JP2000293707A - 点集合への曲面の当てはめ方法及び装置 - Google Patents

Abstract

(57)【要約】 【課題】３次元空間に分布する点集合の滑らかに変化す
る曲面を求めること。 【解決手段】本発明の実施例では、線又は面を構成する
複数のノードの位置を変更する方法が、（ａ）与えられ
た各点を最も近いノードへ関連づけるステップと、
（ｂ）各ノードにおいて隣接するノードから第１の量を
計算するステップと、（ｃ）各ノードに関連づけられた
点から第２の量を計算するステップを含む。

Description

【発明の詳細な説明】

【０００１】

【発明の属する技術分野】本発明は、ノード列を用いた
曲線又はノード群を含むメッシュを用いた曲面の生成に
関する。

【０００２】

【従来の技術】測定などによって得られた離散的な点の
集合が与えられ、それらの点集合に沿った滑らかな曲
線、曲面形状を求めたいという問題がある。この問題
は、数値計算の分野では近似問題などに分類され、非常
に多くの分野で利用されている。

【０００３】例えば、ＣＡＤやＣＧの分野では、３次元
測定器で測定した点集合から曲面を生成する問題も上記
の問題の一例と考えられており、曲線又は曲面がいかに
もっともらしく与えられた点集合を近似しているかを評
価するための指標として、与えられた点と生成される曲
線、曲面との距離の２乗和がよく利用される。

【０００４】この２乗和を最小にするような曲線、曲面
を求める方法が、最小２乗法と呼ばれる方法である。曲
線の場合を例に取ると、図１に示すように点集合（１１
０、１２０、１３０、１４０、１５０、１６０）と曲線
１７０が与えられたとき、各点と曲線上の最短距離にあ
る点（１１７、１２７、１３７、１４７、１５７、１６
７）との間に、その最短距離に比例して力が増加するバ
ネ（１１５、１２５、１３５、１４５、１５５、１６
５）を取り付け、全てのバネが安定する状態が２乗和が
最小の状態と解釈できる。この状態のとき、バネの内部
エネルギーの和が最小となっている。

【０００５】一般的に、最小２乗法では、調節可能なパ
ラメータを含む何らかの評価関数を仮定し、２乗和最小
の条件を満たすように評価関数のパラメータを決定す
る。この評価関数として、例えば、比較的低次の切断べ
き多項式を複数つないだスプライン関数などが用いられ
る。しかし、この何らかの評価関数を仮定しなければな
らないということが、特に曲面の場合には最小２乗法に
おいては、解法を非常に複雑にする場合がある。

【０００６】例えば、図２の左側２１０に示すように、
チェスボードのような正方形等の構造的な曲面の集合を
点集合に当てはめるという問題であれば、スプライン関
数のような評価関数を用いることができるため、解法は
簡単である。一方、図２の右側２６０に示すような、１
つの頂点２９０に４つ以上（この例では、６つ）の稜線
が集まるような非構造な曲面の集合を点集合に当てはめ
たい場合、解法は更に複雑になる。

【０００７】ここで、構造的な曲面の集合とは、個々の
曲面が四辺形であり、かつ全ての頂点において４つの稜
線が集まるような曲面の集合のことであり、非構造的と
は、構造的ではない曲面の意味である。

【０００８】スプライン関数は、図２の２１０のような
チェスボードのような構造の場合にのみ用いられる関数
であるため、図２の２６０のような非構造的な場合には
何らかの別の関数を評価関数として用いる必要がある。

【０００９】更に、その評価関数は、ある曲面の評価関
数のパラメータが決定されたときに、隣の曲面との間で
自動的に滑らかに接続されるようなものである必要があ
る。これは最終的に生成される曲面集合が滑らかに接続
されるための条件である。

【００１０】例えば、図２の２１０のように構造的でス
プライン関数が使える場合は、その関数の定義自体に隣
との接続条件を埋め込むことが可能であるので、滑らか
さの条件を特に考慮する必要はない。

【００１１】また、図３の３０５のように、３角形（３
１０、３２０等）や４角形（３３０等）の要素が混在し
ている場合には、３角形と４角形とに別個の評価関数を
割り当てる必要がある。図３の３５５のように、３角形
（３９０等）、４角形（３８０等）、５角形（３６０、
３７０等）、６角形などの要素が混在する場合には、更
に話は複雑となる。もっと簡単にもっともらしい曲面を
生成する方法に対するニーズがあり、係る方法を提供す
るというのが本発明である。

【００１２】点集合に対する曲面の当てはめに関する問
題は、古典的な問題であり、例えばＣＡＤの分野だけを
考えても、非常に多くの手法が提案されている。それら
の手法は、主に（１）評価関数がチェスボードのように
構造的に配置されている場合の手法、（２）評価関数が
非構造的に配置されている場合の手法、の２種類の手法
に分類することができる。

【００１３】分類（１）の手法の一例として、文献[ROG
ERS89]「 D. F. Rogers, N. G. Fog, Constrained B-sp
line curve and surface fitting, Computer Aided Des
ign,Vol. 21, No.10, 1989, pp. 641-648.」のようにB-
スプライン曲面を使った点集合の補間手法がある。

【００１４】一方、（２）に分類される手法として、文
献[Zienkiewicz77]「 O. C. Zienkiewicz, The finite
element method, third edition, McGraw-Hill, 197
7.」に紹介されているように、要素が長方形か４角形か
３角形かに応じて、自動的に隣の要素との滑らかな接続
条件を満たす評価関数が提案されている。これらの評価
関数を用いて、薄板の曲げ問題を解くことにより曲面を
生成するのが、分類（２）で良く用いられる手法であ
る。

【００１５】いま、任意の輪郭形状で囲まれた領域内部
に点集合に当てはめた曲面を生成する問題を考える。ま
ず分類（１）の手法は適用できない。なぜならば（１）
の手法は、構造的に４角形に限定されるからである。一
方、分類（２）の手法は、一般にプログラミングが困難
である。ましてや３角形要素や４角形要素が混在してい
る場合は、それらごとに評価関数を定義する必要があ
り、それら同士の接続条件なども考慮するとよりプログ
ラミングは困難性を伴う。

