JP2004219389A - 織物の即座屈モデル、履歴モデル、前記モデルに基づいた織物シミュレーション方法及びこれを遂行するプログラムを保存したコンピュータ判読可能な記録媒体 - Google Patents
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Abstract
【課題】本発明の目的は、バックリング不安定性が存在しないモデルを使うことによって、微細なメッシング及び時間ステップを使わないとしても織物特有のしわになる様子と履歴現象を実際にシミュレーションする方法を提供することにある。
本発明の他の目的は、前記織物モデルを活用して織物の特性をさらによく反映し、バックリング不安定性問題を解決することによって、処理速度がより早い織物シミュレーション方法、及びこれを遂行するプログラムを保存したコンピュータ判読可能な記録媒体を提供することにある。
【解決手段】織物の動きをシミュレーションする方法において、織物を近似した変形単位両端に圧縮力が印加される場合、収縮せずに即時たわみ変形が発生する即座屈モデルを使うことを特徴とする。
【選択図】 図２
本発明の他の目的は、前記織物モデルを活用して織物の特性をさらによく反映し、バックリング不安定性問題を解決することによって、処理速度がより早い織物シミュレーション方法、及びこれを遂行するプログラムを保存したコンピュータ判読可能な記録媒体を提供することにある。
【解決手段】織物の動きをシミュレーションする方法において、織物を近似した変形単位両端に圧縮力が印加される場合、収縮せずに即時たわみ変形が発生する即座屈モデルを使うことを特徴とする。
【選択図】 図２
Description
【０００１】
【発明の属する技術分野】
本発明は、織物の動きをシミュレーションする方法及びこれを遂行するプログラムを保存したコンピュータ判読可能な記録媒体に関し、より詳しくは、織物を近似した変形単位両端に作用する圧縮力による織物変形は収縮なしに即時たわみ変形される即座屈モデルによってシミュレーションし、引張力による織物変形はスプリングモデルによってシミュレーションし、織物の履歴特性は新しい履歴モデルである”催・高”−離散履歴モデルと”催・高”−連続履歴モデルを使用してモデリングすることによって、織物の特性をよく反映し、バックリング不安定性問題を解消して処理速度を向上させたシミュレーション方法及び記録媒体に関する。
【０００２】
【従来の技術】
一般的に、薄い構造体はたわみに対する弱い抵抗性と引張力に対する強い抵抗性を持っている。このような特性のために薄い構造体の動きは剛性微分方程式を解くことに帰結される。薄い構造体の両端に圧縮力が印加されれば圧縮力による長手方向の収縮が起きる。圧縮力が増加してしきい値（Ｐｃｒ）を越せば薄い構造体は圧縮力に垂直な方向へたわみ、これをバックリングと称する。このバックリングは瞬間的に発生する変形であるため非常に不安定な反応であり、このようなバックリング反応をシミュレーションすることは微分方程式の数値的解釈において発散の問題を引き起こす。
【０００３】
ここで言うバックリング不安定性とは、圧縮力が減少してもたわみ変形（バックリング）はむしろ増加する特性を意味する。言い換えれば、不安定なバックリング状態ではバックリング方向での物質の剛性率は瞬間的にマイナスの値になる。このようなバックリング不安定性はシステムマトリックスに特異性の問題を引き起こすので、有限な時間ステップのシミュレーションでは発散してしまう問題が生じる可能性がある。
【０００４】
従来の織物シミュレーションではこのようなバックリング不安定性が存在するモデルを使用したため、織物に皺ができる現象をシミュレーションしにくかった。バックリング不安定性は数値的不安定性ではなくて構造体の構造的不安定性からはじまったものであるため、単純に微分方程式を暗示的（ｉｍｐｌｉｃｉｔ）に積分すると言って解決されるものではない。
【０００５】
従来にはシステムマトリックスにダンピング力に関する項を付け加えてこのようなバックリング不安定性問題を解決しようとした。しかし、このようなダンピング力の付加はシステムを安定させることはできるが、織物の自然な動きを具現するには障害となる。即ち、ダンピング力は織物表面に皺が形成されるのを妨害したり、生成された皺が消滅するのに抵抗する要素として作用するようになる。
【０００６】
よって、単純にダンピング力を付加することは織物の動きのシミュレーションに望ましくない。
【０００７】
さらに、従来には織物をモデリングするにあたり、連続体モデルを使用したが、このようなモデリングは次のような点で望ましくない結果を生んだ。即ち、コンピュータグラフィック分野では合理的な性能を保障するために粗い離間化が許容されなければならないが、連続体モデルでは織物の大きい変形を作り上げるためにとても微細なメッシングが要求されるため、合理的な処理速度を具現することができなくなる。
【０００８】
また、連続体モデルを使う場合にはバックリングと連関された発散問題を扱うために多くの追加的な演算を必要とする。［Ｅｉｓｃｈｅｎ ｅｔ ａｌ．１９９６］には衣服に対する非線形シェルモデルを利用し、有限要素解釈を遂行して皺形状を得た。ここでは荷重−変形曲線の非線形成に起因した発散またはバックリングによるシステムマトリックスの特異性問題を防止するために弧の長さ（ａｒｃ ｌｅｎｇｔｈ）制御のような手段を利用しなければならなかった。さらに、発散しないように特別な注意を傾けなければならなかった。
【０００９】
［Ｂａｒａｆｆ ａｎｄ Ｗｉｔｋｉｎ １９９８］では連続体の三角形が互いに連結されているモデルを提案し、平面方向での変形エネルギーは連続体構造公式から誘導し、たわみ変形測定は隣接した三角形の間の角度から誘導することによって、たわみ変形と平面方向変形を独立して扱った。このような独立的な取り扱いは各三角形の平面方向剛性と関係なく三角形の間で大量のたわみ変形を許容するという点で連続体モデルの短所を補うことができるが、各三角形が圧縮不可能な物質にモデリングされており、三角形の間のたわみ剛性が非常に弱いため、バックリング不安定性が相変らず問題となり得る。
【００１０】
