DE4218799A1 - Verfahren zur Verschleißerkennung an Werkzeugmaschinen durch dynamische Kraftmessung mittels des magnetoelastischen Effekts - Google Patents

Description

Schwingungen können den Meßtechniker manchmal zur Verzweiflung treiben, beispielsweise ein schwingender Meßverstärker. Ebenso unerwünscht sind sie bei Maschinen, da sie den Verschleiß fördern.

Andererseits ermöglichen sie jedoch oft die genaue Bestimmung einer Meßgröße, wie z. B. die der Zeit durch Schwingungen eines Pendels oder eines Quarzes. Driften der Sensoren oder der Verstärker spielen im Gegensatz zu statischen Messungen keine Rolle mehr.

Ziel einer jeden Messung ist es, eine Meßgröße zu erfassen, ohne daß der Prozeß dadurch gestört oder verändert wird. Die bei Maschinen unvermeidbaren Schwingungen bringen deshalb auch Vorteile, weil man durch sie ohne Eingriff in die Maschine Aussagen über ihren Zustand bekommen kann. So lassen sich durch die Lagergeräusche Schäden an einem Motor erkennen.

Bei Werkzeugmaschinen ist der Verschleiß des Werkzeugs sehr gefährlich für die Maschine. Bei den computergesteuerten Werkzeugmaschinen läuft die Produktion fast ohne Beaufsichtigung. Die Werkzeuge sind aber oft schon nach wenigen Minuten verschlissen. Ohne Verschleißüberwachung muß das Werkzeug also sehr früh ausgetauscht werden. Erschwerend kommt hinzu, daß die Standzeiten, d. h. die Zeiten bis zum verschleißbedingten Austausch des Werkzeugs, großen Streuungen unterworfen sind. Bild 1 zeigt eine Häufigkeitsverteilung der Standzeiten gleicher Werkzeuge bei der Fertigung eines Werkstücks aus 16 MnCr 5 an einer Maschine unter gleichen Zerspanbedingungen [1].

Die Standzeit dieses Werkzeuges liegt zwischen ca. 3 Minuten und 70 Minuten. Ohne Verschleißüberwachung muß das Werkzeug also nach spätestens 3 Minuten ausgetauscht werden. Dies ist aber ökonomisch wenig sinnvoll.

Aus diesem Grunde wurde eine Vielzahl von Verfahren zur Verschleißerkennung entwickelt (vgl. Kap. 1). Eine direkte Verschleißmessung ist durch die rauhen Betriebsbedingungen nicht zu realisieren (vgl. Kap. 1.2.1). Unter den indirekten Meßverfahren (vgl. Kap. 1.2.2) bietet die Schwingungsmessung die Möglichkeit der Verschleißerkennung ohne Eingriff in die Maschine.

Bisher wird bei Schwingungsmessungen hauptsächlich die Varianz des Meßsignals ausgewertet, wobei bei mittelwertfreien Signalen die Varianz gleich der Signalleistung ist. In der Regel wird bei stumpfer Schneide ein Anstieg der Varianz beobachtet [2]. Aber auch ein Absinken der Varianz ist festzustellen (vgl. Kap. 7). Durchgesetzt hat sich bisher nur die Bruchüberwachung durch Körperschallmessung. Der Werkzeugbruch ist durch eine Schwelle für das Meßsignal natürlich deutlich zu erkennen [3].

Bei Untersuchungen des Spektrums wurden zwar Unterschiede bei scharfer und stumpfer Schneide beobachtet, doch es konnten häufig nur maschinenspezifische Aussagen über die sich ändernden Frequenzen gemacht werden [4]. Hier liegt ein Schwerpunkt dieser Arbeit, eindeutige Aussagen für den Verschleiß zu finden, die unabhängig von der Maschine und den Zerspanbedingungen sind.

Zur Schwingungsmessung (Frequenzbereich von 5 kHz bis 50 kHz) werden drei Meßmethoden verwendet, die Kraftmessung, die Körperschallmessung und die Temperaturmessung (vgl. Kap. 2). Für die Kraftmessung wird kein handelsüblicher piezoelektrischer Kraftmesser eingesetzt, da dieser einen Eingriff in die Konstruktion der Maschine bedeutet. Vielmehr wird zur Messung der Kraft der magnetoelastische Effekt (vgl. Kap. 2.1) benutzt, der bisher an der Drehmaschine noch nicht eingesetzt wurde. Für die Körperschallmessungen werden Beschleunigungsaufnehmer der Fa. Kistler verwendet (vgl. Kap. 2.2). Kein Sensor ist bei der Messung der Temperaturänderungen durch die Thermospannung notwendig (vgl. Kap. 2.3).

Ist das beste Meßverfahren gefunden, so muß der Einfluß des Verschleißes auf das Meßsignal untersucht werden. Hierzu wird zunächst eine Modellbildung beim stationären Zerspanprozeß durchgeführt (vgl. Kap. 3). Für den stationären Zerspanprozeß findet man in der Literatur das Scherlinienmodell und das Gleitlinienmodell. Beide Modelle werden vorgestellt und mit Meßergebnissen verglichen (vgl. Kap. 3.1 bis Kap. 3.3). Eine große Wirkung auf den Zerspanprozeß hat die Reibung. Die Vermutung liegt nahe, daß sie Einfluß auf die Entstehung und die Frequenz der Schwingungen hat. Als Vorbereitung auf die dynamische Betrachtung des Zerspanprozesses wird deshalb in Kap. 3.4 der Einfluß von Temperatur, Geschwindigkeit und Normalspannung auf die Reibung und den Zerspanprozeß untersucht.

Die Ergebnisse aus Kap. 3 werden in Kap. 4 auf ein dynamisches Modell der Spanbildung übertragen. Für eine Verschleißerkennung sind vor allem Schwingungen, die bei der Spanbildung entstehen, interessant (vgl. Kap. 4.1). In Kap. 4.1 werden die Schwingungstypen, die bei der Spanbildung entstehen, aufgezeigt. Kap. 4.2 und Kap. 4.3 erklären die Schwingungen durch zwei Modelle, einem mechanischem Modell und einem Modell, das die thermischen Effekte bei der Spanbildung mitberücksichtigt. Mit Hilfe von Meßwerten werden diese Modelle überprüft. In Kap. 4.4 werden die Auswirkungen der Verschleißarten auf die Schwingungen untersucht.

Das Übertragungsverhalten der Maschine zwischen dem Zerspanprozeß und dem Sensor bei der Kraft- und der Beschleunigungsmessung wirkt sich auch auf die Schwingungen aus. Deshalb werden in Kap. 5.1 zwei Methoden vorgestellt, mit denen das Meßsignal von dieser Übertragungsfunktion befreit werden kann. Dabei entstehen Probleme mit der Stabilität der verwendeten Filter (vgl. Kap. 5.2). Die Ursache dieser Instabilitäten wird in Kap. 5.3 in der Maschinenübertragungsfunktion gesucht. Eine andere Möglichkeit der Instabilität der Filter kann in dem Übergang vom kontinuierlichen zum diskreten System liegen (vgl. Kap. 5.4).

Zur Schätzung der Schwingungsfrequenzen werden parametrische Modelle verwendet (Kap. 6). Es wird eine Methode vorgestellt, mit der ein autoregressives moving-average Modell [36] bei einem durch weißes Rauschen erregten System geschätzt werden kann.

In Kap. 7 können Messungen bei der Fa. EMAG, einem Drehmaschinenhersteller aus Salach, und Messungen an der Institutwerkstatt die durch die Theorie gewonnenen Ergebnisse bestätigen.

Am Ende der Arbeit steht eine Zusammenfassung der gewonnenen Erkenntnisse.

Die wesentlichen Ziele dieser Arbeit sind also:

• - ein Meßverfahren ohne Eingriff in die Maschine, das auch für die Praxis brauchbar ist
• - das Finden von Verschleißkriterien durch die Analyse der Schwingungen
• - die Klärung des Einflusses der Zerspanbedingungen auf die Verschleißkriterien
• - eine Unterscheidung der Verschleißarten
• - maschinenunabhängige Ergebnisse
• - eine genaue Auswertung, die sich auf einem einfachen, preiswerten Rechner realisieren läßt.

Bei diesen Zielen steht der Aspekt eines praktischen Einsatzes des Verfahrens im Vordergrund.

Bevor jedoch ein kurzer Überblick über die drei wesentlichen direkten und indirekten Meßverfahren zur Verschleißerkennung gegeben wird (vgl. Kap. 1), sollen noch einige notwendige Grundlagen der Zerspantechnik dargelegt werden.

1. Der Zerspanprozeß 1.1 Grundlagen 1.1.1 Zerspankräfte

Beim Drehen gelangt der Werkstoff mit der Geschwindigkeit v_c auf den Drehmeißel und wird dort bis zur Elastizitätsgrenze verformt (Bild 1.1). Das Material wird vom Werkstück abgetrennt und bewegt sich mit der Geschwindigkeit v_sp auf der Spanfläche weiter. Der Bereich, in dem der Span vom Werkstück abgetrennt und umgeleitet wird, ist die Verformungszone. Es entstehen drei Hauptkräfte, die Schnittkraft F_c in Schnittrichtung, die Passivkraft F_p in Werkzeugrichtung und die Vorschubkraft F_f in Vorschubrichtung.

Die Schnittkraft ist die größte auftretende Kraftkomponente. Sie trägt den Hauptanteil an der Verformung des Spans. Die Vorschubkraft entsteht durch die Reibung zwischen Werkzeug und Span. Es besteht mit dem Reibungswinkel ρ₀ und dem Reibungskoeffizienten µ zwischen der Vorschubkraft F_f und der Schnittkraft F_c folgender Zusammenhang:

Die in Werkzeugrichtung wirkende Passivkraft wird vom Werkzeug zum Eindringen in das Werkstück benötigt. Die Größe der Kraftkomponenten hängt im wesentlichen von der zerspanten Fläche A_z, d. h. dem Produkt von Spanungsbreite b und Spanungsdicke h, ab (Bild 1.2).

Für die Spanungsbreite b und die Spanungsdicke h gilt

Spanungsdicke und Spanungsbreite lassen sich mit Hilfe des Einstellwinkels κ aus dem Vorschub und der Schnittiefe berechnen. Bei den durchgeführten Messungen wurde der Einstellwinkel κ ≈ 90° gewählt.

In der Praxis wird die Schnittkraft F_c durch folgende Funktion angegeben:

Die spezifische Schnittkraft k_c ist dabei ein durch Messungen bestimmter Faktor und kann Tabellen entnommen werden. Die spezifische Schnittkraft k_c hängt in der Hauptsache vom Werkstoff und der Spanungsdicke h ab. Außerdem ist k_c von der Werkzeuggeometrie, vom Schneidstoff und vom Verschleiß abhängig.

Die Abhängigkeit des Faktors k_c von der Spanungsdicke h wird durch analytische Funktionen angenähert. So wurde z. B. für Baustähle [5] folgende Abhängigkeit bestimmt:

mit den Konstanten C₁, C₂, k_c0, m, die Tabellen entnommen werden können.

Analog zu Gl. 1.1.3 gilt mit der spezifischen Vorschubkraft:

Weiterhin gilt für die von der Maschine aufgebrachte mechanische Leistung mit der Schnittgeschwindigkeit v_c und der Vorschubgeschwindigkeit v_f folgender Zusammenhang:

wobei die Schnittgeschwindigkeit v_c viel größer als die Vorschubgeschwindigkeit v_f ist, und deshalb die Vorschubleistung vernachlässigt werden kann.

Beispiel 1 Zerspankräfte

Der Werkstoff Ck 45 hat die spezifische Schnittkraft

Mit der Spanungsdicke h = 0.4 mm und dem Reibungswinkel ρ₀ = 20° erhält man für die Spanungsbreiten b = 0,5 mm und b = 6,5 mm nach Gl. 1.1.3 die Schnittkraft F_c und mit Gl. 1.1.1 die Vorschubkraft F_f:

Bei b = 0,5 mm: F_c = 496 N und F_f = 180 N.
Bei b = 6,5 mm: F_c = 6,4 kN und F_f = 2,3 kN.

Damit ergeben sich nach Gl. 1.1.5 für eine Schnittgeschwindigkeit

die Leistungen:

Bei b = 0,5 mm: P_v = 1,98 kW.
Bei b = 6,5 mm: P_v = 25,8 kW.

Die mechanische Leistung P_v wird zur Verformung des Spanes benötigt. Sie wird deshalb in Zukunft als Verformungsleistung bezeichnet.

1.1.2 Die Zerspantemperatur

Der größe Teil der Verformungsleistung wird zur plastischen Verformung des Spans und zur Überwindung der Reibung benötigt. Dies sind irreversible Prozesse, somit wird ein großer Teil der Leistung in Wärme umgesetzt.

Vernachlässigt man die elastische Verformung, so gilt für den Wärmestrom in die Verformungszone:

≈ P_v.

Der Wärmestrom setzt sich zusammen aus einem Wärmestrom _plastisch durch die plastische Verformung des Spans und einem Wärmestrom durch die Reibung. Somit gilt auch:

P_v (_plastisch+_Reibung).

Die Wärmeableitung aus der Verformungszone in den Drehmeißel und das Werkstück kann bei den großen Geschwindigkeiten des Spans und den kleinen geometrischen Abmessungen der Verformungszone vernachlässigt werden. Der überwiegende Teil der zugeführten Wärme wird durch den Span mitgenommen, also durch Konvektion abgeführt. Damit kann die mittlere Temperatur der Verformungszone mit der Dichte ρ und der spezifischen Wärmekapazität c bestimmt werden:

wobei die zerspante Fläche A_z = h b und ϑ_u die Umgebungstemperatur ist.

Mit Gl. 1.1.3 und Gl. 1.1.5 erhält man für die mittlere Temperatur:

Für den Werkstoff CK 45 erhält man dann den in Beispiel 2 berechneten Wert.

Beispiel 2 Temperatur

Mit den Werten aus Beispiel 1, der Dichte

und der spezifischen Wärmekapazität

ergibt sich für beide Schnittiefen:

Die mittlere Temperatur in der Verformungszone hat einen wesentlichen Einfluß auf die Festigkeit des Materials, es wird mit steigender Temperatur weicher. Damit sinken die Zerspankräfte, ein sehr wünschenswerter Effekt. Leider nimmt mit der Temperatur auch der Verschleiß des Werkzeugs zu (Kap. 1.1.3), so daß hier ein Kompromiß gefunden werden muß.

1.1.3 Werkzeugverschleiß

Beim Zerspanen unterscheidet man vier wesentliche Verschleißursachen [6], den Verschleiß durch

Adhäsion,  Abrasion,  Diffusion,  und  Oxidation.

Adhäsionsverschleiß:
Unter hohem Druck und hoher Temperatur verschweißen die Berührungspunkte von Span und Werkzeug. Beim Abgleiten des Spans werden dadurch Teile des Werkzeugs mitgerissen.
Abrasionsverschleiß:
Verschleiß durch Reibung. Harte Einschlüsse im Werkstoff wirken wie Mikromeißel und bohren sich in die Oberfläche des Werkzeugs.
Diffusionsverschleiß:
Diffusionen zwischen Schneidstoff und Werkstoff beeinträchtigen die Festigkeit des Schneidstoffes.
Oxidationsverschleiß:
Durch die Verbindung mit Sauerstoff läßt die Widerstandsfähigkeit des Schneidstoffes nach.

Alle Verschleißformen sind um so wirkungsvoller, je höher die Temperaturen am Werkzeug sind und je größer die dynamische Belastung ist. Neben einer Veränderung der Werkzeuggeometrie nimmt die Oberflächenrauheit des Drehmeißels stark zu, was zu einer Zunahme der Reibung führt.

Die Verschleißformen erzeugen am Drehmeißel die in Bild 1.4 dargestellte Verschleißgeometrie [7].

Die Verschleißmarkenbreite (VB) gibt den Verschleiß an der Freifläche des Werkzeugs wieder. Er entsteht durch die Reibung mit dem Werkstück.

Eine Einkerbung auf der Spanfläche bezeichnet man als Kolk. Dieser wird hauptsächlich durch die Reibung und die Reibungswärme beim Abgleiten des Spanes erzeugt. Die Tiefe der Einkerbung wird als Kolktiefe (KT) bezeichnet.

Durch plastische Deformation, durch den Kolk und Schneidenausbrüche wird der Spanwinkel γ, die Neigung der Spanfläche zur Horizontalen, verändert. Der Spanwinkel wird mit zunehmendem Verschleiß immer kleiner und kann sogar wie in Bild 1.4 negativ werden.

Auch der Schneidkantenversatz (SKV) ist ein wichtiges Verschleißmerkmal. Er gibt den Abstand der neuen zur alten Werkzeugspitze an.

Die maximal zulässigen Verschleißmarkenbreiten liegen beim Schruppen, einer Grobbearbeitung des Werkstücks, zwischen

500 µm < VB < 1000 µm

und beim Schlichten, der Feinbearbeitung des Werkstücks, zwischen

100 µm < VB <500 µm.

Zulässige Kolktiefen gehen bis maximal

KT < 1 mm.

Alle Verschleißkenngrößen führen zu einem Ansteigen der Zerspankräfte. Die Vorschubkraft und die Passivkraft nehmen zu. Die starke Zunahme der Vorschub- und der Passivkraft entsteht wegen einer größeren Reibung. Diese Zunahme der Kräfte führt zu einer Verdrängung von Drehmeißel und Werkstück. Damit nimmt die Schnittiefe ab und die Abweichung des Werkstücks vom Solldurchmesser zu.

Gleichermaßen führt der Schneidkantenversatz durch die Verkleinerung der Schnittiefe zu einer Vergrößerung des Werkstückdurchmessers.

Neben kleineren, ungefährlichen Schneidenausbrüchen ist der Werkzeugbruch besonders gefährlich für das Werkstück und die Maschine. Eine wirkungsvolle Verschleißerkennung muß diesen Effekt schnell entdecken und die Maschine abschalten können.

1.2 Verfahren zur Verschleißerkennung

Zur Erkennung des Verschleißes beim Drehen wurden eine Vielzahl von Methoden entwickelt, die man in zwei Hauptgruppen unterteilen kann: die direkten und indirekten Meßverfahren. Verfahren zur direkten Messung des Verschleißes haben den Vorteil einer größeren Genauigkeit und es besteht die Möglichkeit einer Unterscheidung der Verschleißgrößen VB, SKV und KT. Die Störanfälligkeit ist aber durch die rauhen Betriebsbedingungen, durch die Einwirkung von Spänen, durch Schmutz und durch Kühlschmierstoffe enorm, so daß diese Verfahren nur als off-line Verfahren, d. h. in den Arbeitspausen des Werkzeugs, einzusetzen sind.

Indirekte Meßverfahren bestimmen den Verschleiß aus einer verschleißproportionalen Meßgröße. Sie sind wesentlich ungenauer und eine Unterscheidung der einzelnen Verschleißgrößen ist sehr schwierig. Da sowohl der Meßaufwand geringer als auch die Störanfälligkeit weniger groß ist, wurden die Untersuchungen bei den indirekten Meßverfahren in den letzten Jahren verstärkt.

1.2.1 Direkte Meßverfahren

Zur Bestimmung des Schneidkantenversatzes werden optische, akustische, mechanische und induktive Verfahren zur Wegmessung eingesetzt.

Bild 1.6 zeigt ein optisches Verfahren zur Verschleißmessung [8]. Es wird der Spalt zwischen Werkstück und Werkzeug genutzt. Nimmt der Schneidkantenversatz zu, so wird dieser Spalt geringer, die empfangene Lichtintensität beim Durchleuchten des Spalts wird ebenfalls kleiner.

Eine weitere optische Möglichkeit stellt ein Triangulationsverfahren [9] dar. Durch Veränderung des Werkstückdurchmessers wird die Reflexionsfläche und damit der Auftreffpunkt auf den Empfänger verändert. Mißt man die Verschiebung des Lichtpunktes, so kann auf den Schneidkantenversatz zurückgeschlossen werden.

Ein akustisches Laufzeitverfahren (Bild 1.8) mißt den Abstand zwischen Werkstück und Drehmeißel [10]. Diese Messung kann auch mit Hilfe von mechanischen Tastern geschehen.

Die bisher genannten Verfahren zur Messung des Schneidkantenversatzes sind für eine Anwendung während des Drehens nicht geeignet. Die Störungen durch herumfliegende Späne sind zu groß. Hier bringen Verfahren, bei denen die Schneidplatte oder der Werkzeugschaft präpariert werden, bessere Ergebnisse.

Beispielsweise kann durch eine Widerstandsschicht an der Freifläche des Werkzeugs die Verschleißmarkenbreite VB erkannt werden. Bei Abrasion der Schneidenspitze wird die Widerstandsschicht verkleinert, der Widerstand R steigt.

Eine weitere Methode der Verschleißmessung ist die radioaktive Präparierung des Werkzeugs. Radioaktive Verschleißpartikel werden von den Spänen mitgenommen. Die Radioaktivität der Späne wird gemessen [11].

Für einen pneumatischen oder hydraulischen Verschleißsensor nach Bellmann [12] muß nur der Werkzeugschaft umgebaut werden (Bild 1.11). In den Schaft wird eine Düse eingebaut, aus der ein Medium mit dem Druck p₁ und dem Durchfluß q strömt. Je nach Abstand zwischen Drehmeißel und Werkstück entsteht ein kleinerer oder größerer Druckabfall.

In Bild 1.11 ist das Problem auf eine stationäre, ebene Strömung zwischen 2 Platten vereinfacht, wobei die eine Platte durch den Drehmeißel und die andere Platte durch das Werkstück gebildet wird.

Weiterhin soll für die Platten gelten:

Dann kann der Druckabfall Δp in Abhängigkeit vom Abstand d, der Länge l und der Breite b der Platten sowie der Zähigkeit η und dem Volumenstrom q des Mediums angegeben werden [13]:

Hierbei ist die Druckdifferenz Δp, die Differenz zwischen dem Druck in der Düse und dem Umgebungsdruck p₀:

Δp = p₁-p₀.

Durch den Schneidkantenversatz wird der Abstand d der Platten kleiner. Damit ist bei konstantem Durchfluß q der Druck p₁ oder bei konstantem Druck p₁ der Durchfluß q; ein Maß für den Schneidkantenversatz.

Die Meßverfahren, bei denen das Werkzeug präpariert wird, sind bis auf das Verfahren von Bellmann von Störungen kaum betroffen. Die Wiederstandsmessung und das Verfahren von Bellmann haben den Nachteil, daß Zuleitungen benötigt werden. Dies ist bei einem Werkzeugwechsel sehr störend. Außerdem werden die Schneidplatten durch das Aufbringen einer Widerstandsschicht teurer.

Die radioaktive Verschleißmessung benötigt keine zusätzlichen Kabel. Radioaktive Werkstücke und Späne sind aber, auch wenn die Dosis niedrig ist, nicht zulässig.

Das Verfahren von Bellmann erfordert einen höheren gerätetechnischen Aufwand. Auch die Störanfälligkeit ist durch sich verfangende Späne wieder größer.

Damit sind direkte Meßverfahren nicht robust genug oder aber der finanzielle Aufwand wird zu groß. Wie sieht dies nun bei den indirekten Meßverfahren aus?

1.2.2 Indirekte Meßverfahren

Ein verschlissener Drehmeißel hinterläßt seine Spuren auf der Werkstückoberfläche, die Oberflächenrauhtiefe steigt. Die Werkstückoberfläche kann nun durch optische Verfahren oder mit Hilfe einer mechanischen Abtastung, z. B. durch eine Plattenspielernadel [14] also einem induktiven Weggeber untersucht werden. Auf der Oberfläche wird aber nur die Kleingeometrie der Schneide abgebildet. Das heißt man kann nur Aussagen über das Aussehen der Schneide in einem kleinen Bereich um die Schneidenspitze machen (Bild 1.12). Es bleiben nur kleine Spanzipfel auf der Oberfläche zurück, deren Form nur von der Schneidenspitze bestimmt wird [38].

Messungen am Werkstück können bei der Verschleißmessung also nicht weiterhelfen. Als indirekte Meßverfahren am Drehmeißel werden häufig Zerspankraftmessungen durchgeführt und zwar in der Hauptsache die Messung des Gleichanteils und der niederfrequenten Anteile (< 1 kHz) der Zerspankraft. Dabei wurde festgestellt, daß die Zerspankraft mit dem Verschleiß ansteigt [2]. Dies ist hauptsächlich bei der Vorschub- und der Passivkraft der Fall. Die Ursache liegt im Ansteigen der Reibung durch den Verschleiß. Dieser Anstieg bewirkt nach Gl. 1.1.1 eine größere Vorschubkraft.

Gerade im unteren Frequenzbereich sind die Störungen durch Motor, Lager und Getriebe sowie durch Schwingungen der Maschinenteile besonders groß. Diese wirken sich auch auf den Mittelwert der Kraft aus und führen zu Meßfehlern. Hinzu kommt das Driften der Meßverstärker und die Temperaturabhängigkeit des Sensors. Ein weiterer Nachteil der verwendeten Kraftsensoren ist, daß sie die Steifigkeit der Maschine, d. h. die Stabilität der Maschine bei dynamischer Belastung, verschlechtern (vgl. Kap. 2).