【００１６】結局、５角形や６角形の要素が１つでも存
在する場合には、良い評価関数が提案されていないのが
現状である。

【００１７】文献[YAMADA98]「Atsushi Yamada, Kenji
Shimada, Tomotake Furuhata, Ko Hsiu Hou, Node posi
tion change method and apparatus（米国出願０９／２
１６，５８２）」

【００１８】文献[YAMADA98]で、与えられた拘束条件を
満たす滑らかな曲面形状を成すメッシュを生成する手法
が述べられている。この手法で用いられている隣接ノー
ド間に作用する力と、与えられた点集合からノードへ作
用する力とを足し合わせることにより、メッシュを与え
られた点集合に対して最小２乗的に当てはめる手法を、
本発明では提案する。

【００１９】本発明で提案する方法では、陽に評価関数
を定義しないため、生成したい曲面が３角形や４角形の
混在であっても、また５角形や６角形が混ざっていて
も、区別なく１つのアルゴリズムで曲面を生成すること
ができるという顕著な特徴を有する。

【００２０】更に、アルゴリズムが非常に単純であるの
で、短時間で本発明を適用したプログラムをコーティン
グすることができる。すなわち、プログラム開発に掛か
るコストも少なくて済む。

【００２１】また、生成される曲面は、厳密に２乗和を
最小にしているわけではないが、それに近いもっともら
しい曲面となる。

【００２２】上述の説明においては、本発明の概念をわ
かりやすく説明するために、曲面を点集合に当てはめる
と説明したが、厳密にいえば本発明により当てはめられ
るのは、曲面ではなく多角形の集合により構成されるメ
ッシュである。

【００２３】本発明に対する入力は、（１）３次元空間
にばらまかれた点集合と、（２）ノードと要素（３角形
や４角形などの多角形）によって構成される初期メッシ
ュである。また、本発明の出力は、曲面式ではなく、メ
ッシュを構成するノードの座標値とそのノードにおける
法線ベクトルである。

【００２４】もし曲面式が必要な場合には、本発明のア
ルゴリズム終了後、得られた座標値及び法線ベクトルか
ら、例えば、文献[PETERS90]「Jorg Peters, Local cub
ic and bicubic C1 surface interpolation with line
arly varying boundary normal, Computer Aided Geome
tric Design, Vol. 7,1990, pp499-516.」等に記載され
た手法により、曲面式を生成することは可能である。

【００２５】

【発明が解決しようとする課題】本願発明が解決しよう
とする課題の１つは、３次元空間に分布する点集合の滑
らかに変化する曲面を求めることにあり、より具体的に
は、初期メッシュの複数のノードの位置を変更すること
により、多角形の集合からなる滑らかに変化する曲線又
は曲面を生成することである。

【００２６】本発明が解決しようとする課題の１つは、
生成したい曲面が３角形や４角形の混在であっても、ま
た５角形や６角形が混ざっていても、区別なく１つのア
ルゴリズムで曲面を生成することである。

【００２７】

【課題を解決するための手段】本発明の実施例では、線
又は面を構成する複数のノードの位置を変更する方法
が、（ａ）与えられた各点を最も近いノードへ関連づけ
るステップと、（ｂ）各ノードにおいて隣接するノード
から第１の量を計算するステップと、（ｃ）各ノードに
関連づけられた点から第２の量を計算するステップと、
を含む。

【００２８】本発明の他の実施例では、線又は面を構成
する複数のノードの位置を変更する方法、（ａ）与えら
れた各点を最も近いノードへ関連づけるステップと、
（ｂ）各ノードにおいて隣接するノードから第１の量を
計算するステップと、（ｃ）各ノードに関連づけられた
点から第２の量を計算するステップと、（ｄ）前記第１
及び第２の量に対応して、ノードの位置を変更するステ
ップと、を含む。

【００２９】本発明の他の実施例では、線又は面を構成
する複数のノードの位置を変更する方法が、（ａ）与え
られた各点を最も近いノードへ関連づけるステップと、
（ｂ）各ノードにおいて隣接するノードから第１の量を
計算するステップと、（ｃ）各ノードに関連づけられた
点から第２の量を計算するステップと、（ｂ）各ノード
において隣接するノードから第３の量を計算するステッ
プと、を含む。

【００３０】

【発明の実施の形態】Ａ．アルゴリズムの概要 本発明に対する入力として、（１）３次元空間にばらま
かれた点集合と、（２）ノードと要素（３角形や４角形
などの多角形）によって構成される初期メッシュが与え
られていると仮定する。初期メッシュを構成する要素
は、３角形や４角形に限らず、ｎ角形が混在していても
良い。

【００３１】初期メッシュの生成方法は、どのような点
集合がばらまかれているかにも依存するが、例えば、与
えられた点集合から投影平面を決定し、その投影平面上
にメッシュを生成すれば良い。

【００３２】本明細書において、「点」とは３次元空間
にばらまかれた点集合の構成要素のことを意味し、「ノ
ード」とはメッシュの構成要素としての点のことを、主
に意味しているものとする。

【００３３】本アルゴリズムの処理の概要のフローチャ
ートを図１６に示し、Ｃ言語風の疑似コードを表１に示
した。このアルゴリズムを実行することにより、ばらま
かれた点集合を最小２乗近似したメッシュのノード座標
値とそのノードにおける法線ベクトルとが出力として得
られる。

【００３４】表１に示される様に、本発明のアルゴリズ
ム全体は、主に４つのステップにより構成される。この
４つのステップの反復計算を所定の終了条件が満たされ
るまで繰り返す。

