JP2003509748A

JP2003509748A - データ圧縮のための３次スプライン補間の高速で効率のよい計算方法

Info

Publication number: JP2003509748A
Application number: JP2001522484A
Authority: JP
Inventors: チェン，ティー．シー．; トローング，ティー．ケー．; リード，アイ．エス．; ワン，エル．ジェイ．; フシー，ダブリュ．エス．
Original assignee: チェン，ティー．シー．; トローング，ティー．ケー．; リード，アイ．エス．
Priority date: 1999-09-03
Filing date: 2000-09-01
Publication date: 2003-03-11
Also published as: AU7346700A; WO2001018743A9; WO2001018743A1; CN1399766A

Abstract

(57)【要約】データ圧縮のための３次スプライン補間の計算のための高速で効率の良い方法が記載される(II)。一態様では、本発明は、圧縮信号を得るために、圧縮信号の変換を得ると共に、圧縮信号の変換の逆変換を計算する方法とシステムである(I)。

Description

【発明の詳細な説明】

【０００１】発明の分野本発明はデータ圧縮に関し、より詳しくは１−Ｄ信号と２−Ｄ信号の両信号の
ためのサブ標本信号と画像圧縮データへの新しい３次スプライン補間（ＣＳＩ）
に関する。発明の背景ほとんどのマルチメディアシステムにおいては、画像データ量は非常に大きく
画像データ圧縮の使用は殆ど必須である。画像データ圧縮により画像をリアルタ
イムにインターネット上で送信することができる。また、それは画像記憶のため
の要求を緩和させる。現在、空間データ削減技術と時間データ削減技術の両方と
も可能であり、画像データ圧縮の性能を絶えず改善し続けている。画像データ圧
縮の基本的な問題は圧縮比を増やすことと、計算の複雑性を受容可能な忠実度内
で減らすことである。

【０００２】補間は、一組の離散的標本点の中間値を推定する処理に使用出来るより重要な
機能の一つである。補間は、画像を拡大又は縮小するためと空間的な歪を補正す
るために、画像データ圧縮において幅広く用いられている。例えば、R. G. Keys
による「ディジタル画像処理のための３次畳み込み補間（Cubic Convolution ln
terpolation for Digital Image Processing ）」(音響、言語、および信号処理
についてのIEEE会報、vol.ASSP-29, no.6,pp.1153-1160、1981年12月、［１］)
を参照のこと。この内容は、本書に参照の形で明白に組み込まれている。一般に
、データ速度を減少する処理はデシメーションと呼ばれ、データ標本を増加する
処理は補間と呼ばれている。このことは、H. S. HouとH. C. Andrewsによる「画
像補間とディジタルフィルタ処理のための３次スプライン（Cubic Splines for
Image Interpolation and Digital Filtering）」(音響、言語、および信号処理
についてのIEEE会報、vol.ASSP-26, no.6, pp.508-517、19７８年12月、［２］)
に述べられている。その内容は、本書に参照の形で特に組み込まれている。

【０００３】直線補間、３次畳み込み補間、３次Ｂスプライン補間などのいくつかの補間関
数が画像データ圧縮処理で使用することができることは良く知られている。直線
補間については、W. K. Pratt による「ディジタル画像処理（Digital Image Pr
ocessing）」第2版、（John Wiley & Sons, Inc., New York、1991年、［３］）
を参照のこと。その内容は、本書に参照の形で特に組み込まれている。３次畳み
込み補間については、上記［１］と［３］を参照のこと。また、３次Ｂスプライ
ン補間については、C. de Boor による「スプラインの実用ガイド（A Practical
Guide to Splines）」（ニューヨーク：Springer-Verlag, 1978, [4] ）と、M.
UnserとA. AldroubiとM. Edenによる「Ｂスプライン信号処理：パートII−効率
的な設計と応用（ B-Spline Signal Processing: Part II-Efficient Design an
d Applications）」（信号処理についてのIEEE会報、vol.41, pp.834-848、19７
８年、［４］）と、UnserとA. AldroubiとM. Edenによる「情報損失が最小のデ
ィジタル画像の拡大または縮小（Enlargement or Reduction of Digital Images
with Minimum Loss of Information）」（画像処理についてのIEEE会報、vol.4
1, pp.247-258、19９５年3月、［６］［２］）これらの補間スキームの欠点は、一般にそれらが原画像と再生画像との間の誤
差を最小にするようになっていないことである。1981年にReed(I. S. Reedによ
る「直線スプライン補間を用いた画像データ圧縮についての注釈（ Notes on Im
age Data Compression using Linear Spline）」、米国、カリフォルニア州9008
9-2565、ロスアンジェルス、南カリフォルニア大学、電気工学部、Nov. 1981 [7
]、この内容は、本書に参照の形で組み込まれている。)が、1998年にReedとYu (
I. S. ReedとA. Yuによる「画像圧縮のための最適スプライン補間」、１９９８
年10月13日、米国特許第5822456号、[8]、この内容は、本書に参照の形で組み込
まれている。) が、画像データを再標本化するための直線スプライン補間スキー
ムを開発した。この直線スプライン補間は直線補間関数を有する最小２乗法に基
いている。

【０００４】［７，８］のReedの考えを拡張して、３次スプライン補間（CSI）アルゴリズ
ムと呼ばれる変形直線スプライン補間アルゴリズムが画像データのサブ標本化の
ための本発明の中で開発されている。（［８］で述べられ、America On Line^TM
(AOL)によって用いられている直線スプライン補間を、以下、本書の中では「Ａ
ＯＬアルゴリズム」と呼ぶ。）Ｂスプライン補間と異なる３次畳み込み補間は、３次Ｂスプライン補間方法の
それよりも更に効率よく行うことができることが［１］から導かれる。本発明に
置いては、新しいＣＳＩスキームが、最小２乗法をデシメーション処理のために
Keys［１］によって開発された３次スプライン補間と結合させている。また、３
次スプライン再構成が補間処理の中で用いられている。従って、ＣＳＩは、３次
Ｂスプライン補間［2, 4-6］と３次畳み込み補間のいずれとも全く異なる新しい
スキームを構成している。

【０００５】１−Ｄ信号と２−Ｄ信号の両信号のためのＣＳＩの概念は以下に述べられてい
る。更に、ＣＳＩスキームが、直線補間、３次畳み込み補間、３次Ｂスプライン
補間、および直線スプライン補間よりも再構成画像のためのより良い主観品質を
得ることが、コンピュータシミュレーションによって示されている。この新しい
ＣＳＩスキームの重要な特徴はＦＦＴ技術を用いて計算できることにある。ＣＳ
Ｉスキームの計算の複雑性は他の従来の手段よりもかなり少ない。

【０００６】本書に参照の形で述べられているW. B. Pennebaker とJ. L. Mitchellによる
「JPEG 静止画データ圧縮標準」（Van Nostrand Reinhold, ニューヨーク, 1993
年[9]）には、 JPEG 静止画データ圧縮標準が述べられている。JPEG（［９］参
照）アルゴリズムが国際的な静止画圧縮標準であることはよく知られている。従
来の JPEG アルゴリズムの欠点は、高圧縮比を得るために高量子化パラメータを
用いるときに、視覚的妨害を引起こすブロッキング効果を生じることである。本
発明の一実施態様は、高圧縮比のJPEG標準を改善すると共に良質な再構成画像を
保持するためのより簡単な変形JPEG符号器−復号器を含む。

【０００７】画像処理についてのIEEE会報に発表が受け付けられたT. K. Truong, L. J. Wa
ng, I. S. Reed, W. S. Hsieh, およびT.C. Chengによる「３次畳み込みスプラ
イン補間を用いた画像データ圧縮（Image data compression using cubic convo
lution spline interpolation）［10］−その内容は本書に参照の形で含まれて
いるが−の著者が、最近、高圧縮比を実現するために、JPEG符号器の前処理段階
として４対１の圧縮比を用いたCSIスキームと、逆JPEG復号器の後処理段階とし
て１対４の比の３次スプライン再構成を利用した、τ=2のための変形JPEG符号器
−復号器を提案した。

【０００８】そのような変形JPEG符号器においては、CSIスキームはJPEG符号器の前処理段
階である。それは、FFTアルゴリズムを用いて実行することができる。更に、変
形JPEG符号器の出力は送信される圧縮データを表す。それは予め計算し記憶でき
る。そのような変形JPEG 復号器においては、３次スプライン再構成はJPEG復号
器の後処理段階を構成する。この後処理段階は、ブロックベース符号化のブロッ
キング効果を減少するために提案された従来の後処理アルゴリズムと異なってい
る。これは、B. Ramamurthi とA. Gershoによる「ブロック符号化された画像の
非線形空間可変後処理（Nonlinear space variant post-processing of block c
oded images）」（音響、言語、信号処理についてのIEEE公報、vol. ASSP-34, p
p.1258-1267, １９８６年, [11]）と、 Y. Yang, N. Galatsanos、およびA. Kat
saggelosによる「ブロック変換圧縮画像の投影ベース空間適応再構成（Projecti
on-based spatially adaptive reconstruction of block-transform compressed
images）」（画像処理についてのIEEE 公報、vol.4, pp.896-908, １９９５年7
月 [12]）−その内容は本書に参照の形で含まれているが−の中で提案されてい
る。

【０００９】提案された後処理段階は３次畳み込み補間を用いた補間処理である。[10]にお
いては、コンピュータシミュレーションが、τ=2のための変形JPEG符号器−復号
器が、T.Laneによる「インディペンデントJPEGグループのフリー JPEGソフトウ
ェア（Independent JPEG Group’s free software）、1998年,[13]」−その内容
は本書に参照の形で含まれているが−と［９］の中で述べられているJPEGアルゴ
リズムよりも再構成画像のより良い主観品質と目標PSNRを得ることを示している
。更に、変形JPEG復号器は従来のJPEG復号器よりも少ない計算時間でよい。しか
し、τ=2のための変形JPEG符号器−復号器の欠点は、変形JPEG符号器のために必
要とされる計算時間が従来のJPEG符号器よりも大きいことである。

【００１０】従って、本発明の一つの点は、変形JPEG符号器を計算するための高速方法を述
べていることである。本発明のこの点において、変形JPEG符号器を計算するため
の新しい方法の速度が、再構成画像の良好な品質を保ちながら、従来のJPEG符号
器の約2倍であることが示されている。発明の要約本発明は１−Ｄ信号と２−Ｄ信号の両方をサブ標本化信号と画像圧縮データに
補間するための新しい３次スプライン補間（ＣＳＩ）を述べる。３次スプライン
関数をもった最小２乗法に基づくこの新しい補間スキームは、高速フーリエ変換
（ＦＦＴ）とウィノグラード（Winograd）離散的フーリエ変換（ＷＤＦＴ）ある
いはそのいずれかによって実行できる。その結果は従来手段によって得られるよ
りも簡単で高速な補間設計である。そのような新しいＣＳＩが平滑化のための最
も正確なアルゴリズムを生むことがコンピュータシミュレーションによって示さ
れる。直線補間、直線スプライン補間、３次畳み込み補間、および３次Ｂスプラ
イン補間は性能が劣る傾向にある。また、本発明においては、ＣＳＩスキームが
高速かつ効率の良い計算によって実行できることが示されている。提案された方
法はデシメーション処理において簡単な技術を用いている。それに元のＣＳＩア
ルゴリズムよりも実質的に少ない加算と乗算ですむ。

