JP2002501650A

JP2002501650A - ３次元メッシュの圧縮および符号化

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Publication number: JP2002501650A
Application number: JP53952099A
Authority: JP
Inventors: リ、チェンクン; クォー、チュン―チエ、ジェイ
Original assignee: ユニバーシティーオブサザンカリフォルニア
Priority date: 1998-01-30
Filing date: 1999-01-29
Publication date: 2002-01-15
Also published as: WO1999039308A1; AU2479299A; EP0979493A1; CA2285427A1; US6262737B1

Abstract

(57)【要約】３D多面体メッシュを対象とした単一解像度および漸進的解像度符号化アルゴリズムを開示する。単一解像度モードでは、メッシュ形態（連続性）が構築的トラバース方式によって符号化される。この方法は、元のメッシュのデュアルグラフに適用され、一方で、メッシュの幾何情報が連続量子化およびビット・プレーン符号化（コンテキスト・アリスメティック符号化によって達成される）によって符号化される。漸進的解像度モードにおいては、メッシュは粗近似値（すなわち、ベースメッシュ）およびリファインのシーケンスによって表現される。ベースメッシュおよびリファインのシーケンスはいずれもエントロピー符号化され、連続的に変化する解像度の一連のメッシュモデルが、符号化ビットストリームから構築できる。３Ｄメッシュの形態および幾何データは重要度に応じて別々に符号化され、そして、単一のビットストリームに統合される。復号の際には、復号器はビットストリームから最も重要な情報を見つけ、順次、より詳細な情報を追加していき、より完全な3Dグラフィックモデルを生成する。復号器は、元のモデルの再構築データを、元もモデルを論理的に再構築していくので、どの点においても停止できる。開示されたアルゴリズムを、複雑な３Dメッシュに適用した結果、グラフィックの画質を良好に保ちつつ２０：１という圧縮率を達成した。

Description

【発明の詳細な説明】 3次元メッシュの圧縮および符号化関連技術の説明本願は、仮出願シリアル番号６０／０７３，０８７（１９９８年１月３０日出願）、「３次元メッシュ圧縮および３次元符号化の方法および装置」の部分継続である。発明の背景１．技術分野本発明は、一般的にはコンピュータグラフィックの分野に属する。さらに詳しく言えば、本発明は３次元モデルの画像を表す情報の符号化技術に関する。２．先行技術の説明３次元（「3D」）グラフィックモデルは、3Dレーザー走査システムの出現とＶＲＭＬ（仮想現実モデリング言語：Virtual Reality Modeling Language）モデルのブーム到来以降、急速に一般への浸透が進んでいる。レーザー走査システムとは、例えば、幾何学モデルを、数十万の頂点および三角形を用いて定形的に生成する。これら頂点および三角形は各々、色彩や法線などの追加情報を含むことにしてもよい。コンピュータグラフィックには、極めて詳細なモデルが、普通に採用されている。３次元グラフィックモデルは、２つのタイプのデータ、すなわち、形態データと幾何学データから成る、入り組んだ多面体メッシュとして表現されることが多い。形態データは、頂点間の連続性情報（例えば、頂点、エッジおよび面の隣接状態）を提供するものであるのに対し、幾何学属性は、位置、法線、色、そして、個々の頂点に関するアプリケーション依存の情報などを示す。実際に使われているものでは、大半の3Dグラフィックファイルが、各々頂点インデックスで特定されるポリゴンの一覧と頂点属性情報の一覧とから成るフォーマットを有している。一般的に言って、3Dモデルは、生成に費用がかかり、編集に手間が要り、ネットワークを介しての転送がコスト高となる。もっと広くて良いはずの3Dグラフィックの応用範囲が、こうしたマイナス要因によって限定されていると言えるかもしれない。必要とされるメモリ容量と転送帯域とを小さくするために、こうしたモデルは、データ量を最大限に縮小しつつ歪みを許容レベルの範囲内におさめることのできる損失型圧縮方法を用いて、圧縮することが望ましい。また、もう一つ考慮すべき重要な点は、グラフィック符号化を漸進的な形で適用することによって、漸進的表示、詳細レベル制御、マルチスケール編集などのデータ制御を容易にすることである。こうした機能は、メッシュが様々な解像度における近似値を有することを前提とするが、これは、リアルタイム型アプリケーションに不可欠な要件である。この目標を達成しようとすると、グラフィック簡略化のシーケンスの過程を経てメッシュを縮小して行き、粗近似値（すなわち、ベースメッシュ）にする必要がある。 3Dメッシュデータの簡略化および圧縮については、数多くの研究者が研究を続けてきた。最も初期の研究は、グラフィックモデルの簡略化に焦点を当てたものだった。W.J.Schroederの「Decimation of Triangle Meshes（Computer Graphic s Proceedings，Annual Conference Series，pp.65-70，ACM SIGGRAPH,1992年7 月」において、著者は、対象を表現するのに要するポリゴンの数を大きく削減する、大量処分(d ecimation)アルゴリズムを提案している。また、Turkは、「Re-tiling Polygon Surfaces（Computer Graphics Proceedings，Annual Conference Series，pp.55 -64， ACM SIGGRAPH，1992年7月）」において、所定の対象の多面体表現図から、いくつかの詳細レベルにおける表面モデルを自動的に生成する方法を提示している。さらに、Hoppeおよびその他の研究者は、「Mesh Optimization（Computer Graph ics Proceedings，Annual Conference Series,pp.19-26,ACM SIGGRAPH，1992年8 月）」において、ある主の形態上の制約の下で、より少ない数の頂点を用いて、与えられた点の集合に近似させるという、メッシュ最適化の課題について述べている。最近の研究は、グラフィックモデルの圧縮にポイントを置くようになっている。 Deeringは、「Geometry Compression（Computer Graphics Proceedings，Annual Conference Series,pp.13-20,ACM SIGGRAPH,1995年8月）」において、一般化三角メッシュの概念について論じている。これは、三角形メッシュ構造を圧縮するものである。また、Eckおよびその他の研究者は、「Multiresolution Analysis of Arbitrary Meshes」において、細区分連結の3Dモデルの圧縮を行うように、任意のドメイン上で定義されるウェーブレット転送を提案している。そして、Ta ubinは、「Geometric Compression Through Topological Surgery(Tech.Rep.RC- 20340，IBM Watson Research Center，1996年1月）」において、２つのインターリーブ頂点と三角ツリーとを利用してモデルを圧縮する、形態手術アルゴリズムを提示している。更に最近のものとしては、Cohenおよびその他の研究者が、「S implification Envelopes（Computer Graphics Proceedings，Annual Conferenc e Series，pp.119-28，ACM SIGGRAPH，1996年8月）」において、簡略化エンベロープの概念を紹介している。これは、所定の多面体モデルに対する詳細レベル近似化の階層が、自動的に生成されるようにするものである。