DE3902765A1 - Vorrichtung zur uebertragung ebener wellen von einem schwingungsgeber mit periodischer anregung (erzeugung ebener wellen) in einem fluiden, zylindrischen leitsystem auf die objektflaeche - Google Patents

Description

Die Erfindung betrifft eine Vorrichtung zur Übertragung ebener Wellen zur Erzeugung von Kavitation an einer zu bearbeitenden Mediengrenze.

Die Oberflächengüte erfordert zum Entfernen von Oberflächenverunreinigungen die mechanisch berührungslose Reinigung durch Kavitation.

Es ist bekannt, diese Kavitation in Tauchbädern durchzuführen. Durch Schattenbildung in gasgefüllten Hohlräume und inhomogener Schallver­ teilung findet die Kavitation lokal differenziert statt (Knotenlinien Bild 2).

Die Erfindung löst diese Aufgabe durch Übertragung der Schwingungen (Energien) mit dem in der Skizze im Grundprinzip dargestellten Ein- oder Mehrkanalsystem (Multi-Channel-System) MCS mit definierten Abmessungen unter vorgegebener Kavitationsenergiedichte.

Die Zusammenhänge sind in der Anlage beschrieben.

Grundlagen der Übertragung von Wellen in zylindrischen, flüssigkeits­ gefüllten Rohren 1.1 Die Wellengleichungen

Die Ausbreitung von Wellen in zylindrisch berandeten Rohren wird durch die Grundgleichungen für ein räumliches oder kugelförmiges Schwingungsfeld beschrieben. Sie lauten in ihrer allgemeinen Form:

Für das Feld einer ebenen Welle (00-Mode) in dem nur eine Ausbreitungsrichtung vorhanden ist lauten sie:

die Wellengleichung für den Schalldruck p im ebenen Schallfeld (00- Mode) lautet:

die Wellengleichung für das Schnellpotential Φ lautet:

Die Wellengleichung für die Schallschnelle v lautet:

im ebenen Schallfeld hat die Schnelle nur eine Komponente in x-Richtung:

Die allgemeine Form der Wellengleichung lautet für den Schalldruck p:

und in Kugelkoordinaten:

Die allgemeine Lösung der Wellengleichung lautet für die ebene Schallwelle (00-Mode) (bei sinusförmigem Verlauf des Schalldrucks:

Die Funktion f₁

stellt eine fortschreitende ebene Welle (00-Mode) dar; die Funktion f₂

beschreibt die reflektierte ebene Welle.

Die Überlagerung der beiden Wellen ergibt bei einer komplexen Abschlußimpedanz den in Bild 1 dargestellten Verlauf des Schalldrucks:

Bild 1: Schalldruckverlauf in einer stehenden Welle vor einer (porösen) Wand bei Teilreflexion. Die Überlagerung der beiden Wellen

In total reflektierten Anordnungen bilden sich Eigenresonanzen (Moden) aus, die auf der Ausbildung von stehenden Wellen beruhen. Die Verteilung des Schalldrucks in "schwingenden" Räumen wird durch diese Eigenresonanzen beschrieben und hat an den schallharten Grenzen Schwingungsbäuche.

Die Eigenfrequenzen ergeben sich als Funktion der Ordnungszahlen der Eigenschwingungen (Ordnungszahlen der Moden) und der Raumabmessungen:

n_x, n_y, n_z=Ordnungszahlen der Eigenschwingungen (0, 1,2, . . .)
l_x, l_y, l_z=Raumabmessungen in den angegebenen Richtungen

2. Die Lösungen der Wellengleichungen in flüssigkeitsgefüllten Rohren

In einem schallhart berandeten Rohr breitet sich bei allen Frequenzen die ebene Schallwelle (oo-Mode) aus. Es gibt Wellenarten anderer Verteilung über die Schnittfläche (Moden höherer Ordnung) die nur oberhalb einer bestimmten Grenzfrequenz auftreten. Diese Grenzfrequenzen sind eine Funktion der Form der Schnittfläche. (BARTZ, Wolfried J., Technische Akustik, Lexika-Verlag, Kap,. 11)