また、従来には織物の履歴特性を織物シミュレーションに導入するために織物の履歴特性を測定した結果を直接使用したが、測定によって得られた履歴反応曲線（ｈｙｓｔｅｒｅｔｉｃ ｒｅｓｐｏｎｓｅ ｃｕｒｖｅ）は測定時の曲率変化とシミュレーション時の曲率変化とが等しい場合にだけ適用可能であるため、一般的に動力学的（ｄｙｎａｍｉｃ）シミュレーションには適さない。即ち、履歴反応曲線は全体曲率変化の過程に対する関数（ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｏｆ ｅｎｔｉｒｅ ｃｕｒｖａｔｕｒｅ ｈｉｓｔｏｒｙ）であるため、物理的モデルを立てずに測定曲線を持ってシミュレーションすることは合理的ではない。
【００１１】
【発明が解決しようとする課題】
本発明の目的は、バックリング不安定性が存在しないモデルを使うことによって、微細なメッシング及び時間ステップを使わないとしても織物特有のしわになる様子と履歴現象を実際にシミュレーションする方法を提供することにある。
【００１２】
本発明の他の目的は、前記織物モデルを活用して織物の特性をさらによく反映し、バックリング不安定性問題を解決することによって、処理速度がより早い織物シミュレーション方法、及びこれを遂行するプログラムを保存したコンピュータ判読可能な記録媒体を提供することにある。
【００１３】
【課題を解決するための手段】
上記目的を達成するための本発明の提案するモデルは即座屈モデル、”催・高”−離散履歴モデル、”催・高”−連続履歴モデルである。即座屈モデルは織物を近似した変形単位両端に圧縮力が作用する場合（織物に圧縮力が印加される場合）、収縮せずに即時たわみ変形が発生するモデルであって、圧縮による織物の変形をシミュレーションすることに使用される。
【００１４】
”催・高”−離散履歴モデルは織物の履歴現象を有限個のスプリング−スリップユニットを使用してモデリングしたものであって、曲率とモーメント間の履歴現象をシミュレーションするのに使用される。”催・高”−連続履歴モデルは織物の履歴現象を無限個のスプリング−スリップユニットを使用してモデリングしたものであって、曲率とモーメント間の履歴現象をシミュレーションするのに使う。
【００１５】
この他にも、スプリングモデルは織物を近似した変形単位両端に引張力が作用する場合（織物に引張力が印加される場合）、これによる織物の変形をシミュレーションするのに使用される。
【００１６】
【発明の実施の形態】
以下では織物に作用する圧縮力及び引張力に対する織物の動きをそれぞれそれに適したモデルを使用して解析する。
【００１７】
（即座屈モデルによる織物のたわみ変形解析）
本発明では、織物に圧縮力が印加されれば圧縮力に抵抗するとか収縮せずに即時たわむモデルである即座屈モデルを使用して、織物のたわみ変形をシミュレーションする。この時たわみ変形によって織物に蓄積されたたわみ変形エネルギーは推定される変形形態から計算することができる。
【００１８】
図２を参照して圧縮力による織物のたわみ変形に対する変形エネルギーを求める過程を記述する。図２に図示された即座屈モデルは織物の所定変形単位の両端間を面積を持たないビームに近似化したものであるが、必ずしもそうする必要はなく、面積を持つ板に近似化することもでき、これについては後ほど説明する。
【００１９】
図２によれば、圧縮力が加えられる前、即ちバックリング以前には所定の変形単位は両端間の長さがＬ１である直線ビーム形態である。バックリングを起こした後に前記構造は図示されたように安定的な平衡状態（たわみ）に到達する。一例として、本発明では一定する長さを持つ円弧に平衡状態の形状を近似する。即ち、変形の前と後の両端の間の長さ自体は共にＬ１で変化がなく（即ち、収縮変形を起こさず）、Ｌ１長さの直線がＬ１長さの円弧に変形（たわみ変形だけ発生する）すると近似する。
【００２０】
推定された形状のたわみ変形エネルギーは次の関係式から求められる。
【００２１】
【数１】
【００２２】
ここで、Ｍはたわみモーメントで、Ｋは曲率であり、全体的に曲率が一定し、曲率とたわみモーメントの関係が線形的（Ｍ＝ｋｂＫ）であると一旦仮定すれば（非線形である場合に対しては追後記述される）、たわみ変形エネルギーは次のとおりである。
【００２３】
【数２】
【００２４】
ここで、ｋｂはたわみ剛性率を表す。
【００２５】
円弧の長さが最初の直線長さＬ１と同じであると仮定することによって、曲率Ｋは両端の間の距離である｜ｘｉｊ１｜だけを使用して次のように表現され、
【００２６】
【数３】
【００２７】
式（３）を式（２）に代入して微分すれば力ベクトルは次のように誘導される。
【００２８】
【数４】
【００２９】
図５は圧縮力と変形単位の両端間の距離の関数関係を示したグラフである。図５に示されたように、本発明は即座屈モデルを使用するため、圧縮力が印加されると、圧縮力を加える瞬間バックリングが発生する（収縮変形なしに即時たわむ）。その後、しきい値（Ｐｃｒ）以上の圧縮力が印加されれば相当な大きさのたわみ変形を起こす。ここで、しきい値以下の圧縮力に対する変形は図６に示されたように直線に近似する。即ち、
【数５】
ここで、ｃｂは任意に選択した定数である。
【００３０】
このように曲線を近似したとしても、結果には大きい差がない。
【００３１】
上述した力ベクトルのヤコビアンマトリックスは次のように誘導される。
【００３２】
【数６】
【００３３】
【数７】
は常に正数であるが、
【数８】
は常に負数であるため、二番目の項はシステムマトリックスの特異性問題を引き起こす可能性がある。従って、二番目の項を削除する。上述した過程を通じて求めた、負数項を削除したヤコビアンマトリックスは即座屈モデルを使用して織物のたわみ変形を解析した最終結果である。
【００３４】
上述した実施例では織物の所定変形単位両端の間の領域を面積を持たないビームにモデリングしたが、必ずしもそうする必要はなく、面積を持つ板にモデリングすることもできる。この領域を図３に示されたように三角形態の板にモデリングする場合にたわみ変形エネルギーは、
【数９】
のようになる。（ここで、ＡｉとＡｊは図示されたように面積を意味する。）
【００３５】
この場合に力ベクトルは、
