JP2003030252A - 有限要素法ライブラリ、有限要素法プログラムおよび記憶媒体 - Google Patents

Abstract

(57)【要約】 【課題】 有限要素法をライブラリとして利用したプロ
グラムの信頼性を向上し、プログラム作成ミスによる計
算誤差や収束時間の悪化を回避する有限要素法ライブラ
リを提供する。 【解決手段】 有限要素法によるプログラム処理を記述
したライブラリであって、有限要素法の基底関数の張る
ベクトル空間のベクトルと、該基底関数の２乗積分から
決まる内積より誘導される計量によって定まる双対ベク
トル空間の双対ベクトルとを異なる抽象データ型として
定義することを特徴とする。

Description

【発明の詳細な説明】

【０００１】

【発明の属する技術分野】本発明は有限要素法の基礎的
なシミュレータライブラリの構成に関する。

【０００２】

【従来の技術】岩波の数学辞典第三版によると、有限要
素法の発見をCourantの1943年の論文(Bull. Amer. Mat
h. Soc., 49)としてみる考えと、その後のM. J. Turner
らの論文（J. Aero. Sci. 23 (1956) 805-823）と見る
考えとがあるようである。どちらにしても、その発見か
ら粗半世紀を経て、その工学の分野への寄与は言うまで
もないと思われ、毎年多くの論文が出版され、また多く
の教科書が書かれている。例えば、Ｃ．Ｃ．ツィエンキ
ーヴィッツ著 吉識雅夫、山田嘉昭監訳 マトリックス
有限要素法、三訂版 （培風館１９８４年発行）や矢川
元基、吉村忍著「有限要素法」（培風館１９９１年発
行）がある。

【０００３】更には、有限要素法に関連した発明がなさ
れており、初期のものとしては、特許公報昭61-10771が
ある。特にメッシュの生成方法に関しては、様々な提案
がなされている。例えば、特開平6-231216や特開平6-23
1217、特開平9-185729、特開平9-259300などがある。

【０００４】有限要素法の基本的な考え方は、境界値問
題として定まった偏微分方程式の解を、微分作用素の定
義域である関数空間Ｆを実有限次元ヒルベルト空間Ｈで
近似することで求めるというものであるRitzの方法に立
っている（ここで関数空間Ｆが複素数値の場合も実行列
表現があるので、一般性を失わず、実の場合のみを述べ
ている）。ヒルベルト空間Ｈの内積としてはルベーグの
関数空間の２乗積分（Ｌ２）ノルム（岩波数学辞典第三
版、岩波、１９９４年発行p.61）から誘導される自然な
内積を利用する。また、近似の評価を弱い位相で行うと
いうのもRitzの方法と同様である。有限次元ヒルベルト
空間Ｈは有限次元ベクトル空間Ｖと内積<>の組(V,<,>)
によって定まるが、この場合ＶからＦへの線形写像が単
射となるように構成されており、Ｆへの様々な作用（例
えば微分作用）はその自然な制限としてＶ上の作用とし
て定義できる。

【０００５】多くの有限要素法の特徴としては、有限次
元ヒルベルト空間の基底関数として極めて狭い台（非ゼ
ロ集合の閉包）をもつ関数を利用することである。その
ため、有限次元ベクトル空間Ｖに対する上記ヒルベルト
空間内Ｈ (V,<,>)の自然な内積<>から決まる計量 M、即
ち、Ｖからその双対空間Ｖ*への線形写像、

【０００６】

【数１】 が一般に疎な行列として定まる。ここでＭは、実数Ｒへ
の双線形写像である内積

【０００７】

【数２】 が自然なペアリング(,)：Ｖ×Ｖ* → Ｒを利用して、

【０００８】

【数３】 と一致するように決定している。また、関数空間Ｆへの
微分作用素も上記の自然な制限により、有限次元ヒルベ
ルト空間Ｈ上の有界な（つまり、実数係数有限次元行列
表示をもつ）作用素と見なすことができる。上記の制限
が作用素環としての準同型になるとは限らないので、作
用素環としての自然な包含とはなっていない。しかしな
がら、ベクトル空間Ｖを実数値ベクトル空間としての関
数空間Ｆの自然な包含であると考えることは重要であ
り、有限要素法は有限次元作用素環上に定義された数値
計算技法であると考えることも重要である。