Bild 2: Beispiele für die Schalldruckverteilung in angeregten geschlossenen Räumen von ein- und zweidimensionalem Schwingungstyp

Zur genauen Beschreibung der Schallvorgänge in Flüssigkeitssäulen benutzt man die Wellengleichung:

ΔΦ=k² · Φ=0 (zeitunabhängige Schreibweise) (11.1)
Φ=Geschwindigkeitspotential
k=Wellenzahl bei Schallausbreitung in unbe­ grenztem Medium.

Bei einer harmonischen Anregung mit der Kreisfrequenz ω sind

Φ=Φ(x, y, z) · e^{-j ω t} (11.2)
und

Die Lösungen der Wellengleichung ergeben die möglichen Verteilungen des Ge­ schwindigkeitspotentials innerhalb der Flüssigkeitssäule. Die Flüssigkeitsbegren­ zung durch die Rohrwandung und ihr Einfluß auf die Schallausbreitung sind aku­ stisch durch die Wandimpedanz Z_w eindeutig charakterisiert. Die Impedanz der Rohrwand ist durch das i. a. komplexe Verhältnis von Schalldruck p und wand­ normaler Schallschnelle v_r gegeben. - Den Verlauf des Geschwindigkeitspotentials entlang der Rohrachse z (s. a. Bild 11.1) erhält man durch Abspaltung der z-Ab­ hängigkeit:

Φ(x, y, z)=Φ(x, y) · e^±jk′z (11.4)

Bild 11.1: Flüssigkeitsgefüllte Rohrleitungen mit rechteckigem und kreisförmi­ gem Querschnitt, dargestellt
a) in karthesischen Koordinaten (x, y, z) und
b) in Polarkoordinaten (r, ϕ, z)

Man bekommt dabei Schallwellen, die sich in z-Richtung mit der Ausbreitungs­ konstante k′ und der Querschnittsverteilung Φ(x, y) des Geschwindigkeitspoten­ tials ausbreiten.

Die Grundgleichungen für den Schalldruck p und die Schallschnelle v entlang der Rohrachse erhält man durch Differentiation des Geschwindigkeitspotentials nach der Zeit, bzw. nach der Raumkoordinate z:

k′=Ausbreitungskonstante in z-Richtung

Die axiale Schallkennimpedanz

ist unabhängig von x und y und somit über den Rohrquerschnitt hinweg konstant. c′ ist darin die zu k′ gehörende Phasengeschwindigkeit.

Die allgemeine Lösung der nach Abspaltung der z-Abhängigkeit verbleibenden Differentialgleichung

lautet für ein Rohr mit Rechteckquerschnitt

Φ(x, y)=Φ_o · cos(γ_n · x) · cos(γ_p · y), (symmetrische Form) (11.8a)
Φ(x, y)=Φ_o · sin(γ_n · x) · sin(γ_p · y), (unsymmetrische Form) (11.8b)

und für ein Rohr mit Kreisquerschnitt

Φ(r, ϕ)=Φ_o · cos(n · ϕ) · J_n(γ_{n, p} · r). (11.9)

Darin sind
Φ_o ein konstanter Wert,
n, p positive ganze Zahlen
γ_n, γ_p Verteilungsparameter des Geschwindigkeitspotentials (= Eigenwerte der Differentialgleichung, zu denen die entsprechenden Verteilungsfunktionen Φ_{n, p}(x, y) gehören, die von der Querschnittsform und der Wandimpedanz der Rohrleitung abhängen; für einen rechteckigen Rohrquerschnitt z. B. gilt

J_n(γ_{n, p} · r) Besselfunktion n-ter Ordnung zum Argument (γ_{n, p} · r)

Die Schallausbreitung in flüssigkeitsgefüllten Rohren wird bei rechteckigem Quer­ schnitt durch trigonometrische Funktionen und bei kreisförmigem Querschnitt durch Besselsche Zylinderfunktionen beschrieben.

