FR3047133A1 - METHODS FOR DETERMINING PARAMETERS OF KALMAN FILTERS, ARMA MODEL PARAMETERS AND ASSOCIATED DEVICES - Google Patents
METHODS FOR DETERMINING PARAMETERS OF KALMAN FILTERS, ARMA MODEL PARAMETERS AND ASSOCIATED DEVICES Download PDFInfo
- Publication number
- FR3047133A1 FR3047133A1 FR1650544A FR1650544A FR3047133A1 FR 3047133 A1 FR3047133 A1 FR 3047133A1 FR 1650544 A FR1650544 A FR 1650544A FR 1650544 A FR1650544 A FR 1650544A FR 3047133 A1 FR3047133 A1 FR 3047133A1
- Authority
- FR
- France
- Prior art keywords
- coefficients
- autoregressive
- determination
- order
- parameters
- Prior art date
- Legal status (The legal status is an assumption and is not a legal conclusion. Google has not performed a legal analysis and makes no representation as to the accuracy of the status listed.)
- Granted
Links
Classifications
-
- H—ELECTRICITY
- H03—ELECTRONIC CIRCUITRY
- H03H—IMPEDANCE NETWORKS, e.g. RESONANT CIRCUITS; RESONATORS
- H03H21/00—Adaptive networks
- H03H21/0012—Digital adaptive filters
- H03H21/0025—Particular filtering methods
- H03H21/0029—Particular filtering methods based on statistics
- H03H21/003—KALMAN filters
-
- H—ELECTRICITY
- H03—ELECTRONIC CIRCUITRY
- H03H—IMPEDANCE NETWORKS, e.g. RESONANT CIRCUITS; RESONATORS
- H03H21/00—Adaptive networks
- H03H21/0012—Digital adaptive filters
- H03H21/0025—Particular filtering methods
- H03H21/0029—Particular filtering methods based on statistics
- H03H21/0032—ARMA filters
Abstract
Procédé et dispositif de détermination des paramètres d'un filtre de Kalman adaptatif à partir d'un modèle ARMA de données d'une série temporelle et procédé et dispositif de détermination d'un modèle ARMA approchant une série temporelle.Method and apparatus for determining the parameters of an adaptive Kalman filter from an ARMA model of time series data and method and device for determining an ARMA model approaching a time series.
Description
« Procédés de détermination de paramètres de filtres de Kalman, de paramètres de modèle ARMA et dispositifs associés »
Domaine de l'invention
La présente invention a pour objet un procédé de détermination en temps réel de paramètres de filtres de Kalman. La présente invention a également pour objet de proposer un nouveau procédé de détermination de paramètres d'un modèle ARMA. La présente invention a en outre pour objet de proposer une méthode de détection d'un séisme.
La présente invention a également pour objet des dispositifs associés à la détermination en temps réel de paramètres de filtres de Kalman, à la détermination en temps réel de paramètres d'un modèle ARMA, à la détection d'un séisme.
Art antérieur
On connaît un procédé de détermination de filtre de Kalman adaptatif. Un tel procédé est basé sur des méthodes bayésiennes. Ce procédé consiste à choisir en temps réel le filtre le mieux adapté en fonction de critères de coûts calculés parmi un ensemble de filtres de différents modèles.
Un inconvénient de l'utilisation de méthodes bayésiennes dans la détermination de paramètres de filtres de Kalman adaptatif est qu'il faut déterminer, a priori, cet ensemble de filtres pour des modèles difficiles à déterminer et qui approximent grossièrement la réalité.
Un but de l'invention est de proposer un nouveau procédé de détermination de coefficients d'un filtre de Kalman adaptatif qui soit plus performant que celui qui vient d'être décrit.
On connaît un procédé de détermination de coefficients notés p, q, a; et ô, d'une suite temporelle notée y par un modèle autorégressif et moyenne-mobile d’ordre p et q, où p est l’ordre de la partie autorégressive de coefficients ^ pour i e ¢1,p] et q est l’ordre de la partie moyenne-mobile de coefficients pour i e ll,q}.
Le procédé selon l'art antérieur a pour but de déterminer les coefficients ai et bi de la série temporelley de sorte que cette série vérifie l'équation :
Le procédé selon l'art antérieur comporte : - une détermination des paramètres p et q ;
- une détermination d'un paramètre n plus grand que la somme des paramètres p et q : n>p+q ; - une détermination d'un modèle autorégressif long d'ordre n et de coefficients rn approchant le modèle autorégressif et moyenne-mobile, - une détermination d'un modèle moyenne-mobile d'ordre n et de coefficients fn approchant le modèle autorégressif et moyenne-mobile à partir des coefficients déterminés rn, - une détermination des coefficients a, de la partie autorégressive dudit modèle autorégressif et moyenne-mobile à partir des coefficients en résolvant l'équation R. A = Γ où
- une détermination de la partie moyenne-mobile dudit modèle autorégressif et moyenne-mobile d’ordres p et q en résolvant l'équation Z{bn} = Z{an}.Z{fn}.
Un but de l'invention est de proposer un nouveau procédé de détermination de coefficients d'un modèle ARMA d'un processus et un dispositif mettant en œuvre ce procédé.
Exposé de l'invention
Selon un premier aspect de l'invention, on atteint au moins l'un des buts précités avec un procédé, de détermination des paramètres H, φ et G d'un filtre de Kalman adaptatif vérifiant les équations : %k = <f>kXk-l + ife = Hk.Xk + vk où <pk est la matrice de transition à un instant k, rk est le vecteur dynamique de transition à l'instant k, Hk est la matrice d'observation à l'instant k et vk est un bruit blanc à l'instant k, ledit procédé comprenant : - une détermination des paramètres p , q , a; et ô, d'un modèle autorégressif et moyenne-mobile d’ordre p et q approchant une suite
temporelle notée y, où p est l'ordre de la partie autorégressive de coefficients at pour iell,p}r et q est l'ordre de la partie moyenne-mobile de coefficients bt pour i e - une détermination des paramètres H, φ et G du filtre de Kalman adaptatif par résolution de l'équation :
Selon un deuxième aspect de l'invention, il est proposé un dispositif comprenant : - une entrée pour recevoir une suite temporelle notée y, - une sortie générant des paramètres d'un filtre de Kalman adaptatif en temps réel de la suite temporelle - un micro-processeur configuré pour mettre en œuvre le procédé de détermination selon le premier aspect de l'invention.
