FR3047133B1 - METHODS FOR DETERMINING PARAMETERS OF KALMAN FILTERS, ARMA MODEL PARAMETERS AND ASSOCIATED DEVICES - Google Patents
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Abstract
Procédé et dispositif de détermination des paramètres d'un filtre de Kalman adaptatif à partir d'un modèle ARMA de données d'une série temporelle et procédé et dispositif de détermination d'un modèle ARMA approchant une série temporelle.Method and apparatus for determining the parameters of an adaptive Kalman filter from an ARMA model of time series data and method and device for determining an ARMA model approaching a time series.
Description
« Procédés de détermination de paramètres de filtres de Kalman, de paramètres de modèle ARMA et dispositifs associés »"Methods for determining Kalman filter parameters, ARMA model parameters and associated devices"
Domaine de l'inventionField of the invention
La présente invention a pour objet un procédé de détermination en temps réel de paramètres de filtres de Kalman. La présente invention a également pour objet de proposer un nouveau procédé de détermination de paramètres d'un modèle ARMA. La présente invention a en outre pour objet de proposer une méthode de détection d'un séisme.The present invention relates to a method for real-time determination of Kalman filter parameters. Another object of the present invention is to propose a new method for determining parameters of an ARMA model. The present invention further aims to provide a method of detecting an earthquake.
La présente invention a également pour objet des dispositifs associés à la détermination en temps réel de paramètres de filtres de Kalman, à la détermination en temps réel de paramètres d'un modèle ARMA, à la détection d'un séisme.The present invention also relates to devices associated with the real-time determination of Kalman filter parameters, the real-time determination of parameters of an ARMA model, and the detection of an earthquake.
Art antérieurPrior art
On connaît un procédé de détermination de filtre de Kalman adaptatif. Un tel procédé est basé sur des méthodes bayésiennes. Ce procédé consiste à choisir en temps réel le filtre le mieux adapté en fonction de critères de coûts calculés parmi un ensemble de filtres de différents modèles.A method of determining an adaptive Kalman filter is known. Such a method is based on Bayesian methods. This method consists in choosing in real time the most suitable filter based on cost criteria calculated from a set of filters of different models.
Un inconvénient de l'utilisation de méthodes bayésiennes dans la détermination de paramètres de filtres de Kalman adaptatif est qu’il faut déterminer, a priori, cet ensemble de filtres pour des modèles difficiles à déterminer et qui approximent grossièrement la réalité.A disadvantage of the use of Bayesian methods in the determination of adaptive Kalman filter parameters is that it is necessary to determine, a priori, this set of filters for models that are difficult to determine and roughly approximate the reality.
Un but de l'invention est de proposer un nouveau procédé de détermination de coefficients d'un filtre de Kalman adaptatif qui soit plus performant que celui qui vient d'être décrit.An object of the invention is to propose a new method for determining coefficients of an adaptive Kalman filter that is more efficient than the one just described.
On connaît un procédé de détermination de coefficients notés p, q, at et bi d'une suite temporelle notée y par un modèle autorégressif et moyenne-mobile d’ordre p et q, où p est l’ordre de la partie autorégressive de coefficients at pour i e ΠΧ pi et q est l’ordre de la partie moyenne-mobile de coefficients bi pour i e Œl,q]|.A method for determining coefficients noted p, q, at and bi of a temporal sequence denoted y by an autoregressive and medium-mobile model of order p and q, where p is the order of the autoregressive part of coefficients is for ie ΠΧ pi and q is the order of the middle-moving part of coefficients bi for ie Œ1, q] |.
Le procédé selon l'art antérieur a pour but de déterminer les coefficients ai et bi de la série temporelley de sorte que cette série vérifie l'équation :The method according to the prior art aims to determine the coefficients a 1 and b 2 of the time series so that this series satisfies the equation:
Le procédé selon l'art antérieur comporte : - une détermination des paramètres p et q ;The method according to the prior art comprises: a determination of the parameters p and q;
- une détermination d'un paramètre n plus grand que la somme des paramètres p et q : n>p+q ; - une détermination d'un modèle autorégressif long d'ordre n et de coefficients rn approchant le modèle autorégressif et moyenne-mobile, - une détermination d'un modèle moyenne-mobile d'ordre n et de coefficients rn approchant le modèle autorégressif et moyenne-mobile à partir des coefficients déterminés rn, - une détermination des coefficients at de la partie autorégressive dudit modèle autorégressif et moyenne-mobile à partir des coefficients en résolvant l'équation R. A = Γ oùa determination of a parameter n larger than the sum of the parameters p and q: n> p + q; a determination of a long-term autoregressive model of order n and coefficients rn approaching the autoregressive and medium-mobile model, a determination of a n-order moving average model and coefficients rn approaching the autoregressive and average model -mobile from the determined coefficients rn, - a determination of the coefficients at and of the autoregressive part of said autoregressive and average-mobile model from the coefficients by solving the equation R. A = Γ where
- une détermination de la partie moyenne-mobile dudit modèle autorégressif et moyenne-mobile d’ordres p et q en résolvant l'équation Z[bn} = Z[an}.Z{rn}.a determination of the moving average part of said autoregressive and moving average model of orders p and q by solving the equation Z [bn] = Z [an] .Z {rn}.