Ist die Wandimpedanz komplex und somit auch frequenzabhängig, so sind auch die Verteilungsparameter γ_{n, p} komplex und frequenzabhängig. Das gleiche gilt entsprechend auch für die Ausbreitungskonstante k′ in z-Richtung:

Ist dagegen die Wandimpedanz rein imaginär (= verlustlose Wand: α′=0), so sind die Verteilungsparameter γ_{n, p} entweder rein real oder rein imaginär; die Ausbrei­ tungskonstante k′ ist dabei reell (α′=0). Reelle Eigenwerte gibt es beliebig viele, rein imaginäre Eigenwerte dagegen sehr wenige; i. a. ist es nur ein einziger, nämlich γ_0,0. Der Verteilungsparameter γ_0,0 tritt nur dann auf, wenn die Rohr­ wand Federeigenschaften besitzt. -

11.2 Grenzfälle: Schallhart berandete Flüssigkeitssäule

Betrachtet man die Dämpfung einer Schallwelle durch das Ausbreitungsmedium "Flüssigkeit" als vernachlässigbar klein (z. B.: Luftblasenfreies Wasser), so hängt die Größe ihrer Phasengeschwindigkeit c′ und ihrer Amplitudendämpfung α′ nur noch von der Impedanz Z_w der Rohrwand und von der Art und Größe des Rohr­ querschnitts ab.

Die hierfür maßgebenden theoretischen Zusammenhänge werden in den folgen­ den Abschnitten 11.2.1 und 11.2.2 anhand zweier charakteristischer Grenzfälle, nämlich der schallharten (Z_w=∞) und der schallweichen (Z_w=0) Rohwand er­ läutert. Die Betrachtungen beschränken sich dabei auf Rohrleitungen mit kreis­ förmigem Querschnitt; für Rohre mit rechteckigem Querschnitt gelten prinzi­ piell die gleichen Aussagen.

11.2.1 Schallhart berandete Flüssigkeitssäule mit Kreisquerschnitt

Beim schallhart berandeten Rohr ist die wandnormale Schallschnelle v_r an der Stelle r=r₁ (s. Bild 11.1b) gleich Null:

Die Verteilerparameter γ_{n, p}, die die einzelnen Moden der Verteilungsfunktionen Φ_{n, p} (r, ϕ) bestimmen, sind reell und (wegen v_r₁=0) durch die Nullstellen der Besselfunktion

J_n′(γ_{n, p} · r₁)=o (11.12)

gegeben. Sämtliche Wellenmoden sind durch n und p doppelt indiziert. Der In­ dex n gibt die Anzahl der Knotendurchmesser und der Index p die Anzahl der Knotenkreise über dem Kreisquerschnitten des Rohres an. - Die 00-Mode existiert bei allen Frequenzen als ebene, ungedämpfte Welle. Im Falle einer ideal schall­ harten Berandung ist ihre Phasengeschwindigkeit c′_0,0 gleich der Schallgeschwin­ digkeit c im allseits unbegrenzten Flüssigkeitsmedium, s. Bild 11.2.

Die 00-Mode ist die charakteristische Mode für die Schallübertragung im schall­ hart berandeten Rohr.

Bild 11.2: Frequenzgang der normierten Phasengeschwindigkeit c′/c der ersten fünf Wellenmoden in einem schallhart berandeten Rohr mit kreisför­ migem Querschnitt (r₁=5 cm)

Alle übrigen Wellenmoden können sich erst oberhalb ihrer Grenzfrequenz

ungedämpft ausbreiten; ihre Schallfeldverteilung - bezogen auf die Normalebene zur Ausbreitngsrichtung z - ist nicht eben.

