JP2001076172A - 曲面発生方法及びその装置並びに記憶媒体 - Google Patents

Abstract

(57)【要約】 【課題】曲面発生処理を容易に実行でき、しかも、様々
な曲面に関しても自由に、且つ、要求に適合した曲面を
発生できるようにすること。 【解決手段】３次元座標（ｏ−ｘｙｚ）における複数の
離散点ａ１〜ａ５を与え、そられの点を含む曲面Ｓを発
生する方法である。３次元座標の２つの座標成分（ｘ，
ｚ）を入力とし他の１つの座標成分ｙを出力とするニュ
ーラルネットワークに、離散点の２つの座標成分（ｘ，
ｚ）を入力して、そのニューラルネットワークの出力が
その離散点の他の座標成分ｙとなるような学習を複数の
離散点に関して実行する。学習させたニューラルネット
ワークを用いて、任意の点における２つの座標成分
（ｘ，ｚ）を入力して他の座標成分ｚを得ることにより
曲面上Ｓの点の３つの座標成分（ｘ，ｙ，ｚ）を決定す
ることで、離散点を通過する曲面Ｓを発生させることが
できる。

Description

【発明の詳細な説明】

【０００１】

【発明の属する技術分野】本発明は、ニューラルネット
ワークを用いた曲面発生方法、曲面発生装置、及びコン
ピュータに実行させる曲面発生手順を記録した記録媒体
に関する。

【０００２】

【従来の技術】最近、３次元ＣＡＤによる３次元画像の
作成や、モデルの形成に３次元曲面を発生させることが
重要になってきている。従来の方法は、部分的領域毎に
曲面関数を決定する方法であり、与えられた点を含む曲
面の方程式の係数を連立方程式を解いて得るというもの
である。

【０００３】

【発明が解決しようとする課題】しかしながら、この方
法は操作が結構面倒であり、必ずしも使用勝手の良いも
のではなかった。又、曲面関数の型が予め決定されてい
るので、その曲面の持つ特性が反映されてしまい、必ず
しも、滑らかな自由曲面が形成されないという問題があ
る。さらに、得られた曲面関数を保存するには、部分領
域毎に曲面関数の係数をデータとして記憶する必要があ
る。さらに、点群データとして、曲面の値を得ている場
合には、データ量が膨大となり、データの保存やデータ
の送信等に問題があるという欠点があった。

【０００４】そこで、本発明は、上記の課題を解決する
ために成されたものであり、曲面発生処理を容易に実行
でき、しかも、様々な曲面に関しても自由に、且つ、要
求に適合した曲面を発生できるようにすることを目的と
する。

【０００５】

【課題を解決するための手段及び作用効果】本発明は、
３次元座標における複数の離散点を与え、そられの点を
含む曲面を発生する方法において、３次元座標の２つの
座標成分を入力とし他の１つの座標成分を出力とするニ
ューラルネットワークに、離散点の２つの座標成分を入
力して、そのニューラルネットワークの出力がその離散
点の他の座標成分となるような学習を複数の離散点に関
して実行し、学習させたニューラルネットワークを用い
て、任意の点における２つの座標成分を入力して他の座
標成分を得ることにより曲面上の点の３つの座標成分を
決定することで、曲面を発生させることを特徴とする。

【０００６】ニューラルネットワークの学習が完了すれ
ば、学習させた全ての離散点を面上に含む（概ね面上に
存在し、近似的に含む場合も含む）関数がニューラルネ
ットワークの結合係数により特定されることになる。よ
って、ニューラルネットワークの補間機能を使用するこ
とで、上記の学習させた離散点以外の点の２つの座標成
分をニューラルネットワークに入力させれば、他の残り
の１つの座標成分を得ることができる。これにより、３
つの座標成分により面上の点が得られることになる。学
習が完了したニューラルネットワークは、学習させた離
散点を通る滑らかな曲面（平面を含む）を記憶すること
になる。即ち、ニューラルネットワークによる補間機能
であれば、曲面関数の形を決定しているわけではないの
で、離散点を最も滑らかに接続する曲面が得られること
になる。又、離散点の数を増加させてニューラルネット
ワークを学習させれば、それだけ、より意図する曲面を
発生させることができる。

