JP2005235121A - 実区間多項式の零点の位置判定方法及び位置判定プログラム及び位置判定プログラムを格納した記憶媒体 - Google Patents

Abstract

【課題】 複素空間が与えられた場合に、特殊な制約条件が同時に付与されている場合以外は、零点を判定する方法がない。
【解決手段】 本発明は、判定問題を場合分けし、単純閉曲線Ｃ上または、Ｃ内部に零点を有する区間多項式が存在するか、Ｃの区分Ｃ_ｋの端点に零点を有する多項式が存在するか、また、Ｃの区分Ｃ_ｋ上に零点を有し、高々1個の係数を除く他の係数が区間の端点である多項式が存在するかの判定を行う。
【選択図】 図１

Description

本発明は、実区間多項式の零点の位置判定方法及び位置判定プログラム及び位置判定プログラムを格納した記憶媒体に係り、特に、係数に誤差のある一変数実多項式の零点の位置判定を行うための実区間多項式の零点の位置判定方法及び位置判定プログラム及び位置判定プログラムを格納した記憶媒体に関する。

係数が確定している一変数多項式の零点、即ち、その多項式が０に等しいとおいた一変数代数方程式の根が、与えられた領域に少なくとも一つ存在するかどうかの判定は、古典的な「Sturmのアルゴリズム」などを用いれば可能である(例えば、非特許文献１参照)。しかしながら、実際の応用上現れる多項式においては、係数を測定によって得たり、あるいは、測定値より計算したものであることが多い。即ち、係数の正確な値は分からない場合が多い。

一変数代数方程式の根は、次数が変化しないときには係数に関して連続だが、係数の変動に対して非常に敏感であって、係数をわずかに変えただけで激しく動く。ここでは、Wilkinsonによる例を取り上げて説明する。１から２０までの連続する２０個の整数を根として持つ２０次の代数方程式
Ｐ（ｘ）＝（ｘ−１）（ｘ−２）…(ｘ−２０)＝ｘ^２０−２１０ｘ^１９＋…＋２０！＝０
をとり、
Ｑ（ｘ）＝Ｐ（ｘ）−２^−２３ｘ^１９
と置く。Ｐ（ｘ）とＱ（ｘ）の違いは、ｘ^１９の係数が前者は-210、後者は-210.00000011…
である点だけである。Ｐ（ｘ）とＱ（ｘ）をすべて書き下ろしたものを、以下に示す。

上記のＰ（ｘ）＝０の根はすべて実で２０個（１から２０までの連続する整数）あるが、Ｑ（ｘ）＝０の実根は１０個になってしまう（残りの１０個は５組の共役な虚根となる）。Ｑ（ｘ）＝０の最大の実根は、20.08…、二番目に大きい実根は8.9…である。

したがって、係数が正確にはわからない方程式の根の位置判定は、慎重に行う必要がある。

以下、方程式の係数は実数で誤差があるものとし、その範囲を区間数で表す。区間数［ｍ，ｕ］とは、ｍ≦ｃ≦ｕとなる実数ｃの全体の集合のことである。ｍとｕを区間数［ｍ，ｕ］の端点と呼ぶ。区間多項式とは、

のように表記されるもので、全てのｊ（０≦ｊ≦ｄ）に対してｃ_ｊ∈［ｍ_ｊ，ｕ_ｊ］となる多項式

全体の集合を表すものである。ここでは、全ての区間数の端点は有理数であるものとし、与えられた領域に零点をもつような多項式ｆ（ｘ）（∈Ｆ(ｘ)）が存在するか否かを判定する問題を考える。

もし、与えられた領域が実の場合、即ち、ある実の区間［ａ，ｂ］であれば、以下の方法をとればよい。

場合１：区間［ａ，ｂ］が０以上の領域に入る場合、すなわち、０≦ａの場合、

と置く。このとき、ｆ_ｍ，ｆ_ｕ∈Ｆ（ｘ）かつ、区間［ａ，ｂ］において、つねに、ｆ_ｍ（ｘ）≦ｆ_ｕ（ｘ）が成り立つことに注意する。

まず、区間の端点ａ，ｂにおいて、ｆ_ｍ，ｆ_ｕの値を調べる。

・ｆ_ｍ（ａ），ｆ_ｍ（ｂ），ｆ_ｕ（ａ），ｆ_ｕ（ｂ）の中に０のものがあれば、零点が存在することがわかり、判定終了。

・ｆ_ｍ（ａ），ｆ_ｍ（ｂ），ｆ_ｕ（ａ），ｆ_ｕ（ｂ）の中に異符号のものがあれば、さらに場合分けする。ｆ_ｍ（ａ）とｆ_ｍ（ｂ）が異符号の場合は、あるｃ（ａ＜ｃ＜ｂ）があって、ｆ_ｍ（ｃ）＝０であることがわかり、判定終了。ｆ_ｕ（ａ）とｆ_ｕ（ｂ）が異符号の場合も、あるｃ（ａ＜ｃ＜ｂ）があってｆ_ｕ（ｃ）＝０であることがわかり、判定終了。残るは、ｆ_ｍ(ａ)とｆ_ｍ（ｂ）が同符号、ｆ_ｕ（ａ）とｆ_ｕ（ｂ）が同符号の場合である。この場合の状況を図２０に示す。ｆ_ｍ（ａ）≦ｆ_ｕ（ａ）だから、ｆ_ｍ（ａ）＜０＜ｆ_ｕ（ａ）である（ｆ_ｍ(ａ)とｆ_ｕ（ａ）が同符号ならば、ｆ_ｍ（ａ），ｆ_ｍ（ｂ），ｆ_ｕ（ａ），ｆ_ｕ（ｂ）の全てが同符号になってしまう）。ｇ(ｔ，ｘ)＝(１−ｔ)ｆ_ｍ(ｘ)＋ｔｆ_ｕ（ｘ）とおくと、任意の０≦ｔ≦１に対し、ｇ（ｔ，ｘ）は区間多項式Ｆに属す。ｆ_ｕ（ａ）−ｆ_ｍ（ａ）＞０であり、ｔ_０＝−ｆ_ｍ（ａ）／（ｆ_ｕ（ａ）−ｆ_ｍ（ａ））とおくと、ｇ（ｔ_０，ａ）＝０かつ０＜−ｆ_ｍ(ａ)／（ｆ_ｕ（ａ）−ｆ_ｍ（ａ））＜１。すなわち、多項式ｇ（ｔ_０，ｘ）は、区間多項式Ｆに属し、しかも、ａを零点とすることがわかり、判定終了。

ｆ_ｍ(ａ)，ｆ_ｍ（ｂ），ｆ_ｕ（ａ），ｆ_ｕ（ｂ）の全てが同符号の場合、それが正ならばｆ_ｍが［ａ，ｂ］に零点を持つか否か調べればよい。図２１、図２２は、それぞれ、ｆ_ｍが零点を持つ場合、持たない場合を示す図である。同様に、ｆ_ｍ（ａ），ｆ_ｍ（ｂ），ｆ_ｕ（ａ），ｆ_ｕ（ｂ）のすべてが負ならば、ｆ_ｕが［ａ，ｂ］に零点を持つか否か調べればよい。いずれの場合も、既に知られている『Sturmのアルゴリズム』その他を用いれば判定できる。

場合２： 区間［ａ，ｂ］が０以下の領域に入る場合、即ち、ｂ≦０の場合、この場合は、ｘ＝−ｙと変数変換することにより、ケース１に帰着する。

場合３： 区間［ａ，ｂ］の内部に０が含まれる場合、すなわち、ａ＜０＜ｂの場合。この場合は、区間［ａ，ｂ］を［ａ，０］と［０，ｂ］に分ければ、それぞれ、ケース１、ケース２に帰着する。

複素平面上にある領域を対象とするとき、特別な場合には「Rouche」（ルーシェ）の定理（ｆ(ｚ)とｇ(ｚ)とは閉曲線Ｃの内部及びＣ上で正則とし、Ｃ上では｜ｆ（ｚ）｜＞｜ｇ(ｚ)｜であるとする。このとき、ｆ(ｚ)とｆ（ｚ）＋ｇ（ｚ）とはＣ内部に重複度を含めて、同数個の零点をもつ）を用いて判定可能である（例えば、非特許文献２参照）。有限個に区分された各区分が一変数有理係数有理式で表される複素平面上の単純閉曲線（Jordan曲線）Ｃが与えられたとき、Ｆに属するある多項式ｆについて、ｆは、Ｃの周上に零点を持たず(この判定はSturmのアルゴリズムなどで可能)、任意のｇ∈Ｆに対し、｜ｇ−ｆ｜＜｜ｆ｜がＣ上でつねに成り立つことがいえるならば、ｆのみをRoucheの定理を用いて調べればよい。この場合、任意のｇ∈Ｆに対し、Ｃ上にはｇの零点はなく、Ｃで囲まれた領域内のｇの零点の数は、ｆのそれに等しいからである。但し、上記の逆はいえないので、｜ｇ−ｆ｜≧｜ｆ｜となるｇが存在する場合には、上記の手法は適用できない。