On entend par temps réel un algorithme capable de proposer une sortie en un temps inférieur à celui correspondant à une fréquence d'échantillonnage générant la suite y en entrée.
Selon un troisième aspect de l'invention, il est proposé un procédé de détermination des paramètres p, q, a, et ô, d'un modèle autorégressif et moyenne-mobile d’ordre p et q approchant une suite temporelle notée y, où p est l’ordre de la partie autorégressive de coefficients a; pour i e [l,p], et q est l’ordre de la partie moyenne-mobile de coefficients ô, pour i e [l,q].
Selon l'invention, le procédé comprend : - une détermination des paramètres p et q, - une détermination d'un paramètre n plus grand que la somme des paramètresp et q, i.e. : n > p + q, - une détermination d'un modèle autorégressif long d'ordre n et de coefficients η pour ieŒl,nJ approchant le modèle autorégressif et moyenne-mobile.
On appellera ci-après « procédé du type spécifié » un procédé répondant à cette définition.
On atteint au moins l'un des buts précités avec un procédé du type spécifié pour lequel, selon un quatrième aspect de l'invention, est mis en œuvre :
- une détermination d'un modèle moyenne-mobile d'ordre n et de coefficients f(t,n) approchant le modèle autorégressif et moyenne-mobile à partir des coefficients déterminés r(i,n), - une détermination des coefficients an dudit modèle autorégressif et moyenne-mobile d'ordres p et q à partir des coefficients r(t,n) du modèle autorégressif long d'ordre n, - une détermination des coefficients bn de la partie moyenne-mobile dudit modèle autorégressif et moyenne-mobile d'ordres p et q en résolvant l'équation z{b} = z{a}.Z{f), où Z(u) est la transformée en Z de la suite u.
La transformation en Z est une application qui transforme une suite s (définie sur les entiers) en une fonction S d'une variable complexe nommée z, telle que
lorsque la série (S=_rs(n)z"n)r converge lorsque r tend vers l'infini.
Selon l'invention, la détermination des coefficients an résout de manière approchée m1 équations de Yules Walker modifiées, avec m1 strictement supérieur à p : m1>pl et/ou la détermination des coefficients bn résolvant de manière approchée m2 équations du système avec m2 strictement supérieur à q : m2> q.
La détermination des paramètres p et q peut avantageusement être réalisée au moyen d'une méthode MINIC (pour l'anglais Minimum Information Criterion).
Deux critères peuvent être mis en œuvre par la méthode MINIC : - le critère BIC (pour l'anglais « Bayesian Criterion Indice »), - le critère AIC (pour l'anglais « Akaike Information Criterion »).
Avantageusement, n peut être déterminé dans l'intervalle [3(p+q),4(p+q)]. En combinaison ou alternativement, n peut être déterminé en utilisant le critère d'Aikaike ou celui de Rissanen.
La détermination du modèle autorégressif long d'ordre n et de coefficients r(i,n) peut avantageusement mettre en œuvre : - des filtres en treillis ;
- l'algorithme de Levinson ; - l'algorithme de Burg, qui garantit un filtre à réponse impulsionnelle infinie à minimum de phase ; - un algorithme des moindres carrés. L'algorithme des moindres carrés peut être mis en œuvre en utilisant la corrélation. Celle-ci minimise la puissance de l'erreur de prédiction linéaire. La méthode des corrélations est une méthode avec fenêtrage. Dans ce cas, on peut utiliser l'algorithme de Levinson-Durbin pour résoudre l'équation obtenue. L'algorithme des moindres carrés peut être mis en œuvre en utilisant la méthode des covariances. Celle-ci minimise la puissance de l'erreur de prédiction linéaire. La méthode des covariances est une méthode sans fenêtrage. On peut utiliser des méthodes en 0(p2) pour résoudre le système obtenu par cette méthode. On peut par exemple utiliser un algorithme développé par Morf et Al pour résoudre le système obtenu. L'algorithme des moindres carrés peut être mis en œuvre en utilisant la méthode des covariances modifiées. Celle-ci minimise la puissance de la demi-somme des erreurs de prédiction arrière et avant. On peut par exemple utiliser un algorithme développé par Marple pour résoudre le système obtenu.
Avantageusement, la détermination du modèle autorégressif long d'ordre n et de coefficient r(i,n) est calculée à l'aide de l'algorithme de Levinson. Dans ce cas, les coefficients r(i,n) sont déterminés par la formule :
De préférence, les coefficients r(n,j) sont déterminés par :
La détermination des coefficients an à partir des coefficients η du modèle autorégressif long d'ordre n en résolvant de manière approchée m± équations de Yules Walker modifiées à p inconnues, où m1 est strictement supérieur à p, c'est à dire m-L > p, peut mettre en œuvre une pseudo inverse des moindres carrés.
La pseudo inverse des moindres carrés d'une matrice A est le produit, d'une part de l'inverse du produit de la transposée de A par elle même et d'autre part, de la transposée de A :
pseudo inver se (A) = (ATA)~1AT
Lorsque la détermination des coefficients an résout de manière approchée m± équations de Yules Walker modifiées à p inconnues, où mx est strictement supérieur à p, i.e. m± > p, et qu'il est mis en œuvre une pseudo inverse des moindres carrés, on peut avoir :
La détermination des coefficients bn de la partie moyenne-mobile du modèle autorégressif et moyenne-mobile d'ordres p et q en résolvant le système Z{b] = Z{a}.Z{f}, où z(u) est la transformée en Z de la suite u, peut résoudre de manière approchée m2 équation à m2 inconnues avec m2 > q.
Lorsque c'est le cas, cette détermination peut mettre en œuvre une pseudo inverse des moindres carrés, telle que définie ci-dessus.
