METHODE DE CONTROLE DE L'ASPECT DE LA SURFACE D'UN PNEUMATIQUE [001] L'invention concerne le domaine de la fabrication des pneumatiques, et plus particulièrement les opérations de contrôle de l'aspect extérieur ou intérieur des pneumatiques en cours ou en fin du processus de fabrication, dans le but d'en déterminer la conformité par rapport à des références de contrôle établies en vue de l'usage qui sera fait dudit pneumatique. [002] L'accroissement, à coût constant, de la puissance de calcul par ordinateur, autorise désormais le développement à l'échelle industrielle de moyens de contrôle automatiques destinés à assister les opérateurs chargés du contrôle visuel. Ces moyens font largement appel à des techniques de traitement d'image dont la performance, en terme de rapidité d'analyse et de définition, dépend largement de la puissance de calcul utilisée. [003] Les méthodes employées pour effectuer ces traitements consistent, en règle générale, à comparer une image en deux ou préférentiellement en trois dimensions de la surface du pneumatique à inspecter avec une image de référence en deux et préférentiellement en trois dimensions de la surface dudit pneumatique. A cet effet, on cherche à faire correspondre, l'image ou la surface du pneumatique à inspecter et l'image ou la surface de référence, par exemple en les superposant, et on détermine les anomalies de fabrication par l'analyse des différences entre les deux images ou les deux surfaces. [4] Toutefois, ces méthodes ne permettent pas la détection des défauts de surface n'ayant pas d'incidence sensible sur la géométrie de ladite surface. [5] Aussi, les manufacturiers s'attachent à développer des méthodes d'analyse d'image, complémentaires des méthodes évoquées ci-dessus, aptes à faire ressortir des anomalies présentes à la surface de l'enveloppe. Ces anomalies dont les dimensions sont réduites, se manifestent par une coloration particulière, une forme anormale, ou encore une distribution spatiale particulière et inhabituelle, et sont noyées dans l'image globale de la surface du pneumatique dans laquelle elles peuvent se confondre. De plus, leur apparition est aléatoire à la surface d'un pneumatique ou d'un pneumatique à un autre. Il s'en suit une rareté de l'information significative permettant de déterminer les protocoles numériques. [6] Ainsi, la publication EP 2 034 268 fait appel à la technique des ondelettes pour détecter des structures répétitives telles que les fils de nappe apparents sur la surface intérieure des pneumatiques. [7] La publication EP 2 077 442 propose une méthode de sélection de filtres aptes à traiter numériquement l'image de la surface d'un pneumatique et sensibles à un défaut particulier. Cette méthode de sélection de filtres fait appel aux procédés connus d'analyse de texture, et propose de sélectionner les filtres par une méthode de sélection dite génétique. Cette méthode consiste à faire varier de manière statistique une collection de filtres préalablement choisis, et de mesurer à l'aide d'une fonction de coût, la sensibilité de cette modification sur la détection d'un défaut préalablement identifié, par rapport à la collection de filtres initiale. [8] Cette méthode, qui nécessite une phase d'apprentissage longue et coûteuse, présente toutefois l'inconvénient de ne pas donner de certitudes sur la convergence de ces itérations successives d'une part, et sur l'élimination des optimums locaux d'autre part. [009] L'invention a pour objet une méthode de traitement numérique de l'image de la surface d'un pneumatique par analyse de texture, dans laquelle on sélectionne une combinaison de filtres aptes à identifier la signature de l'image d'une anomalie présente à la surface du pneumatique et qui permet de s'affranchir des inconvénients évoqués ci-dessus. [010] Cette méthode de détection d'une anomalie à la surface d'un pneumatique comprend 20 les étapes suivante au cours desquelles : A û on réalise l'image d'une anomalie donnée présente à la surface d'au moins un pneumatique, B - à l'aide d'une collection de filtres, on construit, dans un espace des filtres, une image multivariée de ladite surface, dans laquelle chaque pixel est représenté sous la 25 forme d'un vecteur, les composantes de chaque vecteur pixel ayant une valeur correspondant à la valeur de ce pixel dans l'image transformée à l'aide de chacun des filtres de ladite collection C - à l'aide d'une fonction linéaire on transforme cette image multivariée depuis l'espace des filtres dans un espace spectral de dimension donnée dont les variables 30 sont les filtres ou des combinaisons de filtres de ladite collection, pour former une image spectrale, D - on construit un classificateur en déterminant, pour cette anomalie, les zones représentatives de l'espace spectral dans lesquelles se situent de manière statistiquement représentative les points de l'image spectrale, de ladite anomalie transformée dans ledit espace spectral. [011] Cette méthode d'analyse numérique permet d'identifier de manière statistique les zones d'un espace dans lesquelles l'image d'une anomalie donnée transformée à l'aide d'une collection de filtres sont localisées. [012] La méthode de détection d'une anomalie sur la surface d'un pneumatique quelconque sur la surface duquel on cherche à détecter la présence ou l'absence de ladite 10 anomalie comprend alors les opérations au cours desquelles : on réalise une image numérique de tout ou partie de ladite surface dudit pneumatique à trier, ù on détermine dans l'espace des filtres l'image multivariée du pneumatique à trier, de ladite image du pneumatique à trier à l'aide de la collection de filtres, 15 ù on forme l'image spectrale du pneumatique à trier, en transformant, à l'aide de la transformation linéaire, l'image multivariée du pneumatique à trier, et, on analyse la localisation des points de l'image spectrale du pneumatique à trier dans l'espace spectral, par rapport aux zones de l'espace spectral représentatives de l'anomalie identifiées à l'aide dudit classificateur. 