Un but de l'invention est de proposer un nouveau procédé de détermination de coefficients d'un modèle ARMA d'un processus et un dispositif mettant en œuvre ce procédé.An object of the invention is to propose a new method for determining the coefficients of an ARMA model of a process and a device implementing this method.
Exposé de l'inventionPresentation of the invention
Selon un premier aspect de l'invention, on atteint au moins l'un des buts précités avec un procédé, de détermination des paramètres H, φ et G d'un filtre de Kalman adaptatif vérifiant les équations :According to a first aspect of the invention, at least one of the above-mentioned aims is reached with a method for determining the parameters H, φ and G of an adaptive Kalman filter satisfying the equations:
où </>fe est la matrice de transition à un instant k, rk est le vecteur dynamique de transition à l'instant k, Hk est la matrice d'observation à l'instant k et vk est un bruit blanc à l'instant k, ledit procédé comprenant : - une détermination des paramètres p , q , at et bi d'un modèle autorégressif et moyenne-mobile d’ordre p et q approchant une suitewhere </> fe is the transition matrix at a moment k, rk is the dynamic transition vector at time k, Hk is the observation matrix at instant k and vk is a white noise at the moment k, said method comprising: - a determination of the parameters p, q, at and bi of an autoregressive and medium-mobile model of order p and q approaching a sequence
temporelle notée y, où p est l'ordre de la partie autorégressive de coefficients at pour i e [[1,p]|, et q est l'ordre de la partie moyenne-mobile de coefficients pour i e ¢1, g], - une détermination des paramètres H, φ et G du filtre de Kalman adaptatif par résolution de l'équation :temporal value noted y, where p is the order of the autoregressive part of coefficients at for ie [[1, p] |, and q is the order of the average-moving part of coefficients for ie ¢ 1, g], - a determination of the parameters H, φ and G of the adaptive Kalman filter by solving the equation:
Selon un deuxième aspect de l'invention, il est proposé un dispositif comprenant : - une entrée pour recevoir une suite temporelle notée y, - une sortie générant des paramètres d'un filtre de Kalman adaptatif en temps réel de la suite temporelle - un micro-processeur configuré pour mettre en œuvre le procédé de détermination selon le premier aspect de l'invention.According to a second aspect of the invention, there is provided a device comprising: an input for receiving a time sequence denoted y, an output generating parameters of a real-time adaptive Kalman filter of the temporal sequence a microphone processor configured to implement the determination method according to the first aspect of the invention.
On entend par temps réel un algorithme capable de proposer une sortie en un temps inférieur à celui correspondant à une fréquence d'échantillonnage générant la suite y en entrée.In real time is meant an algorithm capable of proposing an output in a time less than that corresponding to a sampling frequency generating the following input.
Selon un troisième aspect de l'invention, il est proposé un procédé de détermination des paramètres p, q, at et d'un modèle autorégressif et moyenne-mobile d’ordre p et q approchant une suite temporelle notée y, où p est l’ordre de la partie autorégressive de coefficients at pour i e Œl,p]|, et q est l’ordre de la partie moyenne-mobile de coefficients bi pour i e ¢1, g].According to a third aspect of the invention, there is provided a method for determining the parameters p, q, at and an autoregressive and medium-mobile model of order p and q approaching a time sequence denoted by y, where p is the same. the order of the autoregressive part of coefficients at for Œ1, p] |, and q is the order of the middle-moving part of coefficients bi for ie ¢ 1, g].
Selon l'invention, le procédé comprend : - une détermination des paramètres p et g, - une détermination d'un paramètre n plus grand que la somme des paramètres? et g, i.e. : n > p + q, - une détermination d'un modèle autorégressif long d'ordre n et de coefficients η pour i e [[1,n]| approchant le modèle autorégressif et moyenne-mobile.According to the invention, the method comprises: a determination of the parameters p and g; a determination of a parameter n greater than the sum of the parameters; and g, i.e.: n> p + q, - a determination of a long autoregressive model of order n and coefficients η for i e [[1, n] | approaching the autoregressive and medium-mobile model.
On appellera ci-après « procédé du type spécifié » un procédé répondant à cette définition.Hereinafter referred to as "process of the specified type" a method meeting this definition.