【００１１】本発明の一つの点は、３次スプライン・フィルタを定義し、フィルタを信号と
相関づけて相関信号を得、フィルタを自己相関付けて自己相関フィルタ係数を得
、相関信号と自己相関フィルタ係数の変換を計算し、相関信号の変換を自己相関
フィルタ係数で割って圧縮信号の変換を得、圧縮信号の変換の逆変換を計算して
圧縮信号を得るための方法とシステムである。この信号、フィルタ、および変換
は1次元または2次元とすることができる。更に、この変換は、高速フーリエ変換
（ＦＦＴ）または、重複セーブ・スキームを備えたウィノグラード離散的フーリ
エ変換であることができる。また、相関と自己相関のステップを簡単にするため
にゾーンフィルタを定義することができる。

【００１２】更に、新しいタイプの重複セーブ・スキームを利用して、より高い圧縮比のた
めに、実際の画像の中の二つのサブ画像間に発生する境界条件問題を解決するこ
とができる。本発明にはまた、非常に効率の良い9点ウィノグラード離散的フー
リエ変換（ＷＤＴＦ）を用いて、9対1の高圧縮比のために、ＣＳＩスキーム画像
を実行するのに必要なＦＦＴを置換できることが示されている。最後に、高速の
新しいＣＳＩアルゴリズムを合同写真エキスパートグループ（JPEG）標準と一緒
に用いて、画像データ圧縮のための変形JPEG符号器−復号器を設計することがで
きる。結果として、より高圧縮比のために、提案された変形JPEG符号器−復号器
は、より高品質の再構成画像を得ると共に、従来のJPEG方法とAmerica on Line
(AOL)アルゴリズムのいずれよりも計算時間が短くなる。

【００１３】本発明の目的、利点、および特徴が、以下の詳細記述と図面とから一層明らか
となる。詳細な説明本発明は、１−Ｄ信号と２−Ｄ信号のサブ・サンプル信号と画像圧縮データへ
の新しい３次スプライン補間（ＣＳＩ）である。３次スプライン関数を持つ最小
２乗法に基づくこの新しい補間スキームは、高速フーリエ変換（FFT）によって
実行することができる。更に、本発明の一実施態様においては、新しいタイプの
重複セーブ・スキームを利用して、より高い圧縮比のために、実際の画像の中の
二つのサブ画像間に発生する境界条件問題を解決することができる。本発明の一
実施態様においては、効率の良い9点ウィノグラード離散的フーリエ変換（ＷＤ
ＴＦ）を用いて、9対1の高圧縮比のために、ＣＳＩスキーム画像を実行するのに
必要なＦＦＴを置換する。最後に、高速の新しいＣＳＩアルゴリズムを合同写真
エキスパートグループ（JPEG）標準と一緒に用いて、画像データ圧縮のための変
形JPEG符号器−復号器を設計する。

【００１４】良好な画像品質を持ったτ=2のための変形JPEG符号器を高速にするために、Ｃ
ＳＩスキームの圧縮比を９対１（τ=3）まで拡張する。しかしながら、もしＣＳ
Ｉスキームの圧縮比を上げると、非常に多くの加算と掛算を含む追加計算が必要
となる。従って、本発明においては、ＣＳＩのための新しい高速かつ効率の良い
アルゴリズムが開発される。高速３次スプライン補間（FCSI）スキームと呼ばれ
るこの新アルゴリズムの基本的な考えは、ＣＳＩスキームに基いているが、元の
ＣＳＩスキームに用いられたものよりも簡単な形式となっている。FCSIスキーム
は、増加圧縮比に要求される追加計算の複雑性を実質的に緩和する。更に、新FC
SIのためのA_jij2-kik2項を計算するために用いる定数α,β,γ,δは本発明の中
で詳細に正確に計算される。

【００１５】圧縮される実際のτ=3画像に対しては、新規な重複セーブ・サブ画像法を用い
て、必要な境界条件を解明する。また、FFTの代わりに9点ウィノグラード（ＷＤ
ＴＦ）を用いる簡単で効率的なアルゴリズムを実行して実際の画像を圧縮する。
コンピュータ計算は、サイズ512×512のいくつかの灰色画像に対して、400MHzの
Intel Pentium Ilのパソコン上で、新重複セーブ・サブ画像法と9点ウィノグラ
ードＤＴＦによって実行されるFCSI符号器の計算時間を劇的に減少できることを
示している。

【００１６】このFCSI符号器は、９対１の圧縮比（τ=3）において、もとのCSI符号器が約0
.57秒であるのに対して約0.15秒である。また、新FCSIスキームは本発明の中で
考慮されている他のもっと複雑なゾーンフィルタのすべてと同様のPSNRを得る。
最後に、τ=3のこのFCSIスキームはJPEG標準と組み合わされて、カラー画像符号
化のために変形JPEG符号器を高速にすると共に、高圧縮比のためにJPEGアルゴリ
ズムよりも良品質の再構成画像を得る。言い換えると、τ=3の変形JPEG符号器は
、τ=2の変形JPEG符号器[10]、従来のJPEG符号器[13]、およびAOLアルゴリズム[
8]よりも、それぞれ0.71秒、0.38秒、および0.67秒少ない時間ですむ。

【００１７】本書は以下のように構成される。第II節にこの新しい補間方法のための符号化
アルゴリズムが詳細に導かれている。また、FFTの特性と畳み込み理論がＣＳＩ
スキームを計算するために用いることができることが示されている。復号化アル
ゴリズムは第III 節で説明されている。第IV節にFCSI計算が説明されている。FC
SIに必要な定数が第V 節に計算されている。新しいタイプの重複セーブ・サブ画
像技術とウィノグラードＤＴＦアルゴリズムを用いた新しいFCSIアルゴリズム
が第VI節で開発されている。第VII 節に変形JPEG符号器−復号器が示されている
。最後に、実験結果が第VIII節に示されている。 II．新補間方法のための符号化アルゴリズム CSIスキームに伴う符号化は画像データ圧縮を行うのに必要なデシメーション
処理を利用している。CSIスキームの原理は３次スプライン関数を用いた最小２
乗法によって信号データ又は画像データのサンプル値を再計算することである。
本節においては、この新しい提案方法が以下の通り1−D信号と2−D信号の両方に
適用されることを示す。Ａ．１−D信号のためのCSI τを正の整数に固定する。また、データ関数X(t)を周期nτの周期関数とする
。ここで、nは整数である。n=5の場合のX(t)の例が図1に示されている。 [1]か
ら、図2に示される1−D３次スプライン関数R(t)が式(1)によって定義される。

【００１８】

【数２９】

【００１９】次の式が３次スプライン関数のシフト関数を定義するために必要である。 Ψ_k(t)=R(t-kτ)、ただし0≦k≦n-1 (2) n=6の場合のシフト関数Ψ_k(t)の一例を図3に示す。目標は最小2乗の形の次式
で与えられるn点の和によってX(t)を近似することである。

【００２０】

【数３０】

【００２１】ここで、X₀,---, X_n-1は送信または記憶される圧縮データを表すサンプリング点
での再構成値である。式(3)の関数S(t)は重みX₀,---, X_n-1を用いた関数X(t)の
３次スプライン再構成である。 [7]から、X(t)に対するS(t)の最小2乗近似が以
下の式で定義される。

【００２２】

【数３１】

【００２３】ここで、和はデータの1周期nτプラス2τに亘ってとられる。図1は周期5τの典型的な周期関数を示す。図2は典型的な３次スプライン関数で
ある。図3はn=6の典型的なシフト３次スプライン関数である。

【００２４】 [7,8]に述べられているのと同様の方法を用いて関数L(X₀, X₁, --- X_n-1)を最
小にする重みX₀, X₁, --- X_n-1を見つけることができる。0≦j≦n−1であるXjに
関してL(X₀, X₁, --- X_n-1)の偏微分を最小にすることから以下の式が導かれる
。

【００２５】

【数３２】

【００２６】式(9)のYjを計算することは（3τ−1）点だけのn個の相関係数を含むことに注意
。今、３次スプライン関数の周期性をR(t)=R(t+nτ)とする。すなわち、R(t)は
周期nτを有する。そうすると、式(6)の中のA_j,kのマトリックスの形は以下のよ
うに単純化される。

【００２７】

【数３３】

【００２８】 [7]から、式(10)のA_j,kは、以下の表記により循環形式で表現することができる
ことがわかる。 A_j,k=B_(k-j)n (11) ここで、(k−j)nはnを法とした剰余(k−j)を示す。そして、 B₀=α,B₁=β,B₂=γ,B₃=δ,B₄=0,…,B_n-4=0,B_n-3=δ,B_n-2=γ, (12) B_n-1=β. 従って、式(11)と(12)のA_j,kは以下の対称循環表現となる。

【００２９】

【数３４】

【００３０】式(13)を式(5)に代入すると以下のマトリックス式が得られる。Ａ・Ｘ＝Ｙ (14) ここで、マトリックスAは式(13)で与えられ、X=( X₀, X₁, --- X_n-1)^Tであり、Y
=(Y₀,Y₁, ---, Y_n-1)^Tである。

【００３１】式(14)の左辺のn×nマトリックスは循環マトリックスであるので、式(14)はす
ぐに式(15)に至る。

【００３２】

【数３５】

【００３３】しかし、i=1,2,---,| n/2 |に対してB_i=B_n-Iである。ここで、| x |はxよりも小
さいか等しい最大整数である。従って、式(15)は以下のようになる。

【００３４】

【数３６】

【００３５】 X_kを求めるためにFFTを使用することができる。このために0≦j,km≦n−1に対
するX_j, X_k, およびB_j のFETをそれぞれ次のように定義する。

【００３６】

【数３７】

【００３７】 E. 0. Brighamによる「高速フーリエ変換とその応用（Fast Fourier Transfor
m and its Application）」（Prentice-Hall International, Inc., Englewood
Cliffs, ニュージャージ1988 年[14]）と、A. V. OppenheimとR. W. Schaferに
よる「ディジタル信号処理（Digital Signal Processing）」（Prentice-Hall,
Inc., Englewood Cliffs, ニュージャージ, 1975年 [15]）−これらの内容は本
書に参考の形で含まれている−に示された畳み込み理論を用いることによって、
周波数領域内の式（16）の解を〜Y_m=〜X_m・〜B_m又は〜X_m=〜Y_m／〜B_m, ここで〜B_m≠０と表現できることは容易にわかる。従って、〜X_mの逆FFTを用いると、X_kを0≦k
≦n-1に対して得ることができる。

【００３８】 1−D信号のための符号化方法は以下のようにまとめられる。

【００３９】適当な整数値τを選ぶ。圧縮比は概略τである。

【００４０】式(9)を使ってY_jを求める。式(10),(11)および(12)を使ってBjを求める。

【００４１】 Y_jとBjのFFTを求めて、それぞれ〜Y_mと〜B_m を得る。また、〜X_m= 〜Y_m/〜B_m
を計算する。

【００４２】〜X_mの逆FFTをとって送信または記憶される圧縮データであるX_kを得る。 B. 2−D信号のためのCSI X(t₁,t₂)を整数変数t₁とt₂に関する周期n₁τとn₂τの二重周期信号（例えば、
画像）とする。ここで、n₁とn₂も整数である。2−D３次関数R(t_1,t₂)は次式で定
義される。 R(t₁,t₂)=R(t₁)・R(t₂), (17) ここで、R(t₁)とR(t₂)はそれぞれ1−D３次スプライン関数である。この３次スプ
ライン関数の3−Dプロットを図4に示す。2−D補間は各座標についての1−D補間
を用いることによって実現することができることはよく知られた事実である[1,3
]。