20 [013] De manière préférentielle, au cours de l'étape D, on construit le classificateur en utilisant une méthode de type analyse discriminante linéaire, lesdites zones représentatives étant délimitées par des hypersurfaces dudit espace factoriel. [14] Selon une première variante d'exécution de l'invention, il est alors tout à fait possible de mettre en oeuvre la méthode selon l'invention en considérant que l'espace des 25 filtres forme ledit espace spectral et que l'image spectrale, correspond à l'image multivariée, obtenue à partir d'une collection de filtres initiale. [15] Toutefois la mise en oeuvre de la méthode dans ces conditions peut présenter quelques difficultés de mise en oeuvre en raison du grand nombre de données à manipuler, et en raison également de l'absence de métrique commune entre les différentes direction de 30 l'espace spectral conduisant à une interprétation statistique parfois difficile lors de la construction du classificateur. [016] Aussi, de manière préférentielle on cherchera à construire une métrique adaptée à l'analyse statistique dans l'espace spectral, et à réduire le nombre de variables en sélectionnant judicieusement les axes de l'espace spectral et les filtres de la collection initiale. [017] La détermination de la métrique adaptée consiste, à l'issue de l'étape B et avant d'entreprendre l'étape C à rechercher à l'aide d'une méthode d'analyse des données un espace factoriel de dimension inférieure ou égale à la dimension de l'espace des filtres, dans lequel les variables transformées sont décorrélées ou indépendantes, et ù à déterminer la transformation linéaire permettant de passer de l'espace des filtres audit espace factoriel, [18] Pour améliorer la construction du classificateur on peut utilement réaliser, au cours de l'étape A, l'image d'une anomalie donnée présente à la surface d'une série de plusieurs pneumatiques différents, permettant au cours de l'étape B de déterminer l'image multivariée de chacune de ces images et, à l'étape C, de construire une image multivariée unique par assemblage des images multivariées obtenues à partir de cette série d'images. [19] De préférence, l'analyse de donnée se fait selon une méthode de type analyse en composantes principales, ou selon une méthode de type analyse factorielle des correspondances, ou selon une méthode de type analyse en composantes indépendantes. [020] Cette série d'opérations permet d'améliorer grandement la construction du classificateur et il est aussi possible, selon une deuxième variante d'exécution de l'invention, de mettre en oeuvre la méthode, dans laquelle, l'espace factoriel forme ledit espace spectral et dans laquelle l'image spectrale, est obtenue par la transformation dans l'espace factoriel, à l'aide de la transformation linéaire, de l'image multivariée, obtenue à partir de la collection de filtres initiale. [21] Lorsque le nombre de filtres de la collection initiale reste trop important il peut s'avérer souhaitable de réduire le nombre de filtres et de réduire les dimensions de l'espace spectral pour alléger les traitements numériques. [22] Aussi, à l'issue de l'étape C, à l'aide d'une première méthode de sélection, on peut déterminer utilement les axes factoriels les plus pertinents par rapport à l'image multivariée transformée dans l'espace factoriel à l'aide de la transformation linéaire. On limite alors la description de ladite image multivariée aux coordonnées de ladite image, exprimée sur ces seuls axes, dont le nombre est inférieur au nombre d'axes de l'espace factoriel, de manière à obtenir un espace factoriel réduit. [23] De manière préférentielle, la première méthode de sélection des axes factoriels consiste à conserver les axes factoriels dont la somme des inerties par rapport au nuage de points de l'image multivariée de l'anomalie transformée dans l'espace factoriel, représente un pourcentage donné de l'inertie de l'ensemble des axes par rapport audit nuage de points. [24] De manière alternative, la première méthode de sélection des axes factoriels consiste à conserver les axes factoriels ayant le plus fort rapport signal sur bruit contenu dans les facteurs associés aux vecteurs pixels de l'image multivariée transformée dans l'espace factoriel par rapport auxdits axes considérés. [25] Après avoir déterminé les axes factoriels pertinents, on poursuit cette étape de réduction et de simplification en projetant la collection de filtres initiale dans ledit espace factoriel réduit. Puis, à l'aide d'une seconde méthode de sélection, on détermine les filtres de la collection initiale projetés dans l'espace factoriel dont les vecteurs sont les plus éloignés de l'origine des axes factoriels, de sorte que le nombre de filtres de la collection initiale est réduit, et on recalcule les coordonnées de l'image dans l'espace factoriel réduit. [26] De manière préférentielle, on sélectionne les filtres dont la somme quadratique des distances à l'origine représente un pourcentage donné de la somme quadratique des distances par rapport à l'origine de l'ensemble des filtres de la collection initiale projetés dans ledit espace factoriel réduit, ou dont le carré de la distance à l'origine divisé par la somme des carrés des distances à l'origine de l'ensemble des filtres de la collection initiale projetés dans ledit espace factoriel réduit est supérieur à l'inverse du nombre de filtres (1/L). [27] Selon une troisième variante d'exécution de l'invention, on applique alors la méthode dans laquelle l'espace factoriel réduit forme ledit espace spectral et dans laquelle l'image spectrale, est obtenue par la transformation dans l'espace factoriel réduit, à l'aide de la transformation linéaire, de l'image multivariée, obtenue à partir de la collection de filtres réduite. [28] L'invention comprend également un dispositif de contrôle et de détection d'une 30 anomalie à la surface d'un pneumatique comprenant : 15 20 ù des moyens d'éclairage et de prise de vue aptes à réaliser l'image de la surface ou d'une portion de la surface d'un pneumatique, et des moyens de calculs aptes o à mémoriser pour une ou plusieurs anomalies données une ou plusieurs collections de filtres morphologiques, déterminées selon l'une des variantes de mise en oeuvre de l'invention décrite précédemment, o à transformer une image de la surface du pneumatique à trier en une image spectrale à l'aide d'une transformation linéaire