On atteint au moins l'un des buts précités avec un procédé du type spécifié pour lequel, selon un quatrième aspect de l'invention, est mis en œuvre :At least one of the aforementioned objects is achieved with a method of the specified type for which, according to a fourth aspect of the invention, is implemented:
- une détermination d'un modèle moyenne-mobile d'ordre n et de coefficients f(i,n) approchant le modèle autorégressif et moyenne-mobile à partir des coefficients déterminés r(j,n), - une détermination des coefficients an dudit modèle autorégressif et moyenne-mobile d’ordres p et g à partir des coefficients r(i,ri) du modèle autorégressif long d'ordre n, - une détermination des coefficients bn de la partie moyenne-mobile dudit modèle autorégressif et moyenne-mobile d’ordres p et q en résolvant l'équation Z{b} = Z{a}.Z{r}, où Z(u) est la transformée en Z de la suite u.a determination of a medium-mobile model of order n and of coefficients f (i, n) approximating the autoregressive and mean-mobile model from the determined coefficients r (j, n), a determination of the coefficients an of said autoregressive and mean-mobile model of orders p and g from the coefficients r (i, ri) of the long-term autoregressive model of order n, - a determination of the coefficients bn of the middle-mobile part of said autoregressive and medium-mobile model of orders p and q by solving the equation Z {b} = Z {a} .Z {r}, where Z (u) is the Z-transform of the sequence u.
La transformation en Z est une application qui transforme une suite s (définie sur les entiers) en une fonction S d’une variable complexe nommée z, telle queThe transformation into Z is an application that transforms a sequence s (defined on integers) into a function S of a complex variable named z, such that
lorsque la série (Ση=-τ^(η)ζ~η>)Γ converge lorsque r tend vers l'infini.when the series (Ση = -τ ^ (η) ζ ~ η>) converges when r tends to infinity.
Selon l'invention, la détermination des coefficients an résout de manière approchée m1 équations de Yules Walker modifiées, avec m1 strictement supérieur à p : m1 > p, et/ou la détermination des coefficients bn résolvant de manière approchée m2 équations du système avec m2 strictement supérieur à q : m2 > q.According to the invention, the determination of the coefficients an approximately solves m1 modified Yule Walker equations, with m1 strictly greater than p: m1> p, and / or the determination of the coefficients bn approximately solving m2 equations of the system with m2 strictly greater than q: m2> q.
La détermination des paramètres p et g peut avantageusement être réalisée au moyen d'une méthode MINIC (pour l'anglais Minimum Information Criterion).The determination of the parameters p and g can advantageously be carried out by means of a MINIC method (for the English Minimum Information Criterion).
Deux critères peuvent être mis en œuvre par la méthode MINIC : - le critère BIC (pour l'anglais « Bayesian Criterion Indice »), - le critère AIC (pour l'anglais « Akaike Information Criterion »).Two criteria can be implemented by the MINIC method: - the criterion BIC (for the English "Bayesian Criterion Index"), - the criterion AIC (for the English "Akaike Information Criterion").
Avantageusement, n peut être déterminé dans l'intervalle [3(p+q),4(p+q)]. En combinaison ou alternativement, n peut être déterminé en utilisant le critère d'Aikaike ou celui de Rissanen.Advantageously, n can be determined in the range [3 (p + q), 4 (p + q)]. In combination or alternatively, n can be determined using the Aikaike or Rissanen criteria.
La détermination du modèle autorégressif long d'ordre n et de coefficients r(i,n) peut avantageusement mettre en œuvre : - des filtres en treillis ;The determination of the long autoregressive model of order n and of coefficients r (i, n) can advantageously implement: trellis filters;
- l'algorithme de Levinson ; - l'algorithme de Burg, qui garantit un filtre à réponse impulsionnelle infinie à minimum de phase ; - un algorithme des moindres carrés. L'algorithme des moindres carrés peut être mis en œuvre en utilisant la corrélation. Celle-ci minimise la puissance de l'erreur de prédiction linéaire. La méthode des corrélations est une méthode avec fenêtrage. Dans ce cas, on peut utiliser l'algorithme de Levinson-Durbin pour résoudre l'équation obtenue. L'algorithme des moindres carrés peut être mis en œuvre en utilisant la méthode des covariances. Celle-ci minimise la puissance de l'erreur de prédiction linéaire. La méthode des covariances est une méthode sans fenêtrage. On peut utiliser des méthodes en O(p2) pour résoudre le système obtenu par cette méthode. On peut par exemple utiliser un algorithme développé par Morf et Al pour résoudre le système obtenu. L'algorithme des moindres carrés peut être mis en œuvre en utilisant la méthode des covariances modifiées. Celle-ci minimise la puissance de la demi-somme des erreurs de prédiction arrière et avant. On peut par exemple utiliser un algorithme développé par Marple pour résoudre le système obtenu.- the Levinson algorithm; the Burg algorithm, which guarantees an infinite impulse response filter with minimum phase; - a least squares algorithm. The least squares algorithm can be implemented using correlation. This minimizes the power of the linear prediction error. The correlation method is a windowing method. In this case, one can use the Levinson-Durbin algorithm to solve the equation obtained. The least squares algorithm can be implemented using the covariance method. This minimizes the power of the linear prediction error. The covariances method is a method without windowing. O (p2) methods can be used to solve the system obtained by this method. One can for example use an algorithm developed by Morf and Al to solve the system obtained. The least squares algorithm can be implemented using the modified covariance method. This minimizes the power of the half-sum of the forward and backward prediction errors. One can for example use an algorithm developed by Marple to solve the system obtained.