【００３５】

【表１】

【００３６】ステップ１（Step 1）では、メッシュを構
成する各ノードに対して単位法線を計算する。

【００３７】ステップ２（Step 2）では、入力として与
えられた各点に対して、その最近傍にあるノードを計算
する。

【００３８】ステップ３（Step 3）では、３種類の力に
よる変位ベクトルを足し合わせて、ノードの位置ベクト
ルに加算する。

【００３９】ステップ４（Step 4）では、ステップ１〜
３を繰り返すか否か、終了条件が判断される。

【００４０】ステップ３は、更に３つのステップ（ステ
ップ３−１〜３−３）に分解することができる。ステッ
プ３−１（Step3-1）において計算される１つめの力
は、隣接ノード間の辺が円弧に近づくように隣接ノード
間に働く力Ｖｂｅｎｄであり、この力の作用によりメッ
シュは滑らかな曲面形状を構成する。Ｖｂｅｎｄによる
変位ベクトルは、そのノードで計算した法線方向のベク
トルである。

【００４１】ステップ３−２（Step3-2）による２つめ
の力Ｖｓｔｒｅｔｃｈは、ノードの分布を均一にするよ
うに隣接ノード間に働く力であり、Ｖｓｔｒｅｔｃｈの
作用により反復過程で不均一になるノード分布が可能な
限り均一になる。尚，Ｖｓｔｒｅｔｃｈによる変位ベク
トルは、ステップ３−１（Step3-1）のＶｂｅｎｄによ
る変位ベクトルと直交する（すなわち、法線方向と直交
する）ベクトルであり、ステップ３−１（Step3-1）に
よる変位を妨げないような変位ベクトルである。入力す
る初期メッシュが最終のメッシュにある程度近い形状で
ある等の場合には、このステップ３−２は省略可能であ
る。

【００４２】ステップ３−３（Step3-3）による３つめ
の力Ｖｆｉｔは、与えられた点集合からノードに対して
働く力であり、Ｖｆｉｔの作用により、各ノードは与え
られた点に対して引き寄せられる。尚、Ｖｆｉｔによる
変位ベクトルは、ステップ３−１（Step3-1）のＶｂｅ
ｎｄによる変位ベクトルと同じ向き（すなわち、法線方
向と同じ向き）のベクトルである。

【００４３】図１６には本発明の主な処理の流れがフロ
ーチャートを用いて示されている。ステップ１６１０か
ら処理が開始される。

【００４４】ステップ１６２０において、全ノードの単
位法線が順次計算される。実際には、反復を繰り返すご
とに、各ノードにおける単位法線を計算する。

【００４５】ここで、ノードPiの単位法線Niを計算する
ことを考える。ノードPiに隣接する各要素（３角形や４
角形など）に対して法線を計算し、それらの法線をN0,
N1,…, Nmと記述する。ここで各法線の大きさは、要素
の面積に比例して計算しておくものとする。これらの要
素の法線を使ってノードPiの単位法線Niを以下の式によ
り計算する。 Ni = ( N0 + N1 + … + Nm ) / | N0 + N1 + … + Nm |（式Ａ） あるいは、要素の法線N0, N1, …,Nmを単位法線ベクト
ルとして計算しておき、上式によりNiを計算しても良
い。単位法線Niの計算には上述の方法以外にもいくつか
の方法が考えられる。例えば、ノードPiとそれに隣接す
るノードP0,…,Pmとから近似的にそれらの点を通過する
球面を生成し、その球面のPiにおける法線をPiの法線と
して決定しても良い。

【００４６】ステップ１６２５において、与えられた各
点への最近傍ノード（あるいは要素）への関連づけ処理
が行われる。

【００４７】入力された各点に対して、その一番近傍に
あるノード（あるいは要素）を求める。最近傍ノードを
求めた場合には、そのノードに入力された点を関連づ
け、最近傍要素を求めた場合には、その要素を構成する
各ノードに入力された点を関連づける。

【００４８】最近傍ノードの探索方法としては、例え
ば、入力された点と全てのノードとの距離を比較するこ
とにより一番距離の短いノードを最近傍ノードとする。
また、最初の一回目の反復では、上述の方法で最近傍ノ
ードを決定し、計算された距離を比較することにより最
近傍ノードを計算するが、２回目からは、前回の最近傍
ノードの近傍のみを探索することも可能である。尚、ス
テップ１６２５は、必ずしも反復のたびに行う必要はな
く、反復数回に対して一度実行するだけでも良い。

【００４９】ステップ１６２７において、ノードの番号
ｉに初期値として０が代入される。図１６に示された例
では、全ノードの数はｉｍａｘ＋１である。

【００５０】ステップ１６３０において、隣接ノードか
らの曲げの力による変位ベクトルＶｂｅｎｄの計算が行
われる。ノードPiにおいて、隣接するノードから受ける
曲げの力による変位ベクトルＶｂｅｎｄを計算する。ノ
ードPiはそれに隣接するノードP0, P1, …, Pmそれぞれ
から力の作用を受けるが、隣接するノードP0, P1, …,
Pmの中の１つであるPjから受ける力による変位ベクトル
の計算方法についてまず説明する。

【００５１】図４には、Ｖｂｅｎｄの説明が記載されて
いる。図４を参照して、Pi４１０を通りその単位法線Ni
４３０に沿う直線をLi４１２、Pj４２０を通りその単位
法線Nj４４０に沿う直線をLj４２２とし、直線Li４１
２, Lj４２２の最短距離の足に相当する点をそれぞれHi
４１４, Hj４２４とする。このとき、Pi４１０に対して
Pj４２０から作用する力によるPi４１０の変位ベクトル
Vjを以下の式により計算する。 Vj = ( |Pj-Hj| - |Pi-Hi| ) Ni（式Ｂ） 尚、ここで| V | はベクトルVの長さを表すスカラー値
である。同様にして隣接する全てのノードP0, P1, …,
Pmに対してそれぞれ、上式と同様にして変位ベクトルV
0, V1, …, Vmを計算する。

【００５２】このように計算されたV0, V1, …, Vmを使
って、ノードPiの変位ベクトルＶｂｅｎｄを以下の式に
より決定する。 Vbend = ( V0 + V1 + … + Vm ) / (m+1)（式Ｃ） 又は、 Vbend = ( Len0 V0 + Len1 V1 + … + Lenm Vm ) / (Len0 + Len1 + … + Lenm) （式Ｄ） ここで、Len0,…Lenmは、V0, …, Vmを足し合わせると
きの重み係数であり、例えば以下の式等で計算される。 Lenj = |Pi-Pj| (j = 0,1, …, m) この重み付け方法は、PiとPjとの距離に応じて重み付け
た例である。