K) selon l'une des variantes de mise en oeuvre de l'invention décrite précédemment, o à déterminer la présence ou l'absence d'anomalie à la surface du pneumatique à trier à l'aide d'un classificateur selon l'une des variantes de mise en oeuvre de l'invention décrite précédemment. [029] La description qui suit a pour objet de donner les indications détaillées sur la mise en oeuvre de la méthode et s'appuie sur les figures 1 à 3, dans lesquelles : la figure 1 représente une image bidimensionnelle à niveau de gris, la figure 2 représente un vecteur pixel dans une image multivariée, la figure 3 représente un canal d'une image multivariée, la figure 4 représente une image multivariée obtenue par juxtaposition des réponses des filtres, la figure 5 représente l'image multivariée dans l'espace factoriel réduit, la figure 6 représente une illustration du mode de sélection des filtres dans l'espace factoriel, ù la figure 7 représente un schéma simplifié des étapes principales de la méthode selon l'invention. 25 [030] La méthode de détection selon l'invention comprend deux étapes distinctes au cours desquelles, successivement, on détermine un espace factoriel, une fonction de transformation et un classificateur aptes à révéler la présence ou l'absence de l'anomalie et que l'on assimilera à une phase d'apprentissage, et une étape de détection proprement dite, de détection de ladite anomalie sur la surface d'un pneumatique à trier quelconque. 30 [031] La phase d'apprentissage commence par la sélection d'au moins un pneumatique comportant une anomalie donnée visible à sa surface. Ce type d'anomalie peut être par exemple un défaut de moulage, une tache de graisse, un écart de fil de renfort ou un fluage des gommes placées sous les nappes de renfort, une matière étrangère etc.... On réalise alors une image bidimensionnelle en noir et blanc de ladite anomalie. [32] Comme on le verra par la suite, il est possible de rendre plus robuste cette phase d'apprentissage, en réalisant une série d'images bidimensionnelles de ladite anomalie, 5 présente à la surface de plusieurs pneumatiques différents. [33] Il serait également tout à fait possible de mettre en oeuvre l'invention, en travaillant à partir de l'image en couleur de la surface du pneumatique. Toutefois, cette possibilité offre un champ d'application assez réduit en raison du caractère relativement monochrome des pneumatiques, en général noir. Mais il n'est pas exclu de penser que cette situation 10 puisse changer, auquel cas il conviendrait d'adapter en conséquence la nature des filtres de la collection initiale, en prenant en compte les variations de couleur. [34] En règle générale, l'image bidimensionnelle de la surface d'un pneumatique est une image en niveau de gris, telle que représentée à la figure 1, dans laquelle, à tout point ou pixel x = (i, j) du plan (E _ [1,2,...]x[1,2,...], avec E c 0 2) représenté sous forme d'une 15 grille de point (c'est-à-dire un tableau 2D), est associée une valeur f(x) T avec T c 0 pour les images à niveau de gris. Généralement, T est constituée de valeurs entières comprises entre 0 et 255 avec : E - T f x - f(x) Le blanc correspond à la valeur 255, et le noir à la valeur 0. Les autres valeurs (i.e. les 20 niveaux de gris intermédiaires) sont comprises entre ces deux valeurs. Il serait également possible de réaliser une image couleur ou multispectrale de la surface du pneumatique. [35] La mise en oeuvre de l'invention peut également se faire à partir de l'image couleur de la surface du pneumatique moyennant une adaptation ne faisant pas partie de la présente description, des calculs exposés ci après. 25 [036] On sélectionne ensuite une collection de filtres, plus communément dénommés filtres morphologiques. Un filtre morphologique, au sens de la présente description, est défini comme une fonction F qui permet de transformer une image f à niveaux de gris en une autre image F(f). L'espace de départ du filtre est donc l'ensemble des valeurs de l'image de E dans T, A (E, T)5 A(E,T) - A(E,T) F: f F(f) L'image réponse du filtre peut elle aussi être vue comme une fonction qui, à un pixel de E associe un niveau de gris: Ff: E - T x - Ff (x) = [F(f)](x) [37] Parmi les filtres à utiliser, on peut sélectionner à titre d'exemples non limitatifs, des filtres morphologiques comme des séries d'ouvertures et de fermetures morphologiques de tailles croissantes, des dilatations ou des érosions morphologiques, ou encore des filtres du type ondelettes qui permettent d'analyser la position et la fréquence des objets composant l0 l'image, ou curvelets qui permettent d'analyser la position, la fréquence et qui s'adaptent aux discontinuité des objets composant l'image. [38] Un filtre morphologique se définit donc comme une transformation croissante et idempotente sur un treillis. On entend ici par treillis un ensemble partiellement ordonné dans lequel on peut ordonner certains de ses éléments, et dans lequel chaque paire 15 d'éléments a un infimum (plus grand des minorants) et un supremum (plus petit des majorants). Une transformation yr est croissante si elle préserve la relation d'ordre entre les images, ou encore que la fonction yr est croissante lorsque : Vf, g, f <_ g yr (f) <y (g) [39] Une transformation yr est idempotente, si l'application de cette transformation deux 20 fois de suite à une image est équivalent à l'appliquer une fois : yr est idempotente yr oyr =yr [40] Un élément structurant est un (petit) ensemble utilisé pour sonder l'image étudiée, on peut le voir comme un outils qui permettrait d'éroder (i.e. enlever de la matière) ou de dilater (Le. ajouter de la matière) à une image. Ainsi, la dilatation de la fonction f (Le. 25 l'image à niveaux de gris) par un élément structurant B, notée 8,( f) , est la fonction qui donne à tout pixel x E E la valeur maximale de l'image f dans la fenêtre d'observation définie par B telle que : bB (f)(x) = sup { f (x ù y), y e B} . [41] Et de la même manière, l'érosion de la fonction f (i.e. l'image à niveaux de gris) par 8 l'élément structurant B, notée 8,( f) , est la fonction qui donne à tout pixel x E E la valeur minimale de l'image f dans la fenêtre d'observation définie par B : 8B(f)(x)=inf{f(x-y),yE