JP2006031413A - 電磁場解析方法 - Google Patents

Abstract

【課題】 境界要素だけを未知数として電磁場を計算でき、かつ、境界から遠く離れた領域においてメッシュを切る必要がなく、しかも境界付近で場が無限大に近くならないような電磁場解析方法を提供する。
【解決手段】 ２次元の電場又は磁場を解析する方法であって、与えられた境界条件を決定する境界を複数の線分に区分し、一つの線分内ではポテンシャルが一定値をとるものとし、一方、前記各々の線分内で所定のポテンシャルを与えるような基本解を複素関数の写像から求め、これらの基本解に未知の係数をかけて加え合わせたものが境界条件を満足するように連立方程式を解いて前記未知の係数を定め、前記各々の基本解に定められた経緯数を変えて加え合わせたものをポテンシャルとして電場又は磁場を解析することを特徴とする電磁場解析方法。
【選択図】 なし

Description

本発明は、主に、複雑な境界条件を有する電磁場を解析する方法に関するものである。

従来、複雑な境界条件による電磁場を計算する方法として、有限要素法や表面電荷法などの数値解析による計算方法が用いられてきた。

しかし、これらの数値解析による計算方法は、境界付近の電磁場を正確に計算する方法としては、不適当である。すなわち、有限要素法においては、要素の内部では、電磁場を線形または高次関数に近似しているが、異なる要素間において電磁場が滑らかにならない場合がある。また、境界から遠く離れた領域でも電磁場を求めるためには、その離れた部分まで多くの空間メッシュを切る必要がある。一方、表面電荷法においては、境界要素だけを未知数として、空間メッシュを切る必要はないが、電荷と場との距離をｒとすると、基本解は、２次元の場合はlog(r)、３次元の場合は1/rというように、電荷に近い境界付近では、場が無限大に近くなり、正確な電磁場の値を計算することが困難である。

本発明はこのような事情に鑑みてなされたもので、表面電荷法のように、境界要素だけを未知数として電磁場を計算でき、かつ、境界から遠く離れた領域においてメッシュを切る必要がなく、しかも境界付近で場が無限大に近くならないような電磁場解析方法を提供することを課題とする。

前記課題は、２次元の電場又は磁場を解析する方法であって、与えられた境界条件を決定する境界を複数の線分に区分し、一つの線分内ではポテンシャルが一定値をとるものとし、一方、前記各々の線分内で所定のポテンシャルを与えるような基本解を複素関数の写像から求め、これらの基本解に未知の係数をかけて加え合わせたものが境界条件を満足するように連立方程式を解いて前記未知の係数を定め、前記各々の基本解に定められた経緯数を変えて加え合わせたものをポテンシャルとして電場又は磁場を解析することを特徴とする電磁場解析方法により解決される。

本発明によれば、表面電荷法のように、境界要素だけを未知数として電磁場を計算でき、かつ、境界から遠く離れた領域においてメッシュを切る必要がなく、しかも境界付近で場が無限大に近くならないような電磁場計算方法を提供することができる。

以下、本発明の実施の形態の例を説明する。境界付近で場が無限大に近くならないようにするためには、２次元では、log(r)のような基本解の代わりに、複素関数の写像から求められる、線分上で一定値である場合の基本解を採用するとよい。すなわち、複素数ｘ＋ｉｚ、およびｕ＋ｉｖが、
ｘ−ｃ＋ｉｚ＝ａcosh（ｕ＋ｉｖ）で表される写像関係にあるとすると、
ｘ−ｃ＝ａcoshｕcosｖ
ｚ＝ａsinhｕsinｖ
より、

となる。ここで、電磁場の性質より（ｘ，ｚ）は、ｘ＋ｉｙ座標系でラプラス方程式を満足する。

一般に、ある座標系でラプラス方程式を満足するポテンシャル複素関数を写像すると、写像された関数も、写像された座標系においてラプラス方程式を満足する。よって（ｕ，ｖ）は、ｕ＋ｉｖ座標系でラプラス方程式を満足する。

ｕ＋ｉｖ座標系で、線形なポテンシャルが、
Φ＝αｕ＋β …（２）
のように表わされていると、Φはラプラス方程式を満足する。(２)式を変形すると、
ｕ＝（Φ−β）／α …（３）
となり、Φが一定の場合は、ｕも一定となる。つまり、(１)式において、ｕが一定の曲線は、等ポテンシャル線になる。

（１）式より、ｘ＋ｉｙ座標系で、この等ポテンシャル線、すなわちｕが一定である線を示すと、（１）式より、図１に示すような、(x,z)＝(c−a,０),(x,z)＝(c＋a,０)を２つの焦点とする楕円になる。

図１は、ｕが一定であるｘ＋ｉｚを（ｘ，ｚ）平面で表したものである。縦軸がｘ軸、横軸がｚ軸である。前述のように等ポテンシャル線は、(c−a,０),(x,z)＝(c＋a,０)を２つの焦点とする楕円となり、図１において、点Ｐ１,および点Ｐ２は、この楕円の２つの焦点である。ｕがゼロに近づくと、(１)式より、楕円の両端は２つの焦点に近づき、非常に細長い楕円となり、ｕが０に収束すると、２つの焦点を両端とする線分となる。つまり、図１において、点Ｐ１から点Ｐ２までがポテンシャル一定の線分である基本解を示している。そして、等ポテンシャル線は、点Ｐ１と点Ｐ２を通る直線に関して対称になっている。