【数１０】
のように得られる。以後の過程はビームにモデリングした場合と同一である。ただし、この場合、平衡状態の幾何学的形状は円筒状であると仮定する。
【００３６】
上記では平衡状態に到達した安定した構造を円弧または円筒と仮定したが、シミュレーション結果は仮定された幾何学的形状に大きく左右されないため、他の形状と仮定することができる。
【００３７】
（履歴モデルによる織物のたわみ変形解析）
上述した即座屈モデルで変形エネルギーを求める時、構造体の曲率（ｃｕｒｖａｔｕｒｅ）とたわみモーメント（ｂｅｎｄｉｎｇ ｍｏｍｅｎｔ）とが線形的関係にあると仮定した。そのような仮定は絹のような織物にはよく適用することができるが、綿織物など多くの織物は履歴現象（ｈｙｓｔｅｒｅｓｉｓ）を有しているため、そのような仮定が適さない場合がある。図７は１００％純綿の場合たわみモーメントと曲率との関係が履歴特性を有していることを示す。
【００３８】
従来にはこのような履歴特性を織物シミュレーションに取り入れるために織物の履歴特性を測定した結果を直接使用したが、測定によって得られた履歴反応曲線は測定時の曲率変化とシミュレーション時の曲率変化とが等しい場合にのみ適用可能であるため、一般的に動力学的シミュレーションには適さない。
【００３９】
即ち、履歴反応曲線は全体曲率変化の過程に対する関数であるため、物理的モデルを立てずに測定曲線を持ってシミュレーションすることは合理的ではない。
【００４０】
一方、一般的に履歴現象は塑性と関連が深く、このような履歴現象を解析するために図８及び図９に示されたような履歴モデルを使用することは広く知られている。図８では理想的塑性を持ったスリップ（ｓｌｉｐ）ユニットを示し、モーメント（Ｆ）に対する曲率（Ｘ）の関係式をそれぞれ示しており、図９ではスプリングとスリップユニットを使用して基本的な履歴特性を物理的にモデリングした履歴モデルとそのモデルが表わす履歴特性を示した。しかし、図９に示されたように、基本的な履歴特性を表わす物理モデルは実際織物の履歴特性（図７参照）を近似するには不足である。
【００４１】
従って、基本的な履歴特性ではない織物特有の履歴特性を解釈するためには織物に適した履歴モデルを使う必要があり、本発明では新しい履歴モデルを使うことによって、図７のような実際織物の履歴反応曲線を作り上げることができるようになった。
【００４２】
これについて詳しく説明すると、本発明では塑性を持つスリップユニットｎ個と弾性を有するスプリングｎ＋１個を図１０に示されたように並列的方式で構成したモデルを使用して、モーメントと曲率の間の履歴特性をシミュレーションする。
【００４３】
図１０は本発明の一実施例として４個のスプリングと３個のスリップユニットとを連結して履歴モデルを構成した時の履歴反応曲線を示す。各スリップユニットとスプリングユニットの反応を参照すれば、全体モデルの反応曲線は線分の連続で、線分の傾きは原点から出発してそれぞれ Ｋ０＋Ｋ１＋Ｋ２＋Ｋ３，Ｋ０＋Ｋ２＋Ｋ３，Ｋ０＋Ｋ３，Ｋ０ になる。
【００４４】
図１０に示されたように、モーメントが縮小するようになれば反応曲線はＡ４Ａ５，Ａ５Ａ６，Ａ６Ａ７，Ａ７Ａ８，の経路に従うようになる。ここで、Ａ４Ａ５，Ａ５Ａ６，Ａ６Ａ７，Ａ７Ａ８，はＯＡ１，Ａ１Ａ２，Ａ２Ａ３，Ａ３Ａ４，とそれぞれ平行であるが、長さが２倍であるため非対称性が生ずるようになる。
【００４５】
本発明ではスリップユニットとスプリングの個数、そして各スリップユニットのしきいモーメント、各スプリングの定数の値を調節することによって任意の履歴特性を表現することができ、結果的に曲率Ｋに対するモーメント関数であるＭ（Ｋ）を得られるようになる。
【００４６】
上述した新しい履歴モデルを即座屈モデルによる織物のたわみ変形解析に適用させるためには、式（８）のＭの代りに履歴モデルによる関数Ｍ（Ｋ）を代入すれば良い。以下では上の履歴モデルを”催・高”−離散履歴モデルと称する。
【００４７】
さらに、本発明では、上述した履歴モデルに追加して、図１０の反応曲線が図１１の右側曲線で見られるように穏やかな曲線をなすようにする画期的な方法を開発した。本発明では上で導出した離散履歴モデルの反応曲線で塑性変形が起き始める部分から塑性変形が終わる部分（図１０のＡ１，Ａ３の間とＡ５，Ａ７の間）までを解析するにおいて、無限組のスプリング−スリップユニットが図１１の左側で見られるように並列連結されているモデルを使用する。
【００４８】
ここで、一番目のしきい値に到達するスリップユニットのしきい値をσｍｉｎ、最後にしきい値に到達するスリップユニットのしきい値をσｍａｘとすると、無限個のスリップユニットしきい値は［σｍｉｎ，σｍａｘ］の間で均一に分布し、スリップユニットと直列で連結されるすべてのスプリングの定数は（無限小の値で）等しいとしてモデリングする。
【００４９】
この時、Ｋをスプリング定数の総合を曲線の上の部分の中で塑性変形が起きる区間の長さで分けた値とし、図１０の説明によれば、この場合反応曲線の傾きの変化率が一定するため、
【数１１】
となる。ここで、二つの条件さえ与えれば履歴曲線の曲線部分に該当する２次関数が唯一決定される。反応曲線の下の部分は長さが２倍であることを勘案して、
【数１２】
にモデリングすることができる。ただし、２次導関数の絶対値の大きさがこのように半分になるのは、すでにしきい値を超えたスリップユニット分に限られ、まだしきい値を超えていないスリップユニットに対しては
【数１３】
を使用しなければならない。図１１の右側に示された曲線は本発明の極限履歴モデルによって導出された履歴曲線の一実施例を示したものである。
【００５０】
極限履歴モデルで特記するに値する事実は有限個のスリップユニットを使用した時は各スリップユニットの状態を保存しなければならなかったが、無限個を使うことによってむしろ保存用量を減らすことができるとともに、より実際に近い履歴特性をシミュレーションすることができるということである。以下では上の極限履歴モデルを”催・高”−連続履歴モデルと称する。
【００５１】
（スプリングモデルによる織物の引張変形解析）