Avantageusement, la détermination du modèle autorégressif long d'ordre n et de coefficient r(i,ri) est calculée à l'aide de l'algorithme de Levinson. Dans ce cas, les coefficients r(i,ri) sont déterminés par la formule :Advantageously, the determination of the long autoregressive model of order n and coefficient r (i, ri) is calculated using the Levinson algorithm. In this case, the coefficients r (i, ri) are determined by the formula:
De préférence, les coefficients sont déterminés par :Preferably, the coefficients are determined by:
La détermination des coefficients an à partir des coefficients η du modèle autorégressif long d'ordre n en résolvant de manière approchée m1 équations de Yules Walker modifiées à p inconnues, où m1 est strictement supérieur à p, c'est à dire mr > p, peut mettre en œuvre une pseudo inverse des moindres carrés.The determination of the coefficients an from the coefficients η of the n-order autoregressive model by approximatively solving m1 equations of Yules Walker modified to p unknowns, where m1 is strictly greater than p, that is to say mr> p, can implement a pseudo inverse least squares.
La pseudo inverse des moindres carrés d'une matrice A est le produit, d'une part de l'inverse du produit de la transposée de A par elle même et d'autre part, de la transposée de A :The pseudo least squares inverse of a matrix A is the product, on the one hand, of the inverse of the product of the transpose of A by itself and, on the other hand, of the transpose of A:
Lorsque la détermination des coefficients an résout de manière approchée m1 équations de Yules Walker modifiées à p inconnues, où m1 est strictement supérieur à p, i.e. m1 > p, et qu'il est mis en œuvre une pseudo inverse des moindres carrés, on peut avoir :When the determination of the coefficients an approximately solves m1 equations of Yules Walker modified to p unknowns, where m1 is strictly greater than p, ie m1> p, and that a least squares inverse pseudo is implemented, it is possible to to have :
La détermination des coefficients bn de la partie moyenne-mobile du modèle autorégressif et moyenne-mobile d’ordres ? et g en résolvant le système Z{b} = Z(a).Z(f), où Z(u) est la transformée en Z de la suite u, peut résoudre de manière approchée m2 équation à m2 inconnues avec m2 > g.The determination of the coefficients bn of the middle-mobile part of the autoregressive and medium-mobile order model? and g by solving the system Z {b} = Z (a) .Z (f), where Z (u) is the Z-transform of the sequence u, can approximate m2 of equation to unknown m2 with m2> g .
Lorsque c'est le cas, cette détermination peut mettre en œuvre une pseudo inverse des moindres carrés, telle que définie ci-dessus.When this is the case, this determination can implement a least squares inverse pseudo, as defined above.
Lorsque la détermination des coefficients bn résout de manière approchée m2 équations du systèmeZ(b) = Z(a).Z(f), où m2 est strictement supérieur àWhen the determination of the coefficients bn approximately solves m2 equations of the system Z (b) = Z (a) .Z (f), where m2 is strictly greater than
q, i.e. m2 > q, et qu'il est mis en œuvre une pseudo inverse des moindres carrés, on peut avoir :q, i.e. m2> q, and that it is implemented a pseudo inverse least squares, one can have:
Alternativement, on atteint au moins l'un des buts précités avec un procédé du type spécifié pour lequel, selon un cinquième aspect de l'invention, est mis en œuvre : - une identification des coefficients bn du modèle autorégressif et moyenne-mobile d’ordres p et g en utilisant des méthodes classiques de factorisation spectrale de la fonction d'autocorrélation. - une détermination des coefficients an du modèle autorégressif et moyenne-mobile d’ordres p et g en résolvant l'équation Z{b} = Z{a}.Z{r}, où Z(u) est la transformée en Z de la suite u.Alternatively, at least one of the aforementioned aims is reached with a method of the specified type for which, according to a fifth aspect of the invention, is implemented: an identification of the coefficients bn of the autoregressive and medium-mobile model of orders p and g using classical methods of spectral factorization of the autocorrelation function. a determination of the coefficients an of the autoregressive and mean-mobile model of orders p and g by solving the equation Z {b} = Z {a} .Z {r}, where Z (u) is the Z transform of following u.