【００５３】ステップ１６３５において、隣接ノードか
らの伸びの力による変位ベクトルＶｓｔｒｅｔｃｈが計
算される。

【００５４】いまノードPiにおける変位ベクトルＶｓｔ
ｒｅｔｃｈを計算することを考える。ノードPiの周辺に
隣接しているノードをP0, P1, …, Pmと表記すると、ま
ずノードPiを、ノードP0, P1, …, Pmからなる多角形の
重心に移動する変位ベクトルを計算する。その変位ベク
トルからPiにおける法線方向の成分を削除して、接平面
に沿う方向の成分だけを残した変位ベクトルを、変位ベ
クトルＶｓｔｒｅｔｃｈと定義する。すなわち、Ｖｓｔ
ｒｅｔｃｈを次の式により計算する。 Vstretch = Vc0 - Vc1（式Ｅ） Vc0 = ( P0 + P1 + … + Pm ) / (m + 1) - Pi, Vc1 = dot(Vc0, Ni) Ni 但し、ここでNiはノードPiにおける単位法線を表し、do
t(V1, V2)はベクトルV1,V2の内積を表す。

【００５５】ステップ１６４０において、ステップ２
（１６２５）で関連づけた点からの力による変位ベクト
ルＶｆｉｔを計算する。ステップ２（１６２５）では、
入力された各点に対して近傍ノードを関連づけた。逆に
ノードの側から見ると、（１）点が１つも関連づけられ
ていないノードと、（２）１個又は複数個の点が関連づ
けられているノードとが存在することになる。

【００５６】（１）の点が関連づけられていないノード
に対しては、変位ベクトルＶｆｉｔを零ベクトルとす
る。一方（２）の点が関連づけられているノードに関し
ては、以下に述べる手法により変位ベクトルＶｆｉｔを
計算する。

【００５７】図５には、Ｖｆｉｔを説明するための図で
ある。図５を参照して、今ノードPi５１０に対して、入
力された点P0, P1, …, Pmが関連づけられているものと
する。Piは、P0, P1, …, Pmの各点から力の作用を受け
るわけだが、P0,P1, …, Pmの中の１つの点Pj５３０か
ら受ける力による変位ベクトルVjを、以下の式により計
算する。 Vj = kj dot(Ni, Pj-Pi) Ni（式Ｆ）

【００５８】但し、ここでNi５２０はノードPi５１０に
おける単位法線を表し、dot(V1, V2)はベクトルV1,V2の
内積を表し、kjは重み係数を表すスカラー値である。上
式の意味は、PiからPjへのベクトルの単位法線Ni方向の
成分をkj倍したものと解釈できる。同様にして各点P0,
P1, …, Pmに対してそれぞれ、上式と同様にして変位ベ
クトルV0,V1, …, Vmを計算する。

【００５９】このように計算されたV0, V1, …, Vmを使
ってノードPiの変位ベクトルＶｆｉｔを以下の式により
計算する。 Vfit = ( V0 + V1 + … + Vm) / (m + 1)（式Ｇ） 又は Vfit = ( Len0 V0 + Len1 V1 + … + Lenm Vm ) / (Len0 + Len1 + … + Lenm) （式Ｇ２） 式Ｇ２は、V0,…, Vmに重みを付けて足し合わせた場合
の式である。重みLenJ(j=0,…,m)の決定方法は、例えば
PjからPiの接平面におろした足とPiとの距離に応じて重
み付ける方法等が考えられる。

【００６０】このＶｆｉｔが最小２乗和に相当している
ことについて説明する。図１で、２乗和が最小の状態と
は、各点と曲線上の最短距離にある点との間にその最短
距離に比例して力が増加するバネを取り付け、全てのバ
ネが安定する状態と等価であると説明した。上式で求め
たVjは、与えられた点Pjから、Piにおける接平面への最
短距離に比例した力による変位と考えることができる
（図５参照）。

【００６１】従って、メッシュが十分な密度のノードに
より構成されていてるとき、点Pjと曲面との距離は、点
Pjと最近傍ノードの接平面との距離で近似できると考え
ると、ここで計算したＶｆｉｔは最小２乗和とほぼ等価
であるといえる。

【００６２】ステップ１６４５において、Ｖｓｔｒｅｔ
ｃｈ、Ｖｂｅｎｄ、Ｖｆｉｔから最終的な変位ベクトル
Ｖａｌｌが計算され、ステップ１６５０において、ノー
ドPiの位置ベクトルにＶａｌｌの値が加算される。

【００６３】最終的な変位ベクトルＶａｌｌは、以下の
式により計算される。 Vall = Vbend + Vstretch + Vfit（式Ｆ） 以上のように計算されたＶａｌｌを現在対象としてるノ
ードの座標に加算することにより、ノードPiの新しい座
標値が求まる（ステップ１６５０）。この実施例では、
Ｖａｌｌとして、Ｖｂｅｎｄ、Ｖｓｔｒｅｔｃｈ及びＶ
ｆｉｔの和を用いている（式Ｆ）が、ＶａｌｌとしてＶ
ｂｅｎｄ及びＶｆｉｔの和を用いることも可能である。

【００６４】ステップ１６５５において対象となるノー
ドPiが最後のノードか否かが判断される。ｉ＝ｉｍａｘ
が成り立つときに、対象ノードは最後のノードであるた
め、ステップ１６６０に移行し、ｉ＝ｉｍａｘではない
ときは、ｉを１つ増分し（ステップ１６６５）、ステッ
プ１６３０へ移行し、再度ステップ１６３０からステッ
プ１６５０までの処理を繰り返す。