このことを利用して、ｚ＝０で、ｃ−ａ≦ｘ≦ｃ＋ａの線分上の電圧が一定の場合の点（ｘ，ｚ）での電圧分布を求めることとする。（１）式において、Ｕ＝sinh^２ｕ≧０と置くと、

となるので、これを解いて、

となり、

より、

となる。つまり、ｃ−ａ≦ｘ≦ｃ＋ａまでの線分が一定電圧の場合の、点（ｘ，ｚ）での基本解は、（７）式で求められる。

ｚ軸に平行な境界をＮ個の区間に分割し、それぞれの区間ｉ（ｉ＝１〜Ｎ）においては電圧は一定値Ｖ_ｉであるとみなせるとする。その区間の中央の点を（ｘ_ｉ．ｚ_ｉ）とし、
（７）式を、
ｕ＝ｆ（ｘ，ｚ） …（８）
とする。

また、ｘ軸方向に平行な境界に関しては、同様に、これをＭ個の区間に分割し、それぞれの区間ｊ（ｊ＝１〜Ｍ）においては電圧は一定値Ｖ_ｊであるとみなせるとする。その区間の中央の点を（ｘ_ｉ．ｚ_ｉ）とし、ｘとｚを入れ替えた（７）式を、
ｕ’＝ｆ（ｚ，ｘ）とする。
連立方程式

を解いて、未知数Ｇ_ｉ、Ｈ_ｊを求めることにより、境界外の点（ｘ，ｚ）での電圧は、

で求めることができる。また点（ｘ，ｚ）での電場Ｅ_ｘ，Ｅ_ｚは、それぞれ、

で求められる。

図２に示すように、0.2μｍの周期パターンで、0.1μｍ毎に0.1μｍの高さで凸凹しているウエハパターンにおいて、凸部では１Ｖ、凹部では０Ｖ、凸部と凹部の中間部分の表面においては、線形的に電圧が変動しているような境界条件の場合の電圧分布を上記の方法で計算した。

図２において、点Ｐ１から点Ｐ２までは０Ｖから１Ｖまで距離に対して線形的に電圧が増加し、点Ｐ２から点Ｐ３までは１Ｖのままであり、点Ｐ３から点Ｐ４までは１Ｖから０Ｖまで距離に対して線形的に電圧が減少し、点Ｐ４から点Ｐ５までは０Ｖのままである。そして、点Ｐ５から点Ｐ６までは０Ｖから１Ｖまで距離に対して線形的に電圧が増加し、点Ｐ６から点Ｐ７までは１Ｖのままであり、点Ｐ７から点Ｐ８までは１Ｖから０Ｖまで距離に対して線形的に電圧が減少し、点Ｐ８から点Ｐ９までは０Ｖのままである。また、点Ｐ９から点Ｐ１０までは０Ｖから１Ｖまで距離に対して線形的に電圧が増加し、点Ｐ１０から点Ｐ１１までは１Ｖのままであり、点Ｐ１１から点Ｐ１２までは１Ｖから０Ｖまで距離に対して線形的に電圧が減少する。

このような境界条件において、Ｐ２Ｐ３、Ｐ４Ｐ５、Ｐ６Ｐ７、Ｐ８Ｐ９、Ｐ１０Ｐ１１をそれぞれ、図１に示したＰ１Ｐ２とみなして計算を行った。また、Ｐ１Ｐ２、Ｐ３Ｐ４、Ｐ５Ｐ６、Ｐ７Ｐ８、Ｐ９Ｐ１０、Ｐ１１Ｐ１２においては、それぞれを１０等分し、それぞれの領域を、図１に示したＰ１Ｐ２とみなして（ただし方向が９０°違っているので、計算においてはｘとｚを入れ替えて計算する）計算を行った。

その結果を図２において、０．１Ｖ毎の等電位線で示す。これから分かるように、ウエハパターンのように微小な構造を持ったものの境界付近の電圧は、表面電荷法では正確に計算することができないが、上記の方法により、正確に計算することができる。

以上の説明においては、電場を例にとって説明してきたが、磁場の計算も同様にして行うことができる。なお、ラプラス方程式を満足する熱伝導問題で、このような複雑な形状の境界値問題の場合においても、同様な方法で解くことが可能である。

本発明の計算方法に用いる基本解の等電圧線図である。 本発明の実施例の境界線図および等電圧線図である。

Claims (1)

1. ２次元の電場又は磁場を解析する方法であって、与えられた境界条件を決定する境界を複数の線分に区分し、一つの線分内ではポテンシャルが一定値をとるものとし、一方、前記各々の線分内で所定の一定ポテンシャルを与えるような基本解を複素関数の写像から求め、これらの基本解に未知の係数を掛けて加え合わせたものが境界条件を満足するように連立方程式を解いて前記未知の係数を定め、前記各々の基本解に定められた係数を掛けて加え合わせたものをポテンシャルとして電場又は磁場を解析することを特徴とする電磁場解析方法。
   

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