引張力が織物に印加される場合には織物の所定変形単位の両端の間にスプリングモデルを使うことによって、織物の動きをシミュレーションする。圧縮力が印加された場合と同様に、ここでも引張力によって所定の変形単位に蓄積された引張変形エネルギーを求めることによって、引張力による織物の動きをシミュレーションする。引張変形エネルギー関数は次のとおりである。
【００５２】
【数１４】
【００５３】
ここでｘｉｊ２は所定変形単位の両端間の距離であり、Ｌ２は引張力が印加されない状態での距離で、ｋｓはスプリング定数である。｜ｘｉｊ２｜πＬ２である場合には変形エネルギーが０であるため、粒子の間に引張力が作用する場合にだけ前記モデルが適用されることが分かる。
【００５４】
前記エネルギー式から、所定変形単位の両端間のどこかの位置に作用する力は
【数１５】
のように表現され、
前記力ベクトルのヤコビアンマトリックスは、
【数１６】
のようになる。
【００５５】
前記ヤコビアンマトリックスの第一項は線形スプリングを利用して織物に引張力が作用する場合をモデリングした結果であって、引張力による相互作用方向での剛性（ｓｔｉｆｆｎｅｓｓ）が一定であることを意味する。二番目の項は相互作用方向に直交する方向での剛性が、
【数１７】
に比例することを意味する。織物が平面形状であるため、相互作用に直交する方向は平面に垂直な方向に該当する。
【００５６】
スプリングモデルは引張力が作用する場合にのみ適用されるモデルであるため、｜ｘｉｊ２｜の値はＬ２より大きくなるしかないため
【数１８】
の値は１より小さい正数になって、このシステムは安定的である。もし、スプリングモデルを圧縮力が作用する場合に適用すると、｜ｘｉｊ２｜の値が０に近接することによって
【数１９】
の値はマイナスの無限大に発散するため、全体システムマトリックス
【数２０】
は時間ステップの大きさにかかわらず特異性問題が生ずる可能性がある。従って、本発明では圧縮力が作用する場合にはスプリングモデルを使用しない。
【００５７】
参照に、従来技術である［Ｖｏｌｉｎｏ ａｎｄ Ｍａｇｎｅｎａｔ−Ｔｈａｌｍａｎｎ ２０００］では引張と圧縮のいずれに対しても等しいスプリングモデルを使用し、式（１２）のヤコビアンマトリックスの２番目の項を引張と圧縮でいずれも省略する。さらに、２番目の項の省略によって直交方向での固有値がゼロになることを防止するためにダンピング項を追加する。このように、ダンピング項を追加することによって、システムマトリックスの状態を改善することはできるが、織物の動きに不必要な高い抵抗を引き起こすことで、織物の特性をまともに反映することができない。
【００５８】
本発明では圧縮力の作用に関しては収縮変形なしで即時たわみ変形を起こす即座屈モデルを使用し、引張力の作用に関してはスプリングモデルを使うことによって、仮想のダンピング項を追加しなくともシステムマトリックスの不安定性を解消することができるため、織物の特性をよりよく反映してシミュレーションできる。
【００５９】
【発明の効果】
以上説明したように、本発明は即座屈モデルとスプリングモデルを使用してそれぞれ圧縮力と引張力による変形をシミュレーションすることによって、バックリング現象の構造的不安定性を解決して織物の動きを早い速度でシミュレーションでき、”催・高”−離散履歴モデルと”催・高”−連続履歴モデルを使用して織物の履歴特性をよりよく反映する織物動きをシミュレーションできる。
【００６０】
以上は本発明を例をあげて説明したものであり、本発明は上述した例に限定されず、本発明の権利は添付された特許請求の範囲に記載したことによって決定される。さらに、当業界に従事する者によって本発明の多様な変更例を実施することができるが、これは皆本発明の権利範囲に属することを明らかにする。
【図面の簡単な説明】
【図１】剛性物質のバックリング現象を説明するための剛性物質の近似図である。
【図２】即座屈モデルによって織物のたわみ変形を近似する近似図の一例である。
【図３】即座屈モデルによって織物のたわみ変形を近似する近似図の他の一例である。
【図４】織物が不安定なバックリング状態を経て平衡状態に到達した場合の織物変形の一例を示した図面である。
【図５】即座屈モデルで圧縮力の変化に対して両端に位置した粒子間距離の変化を示したグラフである。
【図６】即座屈モデルで圧縮力の変化に対して両端に位置した粒子間距離の変化を近似的に示したグラフである。
【図７】純綿の場合に測定された実際履歴応答曲線を示したグラフである。
【図８】スリップユニットの構成とその反応を示した図である。
【図９】スプリング２個とスリップユニットとを組み合わせた構成とその反応を示した図である。
【図１０】本発明によって織物の履歴特性をモデリングするためにスリップユニットとスプリングとを組み合わせた一実施例とその反応を示した図である。
【図１１】本発明によって織物の履歴特性をモデリングするために無限個のスプリング−スリップユニットを組み合わせた実施例とその反応を示した図である。
【発明の属する技術分野】
本発明は、織物の動きをシミュレーションする方法及びこれを遂行するプログラムを保存したコンピュータ判読可能な記録媒体に関し、より詳しくは、織物を近似した変形単位両端に作用する圧縮力による織物変形は収縮なしに即時たわみ変形される即座屈モデルによってシミュレーションし、引張力による織物変形はスプリングモデルによってシミュレーションし、織物の履歴特性は新しい履歴モデルである”催・高”−離散履歴モデルと”催・高”−連続履歴モデルを使用してモデリングすることによって、織物の特性をよく反映し、バックリング不安定性問題を解消して処理速度を向上させたシミュレーション方法及び記録媒体に関する。
【０００２】
【従来の技術】
一般的に、薄い構造体はたわみに対する弱い抵抗性と引張力に対する強い抵抗性を持っている。このような特性のために薄い構造体の動きは剛性微分方程式を解くことに帰結される。薄い構造体の両端に圧縮力が印加されれば圧縮力による長手方向の収縮が起きる。圧縮力が増加してしきい値（Ｐｃｒ）を越せば薄い構造体は圧縮力に垂直な方向へたわみ、これをバックリングと称する。このバックリングは瞬間的に発生する変形であるため非常に不安定な反応であり、このようなバックリング反応をシミュレーションすることは微分方程式の数値的解釈において発散の問題を引き起こす。