De préférence, l'identification des coefficients bn du modèle autorégressif et moyenne-mobile d’ordres p et q utilisant des méthodes classiques de factorisation spectrale de la fonction d'autocorrélation peut mettre en œuvre une estimation en temps réel de la fonction d’autocorrélation du signal qui permet de produire un polynôme symétrique en z puis d'effectuer une factorisation spectrale ou déconvolution de ce polynôme pour déterminer la partie moyenne-mobile.Preferably, the identification of the coefficients bn of the autoregressive and mean-mobile model of orders p and q using conventional methods of spectral factorization of the autocorrelation function can implement a real-time estimation of the autocorrelation function. of the signal which makes it possible to produce a symmetric polynomial in z then to carry out a spectral factorization or deconvolution of this polynomial to determine the moving-average part.
La détermination des coefficients an du modèle autorégressif et moyenne-mobile d’ordres p et q en résolvant l'équation Z(b) = Z(a).Z(r), où Z(u) est la transformée en Z de la suite u, peut mettre en œuvre une convolution numérique entre les deux séries de coefficients.The determination of the coefficients an of the autoregressive and mean-mobile model of orders p and q by solving the equation Z (b) = Z (a) .Z (r), where Z (u) is the Z transform of the following u, can implement a numerical convolution between the two sets of coefficients.
Description des figures D'autres particularités et avantages de l'invention apparaîtront à la lecture de la description détaillée de mises en œuvre et de modes de réalisation nullement limitatifs, au regard de la figure annexée sur lesquelles : la figure 1 est une vue schématique d'un procédé selon l'invention.DESCRIPTION OF THE FIGURES Other features and advantages of the invention will appear on reading the detailed description of implementations and non-limiting embodiments, with reference to the appended figure in which: FIG. 1 is a diagrammatic view of FIG. a process according to the invention.
Description de l'inventionDescription of the invention
Ces modes de réalisation n'étant nullement limitatifs, on pourra notamment réaliser des variantes de l'invention ne comprenant qu'une sélection de caractéristiques décrites par la suite, telles que décrites ou généralisées, isolées des autres caractéristiques décrites, si cette sélection de caractéristiques est suffisante pour conférer un avantage technique ou pour différencier l'invention par rapport à l'état de la technique.These embodiments being in no way limiting, it will be possible in particular to make variants of the invention comprising only a selection of characteristics described hereinafter, as described or generalized, isolated from the other characteristics described, if this selection of characteristics is sufficient to confer a technical advantage or to differentiate the invention from the state of the art.
Il est maintenant décrit en référence à la figure 1 un mode de réalisation d'un procédé P, dit direct, selon l'invention. L'entrée du procédé selon l'invention est une suite temporelle notée y. La sortie du procédé selon l'invention comprend les paramètres Hk, rk et d'un filtre de Kalman adaptatif. </>fe est la matrice de transition à un instant k, rk est le vecteur dynamique de transition à l'instant k, Hk est la matrice d'observation à l'instant k et vk est un bruit blanc à l'instant kOne embodiment of a method P, said direct, according to the invention is now described with reference to FIG. The input of the process according to the invention is a temporal sequence denoted y. The output of the method according to the invention comprises the parameters Hk, rk and an adaptive Kalman filter. </> fe is the transition matrix at a time k, rk is the dynamic transition vector at time k, Hk is the observation matrix at instant k and vk is a white noise at time k
Le filtre de Kalman adaptatif vérifie donc les équations :The adaptive Kalman filter therefore checks the equations:
Lors d'une étape illustrée par les blocs El, E2, E3, E4, E5 et E6, le procédé comprend une détermination des paramètres p, q,^ et bi d'un modèle autorégressif et moyenne-mobile d’ordre p et q approchant la suite temporelle notée y, où p est l’ordre de la partie autorégressive de coefficients at pour i e Œl,p]|, et q est l’ordre de la partie moyenne-mobile de coefficients bi pour i e [[1, g].During a step illustrated by the blocks E1, E2, E3, E4, E5 and E6, the method comprises a determination of the parameters p, q, ^ and bi of an autoregressive and medium-mobile model of order p and q approaching the temporal sequence noted y, where p is the order of the autoregressive part of coefficients at for Œ1, p] |, and q is the order of the moving-average part of coefficients bi for ie [[1, g ].
Lors d'une étape illustrée par l'étape E7, le procédé comprend une détermination des paramètres H, φ et G du filtre de Kalman adaptatif par résolution de l'équation :During a step illustrated by step E7, the method comprises a determination of the parameters H, φ and G of the adaptive Kalman filter by solving the equation:
La détermination des paramètres du filtre de Kalman suppose d'avoir modélisé la suite temporelle y par une équation différentielle.The determination of the parameters of the Kalman filter supposes to have modeled the temporal sequence y by a differential equation.