Lorsque la détermination des coefficients bn résout de manière approchée m2 équations du systèmeZ{b} = z{a}.Z{r}, où m2 est strictement supérieur à
q, i.e. m2 > q, et qu'il est mis en œuvre une pseudo inverse des moindres carrés, on peut avoir :
et et
Alternativement, on atteint au moins l'un des buts précités avec un procédé du type spécifié pour lequel, selon un cinquième aspect de l'invention, est mis en œuvre : - une identification des coefficients bn du modèle autorégressif et moyenne-mobile d’ordres p et q en utilisant des méthodes classiques de factorisation spectrale de la fonction d'autocorrélation. - une détermination des coefficients an du modèle autorégressif et moyenne-mobile d’ordres p et q en résolvant l'équation z{b} = Z{a}.Z{f}, où Z(u) est la transformée en Z de la suite u.
De préférence, l'identification des coefficients bn du modèle autorégressif et moyenne-mobile d’ordres p et q utilisant des méthodes classiques de factorisation spectrale de la fonction d'autocorrélation peut mettre en œuvre une estimation en temps réel de la fonction d’autocorrélation du signal qui permet de produire un polynôme symétrique en z puis d'effectuer une factorisation spectrale ou déconvolution de ce polynôme pour déterminer la partie moyenne-mobile.
La détermination des coefficients an du modèle autorégressif et moyenne-mobile d’ordres p et q en résolvant l'équation z{b} = Ζ{ά}.Ζ{ϋ}, où Z(u) est la transformée en Z de la suite u, peut mettre en œuvre une convolution numérique entre les deux séries de coefficients.
Description des figures D'autres particularités et avantages de l'invention apparaîtront à la lecture de la description détaillée de mises en œuvre et de modes de réalisation nullement limitatifs, au regard de la figure annexée sur lesquelles : la figure 1 est une vue schématique d'un procédé selon l'invention.
Description de l'invention
Ces modes de réalisation n'étant nullement limitatifs, on pourra notamment réaliser des variantes de l'invention ne comprenant qu'une sélection de caractéristiques décrites par la suite, telles que décrites ou généralisées, isolées des autres caractéristiques décrites, si cette sélection de caractéristiques est suffisante pour conférer un avantage technique ou pour différencier l'invention par rapport à l'état de la technique.
Il est maintenant décrit en référence à la figure 1 un mode de réalisation d'un procédé P, dit direct, selon l'invention. L'entrée du procédé selon l'invention est une suite temporelle notée y. La sortie du procédé selon l'invention comprend les paramètres <pkr Hkl rk et d'un filtre de Kalman adaptatif. 0k est la matrice de transition à un instant k, rk est le vecteur dynamique de transition à l'instant k, Hk est la matrice d'observation à l'instant k et vk est un bruit blanc à l'instant k
Le filtre de Kalman adaptatif vérifie donc les équations :
Xk = Φκ.· X-k-l + ffeefc Ife = Hk.Xk + vk
Lors d'une étape illustrée par les blocs El, E2, E3, E4, E5 et E6, le procédé comprend une détermination des paramètres p, g, a* et ôj d'un modèle autorégressif et moyenne-mobile d’ordre p et g approchant la suite temporelle notée y, où p est l’ordre de la partie autorégressive de coefficients at pour i e II, pi, et g est l’ordre de la partie moyenne-mobile de coefficients bt pour i e II,g].
Lors d'une étape illustrée par l'étape E7, le procédé comprend une détermination des paramètres H, φ et G du filtre de Kalman adaptatif par résolution de l'équation :
La détermination des paramètres du filtre de Kalman suppose d'avoir modélisé la suite temporelle y par une équation différentielle.
Il est maintenant décrit un premier mode de réalisation, aussi appelé procédé direct, d'un procédé de détermination des paramètres p, q, a; et bi d'un modèle autorégressif et moyenne-mobile d'ordre p et q approchant une suite temporelle notée y, où p est l'ordre de la partie autorégressive de coefficients a* pour i e [i,p], et q est l'ordre de la partie moyenne-mobile de coefficients bi pour i e [l,qr]|.
La suite vérifie l'équation yk + Σ^αίγκ-ί = vk + v est un bruit blanc discret de moyenne nulle et de variance σ$.
En notant z{s} la transformée en Z d'une suite s, on peut associer le modèle ARMA à un filtre de réponse impulsionnelle infinie de fonction de transfert Z{b}/Z{a).
Selon une étape El, le procédé selon l'invention comprend une détermination des paramètres p et q.
Selon une étape E2, le procédé selon l'invention comprend une détermination d'un paramètre n plus grand que la somme des paramètres p et q, i.e. \ n> p + q.
Selon une étape E3, le procédé selon l'invention comprend une détermination d'un modèle autorégressif long d'ordre n et de coefficients η pour i edi, n] approchant le modèle autorégressif et moyenne-mobile. Le modèle autorégressif long d'ordre n peut être représenté par une fonction de transfert 1 /z{r} avec z{r} vérifiant l'équation l/z{r] = Z{b}/Z{a).
Les coefficients r(i,n) sont déterminés par la formule :
Selon une étape E4, le procédé selon l'invention comprend une détermination d'un modèle moyenne-mobile d'ordre n et de coefficients f(i,n) approchant le modèle autorégressif et moyenne-mobile à partir des coefficients déterminés r(i,n). Le modèle moyenne-mobile long d'ordre n
peut être représenté par une fonction de transfert Z{r) avec Z{r} vérifiant l'équation Z(fj = 1 /Z{r}.
Les coefficients f(i,n) sont déterminés par la formule :
Selon une étape E5, le procédé selon l'invention comprend une détermination des coefficients andu modèle autorégressif et moyenne-mobile d’ordres p et q à partir des coefficients r(i,n) du modèle autorégressif long d'ordre n.
Selon une étape E6, le procédé selon l'invention comprend une détermination des coefficients bn de la partie moyenne-mobile dudit modèle autorégressif et moyenne-mobile d’ordres p et q en résolvant l'équationZfM = z{a}.z{f), où z(u) est la transformée en Z de la suite u.