また、『少なくとも一つの零点が存在』ではなく、『すべての零点が存在』という形なら、エッジ定理（例えば、非特許文献３参照）が適用可能である。すなわち、Ｆに属する全てのエッジ多項式、つまり、高々一つの係数を除く、係数が区間数の端点となっている多項式のみ調べればよい。但し、今考えている領域をＤとしたとき、領域Ｄに「Ｄの補集合の任意の点が無限遠に向かう適当な経路上にある」という制限がつく。従って、『領域Ｄに少なくとも一つの零点がある』の否定と同値な「領域Ｄの補集合に全ての零点があり、かつ、Ｄの境界上に零点がない」を示すのにエッジ定理を常に使えるわけではない。

上記のように、対象とする領域が実をはみ出し複素平面上にあるとき、いかなる集合であっても有限ステップで厳密に判定が可能な手法は存在していない
高木貞治、代数学講義(改訂新版)、第３章、共立出版、１９６５ 吉田洋一、函数論(第２版)、VII章、留数、§４８、１９６５ A. C. Bartlett, L.Huang and C. V. Hollot, Root location of an entire polytope of polynomials: it suffices to check the edges, Mathematics of Controls, Signals and Systems, Vol.1, pp.61-71, 1988

上記のように、従来は、対象とする領域が実をはみ出し複素平面上にある場合は、特殊な制約条件が同時に付与されている場合以外は、零点を判断する方法がなかった。

本発明は、上記の点に鑑みなされたもので、各係数の誤差範囲が区間で指定された区間多項式に属する多項式であって、与えられた複素平面上の単純閉曲線で囲まれた境界も含む領域内に零点を持つものが存在するか否かを有限ステップで厳密に判定することが可能な実区間多項式の零点の位置判定方法及び位置判定プログラム及び位置判定プログラムを格納した記憶媒体を提供することを目的とする。

図１は、本発明の原理を説明するための図である。

本発明は、実区間多項式の零点の位置を判定する方法において、
入力手段から、区間の端点が有理数である一変数実区間多項式と、有限個に区分され各区分が一変数有理式で表される複素平面上の単純閉曲線とを入力し、該一変数実区間多項式と該単純閉曲線とを記憶手段に記憶する入力ステップ（ステップ１）と、
多項式抽出手段において、記憶手段から一変数実区間多項式Ｆに属する一つの多項式ｆ_０を読み出す多項式抽出ステップ（ステップ２）と、
多項式判定手段において、読み出された多項式ｆ_０について、記憶手段から単純閉曲線を読み出して、該単純閉曲線Ｃ上または、該Ｃ内部にｆ_０が零点を有するかを判定する多項式判定ステップ（ステップ３）と、
区分境界点判定手段において、単純閉曲線Ｃの区分Ｃ_ｋの端点に零点を有する多項式ｇ∈Ｆが存在するかを判定する区分境界点判定ステップ（ステップ４）と、
区分内点判定手段において、単純閉曲線Ｃの区分Ｃ_ｋ上に零点を有し、高々1個の係数を除く他の係数が区間の端点である多項式ｇ∈Ｆが存在するかを判定する区分内点判定ステップ（ステップ５）と、からなる。

また、本発明は、多項式判定ステップにおいて、
抽出された多項式ｆ_０が単純閉曲線Ｃ上に零点を有するか判定し、有していないと判定された場合には、該多項式ｆ_０がＣの内部に零点を有するかを判定する。

また、本発明は、区分境界点判定ステップにおいて、
ある端点αを取り、区間多項式Ｆを

と書き直し、（ｕ_ｊ−ｍ_ｊ）α^ｊの実部が負となるｊが存在するかを判定し、存在する場合には、｛（ｕ_ｊ−ｍ_ｊ）ｔ_ｊ＋ｍ_ｊ｝α^ｊを｛（ｕ_ｊ−ｍ_ｊ）（１−ｔ_ｊ）＋ｍ_ｊ｝α^ｊと書き換え、
（ｕ_ｊ−ｍ_ｊ）α^ｊの実部が０、かつ、虚部が負となるｊが存在するか判定し、存在する場合には、｛（ｕ_ｊ−ｍ_ｊ）ｔ_ｊ＋ｍ_ｊ｝α^ｊを｛（ｕ_ｊ−ｍ_ｊ）（１−ｔ_ｊ）＋ｍ_ｊ｝α^ｊと書き換え、
最終的なΣ…を０に等しいとおいた上で、

と書き換え、ａ_０，ａ_１，…，ａ_ｄの凸包を求め、
ｂが凸包に属していれば、区間多項式はＣ上あるいはＣ内部に零点を有すると判定する。

また、本発明は、区分内点判定ステップにおいて、
エッジ多項式を取得し、エッジに対応するただ一つ残っているパラメータをｔとし、
エッジ多項式に対し、まだ調べていない単純閉曲線Ｃの区分Ｃ_ｋを取得し、
Ｃ_ｋの有理係数有理式の表記φ（ｓ）＋ｉψ（ｓ）（ｓ∈Ｓ）をエッジ多項式に代入し、実部をｕ（ｓ，ｔ）、虚部をｖ（ｓ，ｔ）とし、ｕ＝ｖ＝０をｔについて解き、ｕ＝０から解いたものをｔ＝ｈ_１（ｓ），ｖ＝０から解いたものをｔ＝ｈ_２（ｓ）とし、
ｈ_１（ｓ）−ｈ_２（ｓ）の分母を払った多項式をＰ（ｓ）とし、
ｈ_１（ｓ）、ｈ_２（ｓ）のどちらかを選びＨ（ｓ）とし、
Ｈ（ｓ）−ｍの分母を払った多項式とＰ（ｓ）の最大公約多項式Ｇ_ｍ（ｓ）及び、Ｈ（ｓ）−ｕの分母を払った多項式とＰ（ｓ）の最大公約多項式Ｇ_ｕ（ｓ）を計算し、
Ｇ_ｍ（ｓ）＝０の実根βで、β∈Ｓを満たすものがあるかを判定し、ある場合には、Ｃ上あるいは内部に零点を有すると判定し、
ない場合には、Ｇ_ｕ（ｓ）＝０の実根βで、β∈Ｓを満たすものがあるかを判定し、ある場合には、Ｃ上あるいは内部に零点を有すると判定し、
ない場合には、Ｐ（ｓ）／（Ｇ_ｍ（ｓ）Ｇ_ｕ（ｓ））＝０の実根βで、β∈Ｓかつｍ＜Ｈ（β）＜ｕを満たすものがあるかを判定し、ある場合には、Ｃ上あるいはＣ内部に零点を有すると判定する。

本発明は、実区間多項式の零点の位置を判定させるプログラムであって、
コンピュータに、
入力手段から入力された、区間の端点が有理数である一変数実区間多項式と、有限個に区分され各区分が一変数有理式で表される複素平面上の単純閉曲線とを記憶手段に格納する入力ステップと、
記憶手段から一変数実区間多項式Ｆに属する一つの多項式ｆ_０を読み出す多項式抽出ステップと、
読み出された多項式ｆ_０について、記憶手段から単純閉曲線を読み出して、該単純閉曲線Ｃ上または、該Ｃ内部にｆ_０が零点を有するかを判定する多項式判定ステップと、
単純閉曲線Ｃの区分Ｃ_ｋの端点に零点を有する多項式ｇ∈Ｆが存在するかを判定する区分境界点判定ステップと、
単純閉曲線Ｃの区分Ｃ_ｋ上に零点を有し、高々1個の係数を除く他の係数が区間の端点である多項式ｇ∈Ｆが存在するかを判定する区分内点判定ステップと、を実行させる。

また、本発明は、多項式判定ステップにおいて、
抽出された多項式ｆ_０が単純閉曲線Ｃ上に零点を有するか判定し、有していないと判定された場合には、該多項式ｆ_０がＣの内部に零点を有するかを判定するステップを実行させる。

また、本発明は、区分境界点判定ステップにおいて、
ある端点αが設定されると、多項式Ｆを

と設定し直すステップと、
（ｕ_ｊ−ｍ_ｊ）α^ｊの実部が負となるｊが存在するかを判定し、存在する場合には、｛（ｕ_ｊ−ｍ_ｊ）ｔ_ｊ＋ｍ_ｊ｝α^ｊを｛（ｕ_ｊ−ｍ_ｊ）（１−ｔ_ｊ）＋ｍ_ｊ｝α^ｊと書き換えるステップと、
（ｕ_ｊ−ｍ_ｊ）α^ｊの実部が０、かつ、虚部が負となるｊが存在するか判定し、存在する場合には、｛（ｕ_ｊ−ｍ_ｊ）ｔ_ｊ＋ｍ_ｊ｝α^ｊを｛（ｕ_ｊ−ｍ_ｊ）（１−ｔ_ｊ）＋ｍ_ｊ｝α^ｊと書き換えるステップと、
最終的なΣ…を０に等しいとおいた上で、

