JP2002164530A - 物性モデルのパラメータ抽出方法及び記録媒体、並びに非線形素子の製造方法 - Google Patents

物性モデルのパラメータ抽出方法及び記録媒体、並びに非線形素子の製造方法

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JP2002164530A
JP2002164530A JP2000359113A JP2000359113A JP2002164530A JP 2002164530 A JP2002164530 A JP 2002164530A JP 2000359113 A JP2000359113 A JP 2000359113A JP 2000359113 A JP2000359113 A JP 2000359113A JP 2002164530 A JP2002164530 A JP 2002164530A
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Abstract

(57)【要約】 【課題】 誤差関数内の各特性量において生じる誤差の
値に大小の差があったとしても誤差の値を各特性量ごと
に充分に減少できる物性モデルのパラメータ抽出方法で
あって、真の解を得るためのパラメータ抽出を迅速に行
える技術を得る。 【解決手段】 複数のサンプルの観測値の分散σiy 2で
各々の特性量ｇiyとこれに対応する関数ｆy（ｖi，Ｐ）
との差の平方を除した値を、外部要因群の複数に亘って
総和することで誤差関数Ｓを定義する。各特性量におい
て生じる誤差の値に大小の差があったとしても、各特性
量ごとに分散σiy 2で除されることで、誤差に含まれる
観測値のばらつきや偏りの影響を補正することができ
る。また、誤差関数Ｓの値がχ2分布に従うことを利用
して関数ｆy（ｖs，Ｐ）が観測値を再現できているか検
定を行い、再現できていると検定された場合には、その
ときのパラメータ群Ｐを、誤差関数Ｓの最小値を与える
パラメータ群として抽出する。

Description

【発明の詳細な説明】
【０００１】
【発明の属する技術分野】この発明は、少なくとも一つ
の外部要因からなる外部要因群の複数ｖi（ｉ＝１，
２，…，ｍ）の各々に対応して、それぞれ少なくとも一
つの特性量からなる特性量群ｇiが得られる物性に関
し、各々の特性量群ｇs（ｓはｉの採る任意の一つの値
を示す）に対応する計算値の各々を、対応する前記外部
要因ｖs及び複数のパラメータからなるパラメータ群Ｐ
の関数ｆ（ｖs，Ｐ）として与える物性モデルにおい
て、パラメータ群Ｐを抽出する技術に関する。
【０００２】例えばＬＳＩ（large scale integrated c
ircuit）の設計において使用される回路シミュレーショ
ンのための、モデルパラメータを抽出する技術に関す
る。
【０００３】
【従来の技術】ＬＳＩの製造においては、その回路を設
計する設計工程と、設計工程によって得られた情報を元
に回路を半導体装置として実現する半導体プロセス工程
とに大別される。そして、設計工程においては、半導体
装置として実現されるＬＳＩ回路（以下「ＬＳＩ装置」
と称す）の発揮すべき機能を予め予測するために、回路
シミュレーションが行われる。
【０００４】回路シミュレーションにおいては回路方程
式の定式化と、デバイスモデリングという２つの重要な
観点がある。そしてデバイスモデリングにおいて、例え
ばトランジスタのような非線形デバイスの電気特性は、
デバイスをモデル化して得られる解析式によってシミュ
レーションされる。この解析式は物理的な、あるいは半
ば経験的に決定されるパラメータを含んでいる。
【０００５】回路シミュレーションを精度良く実行する
ためには、これらのデバイスモデリングにおけるパラメ
ータを適切に決定する必要がある。そしてこの決定のた
めの指標として通常は、ＬＳＩ装置の実測特性と解析モ
デルに基づいた計算値との誤差が選ばれる。あるいはＬ
ＳＩ装置の実測特性に代えて、トランジスタ等のデバイ
ス内部で生じる現象をシミュレーションするデバイスシ
ミュレーションの結果を用いることもある。
【０００６】さて、従来の物性モデルのパラメータ抽出
方法を以下に説明する。この物性モデルは、少なくとも
一つの外部要因からなる外部要因群ｖi（ここではｉ＝
１，２，３，…，ｍとする）と、これらに対して得られ
る少なくとも一つの特性量からなる特性量群ｇiとが非
線形の関係にある非線形素子の物性を求めるに際して、
設定される。そして、この物性モデルは、複数のパラメ
ータからなるパラメータ群Ｐ及び外部要因群ｖiの関数
ｆ（ｖi，Ｐ）として設定される。そして観測される特
性量群ｇs（ｓはｉの採る任意の一つの値を示す）と、
計算される関数ｆ（ｖs，ｐ）の値との差に重み関数ｗs
を乗じた値の平方を、全ての外部要因群ｖ iに亘って総
和して、誤差関数Ｓが求められる。そして、この誤差関
数Ｓの値が最小となるパラメータの組み合わせを求める
ことでパラメータの抽出を行う。
【０００７】非線形素子としてＭＩＳトランジスタを一
例として挙げれば、例えばゲート長が１μｍ程度よりも
大きい場合には、物性モデルとしてFrohman-Bentchkows
kyモデルが例挙できる。外部要因としては動作温度τ、
ソース電極に対するゲート電極の電位（ゲート電圧
Ｖgs）及びドレイン電極の電位（ドレイン電圧Ｖds）
を、特性量としてはソース電極とドレイン電極との間に
流れる電流（ドレイン電流Ｉ ds）およびドレイン電流Ｉ
dsをドレイン電圧Ｖdsで微分して得られるコンダクタン
ス∂Ｉds／∂Ｖdsが、それぞれ例挙できる。そしてパラ
メータとしては、例えばしきい値電圧Ｖth及び後述する
係数βを挙げることができる。このように、外部要因群
を構成する外部要因の個数と、特性量群を構成する特性
量の個数と、パラメータ群を構成するパラメータの個数
とは、一般には一致しない。
【０００８】例えばＭＩＳトランジスタの動作におい
て、ドレイン電圧Ｖdsが小さい線形領域でのドレイン電
流Ｉdsは、ほぼβ（Ｖgs−Ｖth−Ｖds／２）Ｖdsで得ら
れる。ここで係数βは、単位面積あたりのゲート絶縁膜
容量Ｃoxと、キャリアの移動度μと、チャネル幅Ｗとの
積を、チャネル長Ｌで除した値である（β＝ＣoxμＷ／
Ｌ）。このようなモデルに基けば、ドレイン電流Ｉdsの
ゲート電圧Ｖgsに対する依存性を観測値から求め、外挿
及び傾きを計算してそれぞれしきい値電圧Ｖth及び係数
βが求められる。
【０００９】ここで、非線形素子の一例であるＭＩＳト
ランジスタの誤差関数Ｓは、以下の式（１）で示され
る。
【００１０】
【数１】
【００１１】ここで、外部要因群ｖ1，ｖ2，ｖ3，…，
ｖmは、それぞれがｘ（≧１）個の外部要因を有してい
る。例えばｘ＝３とし、外部要因として動作温度τ、ゲ
ート電圧Ｖgs、ドレイン電圧Ｖdsを採用できる。
【００１２】特性量群ｇiは、外部要因群ｖiが与えられ
た場合に非線形素子が呈する物理量である。例えばドレ
イン電流Ｉdsおよびコンダクタンス∂Ｉds／∂Ｖdsを採
用でき、この場合には特性量群を構成する特性量の個数
ｙは２であって、ｇi、ｆ（ｖi，Ｐ）、ｗiはいずれも
ベクトル量となる。ただし、ベクトルの各成分ごとに式
（１）の計算が行われるので、誤差関数Ｓの値はスカラ
量となる。
【００１３】なお、特性量は実測値としてではなく、デ
