ES2322120A1

ES2322120A1 - Metodo y sistema para analisis de singularidades en señales digitales.

Info

Publication number: ES2322120A1
Application number: ES200702829A
Authority: ES
Inventors: Antonio Maria Turiel Martinez
Original assignee: Consejo Superior de Investigaciones Cientificas CSIC
Current assignee: Consejo Superior de Investigaciones Cientificas CSIC
Priority date: 2007-10-26
Filing date: 2007-10-26
Publication date: 2009-06-16
Anticipated expiration: 2027-10-26
Also published as: BRPI0816572A2; EP2214125A4; JP2011501308A; CN101911099A; EP2214125A1; US20110075903A1; WO2009053516A1; ES2389982T3; ES2322120B1; EP2214125B1; RU2010119650A

Abstract

Método y sistema para análisis de singularidades en señales digitales. El método propuesto comprende determinar para cada punto de la señal un entorno que comprende los primeros vecinos y calcular para cada punto de la señal una medida de reconstructibilidad, o medida de singularidad, ponderando las contribuciones de dicho entorno local del punto. El valor de la señal en cada punto se infiere a partir de los valores de la señal en los puntos del entorno local utilizando una fórmula de reconstrucción. La medida de singularidad incluye la diferencia entre el valor de la señal en el punto y el valor estimado por su entorno local. Sobre dicha medida de singularidad se realiza una transformación logarítmica con el fin de obtener una medida independiente de la amplitud de la señal digital muestreada y que varíe de una manera controlada bajo cambios de resolución. Se propone un sistema con medios para obtener para cada punto dicha medida de singularidad y para realizar la referida transformación logarítmica y otros cálculos.

Description

Método y sistema para análisis de singularidades en señales digitales.

Campo de la invención

La presente invención concierne al análisis de señales digitales, es decir señales que están muestreadas a intervalos regulares, aplicando para la puesta en práctica del método propuesto análisis de wavelets (ondículas o pequeñas ondas) que permite identificar algunos subconjuntos de puntos particulares en el espacio a una escala y posición que son más informativos acerca de la señal que otros.

La invención hace referencia igualmente a un sistema para la implementación del método propuesto.

En esta memoria descriptiva se entenderá como señal digital cualquier colección estructurada de datos muestreada uniformemente que se pueda representar mediante una matriz multidimensional cuyas posiciones se denominan puntos de la señal.

La invención aporta técnicas y herramientas útiles para el procesado, reconstrucción y compresión de señales digitales a partir de información parcial acerca de su gradiente y en particular operando sobre la base de medidas basadas en gradientes obtenidos por incrementos finitos. Dichas técnicas y herramientas son implementables de manera ventajosa mediante algoritmos automáticos materializados en programas de ordenador ejecutables en entornos computacionales.

La invención, dada la gran eficiencia que proporciona principalmente en tareas de reconstrucción de señales digitales, en particular representativas de imágenes, encuentra aplicación en numerosos campos entre los cuales cabe citar como aplicaciones específicas la compresión de señales digitales (incluyendo la compresión de imagen) y la evaluación de líneas de flujo en señales referidas a fluidos (incluyendo la determinación de líneas de corriente en imágenes de fenómenos físicos); y como aplicaciones más generales la detección de estructuras y el reconocimiento de patrones en imágenes de entornos reales tales como imágenes fotográficas, geofísicas, biomédicas y de otros
tipos.

La invención concierne señales definidas en cualquier número de dimensiones, aunque una vez descrito el método para un número determinado de dimensiones (por ejemplo dos), resultará bastante evidente para un experto en el sector generalizarlas para señales definidas en cualquier número de dimensiones. Por ello, en aras de simplicidad, muchas de las ecuaciones y derivadas presentadas a lo largo de esta memoria descriptiva se han escrito para señales 2D, es decir bidimensionales, susceptibles de constituir elementos tales como imágenes. Sin embargo, también se han obtenido resultados útiles en otros números de dimensiones y en particular en el procesamiento de señales 1D, como las series temporales de la bolsa (ver referencias [16], [17]).

Antecedentes de la invención

Las patentes US-A-5901249, US-A-6141452 y US-A-6865291 se refieren a técnicas de compresión de señales digitales utilizando análisis de wavelets.

La patente US-A-6434261 describe un método para detección y segmentación de imágenes digitales para localizar objetivos en dichas imágenes basado en una determinación de un umbral adaptativo para realizar un análisis de wavelets de las imágenes digitales que son descompuestas en diferentes canales de escala.

La patente US-A-7181056 concierne a un método para la detección automática de regiones de interés en una imagen digital representativa de al menos una porción de un tejido biológico, en donde se genera una representación basada en wavelets de las regiones a explorar.

La patente US-A-7062085 se refiere a un método para detectar aspectos en regiones de imágenes en color en donde se hace referencia a unas características de textura materializadas mediante coeficientes derivados de una transformada wavelet basada en análisis de multiresolución de la imagen digital en color.

La solicitud de patente US-A-2005/0259889 hace referencia a un método para la eliminación de ruido de una imagen radiológica comprendiendo la aplicación de una transformación wavelet compleja a la imagen portadora de un motivo, operando con los coeficientes wavelet para reducir el ruido.

La solicitud de patente WO-A-2004/068410 concierne a un método para la detección de puntos de interés en una imagen digital que implementa una transformación wavelet, asociando una imagen sub-muestreada con una imagen origen.

El análisis de singularidad (ver referencia [14]) que implementa el concepto de caracterizar el comportamiento local de una función f(x) estimada en R^{m} y definida sobre R^{d} alrededor de cada uno de sus puntos de dominio x de acuerdo con el denominado exponente de singularidad de Hölder o, exponente Hurst denotado por h(x), es muy útil para muchas tareas de procesado de señales, y en particular, es muy relevante para fines de compresión y como herramienta de reconocimiento de patrones, y, dependiendo del contexto, puede ser utilizado también para revelar información sobre la evolución y dinámica de señales complejas.

La patente US-A-6745129 concierne a un método basado en wavelets para el análisis de singularidades en datos sísmicos a partir del procesado de una serie temporal representativa de un registro del fenómeno. El objeto de esta patente es calcular el exponente de Hölder sobre registros sísmicos a través de una transformada de wavelet continua. Mediante ese método, al realizar el análisis de la señal (según se muestra en la Figura 2b de dicha patente), se producen inestablilidades que repercuten tanto en la resolución espacial como en la calidad de la determinación del exponente de Hölder de cada punto (ver discusión de esta cuestión en la referencia [11]). Esta problemática imposibilita de hecho la utilización del método de la US-A-6745129 para tareas de reconstrucción de señales digitales a diferencia de las propuestas del método de la presente invención. La presente invención proporciona una determinación más precisa de los exponentes de singularidad, tanto en cuanto a su posición, como en cuanto a su valor. La diferencia de precisión entre la presente invención y la US-A-6745129 es debida al uso de medidas de gradiente (que elimina las fluctuaciones indeseables asociadas a las wavelets complejas (ver referencia [17]) y también por incorporar dicha medida un indicador del grado de reconstructibilidad. En base a lo anterior, la presente invención permite además reconstruir una señal con gran calidad a partir de información parcial, al contrario del método de la patente US-A-6745129 (ver referencia [11]).