【０００３】
ここで言うバックリング不安定性とは、圧縮力が減少してもたわみ変形（バックリング）はむしろ増加する特性を意味する。言い換えれば、不安定なバックリング状態ではバックリング方向での物質の剛性率は瞬間的にマイナスの値になる。このようなバックリング不安定性はシステムマトリックスに特異性の問題を引き起こすので、有限な時間ステップのシミュレーションでは発散してしまう問題が生じる可能性がある。
【０００４】
従来の織物シミュレーションではこのようなバックリング不安定性が存在するモデルを使用したため、織物に皺ができる現象をシミュレーションしにくかった。バックリング不安定性は数値的不安定性ではなくて構造体の構造的不安定性からはじまったものであるため、単純に微分方程式を暗示的（ｉｍｐｌｉｃｉｔ）に積分すると言って解決されるものではない。
【０００５】
従来にはシステムマトリックスにダンピング力に関する項を付け加えてこのようなバックリング不安定性問題を解決しようとした。しかし、このようなダンピング力の付加はシステムを安定させることはできるが、織物の自然な動きを具現するには障害となる。即ち、ダンピング力は織物表面に皺が形成されるのを妨害したり、生成された皺が消滅するのに抵抗する要素として作用するようになる。
【０００６】
よって、単純にダンピング力を付加することは織物の動きのシミュレーションに望ましくない。
【０００７】
さらに、従来には織物をモデリングするにあたり、連続体モデルを使用したが、このようなモデリングは次のような点で望ましくない結果を生んだ。即ち、コンピュータグラフィック分野では合理的な性能を保障するために粗い離間化が許容されなければならないが、連続体モデルでは織物の大きい変形を作り上げるためにとても微細なメッシングが要求されるため、合理的な処理速度を具現することができなくなる。
【０００８】
また、連続体モデルを使う場合にはバックリングと連関された発散問題を扱うために多くの追加的な演算を必要とする。［Ｅｉｓｃｈｅｎ ｅｔ ａｌ．１９９６］には衣服に対する非線形シェルモデルを利用し、有限要素解釈を遂行して皺形状を得た。ここでは荷重−変形曲線の非線形成に起因した発散またはバックリングによるシステムマトリックスの特異性問題を防止するために弧の長さ（ａｒｃ ｌｅｎｇｔｈ）制御のような手段を利用しなければならなかった。さらに、発散しないように特別な注意を傾けなければならなかった。
【０００９】
［Ｂａｒａｆｆ ａｎｄ Ｗｉｔｋｉｎ １９９８］では連続体の三角形が互いに連結されているモデルを提案し、平面方向での変形エネルギーは連続体構造公式から誘導し、たわみ変形測定は隣接した三角形の間の角度から誘導することによって、たわみ変形と平面方向変形を独立して扱った。このような独立的な取り扱いは各三角形の平面方向剛性と関係なく三角形の間で大量のたわみ変形を許容するという点で連続体モデルの短所を補うことができるが、各三角形が圧縮不可能な物質にモデリングされており、三角形の間のたわみ剛性が非常に弱いため、バックリング不安定性が相変らず問題となり得る。
【００１０】
また、従来には織物の履歴特性を織物シミュレーションに導入するために織物の履歴特性を測定した結果を直接使用したが、測定によって得られた履歴反応曲線（ｈｙｓｔｅｒｅｔｉｃ ｒｅｓｐｏｎｓｅ ｃｕｒｖｅ）は測定時の曲率変化とシミュレーション時の曲率変化とが等しい場合にだけ適用可能であるため、一般的に動力学的（ｄｙｎａｍｉｃ）シミュレーションには適さない。即ち、履歴反応曲線は全体曲率変化の過程に対する関数（ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｏｆ ｅｎｔｉｒｅ ｃｕｒｖａｔｕｒｅ ｈｉｓｔｏｒｙ）であるため、物理的モデルを立てずに測定曲線を持ってシミュレーションすることは合理的ではない。
【００１１】
【発明が解決しようとする課題】
本発明の目的は、バックリング不安定性が存在しないモデルを使うことによって、微細なメッシング及び時間ステップを使わないとしても織物特有のしわになる様子と履歴現象を実際にシミュレーションする方法を提供することにある。
【００１２】
本発明の他の目的は、前記織物モデルを活用して織物の特性をさらによく反映し、バックリング不安定性問題を解決することによって、処理速度がより早い織物シミュレーション方法、及びこれを遂行するプログラムを保存したコンピュータ判読可能な記録媒体を提供することにある。
【００１３】
【課題を解決するための手段】
上記目的を達成するための本発明の提案するモデルは即座屈モデル、”催・高”−離散履歴モデル、”催・高”−連続履歴モデルである。即座屈モデルは織物を近似した変形単位両端に圧縮力が作用する場合（織物に圧縮力が印加される場合）、収縮せずに即時たわみ変形が発生するモデルであって、圧縮による織物の変形をシミュレーションすることに使用される。
【００１４】
”催・高”−離散履歴モデルは織物の履歴現象を有限個のスプリング−スリップユニットを使用してモデリングしたものであって、曲率とモーメント間の履歴現象をシミュレーションするのに使用される。”催・高”−連続履歴モデルは織物の履歴現象を無限個のスプリング−スリップユニットを使用してモデリングしたものであって、曲率とモーメント間の履歴現象をシミュレーションするのに使う。
【００１５】
この他にも、スプリングモデルは織物を近似した変形単位両端に引張力が作用する場合（織物に引張力が印加される場合）、これによる織物の変形をシミュレーションするのに使用される。
【００１６】
【発明の実施の形態】
以下では織物に作用する圧縮力及び引張力に対する織物の動きをそれぞれそれに適したモデルを使用して解析する。
【００１７】
（即座屈モデルによる織物のたわみ変形解析）
本発明では、織物に圧縮力が印加されれば圧縮力に抵抗するとか収縮せずに即時たわむモデルである即座屈モデルを使用して、織物のたわみ変形をシミュレーションする。この時たわみ変形によって織物に蓄積されたたわみ変形エネルギーは推定される変形形態から計算することができる。
【００１８】