と書き換え、ａ_０，ａ_１，…，ａ_ｄの凸包を求めるステップと、
ｂが凸包に属していれば、区間多項式はＣ上あるいはＣ内部に零点を有すると判定するステップと、を実行させる。

また、本発明は、区分内点判定ステップにおいて、
エッジ多項式を取得し、エッジに対応するただ一つ残っているパラメータをｔとするステップと、
エッジ多項式に対し、まだ調べていない単純閉曲線Ｃの区分Ｃ_ｋを取得するステップと、
Ｃ_ｋの有理係数有理式の表記φ（ｓ）＋ｉψ（ｓ）（ｓ∈Ｓ）をエッジ多項式に代入し、実部をｕ（ｓ，ｔ）、虚部をｖ（ｓ，ｔ）とし、ｕ＝ｖ＝０をｔについて解き、ｕ＝０から解いたものをｔ＝ｈ_１（ｓ），ｖ＝０から解いたものをｔ＝ｈ_２（ｓ）とするステップと、
ｈ_１（ｓ）−ｈ_２（ｓ）の分母を払った多項式をＰ（ｓ）とするステップと、
ｈ_１（ｓ）、ｈ_２（ｓ）のどちらかを選びＨ（ｓ）とするステップと、
Ｈ（ｓ）−ｍの分母を払った多項式とＰ（ｓ）の最大公約多項式Ｇ_ｍ（ｓ）及び、Ｈ（ｓ）−ｕの分母を払った多項式とＰ（ｓ）の最大公約多項式Ｇ_ｕ（ｓ）を計算するステップと、
Ｇ_ｍ（ｓ）＝０の実根βで、β∈Ｓを満たすものがあるかを判定し、ある場合には、Ｃ上あるいはＣ内部に零点を有すると判定するステップと、
ない場合には、Ｇ_ｕ（ｓ）＝０の実根βで、β∈Ｓを満たすものがあるかを判定し、ある場合には、Ｃ上あるいはＣ内部に零点を有すると判定するステップと、
ない場合には、Ｐ（ｓ）／（Ｇ_ｍ（ｓ）Ｇ_ｕ（ｓ））＝０の実根βで、β∈Ｓかつｍ＜Ｈ（β）＜ｕを満たすものがあるかを判定し、ある場合には、Ｃ上あるいはＣ内部に零点を有すると判定するステップと、を実行させる。

本発明は、実区間多項式の零点の位置を判定させるプログラムを格納した記憶媒体であって、
コンピュータに、
入力手段から入力された、区間の端点が有理数である一変数実区間多項式と、有限個に区分され各区分が一変数有理式で表される複素平面上の単純閉曲線とを記憶手段に格納する入力ステップと、
記憶手段から一変数実区間多項式Ｆに属する一つの多項式ｆ_０を読み出す多項式抽出ステップと、
読み出された多項式ｆ_０について、記憶手段から単純閉曲線を読み出して、該単純閉曲線Ｃまたは、該Ｃ内部にｆ_０が零点を有するかを判定する多項式判定ステップと、
単純閉曲線Ｃの区分Ｃ_ｋの端点に零点を有する多項式ｇ∈Ｆが存在するかを判定する区分境界点判定ステップと、
単純閉曲線Ｃの区分Ｃ_ｋ上に零点を有し、高々1個の係数を除く他の係数が区間の端点である多項式ｇ∈Ｆが存在するかを判定する区分内点判定ステップと、を実行させるプログラムを格納した記憶媒体である。

また、本発明は、多項式判定ステップにおいて、
抽出された多項式ｆ_０が単純閉曲線Ｃ上に零点を有するか判定し、有していないと判定された場合には、該多項式ｆ_０がＣの内部に零点を有するかを判定するステップを実行させるプログラムを格納した記憶媒体である。

また、本発明は、区分境界点判定ステップにおいて、
ある端点αが設定されると、多項式Ｆを

と設定し直すステップと、
（ｕ_ｊ−ｍ_ｊ）α^ｊの実部が負となるｊが存在するかを判定し、存在する場合には、｛（ｕ_ｊ−ｍ_ｊ）ｔ_ｊ＋ｍ_ｊ｝α^ｊを｛（ｕ_ｊ−ｍ_ｊ）（１−ｔ_ｊ）＋ｍ_ｊ｝α^ｊと書き換えるステップと、
（ｕ_ｊ−ｍ_ｊ）α^ｊの実部が０、かつ、虚部が負となるｊが存在するか判定し、存在する場合には、｛（ｕ_ｊ−ｍ_ｊ）ｔ_ｊ＋ｍ_ｊ｝α^ｊを｛（ｕ_ｊ−ｍ_ｊ）（１−ｔ_ｊ）＋ｍ_ｊ｝α^ｊと書き換えるステップと、
最終的なΣ…を０に等しいとおいた上で、

と書き換え、ａ_０，ａ_１，…，ａ_ｄの凸包を求めるステップと、
ｂが凸包に属していれば、区間多項式はＣ上あるいはＣ内部に零点を有すると判定するステップと、を実行させるプログラムを格納した記憶媒体である。

また、本発明は、区分内点判定ステップにおいて、
エッジ多項式を取得し、残りのパラメータとするステップと、
エッジ多項式に対し、まだ調べていない単純閉曲線Ｃの区分Ｃ_ｋを取得するステップと、
Ｃ_ｋの有理係数有理式の表記φ（ｓ）＋ｉψ（ｓ）（ｓ∈Ｓ）をエッジ多項式に代入し、実部をｕ（ｓ，ｔ）、虚部をｖ（ｓ，ｔ）とし、ｕ＝ｖ＝０をｔについて解き、ｕ＝０から解いたものをｔ＝ｈ_１（ｓ），ｖ＝０から解いたものをｔ＝ｈ_２（ｓ）とするステップと、
ｈ_１（ｓ）−ｈ_２（ｓ）の分母を払った多項式をＰ（ｓ）とするステップと、
ｈ_１（ｓ）、ｈ_２（ｓ）のどちらかを選びＨ（ｓ）とするステップと、
Ｈ（ｓ）−ｍの分母を払った多項式とＰ（ｓ）の最大公約多項式Ｇ_ｍ（ｓ）及び、Ｈ（ｓ）−ｕの分母を払った多項式とＰ（ｓ）の最大公約多項式Ｇ_ｕ（ｓ）を計算するステップと、
Ｇ_ｍ（ｓ）＝０の実根βで、β∈Ｓを満たすものがあるかを判定し、ある場合には、Ｃ上あるいはＣ内部に零点を有すると判定するステップと、
ない場合には、Ｇ_ｕ（ｓ）＝０の実根βで、β∈Ｓを満たすものがあるかを判定し、ある場合には、Ｃ上あるいはＣ内部に零点を有すると判定するステップと、
ない場合には、Ｐ（ｓ）／（Ｇ_ｍ（ｓ）Ｇ_ｕ（ｓ））＝０の実根βで、β∈Ｓかつｍ＜Ｈ（β）＜ｕを満たすものがあるかを判定し、ある場合には、Ｃ上に零点を有すると判定するステップと、を実行させるプログラムを格納した記憶媒体である。

上記のように、本発明によれば、区間係数多項式に対して、与えられた複素平面上の領域に根が存在するような多項式の存在の有無を判定することが可能である。

以下、図面と共に本発明の実施の形態を説明する。

図２は、本発明の一実施の形態における位置判定装置の構成を示す。

同図に示す実区間多項式の零点の位置判定装置は、入力部１０、代表多項式抽出部２０、代表多項式判定部３０、区分境界判定部４０、区分内点判定部５０及び、出力部６０から構成される。

入力部１０は、区間の端点が有理数である一変数実区間多項式と、有限個に区分された各区分が一変数有理係数有理式で表される複素平面上の単純閉曲線とを入力し、一変数実区間多項式と単純閉曲線を記憶手段（図示せず）に格納する。

代表多項式抽出部２０は、記憶手段に格納されている一変数実区間多項式に属する一つの多項式を読み出す。

代表多項式判定部３０は、代表多項式抽出部２０で抽出された一つの多項式が入力された単純閉曲線Ｃ上、または、単純閉曲線Ｃで囲まれた領域に零点を持つか否かを判定する。

区分境界点判定部４０は、記憶手段から一変数実区間多項式Ｆを読出し、単純閉曲線Ｃの各区分Ｃ_ｋの端点を零点とする多項式が存在するか否かを判定する。即ち、Ｃの区分Ｃ_ｋの端点を零点とする多項式ｇ∈Ｆの存在の有無を判定する。

区分内点判定部５０は、区分境界点判定部４０において、Ｃ_ｋの端点に零点を有する多項式が存在しない場合に、区間多項式に属する全てのエッジ多項式に対して単純閉曲線Ｃ上の各区分の内点において少なくとも一つの零点を持つか否かを判定する。即ち、Ｃ_ｋに零点を有し、高々1個の係数を除く他の係数が区間の端点である多項式ｇ∈Ｆの存在の有無を判定する。