La détermination des coefficients ani selon l'étape E5, résout de manière approchée m1 équations de Yules Walker modifiées, avec mr strictement supérieur à p : m1 > p, et la détermination des coefficients bni selon l'étape E6 résout de manière approchée m2 équations du système avec m2 strictement supérieur à q : m2> q. L'étape E5 comprend une sous étape de détermination d'un nombre En particulier, les coefficients de l'étape E5 sont déterminés par :
La matrice Γ étant de taille 0%, 1) et la matrice (φτφΥ1φτ étant de taille (p,mi), on vérifie bien que la matrice A est de taille (p, 1).
En particulier, les coefficients de l'étape E6 sont déterminés par : B = [mat1 * mat]~1.matt.col
et et
Vî e [1, m2] col(i) = —matl(i + 1,1) + f(n, i)
La matrice col étant de taille (m2,1) et la matrice [mat* * mat]-1.mat* étant de taille (q,m2), on vérifie bien que la matrice A est de taille (g,l).
Il est maintenant décrit un deuxième mode de réalisation, aussi appelé procédé dual, d'un procédé de détermination des paramètres p, q,α, et ô, d'un modèle autorégressif et moyenne-mobile d’ordre p et q approchant une suite temporelle notéey, où p est l’ordre de la partie autorégressive de coefficients a, pour i e 11,pi, et q est l’ordre de la partie moyenne-mobile de coefficients 6, pour i e [l,qr].
La suite vérifie l'équation yk + = vk + Σ^Μκ-ί· v est un bruit blanc discret de moyenne nulle et de variance σ$.
En notant z{s} la transformée en Z d'une suite s, on peut associer le modèle ARMA à un filtre de réponse impulsionnelle infinie de fonction de transfert Z{b}/Z{a}.
Selon une étape E'1, le procédé selon l'invention comprend une détermination des paramètres p et q.
Selon une étape E'2, le procédé selon l'invention comprend une détermination d'un paramètre nplus grand que la somme des paramètres p et q, i.e. : n> p + q.
Selon une étape E'3, le procédé selon l'invention comprend une détermination d'un modèle autorégressif long d'ordre n et de coefficients η pour i e Œl,nJ approchant le modèle autorégressif et moyenne-mobile. Le modèle autorégressif long d'ordre n peut être représenté par une fonction de transfert l/z{r} avec Z{r} vérifiant l'équation l/z{r} = z{b}/z{a}.
Les coefficients r(i,ri) sont déterminés par la formule :
Selon une étape E'6, le procédé selon l'invention comprend une détermination des coefficients bn de la partie moyenne-mobile dudit modèle autorégressif et moyenne-mobile d’ordres p et q en utilisant des méthodes classiques de factorisation spectrale de la fonction d'autocorrélation.
Selon une étape E5, le procédé selon l'invention comprend une détermination des coefficients andu modèle autorégressif et moyenne-mobile d’ordres p et q à partir des coefficients r(i,n) du modèle autorégressif long d'ordre n.
Le procédé dual comprend une détermination des coefficients de la partie moyenne-mobile en fonction de la fonction d’autocorrélation du signal puis une détermination des coefficients du modèle autorégressif en fonction de la partie moyenne-mobile déterminée précédemment.
Les équations sont similaires à la méthode directe sauf que l’on remplace le modèle autorégressif long par le modèle moyenne-mobile long et qu’on intervertit l’ordre de détermination autorégressif et moyenne-mobile.
Dans l'exemple décrit, les coefficients sont p et q sont choisis respectivement strictement supérieurs à m1 et m2. L'invention s'étend aux cas pour lesquels m1 = p et q > m2 ou m2 = q et m1> p. L'invention s'étend notamment aux cas pour lesquels m1 = m2 = m et m> p et m> q.
Il est maintenant explicité un exemple d'application de l'invention pour la détermination des paramètres β et ω, respectivement appelés coefficient d'atténuation et pulsation fondamentale, du modèle oscillateur amorti.
L'équation différentielle du deuxième ordre ou modèle oscillateur amorti qui régit le paramètre de grandeur physique x, lorsque x est la phase est la suivante : x(t) + 2/?x(t) + ωβΧ(ί) = e(t) OÙ • e(t) est un bruit blanc dynamique de moyenne nulle et de variance • cD0est la pulsation. • β est le coefficient d'atténuation (dans le cas multicanal : il s'agit d'une matrice).
La pulsation fondamentale du système a pour expression :
La suite temporelle notée y, où y est un vecteur formé par les estimée de x et x peut être approchée par un modèle autorégressif et moyenne-mobile d'ordre (2,2) de paramètres alf a2f a3l a4.
Cette équation différentielle peut par ailleurs se mettre sous la forme d'un système d'état continu :
En notant les matrices :
on peut encore écrire sous forme matricielle : X = A.X +B.e Y = HX + u σ 2 où u et un bruit blanc de mesure de moyenne nulle et de variance " .
Ce système d'état continu se met sous la forme d'un système d'état discret dont les équations sont données par les expressions ci-dessous :
Xk = <t>Xk-l + ^-ek Yk=HXk+vk
La matrice de transition ^ et le vecteur de transition Γ de l'équation d'état du filtre de Kalman discret étant déterminés par :
où
O
O
O
O où T est la période d'échantillonnage.
On pourrait aisément établir un modèle de Kalman prenant en outre en compte, toutes dérivées d'ordre supérieur à au Doppler de la phase pour affiner le modèle.
Comme il a été rappelé précédemment, le développement de l'équation :
permet d'établir un lien entre les coefficients ARMA et le modèle de Kalman associé. On a :
On peut ainsi déterminer les paramètres de l'oscillateur amorti à partir des paramètres ARMA(2,2) déterminés et des paramètres du filtre de Kalman associé au modèle ARMA déterminé.
Bien sûr, l'invention n'est pas limitée aux exemples qui viennent d'être décrits et de nombreux aménagements peuvent être apportés à ces exemples sans sortir du cadre de l'invention. De plus, les différentes caractéristiques, formes, variantes et modes de réalisation de l'invention peuvent être associés les uns avec les autres selon diverses combinaisons dans la mesure où ils ne sont pas incompatibles ou exclusifs les uns des autres.