【００４３】 1−Dケースとの類似によって、 Ψ_k1,k2(t₁,t₂)=R(t₁−k₁τ,t₂−k₂τ) =R(t₁−k₁τ)・R(t₂−k₂τ)、ここで0≦k_i≦n_i−1かつi=1,2. (18) 式（3）の1−Dケースに用いた手順と同様の手順によって2−D CSIを以下のよう
に定義する。

【００４４】

【数３８】

【００４５】ここで、X_k1,k2は送信または蓄積される圧縮データを表すサンプリング点での再
構成値である。再び以下の式(20)のL(X_k1,k2)が最小であるような最適の重みX_k1 _,k2 を求める。

【００４６】

【数３９】

【００４７】ここで、R(m₁,m₂)は図4に示された2−Dスプライン関数である。式(22)内のA_j1j2 _・kik2 項は以下のように同様に扱われる。

【００４８】

【数４０】

【００４９】上記式(26)からアレイA_j1j2・kik2が以下のように２−D循環形式で表すことがで
きる。

【００５０】

【数４１】

【００５１】ここで、i=1,2に対し0≦S_i≦n_i−1である。アレイ[B_s1,s2]がマトリックスの形
で示されているならば、それはブロック循環マトリックスであることに注意。図
4は2−D３次スプライン関数の側面図である。

【００５２】式(28)内のマトリックス[B_s1,s2]はブロック循環マトリックスであるので、式
(21)は以下の式で表すことができる。

【００５３】

【数４２】

【００５４】ここで、(k_i−j_i)_niはi=1,2に対するn_iを法とした剰余(k_i−j_i)を示す。式(16)
に用いられた手順と同様の手順を用いると、式(29)は以下のようになる。

【００５５】

【数４３】

【００５６】式(30)において、2−D FET[14,15]がX_k1,k2を求めるために使用することがで
きる。0≦j_i,k_i≦n_i−1および0≦s_i≦ni−1, i=1,2に対するY_j1,j2，X_k1,k2, お
よびB_s1,s2の2−DFFTをそれぞれ、0≦m≦n_i−1, 0≦n≦n₂−1に対する〜Y_m,n,
〜X_m,n, および〜B_m,nと定義する。そこで、周波数領域内の式(30)を、〜Y_m,n=
〜Y_m,n・〜B_m,nまたは〜X_m,n=〜Y_m,n/〜B_m,nと表すことができる。ここで、〜B_m _,n ≠0である。最後に、〜X_m,nの逆FFTの2−D関数を用いて、X_ki,k2を0≦k_i≦n_i
−1, i=1,2に対して得る。

【００５７】２−D信号のための符号化方法は以下のようにまとめられる。

【００５８】適当な整数値τを選ぶ。圧縮比は概略τ²である。

【００５９】式(25)を使ってY_ji,j2を求める。次に、式(26),(27)および(28)を使ってB_s1,s ₂ を求める。

【００６０】 Y_j1,j2とB_s1,s2のFFTを求めて、それぞれ〜Y_m,nと〜B_m,n を得る。

【００６１】また、〜X_m,n= 〜Y_m,n/〜B_m,nを計算する。

【００６２】〜X_m,nの逆FFTをとって送信または蓄積される圧縮データであるX_k1,k2を得る
。 III.復号アルゴリズム復号処理においては、第2節で得られた標本点（例えば、X_kとX_k1,k2）での再
構成値を用いて、標本点間の再構成点を３次スプライン関数によって得る。この
符号器アルゴリズムを３次スプライン再構成と呼ぶ。 A.圧縮1−D信号の復号 n個の再構成値X₀, ---, X_n-1が知られているので、式(3)を用いることによっ
て再構成信号S(t)を得ることができる。言い換えれば、回復された信号は、式(1
)で定義された３次スプライン関数の畳み込みと、一連の標本間隔τを持ったn個
の再構成値である。二つの隣接する再構成値X_kとX_k+1間の再構成関数S(t_a)は図5
に示されており、以下の和で与えられる。 S(t_a)=X_k-1Ψ_k-1(t_a)+X_kΨ_k(t_a)+X_k+1Ψ_k+1(t_a)+X_k+2Ψ_k+2(t_a), (31) ここで、kτ＜t_a＜(k+1)τとΨ_k(t)は式(2)で定義され、[1]の中で与えられる境
界条件は、X_-1=3(X₀−X₁)+X₂とX_n=3(X_n-1−X_n-2)+X_n-3である。図5は、標本点間
の再構成関数である。 B.圧縮2−D信号の復号再構成値0≦k_i≦n_i−1にたいするX_k1,k2が知られているので、式(19)を用いる
ことによって2−D再構成信号S(t₁,t₂)を得ることができる。言い換えれば、回復
された信号は、式(17)で与えられる2−D３次スプライン関数R(t₁,t₂)の2−D畳み
込みと、2−D標本化波形X_k1,k2である。双一次補間と呼ばれる[3]に述べられた
計算の簡単な方法はまた、2−D補間を行うためにも使用可能であることは良くし
られている。双一次補間の考えは2−D３次スプライン再構成を実現するために使
用できる。言い換えれば、各行の離散データは、各列の与えられた離散データの
ための同様な補間と共に、再構成値から補間することができる。隣接した4つの
再構成値間の再構成画像S(t_i,t_j)が次式で与えられることは容易に示すことがで
きる。

【００６３】

【数４４】

【００６４】ここで、k₁τ＜t_i＜(k₁+1)τ, k₂τ＜t_j＜(k₂+1)τおよび境界条件は[1]で与え
られるように、 X_-1,k2=3(X_0,k2−X_1,k2)+ X_2,k2, X_n,k2=3(X_n-1,k2−X_n-2,k2)+ X_n-3,k2, X_k1,-1=3(X_k1,0−X_k1,1)+ X_k1,2, X_k1,n=3(X_k1,n-1−X_k1,n-2)+ X_ki,n-3, X_-1,-1=3(X_0,-1−X_1,-1)+ X_2,-1, X_n,-1=3(X_n-1,-1−X_n-2,-1)+ X_n-3,-1, X_-1,n=3(X_0,n−X_1,n)+ X_2,n, X_n,n=3(X_n-1,n−X_n-2,n)+ X_n-3,n, である。 IV.CSIの高速計算事実上、CSIスキームは式(25)のY_j1,j2と式(26)A_j1j2,k1k2のを計算するため
に2−D３次スプライン関数R(t₁,t₂)の大量の画素を必要とする。例えば、τ=2（
圧縮比4対1）とτ=3（圧縮比9対1）に対する式(25)のY_j1,j2と式(26)のA_j1j2,k1 _k2 の計算は、関数R(t₁,t₂)の領域の81画素と169画素をそれぞれ必要とする。そ
の結果、圧縮比をτ=2からτ=3にあげるとCSIスキームの中で必要とされる式(25
)と(26)の計算がかなり複雑になる。

【００６５】このことを示すように、τ=3に対していくつかの省略解法が上記の過剰な計算
上の複雑さを克服するために用いられる。一つは、ゾーンフィルタ１と呼ばれる
図6(a)に示されたR(t₁,t₂)の169個の画素のゾーンマスクを定義することである
。このことは、式(25)の各Y_j1,j2を計算するために、R(t₁,t₂)の169個の画素の
ゾーンマスクを使って周期画像X(t1,t2)と相関させることを必要とする。また、
式(26)の各A_j1j2,k1k2を計算するために、R(t₁,t₂)の169個の画素を用いてR(t₁,
t₂)の他の169個の画素と自己相関させることを必要とする。

【００６６】図6(a)乃至(d)はSCIスキームのための式(25)のY_j1,j2と式(26)のA_j1j2,k1k2の
計算に使用される2−D３次スプライン関数のゾーンマスクである。図6(a)はゾー
ンフィルタ１内の169画素を示す。図6(b)はゾーンフィルタ２内の133画素を示す
。図6(c)はゾーンフィルタ３内の69画素を示す。図6(a)はゾーンフィルタ４内の
25画素を示す。このゾーンフィルタ１の計算の複雑さを減らすために、次に、図
6(b)に示されたゾーンフィルタ２と、図6(c)に示されたゾーンフィルタ３と、図
6(d)に示されたゾーンフィルタ４を使うことが提案されている。このゾーンフィ
ルタ２，３および４は、133,69及び25画素のゾーンマスクまたはR(t₁,t₂)のグリ
ッド点をそれぞれ使って式(25)の各Y_j1,j2と式(26)の各A_j1j2,k1k2を計算する。

【００６７】 τ=3に対して次に、上述のFCSIスキームが、ゾーンフィルタ２、ゾーンフィル
タ３およびゾーンフィルタ４を使うことによって開発される。前節で使った同じ
手順で、τ=3に対するFCSIスキームがたやすく得られる。まず、τ=3に対するこ
れらのFCSIスキームの導出がτ=2に対する元のFCSIスキームのそれと同じ手段に
よって開発される[10]。FCSI SCIスキームのための式(25)のY_j1,j2項と式(26)の
A_j1j2,k1k2項だけが元のFCSIスキームと若干異なっている。

【００６８】また、FCSIスキームにおいて、ゾーンフィルタ２、ゾーンフィルタ３、および
ゾーンフィルタ４に対するY_j1,j2項とA_j1j2,k1k2項の複雑さが表Ｉと表IIに要約
されており、以下に述べるようになっている。

【００６９】 1.図6(a)によって、ゾーンフィルタ１に対するY_j1,j2項とA_j1j2,k1k2項が式(2
5)と(26)と全く同じ方法で得られる。R(t₁,t₂)の169画素を使って各Y_j1,j2と各A _j1j2,k1k2 が計算される。このアルゴリズムは非常に複雑で、丁度元のCSIスキー
ムと同じである。

【００７０】 2.図6(b)によって、ゾーンフィルタ２に対するA_j1j2,k1k2項が得られ、その結
果はσ=0であることを除けば式(26)と同じである。式(25)の各Y_j1,j2は、R(t₁,t ₂ )の133画素によってゾーンフィルタ２に対して計算される。このアルゴリズム
は更に拡張した計算を含む。

【００７１】 3.図6(c)によって、ゾーンフィルタ３に対するA_j1j2,k1k2項が得られ、その結
果は式(26)と同じである。但し、μ=0でありσ=0である。式(25)の各Y_j1,j2は、
R(t₁,t₂)の69画素によってゾーンフィルタ３に対して計算される。このアルゴリ
ズムもまた複雑である。

【００７２】 4.図6(d)によって、ゾーンフィルタ４に対するA_j1j2,k1k2項が得られ、その結
果は式(26)と同じである。但し、η=λ=ρ=μ=σ=0である。式(25)の各Y_j1,j2は
、R(t₁,t₂)の25画素のみを使ってゾーンフィルタ４に対して計算される。このア
ルゴリズムは上記１，２、３の場合のいずれの計算よりも更に複雑である。