バイスシミュレーションの結果を用いても良い。その場
合、一般にデバイスシミュレーションでデバイスを近似
した関数をｇとし、特性量群はｇi＝ｇ（ｖi）と表現す
ることもできる。
【００１４】パラメータ群Ｐはｎ（≧２）個のパラメー
タｐ1，ｐ2，ｐ3，…，ｐnで構成される。例えばｎ＝２
とし、パラメータとしてしきい値電圧Ｖth及び係数βを
採用することができる。
【００１５】重み関数ｗiは異なる外部要因群ｖiのそれ
ぞれに対応して設定される。特別な場合として、重み関
数ｗiが外部要因群ｖiのいずれに対しても恒常的に１に
設定され、誤差関数Ｓが絶対誤差として規定される場合
がある。またｗi＝１／ｇiに設定されれば、誤差関数Ｓ
が相対誤差として規定される。
【００１６】このような誤差関数Ｓを最小化、あるいは
所定誤差内で零とするパラメータ群Ｐを求めることが、
パラメータ抽出という処理である。そしてパラメータ群
Ｐを所定の規則で更新しつつ誤差関数Ｓの値を小さくし
てゆくことにより、パラメータ抽出が進められる。
【００１７】そして、この誤差関数Ｓの値が最小となる
パラメータの値の組み合わせを求めるために従来から、
例えばニュートン法のような降下系解法（本願ではニュ
ートン法系解法と称する）や、例えばSimulated Anneal
ing法のような大域的な検索アルゴリズム（本願では数
え上げ的手法と称する）などが採用されていた。
【００１８】
【発明が解決しようとする課題】しかし、上記のような
従来の物性モデルのパラメータ抽出方法においては、以
下の問題点があった。
【００１９】まず、第１の問題点としては、特性量群ｇ
iに複数個の特性量を採用しつつ、ニュートン法系解法
や数え上げ的手法などを用いて誤差関数Ｓの最小値探索
を行ったときに、各特性量についての誤差（以下、「誤
差要素」と称する）の値に大小の差があると、より誤差
要素の値の大きい特性量についてはその誤差要素を効果
的に減少させ得るものの、誤差要素の値の小さい特性量
についてはその誤差要素を効果的に減少させることがで
きなかった。
【００２０】例えば上記のＭＩＳトランジスタの場合の
ように、特性量群ｇiを構成する特性量にドレイン電流
Ｉdsとコンダクタンス∂Ｉds／∂Ｖdsとを採用する場
合、例えば両者についてのそれぞれの誤差要素が求めら
れ、それぞれの平方の和に重み関数が乗じられて誤差関
数Ｓの最小値探索が行われる。しかし、後に詳述するよ
うに、コンダクタンス∂Ｉds／∂Ｖdsに生じる誤差の値
の方がドレイン電流Ｉdsに生じる誤差の値に比べ大きい
ため、ドレイン電流Ｉdsに比べコンダクタンス∂Ｉds／
∂Ｖdsについての誤差要素をより減少させる傾向で計算
が進められる。その結果、ドレイン電流Ｉdsのフィッテ
ィングの精度は、ドレイン電流Ｉdsのみを単独で特性量
に採用した場合に得られる精度に比べ低下してしまう。
【００２１】線形領域でのドレイン電流Ｉdsは、ほぼβ
（Ｖgs−Ｖth−Ｖds／２）Ｖdsで得られることは上述し
た。しかし、飽和領域（Ｖds＞Ｖdsatの領域、なおＶ
dsatはドレイン電圧Ｖdsが増加してもドレイン電流Ｉds
が増加しなくなりはじめるＶdsの値）では、上式中のＶ
dsがＶdsatに置き換えられ、さらに、チャネル長変調効
果を考慮して係数β中のチャネル長Ｌが（Ｌ−ΔＬ）に
置き換えられる（ΔＬはドレイン端での空乏層の広がり
幅を表す）。なおΔＬは（Ｖds−Ｖdsat）の関数となっ
ている。
【００２２】この場合、ドレイン電流ＩdsはΔＬで決定
されるが、ドレイン電流Ｉdsのドレイン電圧Ｖdsによる
微分量であるコンダクタンスは、ΔＬのみならず∂ΔＬ
／∂Ｖdsにも依存することになる。空乏近似により（Ｖ
ds−Ｖdsat）の変化に対するΔＬの振る舞いを精度よく
表現することは可能であるが、∂ΔＬ／∂Ｖdsを表現す
ることについては、特にＶds＝Ｖdsatの近傍においてそ
の精度に問題が生じやすい。よって、∂ΔＬ／∂Ｖdsを
パラメータとして含むコンダクタンスは、それを含まな
いドレイン電流Ｉdsに比べ、その精度が低い。
【００２３】すなわち、ＭＩＳトランジスタにおけるモ
デル式は、各動作領域（弱反転、強反転−線形、強反転
−飽和）においてドレイン電流を定式化してつなげるこ
とにより設定されているため、ドレイン電圧による微分
量であるコンダクタンスの値は特に各領域のつなぎ目近
傍では精度が落ちやすいのである。そのため、コンダク
タンス∂Ｉds／∂Ｖdsについての誤差要素の値の方が、
ドレイン電流Ｉdsについての誤差要素の値に比べ大きく
なりやすい。その結果、両者を同時にフィッティングし
ようとすると、ドレイン電流Ｉdsについての誤差要素よ
りもコンダクタンス∂Ｉds／∂Ｖdsについての誤差要素
を減少させる傾向になってしまうのである。
【００２４】一方、従来の物性モデルのパラメータ抽出
方法の第２の問題点としては、誤差関数Ｓの最小値探索
を行う際に数え上げ的手法を用いると、局所的な解から
の脱出は可能であるものの、真の最小値へ到達するのに
必要な計算負荷は膨大となってしまうという問題があっ
た。また、ニュートン法系解法を用いる場合には、局所
最小値に陥るという問題があった。
【００２５】この発明は上記の事情に鑑みてなされたも
ので、誤差関数内の各特性量についての誤差要素の値に
大小の差があったとしても、誤差要素の値を各特性量ご
とに充分に減少させることができる物性モデルのパラメ
ータ抽出方法であって、さらに、真の解を得るためのパ
ラメータの検索、即ちパラメータの抽出を効率良くかつ
迅速に行うことができる技術を提供することを目的とし
ている。
【００２６】またコンピュータにかかるパラメータ抽出
を行わせるプログラムを記憶する媒体を提供することも
目的とする。
【００２７】更にはかかるパラメータ抽出技術を採用し
た物性シミュレーションを含む非線形素子の製造方法を
提供することも目的とする。
【００２８】
【課題を解決するための手段】請求項１に記載の発明
は、（ａ）少なくとも一つの外部要因からなる外部要因
群の複数ｖi（ｉ＝１，２，…，ｍ）の各々に対応し
て、それぞれ１乃至ｚ番目（ｚ≧２）の特性量ｇiy（ｙ
＝１，２，…，ｚ）からなる特性量群ｇiが得られる物
性に関し、各々の前記特性量群ｇs（ｓはｉの採る任意
の一つの値を示す）に対応する計算値の各々を、対応す
る前記外部要因群ｖs及び複数のパラメータからなるパ
ラメータ群Ｐの関数ｆy（ｖs，Ｐ）として与える物性モ
デルを適用するステップと、（ｂ）複数のサンプルの前
記物性を観測することにより得られた前記特性量ｇiyの
観測値の分散σiy 2で、各々の前記特性量ｇiyとこれに
対応する前記関数ｆy（ｖi，Ｐ）との差の平方を除した
値を、前記外部要因群の複数に亘って総和することで誤
差関数Ｓを求め、前記誤差関数Ｓに対し、その最小値を
与える前記パラメータ群Ｐを抽出するステップとを備え
る物性モデルのパラメータ抽出方法である。
【００２９】請求項２に記載の発明は、請求項１に記載
の物性モデルのパラメータ抽出方法であって、前記ステ
ップ（ｂ）は、前記パラメータ群Ｐを更新しつつ、前記
誤差関数Ｓの値を繰り返し求めることにより、その最小
値を与える前記パラメータ群Ｐを抽出するステップ（ｂ
−ａ）であって、前記誤差関数Ｓの値がχ2分布に従う
ことを利用して、更新された前記パラメータ群Ｐを用い
て計算した前記関数ｆ y（ｖs，Ｐ）が前記複数のサンプ
