JP2002501639A - プログレッシブメッシュの適応細分方法および装置 - Google Patents

Abstract

(57)【要約】 変化するビューパラメータ（８０）に従って図形幾何学的モデルの連続する任意のメッシュ表示（７２）を適切に洗練する方法及び装置（１０）を開示する。方法は、ビュー錐台(１８８)、表面方位（１９０）及びスクリーンスペース幾何学的誤差（１９２）に基づくビュー依存パラメータの選択洗練基準を有効に用いて、図形オブジェクト及びイメージを図形形状として発生させる。選択洗練基準に従ってインクリメンタルな洗練及び粗化を行うリアルタイム方法も開示する。リアルタイム方法は、図形ビュー一致を促進し、フレーム速度調整をサポートする。連続的な動作に対して、リアルタイム方法を、連続するフレーム全体に亘って清算することができ、円滑な視覚的な遷移（形状）を、図形オブジェクト又はイメージを表示するのに用いられる２個の適切に洗礼したメッシュ間で構成することができる。

Description

【発明の詳細な説明】 プログレッシブメッシュの適応細分方法および装置特許権付与 この特許文書の開示の一部は、著作権保護を受ける資料を含む。著作権所有者 は、関連する特許オーソリティのファイルまたは記録においてのみ現れるため、 本発明文書または特許開示のいずれによっても複製に対する意義を申し立ててお らず、他の場合ならすべての著作権を保有する。発明の分野 本発明はコンピュータグラフィックスに関する。より特に、グラフィカルイメ ージにおけるグラフィカルオブジェクトに関する複雑な幾何学的モデルのレンダ リングに関する。発明の背景および要約 インタラクティブレートにおける複雑な幾何学的モデルのレンダリングは、コ ンピュータグラフィックにおける挑戦的な問題である。レンダリング性能が絶え 間なく改善されていく限り、幾何学的モデルの複雑さを、前記モデルが特定のレ ンダリングされたグラフィカルイメージを形成する際の寄与に適応させることに よって、重大な利益を得ることができる。コンピュータグラフィックス技術にお いて知られる伝統的なモデル化システムにおいて、精細化された幾何学的モデル を、多用途のモデル化動作（例えば、押し出し、構造的ソリッドジオメトリおよ び自由造形変形）を、グラフィカルオブジェクトまたはイメージを規定するのに 使用される幾何原型の巨大なアレイに用いることによって形成する。前記幾何原 型は、代表的に、三角形、多角形および他の多辺形形状を含む。能率的な表示の ため、結果として生じる幾何学的モデルを、代表的に、「メッシュ」と呼ばれる幾 何原型の多角形近似に変換する。 メッシュは、タプル（Ｋ，Ｖ）によって示されるジオメトリを有し、ここでＫ を、メッシュ単体の連結度を示す単体複体（すなわち、頂点、稜線および面の） とする。Ｖ＝｛ｖ₁,...ｖ_m｝を、Ｒ³空間におけるメッシュの形状を規定する頂 点位置の組とする。すなわち、変数領域｜Ｋ｜⊂Ｒ^mを、頂点ＫをＲ^mのカノニカ ル基本ベクトルと関係させることによって構成し、前記メッシュをイメージφｖ （｜Ｋ｜）として規定し、ここでφｖ：Ｒ^m→Ｒ³を線形マップとする。メッシュ における他の情報に関して、ACM SIGGRAPH'93会報、１９〜２６ページの、Hugue s Hoppe、T.Derose、T.Duchamp、J.McDonaldおよびW.Stuetzleによる「メッシュ 最適化」を参照されたい。 コンピュータグラフィックスにおける多くの幾何学的モデルは、三角形メッシ ュを使用して表される。幾何学的に、三角形メッシュは、稜線において連結され た多数の三角形面による区分的線形表面である。メッシュを使用してグラフィカ ルオブジェクトまたはイメージを表示するある一般的な技術は、幾何学的モデル の種々の精細レベル（ＬＯＤ）におけるいくつかの変形を、プログレッシブメッ シュを使用して形成することである。これらのようなＬＯＤメッシュを、当該技 術分野において既知の種々のメッシュ単純化技術を使用して、自動的に計算する ことができる。 また、プログレッシブメッシュ（ＰＭ）表現を使用し、ビューに依存しないＬ ＯＤ制御に対して最適化されたメッシュの連続的な配列を獲得する。プログレッ シブメッシュは、実行時における前記メッシュ配列の高速な横断を可能にする。 さらなる情報に関して、ACM SIGGRAPH'96会報、９９〜１０８ページの、Hugues Hoppeによる「プログレッシブメッシュ」を参照されたい。ビューに依存しない プログレッシブＬＯＤメッシュの組すなわち配列は、多くのコンピュータグラフ ィックス用途に適している。しかしながら、見る人を取り囲んでもよいグラフィ カル地形または他のグラフィカル環境のような大規模幾何学的モデルをレンダリ ングする場合、ビューに依存しないプログレッシブＬＯＤメッシュの使用に関し ていくつかの問題がある。 ある問題は、前記幾何学的モデルの多数の個別的な多角形または面は、見る人 の選択した視野錐台（ビュー平面）の外にあるかもしれず、したがってグラフィ カルイメージまたはオブジェクトをレンダリングする際に寄与しないことである 。前記視野錐台の外にある面を最終的に選択する（すなわち、破棄する）として も、前記視野錐台内に用いるのと同じレベルの精細度を前記視野錐台の外の面に も用 いるため、処理リソースがグラフィカルイメージまたはオブジェクトのレンダリ ング中に浪費される。 他の問題は、見る人から離れた方を向いた面の不必要なレンダリングである。 これらのような面を、代表的に、レンダリング中、「背面」試験を使用して選択 する。しかしながら、この背面試験は、再びレンダリング中に多大な処理リソー スを浪費する。 依然として他の問題は、前記視野錐台内で前記モデルのいくつかの領域が、他 の領域よりも見る人に近づきすぎるかもしれないことである。プログレッシブＬ ＯＤメッシュは、適切な精細度レベルを前記幾何学的モデル全体に与えられず、 これらのような領域を処理できない。 これらの問題のいくつかを、グラフィカルシーンをメッシュのハイアラーキと してハイアラーキ的に表すことによって取り上げることができる。前記シーンの 部分を、前記ハイアラーキにおける各メッシュに対して別々に適応させることが できる。しかしながら、これらのようなハイアラーキをグラフィカルオブジェク トまたはイメージの連続的な表面において確立することは、余計な挑戦的な問題 を与える。 ハイアラーキの選択の確立に関するある問題は、視覚的「隙間」が前記プログ レッシブＬＯＤメッシュにおいて現れるかもしれないことである。例えば、ある グラフィカル地形を表すメッシュをブロックに分割すると、これらのブロックは 、異なったレベルの精細度でレンダリングされ、これが表示されると、前記地形 に隙間が現れるかもしれない。加えて、これらプログレッシブＬＯＤメッシュブ ロックの境界線は、前記地形表面における自然の特徴に対応しそうになく、結果 として、次善の近似が生じる。同様の問題は、滑らかなパラメトリック表面の適 応モザイク化においても生じる。 グラフィカル地形に関する高い領域の場合と、いくつかのパラメトリック表面 とに関するメッシュを適応細分する、グラフィカル技術の当業者に既知の限定さ れた方法が開発されている。しかしながら、これらの方法を、任意のメッシュに 一般的に適用することはできない。 当該技術分野において既知のように、メッシュを、メッシュ変換の組における 拘束の組と、一定の細分基準の組とを使用して、細分することができる。例えば 、プログレッシブメッシュ表現を、稜線削除動作と、頂点の組によって拘束され る頂点分割動作とを含むメッシュ変換の組によって細分することができる。一定 の細分基準の組は、稜線削除に関するすべての候補稜線を優先権待ち行列に置く ことを含み、ここで、各変換の優先権を、初期メッシュからの少数の点をプログ レッシブメッシュ表現におけるメッシュに適応させるのに使用されるエネルギー コストとする。さらなる情報に関して、上記で引用した論文「プログレッシブメ ッシュ」を参照されたい。 プログレッシブメッシュ表現を細分基準の一定の組によって細分することは、 多数の問題を生じさせる。前記プログレッシブメッシュに使用される拘束の組お よび一定の細分基準の組は、プログレッシブメッシュ表現を適応細分することに 適切でない。適応細分中、プログレッシブメッシュ表現のいくつかの領域（例え ば、見る人の方を向いた領域）は細分されるが、同じプログレッシブメッシュ表 現の他の領域（例えば、見る人から離れた方を向いた領域）は粗くなる。前記プ ログレッシブメッシュに使用される拘束されたメッシュ変換の組および一定の細 分基準の組は、任意のプログレッシブメッシュ表現を適応細分することにも適し ていない。 本発明の説明的な実施形態によれば、プログレッシブＬＯＤメッシュに関する 問題、ハイアラーキを選択することと、プログレッシブメッシュ表現を適応細分 することは克服される。任意のプログレッシブメッシュをビュー依存パラメータ の変化に応じて適応細分する方法およびシステムを説明する。任意のプログレッ シブメッシュを、選択的細分基準の組を使用する拘束されたメッシュ変換の組に よって適応細分一般的な方法も示す。 任意のプログレッシブメッシュを変化するビュー依存パラメータに応じて適応 細分する方法は、プログレッシブメッシュ表現Ｍ^Rを再パラメータ化し、再パラ メータ化プログレッシブメッシュ表現Ｍ^REを形成することを含む。前記再パラメ ータ化は、プログレッシブメッシュＭ^R表現に関するＮデータ構造記録の配列か ら新たな頂点、面または稜線を選択することを含む。頂点ハイアラーキを、再パ ラメータ化プログレッシブメッシュ表現Ｍ^REにおいて構成する。前記頂点ハイア ラーキの構成を、再パラメータ化頂点の横断を使用して行う。しかしながら、他 の構成技術も使用できる。 前記頂点ハイアラーキは、ツリー構造の「森」を形成し、この森において、「 ルート」ノードはプログレッシブメッシュ表現（例えば、Ｍ^R）の頂点であり、 「リーフ」ノードは再パラメータ化メッシュ表現（例えば、Ｍ^RE）の頂点である 。しかしながら、他の形式の頂点ハイアラーキも使用できる。前記頂点ハイアラ ーキの確立は、再パラメータ化プログレッシブメッシュ表現Ｍ^REにおける再パラ メータ化された頂点に関する再分依存の形成を可能にする。 三択的細分基準の組に関する値を予め計算し、選択的細分基準の組の実行時評 価をより速く形成する。本発明の他の実施形態において、選択的細分基準の組を 実行時に計算する。 実行時において、一つ以上のビュー依存パラメータが変更したことについての 指示を受ける。再パラメータ化プログレッシブメッシュＭ^REを、前記頂点ハイア ラーキと、予め計算された選択的細分基準と、実行時に計算された選択的細分基 準とを使用して適応細分し、適応細分化メッシュを形成する。パラメータ化プロ グレッシブメッシュ表現Ｍ^REを適応細分することは、Ｍ^REのいくつかの領域を拘 束された変換の列で細分し、Ｍ^REの他の領域を拘束された変換の組で荒くするこ とを含む。 本発明の説明的な実施形態に関するシステムは、任意のプログレッシブメッシ ュ表現を構成するローケータ／コンストラクタモジュールと、前記プログレッシ ブメッシュ表現をコンピュータシステムのメモリにロードし、前記プログレッシ ブメッシュ表現を再パラメータ化し、選択的細分基準の組における前処理を行う 前処理モジュールと、ビュー依存パラメータにおける変化を受け、選択的細分基 準を評価し、再パラメータ化プログレッシブメッシュ表現を適応細分し、アクテ ィブ面をレンダリングするレンダリングモジュールとを含む。しかしながら、本 システムは、より多くのまたはより少ないモジュール含むこともでき、前記モジ ュールの機能をより多くのまたはより少ないモジュールにおいて結合することも できる。 任意のプログレッシブメッシュを選択的細分基準を使用する拘束されたメッシ ュ変換の組で適応細分する一般的な方法は、任意のプログレッシブメッシュ表現 を選択することを含む。メッシュ変換の組と，前記メッシュ変換の組における拘 束と、選択的細分基準の組とを選択する。実行時において、前記プログレッシブ メッシュ表現の細分を、幾何原型を前記プログレッシブメッシュ表現に、前記メ ッシュ変換の拘束された組と、選択的細分基準の組とを使用して加えることによ って適応細分し、選択的に細分されたメッシュの第１近似を形成する。前記選択 的に細分されたメッシュを、前記選択的に細分されたメッシュを通過することに よって適応細分する。適応細分は、前記選択的に細分されたメッシュのいくつか の領域をさらに細分し、同じ選択的に細分されたメッシュの他の領域を粗くする 。この方法は、任意の幾何学的モデルに関する任意のプログレッシブメッシュ表 現を適応細分させる。また、この方法は、開発者が前記選択的細分基準の組を選 択できるため、きわめて適応性がある。前記選択的細分基準をビュー依存とする こともでき、または、多数の目的に関するプログレッシブメッシュ表現の適応細 分に適応性を与えるいくつかの他の依存性の組を基礎とすることもできる。 本発明の説明的な実施形態の上述したおよび他の特徴および利点は、添付した 図面を参照して進める以下の詳細な説明から、より容易に明らかになるであろう 。図面の簡単な説明 本発明の出願は、カラーにおいて作成された少なくとも１つの図面を含む。カ ラーの図面を伴う本発明の複製を、要求及び必要経費の支払いに応じて関連する 特許オーソリティによって与える。 カラーにおいて作成されたこれらの図面のいくつかは、ユタ州プロボのビュー ポイントデータラブズインターナショナル(Viewpoint Datalabs International) によって元々形成され、著作権を取得されているデータセットから形成されたメ ッシュのイメージである。 図１は、本発明の説明的実施形態を実行するのに使用されるコンピュータシス テムのブロック図である。 図２は、先行技術による頂点分割および稜線削除動作のブロック図である。 図３Ａ−３Ｄは、図２による頂点分割および稜線削除動作を使用する地形格子 に関するプログレッシブメッシュのカラースクリーン表示のシーケンスである。 図４は、ビュー依存パラメータを変化させることによって任意のプログレッシ ブメッシュ表現を適応細分する方法を説明する流れ図である。 図５は、新たな稜線削除変換および新たな頂点分割変換を説明するブロック図 である。 図６は、図５によるメッシュ変換を使用する境界を有するメッシュを説明する ブロック図である。 図７は、図５に示す頂点分割変換に関するステップを説明する流れ図である。 図８は、図５に示す稜線削除変換に関するステップを説明する流れ図である。 図９は、頂点ハイアラーキを説明するブロック図である。 図１０は、メッシュを選択的に細分または粗くすべき場合を決定する方法を説 明する流れ図である。 図１１は、頂点を視野錐台内である場合を決定する方法を説明する流れ図であ る。 図１２は、境界空間ハイアラーキを説明するブロック図である。 