JP2005516308A - ビジネス企業のリスクモデル及び方法 - Google Patents

Abstract

企業の資産と負債に関連付けられたリスクを評価する方法が提示されている。リスク価値の方法に基づくアプローチを採る。多数のシナリオに基づくコンピュータシミュレーション、模擬実験を使用して、企業の将来の潜在的な会計余剰資金の確率分布を生成する。迅速に現実的なシナリオを達成するため、シナリオは、準モンテ・カルロ法を使用して生成する。各資産および各タイプの負債は厳格にモデル化され、信用、金利、保険、通貨両替、および株式資本の資産および負債へのリスク効果が決定される。モデルは、また会計余剰資金をリスクに基づいて企業各部に割当てる。このコンピュータモデルは保険会社のために十分に適している。

Description

ビジネス企業のリスクモデル及び方法に関する。

保険会社のビジネスは、料金の交換に個人のリスクを引き受ける。適度な費用でこれらのリスクを引き受けて、料金と交換して利益を出すため、保険会社は様々な被保険者のリスクのあるでき事の発生の確率及び個々の保険証券の所有者の分散投資の理解に頼る。各被保険者は、単に保険会社によって要求される料金を支払わなければならないだけであり、すなわち、保険料、しかし、でき事の損失財政の影響をカバーするために資金を確保する必要がない。保険会社は、保険を提供する為に、損失の費用の支払を満たすために、報酬のために投資する資金のリザーブと適度な料金を定める必要がある。

保険会社が、保証がするでき事がどの位の割りで起こるかの確率を明確に理解することは基本事項である。さらに、実際には、あるでき事が起こるので保険会社がそれらのでき事と関連付けられる費用をカバーする十分な資金を確保することは重要である。それらの資金が必要になるまでに時間が経過するので、保険会社は保険料を資金として投資することができる。保険会社は、保険の提供及び保険料の投資が原因のリスクにさらされる。従って、保険会社の適切な管理の重要な面は、何れもリスクの管理にある、保険の保証提供と関連付けられるリスクの性質、そして範囲の決定、保険の保証の受け取られた報酬からの十分な資金と投資所得を仮定できるリスクである。将来弁済能力の最高確率を保証するために、保険会社はレギュレータによりある資本資金を維持することを要求される。理論では、さらされる多くのリスクに関連付けられ、将来弁済能力の高い確率を維持するように、会社は、より多くの資本資金を維持するように要求される。

保険プロダクトに値を付けることは、伝統的に保険計理人（ａｃｔｕａｒｉｅｓ）の主な役割である。保険計理人は保険の対象になるでき事の確率、損失の大きさを計算し、それらに基づく保険料（報酬）を定める。保険料（報酬）が集められた後、保険計理人はまた、未来の支払の予測された保険の損失合計である保険予備資金リザーブの適切なレベルを確立する。保険計理人はまた、保険予備資金を監視し周期的に予備資金の適切さを再評価する。但し、保険会社の保険計理人は、彼らがいかに間違ったかもしれないリスクに殆ど関心がない。すなわち、歴史的に保険計理人は彼らが持っている確率が間違ったかもしれないリスクに関心が無い。

保険会社は、内部に投資部門を持つか、または外部の資産サービス管理会社を選ぶ。部外の資産の管理会社は、被保険者からの保険料を投資し、保険会社がさらされているリスクの費用をカバーして十分な資金を作る。通常、投資マネージャーは、投資のリスクにしか関心がなく、前もって投資のリスクの査定における分析において利益を得る。従って、保険の保証提供と関連付けられるリスクと投資のリスクは、通常別に管理され、保険会社の全体的リスク、または“企業のリスク”は知られていない。

但し、過去数十年間と、８０年代の金利のスパイクおよび９０年代の自然災害および９０年代後期の“バブル”、下げ気味の予想及び下げ気味のキャッシュフローテストの心配がずっと増加しつつある。今では生命保険会社は、異なった金利のシナリオの下でキャッシュフローテストの保険計理人の意見のメモを出すように要求される。

価値リスク（ＶａＲ）は、金融サービス産業におけるリスク管理の主な方法である。第１に、この方法は大きい投資銀行によって採用され、すぐに事実上すべて国際的な金融機関によって財政のリスクを管理するために採用された。アメリカと国際的な調整機関とは、またＶａＲ方法を規定調整するプロセスの部分として採用した。

商業銀行は、預金者からの資金を借用し、高い比率でそれらを貸す。従って、商業銀行は有価証券の信用リスクに非常に興味がある。しかし、貸付け金のための率は私用であり、銀行がＶａＲを評価するのに使用する公衆交換データがない。その結果、ある銀行は将来の貸付け金に値を付けるのに歴史的デフォルトの経験に基づく内部か外的な信用格付けシステム使用する。経済が育っていない時、銀行は信用損失でもっと苦しむ。最近のアメリカの銀行のための重要な信用損失の危機の２つの例としては、貯蓄及び貸付け金の危機、及び第三世界の負債の危機である。両方の危機とも米国の銀行制度を全滅させたであろう。

商業銀行はまた金利リスクにさらされる。その後、銀行は短期で（ほとんどの預金は突然の通知で撤回する場合もある）借り、長期で貸付ける（ほとんどの貸付け金はリコールされることができない）。銀行は、予想に反して金利が変わったら大きい損失を被る。例えば、１９８０年代初期，金利が２０％まで増加する前に、多くの銀行は大いにより低い率の長期キャンセルできない貸付け金を作った。その結果、銀行は貸付け資金のために資金を引き付けるために、より高い費用を資金を引き付けるため支払った。このタイプリスクは、一般に金利リスクとして知られている。

いくつかの銀行は貸付け金のクレジットリスクを残りの有価証券のリスクに組み込むが、ほとんどの銀行は信用格付けシステムを使用し、銀行のさらされる他のリスクを考慮しないで貸付け金の価格を付ける。

投資銀行は、有価証券の引き受け保証、仲介手数料、相談と交換に利益を得る。投資銀行は、有価証券の署名の保証、仲介手数料、及び相談下部組織インフラストラクチャを維持するので、ビジネスリスクにさらされる。景気が悪いとき、それら高い固定費のために損失を被る。

多くの投資銀行は、それらが再販のために引き受けた有価証券を所有している。従って、それらが有価証券を引き受けるとき、投資バンクは、信用リスクにさらされる。それら自身のアカウントに関する投資銀行取引以来、それらは、多くの異なる種類のリスクにさらされる。各バンクの唯一のリスクプロファイルに基づいて、バンクは、あらゆる経済情勢においてうまく処理することができ、または、不十分に行うことができる。

投資銀行は、取引で競うために、強いリスク管理機能を維持しなければならない。その銀行は、個々のリスクに値段をつけ、そして、正しく企業リスクを評価することができなければならない。銀行がその企業リスクを理解しないならば、リスクをとることの決定は十分に理解されないであろう。従って、投資銀行は、ＶａＲのために最も洗練された技術を持っている。

投資信託会社は、それらが投資する資産から生じるリスクにさらされる。投資信託会社は、直接それらの投資の利益、及び、損失にさらされないが、それら自身の料金、ひいては、利益は、確かにそれらの資金のパフォーマンスと関係がある。

年金基金には、それらの計画における定年退職者を扶養することに特定の義務がある。正常な投資リスクの上では、年金基金マネージャが作業をしなければならない予言できる現金流出パターンがある。

大部分の非金融公庫は、それらのキャッシュフローニーズをサポートするために、多くの通貨に短期投資のポートフォリオを維持する。同じく多くの非金融公庫は、商品取引の帳簿を維持する。例えば、オイル、及び、エネルギー会社は、オイル、及び、エネルギー商品を通常取引する。農業製品会社は農業商品を取引する。金属会社は金属商品を取引。ＶａＲは、それらのリスクの露出を分析するために、それらにとって使用するための重要なツールである。

多数のこれらの他の企業と同様に、リスクを理解するのは、保険会社にとって特に重要性がある。リスクを定量化するために、他の試みが行われたことは、意外ではない。これらの試みは、資産及び負債によってよりむしろ資産だけ、または、負債だけによって共に関連していたリスクに焦点を合わせる。長年の間、“ＶａＲ”は、銀行によってそれらの資産リスクを評価する方法として使われた。このアプローチは、今日危機にさらされていた資産、または、許可する他の短期の視野の値を見た、許した仮定を単純化する、従来のコンピュータによって疑いなく使われるためのモデルである。しかしながら、伝統的なＶａＲアプローチは、かなり更に長い視野を持つ保険会社のために機能するとは限らない。保険会社は、更に長い視野を持っている。なぜなら、それらが活発にそれらの資産を通常取引しないからである。多くのそれらの資産は、満期まで所有されている。

結局、ＶａＲ概念は、異なるアプローチ、すなわち“動的な財務分析”によって取って代わられた。動的な財務分析において、そのアナリストは、それがコンディションを変えることに答えて作られた決定から変わるので、資産のポートフォリオの値を決定しようと試みる。例えば、ストックの価値が予め示された量下がるならば、株は、売られ、そして、その収益は、債券発行のような異なる資産に投資した。動的な財務分析は、コンディションを変えることに答えて行われそうである決定を提供することによって現実をシミュレートすることを意図している。しかしながら、それは、かなりのプログラミング、及び、ランタイムを必要とする。動的な財務分析の出力は、分析にプログラムされる課税戦略、及び、会計規則と同様に、決定原則によってひどく決定される。多数の見方では、動的な財務分析は、現存するビジネスプロファイルのリスクより決定原則の有効性をテストするために、更に良いツールである。

このように、更に良い方法が特に企業、及び、保険会社のリスクをモデル化する要求が残っている。

本発明は、企業に渡るリスクモデルである。そのモデルは、企業の現在の戦略と関連している企業の資産及び負債に、リスクを見る。これらのリスクは、エクイティリスク、信用リスク、通貨為替リスク、保険リスク、及び、利率リスクを含む。オペレーションと関連していたリスクは、オプションとして含まれ得る。ＶａＲアプローチに類似しているアプローチに基づくが、本モデルは、多くの点で異なる。例えば、それは、現在の戦略から将来の正味資産に対するインパクトを見る。ある戦略がある量の時間、好んである年のために本来の場所にあるとすれば、それは、企業のリスクを定量化する。本モデルのアプリケーションの結果は、今日の戦略の継続に基づいて今日から１年の余剰資本の価値におけるディストリビューションを示す。資本剰余金のディストリビューションは、双方の資産及び負債を結合する。保険会社である企業の場合は、負債は、保険証券を含む。

企業の資本剰余金のディストリビューションの平均が興味深い数であるかもしれない、と同時に、ディストリビューションの形は、更に多くの情報を持つ。従って、有益なリスクスコアは、標準偏差によって自己資本比率を獲得するために分割された過剰である。同じく、デフォルト、そして、収入の有意のパーセントの損失の可能性は、標準偏差より有意の数であり、そして、異なる企業を比較しているとき、有益である。

このモデルは、企業リスクのトータルのピクチャを与えるために、資産及び負債の双方と関連しているリスクを結合する。異なる企業と関連するリスクは、リスクによって様々な企業を分類する、もしくは位置づけるために、比較され得る。マネージャは、どちらが最も低いリスクのために最も良いリターンを持っているかを理解するために、様々な戦略をテストすることができる。マネージャは、十分なリザーブを保証するレベルの価格決定保険証券に入力を提供するために本ツールを使うことができ、資産を負債とマッチさせて、異なる戦略を評価し得る。本モデルは、現存する演算を出された支払い不能、及び、投資目録の確率を計算するであろう。マネージャは、戦略を使用する株主資本、投資戦略、または、ビジネスを変えることによって所望のレベルの支払い不能確率を達成し得る。本モデルは、単一企業リスクに限らず、いくらかの企業の結合されたリスク及び企業内の部署のリスクをも見ることができる。本リスク評価ツールは、合併、獲得、及び、撤収を考察する際、このように非常に有益である。

本発明の重要な特徴は、資産リスク、及び、債務リスクの合併である。ＶａＲ方法に基づく従来のリスクモデルは、負債ではなく資産のために存在する。２つのタイプのリスクをマージすることは、高いリスクの負債をカバーしない低いリスク資産ポートフォリオを見ることから起こるかもしれない妄想を回避し、企業の全体リスクの完全なピクチャを提示する。

もう一つの本発明の重要な特徴は、リスクの各アスペクトのモデル化の厳密さである。時折、この巌密さは、単にキャパシティで見出される。例えば、そのモデルは、単に２、３（或いは、全く無い）よりむしろ３０の異なる通貨のために通貨為替リスクを扱う。時折、それは、“粒度”に見出される、即ち、各セキュリティクラスよりもむしろセキュリティ問題のような、モデル化された詳細さのレベルである。厳密さは、注意深い分析に基づく数学的なモデル化において同じく見出される。数学的にそれらの仮定の妥当性をテストした後でのみ、単純化する仮定が行われる。これは、確率分布の終端で特に真実である。そこで、資産、及び、債務リスクのあまり厳しくない処置のエラーは、拡大される。上記したように、ディストリビューションの終りに発見されたデフォルトの確率は、ディストリビューションの中心の周辺にある平均的なケースよりも重要である。

本発明のさらにもう一つの重要な特徴は、モデルが、適切にプログラムされた場合に実行するスピードである。他のタイプのプログラムであれば日単位であるのと比べて、結果は、分単位で利用可能である。

資本の割当は、本発明のさらにもう一つの重要な特徴である。将来の投資、及び、撤収の計画を立てるために、その分割の全ての相対的なパフォーマンスを理解することは、会社にとって重要である。通常、財政上のパフォーマンスは、各ビジネス部署に投資された資本の年次リターン、これは一般に資本リターンとして知られているが、に基づいている。資本は、資本リターンが計算される前に、様々な部署に割当てられなければならない。

さて理論的に、株主資本は、資金における予期しない不足に耐えるために使われる。従って、ある部署がリスクに寄与するほど、より株主資本を利用することが必要であり、且つ理論上は、より多くの株主資本を使用するであろう。従って、資本は、それらが全体の企業リスクに寄与するリスクに基づいた組織の部署の間に割当てられる。このように、各部署のリスクは、計算されており、重要であり、従って割り当てられる。しかしながら、人が結合された全ての部署のリスクを予測するとき、リスクの有意の部分が拡散して分散投資されるので、全ての部署のリスクの和は、企業リスクより大きい。全ての部署が、同時に悪いリターンを持っているとは限らないので、このようになる。本モデルは、部署のリスクを単独で計算するだけでなく、企業に寄与する各々のリスク、即ち企業の全ての部署のリスク特性の関数である分散投資された全体のリスクをも計算する。

本発明のもう一つの特徴は、それがグローバルな企業に適用できることである。通貨リスク、及び、例えば外国資産は、他のリスク、及び、国内の資産と共に評価される。

頻繁にアップデートされる現在のマーケットデータの使用は、本発明のもう一つの特徴である。現在のマーケットデータは、リスクの更に正確な施策を提供し、そして、リスクの異なるソース間での相関の適切な計算を可能にする。

企業の財務分析の熟練者は、以下の図面と共に、発明を実施するための最良の形態を注意深く読めば、これらの及び他の特徴、及びそれらに対応する利点を理解するであろう。

本発明は、企業のリスク分析のための方法であり、その方法は、その企業と関連している結合された資産及び債務リスクの数学的なモデルに基づいている。そのモデルは、汎用コンピューター上のソフトウェアプログラムによって実行される。そのモデルは、保険会社に関して例示されるが、そのモデルが、年金基金のような他のタイプの企業に直接に適用され得ることは、明らかであろう。

通常、リスクは２つの方法で定義される、即ち不確実性、及び、失敗する可能性。不確実性は、標準偏差、または、Ｗａｎｇ変換のようなディストリビューションのある変化に関して評価され得る。会社の価値及びその現在の財政力の不確実性に基づき、本モデルは、下振れリスク、即ち価値を失う確率を評価する。一般に、標準偏差が大きいほど、下振れリスクは大きくなる。