Für alle Moden außer der 00-Mode besitzt das schallhart berandeten Rohr-Hoch­ paßeigenschaften. - Die niedrigste Grenzfrequenz f_gr hat die Mode 10:

Jede Wellenmode breitet sich mit ihrer eigenen Phasengeschwindigkeit

und ihrer eigenen Dämpfungskonstanten

bzw. ihrem eigenen Dämpfungsmaß

a′_{n, p} = 8,686 · α′_{n, p}  (in dB pro Längeneinheit) (11.17)

aus. -

Bild 11.2 zeigt den (theoretischen) Verlauf des Frequenzganges der normierten Phasengeschwindigkeit c′/c der ersten fünf Wellenmoden, die sich in einer schall­ hart berandeten Flüssigkeitssäule mit kreisförmigem Querschnitt ausbreiten kön­ nen; die Kurven gelten für einen Rohr-Innenradius r₁=5 cm. Die 00-Mode breitet sich mit einer frequenzunabhängigen Phasengeschwindigkeit aus, die bei ideal schallharter Berandung gleich c ist. Die normierte Phasengeschwindigkeit aller übrigen Moden ist frequenzabhängig. (Dispersion!) und größer als Eins.

Bild 11.3 zeigt für die gleichen Wellenmoden wie in Bild 11.2 die dazugehörigen (ebenfalls theoretischen) Frequenzgänge der Dämpfungsmaße a′ (in dB/cm). -

Bild 11.3: Frequenzgang des auf die Längeneinheit von 1 cm bezogenen Dämpfungsmaßes a′ der ersten fünf Wellenmoden in einem schallhart berandeten Rohr mit kreisförmigem Querschnitt (r₁=5 cm)

Ist der Elastizitätsmodul E_w des Rohrwandmaterials konstant, so hängt die Pha­ sengeschwindigkeit c′ ausschließlich vom Verhältnis der Rohr-Wandstärke d zum Rohr-Innenradius r₁ ab. Bild 11.7 zeigt den Verlauf der normierten Phasenge­ schwindigkeit c′/c in Abhängigkeit von d/r₁ in einem wassergefüllten Stahlrohr (E_w=2,06 · 10¹¹ Nm^-2). Je kleiner das Verhältnis d/r₁ ist, desto mehr schwingt die Rohrwand mit und um so größer ist die Abnahme der Phasengeschwindig­ keit c′. -

Bild 11.7: Verlauf der normierten Phasengeschwindigkeit c′/c in einem wasser­ gefüllten Stahlrohr in Abhängigkeit vom Verhältnis der Wandstärke d zum Innenradius r₁

Die gesamte Schalldämpfung in einer federnd berandeten Flüssigkeitssäule setzt sich aus drei verschiedenen Dämpfungskomponenten zusammen:

• a) Dämpfung durch das Flüssigkeitsmedium selbst (= Absorption)
• b) Dämpfung infolge Reibung des Flüssigkeitsmediums an der Rohrwand
• c) Dämpfung durch das Mitschwingen der Rohrwand

In einer luftblasenfreien Flüssigkeit ist der Einfluß der ersten beiden Dämpfungs­ komponenten auf die Gesamtdämpfung vernachlässigbar klein. - Die durch das Mitschwingen der Rohrwand verursachte Schalldämpfung, ausgedrückt durch die Dämpfungskonstante α′, ergibt sich aus der folgenden Beziehung:

η = Verlustfaktor
f = Frequenz

Nach Gleichung (11.14) ist die Grenzfrequenz der übertragenen, nicht ebenen Welle umgekehrt proportional zum Durchmesser des schallhart berandeten Rohres, d. h. die Welle wird mit abnehmendem Radius ebener. (Es handelt sich streng genommen um eine ebene Welle, der vom Umfang des Schwingungsgebers eine Kugelwelle überlagert wird.) Literatur 11/MEYER, Erwin, NEUMAN, Ernst-Georg Kap. 5, S. 117-157

Die niedrigste Grenzfrequenz hat die Mode (Mode n, p/n: Anzahl der Knotendurchmesser, p: Anzahl der Knotenkreise über der Schnittfläche) d. h. die Welle mit einem Knotenpunkt und ohne Knotenkreis.

Durch arithmetische Umwandlung stellt Gleichung (11.14) eine Funktion des Rohrdurchmessers (allg. näherungsweise der Schnittfläche) als Funktion der gewählten Grenzfrequenz dar.