図１３Ａ−１３Ｃは、頂点に関する表面配向試験を説明するブロック図である 。 図１４は、表面配向を決定する方法を説明する流れ図である。 図１５Ａ−１５Ｂは、スクリーン空間幾何誤差表現を説明するブロック図であ る。 図１６は、スクリーン空間幾何誤差を見つける方法を説明する流れ図である。 図１７Ａおよび１７Ｂは、メッシュを適応細分する方法を説明する流れ図であ る。 図１８は、地形メッシュに関する頂点ハイアラーキを説明するブロック図であ る。 図１９は、地形メッシュを形成する方法を説明する流れ図である。 図２０は、三角形ストリップを説明するグラフィカル地形のブロック図である 。 図２１は、三角形ストリップを発生する方法を説明する流れ図である。 図２２は、パラメトリック表面の適応モザイク化方法を説明する流れ図である 。 図２３Ａおよび２３Ｂは、本発明の説明的実施形態用システムを説明するブロ ック図である。 図２４Ａ−２４Ｆは、グラフィカル地形に関するプログレッシブメッシュのビ ュー依存細分化を説明するカラースクリーン表示である。 図２５Ａ−２５Ｃは、モザイク化球に関するビュー依存細分化を説明するカラ ースクリーン表示である。 図２６Ａ−２６Ｃは、モザイク化パラメトリック表面によって形成された截頭 形プログレッシブメッシュのビュー依存細分化を説明するカラースクリーン表示 である。 図２７Ａ−２７Ｃは、グラフィカルキャラクタに関する任意のメッシュのビュ ー依存細分化を説明するカラースクリーン表示である。 図２８は、メッシュを適応細分する一般的な方法を説明する流れ図である。実施例の詳細な説明 図１は本発明の実施例を実施するコンピュータシステムのブロック図である。 図１につき説明すると、本発明の好適実施例の動作環鏡は、少なくとも１つの高 速処理装置（ＣＰＵ）１４と、関連するメモリシステム１６、入力装置１８及び 出力装置２０を具えるコンピュータ１２を有するコンピュータシステム１０であ る。これらの素子はバス構造２２により相互接続されている。 図示のＣＰＵ１４は普通の設計のものであり、計算を実行するＡＬＵ２４、デ ータ及び命令の一時記憶用のレジスタ群２６、及びシステム１０の動作を制御す る制御ユニット２８を含む。種々のプロセッサ(Digital Equipment,Sun,MIPS,IB M,motorola,NEC,Intel,Cyrix,AMD,Nexgen等からのプロセッサを含む)の任意のも のもＣＰＵ１４として等しく好適である。１つのＣＰＵ１４を示すが、コンピュ ータシステム１０は多数の処理装置を含むことのできる。 メモリシステム１６は主メモリ３０及び補助メモリ３２を含む。図示の主メモ リ３０は高速ランダムアクセスメモリ（ＲＡＭ）及びリードオンリメモリ（ＲＯ Ｍ）である。主メモリ３０は任意の追加の又は他の高速メモリ装置又はメモリ回 路を含むことができる。補助メモリ３２はＲＯＭ、光又は磁気ディスク、有機メ モリ又は任意の他の揮発性又は不揮発性大容量メモリシステムのような長期メモ リの形のものとする。入力／出力装置１８、２０は他のコンピュータシステム又 は装置との通信用のネットワーク接続手段、モデム、又はその他の装置も含む。 当業者によく知られているように、コンピュータシステム１０は更にオペレー ティングシステム及び少なくとも１つのアプリケーションプログラムを含む。オ ペレーティングシステムはコンピュータシステムのオペレーション及びリソース の割当てを制御するソフトウエア命令のセットである。アプリケーションプログ ラムは、ユーザが所望するタスクをオペレーティングシステムにより使用可能に されたコンピュータリソースを使用して実行するソフトウエア命令のセットであ る。どちらも図示のメモリシステム１６内に常駐する。 コンピュータプログラムミング分野の通常の知識を有する者のプラクティスに 従って、特にことわらない限り本発明をコンピュータシステム１０により実行さ れるオペレーションのアクト及び記号表現と関連して以下に説明する。このよう なアクト及びオペレーションは時々コンピュータ実行されるという。アクト及び 記号表現オペレーションはデータビットを表わす電気信号のＣＰＵ１４による操 作を含む。この操作は電気信号表現の変換又は還元及びメモリシステム１６内の メモリ位置におけるデータビットの維持を行ってコンピュータシステムのオペレ ーションを再構成又は変更するとともに、信号の他の処理を行う。データビット が維持されるメモリ位置はデータビットに対応する電気的、磁気的、光学的又は 有機的特性を有する物理的位置である。 データビットはコンピュータ１２により読み取り得る磁気ディスク及び任意の 他の揮発性又は不揮発性大容量メモリシステムを含むコンピュータ読取り可能媒 体上に維持することもできる。コンピュータ読取り可能媒体は、コンピュータシ ステム１０にのみ存在する又は多数の相互接続コンピュータシステム１０（ロー カル又はリモートシステムにすることができる）の間で分配される協働又は相互 接続コンピュータ読取り可能媒体も含む。グラフィック物体のレンダリング グラフィック物体を発生させるために、グラフィック物体を規定するのに使用 される幾何プリミティブにモデリングオペレーションを適用することにより詳細 グラフィックモデルを生成する。幾何プリミティブは代表的には三角形、多角形 （ポリゴン）及びその他の多辺形を含む。グラフィック画像をレンダリングする ために、グラフィック物体を処理し、得られたグラフィック画像をフレームバッ ファ（例えばメモリシステム１６）に蓄積する。フレームバッファは１フレーム のグラフィックデータを含む。レンダリングされた画像データを次にディスプレ イ（ディスプレイ２０）に転送する。グラフィックデータは所定のサイズのフレ ーム（例えば３メガバイト）で蓄積される。グラフィック画像は代表的にはフレ ームごとにレンダリングされる。レンダリングについてのこれ以上の情報につい ては、「Fundamental of Interactive Computer Graphlcs」第２版、J.D.Foley 及びA.Van Dam著、Addison-Wesley出版社、を参照されたい。 フレーム単位の効率的表示のために、１以上のグラフィック物体を含むグラフ ィック画像に対するグラフィックモデルは代表的には「メッシュ」という幾何プリ ミティブの多角形近似に変換される。メッシュはタプル(k,v)により示されるジ オメトリを有し、ここでｋはメッシュ単体の連結度(即ち頂点、稜線及び面の隣 接度)を指定する単体複体である。ｖ＝｛v₁,..v_m｝はＲ³空間内のメッシュの形 状を規定する頂点位置のセットである。即ち、Ｒ^mの標準基ベクトルを有する頂 点を識別するとともにメッシュをΦv（|k|）として規定することにより媒介変数 領域|k|⊂Ｒ^mが構成される。ここで、Φv:Ｒ^m−Ｒ³はリニアマップである。メッ シュを用いてグラフィック物体を表示する一つの共通の技術はプログレッシブメ ッシュを用いて種々のビュー独立詳細レベル（ＬＯＤ）で幾何モデルのいくつか のバージョンを生成するものである。プログレッシブメッシュ Ｍを全可能メッシュのセットとすると、任意のメッシュＭ^Aのプログレッシブ メッシュ表現Ｍ^PM（ここで、Ｍ^A∈Ｍ及びＭ^PM⊂Ｍ）は増大する精度のメッシュ 近似の連続シーケンスＭⁱ（ｉ＝{0,..n-1}、Ｍ⁰,Ｍ¹,..Ｍ^n-1）を規定し、これ から任意所望の複雑さのビュー独立詳細レベル近似を効率的に検索することがで きる。 幾何モデルに対するプログレッシブメッシュ表現Ｍ^PMを生成するために、固定の 細分化基準セットを用いて任意のメッシュＭ^Aを一連の稜線削除(ecol)処理によ り簡単化してもっと簡単な基本メッシュＭ⁰を生成する。従来既知の稜線削除処 理を使用するプログレッシブメッシュ簡単化処理を式(1)に示す。 （Ｍ^A＝Ｍⁿ）⇒ecol_n-1⇒...ecol₁⇒Ｍ¹⇒ecol₀⇒Ｍ⁰ (1) 図２は稜線削除処理３６及び頂点分割処理３８を示すブロック図である。Ecol （Ｖ_S，Ｖ_L，Ｖ_R，Ｖ_T，Ｆ_L，Ｆ_R）としてパラメータ化される稜線削除処理３６ は細分化された（精）メッシュＭ^F４８の２つの追加の頂点Ｖ_L４４及びＶ_R４６ 間の２つの隣接頂点Ｖ_S４０及びＶ_T４２を統一して粗メッシュＭ^C５２上の単一 の頂点Ｖ_S'５０にする。粗メッシュＭ^C５２はプログレッシブメッシュ表現にお ける最終基本メッシュＭ⁰又は別の中間粗メッシュＭ^C（例えば、Ｍ¹，Ｍ²,...等 ）とすることができる。頂点Ｖ_T４０及び頂点Ｖ_T４０と関連する面Ｆ_L５４及び Ｆ_R５６は稜線削除処理において消滅する。新しいメッシュ位置は統一頂点Ｖ_S' ５０に対し指定される。 稜線削除処理３６は頂点分割(vsplit)処理３８の逆である。頂点分割を用いる プログレッシブメッシュ細分化処理を式(2)に示す。 Ｍ⁰⇒vsplit₀⇒Ｍ¹⇒vsplit₁⇒...Ｍ^n-1⇒vsplit_n-1⇒(Ｍⁿ＝Ｍ^A) (2) 細分化された（精）メッシュＭ^F48は式(2)に示すプログレッシブメッシュシーケ ンス(例えばＭ^n-1,Ｍ^n-2,...等)において三角形メッシュＭ又は任意のメッシュ とすることができる。Vsplit（Ｖ_S，Ｖ_L，Ｖ_R）としてパラメータ化される頂点 分割処理は新しい頂点Ｖ_T４２及び２つの新しい面Ｆ_L５４及びＦ_R５６を導入す ることにより粗メッシュＭ^C５２を変更する。面Ｆ_L５４は３つの頂点Ｆ_L＝｛Ｖ_S ，Ｖ_L，Ｖ_T｝(４２、４４、４０)で規定され、面Ｆ_R５６は３つの頂点Ｆ_R＝｛Ｖ_S ，Ｖ_R，Ｖ_T｝(４２、４６、４０）で規定される。得られるメッシュシーケンス Ｍ⁰，...Ｍⁿ＝Ｍ^Aはビュー独立詳細レベル（ＬＯＤ）制御に有効である。固定の 細分化基準を用いるプログレッシブメッシュについてのこれ以上の情報について は「Progressive Meshes」，Hugues Hoppe著，ACM SIGGRAPH'96 Proceedings，p p.99-108，を参照されたい。 図３Ａ−３Ｄは地形格子に対するビュー独立プログレッシブメッシュ表現のス クリーンディスプレイを示す一連のカラーブロック図６０である。頂点分割処理 ３８を基本メッシュＭ⁰６２に繰り返し適用する。例えば、図３Ａにおいて、粗 基本メッシュＭ^O６２は三角形を規定する３つの頂点と１つの面を有するが、図 ３Ｄの最も細分化されたメッシュＭⁿ６８は２００×２００の頂点及び７９，２ ０２の面を有し、複雑な地形のグラフィック画像を規定する。図３Ｂ及び３Ｃは それぞれ１，０００及び１０，０００の面を有する中間メッシュＭ⁵¹⁴及びＭ^{506 6} のカラースクリーンディスプレイ（６４、６６）を示す。粗基本メッシュＭ⁰６ ２は稜線削除処理３６を細分化メッシュＭⁿ６８に繰り返し適用することにより 細分化メッシュＭⁿ６８から復元することができる。 式(1)及び(2)に示す演算で処理されるプログレッシブメッシュはいくつかの大 きな問題を残す。例えば、プログレッシブメッシュは、代表的には、レンダリン グプロセス時に選択的細分化又はアダプティブ細分化に対し良好なリアルタイム 実行を保証するよう設計されておらず、スクリーン空間の幾何誤差を測定するこ とができず、ビュー依存パラメータ変化につれてメッシュを選択的に又はアダプ ティブに細分化するのに使用することはできない。プログレッシブメッシュのビュー依存細分化 式(1)及び(2)により生成される図２に示すプログレッシブメッシュはビュー独 立であり、固定の細分化基準セットを用いて生成される。図４は、任意のプログ レッシブメッシュＭ^Aを変化するビュー依存パラメータに従ってアダプティブに 細分化する本発明の一実施例の方法７０を示す。方法７０は本発明の図示の実施 例のコンピュータシステム１０のメモリ１６内のアプリケーションプログラムと して実現される。しかし、他の実現も使用可能である。方法７０はステップ７２ においてプログレッシブメッシュ表現Ｍ^Rを再パラメータ化して再パラメータ化 されたプログレッシブメッシュ表現Ｍ^REを生成する。再パラメータ化はプログレ ッシブメッシュ表現Ｍ^Rと関連するＮ個のデータ構造記録の系列からの新しい頂 点、面及び稜線の選択を含む。ステップ７４において、再パラメータ化されたプ ログレッシブメッシュ表現Ｍ^REから頂点ハイアラーキを構成する。頂点ハイアラ ーキの構成は再パラメータ化された頂点の横断を用いて行われる。しかし、他の 構成技術を使用することもできる。頂点ハイアラーキは「「根」ノードがプログレ ッシブメッシュ表現(例えばＭ^R)の頂点であり且つ「葉」ノードが再パラメータ化 されたメッシュ表現(例えばＭ^RE)の頂点であるトリー構造の「森」を構成する。 しかし、他のタイプの頂点ハイアラーキを使用することもできる。頂点ハイアラ ーキの確立により再パラメータ化されたプログレッシブメッシュ表現Ｍ^RE内の再 パラメータ化された頂点に対する細分化依存性の生成が得られる。ステップ７６ において選択的細分化基準セットの値を予め計算して選択的細分化基準セット の実行時評価を高速にする。本発明の代替実施例では、ステップ７６を実行時に 完了させる。本発明の図示の実施例ではステップ７２-７６を前処理ステップと して完了させる。本発明の代替実施例では、ステップ７２-７６を実行時に完了 させる。 実行時に、ステップ７８において１以上のビュー依存パラメータが変更されて いることを示す指示を受信する。ステップ８０において、再パラメータ化された プログレッシブメッシュ表現Ｍ^REを、頂点ハイアラーキ、予め計算された選択的 細分化基準及び実行時に計算された選択的細分化基準を用いてアダプティブに細 分化してアダプティブ細分化メッシュを生成する。パラメータ化されたプログレ ッシブメッシュ表現のアダプティブ細分化は一連の拘束頂点分割変換を用いるＭ^RE の細分化化エリアと一連の拘束稜線削除変換を用いるＭ^REの粗大化エリアを含 む。拘束頂点分割変換及び稜線削除変換について以下に説明する。 得られたアダプティブ細分化メッシュは所定の詳細近似レベルに対し少数のポ リゴン(三角形)を必要とし、選択された幾何モデルに対し少数の頂点依存性を用 いて変更されたビュー依存パラメータに基づいて幾何学的に最適化された一連の 頂点再パラメータ化である。頂点分割変換 プログレッシブメッシュ表現Ｍ^Rはステップ７２(図４)において、新しい拘束 稜線削除及び頂点分割変換を用いて再パラメータ化される。新拘束稜線削除変換 及び新拘束頂点分割変換は式(1)及び(2)に示すプログレッシブメッシュ処理を更 に改善したものである。新稜線削除変換及び新頂点分割変換は式(1)及び(2)に示 す変換には考慮されていない対を成す隣接面を考慮するものである。 図５は拘束頂点分割変換８２及び拘束稜線削除変換８４を示すブロック図であ る。図５に示すように、任意のプログレッシブメッシュ表現Ｍ^R８６は頂点Ｖ_S８ ８及び多数の隣接面(９０-１０２)を有する。