特に、関心のある不確実性または標準偏差は、今日の適当な資産及び負債の結合に基づいて将来のいるか予期される余剰資本と関連しており、且つ、利率のようなリスク関連変数、通貨為替レート等の数における変動から導かれる。これらの変数が、歴史的に広く長く変動する傾向があったならば、これらの変数のリスクに対する影響はより大きい。動きをほとんど示さなかったならば、リスクに対して比較的少ない影響を与える。例えば、ＩＢＳ ｔｏｃｋの歴史的なリターンが３０％であるならば、ＩＢＭストックで１０００万ドルを保有することのリスクは、３００万ドルである。

１より多い資産または債権が保有されているとき、２つの間の相関があり得る。通常の相関尺度である線型相関は、２つが反対の方向に動くことを意味する−１から、２つが無関係動くことを意味する０、およびストックが上下に共に同期して移動することを意味する＋１の相関までの範囲である。いくらかの現実の状況において、極端な相関は、線型相関が示すものよりしばしば高い。そのような場合、パラメータ連結方法は、２つの間の相関を獲得する線型相関方法より適切である。それらの所有者にとっての更に大きい分散投資利益の結果、より低い相関の２つの資産または負債を保持することは、相関が高水準または約１である場合よりも、資本に関するリスクを減少させる。

企業に関するリスクを予測するために、企業の将来の全体の資産において不確実性を生成する資産及び負債の全てが、特定される必要がある。これらの各々のリスク露呈は、評価される必要がある。これらの間の相関は、見積られなければならず、そして、トータルのネットリスクが、予測され得る。トータルのネットリスクは、分散投資利益を獲得するために、個々のリスクのトータルから減じられる。本モデルにおいて、リスクを見積り、そして、相関及び分散投資利益を決定する伝統的なリスク値（ＶａＲ）法は、他のリスク、そして、債務リスクを包含する信用リスクの判断及び相関を含むように、拡張される。本方法は、更に余剰のディストリビューションを見る、好ましくは、デフォルトの確率の更に真のピクチャを描いて、１年、及び、それが更に厳蜜に余剰のディストリビューションの終端をモデル化する。また、それは、リスクの割当に従って資本を割当てる。

リスク値（ＶａＲ）法が伝統的に資産リスクを管理することに適用された、と同時に、本モデルは、いくらかの組織の義務に関係したリスクを分析するＶａＲ法を適用する。プロパティ、及び、災害保険会社が保険料を受け取るとき、それらは、保険をかけているイベントが発生するならば、支払う不確実な義務を受け入れる。生命及び健康保険会社が保険料を受け取るとき、それらは、同様に被保険者が死ぬならば、支払う、もしくは、病気の状態になる不確実な義務を受け入れる。それらの将来の現金流出に不確実性があるならば、同じく年金基金は、義務リスクを経験する。ヘッジ・ファンドさえも、及び、投資信託は、義務リスクを経験する。なぜなら、それらがそれらの資金の将来の現金流入、及び、流出を正確に予測し得ないからである。本モデルは、異なる企業の義務を計算するためにＶａＲ法を使い、そして、トータルのネット企業リスクを予測するために、債務をその資産リスクと併合する。

図１は、本方法の概略を表すフローチャートを示す。チャートの左のサイドから始り、現在の、そして歴史的な金融市場データは、データベースに集められ、格納される。下記に示されているように、このデータは、財政上のリスク要因において同じく処理される。会社運営データは、企業債務及び運営リスク、及び、企業リスク露呈を抽出するために、同じく集められ、処理される。期待所得によって、“セグメント”或いは、部署は、運営データから生成される。

次に、大きい数、好ましくは少なくとも１０００、そして、より好ましくは１０，０００の将来価値シナリオが生成され、そして、現在の財政上のデータ、財政上のリスク要因、債務、及び、運営リスク、リスク露呈、及び、部署の収入は、これらの様々なシナリオの下で、将来の余剰の資本のディストリビューション作るために分析される。このディストリビューションから、支払能力及びリスク出力は、リスク寄与、及び、セグメントによる主要な割当と同様に抽出され得る。それらのシナリオは、望まれたならば、同じく調節され得る“ストレステスト”出力するため、すなわち、異常な、もしくは、破滅的なリスクを企業に課すように調整され得る。各部署のためのリスク調節された資本収益は、各部署のリスク寄与、及び、主要な割当から決定され得る。

本モデルは、４つの基礎的なモジュールを持っている。これらは、リスク計算エンジン１０、資本割当エンジン２０、パフォーマンス評価エンジン３０、及び、シナリオテストエンジン４０である。リスク計算エンジン１０は、会社リスクプロファイルデータ、リスク要因、及び、相関行列（或いは、連結パラメータ）を読み、そして、リスク計算を行う。資本割当エンジン２０は、企業の各部署のリスク寄与を評価し、分散投資利益の一部を各部署に割当て、そして、それらのリスク寄与に基づいて部署に資本を割当てる。このモジュールの使用は、任意である。

パフォーマンス評価モジュール３０は、同様に任意である。統合的資産方法論に基づいて、それは、収入を各部署に割当て、そして、分割によってリスクに合わせた資本収益（ＲＡＲＯＣ）を計算する。

シナリオテストモジュール４０において、基礎的テストに加えた新しいテストが、大災害のような異常なリスクに対する企業の障害許容力を調査するために、含まれ得る。２つのタイプの“ストレステスト”が行われ得る。第１のタイプの“ストレステスト”は、利率における劇的な変化、地震、または、暴風等のように、ある出来事が起こった場合、企業の将来の総合資産がどうであるかを決定することである。第２のタイプの“ストレステスト”は、更に似合われる金融市場のあるセグメントが多かれ少なかれ変動しやすい状態になった場合ようなイベントが起こった場合の将来のリスクプロファイルを決定することである。例えば、そのモデルは、信用リスクが増大する場合、もしくは、株式市場が更に変動しやすい状態になった場合に、会社のリスクプロファイルがどのようであるかを決定するであろう。

企業リスクモデルスコアは、企業の財政上の強さを評価する。このスコアは、リスク（標準偏差、または、Ｗａｎｇ変換における）によって除された総合資産と定義される。将来の余剰の確率分布が正常であるならば、３のスコアは、支払い不能の０．１％の可能性を示す。１のスコアは、支払い不能の１６％の可能性を示す。しかしながら、余剰の資本の確率分布は、めったに正常ではない、従って、下振れリスクは、場合場合で決定されなければならない。

本モデルは、多くの重要な差異を伴ってはいるが、周知のリスク値（ＶａＲ）アプローチに基づいている。一般に、ＶａＲを決定するには、３つの代替アプローチがある。第１は、資産、及び、相関ファクタのマトリックスの乗算を使う“デルタ近似”法である。総合資産のディストリビューションは、不明であるが、有意義な解釈が行われ得るように、しばしば正常であるとみなされる。このアプローチは、短い視野（例えば、１０日未満）に関しては有益で、正しく、そして、計算的には難しくない。この方法は、迅速に企業の将来の余剰、または、エクイティの標準偏差を計算する。しかしながら、この方法は、将来の過剰、及び、エクイティの確率分布について洞察力を供給しない。下振れリスク、例えば、デフォルト、または、支払い不能の可能性を見積るために、将来の過剰、または、エクイティから内在する確率分布に関する仮定を作らなければならない。

ＶａＲを決定する別のアプローチは、歴史的なシミュレーションに基づいている。このアプローチは、数学的な“ブートストラッピング”を必要とする。それは、リスクディストリビューションに関する歴史的なデータを、手当たりしだいに取り出す。その結果は、定常的でなく、それは、債務不履行や破滅的リスクのようなまれなイベントを得るための良いアプローチではない。

第３のアプローチは、これは本モデルに使われるものであるが、多変量シミュレーション法である。この方法において、多重の可能な将来のシナリオは、相関関係、または、連結方法論に基づいて生成される。そして、資本余剰金のディストリビューションは、企業の資産及び負債全ての総合価値からのシナリオから生成される。このタイプのアプローチは、更に長い視野分析における正確さのために必要とされ、そして、それは、大きな計算能力を必要とする。この方法は、将来の余剰資本の詳細な確率分布を生み出し、そして、それから、本モデルは、総合資産ディストリビューションに関して、仮定せずに下振れリスクを見積ることができる。

保険企業へのリスクは、５つの基礎的なカテゴリ、即ち、信用、利率、保険、エクイティ、及び通貨為替リスクに分類される。同じく運営リスクがある。しかし、これらは、歴史的なデータによって獲得されるにはあまりにも主観的で、まれである。例えば、新しい経営陣が会社を引き継ぐならば、運営リスクは、変わりそうである。信用リスクは、アップグレードにおける不確実性、及び、資産定格における降下に、もしくは、資産のデフォルトにおける不確実性に関連している。利率リスクは、将来における利率の動きにおける不確実性と関連している。保険負債における不確実性は、保険リスクを引き起こす。例えば、損失経験が著しく変動するならば、保険リスクは、更に大きい。為替レート変動は、為替レートリスクを引き起こす。これら各々のリスクカテゴリにおける変動の歴史的な記録は、これら各々のリスクカテゴリにおける確率分布を作成するために使われ、それらは資本余剰金の将来の変動を予測するために使われる。

これらの５つの基礎的なリスクの各々は、おそらく２５００以上個別のカテゴリに拡張される。例えば、本モデルは、“通貨リスク”を３０以上の通貨に分ける。エクイティリスクは、国内のそしてまた外国のものである数百もの特別な企業の問題に細分化される。保険リスクは、異なるタイプの終身生命保険、定期生命保険等のような保険に細分化される。

各資産及び負債は、ある程度他の全ての資産及び債務と関連があるかもしれない。どのように１つの資産または債務が他と共に変動するかは、ちょうど、あらゆる１つの資産の価値の変動が抽出され得る様に、歴史的データから抽出され得る。これらの資産及び負債の相関ファクタは、リスク計算エンジン１０の一部としてマトリックスに格納される。新しい財政データに関して、例えば３ヶ月毎に、相関ファクタは、定期的にアップデートされる。

本モデルにおいて、企業の資産及び負債に関するデータは、企業のデータベース、及び、スプレッドシートから入力される（図１参照）。このデータは、転送されて、リスク計算エンジン１０によって読まれ得る財務データベースに入力される。多数の“シナリオ”は、今後１年間にわたってイベントをシミュレートするために、準モンテ・カルロ法を用いてそれから生成される。これらのシナリオは、事業の余剰資本に影響を及ぼす変数値のセットである。それらが起こりそうにないことがないように、各シナリオにおける値は選択される。相関行列（或いは、連結）データは、規則を可能な範囲の各変数のための値に課すために使われ、そして、準モンテ・カルロ技術は、迅速に、そして、能率的にシナリオの最終のセットを獲得するために、適用される。

事業の余剰資本は、各シナリオを意図している。結果的な大きい余剰資本の結果、即ち多くのシナリオの用のものは、将来の余剰資本の確率分布としてそれからアウトプットされる。

シナリオを生成するための準モンテ・カルロ法の使用は、本発明の特別な特徴である。シナリオを生成するための他の方法よりも、この方法は、各規則を制限したシナリオ上で、はるかに速く、１０〜１００倍更に速く収束する。それは、財政的に、アカデミックな、特に科学のサークルにおいて主流の技術である。特に、それによって、企業リスクは、例えば動的なリスク分析よりもはるかに速く、非常に短い期間に決定されることが可能になり、そして、多数の使用のために本方法を更に実用的ツールにする。

上で示されたように、将来のリスクをシミュレートするための多数のシナリオの使用は、通常のＶａＲアプローチからの出発である。従来技術のバージョンのＶａＲにおいて、総合資産価値のディストリビューションは、正常であるとみなされた。時間的視野が短く、そして、株式買入れ選択権露呈が大きくないとき、一次近似式は適当である。これらの仮定は、更に長い時間的視野を持つ保険会社、及び、他の企業には正確ではない。更に、保険会社にとっての総合資産のディストリビューションは、正常であるとは知られておらず、内在するリスク要因のディストリビューションのテイラーシリーズ展開は、正確であるために、２次以上の高い項を必要とする。しかしながら、テイラーシリーズの高次の項を使用するよりも、総合資産ディストリビューションは、より多くのシナリオを用いてシミュレートされ得る。シミュレーションのためにシナリオを生成するために、シミュレーション及び準モンテ・カルロ法の結合は、本発明の特徴である。この結合は、過度の計算遅延なく、高い正確さを提供する
シナリオは、総合資産（余剰の資本と同じである）に影響を及ぼす変数のための値のセットである。今日の約５億ドルの余剰の資本には、来年の今日には異なる価値があるであろう。しかし、将来価値は、その会社が向いているリスク全ての効果のために不確実である。将来の余剰資本は、非常に大きいかもしれない、もしくは、非常に小さいかもしれない。しかし、およそ５億ドルの範囲にあろうとしている。本モデルは、会社の行動をシミュレートし、そして、それぞれ将来の剰余金をもたらす多重の可能なシナリオを生成する。これらのシナリオは、今から１年後は異なる総合資産を引き起こす次の年の間ずっと発生するであろう可能なイベントの範囲を表す。このタイプの不確実性、異なる余剰範囲は、確率分布を形成する。全ての可能な余剰資本価値の平均は、平均価値、もしくは、予測される将来の余剰資本と呼ばれる。例えば、その平均は５億６０００万ドルである。しかしながら、同じく他の値は、関連する可能性を有する。全てのこれらの値を引き起こすシナリオは、全ての可能なイベントを表すとは限らない。しかし、“真の世界”規則によって制限される。金融市場、及び、会社自身の経営履歴、及び、唯一の特性からの経験のデータに基づいて、そのモデルは、将来の余剰の資本が動作し得る方法を制御する相互関係ベースの規則を発展させる。規則は、起こることができないそれらではなく実際に起こるであろうそれらにシナリオの可能な結合を制限する。

将来の余剰資本の計算に起因するディストリビューションは、例えば、企業によって提供された保険のタイプに応じて歪められるかもしれない。従って、ディストリビューションの平均値は、企業リスクについて完全な情報を単独で提供しない。いくらかの数は、おそらくユーザーにとって更に重要である確率分布から抽出され得る。第１は、ディストリビューションの標準偏差によって分割された初期剰余と定義される自己資本比率と呼ばれる企業リスクスコアである。第２は、ある割合の資産を失うことの可能性、または、ドル価値の資産である。第３は、デフォルトの確率である。これらの値は、ディストリビューションそのものと共に出力され得る。

余剰の資本の計算が６回実際に行われる。最初に、全ての基礎的な５つのリスクカテゴリが含まれる。それは、その時もう５回行われた、それらの各々が個別のリスクカテゴリを分離することを意図している。各々の継続する５回の計算シーケンスにおいて、５つのタイプのリスク（信用、利率、通貨等）の各々のためにディストリビューションがあるように、これらの５つの基礎的なリスクカテゴリのうちのわずか１つが、含まれる。得られる良い結果はせいぜい１，０００であるが、その計算が行われるたびに、１０，０００のシナリオが使われる。

各々のこれらのタイプのリスクと一致する余剰の資本の確率分布は、５つの分散投資利益を示す５つ全てによる余剰資本ディストリビューションと共に決定される。これらは、全ての資産、及び、全ての負債のために決定される。

“資産”は、キャップ、スワップ、及び、先物、居住の、そして商業抵当、担保として使われた不動産保有高、及び、担保として使われないローンのように資産ベースの、安全、そして、抵当ベースの有価証券、国債、地方債、定格、そして不定格社債、定格、そして不定格優先株、普通株、派生語、再保険受取勘定、及び、長期の投資を含む。これらの各々のために用意された信用は、視野内のリターン、及び、政府（フリーリスク）資産のそれの間の差異である。