出力部６０は、各判定結果を出力する。

図３は、本発明の一実施の形態における判定処理のフローチャートである。

区間多項式

及び、単純閉曲線Ｃが与えられているものとし、Ｃ上あるいは、Ｃ内部に零点を持つような多項式ｆ∈Ｆが存在するか否かを判断する問題を考える。但し、Ｃは有限個に区分され、各区分が一変数有理係数有理式で表されているものとする。

まず、代表多項式抽出部２０は、記憶手段（図示せず）から区間多項式Ｆに属する多項式ｆ_０を一つ読み出し（ステップ１１０）、代表多項式判定部３０において、それがＣ上あるいはＣの内部に零点を持つか否かを調べる（判定Ａ：ステップ１２０）。これは、「Sturmのアルゴリズム」などで判断できる。図４は、本発明の一実施の形態における判定Ａの動作のフローチャートである。

は、中心（ｃ_ｊ＝（ｍ_ｊ＋ｕ_ｊ）／２），端（ｃ_ｊ＝ｍ_ｊあるいはｕ_ｊ）、その他計算しやすいものでよい。この段階で、もし、零点をもつことがわかれば判定は終了する（ステップ１２１）。

以下、Ｃ上にはｆ_０の零点がないものとする。ｆ_０の零点がＣで囲まれた領域内にあるかどうかは、複素領域に対する「Sturmのアルゴリズム」や、偏角の原理により判定可能である。この段階でもし、零点をもつことがわかれば判定は終了する（判定Ａ：ステップ１２２）。

ｆ_０の零点がＣ上にも、Ｃで囲まれた領域の内部にもない場合（ステップ１２０、Ｎｏ）、もし、区間多項式Ｆに属するｇで、Ｃ上あるいはＣで囲まれた領域に零点を持つものがあれば、Ｃ上で零点を持つｈ∈Ｆが存在する。なぜなら、ｇ自身がＣ上に零点を持つ場合はｈとしてｇをとればよいし、ｇがＣ上に零点を持たない場合は、もし、任意のｔ（０≦ｔ≦１）に対し、ｆ_０＋ｔ（ｇ−ｆ_０）がＣ上に零点を持たないとすると、Ｃで囲まれた領域の内部にあるｆ_０の零点とｆ_０＋（ｇ−ｆ_０）＝ｆ_０の零点の数は等しくなる（Roucheの定理の特別な場合）。これは矛盾するからあるｔ_０（０≦ｔ_０≦１）があって、ｈ＝ｆ_０＋ｔ_０（ｇ−ｆ_０）の零点はＣ上にある。作り方から、任意の（０≦ｔ≦１）に対し、ｆ_０＋ｔ（ｇ−ｆ_０）はＦに属するから、ｈ∈Ｆである。よって、以下Ｃ上に零点を持つ多項式ｇ∈Ｆが存在するか否かを判定すれば十分である。

次に、任意のｆ∈Ｆ及び、ｆの任意の零点αに対し、ｇ∈Ｆであってｇ(α)＝０となる多項式

で、高々二つのｊを除き、ｃ_ｊ＝ｍ_ｊあるいはｕ_ｊとなるものが存在することを説明する。

αを根とする次数が高々ｄの一変数実多項式ｇ（ｘ）（Ｆ（ｘ）に入らないものも含める）の係数の集合をＶとする。ｇ(α)＝０を実部と虚部に分けて、その連立方程式と見ることにより、Ｖは、Ｒ^ｄ＋１の中でｄ次元（αが実数の場合）、あるいは、ｄ−１次元（αが虚数の場合）のベクトル空間となることがわかる。ベクトル空間Ｖと、Ｆの係数からなる超直方体Ｂとは交わる（ｆは両者に入る）ので、特に、ベクトル空間Ｖは、Ｂの面と共通点があることがわかる。すなわち、高々２つを除くと、係数が区間の端点となる多項式ｇ（ｘ）∈Ｆ（ｘ）であって、ｇ(α)＝０となるものが存在することがわかる。

以上より、ｆ_０がＣ上及びＣで囲まれた内部に零点を持たない場合（ステップ１２０、Ｎｏ）、Ｃ上あるいは、Ｃで囲まれた内部に零点を持つ多項式ｇ∈Ｆが存在することと、高々二個の係数を除き係数が区間の端点となっている多項式ｇ∈Ｆであって、その零点がＣ上にあるものが存在することが同値であることがわかる。

以下、高々二個の係数を除き係数が区間の端点となっている多項式ｇ∈Ｆであって、その零点がＣ上にあるものが存在するか否かを問題にする。

高々二個の係数を除き、係数が区間の端点となっている多項式ｇ∈ＦがＣ上に根αを持つとする。

αがＣの区分Ｃ_ｋにあるとし、Ｃ_ｋの表記をｘ＝φ(ｓ)＋ｉψ（ｓ）とする。但し、φ(ｓ)、ψ（ｓ）は、ｓの有理係数有理式とする。ｇ（φ(ｓ)＋ｉψ（ｓ））の実部をｕ（ｓ）、虚部をｖ（ｓ）とおくと、ｕ（ｓ）＝ｖ（ｓ）＝０という連立方程式となる。

今、ｇの係数のうち、区間の端点となっていないもの（高々二つ）をｔ_１、ｔ_２と書くことにする。ｕ（ｓ）＝ｖ（ｓ）＝０を、ｓをパラメータとするｔ_１，ｔ_２の連立方程式とみれば、ｓを動かしたとき、行列式が０でない限りは、必ず解が存在し、しかも、ｓについて連続である。よって、αに対応するｓをｓ_０と書けば、ｓをｓ_０から動かしていったとき、
（１）行列式が０になるか、
（２）行列式が０とならず、ｔ_１あるいはｔ_２が区間の端点に達するか、
（３）行列式が０とならず、ｓがパラメータの動く範囲の端点に達するか、
のいずれかが起こる。

（２）はエッジ多項式となる。（３）は、パラメータが端点のところで、対応する根が区分Ｃ_ｋの端点となる。

（１）の場合は、そのとき連立方程式の解が不定なら、式が一本の場合と同じ状況になるので、ｓを止めたままで、ｔ_１、ｔ_２を連立方程式を満たすよう動かすことができる。そして、ｔ_１，ｔ_２のうちの少なくとも一つが区間の端点に達するまで動かせる。すなわち、上記(２)の場合になる。不能の場合、パラメータｓが行列式を０にする値に近付くとき、ｔ_１，ｔ_２のうち少なくとも一方は∞あるいは−∞に発散するから、そのまえに区間の端点に達する。すなわち、上記（２）の場合に含まれる。以上より、（１）の場合は、（２）に含まれることがわかる。

以上を整理すれば、
（ａ）高々一個の係数を除き係数が区間の端点となっている多項式(エッジ多項式)ｇ∈Ｆであって、その零点がＣ_ｋ上にあるものが存在する、
（ｂ）高々二個の係数を除き係数が区間の端点となっている多項式ｇ∈Ｆであって、Ｃ_ｋの端点の根とするものが存在する、
としたとき、（ａ）あるいは（ｂ）が成り立つことと、高々二個の係数を除き係数が区間の端点となっている多項式ｇ∈Ｆであって、その零点がＣ_ｋ上にあるものが存在することは同値である。

よって、以下、(ａ)，（ｂ）をいかに調べるか、について記述する。

最初に、（ｂ）の場合について述べる。まず、区間多項式を

と書き直す。以下、アルゴリズムを簡単かつ、効率よくするため、エッジ多項式と限らない範囲で調べる（判定Ｂ：ステップ１３０）。

図５は、本発明の一実施の形態における判定Ｂの動作のフローチャートである。区分境界判定部４０は、まず、まだ調べていない端点αを取る（ステップ１３１）。ｘにαを代入し、Ｆを

と書き直す（ステップ１３２）。（ｕ_ｊ−ｍ_ｊ）α^ｊの実部が負となるｊが存在するかを判定し（ステップ１３３）、存在する場合には、｛（ｕ_ｊ−ｍ_ｊ）ｔ_ｊ＋ｍ_ｊ｝α^ｊを｛（ｕ_ｊ−ｍ_ｊ）（１−ｔ_ｊ）＋ｍ_ｊ｝α^ｊと書き換え（ステップ１３５）、（ｕ_ｊ−ｍ_ｊ）α^ｊの実部が０かつ虚部が負となるｊが存在するか判定し（ステップ１３４）、存在する場合には、｛（ｕ_ｊ−ｍ_ｊ）ｔ_ｊ＋ｍ_ｊ｝α^ｊを｛（ｕ_ｊ−ｍ_ｊ）（１−ｔ_ｊ）＋ｍ_ｊ｝α^ｊと書き換え（ステップ１３５）、その結果を、