"Methods for determining Kalman filter parameters, ARMA model parameters and associated devices"
Field of the invention
The present invention relates to a method for real-time determination of Kalman filter parameters. Another object of the present invention is to propose a new method for determining parameters of an ARMA model. The present invention further aims to provide a method of detecting an earthquake.
The present invention also relates to devices associated with the real-time determination of Kalman filter parameters, the real-time determination of parameters of an ARMA model, and the detection of an earthquake.
Prior art
A method of determining an adaptive Kalman filter is known. Such a method is based on Bayesian methods. This method consists in choosing in real time the best adapted filter according to cost criteria calculated among a set of filters of different models.
A disadvantage of the use of Bayesian methods in the determination of adaptive Kalman filter parameters is that it is necessary to determine, a priori, this set of filters for models that are difficult to determine and roughly approximate the reality.
An object of the invention is to propose a new method for determining coefficients of an adaptive Kalman filter that is more efficient than the one just described.
There is known a method for determining coefficients denoted p, q, a; and o, from a temporal sequence denoted y by an autoregressive and mean-mobile model of order p and q, where p is the order of the autoregressive part of coefficients ^ for ie, 1, p] and q is the order of the middle-moving part of coefficients for ie ll, q}.
The method according to the prior art aims to determine the coefficients a 1 and b 2 of the time series so that this series satisfies the equation:
The method according to the prior art comprises: a determination of the parameters p and q;
a determination of a parameter n larger than the sum of the parameters p and q: n> p + q; a determination of a long-term autoregressive model of order n and of coefficients rn approaching the autoregressive and medium-mobile model, a determination of a n-order moving average model with coefficients fn approaching the autoregressive and average model -mobile from the determined coefficients rn, - a determination of the coefficients a, of the autoregressive part of said autoregressive and average-mobile model from the coefficients by solving the equation R. A = Γ where
a determination of the moving average part of said autoregressive and moving average model of orders p and q by solving the equation Z {bn} = Z {an} .Z {fn}.
An object of the invention is to propose a new method for determining the coefficients of an ARMA model of a process and a device implementing this method.
Presentation of the invention
According to a first aspect of the invention, at least one of the above-mentioned aims is reached with a method for determining the parameters H, φ and G of an adaptive Kalman filter satisfying the equations:% k = <f> kXk -l + ife = Hk.Xk + vk where <pk is the transition matrix at a time k, rk is the dynamic transition vector at time k, Hk is the observation matrix at time k and vk is a white noise at time k, said method comprising: - a determination of the parameters p, q, a; and oh, of an autoregressive and medium-mobile model of order p and q approaching a sequence
temporal value noted y, where p is the order of the autoregressive part of coefficients at for iell, p} r and q is the order of the mean-moving part of coefficients bt for ie - a determination of the parameters H, φ and G of the adaptive Kalman filter by solving the equation:
According to a second aspect of the invention, there is provided a device comprising: an input for receiving a time sequence denoted y, an output generating parameters of a real-time adaptive Kalman filter of the temporal sequence a microphone processor configured to implement the determination method according to the first aspect of the invention.
In real time is meant an algorithm capable of proposing an output in a time less than that corresponding to a sampling frequency generating the following input.
According to a third aspect of the invention, there is provided a method for determining the parameters p, q, a, and o, of an autoregressive and medium-mobile model of order p and q approaching a temporal sequence denoted by y, where p is the order of the autoregressive part of coefficients a; for ie [l, p], and q is the order of the middle-moving part of coefficients δ, for ie [l, q].
According to the invention, the method comprises: - a determination of the parameters p and q, - a determination of a parameter n greater than the sum of the parameters p and q, ie: n> p + q, - a determination of a long autoregressive model of order n and of coefficients η for iel, nJ approaching the autoregressive and medium-mobile model.
Hereinafter referred to as "process of the specified type" a method meeting this definition.
At least one of the aforementioned objects is achieved with a method of the specified type for which, according to a fourth aspect of the invention, is implemented:
a determination of a moving-average model of order n and coefficients f (t, n) approximating the autoregressive and mean-mobile model from the determined coefficients r (i, n), a determination of the coefficients an of autoregressive and mean-mobile model of orders p and q from the coefficients r (t, n) of the n-order autoregressive model, - a determination of the coefficients bn of the moving average part of said autoregressive and medium-mobile model of orders p and q by solving the equation z {b} = z {a} .Z {f), where Z (u) is the Z-transform of the sequence u.
The transformation into Z is an application that transforms a sequence s (defined on integers) into a function S of a complex variable named z, such that
when the series (S = _rs (n) z "n) r converges when r tends to infinity.
According to the invention, the determination of the coefficients an approximately solves m1 modified Yule Walker equations, with m1 strictly greater than p: m1> p1 and / or the determination of the coefficients bn approximately solving m2 equations of the system with m2 strictly greater than q: m2> q.
The determination of the parameters p and q can advantageously be carried out by means of a MINIC method (for the English Minimum Information Criterion).
Two criteria can be implemented by the MINIC method: - the criterion BIC (for the English "Bayesian Criterion Index"), - the criterion AIC (for the English "Akaike Information Criterion").
Advantageously, n can be determined in the range [3 (p + q), 4 (p + q)]. In combination or alternatively, n can be determined using the Aikaike or Rissanen criteria.
The determination of the long autoregressive model of order n and of coefficients r (i, n) can advantageously implement: trellis filters;
- the Levinson algorithm; the Burg algorithm, which guarantees an infinite impulse response filter with minimum phase; - a least squares algorithm. The least squares algorithm can be implemented using correlation. This minimizes the power of the linear prediction error. The correlation method is a windowing method. In this case, one can use the Levinson-Durbin algorithm to solve the equation obtained. The least squares algorithm can be implemented using the covariance method. This minimizes the power of the linear prediction error. The covariances method is a method without windowing. We can use methods in 0 (p2) to solve the system obtained by this method. One can for example use an algorithm developed by Morf and Al to solve the system obtained. The least squares algorithm can be implemented using the modified covariance method. This minimizes the power of the half-sum of the forward and backward prediction errors. One can for example use an algorithm developed by Marple to solve the system obtained.