Dentro del campo del análisis de señales basado en wavelets y en particular aplicado al procesado de señales digitales uno de los métodos utilizados más conocidos es el denominado Máximos del Módulo de la Transformada de Wavelet (conocido como WTMM, por sus siglas en inglés) que está determinado por el máximo local de las proyecciones de wavelet. Mallat y Zhong (ver referencias [4], [5] y [6]) conjeturaron que este conjunto puede ser utilizado para reconstruir de manera completa la señal. Con posterioridad se ha verificado que el conjunto conduce a una señal atenuada y que se han de introducir varios coeficientes empíricos para poder reproducir las amplitudes correctas de la señal. Desde la publicación del documento de Mallat y Zhong ha habido múltiples intentos de obtener reconstrucción de alta calidad a partir de WTMM. En cualquier caso, lo mas interesante acerca del método WTMM es que en el caso de imágenes la mayor cantidad de líneas están concentradas alrededor de los bordes y contornos; y puesto que desde hace años se conoce (ver referencia [7]) que los bordes y contornos contienen la mayoría de la información de una escena visual, el WTMM se ha evidenciado como un buen candidato para extraer información perceptual (bordes) utilizando un algoritmo automático canónico basado en dicho método.

Otra rama de investigación también centrada en el uso del WTMM fue iniciada por Arneodo y colaboradores (ver referencias [1] y [2]) que reconocieron la capacidad de que el WTMM pueda tratar con señales multiescala, centrando sus estudios en sistemas en los que se conocía que presentaban propiedades de invariancia de escala, tales como flujos turbulentos y sistemas caóticos.

El principal inconveniente de todas las propuestas basadas en el WTMM es la imposibilidad de extraer de manera sistemática los máximos cuando éstos se acumulan (topológicamente), situación que ocurre siempre cuando se trata de señales reales, como se discute en [17]. En [10] se estudió el problema y se propusieron soluciones parciales.

Al margen del uso del WTMM, se conocen en este campo de la técnica las investigaciones recientes del presente inventor, A. Turiel, relativas al análisis de singularidades basado en medidas de gradiente. En dichos trabajos se define la medida de gradiente \mu asociada a una señal s(x) sobre un conjunto arbitrario A como la integral del módulo de gradiente sobre ese conjunto:

1

Dichas investigaciones de A. Turiel muestran que cuando se trabaja sobre datos reales, discretizados y con ruido, es necesario operar con transformadas de wavelets de las medidas de la manera siguiente: dada una wavelet \Psi, la transformada de wavelet de la medida de gradiente \mu a una escala r y en un punto x viene dada por la expresión:

2

donde d es la dimensión de la señal.

La transformada de wavelet de la medida \mu permite determinar el exponente de singularidad local, ya que el término dominante cuando la escala r es pequeña depende de r como una ley de potencias (ver referencia [14])

3

Con la introducción de medidas de gradiente es posible mejorar la resolución espacial de los exponentes de singularidad (ver referencias [11] y [14]). De este modo en lugar de tener un exponente de singularidad cada diez píxeles o de precisar un control de las oscilaciones debidas a la wavelet, es posible asignar un exponente de singularidad a cada pixel con un mínimo de dispersión del punto. Se aprecia que existen diferencias en las capacidades de resolución de las diferentes wavelets, por lo que se ha reconocido la necesidad de buscar una wavelet optimizada apta para tratar con datos discretizados.

Un elemento importante en la construcción de wavelets con capacidad de resolución optimizada es el concepto de reconstrucción de señales a partir de información parcial acerca de su gradiente. Los planteamientos teóricos e implementaciones prácticas acerca de un algoritmo de reconstrucción de gradiente aparecen introducidos en la referencia [12], donde se presenta una discusión acerca de la estructura de señales multifractales (ver referencias [8], [3] sobre la estructura multifractal de los fluidos turbulentos). Para señales con estructura multifractal, el conjunto asociado al vértice superior de la jerarquía es bien conocido, al menos desde un punto de vista teórico, y se denomina la Variedad Más Singular (MSM, por sus siglas en inglés), que es el conjunto que comprende los puntos con valores más singulares (es decir, más negativos) de h (x).

En la referencia [12] antes mencionada se sostuvo la tesis de que la MSM contiene suficiente información para reconstruir de manera completa la señal, analizándose la reconstrucción de imágenes, aunque las fórmulas son válidas para cualquier número de dimensiones. La fórmula de reconstrucción que se obtuvo en [12] para dominios infinitamente grandes es la siguiente:

4

donde:

- s es una señal dada,

- 5 es la variedad más singular o MSM de dicha señal s

- 6 es el vector de gradiente esencial de s, es decir, el gradiente restringido a la MSM, cuyas componentes son

7

- 1000 es el kernel vectorial de reconstrucción universal, que en el espacio de Fourier viene dado por la expresión:

8

y

- la notación \bullet significa producto escalar de convolución, es decir,
9, donde * significa el producto de convolución ordinario de funciones.

De los estudios realizados por el presente inventor (ver referencia [12]) tomando en consideración las medidas de gradientes se ha concluido que, de existir, hay únicamente un posible algoritmo para reconstruir señales a partir del gradiente basado en MSM en dominios infinitamente grandes. Asimismo es conocido que el MSM conduce a muy buenas reconstrucciones con este algoritmo (ver referencias [11] y [12] para imágenes, y [15], [16] para series temporales).

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Breve exposición de la invención

La presente invención propone un método para análisis de singularidades en señales digitales que comprende

a) determinar para cada punto de la señal un entorno de primeros vecinos; y

b) calcular para cada punto x de la señal una medida de reconstructibilidad o capacidad de reconstrucción que proporciona el entorno (a la que llamaremos, indistintamente, "medida de singularidad") a partir del mencionado entorno, construida a partir de la inferencia del valor de la señal en x a partir del valor de la señal en los puntos de dicho entorno de x utilizando la función de reconstrucción explicada en la referencia [12] e indicada en la fórmula (4) anterior, pero adaptada al entorno, de manera que se obtiene una medida de singularidad que contiene la diferencia entre el valor medido del punto y el valor inferido a partir de su entorno.

El método propuesto comprende además ventajosamente una tercera etapa c) en la cual se realiza al menos una transformación logarítmica sobre dicha medida de reconstructibilidad que suprime la dependencia de la medida del número total de puntos de la señal, obteniéndose así un exponente de singularidad para cada punto de la
señal.

En una realización mejorada el método propuesto comprende las siguientes etapas:

a1) obtener una función derivada estable de una señal digital, que está muestreada a intervalos regulares;

b1) obtener para cada punto de dicha señal digital, una medida de singularidad de la función en ese punto, ponderando las contribuciones de un entorno local del punto (utilizando una función de reconstrucción como se ha indicado antes) y el valor de la derivada en todos los puntos de dicho entorno local, y

c1) realizar al menos una transformación logarítmica sobre dicha medida de singularidad con el fin de obtener una medida independiente de la amplitud de la señal digital muestreada y que varíe de una manera controlada bajo cambios de resolución.

La invención comprende también la generalización de la medida de singularidad según lo descrito en el apartado de antecedentes anterior, al proponer una nueva medida de singularidad basada en el conjunto o variedad de puntos impredecibles, UPM por sus siglas en inglés; es decir, se parte de considerar la agrupación de todos los puntos impredecibles, en oposición a los otros puntos que son predecibles.

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Breve descripción de las figuras

Figura 1: Izquierda: Imagen original del MeteoSat, adquirida el 27 de Diciembre de 2004. Derecha: Singularidades asociadas; los colores más brillantes están asociados a los valores menores, mientras que los más oscuros se asocian a valores mayores. En el centro de esta imagen se aprecian frentes coherentes de ondas de varios cientos de kilómetros de extensión propagándose hacia el noroeste.

Figura 2: Izquierda: Imagen de una proliferación de algas en el Lago Mendota (Suiza) en falso color; Derecha: Singularidades asociadas; los colores más brillantes están asociados a los menores valores, mientras que los más oscuros se asocian a valores mayores. El análisis de singularidades nos permite mejorar la determinación visual de estructuras.

Figura 3: Arriba: Imagen Original del canal 80 de LandSat sobre una resolución aparente de 2.5 metros; Abajo: Singularidades obtenidas después de procesar la imagen. Los valores menores son representados más brillantes. Se puede percibir el contorno de algunos barcos y sus estelas así como algunos frentes de ola.