そして、Hoppeは、「Progressive Meshes（Computer Graphics Proceedings，Annual Conference S eries，pp.99-108，ACM SIGGRAPH，1996年8月）」において、任意のメッシュに適用可能な漸進的メッシュ圧縮アルゴリズムを提案している。発明の要約（Summary）本発明は、シングル解像度モードおよび漸進的解像度モードのいずれでも動作する、3Dメッシュ用の新たな圧縮アルゴリズムを提供するものである。シングル解像度モードは、構築適なトラバースを行って形態データを圧縮し、ローカル予測によって幾何学データを符号化する。漸進的解像度モードは、メッシュを、ベースメッシュとリファインステップのシーケンスとによって表現する。ベースメッシュおよびリファインステップのシーケンスは、いずれもエントロピー符号化されて、単一のビットストリームとなる。その際、符号化プロセス進行に沿って、あらゆる出力ビットが符号化歪みの低減に貢献するような方式がとられる。そして、ビットの寄与の大きさは、ビットストリームにおける当該ビットの順序に応じて小さくなる。受信側では、復号器は、元のモデルの再構築データを、最適レートの歪みトレードオフを用いて生成するので、どの点においても停止できる。解像度が連続的に変化する一連のモデルを、こうして、単一のビットストリームから構築できる。しばしば埋め込み特性と言われる、こうした特性は、粗モデルの符号化が、より詳細なモデルの符号化に埋め込まれるので、強力なエラー制御、漸進的転送および表示、そして、詳細レベル制御に、広く用いることができる。図面の簡単な説明本発明の他の側面、特徴、目的および利点は、以下に記す詳細な説明を添付の図面とともに参照することで、さらによく理解されるであろう。図１は、本発明による、あるメッシュに於ける各ノードのトラバース順序を示す図である。図２（ａ）および（ｂ）は、本発明による、２つのリンクセット構成を示す。図３は、本発明による、併合リンクのトレース処理を示す図である。図４は、本発明による、併合リンクの符号化を示す図である。図５は、本発明の1面による、多角形メッシュとそのデゥアルグラフを示す。図６（ａ）、（ｂ）および（ｃ）は、本発明による、ポリゴンの復元を示すグラフィカルな描図である。図７（ａ）および（ｂ）は、本発明による、頂点予測を示すグラフィカルな描図である。図８（ａ）および（ｂ）は、本発明による頂点分離および辺消滅を示すグラフィカルな描図である。図９は、あるレイヤーに独立する頂点分離がなされた3Dモデルに描画である。図１０は、３００のテストモデルサイズ分布を示す図である。図１１は、３００のテストモデルに対する三角形メッシュの比率を示す図である。図１２は、頂点に対する符号化効率の示す図である。図１３（ａ）は、１０ビット／頂点のレートでの幾何データ符号化効率を示す図である。図１３（ｂ）は、２０ビット／頂点のレートでの幾何データ符号化効率を示す図である。図１３（ｃ）は、３０ビット／頂点のレートでの幾何データ符号化効率を示す図である。図１３（ｄ）は、歪みに対するビットレートのトレードオフで幾何データ符号化効率を示す図である。図１４（ａ）は、１０ビット／頂点のレートでの圧縮を示すモデル「ドッジ」の描画である。図１４（ｂ）は、１５ビット／頂点のレートでの圧縮を示すモデル「ドッジ」の描画である。図１４（ｃ）は、２０ビット／頂点のレートでの圧縮を示すモデル「ドッジ」の描画である。図１４（ｄ）は、２５ビット／頂点のレートでの圧縮を示すモデル「ドッジ」の描画である。実施例の詳細な説明単一解像度モード単一解像度モードには、形態データ及び幾何データを符号化することが含まれる。メッシュの形態データは損失無く符号化される。幾何データについては、局部的な予測や余りの符号化を漸進的に行い、多様なレート・歪みを達成する。形態データの符号化−構築的トラバーサル以下に、構築的トラバーサル方式を説明する。当該方式に於いては、一連のトラバースステップを順次結び付けていくことによりメッシュが構成される。トラバースの手順は１つのノードから始められ、一度につき１つのリンクがトラバースされる。ノードのキューψはトラバースの間、保持される。キューψは処理対象となる各ノードの順番を記録する。トラバースはφに基づいて、以下のように実行される。１．インデックスがｎであるノードを有したキューを初期化する。主リンクを、ｎに関連するリンクの中から１つ選ぶ。ノード及び主リンクは共に、任意に選択することが出来る。２．内の先頭ノードｎｓについて、その主リンクから始めて、反時計回り方向に処理されていない各リンクをトラバースして行く。３．ステップ２の各リンクｌ＝（ｎ５；ｎｅ）について、もしｎｅが以前ψに含まれていなかった場合、φにｎｅを加えて、ｌをその主リンクとして設定する。４．ノードｎ５についてステップ２と３が完了した後、φからノードｎ５を削除する。５．φが空でない場合は、ステップ２に戻る。空の場合は、トラバーサルを終了する。簡単な例を図１に挙げて、あるメッシュに於ける各ノードのトラバース順序を示す。このメッシュは、２つのホール（ａ）（ｂ）を有したオープン面を表す。メッシュの各トラバーサルステップが記録されていれば、第１ノードから始めて、全トラバース手順を繰り返すことにより、メッシュを復元することが出来る。従って、トラバースの間、関連したトラバーサル結果を記録し符号化プロセスを補助するため、リンクセットはメッシュの各ノード毎に記録される。ノードｎの構成リストｃｌ（ｎ）は、ノードｎに関連する全てのリンクを記憶し、それらに対して反時計回りの順に配置する。構成リストｃｌ（ｎ）の総リンク数は、ノードｎのヴァランスと同じである。構成リストは、その最後が暗黙的にその最初と繋がっているという点から、当該リストは周期的となる。構成リストの第１要素は主リンクである。この第１要素がトレーシングの開始ポイントとなる。ノードｎのリンクリストｓ（ｎ）は、リンクが処理対象となったか（１とラベル付けされる）、否か（０とラベル付けされる）を示す二進数のシーケンスから成る。中央ノードに対する２つのリンク構成を図２に示す。本図では、処理されたリンクを実線で表し、処理されていないリンクを破線で表している。図２（ａ）では、ｃｌ（ｎ）＝（ｌ₀，ｌ₁，ｌ₂，ｌ₃，ｌ₄，ｌ₅，ｌ₆）、ｓ（ｎ）＝（１，０，０，１，１，０，１）であり、図２（ｂ）では、ｃｌ（ｎ）＝（ｌ₀，ｌ₁，ｌ₂ ，ｌ₃）、ｓ（ｎ）＝（１，０，１，０）である。リンクセットｓ（ｎ）は、ノードｎがトラバーサルステップに於いて関わる度に変更される。符号化プロセス構築的トラバースアルゴリズムのステップ２で処理対象となった先頭ノードｎ５について、ｓ（ｎｓ）の修正は簡単明瞭である。新たなリンクは反時計回りの順で処理されるので、それら各リンクは順に次のトレーシングステップで０から１に変わる。余分な符号化ビットは必要ない。構築的トラバースアルゴリズムのステップ３で処理対象となった各リンク１＝（ｎ５，ｎｅ）については、ｎｅのタイプによって分岐である場合、もしくは併合である場合がある。ｎｅが以前Ｑに含まれていなかったなら、分岐である。そうでなければ、併合である。二進記号であるｂｍ（ｌ）はリンクのタイプを記録する際に用いられる。ｌ＝（ｎ５，ｎｅ）の分岐に関しては、上述したようにｎｅがＱに追加される。更に、ヴァランスｖ（ｎｅ）が記録され、リンクリストｓ（ｎｅ）が（１，０，．．．０）として初期化される。併合ｅ＝（ｎｓ，ｎｅ）について、曖昧なところが無い状態でオリジナルを復元するためにトラバーサルの繰り返しが出来るように、更に２つの情報を収集しなければならない。それら情報とは、ノードｎｅのインデックスｉｄと、ｓ（ｎｅ）におけるｅの位置である。ｎｅのｉｄを記録するには２つの方法がある。つまり、１つは堅調ではあるが費用がかかるグローバルインデックス修飾方式であり、もう１つは効率的ではあるが時々失敗する可能性のあるローカル（相対的）インデックス修飾方式である。ビット数を減らす為には、出来るだけローカルインデックス修飾方式を実行するのが好ましい。グローバルインデックス修飾方式は、ローカルインデックス修飾方式が失敗した時のみに実行される。既にトラバースされたリンクセットをξ とする。