Il est maintenant décrit un premier mode de réalisation, aussi appelé procédé direct, d'un procédé de détermination des paramètres p, q, at et bi d'un modèle autorégressif et moyenne-mobile d’ordre ? et g approchant une suite temporelle notée y, où p est l’ordre de la partie autorégressive de coefficients at pour i e II,?], et g est l’ordre de la partie moyenne-mobile de coefficients bi pour i e El, g]].There is now described a first embodiment, also called a direct method, of a method for determining the parameters p, q, at and bi of an autoregressive and average-mobile order model. and g approaching a temporal sequence denoted y, where p is the order of the autoregressive part of coefficients at for ie II, [], and g is the order of the moving average part of coefficients bi for the E1, g] ].
La suite vérifie l'équationThe following checks the equation
v est un bruit blanc discret de moyenne nulle et de variance σ$.v is a discrete white noise of zero mean and variance σ $.
En notant Z {s} la transformée en Z d'une suite s, on peut associer le modèle ARMA à un filtre de réponse impulsionnelle infinie de fonction de transfert Z{b}/Z{a}.Noting Z {s} the Z-transform of a sequence s, we can associate the ARMA model with an infinite impulse response filter of transfer function Z {b} / Z {a}.
Selon une étape El, le procédé selon l'invention comprend une détermination des paramètres p et g.According to a step El, the method according to the invention comprises a determination of the parameters p and g.
Selon une étape E2, le procédé selon l'invention comprend une détermination d'un paramètre n plus grand que la somme des paramètres p et g, i.e. : n > p + q.According to a step E2, the method according to the invention comprises a determination of a parameter n larger than the sum of the parameters p and g, i.e .: n> p + q.
Selon une étape E3, le procédé selon l'invention comprend une détermination d'un modèle autorégressif long d'ordre n et de coefficients η pour i e Œl,n]| approchant le modèle autorégressif et moyenne-mobile. Le modèle autorégressif long d'ordre n peut être représenté par une fonction de transfert 1/Z{r} avec Z{r} vérifiant l'équation 1/Z{r} = Z{b}/Z{a}.According to a step E3, the method according to the invention comprises a determination of a long autoregressive model of order n and of coefficients η for i e Œ 1, n] | approaching the autoregressive and medium-mobile model. The long autoregressive model of order n can be represented by a transfer function 1 / Z {r} with Z {r} satisfying the equation 1 / Z {r} = Z {b} / Z {a}.
Les coefficients r(i,ri) sont déterminés par la formule :The coefficients r (i, ri) are determined by the formula:
Selon une étape E4, le procédé selon l'invention comprend une détermination d'un modèle moyenne-mobile d'ordre n et de coefficients f(i,n) approchant le modèle autorégressif et moyenne-mobile à partir des coefficients déterminés r(i,ri). Le modèle moyenne-mobile long d'ordre nAccording to a step E4, the method according to the invention comprises a determination of a medium-mobile model of order n and coefficients f (i, n) approaching the autoregressive and average-mobile model from the determined coefficients r (i ri). The long-term mobile-order model n
peut être représenté par une fonction de transfert Z{f} avec Z{f} vérifiant l'équation Z{f} = 1/Z(r).can be represented by a transfer function Z {f} with Z {f} satisfying the equation Z {f} = 1 / Z (r).
Les coefficients f(i,n) sont déterminés par la formule :The coefficients f (i, n) are determined by the formula:
Selon une étape E5, le procédé selon l'invention comprend une détermination des coefficients an du modèle autorégressif et moyenne-mobile d’ordres p et g à partir des coefficients r(i,ri) du modèle autorégressif long d'ordre n.According to a step E5, the method according to the invention comprises a determination of the coefficients an of the autoregressive and average-mobile model of orders p and g from the coefficients r (i, ri) of the long-term autoregressive model of order n.
Selon une étape E6, le procédé selon l'invention comprend une détermination des coefficients bn de la partie moyenne-mobile dudit modèle autorégressif et moyenne-mobile d’ordres p et g en résolvant l'équationZfô} = Z{a}.Z{r}, où Z(u) est la transformée en Z de la suite u.According to a step E6, the method according to the invention comprises a determination of the coefficients bn of the moving average part of said autoregressive and average-moving model of orders p and g by solving the equation Zf0} = Z {a} .Z { r}, where Z (u) is the Z-transform of the sequence u.
La détermination des coefficients an, selon l'étape E5, résout de manière approchée m1 équations de Yules Walker modifiées, avec m1 strictement supérieur à p : m1 > p, et la détermination des coefficients bn, selon l'étape E6 résout de manière approchée m2 équations du système avec m2 strictement supérieur à g : m2 > g. L'étape E5 comprend une sous étape de détermination d'un nombre En particulier, les coefficients de l'étape E5 sont déterminés par :The determination of the coefficients an, according to the step E5, approximately solves m1 equations of Yules Walker modified, with m1 strictly greater than p: m1> p, and the determination of the coefficients bn, according to the step E6 resolves approximately m2 system equations with m2 strictly greater than g: m2> g. Step E5 comprises a substep of determining a number. In particular, the coefficients of step E5 are determined by:
La matrice Γ étant de taille (m1; 1) et la matrice (,φτφ>)~1φτ étant de taille (ρ,τη^, on vérifie bien que la matrice A est de taille (p, 1).The matrix Γ being of size (m1; 1) and the matrix (, φτφ>) ~ 1φτ being of size (ρ, τη ^, one checks well that the matrix A is of size (p, 1).