図２を参照して圧縮力による織物のたわみ変形に対する変形エネルギーを求める過程を記述する。図２に図示された即座屈モデルは織物の所定変形単位の両端間を面積を持たないビームに近似化したものであるが、必ずしもそうする必要はなく、面積を持つ板に近似化することもでき、これについては後ほど説明する。
【００１９】
図２によれば、圧縮力が加えられる前、即ちバックリング以前には所定の変形単位は両端間の長さがＬ１である直線ビーム形態である。バックリングを起こした後に前記構造は図示されたように安定的な平衡状態（たわみ）に到達する。一例として、本発明では一定する長さを持つ円弧に平衡状態の形状を近似する。即ち、変形の前と後の両端の間の長さ自体は共にＬ１で変化がなく（即ち、収縮変形を起こさず）、Ｌ１長さの直線がＬ１長さの円弧に変形（たわみ変形だけ発生する）すると近似する。
【００２０】
推定された形状のたわみ変形エネルギーは次の関係式から求められる。
【００２１】
【数１】
ここで、Ｍはたわみモーメントで、Ｋは曲率であり、全体的に曲率が一定し、曲率とたわみモーメントの関係が線形的（Ｍ＝ｋｂＫ）であると一旦仮定すれば（非線形である場合に対しては追後記述される）、たわみ変形エネルギーは次のとおりである。
【００２３】
【数２】
ここで、ｋｂはたわみ剛性率を表す。
【００２５】
円弧の長さが最初の直線長さＬ１と同じであると仮定することによって、曲率Ｋは両端の間の距離である｜ｘｉｊ１｜だけを使用して次のように表現され、
【００２６】
【数３】
式（３）を式（２）に代入して微分すれば力ベクトルは次のように誘導される。
【００２８】
【数４】
図５は圧縮力と変形単位の両端間の距離の関数関係を示したグラフである。図５に示されたように、本発明は即座屈モデルを使用するため、圧縮力が印加されると、圧縮力を加える瞬間バックリングが発生する（収縮変形なしに即時たわむ）。その後、しきい値（Ｐｃｒ）以上の圧縮力が印加されれば相当な大きさのたわみ変形を起こす。ここで、しきい値以下の圧縮力に対する変形は図６に示されたように直線に近似する。即ち、
【数５】
【００３０】
このように曲線を近似したとしても、結果には大きい差がない。
【００３１】
上述した力ベクトルのヤコビアンマトリックスは次のように誘導される。
【００３２】
【数６】
【数７】
【数８】
【００３４】
上述した実施例では織物の所定変形単位両端の間の領域を面積を持たないビームにモデリングしたが、必ずしもそうする必要はなく、面積を持つ板にモデリングすることもできる。この領域を図３に示されたように三角形態の板にモデリングする場合にたわみ変形エネルギーは、
【数９】
【００３５】
この場合に力ベクトルは、
【数１０】
【００３６】
上記では平衡状態に到達した安定した構造を円弧または円筒と仮定したが、シミュレーション結果は仮定された幾何学的形状に大きく左右されないため、他の形状と仮定することができる。
【００３７】
（履歴モデルによる織物のたわみ変形解析）
上述した即座屈モデルで変形エネルギーを求める時、構造体の曲率（ｃｕｒｖａｔｕｒｅ）とたわみモーメント（ｂｅｎｄｉｎｇ ｍｏｍｅｎｔ）とが線形的関係にあると仮定した。そのような仮定は絹のような織物にはよく適用することができるが、綿織物など多くの織物は履歴現象（ｈｙｓｔｅｒｅｓｉｓ）を有しているため、そのような仮定が適さない場合がある。図７は１００％純綿の場合たわみモーメントと曲率との関係が履歴特性を有していることを示す。
【００３８】
従来にはこのような履歴特性を織物シミュレーションに取り入れるために織物の履歴特性を測定した結果を直接使用したが、測定によって得られた履歴反応曲線は測定時の曲率変化とシミュレーション時の曲率変化とが等しい場合にのみ適用可能であるため、一般的に動力学的シミュレーションには適さない。
【００３９】
即ち、履歴反応曲線は全体曲率変化の過程に対する関数であるため、物理的モデルを立てずに測定曲線を持ってシミュレーションすることは合理的ではない。
【００４０】
一方、一般的に履歴現象は塑性と関連が深く、このような履歴現象を解析するために図８及び図９に示されたような履歴モデルを使用することは広く知られている。図８では理想的塑性を持ったスリップ（ｓｌｉｐ）ユニットを示し、モーメント（Ｆ）に対する曲率（Ｘ）の関係式をそれぞれ示しており、図９ではスプリングとスリップユニットを使用して基本的な履歴特性を物理的にモデリングした履歴モデルとそのモデルが表わす履歴特性を示した。しかし、図９に示されたように、基本的な履歴特性を表わす物理モデルは実際織物の履歴特性（図７参照）を近似するには不足である。
【００４１】
従って、基本的な履歴特性ではない織物特有の履歴特性を解釈するためには織物に適した履歴モデルを使う必要があり、本発明では新しい履歴モデルを使うことによって、図７のような実際織物の履歴反応曲線を作り上げることができるようになった。
【００４２】
これについて詳しく説明すると、本発明では塑性を持つスリップユニットｎ個と弾性を有するスプリングｎ＋１個を図１０に示されたように並列的方式で構成したモデルを使用して、モーメントと曲率の間の履歴特性をシミュレーションする。
【００４３】
図１０は本発明の一実施例として４個のスプリングと３個のスリップユニットとを連結して履歴モデルを構成した時の履歴反応曲線を示す。各スリップユニットとスプリングユニットの反応を参照すれば、全体モデルの反応曲線は線分の連続で、線分の傾きは原点から出発してそれぞれ Ｋ０＋Ｋ１＋Ｋ２＋Ｋ３，Ｋ０＋Ｋ２＋Ｋ３，Ｋ０＋Ｋ３，Ｋ０ になる。
【００４４】
図１０に示されたように、モーメントが縮小するようになれば反応曲線はＡ４Ａ５，Ａ５Ａ６，Ａ６Ａ７，Ａ７Ａ８，の経路に従うようになる。ここで、Ａ４Ａ５，Ａ５Ａ６，Ａ６Ａ７，Ａ７Ａ８，はＯＡ１，Ａ１Ａ２，Ａ２Ａ３，Ａ３Ａ４，とそれぞれ平行であるが、長さが２倍であるため非対称性が生ずるようになる。
【００４５】
本発明ではスリップユニットとスプリングの個数、そして各スリップユニットのしきいモーメント、各スプリングの定数の値を調節することによって任意の履歴特性を表現することができ、結果的に曲率Ｋに対するモーメント関数であるＭ（Ｋ）を得られるようになる。
【００４６】