B}. [42] Une ouverture morphologique par adjonction yB est définie comme la composition 5 d'une érosion EB avec une dilatation bB pour un élément structurant B telle que : 7B (f) = sB 0 EB (f) [43] De même, une fermeture morphologique par adjonction 4B est définie comme la composition d'une dilatation bB avec érosion EB pour un élément structurant B telle que : ~B(f)=ERosB(f)• 10 [044] Une ondelette est une fonction de carré sommable sur l'espace euclidien U , le plus souvent oscillante et de moyenne nulle, choisie comme outil d'analyse et de reconstruction multi-échelle. [45] On observera que les définitions théoriques des différents filtres morphologiques utilisés couramment dans ce type d'analyse ne sont pas limitatives. Par ailleurs, la 15 déclinaison des paramètres de ces fonctions de transformations peuvent engendrer des collections de filtres comprenant plusieurs dizaines, voire plusieurs centaines de filtres différents. A fortiori lorsque les filtres prennent en compte les variations de couleur. Il peut donc s'avérer utile comme on le verra par la suite, de simplifier et de sélectionner les filtres les plus aptes à donner une information pertinente en présence d'une image contenant 20 l'anomalie que l'on cherche à révéler. [46] L'étape suivante consiste à transformer chacune de ces images à l'aide des filtres de la collection initiale. On obtient alors autant d'images que de filtres correspondant à la transformation de l'image de départ par chacun des filtres de la collection initiale. [47] En assemblant par superposition ces images, on construit une image multivariée, 25 dans laquelle chaque pixel contient plusieurs valeurs, assimilées à un vecteur de valeurs comme cela est représenté schématiquement à la figure 2. f: JE -> TL x f(x) = (f(x),.f2(x), fi(x)) est une image multivariée exprimée dans l'espace des filtres avec E c 0 2, T c 0 et TL =T x T x••• x T, dans lequel L est la dimension de l'espace image TL , ou espace des filtres, x = x~ \i {l, 2,• • • , P} est la coordonnée spatiale du pixel vecteur f (xi) , P est le nombre de pixels de E , f1 \ j {1, 2, • .. , L} est un canal (L est aussi le nombre de canaux), représenté en grisé à la figure 4, f1(xi) est la valeur du pixel vecteur f (xi) sur le canal f1 . [48] Les images multivariées sont ainsi des fonctions discrètes, avec typiquement plusieurs dizaines ou centaines de canaux, ou variables ou bandes spectrales tels que représenté à la figure 3. Chaque pixel d'une image multivariée est un vecteur dont les valeurs sont associées à un index j correspondant à des réponses de filtres. Les composantes de chaque vecteur pixel ont une valeur correspondant à la valeur de ce pixel dans l'image transformée à l'aide de chacun des filtres de ladite collection. L'image d'arrivée exprimée dans l'espace des filtres est alors composée de vecteurs (les vecteurs pixels) dont les variables sont les filtres de la collection initiale. [49] Dans le cas de la présente invention, l'image multivariée est obtenue comme étant la juxtaposition des réponses à chacun des filtres formant la collection de filtres initiale. (F (f ), F2 (f ),... , FL (f )) . Ce qui donne sous forme d'équation : TL Ff (x) = (Ff (x), Ff (x),... , Ff (x)) = ([F(f)](x),[F(f)](x),...,[F(f)](x)) [050] L'image multivariée, telle qu'illustrée à la figure 4, est obtenue par une série de filtres appliqués sur l'image à niveaux de gris f. On parle parfois d'une pile d'images qui est la série de réponse de chacun des filtres formant la collection initiale. [051] Comme cela a été indiqué précédemment il est alors possible, dés cette étape, de construire un classificateur, selon une méthode qui est explicitée en détail dans la suite de la présente description, en considérant l'espace des filtres comme l'espace spectral, et en assimilant l'image multivariée obtenue à l'aide de la collection de filtres initiale à l'image spectrale. La transformation de l'étape C se réduit alors à une simple identité. Toutefois, l'application de la méthode selon l'invention à cette étape du processus d'analyse des données est réservée au cas où le nombre de filtres de la collection initiale est réduit et où Ff : on ne juge pas utile de procéder à des phases de simplification devenues inutiles. [52] Et lorsque le nombre de filtres de la collection initiale est important, il convient de remarquer qu'en l'absence de métrique et en l'absence d'indépendance des axes de représentation de l'image dans l'espace des filtres considéré comme l'espace spectral, l'analyse statistique mise en oeuvre au cours de la construction du classificateur peut parfois conduire à des interprétations erronées. [53] Il est alors recommandé de poursuivre le traitement des données en recherchant un espace factoriel de dimension N inférieure ou égale à la dimension L de l'espace initial selon la méthode d'analyse de données utilisée, et dans lequel les variables, ici des combinaisons de filtres, sont le plus indépendantes possibles entre elles. Ceci équivaut à rechercher le maximum de variance entre les variables associées à chaque filtre. [54] On détermine alors une transformation linéaire permettant de passer de l'espace initial ou espace des filtres audit espace factoriel, et on applique cette transformation à l'image multivariée Ff (x) = (Pf (x), Ff (x),..., Ff (x)) obtenue précédemment pour obtenir une image multivariée de l'anomalie c'(x) = (c '-((x), c' z (x), ... , c'N (x)) exprimée dans ce nouvel espace factoriel. [55] L'image de départ contient de très nombreux canaux (ou axes), plus ou moins pertinents, il est donc nécessaire de sélectionner ceux qui sont les plus pertinents pour la détection des anomalies. L'intérêt d'une telle transformation est de réduire la dimension de l'image de manière à réduire les temps de calcul, tout en conservant l'information utile pour la suite du traitement. Comme en règle générale, un seul filtre ne permet pas de discriminer une anomalie par rapport au reste de l'image, l'objet de l'analyse revient à déterminer les combinaisons de filtres qui vont avoir une réponse par rapport à la présence ou à l'absence de ladite anomalie. [056] Il existe différentes méthodes d'Analyse de Données. On peut citer à titre