ルから得られた各々の特性量群ｇsの前記観測値を再現
できているかどうかを検定し、再現できている場合に
は、そのときの前記パラメータ群Ｐを、前記誤差関数Ｓ
の最小値を与えるパラメータ群として抽出するステップ
（ｂ−１）を含む物性モデルのパラメータ抽出方法であ
る。
【００３０】請求項３に記載の発明は、請求項２に記載
の物性モデルのパラメータ抽出方法であって、前記ステ
ップ（ｂ）は、前記ステップ（ｂ−１）において、前記
関数ｆy（ｖs，Ｐ）が前記複数のサンプルから得られた
各々の特性量群ｇsの前記観測値を再現できていない場
合には、前記パラメータ群Ｐを更新して求められた前記
誤差関数Ｓの値が最小値とみなすことができるかどうか
判断し、最小値とみなせる場合には、そのときの前記パ
ラメータ群Ｐを、前記誤差関数Ｓの最小値を与えるパラ
メータ群として抽出するステップ（ｂ−２）と、前記ス
テップ（ｂ−２）において、前記誤差関数Ｓの値が最小
値とみなせなかった場合には、前記更新の回数が所定の
回数を超えたかどうか判断し、超えた場合には、そのと
きの前記パラメータ群Ｐを、前記誤差関数Ｓの最小値を
与えるパラメータ群として抽出し、超えなかった場合に
は、前記パラメータ群Ｐの更新を行って前記誤差関数Ｓ
の値を求め前記ステップ（ｂ−１）に戻るステップ（ｂ
−３）とをさらに含む物性モデルのパラメータ抽出方法
である。
【００３１】請求項４に記載の発明は、請求項３に記載
の物性モデルのパラメータ抽出方法であって、前記ステ
ップ（ｂ−３）において前記更新の回数が前記所定の回
数を超えたかどうか判断を行う際に、超えたと判断され
た場合には、そのときの前記パラメータ群Ｐを前記誤差
関数Ｓの最小値を与えるパラメータ群として抽出する代
わりに、前記誤差関数Ｓの最小値を与える前記パラメー
タ群Ｐを抽出する前記ステップ（ｂ−ａ）の手法を変化
させて、再び前記ステップ（ｂ−１）〜（ｂ−３）を行
う物性モデルのパラメータ抽出方法である。
【００３２】請求項５に記載の発明は、請求項１乃至請
求項４のいずれかに記載の物性モデルのパラメータ抽出
方法を単独で、若しくは予めコンピュータに備えられた
プログラムと相俟って、前記コンピュータに実行させる
プログラムが記録された、コンピュータ読み取り可能な
記録媒体である。
【００３３】請求項６に記載の発明は、請求項１乃至請
求項４のいずれかに記載の物性モデルのパラメータ抽出
方法を用いたデバイスモデリングを採用する特性シミュ
レーションと、前記特性シミュレーションに基づく物理
的プロセスとを実行して非線形素子を作製する非線形素
子の製造方法である。
【００３４】
【発明の実施の形態】＜実施の形態１＞ Ａ．基本的な考え方：本実施の形態は、誤差関数内の各
特性量についての誤差要素の値に大小の差があったとし
ても、誤差要素の値を各特性量ごとに充分に減少させる
ことができる物性モデルのパラメータ抽出方法である。
【００３５】本実施の形態の詳細な説明を行う前に、本
実施の形態の基本的な考え方について説明する。本実施
の形態においても従来の技術と同様、少なくとも一つの
外部要因からなる外部要因群ｖi（ｉ＝１，２，３，
…，ｍ）と、これらに対して得られる少なくとも一つの
特性量からなる特性量群ｇiとが非線形の関係にある非
線形素子の物性として、物性モデルが設定される。そし
てこの物性モデルは、複数のパラメータからなるパラメ
ータ群Ｐ及び外部要因群ｖiの関数ｆ（ｖi，Ｐ）として
設定される。また、この物性モデルに基づいた誤差関数
Ｓが設定される。
【００３６】ただし、本実施の形態においては、ｕ個
（ｕ≧２）の試作品の物性を観測またはデバイスシミュ
レーションで計算することにより得られた誤差要素の平
方を、対応する各特性量の観測値の分散で除した値を、
外部要因群の複数（例えば総数ｍ）に亘って総和したも
のを、物性モデルの誤差関数Ｓとして採用する。
【００３７】そして、この誤差関数Ｓの値が最小となる
パラメータの組み合わせを求めることでパラメータの抽
出を行う。
【００３８】なお、本発明は、上述のようにパラメータ
を有する関数で設定される物性モデルが採用される技術
であれば、半導体分野に限定されずに、他の分野、例え
ば電気、機械、化学の分野においても適用できる。以下
では半導体装置の製造方法の分野を例に取って説明す
る。
【００３９】Ｂ．半導体装置の製造方法への適用： ｂ１）半導体装置の製造方法の概観．図１は本発明が適
用可能なＬＳＩ装置の製造工程の概略を例示するフロー
チャートである。製造工程は設計工程群９０と、物理的
プロセスである半導体プロセス工程９０５とに大別され
る。設計工程群９０は機能設計工程９０１、論理設計工
程９０２、回路設計工程９０３、レイアウト設計工程９
０４に大別される。半導体プロセス工程９０５は設計工
程群９０から得られた情報に基づいて半導体プロセスを
遂行し、ＬＳＩ装置３００が得られる。
【００４０】回路設計工程９０３は回路シミュレータ
１、パラメータ抽出装置３を採用して実行される。その
他にも例えばタイミングシミュレータ２０１をも採用す
る場合がある。回路シミュレータ１は回路シミュレーシ
ョンを行う主体であり、そこで用いるパラメータを供給
するパラメータ抽出装置３には製造されたＬＳＩ装置３
００についての実測値や、デバイスシミュレータ２０２
からのシミュレーション結果が入力される。パラメータ
抽出装置３で決定されたパラメータが格納されるパラメ
ータデータベース２も、回路設計工程９０３において採
用されていても良い。図１においては回路設計工程９０
３において回路シミュレータ１、パラメータデータベー
ス２、パラメータ抽出装置３、タイミングシミュレータ
２０１が採用される態様を、回路設計工程９０３を示す
ブロックで囲んで示している。
【００４１】なお、図１は模式的に示されており、設計
工程群９０の有する各工程９０１〜９０４が独立して存
在する必要はなく、パラメータ抽出装置３はハードウェ
アとして個別に実現される必要もない。例えば設計工程
群９０の全体が、所定のプログラムに基づいて動作する
単体の計算機で実現されても良い。もちろんパラメータ
抽出装置３の処理を実行させるための専用ソフトウェア
を用いても良いし、従来から存在する、設計工程群９０
の全体を動作させるためのソフトウェアに対するパッチ
プログラムによって、パラメータ抽出装置３の処理を実
行させても良い。これらのソフトウェアやプログラムは
コンピュータ読み取り可能な記録媒体に記録させること
ができる。
【００４２】図２は本発明にかかるパラメータ抽出装置
３の動作を示すフローチャートである。まず、パラメー
タアナライザ、ＬＣＲメータ等の測定器を用いて測定さ
れた実測値が初期値決定部１１に入力される。これらの
測定器は自動制御によって動作することが望ましい。あ
るいはデバイスシミュレータ２０２から得られたデバイ
スシミュレーション結果が入力されても良い。
【００４３】デバイスモデリングにおけるパラメータを
決定するため、通常は繰り返し計算が行われる。この繰
り返し計算を効率良く行うため、初期値決定部１１にお
いてパラメータの初期値を決定する。この初期値を適切
に選定することが、最終的に得られるパラメータの精度
に大きく関与する。そのため、初期値決定部１１ではデ
バイスの動作領域や形状を限定した簡単なモデルを採用
し、陽的に、従って繰り返し計算を必要とすることなく
パラメータのうちの幾つかの初期値を決定する。