【００７３】

【表１】

【００７４】

【表２】

【００７５】ゾーンフィルタ４が他の3つのゾーンフィルタのいずれとも同じPSNRを得るこ
とは第VIII節のコンピュータ計算によって示されている。従って、このゾーンフ
ィルタ４はFCSIスキームのための最も実用的で簡単なフィルタを表している。元
のCSIスキームの上にゾーンフィルタ４を使ったFCSIスキームの主な利点は、計
算の複雑さをかなり緩和することにある。Ｖ．定数計算式(27)(28)とこれまでの節に従って、ゾーンフィルタ４に必要なA_j1j2,k1k2項
が一般式で与えられる。

【００７６】

【数４５】

【００７７】定数α,β,γ,δは2−Dスプライン関数R(m₁,m₂)間の自己相関係数である。下
記の解析において、τとmは整数とみなされ、R(t)は式(1)で定義された1−D３次
スプライン関数である。式(33)を使って定数α,β,γ,δは以下のように得られ
る。

【００７８】 1)αの計算：τ=3に対する図7により、αの値は2−Dスプライン関数R(m₁,m₂)
の重ね合わせ値の和であり、次式で与えられる。

【００７９】

【数４６】

【００８０】 2)βの計算：τ=3に対する図８により、βの値は2−Dスプライン関数R(m₁,m₂)
とシフト2−Dスプライン関数R(m₁+τ,m₂)の重複する値の和であり、次式で与え
られる。

【００８１】

【数４７】

【００８２】 3)γの計算：τ=3に対する図9により、γの値は2−Dスプライン関数R(m₁,m₂)
とシフト2−Dスプライン関数R(m₁+2τ,m₂)の重複する値の和であり、次式で与え
られる。

【００８３】

【数４８】

【００８４】 4)γの計算：τ=3に対する図10により、δの値は2−Dスプライン関数R(m₁,m₂)
とシフト2−Dスプライン関数R(m₁+3τ,m₂)の重複する値の和であり、次式で与え
られる。

【００８５】

【数４９】

【００８６】特にτ=3に対しては上記式は、α,β,γ,δに対する以下のパラメータを生じる
。

【００８７】

【数５０】

【００８８】図7はτ=3に対するαを計算するための重複・マップ・グリッド点を示し、図
８はτ=3に対するβを計算するための重複・マップ・グリッド点を示し、図９は
τ=3に対するγを計算するための重複・マップ・グリッド点を示し、図１０はτ
=3に対するδを計算するための重複・マップ・グリッド点を示す。 VI. ウィノグラード DFTと重複・セーブ法によって実行される新FCSIアルゴリズ
ムウィノグラード DFT アルゴリズムは以下の文献に記載されている。すなわち
、Dean P. Kolba とThomas W. Parksによる「高速畳み込みを用いた素因数FFTア
ルゴリズム（A prime factor FFT algorithm using high-speed convolution）
」（音響、言語および信号処理についてのIEEE公報、vol. ASSP-25, No.4, pp.
281-294, 1977年8月, [16]）と、S. Winogradによる「離散的フーリエ変換の計
算について（On computing the discrete Fourier transform）」（Mathematics
of Computation, vol. 32, No.l41, pp.175-199, 1978年1月, [17]）と、I. S.
Reed、T. K. Truong, R. L. Miller, およびB. Benjauthritによる「n=4,5,6,8
に対するGF(2ⁿ)についてReed-Solomonコードを復号するための高速変換について
の更なる結果（Further results on fast transforms for decoding Reed-Solom
on codes over GF(2ⁿ ) for ,n = 4, 5, 6, 8）」（Deep Space Network Progre
ss Report 42-50, Jet Propulsion Laboratory, Pasadena, CA, pp.132-155, 19
79年1月、2月. [18]）とである。これらの内容は、本書に参考の形で含まれてい
ると共に、重複・セーブ法が、τ=3に対するFCSIスキームを実行するために本節
で使用されている。

【００８９】サイズN×N=512×512 画素の画像を考える。もしτ=3に対するFCSIスキームが
、この元の画像を圧縮するために使われているならば、圧縮画像のサイズは「51
2/3l×「512/3l|= 171×171画素まで縮小されている。ここで、「x|は、xよりも
大きいかまたは等しい最小整数である。171は2のべき乗ではないので2−D FFTは
式(30)のX_k1,k2を求めるために使用できない。この問題を解決するための一つの
可能な方法は、式(28)のデータY_j1,j2と式(28)のデータB_s1,s2（0≦j_i,s_i≦n_i−
1, i=1,2）を、元の縮小画像の端にゼロを付加することによって、171×171画素
から256×256画素まで拡大することである。それから、Y_j1,j2とB_s1,s2の2−D F
FTをとりそれぞれ〜Y_m,nと〜B_m,nを求める。これから〜X_m,n=〜Y_m,n/〜B_m,nが得
られる。最後に、X_m,nの逆2−D FTTをとり、送信または記憶される圧縮データで
あるX_k1,k2（0≦k₁,k₂≦255）を得る。τ=3に対するCSIスキームを計算するため
にそのような2−D FFTを用いる欠点は、データのサイズを171×171画素から256
×256画素に増加することによって計算時間が長くなることである。

【００９０】 τ=3に対する送信すべき圧縮データのサイズは、かならずしも２のべき乗では
ないので、そのような奇数サイズ画像を圧縮するために、以下に述べる9点ウィ
ノグラード DFT(WDFT)が、FCSIスキームを実行するために使用される。まず、17
1= 9×19 であるので、Y_j1,j2とB_s1,s2（0≦j₁,j₂,s₁,s₂≦170）は、図11に示す
19×19のサブ画像（各画像は9×9画素サイズ）に分けることができる。各サブ画
像のフーリエ変換は9×9 WDFTアルゴリズムを用いて直接実行することができる
と考えてもよく、サイズl71×171のY_j1,j2とB_s1,s2のフーリエ変換〜Y_m,nと〜B_m _,n がそれぞれ得られると考えても良い。また、〜X_m,nは〜Y_m,nを〜B_m,nで割るこ
とにより得られる。

【００９１】最後に、〜X_m,nの逆2−Dフーリエ変換が9×9 WDFTアルゴリズムを用いて得ら
れる。言い換えれば、サイズ171×171の再構成画像が得られる。しかしながら、
この逆変換は実験的に求められていて重大なアーチファクトを有する。このこと
は図12に示された再構成画像において見られる。図12は圧縮のために9×9ウィノ
グラードDFTを直接用いて実行されたFCSI方法を用いた重大なアーチファクトを
持った再構成画像を示す。図11はサイズl71×171の典型的な画像の中の19×19個
のサイズ9×9のサブ画像を示す。

【００９２】上述した9×9WDFT の直接使用によって起る図12に見られるアーティファクト
を除去するために、新しいタイプの重複セーブ・サブ画像技術がFCSI方法に適用
される。FCSIアルゴリズムの実例が最初、以下に述べる簡単化された５×５WDFT
によって実行される。この新しいタイプの重複セーブ・サブ画像方法がこの例の
なかで示されており、そのブロック図が図13に示されている。

【００９３】図13は5×5ウィノグラードDFT と重複セーブ・サブ画像方法によって実行され
るFCSIアルゴリズムの簡単な実例である。図13に示すブロック図は、破線で示す
ように二つの部分に分けられる。符号Ｉの付いた第１部分は重複セーブ・サブ画
像技術を有する５×５WDFT アルゴリズムを使ったFCSI符号器である。符号IIの
ついた第2部分はFCSI復号器である。第1部分において、ソース画像データが図13
(a)に示すようにサイズ24×24画素のものとする。τ=3のためのゾーンフィルタ
と共に式(25)を使うと、図13(b)に示すようなサイズ8×8の係数Y_j1,j2を得るた
めに必要な縮小画像が生じる。次に、この係数Y_j1,j2を、図13(c)に示すような4
つの重複5×5サブ画像に分ける。5×5画素の各サブ画像は幅２の境界線を持った
各隣り合うサブ画像と重なることに注意。この境界線は、ウィノグラードDFTア
ルゴリズムを使うときに、二つの隣接するサブ画像間の境界条件を求めるために
使えることが実験的に示される。

【００９４】図13に示すように、次の３つのステップをつかって、Y_j1,j2の４つの重複5×5
サブ画像を、X_k1,k2の対応する４つの重複5×5サブ画像に変換する。第1ステッ
プは、Y_j1,j2の４つの重複5×5サブ画像の5×5 WDFT をとり、〜Y_m,nの４つの変
換された5×5対応サブ画像を得る。第2ステップは、これらの〜Y_m,nの４つの5×
5サブ画像を、式(33)の中のB_s1,s2の5×5 WDFT 2−D FFTまたはτ=3に対する〜B _m,n で割って、〜X_m,nの5×5サブ画像の4つの変換を得る。第3ステップは、〜X_m _,n のこれらの4つの5×5サブ画像に対する逆5×5 WDFTをとって、最終的に、図13
(d)に示すようにX_k1,k2の対応する４つの重複5×5サブ画像を得る。

【００９５】 X_k1,k2の5×5サブ画像の重複境界にあるいくつかの画素がX_k1,k2の他の隣接し
た5×5サブ画像の中に現れるので、X_k1,k2の4つの5×5サブ画像の中の重複画素
を削除または除去する。この手段によって、X_k1,k2の4つの重複5×5サブ画像が
、X_k1,k2の4つの非重複4×4サブ画像となる。このことを示すために、図13(d)に
おいて各5×5サブ画像は、幅２の重複境界を有する。図13(e)は、この重複セー
ブ法を使って得られた各サブ画像の残りの標本を示す。図13(d)において、まず
列方向の重複境界を持った全ての4つのサブ画像を考える。端効果のために、サ
ブ画像１と３の最後列が除去されるべき重複境界内の重複列である。

【００９６】しかしながら、図13(d)のサブ画像２と４においては、これらの二つのサブ画
像の第1列もまた削除する必要のある重複境界内の重複列である。最後に、行方
向における上記重複セーブ法を、列方向のそれと同様に実施する。X_k1,k2のこれ
ら4つの非重複4×4サブ画像を組み合わせて図13(f)に示すX_k1,k2の全体8×8サブ
画像を得る。これらのX_k1,k2画像データは送信または記憶される圧縮データであ
る。第2部分において、全体8×8 X_k1,k2圧縮データを用いて、式(32)の３次スプ
ライン再構成関数によって、図13(g)に示す24×24再構成データを得る。

【００９７】従って、画像圧縮ステップは、３次スプライン・フィルタを定義するステップ
と、該フィルタを信号と相関付けて相関信号を得るステップと、該フィルタを自
己相関付けて自己相関フィルタ係数を得るステップと、相関信号と自己相関フィ
ルタ係数の変換を計算するステップと、相関信号の変換を自己相関フィルタ係数
の変換で割って、圧縮信号の変換を得るステップと、圧縮信号の変換の逆変換を
計算して圧縮信号を得るステップとを含む。

【００９８】このような重複セーブ・サブ画像法によってサイズ512×512の実画像を圧縮す
るために5×5WDFTの代わりに9×9WDFTが、FCSIスキームのために使用される。そ
れから、9×9ウィノグラードDFTを用いたFCSI符号化アルゴリズムと重複セーブ
サブ画像法が以下のステップで要約されている。