ローカルインデックス修飾方式により、時計回りあるいは反時計回りに ξに含まれるリンクをトレースすることによりｎｅの位置の特定を試みる。時計回りのトレーシング手順を以下に詳細に記す。ここで、送出されたｓ（ｎ）［ｉ］がｓ（ｎ）の１番目の要素を表す。１．初期化：ｎｅをｎｓ，ｌｃ＝（ｎｃ，ｎｅ）とし、カウンタステップを０に設定する。ｌｃをｃｌ（ｎｃ）のｉ番目の要素とする。２．ｓ（ｎｃ）［ｊ］＝１となる第１のｊ＞ｉ（周期的な意味で）を見出し、ｃｌ（ｎｃ）［ｊ］を（ｎｃ，ｎｕ）をして表す。３．ｉとｊが連続していない場合、ステップを１増やす。４．ｎｕ＝ｎｅかどうかをチェックする。もしそうであれば、ステップを記録し、トレーシングを終了する。もしそうでなければ、ノードｎｃをノードｎｕに更新する。このアルゴリズムは、図３に示した例によって最適に説明できる。本図では、処理されたリンクを実線で表し、処理されていないリンクを破線で表している。併合は曲線で表される。ノードｎｓ，１１から始めて、時計回りのサーチでは以前にトラバースされたリンクに基づいて、所望のノードｎｅ１２の位置を特定するのに５つのステップを要する。これら５つのステップは５つの矢印で表される。なお、各ステップはふさがっていないリンクを有したノードか、ターゲットノードｎｅのどちらかで終わる。反時計回りのトレーシングは、ｊ＞ｉをｊ＜ｉに（周期的な意味で）変更する以外は、時計回りのトレーシングと同じである。同様の例に於いて、後方向のトレーシングでターゲットノードに到達するのに必要なステップは１つだけである。符号化のため、ステップ数のより少ないトレーシングパターンが選ばれる。上記のトレーシングアルゴリズムが失敗するかもしれない場合がある。例えば、ローカルトレーシングが無限ループに閉じこめられる場合がある。その時は、グローバルインデックス修飾方式を用いなければならない。これは、（ｎｓ，ｎｅ）が併合なのでターゲットノードｎｅがキューψ内にあるはずだという考えに基づいている。ψを周期リストとして見ることにより、グローバル方式によりノードｎｓから始めて、ψ内を上から下あるいは下から上へとｎｅをサーチする。ノードｎｅが見つかるまで、１ステップにつき１つのノードに対してサーチが行われる。再び、ステップ数のより少ないサーチ方向が用いられ、このステップ数が記録される。要約すると、ターゲットノードｎｅのｉｄを特定するためには、サーチ方式（グローバルもしくはローカル）に関する二進記号、サーチ方向に関する二進数、サーチステップ数を表す整数が必要となる。ｓ（ｎｅ）内の併合１の位置に関する限り、処理されたリンクのみを考慮して、前方向もしくは後方向に主リンクからカウントした整数でその位置を表すことが出来る。実際のカウントする方向は、ｎｅに対するサーチ方向と一致するように選択される。図４に、ノードｎｅ１３が主リンク１０と７つのリンクを有している様子を示す。併合が発生する前は、リンクリストｓ（ｎｅ）は（１，０，１，１，０，０，１，１）である。処理対象となったリンクは５つだけである。リンク１５が併合なので、前方向にカウントするとその位置は３と記録され、後方向にカウントすると２と記録される。デュアルグラフへの応用多角形メッシュＧ１５のデュアルグラフＧ＊１７は、Ｇの多角形をノードに変換することによって構成され、オリジナルのグラフＧの多角形に共通の辺がある場合、デュアルグラフＧ＊内にある２つのノードがリンクされる。そのデュアルグラフＧ＊がもう一つの多角形メッシュとなる。多角形メッシュとそのデュアルグラフの例を図５に示す。元のメッシュＧ、つまり１５（破線）とそのデュアルグラフＧ＊、つまり１７（実線）には、一対一の対応関係がある。どちらを用いても、３次元グラフィックモデルの形態構成を一意的に表すことが出来る。上述のアルゴリズムは一般的な多角形メッシュに対処するので、元のメッシュにもデュアルグラフに対しても利用できる。Ｇのトラバーサルでは、頂点ヴァランスは通常３〜８の広い動的範囲に渡って分散する。しかし、殆どのメッシュは主として三角形や四角形から成るので、頂点ヴァランスは３や４にかなり集中する。この特性は、エントロピーコーダにより効果的に活用され、提案したアルゴリズムを更に効率良くすることが出来る。幾何の符号化幾何データにより、３次元多角形メッシュの頂点（つまり、ノード）の位置、法線、色、テクスチャ座標などの属性が特定される。これらは、デジタル画像／ビデオのピクセル値やデジタル音声のサンプル値に機能的に似ている。デジタル音声映像のフォーマットと３次元グラフィックメディアのフォーマットとの違いは、前者は変換がエネルギー圧縮及び冗長データ除去に適用出来るように、通常は規則的な空間−時相グリッドで定義されるのに対し、３次元グラフィックモデルは不規則な空間グリッドで定義される。それ故に、幾何データは特定の順序もなく、任意の面に於けるサンプル点のリストの形をとる。幾何データは強い局所的相関性を持つが、そのような相関性を利用するために単純な変換を見出すのは困難である。幾何圧縮に現在採用されている方法では、ローカル予測によって冗長データを除去し、そして量子化方式及びランレングス符号化方法により予測エラーを符号化する。ACM SIGGRAPHの１９９８年８月号Annual Conference Series、Comput er Graphics Proceedingsの９９〜１０８ページ記載のH．Hoppe氏による論文" Progressive Meshes"に於ける開示内容を参照として本明細書に組み込む。本論文内で著者は、頂点分割のシーケンスにより頂点を配置し、ハフマン符号化へと続くデルタ予測を適用した。引例Taubin et al.による１９９６年１月のIBM Wat son Research Center、Tech．Rep．RC-２０３４０"Geometric Compression Thro ugh Topological Surgery"では、著者は頂点のツリー構造を定義することにより、頂点の位置を当該ツリーに於いてはその祖先となる頂点により予測している。予測余りは切り捨てられ、ハフマン符号で符号化される。引例Choi et alによる１９９８年２月のMPEG4サンホゼ会議での寄稿Ｍ３１４８、"Results of Core Experi ment M2/M3:Geometry Coding Using PRVQ"では、上記と同様の頂点ツリー及び予測方式を用いてたが、予測余りを符号化するためにマルチステージベクトル量子化（ＶＱ）を開発した。これら文献の開示内容全体を参照として本明細書に組み込む。一般に、幾何符号化方式には３つのステップとして、頂点の配置、データ予測、エントロピー符号化がある。第１ステップでは、頂点間のローカル関係が更に便利に表され活用されるように、頂点のリストを特定の構造に配置する。第２ステップでは、そのような構造を用いて予測を通して幾何データの余りを取り除き、その結果として予測余りのシーケンスを生成する。最終ステップではレート・歪み動作の要件に従って、余りを量子化し、そして符号化する。簡略化のために、ここでは頂点の位置に対する圧縮に焦点を当てている。しかし、同じ技術が、面の法線や色など他のタイプの幾何データにも適用可能であることは明らかである。頂点位置の予測は因果プロセスである。つまり、頂点は先行する頂点により予測されなければならない。復号器が正しくデータを復号出来るように、いかなる予測方式もこの規則に従うべきである。しかし、提案される異なった方式により、先行する頂点の定義は変化し得る。我々が提案する方式では、頂点はそれに隣接する頂点のいくつかによって予測される。ある頂点ｖについては、それに隣接する頂点は、ｖに関連する多角形の頂点として定義される。しかし、隣接する頂点の全てが予測に用いることが出来るわけではなく、先行する頂点だけが予測に適格となる。ここで言う頂点ｖの先行する頂点とは、ｖに先立ってキューψに追加された頂点のことを指している。頂点予測頂点υの位置を予測する方法は、２通りある。第１の方法は、υをポリゴンの複数の頂点の１つとみなし、同一のポリゴン内の、υより先に存在する頂点の位置に基づいて、υの位置を予測する方法である。第２の方法は、頂点υをいくつかの頂点の中心とみなし、それらの位置の平均値からυの位置を予測するものである。