Ein Rückschluß auf die Zerspankraft ist auch über die aufgenommene Motorleistung möglich. Nach Gl. 1.1.5 gilt:

P_v = F_cv_c.

Der verschleißbedingte Anstieg der Leistung ist nicht so groß, da die relative Änderung der Schnittkraft nur gering ist.

Die mechanische Leistung wird fast völlig in Wärme umgesetzt (Kap. 1.1.2). Damit kann eine Veränderung der Leistung auch über eine Temperaturmessung bestimmt werden. Bei elektrisch leitenden Schneidstoffen (Schnellarbeitsstahl, unbeschichtete Hartmetalle) kann die Temperatur über die Thermospannung gemessen werden. Da die mechanische Leistung sich aber nur wenig ändert, gilt dies auch für die mittlere Temperatur. Auf die Thermospannungsmessung wird in Kap. 2 aber noch näher eingegangen.

Verfahren zur Verschleißerkennung durch Schwingungsanalyse benutzen bisher hauptsächlich die Varianz des Meßsignals. In der Regel tritt ein Anstieg der Signalvarianz auf, die Ergebnisse sind aber nicht eindeutig. Untersuchungen des Spektrums erbrachten nur maschinenspezifische Aussagen [2,3,4].

Eine weitere Möglichkeit der Verschleißüberwachung durch Schwingungsanalyse ist die Häufigkeit des Brechens des Spans (vgl. Kap. 4.1). Durch stärkere Verformung des Spans bei stumpfer Schneide tritt eine zunehmende Verfestigung des Materials auf, die Häufigkeit von Brüchen nimmt zu [28]. Dieser Effekt kann zur Verschleißerkennung eingesetzt werden. Diese Methode ist allerdings nur bei spröden Wirkstoffen einsetzbar. Bei zähen Werkstoffen tritt das Brechen des Spans viel zu selten auf. Durchgesetzt hat sich die Körperschallanalyse bisher nur für die Erkennung des Werkzeugbruches.

Da die Schwingungsmessung auch die beste Möglichkeit der Bruchüberwachung darstellt, wurde sie unter den indirekten Methoden zur Verschleißerkennung bevorzugt. In Kap. 2 nun werden die Meßverfahren zur Schwingungsmessung untersucht und verglichen. So konnten zwei neue Möglichkeiten für die Schwingungsmessung an der Drehmaschine gefunden werden, die Kraftmessung mit dem magnetoelastischen Effekt und die Temperaturmessung mit Hilfe der Thermospannung.

Zusammenfassung Kap. 1

In Kap. 1 werden die für das weitere Verständnis notwendigen Grundlagen aus der Spanungslehre dargestellt. Danach werden bereits bekannte Verfahren zur Verschleißerkennung untersucht.

Direkte Meßverfahren zur Verschleißerkennung bieten eine höhere Genauigkeit und die Möglichkeit der Messung einer bestimmten Verschleißgröße. Durch die Störanfälligkeit aber sind sie für den praktischen Einsatz nicht geeignet, höchstens für eine off-line Verschleißerkennung. Eine Präparierung des Werkzeugs bringt hier zwar bessere Ergebnisse, ist aber bei häufigem Werkzeugwechsel zu teuer.

Indirekte Meßverfahren sind weniger genau und eine Aussage über die Verschleißart ist schwieriger. Dafür sind diese Verfahren aber meistens robuster. Durch Untersuchungen der Werkstückoberfläche kann nur ein Verschleiß an der Schneidenspitze erkannt werden. Häufig eingesetzt wird die statische Kraftmessung. Vor allem die Vorschub- und die Passivkraft nehmen bei Verschleiß zu. Die Störungen beim Drehen sind aber gerade im unteren Frequenzbereich sehr hoch, dadurch entstehen große Meßfehler.

Die Änderungen der Motorleistung und der mittleren Temperatur sind beim Stumpfwerden der Schneide zu klein.

Körperschallmessungen werden bisher hauptsächlich zur Bruchüberwachung eingesetzt. Eine Auswertung der Bruchhäufigkeit ist nur bei spröden Werkstoffen sinnvoll.

Die Signalleistung oder die Signalvarianz des Körperschallsignals ändern sich nicht eindeutig. Änderungen im Spektrum bringen maschinenspezifische Ergebnisse und hängen von den Zerspanbedingungen ab. Die Auswertemethoden sind nocht nicht auf verschiedene Maschinen übertragbar.

2. Meßverfahren

Zur Messung der dynamischen Schnittkräfte bei Zerspanprozessen sind zwei prinzipielle Verfahren gebräuchlich:

• - die Messung der dynamischen Schnittkräfte durch Kraftaufnehmer zwischen Drehstahl und Maschine (Kap. 2.1),
• - die Messung der Werkzeugschwingungen durch Weg- oder Beschleunigungsaufnehmer, also Körperschallmessungen (Kap. 2.2).

Eine weitere Möglichkeit konnte zur Bestimmung der Zerspankraftschwankungen werden:

• - die Messung der Temperatur beim Zerspanen (Kap. 2.3).

In diesem Kapitel sollen die Unterschiede sowie die Vor- und Nachteile der 3 Meßverfahren aufgezeigt werden. Weiterhin ist es notwendig einen möglichst günstigen Meßaufbau für eine breitbandige Messung zu finden.

2.1 Kraftmessung

Die Messung einer Kraft kann nur über eine Wegmessung erfolgen, es kann nur die Auswirkung dieser Kraft auf einen Körper, z. B. auf eine Feder, gemessen werden. Für die Messung der dynamischen Schnittkraft werden bei Drehmaschinen Quarze zwischen Drehmeißel und Werkzeughalter angebracht. Die Verformung des Quarzes durch die Kraft am Werkzeughalter wird gemessen. Kraftsensoren dieser Art werden z. B. von der Fa. Kistler (Winterthur, Schweiz) angeboten. Hierbei handelt es sich um einen 3-Komponenten-Schnittkraftmesser, bei dem durch einen druck- und zwei schubempfindliche Quarzringe alle drei Kraftrichtungen erfaßt werden können (Bild 2.1).

Die Quarzringe sind zwischen dem Drehmeißel und dem Werkzeughalter angebracht. Dies bedeutet einen gravierenden Eingriff in die Konstruktion der Maschine. Das Elastizitätsmodul eines Quarzes ist bereits dreimal kleiner als das Elastizitätsmodul von ungehärtetem Eisen. Damit ist der Drehmeißel nur lose eingespannt. Außerdem ist Quarz ein sprödes Material, das bei dynamischer Belastung viel schneller altert und bricht.

Kraftsensoren zwischen Drehmeißel und Werkzeughalter sind also ein Schwachpunkt in der Drehmaschine. Aus diesem Grunde wurde nach einem Verfahren gesucht, das die Kraft ohne Eingriff in die Steifigkeit der Maschine messen kann.

Zur Messung von großen Torsionskräften oder Torsionsmomenten, z. B. bei Schiffsturbinen, wird in der Meßtechnik ein Verfahren eingesetzt, das dem piezoelektrischen Effekt sehr ähnlich ist, der magnetoelastische Effekt.

Die Magnetisierung eines Kristalls hängt neben der Größe des angelegten magnetischen Feldes H auch von der auf ihn wirkenden Spannungen σ ab. Dies hat seine Ursache - ähnlich wie beim piezoelektrischen Effekt - in der Veränderung des Kristallgitters durch eine Verformung des Kristalls. Es entsteht eine Änderung der Vorzugsrichtung der atomaren magnetischen Dipole.

Durch die Ausrichtung magnetischer Dipole tritt eine Verstärkung oder Abschwächung des magnetischen Feldes ein, man erhält die magnetische Induktion B.

Für die magnetische Induktion B gilt mit der magnetischen Feldstärke H, der Magnetisierung M und der magnetischen Feldkonstante µ₀:

Durch eine Verformung ändert sich also die Magnetisierung M und damit die magnetische Induktion B. In Bild 2.3 ist dieser Effekt für einen Stab skizziert. Durch die Spannung σ werden die Dipole in Richtung Magnetfeld ausgerichtet. Die magnetische Induktion wird größer.

Dieser Effekt kann nun für einen einfachen Kraftsensor für die Drehmaschine ausgenutzt werden. Hierzu wird möglichst nahe an der Zerspanstelle um ein kraftübertragendes Teil eine Spule angebracht. In Bild 2.4 ist es eine Schraube mit der der Drehmeißel eingespannt wird. Durch eine Konstantstromquelle wird ein magnetisches Feld erzeugt und damit der Arbeitspunkt B-H-Diagramm festgelegt. Da die Empfindlichkeit bei kleinem H-Feld am größten ist, wurde nur ein kleiner Gleichstrom i verwendet. Meßgröße ist die induzierte Spannung u_ind durch die Änderung der Magnetisierung.

Für die induzierte Spannung u_ind gilt mit der magnetischen Induktion B, der Spulenfläche A_s und der Windungszahl n:

Die Magnetisierung M kann um den Arbeitspunkt H=H₀ mit Hilfe des piezomagnetischen Koeffizienten d_m [15] und der magnetischen Suszeptibilität κ_m angegeben werden als

wobei der Koeffizient d_m aus einer Linearisierung der Magnetisierung um den Arbeitspunkt H = H₀, σ = 0 entsteht.

Für eine konstante magnetische Feldstärke H₀ folgt mit Gl. 2.1.1, Gl. 2.1.2 und Gl. 2.1.3:

Mit der Kraft F_m auf eine Schraube der Querschnittsfläche A_Schr ist die Spannung σ:

und die induzierte Spannung u_ind:

Damit ist die gemessene Spannung proportional zur Ableitung der Kraft _m.

Beispiel 3 Magnetoelastischer Effekt

Auf die Schraube in Bild 2.4 wirke eine periodische Kraft F_m = F₀ cosω₀t mit der Amplitude F₀ = 50 N und der Kreisfrequenz ω₀ = 2π 10 kHz. Der piezomagnetische Koeffizient sei

die Windungszahl n = 100 und die Spulenfläche ungefähr gleich der Querschnittsfläche der Schraube A_s ≈ A_schr.

Aus Gl. 2.1.4 erhält man mit diesen Werten für die induzierte Spannung

u_ind = u₀ sinω₀t,

mit der Amplitude u₀:

u₀ = n d_m ω₀ F₀ = 31 mV.

Der magnetoelastische Effekt liefert also recht große Ausgangsspannungen. Zur Messung des Gleichanteils der Kraft muß ein sich änderndes Magnetfeld erzeugt werden. Die Verstärkung der magnetischen Induktion durch die Magnetisierung kann durch einen Verstärkungsfaktor, die Permeabilität µ_r, ausgedrückt werden. In Gl. 2.1.1 gilt dann zwischen B und H folgender Zusammenhang:

B = µ₀ µ_r H.

Mit der Spannung σ erhält man für die magnetische Induktion B für eine Permeabilität _r ohne Spannung näherungsweise:

Somit ergibt sich nach Gl. 2.1.4 für die Änderung der induzierten Spannung Δu_ind mit der Änderung der Permeabilität Δµ_r durch eine Kraft F_m:

Der magnetoelastische Effekt ermöglicht also eine Kraftmessung bei sehr kleinen Wegänderungen. Damit bleibt der Drehmeißel in Bild 2.2 fest eingespannt. Die Steifigkeit der Maschine wird nicht beeinträchtigt. Schwierigkeiten bereitet die Linearität und die Temperaturabhängigkeit des Verfahrens. Für Frequenzmessungen bei kleinen Amplituden spielen diese Abhängigkeiten keine große Rolle.

2.2 Wegmessung

Eine weitere Möglichkeit zur Bestimmung der Schnittkraft ohne Eingriff in die Maschine ist die Verformung des Drehmeißels oder anderer Maschinenteile (Bild 2.5).

Die notwendige Empfindlichkeit zur Messung kleiner Wege bieten Dehnungsmeßstreifen (DMS), deren Widerstand sich mit einer Längenänderung ändert. Die Schwierigkeiten liegen vor allem in den rauhen Betriebsbedingungen mit starken Temperaturschwankungen. Diese stellen hohe Anforderungen an die Klebeverbindung des DMS mit seiner Unterlage.

Für dynamische Messungen eignen sich Beschleunigungsaufnehmer besser, da ihre Empfindlichkeit mit der Frequenz zunimmt. Bei dem verwendeten Beschleunigungsaufnehmer wird eine Masse m_B durch eine Feder auf eine Quarzunterlage gedrückt. Für die entstehende Kraftänderung ΔF auf die Unterlage gilt unter der Voraussetzung, daß die Federsteifigkeit der Feder c_F viel kleiner als die Federkonstante c_Q des Quarzes ist, mit der Beschleunigung _m:

Diese Kraftänderung wird durch den Quarz in eine Spannung umgewandelt.

Die Problematik der Wegmessung liegt hauptsächlich in den kleinen Amplituden. Selbst an der Werkzeugspitze hat man oft nur noch Ausschläge von wenigen Nanometern. Dieser Ausschlag muß über ein schützendes Gehäuse auf den Beschleunigungsaufnehmer übertragen werden. Die Anforderungen für die mechanische Ankopplung des Sensors an den Drehmeißel sind sehr groß. So brachte ein Aufkleben des Gehäuses nur sehr schlechte und wenig reproduzierbare Ergebnisse. Erst durch die Verschraubung des Gehäuses mit dem Werkzeug waren die Messungen erfolgreich.

Aufgrund der kleinen Amplituden muß am Drehmeißel gemessen werden. Dies ist ein erheblicher Nachteil für den praktischen Einsatz des Verfahrens. Der Drehmeißel ist ein Teil, das häufig gewechselt wird. Außerdem entstehen vor allem bei drehbaren Werkzeugträgern Probleme mit den Zuleitungen.

Hinzu kommt, daß zwischen Kraft und Weg die Übertragungsfunktion G(s) der Maschine steht. Damit treten Maschineneigenfrequenzen im Spektrum auf und verfälschen das Kraftsignal.

Es soll nun anhand eines einfachen Modells für den Drehmeißel, eines Feder-Masse- Dämpfungssystems, das Übertragungsverhalten der Meßverfahren für große Frequenzen untersucht werden.

Für die meßbare Kraft F_m am Werkzeughalter gilt dann mit der Federsteifigkeit c_F, der Dämpfung d und der Masse m des Drehmeißels in Abhängigkeit von der Schnittkraft F_c und der Kreisfrequenz ω:

Für die Spannung U_m am Ausgang eines piezoelektrischen Kraftsensors erhält man in Abhängigkeit von der Schnittkraft F_c mit dem piezoelektrischen Koeffizienten p_e und der Kapazität des Quarzes C nach [16] die Meßspannung:

Für große Frequenzen geht also die Meßspannung U_m gegen null, für ω → ∞ gilt:

U_m (jω) → 0.

Mit der magnetoelastischen Kraftmessung ist nach Gl. 2.1.4 und Gl. 2.2.2 mit der Konstanten K:

Hier wird für große Frequenzen die Meßspannung proportional zur Kraft, für ω → ∞ gilt:

Damit ist dieses Meßverfahren besser zur Messung hoher Frequenzen geeignet. Allerdings ist bei geringer Dämpfung d der Meßwert doch recht klein.

Für die Wegmessungen tritt das Tiefpaßverhalten der Maschine noch stärker hervor. Für den Ausschlag X_m (jω) am Drehmeißel gilt für das Feder-Masse-Dämpfungssystem nach Bild 2.6:

Wie man leicht aus der Gl. 2.2.5 entnehmen kann, wird der Weg X_m (jω) für hohe Frequenzen recht klein. Eine reine Wegmessung durch DMS ist für hohe Frequenzen deshalb nicht geeignet. Beschleunigungsaufnehmer dagegen bringen dann bessere Ergebnisse. Mit Gl. 2.2.1 und analog zu Gl. 2.2.3 gilt:

Für hohe Frequenzen wird auch hier die Meßspannung proportional zur Kraft F_c, für ω → ∞ gilt:

Die Größe der Masse m_B des Beschleunigungsaufnehmers bestimmt also die Empfindlichkeit.

Es verbleiben als beste Verfahren zur breitbandigen Messung die Kraftmessung mit dem magnetoelastischen Effekt und die Beschleunigungsmessung. Bei beiden Verfahren beeinflußt die Maschinenübertragungsfunktion das Meßsignal. Deshalb soll noch eine weitere Methode zur Bestimmung der dynamischen Schnittkraft aufgezeigt werden, bei der die Maschine keine Rolle spielt: die Temperaturmessung mit Hilfe der Thermospannung.

2.3 Thermospannungsmessung

Die Temperaturmessung mit Hilfe der Thermospannung wurde bereits 1925 von Gottwein [17], Herbert [18] und Shore [19] gleichzeitig aber unabhängig voneianander entwickelt. Es wird die Tatsache genutzt, daß Drehmeißel und Werkstück aus verschiedenen Materialien mit den Seebeckkoeffizienten η_D und η_W bestehen. Durch die Erwärmung der Verformungszone beim Drehen entsteht so eine Thermospannung zwischen Drehmeißel und Werkzeug. Diese Thermospannung u_th entspricht der Differenz aus dem Mittelwert der Temperatur ϑ an der Berührfläche zwischen Werkzeug und Span und der Umgebungstemperatur ϑ_u:

Der Versuch, dieses Verfahren zur Bestimmung der Absoluttemperatur einzusetzen, scheiterte an der Erkenntnis, daß Thermoelemente bei gleicher Temperatur, aber größerem Druck, erheblich höhere Thermospannungen abgeben können. Damit hängt die gemessene Thermospannung von den Zerspanbedingungen ab, eine Kalibrierung ist fast unmöglich. Das Verfahren verlor an Bedeutung.

Für dynamische Messungen ist dieses Verfahren aber durchaus anwendbar.

In Kap. 1.2 konnte bereits gezeigt werden, daß die Temperatur im Verformungsbereich von der zugeführten Verformungsleistung abhängt. Schnittkraftschwankungen führen zu einer Änderung der Leistung und damit zu einer Änderung der Temperatur. Die Erwärmung erfolgt dabei annähernd adiabatisch, so daß die Temperatur den Schnittkraftschwankungen fast ohne Verzögerung folgen kann. Damit können ohne zusätzlichen Sensor, allein durch eine Spannungsmessung, die bei der Spanbildung entstehenden Frequenzen gemessen wurden.

Mit Gl. 1.1.3, Gl. 1.1.7 und Gl. 2.3.1 erhält man so für die Thermospannung u_th mit der zerspanten Fläche A_z und der Schnittkraft F:

In Bild 2.7 ist der für die Thermospannung verwendete Meßaufbau skizziert.

Die Thermospannung kann zwischen Drehmeißel und Werkstück abgegriffen werden. Drehmeißel und Werkstück müssen gegeneinander isoliert werden, da sonst ein Kurzschluß über die Maschine entsteht. Ein Problem stellt der Abgriff der Spannung von dem sich drehenden Werkstück dar. Bei Schleifkontakten entstehen durch die Reibung weitere Thermospannungen. Außerdem kommt es durch Änderungen des Übergangswiderstandes zu starken Störungen.

Quecksilberübertrager sind für die rauhen Betriebsbedingungen ebenfalls nicht sehr geeignet. Deshalb wurde ein kapazitiver Übertrager gewählt. Dieser bestand aus einem Metallrohr, das über das Werkstück gestülpt wurde. So entsteht ein Zylinderkondensator über den die Spannung abgegriffen werden kann. Unzentriertes Einspannen oder Schwingungen des Werkstücks wirken sich bei diesem Kondensatortyp durch die Rotationssymmetrie nicht so stark auf die Kapazität aus wie z. B. bei einem Plattenkondensator.

Für die gemessene Spannung U_m erhält man mit dem Meßwiderstand R_m und der Kapazität C zwischen Metallrohr und Werkstück:

Der Gleichanteil der Thermospannung kann mit dieser Anordnung nicht gemessen werden, der Kondensator läßt nur Wechselanteile durch. Deshalb wurde die Thermospannung durch eine veränderliche Kapazität moduliert.

Der Kondensator in Bild 2.8 besteht nun aus einem Innenrohr, das auf das Werkstück gesteckt wird und einem Außenrohr. Beide sind bedeckt mit einer Schicht aus PVC. In diese Kunststoffschicht sind Kupferlamellen eingearbeitet. Durch die Drehung des Werkstücks werden die Kupfersegmente gegeneinander bewegt. Je nachdem, ob sich die Segmente überdecken oder nicht, ist die Kapazität größer oder kleiner. Damit wird der Kapazitätsverlauf über der Zeit näherungsweise ein Sägezahn (Bild 2.9).

Für die Meßspannung u_m gilt nun:

mit der veränderlichen Kapazität C(t) = C₀+C₁(t) (Bild 2.9).

Der Mittelwert C₀ der Kapazität ist bedeutend größer als der Wechselanteil C₁(t), C₀ » C₁(t). Es gilt somit näherungsweise:

u_m(t) = (₁ u_c+C₀ _c) R_m.

Die Thermospannung besteht aus einem Gleichanteil u_th0 und einem Wechselanteil U_th1(t):

u_th = u_th0+u_th1(t).

Der Gleichanteil der Thermospannung ist viel größer als der Wechselanteil, u_th0 » u_th1(t). Weiterhin ist das Produkt aus dem Meßwiderstand R_m und der Ableitung der Kapazität viel kleiner als eins, R_m₁ « 1. Somit ergibt sich als Fouriertransformierte der Meßspannung:

C₁(jω) ist die Fouriertransformierte der Kapazitätsänderungen. Da es sich um eine periodische Funktion handelt, erhält man im Frequenzbereich nur diskrete Werte (δ-Diracimpulse) bei den Vielfachen der Drehfrequenz

wobei n die Drehzahl in ist. Mit der Amplitude des Wechselanteils C₁₀ ist

Bild 2.10 zeigt das prinzipielle Aussehen des Spektrums der Meßspannung U_m(jω). Der Gleichanteil der Thermospannung u_th0 kann aus der Amplitude u_m0 der Frequenz kω₁ berechnet werden.

Mit Gl. 2.3.3 erhält man für die Amplitude bei der Frequenz kω₁:

Der Wechselanteil der Thermospannung liegt in einem viel höheren Frequenzbereich als der modulierte Gleichanteil u_m0. Um eine größere Genauigkeit zu erhalten, ist es deshalb besser, beide Anteile der Thermospannung getrennt und mit verschiedenen Abtastfrequenzen zu messen.

Mit der Amplitude u_th1 des Wechselanteils der Thermospannung erhält man dann aus Gl. 2.3.4 für die Amplitude der Meßspannung u_m1:

Beispiel 4 Thermospannungsmessung

Der bei den Messungen verwendete Kondensator aus Bild 2.8 hat einen Gleichanteil der Kapazität C₀ = 200 pF und einen Wechselanteil mit der Amplitude C₁₀ = 10 pF bei einer Frequenz kω₁ = 2 π 165 Hz. Der Meßwiderstand sei R_m = 5 MΩ. Mit den Seebeckkoeffizienten

bei einer mittleren Temperatur ϑ - ϑ_u = 400°K ist der Gleichanteil der Thermospannung:

u_th0 = 4 mV.

Die meßbare Spannung u_m0 ist dann nach Gl. 2.3.4:

u_m0 = 0,11 mV.

Für die Amplitude des Wechselanteils der Thermospannung u_th1 erhält man bei einer Frequenz ω₀ = 2 π 10 kHz und einer Temperaturänderung ϑ₁ = 10 K:

u_th1 = 0,1 mV.

Nach Gl. 2.3.6 ist die Amplitude der Meßspannung dann:

u_m1 ≈ 0,1 mV.

Damit wird die Amplitude der Thermospannung bei den hohen Frequenzen nicht mehr verändert. Die Spannungsamplitude bewegt sich, wie Beispiel 4 zeigt, für den Gleich- und Wechselanteil in derselben Größenordnung.

Um festzustellen, ob es sich bei der so gemessenen Gleichspannung zwischen Drehmeißel und Werkstück auch tatsächlich um die Thermospannung handelt, wurde die Zerspanstelle mit Hilfe eines Schweißbrenners zusätzlich erwärmt (Bild 2.11).

Bild 2.12 zeigt Messungen des Gleichanteils der Thermospannung mit und ohne zusätzliche Erwärmung. Die Thermospannung bewegt sich zwischen 1,5 mV und 6 mV, was etwa einer mittleren Temperatur von 150° bis 600°C (vgl. Beispiel 4) entspricht. Diese großen Temperaturänderungen können nur durch Meßfehler erklärt werden, da die Temperatur in der Verformungszone ungefähr konstant und unabhängig von der Geschwindigkeit sein müßte (vgl. Gl. 1.1.7). Die Größe der gemessenen Spannung war sehr von der Luftfeuchtigkeit abhängig. Eine Erhöhung der Luftfeuchtigkeit erbrachte kleinere Spannungen. Dieser Effekt deutet auf einen großen Anteil an statischen Aufladungen, z. B. durch die Reibungselektrizität, hin. Bei Erwärmung der Zerspanstelle mit einem Schweißbrenner dagegen liegen die Spannungsänderungen in der zu erwartenden Größenordnung.