【００９９】・τ=3を選択する。圧縮比は約τ²＝９である。

【０１００】・サイズ512×512の元画像にゾーンフィルタ４を有する式(25)を適用して全て
の171×171係数Y_j1,j2を求める。

【０１０１】・また式(33)を適用してB_s1,s2を得る。それから、B_s1,s2の9×9WDTFをとって
9×9係数〜B_m,nを得る。

【０１０２】・すべての係数Y_j1,j2を、幅２の境界を持ったY_j1,j2の適当な重複9×9サブ画
像に分割する。

【０１０３】・Y_j1,j2の全ての重複9×9サブ画像の9×9WDFTをとって、〜Y_m,nの対応9×9サ
ブ画像の変換を得る。

【０１０４】・〜X_m,n=〜Y_m,n/〜B_m,nを計算して、〜X_m,nの各9×9サブ画像を得る。

【０１０５】・〜X_m,nの全ての9×9サブ画像の逆9×9WDFTをとって、X_k1,k2の9×9サブ画像
を得る。

【０１０６】・X_k1,k2の二つの隣接した9×9サブ画像の重複境界にある重複画素を除去する
。この手段によってX_k1,k2の重複サブ画像はX_k1,k2の非重複サブ画像となる。

【０１０７】・X_k1,k2の各非重複サブ画像を組み合わせて、X_k1,k2の全体画像を得る。ここ
で、0≦k₁,k₂≦511である。これらの画像データX_k1,k2は送信または記憶される
圧縮データである。

【０１０８】 FCSI復号化アルゴリズムにおいては、圧縮データX_k1,k2は符号化アルゴリズム
を構成する。再構成データは式(32)の３次スプライン再構成関数によって得られ
る。従って、上述の重複セーブサブ画像技術によって、圧縮画像と再構成画像が
実験的に得られ、図14に示すようにアーティファクトがなくなる。図14は、9×9
ウィノグラードDFTと重複セーブ圧縮法によって実行されるFCSIを用いたアーテ
ィファクトのない再構成画像である。 VII .変形JPEG符号器−復号器本節においては、変形JPEG符号器−復号器が画像データ圧縮のために示されて
いる。このアルゴリズムは、図15に示されるように、τ=2,3に対するJPEG符号器
の前処理段階として、τ²対１の圧縮比を持ったCSIまたはFCSIスキームに適用さ
れる。その結果、1対τ²の比を持った３次スプライン再構成が、図16に示される
ように、τ=2,3に対するJPEG復号器の後処理段階のために用いられる。この圧縮
アルゴリズムのために、RGB（赤、緑、青）色空間の元画像が、CSIまたはFCSIの
前処理に先立ってYUV色空間のもう一つの予備画像に変換される。

【０１０９】このYUV画像のあとに4:1:1フォーマットのCCIR 601色空間が続く。元のRGB画
像のサイズは512×512×3=786,432バイトと仮定する。すなわち、512×512=262,
144バイトが赤、緑、青のそれぞれのサイズと仮定する。色空間変換のあとでは
、1組の512×512バイトがYのために使われ、２組の256×256=65,536バイトがUと
V色要素のために使われる。RGBからYUVへの変換式は、Phillip E. Mattisonによ
る「Cでのプログラム例を持った実用ディジタルビデオ（Practical Digital Vi
deo with Programming Exampes in C）」（John Wiley & Sons, 1nc., 1994年 [
19]）−その内容は本書に参考の形で含まれている−によっている。すなわち、
Y= 0.299R + 0.587G + 0.114B, U= 0.493(B−Y) = 0.463B−0.147R−0.289G V=0.877(R−Y)=0.615R−0.515G−0.100B. 符号器には二つの処理ステップがある。第1のステップは、Y,U,V画像の各々に
対してτ²対１の圧縮比を持ったCSIスキームまたはFCSIスキームを使う前処理で
ある。この手順においては、入力画像はサイズ512×512バイトのY画像であり、
出力画像はサイズ「512/τ|×「512/τ|バイトの符号化画像である。ここで、「
x|はxよりも大きいか等しい最小整数である。U画像とV画像に対しては、入力画
像は256×256バイトを有しているので、符号化される出力画像は「256/τ|×「2
56/τ|バイトである。言い換えれば、このステップで用いられる二つのケースが
ある。第1のケースのτ=2に対しては、FFTアルゴリズムによって直接実行される
CSIスキームが、元のY,U,V画像に対して用いられ、出力画像はY画像に対して256
×256バイト、U画像とV画像に対しては128×128バイトである。

【０１１０】第2のケースのτ=3に対しては、重複セーブ法を持った9×9 WDFTによって実行
されるFCSIスキームが、元のY,U,V画像に対して用いられ、出力画像はY画像に対
して171×171バイト、U画像とV画像に対しては85×85バイトである。

【０１１１】 CSIアルゴリズムまたはFCSIアルゴリズムの終わりにおいて、3つの別々のY画
像、U画像、V画像が一つのYUV画像に結合される。第2ステップはJPEG DCTベース
符号化アルゴリズムを用いることである[9]。このステップの後の画像は圧縮画
像と呼ばれる。圧縮画像は今、元の画像と比べると非常に少い画素しか有してい
ない。得られた画像はなお標準JPEG形式を有している。その結果、この圧縮画像
は標準JPEG復号器を用いることができ、また、記憶容量を節約し、通信のための
転送時間を減少させる。

【０１１２】また、変形JPEG復号器においては、符号化ステップのいくつかと逆に使用され
る二つのステップがある。第1ステップは、JPEG DCTベース複合化アルゴリズム
である[9]。このステップの後で、画像ファイルは３つの別々のY画像、U画像、
およびV画像に分けられる。第2ステップは、Y画像、U画像、およびV画像のため
の1対τ²の比を持った３次スプライン再構成を用いる後処理プロセスである。こ
のステップは３次スプライン関数だけを用いて画像データを再構成する。この補
間の後、Y画像のサイズは従って、「512/τ|×「512/τ|すなわちτ=2に対する2
56×256またはτ=3に対する171×171から512×512バイトに変換される。そして
、U画像とV画像は、「256/τ|×「256/τ|すなわちτ=2に対する128×128または
τ=3に対する85×85から256×256バイトに変換される。それから3つのY画像、U
画像、およびV画像は、再び一つのYUV画像に組み合わされる。最後に、このYUV
画像は再構成RGB画像に変換される。再度[19]から、YUVからRGBへの変換式は以
下の通りとなる。 R=Y+ 1.140V, G=Y-0.395U-0.581V, B=Y+ 2.032U VIII. 実験結果 X(i,j)とS(i,j)をそれぞれ元図と再構成図とする。ここで、0≦i≦M-1と0≦i
≦N-1は画像の垂直方向と水平方向に分けられた指数である。画像の2−D信号の
平均2乗誤差（MSE）は次式で与えられる。

【０１１３】

【数５１】

【０１１４】従って、2−D信号のPSNRは次式で定義される。

【０１１５】

【数５２】

【０１１６】ここで、MSEy、MSEu、およびMSEｖはそれぞれ色要素Y, U, VのMSEである。色要
素Y, U, V の合計PSNRは次式で定義される。

【０１１７】

【数５３】

【０１１８】 2−D信号の実験結果は、直線補間、直線スプライン補間、３次畳み込み補間、
３次Bスプライン補間、およびCSIスキームを用いて表される。τ=2を持った2−D
信号に対する、第II節に述べられた符号化方法と第III節に述べられた復号化方
法を用いて、式(38)と式(39)から、4対1の圧縮比（τ=2）を持った2−D信号のた
めのPSNR値が、サイズ512×512Theの灰色画像に対して計算される。上記5つの補
間スキームを用いた2−D信号の実験結果が表IIIに示されている。この表の結果
は、CSIスキームが他の全ての比較された補間方法に比べて最善のPSNRを得るこ
とを示している。

【０１１９】

【表３】

【０１２０】表IVに、９対1の圧縮比(τ=3)を持った実験結果が、サイズ512×512のいくつ
かの灰色画像のためのゾーンフィルタ１、ゾーンフィルタ２、ゾーンフィルタ３
、およびゾーンフィルタ４を用いたFCSIアルゴリズムに対して示されている。こ
の表から、ゾーンフィルタ４を持ったFCSIスキームは他の３つのゾーンフィルタ
と同様のPSNRを得ることが認められる。更に、ゾーンフィルタ４を持った直線補
間、直線スプライン補間、３次畳み込み補間、およびFCSIスキームを用いた、９
対1の圧縮比(τ=3)を持った実験結果が、サイズ512×512のいくつかの灰色画像
に対して表Vに示されている。この表から、ゾーンフィルタ４を持ったFCSIスキ
ームが４つの補間方法の中で最善のPSNRを得ることがわかる。

【０１２１】

【表４】

【０１２２】

【表５】

【０１２３】表VIは、JPEG方法[13]、AOLアルゴリズム[8]、および図15と図16に述べられた
τ=2にたいする変形JPEG符号器−復号器[10]のための異なる圧縮比におけるサイ
ズ512×512の再構成色試験画像(Lena)のPSNR値をリストにしたものである。同じ
圧縮比に対して、τ=2にたいする変形JPEG符号器−復号器によって得られたLena
画像のPSNRは、JPEG方法とAOLアルゴリズムのいずれのそれよりも高い。更に、
式(40)を用いて、表VIIは、JPEG方法、AOLアルゴリズム、τ=2とτ=3にたいする
変形JPEG符号器−復号器のためのより高い圧縮比におけるサイズ512×512の色の
ついた再構成Lena画像のPSNR値の合計をリストにしたものである。同じ250対1の
圧縮比に対して、τ=3にたいする変形JPEG符号器−復号器によって得られたLena
画像のPSNRの合計は、JPEG方法、AOLアルゴリズム、およびτ=2にたいする変形J
PEG符号器−復号器よりも高い。

【０１２４】

【表６】

【０１２５】

【表７】

【０１２６】サイズ512×512の灰色Lena画像に対しては、τ=3に対するCSIスキームおよびF
CSIスキームの計算時間はCコードを用いた400-MHz lntel Pentium II パソコン
上で行われた。符号器において、重複セーブサブ画像を持った9点WDFTを用いたF
CSIは、FFTを用いたCSIに対する約0.57秒と比較したとき約0.15秒かかる。した
がって、FCSIスキームはCSIスキームよりも速い。

【０１２７】最後に、JPEG方法、AOLアルゴリズム、τ=2とτ=3にたいする変形JPEG符号器
−復号器も、Cコードを用いた同じ400-MHz lntel Pentium II パソコン上で実行
された。これら４つのアルゴリズムに対する圧縮比200:1でのサイズ512×512の
カラーLena画像の計算時間は、表VIIIに与えられている。符号化と復号化におい
て、τ=3に対する変形JPEG符号器−復号器は、それぞれ、τ=2に対する変形JPEG
符号器−復号器に対する1.13秒と0.34秒、AOｌアルゴリズムに対する1.09秒と0
.30秒、JPEG方法に対する0.80秒と0.65秒と比較して、0.42秒と0.27秒を要求す
るだけである。τ=3に対する変形JPEG符号器の計算時間は、τ=2に対する変形JP
EG 符号器、AOL符号器、およびJPEG符号器よりもそれぞれ0.7l 秒, 0.67秒, お
よび0.38秒少ない。また、τ=3に対する変形JPEG復号器の計算時間は、τ=2に対
する変形JPEG 復号器、AOL復号器、およびJPEG復号器よりもそれぞれ0.07 秒, 0
.03秒, および0.38秒少ない。