【０００９】また、上記に述べたように極めて狭い台を
持つ関数をＶの基底関数とするために、計量Ｍや多くの
物理的な微分作用素のＨでの行列表現が、通常非常に疎
な行列（非ゼロの要素の数の全自由度に対する比が非常
に小さい行列）となる。そのため数値的な計算が非常に
簡単に行える。

【００１０】このように、有限要素法という仕組み自体
には汎用性があり、かかる汎用性を利用して、有限要素
法のプログラムを自動生成する自動生成プログラムの開
発や有限要素法の基本部分をライブラリとして提供する
ための有限要素法ライブラリの開発が行われてきた。

【００１１】前者の例としては、たとえば、特公平7-12
0275、特公平7-120276、特許番号2765888号が挙げられ
る。しかし自動生成プログラムは出入力等々を課題に合
わせて変更する等のことが容易ではなく柔軟性に欠ける
という欠点があった。

【００１２】一方、後者の例としては、Hans Petter La
ngtangen著Computational PartialDifferential Equati
ons : Numerical Methods and Diffpack Programming
(Lecture Notes in Computational Science and Engine
ering, 2) （Springer 1999年発行）の本の中でDiffpac
kというライブラリが紹介されている。さらに、有限要
素法ライブラリを実のあるものとするための土台として
図３に示すような階層的構造格子上で有限要素法の定式
化が提案されており、例えば、Michael Griebel, Gerha
rd Zumbusch, "Parallel adaptive subspace correctio
n schemes withapplications to elasticity" Compuer
Methods in applied mechanics and engineering 184
p.303-332 (2000)、およびその参考文献に詳しく述べ
られている。

【００１３】ここで有限要素法ライブラリとは行列演算
ライブラリや関数ライブラリと同様に、ユーザであるプ
ログラマーが自作のプログラムに組み込んで個々の問題
に応じて変数を定義し、ライブラリの提供する関数等を
組み合わせて、問題に応じた有限要素法プログラムを完
成させるための基礎的な変数宣言及びサブルーチンや関
数の集合をいう。そして有限要素法による処理がライブ
ラリにおいて数学的に定式化されているため、上述の自
動生成プログラムを用いた有限要素プログラムの作成に
比べて、ライブラリを利用する方法は、個別の問題（例
えば、材料力学、連続体力学、電磁気学等）に応じた有
限要素プログラムの作成が容易であるという利点があ
る。

【００１４】

【発明が解決しようとする課題】しかし、有限要素法を
ライブラリとして利用する際に、ユーザが（式１）に示
した計量を意識せずに利用するという問題がある。これ
は通常の線形代数の教科書等においては、ベクトル空間
の基底として正規直交基底を基本としているものが多
く、双対空間や計量を意識しないためである。この結
果、ユーザがベクトル空間に、有限要素法の自然な内積
とは異なる内積を導入することとなり、このような扱い
は本来考えている有限要素法がもつヒルベルト空間Ｈを
歪めて全く異なるヒルベルト空間を考えてしまうことに
なる。ヒルベルト空間の内積はベクトル空間から大小を
比較する量（順序集合）である実数への（双線形）写像
であり、この内積を変更するということは、大小関係を
全く異なるものにすることを意味する。実際、誤差評価
等々は、この実数への写像を利用して行うものが自然で
あると考えられるので、内積を変更することは重大な誤
りを生むこととなる。

【００１５】一般に作用素環はヒルベルト空間上の作用
素の環として定義されるが、作用素環論においてヒルベ
ルト空間の内積は非常に重要な役割を果たすことが知ら
れている。無限次元のベクトル空間である関数空間の場
合は内積の入れ方により対象となる現象が大きく様変わ
りしてしまうこともある。有限要素法を有限次元作用素
環と見ることは自然であると述べたが、有限要素法は、
無限次元ベクトル空間である物理的な空間を模したもの
であるので、同様に内積について十分な注意を払う必要
がある。よって、このような視点からも内積の不十分な
取り扱いは数学的な合理性を失うこととなる。