Figura 4: Arriba: Imagen imk01020.imc de Hans van Hateren; Medio: Puntos más singulares, MSM; Abajo: Reconstrucción a partir de la MSM.

Figura 5: Arriba: Mapa de temperatura superficial del mar obtenido por medio de sensores de microondas embarcados en satélite el día 1 de Febrero de 2003. Abajo: Exponentes de singularidad derivados; los valores más singulares son representados en colores más brillantes.

Figura 6: Arriba: Campo geostrófico de corrientes derivado por cuatro satélites altimétricos para el día 1 de Febrero de 2003. Abajo: Superposición del campo geostrófico de corrientes y de las singularidades de la Figura 5, abajo.

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Exposición detallada de la invención

El objeto de la presente invención, tal como se ha indicado en el apartado anterior, comprende el cálculo de una medida de reconstructibilidad para calcular de manera precisa los exponentes de singularidad de una señal digital, y que dichos exponentes permitan obtener reconstrucciones de gran calidad. Los requisitos básicos para definir una medida de singularidad \mu basada en el conjunto de puntos impredecibles UPM son los siguientes:

i): La medida \mu debe hacer referencia al comportamiento singular local de las funciones.

ii): La medida \mu debe conducir a una variedad más singular MSM tan cercana al conjunto de puntos impredecibles UPM como sea posible.

Las medidas del conjunto de puntos impredecibles son medidas de singularidad que también tienen en cuenta el grado de predecibilidad de los puntos según la ecuación

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donde F es la UPM y el superíndice "c" denota el conjunto complementario, es decir, los puntos predecibles; esta ecuación (5) es una consecuencia de la ecuación (4) tal como se describe en [12]. Por tanto, la ecuación (5) muestra que la divergencia del gradiente tomado sólo sobre los puntos predecibles se anula.

El inventor propone aquí que la mejor manera de continuar trabajando sobre singularidades es definir las medidas basadas en el conjunto de puntos impredecibles como proyecciones de wavelets de medidas de gradiente estándar. De este modo, la medida del conjunto de puntos impredecibles es una proyección de wavelet de la medida de gradiente expresamente diseñada, para que se penalice la impredecibilidad. Ello conlleva generalizar el concepto de proyección de wavelet, a fin de producir proyecciones de wavelet con valores vectoriales. El uso de proyecciones de wavelet con valores vectoriales es bien conocido desde hace algún tiempo y no introduce especiales complejidades en la forma de abordar el problema.

Otra diferencia principal en relación con el análisis de singularidad estándar detallado en los antecedentes referidos es que en la propuesta de la presente invención no se realizan proyecciones de wavelet de la medida de singularidad a diversas escalas r para extraer los exponentes de singularidad mediante una regresión logarítmica aplicada a la ecuación (3).

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Ha de destacarse que proyectar la medida sobre una wavelet a diversas escalas es costoso en tiempo de computación y sólo sirve para mejorar la resolución de las estructuras menos singulares a expensas de empeorar la de las más singulares (véase la argumentación al respecto en la referencia [17]). Dado que el objetivo fundamental en relación con la presente invención es extraer las estructuras más singulares, resulta perjudicial realizar las proyecciones a lo largo de múltiples escalas; en lugar de ello, se propone utilizar un estimador puntual (ver referencias [17], [9]) de los exponentes de singularidad, a saber:

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donde {T_{\Psi} \mu (\cdot, r_{0})} es la media de la proyección de wavelet a lo largo de toda la señal y sirve para disminuir la amplitud relativa de la corrección o(1/log r_{0}). Al aplicar la ecuación (7), se precisa que r_{0} sea lo suficientemente pequeño para despreciar esta corrección. La escala r_{0} se define como la menor accesible, es decir, la escala de un pixel. Convencionalmente se asigna una medida de Lebesgue de 1 a la totalidad del dominio espacial, con lo que, para el caso de una imagen de N \times M pixeles, el valor de r_{0} se fijaría en:

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así que, en general, se precisa que las imágenes sean lo suficientemente grandes para hacer del primer término de la parte derecha de la ecuación (7) una buena aproximación al exponente de singularidad. Esto implica típicamente tener imágenes de al menos 100 pixeles en una de las direcciones.

Un aspecto importante de la presente invención reside en el diseño de wavelets numéricas para implementar medidas de singularidad basadas en variedades de puntos impredecibles. Más adelante se presentan dos implementaciones de medidas basadas en variedades de puntos impredecibles de este tipo, que proporcionan un buen resultado en aplicaciones prácticas. El diseño está orientado, en su conjunto, al procesamiento de señales digitales y, en consecuencia, las wavelets se definen (implícitamente) mediante unos pesos numéricos, aunque la presentación está basada en una teoría y es fácil de generalizar a un esquema continuo.

Otro elemento importante del método propuesto reside en la manera de definir y/o establecer estimaciones numéricas estables del gradiente \nablas para que el núcleo de reconstrucción sea estable numéricamente. Para ello se proponen dos opciones posibles: diferencias de un pixel o punto hacia la derecha y diferencias de medio pixel, es decir, las diferencias de valor al desplazarse una posición a la derecha en el primer caso, o la interpolación equivalente a la diferencia que se obtendría al desplazarse media posición a la derecha y a la izquierda del punto, en el segundo caso. Ambas están definidas por núcleos de derivación descritos en el espacio de Fourier.

Es decir la derivada estable de la etapa al) del método, antes referida, se obtiene por derivada de incrementos hacia la derecha de un punto o centrados de medio punto.

En las fórmulas que siguen se caracterizará \partial_{x}, aunque la caracterización de \partial_{y} es análoga. Este operador actúa sobre una señal digital multiplicando simplemente la transformada de Fourier de la señal por el núcleo de derivación, y luego anti-transformando el resultado. Se asume que hay N_{x} pixels o puntos en la dirección x y N_{y} en la dirección y.

Diferencia de un pixel/punto hacia la derecha:

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Diferencia de medio pixel/punto:

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Otro aspecto básico del método propuesto consiste en la introducción del nuevo concepto de transformada de Fourier en cruz. Para estimar el grado de predecibilidad de un punto dado, se aplica una fórmula de reconstrucción, que viene expresada por la siguiente ecuación

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para el menor número de vecinos posible de un punto, concretamente sus primeros vecinos. En 2D (siendo d la dimensión de la señal; por tanto, d = 2 en este caso) esto consiste en 4 puntos vecinos, que forman, junto con el punto original, una cruz. Para cualquier cantidad p(x) se representan los vecinos de cualquier punto x_{0} mediante un vector de 5 componentes que comprende dicho punto y sus cuatro vecinos más cercanos, siguiendo la convención de indexación señalada en el siguiente dibujo que ilustra la representación esquemática de la indexación de los puntos en la cruz de 2D. De este modo se asignará al punto central el índice 0, al punto de su derecha el índice 1, al punto de su izquierda el índice 2, al punto de encima suyo el índice 3 y al punto de debajo suyo el índice 4. Así, se convierte el entorno de primeros vecinos del punto en estudio en el vector (p_{0}, p_{1}, p_{2}, p_{3}, p_{4}).

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Es decir, respecto al centro de la cruz, la posición del resto de puntos se corresponde con los desplazamientos de \pm1 (en unidades de punto) ya sea en la dirección x o en la dirección y. Para definir una transformada de Fourier especializada o adaptada a esta configuración en cruz, se ha de tener en cuenta que la frecuencia básica de Nyquist en cada dirección es de 2\pi/3. Para simplificar la notación se introduce el elemento complejo básico \zeta:

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1001

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Conforme a la invención, se define la transformada directa de Fourier en cruz de cualquier vector de 5 componentes 1003 como el vector complejo de 5 componentes 1004 obtenido según la siguiente fórmula:

1002

donde F es la siguiente matriz compleja de 5 x 5:

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Esta matriz representa la combinación lineal de los armónicos asociados a los desplazamientos en la cruz y está diseñada para representar con la máxima fidelidad la composición en el centro de la cruz, a partir de los puntos más cercanos. La inversa de esta matriz se puede calcular fácilmente,

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y esta última matriz es necesaria para realizar la anti- transformada de Fourier en cruz.