【００４４】例えばＭＩＳトランジスタの動作におい
て、ドレイン電圧Ｖdsが小さい線形領域でのドレイン電
流Ｉdsは、上述のようにほぼβ（Ｖgs−Ｖth−Ｖds／
２）Ｖdsで得られる。このようなモデルに基けば、ドレ
イン電流Ｉdsのゲート電圧Ｖgsに対する依存性を実測値
から求め、外挿及び傾きを計算してそれぞれしきい値電
圧Ｖth及び係数βが求められる。
【００４５】このように定まった幾つかのパラメータの
初期値が、実測値あるいはデバイスシミュレータ結果と
共にパラメータ最適化部１２へと与えられ、パラメータ
が決定される。パラメータ最適化部１２の動作の詳細に
ついては後述する。
【００４６】パラメータ最適化部１２から得られたパラ
メータを用いて計算されたデバイス特性は、実測値から
得られたデバイス特性、例えばドレイン電流Ｉdsのドレ
イン電圧Ｖdsに対する依存性と精度検証部（表示装置）
１３上で重ね合わせて表示され、決定されたパラメータ
の精度を視覚的に確認する。図２においてはドレイン電
流Ｉdsのドレイン電圧Ｖdsに対する依存性が種々のゲー
ト電圧Ｖ1，Ｖ2，Ｖ3に対してプロットされた場合が例
示されている。
【００４７】そしてパラメータの精度が満足すべきもの
であることが確認されれば、再利用可能とすべく、パラ
メータデータベース２へとパラメータが格納される。
【００４８】なお、図２は模式的に示されており、各部
１１〜１３が独立して存在する必要はない。例えばパラ
メータ抽出装置３の全体が、所定のプログラムに基づい
て動作する単体の計算機で実現されても良い。もちろん
パラメータ最適化部１２の処理を実行させるための専用
ソフトウェアを用いても良いし、従来から存在する、設
計工程群９０の全体を動作させるためのソフトウェアに
対するパッチプログラムによってパラメータ最適化部１
２の処理を実行させても良い。これらのソフトウェアや
プログラムはコンピュータ読み取り可能な記録媒体に記
録させることができる。それにより、物性モデルのパラ
メータ抽出方法をコンピュータに実行させることができ
る。
【００４９】また、本実施の形態に係る物性モデルのパ
ラメータ抽出方法を用いたデバイスモデリングを採用す
る特性シミュレーションを行い、その特性シミュレーシ
ョンに基づく物理的プロセスを実行してＭＩＳトランジ
スタ等の非線形素子を作製すれば、精度良くかつ計算コ
ストの低い特性シミュレーションに基づいて物理的プロ
セスが実行されるので、作製される非線形素子も設計仕
様に近く、またコストが低く実現できる。
【００５０】ｂ２）パラメータ抽出の概観．図３はパラ
メータ最適化部１２の処理を分解して示すフローチャー
トである。このフローチャートは、Ａ．節で説明された
誤差関数Ｓに対し、その最小値を与えるパラメータ群Ｐ
を抽出するステップを説明したものである。
【００５１】まず、ステップＳ０１において、数え上げ
的手法(combinatorial optimization method)やニュー
トン法系解法などの最小値ソルバを用いてパラメータ検
索が実行される。ここでいう最小値ソルバとは、パラメ
ータ群Ｐを更新しつつ、誤差関数Ｓの値を繰り返し求め
ることにより、その最小値を与えるパラメータ群Ｐを抽
出する解法のことを指す。最小値ソルバの例として、数
え上げ的手法をｂ３）節で、ニュートン法系解法をｂ
４）節で詳述する。
【００５２】そして、ステップＳ０２において誤差関数
Ｓの値が最小値とみなすことができるかどうか判断され
る。その判断は、各最小値ソルバに応じた収束判定条件
により行えばよい。そして、誤差関数Ｓの値が充分小さ
いと判断されれば誤差関数Ｓが収束したとみなして、そ
のときのパラメータ群Ｐを、誤差関数Ｓの最小値を与え
るパラメータ群として抽出する（ステップＳ０４）。
【００５３】一方、誤差関数Ｓの値が最小値とみなせな
かった場合には、ステップＳ０３において、パラメータ
群Ｐの更新回数♯Ｉter（初期値０）が所定の回数Ｉmax
を超えたかどうか判断される。そして、超えた場合には
誤差関数Ｓが収束したとみなして、そのときのパラメー
タ群Ｐが、誤差関数Ｓの最小値を与えるパラメータ群と
して抽出される。一方、超えなかった場合には、ステッ
プＳ０１に戻り、最小値ソルバがパラメータ群Ｐの更新
を行って誤差関数Ｓの値を再度、求める。
【００５４】なお、図３のフローチャートに示された
「♯Ｉter＋＋」は、更新回数♯Ｉterがインクリメント
されることを示している。
【００５５】さて、本実施の形態においては、Ａ．節で
説明したように、ＭＩＳトランジスタ等の非線形素子の
誤差関数Ｓは以下の式（２）で示される。
【００５６】
【数２】
【００５７】外部要因群ｖi、特性量群ｇiy、パラメー
タ群Ｐ、関数ｆy（ｖi，Ｐ）はいずれも、従来の技術の
説明で述べた通りであり、分散σiy 2は特性量群ｇiのｙ
番目の特性量の観測値の分散である。なおここでは、特
性量の種類がｙ個（ｙ＝１，２，…，ｚ）存在すること
を明示する目的で添え字ｙを表示し、ｙについての総和
を採る形式で表示している。
【００５８】ｉの採る任意の一つの値ｓにおける特性量
群ｇsは、以下の式（３）で表される。
【００５９】
【数３】
【００６０】ここで、ｇsyq（ｖs）は、ｑ番目のサンプ
ルに対して外部要因群ｖsが与えられた場合に得られる
特性量群ｇsのｙ番目の特性量の観測値であり、ｕはサ
ンプルの個数である。例えばチップ上に一つ形成される
ＭＩＳトランジスタを例に採れば、実デバイス製作また
はデバイスシミュレーションのいずれかで得られた複数
のチップのｑ番目のサンプルの、例えば１番目の特性量
のドレイン電流Ｉdsの外部要因群ｖsたる条件下での観
測値がｇs1q（ｖs）に相当する。なお式（３）を見れば
分かるように、特性量ｇsyはサンプル個々の物性の観測
値ｇsyq（ｖs）の平均値となっている。
【００６１】また、特性量群ｇsの分散σs 2および特性
量ごとの分散σsy 2は、以下の式（４）で表される。
【００６２】
【数４】
【００６３】なお、ここでいう分散σsy 2は不偏推定値
である。そのため、式（４）は、標本分散にｕ／（ｕ−
１）を乗じて得られる値となっている。すなわち、標本
分散の場合は式（４）の分母にｕ−１ではなくｕが用い
られる値となるが、サンプルの母集団の分散を不偏推定
値として表現するために、標本分散にｕ／（ｕ−１）を
乗じた値を式（４）に採用するのである。
【００６４】ここで特性量群ｇiyの各特性量の観測値の
分散σiy 2を誤差関数Ｓに導入した理由は以下の通りで
ある。
【００６５】式（２）に示すように、複数のサンプルの
観測値の分散σiy 2で各々の特性量ｇiyごとの誤差要素
の平方を除することにより、各特性量ｇiyにおいて生じ
る誤差要素の値に大小の差があったとしても、各特性量
ｇiyごとに分散σiy 2で除されることで、誤差要素に含
まれる観測値のばらつきや偏りの影響を補正することが
できる。すなわち、誤差関数Ｓは各特性量ｇiyについて
規格化された関数となり、特定の特性量ｇiyの誤差要素
が偏って誤差関数Ｓに強い影響を与えることがない。
【００６６】よって、各特性量において生じる誤差要素
の値に大小の差があったとしても、従来の技術における
第１の問題点のような問題は生じることなく、誤差要素
の値を各特性量ごとに充分に減少させることが可能な物
性モデルのパラメータ抽出方法を得ることができる。
【００６７】なお、図３においてステップＳ０１〜Ｓ０