Die Messung des Gleichanteils der Thermospannung ist also nicht möglich. Die Ergebnisse hängen von der Größe der statischen Aufladungen ab. Möglich ist es aber, Änderungen der mittleren Thermospannung, z. B. durch eine zusätzliche Erwärmung der Verformungszone, zu bestimmen. Mit dieser Erwärmung im verformten Bereich konnte das Verhalten des Zerspanprozesses bei einer Temperaturerhöhung untersucht werden. Auf die Ergebnisse wird in Kap. 3.3 eingegangen.

Uninteressant sind die statischen Aufladungen für die Messung des Wechselanteils der Thermospannung. Allerdings sind viele Datensätze durch heftige Störungen unbrauchbar. Bild 2.13 zeigt Zeitsignal und Spektrum eines gestörten und ungestörten Datensatzes. Die Störungen haben bedeutend größere Amplituden als das Nutzsignal.

Sie entstehen durch Späne, die auf die Spanflächen zurückfallen oder sich verfangen. Damit entstehen Kurzschlüsse zwischen Drehmeißel und Werkstück. Der Kondensator, der sich auf den Gleichanteil der Thermospannung aufgeladen hat, entlädt sich. Da der Gleichanteil der Thermospannung viel größer als der Wechselanteil ist, entstehen im Meßsignal so Ausreißer mit großer Amplitude. Das Nutzsignal geht durch die Störungen im Rauschen unter. Eine bei allen ungestörten Signalen dieses Datensatzes beobachtbare Frequenz von 9,8 kHz ist durch die Störungen nicht mehr zu erkennen.

Das Verfahren ist für die Praxis nicht robust genug. Den Vorteil aber sieht man in den Bildern 2.14 bis 2.16, bei denen für jede Messung das Thermospannungssignal mit dem Kraft- und Beschleunigungssignal verglichen wird.

Bei der Thermospannungsmessung tritt deutlich eine Frequenz hervor, die mit zunehmender Spangeschwindigkeit größer wird. Die Frequenz wandert bei einer Erhöhung der Schnittgeschwindigkeit

von 7,3 kHz auf 9,8 kHz und schließlich 14 kHz.

Die geschwindigkeitsabhängige Frequenz kann bei einer Untersuchung der Späne unter dem Mikroskop als periodische Änderung der Spandicke erkannt werden. Diese Frequenz entsteht also bei der Spanbildung und soll in Zukunft als Spanbildungsfrequenz bezeichnet werden. Bei der Kraft- und Beschleunigungsmessung ist die Spanbildungsfrequenz nur schwer von den Maschineneigenfrequenzen zu unterscheiden.

Wird die Frequenz größer, so wird das Thermospannungssignal immer kleiner, der Einfluß der Wärmekapazität in der Verformungszone nimmt zu.

Auch die Kraftmessung wird mit zunehmender Frequenz immer schlechter. Dies liegt aber nicht am Meßverfahren, sondern entsteht durch die isolierte Einspannung des Drehmeißels, welche hier für eine gleichzeitige Messung der Thermospannung notwendig war. Der als Isolierung verwendete Kunststoff wirkt wie eine Feder mit kleiner Federkonstanten, so daß hohe Frequenzen nicht mehr so gut auf den Halter übertragen werden (vgl. Kap. 2.1). Die Beschleunigungsmessung, die direkt am Drehmeißel stattfindet, wird dadurch nicht beeinflußt.

Die Spanbildungsfrequenz, die durch den Vergleich der verschiedenen Messungen sowie Spanuntersuchungen gefunden wurd, könnte ein Maß für den Verschleiß des Werkzeugs sein. Um aber hierüber eine Aussage machen zu können, muß zunächst die Theorie der Spanbildung aufgezeigt (Kap. 3) und die Ursache dieser Schwingung erklärt werden (Kap. 4).

Zusammenfassung Kap. 2

Die im allgemeinen bei Drehmaschinen eingesetzten piezoelektrischen Kraftmesser bedeuten einen Eingriff in die Steifigkeit der Maschine und wurden deshalb nicht verwendet. Statt dessen wurde mit dem magnetoelastischen Effekt ein robuster und preiswerter Meßeffekt benutzt, bei dem am Aufbau der Maschine nichts verändert werden muß. Das Meßsignal wird von der Übertragungsfunktion der Maschine beeinflußt. Hohe Frequenzen haben durch das Tiefpaßverhalten der Übertragungsfunktion nur kleine Amplituden. Da aber die gemessene Spannung von der Ableitung der Kraft abhängt, kann das Tiefpaßverhalten der Maschinenübertragungsfunktion kompensiert werden.

Bei den Wegmessungen ist die Beschleunigungsmessung für eine breitbandige Anwendung am besten geeignet. Die Problematik der Wegmessungen liegt in den kleinen Amplituden der Schwingungen. Deshalb muß direkt am Drehmeißel gemessen werden. Dies ist ein erheblicher Nachteil für den praktischen Einsatz des Meßverfahrens.

Die Schwingungsmessung mit Hilfe der Thermospannung ist ein maschinenunabhängiges Meßverfahren. Leider ist diese Methode zu störanfällig, so daß sie für die Praxis nicht geeignet ist. Mit Hilfe der Thermospannung konnte aber eine geschwindigkeitsabhängige Frequenz aus dem Zerspanprozeß gefunden werden. Da die Thermospannung nicht von der Maschinenübertragungsfunktion beeinflußt wird, kann mit ihr die Auswertung von Kraft- und Beschleunigungssignal (vgl. Kap. 5 und Kap. 6) überprüft werden.

3. Der stationäre Zerspanprozeß

In der Verformungszone wird der Span vom Werkzeug abgetrennt und umgelenkt, so daß das Material sich über die Spanfläche wegbewegen kann. In diesem Kapitel sollen nun die Vorgänge in der Verformungszone genauer beschrieben werden. Ziel ist es, zu einem Zerspanmodell zu gelangen, das es ermöglicht, die dynamische Vorgänge beim Zerspanen genauer zu beschreiben. Dadurch können die Auswirkungen des Verschleißes auf die Dynamik der Spanbildung untersucht werden.

3.1 Der ebene Spannungszustand

Trifft der Span auf das Werkstück, so treten an den Verbindungsstellen zwischen Span und Werkstück in Bild 3.1 die Schubspannungen τ_xy und τ_zy auf.

Außerdem wird auf den Span durch den Drehmeißel die Normalspannung σ_y ausgeübt. Die Reibung des Spans auf dem Werkzeug bewirkt die Schubspannungen τ_yx und τ_yz auf der Spanfläche und die Spannungen σ_x und σ_z in x- und z-Richtung.

Für ein Volumenelement dV in der Verformungszone gilt aus der Momentenbilanz für die Schubspannungen

τ_yx = τ_xy und τ_yz = τ_zy.

Damit ergibt sich als Spannungstensor für das Volumenelement:

Die Abmessungen in z-Richtung sind wesentlich größer als in x-Richtung, denn die Spanungsbreite b ist in der Regel viel größer als die Spanungsdicke h.

Die Spannungen in z-Richtung bewirken dann nur eine minimale Verformung und können im größten Teil der Verformungszone vernachlässigt werden. Man erhält näherungsweise einen ebenen Spannungszustand mit dem Spannungstensor:

Die Normalspannungen σ und die Schubspannungen τ genügen unter einem beliebigen Winkel α zu den Koordinatenachsen immer der Beziehung [20]:

Diese Gleichung ergibt den Mohrschen Spannungskreis (Bild 3.2).

Der Kreismittelpunkt des Mohrschen Spannungskreises in Bild 3.2 ist die hydrostatische Spannung σ_m:

Sie wirkt von allen Seiten auf das Volumenelement und trägt so nichts zur Verformung bei. Als Extremwerte in Gl. 3.1.1 ergeben sich für τ=0 die beiden Hauptspannungen:

und für σ=σ_m die größten Schubspannungen

Im Mohrschen Spannungskreis haben die Hauptspannungen einen Winkel von 180° zueinander. Da im Mohrschen Spannungskreis doppelte Winkel aufgetragen werden, stehen sie also senkrecht aufeinander. Das gleiche gilt für die größten Schubspannungen.

Die Hauptspannungen und die größten Schubspannungen dagegen haben einen Winkel von 45° zueinander.

Bei welchen Spannungen σ, τ und bei welchem Winkel α wird nun aber der Werkstoff abgetrennt?

Für das Abtrennen eines Werkstoffes wurden eine Vielzahl von Bruchhypothesen [21] aufgestellt, hier sollen nur die drei wichtigsten, für die Praxis relevanten erwähnt werden:

a) Die Hypothese der größten Schubspannung

Der Werkstoff wird bei Erreichen einer Grenzschubspannung K₀ abgetrennt. Es muß also für die größten Schubspannungen τ_{max 1/2} in Gl. 3.1.4 gelten:

b) Die Hypothese des elastischen Grenzzustandes

Hier wird der Werkstoff bei Erreichen einer Grenzkurve im Spannungsdiagramm abgetrennt (Bild 3.3). Der Mohrsche Spannungskreis muß diese Grenzkurve berühren. In der Praxis werden die Grenzkurven häufig durch Geraden angenähert. Bei zähen Werkstoffen sind die Grenzkurven Parallelen zur σ-Achse. Damit erhält man wieder die Hypothese a. Bei spröden Werkstoffen ergeben sich geneigte Geraden.

c) Hypothese der größten Gestaltänderungsarbeit

Die bei der Verformung notwendige Arbeit kann in eine Volumenänderungsarbeit (hydrostatischer Spannungszustand, d. h. allseitiger Druck oder Zug) und in eine Gestaltänderungsarbeit (restlicher Spannungsanteil) unterteilt werden. Bei der Hypothese darf die Gestaltänderungsarbeit einen gewissen Wert nicht überschreiten.

Für unsere weiteren Betrachtungen soll das zerspante Material als zäh angenommen werden. Damit ist die Richtung der größten Schubspannung K₀ nach Hypothese a und b entscheidend. Im Gegensatz zu spröden Werkstoffen, die nach Verlassen des elastischen Bereiches bei Erreichen der Bruchbedingung zerbrechen, gehen zähe Werkstoffe in einen plastischen Bereich über, in dem eine irreversible Verformung des Materials auftritt. Bei idealplastischem Materialverhalten beginnt das sogenannte Fließen, d. h. die Spannung bleibt bei zunehmender Verformung konstant.

Als Fließbedingung beim ebenen Spannungszustand erhält man also mit Gl. 3.1.4 und Gl. 3.1.5:

wobei nach v. Mises für die Fließspannung K₀ mit der Fließspannung σ_v₀ im einachsigen Zugversuch gilt [20]:

Überträgt man diese Erkenntnisse nun auf den Zerspanprozeß, so muß, damit der Span abgetrennt und umgelenkt werden kann, in einem schmalen Bereich von der Schneidenspitze bis zum spannungsfreien Rand diese Fließbedingung gelten. Dieser Bereich wird in der Literatur [6] als Zone des primären Fließens bezeichnet. Weitere Fließbereiche können an der Freifläche und auf der Spanfläche des Werkzeugs entstehen, die Zonen des sekundären Fließens. Bei hohen Temperaturen, hohen Verformungsgraden und Werkstoffen mit kleinem elastischen Bereich können diese Zonen ineinander übergehen.

In der Zone des primären Fließens wird der Span abgeschert und umgelenkt. Die Zone des primären Fließens wird deshalb auch als Scherzone bezeichnet. Diese Zone ist recht schmal, deshalb wird sie bei den sogenannten Scherlinienmodellen nur noch als eine Linie, als Scherlinie betrachtet.

3.2 Das Scherlinienmodell von E. Merchant

In diesem Abschnitt soll zunächst auf das Scherlinienmodell nach Merchant [22] eingegangen werden. Danach wird dieses Modell mit Hilfe der Methode der Gleitlinien erweitert (Kap. 3.3). Der Werkstoff wird entlang der Scherlinie abgeschert. Die Scherlinie liegt also in Richtung der größten Schubspannung K₀. Der Winkel Φ zur Senkrechten wird als Scherwinkel bezeichnet. Den Abschervorgang verdeutlicht Bild 3.6. Nimmt man das Werkstück als ruhend an, während sich der Drehmeißel nach oben bewegt, so wandert auch die Scherlinie. Es bilden sich kleine Bereiche Δx, die nach der Zeit Δt um die Distanz Δs gegeneinander verschoben werden.

Für die Schergeschwindigkeit v_s gilt:

In der Realität gehen Δx, Δs und Δt gegen null. Damit gilt das in Bild 3.5 skizzierte Geschwindigkeitsdreieck. Der Schnittgeschwindigkeit v_c ist durch den Abschervorgang die Schergeschwindigkeit v_s überlagert. Als Resultierende folgt die Spangeschwindigkeit v_sp.

Die Schergeschwindigkeit v_s und die Spangeschwindigkeit v_sp können mit dem Scherwinkel Φ und dem Spanwinkel γ als Funktion der Schnittgeschwindigkeit v_c angegeben werden:

Der Spanwinkel γ gibt die Neigung der Spanfläche zur Horizontalen an.

Für die Spandicke h₁ erhält man mit der Spannungsdicke h:

Mit diesem Modell lassen sich nun auch die Zerspankräfte berechnen (Bild 3.7). Entlang der Scherlinie wirkt die Fließspannung K₀. Damit ergibt sich für die Scherkraft F_s mit der zerspanten Fläche A_z=b h folgender Zusammenhang:

Zusammen mit der senkrecht auf die Scherlinie wirkenden Kraft F_n, die durch die hydrostatische Spannung entsteht, ergibt sich die resultierende Kraft R. Diese wird auch durch die Schnittkraft F_c und die Vorschubkraft F_f gebildet.

Mit dem Reibungswinkel ρ₀ gilt dann:

Als Unbekannte bei den Berechnungen bleibt der Scherwinkel Φ. Größere Reibung bedeutet einen dickeren Span, kleinere Reibung einen dünneren. Damit liegt die Vermutung nahe, daß auch der Scherwinkel von der Reibung abhängt.

Merchant ging bei der Berechnung von Φ davon aus, daß der Winkel sich so einstellen wird, daß die zugeführte Verformungsleistung P_v ein Minimum erreicht. Nach Gl. 1.1.5 ist:

P_v = F_c v_c.

Gl. 3.2.4 eingesetzt, erhält man somit den Ausdruck:

der zum Minimum gemacht werden muß.

Als notwendige Bedingung für ein Minimum, muß die Ableitung der Verformungsleistung nach dem Scherwinkel zu null werden:

Somit erhält man als Bedingung für das Minimum:

cos (2Φ + ρ₀ - γ) = 0.

Für den Scherwinkel gilt nach Merchant also:

Damit hängt der Scherwinkel nur von der Reibung und dem Spanwinkel γ ab.

Mit dem Modell von Merchant sind zwar die Kräfte auf den Drehwinkel berechenbar, wichtig für die Herstellung und den Verschleiß des Werkzeugs aber sind die auf das Werkzeug wirkenden Spannungen. Diese hängen von der Kontaktlänge des Spans bis zu seinem Abheben ab. Über den Bereich von der Scherlinie bis zum Abheben des Spanes kann das Modell von Merchant keine Aussage machen. Aus diesem Grunde wurden die Gleitlinienmodelle entwickelt.

3.3 Gleitlinienmodelle

Im plastischen Spannungszustand kann das Material bei idealplastischem Materialverhalten in Richtung der größten Schubspannungen fließen. Die größten Schubspannungen sind dabei konstant und gleich der Fließspannung K₀. Die Normalspannung senkrecht zu den Extremwerten der Schubspannung ist die hydrostatische Spannung (vgl. Bild 3.2). Damit kann der idealplastische Spannungszustand allein durch die Richtungen der Schubspannungen und der entsprechenden Normalspannung, der hydrostatischen Spannung, beschrieben werden.

Die Richtungen, in die das Material bei plastischer Verformung fließen kann, werden als Gleitlinien bezeichnet [23]. Man unterscheidet zwei Typen von Gleitlinien, die α-Gleitlinie und die β-Gleitlinie, die senkrecht aufeinander stehen. Sie entsprechen den beiden Extremwerten der Schubspannungen. Für einen verformten Bereich ergeben sich eine Vielzahl von α- und β-Gleitlinien. Man erhält ein Gleitlinienfeld. Zur Berechnung des Gleitlinienfeldes wurde die Methode der Gleitlinien entwickelt. Sie stellt eine Transformation der Gleichgewichtsbedingungen (Gl. 3.3.1) in Richtung der Gleitlinien dar.

3.3.1 Die Methode der Gleitlinien

Für das Volumenelement in Bild 3.8 ergeben sich aus der Kräftebilanz in x- und y-Richtung für die Normalspannungen σ_x, σ_y und die Schubspannung τ_xy die Gleichgewichtsbedingungen:

Ist der Werkstoff plastisch verformt, so gilt für das Volumenelement in Bild 3.9 mit der Fließspannung K₀ und der hydrostatischen Spannung σ_m:

Setzt man Gl. 3.3.2 in Gl. 3.3.1 ein, so erhält man:

wobei bei konstanter Fließspannung gilt:

Die Gleitlinien haben wie die größten Schubspannungen einen Winkel von 90° zueinander (Bild 3.10). Somit läßt sich die Richtung der Gleitlinien mit dem Winkel Φ angeben, für die α-Gleitlinie:

und für die β-Gleitlinie:

Eingesetzt in Gl. 3.3.3 erhält man so entlang der Gleitlinien folgende Bedingung,
für die α-Gleitlinie:

Die Richtung der Gleitlinien, der Winkel Φ, ändert sich also nur, wenn die hydrostatische Spannung σ_m sich ändert. Ist die ganze Verformungszone plastisch verformt, so erhält man eine Vielzahl von Gleitlinien, ein Gleitlinienfeld.

Wendet man diese Beziehungen auf ein von den Punkten A, B, C, D aufgespanntes Gleitlinenfeld an (Bild 3.11), so gilt entlang der Gleitlinien nach Gl. 3.3.4:

für die α₁-Gleitlinie;

σ_mA - 2 K₀Φ_A = σ_mD - 2 K₀Φ_D,

für die β₁-Gleitlinie:

σ_mA + 2 K₀Φ_A = σ_mB + 2 K₀Φ_B,

für die α₂-Gleitlinie:

σ_mB - 2 K₀Φ_B = σ_mC - 2 K₀Φ_C

und für die β₂-Gleitlinie:

σ_mD + 2 K₀Φ_D = σ_mC + 2 K₀Φ_C.

Faßt man diese Gleichungen zusammen, so ergibt sich:

Für die Winkeldifferenz ΔΦ entlang einer Gleitlinie von einem Schnittpunkt zum nächsten gilt:

ΔΦ = Φ_A - Φ_D oder ΔΦ = Φ_B - Φ_C.

Damit erhält man mit Gl. 3.3.5 eine konstante Winkeländerung ΔΦ entlang einer α-Gleitlinie in den Schnittpunkten mit einer β-Gleitlinie und umgekehrt:

ΔΦ = const.

Beim Zerspanprozeß ist die Scherlinie eine α-Gleitlinie. Sie ist eine Gerade, somit erhält man an den Schnittpunkten der α-Gleitlinien mit den β-Gleitlinien im gesamten Verformungsbereich in jedem Schnittpunkt den gleichen Winkelunterschied ΔΦ=0 wie entlang der Scherlinie.

Damit gilt entlang der α-Gleitlinien:

ΔΦ = 0

und in Gl. 3.3.5:

Φ_B = Φ_C und Φ_A = Φ_D.

Es entsteht also ein Geradenfeld. In Bild 3.12 sind zwei Beispiele für ein Geradenfeld skizziert. Das einfache Gleitlinienfeld besteht nur aus Geraden. Beim Gleitlinienfeld mit zentriertem Fächer haben die Geraden, die α-Gleitlinien, einen Schnittpunkt, die β-Gleitlinien sind dann Kreisbögen um diesen Schnittpunkt. R ist der Öffnungswinkel des Fächers. Die in Bild 3.12 skizzierten Beispiele für Gleitlinienfelder können nun auf den Zerspanprozeß übertragen werden.

3.3.2 Gleitlinienmodelle des Zerspanprozesses

Es wird zunächst angenommen, daß der Span im gesamten Verformungsbereich plastisch verformt ist. Der elastisch verformte Bereich wird vernachlässigt.

Das einfache Gleitlinienfeld nach Lee und Shaffer [24] besteht nur aus Geraden (Bild 3.13). Die hydrostatische Spannung σ_m ist nach Gl. 3.3.4 im gesamten Verformungsbereich konstant. Nach Gl. 3.3.2 sind somit auch die Normalspannungen σ_x, σ_y und die Schubspannungen τ_xy konstant.

An der Berührfläche von Werkzeug und Span ist der Zusammenhang zwischen Normal- und Schubspannung bekannt. Es gilt nach Gl. 1.1.1 und unter Berücksichtigung des Spanwinkels γ mit dem Reibungswinkel ρ₀:

Für τ_xy und σ_y kann mit Gl. 3.3.2 eingesetzt werden:

Der Span soll frei und ungehindert über die Spanfläche abgleiten. Er hat also nach Verlassen der Verformungszone keinen Einfluß mehr auf den Spannungszustand. Somit muß am Rande der Verformungszone eine der beiden Hauptspannungen gleich null sein.

Für die Hauptspannungen gilt nach Gl. 3.1.3 und Gl. 3.1.6:

σ_1,2 = σ_m ± K₀.

Eine Hauptspannung wird also gleich null wenn gilt:

σ_m = K₀.

Gl. 3.3.7 läßt sich also schreiben als:

Somit gilt für den Scherwinkel die einfache Beziehung:

Die Hauptspannungen haben einen Winkel von ±45° zu den größten Schubspannungen. Damit endet das Gleitlinienfeld unter einem Winkel von 45° zu den Gleitlinien.

Ein Vergleich mit Gl. 3.2.7 zeigt, daß bei diesem Modell bei gleichem Reibungswinkel ρ₀ kleinere Scherwinkel als bei der Gleichung von Merchant berechnet werden. Deshalb wird mit dem Gleitlinienmodell mit negativ zentriertem Fächer (Bild 3.14) ein weiteres Gleitlinienmodell vorgestellt, bei dem sich eine Übereinstimmung mit der Lösung von Merchant herstellen läßt. Dieses Gleitlinienfeld besteht aus einem Fächer mit dem mathematisch negativen Öffnungswinkel R im vorderen Teil der Spanfläche, im hinteren Teil geht es in ein einfaches Gleitlinienfeld über.

Liegt der Punkt B auf der Scherlinie und der Punkt A am Beginn des einfachen Gleitlinienfeldes, so gilt für die hydrostatischen Spannungen σ_mA, σ_mB und die Scherwinkel Φ_A, Φ_B mit dem Öffnungswinkel R des Fächers:

Damit eine Hauptspannung am Rande null wird, muß für die hydrostische Spannung wieder gelten:

σ_mA = K₀.

Für den Winkel Φ_A des einfachen Gleitlinienfeldes erhält man dann analog zu Gl. 3.3.8:

Φ_A = 45° - ρ₀ + γ.

Für den Scherwinkel Φ = Φ_B ist dann:

Damit erhält man mit einem Öffnungswinkel von

das gleiche Ergebnis wie Merchant (Gl. 3.2.7).

Die Ergebnisse für den Scherwinkel nach Merchant (Gl. 3.2.7) und Lee/Shaffer (Gl. 3.3.8) sollen nun in Beispiel 5 mit Meßwerten verglichen werden:

Beispiel 5 Scherwinkel

Für den Werkstoff CK 45 erhält man für eine Spannungsdicke h=0,4 mm und einem Spanwinkel γ=5° die spezifische Schnittkraft

und die spezifische Vorschubkraft

Mit Gl. 1.1.3, Gl. 1.1.4 und Gl. 3.3.6 erhält man die Beziehung:

und für den Reibungswinkel ρ₀:

ρ₀ = 19,4°.

Damit ergibt sich für den Scherwinkel nach Merchant:

Φ_M = 40,3°

und für den Scherwinkel nach Lee/Shaffer:

Φ_L/S = 30,6°.

Mit einer gemessenen Spandicke von h₁=0,55 mm erhält man mit Gl. 3.2.2 einen Scherwinkel von:

Φ = 37,5°.

Für einen NiCr-Stahl ist bei einer Spanungsdicke h=0,2 mm und einem Spanwinkel γ=0° die spezifische Schnittkraft

und die spezifische Vorschubkraft

Der Reibungswinkel ρ₀ beträgt:

ρ₀ = 16,0°,

der Scherwinkel nach Merchant:

Φ_M = 37°

und der Scherwinkel Lee/Shaffer:

Φ_L/S = 29°.

Bei einer Spandicke von h=0,29 mm erhält man für den gemessenen Spanwinkel:

Φ = 35,0°.

Der Scherwinkel wird also nach Merchant etwas zu groß, nach Lee/Shaffer zu klein bestimmt. Die Ergebnisse nach Merchant liegen aber näher an den Meßwerten. Deshalb wird für die weiteren Untersuchungen diese Gleichung (Gl. 3.2.7) verwendet.

Entscheidend aber ist die gemeinsame Aussage, daß der Scherwinkel nur von der Reibung abhängt. Spandickenänderungen aber bedeuten nach Gl. 3.2.2 Änderungen des Scherwinkels (Bild 3.15).