とする（ステップ１３６）。これを満たすような０≦ｔ_ｊ≦１が存在するか否かの判定となるが、これは、

但し、ｅ_ｊ＝０あるいは１、の全体、高々２^ｄ＋１個の点の凸包にｂが入るか否かの判定である。よって、まず、

の全体の凸包を求める。これは、効率的に計算できる。まず、ａ_ｊを傾きでソートする。但し、傾きは−π／２とπ／２の間、とする。ソートの結果をｖ_１，…，ｖ_ｎとする。但し、同じ傾きのものがあるときには、それらを全部足したもの一つに置き換える(例えば、ａ_ｊとａ_ｋの傾きが同じときには、ｖ_１，…，ｖ_ｎの中には、ａ_ｊ，ａ_ｋの代わりに、ａ_ｊ＋ａ_ｋを入れる。よって、ｎは、ｄ＋１より小さいことがある)。このとき、求める凸包の頂点は、０から始めて反時計回りに、０，ｖ_１，ｖ_１＋ｖ_２，…，ｖ_１＋…＋ｖ_ｎ，ｖ_２＋ｖ_３＋…ｖ_ｎ，ｖ_３＋…＋ｖ_ｎ，ｖ_ｎ−１＋ｖ_ｎ，ｖ_ｎの全部で２ｎ個となる（ステップ１３７）。この凸包にｂが属するかを判定し（ステップ１３８）、属する場合には（ステップ１３８、Ｙｅｓ）ＦはＣ上あるいはＣの内部に零点を有すると判定する。属さない場合は（ステップ１３８、Ｎｏ）、まだ調べていない端点があるかを判断し、ある場合にはステップ１３１に移行し、ない場合には判定Ｃ（ステップ１４０）に移行する。

次に、（ａ）の場合を説明する（判定Ｃ：ステップ１４０）。ただ一つ残ったパラメータをｔとし、ｕ（ｓ）＝ｖ（ｓ）＝０を、パラメータも明記して、ｕ（ｓ，ｔ）＝ｖ（ｓ，ｔ）＝０と書く。この方程式は、ｔについては一次であるから、ｕ（ｓ，ｔ）＝０，ｖ（ｓ，ｔ）＝０それぞれからｔを解いて、ｔ＝ｈ_１（ｓ）＝ｈ_２（ｓ）と書ける。但し、ｈ_１、ｈ_２ともにｓの有理係数有理式である。ｈ_１（ｓ）−ｈ_２（ｓ）の分母を払った多項式をＰ（ｘ）とし、ｓの動く範囲をＳとする。Ｓは、有限の閉空間［ａ，ｂ］か、片方が無限となる［ａ，∞）あるいは、（∞，ｂ］、両方が無限のＲ全体、のいずれかである。

解くべき問題は、『有理係数方程式Ｐ（ｓ）＝０のＳに入る実根α、有理係数有理式Ｈ（ｓ），（ｈ_１，ｈ_２のどちらでも同じなので、計算が簡単な方を選んでよい）、有理数ｍ，ｕに対してｍ≦Ｈ（α）≦ｕかどうかを判定せよ』である。

これを解くために、Ｈ（ｓ）−ｍの分母を払った多項式とＰ（ｓ）との最大多項式Ｇ_ｍ（ｓ）、及び、Ｈ（ｓ）−ｕの分母を払った多項式とＰ（ｓ）の最大公約多項式Ｇ_ｕ（ｓ）を計算する。Ｇ_ｍとＧ_ｕは互いに素であるから（Ｇ_ｍの根αに対しＨ（α）＝ｍとなり、Ｇ_ｕの根βに対しＨ（β）＝ｕとなるから）、Ｐの根は、Ｇ_ｍの根、Ｇ_ｕの根、Ｐ／（Ｇ_ｍＧ_ｕ）の根の、三種類に分かれる。Ｇ_ｍあるいはＧ_ｕの根αについては、α∈Ｓの判定のみ行えば十分であり、これは、「Sturmのアルゴリズム」などで可能である。Ｐ／（Ｇ_ｍＧ_ｕ）の根βについては、β∈Ｓ及びｍ≦Ｈ（β）≦ｕの判定となるが、前者は、「Sturmのアルゴリズム」で、後者は、等号が成り立つことはなく、ｍ＜Ｈ（β）＜ｕの判定であるから、十分に精度を上げた誤差解析付の近似計算、例えば、区間計算で判定可能である。

以上を、各エッジ多項式について行っていき、どこかで零点があることが分かれば判定終了である。エッジ多項式は有限個であるから、全てについて零点がないことがわかれば区間多項式Ｆに属する多項式で、与えられた領域に零点をもつものがないことがわかり、判定が終了する。

図６は、本発明の一実施の形態における判定Ｃの動作のフローチャートである。

まず、区分内点判定部５０は、まだ調べていないエッジ多項式を記憶手段から読み出し、残っているパラメータをｔとする（ステップ１４１）。取得したエッジ多項式に対し、まだ調べていないＣの区分Ｃ_ｋを取得する（ステップ１４２）。Ｃ_ｋの有理係数有理式の表記φ（ｓ）＋ｉψ（ｓ）（ｓ∈Ｓ）をエッジ多項式に代入し、実部をｕ（ｓ，ｔ）、虚部をｖ（ｓ，ｔ）と書く（ステップ１４３）。

次に、ｕ＝ｖ＝０をｔについて解く。ｕ＝０から解いたものをｔ＝ｈ_１（ｓ），ｖ＝０から解いたものをｔ＝ｈ_２（ｓ）とする（ステップ１４４）。ｈ_１（ｓ）−ｈ_２（ｓ）の分母を払った多項式をＰ（ｓ）と書く（ステップ１４５）。ｈ_１（ｓ），ｈ_２（ｓ）のどちらかを選びＨ（ｓ）と書く（ステップ１４６）。Ｈ（ｓ）−ｍの分母を払った多項式とＰ（ｓ）の最大公約数多項式Ｇ_ｍ（ｓ）及びＨ（ｓ）−ｕの分母を払った多項式Ｐ（ｓ）の最大公約多項式Ｇ_ｕ（ｓ）を計算する（ステップ１４６）。

Ｇ_ｍ（ｓ）＝０の実根βで、β∈Ｓを満たすものがあるかを判断し（ステップ１４８）、ある場合には、ＣあるいはＣの内部に零点を有すると判断する。ない場合には、Ｇ_ｕ（ｓ）＝０の実根βで、β∈Ｓを満たすものがあるかを判断する（ステップ１４９）。ある場合には、ＣあるいはＣの内部に零点を有すると判断する。ない場合には、Ｐ（ｓ）／（Ｇ_ｍ（ｓ）Ｇ_ｕ（ｓ））＝０の実根βで、β∈Ｓかつｍ＜Ｈ（β）＜ｕを満たすものがあるかを判断する（ステップ１５０）。ある場合は、ＣあるいはＣの内部に零点を有すると判断する。ない場合には、取得したエッジ多項式に対し、まだ調べていないＣの区分が存在するかを判定し、存在する場合にはステップ１４２に移行する（ステップ１５１）。存在しない場合には、まだ調べていない多項式が存在するかを判断し、存在する場合にはステップ１４１に移行し、存在しない場合には、多項式Ｆは、Ｃ及び内部に零点を有しないと判断し、処理を終了する（ステップ１５２）。

以下、図面と共に本発明の実施例を説明する。

以下では、実際に区間多項式と領域を与えて説明する。なお、以下では、ある桁から先の値を省略する意味の『…』がない小数は、正確な値を表すものとする。

［第１の実施例］
図７は、本発明の第１の実施例の動作のフローチャートである。

本実施例では、Ｆを二次の区間多項式
［0.9995,1.0005］x²+[-0.6185,-0.6175]x+[0.995,1.0005]
とし、単純閉曲線Ｃとして、中心がｃ＝0．3096＋i・0.9526、半径がｒ＝0.0004の円周をとり、Ｃ及びその内部をＤとしたとき、Ｄに少なくとも一つの根を持つようなＦに属する多項式が存在するか否かを判定することを考える。

図８は、本発明の第１の実施例の円周Ｃを示す。なお、Ｃの有理関数による表示は以下の通り与えられているものとする。

Ｃ＝Ｃ_１∪Ｃ_２、但し、Ｃ_１は、一点ｃ−ｒ（＝0.3092+i・0.9526）のみからなり、Ｃ_２は、Ｃから一点ｃ−ｒを除いたものである。前者の表記は、ｘ＝ｃ−ｒであり、後者の表記は、ｘ＝ｃ＋ｒ（１−ｓ^２）／（１＋ｓ^２）＋ｉ・２ｒｓ／（１＋ｓ^２）、但し、−∞＜ｓ＜∞である。

まず、Ｆに属する多項式ｆ_０を一つとる（ステップ２０１）。ここでは、各区間係数の中点を係数とする多項式をｆ_０とする。すなわち、f₀(x)=x²-0.618+1である。f₀(x)=0の二根は、0.309±i・√0.904519=0.309±i・0.951062,…であって、実部を見れば、Ｄの外にあることがわかる（ステップ２０２）。この状況を図９に示す。