Advantageously, the determination of the long autoregressive model of order n and coefficient r (i, n) is calculated using the Levinson algorithm. In this case, the coefficients r (i, n) are determined by the formula:
Preferably, the coefficients r (n, j) are determined by:
The determination of the coefficients an from the coefficients η of the autoregressive long model of order n by approximatively solving m équ equations of Yules Walker modified to p unknowns, where m1 is strictly greater than p, that is to say mL> p , can implement a least-squares inverse pseudo.
The pseudo least squares inverse of a matrix A is the product, on the one hand, of the inverse of the product of the transpose of A by itself and, on the other hand, of the transpose of A:
pseudo inver se (A) = (ATA) ~ 1AT
When the determination of the coefficients an approximately solves m ± equations of Yules Walker modified to p unknowns, where mx is strictly greater than p, ie m ±> p, and that a least squares inverse pseudo is implemented, can we have :
The determination of the coefficients bn of the middle-mobile part of the autoregressive and mean-moving model of orders p and q by solving the system Z {b] = Z {a} .Z {f}, where z (u) is the transformed in Z of the sequence u, can solve in an approximated way m2 equation with unknown m2 with m2> q.
When this is the case, this determination can implement a least squares inverse pseudo, as defined above.
When the determination of the coefficients bn approximately solves m2 equations of the system Z {b} = z {a} .Z {r}, where m2 is strictly greater than
q, ie m2> q, and that a least-squares inverse pseudo is implemented, we can have:
and and
Alternatively, at least one of the aforementioned aims is reached with a method of the specified type for which, according to a fifth aspect of the invention, is implemented: an identification of the coefficients bn of the autoregressive and medium-mobile model of p and q orders using classical methods of spectral factorization of the autocorrelation function. a determination of the coefficients an of the autoregressive and mean-mobile model of orders p and q by solving the equation z {b} = Z {a} .Z {f}, where Z (u) is the Z transform of following u.
Preferably, the identification of the coefficients bn of the autoregressive and mean-mobile model of orders p and q using conventional methods of spectral factorization of the autocorrelation function can implement a real-time estimation of the autocorrelation function. of the signal which makes it possible to produce a symmetric polynomial in z then to carry out a spectral factorization or deconvolution of this polynomial to determine the moving-average part.
The determination of the coefficients an of the autoregressive and mean-mobile model of orders p and q by solving the equation z {b} = Ζ {ά} .Ζ {ϋ}, where Z (u) is the Z transform of the following u, can implement a numerical convolution between the two sets of coefficients.
DESCRIPTION OF THE FIGURES Other features and advantages of the invention will appear on reading the detailed description of implementations and non-limiting embodiments, with reference to the appended figure in which: FIG. 1 is a diagrammatic view of FIG. a process according to the invention.
Description of the invention
These embodiments being in no way limiting, it will be possible in particular to make variants of the invention comprising only a selection of characteristics described hereinafter, as described or generalized, isolated from the other characteristics described, if this selection of characteristics is sufficient to confer a technical advantage or to differentiate the invention from the state of the art.
One embodiment of a method P, said direct, according to the invention is now described with reference to FIG. The input of the process according to the invention is a temporal sequence denoted y. The output of the method according to the invention comprises the parameters <pkr Hkl rk and an adaptive Kalman filter. 0k is the transition matrix at a time k, rk is the dynamic transition vector at time k, Hk is the observation matrix at instant k and vk is a white noise at time k
The adaptive Kalman filter therefore checks the equations:
Xk = Φκ. · Xkl + ffeefc Ife = Hk.Xk + vk
During a step illustrated by the blocks E1, E2, E3, E4, E5 and E6, the method comprises a determination of the parameters p, g, a * and oj of an autoregressive and medium-mobile model of order p and g approaching the temporal sequence noted y, where p is the order of the autoregressive part of coefficients at for ie II, pi, and g is the order of the mean-moving part of coefficients bt for ie II, g].
During a step illustrated by step E7, the method comprises a determination of the parameters H, φ and G of the adaptive Kalman filter by solving the equation:
The determination of the parameters of the Kalman filter supposes to have modeled the temporal sequence y by a differential equation.
There is now described a first embodiment, also called a direct method, of a method for determining the parameters p, q, a; and bi of an autoregressive and mean-mobile model of order p and q approaching a temporal sequence denoted y, where p is the order of the autoregressive part of coefficients a * for ie [i, p], and q is the order of the middle-moving part of bi coefficients for ie [l, qr] |.
The sequence satisfies the equation yk + Σ ^ αίγκ-ί = vk + v is a discrete white noise of zero mean and variance σ $.
Noting z {s} the Z-transform of a sequence s, we can associate the ARMA model with an infinite impulse response filter of transfer function Z {b} / Z {a).
According to a step El, the method according to the invention comprises a determination of the parameters p and q.
According to a step E2, the method according to the invention comprises a determination of a parameter n greater than the sum of the parameters p and q, ie \ n> p + q.
According to a step E3, the method according to the invention comprises a determination of a long autoregressive model of order n and coefficients η for i edi, n] approaching the autoregressive and medium-mobile model. The long autoregressive model of order n can be represented by a transfer function 1 / z {r} with z {r} satisfying the equation l / z {r] = Z {b} / Z {a).
The coefficients r (i, n) are determined by the formula:
According to a step E4, the method according to the invention comprises a determination of a medium-mobile model of order n and coefficients f (i, n) approaching the autoregressive and average-mobile model from the determined coefficients r (i ,not). The long-term mobile-order model n
can be represented by a transfer function Z {r) with Z {r} satisfying the equation Z (fj = 1 / Z {r}.
The coefficients f (i, n) are determined by the formula:
According to a step E5, the method according to the invention comprises a determination of the coefficients andu autoregressive and average-moving model of orders p and q from the coefficients r (i, n) of the long-order autoregressive model of order n.
According to a step E6, the method according to the invention comprises a determination of the coefficients bn of the moving average part of said autoregressive and average-moving model of orders p and q by solving the equation ZfM = z {a} .z {f ), where z (u) is the Z transform of the sequence u.