【００１６】また、事実、有限要素法では基底関数を、
図４に示すような非構造格子を利用しその胞上あるいは
その胞の近傍上で連結な台（非零値を持つ定義域の閉
包）を定義することが一般的である。個々の胞は胞毎に
体積は異なるものと思ってよい。他方、計量行列の非ゼ
ロの行列要素は個々の有限要素法の胞の体積に強い相関
をもつことが知られており、要素の体積比が大きいこと
は、行列要素の値の分布に開きがあることを意味する。
よって、計量Ｍを無視した別の内積を定義することは、
収束の遅延や精度の劣化を招くこととなる。このことは
有限要素法ライブラリ自身の精度や信頼性の問題にもな
り、ライブラリを作成するに当たっては重大な課題とな
る。

【００１７】このように、有限要素法をライブラリとし
て利用するにあたり、ヒルベルト空間の内積を正しく算
出するためのプログラムを作成することは、計算誤差の
低減や収束時間の向上等、プログラムの信頼性の観点か
ら極めて重要な問題である。本発明は、上記課題を鑑み
てなされたものであり、有限要素法をライブラリとして
利用したプログラムの信頼性を向上し、プログラム作成
ミスによる計算誤差や収束時間の悪化を回避する有限要
素法ライブラリを提供することを目的とする。

【００１８】

【課題を解決するための手段】かかる課題を解決するた
め、例えば本発明の有限要素法ライブラリは以下の構成
を備える。すなわち、有限要素法によるプログラム処理
を記述したライブラリであって、有限要素法の基底関数
の張るベクトル空間のベクトルと、該基底関数の２乗積
分から決まる内積より誘導される計量によって定まる双
対ベクトル空間の双対ベクトルとを異なる抽象データ型
として定義することを特徴とする。

【００１９】

【発明の実施の形態】以下、必要に応じて添付図面を参
照しながら本発明に係る実施形態を詳細に説明する。

【００２０】＜装置構成＞図１は本発明の一実施の形態
にかかる有限要素法ライブラリを備えた処理装置の一例
を示す図である。プログラム作成者は、該処理装置を用
いて有限要素法プログラムを作成する。

【００２１】図１において、１０１はＣＲＴ等の表示装
置、１０２はキーボードやマウス等の各種入力装置を表
す。ハードディスク１０３には各種プログラムが記憶さ
れており、かかるプログラムはバス１０７を介してメモ
リ１０５に読み込まれ、ＣＰＵ１０６において処理され
る。

【００２２】ハードディスク１０３に記憶されている各
種プログラムは有限要素法プログラムを作成するうえで
必要なプログラムであり、１０３−６はＯＳ、１０３ー
２はプログラムを記述するためのエディタ、１０３−４
は各種ライブラリ、１０３−５はヘッダファイル、１０
３−１はコンパイラ、１０３−３はリンカを表す。

【００２３】なお、ハードディスク１０３に記憶された
これらのプログラムは、フロッピー（登録商標）ディス
ク１０８に記憶されていてもよく、フロッピーディスク
ドライブ１０４を介して読み込んでもよい。

【００２４】＜プログラム作成の流れ＞図２は、上記処
理装置を用いて、プログラム作成者が有限要素法プログ
ラムを作成する作成手順を示した図である。

【００２５】２０１はエディタ１０３−２を用いて作成
した有限要素プログラム（ソース）で、ヘッダ部分２０
２と処理内容を記述した部分２０３とを備える。作成さ
れた有限要素プログラム２０１はコンパイラ１０３−２
を用いてコンパイルされ、オブジェクトファイル２０５
が生成され、さらに、リンカ１０３−３によりライブラ
リ１０３−４がオブジェクトファイル２０５にリンクさ
れ、実行形式のファイル２０９が生成される。図２にお
いて、２０６はリンカ１０３−３によりリンクされる複
数のライブラリ１０３−４のうち、本実施形態にかかる
有限要素ライブラリを示すもので、具体的にはテキスト
ファイルとして存在するヘッダファイル２０７と、有限
要素法ライブラリのバイナリファイル２０８とを備え
る。このうち、リンカ１０３−３によりリンクされるの
は有限要素法ライブラリのバイナリファイル２０８の部
分で、ヘッダファイル２０７はコンパイラ１０３−２に
よりコンパイルされる際に読み込まれる。