【０１２８】

【表８】

【０１２９】図17は、JPEG方法、AOLアルゴリズム、およびτ=2に対する変形JPEG 符号器−
復号器を用いた100:1の同じ圧縮比での再構成Lena画像を示す。τ=2に対する変
形JPEG 符号器−復号器を用いたLena画像は、明確にJPEG方法とAOLアルゴリズム
のいずれよりも良い主観的品質の再構成画像を示している。また、図18は、JPEG
方法、AOLアルゴリズム、およびτ=2とτ=3に対する変形JPEG 符号器−復号器を
用いた200:1のより高い圧縮比での再構成Lena画像を示す。この図において、τ=
3に対する変形JPEG 符号器−復号器を用いたLena画像は、JPEGアルゴリズム、AO
Lアルゴリズム、およびτ=2に対する変形JPEG 符号器−復号器よりも良い主観的
品質の再構成画像を示している。

【０１３０】図17(a)は元のLena画像を示す一方、図17(b)はPSNRy=30.76dB, PSNRu=33.90dB
, およびPSNRv=33.90dBのJPEG方法による再構成画像を示し、図17(c)はPSNRy=30
.91dB, PSNRu=35.60dB, およびPSNRv=35.75dBのAOLアルゴリズムによる再構成画
像を示し、図17(d)はPSNRy=31.20dB, PSNRu=35.66dB, およびPSNRv=35.85dBのτ
=2に対する変形JPEG 符号器−復号器による再構成画像を示す。

【０１３１】図18(a)は、符号化時間=0.80秒、復号化時間=0.65秒、PSNR_T=27.90dBのJPEGア
ルゴリズムによる再構成画像を示す一方、図18(b)は、符号化時間=1.09秒、復号
化時間=0.30秒、PSNR_T=31.06dBのAOLアルゴリズムによる再構成画像を示し、図1
8(c)は、符号化時間=1.13秒、復号化時間=0.34秒、PSNR_T=31.18dBのτ=2に対す
る変形JPEG 符号器−復号器による再構成画像を示し、図18(d)は、符号化時間=0
.42秒、復号化時間=0.27秒、PSNR_T=31.19dBのτ=3に対する変形JPEG 符号器−復
号器による再構成画像を示す９点ウィノグラード離散的フーリエ変換９点ウィノグラード離散的フーリエ変換（DFT）を計算するために、Dean P. K
olba とThomas W. Parksによる「高速畳み込みを用いた素因数FFTアルゴリズム
（A prime factor FFT algorithm using high-speed convolution）」（音響、
言語および信号処理についてのIEEE公報、vol. ASSP-25, No.4, pp.281-294, 1
977年8月, [16]）−この内容は本書の中で参照の形で含まれている−において開
発されたアルゴリズムが以下の式で示される。

【０１３２】

【数５４】

【０１３３】ここで、W=e−j(2π/9)は、複素数体における１の9乗根であり、j=√（−１）で
ある。

【０１３４】９点ウィノグラード DFTのためのアルゴリズム： a₁=x(1)+x(8), a₂=x(1)−(8), a₃=x(2)+x(7), a₄=x(2)−x(7), a₅=x(4)+x(5), a₆=x(4)−x(5), a₇=x(3)+x(6), a₈=x(3)−x(6), a₉=−a₁+a_5, a₁₀=a₁−a_3, a₁₁=−a₃+a_5, a₁₂=a₂−a_6, a₁₃=a₂+a_4, a₁₄=−a₄−a_6, a₁₅=a₁+a₃+a_5, a₁₆= a₂−a₄+a_6, a₁₇=x(0)＋a₁₅+a_7, m₁=0.19740a₉, m₂=0.56858a₁₀, m₃=0.37111a₁₁, m₄=0.54253a₁₂, m₅=0.10026a₁₃, m₆=0.44228a₁₄, m₇=1/2a₇, m₈=0.86603a₈, m₁=1/2a₁₅, m₁₀=0.86603a₁₆, c₁=x(0)−m₇, c₂=m₁−m₃, c₃=m₁+m₃, c₄=m₁+m₂, c₅=c₁+c₂−c₃, c₆=c₁+c₃+c₄, c₇=c₁−c₂−c₄, c₈=m₄−m₆+c₃, c₉=m₅−m₆, c₁₀=m₄−m₅, c₁₁=c₈+c₉+m₈, c₁₂=c₈+c₁₀−m₈, c₁₃=−c₉+c₁₀+m₈, c₁₄=x(0)+a₇−m₉, X(0)=a₁₇, X(1)=c₅−jc₁₁, X(2)=c₆−jc₁₂, X(3)=c₁₄−jm₁₀, X(4)=c₇−jc₁₃, X(5)=c₇+jc₁₃, X(6)=c₁₄+jm₁₀, X(7)=c₆+jc₁₂, X(8)=c₅+jc₁₁, 従って、9点ウィノグラードDFTは8個の乗算、４９個の加算、および2個のシフ
トの、他の既知のアルゴリズムよりもかなり少ない計算を必要とするだけである
。５点ウィノグラード離散的フーリエ変換５点ウィノグラード離散的フーリエ変換を計算するための[16]で開発されたア
ルゴリズムは次式で与えられる。

【０１３５】

【数５５】

【０１３６】ここで、W=e−j(2π/5)は、複素数体における単位の５乗根であり、j=Root(-1)
である。

【０１３７】５点ウィノグラード DFTのためのアルゴリズム： a₁=x(1)+x(4), a₂=x(1)−(4), a₃=x(2)+x(3), a₄=x(2)−x(3), a₅= a₂+ a₄, a₆= a₁−a₃, a₇= a₁+ a₃, a₈=x(0)+a₇, m₁=0.95106a₅, m₂=1.53884a₂, m₃=0.36327a₄, m₄=0.55902a₆, m₅=1/4a₇, c₁=x(0)−m₅, c₂=c₁+m₄, c₃=c₁−m₄, c₄=m₁−m₃, c₅=m₂−m₁, X(0)=a₈, X(1)=c₂−jc₄, X(2)=c₃−jc₅, X(3)=c₃+jc₅, X(4)=c₂+jc₄ 従って、５点ウィノグラードDFTは４個の乗算、１７個の加算、および１個の
シフトの、他の既知のアルゴリズムよりもかなり少ない計算を必要とするだけで
ある。

【０１３８】この発明において、３次スプライン関数を持った最小２乗法に基づく新CSIス
キームが画像を圧縮するために提案されている。FFTアルゴリズムによって実行
されるCSIスキームは、再構成画像のためのすべての他の補間方法よりも良好なP
SNR性能を生じることが示されている。また、FCSIと呼ばれる高速CSIが画像圧縮
のために開発されている。そのようなFCSIスキームは元のCSIスキームよりもデ
シメーション処理において少ない加算と乗算でよい。FCSIにおいては、高速9点W
DFTアルゴリズムが、ゾーンフィルタを持ったCSIスキームを計算するために用い
られ、重複セーブサブ画像技術が実際の画像のすべての隣接したサブ画像間の重
大な境界アーティファクトを解決するために利用される。FCSIスキームはτ=3に
対する元のCSIスキームよりも0.42秒少ないことがコンピュータの実行によって
示されている。

【０１３９】最後に、τ=3に対するこのFCSIスキームはJPEG符号器−復号器と一緒に用いて
、カラー画像符号化におけるτ=3に対する変形JPEG符号器−復号器を速度を増加
させる。コンピュータシミュレーションは、τ=3に対する変形JPEG符号器−復号
器が、高圧縮比のためのJPEG方法よりも良好な主観品質と再構成画像のPSNRを得
ることを示している。また、それは、符号化と復号化の両方において、JPEG方法
、AOLアルゴリズム、およびτ=２に対する変形JPEG符号器−復号器よりも計算時
間が短い。

【０１４０】ここに記載され、図面に示されている典型的なスキームと個々の実行は本発明
の典型的な実施態様のみを示すことは理解されよう。実際、本発明の精神と範囲
を逸脱することなしにそのような実施態様に対して種々の変更と追加を行うこと
ができる。例えば、本発明は、コンピュータプログラム、専用電子回路、あるい
は電子画像処理チップのためのファームウェアを利用して実行することができる
。

【０１４１】更に、当業者によって、本発明の方法が、異なった値のτと異なるサイズのウ
ィノグラードDFTによって、種々の異なるサイズの画像に適用できることが認め
られるであろう。従って、ウィノグラードDFTの9×9または5×5のここでの記述
は説明のためであって、これに限定されるものではない。また、当業者によって
、本発明の種々の異なるVLSIの実行が意図されていることが認められるであろう
。従って、これらおよびその他の変更と追加は、当業者にとって明らかであり、
ビデオ信号のストリーミング、静止画像のためのMPEG IV標準、JPEG2000標準へ
の適用、（ディジタルカメラにおけるような）ディジタル写真のサイズを減らす
こと、などの種々の異なる応用における用途に本発明を採用するために実行する
ことができる。

【図面の簡単な説明】

【図１】 τ=5の周期を持った典型的な周期関数を示す図である。

【図２】典型的なＩ−Ｄ３次スプライン関数を示す図である。

【図３】 n=6に対する典型的な位相３次スプライン関数を示す図である。

【図４】典型的な２−Ｄ３次スプライン関数の側面図である。

【図５】典型的なサンプリング周期間の再構成関数を示す図である。

【図６（ａ）】典型的な、ＣＳＩスキームのための式(26)の中のY_j1-j2と式(26)の中のA_j1j2- _kik2 の計算に用いる２−Ｄ３次スプライン関数の帯状マスクである。

【図６（ｂ）】典型的な、ＣＳＩスキームのための式(26)の中のY_j1-j2と式(26)の中のA_j1j2- _kik2 の計算に用いる２−Ｄ３次スプライン関数の帯状マスクである。

【図６（ｃ）】典型的な、ＣＳＩスキームのための式(26)の中のY_j1-j2と式(26)の中のA_j1j2- _kik2 の計算に用いる２−Ｄ３次スプライン関数の帯状マスクである。

【図６（ｄ）】典型的な、ＣＳＩスキームのための式(26)の中のY_j1-j2と式(26)の中のA_j1j2- _kik2 の計算に用いる２−Ｄ３次スプライン関数の帯状マスクである。