Se precisa definir implementaciones del gradiente y la fórmula de reconstrucción restringida a la cruz, a fin de evaluar rápidamente el grado de predecibilidad del punto central en función de los vecinos. Por este motivo, esta invención propone unas implementaciones adecuadas del gradiente y de la fórmula de reconstrucción de dicho gradiente, sobre la base de la transformada de Fourier en cruz.

Una primera implementación es la del operador de gradiente en cruz en funciones de operador de gradiente local, que es el operador 1005. En el espacio de Fourier, dicho operador actúa simplemente multiplicando cualquier función por las funciones 1006 para obtener las coordenadas x e y, respectivamente. La función 1007 se define para entornos en cruz como sigue:

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y, de manera análoga, se tiene:

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que se definen de tal manera que representan diferencias de medio pixel; de hecho \sqrt{3} = 2 sin(\pi/3).

Una segunda implementación es la del operador de reconstrucción en cruz, que es una de las inversas del operador de gradiente en cruz. Como el operador de gradiente elimina cualquier constante sumada a cada componente del vector de 5 componentes que representa los vecinos, la reconstrucción está completamente definida excepto por un cambio de esa constante; nuestra implementación del operador de reconstrucción en cruz que se propone es tal que el vector de 5 componentes resultante tiene una media de cero, \sum^{4}_{i=0} p_{i} = 0. Por ello, las señales deben tener la media sustraída antes de aplicarse estos dos operadores. Para ello se aplican los elementos de matriz de la primera línea de la transformada de Fourier en cruz inversa para no introducir armónicos cuando se aplique el operador de reconstrucción. Como la suma de los elementos de esa primera línea es (2 \times d) -1 (cuyo resultado es 3 en el caso de señales 2D), para sustraer la media se suman todos los valores del vector entorno (primeros vecinos) y se divide por ((2 \times d) -1), y al resultado se le suma la primera componente del vector de entorno y se le restan las otras componentes.

La reconstrucción en cruz es el operador 1008 En el espacio de Fourier 1009 tiene dos componentes funcionales, 1010; el operador actúa como la suma del producto de cada componente con la componente correspondiente (x e y) del gradiente sobre el que opera. La componente 1011 se define para un entorno de cruz como sigue:

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y, de manera análoga para 1012,

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De este modo la medida de singularidad definida en la etapa b1) del método de esta invención puede detallarse mediante los siguientes pasos para una señal genérica definida en un espacio de dimensión d arbitraria:

-: se extrae el entorno de los (2 \times d) primeros vecinos de un punto de base x, obteniendo los primeros vecinos del punto x, modificando consecutivamente cada uno y sólo uno de los índices de coordenadas de dicho punto x, primero sumando -1 y luego sumando +1, formando un vector de (2 \times d)+1 componentes, cuya primera componente es el valor de la señal en el punto x, la segunda el valor de la señal en el punto obtenido al modificar la primera coordenada sumándole -1, la tercera el valor de la señal en el punto obtenido al modificar la primera coordenada sumándole +1, la cuarta el valor de la señal en el punto obtenido al modificar la segunda coordenada sumándole -1 y así sucesivamente;

-: se extrae la tendencia de este vector, que se define como la suma de sus valores dividido por ((2 x d)-1) y esta tendencia se aplica al vector, añadiéndola a la componente referida al punto de base x y sustrayéndola de las otras componentes, de manera que de este modo el nuevo vector obtenido tiene media nula;

-: se aplica un operador de gradiente local sobre el citado vector de media nula, lo cual devuelve (2 \times d)+1 vectores de gradiente cada uno de ellos de d componentes, que definen el gradiente local:

-: se anulan las componentes de dicho gradiente local asociadas al punto x;

-: se aplica al gradiente local, con las componentes anuladas, un operador de reconstrucción asociado unívocamente al citado operador de gradiente local obteniendo un vector de (2 \times d)+1 componentes, que se denomina señal estimada;

-: se aplica una vez más el operador de gradiente local sobre dicho vector de (2 \times d)+1 componentes o señal estimada y se obtienen (2 \times d)+1 vectores de d componentes, que definen el gradiente local estimado;

-: se obtienen (2 \times d)+1 vectores de d componentes que expresan la diferencia de gradientes entre dicho gradiente local y dicho gradiente local estimado, y a partir de estos (2 \times d) +1 vectores de diferencia de gradientes se obtiene la medida de la singularidad asociada al punto x.

Los operadores de gradiente en cruz y de reconstrucción en cruz son dos de los procedimientos incluidos en esta invención susceptibles de implementarse mediante algoritmos básicos materializados de manera ventajosa en programas de ordenador ejecutables en un entorno computacional, para el diseño y cálculo de las medidas de singularidad basadas en variedades de puntos impredecibles. En particular tales programas o partes de los mismos pueden incluirse en rutinas almacenadas en microprocesadores o microchips. Estos operadores pueden simplificarse a una forma matricial de ((2 \times d)+1) x ((2 \times d)+1), para una implementación numérica más rápida.

A continuación se describen dos medidas de singularidad diseñadas de acuerdo con los principios de la presente invención:

-: medida de singularidad de correlación local (lcsm por sus siglas en inglés); y

-: medida de singularidad de correlación global (gcsm por sus siglas en inglés)

Ambas medidas pueden implementarse mediante algoritmos específicos materializados de manera ventajosa en programas de ordenador ejecutables en un entorno computacional. En particular tales programas o partes de los mismos pueden incluirse en rutinas almacenadas en microprocesadores o microchips.

La medida de singularidad de correlación local se ha concebido para medir la impredecibilidad de un punto dado, simplemente calculando la diferencia entre el valor real de la señal sin media (es decir, una vez suprimida la media) en un punto dado y el valor inferido a partir de sus cuatro vecinos (cuando d=2). Esta medida tiene como objetivo evaluar T_{\Psi_{lcsm}}\mu(x_{0},r_{0}) en un punto dado x_{0} y en el caso d=2 comprende los siguientes pasos:

1.: Se convierten los vecinos de x_{0} en un vector de 5 componentes 1013 según el esquema de indexación en cruz del gráfico antes presentado.

2.: Se rectifica el vector convenientemente: en primer lugar se obtiene 24, y el vector rectificado, 1014, se define como:

1015

3.: Se aplica el operador de gradiente en cruz a \vec{p} para obtener los vectores \vec{g}_{x} y \vec{g}_{y}.

4.: Se conserva el valor de las componentes asociadas al índice 0 de dichos vectores para su uso posterior, A_{x} = g_{x,0}, A_{y} = g_{y,0}.

5.: Se ajustan dichas dos componentes a cero, g_{x,0} = g_{y,0} = 0.

6.: Se aplica el operador de reconstrucción en cruz a los vectores resultantes \vec{g}_{x} y \vec{g}_{y}, para obtener la señal reconstruida \vec{r}.

7.: Se aplica de nuevo el operador de gradiente en cruz a \vec{r} para obtener los gradientes estimados \vec{\rho}_{x} y \vec{\rho}_{y}.

8.: Se define la medida de singularidad de correlación local como el módulo de la diferencia de los gradientes en cruz en el centro de dicha cruz, a saber:

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: De hecho, este último paso significa conservar el módulo de una proyección de wavelet con valores vectoriales, pero para simplificar la notación se deja tal cual está.

9.: A continuación se obtiene el exponente de singularidad h(x_{0}) aplicando la ecuación (7).