次に、Ｃ上に根を持つようなｆ∈Ｆが存在するか否かの判定になる。

まず、「Ｃ_１，Ｃ_２の端点を根として持つｆが存在するか」（ステップ２０３）、であるが、今の場合、Ｃ_１には端点がなく、Ｃ_２の端点は、ｃ−ｒただ一点である。すなわち、「ｃ−ｒ（＝0.3092+i・0.9526）を根とするｆが存在するか」、である。

Ｆ=｛（0.9995+0.001t₂）x²-(0.6185+0.001t₁)x+(0.9995+0.001t₀)｜0≦t₀,t₁,t₂≦１｝
と書けることから、
(0.9995+0.001t₂)x²-(0.6185+0.001t₁)x+(0.9995+0.001t₀)=0
を解くことになる。これに、ｘ＝ｃ−ｒを代入し、整理したものが以下のようになる。

ｔ_２の係数の実部が負なので、ｔ_２を１−ｔ_２で置き換えると、以下のようになる。

係数をソートすると、
v₁=0.00081184212-i・0.00058908784,
v₂=0.001,
v₃=0.0003092+i・0.0009526
となる。よって、凸包の頂点リスト及びその座標は、以下のようになる。

この凸包に、

の右辺の値v=0.00398824106-i・0.00019928392は入らないことがわかる。この状況を図１０に示す。

次に、Ｃ_１上に零点があるかの判定を行なう（ステップ２０５）。これは、以下に示す１２本のエッジ多項式から決まる方程式が対象となる。

以下、上記の最初の式をｆ_１とし、それについて説明する。
f₁(x)=tx^2-(6185/10000)x+9995/10000=0(9995/10000≦ｔ≦10005/10000)である。

まず、x=c+r(1-s²)/(1+s²)+i・2rs/(1+s²)(-∞<s<∞)を代入して整理すると、その実部、虚部は、以下の通りとなる。

上記の実部、虚部それぞれにおいて、ｔを解くと以下のようになる。

上記の等式を整理すると、以下のようになる。

「Sturmのアルゴリズム」を使えば、上記の方程式に実根がないことがわかる。よって、全ての
t(9995/10000≦t≦10005/10000)
に対して
f₁(x)=tx²-(6185/10000)x+9995/10000=0
の根はＤの外であることがわかる。

他の11本の多項式についても同じように確認することにより（ステップ２０６）、Ｆの中にはＤに根を持つ多項式がないことがわかる（ステップ２０７）。

［第2の実施例］
本実施例では、区間多項式Ｆは、上記の第1の実施例と同じものとする。

単純閉曲線Ｃとして、４つの頂点が、
R₁=0.3092+i・0.95
R₂=0.31+i・0.95
R₃=0.31+i・0.953
R₄=0.3092+i・0.953
である長方形をとる。図１１にその長方形Ｃを示す。なお、同図において、点線で示してある円周は、前述の第1の実施例のものである。なお、Ｃの有理関数による表示は、以下の通り与えられているものとする。

Ｃ＝Ｃ_１∪Ｃ_２∪Ｃ_３∪Ｃ_４但し、Ｃ_１，Ｃ_２，Ｃ_３，Ｃ_４の表示は、以下に示すとおりである。

図１２は、本発明の第２の実施例の動作のフローチャート（その１）である。

Ｆに属する多項式として、第1の実施例と同じf₀(x)=x²-0.618x+1をとる（ステップ３０１）。ｆ₀(x)=0の二根は、0.309±i・√0.904519=0.309±i・0.951062…であって、実部を見ればいずれもＤの外にあることがわかる。この状況を図１３に示す。

次に、Ｃ上に零点を持つようなｆ∈Ｆが存在するか否かの判定を行う（ステップ３０２）。

まず、「Ｃ_１，Ｃ_２，Ｃ_３，Ｃ_４の端点、すなわち、4点Ｒ_１，Ｒ_２，Ｒ_３，Ｒ_４を零点として持つｆが存在するか」、を判定する。第1の実施例と同じく、
(0.9995+0.001t₂)x²-(0.6185+0.001t₁)x+(0.9995+0.001t₀)=0
のｘに、Ｒ_１，Ｒ_２，Ｒ_３，Ｒ_４の座標を入れて整理し（ステップ３０３）、必要ならｔ_ｊを1−ｔ_ｊで置き換えて、凸包を作って調べることになる（ステップ３０４）。Ｒ_１，Ｒ_２，Ｒ_３，Ｒ_４それぞれに対応する凸包及びその頂点を、図１４、図１５、図１６、図１７に示す、いずれにしてもＣの区分の端点を零点とする多項式ｆ∈Ｆは存在しないことがわかる（ステップ３０６）。

図１８は、本発明の第２の実施例の動作のフローチャート（その２）である。

次に、端点を除く、Ｃ_１，Ｃ_２，Ｃ_３，Ｃ_４上に零点があるかの判定を行う。これは、第1の実施例と同じ、以下の１２本のエッジ多項式から決まる方程式が対象となる。

但し、それぞれの方程式について、Ｃ_１，Ｃ_２，Ｃ_３，Ｃ_４上を調べることになるので、全部で48回の判定となる。以下、上記の最初の式をｆ_１とし（ステップ４０１）、それについて説明する。

ｆ_１(x)=tx²-(6185/10000)x+9995/10000=0(9995/10000≦t≦10005/10000)
である。

まず、長方形の上の辺Ｃ_３について調べる。

ｘ=s+i・953/1000(3092/10000≦s≦31/100)
を代入して整理すると（ステップ４０２）、その実部、虚部は、以下のようになる。

上記の実部、虚部それぞれにおいてｔを解くと（ステップ４０３）、以下のようになる。

上記の第二項と第三項が等しいという方程式を整理すると、以下のようになる。

上記の方程式は、3092/10000≦ｓ≦31/100の範囲に根を持たない。実際、これの一根は、0.028…、もう一根は32.3…である（ステップ４０４）。

次に、長方形の左の辺Ｃ_４について調べる。

x=3092/10000+i・s(95/100≦ｓ≦953/1000)
を代入して整理すると（ステップ４０５）、その実部、虚部は、以下のようになる。

上記の実部、虚部それぞれにおいて、ｔを解くと（ステップ４０６）、以下のようになる。

上記の第二項と第三項が等しいという式を整理すると、以下のようになる。

上記の方程式は、95/100≦ｓ≦953/1000の範囲に一つの根s=0.950649…を持つ（ステップ４０７）。そのとき、t=6185/6184=1.0001617…で、9995/10000≦t≦10005/10000、すなわち、0.9995≦t≦1.0005の範囲内に収まっている（ステップ４０８）。

以上より、Ｆに属する多項式
tx²-0.6185x+0.9995=0(t=6185/6184)が、0.3092+si(s=0.950649…)
というＤ内（より詳しくは、長方形の左の辺Ｃ_４上）に根を持つことがわかる（ステップ３０４）。この状況を図１９に示す。

ここまでは、説明を簡単にするため、区間の端点や曲線を表す式の係数は有理数としてきたが、有理数に限らず、計算機上で四則演算及び等号判定が厳密に実行可能な数ならよい。例えば、実代数的数（一変数整数係数代数方程式の根となる実数）としてもよい。

また、区間多項式は、単項式ｘ^ｊに区間係数［ｍ_ｊ，ｕ_ｊ］を掛けたものの和の形のみであったが、より一般的に、係数が正確に分かっている多項式ｅ_ｊ（ｘ）に区間係数［ｍ_ｊ，ｕ_ｊ］を掛けたものの和の形としてもよい。すなわち、

の形でもよい。

なお、区間演算を用いて、

を、

と整理すると、（Ａ_ｊは区間）、Ｆ（ｘ）⊂Ｇ（ｘ）は常に成立するが、一般にはＦ（ｘ）≠Ｇ（ｘ）である。よって、整理する前の形のまま扱う必要がある。

このような形は、応用上、例えば、いつくかの点における値によって定められた多項式として現れる。具体的には、相異なるｎ＋１個の点ａ_０，ａ_１，…，ａ_ｎでの値がｂ_０，ｂ_１，…，ｂ_ｎである高々ｎ次の多項式ｆ（ｘ）は一意に決まり、

として、

と書ける。従って、ｂ_ｊの値に誤差があるときは、

の形となる。

なお、上記の実施の形態及び実施例における動作をプログラムとして構築し、コンピュータのＣＰＵにインストールし実行させる、または、ネットワークを介して流通させることが可能である。

また、構築されたプログラムをコンピュータに接続されるハードディスク装置や、フレキシブルディスクやＣＤ−ＲＯＭ等の可搬記憶媒体に格納しておき、コンピュータに読み込ませ、実行させることも可能である。