第１の方法は、最初に用いるのが望ましい。第１の方法を適用することができない時には第２の方法を用いる。第２の方法は単純なので、第１の方法について以下に詳しく述べる。第１の方法では、複数の頂点の一部からポリゴンが再構築される。残りの頂点を予測するためには、１つの3Dポリゴンにつき少なくともの３つの頂点が必要となる。3Dユークリッド空間に存在する３つの点p1，p2、p3によって決定される平面において、この平面内の任意の点pは以下の式で表される。 P=λ1p1λ2p2+λ3p3 この式で、λ2+λ2+λ3=1である。n個の頂点（p1p2・・・pn）を有する普通のポリゴンについては、３つの頂点pi、pj、pkの値が定まっているならば、上記式より、i、j、k、l、nの値にのみ依存して、他の任意の頂点plを正確に復元することが可能である。λ1、λ2、λ3のそれぞれの、値i、j、k、l、nに対する依存関係を、α(n、i、j、k、l)、β(n、i、j、k、l)、γ(n、i、j、k、l)と表す。 α、β、γは、次のような手順で求められる。まず、一般法則の範囲内で、n 個の頂点を有する普通のポリゴンは、以下に表されるようにxy平面の単位円の上に存在すると仮定する。 Pi=(cos(iθ),sin(iθ)); Pj=(cos(jθ),sin(jθ)); Pk=(cos(kθ),sin(kθ)); Pl=(cos(lθ),sin(lθ)); この式で、θ=2π/nである。このとき、以下の式が得られる。｛α cos(iθ)+β cos(jθ)+γ cos(kθ)=cos(lθ)，｛α sin(iθ)+β sin(jθ)+γ sin(kθ)=sin(lθ)，｛α+β+γ=１上記システムの解は、以下の通りである。 3Dユークリッド空間の中に存在する、n個の頂点（p1p2・・・pn）を有する任意のポリゴンについて、以下の近似値を採用する。 Pl≒α(n、i、j、k、l)pi+β(n、i、j、k、l)pj+γ(n、i、j、k、l)p k 言い換えると、Plは、pi、pj、pkを直列に組み合わせた値の近似値である。上記の式に用いられる係数には、n個の頂点を有する特定の種類のポリゴンを復元するのに用いられる係数が設定される。復元されたポリゴンは、疑似変換によって任意の普通のポリゴンにマッピングすることができる。図６の図６(a)は四角形の復元を示し、図６(b)は五角形の復元を示し、図６(c)は六角形の復元を示す。図の黒点は、先に存在する頂点19、21、23を示す。これら３つの頂点19、21、 23は連続していなくてもよい。１つのポリゴンが３つ以上の先に存在する頂点を有している場合は、これらの頂点の内任意の頂点25、27、29を用いてこのポリゴンを復元することができる。それぞれの先に存在する頂点を等しく用いるために、３つの先に存在する頂点からなる組み合わせを全て用いてポリゴンを復元する。１つのポリゴンがk個の先に存在する頂点を有する場合には、全部で(k/3)の異なる組み合わせが存在する。それぞれの組み合わせから、１つの予測位置値が得られる。最終的に、そのポリゴンは全ての予測位置値の平均値によって復元される。１つの頂点には多数のポリゴンが付随するため、頂点の位置は、１以上の個別のポリゴンに基づいて予測することができる。そのような場合、最終的な予測は、適用可能なポリゴンの１つ１つによって生成される複数の予測位置値の平均値として求められる。図７は、２つの異なる環境における頂点vの予測を示している。図の黒点は、先に存在する頂点を示している。図7(a)の四角形31及び五角形 35は、それぞれ予測位置A、37及び予測位置B、39によって復元することができる。AとBの平均値はv、41の予測位置値とみなされる。上記の方法では、１つのポリゴンには少なくとも３つの先に存在する頂点がなければならない。図7(b)のように、この条件が満たされない場合もあり得る。そのような場合は、すべての先に存在する頂点の平均値から頂点43の位置を予測する。結合されている成分が１つしかないモデルの場合、キューＱの第１の頂点には、それより先に存在する頂点がない。この第１の頂点の位置は、オーバーヘッドとして個別に符号化するか、無効予測の結果生じる余りとして取り扱うことができる。結合された成分を多数有するモデルの場合、第１の成分の第１の頂点には、やはりそれより先に存在する頂点がない。この第１の頂点の位置は、１つの成分しかないモデルと同様に処理される。しかし、他の成分の第１の頂点は、先に存在する成分の最後の頂点の位置から予測することができる。符号器は、第１の成分の第１の頂点だけでなく、成分の符号化の順序を自由に選択できるため、予測余りを最小にする最適な符号化構成を見つけることが可能である。連続量子化及びビット・プレーン符号化ほとんどの従来のグラフィック符号化方法は、単一解像度モードによるものである。即ち、入力係数は単一の量子化ステップによって有限のインデックスセットにマッピングされる。それぞれの係数のインデックスは、その後で中間シンボルに変換され、エントロピー符号器によって符号化される。ここに説明する埋め込み符号化スキームは、単一解像度モードとは異なる、連続量子化と呼ばれる量子化手順を採用することにより、単一解像度モードの代わりに用いることができる。連続量子化では、単一の量子化ステップの代わりに、漸次的にリファインされる一連の量子化ステップが用いられる。精度を高めながら係数の近似値を求めることができるように、量子化ステップサイズはリファインされる。それぞれの量子化ステップごとに、それぞれの係数に対して２値出力が生成され、量子化結果が記録される。同一の量子化ステップを介して生成される全てのシンボルは、その後グループにまとめられ、次のステップの量子化の前にエントロピー符号化される。この方法は、ビット・プレーン符号化として知られている。ビット・プレーン符号化は、コンテキスト・アリスメティック・コーダを用いることにより効果的に実現することができる。連続量子化、ビット・プレーン符号化、コンテキスト・アリスメティック符号化の詳細については、Li et al.、「Progressi ve Coding of 3D Graphic Models」、IEEE議事録、86巻、1052〜63ページ、１９９８年６月を参照されたい。この文書の開示全体を、引用により本出願の内容の一部を構成するものとする。なお、上記方法は単一解像度法と呼ばれてはいるが、この方法でもなお、幾何データに適用される埋め込み符号化スキームのために、埋め込み（即ち、漸進的）ビットストリームが生成される。ここで用いられる「単一の解像度」という用語は、3Dメッシュの形態構造（即ち、結合性）が符号化処理を通じて変化しないことを示している。オーバーヘッドの符号化大きなモデルだけでなく小さなモデルも効果的に圧縮するためには、オーバーヘッドビットの数を最小限まで減らすべきである。まず、第１の量子化しきい値 T0は、オーバーヘッドとして保持する必要がある。それは、32ビットの浮動小数点数として保持されることが多いが、16ビットの浮動小数点数まで縮小しても、小さなモデルを符号化する際の低ビットレート要件を満たすことができる。第１の成分の第１の頂点の位置もまた、オーバーヘッドとして保持することができる。それには、3*32=96ビットが必要となる。２０の頂点を有するモデルの低ビットレート符号化（10ビット/頂点）を例にとると、オーバーヘッドビットの総数は112から128の間である。実際、この数は、全体のビット割当量（例えば、200 ビット）の半分以上である。このような状況の改善のために、第１の頂点の位置を余りとして符号化してもよい。言い換えると、（その値の全てを一度に符号化するのとは対照的に）その値について、連続的に量子化及び符号化するのである。この方法には、２つの重要な点が存在する。一つ目の重要な点は、位置値はたいていの場合、予測余りよりはるかに大きな値であることである。第１の頂点の位置を余りとして扱うことにより、第１の量子化しきい値T0を、かなり大きな値としなければならない。また、量子化ステップの最初の数ステップは、もっぱら第１の頂点の余りを符号化するために用いられる。