d'exemple non limitatif, l'Analyse en Composantes Principales (ACP), L'Analyse Factorielle des Correspondances (AFC), l'Analyse en Composantes Indépendantes (ACI) qui comprend des algorithmes de calcul plus connus sous leurs acronymes anglo-saxon tels que l'algorithme « Fast ICA », l'algorithme « JADE » (Joint Approximate Diagonalisation of Eigenmatrices) ou encore l'algorithme « IFA » (Independant Factor Analysis), et dont l'usage peut aussi être envisagé. [057] Toutes ces méthodes, qui font parties des connaissances générales de l'homme du métier, cherchent à rendre les variables, comprises comme les vecteurs directeurs de l'espace factoriel, les plus indépendantes possibles entre elles. L'indépendance est ici entendue au sens statistique du terme. [058] Dans le cas de l'Analyse en Composantes Indépendantes les variables sont effectivement indépendantes, tandis que dans les autres cas, elles sont simplement décorrélées selon la métrique associée à la méthode utilisée. Cette métrique correspond à la métrique inverse des variances pour l'Analyse en Composantes Principales, ou à la métrique du Chi-Deux ( x2 ) pour l'Analyse Factorielle des Correspondances. [059] On décrira ici plus en détail la mise en oeuvre de la méthode d'Analyse en Composantes Principales. En effet, un des avantages lié à l'Analyse en Composantes Principales est que les directions de forte variance contiennent plus d'informations que celles de faible variance, en supposant que le bruit est uniformément réparti, ce qui revient à considérer que les directions de forte variance ont un rapport signal à bruit élevé. De plus, il est possible pour des raisons pratiques de métrique, de centrer et réduire les variables de cet espace de type Euclidien. [060] Pour déterminer cet espace factoriel, on notera F , la matrice de contingence P x L de représentation de l'image multivariée Ff . F est composée de P lignes représentant les pixels vecteurs (i.e. les individus) et de L colonnes (i.e. les canaux ou les variables) correspondant au nombre de filtres de la collection initiale. On s'autorise pour les calculs matriciels à utiliser la notation suivante : F = Ff (xi) F = Ff P = Ff (xi ) F11 F, . FL J ; .. :F. F ti , ,. FP1 ; FP, FPL F. Les vecteurs-lignes (i.e. vecteurs-pixels ou individus) de F sont les éléments de TL et sont assimilés à des vecteurs de 0 L où L représente le nombre de filtres de la collection initiale (F (.f), F2(.f),..., FL (.f)) F= F = avec F =Ff(xi). Les vecteurs-colonnes (i .e. canaux ou variables) de F sont des éléments de 0 P : avec F. = Ff . En notation indicielle, le tableau de contingence associé à l'image Ff peut également s'écrire :
F = ~F,1 ~i=1...p j=1...L [61] On observera que, lorsque l'on range les pixels Ff (xi) de l'image multivariée dans
l0 la matrice de contingence, on perd les arrangements spatiaux entre pixels. C'est-à-dire que l'on ne s'intéresse plus qu'à la réponse spectrale de chacun des pixels. [62] A titre de variante, lorsque l'on désire augmenter la qualité de la phase d'apprentissage, il est possible, comme on l'a vu ci-dessus, d'utiliser les images d'une anomalie de même type, réalisées sur une série s de pneumatiques différents. 15 [063] Au cours de l'étape B, on construit comme précédemment l'image multivariée de chacune de ces images Ffcg1(x) = (Ffcg1(x), Fcg1(x), , Ffcg1(x)) ,
F. fcg2 (x) = (Ff e (x), F fcg2 (x), ... , Ffcg2 (x)) , Ffcgs (x) = (Ffcgs (x), F fcgs (x), ... , fcgs (x)) par empilage des réponses aux filtres de la collection initiale de filtres (F(.f),F2 (.f),...,FL(.f)) 20 [064] Puis on construit le tableau de contingence de chacune de ces images : 13 1,j F 1,L Ffcgl = fCQ1 FfcQi QI,1 1CQI,j Ff' FL FfCQ1 FfcQ' FfcQI PCQ1'1 'CQ1,J PcQ1,L [065] La construction du tableau de contingence Ff se fait alors en concaténant verticalement les tableaux de contingences de chacune des images, en rangeant tout simplement les tableaux de contingences les uns en dessous des autres.
FfFf~Q, pJCQ, , 1,1 J I,L 1 , fCQI fCQI fCQ1 , FCQ ~~ FCQI,j FCQ L FfCQ2 F' Ff~Q2 1,1 1,j I,L
.
F fCQz fCQz F fCQz fCQz 1 ... 1CQ2 1CQ2 L où l'indice P = Es P s [66] On observera ici que les tableaux de contingence des différentes images de l'anomalie ont le même nombre de colonnes en raison du fait qu'ils sont le produit de la transformation d'une image par la même collection de filtres initiale. En revanche, ces images peuvent ne pas comporter le même nombre de pixels, et par voie de conséquence, les différents tableaux de contingence associés n'auront pas le même nombre de lignes. [67] On remarquera aussi, que les autres méthodes d'analyse de données citées ci-dessus, Io qui ont toutes pour objet la recherche des variables indépendantes dans un espace de grande dimension comprenant des nuages de points, procèdent à l'origine de la même façon et imposent la détermination d'une matrice de contingence. Ces méthodes se distinguent entre elles, comme cela a été évoqué, essentiellement par les métriques qu'elles utilisent. [68] La suite des traitements du tableau de contingence est alors la même, selon que l'on 15 considère une seule image d'une anomalie donnée, ou plusieurs images concaténées de ladite anomalie prélevées sur une série s de pneumatiques différents. Ff = - - Ff 1 FffQ2 FfCQl Ff"l CQ1 ,1 PCQi , i PCQ~ ,L , 'FfPCQ CQ2 F CQ2 F CQ2 , z,l PCQ2' PCQ2,L , FI 1, j . FL FP 1 ... FP, FPL_ [069] On définit ensuite de la même manière, la matrice des données transformées C: Cl C11 CSN C= Cli ... CZ. CiN CP1 C 1 CPN On note alors X = F ùFù la matrice des variables centrées, Le. on remplace les colonnes de F par F ù F avec F la moyenne de F . [070] On recherche une application linéaire U , qui transforme les données X en une matrice C dont les colonnes (variables) sont décorrélées : C = XU [071] Les matrices X et C peuvent être caractérisées par leur moment d'ordre 1, espérances nulles E[X] = X = 0, et E[C] = C = 0 , ainsi que par leurs moments d'ordre 2 regroupés dans leurs matrices de covariances, Ex , Ec [072] La matrice de covariance de C , Ec peut se décomposer de la manière suivante : Ec = E[(C - C)(C - C)T ] = E[(CCT ] = E[(XU)(XU)T ] = UT E[XXT ]U = UTEXU