Vsplit（Ｖ_S，ｆ_n0，ｆ_n1，ｆ_n2， ｆ_n3）としてパラメータ化される頂点分割変換８２は親頂点Ｖ_S８８と関連する 第１組の対を成す隣接面｛ｆ_n0，ｆ_n1｝(９６-９８)及び第２組の対を成す隣接 面｛ｆ_n2，ｆ_n3｝(１００−１０２)を決定する。本発明の図示の実施例では、対 を成す隣接面（即ち一対の隣接する面）は共通の境界を有する。しかし、他の タイプの面を使用することもできる。図５に示す例では、対を成す隣接面の組と して面９６-９８及び１００−１０２を選択した。しかし、他の組の対を成す隣 接面、例えば（９４、１００）及び（９０、９２）を選択することもできる。親 頂点Ｖ_S８８はプログレッシブメッシュ表現Ｍ^R８６において、この親頂点を２つ の子頂点Ｖ_U１０４及びＶ_T１０６及び２つの新しい面ｆ_L１０８及びｆ_R１１０と 置き換えることにより再パラメータ化する。第１の新しい面ｆ_L１０８は第１組 の対を成す隣接面｛ｆ_n0，ｆ_n1｝(９６，９８)の間に生成される。第２の新しい 面ｆ_R１１０は第２組の対を成す隣接面｛ｆ_n2，ｆ_n3｝(１００，１０２)の間に 生成される。２つの新しい面ｆ_L１０８及びｆ_R１１０は子頂点Ｖ_U１０４及びＶ_T １０６を結ぶ新しい稜線１１２を共有する。頂点分割変換８２をプログレッシブ メッシュ表現Ｍ^R８６に実行することにより第１の再パラメータ化されたプログ レッシブメッシュ表現Ｍ^RE１１４が形成される。プログレッシブメッシュ表現Ｍ^R ８６は再パラメータ化されたプログレッシブメッシュ表現Ｍ^RE１１４から以下 に記載する新しい拘束稜線削除変換８４により再現することができる。 頂点分割変換８２は頂点｛Ｖ₁，Ｖ₂，Ｖ₃｝を有する三角形プログレッシブメ ッシュ表現Ｍⁿにつき示すと表１に示すようになる。 例えば、第１頂点分割変換Ｓ₁は頂点Ｖ₂を頂点Ｖ₄及びＶ₅に分割し、第２頂点 分割変換Ｓ₂は頂点Ｖ₅を頂点Ｖ₆及びＶ₇に分割し、以下同様である。頂点｛Ｖ₁ ， Ｖ₂，Ｖ₃｝を有する初期粗プログレッシブメッシュ表現及び頂点｛Ｖ₁₄，Ｖ₁₅， Ｖ₁₁，Ｖ₄，Ｖ₆，Ｖ₁₂，Ｖ₁₃，Ｖ₈，Ｖ₉｝を有する最終再パラメータ化プログレ ッシブメッシュ表現を図９に示す。稜線削除変換 ecol（Ｖ_S，Ｖ_T，Ｖ_U，ｆ_L，ｆ_R，ｆ_no，ｆ_n1，ｆ_n2，ｆ_n3）としてパラメー タ化される拘束稜線削除変換８４は頂点分割変換８２の逆変換を実行する。稜線 削除変換８４は、２つの新しい面ｆ_L１０８及びｆ_R１１０を除去するとともに子 頂点Ｖ_U１０４及びＶ_T１０６を親頂点Ｖ_S８８と置き換えることにより再パラメ ータ化メッシュ表現Ｍ^RE１１４をメッシュ表現ＭＲ８６に変換する。 稜線削除変換８４は頂点｛Ｖ₁₄，Ｖ₁₅，Ｖ₁₁，Ｖ₄，Ｖ₆，Ｖ₁₂，Ｖ₁₃，Ｖ₈， Ｖ₉｝を有する再パラメータ化三角形プログレッシブメッシュ表現Ｍⁿにつき示す と表２に示すようになる。 表２に示すように、再パラメータ化三角形プログレッシブメッシュ表現は稜線 削除変換８４によって、頂点｛Ｖ₁，Ｖ₂，Ｖ₃｝を有する三角形プログレッシブ メッシュ表現Ｍに戻すことができる。表２は表１に示す変換の逆を示す。 図６は境界１１８を有するプログレッシブメッシュ１１６を示すブロック図で ある。境界は原プログレッシブメッシュ表現に発生し得る。境界１１８を有する プログレッシブメッシュ表現Ｍ^Rを支持するために、第１組の対を成す隣接面｛ ｆ_n0 ，ｆ_n1｝(９６，９８)又は第２組の対を成す隣接面｛ｆ_n2，ｆ_n3｝(１００， １０２)を存在させないことができる。例えば図６では、境界１１８のために第 ２組の対を成す隣接面｛ｆ_n2，ｆ_n3｝を存在させない。その結果として、頂点分 割変換８２は第１の再パラメータ化された境界プログレッシブメッシュ表現Ｍ^RE １２０においてメッシュＭ^R１１６に存在する一組の対を成す隣接面（例えば｛ ｆ_n0，ｆ_n1｝(９６，９８)）のみを用いて単一の面ｆ_L１０８を生成する。稜線 削除変換８４は第１の再パラメータ化境界プログレッシブメッシュ表現Ｍ^RE１２ ０から単一の面ｆ_L１０８を除去して境界プログレッシブメッシュ表現Ｍ^R１１６ を再生成する。拘束頂点分割変換用の方法 頂点分割変換８２はプログレッシブメッシュ表現におけるアクティブ頂点及び 面により拘束される。図７は図５のブロック図に示す頂点分割変換８２用の方法 のステップを示す流れ図である。ステップ１２４において、１つの頂点（例えば 頂点８８）を分割のために選択する。ステップ１２６において、選択された頂点 がプログレッシブメッシュ表現において「アクティブ」であるか否かを決定する 検査を行う。この頂点（面）はプログレッシブメッシュ表現に存在する場合、「 アクティブ」である。ステップ１２６において選択された頂点がアクティブでな い場合には、頂点分割変換８２は「正当」でなく、即時に完了させることはでき ない。ステップ１２６において選択された頂点がアクティブである場合には、ス テップ１２８において、選択された頂点に隣接する第１組の対を成す隣接面｛ｆ_n0 ，ｆ_n1｝(例えば９６，９８)及び第２組の対を成す隣接面｛ｆ_n2，ｆ_n3｝(例 えば１００，１０２)がアクティブであるか否かを決定する検査を行う。ステッ プ１２８において頂点分割変換８２は「正当」でなく、即時に完了させることは できない。２組の対を成す隣接面がアクティブでない場合には、頂点分割変換８ ２は「正当」でなく、即時に完了させることはできない。ステップ１２８におい て第１組及び第２組の対を成す隣接面がアクティブである場合には、ステップ１ ３０において選択された頂点８８を２つの子頂点（例えば１０４、１０６）に分 割する。ステップ１３２において、第１組の対を成す隣接面（９６、９８）の間 に、２つの新しい頂点（１０４、１０６）を結ぶエッジ（例えば１１２）を有す る新 しい面（例えば１０８）を生成する。ステップ１３４において、第２組の対を成 す隣接面（１００、１０２）の間に、２つの新しい頂点（１０４、１０６）を結 ぶエッジ（例えば１１２）を有する第２の新しい面（例えば１１０）を生成する 。得られる再パラメータ化されたメッシュ表現Ｍ^REは図５にメッシュ有１１４で 示す構成を有する。 拘束稜線削減変換法 また、拘束稜線削減変換８４はプログレッシブメッシュ表現におけるアクティ ブ頂点および面によって拘束する。図８は図５に示す拘束稜線削減変換法８４を 示すフローチャートである。ステップ１３８で拘束する一対の頂点（例えば１０ ４、１０６）を選択する。選択された頂点が再パラメータ化プログレッシブメッ シュ表現Ｍ^RE１１４で拘束チェックをステップ１４０で行う。選択された頂点（ １０４、１０６）がアクティブでない場合には、稜線削減は“正当”ではなく、 拘束稜線削減変換８４は直ちに完了し得えなくなる。２つの頂点がステップ１４ ０でアクティブとなる場合には第１の面ｆＬおよび第２の面ｆＲ（例えば、１０ ８、１１０）がアクティブとなるとともに第１および第２面（１０８、１１０） に対で隣接する第１および第２組の面(例えば、（９６、９８）(１００、１０２ ))がアクティブになる場合には、並びに第１および第２組の面｛f_n0，f_n1，f_n2 ，f_n3｝(９６−１０２)が再パラメータ化ドプログレッシブメッシュ表現Ｍ^REの 一組の面｛f_n0，f_n1，f_n2，f_n3｝と対向するように等しくなる。本発明の図示の 例では第１および第２面（１０８、１１０）はステップ１３８で選択された２の 頂点（１０４、１０６）を接続する共通の稜線（例えば、１１２）を有する。第 １組の面（９６、９８）は第１面１０８に対で隣接し、第２組の面（１００、１ ０２）は図５に示すように第２面１１０に対で隣接する。ステップ１４２のチェ ックが誤り（false）である場合には稜線削減は正当ではなく、稜線削減変換８ ４は直ちに完了し得なくなる。 ステップ１４２でのチェックが真である場合には、２つの子頂点（１０４、１ ０６）ステップ１４４で１つの親頂点８８に結合される。第１組の対隣接面（９ ６、９８）間の第１面１０８はステップ１４６で除去する。第２面１１０はステ ップ１４８で除去する。その結果としてのプログレッシブメッシュ表現Ｍ^R８６ は図５に示す構造とする。 頂点分割変換および稜線削減変換の拘束： 頂点分割変換８２および稜線削減変換８４は表３に示す一組の拘束によって拘 束する。エッジ抑制変換８４は次の場合に適法である。 １．頂点VtおよびVuが双方ともアクティブ頂点である、および ２．面f_Lおよびf_Rに隣接する面が面｛f_n0,f_n1,f_n2,f_n3｝である。 頂点分割変換８２は次の場合に適法である。 １．頂点Vsがアクティブ頂点である、および ２．面｛f_n0,f_n1,f_n2,f_n3｝が全てアクティブ面である。 しかし、数個以上の拘束を用いることもできる。表３に示す拘束によって頂点 分割変換８２および稜線削減変換８４を用いてプログレッシブメッシュ表現を再 パラメータ化し得る手段を決める。拘束によってアクティブ頂点および面を考慮 する。 頂点ハイアラーキ： プログレッシブメッシュ表現をステップ７２で再パラメータ化した後、頂点ハイ アラーキは頂点分割変換８２および再パラメータ化メッシュＭ^REからの情報によ ってステップ７４で構成する。従来既知のように頂点ハイアラーキは頂点分割操 作および変換削減操作とともに用いてメッシュのリアルタイム選択細分化を行う 簡素化ハイアラーキを生ぜしめるようにする。さらに詳細な説明はXiaおよびVar shneyによる論文「Dynamic View-dependent Simplification for Polygonal Mod els」IEEE Visualization'96 Proceedings327-334頁を参照されたい。 XiaおよびVarshneyは所定の三角形メッシュＭ^∧に対してマージツリーをボト ムアップ方向に予備計算する。全ての頂点Ｖ^∧はツリーのレベル０でリーブスと してエンターされる。次いで各レベルｌ>=0に対して一組の稜線削減操作を選択 して頂点の対を併合するとともに、その結果の頂点の適当なサブセットをレベル （l+1）に促進する。レベルｌの稜線削減操作は稜線長さに基づいて選択するが 、その隣接部は重畳しないように削減する。木（即ち、森の木）の最高レベルは 粗メッシュMOの頂点に相当する。 実行時には、選択細分化は頂点フロントをマージツリーハイアラーキにより上下 に動かすことによって達成する。細分化を均一にするための、稜線削減操作また は頂点分割操作はレベルｌの予め計算されたメッシュのそれと同一となる。即ち 、これら追加の特性はマージツリーに記憶される。これがため、表現によって４ つのツリー状のハイアラーキの特性を分割し徐々の変化のみが高度の細分化から 低度の細分化に向かって行われるようにする。 稜線長さに基づく頂点ハイアラーキの構成の拘束並びにXiaおよびVarshneyによ り行われたように非重畳変換によるハイアラーキの一組への削減よりもむしろ、 頂点ハイアラーキを、変換間の可能な数個の依存性の導入に関し、頂点分割変換 ８２の最適化シーケンスによって任意のメッシュから構成する。これは、表３に 示されるされるを用いることにより本発明の図示の例においてメッシュを概算す る際の複雑性を最小にする。加うるに、本発明の図示の例では、XiaおよびVarsh neyにより行われたように稜線長さと観察者からの距離との比を調べる代わりに 、曲面および視野方向にメッシュ細分化を採用するスクリーンスペース概算エラ ーを用いる。 本発明の図示の例では、｜Ｖ^R｜および｜Ｆ^R｜はプログレッシブメッシュ表現Ｍ^R ８６の頂点および面の数を示す。頂点および面はステップ７４でこれらが頂点 ハイアラーキに発生した順序で番号を付して、頂点分割変換８２のｖ分割ｉが頂 点ハイアラーキの頂点v_siに対し頂点v_ti=｜V^R｜+2i+1,およびv_ui=｜V^R｜+2i+2を 導入する。例えば、i=0およびメッシュＭ^Rが３の頂点を有する場合には、v_ti=3+ (2^*0)+1=4およびv_ti=3+(2^*0)+2=5となる。頂点はこれらが分割される際再パラメ ータ化（即ち、v_si=v_ti,v_ui）され、且つこの再パラメータ化は少数細分化依存 性（例えば、子頂点v_t4,v_u5が親頂点v_siに依存）に寄与する。頂点ハイアラ ーキは後述するＣ++データ構造（表４）に記憶されている頂点分割情報の簡単な ツリー構造トラバーサルを用いるトップーダウン態様で構成される。しかし、他 の構造技術を用いることもできる。 本発明の図示の例における頂点ハイアラーキは不平衡ツリー構造の“森”(即ち 、全ての葉（リーブ）は同一深さにはない)として形成される。不平衡ツリー構 造の頂点ハイアラーキは、これに導入される数個の依存性の結果として不平衡ツ リー構を用いる場合よりも数個のリーブを用いる選択的に細分化されたメッシュ を発生する。しかし、不平衡ツリー構造を用いることもできる。一組の頂点に対 する頂点ハイアラーキはツリー構造の森を形成する親頂点v_siおよび子頂点v_tiお よびv_uiを含み、このツリー構造ではルートノードが粗いメッシュ（例えば、基 本メッシュＭ^R=Ｍ^O）の頂点であり、且つリーフノードは最も細分化されたメッ シュ（例えば、元の任意のメッシュＭ^A=Ｍ^N）の頂点である。 図９は頂点ハイアラーキ１５０を示すブロック図である。図９に示す例では、 ３つのルート頂点v₁,v₂およびv₃（152-156）によってプログレッシブメッシュ表 現Ｍ^R=Ｍ^O158（例えば、三角形）ノードルートノードの“森”を形成する。頂点 v₂１５４は頂点分割変換８２によって２つの子頂点に分割されてそれぞれv₄およ びv₅(168-170)(即ち、3+(2^*0)+1=4，3+(2^*0)+2=5)が付される。順次に、頂点v₅1 70は頂点分割変換８２によって２つの子頂点v₆172およびv₇174(即ち、3+(2^*1)+1 =6，3+(2^*1)+2=7)に分割される。頂点v₃,v₁₀およびv₇(156、160、174)に対して 頂点分割変換８２を繰返し実行する。最も細分化されたメッシュ184(即ち、元の メッシュＭ'=Ｍⁿ=Ｍ^A)は頂点ハイアラーキ150のリーフノード頂点(164,166,162, 168,172,176,178,180,182)から形成され、ここにＭ'は任意の三角形プログレッ シブメッシュ表現である。 本発明の図示の例では、再パラメータ化メッシュＭ^REは視野依存パラメータの変 化に基づいて頂点ハイアラーキ８４によって“頂点フロント”を用いるステップ ８０で最適に細分化される。頂点フロントは頂点分割変換８２および視野依存パ ラメータの変化に基づく稜線削減変換８４を用いて発生する１つのメッシュ概算 に相当する。 データ構造： 図４は本発明の一例として、プログレッシブメッシュ表現のＮ-データ構造の 記録に用いられるＣ++データ構造を示す。ステップ７２（図４）で発生する再パ ラメータ化メッシュは表４のデータ構造を用いて記憶された頂点配列および面配 列を具える。また、ステップ７４（図４）で発生する頂点ハイアラーキも次表４ に示すデータ構造を用いる。