更に、本モデルは、３０の通貨、１０の産業セクタ、７つの信用度、通貨毎の９つの利率継続、及び、全ての財産、災害、及び生命保険タイプを追跡する。これらは、更に２５００以上のサブカテゴリに細分化されるために、５つの広いタイプのリスクをそれぞれ許す。例えば、信用リスクは、定格によって、国によって、そして、産業セクタ単位で分割される。利率は、時間、及び、国によって更に細分化される。エクイティリスクは、国、及び、産業セクタによって細分化される。保険リスクは、国によって、そして、職業によって細分化される。リスク、そして、相関ファクタは、各リスク要因サブカテゴリを意図している。

エクイティリスクは、次のとおりに決定される。それは、歴史的な自己資本利益率インデックスの分散、及び、共分散によって見積られる。各国が１０のセクタ（エネルギー、財政的な、周期的、等）を持っているということが推測される。

非常に構造化されると言われているそれらのように、いくらかの資産は、更に難しい。派生した、そして、抵当及び資産ベースの有価証券（それぞれＭＢＳ、及び、ＡＢＳ）のように。これらの各々のリスク特性は、手で入力されなければならない。

動的な財務分析のようないくらかのリスクモデルは、それらのリスクを予測する前に資産グループへのＭＢＳ、及び、ＡＢＳを集める。しかしながら、このアプローチは、正確ではない。保険会社のボンドポートフォリオの約半分がＭＢＳ、及び、ＡＢＳで構成されるので、この不正確さは、保険企業の場合に重要な問題である。

信用リスクは、債券の格付けのためにマイグレーションの歴史的なパターンを要約する定格遷移行列に基づいている。例えば、ＢＢＢボンドは、アップグレードされるかもしれない、もしくは格下げされるかもしれない、もしくは、歴史的なデータから容易に得られるある可能性によって履行されない。可能な値、及び、確率の範囲を与えられて、ＢＢＢボンドの将来価値のディストリビューションは、計算され得る。

スタンドアロン信用リスクが歴史的なデフォルト、及び、落ち目の歴史情報によって予測され得るが、信用リスク、及び、他のリスク間の相関の決定は、全く複雑である。ボンドのデフォルト確率は、その発行人のストックパフォーマンスのファンクションである。従って、１０，０００のシナリオを生成する際、国により、そして、セクタによるストックリターンは、変数のうちの１つである。デフォルト確率は、セクタストックリターン、及び、会社自身の特定のリスク（会社の資産サイズが大きいほど、特定のリスクは小さい）のファンクションとしてそれからモデル化される。

非公の資産の場合において、非定格ボンド、プライベートなローン、及び、抵当のデフォルトの歴史的なレートは、デフォルトレートを決定するために使われ得る。それから、比較すると、デフォルトに、定格ボンド、定格のレートは、別の方法で定格されない資産に割り当てられ得る。

通貨リスク、外貨における資産、または、負債を保持することのリスクは、歴史的な通貨両替レートから決定される。

利率リスクは、異なる満期の利率の分散、及び、共分散において明らかにされる。これらのレートは、歴史的なデータから獲得され得る。しかし、１年利率の良い代理は、１年満期を持つ金融市場機構である。これらのレートは、国毎に変化するであろう。

利率リスクは、方法にマッチするキャッシュフローによって決定される。特に、全ての資産からの予期される現金流入、及び、全ての予測されるクレームペイアウトからの現金流出が、計算される。流入、及び、流出間の差異は、年毎のネット・キャッシュ・フローである。ネットの年１回のキャッシュフローは、満期依存の利率リスクをそれから掛けられ、そして、分散投資利益は、純益を総合される。

利率の変更は、ボンドのような様々な資産に影響を及ぼす。本モデルは、各々がそれ自身の将来の利率産出カーブをと共に、多数のシナリオをシミュレートする。ボンドが資産ポートフォリオに存在するならば、それらの値のインパクトは、生成された産出カーブに基づいて影響を受けるであろう。各ボンドは、タイプによってそれらを分類した後よりも、むしろその個々の特性を用いて分析される。償還公社債は、普通社債マイナス取引選択権として分析され、そして、延べ取引選択権の価値は、各々のシナリオに関して計算される。

財産及び災害保険会社の保険リスクは、保険料リスク、及び、リザーブリスクから成る。保険料リスクは、創業期欠損比率の不確実性と関連していたリスクである。保険料リスクは、新規事業リスクとして分類され得る。この不確実性は、歴史的な記録から決定され得る。例えば、家屋所有者保険のような特別なタイプの保険における創業期欠損比率の一定期間を超える不確実性が、、８％であるならば、これのことは、家屋所有者保険に書かれた保険料の全ての額に関して、企業の総合資産において０．０８ドルの不確実性が生み出されるであろうことを意味する。

例えば、自動車保険、及び、健康保険のように、異なるタイプの保険の間にも相関がある。企業及び保険業からの歴史的な情報は、これらの相関を提供する。企業によって運ばれた保険の異なる系統の間の相関が低いほど、分散投資利益は大きい。本モデルは、その分散投資が決定されて、適用され得る前に、リスクを決定するために、それが提供する保険の各系統の保険料の企業の特定の不確実性を適用する。

方針の年数及びそれが書かれた年の経暦の関数であるリザーブと関連するリスクがある。リザーブリスクは、１年のリザーブリスク及び“究極の”リザーブリスクに分割される。リザーブリスクは、古いビジネスリスクとして分類され得る。前者は、今から１年間のリザーブ開発の不確実性に起因し、そして、将来の会計余剰の尺度である。全ての損失が支払われるまで、究極のリザーブリスクは、リザーブ開発の不確実性に起因し、そして、将来の経済価値の尺度である。これらのリスクは、不確実性に関して歴史的な会社記録から決定され得る：１９９５年に書かれた新しい方針のためのリザーブにおける不確実性は、何であったか。１９９６年では。１歳である、１９９５年に書かれた方針のためのリザーブにおける不確実性は、何であったか。１９９６年では。トータルの１年のリザーブリスクは、全ての年の間最初の年のリザーブリスクを強化することによって決定される。：各年の現在のリザーブは、“孤立している”リスクを獲得するために（すなわち、分散投資の前に）、方針年齢による不確実性を掛けられる。分散投資利益は、ネットリスクを与えるために、減じられる。保険の各系統は、同様に扱われ、そして、各系統からのトータルのリスクは、分散投資の前にトータルのリスクを獲得するために、合計される。

例えば、米国のドル／シンガポールドル為替レート、及び、ＡＡＡに格付けされたボンドの信用リスクが連動するか、又はそれがどの程度であるかを決定するために、２つの歴史的なデータが集められ、そして、その共分散が計算される。

債務面では、異なる企業は、異なる債務リスクを経験する。保険会社は、将来の損失を補償する際に使用するための保険料を集める。保険会社は、将来の価値を損失であると見積り、そして、それらの将来の損失をカバーするために、保険準備金をセットアップする。将来の損失は、資本剰余金に影響を及ぼす債務フォームである：リザーブが高いほど、余剰資本を下げる。いくらかの負債は、新規事業から最近獲得される；他のものは、少し前に獲得されたビジネスから少し前に獲得された。しかし、保険会社は、将来の損失を支払うために、責任をまだ保持する。本モデルは、保険会社の債務リスクを２つのクラスに分割する：新規事業からのそれら、及び、前のビジネスからのそれらに。新規事業の債務リスクは、“新規事業リスク”と呼ばれる、その会社がこの次の年保険業を営もうとしている新規事業の損失比率の不確実性から生じる。前年のビジネスの債務リスクは、“古いビジネスリスク”と呼ばれる。そのビジネスのリザーブが前に作られたが、保険会社は、時々昔のビジネスを将来の損失であると再び見積る。従って、新しい情報を与えられて、古いビジネスリスクのためのリザーブは、変わるであろう。

歴史的に、損失比率は、それらの損失が更にそうであるかもしれないリスクを表す、もしくは、あらゆるある年に少ないかもしれないディストリビューションを形成する。本モデルにおいて、２つの損失比率ディストリビューションが使われる：１つは古いビジネスリスクまたは現存するリザーブのためのもの、及び、１つは新規事業リスクのためのもの。各々のためのリスク要因は、産業データと、会社データの両方から計算される。

財産及び災害保険会社、及び、健康保険会社の義務リスクは、保険をかけているイベントの発生の頻度、そして、１度それらのイベントが発生すると、その損失がどの程度厳しいのかにおける不確実性から生じる。これらは、頻度リスク、及び、重大性リスクとして一般に知られている。

生命保険会社の債務は、その生命保険保険契約者が死んだとき死亡給付金を支払い、その年金保険契約者が生きている間は先物株として年金利益を支払い、そして、会社に預けられた保険契約者の資金に最低限のリターンを保証するという会社の約束から生じる。保険会社のいくらかの債務リスクは、致死的リスクから生じる（残りが、間違って方向付けられた会社の投資戦略、及び、その負債から生じる）。致死的リスクは、被保険者の寿命の不確実性である。その年金保険契約者が予想したより更に長く生きるならば、生命保険会社の余剰資本は、予想したよりも更に低いであろう。一方、保険会社が生み出す投資リターンが、保証した最小限のリターンよりも低いならば、余剰資本の量は、予想したより更に低いであろう。

致死的リスクを決定する際、どのように余剰資本が死亡率統計表の漸進的な変更によって影響を受けるかを、本モデルは計算する。死亡率は、ドリフトターム、及び、変動し易さのタームによって影響を受ける。これらのファクタの全ては、生命保険製品、ひいては、純現在価値のキャッシュフローパターンに影響を及ぼす。

リスクの５つの基礎的なカテゴリは、生命保険製品（終身、定期生命等）に適用される。保険リスクは更に、致死的リスク、即ち、現実の死亡率経験、及び、予測される死亡率経験の間の差異による企業の総合資産に対するインパクト及び、疾病率リスク、即ち、企業の余剰資本での現実の疾病率経験、及び、予測される疾病率経験の間の差異によるインパクト、に細分化され得る。利率リスクは、利率産出カーブの変更によって、企業の余剰資本に影響を与える。エクイティマーケットリターンにおける変動によって、エクイティリスクは、余剰資本に影響する。同じく経営環境の変更のために企業の余剰資本に影響するビジネスリスクがあり得る。従って、各タイプの保険製品は、５つの基礎的なリスクカテゴリのうちの少なくとも１つに対して影響を与え得る。

本モデルにおいて、それが財政上の選択権を持つ定額所得セキュリティであるかのように、各製品セグメントは分析される。各保険製品の純現在価値は、大勢で死亡及び疾病率、利率産出カーブ、経過及び引渡しレート、インフォース値、保険料、方針の長さ、そして、リターン保証によって影響を受けるであろう。これらのファクタは、キャッシュフローパターン、及び、様々な保険製品の割引率に影響を及ぼすかもしれず、従って純現在価値に。

例えば、致死的リスクは、生命保険、及び、終身年金製品につきものである。疾病率リスクは、事故、及び、健康製品につきものである。各タイプの製品は、それに影響を及ぼすファクタのために分析される。これらの異なる製品は、それから正確にモデル化される。生命保険において、その企業が方針のそれらのポートフォリオに多くの独立したケースを持っているならば、致死的リスクは、小さいであろう。健康及び歯の保険における疾病率リスクは、高いかもしれないが、それらは、短期間であり、且つ再価格決定の対象であり、従って現実の保険リスクは小さい。

それが接続された財政上の選択権を持つ定額所得セキュリティとして保険製品の利率リスクを分析する際、周知の“キャッシュフローマッチング”技術が、純現在価値を決定するために使われる。この方法を使うために、利率の変動に関する歴史的なデータは、獲得され、そして、同等のボンド価値がそれらから計算される。例えば、１年利率リスクのための良い近似は、１年満期を持つ金融市場機構である。

保険会社製品と関連していたエクイティリスクは、一般に実在しない。保険会社は、エクイティ市場リスクをそれらのクライアントと考えない。しかし、いくらかの可変年金製品は、最小限のリターンを保証する。これらは、プットオプションに類似しており、そして、現在のエクイティ市場成果に対して敏感である。可変年金製品の将来所得は、エクイティ市場成果によって同じく割り込んでいる。人は、このリスクはエクイティ市場リスク、それは本モデルにおいてビジネスリスクとして分類されるが、と類似していると主張するかもしれない。エクイティ市場リスクは、エクイティに関する歴史的なリターンを用いて、国によって、そして、（市場産業、財政上、サービス、エネルギー等の）セクタ単位で見積られる。各国が１０のセクタを持っているということが推測される。

ビジネスリスクは、将来の利益ストリームへのいくらかのリスクが、経過及び引渡しレート、並びに、エクイティ及び債権市場リターンのような操作上のファクタと関連していることを意味する。ビジネスリスクは、他のリスク要因より主観的である。なぜなら、それが企業の将来の収益性の投射を必要とするからだ。ビジネスリスクに影響を及ぼす多くの他のファクタがあり、実際、それら全てを獲得するには多過ぎる。下記で示されるように、いくらかのタイプのビジネスリスクは、モデル化される。

生命保険製品の各タイプは、それ自身の関連するリスクを持つ。現金流入及び流出が不適当に組み合わせられるので、定期生命は、利率リスクを経験する。同じくそれは、インフォース量の関数として致死的リスクを持つ。各セグメント（人口統計に基づく）の方針の定期生命の純現在価値は、４つのファクタによって変わる。これらの４つのファクタの第１は、固定した保険料、及び、予期された死亡給付金の間の差異である。第２は、１及び蓄積された減率の間の差異である。第３のファクタは生存率であり、そして、第４は割引ファクタである。将来の利益の変動性がビジネスリスクであるので、ゼロ利潤が想定される。

同じく１つの保険料生命保険は、利率及び致死的リスクを持っている。人口統計のセグメントにおける全ての方針のその現在価値は、３つのファクタ、即ち予期された死亡給付金、生存率及び割引ファクタによって変わる。一般に、１つの保険料生命保険の利率リスクは、定期生命保険証券よりも大きい。

終身生命保険製品は、比較的利率リスクをほとんど持っていない。なぜなら、現金流入及び流出がマッチされるからだ。（もちろん、全ての生命保険証券は、致死的リスクを経験する。）しかしながら、将来の利率が十分に低いならば、現金価格が死亡給付金の償いをしないであろうので、保険会社は、損失を経験するであろう。一般に、それが固定した年金であったかのように、全ての生命保険証券の現金価格は、分析される。

１つの保険料ライフ収入年金は、利率及び致死的リスクを持っている。その人口統計のセグメントにおける方針によって口述されたように、その現在価値は、割引かれた現金流出に関して和だけ足りないトータルの１つの保険料に等しい。現金流出は、３つのファクタ、即ち、固定した例年の利益、年金生存率、及び、割引ファクタによって変わる。任期制限、または、前受収益によってそれらのような営業外収益年金をモデル化するために同様のアプローチが行われる。

構造化された解決は、利率リスクのみ持ち、そして、合意支払いパターンが知られた後で、その純現在価値は、容易に計算される。

事故及び健康保険製品は、疾病率リスクを持っており、そして、その保険料が１年を超える期間の間保証されるとき、いくらかは、利率リスクを持つ。単純化のために、そのリスクは、４０歳の人に設定された２０年定期生命保険製品と同じであると仮定する。

固定した年金は、リターンの変動相場を持つが、最小限のリターン保証を持つであろう貯蓄製品であり、そして、構造化された解決に分析目的のために類似している。これらは、現金ミスマッチのために利率リスクを持つ。利率リスクの広がりは、累算期間及び清算期間によって緩和され得る。これらの製品は、同じく短い時間の変動利率債と類似している。最小限の利率が保証されるとき、そのリスクは、利率の変更によるオプション値の変更と定義される。固定した年金と関連するリスクの計算は、下記で示される
可変年金は、リターンの変動金利を提供する別の貯蓄製品である、しかし、しばしば最小のリターン保証を伴い、そして、エクイティプットオプションと類似している。リスクは、オプションの値における変動から起こり、そして、エクイティプットオプションが利率と、エクイティマーケットリターンの両方に対して敏感であるので、利率及びエクイティリスクとして分類される。エクイティプットオプションのリスクを予測する方法は、下記で詳細に記述される。