[73] L'Analyse en Composante Principale tente de trouver une application linéaire U qui maximise UTEXU . C'est-à-dire, que si les composantes (colonnes) de C sont décorrélées, la matrice EX est une matrice diagonale. L'application linéaire U est donc formée des N vecteurs propres de la matrice de covariance des données centrées EX . [74] Par conséquent, appliquer une Analyse en Composantes Principales sur les données consiste à rechercher les N valeurs propres et vecteurs propres de EX : EXU = µU [75] La représentation en plus faible dimension des pixels vecteurs F(xi) est obtenue en les projetant sur la base linéaire engendrée par les colonnes de U : C = XU . Les vecteurs colonnes de C sont appelés les facteurs principaux. [76] On observera que, si chacune des colonnes F de F est centrée et réduite avec x= F - F (Le. F' ù F. avec 6 F la variance de F , au lieu d'être centrée, on recherche 6F 6Fl alors les valeurs propres de la matrice de corrélation cors , et non plus de la matrice de covariance EX . U alors est la matrice des vecteurs propres de la matrice de corrélation encore appelée matrice d'inertie. [077] D'autre part, lorsque l'on utilise des variables centrées réduites, la métrique entre les individus (i.e. les pixels vecteurs), sous-jacente à l'Analyse en Composantes Principales, est z L1 z la métrique inverse des variances : d 2 2 (F(x~ ), F(x )) = L . z (F û P, . ) ~_ [078] L'espace image d'arrivée de la transformation Ç est appelé espace factoriel. Cet espace factoriel est composé de vecteurs directeurs portés par les axes factoriels lo °i,A2. Oka ON ; et dont les composantes, ou coordonnées des vecteurs pixels dans l'espace factoriel, c'l ,c'2 ,. .. , c'k , ... , c', qui sont des combinaisons linéaires des vecteurs filtres de l'espace de départ, sont les facteurs associées aux vecteurs pixels. Le nuage des variables (les filtres) et des individus (les pixels) est ainsi arrangé de manière à avoir le maximum de dispersion selon les axes factoriels. 15 [079] A l'issue de cette étape d'analyse on obtient également un autre espace de représentation des données de dimension N, égale ou plus réduite que la dimension L de l'espace des filtres de départ, L représentant le nombre de filtres de la collection initiale. On obtient également, à l'aide de la transformation linéaire Ç, une nouvelle image multivariée c'(x) = (c'-((x), c'";(x),..., c' (x)) de dimension N, dans laquelle les 20 variables c'l ,c'2 ,..., c'k ,...,c'N sont des combinaisons linéaires de filtres de la collection initiale (FI (f),F2 (f),...,F(f)). [80] De la même manière, les vecteurs filtres de la collection de filtres initiale ont une image dans ce nouvel espace factoriel d'if,d'z ,d,...d'f . [81] Il est aussi possible à ce stade de passer directement à l'étape de construction du 25 classificateur, qui consiste à déterminer les zones de l'espace factoriel dans lesquelles sont situés de manière statistiquement significative les pixels considérés comme formant l'image de l'anomalie. On considère alors que l'espace factoriel forme l'espace spectral dans lequel l'image spectrale c'(x) = (c'-((x), c'z (x), ... , 'f ,(x» est obtenue par la transformation linéaire z de l'image multivariée Ff (x) = (Ff (x), Ff (x),..., Ff (x)) obtenue à l'aide de la collection de filtres initiale (F (f ), F2 (f ),... , F (f )) . [082] Comme cela a été dit plus haut, il est souvent souhaitable de procéder à de nouvelles simplifications en réduisant les dimensions et les variables de l'espace factoriel dans le but d'alléger les calculs et d'améliorer l'identification des zones représentatives de l'anomalie dans l'espace factoriel. En effet, on observe que lorsque les espaces factoriels ont un grand nombre de dimensions, ils sont souvent remplis de vide, ou en d'autres termes de zones peu denses en information utile. to [083] Il est alors recommandé de réduire à nouveau les dimensions de l'espace factoriel, de manière à réduire le nombre d'axes factoriels et de restreindre le nombre de filtres à ceux répondant positivement à l'anomalie. [84] Pour ce faire, on sélectionne les axes factoriels A les plus significatifs pour décrire les coordonnées c'l ,c'2,...,c'k ,...,c', de l'image multivariée telle que représentée dans 15 l'espace factoriel après transformation par la fonction [85] La méthode la plus simple consiste à classer les axes factoriels A selon leur inertie décroissante par rapport au nuage de points formé par l'image multivariée dans l'espace factoriel. On ne conserve alors que les axes factoriels dont la somme des inerties représente par exemple 80% de l'inertie totale. 20 [086] Une autre méthode consiste à sélectionner les axes en fonction du rapport signal à bruit mesuré par le calcul de la covariance sur les canaux de C. La variance du bruit correspond à la hauteur du pic à l'origine, et la variance du signal correspond à l'amplitude de la covariance à l'origine après suppression du pic de bruit. [087] Cela consiste à calculer le Rapport Signal à Bruit (RSB) sur les images des facteurs 25 pixels et à ne retenir que ceux ayant un RSB supérieur à un seuil donné. RSB = var(signal) var(bruit) Pour déterminer le RSB, on calcule la covariance spatiale centrée sur les images des facteurs pixels. La variance du bruit correspond à l'amplitude du pic à l'origine. On supprime ce pic par une ouverture morphologique avec un élément structurant carré de petite, taille telle qu'un carré de 3x3 pixels. La variance du signal est l'amplitude de la covariance à l'origine après ouverture morphologique. La covariance spatiale est définie par l'équation suivante: gk (h) = E[c'k (x)c'k (x + h)] . avec c 'k (x) , le canal centré k de l'image des facteurs c'. Le canal centré est obtenu en lui retranchant sa moyenne : c'k (x) = c 'k (x) û E[c'k (x)] , où E est l'espérance mathématique d'une variable aléatoire, c'est-à-dire sa moyenne. [88] Ces méthodes de sélection permettent de ne conserver que les seuls axes, et donc les seules composantes c'k les plus pertinentes. On obtient donc un espace de représentation des données de dimension plus petite, décrit par les facteurs c'(x) = (c '1(x), c '2'2(x),. .. , c'K (x)) avec (K<N), qui sont les coordonnées de cette image sur les seuls axes AI,O k,....AK retenus au cours de cette