上記の方法は、小さなモデルの場合には、この位置値を浮動小数点数として直接オーバーヘッドの中に格納するのに比べて、より効率的な方法である。大きなモデルの場合には、この方法はあまり効率的ではなく、より多くのビット数を要する。しかし、ここで要するビット数は、大きなモデルの比較的大きなビット割当量と比較すると、無視することができる。２つ目の重要な点は、第１の頂点はメッシュ全体のアンカポイントでもあるということである。連続的な復号化段階で、第１の頂点が次第にリファインされている時に、メッシュはあちこち飛び回ることもありうる。しかし、メッシュの形状は変形しないため、それが視覚的な歪みをもたらすことはない。漸進的解像度モード上記の単一解像度圧縮法は、形態及び幾何データの縮小に対して、重要な符号化利得を実現するものであるが、時には適切でない場合もある。その圧縮性能を簡単に分析した結果を以下に示す。n個の頂点と約2n個の三角形を有する閉じた三角メッシュにおいて、それぞれの頂点は、x、y、z座標を浮動小数点として格納するために32x3=96ビットを要し、それぞれの三角形は、３つの頂点インデックスを整数として格納するために32x3=96ビットを要する。メッシュが２進法で表されているときには、必要なビット数は以下に示す関係式によって表すことができる。 n×96+2n×96=288nビットメッシュがASCII形式で表されている場合には、ビット総数はこの値の3〜5倍となる。圧縮時には、形態（即ち、結合性）データは、三角形１つにつきおよそ２ビットを必要とし、１つの頂点の位置は、視覚的に判別不可能な近似値を生成するためには、およそ20ビットを必要とする。消費ビットの総数は以下のように表される。 n×20+2n×2=24nビット従って、圧縮率は約12:1である。何万もの頂点を有する大きなモデルについては、そのような圧縮率ではまだ低く、いくつかの格納及び伝送要件を満たすのに十分ではない。さらに、単一解像度法の場合、モデルの描画に要するビット数の縮小は行われるが、レンダリング及び編集の速度をあげるためのグラフィックモデルの簡略化は行われない。今日の高性能のコンピュータをもってしても、複雑な単一解像度モデルに対してリアルタイムの対話性を実現することは容易でない。多くのアプリケーションでは、圧縮に関する問題より、リアルタイムのレンダリングのほうが重要であることがしばしばである。3Dメッシュの漸進的解像度表現は、これらの２つの問題に対し、良好な解決策を提供する。ここに説明するように、漸進的解像度モードとは、3Dメッシュを、一連のグラフィック簡略化ステップによって、次第に単純なメッシュに変換する方法である。最終的な最も単純なメッシュは、しばしばベースメッシュと呼ばれる。一つの解像度から別の解像度への変換を行うためには、それぞれの簡略化ステップを欠かすことはできない。これを逆転した過程をリファインと呼ぶ。従って、ベースメッシュと簡略化の過程を逆にしたリファイン過程とによって、元のメッシュを再構築することができる。この過程における中間結果は、元のメッシュの近似値を求めるのに用いることができる。リファインステップの数が多くなればなるほど、近似値はより元のメッシュに近くなる。マルチ解像度特性は形態データ符号化との関連性を有する。しかし、マルチ解像度技術は、連続量子化及びビット・プレーン符号化の項で説明したように、幾何データ符号化にも適用可能である。これら２つの漸進的に符号化されたビットストリームは、以下に説明するように、 3Dメッシュの表現に用いられる単一の埋め込みビットストリームに統合することが可能である。グラフイツクの簡略化ポリゴンは、多面メッシュによって表されるオブジェクトの基本要素である。 n個の基本要素からなる多面メッシュを保存する、或いは送信する際のコストはO (n)となる。また、そのようなモデルに対しレンダリングを施す際のコストもO(n )となる。当該コストに関しては、「Time/Space Tradeoffs for Polygon Mesh R endering（Bar-Yehuda et al.，ACM Transactions on Graphics，Vol．15，pp.1 41-52，1996年4月）」と「Multiresolution Modeling for Fast Rendering （He ckbert et al.，Proceedings of Graphics Interface'94，pp．43-50， Canadian Information Processing Society，1994年5月）」に記載されている。当該文献のすべての開示内容は、本明細書に含まれるものとする。グラフィックを簡略化する主な目的は、オブジェクトを忠実に描画するために必要な基本要素の数を減らすことである。当該目的を達成する為の様々なアルゴリズムが提唱されている。これらのアルゴリズムは、サーフェースリタイリング、頂点デシメーション、及び頂点クラスタリングの３種類に大別できる。以下に、各種類について説明する。サーフェースリタイリングは、ポリゴンの表面を複数の三角形に分割して頂点の新たなセットを生成し、元の頂点のセットを生成された新たなセットに置き換える。当該新たなセットでは、通常は頂点の数が元のセットよりも少なくなっており、なおかつモデルの形態が維持されている。「Re-tiling Polygon Surfaces (Turk，Computer Graphics Proceedings，Annual Conference Series，pp．55-6 4，ACM SIGGRAPH，1992年7月)」には、ポリゴンの表面上にランダムに点を加え、その後、反発力を加えることで当該点を分散しつつ徐々に元の頂点を取り除く方法が提唱されている。Hoppe et al.は、論文「Mesh Optimization(Computer G raphics Proceedings，Annual Conference Series，pp．19-26，ACM SIGGRAPH， 1993年8月)」において、新たな頂点の位置を決定するための最小限のエネルギーが得られるエネルギー関数を定義している。「Geometric Optimization(Hinker et al.，Proc．Visualization，pp．189-95，1993年10月)」には、同一平面上に存在する、或いは同一に近い平面上に存在するポリゴンを結合することでより大きく複雑なポリゴンを作成し、当該作成したポリゴンを元のポリゴンより少なく単純なポリゴンに再度分割する方法が記載されている。KalvinとTaylorは、「Su perfaces:Polygonal Mesh Simplification with Bounded Error(IEEE Computer Graphics and Application，Vol．16，pp．64-77，1996年5月)」において、近似化する際に発生するエラーを付加的に制御する為の、同様のアルゴリズムを述べている。「Simplification Envelopes(Cohen et al.，Computer Graphi cs Proceedings，Annual Conference Series，pp．119-28，ACM SIGGRAPH，1996 年8月)」及び「Generating Levels of Detail for Large-Scale Polygonal Mode ls (Varshney et al.，Tech．Rep.，Department of Computer Science，Du ky University，1995年)」には、元のポリゴンの表面を２つのおおいで囲み、当該２つのおおいに囲まれた範囲中で当該表面を簡略化する方法が記載されている。前記論文の開示内容は、本明細書に含まれるものとする。頂点デシメーションに関してSchroederは、「Decimation of Triangle Meshes (Computer Graphics Proceedings，Annual Conference Series，pp．65-70，ACM SIGGRAPH，1992年7月)」において、多角形メッシュ上に複数のパスを作成し、局所的な幾何学的情報および形態に関する情報を用いて、距離あるいは角度の基準を満たす頂点を取り除く方法を提唱している。