本方法は、１つのタイプのビジネスリスクである減率が、どのように企業の将来の余剰資本に影響を及ぼすかをモデル化する。減率は、各タイプの保険製品のための歴史的なデータに基づき得る。減率が増加すると、企業価値が増加し、そして、減率における減少は価値を減少させる。歴史的なレベルからの減率変更の確率分布は、２５％／５０％／２５％であるとみなされる。それは、有効な１００万ドルにつき１０７４ドルの標準偏差を与える。

本方法によってモデル化される別のタイプのビジネスリスクは、可変年金の撤回レートである。撤回レートは、証券の期間にわたるレベルであるとみなされる。即ち、同じ量の撤回、毎回、資金が引き出される。レベル撤回をレートであるとみなして、特別な保険製品の期間は、純現在価値を決定する。

本発明においてモデル化されるまた別のタイプのビジネスリスクは、その企業が可変年金を提供するとき、現存するビジネスの将来の利益を含む企業の余剰資本へのエクイティマーケットの影響である。モデルは、それぞれが２５％及び７５％の可能性を持つと思われる、年金資産に関する“撤回なし”及び“レベル撤回”のシナリオを見る。

同じく、いくらかの生命保険会社は、可変年金のような投資タイプ製品を提供する。保険会社は、これらの製品のリターンを保証せず、保険会社に預けられた資金は、“分離されたアカウント”に保たれる。保険会社の余剰資本は、これらの資金のリターンによっても影響を受ける。なぜなら、保険会社がチャージし得る料金が資金のリターン及びサイズと直接関係があるからである。分離されたアカウントに関するリターンが予想したより少ないならば、資金の量は、更に高い撤回からそしてまた更に低いリターンから予想したより更に低いであろう。

前述のものにおいて、人口統計のセグメントが参照された。生命保険製品のリスク露呈は、１を超える次元によって現存する証券の特定の構成に基づいている。そのモデルは、定期生命及び生命収入年金に関しては、年齢及び契約満期によってそれらを形成し、構造化された合意に関しては、支払いパターンによって、固定した年金に関しては、年齢及び保証によって、そして、変動する年金に関しては、証券の期間及び保証によってそれらを形成する。同様のブレークダウンは、他の製品に適用される。人口統計のセグメンテーションデータは、企業による、もしくは、産業平均から本モデルに供給され得る。同様に、企業の減率データか産業の平均データのいずれかが、使われ得る。

全てのタイプの保険がさらされる利率リスクは、今示されたキャッシュフローにマッチすることによって決定され、その後、それが、あたかも一連の“ゼロの利札付き債券”かのように、将来のケースフローを分析する。各々のリスク“ゼロの利札付き債券”が計算され、その後、そのリスクは、全てのゼロの利札付き債券の間で共分散利益によって減少する。生命保険製品を利率のインパクトの模範とするのは、更に多くが複雑になる。なぜなら、利率変更は、将来の現金フローの割引率を変えるばかりではなく保険契約者の行動に同じく影響を及ぼすことができるからである。例えば、利率増加、１つが更に固定した年金を予期するであろうならば、保険契約者が債権市場において投資することの固定した年金口座からの更に多くの引き下がっている資金を稼ぐことができるので、証券は、捨てられるであろう。しかしながら、レート変更に対する保険契約者の撤回レートがどのように敏感であるのかとの質問への応答は、それらの保険契約者が誰であるのか、及び、保険会社とのそれらの契約がどの程度制限的であるのかを知ることを必要とする。利率までの生命保険契約の価値がいかに敏感であるかを知るために、人は、保険契約者の行動をモデル化しなければならない。

生命保険、そして、年金製品は、もしくは、それらの顧客は、契約をキャンセルする契約のサイズを増大させるために、オプションを通常伴う。例えば、顧客は、彼の／彼女の生命保険契約を保険料を支払わないことにより、いつでもキャンセルする、または、保険会社に預けられた資金を引き出すことによって彼の／彼女の固定した年金契約をキャンセルすることができる。被保険者及びそれによって片方だけが行使でき、方針タームの正常なコースを変更するこれらのオプションは、、ペイする、抵当のうちで、一度に、満期以前に借り手によって選択された時に、抵当を支払うことを認めるオプションと類似している。保険契約がキャンセルされるまでの時間の長さは、、それらの契約の収益性及び価値に非常に影響を及ぼす。保険会社は、契約を売る保険代理店権限を支払わなければならない。保険契約が早くキャンセルされるならば、多分、保険会社は、契約を獲得するために、大部分の支払手数料を失うであろう。早期のキャンセルは、反対に会社の余剰資本に影響を及ぼす。従って、保険会社の価値は、それらの保険契約の予測されるキャンセル日付に非常に依存している。

保険の顧客は、契約をキャンセルする選択権を持っているかもしれない。しかし、それらがこれを使うであるか否かに拘らず、オプションは、多くのファクタの関数である。キャンセル（すなわち、解約料）のコスト、マーケットにおける投資環境、他の保険会社からの競争、契約の流通経路、顧客の社会‐経済的な特性、及び、純粋な任意を含んで。例えば、その証券がプロのエージェント、対独立したエージェントを通じて獲得されたならば、それは保持され、、引き渡されることがないと思われる。利率が増加するならば、固定した年金アカウントから資金を引き出すことは、顧客に適切である。それらの顧客が高所得グループに属するならば、それらは、利率変更に対して更に敏感であるかもしれない。保険契約の変動性を理解するために、１つは、何がキャンセル行動、及び、その大きさを動かすかを理解しなければならない。

生命保険における不確実性は、居住の抵当においけるそれに類似している。抵当は、しばしば早く清算される、もしくは、資金を補充される。抵当顧客のリファイナンシング行動に影響を及ぼすことができる多くのファクタがある、それらのファクタは、抵当の性質、利率、財産のロケーション、顧客の社会経済的な、そして人口統計の特性を含む。抵当ベースの有価証券（ＭＢＳ）を評価するために、何が顧客に抵当に資金を補充する動機を与えるかを理解しなければならない。現在、他のものは、大規模な経験のデータに関して洗練された後退技術を適用することによって行動に資金を補充する抵当をモデル化する。本モデルは、生命保険顧客のキャンセル行動を分析するために、同様の技術を生み出すモデル化技術を適応させた。

我々、回帰分析のための個々の保険契約に関する最初の料金先方払いのデータを収集する。我々がモデル化している変数であるキャンセル行動に関係した従属変数は、その年に保険契約がキャンセルされたかどうかである。保険契約がキャンセルされるならば、従属変数は１である、さもなければ、それは０である。独立変数は、顧客にそれらの保険契約をキャンセルする動機を与えるかもしれない、または、それらがそのように行うことを妨害する全ての可能なファクタである。それが定期生命、終身生命、可変年金である、もしくは、契約の年金、年齢、サイズ、流通経路、及び、解約料を用意されるか否かに拘らず、独立変数の最初のセットは、保険契約の性質を含む。それらの収入、富、年齢、及び、性を含んで、独立変数の第２のセットは、顧客の社会経済的な特性を含む。独立変数の第３のセットは、利率、株式市場リターン、及び、他の保険会社からの代替製品のような投資環境を含む。この回帰分析の最終結果は、いかに独立変数がキャンセルされることの保険契約の見込みに影響を及ぼすかを示す方程式である。

保険契約顧客のキャンセル行動を示す後退結果は、多重キャンセルシナリオを生成するために、本モデルを導く。生成された多重シナリオの各シナリオは、世界の可能な将来の状態を含む。各将来の状態は、利率、エクイティリターン等のような投資環境に関する情報を含む。本モデルは、投資環境に関するデータを独立変数としての回帰方程式にフィードするであろう。その出力は、各保険契約がキャンセルされたある他の独立変数であろう確率である。その確率に基づいて、本モデルは、各保険契約がキャンセルされたとしてモデル化されるかどうかを決定するために、それから乱数を引き、そしてその結果、保険会社の余剰資本が、決定されるであろう。

我々は、保険契約の価値が、利率変更に対してどのように敏感であるかを示すために、“部分的時間”及び“部分的凸状”の概念も使う。‘部分的時間’は、利率における百分率変化によって分割された資産価値における百分率変化と定義される。保険契約の“部分的時間”が２であり、そして、利率が１パーセントポイント増加するならば、資産価値は２％増加した。“部分的凸状”は、２つの利率変更の製品によって分割された資産価値における百分率変化と定義される。保険契約の“部分的凸状”が３０であれば、第２の利率が１％減少し、資産価値が３０＊１％＊−１％＝−０．３％増加する間に、最初の利率は１パーセント増加する。我々は、“部分的時間”を計算するために、定額によって１つの利率（例えば、３年の利率）を変えることから始める。それから、我々は、キャンセル確率を回帰方程式から計算する。キャンセル確率に関して、我々は、保険契約から予測されるキャッシュフローを計算し、そして、適切なレートと共に将来の現金フローを割引くことによって現在価値を発見し得る。“部分的時間”は、それから利率変更によって分割された資産の百分率変化である。

我々は、“部分的凸状”を計算するために、定額による２つの利率（例えば、３年利率及び５年利率）を変える。それから、我々は、キャンセル確率を回帰方程式から計算する。キャンセル確率に関して、我々は、保険契約から予測されるキャッシュフローを計算し、そして、適切なレートと共に将来の現金フローを割引くことによって現在価値を発見する。“部分的凸状”は、それから２つの利率変更の製品によって分割される資産価値の百分率変化である。それらの利率に関する感度を理解することがはるかに容易であるように、この処理は、保険契約の全てタイプに関して行われる。このプロセスは、産出カーブ変更を考慮した結果定期的にアップデートされなければならない。同じく行動の回帰模型は、定期的にアップデートされる必要がある。

本アプリケーションは、各資産及び各タイプの債務をモデル化する。それは、それからそれが企業の今後１年の余剰資本のディストリビューションを計算するために準モンテカルロ技術を用いて生成するシナリオを使う。各資産及び各債務の価値は、各シナリオを意図しており、そして、ディストリビューションを作るために、合計される。

本モデルによって生成されたレポートは、これらの様々な資産及び負債の分散投資の利益を含むリスク（信用、利率等）、及び、リスクの各ソースから不確実性におけるリスクを特定する。分散投資利益だけ足りない全ての５つのソースからのトータルのリスクのネットは、不確実性において表された企業のトータルのリスクである。例えば、同じくレポートは、５％、及び、１％可能性によって失われる危機にさらされているドルの数を計算する。加えて、もしくは、その代りに、そのレポートは、ある割合の余剰資本を失う、そして、履行しないことの確率を抑制し得る。不確実性において表されたリスクによって資本剰余金を分割することは、他の企業が特にこの企業のリスクの相対的なランキングを示すためにスコアと比較され得る自己資本比率と呼ばれる企業リスクモデルスコアをもたらす。

いくらかの企業は、複数の部署で構成されている。余剰資本のディストリビューションは、総計で生み出され、そして、分散投資利益を暗に含む。十分な多角的企業は、１つのタイプの資産、または、１つのタイプの債務（すなわち、１つのタイプの保険証券）に集中するよりも、それと関連していた比較的少ないリスクを経験するであろう。

本ソフトウェアアプリケーション及びモデルの重要な特徴は、それが企業の中にリスク寄与及び資本減耗を部署の間に割当てる方法である。資本の割当は、事業部門の財政上のパフォーマンスを評価することにとって決定的である。理論上、余剰資本は、企業が直面しているであろう不確実性による資金において不足を維持するために使われる。従って、更に多くのリスクを企業にもたらす部署は、更に多くの余剰資本の“賃貸料”を支払うこと責任を持たなければならない。資本は、従って各部署のリスク寄与に基づいて割当てられる。

本ソフトウェアモデルの重要な特徴は、それが収入を割当てる方法である。事業部門は、企業の資産を扱わないかもしれず、むしろ、それらは、投資リスク、及び、収入投資産出広がりをとることの任務を持つ中央投資部門に残される。本モデルのアルゴリズムは、収入が、それと関連するリスクを冒した部署に割当てられるとの前提に基づいている。従って、これが正しいとき、投資リスクは、事業部門に割り当てられるべきでない。その代りに、リスクの無い“合成の資産”が、その債務の現金流出を模倣する各事業部門のために作成される。その結果、事業部門は、同じく投資リスク、または、利率リスクではなく、保険リスクのみ持ち、そして、そのオペレーションからの収入のみが部署に割り戻され、合成の資産に利子所得をプラスする。

オペレーティング部署のリスク寄与は、あまりそれらのスタンドアロンリスクに基づいておらず、それらの割当てられた分散投資は、利益を得る。企業リスク（分散投資利益を含む）への個々の部署のリスク寄与が知られた後で、リスク資本は、そのリスク寄与（そのスタンドアロンリスクに比例するよりも）に比例した、そして、流動的でリスクの無い投資形式で、各部署に割り当てられ得る。暗に、企業のトータルの分散投資利益は、資本を割当てるために、全ての部署の間で相関構造に基づいて各部署に割当てられる。各部署の資本上のリスク調整されたリターン（ＲＡＲＯＣ）は、それから割当てられた資本によって割当てられた収入を分割することによって決定され得る。

本方法によれば、各部署は、分散投資利益のために調節されたように、各分割のリスク寄与を計算するために、任意に小さく“スライス”、好ましくは１０００スライスに分けられる。そして、その企業は、多くの小さいステップにおいて築き上げられる。各ステップにおいて、１つの部署の１つのスライスが、企業に加えられる。そして、本ソフトウェアアプリケーションは、企業リスクを計算する。そして、別の部署の別のスライスが、加えられ、そして、企業リスクが、再び予測される。２つの企業リスクの間の差異は、第２の部署の１つのスライスによるリスク寄与であると言われる。この方法を使って、各部署の各スライスのリスク寄与が、計算される。各部署の各スライスからのリスク寄与の和は、各部署の総合したリスク寄与を獲得するために、このように合計され得る。

資本を割当てるこのアプローチは、あまり他の分割と関連しないそれらの分割に対して結果にバイアスをかける傾向がある、部署のスタンドアロンリスクのサイズ、に基づく割当より正確である。分散投資利益を全く割当てることができないままでいるより、それは良いことでもある、そして、それは、あまり相互関係を持たせられない部署に対して結果に同じくバイアスをかける。更に、割当てることができないことは、全ての部署の財政上のパフォーマンスを過小評価もする。なぜなら、あまりにも多くの資本が全ての部署に割り当てられるからである。部署によるリスク寄与は、セグメントが企業リスクを増加する限界のリスクによって動かされる。しかしながら、限界のリスクのサイズは、企業にそれらのセグメントが加えられる順番に依存している。セグメントによる“順序非依存の”リスク寄与を計算するために、多数の繰り返しが必要とされ、部署の数が増加するにつれて、その数は、指数的に増加する。不幸にも、モデルのスピードは、モデルの有用性に関して重要である。

それが合成のリスクの無い資産上のリターンであるかのように、投資部署は、事業部門に割当てられたリスク資本を支払う。投資部署の収入は、それ自身のポートフォリオ、及び、事業部門に支払われる合成の投資の産出要求の間の産出格差である。

本ソフトウェアアプリケーションは、出力っとして、カテゴリ（信用、エクイティ等）毎に、トータルの企業リスク及びリスクを生成する。それは、デフォルトの場合にはある割合の資本、デフォルトの確率、予測される保険契約者赤字、及び、期待損失を失うことの確率のような下振れリスクを報告する。その企業が複合的部署を持っているとき、各部署のスタンドアロンリスクは、そのリスク寄与、資本割当、及び、ＲＡＲＯＣと共に報告される。

下振れリスクは、負の営業収益、資本の２５％の損失、５０％資本の損失、及び、レートの格下げと、任意に定義され得る。本実施の形態において、本モデルは、これらのイベントの確率を見積り、そして、管理がそれらが回避されるかもしれない、もしくは緩和されるかもしれないように、これらのリスクの原因を発見することを可能にするであろう。