Es decir, la medida de la singularidad asociada al punto x comprende:

-: retener de los (2 \times d) + 1 vectores de diferencia de gradiente local obtenidos las d componentes asociadas al punto x, y

-: obtener la medida de singularidad como la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de estas d componentes

con lo que se obtiene una medida de singularidad de correlación local apta para medir la impredecibilidad de un punto dado.

La medida de singularidad de correlación global mejora la de correlación local teniendo en cuenta no sólo el tamaño de las desviaciones entre las señales estimadas y las reales, sino también la diferencia entre las direcciones de los gradientes obtenidos. Por este motivo, los datos iniciales no son solamente la señal s(\vec{x}), sino también el gradiente \nablas(\vec{x}). Es muy importante proporcionar una caracterización estable de \nablas(\vec{x}); para ello se han utilizado los dos núcleos mencionados anteriormente: un núcleo de diferencias de un pixel hacia delante y un núcleo de incrementos de medio pixel.

La medida de singularidad de correlación global tiene una estructura más compleja; sin embargo, el inventor ha comprobado que es la más eficaz para evaluar singularidades y a la vez garantizar una gran calidad de reconstrucción. La obtención de esta medida se realiza en dos etapas: en primer lugar, se obtiene una diferencia de gradiente para todos los puntos; a continuación, se construye la medida en cada punto x_{0} combinando las diferencias de gradiente asociadas a dicho punto y el gradiente \nablas en cada grupo de vecinos de dicho punto. Esta medida tiene como objetivo evaluar T_{\Psi_{lcsm}}\mu(x_{0},r_{0}) en un punto dado x_{0} y comprende los siguientes pasos:

Primera etapa: obtener las diferencias de gradiente en cada punto x_{0}.

2.: Se rectifica el vector convenientemente: en primer lugar se obtiene 26, y el vector rectificado, 1014, se define como:

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1016

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5.: Se ajustan dichas dos componentes a cero, g_{x,0} = g_{y,0} = 0.

7.: Se aplica de nuevo el operador de gradiente en cruz a \vec{r} para obtener los vectores de gradiente estimado \vec{\rho}_{x} y \vec{\rho}_{y}.

8.: Se genera la diferencia de gradiente asociada al punto central, (\varepsilon_{x}, \varepsilon_{y})= (\rho_{x} - A_{x}, \rho_{y} - A_{y}).

Segunda etapa: se evalúa la medida de singularidad de correlación global combinando las diferencias de gradiente y los gradientes del grupo de vecinos de cada punto conforme a los siguientes pasos:

1.: Para cada punto x_{0}, se considera la ventana de 3 x 3 centrada a su alrededor. En esta ventana, cada punto tiene unas coordenadas x_{0}+(d_{x},d_{y}), donde d_{x}, d_{y} pueden tomar los valores -1, 0, 1.

2.: Se calcula la autoproyección de las diferencias de gradientes en esta ventana, S(x_{0}):

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27

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Es decir, la medida de la singularidad asociada al punto x comprende:

-: tomar el hipercubo d-dimensional que rodea a un punto x dado, formado por los puntos obtenidos cuando se suma -1, 0 ó +1 a los índices de coordenada, lo que proporciona 3^{d} puntos;

-: retener para cada punto de dicho hipercubo el vector d dimensional la diferencia de gradiente local de ese punto, y

-: sumar estos 3^{d} vectores de d dimensiones, y calcular el producto escalar del vector resultante con el vector d dimensional de diferencia de gradiente asociado al punto x, lo que proporciona un índice de alineación de diferencias de gradiente local.

El índice de alineación de diferencias de gradiente permite deducir la existencia de una coherencia espacial entre los errores cometidos al prescindir del punto central cuando la señal es reconstruida, lo cual permite diferenciar entre ruido (de orientación aleatoria) y señal coherente.

3.: Se obtiene la energía del gradiente asociada a esta ventana, E(x_{0}):

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28

4.: Se obtiene la energía de diferencia de gradiente del punto x_{0}, e(x_{0}):

100

5.: Finalmente se define la medida de singularidad de correlación global como:

29

: En este caso, la definición es mucho más compleja y la linealidad se ha perdido por completo, incluso si se consideran las proyecciones de wavelet con valores vectoriales.

: Se observa que se ha obtenido la energía de gradiente del citado hipercubo como la suma de los módulos al cuadrado de los gradientes de cada punto del hipercubo.

: Por otro lado se observa que la medida de singularidad global es el producto de la medida de singularidad de correlación local obtenida según lo anteriormente explicado, por la raíz cuadrada del valor absoluto del índice de alineación de diferencias de gradiente local dividido por la energía de gradiente del hipercubo.

6.: A continuación se obtiene el exponente de singularidad h(x_{0}) aplicando la ecuación (7).

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La invención descrita hasta este punto puede ponerse en la práctica mediante técnicas de computación que se ejecutaran en unidades operativas o de cálculo. La implementación del método comprende un sistema para análisis de singularidades en señales digitales caracterizado por comprender en una versión básica:

- medios para obtener para cada punto de la señal un entorno local que comprende los primeros vecinos; y

- medios para calcular para cada punto x de la señal una medida de reconstructibilidad, o medida de singularidad, a partir del correspondiente entorno asociado a cada punto, construida a partir de la inferencia del valor de cada punto a partir del valor de los puntos de dicho entorno utilizando para el cálculo la siguiente función o fórmula de reconstrucción

30

donde

- s es una señal dada,

- 5 es la variedad más singular o MSM de dicha señal s,

- 1017 es el gradiente esencial de s,

- \vec{g} es el kernel de reconstrucción universal, y

- el símbolo \bullet significa producto escalar de convolución,

conteniendo dicha medida de singularidad la diferencia entre el valor medido y el valor inferido para cada punto.

Conforme a una realización mejorada, el sistema comprenderá además medios para realizar al menos una transformación logarítmica sobre dicha medida de reconstructibilidad destinada a suprimir la dependencia del número de puntos de la señal y proporcionando un exponente de singularidad para cada punto de la señal y en general:

medios para obtener una función derivada estable de una señal digital, muestreada a intervalos regulares;

medios para obtener para cada punto de dicha señal digital muestreada una medida de singularidad de la función en ese punto, ponderando las contribuciones de un entorno local del punto y el valor de la derivada en todos los puntos de dicho entorno local; y

medios para realizar al menos una transformación logarítmica sobre dicha medida de singularidad con el fin de obtener una medida independiente de la amplitud de la señal digital muestreada y que varíe de una manera controlada bajo cambios de resolución.

Los citados medios comprenderán en general unidades de cálculo o de procesamiento de datos integradas en el sistema o materializadas en forma de circuito integrado o unidad de procesado dedicada. Las instrucciones para la ejecución de las etapas del método estarán grabadas en programas cargables en las unidades operativas o integradas en circuitos electrónicos.

Se detallan a continuación unos ejemplos, que han de ser tomados a título no limitativo de aplicación del método conforme a la invención en diferentes campos. Todas las señales digitales procesadas en los ejemplos siguientes han sido obtenidas de bases de datos públicas. Dichas señales han sido procesadas utilizando un programa escrito por el inventor en lenguaje C y ejecutado en un ordenador personal con sistema operativo Linux. Los exponentes de singularidad obtenidos han sido convertidos en imágenes digitales por el mismo programa.

Ejemplo 1

Detección de estructuras y reconocimiento de patrones

Los exponentes de singularidad permiten reconocer estructuras muy sutiles que sólo son ligeramente evidentes en imágenes diferentes. Esto es así porque los exponentes miden el grado de transición (es decir, su brusquedad) de la señal en cada punto independientemente de su amplitud real. Esto se puede utilizar para detectar pequeñas modificaciones en un medio y para evidenciar la existencia de nuevas estructuras en imágenes. El rango de aplicaciones cubre todo tipo de imágenes, desde imaginería médica hasta teledetección, así como para detectar fotografías
manipuladas.