頂点を取り除いた結果発生する穴に対しては、局所的に三角形分割処理を行うことで修正を施す。Soucy et a l．は、「Multiresolution Surface Modeling Based on Hierarchical Tr iangulation(Computer Vision and Image Understanding，Vol．63.，pp．1 -14，1996年1月)」において、同様の処理を実行するための更に高度なアルゴリズムを述べている。前記論文の開示内容は、本明細書に含まれるものとする。頂点クラスタリングは、モデルの細部が空間的に互いに隣接する頂点のセットによって表されていることを利用するものである。クラスタリングアルゴリズムを用いて、解像度毎のクラスタと近似度との階層が作られる。当該手法の詳細は「Generating Multiple Levels of Detail from Polygonal Geometry Models(Sc haufler et al.，Virtual Environments，Eurographics Workshop，pp33-41，19 95年1月)」を参照されたい。Rossignac et al.は「Modeling in Computer Graphics:Methods and Applications(pp．455-65，Springer-Verlag，1993年)」において、元のモデルを枠で囲い、その枠を格子状に分割し、各格子内に存在する頂点を単一の頂点にまとめ、それに応じてモデルの表面を更新する方法を述べている。He et al.は、「Voxel Based Object Simplification(Proc． Visualization，pp.296-303，1995年)」において、信号処理を行うことで入力されたオブジェクトをサンプリングし、ローパスフィルタリングを行うことで当該オブジェクトの高周波を取り除く方法を述べている。頂点分離処理/辺消滅処理は最も一般的に用いられているクラスタリング技術である。当該方法では、エッジが除去され、２つの終点が新たな１つの頂点として結合される。Gueziecは、論文「Surface Simplification Inside a Tolerance Volume(Tech．Rep．RC-204 40，IBM Watson Research Center，1996年)」において、新たな１つの頂点の位置を決定するためには、結合後に確保するべき体積を定めることが必要であると述べている。Hoppeは、「Progressive Meshes(Computer Graphics Proceedin gs，Annual Conference Series，pp.，99-108，ACM SIGGRAPH，1996年8月)」と「Progressive Simplicial Complexes(Computer Graphics Proceedings， Annual Conference Series，pp.，217-25，ACM SIGGRAPH，1997年8月)」において、辺消滅処理を行うことで三角形に分割された幾何学モデルの漸進的描画を生成する方法を述べている。Garland et al.は、「Surface Simplification Usi ng Quadric Error Metrics(Computer Graphics Proceedings，Annual Conferenc e Series，pp.，209-17，ACM SIGGRAPH，1997年8月)」において、任意の２つの頂点を結合するためのペアコントラクションと呼ばれる方法を述べている。前記論文の開示内容は、本明細書に含まれるものとする。その他の技術を用いても良いが、頂点分離/辺消滅技術を用いてグラフィックを簡略化する方が以下の理由により望ましい。第1の理由は、頂点分離処理を行うことで自由にモデルの漸進的描画が可能になることである。第2の理由は、既存の技術の中でも、頂点分離処理を用いた場合に、符号化するビットの数が最も少なくなることである。１回の頂点分離処理では２つの関連するエッジのみが処理される為、符号化を非常に効率よく行うことができる。第3の理由として、頂点分離処理を行うことで最も良い粗さで簡略化あるいはリファインが行えることである。１回の頂点分離処理でモデルが変化する度合いは少なく、当該変化はモーフィングプロセスで継続的に確認することができる。これにより、なめらかにモデルを異なる解像度のものに変化させることができる。頂点分離と辺消滅図８に示すように、辺消滅処理ecol({vl，vu，vr，vd})により、メッシュからエッジ(vu，vd)が除去され、２つの終点vu４５およびvd４７が新たな頂点vc４９にまとめられる。その後、vu或いはvdに接続されていたエッジが頂点vcに接続される。この処理により、２つの隣接する三角形(vl vd vu)と(vr vu vd)が消滅する。辺消滅を行う度に、頂点の数は１つ減少し、三角形の数は２つ減少する。辺消滅の逆の処理である頂点分離処理vsplit({vl，vc，vr})により、頂点vc４９は２つの頂点vu４５およびvd４７に分割される。その結果、エッジ(vu，vd)と、２つの隣接する三角形(vl vd vu)と(vr vu vd)が生成される。頂点分離を行う度に、頂点の数は１つ増加し、三角形の数は２つ増加する。元のメッシュMorgに対し辺消滅処理を繰り返し行う事ができ、当該処理を行う度に１つのエッジが除去される。当該処理は、単純なベースメッシュMbaseが生成されるまで続けられる。当該処理は、以下のように表すことができる。辺消滅処理を行う順序を注意深く決定し、各Miが実現可能な最良の状態で元のメッシュに近似するようにするべきである。辺消滅処理の結果問題が起こったとしても、以下の方法で解決することができる。各々の辺消滅処理の結果生成されるメッシュは、その辺消滅処理に対応する頂点分離処理を施すことで元に戻すことができる。よって以下に表すように、辺消滅処理と反対の順序で実行される頂点分離処理をベースメッシュMbaseに施すことで、元のメッシュMorgを復元することができる。これにより、元のメッシュの自然な漸進的描画が生成される。ベースメッシュ M0が最も大まかに元のメッシュに近似するものであり、メッシュMnが元のメッシュと同一のものである。頂点分離処理を行う度に、メッシュMi（0<i<n）は元のメッシュに近づくことになる。２回の辺消滅処理、ecol({v1l，v1u，v1r，v1d})とecol({v2l，v2u，v2d})、が共通の頂点を操作しない場合は、当該処理は互いに独立なものである。言い換えれば、{v1l，v1u，v1r，v1d}のセットと{v2l，v2u，v2d}のセットとの間には交点が存在しないということである。独立する辺消滅処理に対応する２回の頂点分離処理は独立なものである。この考えに基づけば、メッシュの簡略化をいくつかの連続するレイヤーに対し行うことができ、その際、独立する複数の辺消滅処理が同一のレイヤーに対し施される。同一のレイヤーに対し行える辺消滅処理は互いに独立するものである必要があり、その結果モデルの表面に対し均等に辺消滅処理が施されることになる。よって、モデルの表面全体がバランス良く簡略化されることになる。これにより、簡略化されたモデルは適度な粗さのものとなる。図９は、独立する複数の辺消滅処理がトリケラトプスのモデルに対して施されているあるレイヤーを示す図であり、頂点分離処理が施された各部分は２つの灰色の三角形として示されている。これらの部分は互いに分離している。図９は更に、２回の独立する頂点分離処理は入れ替えることが可能であることを示している。つまり、たとえ処理を行う順番を入れ替えたとしても、同様の結果が得られることを示している。例えば、図９中の頂点分離処理が施された部分は全て、他の部分に影響することなく、自由に簡略化することができる。以下に示すように、中間メッシュを符号化する際に最も良い性能が得られるように、辺消滅処理を施す順序を決定することができる。辺消滅処理を施す度に情報が失われることになり、モデルをある程度歪めてしまう。