The determination of the coefficients ani according to step E5, approximately solves m1 modified Yules Walker equations, with mr strictly greater than p: m1> p, and the determination of the coefficients bni according to step E6 approximately solves m2 equations of the system with m2 strictly greater than q: m2> q. Step E5 comprises a substep of determining a number. In particular, the coefficients of step E5 are determined by:
The matrix Γ being of size 0%, 1) and the matrix (φτφΥ1φτ being of size (p, mi), one checks well that the matrix A is of size (p, 1).
In particular, the coefficients of step E6 are determined by: B = [mat1 * mat] ~ 1.matt.col
and and
V e e [1, m2] col (i) = -matl (i + 1.1) + f (n, i)
Since the col matrix is of size (m2,1) and the matrix [mat * * matte] -1.mat * is of size (q, m2), we check that the matrix A is of size (g, l).
It is now described a second embodiment, also called a dual method, of a method for determining the parameters p, q, α, and δ, of an autoregressive and medium-mobile model of order p and q approaching a sequence. temporal note, where p is the order of the autoregressive part of coefficients a, for ie 11, pi, and q is the order of the moving-average part of coefficients 6, for ie [l, qr].
The sequence satisfies the equation yk + = vk + Σ ^ Μκ-ί · v is a discrete white noise of zero mean and variance σ $.
Noting z {s} the Z-transform of a sequence s, we can associate the ARMA model with an infinite impulse response filter of transfer function Z {b} / Z {a}.
According to a step E'1, the method according to the invention comprises a determination of the parameters p and q.
According to a step E '2, the method according to the invention comprises a determination of a parameter n greater than the sum of the parameters p and q, ie: n> p + q.
According to a step E'3, the method according to the invention comprises a determination of a long autoregressive model of order n and of coefficients η for ie λ1, nJ approaching the autoregressive and medium-mobile model. The long autoregressive model of order n can be represented by a transfer function l / z {r} with Z {r} satisfying the equation l / z {r} = z {b} / z {a}.
The coefficients r (i, ri) are determined by the formula:
According to a step E'6, the method according to the invention comprises a determination of the coefficients bn of the moving average part of said autoregressive and average-moving model of orders p and q using conventional methods of spectral factorization of the function d autocorrelation.
According to a step E5, the method according to the invention comprises a determination of the coefficients andu autoregressive and average-moving model of orders p and q from the coefficients r (i, n) of the long-order autoregressive model of order n.
The dual method comprises a determination of the coefficients of the moving-average part as a function of the autocorrelation function of the signal and then a determination of the coefficients of the autoregressive model as a function of the moving-average part determined previously.
The equations are similar to the direct method except that the long autoregressive model is replaced by the long-medium-mobile model and the autoregressive and medium-mobile order of order is reversed.
In the example described, the coefficients are p and q are chosen respectively strictly greater than m1 and m2. The invention extends to cases where m1 = p and q> m2 or m2 = q and m1> p. The invention extends in particular to cases where m1 = m2 = m and m> p and m> q.
It is now explained an example of application of the invention for the determination of the parameters β and ω, respectively called attenuation coefficient and fundamental pulsation, of the damped oscillator model.
The second-order differential equation or damped oscillator model that governs the parameter of physical quantity x, when x is the phase is: x (t) + 2 / x (t) + ωβΧ (ί) = e (t) ) Where e (t) is a dynamic white noise of zero mean and variance • cD0 is the pulsation. • β is the attenuation coefficient (in the multichannel case: it is a matrix).
The fundamental heartbeat of the system is expressed as:
The temporal sequence denoted y, where y is a vector formed by the estimates of x and x, can be approximated by an autoregressive and average-mobile model of order (2,2) of parameters alf a2f a3l a4.
This differential equation can also be in the form of a continuous state system:
By noting the matrices:
we can still write in matrix form: X = AX + Be Y = HX + u σ 2 where u and a white noise of measurement of zero average and of variance ".
This continuous state system takes the form of a discrete state system whose equations are given by the expressions below:
Xk = <t> Xk-l + ^ -ek Yk = HXk + vk
The transition matrix et and the transition vector Γ of the discrete Kalman filter state equation are determined by:
or
O
O
O
Where T is the sampling period.
One could easily establish a model of Kalman taking into account, all derivatives of order superior to the Doppler phase to refine the model.
As it was recalled earlier, the development of the equation:
provides a link between the ARMA coefficients and the associated Kalman model. We have :
It is thus possible to determine the parameters of the damped oscillator from the determined ARMA parameters (2.2) and the parameters of the Kalman filter associated with the determined ARMA model.
Of course, the invention is not limited to the examples that have just been described and many adjustments can be made to these examples without departing from the scope of the invention. In addition, the various features, shapes, variants and embodiments of the invention may be associated with each other in various combinations to the extent that they are not incompatible or exclusive of each other.