【０００７】尚、３次元座標系は、直交座標系（Ｏ−ｘ
ｙｚ座標系）、球面座標系（Ｏ−ｒθφ座標系）、円筒
座標系（Ｏ−ｚｒθ座標系）使用することができる。
尚、座標成分は、最大値が１に規格化するのが望まし
い。例えば、0.0 〜1.0 で指定できる直交座標系に変換
できる面であればいかなる面でも構わない。学習させる
ための離散点は、これらの座標系における座標成分を与
えることになる。又、３次元座標系は独立変数が３つの
座標系の意味である。又、３次元座標系は生成する対象
物において発生させる曲面毎に設定しても良いし、共通
に設定しても良い。従って、画面全体において共通に３
次元座標系を決定しなくとも、部分領域毎に３次元座標
系を決定しても良い。又、発生させる曲面毎にニューラ
ルネットワークに入力させる２つの座標成分を異なるも
のとしても良い。

【０００８】他の発明は、求められた曲面の記憶は、学
習されたニューラルネットワークの結合係数を記憶する
ことによって行う。この結合係数を記憶することで、曲
面上の全ての点の座標を発生させることができる。よっ
て、曲面上の全ての点の座標値を記憶するわけではない
ので、データ数を減少させて、メモリを節約できると共
に、曲面に関するデータを送信する場合にも、データ数
が少ないため短時間で行うことが可能となる。

【０００９】曲面が複雑な場合には、領域に分割して、
各領域毎にニューラルネットワークを学習させることに
なる。そして、曲面に関するデータは、各領域毎のニュ
ーラルネットワークの結合係数である。各領域毎にそれ
ぞれのニューラルネットワークに点の２つの座標を入力
して他の１つの座標を出力させることで、平面上の点を
特定することが可能となる。

【００１０】他の発明は、第１の発明を実現する装置に
関するものである。即ち、３次元座標における複数の離
散点を与え、そられの点を含む曲面を発生する曲面発生
装置において、３次元座標の２つの座標成分を入力とし
他の１つの座標成分を出力とするニューラルネットワー
クと、ニューラルネットワークに前記離散点の２つの座
標成分を入力する入力手段と、入力手段により入力され
た２つの座標成分に関して、ニューラルネットワークの
出力がその離散点の他の座標成分となるように、ニュー
ラルネットワークの学習を複数の離散点について実行す
る学習手段と、学習させたニューラルネットワークを用
いて、任意の点における２つの座標成分を入力して他の
座標成分を得ることにより曲面上の点の３つの座標成分
を決定することで、曲面を発生させる曲面形成手段とか
ら成ることを特徴とする。

【００１１】入力手段により離散点の２つの座標成分を
ニューラルネットワークに入力して、学習手段によりニ
ューラルネットワークの出力が他の第３の座標成分とな
るように学習される。この学習が完了したニューラルネ
ットワークを用いれば、任意の点における２つの座標成
分を入力すれば、他の第３の座標成分を出力させること
で、曲面上の点を発生させることができる。このように
して、学習させる離散点を任意に与えることで、その離
散点を通過（離散点に接近している場合を含む）する曲
面を発生させることができる。又、曲面の記憶は、ニュ
ーラルネットワークの結合係数で行うことができるの
で、データ数を減少できる。よって、メモリの節約、デ
ータ伝送時間の短縮を図ることが可能となる。

【００１２】他の発明は、上記の装置において、コンピ
ュータに実行させる手順を記憶したコンピュータ読み取
り可能な記録媒体である。よって、上記した作用及び効
果を有する。

【００１３】

【望ましい実施の形態】以下、本発明を具体的な実施例
に基づいて説明する。本発明は、上記の特徴を有するも
のであり、以下の実施例はその特徴を具体化して説明す
るものであるので、本発明は以下の実施例に限定される
ものではない。