４として記載された工程を、一体として処理させるため
のプログラムによって、コンピュータに対して実行させ
ることもできる。あるいはハードウエアを用いてステッ
プＳ０１〜Ｓ０４として記載された工程を一体として実
行してもよい。また、各ステップＳ０１〜Ｓ０４を独立
して実行させるプログラムによって、コンピュータに対
して実行させることもできる。
【００６８】あるいはステップＳ０１〜Ｓ０４として記
載された工程をそれぞれ別個に実行するハードウエアを
用いてパラメータ最適化部１２を構成しても良い。
【００６９】ｂ３）数え上げ的手法．数え上げ的手法の
例として、Simulated Annealingと呼ばれる手法や、Sim
ulated Diffusionと呼ばれる手法（以下それぞれ「ＳＡ
法」、「ＳＤ法」と仮称する）が公知である。例えばＳ
Ａ法を半導体素子に適用した例としては“Modeling of
Microwave Semiconductor Devices Using Simulated An
nealing Optimization”（Man-Kuan Vai, et al., IEEE
Trans. Electron Devices, Vol.ED-36, No4,pp761-76
2, Apr. 1989、以下「文献１」とする）があり、ＳＤ法
を半導体素子に適用した例としては“Fast Simulated D
iffusion: An Optimization Algorithmfor Multiminimu
m Problems and Its Application to MOSFET Model Par
ameterExtraction”（T. Sakurai, et al., IEEE Tran
s. computer-Aided Design, Vol.CAD-11, No2, pp228-2
33, Feb. 1992、以下「文献２」とする）がある。
【００７０】ＳＡ法、ＳＤ法では所定の更新量が与えら
れたパラメータを用いて誤差関数Ｓを求め、誤差関数Ｓ
が増大する場合には確率Ｑで上記更新量が与えられたパ
ラメータを、更新されたパラメータとして採用する。例
えば文献１では、更新の基礎量Ｖ0と乱数Ｒ（０≦Ｒ≦
１）とを用いて、パラメータの更新に供せられる更新量
としてΔＶ＝ＲＶ0を採用している。そしてΔＶだけ増
加したパラメータが所定の範囲を越えない限り、更新さ
れたパラメータとして次の計算に採用される。また文献
２では、誤差関数Ｓの勾配に比例した更新量がパラメー
タに加算され、この加算されたパラメータによって得ら
れた誤差関数Ｓの値が大きくなれば、確率Ｑを以てその
パラメータを更新されたパラメータとして採用する。具
体的には誤差関数Ｓの値を増大させたパラメータが得ら
れた場合には乱数Ｒを発生させ、これが確率Ｑ以下であ
ることを条件としてそのパラメータを更新されたパラメ
ータとして採用する。逆に、得られた誤差関数Ｓの値が
小さくなればそのパラメータを更新されたパラメータと
して採用する。
【００７１】ＳＡ法、ＳＤ法のいずれにもいわゆるメト
ロポリス法が採用される。メトロポリス法は例えば“Si
mulated Annealing Algorithms: An Overview”(Rob A.
Rutenbar, IEEE Circuits and Devices Magazine, Ja
n., 1989, pp19-25、以下「文献３」とする)に紹介され
ている。これをＳＡ法、ＳＤ法に則していえば、誤差関
数Ｓが増加量δＳ（＞０）だけ増加する確率Ｑを、ｅｘ
ｐ（−δＳ／Ｔ）として求め、０＜Ｑ≦１が成立する。
【００７２】ここで除数Ｔはパラメータを更新して繰り
返し計算を行う度に減少して更新される所定量である。
例えば文献１では擬温度（pseudo-temperature）と呼ば
れ、その初期値は５００以上に設定され、繰り返し計算
の度に９０％の値へと更新される。
【００７３】ＳＡ法、ＳＤ法において収束判定条件とし
ては、例えばパラメータの大きさが所定範囲内にあるか
否かや、乱数の発生回数が予め定められた上限に達した
か否かが採用される。あるいは擬温度Ｔが十分冷却され
たか否かが採用される。
【００７４】その他にも例えば、数え上げ的手法の収束
判定条件として、誤差関数Ｓが所定回数連続して減少す
るか否かを採用しても良い。
【００７５】すなわち、誤差関数Ｓが所定回数連続して
減少すれば、誤差関数Ｓはパラメータの更新を伴った繰
り返し計算に対して単調に減少すると判断して数え上げ
的手法を終了する。即ち、ｋ回目の繰り返し計算で得ら
れた誤差関数Ｓの大きさをＳ kとして式（５）を以て収
束判定条件とする。
【００７６】
【数５】
【００７７】連続して誤差関数Ｓの値が減少する回数ｔ
は、例えば６に設定される。この収束判定条件は図３に
おけるステップＳ０２に相当し、連続するｔ個の状態の
間、即ちパラメータ群Ｐを更新して行われたｔ回の計算
の間で、誤差関数Ｓが減少すればステップＳ０４へと進
み、そうでなければステップＳ０３へと進む。
【００７８】なおＳＤ法では、メトロポリス法に加え
て、更にブラウン運動の揺らぎの項（Brownian）もパラ
メータの更新量の一部として採用する。例えば文献２で
はパラメータの更新に供せられる更新量ｄｘとして、式
（６）が示されている。
【００７９】
【数６】
【００８０】但し式（６）ではパラメータ群Ｐ、誤差関
数Ｓに相当するものとしてそれぞれパラメータｘ、関数
ｆが採用されている。右辺第１項はドリフト項であり、
同第２項がブラウン運動の揺らぎに相当する。但しｄｗ
はガウスのランダムノイズ（Gaussian random noise）
である。
【００８１】ｂ４）ニュートン法系解法．誤差関数Ｓが
最小となる場合には、式（７）が満足されることにな
る。
【００８２】
【数７】
【００８３】これはパラメータ群Ｐを構成するパラメー
タｐ1，ｐ2，…，ｐnを未知変数とするｎ次の非線形連
立方程式である。この連立方程式を解くために繰り返し
計算が行われてパラメータ群Ｐが更新される。更新され
たパラメータ群Ｐに基づいて得られる誤差関数Ｓが単調
に減少する手法として、ニュートン法が最も一般的な数
値解法である。この解法においては、パラメータ群Ｐに
対する更新量ΔＰは式（８）の表記を用いて、式（９）
で計算される。
【００８４】
【数８】
【００８５】
【数９】
【００８６】但し、ｋ＝１，２，…，ｎであり、ＪTは
Ｊの転置行列を示している。また鉤括弧内は関数ｆ
（ｖ，Ｐ）のヘシアンを表している。
【００８７】更新量ΔＰを求める計算効率を向上させる
ために種々の近似手法が用いられており、例えばGauss-
Newton法では関数ｆの２階微分以上の項を無視して、
【００８８】
【数１０】
【００８９】を採用する。式（１０）からは、ＱＲ分解
を用いて、逐次的にパラメータ群Ｐが求められる。
【００９０】収束性を更に改善するために、ヘシアンの
近似として、誤差関数Ｓの大きさが小さくなる方向の成
分を強調するために対角項を付加するLevenberg-Marqua
rdt法が提案されている。この手法に関しては、例えば
“General Optimization andExtraction of IC Device
Model Parameters”(K. Dogains and D.L.Scharfetter,
IEEE Trans. Electron Devices, Vol.ED-30, No9, pp1