頂点および面の選択されたもののみが選択的に細分 化されたプログレッシブメッシュで任意の時間にアタティブとなる。アクティブ 頂点および面はプログレッシブメッシュ表現シーケンスを具えるＮ-データ構造 の記録のサブセットによってスレッドされた２つの二重リンクリストにより特定 化される。しかし、他のリスト構造を用いることもできる。 表４のVertex(頂点)データ構造フィールドParent(親)およびvtを用いて図９に示 す頂点ハイアラーキ150から親頂点ハイアラーキvsおよび子頂点vtを符号化 する。親頂点が頂点分割変換８２により分割し得る場合には、flおよびfn[4]フ ィールド(即ち、{f_n0,f_n1,f_n2,f_n3})によって頂点分割変換８２の残存パラメー タを符号化する。頂点ハイアラーキにおいては、f_R=f_L+1,およびv_t=v_u+1である ため、これら値を迅速に計算し得る関係上f_Rおよびv_uに対するVertex(頂点)デー タ構造にフィールドは存在しない。 Face(面)データ構造はフィールドvertices[3]を有する面でフィールドactiveの 現在の頂点を有するアクティブ面へのリンク、フィールドneighbore[3]を有する 現在の面隣接部へのリンクを含む。マテリアル識別子matidはレンダリングに用 いる。データ構造Srmeshは選択的に細分化メッシュを記憶するために用いるとと もにステップ８０（図４）で発生する適応細分化メッシュからの出力を記憶する ために用いる。 視野-依存型パラメータ： 本発明の図示の例では、一組の選択的細分化規準を用いてプログレッシブメッシ ュ表現を細分化する。一組の選択的細分化規準は視野−依存性パラメータを含む 。視野−依存性パラメータは視野−錐台(即ち、視野面)、表面配向およびスクリ ーンスペース幾何学的エラーを含む。しかし、数個以上の視野−依存性パラメー タを用いることができ、且つ視野−依存性パラメータの各々は個別に用いる（例 えば、視野錐台のみを用い、表面配向のみを用いる、等）ことができる。視野− 依存性パラメータの１つ以上がステップ７８で変化する（例えば、再パラメータ 化プログレッシブメッシュ表現Ｍ^REの領域がビューワに向かって配向されている ）場合には再パラメータ化プログレッシブメッシュ表現Ｍ^REは適応的に細分化さ れて異なるディテールレベルを含むようになる。 選択的細分化規準： 図１０は再パラメータ化メッシュＭ^RE頂点が視野−依存性選択的細分化規準に 基づいて分割または削減する必要があることを決めるための方法１８６を示すフ ローチャートである。この方法１８６（図１０）を用いて頂点が頂点分割変換８ ２を用いて分割すべきか、変化した視野−依存性パラメータに基づく稜線削減変 換８４を用いて粗分化すべきを決めるようにする。方法１８６は３つの視野−依 存性規準を用いて頂点が分割かまたは粗分化か：視野錐台、表面配向、および スクリーン−スペースエラー；を決める。しかし、数個以上の視野−依存性パラ メータを用いることもできる。さらに１つ以上の視野−依存性パラメータを個別 に用いることもできる。 最初のテストをステップ１８８で行って頂点が視野錐台内のグラフィックオブジ ェクトに影響を及ぼすかどうかを決める。頂点が視野錐台内のグラフィックオブ ジェクトに影響を及ぼさない場合にはこれを分割しない。視野錐台内のグラフィ ックオブジェクトに影響を及ぼす場合にはステップ９０で第２のテストを完了す る。ステップ１９０で頂点が視点に配向しない場合には頂点を分割しない。頂点 が視点に配向する場合にはステップ１９２で第３のテストを完了する。頂点に対 して計算されたスクリーン−スペースエラーが所定トレランス以上になると、頂 点を含むプログレッシブメッシュ表現はステップ１９４で細分化する必要がある 。頂点に対して計算されたスクリーン−スペースエラーがステップ１９２で所定 トレランス以上にならない場合には、現在の頂点の２つの子頂点をステップ１９ ６で現在の頂点に削減するように候補に挙げる。表５は方法１８４を実行するサ ブールーチンの疑似−コードを示す。しかし、方法１８６および表５に示すサブ −ルーチンに対して他の視野−依存性選択細分化規準を用いることもできる。 視野錐台： 図１１は図１０の一層詳細なステップ１８８を示すフローチャートである。本例 では頂点Ｖが視野錐台内にあるかどうかを決めるステップ１９８を示す。 本例では任意のプログレッシブメッシュ表現Ｍ'のメッシュ表現コンピュータシ ステム１０のメモリシステム１６にロードした後、頂点Ｖが有界スペースハイア ラーキを用いる視野錐台内にあるかどうかを方法１９８（図１１）によって決め る。頂点v'∈Ｖ'(例えば、Ｍ'１８３に対する頂点ハイアラーキ１５０のリーフ ノード)に対して、v'に隣接する一組の頂点を境界付ける半径r_v'の第１組の球Ｓ_v' をステップ２００で決める。しかし、有界球は他の有界素子（例えば、軸整列 ボックス）により置換することができる。頂点ハイアラーキ１５０のポストオー ダ（後行順）横断線をステップ２０２で実行して頂点ハイアラーキの頂点v_iの組 に対し半径r_vの第２組の球Ｓ_vを発生させる。ポストオーダ横断線において従来 既知のようにハイアラーキの任意のルートノードをその子孫後に処理する。ステ ップ２０２のポストオーダ横断線は頂点v'∈Ｖ'(即ち、リーフノード)で開始す る。しかし、頂点ハイアラーキの他の横断線を用いることもできる。ポストオー ダ横断線は頂点ハイアラーキの親頂点v_siを子頂点v_tおよびv_uの球Ｓ_vtiおよびＳ_vui の境界付けを行う半径r_vsiの最小球Ｓ_vsiに割当てる。形成された球が頂点v_i を中心としていないので、第２組の球Ｓ_vを境界付ける頂点Ｖを中心とする第３ 組の大きな球Ｓ_Lをステップ２０４で頂点v_iに対する半径r_Lを見いだすことによ って決める。本発明の変更例では、すべての下降頂点は所定ノードに対する境界 量を構成するものと考えることができる。この考えはコンピュータ化時代には生 ぬるいが一層正確なものである。本発明の図示の例では、ステップ２００−２０ ４は前処理ステップとして計算する。本発明の変更例では、ステップ２００−２ ０４は実行時間で計算する。 本発明の図示の例では、視野錐台はグラフィック技術では既知の４−辺（即ち 、半無限）ピラミッドとする。実行時にはあるテストを導入して頂点Ｖ=(v_x,v_y, v_z)を中心とする半径r_Lの球Ｓ_Lが次式（３）に示されるテストを用いるステップ ２０６で視野錐台の外側にあるかどうか決める。 a_iv_x+b_iv_y+c_iv_z+d_i<(-r_L) (3) ここに、i=1,...4 式（３）の４つの線形関数a_iv_x+b_iv_y+c_iv_z+d_iによって中心Ｖから視野錐台の４ 辺のうちの一つまでの符号のついたユークリッド距離を測定する。しかし、他の 関数および他の視野錐台形状を用いることもできる。半径r_Lの有界球Ｓ_Lが視野 錐台の完全に外側にある場合には、頂点Ｖの分割によって影響を受け得るメッシ ュＭ'の領域は視野錐台の外側にあり、分割しない。頂点Ｖの分割によって影響 を受け得るメッシュＭ'の領域が視野錐台の外側にある場合には、頂点はいまだ ステップ２０８で分割する候補であり、ステップ１９０（図１０）でのテストを 行って頂点Ｖを分割すべきかどうかを決める。 図１２は方法１９８（図１１）に対する有界スペースハイアラーキ２１０を示す ブロック図である。頂点Ｖ２１２と視野錐台２１４の２次元視野は親頂点v_s1２ １６およびv_s2２１８、子頂点v_t1,v_u1,v_u2およびv_t2(220,222,224,226)を有する 頂点ハイアラーキの一部分とともに示す。図１１の方法１９８を用い、頂点v'∈ Ｖ'（２１６、２１８）に対し、頂点ハイアラーキのＶ'に隣接する一組の頂点（ ２２４、２２６）を囲む半径rv'の第１組の球Sv'をステップ２００（図１１）で 決める。ステップ２０２（図１１）においてリーフノード（２２０、２２２）で 開始される頂点ハイアラーキのポストオーダ横断線によって頂点ハイアラーキの 親頂点v_si２１６を子頂点v_tおよびv_u（２２０、２２２）の球Ｓ_vtiおよびＳ_vui （２２８、２３０）の境界付けを行う半径r_vsiの最小球Ｓ_vsi（２３２）に割当 てる。形成された第２組の球Ｓ_v２３２、そのうちの一つを図１２に示す、が頂 点Ｖ２１２を中心としていないので、第３組の大きな球Ｓ_Lを発生させる。第３ 組の大きな球からの一つの球２３４は第２組の球Ｓ_v２３２を囲む頂点ハイアラ ーキＶ２１２を中心とし、図１２に示す。球２３４は頂点Ｖ２１２に対し半径r_L を見いだすことによってステップ２０４（図１１）で決める。 図１２において、ステップ２０４（図１１）でのテストに対する４つの線形関数 a_iv_x+b_iv_y+c_iv_z+d_i（式３）のうちの２つの関数を用いて符号のついたユークリ ッド距離（２３６、２３８）を測定し、視野錐台２１４の２つの側部を図１２に 示す。ユークリッド距離（２３６、２３８）は双方共有界球Ｓ_L２３４に対し（- r_L）２４０よりも短い。これがため、頂点Ｖ２１２は視野錐台２１４の外側にあ り、分割しない。頂点Ｖ２１２が視野錐台２１４の内側にある場合にはステップ １９０（図１０）のテスト、即ち、表面配向のテストを行う。 表面配向： 図１３Ａ−１３Ｃは視点に対する頂点の配向をテストするステップ１９０（図 １０）を示すブロック図である。図１３Ａは頂点v_i２４４および標準ベクトルｎ ＾v_i２４６によって影響を受けるメッシュＭ'２４２の表面の領域を示す。図１ ３Ｂは３次元グラフィック影像２４８（例えば、グラフィカル地形、メッシュＭ ＾２４２のサブセクション）の領域を示す。図１３Ｃはメッシュ２４２のガウス マップ１５０を示す。コンピュータグラフィック技術で既知のように、ガウスマ ップはグラフィックオブジェクトの表面の一群の点から単位球の一群の点への写 像である。 図１０のステップ１９０のテストはグラフィカル像面２４８自体の代わりに、 ガウスマップ１５０により規定された表面上の一組のスペース法線を用いること 以外、図１１のステップ２００のテストと同様である。法線２５２のセットスペ ースはユニット球Ｓ²２５４のサブセットである。ここにS²={p∈Ｒ³:｜｜ｐ｜｜ =1}であり、ｐは任意の三角形メッシュＭ＾の三角面の法線に対応する一組の点 であり、Ｒ³は線形マップである。 頂点v_i２４４に対しＭ＾２４８の領域は頂点v_i２４４およびその頂点ハイアラ ーキ１５０の地形によってサポートされた法線２５２のスペースを規定する。法 線２５６の錐面はベクトルn'_vi２４６に対する半角α_vi２５８によって規定する 。半角α_vi２５８はプログレッシブメッシュが“法線スペースハイアラーキ”を 用いるコンピュータシステム１０のメモリシステム１６にロードした後計算する 。球S'vi２６０は法線２５２の関連するスペースを囲む。視点ｅ２６２を用いて 頂点v_i１４４を監視する。視点ｅ２６２が頂点v_i１４４の背面領域２６４にある 場合には影響を受けた表面領域のどの部材も視点に向かって配向されてはいない 。 図１４は、表面配向に関する図１０のステップ１９０をより詳細に説明する流 れ図である。方法２６６（図１４）におけるステップ２６８において、球Ｓ’_vi ２６０（図１３Ｃ）を、法線２５２の関連するスペースを境界付けるＭ＾２４８ の面からの法線に関して決定する。しかしながら、前記境界球を、他の境界素（ 例えば、軸合わせされた箱）と交換してもよい。ステップ２７０において、要Ｓ ’_vi２６０およびＳ²２５４の交線を取り囲むベクトルｎ＾_vi２４６についての 境 界円錐２５６のセミアングルα_vi２５８を決定する。セミアングルα_vi＜π／２ を有する境界円錐２５６がステップ２７２において存在しない場合、セミアング ルα_viをステップ２７４においてπ／２に設定する(すなわち、π＝３．１４１ ５９２７...)。本発明の説明的実施形態において、ステップ２６８−２７４を前 処理ステップとして完成する。しかしながら、本発明の他の実施形態において、 ステップ２６８−２７４を実行時に完成する。視点ｅ２６２を与えた場合、頂点 ｖ_iがｅ２６２の背面領域２６４にある場合、頂点ｖ_iを分割する必要はない。先 行技術において、式４に示す試験が背面試験として一般的に使用される。 （ａ_vi−ｅ）／()・ｎ＾_vi＞ｓｉｎ ａ_vi （４） 式４において、ａ_viを、Ｓ_viの幾何学的境界量に関する円錐アンカ点とする。円 錐アンカ点と視点ｅ２６２との差を、これらのベクトル差の大きさで割る。当該 技術分野において既知のように、ベクトル差の大きさ に対する||ｖ||は、ベクトルｎ＾_vi２４６とのドット積をとるのに使用される。 当該技術分野において既知のように、ＡおよびＢを２つのベクトルの大きさとし 、θをこれらの間の角度として、ＡＢｃｏｓθの組み合わせは、スカラー積であ り、ＡおよびＢの積ではない。したがって、ＡおよびＢのドット積＝Ａ・Ｂ＝Ａ_X Ｂ_X＋Ａ_YＢ_Y＋Ａ_ZＢ_Z＝Σ_iＡ_iＢ_iである。式４におけるドット積値がセミアン グルα_Viの正弦より大きい場合、頂点Ｖ_i２４４は、視点ｅ２４２に関する背面 領域２６４において存在し、分割されない。 本発明の説明的実施形態において、円錐アンカ点ａ_viを頂点ｖ_i２４４によっ て近似し(すなわち、平行投影近似)、式５において示す試験を、実行時にステッ プ２７６における背面試験の代わりに使用する。 (ｖ_i−ｅ)・ｎ＾_vi＞０ および（(ｖ_i−ｅ)・ｎ＾_vi）²＞||ｖ_i−e||２ｓｉｎ²ａ_vi （５） ステップ１９０において用いられる（５）式に示すテストは、（４）式に示す 従来の後向きテストに対して時間及びスペース効率を改良する。頂点ｖ_i２４４ と視点ｅ２６２との間のベクトル差を決定する。この場合、ベクトル（ｖ_i−ｅ ）を用いてベクトルｎ＾_vi２４６とのドット積を作る。 この第１のドット積が零よりも大きい場合(すなわち、(ｖ_i−ｅ)・ｎ＾_vi＞Ｏ )、第２のテストを行なう。第２のテストにおいて、第１のドット積の２乗を用 いて、この値が、半角α_vi２５８のサインの２乗が乗算された、頂点ｖ_i２４４ と視点２４２との間のベクトル差の大きさの２乗よりも大きいか否かを決定する 。ステップ２７６において第１及び第２のテストが真の場合、頂点２４４は後側 領域２６４に存在し視点ｅ２６２から見られない。視点ｅ２６２から見られない 頂点ｖ_i２４４は分割しない。ステップ２７６において第１のテスト又は第２の テストのいずれかが適合していない場合、頂点ｖ_i２４４は後側領域２６４に存 在せず視点ｅ２６２から見ることができる。この場合、ステップ２７８（図１４ ）において頂点ｖ_i２４４は視点ｅ２６２の方向に向いており、図１０のステッ プ１９２における分割の対象となる。スクリーン空間の幾何学的誤差 図１０のステップ１９２を用いて、スクリーン−空間誤差が予め定められた公 差を超えるか否かをテストする。