前述の報告されたアイテムに加えて本ソフトウェアアプリケーションは、 リスクの不確実性に対する余剰（どちらも同じ単位、すなわち、ドル）の比率と定義される“資本吸収能力スコア”を生成する（。資本吸収能力スコアは、仮定した正規分布に関して、そのディストリビューションの平均からのその逸脱によってデフォルトの最大の可能性を示すデフォルト限界を決定する。資本吸収能力が高いほど（即ち、余剰資本が高いほど）、不確実性は低くなる。

今、これらの資産及び負債の数学的なモデル化が示されるであろう。

Ａ．準モンテ・カルロ法
ＶａＲ枠組において資産のポートフォリオのディストリビューションを計算するいくつかのアプローチがある。基本的に、それは、分析的アプローチかシミュレーションアプローチのいずれかである。分析的アプローチは、通常のデルタ・ガンマ拡張であり、そして、シミュレーションアプローチは、歴史的なシミュレーションかモンテ・カルロシミュレーションのいずれかである。

我々は、本企業リスクモデルにおいて保険会社の総合資産のディストリビューションを計算する際、十分な評価準モンテ・カルロ法を採用する。我々は、いくらかの重要な理由のために十分な評価準モンテ・カルロ法を選択した。第１に、信用リスクと、他の市場リスクとの両方は、本モデルにおいて統合されて、計算される。信用リスクが非常にローカルでないので、デルタ・ガンマ拡張は、適切ではない。第２に、シンプルなデルタ・ガンマ近似は、通常、高い変動性を伴う、対数正規分布するリスクに関しては良い近似ではない。本モデルの視野が１年であるので、資産と、保険リスクの両方の変動性は、小さくない。いくらかの出資証券の変動性は、４０％と高いく成り得るので、通常のデルタ・ガンマアプローチが無効となる。３番目に、十分な評価シミュレーション方法は、エキゾチックな派生した資産、及び、エキゾチックな保険リスクを組み込むのに十分に柔軟であり、一方、デルタ・ガンマ拡張の能力は、非常にこのエリアで制限される。第４に、準モンテ・カルロ法は、モンテ・カルロ法よりも、低い有効次元の問題、及び、このカテゴリに入る大部分の財政問題に関して、収束のより高いレートを持っている。

準モンテ・カルロ（ｑ−ＭＣ）法は、低い有効次元に関する問題に十分に適している。関数の有効次元は、そのＡＮＯＶＡ分解と関連している。それは、ｔ次元の関数ｆの、同じ次元を持つ直交関数の和としての表現を、発見するために使われる。関数の大部分の分散が、ｌ次元（ｌ≦ｓ）を持つ直交関数の和によって説明され得るならば、関数ｆの有効次元はｓである。

関連した関数がいくらかの意味で低い有効次元を持っていることは、財務計算において、しばしばあり得る。これが起こるとき、たとえ、その関数が、ｔ大きいｔ次元であるとしても、良い低次元の投影（すなわち、［０，１）^ｔのサブスペース上へのＰｎの投影が十分に分散さるように）を持つ点のセットＰｎに基づくｑ−ＭＣ法は、正確な近似を提供することができる。我々は、低い有効次元と結合する変数を重要変数、すなわち、関数ｆの大部分の分散を説明する変数という。

問題の重要変数を特定するのが、ｑ−ＭＣ法における最初のステップである。ＶａＲ枠組において重要変数を特定する自然解は、固有分解（主成分）をデルタ展開に適用している。上記したように、デルタ展開は、ポートフォリオのディストリビューションを計算する際、あまり良い近似ではない、しかし、それは、重要変数を特定するためには十分に正確である。

リスク要因ｒ_ｉが次の式に従うとする。

ここで、ｚ_iは、マルチノーマルの分散Ｎ（０，ρ）の確率変数である。ρはｚ_iの相関行列である。デルタ展開において、ポートフォリオ値の変更ΔＰは、以下によって与えられる。

ｚ_iに固有分解（次のセクション参照）を適用する。

ここでＵは、固有列ベクトルρのマトリックスであり、Ωは、ρの固有値の平方根である対角要素を持つ対角行列である。従って、ΔＰは次の様に書き直され得る。

ここで、

ΔＰの分散は、

である。

この方程式は、分散ｘ_ｌのΔＰの分散への寄与がＢ^２ _ｌであることを示す。この解釈は、その重要性に従ったｘ_ｌを順序付ける次の手続きを示す。

ｚ_iの固有分解が得られ、その後、マトリックスＡが計算される。そして、我々は、

を計算する。

Ｂ_ｌは、Ｂ_１≧Ｂ_２≧Ｂ_３≧．．．≧Ｂ_ｔのように順序付けられる。マトリックスＡは、対応させて再整理される。Ａ＝ＵΩであり、Ωにおける対角要素、及び、Ｕにおける列固有列ベクトルは、Ｂ_１≧Ｂ_２≧Ｂ_３≧．．．≧Ｂ_ｔの順に再び順序付けられる。再整理されたマトリックスＡを、Ａ’と表示する。

良い低次元の射影を持つ、一様な準乱数番号ポイントセット

を生成する。ここで、

である。

モデルは、

を、

に、逆累積的正規関数によって、変換する。。

それから、我々は、方程式ｚ＝Ａ’ｘによってｚ〜Ｎ(０，ρ)、及び、Δｒ_ｉ＝σ_ｉｚ_ｉによってリスク要因Δｒ_ｉの変化を得る。

我々は、次に格子規則に基づく一定の準乱数ジェネレータを実行する。Ｋｏｒｏｂｏｖ規則は、実行し易い格子規則の特別なケースである。ある標本の大きさｎに関するポイントセットＰｎは、

によって定義される合同ジェネレータ（ＬＣＧ）によって生成される、ｔ（ｔは空間の次元）の継続的な値の全てのベクトルのセットに等しい。ここで、最初のポイントｙ_０＝∈｛0,1,..n-1｝である。準乱数セットは、

である。

次の表は、いくらかの低い次元の射影が十分に分散される基準に関して、ある標本の大きさｎに対応する最も良い乗数ａを与える。

Ｂ．固有分解及び特異値分解
確率変数Ｘ〜Ｎ(μ，Σ)のセット、及び、別の確率変数

のセットが、式Ｙ＝ＡＸ＋ｂによって関連付けられている場合、ここでＡはマトリックスであり、ｂはベクトルであるが、Ｙ〜Ｎ(Ａμ＋ｂ，ＡΣＡ^Ｔ)である。Ａ^Ｔは、Ａの転置である。特に、Ｘ〜Ｎ(０，Ｉ)、及び、Ｙ＝ＡＸであれば、Ｙ〜Ｎ(０，ＡＡ^Ｔ)である。

ある共分散行列Σ^２に関して、我々は、Σ^２の分解を、すなわち、Ｙ〜Ｎ(０，Σ^２)及びＸ〜Ｎ(０，Ｉ)であれば、Ｙ＝ＡＸとなるマトリックスＡを見つけることを常に望む。前述の観測から、我々は、Σ^２＝ＡＡ^Ｔであることが分かる。Ａは一意ではなく、そのマトリックスを発見するいくつかの方法がある。

我々は、Σ^２が共分散・分散行列であることを知っている。それは、ほぼ明確に確定されている。Σ^２がＮ×Ｎマトリックスであり、Ａも、同じくＮ×Ｎであると仮定しよう。最初に、Ａに特異分解を適用しよう、すなわち、Ａ＝ＵΩＶ^Ｔ
が成り立つＮ×ＮマトリックスＵ、Ω、及びＶが存在する。ここで、Ωは対角行列である。Ｕ及びＶは直交している。
Ｕ^ＴＵ＝ＵＵ^Ｔ＝Ｉ， Ｖ^ＴＶ＝ＶＶ^Ｔ＝Ｉ
従って、
ＡＡ^Ｔ＝(ＵΩＶ^Ｔ)(ＶΩ^ＴＵ^Ｔ)
及び、
＝ＵΩΩ^ＴＵ^Ｔ
であり、従って、ＡはＡ＝ＵΩと分解され得る。Σ^２＝Ａ^ＴＡ、及び固有分解Σ^２＝ＥΛＥ^Ｔの事実によって、ここで、Ｅ固有列ベクトルのマトリックスであるが、我々は、次の方程式
ＥΛＥ^Ｔ＝Σ^２＝Ａ^ＴＡ＝ＵΩΩ^ＴＵ^Ｔ＝ＵΩ^２Ｕ^Ｔ
によって、Ｅを伴うＵ、及びΛを伴うΩ^２を特定することができる。

従って、Ａの分解のうちの１つは、
Ａ＝ＵΩ
である。ここで、Ｕは、Σ^２の列固有ベクトルのマトリックスであり、そして、Ωは、Σ^２の固有値の平方根の対角要素を持つ対角行列である。この分解によって、
Ｙ＝ＵΩＸであり、
ここで、Ｘ〜Ｎ(０，Ｉ)そして、Ｙ〜Ｎ(０，Σ^２)である。

Ｃ．ストック及びファクタローディング
ファクタローディングの場合、我々は、任意の債務者νに関して、会社の価値の標準化された対数リターンｒ^ν _nが、標準化された２つのリターン、すなわち、産業リターンｒ^I _n、及び会社の特定のリターンεの加重平均

であると仮定する。

前述の方程式の実用的な解釈は、会社のリターンがその会社が属する産業分類のインデックスリターンによって、単に特別な、そして、会社に特有の情報によって説明され得る残りの部分を伴って、十分に説明され得るということである。前述の方程式における産業特有のリターンは、マルチ産業リターンに一般化され得る。そのような場合、ｒ^I _nは、産業リターン上での標準化されたリターンの加重和で表されるであろう。

会社特有のリスクは、一般に会社資産サイズの関数であると考えられ得る。より大きい会社は、より小さい会社特有のリスクを経験する傾向にあり、一方、より小さい会社は、より大きい会社特有のリスクを経験する傾向にある。ＪＰ ＭｏｒｇａｎのＣｒｅｄｉｔＭａｎａｇｅｒによれば、会社特有のリスクは、次の対数曲線

に従う。ここで、Ａｓｓｅｔｓ＝米国ドルでの全資産 である。１０億ドルの資産サイズに関しては、会社特有のリスクが．４６であり、これはｗ_Ｉ＝０．５４を意味する。１０００億ドルの資産サイズに関しては、ｗ_Ｉ＝０．７５である。

会社の資産サイズから、我々は、ＪＰ Ｍｏｒｇａｎの対数方程式によって、会社特有のリスクを計算し、従って重みｗ_Ｉを決定し得る。その会社が１つの産業グループに属するならば、会社の標準化されたリターンは指定される。しかしながら、我々が上記したように、会社のリターンの動きは、１を超える産業インデックスによって説明されるかもしれない。その場合、我々は、ｒ_n ^Iを、標準化された産業リターンに関して分解する必要がある。

産業ｉにおける会社νの関与をβ_ｉ，ｉ＝１，２，．．，ｎ

と仮定する。

会社の加重された産業インデックスを

と定義する。ここで、ｒ^ｉは、産業インデックスの総利回り（標準化されていない）である。産業インデックスに関するリターンが、σ_ｉで与えられる変動性、及びρ_ｉｊで与えられる相関を持っていると仮定すると、、会社の加重された産業インデックスｒ^Ｉの変動性は、

である。

よって、

である。そして、会社の標準化されたリターンは、

で表され得る。

前述の討論は、会社の標準化されたエクイティリターンが会社の値に関する標準化されたリターンの良い代理であるという仮定をしいてる。よって、会社の標準化されたエクイティリターンをｒ^ｅ _ｎと表示すし、
ｒ^ν _ｎ≒ｒ^ｅ _ｎ
そして、人が、エクイティの変動性（σ_ｅ）を知っているならば、我々は、会社のエクイティリターンを

とモデル化することができる。

エクイティリターンの変動性に関する情報がないならば、我々は、前述の方程式で与えられたように、σ_ｅ＝σ_Ｉと仮定する。そのとき、

である。

エクイティリターン一般形は、

であり、ここで、

である。

１つのエクイティの価格は、

であり、これは、対数関分布である。ｒ^ｉの条件付の株価の平均、すなわち、ｒ^ｉが知られている場合、は、

である。

条件付の分散は、

である。

ストックのポートフォリオのために、条件付平均、及び、条件付の分散は、単に個々の方法の和及び分散である。会社特有のリスクが相互に独立しているということを知れば、

を容易に証明することができ、そして、言及された結果が後続する。

Ｄ．ボンド
ボンドを分類するいくつかの方法がある：
（ｉ）リスクの無いボンド、及び、リスクの有る（デフォルトリスク）ボンド、
（ｉｉ）内国債、及び、インターナショナルボンド、及び、
（ｉｉｉ）最高の（政府）ボンド、地方債、及び、社債。

国内通貨における全ての最高の（政府）発行済債券は、デフォルトリスクを経験しない；すなわち、それらは“リスクの無いボンド”である。諸国は、自国の中で、それらの中央銀行が独占をするそれら自身の通貨の負債支払い義務を果たすことができる。国内の最高のボンド価格は、国内のリスクの無い産出カーブを決定する。すなわち、国内の最高のボンドは、国内のリスクの無い産出カーブを用いて割引かれるべきである。

先進工業国は、それら自身の通貨において最高の債券を通常発行する。珍しいケースにおいて、それらは、我々がフリーデフォルトであるとまだ推測するかもしれない外貨における債券を発行する。しかし、それらのボンドは、外国のリスクの無い産出カーブによって割引かれるべきである。

リスクの無いボンド以外の全てのボンドは、リスクのあるボンドである。これらは、
（ｉ）発展途上国の最高のボンド（通常、米国ドル、円、等）；及び、
（ｉｉ）国内のそして外国の通貨における地方債、及び、社債を含む。

リスクのある債券を評価するために、更に多くの変数（リスクの無いボンドと比べると）は、指定される必要がある：すなわち、信用は、満期、定格、及び、国の関数として拡張される。更に、発行人の国内の産出カーブに関して計算された社債のために、そして、外貨において出され、そして、外貨のリスクの無い産出カーブに関して計算された発展途上国の最高のボンドのために、債務不履行の回復レートは、指定される必要がある。

リスクのあるボンドの割引ファクタは、
（ｉ）ボンドの建ての通貨に対応するリスクの無い産出カーブ、及び、
（ｉｉ）信用の広がり（地方債の信用広がりが、社債のそれと同じであるとみなされる）
の和によって決定される。

特に発展途上国のために、デフォルトにおける回復レートを示すデータは、いくつかの国のために存在しないかもしれない。本方法は、次の数をデフォルト値として使う：
（ｉ）発展途上国における社債の回復レートは、通常非常に低い（標準偏差を１０％で１０％であると仮定する）；
（ｉｉ）先進国における社債の回復レートは、米国の社債のそれと類似しているとみなされる（米国の社債回復レートを代用する）；
（ｉｉｉ）常に国際通貨基金、世界バンク、及び、先進国から不履行、及び、ヘルプの後で再編成があるから、最高のボンドの回復レートは、３０％の標準偏差を持つ６０％であるとみなされる；
（ｉｖ）発展途上国における地方債の回復レートは、社債のためにそれより良いべきである（２０％の標準偏差で３０％であると仮定する）；及び、
（ｖ）先進国における地方債の回復レートは、上位の保証された社債に相当するとみなされる。

リスクのある最高のボンド、及び、地方債のためにロードするファクタのために、国インデックスが使われる。

の関係にある、リスクのある最高のボンド及び地方債ののｗ_Ｉは、それぞれ０．８、及び、０．６と仮定される。

Ｅ．キャッシュフローマッピング、及び、リスクの無いボンド
本企業リスクモデルにおいて、視野は１年である。それは、とても長い。通常のＶａＲ方法論は適用されず、そして、「ロングラン」方式が使われるべきである。我々は、今から1年後の将来のキャッシュフロー現在価値の変動性に興味がある。従って、我々は、直接利回りカーブから先物相場を組み立て、そして、割引のために先物相場を使う必要がある。