上述した新しい履歴モデルを即座屈モデルによる織物のたわみ変形解析に適用させるためには、式（８）のＭの代りに履歴モデルによる関数Ｍ（Ｋ）を代入すれば良い。以下では上の履歴モデルを”催・高”−離散履歴モデルと称する。
【００４７】
さらに、本発明では、上述した履歴モデルに追加して、図１０の反応曲線が図１１の右側曲線で見られるように穏やかな曲線をなすようにする画期的な方法を開発した。本発明では上で導出した離散履歴モデルの反応曲線で塑性変形が起き始める部分から塑性変形が終わる部分（図１０のＡ１，Ａ３の間とＡ５，Ａ７の間）までを解析するにおいて、無限組のスプリング−スリップユニットが図１１の左側で見られるように並列連結されているモデルを使用する。
【００４８】
ここで、一番目のしきい値に到達するスリップユニットのしきい値をσｍｉｎ、最後にしきい値に到達するスリップユニットのしきい値をσｍａｘとすると、無限個のスリップユニットしきい値は［σｍｉｎ，σｍａｘ］の間で均一に分布し、スリップユニットと直列で連結されるすべてのスプリングの定数は（無限小の値で）等しいとしてモデリングする。
【００４９】
この時、Ｋをスプリング定数の総合を曲線の上の部分の中で塑性変形が起きる区間の長さで分けた値とし、図１０の説明によれば、この場合反応曲線の傾きの変化率が一定するため、
【数１１】
【数１２】
【数１３】
【００５０】
極限履歴モデルで特記するに値する事実は有限個のスリップユニットを使用した時は各スリップユニットの状態を保存しなければならなかったが、無限個を使うことによってむしろ保存用量を減らすことができるとともに、より実際に近い履歴特性をシミュレーションすることができるということである。以下では上の極限履歴モデルを”催・高”−連続履歴モデルと称する。
【００５１】
（スプリングモデルによる織物の引張変形解析）
引張力が織物に印加される場合には織物の所定変形単位の両端の間にスプリングモデルを使うことによって、織物の動きをシミュレーションする。圧縮力が印加された場合と同様に、ここでも引張力によって所定の変形単位に蓄積された引張変形エネルギーを求めることによって、引張力による織物の動きをシミュレーションする。引張変形エネルギー関数は次のとおりである。
【００５２】
【数１４】
ここでｘｉｊ２は所定変形単位の両端間の距離であり、Ｌ２は引張力が印加されない状態での距離で、ｋｓはスプリング定数である。｜ｘｉｊ２｜πＬ２である場合には変形エネルギーが０であるため、粒子の間に引張力が作用する場合にだけ前記モデルが適用されることが分かる。
【００５４】
前記エネルギー式から、所定変形単位の両端間のどこかの位置に作用する力は
【数１５】
前記力ベクトルのヤコビアンマトリックスは、
【数１６】
【００５５】
前記ヤコビアンマトリックスの第一項は線形スプリングを利用して織物に引張力が作用する場合をモデリングした結果であって、引張力による相互作用方向での剛性（ｓｔｉｆｆｎｅｓｓ）が一定であることを意味する。二番目の項は相互作用方向に直交する方向での剛性が、
【数１７】
【００５６】
スプリングモデルは引張力が作用する場合にのみ適用されるモデルであるため、｜ｘｉｊ２｜の値はＬ２より大きくなるしかないため
【数１８】
【数１９】
【数２０】
【００５７】
参照に、従来技術である［Ｖｏｌｉｎｏ ａｎｄ Ｍａｇｎｅｎａｔ−Ｔｈａｌｍａｎｎ ２０００］では引張と圧縮のいずれに対しても等しいスプリングモデルを使用し、式（１２）のヤコビアンマトリックスの２番目の項を引張と圧縮でいずれも省略する。さらに、２番目の項の省略によって直交方向での固有値がゼロになることを防止するためにダンピング項を追加する。このように、ダンピング項を追加することによって、システムマトリックスの状態を改善することはできるが、織物の動きに不必要な高い抵抗を引き起こすことで、織物の特性をまともに反映することができない。
【００５８】
本発明では圧縮力の作用に関しては収縮変形なしで即時たわみ変形を起こす即座屈モデルを使用し、引張力の作用に関してはスプリングモデルを使うことによって、仮想のダンピング項を追加しなくともシステムマトリックスの不安定性を解消することができるため、織物の特性をよりよく反映してシミュレーションできる。
【００５９】
【発明の効果】
以上説明したように、本発明は即座屈モデルとスプリングモデルを使用してそれぞれ圧縮力と引張力による変形をシミュレーションすることによって、バックリング現象の構造的不安定性を解決して織物の動きを早い速度でシミュレーションでき、”催・高”−離散履歴モデルと”催・高”−連続履歴モデルを使用して織物の履歴特性をよりよく反映する織物動きをシミュレーションできる。
【００６０】
以上は本発明を例をあげて説明したものであり、本発明は上述した例に限定されず、本発明の権利は添付された特許請求の範囲に記載したことによって決定される。さらに、当業界に従事する者によって本発明の多様な変更例を実施することができるが、これは皆本発明の権利範囲に属することを明らかにする。
【図面の簡単な説明】
【図１】剛性物質のバックリング現象を説明するための剛性物質の近似図である。
【図２】即座屈モデルによって織物のたわみ変形を近似する近似図の一例である。
【図３】即座屈モデルによって織物のたわみ変形を近似する近似図の他の一例である。
【図４】織物が不安定なバックリング状態を経て平衡状態に到達した場合の織物変形の一例を示した図面である。
【図５】即座屈モデルで圧縮力の変化に対して両端に位置した粒子間距離の変化を示したグラフである。
【図６】即座屈モデルで圧縮力の変化に対して両端に位置した粒子間距離の変化を近似的に示したグラフである。
【図７】純綿の場合に測定された実際履歴応答曲線を示したグラフである。
【図８】スリップユニットの構成とその反応を示した図である。
【図９】スプリング２個とスリップユニットとを組み合わせた構成とその反応を示した図である。
【図１０】本発明によって織物の履歴特性をモデリングするためにスリップユニットとスプリングとを組み合わせた一実施例とその反応を示した図である。
【図１１】本発明によって織物の履歴特性をモデリングするために無限個のスプリング−スリップユニットを組み合わせた実施例とその反応を示した図である。