Für kleine Dickenänderungen Δh₁ folgt mit dem Arbeitspunkt Φ₀ und der Scherwinkeländerung ΔΦ mit Gl. 3.2.2:

Bei den Schwingungen treten also kontinuierlich Scherwinkeländerungen auf. Damit muß für eine Klärung der Schwingungsursache zunächst nach der Ursache für eine Scherwinkeländerung gesucht werden.

3.4 Ursache einer Scherwinkeländerung

Um festzustellen, welche Größen auf den Scherwinkel Einfluß nehmen, wurden die Spanungsdicke h und die Schnittgeschwindigkeit v_c variiert. Für jede Messung wurde dann der Scherwinkel aus der Spandicke h₁ nach Gl. 3.2.2 bestimmt.

Wie man in Bild 3.16 erkennen kann, besteht in dem untersuchten Bereich keine eindeutige Abhängigkeit von der Schnittgeschwindigkeit. Der Scherwinkel bleibt im Mittel konstant. Dagegen nimmt der Scherwinkel mit zunehmender Spanungsdicke h ebenfalls zu. Die Änderungen sind aber sehr gering. Bei Spanuntersuchungen wurden periodische Winkeländerungen von bis zu ΔΦ=5° beobachtet. Um diese Winkeländerung zu erreichen, müßte die Spanungsdicke sich um mehr als 0,2 mm ändern. Damit hätte man bei einer Spanungsdicke von h=0,2 mm für den NiCr-Stahl in Beispiel 5 einen unterbrochenen Schnitt. Dies war bei den Messungen natürlich nicht der Fall.

Durch Messungen der Thermospannung in Kap. 2 konnte gezeigt werden, daß sich die Temperatur im Verformungsbereich entsprechend der Spanbildungsfrequenz deutlich ändert. Diese Temperaturänderungen sind eine Folge der Schnittkraftschwankungen. Aber wie wirkt eine Temperaturänderung auf den Zerspanprozeß. Um dies festzustellen, wurde die Zerspanstelle wie in Kap. 2.3 beschrieben mit einem Schweißbrenner zusätzlich erwärmt. Die erreichte Temperaturänderung konnte mit Hilfe der Thermospannungsmessung bestimmt werden.

Man erkennt in Bild 3.17 deutlich eine Zunahme des Scherwinkels bei einer Erhöhung der Temperatur. Eine Temperaturerhöhung von Δϑ=100°C ergibt bereits eine Winkeländerung von ΔΦ≈5°. Welche Ursache hat nun diese Scherwinkeländerung in Abhängigkeit von der mittleren Temperatur?

In der Literatur hinreichend bekannt ist der Einfluß der Temperatur auf die Fließspannung K₀. Deshalb soll zunächst mit Hilfe der Methode der minimalen Verformungsleistung untersucht werden, ob eine temperaturabhängige Fließspannung für die Scherwinkeländerung verantwortlich ist.

Bei den meisten Werkstoffen kann die Temperaturabhängigkeit der Fließspannung angegeben werden als:

wobei K₀₀ die Fließspannung bei der Temperatur ϑ₀ ist. C₁ ist eine materialspezifische positive Konstante.

Analog zu Gl. 3.2.6 erhält man für die Ableitung der Verformungsleistung P_v:

Die Fließspannung K₀ hängt jetzt vom Scherwinkel Φ ab, und es gilt:

Damit erhält man als Bedingung für das Minimum:

Der Scherwinkel hängt somit von der Temperaturänderung in der Verformungszone ab.

Für den Wärmestrom in die Verformungszone ist - unter Vernachlässigung der Reibungsleistung - der Anteil der Verformungsleistung P_v entscheidend, der für die plastische Verformung des Spans benötigt wird (vgl. Kap. 1.1.2). Mit Hilfe des Scherlinienmodells läßt sich diese Leistung, die Scherleistung P_s, nun mit Gl 3.2.1 und Gl. 3.2.3 berechnen:

Wie in Kap. 1.1.2 ist die durch Konvektion abgeführte Wärmeleistung nun:

P_Konvektion = P_s.

Setzt man für P_Konvektion und P_s ein, so ist:

mit der Umgebungstemperatur ϑ_u und der mittleren Temperatur entlang der Scherlinie. Für die mittlere Temperatur gilt also:

Die Ableitung der mittleren Temperatur nach dem Scherwinkel Φ ist immer kleiner als null:

wobei vorausgesetzt wird, daß für den Scherwinkel Φ und Spanwinkel γ gilt:

2Φ - γ < 90°.

Die Ableitung der mittleren Temperatur nach dem Scherwinkel in Gl 3.4.5 ist über die Fließspannung K₀ von der Temperatur abhängig. Die Abhängigkeit vom Scherwinkel ist für kleine Scherwinkeländerungen nicht sehr groß, so daß gilt:

Linearisiert man weiterhin Gl. 3.4.2 um den Scherwinkel nach Merchant (Gl 3.2.7) also um den Arbeitspunkt:

erhält man:

Mit Gl. 3.4.5 folgt dann für den Scherwinkel für kleine C₁:

mit

Durch die Temperaturabhängigkeit der Fließspannung wird der Scherwinkel also kleiner. Erhöht man die mittlere Temperatur durch Wärmezufuhr, so nimmt die Fließspannung K₀ ab. Damit wird der Scherwinkel nach Gl 3.4.6 aber größer. Dies widerspricht den Messungen in Bild 3.17. Faßt man die Ergebnisse zusammen, so gelten folgende Zusammenhänge:

Durch den kleineren Scherwinkel entsteht eine größere Scherleistung und damit eine höhere Temperatur entlang der Scherlinie. Dadurch sinkt die Fließspannung. Die Verformungsleistung wird wieder kleiner. Je größer die Temperaturabhängigkeit der Fließspannung

betragsmäßig ist, desto kleiner kann der Scherwinkel werden, ohne daß die Verformungsleistung erhöht wird. Die Abhängigkeit nimmt aber bei höheren Temperaturen ab, da in Gl. 3.4.5 die Fließspannung kleiner wird. Damit wird der Scherwinkel wieder größer. Dies verdeutlicht auch Beispiel 6.

Beispiel 6 Temperaturabhängigkeit des Scherwinkels

In Beispiel 5 wurde der Scherwinkel Φ₀=Φ_M nach der Lösung von Merchant für den Werkstoff CK 45 berechnet zu:

Φ₀ = 40,3°,

bei einem gemessenen Winkel von:

Φ = 37,5°.

Nach Gl. 3.4.6 ist der Scherwinkel durch die Temperaturabhängigkeit der Fließspannung:

Φ_F = 38,3°.

Hierbei wurde die Fließspannung

gewählt. Die spezifische Wärmekapazität ist

die Konstante C₁=0,001 und die Dichte

Bei dem NiCr-Stahl wurde nach Merchant der Wert:

Φ₀ = 37,0°

berechnet und der Scherwinkel:

Φ = 35,0°

gemessen. Als neuen Wert erhält man mit Gl. 3.4.6 mit den gleichen Zahlenwerten:

Φ_F = 34,5°.

Bei einer Temperaturerhöhung um 100°K ändern sich die Scherwinkel mit Gl. 3.4.6 nur wenig.

Für den Werkstoff CK 45 erhält man:

Φ_F = 38,5°

und für den NiCr-Stahl:

Φ_F = 34,7°.

Damit kann die Temperaturabhängigkeit der Fließspannung nicht allein die Ursache für die Temperaturabhängigkeit des Scherwinkels sein. Es muß also eine andere Ursache für die Änderung des Scherwinkels bei einer Erhöhung der Temperatur geben.

Als wesentliche Einflußgröße auf die Verformungsleistung bleibt jetzt noch die Reibung. Nach Gl. 3.2.7 erhält man für den Scherwinkel:

Mit einer Reibungsänderung Δρ ergibt sich damit für eine Scherwinkeländerung ΔΦ:

Der Reibungskoeffizient kann von der Geschwindigkeit, der Normalkraft oder -spannung und der Temperatur abhängen.

1. Geschwindigkeit

Wie durch Messungen bei verschiedenen Schnittgeschwindigkeiten gezeigt werden konnte (Bild 3.16), ist der Scherwinkel im Mittel unabhängig von der Geschwindigkeit. Damit gilt dies auch für den Reibungskoeffizienten.

2. Normalspannung

Für die Normalspannung σ_y auf die Spanfläche gilt nach Gl. 3.3.2 und σ_m=K₀ nach dem Modell von Lee/Shaffer:

σ_yL/S = K₀ (1 + sin2Φ) = K₀ (1 + cos2(ρ₀ - γ)).

Damit kann die Normalspannung mit Hilfe des Spanwinkels γ verändert werden. Eine Veränderung der Normalspannung durch verschiedene Spanwinkel aber brachte keine wesentliche Veränderung des Reibungskoeffizienten. Die Reibung ist also nicht von der Normalspannung abhängig.

3. Temperatur

Versuche durch Temperaturerhöhungen in der Verformungszone ergaben eine deutliche Abnahme des Scherwinkels (Bild 3.17). Damit hat die Reibung einen positiven Temperaturkoeffizienten γ_ρ:

Somit gilt für die Abhängigkeit des Scherwinkels von der Reibung nach Gl. 3.4.7:

Der Scherwinkel und die Spandicke hängen damit von der Temperatur ab. Bei einer Scherwinkeländerung von ΔΦ=5° bei einer Temperaturerhöhung von Δϑ=100°K erhält man für den Temperaturkoeffizienten:

Die Reibung nimmt also mit der Temperatur zu. Bei den hohen Temperaturen tritt eine immer stärkere Verbindung von Werkstoff und Schneidstoff auf. Verschweißungen von Span und Drehstahl führen zu einer Erhöhung der Reibung.

In Kap. 2 konnte mit Hilfe der Thermospannung gezeigt werden, daß beim Zerspanen Temperaturänderungen mit der gleichen Frequenz wie die Kraftänderungen auftreten. Temperaturänderungen aber beeinflussen die Reibung und damit wieder die Zerspankräfte. Es entsteht ein Kreislauf, der vielleicht die Ursache der Schwingungen sein könnte. Ob dies der Fall ist wird in Kap. 4 untersucht.

Zusammenfassung Kap. 3

In diesem Abschnitt werden die Gesetzmäßigkeiten der Plastizitätstheorie auf den Zerpanprozeß übertragen.

Der Zerspanprozeß kann als ebener Spannungszustand betrachtet werden. Das Abtrennen des Spans vom Werkstück erfolgt in einer Scherzone, beim Scherlinienmodell nach Merchant schrumpft diese Zone auf eine Scherlinie. Die Zerspankräfte und Zerspangeschwindigkeiten hängen dann vom Reibungskoeffizienten und dem Scherwinkel ab. Durch Minimierung der Verformungsleistung erhält man einen Schätzwert für den Scherwinkel, der von der Reibung und dem Spanwinkel abhängt. Eine Erweiterung der einfachen Scherlinienmodelle stellen Gleitlinienmodelle dar.

Die Gleitlinien geben die Richtungen des ebenen plastischen Fließens an. Bei einer geraden Scherlinie erhält man für den plastisch verformten Bereich als Gleitlinien immer ein Geradenfeld, z. B. das einfache Gleitlinienfeld und das Gleitlinienfeld mit zentriertem Fächer. Das einfache Gleitlinienfeld nach Lee und Shaffer ergibt jedoch einen Scherwinkel, der weniger gut mit den Messungen übereinstimmt wie das Ergebnis nach Merchant. Dagegen läßt sich das einfache Gleitlinienfeld mit negativ zentriertem Fächer mit dem Ergebnis von Merchant in Übereinstimmung bringen.

Die beobachteten Spandickenänderungen haben ihre Ursache in einer Änderung des Scherwinkels. Der Scherwinkel wiederum hängt von der Spanungsdicke ab. Diese Abhängigkeit ist allerdings nur gering. Größer dagegen ist die Abhängigkeit von der Temperatur, der Scherwinkel nimmt bei steigender Temperatur ab. Die Ursache hierfür liegt jedoch nicht in der Temperaturabhängigkeit der Fließspannung, sondern in der Temperaturabhängigkeit der Reibung.

4. Dynamisches Modell der Spanbildung

Im nun folgenden Kapitel sollen die Ergebnisse des stationären Zerspanprozesses auf ein dynamisches Modell übertragen werden. Es werden zwei Modelle entwickelt, die die Schwingungen bei der Spanbildung erklären. Durch einen Vergleich mit den Messungen werden sie überprüft. Mit Hilfe der Modellbildung wird anschließend die Auswirkung des Verschleißes auf die Spanbildungsfrequenz untersucht.

4.1 Schwingungstypen beim Zerspanprozeß

Schwingungen können nach ihren Entstehungsmechanismen eingeteilt werden. Man unterscheidet [25] zwischen Eigenschwingungen, Koppelschwingungen, erzwungenen Schhwingungen und selbsterregten Schwingungen.

Eigenschwingungen:

• - entstehen in einem schwingungsfähigen System, das einmal angestoßen sich selbst überlassen wird. Dem System wird von außen keine Energie mehr zugeführt.
  Beispiel: Ein sich selbst überlassenes Schwerependel.

Koppelschwingungen:

• - liegen dann vor, wenn sich zwei oder mehrere Schwinger gegenseitig beeinflussen, oder wenn ein Schwinger mehrere Freiheitsgrade hat. Kennzeichnend ist die gegenseitige Beeinflussung der Schwingungen. Die Ursache kann eine Kombination der verschiedenen Schwingungstypen sein.
  Beispiel: Zwei gekoppelte Feder-Masse-Dämpfungssysteme.

Erzwungene Schwingungen:

• - werden von außen angeregt. Die Frequenz der Schwingung wird von außen bestimmt.
  Beispiel: Vibrationen einer Maschine durch eine Unwucht im Motor.

Selbsterregte Schwingungen:

• - finden unter Zufuhr von Energie statt. Es gibt einen Mechanismus, durch den dem Schwinger im Takte der Schwingung soviel Energie zugeführt wird, wie er durch Dämpfungsanteile im System verliert.
  Beispiel: Schwerependel bei Uhren, Energiezufuhr durch Feder, Gewicht, Batterie.

Auch bei der Drehmaschine treten verschiedene Schwingungstypen auf. Die Entstehung dieser Schwingungen und die Zuordnung zu den einzelnen Schwingungstypen wird in dem nun folgenden Abschnitt behandelt.

1.) Eigenschwingungen

Durch den plötzlichen Kraftanstieg zu Beginn des Zerspanprozesses wird die Maschine in ihren Eigenfrequenzen angeregt. Es ist nun die Frage, wie lange die Maschine weiterschwingt, bzw. wie lange es dauert, bis die Eigenschwingungen abgeklungen sind.

In Kap. 5 wird das Übertragungsverhalten der Maschine mit Hilfe der Impulsantwort bestimmt. Hierbei wurde festgestellt, daß die Impulsantwort in weniger als 10 ms abgeklungen ist. Bei einer Drehdauer von mehreren Sekunden sind die Eigenfrequenzen also längst abgeklungen. Somit spielen Eigenschwingungen der Maschine keine große Rolle. Möglicherweise kommt es jedoch zu Eigenschwingungen in der Verformungszone. Dies wird in Kap. 4.2 untersucht.

2.) Koppelschwingungen

Vorstellbar ist eine Kopplung von Maschinenschwingungen und Schwingungen im Zerspanprozeß. Ein solcher Effekt ist das Rattern der Drehmaschine [26].

Durch Eigenschwingungen der Maschine entstehen wie in Bild 4.1 skizziert Änderungen der Spanungsdicke h, die sich als sogenannte Rattermarken auf der Oberfläche des Werkstücks abbilden. Nach einer Werkstückumdrehung schneidet der Drehmeißel erneut in die Kerben auf der Werkstückoberfläche. Dadurch wird die Maschine bei einer bestimmten Drehzahl zu Schwingungen angeregt. Die Maschine beeinflußt wieder den Zerspanprozeß, so daß eine aufklingende Schwingung, das gefürchtete Rattern, entstehen kann.

Mit Gl. 1.1.4 gilt für die Änderung der Vorschubkraft ΔF_f durch die Schwingungen mit der Spanungsdickenänderung Δh bei einer Spanungsbreite b:

Wie in Kap. 2 wird das Übertragungsverhalten des Drehmeißels durch ein Feder-Masse-Dämpfungssystem angenähert. Für den Ausschlag x in Bild 4.1 gilt dann mit der Federsteifigkeit c_F, der Dämpfung d und der Masse m:

Mit der Totzeit

durch eine Umdrehung der Maschine, wobei ω₁ die Drehfrequenz der Maschine ist, gilt:

Δh(t) = x(t) - Δh(t-T_t).

Damit gilt für die Änderung der Spanungsdicke ΔH(ω) in Abhängigkeit vom Ausschlag des Drehstahls X(ω) im Frequenzbereich:

Die Änderung der Spanungsdicke hat also ein Maximum, wenn gilt:

Damit ist die Ratterfrequenz ein Vielfaches der halben Maschinendrehzahl:

mit k=0 . . .∞.

Eine weitere Schwingung kann dann auftreten, wenn das Übertragungsverhalten des Drehstahls, des Zerspanprozesses und des Totzeitglieds zusammen gerade eins ergeben (Bild 4.2).

Voraussetzung für eine Schwingung ist also mit Gl. 4.1.1, Gl. 4.1.2 und Gl. 4.1.3:

Für den Imaginärteil des Nenners muß somit gelten:

und für den Realteil des Nenners:

Für große Frequenzen ω gilt in Gl. 4.1.5 folglich:

mω² sin ωT_t ≈ 0.

Als Lösung erhält man die Frequenz ω₀:

mit k = ∞.

Mit dieser Lösung kann Gl. 4.1.6 um den Arbeitspunkt ω₀T_t=kπ linearisiert werden.

Es gilt also für gerade k:

(- 2mω₀ + dω₀T_t) Δω = k_f b

und für ungerade k:

- dω₀T_tΔω = k_f b.

Damit gilt für die Frequenz einer Dauerschwingung ω_D
für gerade k:

für ungerade k:

Die Frequenz der Schwingung hängt jetzt über die spezifische Vorschubkraft vom Schneidenzustand ab.

Die Schwingungsamplituden x des Drehmeißels sind aber im betrachteten Frequenzbereich (<1kHz) sehr klein. Dies soll Beispiel 7 verdeutlichen.

Beispiel 7 Koppelschwingung

Bei den Messungen war die maximale Beschleunigung am Drehmeißel bei einer Frequenz:

_max = 50 g,

wobei

die Erdbeschleunigung ist.

Diese maximale Beschleunigung wurde bei der Frequenz f=10 kHz gemessen. Damit erhält man als maximalen Ausschlag x_max des Drehmeißels:

Bei einer spezifischen Vorschubkraft

ergibt sich nach Gl. 4.1.1 bei einer Spanungsbreite b=1 mm eine Änderung der Vorschubkraft

ΔF_f = k_f bx_max = 0,126 N.

Die gemessenen Kräfte sind aber um den Faktor 100 größer. Auch die Änderungen der Spandicke bei dieser Frequenz betrugen:

Δh = 0,08 mm.

Diese Werte sind bedeutend größer als der größte Ausschlag am Drehmeißel x_max.

Damit hat der Drehmeißel bei diesen Frequenzen keinen nennenswerten Einfluß auf die Verformung des Spans. Die Schwingungsamplitude am Werkstück ist eher noch geringer. Eine Kopplung von Maschine und Zerspanprozeß kann also in diesem Frequenzbereich ausgeschlossen werden.

3.) Erzwungene Schwingungen

Bild 4.3 zeigt ein Beschleunigungssignal mit einem Whiteningfilter (Kap. 6) gefiltert. Am Ausgang dieses Filters bleibt nur noch weißes Rauschen übrig. Das Übertragungsverhalten der Maschine und die Spanbildungsfrequenz werden weggefiltert. Übrig bleiben die stochastischen Anteile aus dem Zerspanprozeß und das Meßrauschen. Das Meßrauschen kann aber gegenüber dem Zerspanprozeß vernachlässigt werden. Wie man in Bild 4.1 erkennen kann, treten neben einem Rauschen kräftige Ausreißer im Signal auf. Wie lassen sich Ausreißer und Rauschen im Zerspanprozeß erklären?

Bei plastischer Verformung des Materials in der Verformungszone werden durch die Bewegung der Versetzungen fortwährend Phononen emittiert [27]. Zusammen mit der Geräuschentwicklung durch die Reibung zwischen Span und Werkzeug entsteht ein stationäres Rauschen. Die Rauschleistung hängt von der Anzahl der Versetzungen pro Sekunde ab. In Bild 3.6 wird das Material an der Scherlinie in der Zeit Δt um die Distanz Δs verschoben. Man erhält die Schergeschwindigkeit v_s. Damit ist die Rauschleistung proportional zu der Schergeschwindigkeit. Die Anzahl der Versetzungen wird weiterhin bestimmt durch die Spanungsbreite b. Damit kann die Rauschleistung P_R mit der Konstante C angegeben werden als:

P_R = C v_s b.

Mit Gl. 3.2.1 ist die Abhängigkeit vom Scherwinkel Φ und dem Spanwinkel γ gegeben durch:

für kleinen Spanwinkel γ. Wird der Scherwinkel kleiner, so nimmt die Rauschleistung zu. Bei den meisten Metallen tritt mit zunehmender Verformung eine Verfestigung des Werkstoffes ein. Im Gegensatz zum ideal-plastischen Zustand, in dem der Span vom Drehmeißel wie eine zähe Flüssigkeit einfach umgeleitet wird, muß das Material soweit verformt werden bis es bricht. Dieses Brechen geschieht einerseits in der Verformungszone, meistens sind es dann eine Vielzahl von Mikrobrüchen. Andererseits kann der Span beim Abgleiten abbrechen [28].

Die Rauschquelle im Zerspanprozeß kann zur Verschleißerkennung eingesetzt werden. Die Auswirkungen des Verschleißes auf diese Quelle werden in Kap. 4.4 behandelt.

4.) Selbsterregte Schwingungen

Bei selbsterregten Schwingungen spielt der Energiehaushalt eine große Rolle.

Dauerschwingungen entstehen bei der Schwingungsamplitude, bei der die durch Dämpfung verloren gegangene Energie ΔE_D gerade durch die zugeführte Energie ΔE_z kompensiert wird. Damit muß ΔE_D oder ΔE_z eine Funktion der Schwingungsamplitude a sein. Selbsterregte Schwingungen entstehen immer durch einen nichtlinearen Effekt.

Allgemein lassen sich selbsterregte Schwingungen mit der Funktion x(t) in der Form schreiben:

darstellen. Diese Gleichung läßt sich zerlegen in einen Anteil f₁, der nur von x abhängt und einen Anteil f₂, der von x und abhängt:

+ f₁(x,0) + f₂(x,) = 0.

Multipliziert man die Gleichung mit m, wobei m eine Konstante ist, und integriert über die Zeit, so erhält man:

mit der kinetischen Energie E_Kin, der potentiellen Energie E_pot, der Dämpfungsenergie E_D und der zugeführten Energie E_z.

Soll sich eine Dauerschwingung einstellen, so muß über die Periodendauer T_p der Schwingung gelten:

Diese 99999 00070 552 001000280000000200012000285919988800040 0002004218799 00004 99880s Integral läßt sich aber nur in seltenen Fällen lösen. Das gleiche gilt für die Schwingungsdifferentialgleichung (Gl. 4.1.8). Deshalb wurden Näherungsmethoden entwickelt, um die Frequenz und die Amplitude der Dauerschwingung zu bestimmen.

Ist f(x,) eine stetige Funktion, so kann sie um den Arbeitspunkt x₀, ₀ linearisiert werden:

Entsteht im Punkt x₀ eine Dauerschwingung, so muß für die Dämpfung D gelten:

Ist die Dämpfung ungleich null, so kann das Vorzeichen eine Aussage über das Verhalten der Schwingung machen. Ist D kleiner als null, so ist die Schwingung aufklingend, ist D größer als null, so handelt es sich um eine abklingende Schwingung.

Durch die Linearisierung läßt sich das Verhalten der Schwingung nur für kleine Abweichungen aus der Ruhelage erklären. Mehr Aussagekraft hat dagegen das Verfahren der Harmonischen Balance. Man beschränkt sich jetzt nicht mehr auf kleine Amplituden um einen Arbeitspunkt, sondern vernachlässigt die Oberschwingungen der periodischen Funktion x(t). Entwickelt man x(t) in eine Fourierreihe [29], so gilt mit den Fourierkoeffizienten a_ν und b_ν sowie der Grundfrequenz ω₀:

Da die meisten physikalischen Systeme Tiefpaßverhalten besitzen, können die höheren Frequenzen vernachlässigt werden. Beschränkt man sich auf die Grundfrequenz, so gilt für eine mittelwertfreie Schwingung x(t):

x(t) ≈ a₁ sinω₀t

und für die Ableitung (t):

(t) ≈ a₁ω₀ cosω₀t.

Die Phasenlage kann beliebig gewählt werden, so daß bei x(t) die Cosinus-Terme und (t) die Sinus-Terme gleich null gesetzt werden konnten.