頂点ｖ∈Ｖについて、ｖとその現在の隣接区域 Ｎ_v（すなわち、ｖに隣接する面の組）及びＭ^-の対応する隣接区域Ｎ_v ^-との間の 偏移の目安を決定する。その量的な目安は、(Ｎ_v⊂Ｎ^- _v○Ｂr)及び(Ｎ^- _v⊂Ｎ_v○ Ｂｒ)について最小スラカーｒとして規定されるハウスドルフの距離Ｈ（Ｎ_v，Ｎ^- _v ）である。ここで、Ｂ（ｒ）は半径ｒの閉止空間であり、演算子○はミンコウ スキー和である。このミンコウスキー和○は、Ａ○Ｂ＝｛ａ＋ｂ；ａ∈Ａ，ｂ∈ Ｂ｝として規定される。Ｈ（Ｎ_v，Ｎ^- _v）＝ｒの場合、隣接区域Ｎ_vと隣接区域Ｎ^- _v との間のスクリーン空間はＢ（ｒ）のスクリーン−空間投影により境界される 。ハウスドルフ距離及びミンコウスキー和は当業者にとって既知である。 隣接区域Ｎ_v及びＮ^- _vが互いに類似しほぼ平坦な場合、より一般的な偏移空間 ＤによりＢ（ｒ）を置換することにより一層密な距離境界を得ることができる。 例えば、高さフィールドの偏移（すなわち、ｘｙ面のグラフ）は、偏移空間Ｄ_z ・（δ）＝｛ｈｚ’：−δ＜＝ｈ＜＝δ｝を表わすスカラー値δを頂点の組と関 連付けることにより記録される。Ｄ_z（δ）を用いる主要な利点は、対応するＢ （δ）とは異なり、スクリーン投影の主軸Ｚが視る方向と平行になるにしたがっ てスクリーン投影が消滅することである。Ｄ_z（δ）の導出についてのより詳細 な情報 に関して、「Real-time Continuous Level of Detail Rendering of Helght Fie ld」by P.Lindstrom等、ＡＣＭ ＳＩＧＧＲＡＰＨ’９６，pp．１０９〜１１８ を参照されたい。 本発明の図示の実施例において、Ｄ_z（δ）は任意の表面に対して発生する。 図１５Ａ〜図１５Ｂは、新たなスクリーン空間の幾何学的な誤差を示すブロック 図である。新しい偏移空間Ｄ_z（μ，δ）を規定する。図１５Ａは偏移空間Ｄ_n（ μ，δ）２８０を示す。図１５Ｂは図１５Ａの断面２８２を示す。 偏移空間Ｄ_n（μ，δ）２８０の大部分は表面に対して直交し、スカラー成分 δ２８４から方向成分δ^- _nにより捕獲されるが、表面隣接区域Ｎ^- _v２８８が湾曲 している場合均一成分μ２８６が必要となる。均一成分μ２８６により、偏移が 表面に対する正接となる不連続曲線（例えば、表面境界及び有形境界）を正確に 近似することができる。本発明の図示の実施例において、Ｄ_n（μ，δ）２８０ は、見る方向ｖ^-に沿う投影半径がＭＡＸ（μ，δ‖ｎ^-×ｖ^-‖）として表わさ れる形状に対応する。すなわち、Ｄ_n（μ，δ）２８０は２個の値の最大値、す なわち均一成分μ２８６、又は法線ベクトルｎ^- _v２４６と半径方向ｖ^-との交差 積のベクトル差の大きさが乗算されたスカラー成分δ２８４の最大値である。従 来から知られているように、交差積Ａ×Ｂは大きさABsin θを有するベクトルで ある。交差積の大きさ‖Ａ×Ｂ‖＝ＡＢ_sin θである。 図１６は、頂点Ｖ∈Ｖにおける偏移空間Ｄ_n（μ_v，δ_v）を見い出す方法２９ ０に関するフロー線図である。エッジ削除変換８４が適用された後、隣接する区 域Ｎ_vsとＮ_vsとの間の偏移は、ステップ２９２において、Ｎ_vs上に局部的に投影 される領域Ｍ’２４８についてサンプリングした点Ｘ_iの高密度の（すなわち、 密接に関連する）組から残留誤差ベクトルＥ＝｛ｅ_i｝を試験することにより決 定する。ステップ２９４において、ＭＡＸ_eieE（ｅ_i−Ｎ^- _v）／ＭＡＸ_eieE‖ｅ_i ×Ｎ^- _v‖を用いて、Ｅを境界する比δ_v／μ_vを有する最小偏移空間Ｄ_n（μ_v，δ_v ）を決定する。すなわち、比δ_v／μ_vを固定し、ベクトルｅ_iと隣接区域Ｎ^- _vに ついてのベクトルとのドット積の大きさの最大残留誤差により分割された隣接区 域Ｎ^- _vについてのベクトルとベクトルｅ_iとのドット積の最大残留誤差ｅ_iを見い 出すことにより偏移空間Ｄ_v（μ_v，δ_v）を決定する。一方、他の簡 単なスキムを用いて保証された境界を有する偏移空間を得ることができる。 視点ｅ２６２、スクリーン空間公差τ（すなわち、視点の大きさの一部分とし て）及び視角ξが与えられると、(６)式に示すテストを用いてスクリーン空間投 影Ｄ_n（μ_s，δ_v）がスクリーン空間公差τを超えるか否かを決定することがで きる。 MAX(μ_v,δ_v‖Ｎ＾_v×(v-e)/‖v-e‖)‖)/‖v-e‖>＝(2cot ζ/2)T(6) μ_vの最大値及びδ_vを有する大きな項が、スクリーン空間公差τのξ／２倍した もののコタンジェントの２倍に等しいか又はそれ以上の場合、Ｄ_n（μ_v,δ_v）ス クリーン公差τを超えることになる。 本発明の図示の実施例において、ステップ２９２〜２９４は予備処理工程とし て完結する。本発明の変形例において、ステップ２９２〜２９４はランタイムで 完了する。 本発明の図示の実施例においては、ステップにおいて、（７）式に示す等価な テストを用いてスクリーン空間投影Ｄ_n（μ_v，δ_v）がスクリーン空間公差τを 超えるか否かを決定する。 μ² _v＞＝κ²＝‖v-e‖²又はδ² _v(‖v-e‖²−((v-e)・N＾_v)²)²) ＞＝κ²‖v-e‖⁴ （７） ここで、Ｋ²=(2cotξ/2)²τ²であり、フレーム毎に計算される新たな視角ファク タである。第１のテストは、均一成分の２乗が、κの成分の２乗に頂点ｖと視点 ｅとの間のベクトル差の大きさの２乗をかけ合せたものに等しいか又はそれ以上 が否かを決定する。この第１のテストの結果が適合している場合、Ｄ_n（μ_v,δ_v ）がスクリーン空間公差τを超えていることになる。第１のテストの結果が適合 していない場合、第２のテストにより、スカラー成分δの２乗に、頂点Ｖと視点 ｅとの間のベクトル差の２乗から頂点ｖと視点ｅとの間のベクトル差と隣接区域 Ｎ_vに対するベクトルとのドット積の２乗を引いたものを乗算した値が、κ成分 の２乗に頂点ｖと視点ｅとの間のベクトル差の絶対値の４乗したものを乗算し値 に等しいか又はそれ以上であるか否かを決定する。この条件に適合しうる場合、 Ｄ_n（μ_v，δ_V）はスクリーン空間公差τを超えることになる。 ステップ２９６において、（７）式のいずれのテストも適合していない場合、 ス クリーン空間の幾何学的誤差はスクリーン空間公差τを超えず、プログレッシブ メッシュは適合細分されない。ステップ２９６におけるいずれかのテスト結果が 条件に適合する場合、ステップ２９８において、この頂点は依然として分割の対 象となる。 本発明の図示の実施例において、図１０の方法１８６のステップは以下の順序 で完了する。ステップ１００、ステップ１９２、次にステップ１８８を行ない、 方法１８６を最適な方法とする。一方、このテストに関して別の順序を用いるこ ともできる。３個のテストの全ては共通のサブ数式をとるので、方法１８６で完 了するテストは、フレームを本発明の実施例の平均にレンダリングするために用 いられる時間の１５％以下の時間を必要とする。方法２９０（図１６）を用いて ステップ７６（図４）で計算したスカラー値｛−γ_v,sin²α_v,μ² _v，δ² _v｝は、 キャシーアクセス(casy access)するためｖ細分情報フィールド（表２）として データ構造記録媒体に記憶する。メッシュのアダプティブ細分 変更されたビュー依存性パラメータに基づいて方法１８６の３個のテスト（図 １０）の後ステップ８０においてアダプティブ細分されたメッシュを作成するた めの（図４）再パラメータ化したメッシュを細分するため、メッシュをアダプテ ィブ細分する方法を利用する。頂点ｖ∈Ｖに関して、頂点分割変換８２を用いて 分割すべきか、或いはエッジ削除変換８４を用いて削除すべきかを決定する。メ ッシュをアダプティブ細分するため、所望の頂点及び面がアクティブになる前及 び所望の細分されたメッシュが作成される前に、多重頂点分割変換８２及び多重 エッジ削除変換８４を行なうことができる。 図１７Ａ及び図１７Ｂは、メッシュをアダプティブ細分する方法３０２を示す フロー線図である。ステップ３０４（図１７Ａ）において、ループを用いて変更 されたビュー依存性パラメータに基づき再パラメータ化されたメッシュＭ^REのア クティブ頂点Ｖ（例えば、表４からのアクティブ頂点）の二重リンタしたリスト について繰り返えす。アダプティブ細分されたメッシュＭ^sは表４に示すデータ 構造ＳＲＭ_eshに記憶する。ステップ３０６においてテストを行ない、アクティ ブ頂点Ｖがビュー依存性パラメータの変化により細分すべきか否かを決定する。 アクティブ頂点を分割すべきことを決定するために用いるテストは方法１８６（ 図１０）及び表５の擬似コードにより記述される。しかしながら、他のテストを 用いることもできる。ステップ３０６におけるテストが適合する場合、ステップ ３０８においてテストを行ない、アクティブ頂点ｖに対して行なわれる頂点分割 変換８２が適合しているか否かを決定する。頂点（例えば、ｖペアレントに記憶 されている８８）並びに頂点８８と隣接する対の隣接する面の第１及び第２の組 （例えば、ｖ．ｆｎ〔０・・・３〕）に記憶されている(９６〜１０２)）がアク ティブの場合、頂点分割変換８２は適合となる。これらの面のいずれかがアクテ ィブでない場合(すなわち、メッシュに現在含まれていない場合)、ステップ３１ ０において一連の頂点分割変換８２を行ない、ステップ３０８における頂点分割 変換を適合とする。ステップ３１０において一連の頂点分割変換８２を行ない、 要求されたアクティブではない面（例えば、ｖ．ｆｎ〔０・・・３〕の組）をア クティブな面とする。ステップ３１０における頂点分割が適合している場合、ア クティブな頂点と関連する頂点も同様にアクティブとなり、アクティブ頂点ｖ_n はステップ３１２において頂点分割変換８２を用いて２個の子供の頂点に分割さ れる。 ステップ３０６におけるテストが条件に適合していない場合、ステップ３１４ においてアクティブ頂点ｖ_nの親の頂点についてのエッジ削除変換８４が適合か 否かを決定するテストを行なう(図１７Ｂ)。エッジ削除変換８４は、そのテスト が適合している場合（すなわち、頂点ｖ_nの親もアクティブであり、親の頂点ｆ ｌの隣接面が親頂点ｆｎ〔０・・・３〕の隣接面と整合している場合）だけ実行 する。ステップ３１４におけるテストが適合していない場合、アクティブ頂点Ｖ についてはなにも行わない。 ステップ３１６（図１７Ｂ）において、アクティブ頂点の親がビュー依存性パ ラメータの変化に基づいて細分すべきか否かを決定するためのテストを行なう。 このステップ３１６におけるテストが適合していない場合、ステップ３１８にお いて、アクティブ頂点Ｖをエッジ削除変換８４を用いて削除する。ステップ３１ ４におけるテストが適合していない場合、アクティブ頂点の親についての細分が 完了する(図１７Ａ)。表６は、本発明の図示の実施例として方法３０２を実施す るためのサブルーチン用の擬似コードを示す。 プロシージャ強制＿分割は、頂点分割変換８２を用いて分割される頂点につい ての頂点情報を記憶するスタックを用いる。一方、別のデータ記憶構造体を用い ることもできる。 方法３０２（図１７）は、変更されたビュー依存性パラメータに基づいてメッ シュ区域をアダプティブ細分し(例えば、頂点分割変換８２を用いて)、可能な場 合にはメッシュ区域を粗くする(例えば、エッジ削除変換８４を用いて)。頂点分 割変換８２又はエッジ削除変換８４が実行された後、得られた区域内の頂点につ いて別の変換を考慮する。これらの頂点はＶのトランスバーサルにおいて以前に 調査されているので、これらの頂点は頂点リストに再配置されたリストの繰り返 し後に直ちにリストに含ませる。例えば、頂点分割変換８２の後、繰り返し後ｖ ．ｖｔを頂点リストに付加する。エッジ削除変換８９の後、ｖ．親を付加し、ｖ ．ｖｌ及びｖ．ｖｒを再配置する。 Ｍ^AをＭ^Bに変換する方法３０２の時間的な複雑性は、より悪い場合Ｏ（｜Ｖ^A ｜＋｜Ｖ^B｜）となる。この理由は、Ｍ^A−Ｍ^O−Ｍ^BはＯ(｜Ｖ^A｜)のエッジ削除 変換８４及びＯ（｜Ｖ^B｜）の頂点分割変換８２を必要とし、これらの変換には 一定時間かかるためである。頂点Ｖ^Bの組は頂点Ｖ^Aの組と同様である。 従来から知られているように、Ｏ（ｆ(ｎ)）の表記を用いて、関数ｆ（ｎ）の成 長レートの漸近複雑性を表記する。ビュー依存性が連続して変化する場合、アク ティブ頂点｜Ｖ｜の簡単なトランスバーサルはＯ（｜Ｖ｜）となり、これは方法 ３０２の時間を消費する部分である。アクティブ頂点｜Ｖ｜の数は典型的にはオ リジナルの頂点｜Ｖ’｜の数よりもはるかに多い。時間的複雑性Ｏ（｜Ｆ｜≒２ ｜Ｖ｜）を典型的に有するレンダリング処理はＯ｜Ｖ｜よりも大きい時定数を有 する。尚、｜Ｆ｜はアクティブ面の数である。従って、方法３０２は、所定のコ ンピュータシステム形態の場合(例えば、１２８ＭＢのメモリを有するＳｉｌｉ ｃｏｎ Ｇｒａｐｈｉｃｓ Ｉｎｄｉｇｏ ２ Ｅｘｔｒｅｍｅ，１５０ＭＨｚ Ｒ４４００を用いる場合)、本発明の図示の実施例の平均としてフレームをレン ダリングするために使用する全時間の約１４％だけを必要とする。 所定のメッシュ及び一定のスクリーン−空間公差τの場合、アクティブ面の数 ｜Ｆ｜はビューに応じて大幅に変化する。細分時間及びレンダリング時間の両方 が｜Ｆ｜と密接に相関するので、フレームレートの大幅な変化が生ずる。本発明 の図示の実施例において、スクリーン−空間公差τは｜Ｆ｜が一定のレベルに維 持されるように調整する。 ｍを面の所望の数とし時間ｔにおいて方法３０２が呼び出される場合、(８)式 を用いてスタリーン−空間誤差τを調整する。 Ｔ_t＝Ｔ_t-1（｜Ｆ_t-1／ｍ） （８） 量｜Ｆ_t-1｜は、以前に取り出されたフレームアクティブ面の数である。この(８ )式を用いる簡単なフィードバック制御システムは良好な安定性を呈する。この 理由は、｜Ｆ｜がτの滑らかな単調な関数となるからである。本発明の図示の実 施例において、フレームの直接調整を用いたが、フレームレートは動作システム の不整合性に一層強く影響を受けるので、(８)式のｍを調整することにより第２ の遅いコントローラを用いて間接的に達成することができる。 方法３０２（図１７）のステップ３０４はリストＶ全体の簡単なトラバーサル であるから、方法３０２により達成される作用は、フレーム中のリストＶのサブ 組だけをトラバースすることにより連続する複数のフレームに対して作用する。 ゆっくりと変化するビュー依存性パラメータの場合、償却方法３０２はステップ ８０におけるアクティブ細分の低いオーバヘッドを減少させると共に数個の可視 アーチファクトを導入する。 一方、償却（ａｍｏｒｔｉｚａｔｉｏｎ）を利用する場合、スクリーン−空間 公差τの調整による｜Ｆ｜の調整は一層困難になる。この理由は、｜Ｆ｜の応答 が数個のフレームにわたって遅れるからである。