En particulier, les coefficients de l'étape E6 sont déterminés par :In particular, the coefficients of step E6 are determined by:
La matrice col étant de taille (m2,1) et la matrice [matt*mat] 1.matt étant de taille (g,m2), on vérifie bien que la matrice A est de taille (g,1).Since the col matrix is of size (m2,1) and the matrix [matt * mat] 1.matt is of size (g, m2), it is verified that the matrix A is of size (g, 1).
Il est maintenant décrit un deuxième mode de réalisation, aussi appelé procédé dual, d'un procédé de détermination des paramètres p, q,^ et bi d'un modèle autorégressif et moyenne-mobile d’ordre p et g approchant une suite temporelle notéey, où p est l’ordre de la partie autorégressive de coefficients at pour i e El,pi, et g est l’ordre de la partie moyenne-mobile de coefficients bi pour i e El,g],There is now described a second embodiment, also called a dual method, of a method for determining the parameters p, q, and bi of an autoregressive and medium-mobile model of order p and g approximating a temporal sequence noted where p is the order of the autoregressive part of coefficients at for ie El, pi, and g is the order of the middle-moving part of coefficients bi for ie El, g],
La suite vérifie l'équation ;The following checks the equation;
v est un bruit blanc discret de moyenne nulle et de variance σ2.v is a discrete white noise of zero mean and variance σ2.
En notant Z {s} la transformée en Z d'une suite s, on peut associer le modèle ARMA à un filtre de réponse impulsionnelle infinie de fonction de transfert Z{b}/Z{a}.Noting Z {s} the Z-transform of a sequence s, we can associate the ARMA model with an infinite impulse response filter of transfer function Z {b} / Z {a}.
Selon une étape E'1, le procédé selon l'invention comprend une détermination des paramètres p et g.According to a step E'1, the method according to the invention comprises a determination of the parameters p and g.
Selon une étape E'2, le procédé selon l'invention comprend une détermination d'un paramètre nplus grand que la somme des paramètres p et g, i.e. : n > p + g.According to a step E'2, the method according to the invention comprises a determination of a parameter n greater than the sum of the parameters p and g, i.e .: n> p + g.
Selon une étape E'3, le procédé selon l'invention comprend une détermination d'un modèle autorégressif long d'ordre n et de coefficients η pour i e Œl,n]| approchant le modèle autorégressif et moyenne-mobile. Le modèle autorégressif long d'ordre n peut être représenté par une fonction de transfert 1/Z{r} avec Z{r} vérifiant l'équation 1/Z{r} = Z(b)/Z(a).According to a step E'3, the method according to the invention comprises a determination of a long autoregressive model of order n and coefficients η for i e Œ 1, n] | approaching the autoregressive and medium-mobile model. The long autoregressive model of order n can be represented by a transfer function 1 / Z {r} with Z {r} satisfying the equation 1 / Z {r} = Z (b) / Z (a).
Les coefficients r(i,ri) sont déterminés par la formule :The coefficients r (i, ri) are determined by the formula:
Selon une étape E'6, le procédé selon l'invention comprend une détermination des coefficients bn de la partie moyenne-mobile dudit modèle autorégressif et moyenne-mobile d’ordres ? et g en utilisant des méthodes classiques de factorisation spectrale de la fonction d'autocorrélation.According to a step E'6, the method according to the invention comprises a determination of the coefficients bn of the middle-mobile part of said autoregressive and medium-mobile order model. and g using conventional methods of spectral factorization of the autocorrelation function.
Selon une étape E5, le procédé selon l'invention comprend une détermination des coefficients an du modèle autorégressif et moyenne-mobile d’ordres ? et g à partir des coefficients r(i,ri) du modèle autorégressif long d'ordre n.According to a step E5, the method according to the invention comprises a determination of the coefficients an of the autoregressive and average-mobile order model. and g from the coefficients r (i, ri) of the long-term autoregressive model of order n.
Le procédé dual comprend une détermination des coefficients de la partie moyenne-mobile en fonction de la fonction d’autocorrélation du signal puis une détermination des coefficients du modèle autorégressif en fonction de la partie moyenne-mobile déterminée précédemment.The dual method comprises a determination of the coefficients of the moving-average part as a function of the autocorrelation function of the signal and then a determination of the coefficients of the autoregressive model as a function of the moving-average part determined previously.