Die Funktion f(x,) läßt sich dann ebenfalls in eine Fourierreihe zerlegen, wobei wieder die Oberschwingungen vernachlässigt werden:

wobei für die Koeffizienten und gilt:

Man erhält wieder eine linearisierte Form der Schwingungsdifferentialgleichung:

Die Harmonische Balance ist also auch eine Linearisierung der Schwingungsdifferentialgleichung, wobei die Dauerschwingung nicht mehr durch eine Gerade, sondern eine Sinus- oder Cosinus-Funktion angenähert wird. Der Charakter einer periodischen Funktion wird dadurch besser getroffen. Für die Dämpfung und die Frequenz erhält man aus Gl. 4.1.16:

Die Dämpfung ist nun eine Funktion der Schwingungsamplitude. Für die Frequenz erhält man weiterhin:

Soll die Dauerschwingung stabil sein, so muß für eine kleine Änderung Δa₁ der Amplitude die Dämpfung positiv sein. Die Amplitude nimmt dann wieder ab. Wird die Amplitude a₁ um Δa₁ kleiner, so muß die Dämpfung negativ werden.

Es muß also gelten:

D(a₁ + Δa₁) < 0 und D(a₁ - Δa₁) < 0.

Beispiel 8 Selbsterregte Schwingung

Für Schwinggeneratoren in der Funktechnik erhält man häufig die Van der Polsche Differentialgleichung:

- (α - βx²) + kx = 0,

wobei α, β und k positive Konstanten sind.

Durch Linearisierung um den Arbeitspunkt x₀ und ₀=0 erhält man mit Gl. 4.1.11:

+ 2βx₀ + kx = 0.

Es entsteht eine Dauerschwingung, wenn für die Dämpfung gilt:

D = 2βx₀ = 0.

Dies ist für x₀=0 erfüllt. Für die Frequenz der Schwingung ist:

Die Schwingungsamplitude kann nicht bestimmt werden.

Mit der Harmonischen Balance erhält man für die Funktion f:

Mit Gl. 4.1.14 und Gl. 4.1.15 gilt dann für die Koeffizienten und :

Für die Dämpfung erhält man somit nach Gl. 4.1.17

und für die Frequenz:

Damit die Dämpfung zu null wird, muß gelten:

Die Schwingungsamplitude a₁ kann nun mitbestimmt werden.

Wird die Amplitude a₁ kleiner, so wird die Dämpfung negativ. Wird a₁ dagegen größer, so wird die Dämpfung positiv. Die Schwingung ist also stabil.

In Kap. 4.3 kann gezeigt werden, daß beim Zerspanen selbsterregte Schwingungen entstehen. Doch vorher wird in Kap. 4.2 ein mechanisches Modell vorgestellt. Bei diesem Modell entstehen schwach gedämpfte Eigenschwingungen. In Kap. 4.3 wird dieses Modell auf ein mechanisch-thermisches Modell erweitert.

4.2 Mechanisches Modell

In diesem Abschnitt wird mit Hilfe der Gleitliniensätze und der Trägheitskräfte ein rein mechanisches Modell zur Erklärung der Schwingungen vorgestellt. Dieses Modell wird anschließend mit Meßergebnissen überprüft.

Der Span in Bild 4.6 wird an der Scherlinie umgelenkt und bewegt sich in x-Richtung weiter. Bis zur Länge x=1 ist er plastisch verformt. Durch Änderungen der Spangeschwindigkeit entsteht die Trägheitskraft f_x auf ein Volumenelement. Das Volumenelement wird verformt, es hat also auch eine Geschwindigkeitskomponente v_y in y-Richtung.

Damit gilt für das Kräftegleichgewicht in x-Richtung mit Gl. 3.3.3 nun:

Unter Vernachlässigung der Verformung in z-Richtung ergibt sich als Kontinuitätsbilanz für das Volumenelement mit der Dichte ρ:

wobei v_x und v_y die Geschwindigkeiten in x- und y-Richtung angeben.

Die Trägheitskraft F_x eines Körpers mit dem Volumen V ist gegeben durch:

Damit gilt für ein Volumenelement mit konstanter Länge dx aber veränderlicher Höhe dy:

wobei das Volumenelement definiert ist als dV=dx dy dz.

Entlang einer Gleitlinie gilt immer

Für die Geschwindigkeit v_y erhält man durch Ableitung von Gl. 4.2.4:

Mit Gl. 4.2.4 kann Gl. 4.2.1 ausgedrückt werden als:

Faßt man die Ausdrücke in Klammer zusammen, so ergibt sich:

Unbekannt ist die Änderung der hydrostatischen Spannung σ_m. Unter der Annahme, daß die Änderungen der hydrostatischen Spannung klein gegenüber den Änderungen des Scherwinkels sind, kann die hydrostatische Spannung vernachlässigt werden. Das heißt, eine Geschwindigkeitsänderung wirkt sich über die Trägheitskraft direkt auf den Scherwinkel aus.

Damit ergibt sich in Gl. 4.2.6 mit Gl. 4.2.2 und Gl. 4.2.3:

In Gl. 4.2.5 kann Gl. 4.2.2, Gl. 4.2.4 und Gl. 4.2.5 eingesetzt werden:

Im betrachteten Fall sind die zeitlichen und örtlichen Ableitungen viel größer als die Änderungen des Absolutwertes. Damit kann für den Scherwinkel Φ≈Φ₀ und für die Geschwindigkeit v_x≈v_x₀ gesetzt werden, wobei Φ₀ und v_x₀ Konstanten unabhängig von Ort und Zeit sind. Damit erhält man in Gl. 4.2.7 für den Scherwinkel:

und in Gl. 4.2.8 für die Geschwindigkeit:

Setzt man Gl. 4.2.9 und Gl. 4.2.10 ineinander ein, so erhält man die Wellengleichungen:

c_s ist die Geschwindigkeit der Welle, wobei gilt:

Mit Hilfe der Laplace-Transformation ergibt sich für die Geschwindigkeit folgender Lösungsansatz:

v_x = v₁(s)e^-K₁sx + v₂(s)e^-K₂sx,

mit

Die Geschwindigkeit der Welle ist sehr viel größer als die Spangeschwindigkeit v_x₀, so daß auch näherungsweise geschrieben werden kann:

Für die Geschwindigkeit gelten folgende Randbedingungen:

• 1) Entlang der Scherlinie mit dem Scherwinkel Φ₀ erhält der Span die Geschwindigkeit v_x(x = y tan Φ₀, y) = v₀.
• 2) Bei x=1 bewegt sich der Span mit konstanter Geschwindigkeit weiter, es gilt also:

Mit den Randbedingungen erhält man:

Die Länge l ist in der Regel viel größer als der Ausdruck - y tanΦ₀ -. Damit gilt näherungsweise:

Für den Scherwinkel erhält man nach Gl. 4.2.10 mit dem Anfangswert Φ(t=-0)=Φ₀ für die Laplacetransformierte:

Mit Gl. 4.2.12 kann die Ableitung der Geschwindigkeit ersetzt werden:

Setzt man den Nenner in Gl. 4.2.12 oder Gl. 4.2.13 zu null, so erhält man für:

die Pole:

mit k=-∞, . . ., 0, 1, . . .∞.

Im Frequenzbereich erhält man dann für s_{∞ /k}=j 2πf₀_/k die Frequenzen:

Unbekannt ist die Länge l der Verformungszone. Wie groß diese Länge sein muß, damit die Frequenz in der richtigen Größenordnung liegt, soll anhand eines Beispiels untersucht werden.

Beispiel 9 Mechanisches Modell

Für eine Frequenz f_0/0=10 kHz erhält man bei dem Werkstoff NiCr mit der Fließspannung

für einen Scherwinkel Φ=35° und der Dichte

die Wellengeschwindigkeit:

Damit muß für die Länge l der Verformungszone nach Gl. 4.214 gelten:

l = 5,6 mm.

Mit dem Gleitlinienmodell nach Lee/Shaffer erhält man dagegen mit der Spanungsbreite h=0,2 mm die Länge:

l_L/S = h(1 + cot Φ tan(45° - Φ)) = 0,33 mm.

Aus dieser Länge ergibt sich in Gl. 4.2.14 die Frequenz

f_0/0 = 169 kHz.

Diese Frequenz liegt weit über der gemessenen Spanbildungsfrequenz von 10 kHz.

Die Länge l muß bei diesem Modell recht groß sein, ansonsten liegt die berechnete Schwin­ gun in einem zu hohen Frequenzbereich. Hinzu kommt, die Frequenz ist nach Gl. 4.4.14 nicht von der Spangeschwindigkeit o abhängig. Diese Abhängigkeit ist aber deutlich aus den Bildern 2.14 bis 2.16 zu entnehmen.

Die Frage stellt sich nun, ob die Massenträgheit bei der kleinen Masse der Verformungszone überhaupt eine Rolle spielt. Deshalb soll im nächsten Beispiel untersucht werden, wie lang ein Span sein muß, der eine so große Änderung der Normalspannung σ_x bewirkt, wie diese bei den Messungen auftrat.

Beispiel 10 Trägheitskräfte

Bei einem Scherwinkel Φ=35° ergibt sich für eine Scherwinkeländerung ΔΦ=-5°, bei einem Spanwinkel γ=0° und einer Spangeschwindigkeit

für die Frequenz f_0/0=10 kHz eine Änderung der Spangeschwindigkeit:

Weiterhin ist die mittlere Beschleunigung durch die Änderung der Spangeschwindigkeit Δv_sp in der Zeit

Mit der Masse m, der Querschnittsfläche A_sp und der Länge l des Spans gilt somit für die Spannungsänderung:

Aus Gl. 3.3.2, der Fließspannung

und mit der hydrostatischen Spannung σ_m = K₀ erhält man mit dem Modell von Lee/Shaffer eine Änderung der Normalspannung σ_x durch die Änderung des Scherwinkels:

Um diese Spannungsänderung zu erreichen, müßte der Span mit einer Dichte von

die Länge:

l = 60 cm

besitzen.

Das ist eine Spanlänge, die in der Praxis nur selten auftritt. Damit können die Trägheitskräfte vernachlässigt werden, sie können nicht die Ursache für die großen Kraft- und Spannungs­ änderungen sein.

Ein rein mechanisches Modell reicht also nicht aus, um die Vorgänge bei der Spanbildung zu beschreiben. Mit den stationären Modellen in Kap. 3 konnte bereits gezeigt werden, daß die Reibung einen ganz entscheidenden Einfluß auf den Zerspanprozeß hat. Kleine Reibungs­ änderungen können bereits große Kraftänderungen bewirken. Weiterhin konnte gezeigt werden, daß die Reibung temperaturabhängig ist. In dem in Kap. 4.3 hergeleiteten Modell werden diese Erkenntnisse berücksichtigt.

4.3 Mechanisch-Thermisches Modell

Für kleine Änderungen des Scherwinkels ΔΦ kann dieser bei einer mittleren Temperatur ϑ₀ mit Gl. 3.4.8 angegeben werden als:

mit dem Arbeitspunkt ϑ₀ und dem Temperaturkoeffizienten γ_ρ der Reibung.

Mit dem Scherwinkel Φ₀ im Arbeitspunkt gilt dann für die Spangeschwindigkeit:

Mit Gl. 3.2.1 läßt sich die Spangeschwindigkeit angeben als:

wobei die Konstante C₂ gegeben ist durch:

Die Fließspannung hängt nach Glg. 3.4.1 ebenfalls von der Temperatur ab. Linearisiert man diese Abhängigkeit um den Arbeitspunkt ϑ₀, so gilt:

Für die erzeugte Scherleistung eines Vo­ lumenelements entlang der Scherlinie gilt ana­ log zu Gl. 3.4.3 für die Länge dx des Vo­ lumenelementes, der Spanungsbreite h und der Geschwindigkeit in y-Richtung v_y (Bild 4.8):

Mit Gl. 4.2.5 gilt für eine gerade Scherlinie mit der Schnittgeschwindigkeit v_c:

Eingesetzt in Glg. 4.3.4 und integriert, erhält man für die Gesamtleistung:

Die Scherlinie bewegt sich bei den Spandickenänderungen in einem kleinen Bereich um ihre Ruhelage. Für die Bilanzgleichungen bei Erwärmung im Scherbereich wird deshalb um die Scherlinie eine schmale Zone der Dicke d betrachtet (Bild 4.9). Die Temperatur ϑ in dieser Scherzone wird als konstant angenommen. Das Volumen V dieses Bereiches ist gegeben mit der Scherfläche A zu:

V = Ad.

Die Dicke der Zone sei konstant, nicht aber die Fläche A. Sie ändert sich, wenn der Span dicker oder dünner wird. Damit erhält man bei Vernachlässigung der elastischen Ver­ formung als Kontinuitätsbilanz für das Volumen:

mit der Spanungsdicke h, der Spanungsbreite b und der Spangeschwindigkeit v_sp.

Für die Wärmebilanz kann die Wärmeleitung vernachlässigt werden. Damit erhält man mit der Temperaturϑ in der Scherzone, der Umgebungstemperatur ϑ_u, der spezifischen Wärme­ kapazit c und der Dichte ρ:

mit der Spandicke h₁ aus Gl. 3.2.2.

Bei kleinem Scherwinkel Φ gilt bei einer Linearsierung der Sinus- und Cosinus-Terme um Φ=Φ₀:

sinΦ = sinΦ₀ + cosΦ₀ ΔΦ

und

cosΦ = cosΦ₀ + sinΦ₀ ΔΦ ≈ cosΦ₀.

Damit können mit kleinem Winkel Φ die Cosinus-Terme bei einer Scherwinkeländerung als konstant betrachtet werden. Auf die Sinus-Terme aber wirken sich kleine Änderungen stärker aus. Sie werden in den Gleichungen durch die Fläche A der Scherlinie:

und die Ableitung

ersetzt.

Zusammenfassend erhält man somit folgende 5 Gleichungen:

Setzt man die Temperaturabhängigkeit der Spangeschwindigkeit (Gl. 4.3.2) und der Fließ­ spannung (Gl. 4.3.3) ein, so gilt:

für Gl. 4.3.6:

und für Gl. 4.3.7:

Führt man einen bezogenen Wärmeinhalt:

ein, wobei Q der Wärmeinhalt der Scherzone ist, so ergibt sich für Gl. 4.3.9:

mit den Konstanten:

Weiterhin ist Gl. 4.3.10 mit Gl. 4.3.8:

wobei näherungsweise ϑ²≈2ϑ₀ϑ gesetzt wurde. Für die Koeffizienten b_i gilt:

Wenn q in Gl. 4.3.12 durch Gl. 4.3.11 ersetzt wird, so ergibt sich die nichtlineare Dif­ ferentialgleichung:

wobei für die Konstanten K_i mit den Konstanten aus Gl. 4.3.11 und Gl. 4.3.12 gilt:

Diese Gleichung hat die gleiche Form wie die Differentialgleichung von selbsterregten Schwingungen (vgl. Gl. 4.1.8):

Ä + f(,A) = 0.

Diese Differentialgleichung soll nun mit Hilfe der Harmonischen Balance untersucht werden. Mit der mittleren Fläche A₀ und der Schwingungsamplitude A₁ soll für A(t) und die Ab­ leitungen (t) und Ä(t) gelten:

A(t) = A₀ + A₁ sinω₀t,

(t) = A₁ω₀cosω₀t,

Ä(t) = -A₁ωsinω₀t.

Somit erhält man in Gl. 4.3.13:

Nach Bestimmung der Fourierkoeffizienten mit Gl. 4.1.15 und Vernachlässigung der Ober­ schwingungen erhält man 3 Gleichungen:

Für den Koeffizienten des Sinus-Terms:

für den Koeffizienten des Cosinus-Terms:

und für den Gleichanteil:

Mit Gl. 4.3.15 erhält man für die Frequenz:

Setzt man für K₄ ein, so ist die Frequenz f₀ unter Vernachlässigung von Cϑ≈0:

Für die mittlere Fläche A₀ gilt nach Gl. 4.3.16:

Bleibt noch die Schwingungsamplitude A₁ mit Gl. 4.3.17:

Für kleine C₁, C₂ gilt ungefähr:

Der Mittelwert A₀ und die Amplitude A₁ verhalten sich nach Gl. 4.3.17 entgegengesetzt, d. h. wird A₁ größer, so wird A₀ kleiner und umgekehrt. Mit dieser Erkenntnis soll nun die Stabi­ lität der Dauerschwingung untersucht werden. Für die Dämpfung D erhält man mit Gl. 4.3.16:

D = K₁ - K₂ A₀.

A₀ kann mit Gl. 4.3.17 durch die Schwingungsamplitude A₁ ersetzt werden:

Die Dämpfung muß für eine stabile Dauerschwingung bei Zunahme der Amplitude steigen, bei Abnahme dagegen sinken.

Die Konstante K₃ ist immer größer als null, es gilt:

Für den Quotienten erhält man weiterhin:

Für kleine Konstanten C₁, C₂ ist dieser Ausdruck größer als null, wenn gilt:

C₂ < C₁,

d. h. die Abhängigkeit der Reibung von der Temperatur muß größer sein als die Abhängigkeit der Fließspannung von der Temperatur.

Folgende Mechanismen können also zu einer Dauerschwingung führen: Durch eine größere Reibung nimmt die Spangeschwindigkeit ab. Der Span wird dicker, die Scherfläche A größer. Die Scherleistung P_s nimmt zu. Die Erwärmung der Scherzone wird durch ihre Wärmekapazität verzögert. Mit der Erwärmung aber sinkt die Fließspannung, die Leistung wird wieder kleiner. Mit der dadurch entstehenden Abkühlung nimmt die Reibung wieder ab, die Fläche A wird kleiner. Wird die Scherzone zu kalt, nimmt die Fließspannung wieder zu, die Temperatur steigt wieder kräftig an. Der Vorgang beginnt von neuem (Bild 4.10).

Die Frequenz der Dauerschwingung hängt nach Gl. 4.3.18 neben der Schnittgeschwindigkeit v_c, dem Scherwinkel Φ₀ und dem Spanwinkel γ hauptsächlich von der Dicke d der Scherzone ab.

Zur Berechnung der Frequenz muß die Dicke d bekannt sein. Der kleinst­ mögliche Wert für d ist aber durch die größtmögliche Flächenänderung ΔA_max=2 A₁ gegeben, denn die Scherlinie muß immer innerhalb der Scherzone liegen (Bild 4.11).

Damit gilt mit der Amplitude A₁, dem mittleren Scherwinkel Φ₀ und der Spanungsbreite b für die Scherzonen­ dicke d:

Mit Gl. 4.3.20 und mit Gl. 4.3.19 erhält man so für kleine Konstanten C₁, C₂ die Schwin­ gungsamplitude A₁:

für die Dicke der Scherzone:

und für die Frequenz f₀:

Über die Größenordnung der so berechneten Werte kann ein Beispiel Auskunft geben.

Beispiel 11 Mechanisch-Thermisches Modell

Gegeben sei die Fließspannung

die spezifische Wärmekapazität

die Dichte

die Schnittgeschwindigkeit

der Scherwinkel Φ₀=35°, der Spanwinkel γ=5°, die Temperaturabhängigkeit der Fließ­ spannung C₁=0,001 und der Spangeschwindigkeit C₂=0,002, die Spanungsdicke h=0,2 mm, die Spanungsbreite b=2 mm und die Temperatur ϑ₀=ϑ_u=300°K. Nach Gl. 4.3.23 ergibt sich dann für die Amplitude A₁:

A₁ = 0,037 mm².

Für die Dicke d erhält man nach Gl. 4.3.24:

d = 0,025 mm.

Für die Frequenz f₀ wird als Wert berechnet (Gl. 4.3.25):

f₀ = 6,6 kHz,

wobei die gemessene Frequenz bei f₀=8 kHz lag.

Mit diesen Zahlenwerten wurde die Schwingungsdifferentialgleichung Gl. 4.3.13 numerisch gelöst. Die Ableitungen wurden durch Differenzenquotienten angenähert. In Bild 4.12 erkennt man, daß für die verwendeten Werte in Beispiel 11 tatsächlich eine Dauerschwingung entsteht. Frequenz und Amplitude stimmen in etwa mit den Näherungslösungen durch die harmonische Balance überein.

Bei diesem Modell liegt also die Frequenz in der richtigen Größenordnung. Auch die Ab­ hängigkeit der Frequenz von der Schnittgeschwindigkeit und dem Vorschub gibt das Modell richtig wieder. Nach Gl. 4.3.25 ist die Frequenz f₀ proportional zur Schnittgeschwindigkeit v_c und umgekehrt proportional zur Spannungsdicke h.

Es gilt:

Dies stimmt mit den Messungen in Bild 4.13 recht gut überein.

Mit diesem Modell besteht nun die Möglichkeit, die Auswirkungen des Verschleißes auf die Dynamik zu untersuchen.

4.4. Auswirkungen des Werkzeugverschleißes

Bereits in Kap. 1 wurden die Auswirkungen des Verschleißes auf das Werkzeug erläutert. Demnach entsteht durch den Verschleiß

• a) eine Zunahme der Reibung durch die Beschädigung der Spanfläche,
• b) eine Verkleinerung des Spanwinkels,
• c) ein Kolk, der dem Abgleiten des Spanes entgegenwirkt,
• d) ein Schneidkantenversatz, der zu einer Verkleinerung der Schnittiefe führt.

Die Zunahme der Reibung und die Verkleinerung des Spanwinkels bewirkt eine Abnahme des Scherwinkels. Dies erkennt man leicht an der Gleichung von Merchant für den Scherwinkel:

Die gleiche Wirkung hat ein Kolk. Er wirkt dem Abgleiten des Spans entgegen und erhöht so­ mit die Spannung σ_x, die den Span nach hinten wegbewegt. Dies hat auch eine Erhöhung der hydrostatischen Spannung zur Folge. Die Wirkung auf den Scherwinkel erkennt man sehr schön am Beispiel des Gleitlinienfeldes mit negativ zentriertem Fächer.

Es gilt nach Gl. 3.3.9 für die hydrostatische Spannung σ_m=σ_mB an der Scherlinie:

σ_m = K₀ + 2K₀ R,

wobei die hydrostatische Spannung mit den Normalspannungen σ_x und σ_y gegeben ist durch:

Damit gilt für den Scherwinkel nach Gl. 3.3.10:

Eine Änderung der hydrostatischen Spannung Δσ_m bewirkt also eine Scherwinkeländerung ΔΦ:

Diese Verkleinerung des Scherwinkels durch den Verschleiß ist auch deutlich in Bild 4.14 zu erkennen.

Wie wirkt sich nun ein kleinerer Scher- und Spanwinkel auf die Spanbildungsfrequenz aus? Der Spanwinkel ist in der Regel nicht größer als ±5°, so daß für die Frequenz in Gl. 4.3.25 für kleine Spanwinkel ungefähr gilt:

Damit nimmt mit dem Scherwinkel auch die Frequenz f₀ ab.

Für die Änderung der Frequenz Δf₀ auf eine Verschiebung des Arbeitspunktes Φ₀ um ΔΦ₀ erhält man:

wobei für Φ₀ gilt:

Φ₀ < 45°.

Ändert sich der Spanwinkel γ, dann ist die Frequenzverschiebung durch die Scherwinkel­ änderung ΔΦ₀=Δγ.

Bei stumpfer Schneide sinkt die Spanbildungsfrequenz auch durch den abnehmenden Span­ winkel.

Für die Amplitude A₁ gilt mit Gl. 4.3.23:

Damit wird die Schwingungsamplitude mit kleinerem Scher- und Spanwinkel größer.

Wie groß etwa die Frequenzänderungen sind, zeigt Beispiel 12:

Beispiel 12 Spanbildungsfrequenz bei stumpfer Schneide

Verwendet werden die Werte aus Beispiel 11, aber mit einem Spanwinkel γ=0° statt γ=5°. Der Spanwinkel ist durch den Verschleiß um 5° kleiner geworden.

Damit gilt für den Scherwinkel:

Φ₀ = 30°.

In Beispiel 11 wurden für die Spanbildungsfrequenz f₀ und die Amplitude A₁ folgende Werte berechnet:

f₀ = 6,6 kHz und A₁ = 0,037 mm².

Bei stumpfer Schneide sinkt die Frequenz um 0,8 kHz und die Amplitude nimmt um 0,01 mm² zu. Es ist:

f₀ = 5,8 kHz und A₁ = 0,047 mm².

Gemessen wurde für die Frequenz bei scharfer Schneide:

f₀ = 8 kHz

und bei stumpfer Schneide

f₀ = 7,1 kHz.

Die Frequenzverschiebung ist also ungefähr so groß wie bei den Messungen. Bei diesem Bei­ spiel ist die Frequenz relativ niedrig, Meßergebnisse mit anderen Werkstoffen in Kap. 7 aber zeigen Frequenzverschiebungen von bis fast 10 kHz bei einer Spanbildungsfrequenz von bis zu 40 kHz. Dies hat seine Ursache in einer größeren Schnittgeschwindigkeit, einem größeren Scherwinkel und einer anderen Temperaturabhängigkeit der Reibung und der Fließspannung.

Ein weiterer Verschleiß des Werkzeugs ist der Schneidkantenversatz. Er führt zu einer Ver­ kleinerung der Spanungsbreite b. Diese wirkt sich nach Gl. 4.3.25 auf die Frequenz nicht aus aber auf die Schwingungsamplitude (Gl. 4.3.23).