sélection. [89] La dernière étape de réduction de l'espace consiste à sélectionner les filtres de la collection de départ répondant significativement à l'anomalie, et dont les coordonnées dans l'espace factoriel ainsi réduit sont les facteurs associés aux filtres représentés sous la forme de vecteurs de 0 K, d'if,d'z,d,...d'f dans l'espace factoriel réduit. L'intérêt est de réduire le nombre de filtres à calculer en obtenant une bonne approximation de l'espace factoriel. Pour ce faire, on mesure la distance entre les axes factoriels Ak du nouvel espace et les variables (les filtres) représentées sous forme de points dans l'espace factoriel, comme cela est illustré de manière simplifiée à la figure 6 où l'espace factoriel a été réduit à un espace à deux dimensions. Les filtres les plus éloignés de l'origine des axes factoriels sont alors retenus (d 'if, d , d d , d ' (o), et les filtres les plus proches de l'origine (dd'4,d's,d,d) sont éliminés. [90] Comme précédemment, on ne retient que les filtres dont la distance à l'origine est supérieure à un seuil donné ou encore les filtres dont la somme quadratique des distances à l'origine représente, par exemple 80% de la somme quadratique des distances par rapport à l'origine de l'ensemble des filtres de la collection initiale projetés dans l'espace factoriel réduit (d'if,d'z,d,...d'f ). On obtient alors une collection de filtres initiale réduite F (f ), F2 (f),. .. , F (f ), ... , FM (f) avec M inférieur, voire très inférieur à L. [91] De manière alternative, on peut également transformer la collection initiale de filtres (F (f ), F2 (f ),... , F~ (f )) dans l'espace factoriel réduit (d 'if, d 'z , d , ...d 'f ) et, dans cet espace, on sélectionne les filtres de la collection initiale (F (f ), F2 (f ), ... , F (f ),... , FM (f) ) dont le carré de la distance à l'origine divisé par la somme des carrés des distances à l'origine de l'ensemble des filtres de la collection initiale projetés dans ledit espace factoriel 5 réduit est supérieur à l'inverse du nombre de filtres (1/L). [92] On recalcule alors les valeurs des composantes de l'image multivariée réduite dans l'espace factoriel réduit ci , c2 , ... , ck ,. .. , cK (voir figure 5), en ne prenant en compte que les seuls filtres de la collection initiale réduite que l'on vient de déterminer. [93] Le nombre d'axes et le nombre de filtres ayant été réduit, on applique à nouveau la 10 fonction linéaire déterminée lors de l'Analyse en Composantes Principales à l'image de départ considérée comme l'image multivariée de l'anomalie obtenue par transformation à l'aide de la seule collection réduite de filtres F (f ), F2( f ),... , F (f ),... , FM ( f ) , de manière à obtenir une image multivariée c(x) = (c~ (x), c2 (x), ... , cK (x)) dans l'espace factoriel de dimension réduite dont les variables ci , c2 , ... , ck ,. .. , cK sont des combinaisons de filtres de 15 la collection initiale réduite placées dans l'espace factoriel réduit composé des axes factoriels AI,02,....Ak,....AK sélectionnés précédemment. [94] On fera observer ici que le résultat obtenu, à savoir une transformation linéaire un espace comprenant un nombre d'axe limité Di.... Oka OK et un nombre de filtres F (f ), F2 (f ), ... , F (f ),... , FM (f) réduit, peut être atteint de la même manière avec une 20 seule image de l'anomalie ou avec un ensemble d'images de ladite anomalie prélevées sur plusieurs pneumatiques différents. Seuls les calculs initiaux s'en trouvent affectés lors de la détermination du tableau de contingence. En contrepartie, cette étape supplémentaire de calcul au départ de l'étape C permet de rendre l'analyse des anomalies plus fiable. [95] A ce stade la mise en oeuvre de la méthode selon l'invention peut se faire en 25 considérant que l'espace factoriel réduit forme ledit espace spectral. L'image spectrale est le résultat de la transformation dans l'espace factoriel réduit, à l'aide de la transformation linéaire (c), de l'image multivariée (Ff (x) = (F~f (x), F2f (x),..., FM (x)) obtenue à partir de la collection de filtres réduite (F (f ), F2 (f ), ... , F (f ), ... , FM (f )) . [96] La méthode prévoit alors de construire un classificateur qui va permettre de détecter 20 la présence (ou l'absence), ainsi que la position de l'anomalie. Le classificateur permet d'isoler certaines zones de l'espace spectral formé par l'espace des filtres, par l'espace factoriel ou de préférence par l'espace factoriel réduit, dans lesquelles se situent de manière significative les nuages de points correspondant à l'image spectrale de ladite anomalie obtenue par la projection de l'image multivariée à l'aide de la transformation linéaire [97] Dans le cas présent, on entend par significatif, les résultats d'une analyse statistique permettant d'identifier les zones de l'espace spectral dans lesquelles se situent lesdits nuages de points. On est en effet capable de distinguer les pixels ou groupement de pixels situés sur l'anomalie et ceux qui sont placé sur une zone de l'image exempte d'anomalie.
L'analyse statistique consistera donc à rechercher les zones de l'espace spectral dans lesquelles se situent préférentiellement ces deux classes de pixels. [98] La méthode la plus appropriée, consiste à appliquer une méthode d'analyse basée sur une analyse discriminante linéaire, plus connue sous son acronyme anglo-saxon LDA, et dont on fera un bref rappel ci-après. Cette méthode d'analyse a pour objet de séparer des classes de points par des hypersurfaces, en supposant que la distribution des points dans une classe est gaussienne. Ceci fonctionne bien dans de très nombreux cas, même si les points des classes n'ont pas tout à fait une répartition gaussienne. La LDA peut bien sûr être utilisée dans des espaces multidimensionnels. [99] Classifier revient à déterminer les probabilités conjointes, Pr(G 1X) , des classes G = k connaissant les données X =x. Supposons que fk (x) est la distribution conditionnelle des données X dans la classe G = k et soit ltk , la probabilité a priori de la classe k , avec LkK =17ck 1. Le théorème de Bayes donne : Pr(G = k 1X = x) = fk(x)~k EK1.f (x)ni [0100] En terme de classification, connaître Pr(G = k 1X = x) revient à connaître fk (x) .