我々が産出カーブｒ_ｔを持っていると仮定する。我々は、減少したセットの満期度ｔ_ｉ（ｉ＝１，２，．．ｎ）におけるｒ_ｔのみを観察することに注目されたい。時間的視野ｈでの先物相場ｆ_ｔｉは、例年の混合を推測して、

である。

連続的混合のために：

である。

任意のキャッシュフローＣ_ｔｉを仮定して、時間的視野ｈにおけるＣ_ｔｉの現在値は、

であり、

である。

本企業リスクモデルにおいて、各米国建てのキャッシュフローは、下で示された頂点の１以上にマップされる。
＜＝１ｙｒ ２ｙｒｓ ３ｙｒｓ ４ｙｒｓ ５ ｙｒｓ ７ｙｒｓ ９ｙｒｓ １０ｙｒｓ １５ｙｒｓ ２０ ｙｒｓ ３０ｙｒｓ＞３０ｙｒｓ
我々は、左及び右の頂点ｔ_Ｌ，ｔ_Ｒに対して、いかにｔ∈（ｔ_Ｌ，ｔ_Ｒ）のキャッシュフローＣ_ｔをマップするかを以下に示す。定義：

連続的混合を、
ｈｒ_ｈ＋ｆ_Ｒ（ｔ_Ｒ−ｈ）＝ｒ_Ｒｔ_Ｒ
ｈｒ_ｈ＋ｆ_Ｌ（ｔ_Ｒ−ｈ）＝ｒ_Ｌｔ_Ｌ
と仮定する。

ＲｉｓｋＭｅｔｒｉｃｓ「改良されたキャッシュフローマップ」において、次の補間に至るために、“フラットフォワードな”仮定が成された：

それを、先物相場方程式

に代入すれば、

を得る。

「改良されたキャッシュフローマップ」の議論に従い、そして時間的視野ｈで評価された時間ｔで満期になるゼロの利札付き債券の価格をＰ_ｔ＝ｅ^{−（ｔ−ｈ）ｆｔ}で表示すると、Ｒ_ｔがゼロの利札付き債券の対数リターンであるとして、Ｒ_ｔ＝αＲ_Ｌ＋（１−α）Ｒ_Ｒに至ることができる。Ｒ_ｔが小さいと仮定すれば、

である。

上の方程式から、時間ｔに満期になるゼロの利札付き債券に投資されたＰ_ｔドルのキャッシュフローは、左の頂点と等しく満期になる債券に投資したαＰ_ｔドルと、右の頂点と等しく満期になる債券に投資した（１−α）Ｐ_ｔドルとから成るポートフォリオで置き換えられ得ることが明らかである。

キャッシュフローＣ_ｔがちょうど頂点のひとつで起こるなら、キャッシュフローは、次式

によって割引かれ得る。

ＰＶ_ｈ（Ｃ_ｔ）を対応する頂点に割当てる。キャッシュフローＣ_ｔが、２つの頂点の間に位置する、すなわち、ｔ∈（ｔ_Ｌ，ｔ_Ｒ）ならば、同じ式

によって、但し、先物相場は、

であるが、キャッシュフローを割引く。左の頂点にα・ＰＶ_ｈ（Ｃ_ｔ）を、そして、右の頂点に（１−α）・ＰＶ_ｈ（Ｃ_ｔ）を割当てる。

我々は、リスクの無いゼロの利札付き債券の市場価値に関する対数リターンが、条件付の正規分布（ＲｉｓｋＭｅｔｒｉｃｓによって使用されたのと同じ仮定を使用して）の後に続くと推測する。従って、任意の頂点と同時に起こる満期ｔを持つあらゆるリスクの無いゼロの利札付き債券に関して、時間的視野ｈにおける市場価値ディストリビューションは、次の方程式によって与えられ、

ここで、Ｒ_ｔは対数リターン、確率変数であり、そして、Ｆ_ｔはリスクの無いゼロの利札付き債券の額面価格である。

リスクの無いゼロの利札付き債券の満期度が２つの頂点の間に位置するならば、我々は、最初に一致する頂点にリスクの無いゼロの利札付き債券の額面価格をマップし、そして、市場価値ディストリビューションが、それから評価され、

ここで、Ｒ_ｔＬ及びＲ_ｔｚは、左及び右の頂点のリスクの無いゼロの利札付き債券の対数リターンである。

任意のリスクの無いボンドがキャッシュフローに分解され得るので、リスクの無い利札付き債券のポートフォリオの市場価値ディストリビューションは、次の手続きによって評価され得る。

ボンドポートフォリオにおける利札付き債券ｊを、対応するキャッシュフローＣ_ｔ ^ｊに分解する。キャッシュフローＣ_ｔ ^ｊを、Ｖ_ｔｉ ^ｊで表わされる個々の頂点にマップする。次に、我々は、ポートフォリオにおける全てのボンドに関して前述のステップを繰り返し、そして、Ｖ_ｔｉ ^ｊを総計する。

ポートフォリオの市場価値は、

であり、ここで、Ｒ_ｔｉは、満期ｔ_ｉを持つゼロの利札付き債券の対数リターンである。シミュレーションにおいて、Ｒ_ｔｉは、ボンドの市場価値のディストリビューション、または、ボンドのポートフォリオを評価するために、前述の式に適用される。

時間的視野の中にあるキャッシュフローに関して、我々は、保守的アプローチを行い、そして、キャッシュフローが利息を稼がない、従って、視野における現在価値が単にキャッシュフローの和であると仮定する。キャッシュフローが利息を稼がないという仮定は、このキャッシュフローが利率リスクを経験しないという結論に導く。

最後の頂点にあるキャッシュフロー、すなわち、米国の通貨における＞３０年の頂点に関して、我々は、それが最後から２つ目の頂点と同じ先物相場を持っていると仮定し、そして、キャッシュフローの現在価値を計算するため、及び、最後から第２番目の頂点の下でそれをグループ分けするために、それを使う。

Ｆ．リスクのあるボンド
地平線ｈにおけるリスクのあるボンドの市場価値Ｖ_ｈは、以下のように書かれ、

ここで、

である。そして、ｓは、可能なレート状態を表す。ｓ＝１，．．ｍであり、ｓ＝１は最も高いレートに対応し、ｓ＝ｍはデフォルトに対応する。ｚ^ｓはレートしきい値であり、ｒ_ｎ ^νは会社の価値の標準化された対数リターンである。その企業は、ｚ^ｓ＋１≦ｒ_ｎ ^ν＜ｚ^ｓであれば、“非デフォルト”のレート状態ｓにあるであろうし、そしてｒ_ｎ ^ν＜ｚ^ｍであれば、“デフォルト”レート状態にあるであろう。同じく、我々は、ｚ^１＝∞及びｚ^ｍ＋１＝−∞と設定する。

Ｂ_ｓは、その会社が視野ｈにおいてレート状態ｓにあるならば、リスクのあるボンドの価値である。Ｂ_ｓは、前方のリスクの無いレートカーブ、及び、前方の信用広がりレートカーブの関数である。一般に、ｓ≠ｍに関して，

であり、ここで、Δ_ｓ(ｔ_ｊ)＝満期ｔ_ｊ及びレートｓでの信用の広がりであり、、そして、Ｂ(ｔ_ｊ)は、視野ｈで評価された、満期ｔ_ｊのリスクの無いゼロの利札付き債券の価値である。

ｓ＝ｍに関して、すなわち、デフォルトにおいて、
Ｂ_ｍ＝Ｆ・ＲＦＶ
Ｆ＝ボンドの額面価格
ＲＦＶ＝額面価格の回復レート、平均

及び、負債の年長に依存する標準偏差σ_ＲＦＶ持つ確率変数である。

ｚ^ｓは遷移確率行列によって供給された情報、及び、ボンドの最初の定格から計算され得る。我々が遷移確率Ｐ^ｓ，ｓ＝１，．．ｍを知っていると仮定すれば、

であり、ここで、Φは、標準正規分布に関する累積分布関数（ＣＤＦ）である。

我々は、会社の価値の標準化されたリターンが、

で表され得ると仮定する。ここで、ｒ_ｎ ^ｅは、会社が属する産業の対応するエクイティ市場指数における標準化されたリターンである。その会社の構成は、いくつかの産業グループの集合体であるかもしれない。そのような場合、重みは、産業への会社の関与に従って割り当てられ、そして、ｒ_ｎ ^ｅは、インデックスに関するリターンの加重和である。我々は、ｒ_ｎ ^ｅ、εが、独立であり、平均“０”及び分散“１”を持つ通常分散された確率変数であると仮定する。

我々が、ｒ_ｎ ^ｅ（シミュレーションにおいて、全てのリスク要因がリスク要因の可変性‐共分散構造、それらのうちのいくらかであるエクイティインデックスに従って生成されるであろう）を固定すれば、ｒ_ｎ ^νがしきい値ｚ^ｓより小さい条件は、

となる。条件付のデフォルト確率は、

となる。そして、遷移確率は、

となる。

リスクのあるボンドの市場価値の条件付平均は（条件付平均の引数におけるｒは、ｒ_ｎ ^ｅ以外のリスク要因を表す）、

である。ここで、Ｅ_ｒは、他のリスク要因（利率、エクイティ、ＦＸ．．）で条件付けられた、会社特有のリスク及び回復レートリスクに関する期待値である。同じく、我々は、会社特有のリスク及び回復レートリスクが独立していると仮定する。

従って、

である。

リスクのあるボンドの市場価値の条件付の分散は、

であり、ここで、同一性

が使われた。従って、条件付の分散は、

となる。

我々が、持つ、Ｎのリスクのあるボンド、及び、視野ｈにおけるボンドｉの市場価値が、Ｖ_ｈ ^ｉであると仮定する。

よって、

である。ｒ_ｉ ^ν及びｒ_ｉ ^ｅは共に、標準化されたリターン、及び、その会社が属する産業に対応する産業インデックスにおけるリターンの、標準化された加重された和である。ｗ_ｉは、会社の資産サイズによって決まる増量のセットである。ε_ｉは、独立であり、平均ゼロ及び分散１を持つ通常分散された確率変数である。

個々の条件付平均

ポートフォリオ条件付平均は、

によって与えられる。

個々の条件付の分散は、

である。

個々の条件付の分散に関するポートフォリオの条件付の分散は、

である。

１度ｒが固定されると、ε_ｉ及びＲＦＶ_ｉだけがランダムである。Ｖ_ｈ ^ｉは、ε_ｉ及びＲＦＶ_ｉだけの関数である。しかし、ε_ｉ及びＲＦＶ_ｉは、相互に独立である。従って、ｉ≠ｊに関してｃｏｖ(ε_ｉ，ε_ｊ)＝０であり、ｉ≠ｊに関してｃｏｖ(ＲＦＶ_ｉ，ＲＦＶ_ｊ)＝０であり、全てのｉ及びｊに関してｃｏｖ(ε_ｉ，ＲＦＶ_ｊ)＝０である。従って、

である。

ε_ｉが独立変数であるので、ポートフォリオにおけるボンドの数が大きい十分な約３０を超えるボンドであるならば、我々は、Ｃｅｎｔｒａｌ Ｌｉｍｉｔ Ｔｈｅｏｒｅｍを適用し得る。そのような場合、我々は、市場要素のある実現のために、リスクのあるボンドのポートフォリオディストリビューションが、平均ｍ(ｒ)及び分散σ^２(ｒ)で、条件付きで正常であると仮定し得る。

シミュレーションにおいて、リスクのある利札付き債券のポートフォリオの市場価値ディストリビューションは、次の手続きによって評価され得る：最初に、我々は、リスクのあるボンドポートフォリオにおいてリスクのある利札付き債券ｉを対応するキャッシュフローＣ_ｔ ^ｉに分解する。そして、キャッシュフローＣ_ｔ ^ｉを、リスクの無いボンドキャッシュフローマッピングにおいて定義されたように、Ｂ^ｉ(ｔ_ｊ)で表示される個々の頂点にマップする。それは、リスクの無いボンドにおけるのと同じキャッシュフローマップである。

各頂点に関して、我々は、

を計算する。

我々は、次に、レートしきい値

を計算する。前述のステップは、ポートフォリオにおける全てのボンドに関して繰り返される。

可能なシナリオをシミュレートするために、我々は、リスク要因、即ち、Ｒ_ｌｊ、即ち満期ｔ_ｊを持つゼロの利札付き債券の対数リターン、及びＲ^ｅ、即ち産業インデックスの対数リターン、及び、他のリスク要因を生成する。それから、ポートフォリオにおける全てのボンドｉに関して、我々は、ｒ_ｉ ^ｅを、即ち会社ｉの産業インデックスにおけるリターンの標準化された加重和を計算する。我々は、

を計算する。条件付の遷移確率は、

から計算される。我々は、それからｍ_ｉ(ｒ_ｉ ^ｅ，ｒ)及びσ^２(ｒ_ｉ ^ｅ，ｒ)を計算する。前述のステップは、ポートフォリオにおける全てのボンドｉに関して繰り返され、そして、ポートフォリオのトータルの条件付平均、及び、条件付の分散を合算する：

次に、実際のポートフォリオ市場価格であろう乱数

を生成する。

Ｇ．償還公社債
償還公社債の価値は、取引選択権の価値だけ少ないが、“オプションがない”ボンドの価値と等しい。

一般に、償還公社債のコール供給は、“米国”タイプである。（ヨーロッパの延べ取引選択権は、いつでもコールされ得る米国の延べ取引選択権と対照的に、消滅日付にただコールされ得る。）米国の延べ取引選択権値は、通常、二項式の（三項式）木方法、または、差分法等の数値計算を含む。これらの方法の実行は、計算的にあまりにも激しく、そして、ＶａＲ枠組において実行可能ではない。我々は、問題を単純化し、そして、計算を実行可能な状態に保つために、近似を行う。そのように行う際、いくらかのエラーが、償還公社債の正しい値を見積る際に、導入されるであろう。

我々の実行における我々の近似は、米国のオプションの値を、コールすることができる期間に消滅日付の見本をとる一連のヨーロッパのオプションの極大値と交換することである。我々は、価格決定における有名なハル及びホワイトの１ファクタ利率モデルを、ヨーロッパのボンドオプションにおいて仮定するであろう。このモデルは、ヨーロッパのクーポンベアリングボンドオプションに関するクローズドフォーム解という利点を持ち、そして、容易な実行に役立つ。また、それは平均的な復帰の望ましい特徴がある。そのモデルは、一定の平均的なバージョンスピードａ、及び一定の瞬間的な短期率変動性σを持つ短期のリスク自由相場ｒ上の拡張Ｖａｓｉｃｅｋのモデルである。時間ｔにおける短期率ｒは、時間ｔにおける極小に短期間に適用されるレートである。
ｄｒ＝(θ(ｔ)−ａｒ)ｄｔ＋σｄｚ
θ(ｔ)は、そのモデルが最初の利率ターム構造に合うことを保証するために、選択された時間の関数であり、それは、分析的にこのモデルにおいて計算される。θ(ｔ)に関する詳細は、ここでは無関係である。ａ及びσはパラメータであり、そして、資本化の市場価値で校正される。我々は、ａ及びσが本モデルの視野時間ｈにおいて変わらないと仮定するであろう。ａ及びσが、将来の短期率及び将来の反動性の期待の市場展望を反映するので、が、１年である本モデルの枠組における視野と同じくらい長いならば、、その仮定は正当ではないかもしれない。１年間に、変わる市場展望を扱う適切な方法は、ａ及びσにおける変化を予測するためのモデルを作ることである。本方法において、ａ及びσは、各々０．０５及び０．０１５にセットされた、資本化の現在の市場価値に合った定数であろう。