Für die Rauschleistung P_R im Zerspanprozeß gilt nach Gl. 4.1.7:

Bei einer kleineren Spanungsbreite b nimmt also neben der Amplitude der Spanbildungs­ frequenz auch die Rauschleistung P_R ab. Damit sinkt die Varianz des Meßsignals.

Ein kleinerer Scherwinkel dagegen erhöht die Leistung der Rauschquelle. Da dann auch die Amplitude der Spanbildungsfrequenz steigt, wird die Varianz des Meßsignals größer.

Besonders deutlich machen sich Schneidenausbrüche bemerkbar (Bild 4.15). Der Span hängt zunächst an den Kanten und Spitzen der Bruchstelle, die Spanbildungsfrequenz sinkt. Die Schneide wird aber schnell wieder zurecht geschliffen, die Schneidenform wird gleich­ mäßiger. Durch den Einbruch entstehende Spitzen verschwinden. Damit steigt die Frequenz wieder an (vgl. Kap. 7).

Nachdem die Spitzen wieder abgeschliffen oder abgebrochen sind, geht die Spanbildungs­ frequenz wieder auf ihren alten Wert zurück. Zurück bleibt aber ein Schneidkantenversatz, die Varianz sinkt.

Die durch das Modell gewonnenen Ergebnisse faßt Tabelle 1 nochmals zusammen.

Tabelle 1

Auswirkungen der Verschleißformen auf das Meßsignal (Kraft oder Beschleunigung)

Bevor die theoretischen Ergebnisse mit den Messungen verglichen werden können, müssen die Meßwerte aufbereitet werden, d. h. Störungen müssen unterdrückt und die Maschinen­ übertragungsfunktion beseitigt werden. Die hierzu notwendigen Verfahren werden in Kap. 5 und Kap. 6 vorgestellt.

Zusammenfassung Kap. 4

Bei der Spanbildung können Koppelschwingungen, erzwungene Schwingungen, Eigen­ schwingungen und selbsterregte Schwingungen entstehen.

Schwingungen der Drehmaschine führen durch die Kopplung mit dem Zerspanprozeß zu Koppelschwingungen, dem sogenannten Rattern. Die Amplitude der Maschinenschwingungen im untersuchten Frequenzbereich zwischen 5 und 50 kHz liegt aber im Nanometerbereich, so daß hier Maschinenschwingungen keine Auswirkung auf den Zerspanprozeß haben.

Durch Brüche bei der Spanbildung und durch die Versetzungsbewegung bei plastischer Ver­ formung entsteht eine Rauschquelle, die die Maschine zu erzwungenen Schwingungen anregt. Die Rauschleistung ist von der Schnittiefe und der Schergeschwindigkeit abhängig. Durch den Schneidkantenversatz nimmt die Rauschleistung und damit die Varianz der Meßsignales ab. Dagegen nimmt die Leistung bei Spanflächenverschleiß zu.

Durch Trägheitskräfte entstehen bei der Spanbildung Eigenschwingungen, die aber sehr hohe Frequenzen besitzen. Damit kann ein rein mechanisches Modell die Schwingungen nicht erklären.

Durch die Temperaturabhängigkeit der Reibung und der Fließspannung können selbsterregte Schwingungen bei der Spanbildung entstehen. Die Frequenz und die Amplitude dieser Schwingungen stimmt besser mit den Messungen überein. Auch die Abhängigkeit von der Schnittgeschwindigkeit und dem Vorschub wird richtig wiedergegeben.

Bei stumpfer Schneide sinkt die Frequenz und steigt die Amplitude dieser Schwingungen. Damit sind Spanbildungsfrequenz und Signalvarianz ein Maß für den Vergleich. Dies läßt sich durch Messungen in Kap. 7 bestätigen.

5. Die Auswertung

Ein wesentliches Kriterium für die Anwendbarkeit der gewählten Meßverfahren ist die Über­ tragbarkeit auf verschiedene Drehmaschinen. Die Schwingungsursache, die Zerspankräfte, können nicht direkt gemessen werden. Zwischen ihnen und dem Meßsignal, der Kraft am Werkzeughalter oder dem Beschleunigungssignal am Drehmeißel, liegt immer die Über­ tragungsfunktion der Maschine. Diese Übertragungsfunktion wirkt sich natürlich auch auf die Auswertung, also auf die Signalvarianz und die Spanbildungsfrequenz, aus. Damit wird jede Maschine andere Ergebisse liefern. Die Verschleißerkennung wird erheblich erschwert, wenn nicht sogar unmöglich. Deshalb muß zu Beginn der Signalverarbeitung die Über­ tragungsfunktion herausgerechnet werden. Hierzu werden in Kap. 5 zunächst zwei Möglich­ keiten aufgeführt: Die Filterung mit der Impulsantwort durch Identifizieren der Maschine und die Filterung mit einem Referenzsignal. Bei der digitalen Filterung entstehen sehr leicht Pro­ bleme mit der Stabilität des Filters. Die Ursache hierfür muß geklärt und Maßnahmen zur Vermeidung bei der Auswertung getroffen werden.

5.1 Verfahren zur Beseitigung der Übertragungsfunktion 5.1.1 Identifizieren der Maschine

Der Drehmeißel soll durch einen kurzen Kraftstoß (Bandbreite<50 kHz) angeregt werden. Damit die Meßwerte nicht zu klein werden, soll die Kraft in der Größenordnung der Zer­ spankräfte liegen, also F<1 kN sein. Der Körper, mit dem der Stoß ausgeführt wird, muß so beschaffen sein, daß der Auftreffwinkel sich nur wenig auf die Stoßzeit auswirkt. Dies ist bei einer Kugel der Fall. Um große Intensität zu erreichen, wurde die Kugel mit einer hohen Ge­ schwindigkeit v₀ von bis zu 20 auf den Drehmeißel geschossen. Um zu klären, ob diese Versuchsanordnung eine genügend große Bandbreite erreicht, soll unter der Voraussetzung eines elastischen Stoßes die Stoßzeit und damit die Bandbreite des Impulses berechnet werden.

Nach den Hertzschen Formeln [30] gilt für den Zusammenhang zwischen Kraft F und Weg x bei elastischer Verformung von Kugel und Unterlage:

wobei für den Koeffizienten α mit dem Schubmodul G, dem Radius R der Kugel und der Poissonkonstante ν gilt:

Die Energie W zur Verformung der Kugel ist dann:

Mit dem Energieerhaltungssatz erhält man bei einer Anfangsgeschwindigkeit v₀, der Masse m und der Geschwindigkeit v der Kugel beim Aufprall auf den Drehmeißel:

Die größte Verformung der Kugel und der Unterlage ist dann gegeben, wenn die Ge­ schwindigkeit der Kugel v=0 ist. Aus dem Energieerhaltungssatz ergibt sich:

Für die Zeit T vom Aufprall bis zum Abheben der Kugel gilt:

Das Integral berechnet sich zu:

wobei Γ die Gammafunktion ist.

Mit der Dichte ρ gilt für die Masse m:

In Gl. 5.1.4 eingesetzt ist die Zeitkonstante T proportional zum Radius und der fünften Wurzel aus der Anfangsgeschwindigkeit.

Große Bandbreite kann also durch eine kleine Kugel erreicht werden. Dies bringt aber eine kleine Kraft und damit eine kleinere Intensität des Stoßes mit sich. Für die Energie W_S der Kugel gilt:

Damit ist die Energie proportional der dritten Potenz des Radius und dem Quadrat der Ge­ schwindigkeit:

W_S ∞ R³ v₀²

Deshalb ist bei kleiner Kugel eine hohe Geschwindigkeit notwendig.

Ob die notwendige Bandbreite von mindestens 50 kHz erreicht werden kann, soll in Beispiel 13 untersucht werden.

Beispiel 13 Kraftimpuls

Eine Kugel mit dem Radius R=2 mm und der Dichte

besitzt eine Masse

Bei einer Anfangsgeschwindigkeit

erhält man dann mit Gl. 5.1.4 für die Bandbreite B:

Mit der größten Verformung:

x_max = 48 μm

erhält man eine maximale Kraft von:

F_max = 2,7 kN.

Damit liegt man in der Größenordnung der in Beispiel 1 berechneten Schnittkräfte. Bandbreite und Kraft genügen also den notwendigen Anforderungen. Bild 5.2 zeigt die Impulsantwort und das Spektrum der Maschine, die bei den Messungen in Kap. 2 verwendet wurde. Es ist deutlich eine Eigenfrequenz der Maschine bei ca. 5 kHz zu erkennen. Die Ursache dieser Eigenfrequenz wird in Kap. 5.3 an einer ähnlichen Maschine geklärt.

Für das Meßsignal X_m(jω) gilt mit der Maschinenübertragungsfunktion G(jω):

X_m(jω) = G(jω) F(jω),

wobei X_m(jω) für das gemessene Beschleunigungssignal A oder das Kraftmeßsignal F_m steht und F(jω) für eine beliebige Komponente der Zerspankraft.

Bei Anregung der Maschine mit dem Kraftimpuls F(t)=F₀ δ(t) (δ(t)-Diracimpuls) ist die Impulsantwort X₀(jω) gegeben durch:

X₀(jω) = G(jω) F₀

Damit kann die Kraft F(jω) bis auf die unbekannte Konstante F₀ berechnet werden:

Die Bilder 5.3 bis 5.5 zeigen die Messungen aus Kap. 2.3 (Bild 2.14 bis 2.16) nach Division mit dem Spektrum der Impulsantwort. Gemessen wurde die Schnittkraft F_c. Die Span­ bildungsfrequenz ist nun viel deutlicher zu erkennen. Maschineneigenfrequenzen werden unterdrückt.

Natürlich ist die Bestimmung der Impulsantwort für die Anwendung des Verfahrens im realen Betrieb recht ungeeignet. Die Maschine kann nicht nach jeder Veränderung neu identifiziert werden. Deshalb soll an dieser Stelle ein weiteres Verfahren vorgestellt werden, mit dem die Übertragungsfunktion herausgerechnet werden kann, ohne daß diese vorher bestimmt werden muß.

5.1.2 Filterung mit Referenzsignal

Ähnlich wie in Kap. 5.1.1 mit der Division der Spektren durch die Impulsantwort kann die Maschinenübertragungsfunktion auch durch die Division mit einem Referenzspektrum beseitigt werden. Die Division der Spektren aber ist nichts weiter als eine Filterung im Fre­ quenzbereich mit der inversen der Funktion. Was für ein Ergebnis man durch die Filterung mit einem Referenzspektrum erhält, soll nun anhand eines Signalmodells erläutert werden.

Das Meßsignal x_m kann als Ausgangssignal eines Systems H(z) aufgefaßt werden, das durch weißes Rauschen erregt wird. Es ist vorteilhaft dieses System in die Übertragungsfunktion G(z) der Maschine und in ein Formfilter Z(z) zu zerlegen, das allein vom Zerspanprozeß ab­ hängig ist.

In Z(z) steckt also der Schneidenzustand. Eine Unterscheidung zwischen Z(z) und G(z) ist dann möglich, wenn Z(z) sich geändert hat. Das Gesamtsystem H_sch(z)=G(z) Z_sch(z) der scharfen Schneide kann immerfort mit der momentanen Funktion H_st(z)=G(z) Z_st(z) verglichen werden. Dies kann durch die Filterung des momentanen Meßsignals mit der Re­ ferenzfunktion H(z) geschehen (Bild 5.7). Man erhält dann die Übertragungsfunktion im z- Bereich:

Bei noch scharfer Schneide erhält man dann nur weißes Rauschen und als Übertragungs­ funktion:

F(z) = 1.

Verändert sich aber der Schneidenzustand Z(z), so ergibt sich mit F(z) eine Funktion, deren Pole und Nullstellen nun allein vom Zerspanprozeß abhängen.

Die Spanbildungsfrequenz bei stumpfer Schneide entspricht einem Pol z_∞ von F(z) (Bild 5.9). Hat F(z) die Nullstelle z₀ und den Pol z_∞:

so gilt mit dem Betrag |Z_∞| und mit der Abtastzeit T für die Frequenz ω_st bei stumpfer Schneide:

Beim Übergang vom kontinuierlichen zum diskreten System, also von der Laplace- oder Fourier-Transformation zur z-Transformation der Funktion, werden nur die Pole übernom­ men. Die Nullstellen werden verändert (vgl. Kap. 5.4). Zur Bestimmung der Frequenz bei scharfer Schneide genügt es folglich nicht, die Nullstelle von F(z) zu bestimmen. Deshalb muß eine inverse Funktion F^-1(z) gebildet werden:

Diese Funktion erhält man durch Filterung des Meßsignals bei scharfer Schneide mit der inversen Gesamtfunktion H(z) bei stumpfem Drehmeißel.

Die Spanbildungsfrequenz bei scharfer Schneide entspricht nun dem Pol z_∞ von F^-1(z). Es gilt mit

für die Frequenz ω_sch bei scharfer Schneide:

Damit erhält man die in Bild 5.9 skizzierten Frequenzgänge für die Funktionen F(z) und F^-1(z).

Das Referenzsignal muß nicht das Meßsignal bei scharfer Schneide sein. Es ist auch möglich, ein Meßsignal bei anderer Schnittgeschwindigkeit oder einer andern Spanungsdicke zu nehmen. Da die Spanbildungsfrequenz durch die Schnittgeschwindigkeit und die Spanungs­ dicke verändert wird (vgl. Kap. 4.3), während die Maschinenübertragungsfunktion konstant bleibt, erhält man ebenso eine maschinenunabhängige Funktion.

Die Bilder 5.10 bis 5.12 zeigen das Kraft- und Beschleunigungssignal aus Kap. 2.3 (Bild 2.14 bis 2.16) nun gefiltert durch ein Meßsignal bei anderer Geschwindigkeit. Auch hier ist die Spanbildungsfrequenz deutlich zu erkennen. Damit konnte ein für die Praxis taugliches Verfahren gefunden werden.

Die Division erfolgte in Bild 5.10 durch das Meßsignal bei der größten Geschwindigkeit

Dies führt zu einer starken Anhebung des unteren Frequenzbereiches, da bei hohen Geschwindigkeiten hier nur wenig an Signalleistung vorhanden ist. Für die anderen beiden Bilder (Bild 5.11 und Bild 5.12) wurde als Referenzsignal das Meßsignal bei

verwendet, d. h. das Meßsignal bei der kleinsten Schnittgeschwindigkeit.

Wie die z-Transformierten aus dem Meßsignal bestimmt werden können, darauf wird in Kapitel 6 näher eingegangen.

5.2 Stabilität des Filters

In diesem Abschnitt wird als Ursache eines instabilen inversen Systems der Allpaß erkannt und seine Wirkung auf das System untersucht.

Eine Übertragungsfunktion G(s) ist stabil, wenn alle Pole in der s-Halteebene links der j- Achse liegen. Soll auch das inverse System G^-1(s) stabil sein, so muß dies folglich auch für die Nullstellen von G(s) gelten. G(s) muß ein Minimalphasensystem sein [31].

Jedes System läßt sich in ein Minimalphasensystem und einen Allpaß zerlegen (Bild 5.13). Der Allpaß besteht dabei aus den Nullstellen in der rechten s-Halbebene und den an der j- Achse gespiegelten Polen.

Ein Allpaß läßt sich allgemein angeben durch:

wobei δ_k den Realteil und ω_k den Imaginärteil der Pole bzw. Nullstellen darstellt. δ_k ist dabei größer als null.

Im Frequenzbereich gilt mit s=jω für den Allpaß:

Ein Allpaß bewirkt also eine reine Phasenverschiebung ϕ im Frequenzbereich, der Betrag des Minimalphasensystems wird nicht verändert.

Mit der Gruppenlaufzeit t_g:

gilt für:

• - einen Pol auf der linken bzw. eine Nullstelle in der rechten s-Halbebene: Mit δ_k<0 ist die Gruppenlaufzeit dann immer kleiner null:
• - eine Nullstelle in der linken s-Halbebene ist die Gruppenlaufzeit immer positiv:

Die Gruppenlaufzeit einer Nullstelle in der linken s-Halbebene ist positiv, damit nimmt die Phase ständig zu. Dagegen nimmt die Phase bei einem stabilen Pol oder einer Nullstelle rechts der imaginären Achse ständig ab.

Es gilt also:

Die Gruppenlaufzeit eines Allpasses ist immer negativ.

Die Bedeutung der Gruppenlaufzeit soll folgendes Beispiel [32] verdeutlichen:

Beispiel 14 Allpaß

Gegeben ist eine schmalbandige Funktion F(jω) um die Mittenfrequenz ω₀ (Bild 5.14). Schickt man diese Funktion durch ein Allpaßsystem A(jω), dann erhält man die Funktion Y(jω) mit veränderter Phase und Gruppenlaufzeit.

Für die Allpaßfunktion A(jω) gilt mit der Phase ϕ(ω) in kleinen Bereichen um ω₀ bzw. -ω₀ näherungsweise:

Dabei ist Ω eine kleine Frequenz. Man erhält mit der Gruppenlaufzeit t_g:

Der Ausdruck e^{+jtg ω} bedeutet im Zeitbereich eine Zeitverschiebung um die Zeit -t_g nach rechts.

Da die Gruppenlaufzeit eines Allpasses immer negativ ist, bewirkt er also für eine Frequenz ω₀ eine Zeitverschiebung der Einhüllenden um die Gruppenlaufzeit nach rechts.

Er wirkt also wie eine Totzeit. Gleiches Verzögerungsverhalten bringen auch System­ pole, wobei ein Pol dann allerdings Einfluß auf die Amplitude der Einhüllenden hat.

Treten mehrere Frequenzbänder auf, so hat jedes Frequenzband eine andere Gruppen­ laufzeit t_g(ω_k). Die Einhüllenden werden verschieden weit nach rechts verschoben. Die Impulsantwort wird so breiter und flacher als beim Minimalphasensystem (Bild 5.15). Die Impulsantwort klingt langsamer ab.

Auch bei der Drehmaschine treten durch die Wellenbewegung und durch Reflexionen Lauf­ zeitunterschiede auf. Diese Laufzeitunterschiede sind frequenzabhängig, wenn die Wellen bedämpft sind. Dies spricht für eine nichtminimalphasige Übertragungsfunktion. Ob dies aber tatsächlich der Fall ist, das soll im nächsten Abschnitt an einem Modell für die Drehmaschine untersucht werden.

5.3 Berechnung der Übertragungsfunktion

Bild 5.16 zeigt die Impulsantwort einer weiteren Drehmaschine, die bei den Messungen verwendet wurden. Hier ist der betrachtete Frequenzbereich im Gegensatz zu Bild 5.2 größer, so daß 2 Eigenfrequenzen bei 4 kHz und 22 kHz deutlich zu erkennen sind. Diese lassen sich durch die Konstruktion der Maschine erklären.

Die Schnittkraft F_c senkrecht auf den Drehmeißel regt diesen zu Biegeschwingungen an. Der Werkzeugträger erfährt durch den Drehmeißel eine Tangentialkraft und kann Torsions­ schwingungen ausführen.

Aus den geometrischen Abmessungen ergeben sich ungefähr folgende Eigenfrequenzen: Bei einer Länge eines Drehmeißels l_D=0,045 m und einer Schallgeschwindigkeit in Eisen von

gilt bei fester Einspannung am Werkzeugträger und offenem Ende an der Schneidenspitze für die größte Wellenlänge λ:

λ = 4 l_D.

Damit gilt für die kleinste Resonanzfrequenz:

Für die Torsionsschwingung des Werkzeugträgers erhält man für eine Länge l_W = 0,2 m bei der gleichen Schallgeschwindigkeit:

Diese Ergebnisse entsprechen in etwa den gemessenen Werten in Bild 5.16.

Die Drehmaschine läßt sich also näherungsweise mit zwei gekoppelten Schwingern für Drehmeißel und Werkzeugträger modellieren (Bild 5.18). Betrachtet man dann die Über­ tragungsfunktion G(s), so sieht man, daß die Nullstellen s_0i immer negative Realteile aufweisen.

Für die Übertragungsfunktion von zwei gekoppelten Schwingern gilt mit der Kraft F_c und dem Ausschlag w des Drehmeißels:

Die Nullstellen der gekoppelten Schwinger sind also:

Der Realteil der Nullstellen ist immer kleiner als null, sie liegen also immer in der linken s-Halbebene. Damit ist ein System aus zwei gekoppelten Schwingern immer minimalphasig.

Auch in Bild 5.2 ist eine Eigenfrequenz der Maschine bei 5 kHz zu erkennen. Allerdings treten beim Beschleunigungssignal Oberschwingungen bei 10 kHz und 15 kHz auf. Damit reicht ein System von zwei gekoppelten Schwingern hier nicht mehr aus. Die Stabilitätsuntersuchung soll deshalb auf N gekoppelte Schwinger erweitert werden.

Die Übertragungsfunktion von N gekoppelten Schwingern erkennt man am einfachsten am elektrischen Ersatzschaltbild (Bild 5.19).

Im elektrischen Ersatzschaltbild entspricht die Spannung U der Kraft F_c und der Strom I der Ableitung des Ausschlags:

F_c → u und → I.

Damit ist der Kehrwert der Übertragungsfunktion zwischen Geschwindigkeit und Kraft (vgl. Gl. 5.3.1) im elektrischen Analogon gerade der Eingangswiderstand des Netzwerks. Für die Masse m im mechanischen System erhält man eine Spule L in Serie, für die Federsteifigkeit c ergibt sich ein parallel geschalteter Kondensator C. Als Dämpfung wirkt ein Widerstand R parallel zum Kondensator.

Der Zusammenhang zwischen elektrischen und mechanischen Größen ist also:

Damit erhält man das in Bild 5.19 skizzierte Netzwerk.

Das Netzwerk ist entweder durch einen Kurzschluß oder durch ein offenes Ende abgeschlossen. Im ersten Fall ist die Kraft F_c, im zweiten Fall die Geschwindigkeit des ersten Schwingers gleich null. Bei dem Ersatzschaltbild für den gekoppelten Schwinger in Bild 5.18 hat man also ein offenes Ende.

Für den Eingangswiderstand Z(s) des Netzwerks gilt:

Zur Untersuchung auf Stabilität und Minimalphasigkeit soll der Satz vom logarithmischen Residuum [33] angewendet werden:

Läuft man in der s-Halbebene auf der jω-Achse von -j∞ bis +j∞, so umläuft die Orts­ kurve F(jω) den Ursprung N-P mal im Gegenuhrzeigersinn, wobei N die Zahl der Nullstellen und P die Zahl der Pole von F(s) in der rechten s-Halbebene angibt (Winkeländerung ΔΦ=(N-P) 2π).

Ein häufiger Anwendungsfall des Satzes vom logarithmischen Residuum ist das Nyquist- Kriterium [34] in der Regelungstechnik. Beim Nyguist-Kriterium wird die Ortskurve um -1 verschoben, damit die Stabilitätsuntersuchung am offenen Regelkreis vorgenommen werden kann.

Mit der Ortskurve des offenen Regelkreises F_o(jω) und dem Nennerpolynom des geschlossenen Regelkreises (N(jω) gilt:

N(jω) = 1 + F_o(jω) und damit F_o(jω) = N(jω) -1.

Hat der offene Regelkreis F_o(jω) keine instabilen Pole, so gilt dies auch für das Nennerpolynom des geschlossenen Regelkreises N(jω). Damit steht die Zahl der Umläufe um den Punkt -1 stellvertretend für die Zahl der Nullstellen in der rechten s-Halbebene. Nur wenn die Zahl der Umläufe im Gegenuhrzeigersinn gleich Null ist, ist der geschlossene Regelkreis stabil.

Es muß also mit der Zahl der instabilen Pole P des offenen Regelkreises, der Winkeländerung ΔΦ beim Umlauf um den Wert -1 im Gegenuhrzeigersinn und mit der Anzahl der Nullstellen N des Nennerpolynoms N(jω) in der rechten s-Halbebene gelten:

Sind die beiden ersten Punkte für den offenen Regelkreis erfüllt, so hat das Nennerpolynom des geschlossenen Regelkreises keine instabilen Nullstellen.

Analog zum Nyquistkriterium läßt sich der Satz vom logarithmischen Residuum folgender­ maßen zur Stabilitätsuntersuchung anwenden:

Ist die Zahl der Pole P (oder der Nullstellen N) von F(s) in der rechten Halbebene gleich Null, so hat F(s) dort auch keine Nullstellen (oder Pole), wenn keine Umläufe der Orts­ kurve um den Ursprung im Gegenuhrzeigersinn (im Uhrzeigersinn) auftreten.

Gl. 5.3.2 soll nun auf Stabilität untersucht werden. Bei einem offenen Ende des elektrischen Ersatzschaltbildes (Bild 5.19) erhält man für den ersten Zweig:

Wie sich leicht zeigen läßt, ist Z₁(s) immer minimalphasig. Mit s=jω gilt außerdem für den Realteil der Ortskurve Z₁(jω):

mit dem Betragsquadrat des Leitwertes:

und für positive R₁, C₁ und L₁.

Die Ortskurve von Z₁(jω) liegt folglich in der positiven Halbebene und läuft für ω von -∞ bis +∞ von der negativen bis zur positiven imaginären Achse, also von -j∞ bis +j∞. Die Ortskurve umläuft den Ursprung nicht (Bild 5.21). Die Vermutung liegt nahe, daß auch die Ortskurven Z_i(jω) höherer Ordnung einen ähnlichen Verlauf haben.