【００１４】１）平面発生装置の構成 本装置は、図１に示すように、主としてＣＰＵ１、ハー
ドディスク（以下、ＨＤと記す）２、ＲＡＭ３、キーボ
ード（以下、ＫＢと記す）４、表示器であるＣＲＴ６、
ＣＲＴ６の画面上の位置表示とクリック指定を与えるマ
ウス７、ＲＯＭ８とから成るコンピュータシステムで構
成されている。ＨＤ２には、ニューラルネットワークの
演算プログラムが記憶されたニューラルネットワーク領
域２２、ニューラルネットワークを学習させるためのプ
ログラムが記憶された学習プログラム領域２３、３次元
座標系が表示された画面上の点をマウスポインタで指定
したり、キーボードで座標値を入力したりして、その点
の３つの座標成分を得るプログラムを記憶した入力プロ
グラム領域２４、ニューラルネットワークを用いて指定
され領域に属する各画素点の２つの座標成分を入力し
て、その点の第３の座標成分を得ることで各画素の３次
元座標成分を決定することで曲面を発生させるプログラ
ムを記憶した曲面発生プログラム領域２５とが形成され
ている。

【００１５】ＲＡＭ３には、画面上の指定された離散点
における３つの座標成分を入力して、そのうち２つの座
標成分を入力データとして記憶する入力データ記憶領域
３１、他の１つの座標成分を教師データとして記憶する
教師データ記憶領域３２、ニューラルネットワークの結
合係数を記憶する結合係数領域３３とが形成されてい
る。これらの画面上の点を指定することで入力された入
力データ及び教師データは、ＨＤ２の所定の領域にも保
存されるように構成されている。又、ＨＤ２のニューラ
ルネットワーク領域２２、学習プログラム領域２３、曲
面発生プログラム領域２５に保存されているプログラム
を実行形式プログラムとして格納するプログラム領域３
４、各種のデータを一時的に記憶する作業領域３５が、
ＲＡＭ３に形成されている。

【００１６】ＣＰＵ１には入出力インタフェース５を介
して各種の指令を与えるためのＫＢ４と、ニューラルネ
ットワークの出力によって決定される座標成分により面
上の点を発生することで、曲面画像を表示するＣＲＴ６
と、画面上において複数の離散点をポインタで指定する
マウス７とが接続されている。

【００１７】２）画面上の離散点（教師点）の指定 次に、ＣＲＴ６上において、離散的な教師点を指定する
方法について説明する。図２の（ａ）に示すように、Ｃ
ＲＴ６上において、まず、プリミティブ形状が形成され
る。即ち、設定する座標系において、２つの座標軸で形
成される座標面がプリミティブ形状として形成される。
図２（ａ）の場合には、Ｏ−ｘｙｚ直交座標系におい
て、ｘｚ面がプリミティブ形状とされている。ｘ座標と
ｚ座標とがニューラルネットワークに入力される２つの
座標成分となり、ｙ座標成分がニューラルネットワーク
の出力となる。又、球座標であれば、ｒ軸に垂直な球
面、経度軸φと法線軸ｒとで構成される緯度軸θに垂直
な面、緯度軸θと法線軸ｒとで構成される経度軸φに垂
直な面をプリミティブ形状として定義することができ
る。又、円筒座標であれば、法線軸に垂直な円筒面、ｚ
軸に垂直なｒθ面、経度θ軸に垂直なｚｒ面（円筒を軸
方向に切断する面）をプリミティブ形状として定義する
ことができる。座標系としては描きたい曲面に最適な任
意の座標系を用いることができる。プリミティブ形状
は、この座標系における３つの座標平面のうちの任意の
１つを選択することが可能である。ニューラルネットワ
ークでは、プリミティブ形状面上の点の座標成分を入力
して、その面に垂直な座標成分を決定するものである。
よって、このプリミティブ形状面を適正に選択すること
により、発生させる曲面の基本的成分が決定されること
になり、より複雑な曲面を発生させることが可能とな
る。従来の空間曲面関数で曲面を発生させるには、関数
型をいろいろ準備しておく必要がある。しかし、本発明
では、プリミティブ形状を選択することで、発生曲面の
基礎面が形成され、その面に対する垂直成分がニューラ
ルネットワークの補間機能により滑らかに発生できると
いう効果がある。