なお、本発明は、上記の実施の形態及び実施例に限定されることなく、特許請求の範囲内において、種々変更・応用が可能である。

本発明は、与えられた領域（単純閉曲線やその内部）が複素空間である場合に適用可能である。

本発明の原理を説明するための図である。 本発明の一実施の形態における位置判定装置の構成図である。 本発明の一実施の形態における判定処理のフローチャートである。 本発明の一実施の形態における判定Ａの動作のフローチャートである。 本発明の一実施の形態における判定Ｂの動作のフローチャートである。 本発明の一実施の形態における判定Ｃの動作のフローチャートである。 本発明の第1の実施例の動作のフローチャートである。 本発明の第1の実施例の円周Ｃを示す図である。 本発明の第1の実施例の各区間係数の中点を係数とする多項式を説明するための図である。 本発明の第1の実施例の動作を説明するための図である。 本発明の第２の実施例の与えられた単純閉曲線である長方形Ｃを示す図である。 本発明の第２の実施例の動作のフローチャート（その１）である。 本発明の第２の実施例の一つ取り出した多項式の零点と与えられた領域の位置関係を示す図である。 本発明の第２の実施例の長方形の頂点Ｒ_１を根とするＦに属する多項式が存在するか否かを判定するための凸包及びその頂点座標を示す図である。 本発明の第２の実施例の長方形の頂点Ｒ_２を根とするＦに属する多項式が存在するか否かを判定するための凸包及びその頂点座標を示す図である。 本発明の第２の実施例の長方形の頂点Ｒ_３を根とするＦに属する多項式が存在するか否かを判定するための凸包及びその頂点座標を示す図である。 本発明の第２の実施例の長方形の頂点Ｒ_４を根とするＦに属する多項式が存在するか否かを判定するための凸包及びその頂点座標を示す図である。 本発明の第２の実施例の動作のフローチャート（その２）である。 本発明の第２の実施例の与えられた長方形の左辺上にあるＦに属する多項式の零点を示す図である。 ｆ_ｍ（ａ）とｆ_ｍ（ｂ）が同符号、ｆ_ｕ（ａ）とｆ_ｕ（ｂ）が同符号の場合を示す図である。 ｆ_ｍが区間［ａ，ｂ］に根を持つ例を示す図である。 ｆ_ｍが区間［ａ，ｂ］に根を持たない例を示す図である。

符号の説明

１０ 入力部
２０ 代表多項式抽出部
３０ 代表多項式判定部
４０ 区分境界点判定部
５０ 区分内点判定部
６０ 出力部

Claims (12)

1. 実区間多項式の零点の位置を判定する方法において、
   入力手段から、区間の端点が有理数である一変数実区間多項式と、有限個に区分され各区分が一変数有理式で表される複素平面上の単純閉曲線とを入力し、該一変数実区間多項式と該単純閉曲線とを記憶手段に記憶する入力ステップと、
   多項式抽出手段において、前記記憶手段から前記一変数実区間多項式Ｆに属する一つの多項式ｆ_０を読み出す多項式抽出ステップと、
   多項式判定手段において、読み出された前記多項式ｆ_０について、前記記憶手段から前記単純閉曲線Cを読み出して、該単純閉曲線Ｃ上または、該Ｃ内部にｆ_０が零点を有するかを判定する多項式判定ステップと、
   区分境界点判定手段において、前記単純閉曲線Ｃの区分Ｃ_ｋの端点に零点を有する多項式ｇ∈Ｆが存在するかを判定する区分境界点判定ステップと、
   区分内点判定手段において、前記単純閉曲線Ｃの区分Ｃ_ｋ上に零点を有し、高々1個の係数を除く他の係数が区間の端点である多項式ｇ∈Ｆが存在するかを判定する区分内点判定ステップと、からなることを特徴とする実区間多項式の零点の位置判定方法。
2. 前記多項式判定ステップにおいて、
   抽出された前記多項式ｆ_０が前記単純閉曲線Ｃ上に零点を有するか判定し、有していないと判定された場合には、該多項式ｆ_０が前記Ｃの内部に零点を有するかを判定する請求項1記載の実区間多項式の零点の位置判定方法。
3. 前記区分境界点判定ステップにおいて、
   ある端点αを取り、前記区間多項式Ｆを
   

   

   と書き直し、（ｕ_ｊ−ｍ_ｊ）α^ｊの実部が負となるｊが存在するかを判定し、存在する場合には、｛（ｕ_ｊ−ｍ_ｊ）ｔ_ｊ＋ｍ_ｊ｝α^ｊを｛（ｕ_ｊ−ｍ_ｊ）（１−ｔ_ｊ）＋ｍ_ｊ｝α^ｊと書き換え、
   （ｕ_ｊ−ｍ_ｊ）α^ｊの実部が０、かつ、虚部が負となるｊが存在するか判定し、存在する場合には、｛（ｕ_ｊ−ｍ_ｊ）ｔ_ｊ＋ｍ_ｊ｝α^ｊを｛（ｕ_ｊ−ｍ_ｊ）（１−ｔ_ｊ）＋ｍ_ｊ｝α^ｊと書き換え、
   最終的なΣ…を０に等しいとおいた上で、
   

   

   と書き換え、ａ_０，ａ_１，…，ａ_ｄの凸包を求め、
   前記ｂが前記凸包に属していれば、前記区間多項式は前記Ｃ上あるいは該Ｃ内部に零点を有すると判定する請求項1記載の実区間多項式の零点の位置判定方法。
4. 前記区分内点判定ステップにおいて、
   エッジ多項式を取得し、エッジに対応する、ただ一つ残っているパラメータをｔとし、
   前記エッジ多項式に対し、まだ調べていない前記単純閉曲線Ｃの区分Ｃ_ｋを取得し、
   前記Ｃ_ｋの有理係数有理式の表記φ（ｓ）＋ｉψ（ｓ）（ｓ∈Ｓ）を前記エッジ多項式に代入し、実部をｕ（ｓ，ｔ）、虚部をｖ（ｓ，ｔ）とし、ｕ＝ｖ＝０をｔについて解き、ｕ＝０から解いたものをｔ＝ｈ_１（ｓ），ｖ＝０から解いたものをｔ＝ｈ_２（ｓ）とし、
   ｈ_１（ｓ）−ｈ_２（ｓ）の分母を払った多項式をＰ（ｓ）とし、
   ｈ_１（ｓ）、ｈ_２（ｓ）のどちらかを選びＨ（ｓ）とし、
   Ｈ（ｓ）−ｍの分母を払った多項式とＰ（ｓ）の最大公約多項式Ｇ_ｍ（ｓ）及び、Ｈ（ｓ）−ｕの分母を払った多項式とＰ（ｓ）の最大公約多項式Ｇ_ｕ（ｓ）を計算し、
   Ｇ_ｍ（ｓ）＝０の実根βで、β∈Ｓを満たすものがあるかを判定し、ある場合には、前記Ｃ上あるいはＣ内部に零点を有すると判定し、
   ない場合には、Ｇ_ｕ（ｓ）＝０の実根βで、β∈Ｓを満たすものがあるかを判定し、ある場合には、前記Ｃ上あるいは該Ｃ内部に零点を有すると判定し、
   ない場合には、Ｐ（ｓ）／（Ｇ_ｍ（ｓ）Ｇ_ｕ（ｓ））＝０の実根βで、β∈Ｓかつｍ＜Ｈ（β）＜ｕを満たすものがあるかを判定し、ある場合には、前記Ｃ上あるいは該Ｃ内部に零点を有すると判定する請求項1記載の実区間多項式の零点の位置判定方法。
5. 実区間多項式の零点の位置を判定させるためのプログラムであって、
   コンピュータに、
   入力手段から入力された、区間の端点が有理数である一変数実区間多項式と、有限個に区分され各区分が一変数有理式で表される複素平面上の単純閉曲線とを記憶手段に格納する入力ステップと、
   前記記憶手段から前記一変数実区間多項式Ｆに属する一つの多項式ｆ_０を読み出す多項式抽出ステップと、
   読み出された前記多項式ｆ_０について、前記記憶手段から前記単純閉曲線を読み出して、該単純閉曲線Ｃ上または、該Ｃ内部にｆ_０が零点を有するかを判定する多項式判定ステップと、
   前記単純閉曲線Ｃの区分Ｃ_ｋの端点に零点を有する多項式ｇ∈Ｆが存在するかを判定する区分境界点判定ステップと、
   前記単純閉曲線Ｃの区分Ｃ_ｋ上に零点を有し、高々1個の係数を除く他の係数が区間の端点である多項式ｇ∈Ｆが存在するかを判定する区分内点判定ステップと、を実行させることを特徴とする実区間多項式の零点の位置判定プログラム。
6. 前記多項式判定ステップにおいて、
   抽出された前記多項式ｆ_０が前記単純閉曲線Ｃ上に零点を有するか判定し、有していないと判定された場合には、該多項式ｆ_０が該Ｃの内部に零点を有するかを判定するステップを実行させる請求項５記載の実区間多項式の零点の位置判定プログラム。
7. 前記区分境界点判定ステップにおいて、
   ある端点αが設定されると、前記区間多項式Ｆを
   