Ｇ１．リスクの無いゼロクーポン償還公社債
Ｈｕｌｌ及びＷｈｉｔｅのｏｎｅ−ｆａｃｔｏｒ−ｉｎｔｅｒｅｓｔ−ｒａｔｅモデルにおいて、時間ｔにおける時間Ｔで満期するゼロクーポン債券Ｐ(ｔ，Ｔ，ｒ(ｔ))は、

によって与えられる。

前述の式は、短期率ｒに関する将来の時間ｔのゼロクーポン債券の価格、及び、時間的視野ｈのボンドの価格を定義する。後者は、視野におけるシミュレーションされた利率ターム構造から計算されるであろう。偏導関数

は、

で近似され得る。ここで、εは、０．０１年のように小さい長さの時間である。ｔ＝ｈのとき、偏導関数は、

である。

時間ｓで満期するゼロクーポン債券における、時間Ｔで満期するヨーロッパの延べ取引選択権の時間ｈにおける価格は、

であり、ここで、Ｌはボンドの額面価格であり、Ｘはその行使価格であり、そして、Ｎ(・)は通常の累積的正規分布関数であり、

である。

Ｇ２．償還公社債を持つリスクの無いクーポン
クーポンベアリング債券価格である表すで重荷を負った額のゼロクーポン債券時間Ｔのクーポンベアリングボンドが将来計ｎのキャッシュフローを提供すると仮定する。時間ｓ_ｉに発生する、ｉ番目のキャッシュフローをｃ_iとする（１≦ｉ≦ｎ，ｓ_ｉ＞Ｔ＞ｈ）。

クーポンベアリングボンドのオプションの価格は、ゼロクーポン債券のオプションの価格から獲得され得る。クーポンベアリング債券上の買取価格Ｘ、及び、満期Ｔと共にヨーロッパの延べ取引選択権を考察する。ちょうど、そのものが上記を提示した時に、そのオプションが満期した後で、クーポンベアリングボンドが、計ｎのキャッシュフローを提供すると仮定する。以下を定義する。
ｒ^＊：値時間Ｔにおける短期率ｒ（クーポンベアリング債券価格を行使価格に等しくさせる）、そして、
Ｘ_ｉ：ｒ＝ｒ^＊の場合に、時間Ｔにおける時間ｓ_ｉに１ドルを支払うゼロクーポン債券の価値、すなわちｒ^＊は、式

を満たす。

ｒ^＊は、数学的な計算技術の分野に熟練した者に良く知られている、ニュートン‐Ｒａｐｈｓｏｎ法のような反復の手続きを用いて非常に高速に獲得され得る。

ｒ^＊ _が計算されるなら、Ｘ_ｉは、

から獲得され得る。

時間Ｔのオプションからの支払いは、

である。そして、それは、１ファクタモデルにおいてその支払いが、１ドルの額面に関するゼロクーポン債券のｎヨーロッパのオプションの和である

のように書き直され得ることを示され得る。従って、ヨーロッパの延べ取引選択権の価格は、

であり、ここで、

である。

Ｇ３．リスクのある償還公社債
我々は、リスクのある償還公社債を評価する際、ＣｒｅｄｉｔＭｅｔｒｉｃｓ方法論に従う。視野で、定格ボンドは、より高い格付け、または、より低い格付け、もしくは、デフォルトで終了するかもしれない（それらの全てが信用マイグレーション確率を反映する）。

時間的視野ｈでボンドの格付けがＡＡであると仮定する。各付けＡＡの信用広がりは、リスクの無い利率と共にその公正な債券価格を評価するために、ボンドの将来のキャッシュフローを割引くために使われるであろう。それが同じくコールすることができるならば、リスクのある債券上の延べ取引選択権値は、リスクの無いボンドに使われるそれと類似した方法によって見積られるであろうし、その後、公正な債券価格を獲得するために、 “オプションがない”債券価格から減じられる。

唯一の差異の間にリスクの無いゼロクーポン債券及びリスクのあるゼロクーポン債券である信用広がりファクターを考えるリスクの無いゼロクーポン債券で時間ｔということ満期するで時間ＴであるＰ(ｔ，Ｔ，ｒ(ｔ))そして、前方の信用は広がりは、Δ_ｓ(ｔ，Ｔ)であり、その時リスクのあるゼロクーポン債券Ｐ_Ｒ(ｔ，Ｔ，ｒ(ｔ))は、

であろう。

我々は、Ｈｕｌｌ‐Ｗｈｉｔｅのｏｎｅ−ｆａｃｔｏｒ−ｉｎｔｅｒｅｓｔ−ｒａｔｅモデル配分のゼロクーポン債券において、いつでも条件付のでその価格で初期の時間である対数正規なそれを見ることは、容易であることを知っている。ｌｏｇＰ_Ｒ及びｌｏｇＰは、同じ変動性を持つことを知るのは容易である。差異Ｐ_Ｒ及びＰの間に差異は、ドリフトタームにおけるそれらの差異から生じる。

我々は、“前方‐中立の尺度”を、時間Ｔに送られた価格がどちらであるかの下で、“むながい”（すなわち、流動がない）、時間ｓで満期するリスクのあるゼロクーポン債券に関して時間Ｔで満期するヨーロッパの延べ取引選択権の値を計算するために、使用する。適切な変動性は、前方の債券価格の変動性、すなわち、(ｈ，ｓ)／Ｐ(ｈ，Ｔ)の変動性と同じであるＰ_Ｒ(ｈ，ｓ)／Ｐ_Ｒ(ｈ，Ｔ)の変動性であろう。従って、我々は、Ｘで打たれた延べ取引選択権の価値のＢｌａｃｋの式を適用し得る：

ここで、Ｌは、ボンドの額面価格であり、

そして、σ_Ｐは予期されたリスクの無いボンドのそれと同じである。

リスクの無いクーポンベアリングボンドにおいて、それと同じ議論に従って、リスクのあるクーポンベアリングボンドのヨーロッパのオプションの価格は、

であり、ここで、後のｒ^＊は、

で決定される。そして、Ｘ_ｉ ^Ｒは、

で獲得され得る。σ_Ｐｉはリスクフリーボンドにおけるそれと、依然として同じであるが、しかし、

である。

Ｇ４．償還公社債の計算
リスクの無い償還公社債のために、ボンドの前場日付は、ｆｃｄとして表示される。ｆｃｄ＞ｈであれば、そのモデルは、ｆｃｄを含むが満期を除外するｆｃｄ及び満期の間の時間の中で、５ポイントを選ぶ。それらを、Ｔ１＝ｆｃｄ，Ｔ_２，Ｔ_３，Ｔ_４，Ｔ_５＜満期、であるとする。そのモデルは、それからこれらの５消滅日付によってヨーロッパの延べ取引選択権値を計算し、そして、コール供給の値であるために、極大値を選ぶ。債券価格は、延べ取引選択権値だけ足りないオプションがない債券価格に等しくされる。

ｈ≦ｆｃｄであれば、オプションがない債券価格は、買戻し値段と比較される。買戻し値段＞オプションがない債券価格 であれば、債券価格は、買戻し値段に等しくされる。他の場合は、そのモデルは、リスクの無い償還公社債に関して、上のステップに従う。しかし、ｆｃｄをｈで置換する。

コールすることができるリスクのあるボンドに関して、“デフォルト”を除いて全ての格付けに関して、視野ｈで、本モデルは、リスクの無い償還公社債セクションのステップに従う。

Ｈ．ＢＲＯＷＮＩＡＮブリッジ法
スワップ及び変動相場セキュリティの我々の計算において、毎月の３ヶ月ＬＩＢＯＲ、６ヶ月ＬＩＢＯＲ、３ヶ月の米国の財務省レート、及び、１年期間の６ヶ月財務省レート（参照レート）の準モンテ・カルロシナリオ生成は、流動的区間の価値を見積るのに必要とされる。現存する準モンテ・カルロエンジンは、１年の視野でレートを生成し得る。我々が、レートがＢｒｏｗｎｉａｎ運動をすると仮定し、そして、視野の現行利率及びレートが知られているならば、我々は、これらの２つの日付の間に月のレートをシミュレートするために、下記に示されたＢｒｏｗｎｉａｎブリッジ法を使うことができる。但し、レートの相関行列が知られていれば。

ρ_ｉｊが相関行列であり、そして、σ_ｉが考慮しているレートの毎月の変動性であるとする。それを視野の現行利率及びレートを、それぞれｒ_０ ^ｉ及びｒ_ｈ ^ｉであるとする。ｒ_τ ^ｉが月τ（１≦τ≦ｈ−１）におけるレートであるとする。ｒ_τ ^ｉの条件付のモーメントは、

によって与えられる。

Ｂｒｏｗｎｉａｎブリッジプロセスをシミュレートするために、ｒ_τ ^ｉに関して、我々は、次のアルゴリズムを使う：
（ｉ）各期間τに関して、独立したマルチ正規分散された確率変数ｕ_τ ^ｉを生成する。ｕ_τ〜Ｎ(０，Σ_ｉｊ＝ρ_ｉｊσ_ｉσ_ｊ)
（ｉｉ）間の全ての月のに関して

Ｉ．変動相場セキュリティ
変動相場セキュリティ、または、単に“フロータ”は、ある示された参照レートの値に基づいて示された日付にリセットされる表面金利を持つ負債セキュリティである。純粋なフロータ（すなわち、埋め込まれたオプションなし）のクーポン式は、次のとおりに表され得る：表面金利は、参照レートプラス、または、マイナス引用されたマージンに等しい。引用されたマージンは、その発行人が参照レートに行うことに同意する調整である。

フロータに関するタームの例：
満期日：２００５年１月２４日
参照レート：６ヶ月ＬＩＢＯＲ
引用されたマージン：＋３０ベーシスポイント
リセット日：７月２４日、１月２４日の６ヶ月毎
ＬＩＢＯＲ決定：滞納に払い込まれ、前もって決定される
このフロータは、年に２回、現金フローを配布し、そして、６ヶ月ＬＩＢＯＲプラス３０ベーシスポイントに等しいクーポン式を持つ。最も一般の参照レートは、６ヶ月ＬＩＢＯＲ、３ヶ月ＬＩＢＯＲ、米国の財務省証券レート、プライムレート、１ヶ月商業手形レートである。

我々が、将来のキャッシュフローを割引く適切な産出曲線を知っており、我々がそれをｒ_ｉで表わすと仮定する。支払い約束の直後、ボンドの価値Ｂ_ｆｌは、もしデフォルトリスクが無く、及び、信用の広がりが変わらなければ、その概念的な量Ｑに等しい。払込日の間、我々は、Ｂ_ｆｌは、次の支払い日の直後のＱに等しいという事実を使うことができる。次の払込日までの時間をｔ_１とする。

ここで、ｋ^＊は、時間ｔ_１に行われるであろう変動相場支払い（既に知られている）である。

Ｊ．金利スワップ
金利スワップは、２つのパーティを包含する。１つのパーティＢは、もう一方のパーティＡに、いくつかの年の間に関する概念的な資本上の所定の固定レート金利に等しいキャッシュフローを支払うことに同意する。それと同時に、パーティＡは、パーティＢに、同じ期間の間に関する概念的な資本上の変動レートの金利に等しいキャッシュフローをに支払うことに同意する。金利のキャッシュフローの２つのセットの通貨は、同じである。

金利スワップに関するタームの例：
取引日付：１９９５年１月２４日
満期日：２００５年１月２４日
概念的な資本：米国の１０００万ドル
固定率支払人：銀行
固定率：６．５％
固定率受領者：保険会社
参照レート：６ヶ月ＬＩＢＯＲ
引用されたマージン：＋３０ベーシスポイント
リセット日：７月２４日、１月２４日の６ヶ月毎
ＬＩＢＯＲ決定：滞納に払い込まれ、前もって決定される
我々が、デフォルトの可能性を仮定しないならば、金利スワップは、別のボンドにおける空売り総額と結合された１つのボンドにおける長いポジションとして評価され得る。前述の例において、保険会社は、米国の１０００万ドル変動相場債券を銀行に売り、そして、銀行からの米国の１０００万ドル固定率（１年につき６．５％）債券を購入する。

それが時間ｈ、即ち視野であるということ、そして、スワップの条件の下で保険会社が、時間ｔ_ｉ（ｈ≦ｔ_ｉ；１≦ｉ≦ｎ）における、固定した支払いＣドルを受け取り、そして、それと同時に流動的支払いを行うということを仮定する。我々は、以下を定義する。
Ｖ：保険会社へのスワップの値、
Ｂ_fix：スワップの基礎となる固定率ボンドの値、
Ｂ_ｆｌ：スワップの基礎となる変動相場ボンドの値、そして、
Ｑ：スワップ協定における概念的な資本
それは、
Ｖ＝Ｂ_fix−Ｂ_ｆｌ
に従う。

ｒ_ｉをリスクの無い利率として表し、そして、Δ_ｉ ^ｊ（ｊ＝１、２）を満期ｔ_ｉまで一致する保険会社（ｊ＝１）、及び、バンク（ｊ＝２）のために広げられた信用として、。Ｂ_fixが時間ｔ_ｉ（ｈ≦ｔ_ｉ；１≦ｉ≦ｎ）におけるＣドルを支払うボンドの価値であるので、時間にｔ_ｎにおける資本量Ｑは、

ここで、Ｃ^＊は、次の払込日までの時間ｔ_１における時間に行われるであろう変動相場支払い（既に知られている）である。

Ｋ．通貨スワップ
最もシンプルな通貨スワップは、別の通貨におけるおおよそ同等のローンの資本、固定率利払いのための１つの通貨においてローン資本、及び、固定率利払いを交換することを必要とする。通貨スワップのためのタームの例、
取引日付：２００１年１月２４日
満期日：２０１０年１月２４日
概念的な資本１：米国の１０００万ドル
固定率１：５．５％
パーティ１（ＵＳを受け取る）：保険会社
概念的な資本２：ユーロ１２００万
固定率２：６．５％
パーティ２（ユーロを受け取る）：銀行
デフォルトリスクがない時は、通貨スワップは、金利スワップのそれとある意味では類似した２つのボンドにおけるポジションに分解され得る。一般に、Ｖが保険会社に上記したようなスワップの値であるならば、
Ｖ＝Ｂ_Ｄ−ＦＸ・Ｂ_Ｆ
であり、ここで、Ｂ_Ｆは、スワップの基礎となる外国建てのボンドの外貨で測定された価値であり、Ｂ_Ｄは、スワップの基礎となる米国のドル公債の価値であり、そうすれば、ＦＸは、直物為替相場（外貨のユニットにつき国内通貨のユニットの数として表す）である。

別のポピュラーなスワップは、１つの通貨における確定利子レートを別の通貨における流動的な利率と交換することへの合意である。スワップの値は、通貨スワップのために与えられた式と同じ式を持っている。固定率ボンド値の代りに、人は、それを流動的脚のための変動相場ボンド値と単に交換する。

Ｌ１．保険リスクプロパティ、及び、死傷者会社
保険リスクは、将来リザーブ開発における不確実性である。本企業リスクモデルにおいて、保険会社の総合価値のディストリビューションは、１年視野と算定される。総合価値（もしくは余剰）は、
総合価値＝トータルの資産−リザーブ−ローン
と定義される。

リザーブにおける不確実性は、前述の式によって会社のトータルのリスクに寄与する。将来の義務（営業科目によって）のための現在の貯蔵に基づいて、１年の時間のリザーブディストリビューションは、見積られ、そして、会社のトータルのリスクを獲得するための他のリスクに統合される。

不動産、及び、死傷者会社の年次営業報告書の必要とされたスケジュールＰにおいて、２つの三角形がある：（１）リザーブ開発（スケジュールＰパート２における支払われた損失、及び、将来の債務）、そして、（２）支払いパターン（スケジュールＰパート３における支払われた損失）。トータルの貯蔵は、“調節、そして他の支払い（ＡＡＯ）”を含まず、そして、トータルの支払いは、、“調節、及び、他の未払いのもの”を含まなない。“調節及び他の支払い”、及び、“調節及び他の未払いのもの”固定費（オーバーヘッド）、すなわち、それらが定数のように動作し、そして、変動性ではないようなことである。我々は、将来の債務のための貯蔵の変動性を見積り、そして、これらの２つを無視する際、値が有意のエラーを導入しないであろうということに興味がある。これらの２つの三角形から、我々は、２つの新しい三角形を組み立て得る：（１）将来の債務、及び、（２）最後の期間に支払われた損失＋将来の債務の現在のリザーブ。