【００１８】図２の（ｂ）に示すように、発生させる曲
面において、必ず通過させたい特徴点ａ１〜ａ５を離散
点として指定する。この離散点のｘ座標成分、ｚ座標成
分がニューラルネットワークの入力値となり、ｙ座標成
分が教師データとなる。このようにして、特徴点を離散
点として指定することで、各点の２つの座標成分が入力
データ、他の第３の座標成分が教師データとして入力さ
れる。次に、図４に示すように、２つの素子を有する入
力層と、１つの素子を有する出力層と、その間の任意の
階層で、任意の素子数を有する中間層とから成るニュー
ラルネットワークに上記の各離散点のｘ座標成分、ｚ座
標成分を入力して、その出力が教師データのｙ座標成分
となるように学習させる。

【００１９】そして、この学習させたニューラルネット
ワークに、プリミティブ形状の上の任意の点におけるｘ
座標成分、ｚ座標成分を入力すれば、その点のプリミテ
ィブ形状面に垂直なｙ座標成分を得ることができる。こ
のようにして、曲面上の点の座標成分（ｘ，ｙ，ｚ）が
得られる。この処理をプリミティブ形状面上の全ての点
において実施すれば、図２の（ｃ）に示すように、特徴
点ａ１〜ａ５を通過する曲面Ｓを得ることができる。

【００２０】図３は、ＣＰＵ１による上記の処理手順を
示している。ステップ１００で、上述のプリミティブ形
状面が各種の候補の中から選択される。即ち、座標系の
指定と基準となる面の指定である。次に、ステップ１０
２において、画面上で、図２の（ｂ）に示す特徴点ａ１
〜ａ５をマウスで指定する。尚、特徴点の座標成分の入
力は、キーボードから直接入力するようにしても良い。
これにより、各特徴点の座標（ｘ，ｙ，ｚ）が生成され
る。プリミティブ形状面上の座標（ｘ，ｚ）は、入力デ
ータ記憶領域３１に、座標ｙは教師データ記憶領域３２
に記憶される。次に、ステップ１０４において、それら
の値を用いてニューラルネットワークの学習が実行され
る。

【００２１】ニューラルネットワークの構成は、図４に
示す通りである。このニューラルネットワークの演算手
順は図５に示す通りである。このニューラルネットワー
クの学習手順は、図６に示す通りである。

【００２２】このようにして得られた学習用データを用
いて、ニューラルネットワークを学習させるが、まず、
ニューラルネットワークの構成について次に説明する。 ３）ニューラルネットワークの構成 本実施例のニューラルネットワーク１０は、図４に示す
ように、入力層ＬI と出力層ＬO と中間層ＬM の３層構
造に構成されている。入力層ＬI は座標成分ｘ，ｚに対
応して２個の入力素子を有し、出力層ＬO は座標成分ｙ
に対応して１個の出力素子を有し、中間層ＬM はｆ個の
出力素子を有している。

【００２３】多層構造のニューラルネットワークは、一
般的に、次の演算を行う装置として定義される。第i 層
の第j 番目の素子の出力Oⁱ _j は、次式で演算される。但
し、i ≧2 である。

【００２４】

【数１】 Oⁱ _j =f(Iⁱ _j) （１）

【数２】

【数３】 f(x)=1/｛1+exp(-x)｝ （３）

【００２５】但し、Vⁱ _j は第i 層の第j 番目の演算素子
のバイアス、W^i-1 _k, ⁱ _jは、第i-1 層の第k 番目の素子と
第i 層の第j 番目の素子間の結合係数、O¹ _j は第1 層の
第j番目の素子の出力値を表す。即ち、第1 層であるか
ら演算を行うことなく、そのまま入力を出力するので、
入力層（第１層）の第j 番目の素子の入力値でもある。

【００２６】次に、図４に示す３層構造のニューラルネ
ットワーク１０の具体的な演算手順について図５を参照
して説明する。ステップ２００において、中間層（第２
層）の第j 番目の素子は、入力層（第１層）の各素子か
らの出力値O¹ _j （第１層の入力データ）を入力して、
（２）式を層番号と第１層の素子数を用いて具体化した
次式の積和演算を行なう。