【００６５】ここでＶｍａｘはスカラー値とする。ステ
ップ１６６０において、反復の終了が判断される。反復
を終了させるための条件としていくつかの方法が考えら
れる。例えば、ノードの変位ベクトルＶａｌｌの大きさ
が一定の値以下（｜Vall｜ <Vmax）であれば、反復を終
了させるという条件が考えられる。

【００６６】すなわち、各ノードPiに対して、それに隣
接するノードP0, P1, …, Pmに関して距離|Pi-P0|, |Pi
-P1|, …, |Pi-Pm|の最小値、平均値、あるいは最大値
を計算しそれをLiとする。各ノードPiに対して、変位ベ
クトルの大きさDi =|Vall|を計算する。これらから各ノ
ードPiに対してDi / Liを計算する。これはノード間の
距離によって正規化されたノードの移動量を表す。この
ように各ノードに対して計算された正規化されたノード
の移動量の、最大値あるいは平均値が与えられたしきい
値以下であれば、反復を終了させることができる。但
し、曲面の当てはめの目的のためには必ずしもこの方法
により終了判定を行う必要はなく、他の判定条件を用い
ても良い。

【００６７】上述の本願発明の方法を、与えられた点集
合に対してメッシュを当てはめた適用例を示す。図６〜
１５では、点集合と、その点集合に当てはめられたメッ
シュが示されている。

【００６８】図６及び図７と図８及び図９の与えられた
点は同じであり、当てはめた要素及びメッシュの細かさ
が異なる。図６と図７とは、同じメッシュを異なる視点
から見たものである。図６は上面（視点１）から見た図
であり、図７は側面（視点２）から見た図である。図６
及び図７は、全て４角形要素からなるが非構造なメッシ
ュを当てはめた例である。特に図７を見ると与えられた
点集合に対して４角形のメッシュが良く当てはめられて
いることが分かる。

【００６９】図８と図９とは、同じメッシュを異なる視
点から見たものである。図８は上面（視点１）から見た
図であり、図９は側面（視点２）から見た図である。図
８及び図９は、４角形の中に５角形が混在しているメッ
シュを当てはめた例である。特に図９を見ると与えられ
た点集合に対して４角形及び５角形のメッシュが良く当
てはめられていることが分かる。

【００７０】図１０と図１１は、図６〜９で与えられた
点集合よりも更に与えられた点集合にばらつきがある場
合の適用例である。図１０は上面（視点１）から見た図
であり、図１１は側面（視点２）から見た図である。図
１０及び図１１は、３角形のメッシュを当てはめた例で
ある。特に図１１を見ると与えられた点集合に対して３
角形のメッシュが良く当てはめられていることが分か
る。

【００７１】図１２〜１５の場合に、用いられた点は、
１つの平面とその平面一定の距離だけ離れたＳ字から構
成されている。図１２は計算前の上面（視点１）から見
た図であり、図１３は計算前の側面（視点２）から見た
図である。図１４は計算後の上面（視点１）から見た図
であり、図１５は計算後の側面（視点２）から見た図で
ある。

【００７２】図１４及び図１５は、３角形のメッシュを
当てはめた例である。図１４及び１５を見ると与えられ
た点集合（平面とＳ字）に対して３角形のメッシュが良
く当てはめられていることが分かる。すなわち、図１４
及び図１５を参照すると、Ｓ字を稜線として３角形のメ
ッシュが良く追従して、滑らかな曲線を形成しているこ
とが分かる。

【００７３】計算時間に関しては、例えばインテル社の
ペンティアム・プロセッサ４５０ＭＨｚ動作のものを仮
定すると、図６〜１５のケースで、数秒程度であり、本
発明は計算的な負荷としてもさほど大きくないという利
点を有することが分かる。

【００７４】以上本発明の処理フローを説明した。本発
明の処理フローはコンピュータ・プログラムによって実
施することができる。このコンピュータ・プログラム
は、例えば図１７で示すようなコンピュータ・システム
において実行可能である。この場合、コンピュータ・プ
ログラム及び必要なデータはハードディスク・ドライブ
ＨＤＤ１７６０等に格納されており、必要に応じてメイ
ンメモリ１７２０に呼び出され、ＣＰＵ１７１０にて実
行される。処理の結果（中間データを含む）もメインメ
モリ１７２０に格納される。但し、仮想記憶によってＨ
ＤＤ１７６０に記憶される場合もある。データは、キー
ボード１７７０、マウス１７８０やフロッピー・ディス
ク（ＦＤＤ）１７３０その他の記憶媒体、また、モデム
等の通信装置１７５０によって接続された通信回線１７
５５から供給され得る。コンピュータ・プログラムも他
のコンピュータ・システムから送られてくるようにして
も良い。同様に、コンピュータ・プログラムはＦＤＤ１
７３０やＣＤ−ＲＯＭその他の記憶媒体にて提供される
場合がある。本発明の処理結果は、ＨＤＤ１７６０など
に記憶された他のコンピュータ・プログラムによって数
値解析等に用いられる。更に、表示装置１７９５や印刷
装置１７４０によってユーザに提示することも可能であ
る。

【００７５】更に本発明の処理を行う専用の装置にて本
発明を実施することもできる。例えば、法線計算部、ノ
ード位置変更部、制御部といったように上の処理フロー
を説明する上で分けた方法を用いて、必要なモジュール
を構成することも考えられる。更に細かい単位又は大き
い単位で必要なモジュールを構成することも可能であ
る。

【００７６】図１８には本発明の第二の実施例の処理の
流れがフローチャートを用いて示されている。ステップ
１８１０から処理が開始される。

【００７７】ステップ１８２５において、与えられた各
点と最近傍ノード（あるいは要素）が相互に関連づけ処
理が行われる。

【００７８】入力された各点に対して、その一番近傍に
あるノード（あるいは要素）を求める。最近傍ノードを
求めた場合には、そのノードに入力された点を関連づ
け、最近傍要素を求めた場合には、その要素を構成する
各ノードに入力された点を関連づける。

【００７９】ステップ１８２７において、ノードの番号
ｉに初期値として０が代入される。

【００８０】ステップ１８３０において、隣接ノードか
らの曲げの力による変位ベクトルＶｂｅｎｄの計算が行
われる。ノードPiにおいて、隣接するノードから受ける
曲げの力による変位ベクトルＶｂｅｎｄを計算する。