R1 = 0,586 _* C/2 _* f GR 10

Die Dämpfungskonstante α′ wächst direkt proportional mit dem Verlustfaktor η und der Frequenz f, während sie mit größer werdendem Verhältnis von Wand­ stärke d zu Innenradius r₁ kleiner wird. -

Bei einer mitschwingenden Masse am Rohrende (die durch konstruktive Maßnahmen evtl. bereitgestellt werden muß findet eine Mündungskorrektur statt in der Länge phi _*R1/4.

Ein reflektionsfreies, offenes Rohrende (theoretisch unendlich langen Leiter) kann man nach (7/Reichard, W., Grundlagen der technischen Akustik, Geest & Portig, Kapitel 13 "Stehende Schallwellen" und Kapitel 26 "Abstrahlung" (Berechnungsgrundlagen)) herstellen, indem man das Rohrende nach der Trichtergleichung (7/(26.13) auslegt.

Für eine geraden Rohrabschluß ergibt sich als angenommene Mündungskorrektur 0,7854 _*R1, d. h. die mögliche Frequenz und der Rohrdurchmesser sind in Abhängigkeit von der Regelgenauigkeit des Bearbeitungssystems zu wählen.

Die Rohrlänge muß größer als ein Viertel der Frequenz zugeordneten Wellenlänge sein!

Der Abstand des Schwingungsgebers wird im Bereich von mehr als ein Viertel der Wellenlänge nach seiner Strom (Leistungs-)kurve geregelt.

Tabelle der Rohrdurchmesser als Funktionen der Regelgenauigkeit:

Bei einer angenommen Regelgenauigkeit von 5,0 mm ist also die Übertragung ebener Wellen von mit der Frequenz 30 kHz bei einem Rohrradius von <6,5 mm (Fläche 1,3273 qcm) und einer Länge <2,2 cm möglich.
Skizze (Maßstab 1 : 1) für obiges Beispiel (Kantenlänge 1,152 cm), Hart

11.4 Erzeugung ebener Schallwellen in flüssigkeitsgefüllten Rohren

In einem flüssigkeitsgefüllten Rohr lassen sich nur dann ebene Schallwellen er­ zeugen, wenn

• a) die Berandung der Flüssigkeitssäule schallhart ist - und
• b) die Querabmessungen des Rohres klein gegenüber der Wellenlänge sind (2r₁ «λ).

11.4.1 Schalldruck und Schallschnelle

Die Anregung ebener Rohr-Schallwellen erfolgt in der Praxis i. a. durch einen konphas schwingenden Kolben (Kolbenstrahler), dessen Querschnitt S gleich dem des Rohrinneren ist. Der schwingende Kolben erteilt dem an seiner Ober­ fläche angrenzenden Flüssigkeitsmedium eine Schnelle v_o, die gleich seiner eige­ nen Wechsel-Geschwindigkeit (=Kolbenschnelle v_K) ist. Der Wechsel-Druck an der Kolbenoberfläche (=Schalldruck p_o) ist somit

p_o = p · c′ · v_o
p_o = Schalldruck an der Kolbenoberfläche (11.23)
v_o=v_K = Schallschnelle an der Kolbenoberfläche

11.4.2 Strahlungsimpedanz und Schalleistung

Die mechanische Impedanz des schwingenden Kolbens

wird durch das angrenzende und als Belastung aufzufassende Flüssigkeitsmedium um den Betrag Z_s · S (Z_s=spezifische Schallimpedanz des Flüssigkeitsmediums, S=Strahloberfläche) vergrößert:

Den durch die Ankopplung des Flüssigkeitsmediums verursachten Impedanzzu­ wachs bezeichnet man als Strahlungsimpedanz Z_r:

Z_r = Z_s · S = r_str + jωm_s  r_str = Strahlungswiderstand (11.26)
m_s = mitschwingende Mediummasse