【数４】

【００２７】次に、ステップ２０２において、次式によ
り、（４）式の入力値の積和関数値のシグモイド関数に
より、中間層（第２層）の各素子の出力が演算される。
第２層の第j 番目の素子の出力値は次式で演算される。

【００２８】

【数５】 O² _j=f(I² _j )=1/｛1+exp(-I² _j) ｝ （５） この出力値 O² _j は出力層（第３層）の各素子の入力値
となる。次に、ステップ２０４において、出力層（第３
層）の各素子の入力値の積和演算が実行される。

【００２９】

【数６】 次に、ステップ２０６において、（５）式と同様に、シ
グモイド関数により、出力層の各素子の出力値O³ _jが演
算される。

【００３０】

【数７】 O³ _j=f(I³ _j)=1/｛1+exp(-I³ _j)｝ （７）

【００３１】ニューラルネットワークは上記のようにし
て、各画素のｘ座標成分、ｚ座標成分を入力して、その
画素のｙ座標成分を出力するように構成されている。

【００３２】次に、上記のニューラルネットワークの学
習方法について説明する。４）ニューラルネットワーク
の学習このニューラルネットワークは、各離散点を指定
して得られたｘ，ｚ値と、その値に対応するｙ値の教師
データを用いて、図６に示す手順で学習される。結合係
数は良く知られたバックプロパーゲーション法により実
行される。この学習は、各種の事象に関する多数の入力
データに対して、それぞれの出力が、それぞれの最適な
教師データとなるように、繰り返し実行される。

【００３３】図６のステップ３００において、変数ｉ，
ｊに初期値１が設定され、ステップ３０２において、変
数ｉに対応する入力データと教師データとが読み込まれ
る。ステップ３０４において、次式により出力層の各素
子の学習信号が演算される。

【数８】 Y³ _j=(T_j-δ_j)・f^'(I³ _j) （８） 但し、T_j は任意の出力δ_jに対する教師データであり、
外部から付与される。又、f^'(x) はジグモイド関数の導
関数である。

【００３４】次に、ステップ３０６において、全成分に
関して学習が完了したか否かが判定され、学習が完了し
ていなければ、ステップ３０８で変数を次の値に更新し
て、ステップ３０４で次の出力成分に関する学習信号が
演算される。尚、図４のニューラルネットワークでは出
力層の成分数は１である。ステップ３０６で全成分に関
して学習信号の演算が完了すると、ステップ３１０にお
いて、中間層の学習信号Y が次式で演算される。

【数９】

【００３５】
次に、ステップ３１２において、出力層
の各結合係数が補正される。補正量は次式で求められ
る。

【数１０】 Δω² _i, ³ _j(t)=P・Y³ _j・f(I² _i)+Q・Δω² _i, ³ _j(t-1) （１０） 但し、Δω² _i, ³ _j(t) は、出力層の第j 番目の素子と中
間層の第i 番目の素子との間の結合係数の第t 回目演算
の変化量である。又、Δω² _i, ³ _j(t-1) は、その結合係
数の前回の補正量である。P,Q は比例定数である。尚、
P が大きい程、結合係数の補正量が大きいので、学習感
度、あるいは学習速度( 収束速度) が大きくなるが、振
動する可能性が生じ易くなる。又、Q が大きい程、前回
の補正量が反映されるので、結合係数の変化の安定性が
高くなり、結果として収束は速くなる。

【００３６】補正された結合係数は、上記の補正量を用
いて、

【数１１】 W² _i, ³ _j+Δω² _i, ³ _j(t) →W² _i, ³ _j （１１） により、求められる。次に、ステップ３１４へ移行し
て、中間層の各素の結合係数が補正される。その結合係
数の補正量は出力層の場合と同様に、次式で求められ
る。