Beide Aussagen, Minimalphasigkeit und positiver Realteil, seien bewiesen bis zum i.ten Glied des Netzwerkes. Für den Realteil sowie die Zahl der Pole und der Nullstellen in der rechten s-Halbebene gilt:

Diese Aussagen sollen nun für Z_i+1(jω) bewiesen werden. Z_i+1(jω) ist entsprechend Gl. 5.3.2:

Der Parallelzweig Y _i+1(jω) soll getrennt untersucht werden. Mit:

ist Y_i+1(jω):

Der Realteil Z_i(jω) ist größer null, somit ist auch der Realteil von Y_i+1(jω) positiv:

Damit hat auch der Kehrwert von Y_i+1(jω), Z_i+1(jω), positiven Realteil:

Es gilt demnach für die Ortskurven:

Ergebnis 1:
Die Ortskurven Z_i+1(jω) und Y_i+1(jω) haben immer einen positiven Realteil. Die Orts­ kurven liegen also immer in der rechten Halbebene.

Läuft die Frequenz ω von -∞ bis +∞, so erhält man weiterhin:

Ergebnis 2:
Die Ortskurven Z_i+1(jω) und Y_i+1(jω) laufen von -j∞ bis +j∞ und in der rechten Halb­ ebene wieder zurück. Damit wird der Nullpunkt der Ortskurve nicht umschlossen. Für die Nullstellen , und Pole , beider Funktionen gilt:

- = 0

- = 0

Da Z_i(s) minimalphasig ist, erhält man mit Ergebnis 2:

Ergebnis 3:

• - Y_i+1(s) hat die gleichen Pole wie Z_i(s), daher nur stabile Pole: = 0.Damit liegen mit Ergebnis 2 auch die Nullstellen in der linken Halbebene: =0.
• - Z_i+1(s) hat die Nullstellen von Y_i+1(s) als Pole. Es folgt: = = 0.Damit gilt wiederum mit Ergebnis 2:Z_i+1(s) ist also minimalphasig.

Ähnlich wie die Ortskurve von Z₁(jω) in Bild 5.15 laufen alle Ortskurven von Y_i+1(jω) und Z_i+1(jω).

Nimmt man zur Spule in Serie einen weiteren Widerstand hinzu, so kann dieser Beweis trotzdem analog geführt werden.

Damit kommt man zu folgender Aussage:

Eine Verkettung von gekoppelten Schwingern ergibt immer ein Minimalphasensystem.

Damit ist das Übertragungssystem Drehmaschine ebenfalls minimalphasig.

In Kap. 5.2 wurde bereits die Überlegung angestellt, daß die Laufzeitunterschiede der reflek­ tierten Wellen in der Maschine zu Allpässen führen. Um dies zu überprüfen, wird nun die Wellengleichung aus der Verkopplung von unendlich vielen Feder-Masse-Dämpfungs­ systemen hergeleitet.

Die Masse m′ ist jetzt nur noch ein Massenelement, c′ und d′ die Federsteifigkeit bzw. die Dämpfung dieses Elements.

Für die Kraft dF durch Verformung des Volumenelements gilt mit der Beschleunigung s² w(x) und der Masse m′dx:

dF_c(x) = m′ s² w(x) dx.

Die Verformung dw(x) des Volumenelements ist mit der Kraft F_c(x) auf das Volumenelement, der Federsteifigkeit und der Dämpfung :

Man erhält mit beiden Gleichungen die Wellengleichung:

Als Lösungsansatz ergibt sich mit der Laplace-Transformation:

wobei Z(s) gegeben ist durch:

In dem in Bild 5.23 skizzierten Drehmeißel wird an der Stelle x=0 die Schnittkraft F_c(s) ein­ geleitet. An der Stelle x=1 wird die Welle mit den Reflexionskoeffizienten r=1 reflektiert. Der Drehmeißel ist also am Werkzeugträger fest eingespannt, die Schwingungsamplituden des Werkzeugträgers seien vernachlässigbar.

Als Randbedingung bei x=1_D und x=0 erhält man dann für den Ausschlag w am Werkzeug­ träger:

1) w(x = 1_D) = 0

und an der Werkzeugspitze mit der Kraft F_c(s) aus Gl. 5.3.4:

Setzt man die Randbedingungen in Gl. 5.3.6 ein, so resultiert daraus die Übertragungs­ funktion G(s) zwischen Kraft und Weg am Drehmeißel:

Für die Fläche der Impulsantwort von G(s) gilt:

Damit ist die Impulsantwort endlich.

Setzt man den Nenner in Gl. 5.3.7 gleich null, so erhält man als Pole:

k läuft dabei von -∞ bis +∞.

Für die Nullstellen des Zählers gilt:

Die Realteile der Pole und Nullstellen sind immer negativ. Die Laufzeiten der Wellen können also ebenfalls keinen Allpaß im Übertragungssystem erzeugen. Damit kann ein Allpaß nur noch beim Übergang vom kontinuierlichen in ein diskretes System, durch die Abtastung, entstehen.

5.4 Abtastung vom kontinuierlichen zum diskreten System

Aus der Faltung der Funktion F(s) mit der Transformierten eines Impulszuges erhält man für ihr Abtastsystem F*(s) [35]:

mit z = e^sT und der Abtastzeit T.

F(w) ist eine Funktion mit m Nullstellen und n Polen:

wobei δ_i die Residuen zu den Polen p_i darstellen.

Als Lösung des Integrals in Gl. 5.4.1 erhält man dieselben Residuen wie bei der Partialbruch­ zerlegung der Laplace-Transformierten in Gl. 5.4.2, nur die Pole haben sich geändert.

Beim Übergang zur z-Transformation werden folglich die Pole der Laplace-Transformation p_i wie folgt transformiert:

Da das Abtastsystem die gleichen Residuen wie die Laplace-Transformierte besitzt, während sich die Pole geändert haben, ergeben sich also andere Nullstellen. Diese Nullstellen können auch nichtminimalphasig sein.

Dies soll an einem Beispiel verdeutlicht werden.

Beispiel 15 Übergang von der Laplace-Transformation zur z-Transformation

Gegeben sei das Minimalphasensystem:

wobei ω₀ und δ positive Werte sind. Für die Pole s_{∞ 1/2} dieser Funktion gilt:

s_{∞ 1/2} = δ ± jω_p

und für die Nullstelle:

s₀ = - ω₀.

Die z-Transformierte dieser Funktion ist gegeben durch:

Für die Pole der z-Transformierten erhält man also:

Sind die Pole von G(s) stabil, so liegen auch die Pole der z-Transformierten G(z) innerhalb des Einheitskreises, das System ist ebenfalls stabil.

Dies ist bei der Nullstelle z₀ aber anders. Aus Gl. 5.4.5 erhält man:

Die Nullstellen werden also nicht gleichermaßen in den z-Bereich transformiert, wie die Pole.

Für einen kleinen Realteil der Pole δ ist die Nullstelle ungefähr:

Ein Nichtminimalphasensystem erhält man, wenn der Betrag der Nullstelle |z₀| größer als eins ist. Dies ist dann der Fall, wenn gilt:

Damit ist ein Auftreten von Nullstellen in der rechten s-Halbebene beim Übergang zum Abtastsystem sehr leicht möglich. Es muß also in Kap. 6 bei der Auswahl des Schätzver­ fahrens die Möglichkeit eines instabilen inversen Systems berücksichtigt werden.

Zusammenfassung Kap. 5

Das Übertragungsverhalten der Maschine erhält man aus ihrer Impulsantwort. Ein Kraftimpuls mit einer Bandbreite von über 50 kHz und einer Kraft von F<1kN läßt sich mit Hilfe einer kleinen Kugel erzeugen, die mit hoher Geschwindigkeit auf den Drehmeißel geschossen wird. Die Zerspankraft erhält man aus der Filterung mit der Inversen der Impulsantwort. Im industriellen Einsatz aber steht die Impulsantwort nicht zur Verfügung. Hier kann auch eine Referenzmessung an der jeweiligen Maschine zur Beseitigung der Übertragungsfunktion dienen.

Ein Allpaß im System läßt die Filterung instabil werden. Ein Allpaß wirkt wie eine Totzeit mit frequenzabhängiger Zeitkonstante. Auch durch Laufzeitunterschiede bei der Wellenaus­ breitung in der Drehmaschine entstehen Totzeiten. Mit Hilfe einer Modellierung der Dreh­ maschine durch gekoppelte Schwinger konnte aber bewiesen werden, daß die Maschinen­ übertragungsfunktion immer minimalphasig ist. Beim Übergang vom kontinuierlichen zum diskreten System aber werden die Nullstellen nicht übernommen. Damit können auch Nullstellen außerhalb des Einheitskreises entstehen. Dies wurde anhand eines Beispieles gezeigt.

6. Schätzverfahren

Die einfachste Möglichkeit zur Bestimmung der Spanbildungsfrequenz ist die Suche nach dem Maximum oder der größten Amplitude im Spektrum. Da die Meßwerte aber von starken Störungen überlagert sind, ist diese Methode sehr ungenau. Es ist deshalb besser das Spek­ trum mit einer Schätzkurve zu glätten. Als Modell wählt man ein lineares System mit weißem Rauschen als Erregung. Zur Spektralschätzung werden hierzu allgemein autoregressive (AR- Modelle) oder autoregressive moving-average Modelle (ARMA-Modelle) eingesetzt. Diese Modelle werden auch aus parametrische Modelle bezeichnet [36].

AR-Modelle bestehen nur aus Polen (all - pole System), Nullstellen im gemessenen Spektrum müssen durch Pole nachgebildet werden, was zu einer hohen Ordnung des Systems führt. Damit sind bei der autoregressiven Schätzung viele Pole vorhanden, die keinem Maximum im Spektrum entsprechen.

Beim ARMA-Modell werden auch Nullstellen berücksichtigt. Somit kann die Ordnung des Systems niedriger gehalten werden. In diesem Kapitel sollen beide Verfahren zur Schätzung der Spanbildungsfrequenz eingesetzt und miteinander verglichen werden.

6.1 Autoregressives Modell

Beim AR-Modell soll der momentane Meßwert x(k) durch die zurückliegenden Meßwerte bis zum x(k-n)ten Wert möglichst gut nachgebildet werden. Hierzu können die Koeffizienten a_i, die Vorwärtsprädiktorkoeffizienten, frei gewählt werden. Für den Vorwärtsprädiktorfehler (k) bei der Systemordnung n gilt:

mit dem Schätzvektor:

und dem Meßvektor:

Der zweite Index n bei den Koeffizienten gibt dabei die Filterordnung an.

Wählt man die Koeffizienten a_i so, daß die Fehlerleistung minimal wird (E {} ist der Erwartungswert):

so muß für die Ableitung des quadratischen Fehlers nach den AR-Koeffizienten a_j für j=1 . . n gelten:

Für den Fehler und die Meßwerte muß also gelten:

Mit Gl. 6.1.1 erhält man so:

Die Autokorrelationsfunktion R_xx(j) läßt sich angeben als:

Damit können die Erwartungswerte durch die Autokorrelationsfunktion ersetzt werden:

Man erhält ein lineares Gleichungssystem der Form:

mit der Autokorrelationsmatrix R_n-1 , dem Schätzvektor und dem Autokorrelationsvektor .

Löst man die Gleichung nach dem Vektor auf, so ergibt sich:

die Yule-Walker Gleichung [36].

Damit können die optimalen AR-Koeffizienten allein aus der Autokorrelationsfunktion bis zur Ordnung n berechnet werden. Sehr rechenzeitaufwendig ist allerdings die Inversion der Autokorrelationsmatrix R_n-1 .

Hat man die AR-Koeffizienten bestimmt, so sind die Pole z_{∞ i} (i=1 . . n) berechenbar.

Als Pole des so berechneten AR-Systems erhält man nach Gl. 5.4.6:

wobei T, die Abtastzeit ist und p_i die Pole der Laplace-Transformierten sind. Es gilt mit dem Realteil δ_i und dem Imaginärteil ω_i:

p_i = δ_i ± jω_i.

Bei nicht zu großem Realteil des Pols findet man bei der Frequenz ω_i ein Maximum im Spektrum. Im Polplan des AR-Systems (Bild 6.3 bis 6.5) ist also die Phase Ω=ω_iT ein Maß für die Frequenzen der Maxima des Spektrums:

mit ω_i der gesuchten Frequenz des Poles.

Für den Betrag des Pols z_{∞ i} gilt:

Dominante Pole liegen in der Nähe des Einheitskreises, der Betrg geht gegen eins. Die Span­ bildungsfrequenz ist in den Spektren der Bilder 6.3 bis 6.5 deutlich zu erkennen. Sie ent­ spricht einem Maximum im Spektrum, also einem dominanten Pol.

Die Bilder 6.3 bis 6.5 zeigen die 3 Beschleunigungsmessungen aus Kap. 2 (Bild 2.14 bis 2.16) ohne Mittelung und die entsprechenden AR-Schätzkurven sowie die zugehörigen Pole.

Der zur Spanbildungsfrequenz gehörende Pol ist hier gekennzeichnet, sonst wäre er unter der Vielzahl von Polen in der Nähe des Einheitskreises nur schwer zu erkennen. Eine Ver­ kleinerung der Anzahl der Pole ist dringend notwendig.

Eine Verkleinerung der Polanzahl kann durch die Beseitigung der Maschinenübertragungs­ funktion, durch eine Filterung mit der Impulsantwort oder einem Referenzspektrum (Kap. 5.1.2), geschehen. Die Filterung kann nun mit der Inversen eines AR-Systems erfolgen.

Für die Impulsantwort einer Maschine erhält man durch AR-Schätzung die Funktion:

mit

Für die Kraft F(z) durch den Zerspanprozeß gilt dann analog zur Gl. 5.1.5 mit einem Kraft­ impuls der Höhe F₀ und dem Meßsignal X_m(z):

Das inverse AR-System ist eine moving-average (MA-)Filter. Es besteht nur aus Null­ stellen und ist deshalb immer stabil.

Störungen wirken sich nun nicht mehr so stark auf das Ergebnis aus wie bei der Division der Spektren (vgl. Kap. 5.1 und Kap. 5.2), sie wurden bereits bei der Schätzung des AR- Systems unterdrückt. Außerdem besteht das inverse System A_n(z) nur noch aus Nullstellen, die Filterung ist also immer stabil.

Die Maschinenübertragungsfunktion kann aber nicht die einzige Ursache für die vielen Pole in der Nähe des Einheitskreises sein. Bereits in der Einleitung des Kapitels wurde erwähnt, daß bei Kurven mit Nullstellen bei der AR-Schätzung diese Nullstellen durch Pole angenähert werden müssen.

Betrachtet man ein Funktion X(z) mit einer Nullstelle z₀=a, so kann diese Nullstelle durch eine geometrische Reihe im Nenner angenähert werden.

für|a z^-1|≦ωτ1.

Man erhält ein AR-System mit unendlich hoher Ordnung. Die Filterordnung des AR- Systems kann aber nicht unendlich hoch sein, deshalb muß die Reihenentwicklung nach der Ordnung n abgebrochen werden:

Damit erhält man für das AR-System die Pole:

mit k=1 . . n.

Durch eine Nullstelle kommen bei der AR-Schätzung n Pole hinzu, die alle den Betrag a der Nullstelle besitzen. Die AR-Schätzung ist also für die Bestimmung der Maxima in einem Spektrum mit Nullstellen nicht geeignet.

Ein weiteres Problem ist die Filterordnung. Sie hängt von der Maschine, von der Anzahl der vorhandenen Oberschwingungen der Spanbildungsfrequenz und von den Nullstellen ab. Man muß also die Ordnung soweit erhöhen, bis der Fehler oder die Fehlerleistung einen vorge­ gebenen Wert unterschritten hat. Dies ist eine sehr mühsame und rechenaufwendige Sache, denn bei jeder Filterordnung müssen alle Koeffizienten neu berechnet und die Invertierung der Korrelationsmatrix in Gl. 6.1.5 neu durchgeführt werden. Man spart eine Menge Rechenzeit, wenn diese Invertierung rekursiv geschehen kann. Diese rekursive Berechnung der AR- Koeffizienten ermöglicht die Levinson-Durbin Rekursion.

6.1.1 Die Levinson-Durbin Rekursion

Mit Gl. 6.1.1 und Gl. 6.1.2 erhält man für die Fehlerleistung :

Für die Fehlerleistung gilt weiterhin:

Gl. 6.1.4 läßt sich nun schreiben als:

Für die Autokorrelationsmatrix der nächst höheren Filterstufe R_n+1 gilt dann

wobei der Wert gegeben ist durch:

Um eine rekursive Form zur Berechnung der Koeffizienten a_i/n+1 zu erhalten, wird nun analog zum Vorwärtsprädiktorfehler (k) (Gl. 6.1.1) der Rückwärtsprädiktorfehler (k) eingeführt:

mit dem Vektor:

und dem Vektor (k) entsprechend Gl. 6.1.1.

Der Meßwert zum Zeitpunkt x(k-n) soll jetzt durch die zukünftigen Meßwerte möglichst gut nachgebildet werden.

Durch Minimierung der Rückwärtsfehlerleistung erhält man:

und

Analog zum Vorwärtsfehler ergibt sich daraus:

wobei für die Fehlerleistung gilt:

Die Konstante ist gegeben durch:

oder durch

Nach Gl. 6.1.12 gilt:

Somit gilt für den Koeffizienten auch:

Die Autokorrelationsfunktion ist bei stationären Signalen eine gerade Funktion.

Es gilt also:

R_xx(i) = R_xx(-i).

Damit ist mit Gl. 6.1.10, Gl. 6.1.15 und Gl. 6.1.16:

Faßt man Gl. 6.1.9 und Gl. 6.1.13 mit Hilfe der Parcorkoeffizienten

zusammen, so erhält man:

wobei die Parcorkoeffizienten gegeben sind durch:

Da die Akf eine gerade Funktion ist, erhält man also eine Autokorrelationsmatrix spiegel­ symmetrisch zur Hauptdiagonalen von links oben nach rechts unten. Für die Vorwärts- und Rückwärtsprädiktorkoeffizienten ergibt sich also in Gl. 6.1.9 und Gl. 6.1.13 die gleiche Be­ rechungsvorschrift.

Damit gilt für die Koeffizienten:

a_i/n=b_i/n,

für die Fehlerleistungen mit Gl. 6.1.7 und Gl. 6.1.14:

und für die Parcorkoeffizienten:

Gl. 6.1.18 ist die Gleichung zur Berechnung der nächsthöheren Filterstufe. Somit erhält man als Berechnungsvorschrift für die Vorwärts- oder Rückwärtskoeffizienten der (n+1)ten Filterstufe:

die Levinson-Durbin Rekursion [37].

Mit der Schwarzschen Ungleichung [29] erhält man außerdem für die Parcorkoeffizienten:

Für stationäre Signale sind die Parcorkoeffizienten immer kleiner als 1. Es läßt sich zeigen, daß dann das AR-System immer stabile Pole hat. Sind beide Koeffizienten verschieden, so kann über die Stabilität allerdings keine Aussage mehr gemacht werden.

Multipliziert man in Gl. 6.1.20 mit dem Vektor , so erhält man ein Gleichungssystem für den Schätzfehler.

Damit wurde das Schätzproblem auf eine neue Basis übertragen, auf den Schätzfehler. Man erhält die in Bild 6.7 skizzierte Lattice-Struktur [37]. Dieses Filter wurde bereits in Kap. 4 als Whitening-Filter eingesetzt.

Mit den Parcorkoeffizienten und der Levinson-Durbin Rekursion können die Koeffizienten unbekannter Ordnung mit dem gleichen Rechenaufwand wie bei bekannter Filterordnung be­ rechnet werden. Die notwendige Ordnung ist erreicht, wenn die Parcorkoeffizienten gegen null gehen, der Schätzfehler nicht mehr kleiner wird.

Bild 6.8 zeigt die Parcorkoeffizienten für das Beschleunigungssignal aus Bild 6.3 und Schätzkurven verschieden hoher Ordnung. Ist die Systemordnung größer als 8, so ändern sich die Parcorkoeffizienten nicht mehr gravierend. Man erkennt auch an den Schätzkurven, daß selbst mit einer Ordnung größer als acht keine große Verbesserung mehr erzielt werden kann.

Wie groß die Verbesserung durch eine Erhöhung der Filterordnung noch ist, soll nun abge­ schätzt werden.

Das Signal sei stationär und die Parcorkoeffizienten beide gleich groß.

Als Übertragungsfunktion zwischen Vorwärtsprädiktorfehler und Meßsignal erhält man mit Gl. 6.1.1 im z-Bereich das Polynom A_n(z) aus Gl. 6.1.6:

Analog erhält man aus Gl. 6.1.11 für den Rückwärtsfehler:

oder:

Für die nächsthöhere Filterstufe n+1 ist dann mit Gl. 6.1.20:

und mit Gl. 6.1.23:

Für den Frequenzgang erhält man mit z=e^{j Ω} (mit Ω=ωT und T der Abtastzeit) und der Phase Ω₁(Ω) sowie dem Betrag r(Ω) des Polynoms A_n(z):

A_n(e^{j Ω}) = r e^{j Ω₁}.

Der neu geschätzte Frequenzgang ist mit Gl. 6.1.24:

A_n+1(e^{j Ω}) = r e^{j Ω₁}(1-γ_n+1e^{-2j Ω₁} e^{jn Ω}) = A_n(e^{j Ω}) (1-γ_n+1e^{-2j Ω₁} e^{jn Ω}).

Damit gilt mit dem Betragsfaktor k und der Phasenänderung ΔΩ₁:

A_n+1(e^{j Ω}) = A_n(e^{j Ω}) k e^{j ΔΩ₁},

mit:

und:

für kleine γ_n+1.

Die maximale Betragsänderung des Frequenzgangs ist für das AR-System:

und die maximale Phasenänderung:

Es bleibt das Problem der vielen Pole zur Kompensation von Nullstellen. Eine Reduktion der Ordnung mit Hilfe eines ARMA-Modells wird nun notwendig.

6.2 Autoregressives Moving-Average Modell

Da die Eingangsgröße des Systems, das weiße Rauschen, unbekannt ist, kann das ARMA- Modell nicht direkt aus den Meßwerten geschätzt werden. Es bleibt nur die Suche nach dem Minimum mit Hilfe eines Gradientenverfahrens. Da ein Gradientenverfahren aber sehr stark von den gewählten Anfangswerten abhängt und möglicherweise divergieren kann, ist es für die Auswertung nicht sehr geeignet. Zudem steigt der Rechenaufwand.

Deshalb wurde von mir folgende Vorgehensweise gewählt:

Die Meßwerte werden zunächst mit einem AR-Modell geschätzt. Danach wird die Impuls­ antwort des AR-Systems erneut mit einem ARMA-Modell geschätzt. Betrachtet man die Impulsantwort des ARMA-Systems:

so wirken sich die Zählerkoeffizienten (die Nullstellen) nur auf die ersten Werte der Impuls­ antwort bis zur Ordnung n des Zählers aus.

Es gilt mit dem Dirac-Impuls δ(k):

Wählt man nun die Werte der Impulsantwort y(k) für k≦λτn, so verschwinden alle Zähler­ koeffizienten f_i. Zurück bleibt die Impulsantwort eines AR-Modells:

Damit kann die Impulsantwort für k≦λτn wieder mit einem AR-Ansatz geschätzt werden, die Ordnung kann aber jetzt bedeutend geringer sein, da keine Nullstellen mehr vorhanden sind. Nun ist möglich die Spanbildungsfrequenz aus den Polen zu berechnen. Interessiert man sich auch für das Zählerpolynom, so kann man entweder die Koeffizienten direkt aus den ersten Werten der Impulsantwort berechnen (für k≦ωτn) oder aber man transformiert das Problem in den Zeitbereich und schätzt dort die Residuen zu den bereits bestimmten Polen.

Bild 6.9 zeigt nocheinmal die Vorgehensweise bei der Schätzung eines ARMA-Modells bei einem mit weißem Rauschen erregten System.

Die Bilder 6.10 bis 6.12 zeigen die 3 Beschleunigungsspektren nun mit einem ARMA- Modell 6. Ordnung geschätzt. Das Spektrum kann gut nachgebildet werden und auch die dominanten Pole sind gut zu erkennen. Es ist so viel leichter, die richtige Frequenz zu finden.

Die Ordnung sechs wird nur bei Bild 6.12 benötigt. Dort treten drei Maxima im Spektrum auf. Bei den Bildern 6.10 und 6.11 würde auch eine Ordnung zwei bzw. vier genügen. Damit kann die Ordnung im Vergleich zu den AR-Schätzungen doch erheblich verringert werden.