Claims (20)
- 織物の動きをシミュレーションする方法において、織物を近似した変形単位両端に圧縮力が印加される場合、収縮せずに即時たわみ変形が発生する即座屈モデルを使うことを特徴とするシミュレーション方法。
- 織物の動きをシミュレーションする方法において、織物を近似した変形単位に発生したたわみ変形の形態を前記変形単位の両端間距離の関数で推定する段階を含むことを特徴とするシミュレーション方法。
- 織物の動きをシミュレーションする方法において、織物を近似した変形単位に発生したたわみ変形の形態を推定することによって前記変形単位に蓄積されたたわみ変形エネルギーを求める段階を含むことを特徴とするシミュレーション方法。
- 織物がたわみ変形を起こす場合、たわみ変形形態を表わす曲率とモーメント間の履歴特性をモデリングする手段として、前記手段はｎ（定数）個のスリップユニット、及びｎ＋１個のスプリングを含み、前記ｎ個のスリップユニットはそれぞれｎ個のスプリングと直列に連結されてｎ組のスプリング−スリップユニットを形成し、前記ｎ組のスプリング−スリップユニットと１個のスプリングとが並列接続されていることを特徴とする曲率とモーメント間の履歴特性をモデリングする手段。
- 前記スプリング−スリップユニットの組が無限組並列に接続されていることを特徴とする請求項４に記載の曲率とモーメント間の履歴特性をモデリングする手段。
- 前記推定する段階は、前記変形単位両端の距離に応じて前記変形単位の曲率を推定する段階、及び推定された曲率からたわみ変形の形態を推定する段階を含むことを特徴とする請求項２に記載のシミュレーション方法。
- 前記たわみ変形エネルギーを微分することによって、前記変形単位の両端間の位置による力ベクトルを求める段階、及び前記力ベクトルからヤコビアンマトリックスを求める段階を含み、前記ヤコビアンマトリックスは織物のたわみ変形をシミュレーションするための成分であることを特徴とする請求項３に記載のシミュレーション方法。
- 前記ヤコビアンマトリックスはマイナスの固有値を持つ項が除去されたことを特徴とする請求項７に記載のシミュレーション方法。
- 織物の動きをシミュレーションする方法において、前記曲率とモーメント間の履歴特性は請求項４または請求項５に記載した手段を使用して求めることを特徴とするシミュレーション方法。
- 織物を粒子モデルにモデリングする場合、前記変形単位は連続された、または隣接した複数の粒子から成り立つことを特徴とする請求項１、請求項２、請求項３、請求項６、請求項７、請求項８の中のいずれか一項に記載のシミュレーション方法。
- 織物の動きをシミュレーションする方法を遂行するプログラムが保存されたコンピュータ判読可能な記録媒体において、前記方法は、織物を近似した変形単位両端に圧縮力が印加される場合、収縮せずに即時たわみ変形が発生する即座屈モデルを使うことを特徴とするコンピュータ判読可能な記録媒体。
- 織物の動きをシミュレーションする方法を遂行するプログラムが保存されたコンピュータ判読可能な記録媒体において、前記方法は、織物を近似した変形単位に発生したたわみ変形の形態を前記変形単位の両端間距離の関数で推定する段階を含むことを特徴とするコンピュータ判読可能な記録媒体。
- 織物の動きをシミュレーションする方法を遂行するプログラムが保存されたコンピュータ判読可能な記録媒体において、前記方法は、織物を近似した変形単位に発生したたわみ変形の形態を推定することによって前記変形単位に蓄積されたたわみ変形エネルギーを求める段階を含むことを特徴とするコンピュータ判読可能な記録媒体。
- 前記推定する段階は、前記変形単位両端の距離に応じて前記変形単位の曲率を推定する段階、及び推定された曲率からたわみ変形の形態を推定する段階を含むことを特徴とする請求項１２に記載のコンピュータ判読可能な記録媒体。
- 前記たわみ変形エネルギーを微分することによって、前記変形単位の両端間の位置による力ベクトルを求める段階、及び前記力ベクトルからヤコビアンマトリックスを求める段階を含み、前記ヤコビアンマトリックスは織物のたわみ変形をシミュレーションするための成分であることを特徴とする請求項１３に記載のコンピュータ判読可能な記録媒体。
- 前記ヤコビアンマトリックスはマイナスの固有値を持つ項が除去されたことを特徴とする請求項１５に記載のコンピュータ判読可能な記録媒体。
- 織物の動きをシミュレーションする方法を遂行するプログラムが保存されたコンピュータ判読可能な記録媒体において、前記方法は、前記曲率とモーメント間の履歴特性は請求項４または請求項５に記載した手段を使用して求めることを特徴とするコンピュータ判読可能な記録媒体。
- 織物を粒子モデルにモデリングする場合、前記変形単位は連続された、または隣接した複数の粒子で成り立ったことを特徴とする請求項１１、請求項１２、請求項１３、請求項１４、請求項１５、請求項１６の中のいずれか一項に記載のコンピュータ判読可能な記録媒体。
- 織物の動きをシミュレーションする方法において、織物を近似した変形単位両端に圧縮力が印加される場合、収縮せずに即時たわみ変形が発生する即座屈モデルを使用して、圧縮力による前記変形単位の変形形態を推定する段階と、前記変形単位の前記推定された変形形態から前記変形単位に蓄積されたたわみ変形エネルギーを求める段階、及び前記たわみ変形エネルギーを利用して織物のたわみ変形をシミュレーションする段階を含むことを特徴とするシミュレーション方法。
- 織物の動きをシミュレーションする方法を遂行するプログラムが保存されたコンピュータ判読可能な記録媒体において、前記方法は、織物を近似した変形単位両端に圧縮力が印加される場合、収縮せずに即時たわみ変形が発生する即座屈モデルを使用して、圧縮力による前記変形単位の変形形態を推定する段階と、前記変形単位の前記推定された変形形態から前記変形単位に蓄積されたたわみ変形エネルギーを求める段階、及び前記たわみ変形エネルギーを利用して織物のたわみ変形をシミュレーションする段階を含むことを特徴とするコンピュータ判読可能な記録媒体。
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