219-1228, Sep. 1983)に紹介されている。具体的には、
式（１１）に基づいて更新量ΔＰを計算する。
【００９１】
【数１１】
【００９２】ここで、Ｉは単位行列であり、diag（）
は、対角成分として（）内の行列の対角成分を採用し、
その他の成分としては零を有する行列を示す。また係数
λは繰り返し計算の開始当初は大きく、例えば０．１程
度に設定され、解の近傍においては零となるように設定
される。
【００９３】図４は、ニュートン法系解法において式
（１０）を用いた場合を示すフローチャートである。ス
テップ１２４において、第ｒ回目にパラメータ群Ｐ(r)
に対し、更新量［ＡTＡ］-1Ｃだけ増加させて、第（ｒ
＋１）回目に求められるパラメータ群Ｐ(r+1)を計算す
る。そしてステップ１２５においてパラメータ群Ｐ
(r+1)を用いて誤差関数Ｓを更新する。そしてステップ
１２６において、誤差関数Ｓが十分小さいか、即ち所定
の誤差範囲において零であるかが判断される。そして所
定の誤差範囲内で誤差関数Ｓが零であれば最適化は終了
し、そうでなければステップ１２７において回数ｒを１
増加させた後、ステップ１２４に戻る。
【００９４】ステップ１２６において、更新されたパラ
メータ群Ｐ(r+1)が更新前のパラメータ群Ｐ(r)と所定の
範囲内に収まると判断されれば、それ以上計算を続けて
もパラメータ群Ｐの精度を上げることができないので、
最適化は終了する。これがニュートン法系解法における
収束判定条件である。なお、所定の範囲内に収まらなけ
れば、ステップ１２７を介してステップ１２４へと戻
る。
【００９５】なお、図４におけるステップ１２４，１２
５が図３におけるステップＳ０１に相当し、図４におけ
るステップ１２６が図３におけるステップＳ０２に相当
する。
【００９６】Ｃ．変形：文献３ではメトロポリス法にお
いて確率をボルツマン分布の形で扱う場合を述べている
が、文献２に紹介されているようにローレンツ分布を採
用しても良い。また、ボルツマン分布を級数展開して、
その低次項から所定数の項以降を無視した関数を採用し
ても良い。
【００９７】＜実施の形態２＞本実施の形態は、実施の
形態１にかかる物性モデルのパラメータ抽出方法の変形
例であり、誤差要素の値を各特性量ごとに充分に減少さ
せることができるだけでなく、さらに、パラメータの抽
出を効率良くかつ迅速に行うことができる物性モデルの
パラメータ抽出方法である。
【００９８】式（２）に示された誤差関数Ｓを用いて、
物性モデルとして設定された関数ｆ y（ｖi，Ｐ）と観測
値とをフィッティングする際に、どの程度まで誤差関数
Ｓの値が減少すれば質の良いパラメータ群Ｐが得られた
と判断すればよいか、という問題がある。
【００９９】すなわち、従来の技術の説明において第２
の問題点として示したように、最小値ソルバとして数え
上げ的手法を用いると、真の最小値へ到達するのに必要
な計算負荷は膨大となってしまうという問題があった。
また、ニュートン法系解法を用いる場合には、局所最小
値に陥るという問題があった。
【０１００】そこで、何らかの基準に照らし合わせて誤
差の最小化の程度が充分に小さくなったと判断したとき
に、その段階で直ちに計算を終了させてパラメータ群Ｐ
の抽出を行う方が効率的である。
【０１０１】さて、式（２）に示された誤差関数Ｓに注
目すると、関数ｆy（ｖi，Ｐ）が観測対象となるｕ個の
サンプルの母集団についての特性量ｇiyの平均値を表し
ていると考えれば、この式（２）はχ2分布に従うと考
えられる。外部要因群ｖiの各バイアス点（例えばｖs）
において、特性量ｇsyの観測値の誤差要因が偶発的なも
のであるとすれば、その母集団における誤差分布は正規
分布をなしていると考えられ、また、式（２）中の特性
量ｇsyが各サンプルの物性の観測値を表し、分散σsy 2
が母集団の分散の不偏推定値を表しているからである。
【０１０２】よって、式（２）に示された誤差関数Ｓが
χ2分布に従うことを利用して、更新されたパラメータ
群Ｐを用いて計算した関数ｆy（ｖs，Ｐ）が複数のサン
プルから得られた各々の特性量群ｇsyの観測値を再現で
きているかどうかを検定し、再現できていると検定され
た場合には、そのときのパラメータ群Ｐを、誤差関数Ｓ
の最小値を与えるパラメータ群として抽出するようにす
ればよい。
【０１０３】この検定は、関数ｆy（ｖi，Ｐ）が観測対
象の母集団の平均値を表しているとの仮説が棄却される
か否かを判断することにより行える。すなわち、更新さ
れたパラメータ群Ｐの各値に基づいて誤差関数Ｓの値を
計算し、０からその値までのχ2分布関数の積分を行っ
て得られる確率の値が、所定の棄却水準の値の範囲内に
収まるかどうかによって仮説が棄却されるか否か判断す
るのである。そして、仮説が棄却される場合には、その
ときのパラメータ群Ｐを採用せずに更新を行う。一方、
仮説が棄却されなかった場合には、関数ｆy（ｖs，Ｐ）
が特性量群ｇsの観測値を再現できているとみなして、
そのときのパラメータ群Ｐを質の良いパラメータ群Ｐと
判断する。
【０１０４】具体的には、以下の手法により検定を行
う。まず、χ2分布関数は以下の式（１２）で表され
る。
【０１０５】
【数１２】
【０１０６】ここで、Ｆx（Ｓ）はχ2分布関数を、ｘは
自由度を、Γ（）はガンマ関数を、それぞれ表してい
る。なお、自由度ｘは、外部要因群ｖiのバイアス点の
数ｍとパラメータ群Ｐの数ｎとを用いてｘ＝ｍ−ｎ−１
として計算される。
【０１０７】そして、式（１２）を、以下の式（１３）
の左辺に示すように、Ｓ＝０からＳ＝Ｓ0（Ｓ0は更新さ
れたパラメータ群Ｐの各値に基づいて計算された誤差関
数Ｓの値）まで積分して、χ2分布関数の確率値を計算
する。
【０１０８】
【数１３】
【０１０９】ここで、右辺の（１−α）は棄却水準を表
し、αとしては例えば０．０１、０．０５、０．１０等
の値が採用される。
【０１１０】式（１３）に示すように、左辺の計算値が
右辺の値よりも小さくなれば、仮説は棄却されず、その
ときのパラメータ群Ｐが誤差関数Ｓの最小値を与えるパ
ラメータ群として採用される。一方、左辺の計算値が右
辺の値よりも大きくなれば、仮説は棄却され、そのとき
のパラメータ群Ｐは採用されず、関数ｆy（ｖs，Ｐ）が
特性量群ｇsの観測値を再現できていないと検定され
る。
【０１１１】なお、更新されたパラメータ群Ｐを用いて
計算した関数ｆy（ｖs，Ｐ）が特性量群ｇsyの観測値を
再現できていないと検定された場合には、実施の形態１
におけると同様の最小値ソルバの収束判定条件を用い
て、そのときのパラメータ群Ｐが誤差関数Ｓの最小値を
与えるかどうかを判断すればよい。
【０１１２】そして、最小値を与えると判断された場合
には、そのときのパラメータ群Ｐを、誤差関数Ｓの最小
値を与えるパラメータ群として採用し、最小値を与える
と判断されなかった場合には、実施の形態１におけると
同様、更新の回数に応じてパラメータ群Ｐの更新を行う
かどうか判断すればよい。
【０１１３】図５のフローチャートは、上記の一連のス
テップを表したものである。すなわち、ステップＳ１１
は数え上げ的手法やニュートン法系解法などの最小値ソ
ルバを行うステップであり、ステップＳ１２はχ2分布
関数の確率値を計算して、更新されたパラメータ群Ｐを
用いて計算した関数ｆy（ｖs，Ｐ）が特性量群ｇsyの観