歪みと符号化効率との比率を最適化する為に、最も不用であるエッジを各簡略化段階で除去する。当該プロセスは、「Surfac e Simplification Using Quadric Error Etrics(Graland et al.，Computer Gra phics Proceedings，Annual Conference Series，pp．209-17，ACM SIGGRAPH，1 997年8月)」および「Progressive Meshes(Hoppe，Computer Graphics Proceedin gs，Annual Conference Series，pp．99-108，ACM SIGGRAPH，1996年8月)」に記載されている形で行っても良い。簡略化処理は、粗さに関するある基準が満たされるか、或いは更に簡略化するとモデルの形態が崩れてしまうという状態になるまで繰り返される。頂点分離処理を行う際は、まず最も重要な頂点（突起部の頂点など）を復元し、その後重要度の低い頂点（隣接する頂点と同一平面上に存在する頂点など）を復元するべきである。符号化ベースメッシュMbase及び一連の頂点分離操作｛vsplitl，...，vsplitn｝が符号化されることにより、単一の埋め込みビットストリームが形成される。デコーダは、このビットストリームを復号化して、Mbase、vsplitl〜vsplitnを順に復号する。これによって、単一のビットストリームをもとに、粗近似値から最も精密なレプリカにまで、連続する解像度を経てモデルが復元される。用途に応じて、デコーダは、ビットストリームの任意の位置で停止して、ある程度オリジナルモデルに近いメッシュを復号化することができる。例えば、ユーザが、元のモデルから離れたかなり粗い近似値を得たいときには、デコーダはベースメッシュを復元した直後で停止すればよいし、反対にユーザがモデルの精密な近似値を欲するときには、ビットストリーム全体を復号すればよい。また、ユーザが連続フレームによるズーミングプロセスをアニメーション化している場合は、デコーダは、カメラとモデル間の距離の減少に伴い、ビットストリームを増分して復号することにより、最小限の計算量で最適なレンダリングを得ることができる。元のメッシュMorgと比べて、ベースメッシュMbaseは非常に単純である。天体における高品位メッシュが何万もの頂点と三角形を有する場合があるのに対して、そのベースメッシュは最も単純な３Ｄメッシュである四面体である。ベースメッシュは、単一解像度モードにより定形メッシュとして符号化可能であり、その符号化に要するのは数ビットのみである。頂点分離操作は、階層式に適用される。第一層はベースメッシュから始まり、第二層以降は各々、その前の層で生成されたメッシュから始まる。各層ｉの開始において、全頂点はＩＤリストLiに配列されている。リストLi内の各頂点は２つの新たな頂点に分離可能であり、頂点分離が起こるたびに、リストは変更される。また、二進フラグsplitFlagが各頂点に割り当てられており、頂点vが分離されると、splitFlag(v)は「真」になり、それ以外のとき、splitFlag(v)は「偽」である。層iの符号化は、リストLiの最初の頂点から開始され、各頂点毎に処理が行われる。処理中の頂点をvcとすると、vcが分離されなければ、splitFlag(vc)を「偽」として符号化が行われ、その後、エンコーダはリストLi中の次の頂点の処理に移る。一方、vcがvsplit({vl,vc,vr})により分離された場合は、splitFlag( vc)を「真」として符号化が行われる。さらに、vlとvrのＩＤは共同符号化することができる。分離前のvcがn価であり、vcのn個の隣接点のうちの2点がvl及びv rであるとき、n個の隣接点から2点を選択するのに、n(n-1)/2通りのパターンがあることになる。これらパターンを詳細に分析することで、vlとvrの共同符号化が可能となる。 vcがvuとvdの2点に分離されると、Liにおいてvcがvuに置き換えられるとともに、Liの最後にvdが加えられ、その後エンコーダはLi内の次の頂点の処理に移る。このプロセスは、Liに当初含まれていた頂点が全て符号化されるまで繰り返される。層iの符号化中に新たに生成されてLiに加えられた頂点は、層iの符号化中は処理対象にならない。層iの符号化が終了すると、LiはLi+1になり、層i+1の符号化が開始される。辺消滅における頂点vcの位置付け及びその記録には、二通りの方法がある。一つは、消滅させられる辺(vu,vd)の中心にvcを置く単純な方法である。もう一つの方法はより複雑であり、辺消滅による歪みが最小限となるようにvcを位置付けるものである。この場合、vcの位置は、一般に辺(vu,vd)の中心とは異なる。この第二の方法には多大な計算量が必要とされる反面、より高品質のグラフィックモデルを得ることができる。その上、第一の方法を用いると、どの段階で起こる歪みもその後の段階に不可避的に伝播するため、メッシュの品質がどんどん劣化することになる。一方、符号化という観点からみると、第一の方法の要するビット数は第二の方法より少ない。つまり、第二の方法による頂点分離操作では、vu-v cとvc-vdの２つの移動を符号化しなければならないが、第一の方法による頂点分離操作では、vu-vc=vc-vdであることから、１つの移動を符号化するだけでよい。移動の符号化は多大なビットを消費するため、第一の方法によって必要ビット数を大幅に減らすことができる。全ビット割り当て量が同じであれば、第一の方法は、第二の方法より多くの頂点分離を符号化することが可能である。つまり、全ビット割り当て量が等しい場合、第一の方法は、より多くの頂点分離を符号化する反面、頂点分離操作毎にメッシュの品質向上が徐々に困難になっていく。総合的にみた場合、第一の方法の性能がより優れている上、その計算も単純である。第一の方法では、デコーダによるモデル復元のため、頂点分離vsplit(vl,vc,v r)毎にvu-vc=vc-vdの位置移動が符号化されなければならない。ここで、まず全ての頂点移動を、頂点分離発生順に配列した後、その一連の頂点移動を、連続量子化・埋め込み符号化技術により符号化する。この技術は、Li e t al．"Progressive Coding of 3D Graphic Models"（Proceedings of IEEE，Vo l．861052-63ページ、1998年6月）に記載されるものであり、同引例はここに全文引用される。統合さきに連結及び幾何データの符号化という2つの符号化処理を紹介したが、これらの符号化処理それぞれにより、１つのビットストリームが生成される。その結果生じる２つのビットストリームは、単一のビットストリームに多重化する必要がある。復元モデルの品質は、頂点数及び頂点位置の正確さに影響される。ビットストリームの復号化が進むほど、復号モデルはオリジナルモデルに近似する。いずれかのビットストリームを復号することにより、圧縮歪みが減少する。ここで、各ビットストリームのビットの順序に従って、圧縮歪みの減少へのビットの貢献は低下するが、最後のビットストリームまで、この圧縮歪み減少の効果が保たれることが望ましい。この問題は、2つの配列をそれぞれ特定の測定法にしたがって１つの配列に統合する場合に類似している。本例の場合、その測定法とは「ビット毎の歪み減少」である。ビット毎の歪み減少の平均を調べるため、各ビットストリームに対してレート・歪みモデルを構成し、これによって2つのビットストリームを正しい順序で多重化する。このプロセスの詳細については、前述のLi et al."Progressive Coding of 3D Graphic Models"を参照されたい。実験結果 300個のモデルからなるテストデータセットを用いて、本発明の符号化方法を実証する。これら300個のメッシュのサイズは多岐にわたっている。図10は、頂点数をもとに、各メッシュのサイズを示したものである。尚、図中のｘ軸はｌｏｇ目盛りである。最小メッシュサイズは、四面体に相当する4であり、最大メッシュサイズは、複合ギアセットに相当する54898である。