【図７】典型的な、τ=3に対するαを計算するための重複マップ・グリッド点を示すグ
ラフである。

【図８】典型的な、τ=3に対するβを計算するための重複マップ・グリッド点を示すグ
ラフである。

【図９】典型的な、τ=3に対するγを計算するための重複マップ・グリッド点を示すグ
ラフである。

【図１０】典型的な、τ=3に対するδを計算するための重複マップ・グリッド点を示すグ
ラフである。

【図１１】典型的なサイズ171×171の画像の中のサイズ9×9の19×19サブ画像を示す図で
ある。

【図１２】圧縮のための9×9ウィノグラードDFTの直接使用によって実行されるFCFI法を
用いて作られる本格的なアーティファクトを持った再構成画像である。

【図１３】 5×5ウィノグラードDFTと重複セーブ・サブ画像法によって実行されるFCFIア
ルゴリズムの図式例である。

【図１４】圧縮のための9×9ウィノグラードDFTと重複セーブ法によって実行されるFCFI
法を用いて作られる不明確なアーティファクトを持った再構成画像である。

【図１５】 τ=2, 3のための典型的な変形JPEG符号器を示す図である。

【図１６】 τ=2, 3のための典型的な変形JPEG復号器である。

【図１７（ａ）】 100対1の圧縮比の再構成画像である。

【図１７（ｂ）】 100対1の圧縮比の再構成画像である。

【図１７（ｃ）】 100対1の圧縮比の再構成画像である。

【図１７（ｄ）】 100対1の圧縮比の再構成画像である。

【図１８（ａ）】 200対1の圧縮比の再構成画像である。

【図１８（ｂ）】 200対1の圧縮比の再構成画像である。

【図１８（ｃ）】 200対1の圧縮比の再構成画像である。

【図１８（ｄ）】 200対1の圧縮比の再構成画像である。

【手続補正書】

【提出日】平成１４年３月４日（２００２．３．４）

【手続補正１】

【補正対象書類名】明細書

【補正対象項目名】特許請求の範囲

【補正方法】変更

【補正の内容】

【特許請求の範囲】

【数１】次式および式（２８）を適用してＢ_s1,s2を計算する手段と、

【数２】（ここで、アレイＡ_j1j2,k1k2は式（２７）のように２−Ｄ循環形式で表現でき
る。）Ａ_j1j2,k1k2＝Ｂ_{（ｋ1−ｊ1）}ｎ₁，_{（ｋ2−ｊ2）}ｎ₂ （２７）（ここで、（ｋ_i−ｊ_i）ｎ_iは、ｉ＝１，２に対するｎ_iを法とした剰余（ｋ_i−
ｊ_i）を示す。）

【数３】（ここで、ｉ＝１，２に対し、０≦ｓ_i≦ｎ_i−１である。）Ｙ_j1,j2とＢ_s1,s2の２−ＤＦＦＴを計算して、それぞれ〜Ｙ_m,nと〜Ｂ_m,nを得
る手段と、〜Ｘ_m,n＝〜Ｙ_m,n／〜Ｂ_m,nを計算する手段と、〜Ｘ_m,nの逆ＦＦＴを計算して圧縮画像Ｘ_k1,k2を得る手段と、を備えたことを特徴とするデータ圧縮のための符号器。

【数４】Ｘ_k1,k2とＲ（ｔ₁，ｔ₂）＝Ｒ（ｔ₁）・Ｒ（ｔ₂）によって与えられるＲ（ｔ₁ ，ｔ₂）との２−Ｄ畳み込みを実行し、２−Ｄ再構成画像Ｓ（ｔ₁，ｔ₂）を得る
ための手段を有する復号器を更に備えたことを特徴とする請求項１に記載の符号
器。

───────────────────────────────────────────────────── フロントページの続き (51)Int.Cl.⁷ 識別記号ＦＩテーマコート゛(参考）Ｈ０４Ｎ 7/24 Ｈ０４Ｎ 7/13 Ｚ (81)指定国ＥＰ(ＡＴ，ＢＥ，ＣＨ，ＣＹ，ＤＥ，ＤＫ，ＥＳ，ＦＩ，ＦＲ，ＧＢ，ＧＲ，ＩＥ，ＩＴ，ＬＵ，ＭＣ，ＮＬ，ＰＴ，ＳＥ)，ＯＡ(ＢＦ，ＢＪ，ＣＦ，ＣＧ，ＣＩ，ＣＭ，ＧＡ，ＧＮ，ＧＷ，ＭＬ，ＭＲ，ＮＥ，ＳＮ，ＴＤ，ＴＧ)，ＡＰ(ＧＨ，ＧＭ，ＫＥ，ＬＳ，ＭＷ，ＭＺ，ＳＤ，ＳＬ，ＳＺ，ＴＺ，ＵＧ，ＺＷ)，ＥＡ(ＡＭ，ＡＺ，ＢＹ，ＫＧ，ＫＺ，ＭＤ，ＲＵ，ＴＪ，ＴＭ)，ＡＥ，ＡＧ，ＡＬ，ＡＭ，ＡＴ，ＡＵ，ＡＺ，ＢＡ，ＢＢ，ＢＧ，ＢＲ，ＢＹ，ＢＺ，ＣＡ，ＣＨ，ＣＮ，ＣＲ，ＣＵ，ＣＺ，ＤＥ，ＤＫ，ＤＭ，ＤＺ，ＥＥ，ＥＳ，ＦＩ，ＧＢ，ＧＤ，ＧＥ，ＧＨ，ＧＭ，ＨＲ，ＨＵ，ＩＤ，ＩＬ，ＩＮ，ＩＳ，ＪＰ，ＫＥ，ＫＧ，ＫＰ，ＫＲ，ＫＺ，ＬＣ，ＬＫ，ＬＲ，ＬＳ，ＬＴ，ＬＵ，ＬＶ，ＭＡ，ＭＤ，ＭＧ，ＭＫ，ＭＮ，ＭＷ，ＭＸ，ＭＺ，ＮＯ，ＮＺ，ＰＬ，ＰＴ，ＲＯ，ＲＵ，ＳＤ，ＳＥ，ＳＧ，ＳＩ，ＳＫ，ＳＬ，ＴＪ，ＴＭ，ＴＲ，ＴＴ，ＴＺ，ＵＡ，ＵＧ，ＵＳ，ＵＺ，ＶＮ，ＹＵ，ＺＡ，ＺＷ (72)発明者チェン，ティー．シー．アメリカ合衆国，カリフォルニア 91108，サンマリノ，サンマリノアベニュ 1430 (72)発明者トローング，ティー．ケー．アメリカ合衆国，カリフォルニア 91108，サンマリノ，サンマリノアベニュ 1430 (72)発明者リード，アイ．エス．アメリカ合衆国，カリフォルニア 90402，サンタモニカ，フィフティーンスストリート 348 (72)発明者ワン，エル．ジェイ．台湾，カオーシウン 804，リーンハイロードナンバー 70，ナショナルサンヤト−センユニバーシティ，デパートメントオブコンピュータサイエンスアンドエンジニアリング (72)発明者フシー，ダブリュ．エス．台湾，カオーシウン 804，リーンハイロードナンバー 70，ナショナルサンヤト−センユニバーシティ，デパートメントオブコンピュータサイエンスアンドエンジニアリングＦターム(参考） 5B056 BB00 BB12 BB21 BB22 BB26 BB28 BB52 5C059 KK10 KK11 LB11 MA00 5C078 AA04 BA57 CA21 CA31 DA01 DA02 5J064 AA01 AA03 BA16 BB04 BC11 BD04 BD06