   

   と設定し直すステップと、
   （ｕ_ｊ−ｍ_ｊ）α^ｊの実部が負となるｊが存在するかを判定し、存在する場合には、｛（ｕ_ｊ−ｍ_ｊ）ｔ_ｊ＋ｍ_ｊ｝α^ｊを｛（ｕ_ｊ−ｍ_ｊ）（１−ｔ_ｊ）＋ｍ_ｊ｝α^ｊと書き換えるステップと、
   （ｕ_ｊ−ｍ_ｊ）α^ｊの実部が０、かつ、虚部が負となるｊが存在するか判定し、存在する場合には、｛（ｕ_ｊ−ｍ_ｊ）ｔ_ｊ＋ｍ_ｊ｝α^ｊを｛（ｕ_ｊ−ｍ_ｊ）（１−ｔ_ｊ）＋ｍ_ｊ｝α^ｊと書き換えるステップと、
   最終的なΣ…を０に等しいとおいた上で、
   

   

   と書き換え、ａ_０，ａ_１，…，ａ_ｄの凸包を求めるステップと、
   前記ｂが前記凸包に属していれば、前記区間多項式は前記Ｃ上あるいは該Ｃ内部に零点を有すると判定するステップと、を実行させる請求項５記載の実区間多項式の零点の位置判定プログラム。
8. 前記区分内点判定ステップにおいて、
   エッジ多項式を取得し、エッジに対応するただ一つ残っているパラメータをｔとするステップと、
   前記エッジ多項式に対し、まだ調べていない前記単純閉曲線Ｃの区分Ｃ_ｋを取得するステップと、
   前記Ｃ_ｋの有理係数有理式の表記φ（ｓ）＋ｉψ（ｓ）（ｓ∈Ｓ）を前記エッジ多項式に代入し、実部をｕ（ｓ，ｔ）、虚部をｖ（ｓ，ｔ）とし、ｕ＝ｖ＝０をｔについて解き、ｕ＝０から解いたものをｔ＝ｈ_１（ｓ），ｖ＝０から解いたものをｔ＝ｈ_２（ｓ）とするステップと、
   ｈ_１（ｓ）−ｈ_２（ｓ）の分母を払った多項式をＰ（ｓ）とするステップと、
   ｈ_１（ｓ）、ｈ_２（ｓ）のどちらかを選びＨ（ｓ）とするステップと、
   Ｈ（ｓ）−ｍの分母を払った多項式とＰ（ｓ）の最大公約多項式Ｇ_ｍ（ｓ）及び、Ｈ（ｓ）−ｕの分母を払った多項式とＰ（ｓ）の最大公約多項式Ｇ_ｕ（ｓ）を計算するステップと、
   Ｇ_ｍ（ｓ）＝０の実根βで、β∈Ｓを満たすものがあるかを判定し、ある場合には、前記Ｃ上あるいは該Ｃの内部に零点を有すると判定するステップと、
   ない場合には、Ｇ_ｕ（ｓ）＝０の実根βで、β∈Ｓを満たすものがあるかを判定し、ある場合には、前記Ｃ上あるいは該Ｃの内部に零点を有すると判定するステップと、
   ない場合には、Ｐ（ｓ）／（Ｇ_ｍ（ｓ）Ｇ_ｕ（ｓ））＝０の実根βで、β∈Ｓかつｍ＜Ｈ（β）＜ｕを満たすものがあるかを判定し、ある場合には、前記Ｃ上あるいは該Ｃの内部に零点を有すると判定するステップと、を実行させる請求項５記載の実区間多項式の零点の位置判定プログラム。
9. 実区間多項式の零点の位置を判定するプログラムを格納した記憶媒体であって、
   コンピュータに、
   入力手段から入力された、区間の端点が有理数である一変数実区間多項式と、有限個に区分され各区分が一変数有理式で表される複素平面上の単純閉曲線とを記憶手段に格納する入力ステップと、
   前記記憶手段から前記一変数実区間多項式Ｆに属する一つの多項式ｆ_０を読み出す多項式抽出ステップと、
   読み出された前記多項式ｆ_０について、前記記憶手段から前記単純閉曲線を読み出して、該単純閉曲線Ｃ上または、該Ｃ内部にｆ_０が零点を有するかを判定する多項式判定ステップと、
   前記単純閉曲線Ｃの区分Ｃ_ｋの端点に零点を有する多項式ｇ∈Ｆが存在するかを判定する区分境界点判定ステップと、
   前記単純閉曲線Ｃの区分Ｃ_ｋ上に零点を有し、高々1個の係数を除く他の係数が区間の端点である多項式ｇ∈Ｆが存在するかを判定する区分内点判定ステップと、を実行させるプログラムを格納したことを特徴とする実区間多項式の零点の位置判定プログラムを格納した記憶媒体。
10. 前記多項式判定ステップにおいて、
    抽出された前記多項式ｆ_０が前記単純閉曲線Ｃ上に零点を有するか判定し、有していないと判定された場合には、該多項式ｆ_０が該Ｃの内部に零点を有するかを判定するステップを実行させる請求項９記載の実区間多項式の零点の位置判定プログラムを格納した記憶媒体。
11. 前記区分境界点判定ステップにおいて、
    ある端点αが設定されると、前記区間多項式Ｆを
    

    

    と設定し直すステップと、
    （ｕ_ｊ−ｍ_ｊ）α^ｊの実部が負となるｊが存在するかを判定し、存在する場合には、｛（ｕ_ｊ−ｍ_ｊ）ｔ_ｊ＋ｍ_ｊ｝α^ｊを｛（ｕ_ｊ−ｍ_ｊ）（１−ｔ_ｊ）＋ｍ_ｊ｝α^ｊと書き換えるステップと、
    （ｕ_ｊ−ｍ_ｊ）α^ｊの実部が０、かつ、虚部が負となるｊが存在するか判定し、存在する場合には、｛（ｕ_ｊ−ｍ_ｊ）ｔ_ｊ＋ｍ_ｊ｝α^ｊを｛（ｕ_ｊ−ｍ_ｊ）（１−ｔ_ｊ）＋ｍ_ｊ｝α^ｊと書き換えるステップと、
    最終的なΣ…を０に等しいとおいた上で、
    

    

    と書き換え、ａ_０，ａ_１，…，ａ_ｄの凸包を求めるステップと、
    前記ｂが前記凸包に属していれば、前記区間多項式は前記Ｃ上あるいは該Ｃ内部に零点を有すると判定するステップと、を実行させる請求項９記載の実区間多項式の零点の位置判定プログラムを格納した記憶媒体。
12. 前記区分内点判定ステップにおいて、
    エッジ多項式を取得し、エッジに対応するただ一つ残っているパラメータをｔとするステップと、
    前記エッジ多項式に対し、まだ調べていない前記単純閉曲線Ｃの区分Ｃ_ｋを取得するステップと、
    前記Ｃ_ｋの有理係数有理式の表記φ（ｓ）＋ｉψ（ｓ）（ｓ∈Ｓ）を前記エッジ多項式に代入し、実部をｕ（ｓ，ｔ）、虚部をｖ（ｓ，ｔ）とし、ｕ＝ｖ＝０をｔについて解き、ｕ＝０から解いたものをｔ＝ｈ_１（ｓ），ｖ＝０から解いたものをｔ＝ｈ_２（ｓ）とするステップと、
    ｈ_１（ｓ）−ｈ_２（ｓ）の分母を払った多項式をＰ（ｓ）とするステップと、
    ｈ_１（ｓ）、ｈ_２（ｓ）のどちらかを選びＨ（ｓ）とするステップと、
    Ｈ（ｓ）−ｍの分母を払った多項式とＰ（ｓ）の最大公約多項式Ｇ_ｍ（ｓ）及び、Ｈ（ｓ）−ｕの分母を払った多項式とＰ（ｓ）の最大公約多項式Ｇ_ｕ（ｓ）を計算するステップと、
    Ｇ_ｍ（ｓ）＝０の実根βで、β∈Ｓを満たすものがあるかを判定し、ある場合には、前記Ｃ上あるいは、該Ｃの内部に零点を有すると判定するステップと、
    ない場合には、Ｇ_ｕ（ｓ）＝０の実根βで、β∈Ｓを満たすものがあるかを判定し、ある場合には、前記Ｃ上あるいは該Ｃの内部に零点を有すると判定するステップと、
    ない場合には、Ｐ（ｓ）／（Ｇ_ｍ（ｓ）Ｇ_ｕ（ｓ））＝０の実根βで、β∈Ｓかつｍ＜Ｈ（β）＜ｕを満たすものがあるかを判定し、ある場合には、前記Ｃ上あるいは該Ｃの内部に零点を有すると判定するステップと、を実行させる請求項９記載の実区間多項式の零点の位置判定プログラムを格納した記憶媒体。

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