25 Supposons que l'on modélise la distribution de chacune des classes comme une gaussienne 1 -(x-1-1k)T Lï«x-Nk) multivariée : fk(x) = (27c) p z Ek 11 2 e 2 avec µk la moyenne de la classe k. [0101] On suppose également que toutes la classes ont la même matrice de covariance : log (x) + log g f (x) g n i log k 7 G ù 2 (luk + lui )T E -1 (luk ù lui) + xTE l (luk ù lui ) i Cette équation est celle de la frontière entre les classes k et 1. C'est l'équation d'un hyperplan en dimension p. Les classes de points seront ainsi séparées par des hyperplans. [0102] De l'équation précédente, on déduit les fonctions discriminantes linéaires qui sont équivalentes à la règle de décision, avec G(x) = argmaxk 6k 1 ôk(x) = xTE-lgk - 2 µkL lgk +lognk Comme en pratique on ne connaît pas les paramètres des distributions gaussiennes, on les estime en considérant la localisation des pixels ou groupement de pixels considérés, comme représentatifs de l'anomalie et la localisation des pixels considérés comme appartenant à une partie saine de la surface : ù 'lî k = Nk / N , où Nk est le nombre d'individus dans la classe k ; = Eg =k xi / Nk , où gi est la classe d'un individu ; E_Lk=lLgr=k (xi-)(xi-l.~k)T / (N-K). [0103] Lorsque les matrices de covariances ne sont pas de dimensions égales, les fonctions discriminantes 6k (x) sont de forme quadratique et on évoque alors la méthode d'Analyse Discriminante Quadratique, les zones sont alors séparées par des hypersurfaces quadratiques et non plus par des hyperplans. [0104] Une fois ces paramètres déterminés de manière statistique, on est alors capable d'identifier les zones de l'espace spectral dans lesquelles vont se placer de manière statistiquement représentative les pixels de l'image spectrale représentant une anomalie donnée. En cas de présence statistiquement représentative de pixels dans ces zones il sera en retour possible de conclure de la probabilité de la présence d'une anomalie et d'en déterminer la localisation sur l'image. [0105] La construction du classificateur peut aussi se faire à trois étapes distinctes de la mise en oeuvre de l'invention dont les étapes ont été décrites ci-dessus. [0106] Selon une première variante on peut réaliser cette étape en considérant que l'espace Sk-i* = E Vk . En comparant deux classes et en utilisant le logarithme du rapport, on obtient une équation linéaire en x : lo Pr(G = k X = x) g Pr(G=11X=x) spectral est formé par l'espace des filtres dont les vecteurs directeurs sont ceux de la base canonique 0 2 associée à la collection initiale de filtres (F (f ), F2( f ),... , F (f )) , et que l'image spectrale correspond à l'image multivariée, obtenue à l'aide de la collection de filtres initiale Ff (x) = (Ff (x), Ff (x),..., Ff (x)) . [0107] Selon une seconde variante on peut également construire le classificateur juste après la détermination de l'espace factoriel et de la fonction de transformation ~. Dans ce cas, l'espace factoriel forme l'espace spectral et on recherche les zones représentatives de cet espace ans lesquelles se situent, de manière statistiquement représentative, les points de l'image spectrale c' (x) = (c'1(x), c'2 (x), ... , c',(x)) de ladite anomalie obtenue à l'aide de la collection de filtres initiale (F (f ), F2 (f ),... , F (f )) et transformée dans l'espace factoriel à l'aide de la transformation linéaire [0108] Selon la troisième variante, la construction du classificateur se fait après avoir réduit le nombre de filtres de la collection initiale et les dimensions de l'espace factoriel. L'espace factoriel réduit forme alors ledit espace spectral et l'image spectrale de l'anomalie c(x) _ (ci(x), c2 (x), ... , ck (x), ... , cK (x)) , est obtenue par la transformation dans l'espace factoriel réduit, à l'aide de la transformation linéaire (c), de l'image multivariée Ff (x) = (Ff (x), Ff (x),..., F (x)) , obtenue à partir de la collection de filtres réduite (FI (f),F(f),...,F (f),...,Fm (f)) [0109] La détection d'un anomalie à la surface d'un pneumatique à trier quelconque devient alors possible en utilisant les outils de calculs et la méthode tels que décrits ci-dessus. [0110] Dans une première étape, on réalise l'image numérique en niveau de gris de la surface du pneumatique que l'on souhaite trier. [0111] Il peut s'avérer pratique de découper la surface du pneumatique à trier en éléments de surface plus réduits, et dont la taille peut correspondre sensiblement à la taille des images de l'anomalie ayant servies à construire les outils d'analyse. [0112] On détermine alors l'image multivariée (F'(x) = (F'(x),Fft (x),...,F/(x)),F'(x) = (Fft (x),Fft (x),...,F`(x))) de la surface ou de l'élément de surface dudit pneumatique à trier, en utilisant selon les cas, les filtres de la collection initiale, (F (f ), F (f ),... , F (f) ou les filtres de la collection réduite sélectionnés, F (f ), F2 (f ), ... , F (f ),... , F (f) , sur les éléments de l'image du pneumatique à trier. [0113] On projette cette image multivariée à l'aide de l'application dans l'espace spectral qui peut être formé, selon les variantes de mise en oeuvre de l'invention retenue, par l'espace des filtres, par l'espace factoriel ou par l'espace factoriel réduit, et dans lequel on a construit le classificateur. L'image spectrale du pneumatique à trier est alors exprimée par les facteurs pixels respectivement, Fft(x) = (P' (x),F2 (x),...,F/(x)), c't(x) = (c'1 (x),c'2(x),...,C~k(x),...,C~N(x)) , ct(x) = (cl (x),c2(x),...,c (x),...,c (x)) [0114] On observe alors la position du nuage de points de l'image spectrale de la surface ou de l'élément de surface dudit pneumatique à trier dans l'espace spectral, et on s'interroge, à l'aide du classificateur, pour savoir si les pixels sont distribués de manière statistiquement représentatives dans les zones de l'espace spectral délimitées par le classificateur, et s'il y a potentiellement (ou non) une zone de l'image du pneumatique à trier qui pourrait correspondre à ladite anomalie. [0115] La méthode de détection d'une anomalie qui vient d'être décrite est adaptée pour 15 mettre en évidence une anomalie donnée présente à la surface d'un pneumatique. [0116] Il va donc de soi, qu'il est nécessaire d'appliquer ladite méthode autant de fois que d'anomalie distinctes à identifier. [0117] En pratique, cela revient à déterminer autant d'ensemble de filtres, d'espace spectral et de fonction de transformation que d'anomalies distinctes à identifier à la surface du 20 pneumatique puis, en phase de détection, à appliquer successivement ces opérateurs, selon la séquence d'opérations décrite de manière simplifiée à la figure 7, à chaque élément de surface pour détecter la présence ou l'absence d'une de ces anomalies. [0118] On peut également envisager de regrouper les images de toutes les anomalies dans le tableau de contingence tel que décrit ci-dessus, et utiliser un classificateur comprenant 25 autant de classes que d'anomalies ou encore un classificateur à deux classes indiquant seulement la présence d'une anomalie quelconque ou l'absence d'anomalie.