【００２６】有限要素法ライブラリ２０６を使用して、
物理現象を解析するための有限要素法を利用したコンピ
ュータ・シミュレーション・プログラム（有限要素法プ
ログラム２０１）を開発するユーザが、キーボードある
いはマウス等の入力装置１０２からの信号により、ハー
ドディスク１０３から有限要素ライブラリ２０６をメモ
リ１０５上にロードして利用される。利用方法に関して
は、本実施形態の有限要素法ライブラリの仕様書を用意
して利用されるが、各クラスの仕様に従って、上述のよ
うにクラスの継承等を使ってエディタ１０３−２を起動
させることで、アスキーファイルとしてプログラムを書
き、コンパイル時にはヘッダファイル２０７（ファイル
名：FEM.h）を、実行プログラム作成時のリンクの際に
は有限要素法ライブラリのソース２０８（ファイル名：
libFEM.a）を同時にメモリ１０５上に載せることで利用
する。

【００２７】このようなプログラム作成の流れにより、
プログラム作成者はコンパイル時またはリンク時のエラ
ーに基づき、プログラムの不具合を修正（デバック）す
る。

【００２８】＜有限要素法ライブラリ＞図２の２０６に
示した本発明の一実施の形態にかかる有限要素法ライブ
ラリの詳細について以下に説明する。

【００２９】本発明の一実施の形態にかかる有限要素法
ライブラリにおいては、ベクトル空間を表わす型とし
て、構造体を利用して、FEMVectorという型をヘッダフ
ァイル２０７に定義した。また、同様に、FEMCovector
を双対空間のベクトルとして用意した。当然のことであ
るが、個々の型宣言した名称に本発明は依存しないが、
説明の簡潔性のために上記または下記で具体的名称で記
述することとする。

【００３０】FEMGeometryを、系を表現する離散幾何学
的な情報をもった構造体とする。例えば、構造体FEMGeo
metryは格子点を表現するための構造体であるFEMNodeの
配列を保持している。

【００３１】個別の問題に応じてプログラム作成者によ
り記述される関数f(x)（図２の２０４）は、それぞれの
格子点Nに張り付いた近接胞内で非零でその他ではゼロ
となる基底e[N](,x)を利用し、該基底に対して実数ｆ
[N]を配分することで、表現される。つまり、該f(x)は
次のような線形和で

【００３２】

【数４】 表現されている。これらの基底に配分された実数の集合
{ｆ[N] | Nは全ての格子点 }を本明細書ではベクトル
空間Ｖの要素ｆ=(ｆ[N])と見なしている。この{ｆ[N] |
Nは全ての格子点 }を配列として含む構造体としてFEM
Vectorを定義する。これより、系の上で定義された関数
ｆとベクトル空間{ｆ[N] | Nは全ての格子点 }と更に
処理装置上のメモリ１０５の実態FEMVectorを同一視す
ることができる。記号の混乱はないと思われるので同一
のｆと記す。

【００３３】他方、基底の間には次のような自然な内積
が定義されており、

【００３４】

【数５】 これをベクトル空間Ｖから双対ベクトル空間Ｖ*への線
形写像である計量であるとみることが自然である（N'は
Nとは異なる格子点を指す）。但し、nは系が３次元のと
きは３、２次元のときは２となる次元を表わす量であ
る。ここで、線形空間であるので行列Mは幾何学的情報
と基底e[N]の性質のみによって決定され、個々のベクト
ルfによらない。そこで、ベクトルｆの双対ベクトルｆ*
=(ｆ*[N])を

【００３５】

【数６】 と定義する。本実施形態の有限要素法ライブラリ２０６
においては、このように定義される量を計算機のメモリ
１０５上に構成するために、FEMCovectorという新たな
構造体を定義部２０７に定義している。即ち、行列Ｍは
FEMVectorをFEMCovectorに変換するものとして実現して
いる。即ち、本実施形態の有限要素法ライブラリ２０６
においては、

【００３６】

【数７】 を関数として定義している。一般的にＭの逆行列を計算
することは計算コストのかかるものであるので、本実施
形態の有限要素ライブラリ２０６においては上記の逆操
作は用意していない。しかしながら、そのような関数を
用意しておいてもよいし、また、逆操作を近似的に行う
ような関数を用意しておいてもよい。