Claims (8)
Priority Applications (2)
| Application Number | Priority Date | Filing Date | Title |
|---|---|---|---|
| FR1650544A FR3047133B1 (en) | 2016-01-25 | 2016-01-25 | METHODS FOR DETERMINING PARAMETERS OF KALMAN FILTERS, ARMA MODEL PARAMETERS AND ASSOCIATED DEVICES |
| PCT/EP2017/051439 WO2017129569A1 (en) | 2016-01-25 | 2017-01-24 | Method for determining kalman filter parameters, arma model parameters and associated devices |
Applications Claiming Priority (2)
| Application Number | Priority Date | Filing Date | Title |
|---|---|---|---|
| FR1650544A FR3047133B1 (en) | 2016-01-25 | 2016-01-25 | METHODS FOR DETERMINING PARAMETERS OF KALMAN FILTERS, ARMA MODEL PARAMETERS AND ASSOCIATED DEVICES |
| FR1650544 | 2016-01-25 |
Publications (2)
| Publication Number | Publication Date |
|---|---|
| FR3047133A1 true FR3047133A1 (en) | 2017-07-28 |
| FR3047133B1 FR3047133B1 (en) | 2019-08-02 |
Family
ID=56263792
Family Applications (1)
| Application Number | Title | Priority Date | Filing Date |
|---|---|---|---|
| FR1650544A Expired - Fee Related FR3047133B1 (en) | 2016-01-25 | 2016-01-25 | METHODS FOR DETERMINING PARAMETERS OF KALMAN FILTERS, ARMA MODEL PARAMETERS AND ASSOCIATED DEVICES |
Country Status (2)
| Country | Link |
|---|---|
| FR (1) | FR3047133B1 (en) |
| WO (1) | WO2017129569A1 (en) |
Families Citing this family (2)
| Publication number | Priority date | Publication date | Assignee | Title |
|---|---|---|---|---|
| CN109249428B (en) * | 2018-11-12 | 2020-08-04 | 清华大学深圳研究生院 | Tail end Cartesian space rigidity modeling method of rope-driven linkage type mechanical arm |
| CN113946795A (en) * | 2021-09-17 | 2022-01-18 | 山东大学 | Ultrasonic flight time estimation method |
Citations (1)
| Publication number | Priority date | Publication date | Assignee | Title |
|---|---|---|---|---|
| US20040081230A1 (en) * | 2002-10-23 | 2004-04-29 | Farrokh Abrishamkar | Method and apparatus for pilot estimation using prediction error method |
-
2016
- 2016-01-25 FR FR1650544A patent/FR3047133B1/en not_active Expired - Fee Related
-
2017
- 2017-01-24 WO PCT/EP2017/051439 patent/WO2017129569A1/en active Application Filing
Patent Citations (1)
| Publication number | Priority date | Publication date | Assignee | Title |
|---|---|---|---|---|
| US20040081230A1 (en) * | 2002-10-23 | 2004-04-29 | Farrokh Abrishamkar | Method and apparatus for pilot estimation using prediction error method |
Non-Patent Citations (2)
| Title |
|---|
| JULIE DICKERSON: "Signal Modeling", 23 October 2006 (2006-10-23), XP055309912, Retrieved from the Internet <URL:http://home.engineering.iastate.edu/~julied/classes/ee524/LectureNotes/l7b.pdf> [retrieved on 20161012] * |
| ROBERT STINE: "Predicting ARMA Processes", 31 December 2011 (2011-12-31), pages 10 - 1, XP055309922, Retrieved from the Internet <URL:http://www-stat.wharton.upenn.edu/~stine/stat910/lectures/10_pred_arma.pdf> [retrieved on 20161012] * |
Also Published As
| Publication number | Publication date |
|---|---|
| FR3047133B1 (en) | 2019-08-02 |
| WO2017129569A1 (en) | 2017-08-03 |
Similar Documents
| Publication | Publication Date | Title |
|---|---|---|
| KR101182839B1 (en) | Method and Apparatus for Time domain Reverse Time Migration with Source Estimation | |
| FR2990769A1 (en) | ||
| Agudo et al. | Acoustic full-waveform inversion in an elastic world | |
| FR2989786A1 (en) | DEVICE AND METHOD FOR DEFANTOMING VARIABLE DEPTH FLUTE DATA | |
| FR2831717A1 (en) | INTERFERENCE ELIMINATION METHOD AND SYSTEM FOR MULTISENSOR ANTENNA | |
| FR3047133A1 (en) | METHODS FOR DETERMINING PARAMETERS OF KALMAN FILTERS, ARMA MODEL PARAMETERS AND ASSOCIATED DEVICES | |
| EP3040989B1 (en) | Improved method of separation and computer program product | |
| EP0730744B1 (en) | Seismic prospection method with application of a self-deconvoluted prediction error filter | |
| FR2952743A3 (en) | METHOD OF ESTIMATING THE MOTION OF A SCREEN OBSERVING INSTRUMENT OVERLOOKING A CELESTED BODY | |
| US20130242693A1 (en) | Seismic imaging system using a reverse time migration algorithm | |
| CN110967735A (en) | Self-adaptive ghost wave suppression method and system | |
| Zhang et al. | Least-squares reverse time migration with and without source wavelet estimation | |
| FR2971859A1 (en) | METHOD AND DEVICE FOR SMOOTHING WITH PRESERVATION OF THE TRAVEL TIME | |
| FR2839565A1 (en) | METHOD AND SYSTEM FOR REPRESENTING AN ACOUSTIC FIELD | |
| BE1025488B1 (en) | Method for calculating 2D mixed seismic propagation time | |
| FR3090179A1 (en) | Sound field interpolation method, computer program product and corresponding device. | |
| WO1990011494A1 (en) | Process and device for real-time spectral analysis of complex unsteady signals | |
| JP2006227328A (en) | Sound processor | |
| WO2023156316A1 (en) | Locating a moving acoustic source | |
| EP3850394A1 (en) | Method for determining a depth or a bathymetric profile based on an average sound speed profile, method for determining such a speed profile, and related sonar system | |
| CA2382313A1 (en) | Spatio-temporal process and device for one or more transmitters | |
| CN110703332A (en) | Ghost wave compression method | |
| FR2941055A1 (en) | METHOD FOR ACQUIRING VIBROSISMIC DATA CONCERNING A ZONE OF THE BASEMENT, AND SEISMIC EXPLORATION METHOD INCLUDING SUCH A METHOD | |
| Kim et al. | Least-squares reverse time migration using analytic-signal-based wavefield decomposition | |
| WO2016096130A1 (en) | Blind channel equaliser |
Legal Events
| Date | Code | Title | Description |
|---|---|---|---|
| PLFP | Fee payment |
Year of fee payment: 2 |
|
| PLSC | Publication of the preliminary search report |
Effective date: 20170728 |
|
| PLFP | Fee payment |
Year of fee payment: 3 |
|
| PLFP | Fee payment |
Year of fee payment: 4 |
|
| PLFP | Fee payment |
Year of fee payment: 5 |
|
| PLFP | Fee payment |
Year of fee payment: 6 |
|
| PLFP | Fee payment |
Year of fee payment: 7 |
|
| ST | Notification of lapse |
Effective date: 20230905 |