【００８１】ステップ１８４０において、ステップ１８
２５で関連づけた点からの力による変位ベクトルＶｆｉ
ｔを計算する。

【００８２】ステップ１８４５において、Ｖｂｅｎｄ、
Ｖｆｉｔから最終的な変位ベクトルＶａｌｌが計算さ
れ、ステップ１８５０において、ノードPiの位置ベクト
ルにＶａｌｌの値が加算される。

【００８３】第二の実施例の場合は、最終的な変位ベク
トルＶａｌｌは、以下の式により計算される。 Vall = Vbend + Vfit（式Ｆ２） 以上のように計算されたＶａｌｌを現在対象としてるノ
ードの座標に加算することにより、ノードPiの新しい座
標値が求まる（ステップ１８５０）。この実施例では、
Ｖａｌｌとして、Ｖｂｅｎｄ及びＶｆｉｔの和を用いて
いる（式Ｆ２）。

【００８４】ステップ１８５５において対象となるノー
ドPiが最後のノードか否かが判断される。ｉ＝ｉｍａｘ
が成り立つときに、対象ノードは最後のノードであるた
め、ステップ１６６０に移行し、ｉ＝ｉｍａｘではない
ときは、ｉを１つ増分し（ステップ１８６５）、ステッ
プ１８３０へ移行し、再度ステップ１８３０からステッ
プ１８５０までの処理を繰り返す。

【００８５】

【効果】ノードの位置を変更することにより滑らかに変
化する曲線又は曲面を生成することができた。

【００８６】また、通過点等の与えられた条件を満た
し、かつ滑らかに変化する曲線又は曲面を生成すること
もできた。

【００８７】更に本発明では、陽に評価関数を定義しな
いため、生成したい曲面が３角形や４角形の混在であっ
ても、また５角形や６角形が混ざっていても、区別なく
１つのアルゴリズムで曲面を生成することができるとい
う特徴を有する。

【００８８】以下まとめとして他の実施例を記載する。

【００８９】（１）線又は面を構成する複数のノードの
位置を変更する方法であって、（ａ）与えられた各点を
最も近いノードへ関連づけるステップと、（ｂ）前記各
ノードにおいて隣接するノードから第１の量を計算する
ステップと、（ｃ）前記各ノードに関連づけられた点か
ら第２の量を計算するステップと、を含む位置変更方
法。

【００９０】（２）線又は面を構成する複数のノードの
位置を変更する方法であって、（ａ）与えられた各点を
最も近いノードへ関連づけるステップと、（ｂ）前記各
ノードにおいて隣接するノードから第１の量を計算する
ステップと、（ｃ）前記各ノードに関連づけられた点か
ら第２の量を計算するステップと、（ｄ）前記第１及び
第２の量に対応して、ノードの位置を変更するステップ
と、を含む位置変更方法。

【００９１】（３）線又は面を構成する複数のノードの
位置を変更する方法であって、（ａ）与えられた各点を
最も近いノードへ関連づけるステップと、（ｂ）前記各
ノードにおいて隣接するノードから第１の量を計算する
ステップと、（ｃ）前記各ノードに関連づけられた点か
ら第２の量を計算するステップと、（ｄ）前記第１及び
第２の量に対応して、ノードの位置を変更するステップ
と、（ｅ）所定の条件を満たすまで、前記（ａ）から
（ｄ）のステップを繰り返すステップと、を含む位置変
更方法。

【００９２】（４）線又は面を構成する複数のノードの
位置を変更する方法であって、（ａ）与えられた各点を
最も近いノードへ関連づけるステップと、（ｂ）前記各
ノードにおいて隣接するノードから第１の量を計算する
ステップと、（ｃ）前記各ノードに関連づけられた点か
ら第２の量を計算するステップと、（ｂ）前記各ノード
において隣接するノードから第３の量を計算するステッ
プと、を含む位置変更方法。

【００９３】（５）線又は面を構成する複数のノードの
位置を変更する方法であって、（ａ）与えられた各点を
最も近いノードへ関連づけるステップと、（ｂ）前記各
ノードにおいて隣接するノードから第１の量を計算する
ステップと、（ｃ）前記各ノードに関連づけられた点か
ら第２の量を計算するステップと、（ｄ）前記各ノード
において隣接するノードから第３の量を計算するステッ
プと、（ｅ）前記第１、第２及び第３の量に対応して、
ノードの位置を変更するステップと、を含む位置変更方
法。

【００９４】（６）線又は面を構成する複数のノードの
位置を変更する方法であって、（ａ）与えられた各点を
最も近いノードへ関連づけるステップと、（ｂ）前記各
ノードにおいて隣接するノードから第１の量を計算する
ステップと、（ｃ）前記各ノードに関連づけられた点か
ら第２の量を計算するステップと、（ｄ）前記各ノード
において隣接するノードから第３の量を計算するステッ
プと、（ｅ）前記第１、第２及び第３の量に対応して、
ノードの位置を変更するステップと、（ｆ）所定の条件
を満たすまで、前記（ａ）から（ｅ）のステップを繰り
返すステップと、を含む位置変更方法。

【００９５】（７）線又は面を構成する複数のノードの
位置を変更する方法であって、（ａ）与えられた各点を
最も近いノードへ関連づけるステップと、（ｂ）前記各
ノードにおいてＶｂｅｎｄを計算するステップと、
（ｃ）前記各ノードにおいてＶｆｉｔを計算するステッ
プと、を含む位置変更方法。

【００９６】（８）線又は面を構成する複数のノードの
位置を変更する方法であって、（ａ）与えられた各点を
最も近いノードへ関連づけるステップと、（ｂ）前記各
ノードにおいてＶｂｅｎｄを計算するステップと、
（ｃ）前記各ノードにおいてＶｆｉｔを計算するステッ
プと、（ｂ）前記各ノードにおいて隣接するノードから
Ｖｓｔｒｅｔｃｈを計算するステップと、を含む位置変
更方法。

