する工程と、
    障害物に対する衝突を表す第２の複数の制約条件を決定する工程と、
    脅威対象についての視認性を表す第３の複数の制約条件を決定する工程と、
    混合整数線形計画法について、第１、第２及び第３の複数の制約条件を用いて、開始地点から目的地点まで乗物を動かす一連の制御動作を生成する工程を有する方法。
13. 第１の複数の制約条件は、１又は２以上の速度制約条件、エネルギ及び時間についてのスラック変数制約、及び制御の制限を含む連続した制約条件を有する、請求項１２に記載の方法。
14. 第２の複数の制約条件は、整数への制約である、請求項１２に記載の方法。
15. 混合整数線形計画法は、リシーディングホライゾン制御アルゴリズムとして実行される、請求項１２に記載の方法。
16. 更に、開始地点から目的地点間の複数の各地点に於ける高度に比例する軌道についてのコストを連繋させる工程を有する、請求項１２に記載の方法。
17. 軌道は、障害物を用いて乗物の検索を最小限にする地形追随軌道である、請求項１２に記載の方法。
18. 混合整数線形計画法は、多数の時間スケールを用いて実施される、請求項１２に記載の方法。
19. 多数の時間スケールのうち、最長の時間スケールが最初に実施される、請求項１８に記載の方法。
20. 更に、地域を表す第４の複数の制約条件を決定する工程と、
    混合整数線形計画法について、第４の複数の制約条件を用いて、軌道を生成する工程を含む、請求項１２に記載の方法。
21. 第３の複数の制約条件は、安全地帯又は非安全地帯の何れかとしてモデル化される、請求項１２に記載の方法。
22. 各安全地帯は、脅威対象に面する障害物の側部、及び脅威対象と側部の縁とが交差する面によって境界付けられる、請求項２１に記載の方法。

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