Les équations sont similaires à la méthode directe sauf que l’on remplace le modèle autorégressif long par le modèle moyenne-mobile long et qu’on intervertit l’ordre de détermination autorégressif et moyenne-mobile.The equations are similar to the direct method except that the long autoregressive model is replaced by the long-medium-mobile model and the autoregressive and medium-mobile order of order is reversed.
Dans l'exemple décrit, les coefficients sont p et q sont choisis respectivement strictement supérieurs à m1 et m2. L'invention s'étend aux cas pour lesquels mr = p et g > m2 ou m2 = g et m1 > p. L'invention s'étend notamment aux cas pour lesquels m1 = m2 = m et m > p et m > g.In the example described, the coefficients are p and q are chosen respectively strictly greater than m1 and m2. The invention extends to cases where mr = p and g> m2 or m2 = g and m1> p. The invention extends in particular to cases where m1 = m2 = m and m> p and m> g.
Il est maintenant explicité un exemple d'application de l'invention pour la détermination des paramètres β et ω, respectivement appelés coefficient d'atténuation et pulsation fondamentale, du modèle oscillateur amorti.It is now explained an example of application of the invention for the determination of the parameters β and ω, respectively called attenuation coefficient and fundamental pulsation, of the damped oscillator model.
L'équation différentielle du deuxième ordre ou modèle oscillateur amorti qui régit le paramètre de grandeur physique x, lorsque x est la phase est la suivante : oùThe second-order differential equation or damped oscillator model that governs the parameter of physical magnitude x, when x is the phase is: where
• e(t) est un bruit blanc dynamique de moyenne nulle et de variance • <OOest la pulsation. • β est le coefficient d'atténuation (dans le cas multicanal : il s'agit d'une matrice).• e (t) is a dynamic white noise of zero mean and variance • <OO is the pulsation. • β is the attenuation coefficient (in the multichannel case: it is a matrix).
La pulsation fondamentale du système a pour expression :The fundamental heartbeat of the system is expressed as:
La suite temporelle notée y, où y est un vecteur formé par les estimée de x et x peut être approchée par un modèle autorégressif et moyenne-mobile d’ordre (2,2) de paramètres alr a2, a3, a4.The temporal sequence denoted y, where y is a vector formed by the estimates of x and x, can be approximated by an autoregressive and average-mobile model of order (2,2) of parameters alr a2, a3, a4.
Cette équation différentielle peut par ailleurs se mettre sous la forme d'un système d'état continu :This differential equation can also be in the form of a continuous state system:
En notant les matrices :By noting the matrices:
on peut encore écrire sous forme matricielle :we can still write in matrix form:
2 où u et un bruit blanc de mesure de moyenne nulle et de variance0" .2 where u and a white noise of measurement of zero mean and variance0 ".
Ce système d'état continu se met sous la forme d'un système d'état discret dont les équations sont données par les expressions ci-dessous :This continuous state system takes the form of a discrete state system whose equations are given by the expressions below:
La matrice de transition et le vecteur de transition Γ de l'équation d'état du filtre de Kalman discret étant déterminés par : oùThe transition matrix and the transition vector Γ of the discrete Kalman filter state equation are determined by: where
où T est la période d'échantillonnage.where T is the sampling period.
On pourrait aisément établir un modèle de Kalman prenant en outre en compte, toutes dérivées d'ordre supérieur à au Doppler de la phase pour affiner le modèle.One could easily establish a model of Kalman taking into account, all derivatives of order superior to the Doppler phase to refine the model.
Comme il a été rappelé précédemment, le développement de l'équation :As it was recalled earlier, the development of the equation:
permet d'établir un lien entre les coefficients ARMA et le modèle de Kalman associé. On a :provides a link between the ARMA coefficients and the associated Kalman model. We have :
On peut ainsi déterminer les paramètres de l'oscillateur amorti à partir des paramètres ARMA(2,2) déterminés et des paramètres du filtre de Kalman associé au modèle ARMA déterminé.It is thus possible to determine the parameters of the damped oscillator from the determined ARMA parameters (2.2) and the parameters of the Kalman filter associated with the determined ARMA model.
Bien sûr, l'invention n'est pas limitée aux exemples qui viennent d'être décrits et de nombreux aménagements peuvent être apportés à ces exemples sans sortir du cadre de l'invention. De plus, les différentes caractéristiques, formes, variantes et modes de réalisation de l'invention peuvent être associés les uns avec les autres selon diverses combinaisons dans la mesure où ils ne sont pas incompatibles ou exclusifs les uns des autres.Of course, the invention is not limited to the examples that have just been described and many adjustments can be made to these examples without departing from the scope of the invention. In addition, the various features, shapes, variants and embodiments of the invention may be associated with each other in various combinations to the extent that they are not incompatible or exclusive of each other.
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