En la Figura 1 de los dibujos se indica la detección de ondas internas oceánicas a partir de una imagen de satélite MeteoSat (ver referencia [14]). La imagen de la izquierda muestra una porción de una imagen del canal visible del satélite MeteoSat V adquirida el 27 de diciembre de 2004 sobre la cresta submarina de Mascarene (área al Nordeste de Madagascar); la imagen tiene una resolución de 2.5 kilómetros \times 2.5 kilómetros aproximadamente, y comprende 500x500 pixels (lo que corresponde a un área de 1250 km x 1250 km). Las nubes aparecen como áreas blancas, borrosas, mientras que el mar es el fondo oscuro. La imagen de la derecha muestra los exponentes de singularidad asociados; la obtención de los mismos llevó alrededor de 10 segundos en un ordenador portátil con dos procesadores Centrino a 1.8 Mhz (los tiempos de los otros ejemplos están referidos al mismo ordenador). Además de una estructura más rica asociada a las nubes y a los flujos atmosféricos, se reveló la existencia de frentes concéntricos oceánicos de hasta 500 Km. de largo, probablemente ondas internas, en el centro de la imagen. Hoy en día se sabe que tener un buen conocimiento de las ondas internas oceánicas es clave para conocer los procesos de disipación de energía y de mezcla (de nutrientes, dispersión de contaminantes, etc) en los océanos; a pesar de ello, existe muy poca información, y poco sistemática, sobre las zonas del planeta afectadas por estas ondas. Por ejemplo, las citadas en la imagen de la derecha, a pesar de su enorme extensión (diversos frentes de hasta 500 km de longitud separados hasta 300 km) no se habían publicado hasta la fecha.

En la Figura 2 en la parte superior izquierda se muestra una imagen de una floración de algas en el lago Mendota (Suiza) en falso color, como una combinación de varios canales para incrementar los detalles (origen y detalles de procesamiento sobre la imagen: desconocidos). En la derecha se muestra los exponentes de singularidad, obtenidos tras apenas 3 segundos de cálculo.

En la Figura 3 se muestra una vista de la bahía de los Alfacs (NE España, en el Delta del Ebro) registrada por la banda 80 del LandSat, en fecha indefinida. La resolución de esta imagen es de 2.5 metros, y la zona representada cubre 500x500 pixels. En la parte de debajo de la figura se muestran los exponentes de singularidad (tiempo de cálculo: 10 segundos). Algunos buques apenas evidentes en la imagen de arriba aparecen con contornos bien cerrados en la imagen de abajo.

Ejemplo 2

Compresión de imágenes

Debido a la fórmula de reconstrucción, es posible regenerar una imagen a partir del conjunto de los puntos más singulares con gran calidad. Dicho conjunto suele estar bastante disperso, constituyendo el 20-30% de los puntos totales. Para completar la descripción, se debe registrar y almacenar el gradiente sobre dichos puntos, y se debe codificar de manera compacta. Se ha constatado que los gradientes cambian con suavidad por las líneas de variedad de puntos impredecibles UPM y se estima factible poder codificarlos de manera compacta. Por lo tanto, la reconstrucción de imágenes a partir de la variedad de puntos impredecibles UPM ha evidenciado tener el potencial de proporcionar códigos de compresión de alta calidad para imágenes.

En la Figura 4 en la parte superior se muestra una imagen de van Hataren identificada en la referencia [18] como imk01020.imc. Esta imagen ha sido obtenida con una cámara CCD con distancia focal de 28 mm y está definida por una matriz de 1536 \times 1024 pixels; los datos están codificados como niveles de gris en 12 bits nominales. La obtención de los exponentes de singularidad llevó unos 50 segundos. En la parte central de la figura se muestra el 30% de puntos más singulares. En la parte inferior se ha reconstruido la imagen a partir de los gradientes sobre la MSM mostrada en la parte central, obteniéndose una calidad medida por el Peak Signal-to-Noise Ratio (PSNR) de 37 dB, el cual indica alta calidad.

Ejemplo 3

Determinación de líneas de flujo en imágenes geofísicas y de otros tipos

Debido a las raíces teóricas en las que se fundamenta la definición de exponentes de singularidad, los mismos son particularmente útiles cuando se utilizan para analizar imágenes de variables escalares en flujos turbulentos. La teoría predice que las singularidades son advectadas (esto es, arrastradas por el fluido), cosa que puede utilizarse para trazar las líneas de corriente. En esencia, se puede seguir el camino de las corrientes analizando simplemente las imágenes asociadas a la temperatura, la concentración de clorofila y otros indicadores análogos. Los resultados de las singularidades derivadas de la temperatura de la superficie del mar estimados por sensores de microondas (MW SST) embarcados en los satélites Modis Acqua y TRMM se comparan con los mapas de altimetría.

Los datos de altimetría son difíciles de producir y tienen una resolución espacial muy mala, que se ha de filtrar mediante un filtro de paso bajo. Además, para producir mapas de altimetría de calidad, se deben combinar diversos altímetros activos, pero desde 2003 sólo siguen en funcionamiento dos satélites, y pronto sólo uno de ellos estará activo, o incluso ninguno. Por el contrario, la MW SST es mucho más económica, se obtiene sinópticamente en grandes zonas y es fácil de procesar. Tal como muestra la comparación, las singularidades delinean bastante bien los patrones de circulación, demostrando que están canalizadas por el flujo. Por lo tanto, determinar corrientes utilizando el análisis de singularidades emerge con fuerza como una alternativa interesante para sistemas oceanográficos operacionales para la gestión del riesgo mediambiental.

La Figura 5 muestra en la parte inferior los exponentes de singularidad derivados de una imagen de temperatura de la superficie del mar (imagen superior) mediante microondas (MW SST) - AMSR-E-TMI, correspondiente al 1 de Febrero del 2003 (tiempo de cálculo: unos 5 segundos). La zona mostrada corresponde a la corriente del Golfo de México. El mapa de temperaturas está dado en una malla en proyección cilíndrica con una resolución angular constante de ¼ de grado. En la Figura 6, arriba, se muestra el campo de corrientes geostrófico obtenido por la interpolación de cuatro satélites altimétricos; en la parte inferior de la figura se muestra la superposición de los dos campos (singularidades de temperatura y campo de velocidades geostrófico).

Se incluyen a continuación una serie de referencias a publicaciones científicas del estado de la técnica que reflejan aspectos explicados en la presente invención.

Referencias

[1] A. Arneodo. Wavelet analysis of fractals: from the mathematical concepts to experimental reality. In G. Erlebacher, M. Yousuff Hussaini, and L.M. Jameson, editors, Wavelets. Theory and applications, page 349. Oxford University Press. ICASE/LaRC Series in Computational Science and Engineering, Oxford, 1996.

[2] A. Arneodo, F. Argoul, E. Bacry, J. Elezgaray, and J. F. Muzy. Ondelettes, multifractales et turbulence. Diderot Editeur, Paris, France, 1995.

[3] U. Frisch. Turbulence. Cambridge Univ. Press, Cambridge MA, 1995.

[4] S. Mallat. A theory for multiresolution signal decomposition: the wavelet representation. IEEE Transaction on Pattern Analysis and Machine Intelligence, 11:67-93, 1989.

[5] S. Mallat and W. L. Huang. Singularity detection and processing with wavelets. IEEE Trans. in Inf. Th., 38:617-643, 1992.

[6] S. Mallat and S. Zhong. Wavelet transform maxima and multiscale edges. In Ruskai M. B. et al, editor, Wavelets and their applications. Jones and Bartlett, Boston, 1991.

[7] D. Marr. Vision. Freeman and Co. Nueva York, 1982.

