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Die vorliegende Erfindung betrifft eine Vorrichtung zum
Messen der Entfernung "h" zu einem Objekt, wobei die Vorrichtung
eine Sendeschaltung enthält, um in Richtung des Objekts eine
Welle mit Perioden linearer Frequenzmodulation auszusenden,
sowie eine Empfangsschaltung, um die vom Objekt reflektierte
Welle zu empfangen, eine Mischschaltung, um eine
Schwebungswelle aus der ausgesendeten Welle und der empfangenen Welle
zu bilden, und ein Verarbeitungsorgan, das auf Abtastwerte
der Schwebungswelle einwirkt, um einer Anzeigevorrichtung die
Information über die Entfernung "h" zu liefern.
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Solche Vorrichtungen werden häufig im Bereich der
Funknavigation zur Höhenmessung verwendet, wobei das Objekt in diesem
Fall der Boden ist. Es können auch weitere Anwendungen
genannt werden, z. B. das Messen der Höhe von Metall in einem
Hochofen.
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Eine Vorrichtung dieser Art ist in der US-Patentschrift
4 568 938 oder in der Patentschrift GB 2 083 312 beschrieben.
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Diese Vorrichtungen, die direkt eine Fourier-Transformation
der Abtastwerte der Schwebungswelle durchführen, sind nicht
sehr gut für das Messen von geringen Abständen geeignet. Um
zu verhindern, daß bei jeder Periode der Frequenzmodulation
die Phasenunterbrechungen des Schwebungssignals das durch die
Fourier-Transformation ausgewertete Spektrum verzerren,
dürfen nämlich nur die während einer einzigen Modulationsperiode
erhaltenen Abtastwerte des Schwebungssignals betrachtet
werden. Zum Erfassen von geringen Entfernungen ist man
gezwungen, für die Frequenzmodulation eine hohe Steigung zu
verwenden. Eine Veränderung mit hoher Steigung kann nicht
sehr lange anhalten und führt nur zu einer geringen Anzahl
von zu verarbeitenden Abtastwerten. In diesem Fall erweist
sich die Fourier-Transformation als wenig wirksam.
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Die vorliegende Erfindung schlägt eine Vorrichtung der im
Oberbegriff genannten Gattung vor, die insbesondere für den
Fall von geringen Werten "h" geeignet ist.
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Zu diesem Zweck ist die Vorrichtung dadurch gekennzeichnet,
daß das Verarbeitungsorgan Mittel zur Voraussage der Ordnung
p mit einstellbaren Koeffizienten "ai" enthält, um die Größe
eines gegenwärtigen Abtastwerts ausgehend von "p" vorherigen,
während einer gleichen Modulationsperiode erhaltenen
Abtastwerten vorauszusagen, die wiederum Mittel zum Speichern
von "p" ersten Abtastwerten aufweisen, die während einer
Modulationsperiode erhalten wurden, indem die Phasenkohärenz
der Abtastwerte von Periode zu Periode aufrechterhalten wird,
sowie Mittel zur Bestimmung eines Fehlers, um eine
Information über den Fehler zwischen dem vorausgesagten Abtastwert
und dem gegenwärtigen Abtastwert zu gewinnen, und
Einstellmittel, um mittels einer iterativen Methode diese
anfänglichen Koeffizienten zu korrigieren, damit die
Fehlerinformation minimiert wird, wobei diese anfänglichen Koeffizienten
aus einer ersten Gruppe von festen Anfangskoeffizienten oder
aus einer zweiten Gruppe gewählt sind, die durch den Wert der
bei einer vorhergehenden Modulationsperiode aufgestellten
Koeffizienten gebildet ist, Mittel zum Berechnen der
Spektraldichte, um Spektrallinien der Abtastwerte der
Schwebungswelle ausgehend von den Koeffizienten "ai" zu erhalten,
und Mittel zur Bestimmung der zur Anzeigevorrichtung zu
übertragenden Information über die Entfernung, die ausgehend von
den Linien bestimmt wurde.