Claims

【特許請求の範囲】

【請求項１】式(1)によって1−D ３次スプライン・フィルタを定義するス
テップと、【数１】式(9)によって入力信号X_mに前記フィルタを適用してY_jを計算するステップと
、【数２】式(10)、式(11)、および式(12)を適用してB_jを計算するステップと、【数３】（ここで、A_j,kは式(11)により循環形式で表現できる。） Aj,k=B (k−j)n (11) （ここで、(k−j)_nはｎを法とした剰余(k−j)を示す）、 B₀=α, B₁=β, B₂=γ, B₃=δ, B₄=0,---,B_n-4=0, (12) B_n-3=δ, B_n-2=γ, B_n-1=β Y_jとB_jのFFTを計算して、それぞれ〜Y_mと〜B_mを得るステップと、〜X_m=〜Y_m/〜B_mを計算するステップと、〜X_mの逆FFTを計算して圧縮データX_kを得るステップと、を備えたことを特徴とする1−D信号を符号化するためのコンピュータによって実
行される方法。
【請求項２】式(5)を適用して式(3)によって与えられるS(t)を得るために
、X_kと式(1)によって与えられるR(t)の畳み込みを実行するステップを更に備え
たことを特徴とする請求項１の方法。【数４】
【請求項３】 τ=2であることを特徴とする請求項１の方法。
【請求項４】 τ=3であることを特徴とする請求項１の方法。
【請求項５】式(1)によって定義される1−D ３次スプライン・フィルタと
、【数５】式(9)によって入力信号〜X_mに前記フィルタを適用してY_jを計算する手段と、【数６】式(10)、式(11)、および式(12)を適用してB_jを計算する手段と、【数７】（ここで、A_j,kは式(11)により循環形式で表現できる。） Aj,k=B (k−j)n (11) （ここで、(k−j)_nはｎを法とした剰余(k−j)を示す。） B₀=α, B₁=β, B₂=γ, B₃=δ, B₄=0,---,B_n-4=0, (12) B_n-3=δ, B_n-2=γ, B_n-1=β Y_jとB_jのFFTを計算して、それぞれ〜Y_mと〜B_mを得る手段と、〜X_m=〜Y_m/〜B_mを計算する手段と、〜X_mの逆FFTを計算して圧縮データX_kを得る手段と、を備えたことを特徴とするデータ圧縮のための符号器。
【請求項６】式(5)を適用して式(3)によって与えられるS(t)を得るために
、X_kと式(1)によって与えられるR(t)の畳み込みを実行する手段を有する復号器
を更に備えたことを特徴とする請求項５の符号器。【数８】
【請求項７】 τ=2であることを特徴とする請求項５の符号器。
【請求項８】 τ=3であることを特徴とする請求項５の符号器。
【請求項９】式(17)によって2−D ３次スプライン・フィルタを定義する
ステップと、 R(t₁,t₂)=R(t₁)・R(t₂), (17) （ここで、R(t₁)とR(t₂)はそれぞれ1−D３次スプライン関数である。）式(25)によって周期n₁τとn₂τを持った入力信号X(t₁,t₂)に前記フィルタを適用
してY_j1,j2を計算するステップと、【数９】次式、式(27)、および式(28)を適用してB_s1,s2を計算するステップと、【数１０】（ここで、アレイA_j1j2,k1k2は式(27)のように2−D循環形式で表現できる。）
A_j1j2,k1k2=B(k₁−j₁)n₁,(k₂−j₂)n₂ (27) （ここで、(k_i−j_i)n_iは、i=1,2に対するn_iを法とした剰余(k_i−j_i)を示す。
）【数１１】（ここで、i=1,2に対し、0≦s_i≦n_i−1である。） Y_j1,j2とB_s1,s2の2−D FFTを計算して、それぞれ〜Y_m,nと〜B_m,nを得るステップ
と、〜X_m,n=〜Y_m,n/〜B_m,nを計算するステップと、〜X_m,nの逆FFTを計算して圧縮画像X_k1,k2を得るステップと、を備えたことを特徴とする２−D信号を符号化するためのコンピュータによって
実行される方法。
【請求項１０】式(21)を適用して2−D再構成画像S(t₁,t₂)を得るために、
X_k1,k2とR(t1,t2)=R(t₁)・R(t₂)によって与えられるR(t₁,t₂)の2−D畳み込みを
実行するステップを更に備えたことを特徴とする請求項９の方法。【数１２】
【請求項１１】 σ=0であることを特徴とする請求項９の方法。
【請求項１２】 σ=μ=0であることを特徴とする請求項９の方法。
【請求項１３】 η=λ=ρ=μ=σ=0であることを特徴とする請求項９の方法
。
【請求項１４】 τ=2であることを特徴とする請求項９の方法。
【請求項１５】 τ=3であることを特徴とする請求項９の方法。
【請求項１６】式(17)によって定義された2−D ３次スプライン・フィル
タと、 R(t₁,t₂)=R(t₁)・R(t₂), (17) （ここで、R(t₁)とR(t₂)はそれぞれ1−D３次スプライン関数である。）式(25)によって周期n₁τとn₂τを持った入力信号X(t₁,t₂)に前記フィルタを適用
してY_j1,j2を計算する手段と、【数１３】次式、式(27)、および式(28)を適用してB_s1,s2を計算するステップと、【数１４】（ここで、アレイA_j1j2,k1k2は式(27)のように2−D循環形式で表現できる。）
A_j1j2,k1k2=B(k₁−j₁)n₁,(k₂−j₂)n₂ (27) （ここで、(k_i−j_i)n_iは、i=1,2に対するn_iを法とした剰余(k_i−j_i)を示す。
）【数１５】（ここで、i=1,2に対し、0≦s_i≦n_i−1である。） Y_j1,j2とB_s1,s2の2−D FFTを計算して、それぞれ〜Y_m,nと〜B_m,nを得る手段と、
〜X_m,n=〜Y_m,n/〜B_m,nを計算する手段と、 X_m,nの逆FFTを計算して圧縮画像X_k1,k2を得る手段と、を備えたことを特徴とするデータ圧縮のための符号器。
【請求項１７】式(21) 【数１６】を適用して2−D再構成画像S(t₁,t₂)を得るために、X_k1,k2とR(t1,t2)=R(t₁)・R(
t₂)によって与えられるR(t₁,t₂)の2−D畳み込みを実行するための手段有する復
号器を更に備えたことを特徴とする請求項１６の符号器。
【請求項１８】 τ=2であることを特徴とする請求項１６の符号器。
【請求項１９】 τ=3であることを特徴とする請求項１６の符号器。
【請求項２０】 σ=0であることを特徴とする請求項１６の符号器。
【請求項２１】 σ=μ=0であることを特徴とする請求項１６の符号器。
【請求項２２】 η=λ=ρ=μ=σ=0であることを特徴とする請求項１６の符
号器。
【請求項２３】画像X(t₁,t₂)にゾーンフィルタR(m₁.m₂)を適用してY_j1,j2 を計算するステップと、【数１７】次式、式(27)、および式(28)を適用してB_s1,s2を計算するステップと、【数１８】（ここで、アレイA_j1j2,k1k2は式(27)のように2−D循環形式で表現できる。）
A_j1j2,k1k2=B(k₁−j₁)n₁,(k₂−j₂)n₂ (27) （ここで、(k_i−j_i)n_iは、i=1,2に対するn_iを法とした剰余(k_i−j_i)を示す。
）【数１９】（ここで、i=1,2に対し、0≦s_i≦n_i−1である。また、定数α,β,γ,δ,η,λ,ρ,μ,σはゾーンフィルタR(m₁.m₂)間の自己相
関係数である。）全ての係数B_s1,s2を幅２の境界を有するB_s1,s2の個々の重複サブ画像に分割する
ステップと、 B_s1,s2の全ての重複サブ画像のWinograd離散フーリエ変換(WDFT)を計算して係数
B_m,nを得るステップと、全ての係数Y_j1,j2を幅２の境界を有するY_j1,j2の個々の重複サブ画像に分割する
ステップと、 Y_j1,j2の全ての重複サブ画像のWDFTを計算して〜Y_m,nの個々のサブ画像の変換を
得るステップと、〜X_m,n=〜Y_m,n/〜B_m,nを計算してX_m,nの各サブ画像を得るステップと、 X_m,nの全てのサブ画像の逆WDFTを計算してX_k1,k2のサブ画像を得るステップと、 X_k1,k2の二つの隣接するサブ画像の重複境界の中の重複画素を除去するステップ
と、 X_k1,k2の各非重複サブ画像を組み合わせてX_k1,k2の全体画像を得るステップと、を備えたことを特徴とする画像X(t₁,t₂)を符号化するためのコンピュータによっ
て実行される方法。
【請求項２４】 τ=2であることを特徴とする請求項２３の方法。
【請求項２５】 τ=3であることを特徴とする請求項２３の方法。
【請求項２６】ゾーンフィルタ間の自己相関係数σ=0であることを特徴と
する請求項２３の方法。
【請求項２７】ゾーンフィルタ間の自己相関係数σ=μ=0であることを特
徴とする請求項２３の方法。
【請求項２８】ゾーンフィルタ間の自己相関係数η=λ=ρ=μ=σ=0である
ことを特徴とする請求項２３の方法。
【請求項２９】 WDFTが式(41)によって与えられる9×9 WDFTであり、Y_j1,j ₂ のサブ画像が9×9であることを特徴とする請求項２３の方法。【数２０】
【請求項３０】 WDFTが式(42)によって与えられる5×5 WDFTであり、Y_j1,j ₂ のサブ画像が5×5であることを特徴とする請求項２３の方法。【数２１】
【請求項３１】式(21)を適用してX_k1,k2とR(t₁,t₂)の2−D畳み込みを実行
して2−D再構成画像S(t₁,t₂)を得るステップを更に備えたことを特徴とする請求
項２３の方法。【数２２】
【請求項３２】画像X(t₁,t₂)にゾーンフィルタR(m₁.m₂)を適用してY_j1,j2 を計算する手段と、【数２３】式(26)、式(27)、および式(28)を適用してB_s1,s2を計算する手段と、【数２４】（ここで、アレイA_j1j2,k1k2は式(27)のように2−D循環形式で表現できる。）
A_j1j2,k1k2=B(k₁−j₁)n₁,(k₂−j₂)n₂ (27) （ここで、(k_i−j_i)n_iは、i=1,2に対するn_iを法とした剰余(k_i−j_i)を示す。
）【数２５】（ここで、i=1,2に対し、0≦s_i≦n_i−1である。また、定数α,β,γ,δ,η,λ,ρ,μ,σはゾーンフィルタR(m₁.m₂)間の自己相
関係数である。）全ての係数B_s1,s2を幅２の境界を有するB_s1,s2の個々の重複サブ画像に分割する
手段と、 B_s1,s2の全ての重複サブ画像のWinograd離散フーリエ変換(WDFT)を計算して係数
〜B_m,nを得る手段と、全ての係数Y_j1,j2を幅２の境界を有するY_j1,j2の個々の重複サブ画像に分割する
手段と、 Y_j1,j2の全ての重複サブ画像のWDFTを計算してY_m,nの個々のサブ画像の変換を得
る手段と、〜X_m,n=〜Y_m,n/〜B_m,nを計算して〜X_m,nの各サブ画像を得る手段と、 X_m,nの全てのサブ画像の逆WDFTを計算してX_k1,k2のサブ画像を得る手段と、 X_k1,k2の二つの隣接するサブ画像の重複境界の中の重複画素を除去する手段と、 X_k1,k2の各非重複サブ画像を組み合わせてX_k1,k2の全体画像を得る手段と、を備えたことを特徴とする画像圧縮のための変形JPEG符号器。
【請求項３３】 τ=2であることを特徴とする請求項３２の符号器。
【請求項３４】 τ=3であることを特徴とする請求項３２の符号器。
【請求項３５】ゾーンフィルタ間の自己相関係数σ=0であることを特徴と
する請求項３２の符号器。
【請求項３６】ゾーンフィルタ間の自己相関係数σ=μ=0であることを特
徴とする請求項３２の符号器。
【請求項３７】ゾーンフィルタ間の自己相関係数η=λ=ρ=μ=σ=0である
ことを特徴とする請求項３２の符号器。
【請求項３８】 WDFTが式(41)によって与えられる9×9 WDFTであり、Y_j1,j ₂ のサブ画像が9×9であることを特徴とする請求項３２の符号器。【数２６】
【請求項３９】 WDFTが式(42)によって与えられる5×5 WDFTであり、Y_j1,j ₂ のサブ画像が5×5であることを特徴とする請求項３２の符号器。【数２７】
【請求項４０】式(21)を適用してX_k1,k2とR(t₁,t₂)の2−D畳み込みを実行
して2−D再構成画像S(t₁,t₂)を得るステップを更に備えたことを特徴とする請求
項３２の符号器。【数２８】
【請求項４１】３次スプライン・フィルタを定義するステップと、前記フィルタを信号と相関づけて相関信号を得るステップと、前記フィルタを自己相関づけて自己相関フィルタ係数を得るステップと、相関信号の変換と自己相関フィルタ係数を計算するステップと、相関信号の変換を自己相関フィルタ係数の変換で割って圧縮信号の変換を得るス
テップと、圧縮信号の変換の逆変換を計算して圧縮信号を得るステップと、を備えたことを特徴とする信号を符号化するためのコンピュータによって実行さ
れる方法。
【請求項４２】前記信号、前記フィルタ、と前記変換が1次元であること
を特徴とする請求項４１の方法。
【請求項４３】前記信号、前記フィルタ、と前記変換が２次元であること
を特徴とする請求項４１の方法。
【請求項４４】前記圧縮信号と前記フィルタの畳み込みを計算して再構成
信号を得るステップを更に備えたことを特徴とする請求項４１の方法。
【請求項４５】変換を計算する前記ステップが高速フーリエ変換(FFT)を
計算することを含むと共に、逆変換を計算する前記ステップが逆FFTを計算する
ことを含むことを特徴とする請求項４１の方法。
【請求項４６】変換を計算する前記ステップが、重複セーブ・スキームを
持ったWinograd離散フーリエ変換(WDFT)を計算することを含むと共に、逆変換を
計算する前記ステップが逆WDFTを計算することを含むことを特徴とする請求項４
１の方法。
【請求項４７】前記相関ステップと前記自己相関ステップを単純化するた
めにゾーンフィルタを定義するステップを更に備えたことを特徴とする請求項４
１の方法。
【請求項４８】３次スプライン・フィルタと、前記フィルタを入力信号と相関づけて相関信号を得る手段と、前記フィルタを自己相関づけて自己相関フィルタ係数を得る手段と、相関信号の変換と自己相関フィルタ係数を計算する手段と、相関信号の変換を自己相関フィルタ係数の変換で割って圧縮信号の変換を得る手
段と、圧縮信号の変換の逆変換を計算して圧縮信号を得る手段と、を備えたことを特徴とするデータ圧縮のための変形JPEG符号器。
【請求項４９】前記信号、前記フィルタ、と前記変換が1次元であること
を特徴とする請求項４８の符号器。
【請求項５０】前記信号、前記フィルタ、と前記変換が２次元であること
を特徴とする請求項４８の符号器。
【請求項５１】前記圧縮信号と前記フィルタの畳み込みを計算して再構成
信号を得るための手段を有する復号器を更に備えたことを特徴とする請求項４８
の符号器。
【請求項５２】変換を計算する前記ステップが高速フーリエ変換(FFT)を
計算することを含むと共に、逆変換を計算する前記ステップが逆FFTを計算する
ことを含むことを特徴とする請求項４８の符号器。
【請求項５３】変換を計算する前記ステップが、重複セーブ・スキームを
持ったWinograd離散フーリエ変換(WDFT)を計算することを含むと共に、逆変換を
計算する前記ステップが逆WDFTを計算することを含むことを特徴とする請求項４
８の符号器。
【請求項５４】前記相関ステップと前記自己相関ステップを単純化するた
めにゾーンフィルタを定義するステップを更に備えたことを特徴とする請求項４
８の符号器。