[8] G. Parisi and U. Frisch. On the singularity structure of fully developed turbulence. In M. Ghil, R. Benzi, and G. Parisi, editors, Turbulence and Predictability in Geophysical Fluid Dynamics. Proc. Intl. School of Physics E. Fermi, pages 84-87, Amsterdam, 1985. North Holland.

[9] O. Pont, A. Turiel, and C. Perez-Vicente. Application of the microcanonical multifractal fonnalism to monofractal systems. Physical Review E, 74:061110, 2006.

[10] Z. R. Struzik. Determining local singularity strengths and their spectra with the wavelet transfonn. Fractals, 8(2):163-179, June 2000.

[11] A. Turiel. Relevance of multifractal textures in static images. Electronic Letters on Computer Vision and Image Analysis, 1(1):35-49, 2003.

[12] A. Turiel and A. del Pozo. Reconstructing images from their most singular fractal manifold. IEEE Trans. Im. Proc., 11:345-350, 2002.

[13] A. Turiel, J. Isern-Fontanet, E. Garcia-Ladona, and J. Young. Detection of wave fronts in the Indian Ocean from geostationary sunglint satellite imagery. Próxima aparición en el International Journal of Remote Sensing, 2007.

[14] A. Turiel and N. Parga. The multi-fractal structure of contrast changes in natural images: from sharp edges to textures. Neural Computation, 12:763-793, 2000.

[15] A. Turiel and C. Perez-Vicente. Multifractal geometry in stock market time series. Physica A, 322:629-649, May 2003.

[16] A. Turiel and C. Perez-Vicente. Role of multifractal sources in the analysis of stock market time series. Physica A, 355:475-496, September 2005.

[17] A. Turiel, C. Perez-Vicente, and J. Grazzini. Numerical methods for the estimation of multifractal singularity spectra on sampled data: a comparative study. Journal of Computational Physics, 216(1):362-390, July 2006.

[18] J. H. van Hateren and A. van der Schaaf. Independent component filters of natural images compared with simple cells in primary visual cortex. Proc. R. Soc. Lond., B265:359-366, 1998.

Claims

1. Método para análisis de singularidades en señales digitales, caracterizado porque comprende las siguientes etapas:

a) determinar para cada punto x de la señal un entorno de primeros vecinos o entorno local; y

b) calcular para cada punto x de la señal una medida de reconstructibilidad, o medida de singularidad, a partir del entorno local asociado, construida a partir de la inferencia del valor de la señal en dicho punto a partir del valor de los puntos de dicho entorno local utilizando la siguiente fórmula de reconstrucción

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donde:

- s es una señal dada,

- 5 es la variedad más singular o MSM de dicha señal s,

- 1017 es el gradiente esencial de s,

- \vec{g} es el kernel de reconstrucción universal, y

- el símbolo \bullet significa producto escalar de convolución

estando dicha fórmula de reconstrucción adaptada al citado entorno, de manera que la medida de singularidad contiene la diferencia entre el valor medido y el valor inferido por la fórmula de reconstrucción.

2. Método de acuerdo con la reivindicación 1, caracterizado por incluir además una tercera etapa c) que comprende realizar al menos una transformación logarítmica sobre dicha medida de singularidad que suprime la dependencia de la medida del número de puntos de la señal, obteniendo un exponente de singularidad para cada punto de la señal.

3. Método de acuerdo con la reivindicación 2, caracterizado porque comprende, antes de realizar la etapa a), obtener una función derivada estable de dicha señal digital que está muestreada a intervalos regulares, y porque en la etapa b) comprende obtener para cada punto de dicha señal digital muestreada una medida de singularidad de la función en ese punto, ponderando las contribuciones de un entorno local del punto y el valor de la derivada en todos los puntos de dicho entorno local.

4. Método según la reivindicación 3, caracterizado porque la derivada estable de la señal digital que precede a la etapa a) se obtiene por derivada de incrementos de un punto hacia la derecha o incrementos centrados de medio punto, estando en ambos casos la derivada definida en el espacio de Fourier por la multiplicación de la señal por los correspondientes núcleos de derivación, donde asumiendo que hay N_{x} puntos en una dirección coordenada x en la que se quiere derivar, los núcleos de derivación se expresan como sigue:

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Diferencia de un punto hacia la derecha:

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32

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Diferencia centrada de medio punto:

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comprendiendo las siguientes etapas:

- se aplica la transformada de Fourier a dicha señal;

- se multiplica por el núcleo asociado a cada una de las d componentes una copia de la transformada de Fourier de la señal; y

- se aplica la antitransformada a estas d componentes.

5. Método de acuerdo con la reivindicación 2, caracterizado porque la transformación logarítmica de la etapa c) que es al menos una, se realiza de la forma siguiente:

-: para cada punto de la señal digital muestreada se toma la medida obtenida en la etapa b) y se divide por la media de las medidas de todos los puntos; y

-: el logaritmo del resultado se divide por el logaritmo de la escala mínima de la señal digital muestreada, el cual se define como la raíz d-ésima del número total de puntos de la señal, donde d es la dimensión o número de variables propias de la señal.

6. Método de acuerdo con la reivindicación 5, caracterizado porque la medida de singularidad definida en la etapa b) se calcula mediante los siguientes pasos:

-: se calcula el vector de entorno de los (2 \times d) primeros vecinos de un punto de base x, obteniendo los primeros vecinos del punto x sumando consecutivamente a cada uno y sólo uno de los índices de coordenadas de dicho punto x, primero -1 y luego +1, formando el vector de entorno de (2 \times d)+1 componentes, cuya primera componente es el valor de la señal en el punto x, la segunda el valor de la señal en el punto obtenido al sumar -1 a la primera coordenada de x, la tercera el valor de la señal en el punto obtenido al sumar +1 a la primera coordenada de x, la cuarta el valor de la señal en el punto obtenido al sumar -1 a la segunda coordenada de x, y así sucesivamente;

-: se extrae la tendencia de este vector, que se define como la suma de sus componentes dividida por ((2 \times d)-1) y esta tendencia se aplica al vector de entorno, añadiéndola a la componente referida al punto de base x y sustrayéndola de las otras componentes, de manera que de este modo el nuevo vector de entorno obtenido tiene media nula;

-: se anulan las componentes de dicho gradiente local asociadas al punto x;

-: se aplica a dicho gradiente local, con las componentes anuladas, un operador de reconstrucción local asociado unívocamente al citado operador de gradiente local obteniendo un vector de (2 \times d)+1 componentes, que se denomina señal estimada;

-: se aplica una vez más el operador de gradiente local sobre dicho vector de (2 \times d)+1 componentes o señal estimada y se obtienen (2 \times d)+1 vectores, uno por cada punto del entorno local, de d componentes cada uno, que definen el gradiente local estimado para ese entorno;

-: se obtienen (2 \times d)+1 vectores de d componentes que expresan la diferencia de gradientes entre dicho gradiente local y dicho gradiente local estimado, y

-: a partir de estos (2 \times d) +1 vectores de diferencia de gradientes se obtiene la medida de singularidad asociada al punto x.

7. Método de acuerdo con la reivindicación 6 caracterizado porque el citado operador de gradiente local aplicado al vector de (2 \times d)+1 componentes comprende, para cada entorno de un punto x definido por el vector de (2 \times d) +1 componentes que incluye el valor de la señal en el punto x y en sus (2 \times d) vecinos, ejecutar una transformada de Fourier local, que sólo tiene en cuenta este entorno.