【００３７】また従来の技術で述べたように関数空間Ｆ
に作用した所望の偏微分作用素Lの作用は本実施形態の
有限要素法ライブラリ２０６の扱うヒルベルト空間Ｈに
制限され、

【００３８】

【数８】 を通して定義される。このことを考慮して、本実施形態
の系の関数ｆに対する所望の偏微分作用素Lの作用を

【００３９】

【数９】 としてプログラム内に実現している。即ちＬのｆへの作
用に関しても、FEMVectorからFEMCovectorへの変換行列
として定義し、ｆへのＬの作用をFEMCovectorとして、
メモリ１０５上に格納する。

【００４０】これらの自然なベクトル空間とその双対空
間に対するペアリングを本実施形態の有限要素ライブラ
リにおいては、大局的関数Pairing (FEMVector f, FEMC
ovector G)として内包している。つまり、大局的関数Pa
iring(FEMVector f, FEMCovector G)は次の演算によっ
て定義している。

【００４１】

【数１０】 これはG=g*として、ベクトル空間Ｖの要素を定めると
（即ち、g=M-1 G）、ｆ、ｇを系の関数として、関数空
間の２乗積分（Ｌ２）ノルム（岩波数学辞典第三版、岩
波、１９９４年発行p.61）から誘導される自然な内積

【００４２】

【数１１】 が実現できている。よって、本実施形態の有限要素ライ
ブラリ２０６においては、ベクトル空間同士の内積や双
対空間の内積の代わりに自然なペアリング Pairingのみ
を提供している。

【００４３】このPairingを利用すると、<f,Lg>のよう
な内積も計算できる。ここで、(L)[N,N']もM[N,N']も幾
何学と基底関数が決定されると一意的に決定されるこ
と、また基底関数の台を局所的にしておくことにより、
行列要素は非常に簡単に計算できる。実際、M[N,N']
(L)[N,N']に現れる積分の領域は全領域上ではあるが、
基底関数の台(非零値を持つ定義域の閉抱）の局所性か
ら、U[N]をe[N]の台とすると、（式５）及び（式８）の
積分はそれぞれ、

【００４４】

【数１２】

【００４５】

【数１３】 と変更できる。つまり積分は各台の交わりの部分でのみ
行えばよく、一般に簡潔に書きくだすことができる。特
に、構造格子あるいは構造格子の階層的表現における実
現は非常に簡単である。

【００４６】また、（式１２）及び（式１３）に示すよ
うに、(L)[N,N']やM[N,N']はU[N]∩U[N']の体積に関連
していることが判る。特にM[N,N']はe[N]として非負値
関数を利用すると正の相関を持っていることは自明であ
る。そのため、U[N]∩U[N']の体積が一定でない有限要
素法では、計量M[N,N']の各非零な要素の比は一般的に
非常に大きく、これを単位行列で近似することは計算結
果の精度や収束速度等を著しく悪化させるものであるこ
とがわかる。

【実施例１】実施例１では、上述の実施の形態において
述べた有限要素法ライブラリ２０６のヘッダファイル２
０７の具体例について述べる。

【００４７】本実施例の有限要素法ライブラリにおいて
は、２０００年ＩＳＯ、ＡＮＣＩの規格に準拠したＣ＋
＋をベースに構成した。当然のことながら、上述の実施
の形態の構成は他の言語を利用しても同様の結果を得
る。

【００４８】そのために、ベクトル空間を表わす型とし
て、オブジェクト指向のクラスを利用して、FEMVector
という型を定義した。また、同様に、FEMCovectorを双
対空間のベクトルとして用意した。