測値を再現できているかどうかを検定するステップであ
る。そして、ステップＳ１３は最小値ソルバの収束判定
条件を満たすかどうかを判断するステップであり、ステ
ップＳ１４は更新の回数に応じてパラメータ群Ｐの更新
を行うかどうか判断するステップである。
【０１１４】そして、ステップＳ１２において再現でき
ていると検定されたとき、および、ステップＳ１３にお
いて収束判定条件を満たすと判断されたときには、いず
れも、誤差関数Ｓが収束したとみなして、そのときのパ
ラメータ群Ｐを、誤差関数Ｓの最小値を与えるパラメー
タ群として抽出する（ステップＳ１５）。また、ステッ
プＳ１４において、更新の回数＃Ｉterが所定の回数Ｉm
axを超えなかったと判断されたときにはパラメータ群Ｐ
を更新してステップＳ１１に戻り、超えたと判断された
ときにはそのときのパラメータ群Ｐを誤差関数Ｓの最小
値を与えるパラメータ群として抽出する（ステップＳ１
５）。
【０１１５】本実施の形態に係る物性モデルのパラメー
タ抽出方法を用いれば、誤差関数Ｓの値がχ2分布に従
うことを利用して関数ｆy（ｖs，Ｐ）が観測値を再現で
きているか検定を行い、再現できていると検定された場
合には、そのときのパラメータ群Ｐを、誤差関数Ｓの最
小値を与えるパラメータ群として抽出するので、誤差関
数Ｓの値が最小値とみなせる程度に収束するまで計算を
繰り返す必要はなく、パラメータ群の抽出を効率的かつ
迅速に行える。
【０１１６】また、ステップＳ１３，Ｓ１４を備えてい
るので、関数ｆy（ｖs，Ｐ）が観測値を再現できていな
いと検定された場合であっても、副次的にパラメータ群
Ｐの抽出を行うことができる。
【０１１７】＜実施の形態３＞本実施の形態は、実施の
形態２にかかる物性モデルのパラメータ抽出方法の変形
例である。すなわち、本実施の形態においては、図５に
示したフローチャートのうちステップＳ１４において更
新の回数＃Ｉterが所定の回数Ｉmaxを超えたときには、
そのときのパラメータ群Ｐを誤差関数Ｓの最小値を与え
るパラメータ群として抽出する代わりに、最小値ソルバ
の手法を変更する。そして、新たな最小値ソルバを用い
て、再度、関数ｆy（ｖs，Ｐ）が観測値を再現できてい
るかの検定、最小値ソルバの収束判定条件を満たすかど
うかの判断、および、更新の回数に応じてパラメータ群
Ｐの更新を行うかどうかの判断を行う。
【０１１８】図６は、本実施の形態の一例として、最初
に数え上げ的手法を最小値ソルバに採用し、更新の回数
＃Ｉterが所定の回数Ｉmaxを超えたときにはニュートン
法系解法を最小値ソルバに採用する場合のフローチャー
トである。すなわち、ステップＳ２１は数え上げ的手法
を行うステップであり、ステップＳ２２はχ2分布関数
の確率値を計算して、更新されたパラメータ群Ｐを用い
て計算した関数ｆy（ｖs，Ｐ）が特性量群ｇsyの観測値
を再現できているかどうかを検定するステップである。
そして、ステップＳ２３は最小値ソルバの収束判定条件
を満たすかどうかを判断するステップであり、ステップ
Ｓ２４は更新の回数に応じてパラメータ群Ｐの更新を行
うかどうか判断するステップである。なお、ステップＳ
２２において再現できていると検定されたとき、およ
び、ステップＳ２３において収束判定条件を満たすと判
断されたときには、いずれも、誤差関数Ｓが収束したと
みなして、そのときのパラメータ群Ｐを、誤差関数Ｓの
最小値を与えるパラメータ群として抽出する（ステップ
Ｓ２９）。また、ステップＳ２４において、更新の回数
＃Ｉterが所定の回数Ｉmaxを超えなかったと判断された
ときにはパラメータ群Ｐを更新してステップＳ２１に戻
る。
【０１１９】一方、ステップＳ２４において更新の回数
＃Ｉterが所定の回数Ｉmaxを超えたと判断されたときに
は、更新の回数＃Ｉterを初期値０に戻し、最小値ソル
バをニュートン法系解法に変化させる（ステップＳ２
５）。そして、ステップＳ２２〜Ｓ２４と同様のステッ
プＳ２６〜Ｓ２８を行う。
【０１２０】そして、ステップＳ２６において再現でき
ていると検定されたとき、および、ステップＳ２７にお
いて収束判定条件を満たすと判断されたときには、いず
れも、誤差関数Ｓが収束したとみなして、そのときのパ
ラメータ群Ｐを、誤差関数Ｓの最小値を与えるパラメー
タ群として抽出する（ステップＳ２９）。また、ステッ
プＳ２８において、更新の回数＃Ｉterが所定の回数Ｉm
axを超えなかったときにはパラメータ群Ｐを更新してス
テップＳ２５に戻り、超えたときにはそのときのパラメ
ータ群Ｐを誤差関数Ｓの最小値を与えるパラメータ群と
して抽出する（ステップＳ２９）。
【０１２１】また図７は、本実施の形態の他の一例とし
て、最初にニュートン法系解法を最小値ソルバに採用
し、更新の回数＃Ｉterが所定の回数Ｉmaxを超えたとき
には数え上げ的手法を最小値ソルバに採用する場合のフ
ローチャートである。図７に示すステップＳ３１〜Ｓ３
９は、数え上げ的手法を行うステップＳ２１とニュート
ン法系解法を行うステップＳ２５とを入れ替えた点を除
いては、図６と同様である。
【０１２２】図６の場合には、最初に数え上げ的手法を
行うので、大域的にある程度、誤差関数Ｓを最小値に近
づけることができ、その後、ニュートン法系解法によっ
て局所的な最小値を求めることができる。
【０１２３】一方、図７の場合には最初にニュートン法
系解法を行うので、計算負荷が小さく、早い段階で質の
良いパラメータ群Ｐを求めることができる場合がある。
そして、ニュートン法系解法で質の良いパラメータ群Ｐ
を求めることができなかったとしても、その後、数え上
げ的手法によりパラメータ群Ｐを求めることが可能であ
る。
【０１２４】本実施の形態に係る物性モデルのパラメー
タ抽出方法を用いれば、パラメータ群Ｐの更新の回数が
所定の回数を超えたかどうか判断を行う際に、超えたと
判断された場合には、そのときのパラメータ群Ｐを、誤
差関数Ｓの最小値を与えるパラメータ群として抽出する
代わりに、最小値ソルバの手法を変化させて、再び関数
ｆy（ｖs，Ｐ）が観測値を再現できているかの検定、最
小値ソルバの収束判定条件を満たすかどうかの判断、お
よび、更新の回数に応じてパラメータ群Ｐの更新を行う
かどうかの判断を行うので、例えば数え上げ的手法また
はニュートン法系解法のいずれか一方を最初に最小値ソ
ルバに採用しておき、その手法でパラメータ群Ｐを抽出
できなかった場合には、他方の手法を最小値ソルバに採
用し直してパラメータ群Ｐの抽出を再度試みることがで
きる。
【０１２５】
【発明の効果】請求項１に記載の発明によれば、ステッ
プ（ｂ）において、複数のサンプルの観測値の分散σiy
2で各々の特性量ｇiyとこれに対応する関数ｆy（ｖs，
Ｐ）との差の平方を除した値を、外部要因群の複数に亘
って総和することで誤差関数Ｓを求めるので、誤差関数
Ｓ内の各特性量において生じる誤差の値に大小の差があ
ったとしても、各特性量ごとに分散σiy 2で除されるこ
とで誤差に含まれる観測値のばらつきや偏りの影響を補
正することができる。よって、誤差関数Ｓは各特性量に
ついて規格化された関数となり、特定の特性量の誤差が
偏って誤差関数Ｓに強い影響を与えることはなく、誤差
の値を各特性量ごとに充分に減少させることが可能な物
性モデルのパラメータ抽出方法を得ることができる。
【０１２６】請求項２に記載の発明によれば、ステップ
（ｂ−１）において、誤差関数Ｓの値がχ2分布に従う