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Es wird darauf hingewiesen, daß die Bestimmung eines
Spektrums ausgehend von den Koeffizienten einer
Voraussagevorrichtung in dem Dokument IEEE Transactions on Aerospace and
Electronic Systems, Band AES-22, Nr. 4, Juli 1986, Seiten 422
bis 430 von D. Hush et al: "Instantaneous Frequency
Estimation Using Adaptive Linear Predictor Weights" beschrieben
ist. Dieses Dokument erwähnt die beabsichtigte Anwendung
nicht, bei der man mit der Aktualisierung von Koeffizienten
zwischen zwei Frequenzmodulationperioden mittels weniger
Abtastwerte konfrontiert ist.
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Die nachfolgende Beschreibung, die sich auf die beigefügten
Zeichnungen bezieht und ebenso wie diese als nicht
einschränkendes Beispiel gegeben ist, erläutert, wie die Erfindung
ausgeführt werden kann.
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Fig. 1 zeigt eine Vorrichtung gemäß der Erfindung.
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Fig. 2 zeigt den Verlauf der Veränderung der Frequenz der
Sendewelle und die Bildung der Schwebungswelle das Flußdiagramm
des von der Erfinogramms.
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Die Fig. 3, 4 und 5 zeigen das Flußdiagramm des von
Erfindung verwendeten Verarbeitungsprogramms
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Fig. 6 zeigt das Flußdiagramm des von der Erfindung
verwendete Unterbrechungsprogramms.
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In Fig. 1 bezeichnet das Bezugszeichen 1 die Vorrichtung, auf
die sich die Erfindung bezieht. Die Vorrichtung ist in einer
Höhe "h" über dem Boden 2 angeordnet. Die Vorrichtung enthält
eine Sendeschaltung, die auf einem
Ultrahochfrequenzoszillator 5 basiert, der mit einer Frequenzsteuerung versehen ist,
die von einem Generator 7 gelieferte Sägezahnsignale
empfängt. Die vom Oszillator 5 ausgebildete Welle wird mittels
einer Sendeantenne 10 zum Boden 2 gesendet.
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Die Empfangsschaltung enthält zuerst eine Empfangsantenne 20,
um die vom Boden 2 reflektierte Welle zu empfangen, sowie
eine Mischschaltung 22 mit zwei Eingängen; einer ihrer Eingänge
ist mit der Mündung der Empfangsantenne 20 und der andere mit
dem Ausgang des Oszillators 5 über einen Koppler 25
verbunden, der für die Mischschaltung 22 einen kleinen Teil der
gesendeten Welle abgreift. Die Schwebungswelle am Ausgang der
Mischschaltung wird in digitale Abtastwerte durch eine
Baugruppe aus einem Sample-and-Hold-Kreis und einem Analog-
Digital-Umsetzer umgesetzt; diese Baugruppe trägt das
Bezugszeichen 30. Ein Verarbeitungsorgan 35 wirkt auf die von der
Baugruppe 30 gelieferten Abtastwerte ein und gibt eine von
einer Anzeigevorrichtung 40 auswertbare Information ab; auf
diese Weise wird der Wert von "h" für den Benutzer erkennbar
gemacht.