【００３７】

【数１２】 Δω¹ _i, ² _j(t)=P・Y² _j・f(I¹ _i)+Q・Δω¹ _i, ² _j(t-1) （１２） よって、結合係数は、

【数１３】 W¹ _i, ² _j + Δω¹ _i, ² _j(t) →W¹ _i, ² _j （１３） により、補正された結合係数が求められる。

【００３８】次に、ステップ３１６において、学習対象
の全ての入力データに対して１回の学習が完了したか否
が判定される。全ての入力データに対する学習が終了し
ていない場合には、ステップ３１８へ移行して、次の入
力データとその入力データに対応する教師データが学習
対象データとして設定される。そして、ステップ３０２
に戻り、次の入力データに関する学習が実行される。こ
のようにして、全入力データに関して１回の学習が完了
すると、ステップ３１６の判定結果がYES となり、ステ
ップ３２０へ移行する。

【００３９】ステップ３２０では、ニューラルネットワ
ークの出力値と教師データの差( 誤差) が十分に小さく
なったか否かが判定される。誤差が十分に小さくなって
いなければ、ステップ３００に移行して、全入力データ
に関する第２回目の学習を実行するために、最初の入力
データとそれに対応する教師データとが学習対象データ
として設定される。このように、上記した学習演算が繰
り返し実行される。このようにして、ステップ３１２に
おいて、誤差が所定の値以下となるまで、上記の学習演
算が繰り返し実行される。この結果、初期の広範囲の事
象に関して初期学習されたニューラルネットワークが完
成される。

【００４０】以上のようにして、離散点の（ｘ、ｚ）座
標成分と、ｙ座標成分との対応関係がニューラルネット
ワークにおいて学習される。そして、学習されたニュー
ラルネットワークを用いて、全ての点におけるｘ，ｚ座
標成分が、順次、ニューラルネットワークに入力され、
順次、ｙ座標成分を出力させて、図３に示すように、画
像データのピクセルに対応して全画素の座標成分ｙが得
られる。このようにして、図２（ｃ）に示すように、滑
らかな曲面Ｓを発生させることができる。

【００４１】滑らかな曲面Ｓを発生させた後、その曲面
が所望のものでなければ、所望の曲面に対して誤差が大
きい部分で教師点としての離散点を指定して、再度、学
習させることで、その新たな教師点を通過する曲面が得
られる。このように、所望の曲面に対して誤差の大きい
部分に対して、教師点を追加設定することで、発生させ
る曲面はより所望の曲面に近づく。

【００４２】装置及びプログラム上は、教師点としての
離散点の指定が完了すれば、自動的にニューラルネット
ワークの学習が行われ、学習が完了した時点で、指定さ
れた領域の曲面を自動的に発生させるようにすれば良
い。このようにすることで、教師点の設定が完了した時
点で、その教師点を通過する曲面を表示させることがで
きる。この表示曲面を見て、誤差の大きい部分において
教師点を追加設定することで、この追加設定された教師
点を通過する滑らかな曲面を発生させることができる。
このように曲面の発生と修正とを連続して実行すること
で、次第に所望の曲面を得ることが可能となる。得られ
た曲面に対して、次に隣接する領域に関して、同様に、
教師点を設定して、上述したような処理を実行すること
で、次の隣接する滑らかな曲面を発生させることが可能
となる。

【００４３】尚、請求項における入力手段及び入力手順
は、上記実施例では、離散点を指定して指定画素の座標
成分ｘ，ｙ，ｚを入力する図３のステップ１０２で構成
されている。又、請求項の学習手段及び学習手順は、図
６の各ステップで構成されている。又、請求項の曲面形
成手段、曲面形成手順は、図３のステップ１０６で、ニ
ューラルネットワーク及びその処理手順は図４及び図５
の各ステップで構成されている。

【００４４】上記実施例において、ＨＤ２は記録媒体の
一種であるが、これらの上述したプログラムは、ＦＤ、
ＣＤ−ＲＯＭ等の可搬媒体であっても良い。又、インタ
ーネット上でプログラムを供給する場合には、供給元の
サーバコンピュータのハードディスク等も記録媒体とな
る。又、曲面発生のためのデータはニューラルネットワ
ークの結合係数で記憶される。よって、この結合係数だ
けを伝送すれば、遠隔地においてもこの結合係数をニュ
ーラルネットワークに組み込むことで、発生させた曲面
と同一曲面を容易に得ることができる。又、本発明を、
３次元ＣＡＤの一部の機能に組み込んで、任意の曲面発
生をこの発明で実行させるようにしても良い。