Bei der Abstrahlung von ebenen Schallwellen ist die Strahlungsimpedanz des Kol­ benstrahlers reell und gleich dem Produkt aus Schallkennimpedanz und Strahler­ fläche:

Z_r = r_str = p · c′ · S (Z_s = Z_o = p · c′) (11.27)

Die vom Kolben ins Rohr abgestrahlte Schalleistung P_a ist damit

P_a = J · S = p · c′ · _o² · S = r_str · _o² J = Schallintensität (11.28)

11.4.3 Aufbau von Schallsendern zur Erzeugung ebener Rohrschallwellen

Schallsender zur Erzeugung ebener Schallwellen in flüssigkeitsgefüllten Rohren, z. B. in Meßrohrleitungen oder Impedanzmeßrohren, arbeiten vorzugsweise nach dem piezoelektrischen, dem magnetostriktiven oder dem elektrodynamischen Wandlerprinzip. Bild 11.8 zeigt als Beispiel den prinzipiellen Aufbau eines Schall­ senders mit piezoelektrischer Anregung. Das Wandlerelement besteht aus einem piezokeramischen Rohrschwinger (PZT), der als Längsschwinger polarisiert ist. Eine konphas schwingende, hochabgestimmte (z. B. Aluminium-)Platte, die durch zwei 0-Ringe in der Rohrwandung gehalten wird, arbeitet als Kolbenstrahler.

Die 0-Ringe bestehen i. a. aus Gummi und sorgen für eine weitgehende mechani­ sche Entkopplung zwischen Rohr und Platte. Da die Gummiringe direkt an die Flüssigkeit angrenzen, dürfen sie nicht sehr dick sein (z. B.: 2 mm ⌀), da sie sonst bereits als "schallweiche Berandung" wirken, und der Schalldruck - ins­ besondere bei tiefen Frequenzen - schon am Rohranfang stark absinkt, so daß die Schallabstrahlung ins Rohr nur sehr schwach ist. -

Bild 11.8: prinzipieller Aufbau eines Schallsenders mit piezoelektrischer Anregung zur Erzeu­ gung ebener Schall­ wellen in einem flüssigkeitsgefüllten Rohr

Claims (10)

1. Vorrichtung zur Übertragung ebener Wellen von einem Schwingungs­ geber mit periodischer Anregung (Erzeugung ebener Wellen) in einem fluiden, zylindrischen Leitsystem auf die Objektfläche.

2. Verfahren nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß die Ausnutzung der Filtrierung von Moden der Schwingungsform höherer Ordnung angewendet wird.

3. Verfahren nach Anspruch 2, dadurch gekennzeichnet, daß die Schwingungsform der 00-Mode (ebene Welle) ungedämpft übertragen wird.

4. Verfahren nach Anspruch 3, dadurch gekennzeichnet, daß die Filterung durch die Wahl der Abmessungen des Leitsystems erfolgt.

5. Verfahren nach Anspruch 4, dadurch gekennzeichnet, daß die Wahl der Abmessungen frequenzabhängig zu bestimmen ist.

6. Verfahren nach Anspruch 5, dadurch gekennzeichnet, daß die Schwingungen eine Mündungskorrektur (d. h. eine Verlängerung des schwingenden Fluids in der Leitungsachse) bewirken.

7. Verfahren nach Anspruch 6, dadurch gekennzeichnet, daß für die Mündungskorrektur eine zusätzliche fluide Schwingungsmasse an der Mediengrenze bereitgestellt werden kann.

8. Verfahren nach Anspruch 7, dadurch gekennzeichnet, daß die Mündung nach der Trichtergleichung ausgelegt werden kann.

9. Verfahren nach Anspruch 1-8, dadurch gekennzeichnet, daß zur Bearbeitung größerer Objektflächen eine parallele Anordnung mehrerer Fluidleitsysteme möglich ist.

10. Verfahren nach Anspruch 8, dadurch gekennzeichnet, daß die Fluidsäulen zur Bearbeitung gekrümmter Objektfläche frei wählbare Lagen haben.