償却を利用する本発明の図示の 実施例において、リストＶ全体をトラバースする代わりに、リストＶの全体のサ ブ組だけが各フレーム毎にトラバースされる。従って、スクリーン空間τについ ての調整作業は１個又はそれ以上の連続するフレームに分布する。リストＶ全体 がトラバースされるまで、スクリーン−空間公差τに対する変更は行なわれない 。オーバシューディングを減らすため、アクティブ面の数が上限値（例えば、｜ Ｆ｜＞＝１．２ｍ）に達する場合頂点分割変換８２は許可されないが、公差τの 次の調整に向けて導入されるアクティブ面の数は計測される。地形図形 方法３０２は、２個の選択的に組合されたメッシュＭ^AとＭ^Bとの間の地形図形 も形成する。地形図形メッシュＭ^G（α）は、その頂点がパラメータＯ＜＝α＜ ＝１の関数として変化するメッシュであるので、Ｍ^G（０）とＭ^Aと同 一に見えＭ^G（１）はＭ^Bと同一に見える。地形図形メッシュＭ^G（α）は、その アクティブ頂点フロント（ｖｅｒｔｅｘ ｆｒｏｎｔ）がこの頂点フロント中の 各頂点に対してＭ^A及びＭ^Bの頂点に等しいか又はそれ以下であることが見い出さ れている。図１８は、メッシュＭ^A３２４及びＭ^A３２６に等しいか又はそれ以下 の地形図形メッシュＭ^G（α）３２２についての頂点階層構造３２０を示すブロ ック図である。これらのメッシュの個々の頂点(１５０〜１８２)は図９に基づい て説明した。 メッシュＭ^-はこの性能を通常満足する（Ｍ^-＝Ｍ^A，８４、図９を参照）。一 方、一層簡単な地形図形メッシュＭ^Gは、その面Ｆ^Gが面Ｆ^A及びＦ^Bのスーパーセ ット（ｓｕｐｅｒｓｅｔ）となる性能及び、いかなる頂点ｖ_J∈Ｖ_Gも特定の祖先 ｖ_PG-A(j)∈Ｖ^A及び特定の祖先ｖ_PG-A(j)∈Ｖ^Bを有する性能を有する。地形図形 メッシュＭ^G（α）３０８は（９）式に示す関係を有するメッシュ（Ｆ^G，Ｖ^G(α )）とする。 ｖ_j ^G(α)＝（１−α）Ｖ_PG-A(j)＋（α）ｖ_PG-B(j) （９） Ｍ^BがＭ^Aについての方法３０２の結果の場合、地形図形メッシュＭ^Gは一層直 接的に得ることができる。ステップ３０４におけるＶを通る単一のパスの代わり に、２個の別個のパスがＶを通って完結する。 図１９は地形図形Ｍ^B（α）を直接作成する方法３２８を示すフロー線図であ る。第１のパスＭ^A→Ｍ^B（α）は、ステップ３３０において頂点分割変換８２だ けが考慮される方法３０２（図１７）を用いて完了する。頂点分割変換８２のシ ーケンスはステップ３３２において記録する。第２のパスＭ^G（α）→Ｍ^Bは、ス テップ３３４においてエッジ削除変換８４だけが考慮されて完了する。頂点分割 変換８２のシーケンスはステップ３３６において記録する。両方のパスに関して 、変換（８２，８４）のシーケンスは記録され（３３２，３３４）、中間メッシ ュＭ^G（α）を再生することができると共に所望の祖先関数ρ^G-A及びρ^G-Bを構 成することができる。得られた地形図形Ｍ^G（α）を用いてメッシュＭ^AとＭ^Bと の間のスムースな遷移を実現する。このスムースて遷移は、メッシュが視認され た際「ポッピング」と称されているジャーキー又は継続的な遷移を除去する助け となる。 三角形ストリップ 多数のグラフィックシステムは、最適な描写パフォーマンスに対して図形イメ ージの三角形ストリップを形成する。三角形ストリップを、隣接する面を有する 接続した三角形のシーケンスとする。図２０は、三角形ストリップ３４０を示す 図形領域３３８のブロック図である。三角形ストリップ３４０は、面３４２に始 点を有するとともに面３４４に終点を有する。三角形ストリップを右回りに形成 する。図形イメージが描写される際、図形イメージ内の接続領域を効率的に描写 し及び表示するさめに三角形ストリップが用いられる。 本発明の図示した実施の形態において、微細化方法３０２（図１７）がインク リメンタルである。その結果、図２０に示した三角形ストリップ（３４０）を事 前に計算するのは容易でない。図２１は、変更したビュー依存パラメータに対す る本発明の図示した実施の形態において三角形ストリップを発生させる方法３５ ０を示す流れ図であり、方法３０２とともに用いられる。方法３５０は、有効な 描写に対するストリップに対して１０−１５面の長さを有する三角形ストリップ を発生させる。 ステップ３５２において、有効面ｆ∈Ｆのリストを検討する。ステップ３５４ において、面ｆ（例えば３４４）がまだ描写されていないか否かを決定するテス トを行う。面ｆが描写されている場合、新たな三角形ストリップを開始しない。 面ｆがまだ描写されていない場合、ステップ３５６において、面ｆに対する新た な三角形ストリップ（例えば３４０）を開始する。ステップ３５８において、面 ｆを描写する。ステップ３６０において、面ｆに隣接する任意の面が描写されて いないか否かを決定するテストを行う。隣接する面が描写されていない場合、ス テップ３６２において、その面が描写されるとともに三角形ストリップに追加さ れる。同様な特徴を有する隣接する面は、図形ハードウェアの図形状態を変化さ せない三角形ストリップを形成するように考えられる。 細分化を減少させるために、本発明の図示した実施の形態では、三角形ストリ ップ３４０が右回り（例えば、３４２−３４４）に構成される。本発明の他の実 施の形態では、三角形ストリップ３４０に対して左回り（例えば、３４４−３４ ２）を用いる。ステップ３６０のテストが失敗する（すなわち、隣接する全ての 面が描写された）場合、三角形ストリップは行き止まり（例えば３４４）に到達 し、ステップ３５４における面Ｆのリストの検討を新たな面（例えば３４６）で 再開する。Ｆａｃｅ．ｍａｔｉｄ領域（表４）の１ビットを、描写した面を記録 するブールフラグとして用いる。全ての面が描写されると、Ｆを通じた第２パス によって描写面ビットが迅速にタリアされる。 本発明の図示した実施の形態において、パラメータ表面のリアルタイム適応切 りばめ法（ｒｅａｌ−ｔｉｍｅ ｔｅｓｓｅｌｌａｔｉｏｎ）を用いる。従来既 知のように、切りばめ法は、構造、色及び陰影を有する円滑な表面を三角形に分 けるプロセスである。図２２は、パラメータ表面の適応切りばめ法３６４を示す 流れ図である。方法３６４を、本発明の図示した実施の形態の事前の計算として 仕上げる。本発明の他の例において、方法３６４をリアルタイムで仕上げる。ス テップ３６６において、図形オブジェクトの表面の密な（すなわち詳細な）切り ばめメッシュを計算する。密な切りばめメッシュは、図形モデルの頂点、縁及び 面の構造、陰影及び色の近似を有する。ステップ３６８において、密な切りはめ メッシュを、連続するメッシュシーケンスを構成するのに用いる。ステップ３７ ０において、連続するメッシュシーケンスを、所望のレベルの詳細で打ち切る。 リアルタイムで、打ち切られた連続するメッシュシーケンスを、変更するビュー 依存パラメータのセットに基づく視点ｅ２６２に従う図４のステップ７８−８０ で細分化する。 切りばめがランタイム前に固定されるとしても、ランタイムの実現は、切りば めトリミング又はステッチングを必要とせず、インクリメンタル細分化（例えば 方法３０２）が用いられるために有効であり、かつ、連結性が表面湾曲及び始点 に適合する切りはめ法に対して非常に適合性がある。 適応細分化システム 図２３Ａ及び２３Ｂは、本発明の図示した実施の形態のシステム３７２を示す ブロック図である。システム３７２は、任意の連続するメッシュ表示Ｍ＾に対す るＮデータ構造記録を配置するロケータ／コンストラクタモジュール３７４を有 する。本発明の他の例において、ローダ／コンストラクタモジュール３７４は、 コンピュータシステム１０のメモリシステム１６の任意の連続するメッシュ表示 Ｍ＾に対するＮデータ構造記録を構成する。事前処理モジュール３７６を用いて 、コンピュータシステム１０のメモリシステム１６の連続するメッシュ表示をロ ードし、連続するメッシュ表示を再パラメータ化し、かつ、選択細分化基準のセ ット（７２−７６，図４）を用いて連続するメッシュ表示を事前処理する。ラン タイムに任意の連続するメッシュＭ＾を適切に細分化するために、描写モジュー ル３７６は、ビュー依存パラメータを受信し、選択細分化基準を評価し、かつ、 ユーザの表示装置に有効面を描写する。描写モジュールを、図形イメージを描写 するのに用いられる従来既知のハードウェア及びソフトウェアの任意の組合わせ とすることができる。本発明の図示した実施の形態において、カリフォルニア州 のマウンテンビュウ（Ｍｏｕｎｔａｉｎ Ｖｉｅｗ）のシリコングラフィックス 社によるＩｎｄｉｇｏ２ Ｅｘｔｒｅｍｅ（例えば、１５０ＭＨｚ，１２８ＭＢ のメモリを有するＲ４４００）グラフィックシステムを、描写モジュール３７８ として用いる。しかしながら、他の描写を用いることもできる。ロケータ／コン ストラクタモジュール３７４及び事前処理モジュール３７６を、シリコングラフ ィックシステムのソフトウェアアプリケーションプログラムとして実現する。し かしながら、炊き形態を用いることもできる。更に多い又は更に少ないモジュー ルをシステム３７２に対して用いることもでき、モジュール３７４−３７８の機 能を、更に少ないモジュールに組み合わせた追加のモジュールに分割することが でき、かつ、事前処理時又はランタイム時に用いることができる。図２３Ｂは、 上記システム３７２の詳細を示すブロック図である。 本発明の追加の例図 本発明の図示した実施の形態の方法及びシステムの追加の実例を図２４−２７ に示す。図２４−２７を、本発明の種々の態様のカラ一例図である。図３は既に 説明した。 図２４Ａ−Ｆは、連続するメッシュ表示のビュー依存細分化のカラースクリー ン表示３８０−３９０である。図２４Ａ−２４Ｂにおいて、２次元錐台をオレン ジ色で強調し、予め設定されたスクリーンスペース幾何学的誤差τを用いて図形 領域を表示する。図２４Ａは、図形領域の連続するメッシュ表示の平面のカラー スクリーン表示３８０であり、この場合、スクリーンスペース幾何学的誤差τを ０．０％とし、３３，１１９面を有する。このスクリーン表示は、ビューの錐台 内で非常に高いレベルを示す。ビューの錐台を、図の上方向を指示するオレンジ “Ｖ”として示す。図２４Ｂは、図２４Ａの連続するメッシュ表示の平面のカラ ースクリーン表示３８２であり、この場合、スクリーンスペース幾何学的誤差τ を０．３３％とし、１０，０１３面を有する。図２４Ｂは、方法７０（図４）に よって適切に細分化される。図２４Ｃは、図４の方法７０で適切に細分化した図 ２４Ａの連続するメッシュ表示の規則的なビュー３８４のカラースクリーン表示 である。図２４のビューの錐台内の連続するメッシュ表示を粗くし、それは図２ ４Ｂ及び２４Ｃにおいて更に低いレベルの詳細を有する。方法７０（図４）を図 ２４Ｂ及び２４Ｃの連続するメッシュ表示とともに使用し、図２４Ｂ及び２４Ｃ のメッシュを適切に細分化することによって図２４Ａ連続するメッシュを形成す る。 図２４Ｄは、７９，２０２面を有する構造マップ付けした連続するメッシュ表 示Ｍ＾のカラースクリーン表示３８６である。図２４Ｅは、１０，１０３面を有 する構造マップ付けした連続するメッシュ表示Ｍ＾のカラースクリーン表示３８ ６である。図２４Ｄ及び２４Ｅからわかるように、図２４Ｅが僅かに少ない面を 有する（例えば、図２４Ｅを方法７０によって近似する。）としても、図２４Ｄ と図２４Ｅとの間にはビュー的な差がほとんどない。図２４Ｆは、図２４Ｄ及び ２４Ｅのメッシュから発生した三角形ストリップ（黄色ライン）のカラースクリ ーン表示３９０である。図２４Ｂ，２４Ｃ，２４Ｄ及び２４Ｅは、６００×６０ ０画素図形イメージに対して２画素を表す０．３３％のスクリーンスペース幾何 学的誤差τを有する。図２４Ｆは、同様な特性を有する三角形ストリップの形成 を示す。例えば、図２４Ｄ及び２４Ｅの表面のこげ茶色部分（右上コーナー）は 、図２４Ｆの右上コーナーの三角形ストリップに相当する。 図２５Ａ−２５Ｃは、球に対する方法７０（図４）を用いたビュー依存細分化 を示すカラースクリーン表示３９２−３９６である。図２５Ａは、１９，８００ 面を有する元の碁盤目状にした球のカラースクリーン表示３９２である。図２５ Ｂは、方法７０によって形成した図２５Ａに示す碁盤目状にした急の前面のカラ ースクリーン表示３９４である。図２５Ｃは、図２５Ｂから粗い碁盤目状の球の 上面のカラースクリーン表示３９６である。図２５Ｂからわかるように、球は、 図２５Ａに示した元の球に非常に類似している。２次元ビュー錐台をオレンジ“ Ｖ”で示す。球の背面部を、更に細分化したビュー錐台の“Ｖ”に最も近い球の 前面部に比べて粗くする。 図２６Ａ−２６Ｃは、方法３６４（図２２）を用いて碁盤目状のパラメータ表 面で形成した打ち切られた連続するメッシュ表示（１０，０００面）のビュー依 存細分化を示すカラースクリーン表示３９８−４０２である。図２６Ａは、２５ ，４４０面の元の碁盤目状の図形表示（すなわち、ティーポットの部分）のカラ ースクリーン表示３９８である。図２６Ｂは、τ＝０．１５％及び１，７８２面 の連続するメッシュシーケンスの打ち切られた連続するメッシュ表示のカラース クリーン表示４００である。図２６Ｃは、図２６Ｂの打ち切られた連続するメッ シュの正面を示すカラースクリーン表示４０２である。２次元ビュー錐台を黄色 “Ｖ”によって示す。ビュー錐台の外側の領域の粗化をビュー錐台の右に対して 観察することができる。 図２７Ａ−２７Ｃは、方法７０の図形キャラクタに対して任意のメッシュＭ＾ のビュー依存細分化を示すカラースクリーン表示４０４−４０８である。図２７ Ａは、４２，７１２面の図形キャラクタを表す元の任意メッシュＭ＾のカラース クリーン表示４０４である。図２７Ｂは、３，１５７面の第１の打ち切られた連 続するメッシュのカラースクリーン表示４０６である。用いられるビュー錐台を 、図２７Ｂの図形キャラクタ頭部の周辺の黄色ボックスによって示す。ビュー錐 台の外側の図形の一部を粗くし、それは、更に低く規定した詳細を有する一般形 状として現れ、粗くしたメッシュによって表される。図２７Ｃのビュー錐台を、 図形キャラクタの腕の周りの黄色ボックスによって表す。ビュー依存パラメータ (例えば、ビュー錐台)を図２７Ｂと２７Ｃとの間で変更する。図形キャラクタの 頭部を表すメッシュを、図２７Ｃの上部付近に示したように粗くする。ビュー錐 台内の腕、膝及び脚の上部を図２７Ｂと図２７Ｃとの間で方法７０によって細分 化して、増大した詳細のレベルを示す。その理由は、これら領域がビュー錐台内 に現れるからである。 任意のメッシュに対する一般化した適応細分化 Ｍをあり得るメッシュのセットとする場合、Ｍ∈Ｍ及びＭ^PM⊂Ｍであるメッシ ュＭの連続するメッシュ表示Ｍ^PMが、増大する精度のｉ＝{０,...，ｎ−１}，Ｍ^O ，Ｍ¹,...，Ｍ^n-1に対するメッシュ近似Ｍⁱの連続シーケンスを規定し、任意の 所望の複雑さのビューに依存しないレベルの詳細近似を有効に回復することがで きる。