【図面の簡単な説明】

【図１】本発明の具体的な第１実施例に係る装置の構成
を示したブッロク図。

【図２】同実施例装置における曲面発生の手順を示した
説明図。

【図３】同実施例装置における曲面発生の処理手順を示
したフローチャート。

【図４】同実施例に係るニューラルネットワークの構成
を示した構成図。

【図５】同実施例に係るニューラルネットワークの演算
手順を示したフローチャート。

【図６】同実施例に係るニューラルネットワークの学習
手順を示したフローチャート。

【符号の説明】

１０…ニューラルネットワーク ＬI …入力層 ＬM …中間層 Ｌo …出力層

Claims (6)

【特許請求の範囲】
1. 【請求項１】 ３次元座標における複数の離散点を与
   え、そられの点を含む曲面を発生する方法において、 前記３次元座標の２つの座標成分を入力とし他の１つの
   座標成分を出力とするニューラルネットワークに前記離
   散点の２つの座標成分を入力して、そのニューラルネッ
   トワークの出力がその離散点の他の座標成分となるよう
   な学習を前記複数の離散点に関して実行し、 学習させたニューラルネットワークを用いて、任意の点
   における２つの座標成分を入力して他の座標成分を得る
   ことにより曲面上の点の３つの座標成分を決定すること
   で、曲面を発生させることを特徴とする曲面発生方法。
2. 【請求項２】 求められた曲面の記憶は、前記学習され
   たニューラルネットワークの結合係数を記憶することに
   よって行うことを特徴とする請求項１に記載の曲面発生
   方法。
3. 【請求項３】 ３次元座標における複数の離散点を与
   え、そられの点を含む曲面を発生する曲面発生装置にお
   いて、 前記３次元座標の２つの座標成分を入力とし他の１つの
   座標成分を出力とするニューラルネットワークと、 前記ニューラルネットワークに前記離散点の２つの座標
   成分を入力する入力手段と、 前記入力手段により入力された２つの座標成分に関し
   て、前記ニューラルネットワークの出力がその離散点の
   他の座標成分となるように、前記ニューラルネットワー
   クの学習を前記複数の離散点について実行する学習手段
   と、 前記学習させたニューラルネットワークを用いて、任意
   の点における２つの座標成分を入力して他の座標成分を
   得ることにより曲面上の点の３つの座標成分を決定する
   ことで、曲面を発生させる曲面形成手段と、 から成ることを特徴とする曲面発生装置。
4. 【請求項４】 求められた曲面の記憶は、前記学習され
   たニューラルネットワークの結合係数を記憶することに
   よって行うことを特徴とする請求項２に記載の曲面発生
   装置。
5. 【請求項５】 ３次元座標における複数の離散点を与
   え、そられの点を含む曲面を発生させる以下の一連の処
   理手順をコンピュータに実行させるプログラムを記憶し
   た記録媒体において、 前記３次元座標の２つの座標成分を入力とし他の１つの
   座標成分を出力とするニューラルネットワークの処理手
   順と、 前記３次元座標における前記複数の離散点を指定するこ
   とで離散点の３つの座標成分を得る手順と、 前記離散点の２つの座標成分を前記ニューラルネットワ
   ークに入力して、その出力がその離散点の他の座標成分
   となるような学習を前記複数の離散点に関して実行させ
   る手順と、 学習させたニューラルネットワークを用いて、任意の点
   における２つの座標成分を入力して他の座標成分を得る
   ことにより曲面上の点の３つの座標成分を決定すること
   で、曲面を発生させる手順のうちの少なくとも１つの手
   順を記録した記録媒体。
6. 【請求項６】 求められた曲面の特定は、前記学習され
   たニューラルネットワークの結合係数によって行い、こ
   の結合係数を出力又は送信する手順を有する請求項５に
   記載の記録媒体。