前述の通り、ほとんどのメッシュは、主に三角形と四角形からなる。各メッシュにおける全ポリゴンに対する三角形の割合を、図１１に示す。図示されるように、三角形が最も一般的なポリゴンであり、四角形がかなり数は少ないがその次に一般的である一方、その他のポリゴンは比較的少数である。このことは、3Dユークリッド空間におけるプレーンが、三角形を形成する3点から決定されるという事実に基づいている。多面体メッシュによって3Dグラフィックモデルを表現するために、三角形によって簡便かつ正確に構成される区分プレーンセグメントを用いて、実際にそのモデルの表面の近似がとられる。表面の滑らかな箇所には、四角形片もよく用いられる。前記の形態（連結）符号化スキームを、データセット全体を用いてテストした。図12に、頂点数をもとにしたモデルサイズに対する圧縮性能を、図１２に示す。同図から、概してモデルサイズが大きいほど圧縮性能が高いことが分かるが、モデルはさまざまな形態構造を持ち得るため、モデルサイズのみを圧縮性能の決定要因とみることはできない。形態符号化性能に関する統計を、以下の表１にまとめる。表によると、各頂点につき平均2.18ビットが可能である。また、あるメッシュのポリゴン数に対して符号化ビットを正規化した場合、各ポリゴンにつき平均2. 02ビットが可能である。さらに、三角形メッシュについては、各三角形につき平均1.46ビットが可能である。また、前記の幾何符号化スキームを、データセット全体を用いてテストした。アルゴリズムの埋め込み特性により、デコーダはいかなるビットレートでもモデルを復元することが可能である。図１３(a)〜図１３(c)はそれぞれ、頂点あたりビットレート10、20、30での圧縮性能を示し、図１３(d)は、歪みに対するビットレートのトレードオフを示す。データセット全体をもとに得られた統計を以下の表２にまとめる。図１４(a)〜図１４(d)はそれぞれ、頂点あたりのビットレートを10、15、20 、25としてモデル「ドッジ」を構成した結果を示したものである。高圧縮率に伴う現象で注目すべきものに、本来はくっついているべきモデルの構成部分間のギャップを表わす「クラック」と呼ばれる現象がある。クラック現象の原因は、異なる構成部分の2点が、オリジナルモデルでは同位置であった可能性があるにもかかわらず、予測の際に祖先となる頂点が別であったために、違う余りを有することになり異なる量子化誤差を得たことによる。復元時、この相違により2点は別々の位置に置かれることになる。しかし、より精密な量子化ステップサイズを採用して、圧縮率を低度から中度の範囲内にすれば、このクラックはなくなる。以上実施例を通して本発明を説明したが、本発明の範囲において、発明の構成の変更や別の実施例及び応用が示唆され得ることを、当業者は理解されたい。従って、ここでの開示及び記載は純粋に実例であり、発明をなんら限定するものでない。

───────────────────────────────────────────────────── フロントページの続き (81)指定国ＥＰ(ＡＴ，ＢＥ，ＣＨ，ＣＹ，ＤＥ，ＤＫ，ＥＳ，ＦＩ，ＦＲ，ＧＢ，ＧＲ，ＩＥ，ＩＴ，ＬＵ，ＭＣ，ＮＬ，ＰＴ，ＳＥ)，ＯＡ(ＢＦ，ＢＪ，ＣＦ，ＣＧ，ＣＩ，ＣＭ，ＧＡ，ＧＮ，ＧＷ，ＭＬ，ＭＲ，ＮＥ，ＳＮ，ＴＤ，ＴＧ)，ＡＰ(ＧＨ，ＧＭ，ＫＥ，ＬＳ，ＭＷ，ＳＤ，ＳＺ，ＵＧ，ＺＷ)，ＥＡ(ＡＭ，ＡＺ，ＢＹ，ＫＧ，ＫＺ，ＭＤ，ＲＵ，ＴＪ，ＴＭ) ，ＡＬ，ＡＭ，ＡＴ，ＡＵ，ＡＺ，ＢＡ，ＢＢ，ＢＧ，ＢＲ，ＢＹ，ＣＡ，ＣＨ，ＣＮ，ＣＵ，ＣＺ，ＤＥ，ＤＫ，ＥＥ，ＥＳ，ＦＩ，ＧＢ，ＧＥ，ＧＨ，ＧＭ，ＨＲ，ＨＵ，ＩＤ，ＩＬ，ＩＳ，ＪＰ，ＫＥ，ＫＧ，ＫＰ，ＫＲ，ＫＺ，ＬＣ，ＬＫ，ＬＲ，ＬＳ，ＬＴ，ＬＵ，ＬＶ，ＭＤ，ＭＧ，ＭＫ，ＭＮ，ＭＷ，ＭＸ，ＮＯ，ＮＺ，ＰＬ，ＰＴ，ＲＯ，ＲＵ，ＳＤ，ＳＥ，ＳＧ，ＳＩ，ＳＫ，ＳＬ，ＴＪ，ＴＭ，ＴＲ，ＴＴ，ＵＡ，ＵＧ，ＵＺ，ＶＮ，ＹＵ，ＺＷ (72)発明者クォー、チュン―チエ、ジェイアメリカ合衆国、カリフォルニア州91007、アーケーディア、ハリファックスロード 5634 【要約の続き】データを、元もモデルを論理的に再構築していくので、どの点においても停止できる。開示されたアルゴリズムを、複雑な３Dメッシュに適用した結果、グラフィックの画質を良好に保ちつつ２０：１という圧縮率を達成した。

Claims

【特許請求の範囲】特許請求の範囲は以下の通り：１．多面体メッシュによって表現される何次元かのモデルを符号化して、前記何次元かのモデルの圧縮データ表現を提供する符号化方法であって、以下のステップを有する：Ａ．以下の手順に従ってメッシュ構造を処理する：１．開始ノードｎｓおよび、前記開始ノードｎｓに関連する主リンクｌを選択する；２．前記開始ノードに関連する各リンクを反時計回りの方向にトラバースさせ、最初にトラバースさせるのは前記主リンクである；３．前記ステップ２においてトラバースさせられた各リンクについて、その終端ノードｎｅをキューに追加し、もし、前記終端ノードが既にキューにあるのでなければ、前記リンクを主リンクとしてセットする；４．前記先頭ノードｎｓに関連する各リンクがトラバースさせられた後で、キューの次のノードに進み、キューの全てのノードがトラバースさせられるまで、ステップ３および４を繰り返した後、停止する。Ｂ．トラバースさせられたメッシュの各ノードに関連する各リンクを記録する。２．クレーム１の方法であって、更に、前記ステップＡ−３の終端ノードｎｅについて、キューにない場合にはブランチノードとして、キューにある場合に併合ノードとして確認するステップを有する。３．クレーム２の方法であって、更に、各合併ノードをグローバルインデックス修飾スキームに従って確認するステップを有する。４．クレーム２の方法であって、更に、各合併ノードをローカルインデックス修飾スキームに従って確認するステップを有する。５．クレーム４の方法であって、前記ローカルインデックス修飾スキームは、前記先頭ノードから前記合併ノードへ、時計回りトレースまたは反時計回りトレースの、いずれか短い方の処理を含むことを特徴とする。６．クレーム１の方法であって、更に、ステップＡでトラバースされたノードの各々について、ノードの属性情報を指定するステップを有する。７．クレーム６の方法であって、ノードの属性情報には、位置、法線、色およびテクスチャが含まれることを特徴とする。８．クレーム６の方法であって、更に、前記ノードの属性情報を符号化するステップを有し、前記ステップは、以下のステップを有する：１．符号化対象の属性情報を順序付けする；２．符号化された属性情報の各々について予測余りのシーケンスを生成する；そして、３．前記予測余りを量子化し、符号化する。９．多面体メッシュによって表現される３次元モデルを符号化して、前記３次元モデルの圧縮データ表現を提供する符号化方法であって、以下のステップを有する：前記３次元モデルを表現する多面体メッシュを縮小して、最終的にベースメッシュとなる一連の簡単なメッシュにする；前記縮小ステップにおいて使用された各簡略化処理を格納する；前記ベースメッシュおよび各簡略化処理を符号化して単一のビットストリームとする。１０．クレーム９の方法であって、前記縮小ステップは、頂点分割操作によって元に戻すことのできる、一連の変消滅ステップを有することを特徴とする。１１．クレーム９の方法であって、前記縮小ステップは以下のプロセスを含むことを特徴とする：上のプロセスにおいて、Morgは、前記3次元モデルの元のメッシュであり、Mbase は前記3次元モデルを表現するもっとも簡単なメッシュであり、そして、１２．クレーム１１の方法であって、前記縮小ステップは逆方法に実行可能であり、以下のプロセスによって、ベースメッシュMbaseから元のメッシュMorgを再構成できることを特徴とする：１３．多面体メッシュによって表現される３次元モデルを符号化して、前記３次元モデルの圧縮データ表現を提供する符号化方法であって、以下のステップを有する：前記３次元モデルを表現する多面体メッシュのデータ構造を符号化する；前記３次元モデルを表現する多面体メッシュの属性データを符号化する；そして、前記符号化された構造データと前記符号化された属性データとを複合化して単一のデータストリームとする。