【００４９】以下に本実施例の有限要素ライブラリのソ
ースにおいて上述の実施の形態に関連する部分を列挙し
た。

【００５０】まず、格子点の情報をもつクラスとして、
FEMNodeを以下のように定義した。 また、これらを統括するものとしてFEMGeometryを用意
した。 これらを使って、FEMVectorとして、実数配列を内包す
るクラスを定義した。 class FEMVector{ FEMGeometry* Geomp; double* Vp; public: FEMVector(FEMGeometry& Geom, const int& Nodenumber){ Geomp = &Geom; Vp = new double [Nodenumber]; } double& operator()(FEMNode N){ return Vp[N.geti()]; } ................ }; 発明の実施の形態で述べたようにFEMCovectorを次のよ
うに定義した。 class FEMCovector{ FEMGeometry* Geomp; double* Vp; public: FEMCovector(FEMGeometry& Geom, const int& Nodenumber){ Geomp = &Geom; Vp = new double [Nodenumber]; } double& operator()(FEMNode N){ return Vp[N.geti()]; } ................ }; またグローバル関数として、次の３つを用意した。 FEMCovector DualMap( FEMVector& f ); FEMCovector Laplacian( FEMVector& f); double Pairing(FEMVector& f, FEMCovector& g); それぞれの関数の内容は（式７）、（式９）と（式１
０）で与えられているとおりである。但し、Laplacian
は線形偏微分作用素としてラプラス作用素を利用したも
のである。、更には、これらをグローバル関数として与
えたが、適当なクラスのメンバー関数としてもよいし、
namespace等を利用してカプセル化してもよい。

【００５１】このようにして作成された有限要素法ライ
ブラリは、通常のライブラリのように、ヘッダファイル
２０６は、コンパイル時に、またバイナリ化された部分
（有限要素法ライブラリのソース２０８）は、リンク時
及び実行時に、リンクされ、各種物理問題を解決するた
めの有限要素法プログラムとして利用される。

【００５２】FEMVectorから継承した物理的量、例えば
熱伝導方程式の場合は温度を定義し、物理的な要請に従
って方程式を解くこととなる。例えば、 のように書けばよい。上記の型定義のためにライブラリ
を使用するユーザが誤って、FEMVector同士、あるいはF
EMCovector同士のPairingを取ろうとするとコンパイル
エラーが発生し、ユーザは有限要素法内の計量空間を意
識せざる得なくなり、不用意なプログラミングのための
精度落ちや信頼性の欠如の回避が可能となる。そのため
計算結果自身に対するライブラリの信頼性も向上する。

【実施例２】実施例１では、型としてFEMVector, FEMCo
vectorを捕らえたが、namespaceや真偽量を利用して、
両者の区別を行ってもよい。即ち、 enum SpaceType{ Vector, Covector } を定義して、実施例１のFEMVector, FEMCovectorのクラ
スの代わりに、次のFEMSpaceを定義し、 class FEMSpace{ FEMGeometry* Geomp; double* Vp; SpaceType Dual; public: FEMspace(FEMGeometry& Geom,const int& Nodenumber, SpaceType& D){ Geomp = &Geom; Vp = new double [Nodenumber]; Dual = Dual; } double& operator()(FEMNode N){ return Vp[N.geti()]; } }; これに対応し、グローバル関数として、 FEMSpace DualMap( FEMSpace& f ); FEMSpace Laplacian( FEMSpace& f); double Pairing(FEMSpace& f, FEMSpace& g); を与えた。ここで、DualMap( f )及び Laplacian( f)
は、それぞれ引数であるｆのメンバー、SpaceTypeがVec
torでない場合はエラーを発してプログラムを終える等
の条件処理を行い、fがVectorの場合は帰り値としてのF
EMSpaceのSpaceTypeはCovectorであるようにした。また
Pairing(f, g)も、SpaceTypeがVector同士あるいはCov
ector同士の場合には、実行時にプログラムが働かない
ように条件文を入れた。DualMap( f )をfのSpaceTypeが
Covectorの場合にプログラムを終える処置をしたのは一
般に式（１）の計量Ｍの逆行列を計算するのは難しいた
めであるが、もちろん、DualMapを近似的にあるいは、
厳密に双対空間から空間への写像として定義しておいて
もよい。

【００５３】更には、これらをグローバル関数として与
えたが、適当なクラスのメンバー関数としてもよいし、
namespace等を利用してカプセル化してもよい。

【００５４】かかる構成により、プログラムの実行時
に、本発明の課題であった計量空間に対するユーザ思い
違い等はエラーとして、ユーザが認識することとなる。
このことにより、有限要素法ライブラリおよびそれを利
用したプログラムの信頼性を向上するものとなる。即
ち、ユーザの思い違いによる計算誤差や収束時間の悪化
等の問題が回避される。