ビューに依存しない連続するメッシュ表示Ｍ^PMを、第１セットのメッシュ 変換、メッシュ変換のセットに対する第１セットの制約及び固定した細分化基準 のセットを有するメッシュＭに対して形成する。連続するメッシュ表示を形成す るのに用いられる第１セットのメッシュ変換は、縁消失動作３６及び頂点分割動 作３８（図２）を有する。縁消失動作３６及び頂点分割動作３８を頂点に基づく 動作とする。第１セットのメッシュ変換は、表７に示す制約のセットによって拘 束される。 開始メッシュＭⁿを、表７の制約及び固定された細分化基準のセットを用いて ｎ−１の連続する縁消失動作３６のシーケンスを適用することによって、更に粗 いメッシュＭ⁰に簡単化することができる。固定された細分化基準のセットは、 縁消失３６に対する全ての候補の優先待ち行列への置換を有し、この場合、各変 換の優先順位をそのエネルギーコストΔＥとする。エネルギーコストΔＥは、開 始メッシュＭⁿからの少数の頂点を有する点ｘ_i∈Ｒ³のセットＸを、連続するメ ッシュ表示のメッシュＭⁱに正確に適合させる。 縁消失動作３６を実行すべき場合、優先待ち行列の最初（すなわち、最小ΔＥ を有する）の縁消失動作を完了し、縁消失動作に隣接する縁の優先順位を再計算 し及び優先待ち行列に配置する。更なる情報については上記Ｐｒｏｇｒｅｓｓｉ ｖｅ Ｍｅｓｈｅｓの文献を参照されたい。固定された細分化基準のセットによ って、中間メッシュ近似Ｍⁱを、メッシュＭの連続するメッシュ表示Ｍ^PMに対し て形成することができる。縁消失動作３６が可逆であるので、更に粗いメッシュ Ｍ⁰ をｎ個の連続する頂点分割動作３８とともに用いて、開始メッシュＭⁿを再形成 することができる。 本発明の図示した実施の形態に対して既に説明した方法７０（図４）及び他の 方法を用いて、任意の三角形メッシュＭ’を適切に細分化し、この場合、Ｍ’⊂ Ｍとし、Ｍ’を適切なメッシュ表示として格納する。適切に細分化したメッシュ Ｍ＾を、第２セットのメッシュ変換に対する第２セットの制約及び選択細分化基 準のセットを用いて、任意の三角形メッシュＭ’から形成する。第２セットの細 分化基準を、相違するメッシュ変換を有する任意のメッシュＭ＾の用いられた相 違する処理部とする。本発明の図示した実施の形態において、第２セットの細分 化基準を用いて、任意のメッシュＭ’のビュー依存近似を構成する。第２セット のメッシュ変換は、頂点分割変換８２及び縁消失変換８４を有する。以下の表８ の制約によって、頂点分割変換８２及び縁消失変換８４が、シーケンスの外側( すなわち、連続するメッシュ表示に対する縁消失動作３６及び頂点分割動作３８ によって課された厳密な全体の順位内に存在しない。)に供給されるとともに、 面を考察する。第２セットのメッシュ変換（８２，８４）を用いて、任意のメッ シュを適切に細分化するために用いられる頂点階層（例えば、１５０，図９）を 構成する。本発明の図示した実施の形態で用いられる第２セットのメッシュ変換 に対する第２セットのメッシュ変換を以下の表８に示す。 選択細分化基準のセットはビュー依存パラメータ（表４、図１０）に基づき、 そのパラメータは、ビュー錐台、表面方位及びスクリーンスペース投影誤差を有 する。選択細分化基準のセットは、上記セット固定細分化基準と異なる。選択細 分化基準のセットは、メッシュ上で変更する細分化レベルを有する非対称変換を 許容する(すなわち、メッシュＭ^sの領域を、同一メッシュＭ^sの他の領域を縁消 失変換８４によって粗くすることができる頂点分割変換８２によって細分化する ことができる。)。それに対して、固定された細分化基準のセットによって、メ ッシュ上の固定レベルの細分化（すなわち、Ｍⁱ⁺¹からＭⁱに移る一連の縁消失変 換３６又はＭⁱからＭⁱ⁺¹に移る一連の頂点分割変換）を有する一様な変換のみを 許容する。選択細分化基準のセットによって、頂点分割変換８２及び縁消失変換 ８４の任意の連続を基本メッシュに適用して、適切に細分化したメッシュを形成 する。しかしながら、本発明は、図示した上記実施の形態における第２セットの メッシュ変換に対する第２セットの制約及び選択細分化基準に限定されるもので はない。例えば、任意のセットのメッシュ変換は、頂点分割変換８２及び縁消失 変換８４以外のメッシュ変換を制約することができる。任意のセットのメッシュ 変換に対する任意のセットの制約は、上記表８に示したよりも多い又は少ない制 約を有することができる。任意のセットの選択細分化基準は、時間変動パラメー タや表面収束パラメータのようなビュー依存基準の変化以外の基準を有すること ができる。時間変動パラメータによって、相違する期間で同一図形イメージの相 違する部分で収束することができる(例えば、図形イメージの一部で移動光源を 光らせて、その部分を照射する。)。表面収束パラメータによって、図形イメー ジの表面の一部に相違する情報を表示することができる(例えば、図形的に表示 した表面上の温度変化)。 図２８は、任意のセットのメッシュ変換及び任意のセットの選択細分化基準に 対する任意のセットの制約によって任意のメッシュを適切に規定する一般化され た方法４１０を示す流れ図である。ステップ４１２において、任意のメッシュを 選択する。任意のメッシュをメッシュＭのセットからの任意のメッシュとするこ とができる。任意のメッシュを、連続するメッシュ表示として格納することがで きる。しかしながら、他のメッシュ表示を用いることもできる。任意のメッシュ に対するメッシュ変換のセットに対する制約のセットをステップ４１４で選択す る。 任意のメッシュに対する選択細分化基準のセットをステップ４１６で選択する。 選択細分化基準によって、メッシュ内で変動するレベルの細分化（すなわち、表 示の同一瞬時におけるメッシュの相違する領域の細分化及び粗化）を許容するこ とができる。ステップ４１８において、任意のメッシュの細分化を、メッシュ変 換に対する制約のセット及び細分化基準のセットを用いて調整し、幾何学的な基 本を任意のメッシュに追加して、選択的に細分化したメッシュの第１近似を行う 。ステップ４２０において、細分化基準に影響を及ぼす変化に基づく選択細分化 メッシュを通じたナビゲートによって適切に細分化して、適切に細分化したメッ シュを形成する。例えば、ナビゲーションを、メッシュに対して形成した頂点階 層の前の頂点によって完了し、これによってメッシュ内で変動するレベルの細分 化を行う。 既に説明したようなメッシュのビュー依存細分化は、一般化した方法４１０に よって適切に規定した任意のメッシュの一つの特定例である。例えば、任意の三 角形メッシュＭ’∈Ｍをステップ４１２で選択する。任意の三角形メッシュＭ’ を、連続するメッシュ表示Ｍ⁰,...，Ｍ^n-1，Ｍⁿ＝Ｍ’として記憶する。メッシ ュ変換のセット（例えば、頂点分割変換８２及び縁消失変換８４）に対する制約 のセット（例えば、表８）をステップ４１４で選択する。選択細分化基準のセッ ト（例えば、ビュー依存パラメータ（図１０）の変更）をステップ４０６で選択 する。ステップ４１８において、メッシュの細分化を、制約のセット及び細分化 基準のセットを用いて調整し、選択的に細分化したメッシュの第１近似を行う( 例えば、ステップ７２−７６、図４、表５)。ステップ４１０において、選択細 分化メッシュを、細分化基準（例えば、ステップ７８−８０、図４、表６）に影 響を及ぼす変化に基づいて、選択的に細分化したメッシュを通じたナビゲーショ ンによって適切に規定して、適切に細分化したメッシュを形成する。一般化した 方法４１０を、本発明による図示した実施の形態に対して説明した選択構成要素 を置換することによって任意のメッシュ上で用いることができる。新たなセット のメッシュ変換を、頂点分割８２及び縁消失８４の変換を新たなメッシュ変換に 置換することによって選択することができる。新たなセットの制約は、（新たな 頂点階層構造となる）表８に示した制約に取って代わることができる。新たなセ ットの選択細分化基準を、（例えば、表５に示すビュー依存パラメータ機能呼出 しｑｒｅｆｉｎｅ（ｖ_s）サブルーチンを置換することによって）選択すること ができる。選択的な細分化メッシュを通じた新たなナビゲーション方法も（例え ば表６に示 したａｄａｐｔ_ｒｅｆｉｎｍｅｎｔ（）サブルーチンを置換することによって ）選択することもできる。 一般化した方法は、連続的なメッシュシーケンスとして格納された任意のメッ シュからの変動するレベルの細分化を有する適切に細分化したメッシュを形成し 、その連続的なメッシュシーケンスを、図形イメージを表示するのに用いられる 大抵の任意の基本的な幾何学的モデルとともに使用することができる。結果的に 得られる適切に細分化したメッシュは、所望のレベルの近似の際に従来既知の細 分化形態に比べて少ない多角形しか必要としない。適切な細分化の結果、多角形 の数を、より少ないコンピュータリソースによって図形イメージを描写すること ができる選択したビュー状態の下で観察者によって見えないメッシュの粗い領域 によって減少させる。適切に細分化したメッシュを、コンピュータゲーム又は他 のアプリケーションで用いられるイメージに対してインターネットやイントラネ ットのようなコンピュータネットワーク上でメッシュを連続的に伝送するのにも 用いることができる。 ここで説明するプログラム、プロセス及び方法は、特に示さない場合、コンピ ュータ装置（ハードウェア又はソフトウェア）の任意の特定のタイプに関連せず 及び限定されない。種々のタイプの汎用又は特別なコンピュータ装置をもちいる ことができ、それは、ここで説明した技術によって動作を実行することができる 。 本発明は、上記実施の形態に限定されるものではなく、幾多の変更及び変形が 可能である。

Claims (1)

1. 【特許請求の範囲】 １．ビュー依存パラメータの変化に従って図形オブジェクトを近似する任意の第 １メッシュを適切に洗練するコンピュータ実行方法であって、前記第１メッシュ が連続するメッシュ表示として格納され、 （ａ）前記第１メッシュの連続するメッシュ表示を再パラメータ化して、再パ ラメータ化した連続するメッシュ表示を形成するステップと、 （ｂ）前記再パラメータ化した連続するメッシュ表示の頂点に対して階層頂点 を構成するステップと、 （ｃ）１個以上のビュー依存パラメータが変化したことの目安を受信するステ ップと、 （ｄ）変化した前記ビュー依存パラメータに基づいて選択洗練基準を算出する ステップと、 （ｅ）前記頂点階層及び算出した選択洗練基準を用いて前記再パラメータ化し た連続するメッシュ表示を適切に洗練し、前記第１メッシュを近似する適切に洗 練したメッシュを形成するステップとを具えることを特徴とするコンピュータ実 行方法。 ２．請求の範囲１の方法のステップをコンピュータに実行させるインストラクシ ョンを格納したコンピュータ読出し可能記憶媒体。 ３．コンピュータシステムに前記第１メッシュの連続するメッシュ表示を構成す るステップと、 予め設定されたセットの事前処理計算を演算して、１個以上のビュー依存パラ メータの高速ランタイム評価を許容するステップとを更に具えることを特徴とす る請求の範囲１記載の方法。 ４．前記再パラメータ化ステップが、前記第１メッシュの連続するメッシュ表示 に関連したＮデータ構造記録から頂点、面又は縁を選択するステップを有するこ とを特徴とする請求の範囲１記載の方法。 ５．前記再パラメータ化ステップが、 前記頂点に対になって隣接する第１セットの面及び前記頂点に対になって隣接 する第２セットの面を前記連続するメッシュ表示から選択するステップと、 前記頂点を２個の頂点に分割するステップと、 前記２個の頂点に接続する縁を有する前記第１セットの面間に新たな第１面を 形成するステップと、 前記２個の頂点に連続する縁を有する前記第２セットの面間に新たな第２面を 形成するステップとを有することを特徴とする請求の範囲１記載の方法。 ６．前記再パラメータ化ステップが、 縁によって接続された連続するメッシュ表示から２個の頂点を選択するステッ プと、 前記２個の頂点に接続する縁を有する第１面を選択し、その第１面が、前記２ 個の頂点のうちの一方に隣接する第３面と前記２個の頂点のうちの他方に隣接す る第４面との間に存在するステップと、 前記２個の頂点に接続する縁を有する第２面を選択し、その第２面が、前記２ 個の頂点のうちの一方に隣接する第５面と前記２個の頂点のうちの他方に隣接す る第６面との間に存在するステップと、 前記２個の頂点を結合して１個の頂点にするステップと、 前記第１面及び第２面を除去するステップとを有することを特徴とする請求 の範囲１記載の方法。 ７．前記頂点階層を、前記再パラメータ化した連続するメッシュ表示に関連した Ｎデータ構造記録からの頂点情報の考察を用いてトップダウンで構成することを 特徴とする請求の範囲７記載の方法。 ８．前記適切に洗練するステップが、前記再パラメータ化した連続するメッシュ 表示上での１回以上の頂点分割変換及び１回以上の縁消失変換を実行するステッ プを有することを特徴とする請求の範囲１記載の方法。 ９．前記ビュー依存パラメータが、ビュー錐台、表面方位及びスクリーンスペー ス幾何学的誤差のうちの少なくとも１個を有することを特徴とする請求の範囲１ 記載の方法。 １０．前記適切に洗練するステップが、変化したビューパラメータに基づいて前 記頂点階層の有効頂点に対する親頂点を２個の子頂点に分割する必要があるか否 かを決定するステップと、 前記２個の子頂点に分割する必要がない場合に前記有効頂点上で縁消失変換を 実行するステップとを有することを特徴とする請求の範囲１記載の方法。 １２．前記変化したビュー依存パラメータに基づいて所望のレベルの近似が行わ れる最後の洗練されたメッシュを形成するまで、前記第１メッシュの連続するメ ッシュ表示として前記適切に規定したメッシュを用いて前記ステップ(ａ)，(ｂ) ，（ｄ）及び（ｃ）を繰り返すステップを更に具えることを特徴とする請求の範 囲１記載の方法。 １３．前記ステップ（ａ）及び（ｂ）を事前処理ステップとして完了し、前記ス テップ(ｃ)，（ｄ）及び（ｅ）をランタイムステップとして完了することを特徴 とする請求の範囲１記載の方法。 １４．任意のメッシュの連続するメッシュ表示から頂点を分割するコンピュータ 実行方法であって、 前記頂点に対になって隣接する第１セットの面及び前記頂点に対になって隣接 する第２セットの面を前記連続するメッシュ表示から選択するステップと、 前記頂点を２個の頂点に分割するステップと、 前記２個の頂点に接続する縁を有する前記第１セットの面間に新たな第１面を 形成するステップと、 前記２個の頂点に接続する縁を有する前記第２セットの面間に新たな第２面を 形成するステップとを具えることを特徴とするコンピュータ実行方法。 １５．請求の範囲１４の方法のステップをコンピュータに実行させるインストラ クションを格納したコンピュータ読出し可能記憶媒体。 １６．