トータルのリザーブをＲ_ｉ，ｊによって表示し、累積的な支払われた損失をＣＬ_ｉ，ｊによって表示する。最初のインデックスは、その方針が引き受けられた年を示し、そして、第２のインデックスは、報告された年を表す。双方のインデックスは、三角形における最近の年を常に参照する、相対的なタームにある、従って、それらのインデックスは、−１０から０に達する、そして、そこで、０は最近の年と一致する。

将来の義務の現在のリザーブをＲＬ_ｉ，ｊで表わし、そして、この前の期間の支払った損失＋将来の債務の現在の貯蔵 を、

で表す。その時、

である。

ＲＬ_ｉ，ｊ及び

の異常な定義に関する説明は、次のとおりである。スケジュールＰにおいて、ＣＬ_ｉ，ｊ及びＲ_ｉ，ｊの両方共、正数として報告される。本企業リスクモデルにおいて、債務は負である、従って、ＲＬ_ｉ，ｊ及び

の異常な定義は、次の通りである。

我々が関心を持つものは、どのようにしてＲＬ_ｉ，ｊが、

に、発展するかである。我々は、

が、変動性σ_ｊ−ｉを持つ通常分散であると仮定する。ｊ−ｉは方針の年齢であるので、我々は、エージング効果があると仮定する。また、我々は、確率変数

は、他のリスク要因のと同様に、相互に独立していると仮定する。σ_ｊ−ｉは、

の、定数ｊ−ｉに関する標準偏差をとることによって簡単に計算される。５を超えるｊ−ｉに関して、我々は、σ_ｊ−ｉを、十分な正確度で見積るための十分なデータを持っているかもしれない。財産及び災害保険に関して、債務期間は、通常あまり長くなく、５より常に少ない。しかしながら、ｊ−ｉ＞５であれば、σ_ｊ−ｉはｊ−ｉに独立していると仮定することは、安全である。将来の債務の相対的な重みがｊ−ｉ≦５によって支配されるので、導入されたエラーは小さいであろう。この仮定に関して我々は、ｊ−ｉ＞５での標準偏差

を取ることによって、ｊ−ｉ＞５でのσ_ｊ−ｉを計算し得る。

現在から視野までの期間の１年視野、そして、支払われた損失における将来の債務のためのトータルの貯蔵の和は、次の式

によって見積もられ、ここで、ｚ_ｉは変動性σ_−ｉを持つ独立した正常な確率変数である。次のステップは、将来のキャシュフローに、ＲＬ_ｉ，１をマップすることである。それをするために、我々は、累積的な支払われた損失（支払いパターン）から情報を抽出する必要がある。我々は、全ての営業科目のために支払いパターン比率を組み立て、その後、ＲＬ_ｉ，１をキャッシュフローにマップするために支払いパターン比率を使うことを望む。我々は、支払いパターンを生成するために、累積的な支払われた損失三角形の一部を使うであろう、すなわち、−９≦ｉ≦０及び−９≦ｊ≦０であるＣＬ_ｉ，ｊを。Ｌ_ｉ，ｊを期間ｊ−１から期間ｊまでの支払われた損失として表し、Ｌ’_ｉ，ｋを、下記の方針のｋ年後の損失とする。

従って、我々は、このような三角形を持っている。

最初に、我々は、支払いを年１４まで拡張し、そして、年１４の後にはもはや債務がないと仮定することを望む。

最も長い時系列Ｌ’_−９，０・・・Ｌ’_−９，９で始めよう。Ｌ’_{−９，１４}までの時系列を推定したい。ＲＬ_−９，０は将来の債務のための貯蔵であるので、それは、Ｌ’_{−９，１０}・・・Ｌ’_{−９，１４}の和に等しいべきである。我々がシンプルな仮定をそれにするならば、ＲＬ_−９，０はここ５年間、すなわち、年１０から年１４まに均等に分散され、そのとき、

である。この拡張に関して、我々は、

で定義される比率ｘ_−９，ｋを計算でき、そして次の時系列を拡張するためにこの比率を使う。

それからこの２時系列を合算する、すなわち、
ＳＬ_−８，ｋ＝Ｌ’_−８，ｋ＋Ｌ’_−９，ｋ １４≧ｋ≧１
そして、比率を定義する。

ｘ_−８，ｋ＝ｘ_−９，ｋ １４≧ｋ≧１０
に注目されたし。新しい比率ｘ_−８，ｋによって、我々は、Ｌ’_−７，０・・・Ｌ’_−７，７の時系列を拡張：

そして、新しい時系列ＳＬ_−７，ｋ及び新しい比率ｘ_−７，ｋを定義する：

同様に、
ｘ_−７，ｋ＝ｘ_−８，ｋ １４≧ｋ≧９
である。

我々がシリーズｘ_０，ｋを持つまで、我々は、同じプロセスを繰り返す。そして、ｘ_０，ｋは、ＲＬ_ｉ，１に関する支払いパターンの計画を立てるために使われ得る。我々は、表記を簡略化するために、ｘ_０，ｋをｘ_ｋと表示する。

保険リスク−予約開発リスクのインプリメントは、下記の通り実行される。ｘ_ｋ及びσ_−ｉは、独立して計算されて、将来の使用のためにデータベースに格納されるであろう。インデックスｋは１から１４までの範囲であり、且つ、インデックスｉは、−１０から０までの範囲である。ＲＬ_ｉ，０＝ＣＬ_ｉ，０−Ｒ_ｉ，ｏが計算され、そうすれば、変動性σ_−ｉを伴う、正規分布する、独立の乱数ｚ_ｉをが生成される。次に、ＲＬ_ｉ，１＝ＲＬ_ｉ，０・ｅ^ｚｉによって、将来の債務の期間リザーブが、計算される。

ＲＬ_ｉ，１を将来の支払いにマッピングするために、、財産及び障害保険における債務の最大の長さは、１５年であるとみなされる。従って、将来の支払い用の１５“バケット”が、作成される。将来の支払いをＰ_ｉｊで表示する。インデックスｉはその方針が引き受けられた年を示し、次の期間リザーブＲＬ_ｉ，１におけるインデックスと一致する。インデックスｌは将来まで年の数を表す。

ｌ＋１−ｉ≦１４に関してＰ_ｉｊを計算する。

バケット単位で将来の支払いキャッシュフローを合算する。

バケットによってリスクの無いボンド、及び、支払いから生成された将来のキャッシュフローを合算する。本モデルの標準化されたキャッシュフロー頂点にトータルのキャッシュフローをマップする。

Ｌ２．ビジネスリスク（保険料リスク）
景気循環が原因であるビジネスリスクは、すなわち、厳しいマーケットの後に続く軟調市場及びその逆は、保険計理士による概算の創業期欠損比率における不確実性によって獲得され得る、その方針が引き受けられた年。創業期欠損比率は、スケジュールＰで報告されるものではないが、この損失比率を見積るために、スケジュールＰに十分な情報がある。

我々は、創業期欠損比率を以下のように定義する。
創業期欠損比率＝Ｒ_ｉ，ｊ／（初期の総Ｐｒｅｍ収入−初期の負われたＡＡＯ）
最初の総Ｐｒｅｍ収入は、スケジュールＰパートＩ段落３から獲得され得るが、初期のインカードＡＡＯは、
初期の負われたＡＡＯ＝ネット全損及び負った損失費用−Ｒ_ｉ，０
によって見積られ得る。ここで、全損ネット及び負われた損失費用は、スケジュールＰパートＩ段落２８において発見され得る。それから、初期の損失率の平均及び変動性は、歴史的なデータのある１０年で計算され得る。

財務分析の分野に熟練した者は、本発明が持つ多くの特徴、及び、利点を理解するであろう、そして、いかにそれが関連の分析、及び、ビジネスに最小の変更、及び、置換によって適応し得るかを理解するであろう。

図１は、本発明の好ましい実施の形態に係る本モデルのソフトウェアフローチャートである。

Claims (27)

1. 企業の将来の資本剰余金に対するリスクを評価するための方法であって、
   （ａ）企業の資産及び負債を確認するステップ、
   （ｂ）前記資産及び負債の価値における変化に関するデータを取得するステップ、
   （ｃ）変数、及び、前記資産及び前記負債に影響する前記変数の間の相関を決定するために、前記データを分析するステップ、
   （ｄ）少なくとも１つの前記相関に基づいて前記変数のシナリオをシミュレートするステップ、及び、
   （ｅ）少なくとも１つの前記シナリオに関する前記資産及び前記負債の価値に基づいて、前記企業の資本剰余金を計算するステップとを含む方法。
2. 前記シミュレートするステップが多重シナリオをシミュレートするステップを含み、前記方法が、前記計算された資本剰余金のディストリビューションを生み出すステップを更に含む請求項１に記載の方法。
3. 前記多重将来価値シナリオをシミュレートするために、前記シミュレートするステップが、準−モンテ・カルロ法を使用する請求項２に記載の方法。
4. 前記企業が保険会社であり、前記負債が保険証券を含む請求項１に記載の方法。
5. 前記保険証券が、被保険者によって行使され得るキャンセルオプションを含み、前記変数が、前記被保険者による前記キャンセルオプションの行使に関連する行動変数を含み、前記シナリオが、前記行動変数を含む請求項４に記載の方法。
6. 前記少なくとも１つのシナリオが、将来の１年に一度に前記変数をシミュレートする請求項１に記載の方法。
7. 前記企業が複数の事業部門を有し、前記方法が、各々の前記複数の事業部門に関するリスク調節された資本収益を計算するステップを更に含む請求項１に記載の方法。
8. 前記保険会社の資本剰余金に対する下振れリスクに従って保険会社を分析するための方法であって、
   （ａ）企業の資産及び負債を確認するステップ、
   （ｂ）前記資産及び負債の価値における変化に関するデータを取得するステップ、
   （ｃ）変数、及び、前記資産及び負債に影響する前記変数の間の相関を決定するために、前記データを分析するステップ、
   （ｄ）前記相関に基づいて前記変数の多重シナリオをシミュレートするステップ、
   （ｅ）前記多重シナリオ関する前記資産及び前記負債の価値に基づいて、前記企業の資本剰余金を計算するステップ、
   （ｆ）前記計算された資本剰余金のディストリビューションを生成するステップ、
   （ｇ）前記ディストリビューションから下振れリスクを抽出するステップ、及び、
   （ｈ）前記下振れリスクに基づいて前記保険会社を分析するステップを含む方法。
9. 前記抽出するステップが、
   （ａ）前記ディストリビューションの分散を計算するステップ、及び、
   （ｂ）前記下振れリスクを生産するために、前記分散に対する前記資本剰余金対前記の比率を計算するステップを更に含む請求項８に記載の方法。
10. 前記下振れリスクが、デフォルトの確率、資本の５０％の損失の確率、及び２５％資本の損失の確率から成る群の中から選択される請求項８に記載の方法。
11. 前記資産及び前記負債の価値における前記変化が、通貨為替リスク、利率リスク、信用度リスク、エクイティ値リスク、保険リスク、及び、それらの結合から成る群の中から選択されたリスクに起因する請求項８に記載の方法。
12. 前記負債が、生命保険、健康保険、財産及び災害保険、年金、構造化された決済、並びに、それらの結合から成る群の中から選択される請求項８に記載の方法。
13. 前記資産が、資産ベースの有価証券、抵当ベースの有価証券、国債、地方債、社債、優先株、普通株、キャップ、スワップ、先物、抵当、不動産保有高、ローン、再保険受取勘定、長期の投資、及び、それらの結合から成る群の中から選択される請求項８に記載の方法。
14. 前記保険証券が、被保険者によって行使され得るキャンセルオプションを有志、前記変数が、前記被保険者による前記キャンセルオプションの行使に関連する行動変数を含み、前記シナリオが、前記行動変数を含む請求項８に記載の方法。
15. 企業のパフォーマンスを評価する方法であって、
    （ａ）企業の資産及び負債を確認するステップ、
    （ｂ）前記資産及び負債の価値における変化に関するデータを取得するステップ、
    （ｃ）変数、及び、前記資産及び前記負債の価値に影響する相関を決定するために、前記データを分析するステップ
    （ｄ）前記相関に基づいて前記変数の多重シナリオをシミュレートするステップ、
    （ｅ）前記多重シナリオ関する前記資産及び前記負債の価値に基づいて、前記企業の資本剰余金を計算するステップ、
    （ｆ）前記計算された資本剰余金のディストリビューションを生成するステップ、及び、
    （ｇ）前記ディストリビューションを分析するステップを含む方法。
16. 前記シミュレートするステップが、準モンテ・カルロ法を使用して前記多重シナリオを生成するステップを更に含む請求項１５に記載の方法。
17. 前記多重シナリオが、少なくとも１，０００のシナリオである請求項１５に記載の方法。
18. 前記企業が１以上の部署を持っており、前記方法が、前記１以上の部署に資本を割当てるステップを更に含む請求項１５に記載の方法。
19. 前記１以上の部署に資本を割当てる前記ステップが、前記１以上の部署によって推測されたリスクに基づいて、前記資本を１以上の部署に割当てる請求項１５に記載の方法。
20. 前記企業が１以上の部署を持っており、前記方法が、前記１以上の部署に資本収益を割当てるステップを更に含む請求項１５に記載の方法。
21. 前記資本収益が、前記１以上の部署への割当の前に、リスク調整される請求項２０に記載の方法。
22. 前記ディストリビューションが、標準偏差によって特徴付けられ、前記分析するステップが、前記標準偏差に対する資本剰余金の比率を計算するステップを更に含む請求項１５に記載の方法。
23. 事業部門を持つ企業のパフォーマンスを評価する方法であって、
    （ａ）複数の部署を持つ企業を確認するステップ、
    （ｂ）前記複数の部署の各々の部署の資産及び負債をファクタによってスケーリングし、前記各々の部署の前記資産及び前記負債のスライスをもたらすステップ、
    （ｃ）前記企業の前記余剰資本に対する将来における増加する寄与を前記スライスによって決定し、前記企業の第１部署の単一のスライスから開始し、第２部署の第１スライスに進み、最後の部署の前記資本及び前記負債の最後のスライスの前記寄与が決定されるまで継続するステップ、
    （ｄ）前記増加する寄与を、前記各々の部署に関する前記スライスからの前記余剰資本に合算し、前記余剰資本に対する、前記各々の部署の将来の寄与を取得するステップ、及び、
    （ｅ）前記各々の部署からのリスクディストリビューション寄与を、前記各々の部署の前記合算された増加する寄与から特定するステップを含む方法。
24. （ａ）前記企業のために余剰資本を決定するステップ、及び、
    （ｂ）前記リスクに従って、前記企業の過剰を前記各々の部署に割当てるステップを更に含む請求項２３に記載の方法。
25. 前記ファクタが、少なくとも１００である請求項２３に記載の方法。
26. 前記決定するステップが、
    （ａ）前記企業の前記資産及び負債を確認するステップ、
    （ｂ）前記資産及び負債の価値における変化に関するデータを取得するステップ、
    （ｃ）前記変数、及び、前記資産及び前記負債の価値に影響する相関を決定するために、前記データを分析するステップ、
    （ｄ）前記相関に基づいて前記変数の多重シナリオをシミュレートするステップ、及び、
    （ｅ）前記多重シナリオに関する前記資産及び前記負債の前記価値に基づいて、前記企業の資本剰余金を計算するステップを更に含む請求項２３に記載の方法。
27. 前記多重シナリオが、準モンテ・カルロ法を用いて生成される請求項２６に記載の方法。

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