【実施例３】本発明の有限要素法ライブラリの基本的な
原理はプログラムの言語によらずに形成できる。例え
ば、Fortran90においても、Ｃ言語においても作成でき
る。その他Pascal等においても同様の効果を得るプログ
ラムを作成できることは自明である。またＣ＋＋のＳＴ
Ｌ機能を利用しても同様なものが作成できる。

【実施例４】本発明は物理量が実数値関数で表現される
例について述べたが、物理量が多次元ベクトル値や複素
数値の場合についても同様に構成できる。特にC++等の
高級言語にあるジェネリック・プログラミングに対応し
た言語を利用することにより、より簡潔に実装すること
が可能となる。

【００５５】

【発明の効果】以上、説明したごとく本発明によれば、
有限要素法をライブラリとして利用したプログラムの信
頼性を向上し、プログラム作成ミスによる計算誤差や収
束時間の悪化を回避することが可能となる。

【図面の簡単な説明】

【図１】本発明の一実施の形態にかかる有限要素法ライ
ブラリを備えた処理装置の一例を示す図である。

【図２】本発明の一実施の形態にかかる処理装置を用い
て、プログラム作成者が有限要素法プログラムを作成す
る作成手順を示した図である。

【図３】有限要素法を説明するための図である。

【図４】有限要素法を説明するための図である。

【符号の説明】

１０１ 表示装置 １０２ 入力装置 １０３ ハードディスク １０４ フロッピーディスクドライブ １０５ メモリ １０６ ＣＰＵ １０７ バス １０８ フロッピーディスク

Claims (8)

【特許請求の範囲】
1. 【請求項１】 有限要素法によるプログラム処理を記述
   したライブラリであって、 有限要素法の基底関数の張るベクトル空間のベクトル
   と、該基底関数の２乗積分から決まる内積より誘導され
   る計量によって定まる双対ベクトル空間の双対ベクトル
   とを異なる抽象データ型として定義することを特徴とす
   る有限要素法ライブラリ。
2. 【請求項２】 前記有限要素法の基底関数の張るベクト
   ル空間のベクトルを表現するクラスにベクトルであるこ
   とを示す属性データを保持し、前記基底関数の２乗積分
   から決まる内積より誘導される計量によって定まる双対
   ベクトル空間の双対ベクトルを表現するクラスに双対ベ
   クトルであることを示す属性データを保持することを特
   徴とする請求項１に記載の有限要素法ライブラリ。
3. 【請求項３】 有限要素法によるプログラム処理を記述
   したライブラリであって、 前記ベクトル空間のベクトルまたは前記双対ベクトル空
   間の双対ベクトルを用いた演算結果が所定の属性データ
   を有するか否かをコンパイル時に確認可能であることを
   特徴とする請求項２に記載の有限要素法ライブラリ。
4. 【請求項４】 所望の線形偏微分作用素の前記ベクトル
   空間および前記双対ベクトル空間への弱形式としての表
   現行列に対して、該ベクトル空間の所望のベクトルへの
   該表現行列の作用を該双対ベクトル空間への写像として
   定義し、該双対ベクトル空間のベクトルデータとして保
   持することを特徴とする請求項１または２に記載の有限
   要素法ライブラリ。
5. 【請求項５】 請求項１に記載のライブラリを用いた有
   限要素法プログラムであって、 前記有限要素法の基底関数の張るベクトル空間のベクト
   ル同士の内積および前記基底関数の２乗積分から決まる
   内積より誘導される計量によって定まる双対ベクトル空
   間の双対ベクトル同士の内積を、前記抽象データ型に応
   じて禁止する処理を行うことを特徴とする有限要素法プ
   ログラム。
6. 【請求項６】 請求項２に記載のライブラリを用いた有
   限要素法プログラムであって、 前記有限要素法の基底関数の張るベクトル空間のベクト
   ル同士の内積あるいは前記基底関数の２乗積分から決ま
   る内積より誘導される計量によって定まる双対ベクトル
   空間の双対ベクトル同士の内積を、前記属性データに応
   じて禁止する処理を行うことを特徴とする有限要素法プ
   ログラム。
7. 【請求項７】 請求項１乃至４のいずれか１つに記載の
   有限要素法ライブラリを格納した記憶媒体。
8. 【請求項８】 請求項５または６に記載の有限要素法プ
   ログラムを格納した記憶媒体。