ことを利用して、関数ｆy（ｖs，Ｐ）が特性量群ｇsの
観測値を再現できているかどうかを検定し、関数ｆ
y（ｖs，Ｐ）が観測値を再現できていると検定された場
合には、そのときのパラメータ群Ｐを、誤差関数Ｓの最
小値を与えるパラメータ群として抽出するので、誤差関
数Ｓの値が最小値とみなせる程度に収束するまで計算を
繰り返す必要はなく、パラメータ群の抽出を効率的かつ
迅速に行える。
【０１２７】請求項３に記載の発明によれば、ステップ
（ｂ−１）において、パラメータ群Ｐを更新して求めら
れた誤差関数Ｓの値が最小値とみなすことができるかど
うか判断するステップ（ｂ−２）と、更新の回数が所定
の回数を超えたかどうか判断するステップ（ｂ−３）と
をステップ（ｂ）が含むので、関数ｆy（ｖs，Ｐ）が観
測値を再現できていないと検定された場合であっても、
副次的にパラメータ群Ｐの抽出を行うことができる。
【０１２８】請求項４に記載の発明によれば、ステップ
（ｂ−３）において更新の回数が所定の回数を超えたか
どうか判断を行う際に、超えたと判断された場合には、
そのときのパラメータ群Ｐを、誤差関数Ｓの最小値を与
えるパラメータ群として抽出する代わりに、ステップ
（ｂ−ａ）の手法を変化させて、再びステップ（ｂ−
１）〜（ｂ−３）を行うので、例えば数え上げ的手法ま
たはニュートン法系解法のいずれか一方を最初にステッ
プ（ｂ−ａ）に採用しておき、その手法でパラメータ群
Ｐを抽出できなかった場合には、他方の手法をステップ
（ｂ−ａ）に採用し直してパラメータ群Ｐの抽出を再度
試みることができる。
【０１２９】請求項５に記載の発明によれば、請求項１
乃至請求項４のいずれか一つに記載の物性モデルのパラ
メータ抽出方法をコンピュータに実行させることができ
る。
【０１３０】請求項６に記載の発明によれば、精度良く
かつ計算コストの低い特性シミュレーションに基づいて
物理的プロセスが実行されるので、作製される非線形素
子も設計仕様に近く、またコストが低く実現できる。
【図面の簡単な説明】
【図１】 本発明に係るＬＳＩ装置の製造工程の概略を
例示するフローチャートである。
【図２】 本発明に係るパラメータ抽出装置の動作を示
すフローチャートである。
【図３】 実施の形態１に係る物性モデルのパラメータ
抽出方法を示すフローチャートである。
【図４】 ニュートン法系解法を示すフローチャートで
ある。
【図５】 実施の形態２に係る物性モデルのパラメータ
抽出方法を示すフローチャートである。
【図６】 実施の形態３に係る物性モデルのパラメータ
抽出方法を示すフローチャートである。
【図７】 実施の形態３に係る物性モデルのパラメータ
抽出方法を示すフローチャートである。
【符号の説明】
１ 回路シミュレータ、９０３ 回路設計工程。

Claims (6)

    【特許請求の範囲】
  1. 【請求項１】 （ａ）少なくとも一つの外部要因からな
    る外部要因群の複数ｖi（ｉ＝１，２，…，ｍ）の各々
    に対応して、それぞれ１乃至ｚ番目（ｚ≧２）の特性量
    ｇiy（ｙ＝１，２，…，ｚ）からなる特性量群ｇiが得
    られる物性に関し、各々の前記特性量群ｇs（ｓはｉの
    採る任意の一つの値を示す）に対応する計算値の各々
    を、対応する前記外部要因群ｖs及び複数のパラメータ
    からなるパラメータ群Ｐの関数ｆy（ｖs，Ｐ）として与
    える物性モデルを適用するステップと、 （ｂ）複数のサンプルの前記物性を観測することにより
    得られた前記特性量ｇ iyの観測値の分散σiy 2で、各々
    の前記特性量ｇiyとこれに対応する前記関数ｆy（ｖi，
    Ｐ）との差の平方を除した値を、前記外部要因群の複数
    に亘って総和することで誤差関数Ｓを求め、前記誤差関
    数Ｓに対し、その最小値を与える前記パラメータ群Ｐを
    抽出するステップとを備える物性モデルのパラメータ抽
    出方法。
  2. 【請求項２】 請求項１に記載の物性モデルのパラメー
    タ抽出方法であって、 前記ステップ（ｂ）は、 前記パラメータ群Ｐを更新しつつ、前記誤差関数Ｓの値
    を繰り返し求めることにより、その最小値を与える前記
    パラメータ群Ｐを抽出するステップ（ｂ−ａ）であっ
    て、 前記誤差関数Ｓの値がχ2分布に従うことを利用して、
    更新された前記パラメータ群Ｐを用いて計算した前記関
    数ｆy（ｖs，Ｐ）が前記複数のサンプルから得られた各
    々の特性量群ｇsの前記観測値を再現できているかどう
    かを検定し、再現できている場合には、そのときの前記
    パラメータ群Ｐを、前記誤差関数Ｓの最小値を与えるパ
    ラメータ群として抽出するステップ（ｂ−１）を含む物
    性モデルのパラメータ抽出方法。
  3. 【請求項３】 請求項２に記載の物性モデルのパラメー
    タ抽出方法であって、 前記ステップ（ｂ）は、 前記ステップ（ｂ−１）において、前記関数ｆy（ｖs，
    Ｐ）が前記複数のサンプルから得られた各々の特性量群
    ｇsの前記観測値を再現できていない場合には、前記パ
    ラメータ群Ｐを更新して求められた前記誤差関数Ｓの値
    が最小値とみなすことができるかどうか判断し、最小値
    とみなせる場合には、そのときの前記パラメータ群Ｐ
    を、前記誤差関数Ｓの最小値を与えるパラメータ群とし
    て抽出するステップ（ｂ−２）と、 前記ステップ（ｂ−２）において、前記誤差関数Ｓの値
    が最小値とみなせなかった場合には、前記更新の回数が
    所定の回数を超えたかどうか判断し、超えた場合には、
    そのときの前記パラメータ群Ｐを、前記誤差関数Ｓの最
    小値を与えるパラメータ群として抽出し、超えなかった
    場合には、前記パラメータ群Ｐの更新を行って前記誤差
    関数Ｓの値を求め前記ステップ（ｂ−１）に戻るステッ
    プ（ｂ−３）とをさらに含む物性モデルのパラメータ抽
    出方法。
  4. 【請求項４】 請求項３に記載の物性モデルのパラメー
    タ抽出方法であって、 前記ステップ（ｂ−３）において前記更新の回数が前記
    所定の回数を超えたかどうか判断を行う際に、超えたと
    判断された場合には、そのときの前記パラメータ群Ｐを
    前記誤差関数Ｓの最小値を与えるパラメータ群として抽
    出する代わりに、前記誤差関数Ｓの最小値を与える前記
    パラメータ群Ｐを抽出する前記ステップ（ｂ−ａ）の手
    法を変化させて、再び前記ステップ（ｂ−１）〜（ｂ−
    ３）を行う物性モデルのパラメータ抽出方法。
  5. 【請求項５】 請求項１乃至請求項４のいずれかに記載
    の物性モデルのパラメータ抽出方法を単独で、若しくは
    予めコンピュータに備えられたプログラムと相俟って、
    前記コンピュータに実行させるプログラムが記録され
    た、コンピュータ読み取り可能な記録媒体。
  6. 【請求項６】 請求項１乃至請求項４のいずれかに記載
    の物性モデルのパラメータ抽出方法を用いたデバイスモ
    デリングを採用する特性シミュレーションと、 前記特性シミュレーションに基づく物理的プロセスとを
    実行して非線形素子を作製する非線形素子の製造方法。
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