【００９７】（９）線又は面を構成する複数のノードの
位置を変更する方法であって、（ａ）与えられた各点を
最も近いノードへ関連づけるステップと、（ｂ）前記各
ノードにおいてＶｂｅｎｄを計算するステップと、
（ｃ）前記各ノードにおいてＶｆｉｔを計算するステッ
プと、（ｄ）前記Ｖｂｅｎｄ及びＶｆｉｔの値に対応し
て、ノードの位置を変更するステップと、を含む位置変
更方法。

【００９８】（１０）線又は面を構成する複数のノード
の位置を変更する方法であって、（ａ）与えられた各点
を最も近いノードへ関連づけるステップと、（ｂ）前記
各ノードにおいてＶｂｅｎｄを計算するステップと、
（ｃ）前記各ノードにおいてＶｆｉｔを計算するステッ
プと、（ｄ）前記各ノードにおいて隣接するノードから
Ｖｓｔｒｅｔｃｈを計算するステップと、（ｅ）前記Ｖ
ｂｅｎｄ、Ｖｆｉｔ及びＶｓｔｒｅｔｃｈの値に対応し
て、ノードの位置を変更するステップを含む位置変更方
法。

【００９９】（１１）線又は面を構成する複数のノード
の位置を変更するプログラムを記録した記録媒体であっ
て、前記プログラムは、（ａ）与えられた各点を最も近
いノードへ関連づけるステップと、（ｂ）前記各ノード
において隣接するノードから第１の量を計算するステッ
プと、（ｃ）前記各ノードに関連づけられた点から第２
の量を計算するステップと、を含む、記録媒体。

【０１００】（１２）線又は面を構成する複数のノード
の位置を変更する装置であって、（ａ）与えられた各点
を最も近いノードへ関連づける手段と、（ｂ）前記各ノ
ードにおいて隣接するノードから第１の量を計算する手
段と、（ｃ）前記各ノードに関連づけられた点から第２
の量を計算する手段と、を含む位置変更装置。

【０１０１】（１３）プロセッサ、メモリ、周辺装置を
含むコンピュータ・システムであって、前記システム
は、（ａ）与えられた各点を最も近いノードへ関連づけ
る手段と、（ｂ）前記各ノードにおいて隣接するノード
から第１の量を計算する手段と、（ｃ）前記各ノードに
関連づけられた点から第２の量を計算する手段と、を含
むシステム。

【０１０２】（１４）ＣＡＤのプログラムを記録した記
録媒体であって、前記ＣＡＤプログラムは、線又は面を
構成する複数のノードの位置を変更するプログラムを含
む、前記ノードの位置を変更するプログラムは、（ａ）
与えられた各点を最も近いノードへ関連づけるステップ
と、（ｂ）前記各ノードにおいて隣接するノードから第
１の量を計算するステップと、（ｃ）前記各ノードに関
連づけられた点から第２の量を計算するステップと、を
含む、記録媒体。

【図面の簡単な説明】

【図１】最小２乗法を説明するための図である。

【図２】構造的な曲面集合と非構造的な曲面集合を示す
図である。

【図３】三角形、四角形及びｎ角形が混在した曲面集合
を示す図である。

【図４】Ｖｂｅｎｄを説明する図である。

【図５】Ｖｆｉｔを説明する図である。

【図６】本発明の実際の適用例１を示した図である。

【図７】本発明の実際の適用例１を示した図である。

【図８】本発明の実際の適用例２を示した図である。

【図９】本発明の実際の適用例２を示した図である。

【図１０】本発明の実際の適用例３を示した図である。

【図１１】本発明の実際の適用例３を示した図である。

【図１２】本発明の実際の適用例４を示した図である。

【図１３】本発明の実際の適用例４を示した図である。

【図１４】本発明の実際の適用例４を示した図である。

【図１５】本発明の実際の適用例４を示した図である。

【図１６】本発明の処理（第１の実施例）のフローチャ
ートである。

【図１７】本発明が適用されるコンピュータ・システム
の構成を示す図である。

【図１８】本発明の処理（第２の実施例）のフローチャ
ートである。

【符号の説明】

１７１０ ＣＰＵ １７２０ メモリ １７３０ ＦＤＤ １７４０ プリンター １７５０ 通信装置 １７６０ ＨＤＤ １７７０ キーボード １７８０ マウス １７９０ グラフィックス・アクセラレータ

───────────────────────────────────────────────────── フロントページの続き (72)発明者 山田 敦 神奈川県大和市下鶴間1623番地14 日本ア イ・ビー・エム株式会社 東京基礎研究所 内 (72)発明者 古畑 智武 神奈川県大和市下鶴間1623番地14 日本ア イ・ビー・エム株式会社 東京基礎研究所 内 (72)発明者 伊藤 貴之 神奈川県大和市下鶴間1623番地14 日本ア イ・ビー・エム株式会社 東京基礎研究所 内 Ｆターム(参考） 5B046 FA18 GA01

Claims (14)