In Bild 6.13 ist die Auswertung nochmals zusammengefaßt:

Zunächst wird das Meßsignal durch ein moving-average Filter, der Inversen des Referenz­ signales x_ref, von der Maschinenübertragungsfunktion befreit. Danach beginnt die dreistufige ARMA-Schätzung, wobei die Impulsantwort nur durch ein AR-System geschätzt wird, da die Nullstellen nicht interessieren. Nun kann die Spanbildungsfrequenz aus dem dominanten Pol berechnet werden. Der Vergleich der neuen Frequenz mit einer Messung bei scharfer Schneide, ergibt eine Aussage über den Verschleiß auf der Spanfläche (Spanwinkel, Kolk, Reibung). Durch Auswertung der Signalvarianz kann auch der Verschleiß an der Frei­ fläche erkannt werden. Sinkt die Varianz, so deutet dies auf eine größere Verschleißmarken­ breite und einen größeren Schneidkantenversatz hin. Steigt die Varianz uns sinkt die Fre­ quenz, so nimmt der Verschleiß auf der Spanfläche zu. Mit Hilfe einer Schwelle, die das Meßsignal nicht überschreiten darf, wird eine kontinuierliche Bruchüberwachung durchge­ führt.

Die Auswertung eines 1024 Punkte Datensatzes erfolgt mit der in Bild 6.13 skizzierten Vor­ gehensweise mit einem normalen AT mit 80 386-Prozessor und Coprozessor in weniger als 5 Sekunden. Dies ist bei einer mittleren Standzeit der Werkzeuge von z. B. ca. 30 min in Bild 1 durchaus ausreichend.

Zusammenfassung Kap. 6

Zur Bestimmung der Spanbildungsfrequenz wird das Spektrum mit Hilfe einer AR- Schätzung geglättet. Die gesuchte Frequenz läßt sich aus den Polen des AR-Modells be­ rechnen. Da ein AR-System keine Nullstellen besitzt, müssen diese durch Pole nachgebildet werden. Dies führt zu einer hohen Systemordnung und zu vielen Polen in der Nähe des Ein­ heitskreises, so daß die Spanbildungsfrequenz nur noch schwer zu finden ist. Deshalb ist es sinnvoll, die Impulsantwort des geschätzten AR-Systems durch ein ARMA-Modell niedriger Ordnung nachzubilden. Besonders günstig ist die Tatsache, daß sich die Nullstellen nur auf die ersten Werte der Impulsantwort bis zur Systemordnung n auswirken. So kann die Impulsantwort für Werte, die größer als die Systemordnung sind, wieder mit einem AR- System kleinerer Ordnung geschätzt werden.

Bei unbekannter Systemordnung ist eine rekursive Berechnung der AR-Koeffizienten sinn­ voll. Dies kann mit Hilfe der Parcorkoeffizienten durch die Levinson-Durbin Rekursion vor­ genommen werden. Ist die richtige Systemordnung erreicht, so gehen die Parcorkoeffizienten gegen null. Damit sind sie als ein Abbruchkriterium bei kontinuierlicher Erhöhung der Systemordnung zu verwenden. Ein weiterer Vorteil ist, daß man mit den Parcorkoeffizienten die Schätzung eines instabilen Systems leicht erkennt und durch Korrektur der Koeffizienten eine stabile Schätzung herbeiführen kann. Nur so bleibt die Impulsantwort des AR-Systems endlich. Dies ist die Voraussetzung für die anschließende ARMA-Schätzung.

7. Meßergebnisse

Um das Verfahren auch in der Praxis zu testen, wurden neben Versuchen in der Werkstatt des Institutes für Prozeßmeßtechnik und Prozeßleittechnik auch Messungen bei einem Dreh­ maschinenhersteller, der Fa. EMAG in Salach, durchgeführt.

Gemessen wurde bei der EMAG an einer großen CNC-Drehmaschine, so daß bedeutend größere Schnittgeschwindigkeiten, Vorschübe und Schnittiefen möglich waren als an der Maschine in der Institutswerkstatt.

Die Untersuchungen wurden mit drei verschiedenen Werkstoffen vorgenommen. Mit einem NiCr-Stahl, einem sehr zähen Werkstoff, mit Guß, einem sehr spröden Werkstoff, und CK 45, ein Material das in seinen Eigenschaften in etwa zwischen beiden Werkstoffen liegt.

Es ergeben sich auch unterschiedliche Spantypen. Bei dem bei der EMAG verwendeten Werkstoff CK 45 konnte ein Fließspan erreicht werden. Der Scherwinkel hatte hier den größten Wert. Der Einfluß der Temperatur auf den Scherwinkel ist demnach bei diesem Material nicht so groß (vgl. Gl. 3.3.6). Aus dem größeren Scherwinkel ergibt sich auch eine höhere Frequenz (Gl. 4.3.25) und kleinere Amplitude (Gl. 4.3.23) der Schwingungen. Beim Werkstoff NiCr dagegen waren die Änderungen der Spandicke sehr ausgeprägt. Man spricht hier von einem Lamellenspan. Der Temperatureinfluß auf den Scherwinkel ist demnach recht groß.

Keine gleichmäßige Spanbildung ist beim spröden Guß möglich. Man erhält einen soge­ nannten Bröckelspan. Die Modellbildung wurde zwar für einen idealplastischen Werkstoff vorgenommen, doch ändert sich nach den Bruchhypothesen in Kap. 3.1 bei spröden Werk­ stoffen nur die Richtung, in die das Material abgetrennt wird. Man erhält also einen anderen Scherwinkel, ansonsten lassen sich die Ergebnisse aus Kap. 4.3 auch auf spröde Werkstoffe übertragen (Kap. 7.2).

7.1 Messungen bei der EMAG

Das Werkstück wurde zunächst bei konstanter Schnittiefe (a=2,5 mm) stumpfgedreht. In be­ stimmten zeitlichen Abständen (alle 2,5 min) wurden Messungen an einem Referenzwerkstück mit den Schnittiefen a_p=0,5 mm; 2 mm; 3,5 mm und 5 mm durchgeführt.

Bild 7.1 zeigt das Spektrum bei scharfer Schneide bis zu einer Drehzeit von 15 min im Ab­ stand von je 2,5 min. Deutlich ist eine Frequenz bei 39,2 kHz zu erkennen, die mit zuneh­ mendem Verschleiß kleiner wird.

Bild 7.2 zeigt die Frequenz und die Varianz über die ganze Drehdauer. Es wurde je eine Mes­ sung pro Sekunde durchgeführt. Das Werkzeug hat nach 15 min eine Verschleißmarkenbreite VB=380 µm und eine Kolktiefe KT=0,1 mm. Neben dem Absinken der Frequenz um fast 10 kHz ist ein Anstieg der Varianz zu beobachten. Der Schneidkantenversatz ist gering und nur an dem gelegentlichen Absinken der Varianz zu bemerken.

Das gleiche Ergebnis erhält man auch durch einen weiteren Versuch, bei dem die Schneidplatte bis zu ihrem Standzeitende gedreht wurde (Bild 7.3).

In Bild 7.2 nimmt der Verschleiß langsam zu. Bei der Messung aus Bild 7.3 wird dieser Verschleiß wesentlich schneller erreicht. Man sieht auch hier wieder die großen Unterschiede in der Standzeit bei gleichem Werkzeug und gleichen Zerspanbedingungen. Bei beiden Messungen war am Ende der Versuche der Verschleiß etwa gleich groß. Auch die Frequenz sinkt etwa auf den gleichen Wert ab.

Bild 7.4 zeigt Messungen bei gleichem Verschleiß aber verschiedenen Schnittiefen.

Die Ergebnisse sind bei allen Schnittiefen in etwa gleich. Nur bei der größten Schnittiefe (a_p=5 mm) sinkt die Frequenz im geringeren Maße als bei den kleineren Schnittiefen. Da die Schneide aber nur mit einer Schnittiefe von 2,5 mm stumpfgedreht wurde, ist dies auch nicht weiter verwunderlich. Die Frequenz ist demnach von der Schnittiefe unabhängig.

Bild 7.5 zeigt die Frequenz und die Varianz dem Verschleiß gegenübergestellt. Man erkennt, daß der Freiflächenverschleiß zunächst zu einem leichten Absinken der Varianz führt. Die Frequenz bleibt noch ziemlich unverändert. Nach ca. 5 min entsteht ein merklicher Kolk. Nun beginnt die Frequenz schnell zu sinken und die Varianz zu steigen.

Die Messungen bei der EMAG machen deutlich, daß Frequenz und Varianz sich zur Aus­ wertung des Verschleißes eines Drehmeißels eignen. Messungen an verschiedenen Maschinen zeigten, daß die Effekte übertragbar sind. Auch Messungen in der Institutswerkstatt brachten ähnliche Ergebnisse.

7.2 Messungen in der Institutswerkstatt

Bild 7.6 zeigt Messungen mit verschiedener Übertragungsfunktion. Diese wurde durch eine unterschiedliche Einspannung von Drehmeißel und Werkstück erreicht.

Beim ersten Versuch wurden Drehmeißel und Werkstück sehr weit herausgespannt. Beim zweiten Versuch wurde der Drehmeißel kurz und das Werkstück lang eingespannt. Beim dritten Versuch schließlich wurden beide nur wenig herausgespannt. Trotz gleicher Zerspanbedingungen unterscheiden sich die Spektren der drei Messungen.

Bei langem Drehmeißel und Werkstück sind deren Eigenfrequenzen klein und man erkennt die Spanbildungsfrequenz. Bei kurzem Drehmeißel verschwindet die Spanbildungsfrequenz und es kommt eine Eigenfrequenz des Drehmeißels bei 18 kHz hinzu. Spannt man das Werkstück kurz ein, so tritt eine weitere Schwingung bei 22 kHz auf. Nach der Division mit einem Referenzspektrum aber bleibt immer die gleiche Frequenz zurück, die Spanbildungsfrequenz. Damit ist sie nicht von der Maschinenübertragungsfunktion abhängig.

Das Absinken der Frequenz durch den Verschleiß ist auch beim NiCr-Stahl in Bild 7.7 zu beobachten. Die Frequenz wandert von 8,2 kHz auf 7 kHz. Bei dieser Messung wurde die Auswertung mit einem Signalprozessor im on-line Betrieb durchgeführt. Damit konnte auch ein Schneidenausbruch erkannt werden, bei dem die Frequenz stark abnimmt. Deutlich ist bei dieser Messung auch die Abnahme der Varianz zu erkennen, die mit einem Schneidenausbruch verbunden ist. Im Vergleich zu den Messungen bei der EMAG hatte das Werkzeug einen größeren Freiflächenwinkel. Der Schneidkantenversatz wird dadurch bei gleicher Verschleißmarkenbreite größer.

Bei dem spröden Werkstoff Guß (Bild 7.8) ist eine kontinuierliche Abnahme der Varianz zu beobachten. Durch die starke dynamische Belastung der Schneide durch das dauernde Brechen der Späne kommt es auch zu häufigen Schneidenbrüchen und zu einem starken Freiflächen­ verschleiß. Deshalb sinkt die Varianz kontinuierlich. Aber auch die Frequenz nimmt um fast 1 kHz ab. Damit ist das Verfahren auf ein breites Spektrum von Werkstoffen übertragbar.

Zusammenfassung Kap. 7

Es wurden Messungen bei der Fa. EMAG und an der Institutswerkstatt durchgeführt. Durch die Meßergebnisse konnte nachgewiesen werden, daß bei einem Verschleiß auf der Spanfläche die Frequenz sinkt und die Varianz des Meßsignals steigt. Bei einem Verschleiß an der Frei­ fläche dagegen sinkt die Varianz und bei einem Schneidenausbruch kurzzeitig auch die Fre­ quenz. Die Bestimmung der Verschleißgrößen (Verschleißmarkenbreite und Kolktiefe) während der Messungen und dem Vergleich mit der Varianz und der Spanbildungsfrequenz bestätigen die in Kap. 4.4 aufgezeigten Zusammenhänge.

Die Ergebnisse wurden bei drei verschiedenen Werkstoffen aufgezeigt, einem sehr zähen Werkstoff (NiCr-Stahl), einem sehr spröden Material (Guß) und einem Werkstoff, der in seinen Eigenschaften zwischen diesen beiden liegt (CK 45). Damit ist dieses Verfahren zur Verschleißerkennung auf ein breites Spektrum von Werkstoffen anwendbar. Durch Versuche an verschiedenen Maschinen und durch eine Veränderung der Maschinenübertragungsfunktion wurde gezeigt, daß die Ergebnisse unabhängig von der Maschine sind. Dies ist den Verfahren zur Beseitigung der Maschinenübertragungsfunktion (Kap. 5.1) zu verdanken.

Zusammenfassung

In dieser Arbeit wurden durch eine Modellbildung neue Verschleißkriterien aus der Schwingungsanalyse gefunden, die eine qualitative Aussage über verschiedene Arten des Ver­ schleißes ermöglichen und maschinenunabhängig sind. Auch der Einfluß der Zerspanbe­ dingungen auf die Verschleißkriterien konnte geklärt werden. Zur Schwingungsmessung (Frequenzbereich von 5 kHz bis 50 kHz) wurden Meßverfahren eingesetzt, die keinen Eingriff in die Konstruktion der Maschine erfordern.

Für eine Kraftmessung wurde deshalb im Gegensatz zu den handelsüblichen piezoelektrischen Kraftsensoren der magnetoelastische Effekt eingesetzt (vgl. Kap. 2). Bei diesem Meßverfahren wird die Änderung der Magnetisierung bei Kristallen durch eine äußere Kraft ausgenutzt. So ist im Prinzip jedes Metallteil der Maschine für die Messung geeignet. Durch das Tiefpaßver­ halten der Maschine darf allerdings nicht in zu großer Entfernung von der Zerspanstelle ge­ messen werden. Gute Ergebnisse brachten Messungen am Werkzeughalter. Um das Tiefpaß­ verhalten der Maschine zu kompensieren, ist es für eine breitbandige Messung vorteilhaft, wenn die Empfindlichkeit des Meßverfahrens mit der Frequenz zunimmt. Dies ist bei der Kraftmessung mit dem magnetoelastischen Effekt und der Wegmessung durch Beschleu­ nigungsaufnehmer der Fall.

Allerdings sind bei hohen Frequenzen die Wege sehr klein, so daß bei der Beschleunigungs­ messung direkt am Drehmeißel gemessen werden muß, also möglichst nahe an der Zerspan­ stelle. Durch den häufigen Werkzeugwechsel und durch die Kabelführung entstehen bei der Wegmessung im Gegensatz zur Kraftmessung (Messung am Werkzeughalter) Probleme im praktischen Einsatz.

Besonders vorteilhaft bei der Temperaturmessung mit Hilfe der Thermospannung ist die Mög­ lichkeit einer maschinenunabhängigen Messung der Schwingungen in beliebig weiter Ent­ fernung von der Zerspanstelle. Hier wird die Tatsache genutzt, daß die Erwärmung im Ver­ formungsbereich von der zugeführten mechanischen Leistung abhängt, und somit die Tem­ peratur unter fast adiabatischen Bedingungen auch schnellen Schnittkraftschwankungen folgen kann. Nachteilig bei diesem Verfahren ist, daß Drehmeißel und Werkstück gegeneinander isoliert werden müssen. Damit ist wieder ein Eingriff in die Maschine notwendig. Jedoch wird heutzutage bei Drehmaschinen oft ein Fundament aus Epoxydharz (Polymerbeton) zur Schwingungsdämpfung verwendet, so daß bereits eine Isolierung gegeben ist. Das größte Problem aber stellen Störungen durch Kurzschlüsse dar, die durch auf die Schneidplatte zurückfallende oder sich verfangende Späne entstehen. Das Verfahren ist also für die Praxis nicht robust genug, aber es eignet sich sehr gut für die Überprüfung der durch eine Verarbeitung der Signale aus de 14252 00070 552 001000280000000200012000285911414100040 0002004218799 00004 14133r Kraft- und der Beschleunigungsmessung erhaltenen Er­ gebnisse.

Um Auswirkungen des Verschleißes auf das Meßsignal zu finden, mußte durch eine Modell­ bildung ein Verständnis für die Vorgänge bei der Spanbildung gewonnen werden (vgl. Kap. 3). Mit den Gesetzmäßigkeiten der Plastizitätstheorie werden auf den stationären Zer­ spanprozeß das Scherlinienmodell nach Merchant und das Gleitlinienmodell nach Lee/Shaffer angewendet. Bei beiden Modellen ist der Scherwinkel nur vom Spanwinkel und der Reibung zwischen Span und Werkzeug abhängig.

Eine Änderung der Spandicke entsteht durch eine Änderung des Scherwinkels. Der Scher­ winkel ist unabhängig von der Schnittgeschwindigkeit und nimmt nur wenig mit der Spa­ nungsdicke zu. Größer dagegen ist die Abhängigkeit von der Zerspantemperatur. Dieser Effekt entsteht nicht durch die Temperaturabhängigkeit der Fließspannung, sondern durch einen Temperaturkoeffizienten der Reibung.

Bei der Spanbildung entstehen Koppelschwingungen, erzwungene Schwingungen, Eigen­ schwingungen und selbsterregte Schwingungen.

Schwingungen der Maschine führen durch die Kopplung mit dem Zerspanprozeß zu Koppel­ schwingungen, dem gefürchteten Rattern der Drehmaschine. Die Eigenfrequenzen der Ma­ schine haben aber im untersuchten Frequenzbereich aufgrund ihrer kleinen Amplitude keinen Einfluß auf die Spanbildung.

Die Maschine wird jedoch durch eine Rauschquelle im Zerspanprozeß zu erzwungenen Schwingungen angeregt. Die Rauschquelle entsteht durch die Versetzungsbewegung bei plastischer Verformung und durch Brüche bei Verfestigung des Materials.

Eigenschwingungen des Spans entstehen durch Trägheitskräfte im Verformungsbereich. Durch eine Modellbildung konnte gezeigt werden, daß sie zu hohe Frequenzen und zu kleine Amplituden haben. Diese Frequenzen und Amplituden stimmen nicht mit den Messungen überein.

Eine selbsterregte Schwingung wird durch Nichtlinearitäten bei der Spanbildung und der Temperaturabhängigkeit von Reibung und Fließspannung verursacht. Die Frequenz der Schwingung liegt im untersuchten Frequenzbereich und auch die Amplitude stimmt mit den bei Spanuntersuchungen festgestellten periodischen Dickenänderungen überein. Diese Frequenz wurde als Spanbildungsfrequenz bezeichnet. Die Spanbildungsfrequenz ist proportional zur Schnittgeschwindigkeit und umgekehrt proportional zur Spanungsdicke. Sie ist aber unab­ hängig von der Spanungsbreite. Diese Ergebnisse des Modells werden durch Messungen be­ stätigt (vgl. Kap. 4 und Kap. 7). Bei stumpfer Schneide sinkt die Frequenz während die Amplitude dieser Schwingung steigt.

Die Spanbildungsfrequenz hängt nur von dem Verschleiß auf der Spanfläche (Kolk, Änderung des Spanwinkels, größere Reibung) ab. Deshalb ist für eine Unterscheidung zwischen Span­ flächenverschleiß und Freiflächenverschleiß (Schneidkantenversatz, Verschleißmarkenbreite) die Varianz des Meßsignals notwendig. Bei einem Schneidkantenversatz sinkt die Varianz, da die Schnittiefe abnimmt. Durch den Anstieg des Spanflächenverschleißes aber steigt die Varianz durch eine Zunahme der Amplitude der Spanbildungsfrequenz und durch ein An­ wachsen der Rauschleistung. Damit bedeutet ein Sinken der Frequenz und ein Anstieg der Varianz Spanflächenverschleiß, eine konstante Frequenz und eine Abnahme der Varianz Frei­ flächenverschleiß (vgl. Kap. 4.4).

Die Aussagen für die Varianz und die Frequenz des Meßsignals gelten aber nur dann, wenn das Meßsignal von der Maschinenübertragungsfunktion befreit wird (Kap. 5).

Die Übertragungsfunktion erhält man aus der Impulsantwort der Maschine. Um einen Kraft­ impuls mit genügend hoher Bandbreite und der notwendigen Intensität zu erzeugen, wird bei Stillstand der Maschine eine kleine Kugel auf den Drehmeißel geschossen. Maschinenunab­ hängige Meßwerte erhält man durch die Filterung des Meßsignals mit der Inversen der Impulsantwort.

Dieses Verfahren ist aber für den industriellen Einsatz nicht geeignet, die Impulsantwort der Maschine müßte bei jeder Veränderung neu bestimmt werden. Deshalb wird anstelle der Impulsantwort eine Referenzmessung an der jeweiligen Maschine genutzt. Damit wird der industrielle Einsatz möglich.

Durch einen Allpaß in der Übertragungsfunktion wird die Filterung mit der Inversen instabil. Die Maschinenübertragungsfunktion ist aber immer minimalphasig. Nur beim Übergang vom kontinuierlichen zum diskreten System können Allpässe entstehen.

Zur Bestimmung der Spanbildungsfrequenz werden die Maxima im Spektrum geschätzt (vgl. Kap. 6). Dies geschieht mit Hilfe zweier parametrischer Modelle, einem autoregressiven (AR-)Modell und einem autoregressiven moving-average (ARMA-)Modell.

Ist die Systemordnung unbekannt, so können die AR-Koeffizienten durch die Levinson- Durbin Rekursion berechnet werden. Damit wird der Rechenaufwand klein gehalten, da die Inverse der Autokorrelationsmatrix nicht bei jeder Ordnung neu berechnet werden muß. Viel­ mehr können die AR-Koeffizienten aus den Koeffizienten der nächst niedrigeren Ordnung bestimmt werden. Für die Rekursion werden die Parcorkoeffizienten benötigt, die bei Erreichen der optimalen Systemordnung gegen null gehen. Damit können sie als Abbruch­ kriterium für die Erhöhung der Systemordnung benutzt werden.

AR-Schätzungen haben aber den Nachteil, daß Nullstellen durch Pole angenähert werden müssen. Sind Nullstellen im Spektrum vorhanden, so führt dies zu einer beträchtlichen Er­ höhung der Systemordnung. Deshalb ist es sinnvoll, die Impulsantwort des AR-Systems nocheinmal mit einem ARMA-Modell niedrigerer Ordnung zu schätzen. Dabei können wieder mit einem AR-Ansatz die Pole unabhängig von den Nullstellen bestimmt werden, da das Zählerpolynom sich nur auf die ersten Werte der Impulsantwort bis zur Systemordnung aus­ wirkt.

Meßergebnisse bei der Fa. EMAG und in der Institutswerkstatt zeigen, daß das Verfahren auf verschiedene Werkstoffe und verschiedene Maschinen übertragbar ist. Auch die aus dem Modell ermittelten Abhängigkeiten des Meßsignals von den Verschleißarten konnten anhand der Messungen gezeigt werden. Ebenso ist die Spanbildungsfrequenz unabhängig von der Maschinenübertragungsfunktion.

Das Hauptproblem des Verfahrens sind die kleinen Amplituden bei den hohen Frequenzen, die zudem noch von starken Störungen überlagert sind. Liegt die Spanbildungsfrequenz in einem Minimum der Maschinenübertragungsfunktion, so geht sie leicht im Rauschen unter und ist nicht mehr meßbar. Ist der Frequenzbereich, in dem die Spanbildungsfrequenz liegt, bekannt, so kann eine Verbesserung durch ein analoges Bandpaßfilter für diesen Frequenzbereich erreicht werden.

Mit diesen Ergebnissen kann das Meßverfahren zur qualitativen Bestimmung des Verschleißes durch Schwingungsanalyse in der Praxis wie folgt aussehen:

• - Die Schwingungsmessung erfolgt durch eine Kraftmessung mit dem magneto­ elastischen Effekt.
• - Die Maschinenübertragungsfunktion wird durch Filterung mit einer Referenzmessung beseitigt.
• - Die Varianz wird berechnet, das Spektrum mit einem AR-System geschätzt. Die Ordnung wird mit Hilfe der Parcorkoeffizienten festgesetzt.
• - Die Impulsantwort des AR-Systems wird mit einem ARMA-Modell geschätzt. Es ergibt sich eine niedrigere Ordnung.
• - Die Spanbildungsfrequenz wird aus den Polen berechnet.
• - Sinkt die Varianz und bleibt die Frequenz konstant, so nimmt der Freiflächenverschleiß zu. Steigt die Varianz und sinkt die Frequenz, so ist es der Verschleiß auf der Span­ fläche, der größer wird.

Diese Auswertung kann in weniger als fünf Sekunden auf einem normalen AT kostengünstig erfolgen.

Die Forderungen, die ein praktischer Einsatz an das Verfahren der Schwingungsanalyse zur Verschleißerkennung stellt, konnten somit erfüllt werden.

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Verzeichnis der verwendeten Formelzeichen

Zeitfunktionen wurden klein geschrieben, Funktionen in Frequenz-, Laplace- oder z- Bereich groß. Vektoren sind fett und kursiv, Matrizen fett und groß geschrieben.

Claims (1)

1. Verfahren und Vorrichtung zur Verschleiß- und Bruchüberwachung von Werkzeugen an Werkzeugmaschinen, dadurch gekennzeichnet,

   • - daß mittels eines Sensors während des Betriebs der Werkzeugmaschine ein Meßsignal aufgenommen wird,
   • - daß das Meßsignal mittels Spektralanalyse und Spektralschätzung auf Verschleißkenn­ werte untersucht wird,
   • - daß die Frequenzänderung der Spanbildungsfrequenz überwacht wird,
   • - daß die Gesamtleistung des Meßsignals überwacht wird,
   • - daß die Spanbildungsfrequenz und die Gesamtleistung von der verwendeten Werk­ zeugmaschine unabhängig sind.