8. Método de acuerdo con la reivindicación 7, caracterizado porque la citada transformada de Fourier local está construida como una matriz de ((2 \times d)+1)) \times ((2 \times d)+1)), cuyos elementos son todos de valor 1 excepto los de la diagonal principal y de las diagonales adyacentes, donde todos los elementos de la diagonal principal excepto el primero por la izquierda, que vale 1, valen la exponencial compleja 2 \times \pi \times i/3 donde i es la raíz cuadrada de -1 y los elementos de las diagonales adyacentes valen consecutivamente 1, exponencial de -2 \times \pi \times i/3, 1, y así sucesivamente, comenzando desde arriba a la izquierda hacia abajo a la derecha.

9. Método de acuerdo con la reivindicación 8, caracterizado porque se calcula la transformada de Fourier local, aplicando matricialmente la matriz descrita de ((2 \times d)+1)) x ((2 \times d)+1)) a un vector de entorno de (2 \times d)+1 componentes.

10. Método de acuerdo con la reivindicación 9, caracterizado porque se calcula la antitransformada de Fourier local aplicando la matriz inversa de la descrita en la reivindicación 8, la cual existe siempre.

11. Método de acuerdo con la reivindicación 10 caracterizado porque para cada entorno de un punto x definido por un vector \vec{p} de (2 \times d)+1 componentes, la aplicación a \vec{p} del citado operador de gradiente local da un resultado expresado por el vector de gradiente local para el punto x y los puntos de su entorno y comprende las siguientes etapas:

-: se aplica la transformada de Fourier local a \vec{p};

-: se construye la derivada a lo largo de una dirección coordenada dada multiplicando por i\sqrt{3} la componente del vector transformada de Fourier de \vec{p} asociada al punto que se obtiene cuando se modifican las coordenadas del punto x al sumar -1 al índice de dicha dirección coordenada y multiplicando por -i\sqrt{3} la componente de dicho mismo vector obtenida al modificar las coordenadas del punto x al sumar +1 a dicho índice coordenado, y anulando las restantes componentes, obteniendo así d vectores de derivada, uno por cada coordenada;

-: se aplica la antitransformada de Fourier local a estos d vectores de (2 \times d)+1 componentes, representando así cada vector la derivada a lo largo de cada una de las d direcciones coordenadas en todos los puntos del entorno local; y

-: se reordenan las componentes de estos d vectores, agrupando para cada uno de los puntos del entorno local las d derivadas asociadas a ese punto, obteniéndose (2 \times d)+1 vectores de gradiente local, de d componentes cada uno, que reproducen el gradiente en cada punto del entorno local.

12. Método de acuerdo con la reivindicación 6 caracterizado porque dicho operador de reconstrucción aplicado al gradiente local se define como el inverso del operador de gradiente local, y comprende las siguientes etapas:

- se aplica la transformada de Fourier local a los d vectores de derivada a lo largo de cada dirección coordenada, cada uno de (2 \times d)+1 componentes;

- se construye el vector de reconstrucción a lo largo de una dirección coordenada dada dividiendo por i\sqrt{3} la componente del vector transformada de Fourier local de \vec{p} asociada al punto que se obtiene cuando se modifican las coordenadas del punto x al sumar -1 al índice de dicha dirección coordenada y dividiendo por -i\sqrt{3}. la componente de dicho mismo vector obtenida al modificar las coordenadas del punto x al sumar +1 a dicho índice coordenado, y anulando las restantes componentes, obteniendo así d vectores de reconstrucción a lo largo de una dirección, uno por cada coordenada;

-: se suman estos d vectores de reconstrucción; y

-: se aplica la antitransformada de Fourier local al vector de (2 \times d)+1 componentes resultante del paso anterior.

13. Método de acuerdo con la reivindicación 6, caracterizado porque el paso final de la etapa b) por el que se obtiene la medida de singularidad asociada al punto x comprende:

-: retener de los (2 \times d) + 1 vectores de diferencia de gradientes obtenidos las d componentes asociadas al punto x, y

14. Método de acuerdo con la reivindicación 6, caracterizado porque el paso final de la etapa b) por el que se obtiene la medida de singularidad asociada al punto x comprende:

-: tomar un hipercubo d-dimensional que rodea un punto x dado, formado por los puntos obtenidos al sumar -1, 0 ó +1 a cada índice de coordenadas de x lo que proporciona 3^{d} puntos;

-: retener para cada punto de dicho hipercubo el vector d-dimensional asociado a la componente central (asociada al punto de base) de la diferencia de gradiente, y

-: sumar estos 3^{d} vectores, y calcular el producto escalar del vector resultante con el vector d-dimensional de diferencia de gradiente asociada al punto x,

con lo que se obtiene un índice de alineación de diferencias de gradiente que permite deducir la existencia de una coherencia espacial entre los errores cometidos al prescindir del punto central cuando la señal es reconstruida, lo cual permite diferenciar entre ruido (de orientación aleatoria) y señal coherente.

15. Método de acuerdo con la reivindicación 14, caracterizado porque comprende además:

-: antes de realizar la etapa a), obtener una función derivada estable de dicha señal digital que está muestreada a intervalos regulares, y obtener en la etapa b) para cada punto de dicha señal digital muestreada una medida de singularidad de la función en ese punto, ponderando como sigue las contribuciones de un entorno local del punto y el valor de la derivada en todos los puntos de dicho entorno local;

-: obtener la energía de gradiente del citado hipercubo efectuando la suma de los módulos al cuadrado de los gradientes de cada punto del hipercubo;

-: obtener una medida de singularidad de correlación local en el punto x mediante las operaciones siguientes:

-: obtener la medida de singularidad como la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de estas d componentes; y

-: obtener la medida de singularidad de correlación global como el producto de la medida de singularidad de correlación local por la raíz cuadrada del valor absoluto del índice de alineación de diferencias de gradiente local, dividido este último por la energía de gradiente del hipercubo.

16. Método según la reivindicación 15, caracterizado porque la derivada estable de la señal digital que precede a la etapa a) se obtiene por derivada de incrementos de un punto hacia la derecha o incrementos centrados de medio punto, estando en ambos casos definida la derivada en el espacio de Fourier por la multiplicación de la señal por los correspondientes núcleos de derivación, donde asumiendo que hay N_{x} puntos en una dirección coordenada x en la que se quiere derivar dichos núcleos de derivación, los núcleos de derivación se expresan como sigue:

Diferencia de un punto hacia la derecha:

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Diferencia centrada de medio punto:

35

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comprendiendo las siguientes etapas:

- se aplica la transformada de Fourier a dicha señal;

- se aplica la antitransformada a estas d componentes

17. Sistema para análisis de singularidades en señales digitales caracterizado por comprender:

-: medios para obtener para cada punto de la señal un entorno local que comprende los primeros vecinos; y

-: medios para calcular para cada punto x de la señal una medida de reconstructibilidad, o medida de singularidad, a partir del entorno local asociado, construida a partir de la inferencia del valor de la señal en dicho punto a partir del valor de los puntos de dicho entorno local utilizando la siguiente fórmula de reconstrucción

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donde:

- s es una señal dada,

- 5 es la variedad más singular o MSM de dicha señal s,

- 1017 es el gradiente esencial de s,

- \vec{g} es el kernel de reconstrucción universal, y

- el símbolo \bullet significa producto escalar de convolución, conteniendo dicha medida de singularidad la diferencia entre el valor medido y el valor inferido para cada punto.

18. Sistema de acuerdo con la reivindicación 17 caracterizado por incluir además medios para realizar al menos una transformación logarítmica sobre dicha medida de reconstructibilidad que suprime la dependencia del número de puntos de la señal, lo que proporciona un exponente de singularidad para cada punto de la señal.

19. Sistema de acuerdo con la reivindicación 18, caracterizado por comprender además:

medios para obtener una función derivada estable de la señal digital, muestreada a intervalos regulares; y

medios para obtener para cada punto de dicha señal digital muestreada una medida de singularidad de la señal en ese punto, ponderando las contribuciones del citado entorno local del punto y el valor de dicha derivada estable en todos los puntos de dicho entorno local.