【特許請求の範囲】
1. 【請求項１】線又は面を構成する複数のノードの位置を
   変更する方法であって、（ａ）与えられた各点を最も近
   いノードへ関連づけるステップと、（ｂ）前記各ノード
   において隣接するノードから第１の量を計算するステッ
   プと、（ｃ）前記各ノードに関連づけられた点から第２
   の量を計算するステップと、を含む位置変更方法。
2. 【請求項２】線又は面を構成する複数のノードの位置を
   変更する方法であって、（ａ）与えられた各点を最も近
   いノードへ関連づけるステップと、（ｂ）前記各ノード
   において隣接するノードから第１の量を計算するステッ
   プと、（ｃ）前記各ノードに関連づけられた点から第２
   の量を計算するステップと、（ｄ）前記第１及び第２の
   量に対応して、ノードの位置を変更するステップと、を
   含む位置変更方法。
3. 【請求項３】線又は面を構成する複数のノードの位置を
   変更する方法であって、（ａ）与えられた各点を最も近
   いノードへ関連づけるステップと、（ｂ）前記各ノード
   において隣接するノードから第１の量を計算するステッ
   プと、（ｃ）前記各ノードに関連づけられた点から第２
   の量を計算するステップと、（ｄ）前記第１及び第２の
   量に対応して、ノードの位置を変更するステップと、
   （ｅ）所定の条件を満たすまで、前記（ａ）から（ｄ）
   のステップを繰り返すステップと、を含む位置変更方
   法。
4. 【請求項４】線又は面を構成する複数のノードの位置を
   変更する方法であって、（ａ）与えられた各点を最も近
   いノードへ関連づけるステップと、（ｂ）前記各ノード
   において隣接するノードから第１の量を計算するステッ
   プと、（ｃ）前記各ノードに関連づけられた点から第２
   の量を計算するステップと、（ｂ）前記各ノードにおい
   て隣接するノードから第３の量を計算するステップと、
   を含む位置変更方法。
5. 【請求項５】線又は面を構成する複数のノードの位置を
   変更する方法であって、（ａ）与えられた各点を最も近
   いノードへ関連づけるステップと、（ｂ）前記各ノード
   において隣接するノードから第１の量を計算するステッ
   プと、（ｃ）前記各ノードに関連づけられた点から第２
   の量を計算するステップと、（ｄ）前記各ノードにおい
   て隣接するノードから第３の量を計算するステップと、
   （ｅ）前記第１、第２及び第３の量に対応して、ノード
   の位置を変更するステップと、を含む位置変更方法。
6. 【請求項６】線又は面を構成する複数のノードの位置を
   変更する方法であって、（ａ）与えられた各点を最も近
   いノードへ関連づけるステップと、（ｂ）前記各ノード
   において隣接するノードから第１の量を計算するステッ
   プと、（ｃ）前記各ノードに関連づけられた点から第２
   の量を計算するステップと、（ｄ）前記各ノードにおい
   て隣接するノードから第３の量を計算するステップと、
   （ｅ）前記第１、第２及び第３の量に対応して、ノード
   の位置を変更するステップと、（ｆ）所定の条件を満た
   すまで、前記（ａ）から（ｅ）のステップを繰り返すス
   テップと、を含む位置変更方法。
7. 【請求項７】線又は面を構成する複数のノードの位置を
   変更する方法であって、（ａ）与えられた各点を最も近
   いノードへ関連づけるステップと、（ｂ）前記各ノード
   においてＶｂｅｎｄを計算するステップと、（ｃ）前記
   各ノードにおいてＶｆｉｔを計算するステップと、を含
   む位置変更方法。
8. 【請求項８】線又は面を構成する複数のノードの位置を
   変更する方法であって、（ａ）与えられた各点を最も近
   いノードへ関連づけるステップと、（ｂ）前記各ノード
   においてＶｂｅｎｄを計算するステップと、（ｃ）前記
   各ノードにおいてＶｆｉｔを計算するステップと、
   （ｂ）前記各ノードにおいて隣接するノードからＶｓｔ
   ｒｅｔｃｈを計算するステップと、を含む位置変更方
   法。
9. 【請求項９】線又は面を構成する複数のノードの位置を
   変更する方法であって、（ａ）与えられた各点を最も近
   いノードへ関連づけるステップと、（ｂ）前記各ノード
   においてＶｂｅｎｄを計算するステップと、（ｃ）前記
   各ノードにおいてＶｆｉｔを計算するステップと、
   （ｄ）前記Ｖｂｅｎｄ及びＶｆｉｔの値に対応して、ノ
   ードの位置を変更するステップと、を含む位置変更方
   法。
10. 【請求項１０】線又は面を構成する複数のノードの位置
    を変更する方法であって、（ａ）与えられた各点を最も
    近いノードへ関連づけるステップと、（ｂ）前記各ノー
    ドにおいてＶｂｅｎｄを計算するステップと、（ｃ）前
    記各ノードにおいてＶｆｉｔを計算するステップと、
    （ｄ）前記各ノードにおいて隣接するノードからＶｓｔ
    ｒｅｔｃｈを計算するステップと、（ｅ）前記Ｖｂｅｎ
    ｄ、Ｖｆｉｔ及びＶｓｔｒｅｔｃｈの値に対応して、ノ
    ードの位置を変更するステップを含む位置変更方法。
11. 【請求項１１】線又は面を構成する複数のノードの位置
    を変更するプログラムを記録した記録媒体であって、 前記プログラムは、（ａ）与えられた各点を最も近いノ
    ードへ関連づけるステップと、（ｂ）前記各ノードにお
    いて隣接するノードから第１の量を計算するステップ
    と、（ｃ）前記各ノードに関連づけられた点から第２の
    量を計算するステップと、を含む、記録媒体。
12. 【請求項１２】線又は面を構成する複数のノードの位置
    を変更する装置であって、（ａ）与えられた各点を最も
    近いノードへ関連づける手段と、（ｂ）前記各ノードに
    おいて隣接するノードから第１の量を計算する手段と、
    （ｃ）前記各ノードに関連づけられた点から第２の量を
    計算する手段と、を含む位置変更装置。
13. 【請求項１３】プロセッサ、メモリ、周辺装置を含むコ
    ンピュータ・システムであって、 前記システムは、（ａ）与えられた各点を最も近いノー
    ドへ関連づける手段と、（ｂ）前記各ノードにおいて隣
    接するノードから第１の量を計算する手段と、（ｃ）前
    記各ノードに関連づけられた点から第２の量を計算する
    手段と、を含むシステム。
14. 【請求項１４】ＣＡＤのプログラムを記録した記録媒体
    であって、 前記ＣＡＤプログラムは、線又は面を構成する複数のノ
    ードの座標を変更するプログラムを含む、 前記ノードの座標を変更するプログラムは、（ａ）与え
    られた各点を最も近いノードへ関連づけるステップと、
    （ｂ）前記各ノードにおいて隣接するノードから第１の
    量を計算するステップと、（ｃ）前記各ノードに関連づ
    けられた点から第２の量を計算するステップと、を含
    む、記録媒体。