２個の頂点に接続した縁を連続するメッシュ表示から消失させるコンピュ ータ実行方法であって、 縁によって接続した前記連続するメッシュ表示から２個の頂点を選択するステ ップと、 前記２個の頂点に接続する縁を有する第１面を選択し、その第１面が、前記２ 個の頂点のうちの一方に隣接する第３面と前記２個の頂点のうちの他方に隣接す る第４面との間に存在するステップと、 前記２個の頂点に接続する縁を有する第２面を選択し、その第２面が、前記２ 個の頂点のうちの一方に隣接する第５面と前記２個の頂点のうちの他方に隣接す る第６面との間に存在するステップと、 前記２個の頂点を結合して１個の頂点にするステップと、 前記第１面及び第２面を除去するステップとを具えることを特徴とするコンピ ュータ実行方法。 １７．請求の範囲１６の方法のステップをコンピュータに実行させるインストラ クションを格納したコンピュータ読出し可能記憶媒体。 １８．予めパラメータ化した連続するメッシュ表示から形成した頂点階層の頂点 Ｖを変化するビュー依存パラメータに従って洗練する必要があるか否かを決定す るコンピュータ実行方法であって、 前記再パラメータ化した連続するメッシュ表示を観察するのに用いられるビュ ー錐台内に前記頂点Ｖが存在するか否かを決定するステップと、 前記頂点Ｖが存在する場合に、前記Ｖが前記ビュー錐台内の視点方向に向いて いるか否かを決定するステップと、 視点方向に向いている場合には、前記頂点Ｖ及び視点に関連した予め設定され たスクリーンスペース誤差を超えているか否かを決定するステップと、 スクリーンスペース誤差を超えている場合には前記頂点Ｖを洗練するステップ とを具えることを特徴とするコンピュータ実行方法。 １９．請求の範囲１８の方法のステップをコンピュータに実行させるインストラ クションを格納したコンピュータ読出し可能記憶媒体。 ２０．前記頂点Ｖ及び視点に関連した予め設定されたスクリーンスペース誤差を 超えたか否かを決定するステップと、 スクリーンスペース誤差を超えていない場合には、前記頂点の２個の子頂点を 消失して頂点Ｖとするステップとを更に具えることを特徴とする請求の範囲１８ 記載の方法。 ２１．前記頂点Ｖがビュー錐台内に存在するか否かを決定するステップが、 前記頂点階層の第１セットの頂点に隣接する第２セットの頂点を規定する第１ 規定要素を決定するステップと、 前記頂点階層の考察を実行するとともに前記第１規定要素を規定する第２規定 要素を決定するステップと、 前記第２規定要素を規定する頂点Ｖに接続した第３規定要素を決定し、その第 ３規定要素が１個以上の規定要素を有するステップと、 前記頂点Ｖに調整した前記第３規定要素の規定構成要素のうちの選択したもの が前記ビュー錐台の外側にあるか否かを決定するステップとを具えることを特徴 とする請求の範囲１８記載の方法。 ２２．前記規定要素が、半径Ｒ_rを有する１個以上の球Ｓ_vのセットであることを 特徴とする請求の範囲２１記載の方法。 ２３．前記Ｖを前記ビュー錐台の視点に向いているか否かを決定するステップが 、前記Ｖに関連した面に対する法線のセットに対する法線の関連のスペースを規 定する第１規定要素を決定するステップと、 前記第１境界要素及び単位球の交差を規定する頂点Ｖに対する法線ベクトルに ついての円錐の半角を算出するステップと、 再パラメータ化された連続するメッシュ表示を観察するのに用いられる視点が 前記頂点Ｖの背面領域に存在するか否かを決定するステップとを有することを特 徴とする請求の範囲１８記載の方法。 ２４．前記頂点Ｖ及び視点に関連した予め設定されたスクリーンスペース誤差を 超えたか否かを決定するステップが、 前記頂点Ｖに隣接する面の付近Ｎに対する第１セットの法線ベクトルと、前記 再パラメータ化した連続するメッシュ領域の隣接領域の面の付近Ｎ’に対する法 線ベクトルの第２セットとの間の偏差を、局所的に前記第１セットの法線ベクト ルに投影する前記隣接領域上にサンプルした点のセットから残余誤差ベクトルＥ のセットを検査することによって決定するステップと、 前記残余誤差ベクトルＥのセットを規定する比δ_V／μ_Vを有する最小偏差スペ ースＤ_n（μ_V，δ_V）を決定するステップと、 前記最小偏差スペースＤ_n（μ_V，δ_V）が前記予め設定したスクリーンスペー ス誤差を超えたか否かを決定するステップとを有することを特徴とする請求の範 囲１８記載の方法。 ２５．前記ビュー錐台を４面角錐とし、 ｉ＝{１...４}に対してａ_iｖ_x＋ｂ_iｖ_y＋ｃ_iｖ_z＋ｄ_i＜（−ｒ_vi） である場合、頂点Ｖ＝{ｖ_x，ｖ_y，ｖ_z}に配置された第３境界要素に対する半径 ｒ_viの球が前記ビュー錐台の外側に存在するか否かを決定するステップを更に具 え、 線形関数ａ_iｖ_x＋ｂ_iｖ_y＋ｃ_iｖ_z＋ｄ_iが、前記頂点Ｖから前記ビュー錐台の 側までの符号のついたユークリッド距離を測定することを特徴とする請求の範囲 １８記載の方法。 ２６．前記頂点階層の考察をポストオーダ考察とすることを特徴とする請求の範 囲２１記載の方法。 ２７．前記背面テストが、 （ａ）(ｖ−ｅ)・ｎ_vi＞０か否かを決定するステップと、 （ｂ）(ｖ−ｅ)・ｎ_vi＞０である場合、（(ｖ−ｅ)・ｎ_v）²＞||ｖ−ｅ||²ｓ ｉｎ²α_vであるか否かを決定し、そうでない場合、前記頂点が前記視点の背面領 域に存在しないことを決定し、ｖを頂点とし、ｅを視点とし、ｎ_vを前記頂点ｖ に対する法線ベクトルとすることを特徴とする請求の範囲２３記載の方法。 ２８．前記最小偏差スペースＤ_n（μ_V，δ_V）が前記予め設定したスクリーンス ペース誤差を超えたか否かを決定するステップが、 μ_V ²＞＝ｋ²||ｖ−ｅ||² であるか否かを決定するステップと、 μ_V ²＞＝ｋ²||ｖ−ｅ||²でない場合に、 δ_V ²（||ｖ−ｅ||²−（(ｖ−ｅ)・Ｎ_v）²）＞＝ｋ²||ｖ−ｅ||² であるか否かを決定し、そうでない場合、前記最小偏差スペースＤ_n（μ_V，δ_V ）が前記予め設定したスクリーンスペース誤差を超えていないと決定し、ｖを頂 点とし、ｅを視点とし、Ｎ_vを、付近に対するベクトルのセットとし、ｋ²を視野 角係数とすることを特徴とする請求の範囲２４記載の方法。 ２９．変化するビュー依存パラメータに従って図形オブジェクトを近似するのに 用いられる予めパラメータ化した連続するメッシュ表示を適切に洗練するコンピ ュータ実行方法であって、 前記予めパラメータ化した連続するメッシュ表示に対して形成した頂点階層の 頂点のリストを考察するステップと、 前記変化するビューパラメータに基づいて前記頂点リストの頂点を分割すべき か否か決定するステップと、 前記頂点上の第１頂点分割変換が適法であるか否かを決定するステップと、 前記変換が適法である場合に、前記頂点上の第１頂点分割変換を実行して、前 記予め規定した連続するメッシュ表示の一部を洗練するステップと、 前記第１頂点上での一連の頂点分割変換を実行して、前記第１頂点分割変換を 適法にするステップとを有することを特徴とするコンピュータ実行方法。 ３０．請求の範囲２９の方法のステップをコンピュータに実行させるインストラ クションを格納したコンピュータ読出し可能記憶媒体。 ３１．前記頂点のリストの第１頂点を前記変化するビューパラメータに基づいて 分割すべきか否かを決定するステップと、 前記第１頂点を分割すべき出ない場合、前記第１頂点を消失させるべきである か否か決定し、 前記第１頂点を消失させるべき場合、前記第１頂点での縁消失変換を実行して 、前記予めパラメータ化した連続するメッシュ表示の一部を粗くするステップと を更に具えることを特徴とする請求の範囲２９記載の方法。 ３２．図形オブジェクトを近似するのに用いられる適切に洗練したメッシュに対 して描写した有効面の数を調整するコンピュータ実行方法であって、 所望のスクリーンスペース誤差τを決定するステップと、 時間ｔで適切に洗練したメッシュから描写するために所望の数の有効面Ｆを決 定するステップと、 時間ｔでスクリーンスペース誤差τ_tの変化を調整して、定レベルで描写され た所望の数の有効面Ｆを維持するステップとを具えることを特徴とするコンピュ ータ実行方法。 ３３．請求の範囲３２の方法のステップをコンピュータに実行させるインストラ クションを格納したコンピュータ読出し可能記憶媒体。 ３４．前記調整ステップが、 スクリーンスペース誤差τ_t＝スクリーンスペース誤差τ_t-1＊|Ｆ_t-1|／ｍを 決定するステップを有し、スクリーンスペース誤差τ_tを、時間ｔでのスクリー ンスペース誤差とし、スクリーンスペース誤差τ_t-1を、時間ｔ−１でのスクリ ーンスペース誤差とし、|Ｆ_t-1|を、ｔ−１で描写される有効面の個数とし、ｍ を、表示される所望の数の面とすることを特徴とする請求の範囲３２記載の方法 。 ３５．前記有効面の個数Ｆが予め規定した上限を超えないようにスクリーンスペ ース誤差τ_tに対する変化を清算するステップを更に具えることを特徴とする請 求の範囲３２記載の方法。 ３６．前記清算ステップが、１以上の連続的な時間間隔に亘る前記スクリーンス ペース誤差τ_tの変化に対する決定を分布させるステップを有することを特徴と する請求の範囲３５記載の方法。 ３７．変化するビュー依存パラメータに従って第１の連続するメッシュ表示及び 第２の連続するメッシュ表示に対する図形オブジェクトを近似するのに用いられ る地形メッシュを形成するコンピュータ実行方法であって、 前記第１の連続するメッシュ表示に対する変化するビュー依存パラメータに基 づいて頂点階層の頂点のリストを考察し、頂点分割変換を用いて連続する地形メ ッシュを形成するステップと、 前記地形メッシュを形成するのに用いられる一連の頂点分割変換を記録するス テップと、 前記連続する地形メッシュに対する変化するビュー依存パラメータに基づく頂 点階層の頂点のリストを考察し、縁消失変換を用いて前記第２の連続するメッシ ュ表示を形成するステップと、 前記第２の連続するメッシュ表示を形成するのに用いられる一連の縁消失変換 を記録するステップとを具えることを特徴とするコンピュータ実行方法。 ３８．請求の範囲３７の方法のステップをコンピュータに実行させるインストラ クションを格納したコンピュータ読出し可能記憶媒体。 ３９．前記一連の頂点分割変換を反転することによって前記地形メッシュから第 １の連続するメッシュ表示を形成するステップを更に具えることを特徴とする請 求の範囲３７記載の方法。 ４０．前記一連の縁消失変換を反転することによって前記地形メッシュから前記 第２の連続するメッシュ表示を形成するステップを更に具えることを特徴とする 請求の範囲３７記載の方法。 ４１．図形オブジェクトを近似するのに用いられる連続するメッシュ表示を描写 するために三角形ストリップを形成するコンピュータ実行方法であって、 前記連続するメッシュ表示に対する面ｆを描写したか否かを決定するステップ と、 面ｆを描写しなかった場合に、面ｆで開始する新たな三角形ストリップを形成 するとともに、前記面ｆを表示装置に対して描写するステップと、 前記面ｆに隣接する面のセットを描写したか否か決定するステップと、 面のセットを描写しなかった場合に、前記面ｆに隣接する面のセットを前記三 角形ストリップに追加するとともに、前記面ｆに隣接する面のセットを前記表示 装置に対して描写するステップとを具えることを特徴とするコンピュータ実行方 法。 ４２．請求の範囲４１の方法のステップをコンピュータに実行させるインストラ クションを格納したコンピュータ読出し可能記憶媒体。 ４３．前記三角形ストリップを右回りに構成することを特徴とする請求の範囲４ １記載の方法。 ４４．図形オブジェクトに対するパラメータ表面を適切に配列するコンピュータ 実行方法であって、 前記図形オブジェクト上の表面に対するメッシュ表示配列を決定し、そのメッ シュ表示配列が、前記図形オブジェクトを規定するのに用いられる図形モデルの 頂点、縁及び面の構成、陰影及び色の近似を行うステップと、 前記メッシュ表示配列から連続するメッシュ表示を構成するステップと、 前記連続するメッシュ表示を所望のレベルの詳細で打ち切るステップとを具え ることを特徴とするコンピュータ実行方法。 ４５．請求の範囲４４の方法のステップをコンピュータに実行させるインストラ クションを格納したコンピュータ読出し可能記憶媒体。 ４６．変化するビュー依存パラメータのセットに基づく視点に従って前記打ち切 られた連続するメッシュ表示を適切に規定するステップを更に具えることを特徴 とする請求の範囲４４記載の方法。 ４７．図形オブジェクトを近似するのに用いられる任意の第１メッシュに対する 連続するメッシュ表示を適切に規定するシステムであって、 前記第１メッシュに対する連続するメッシュ表示を構成する手段と、 前記第１メッシュに対する連続するメッシュ表示を事前処理する手段と、 前記連続するメッシュ表示を表示装置に描写する手段とを具えることを特徴と する装置。 ４８．図形オブジェクトを近似するのに用いられる連続するメッシュに対する頂 点情報を格納するコンピュータシステムのメモリのデータ構造であって、そのデ ータ構造が複数のデータ構造領域を有し、前記データ構造が、 前記連続するメッシュの有効頂点のリストを格納するデータ構造領域と、 前記連続するメッシュの視点情報を格納するデータ構造領域と、 前記連続するメッシュの頂点階層の親頂点情報を格納するデータ構造領域と、 前記連続するメッシュの頂点階層に対する子頂点情報を格納するデータ構造領域 と、 前記連続するメッシュの頂点階層の子頂点に隣接する面の情報を格納するデー タ構造領域と、 前記連続するメッシュの頂点階層の親頂点に隣接する複数の面の情報を格納す るデータ構造領域と、 前記連続するメッシュの洗練情報を格納するデータ構造領域とを具えることを 特徴とするデータ構造。 ４９．前記連続するメッシュの法線ベクトル情報を格納するデータ構造領域を更 に具えることを特徴とする請求の範囲４８記載のデータ構造。 ５０．図形オブジェクトを近似するのに用いられる連続するメッシュの面情報を 格納するコンピュータシステムのメモリのデータ構造であって、 前記連続するメッシュの有効面のリストを格納するデータ構造領域と、 前記連続するメッシュの有効面の３個の頂点を格納するデータ構造領域と、 有効面に隣接する３個の面の目安を格納するデータ構造領域と、 前記連続するメッシュの有効面のマテリアル識別子を格納するデータ構造領域 とを具えることを特徴とするデータ構造。 ５１．図形オブジェクトを近似するのに用いられる適切に洗練した連続するメッ シュの情報を格納するコンピュータシステムのメモリのデータ構造であって、そ のデータ構造が複数のデータ構造領域を有し、前記データ構造が、 選択的に洗練した連続するメッシュの頂点のセットを格納するデータ構造領域 と、 選択的に洗練した連続するメッシュの面のセットを格納するデータ構造領域と 、 前記選択的に洗練した連続するメッシュの有効頂点のリストを格納するデータ 構造領域と、 前記選択的に洗練した連続するメッシュの面のリストを格納するデータ構造領 域とを具えることを特徴とするデータ構造。