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Gemäß der Erfindung ist die Vorrichtung zum Messen der
Entfernung "h" mit einem Verarbeitungsorgan 35 versehen, welches
enthält:
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- Mittel zur Voraussage mit "p" einstellbaren Koeffizienten
"ai", um einen vorausgesagten Abtastwert y(n) zu liefern,
der eine Voraussage des Abtastwerts x(n) der
Schwebungswelle zum Zeitpunkt n·TS ist (n: ganze Zahl, und TS:
Abtastperiode), wobei die Abtastwerte y (n) mittels "p"
vorheriger Abtastwerte der Schwebungswelle bestimmt wurden,
die ausgehend von demselben Sägezahn erhalten wurden,
nämlich x(n-1), x(n-2), . . . x(n-p), so daß für den
vorausgesagten Abtastwert gilt:
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- Mittel zur Fehlerbestimmung, um eine Information über den
zwischen dem vorausgesagten Abtastwert und dem vorliegenden
Abtastwert auftretenden Fehler e(n) zu bestimmen, nämlich:
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e(n) = x(n)-y(n) (2)
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- Einstellmittel, um zum Minimieren des Fehlers auf die
Koeffizienten "ai" einzuwirken; dazu verwendet man z. B. den
Algorithmus des Gradienten, wobei die Koeffizienten in
iterativer Weise gemäß der folgenden Formel angepaßt werden:
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wobei u eine Konstante ist, welche die Schrittweite des
Gradienten darstellt und auf diese Weise die
Geschwindigkeit der Konvergenz und die Varianz des Restfehlers
festlegt; ihr Wert beträgt im allgemeinen zwischen 0 < u 3< 1,
und wobei n den Benutzungszeitpunkt angibt,
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- Mittel zum Berechnen,der Spektraldichte S(f) der Leistung,
um die Spektrallinien (f) der Abtastwerte der gegebenen
Schwebungswelle ausgehend von den Koeffizienten "ai" gemäß
der folgenden Formel zu bestimmen:
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wobei j = -1, f = m fe/N = m/N·TS
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und m eine ganze Zahl ist, welche die Liniennummer von
einer der voneinander mit 1/N·TS beabstandeten N
Spektrallinien darstellt,
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- sowie Mittel zur Bestimmung der zur Anzeigevorrichtung zu
übertragenden Entfernungsinformation, die ausgehend von den
Linien der Spektraldichte bestimmt wurde (z. B. kann man die
Linie mit größter Amplitude verwenden).
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Die oben genannten Mittel des Verarbeitungsorgans 35 bauen
auf einer Mikroprozessor-Baugruppe 50 auf; die von der
Baugruppe 30 übertragenen Informationen werden über ein Register
53 übertragen, dessen Ausgang mit drei Zuständen mit dem
Datenbus BUSD der Baugruppe 50 verbunden ist.
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Die von der Baugruppe 30 bestimmten Daten werden in dem Takt
des am Ausgang eines UND-Gatters 60 auftretenden
Taktgebersignals im Register 53 gespeichert. An einen der beiden
Eingänge des Gatters 60 werden die Signale eines Taktgebers 62
angelegt, der die Abtastfrequenz fe = l/TS festlegt. An
den
anderen Eingang wird ein vom Generator 7 erhaltenes Signal
THS angelegt, um das Gatter 60 während der Zeitdauer T
durchlässig zu machen, während der der Sägezahn erzeugt wird
(siehe Fig. 2). Die Signale des Gatters 60 werden auch an den
Eingang INT der Baugruppe 50 angelegt, damit man den Ablauf
eines Unterbrechungsprogramms starten kann, welches
ermöglicht, im internen Speicher der Baugruppe 50 durch das
Register 53 gehende Abtastwerte zu speichern. Zu diesem Zweck
erzeugt die Baugruppe 50 über einen mit dem Adreßbus BUSA der
Baugruppe 50 verbundenen Decoder 70 ein Signal IN, um den
Ausgang des Registers 53 auf den Durchlaßzustand zu setzen.
Der Decoder 70 liefert ein Signal OUT für ein Register 75,
dessen Eingang mit dem Datenbus BUSD und dessen Ausgang mit
der Anzeigevorrichtung 40 verbunden ist. Die Baugruppe 50
erzeugt weiterhin über den Decoder 70 ein Signal TSW, um den
Ausgang eines Kippgliedes 80 (mit drei Zuständen) auf den
Durchlaßzustand zu setzen. Dieses Kippglied empfängt an
seinem Kippeingang das vom Generator 7 stammende Signal THS. Auf
diese Weise ändert das Ausgangssignal SW dieses Kippgliedes
zu Beginn jedes Sägezahns seinen Zustand.
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Vor einer ausführlichen Beschreibung des Betriebs der
Vorrichtung der Erfindung sind die folgenden Betrachtungen
notwendig:
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Es wird angenommen, daß die Koeffizienten a- so eingestellt
sind, daß sich der Fehler e(n) wie ein weißes Rauschen mit
minimaler Energie verhält. Es sei die Z-Transformierte dieses
Fehlers e(n) gleich E(Z), d. h. daß die folgende Beziehung
gilt:
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E(Z) * E(Z&supmin;¹)= K² (5)
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wobei * eine Faltung darstellt.
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Wenn man nun die Z-Transformierte der Gleichung (2) nimmt,
erhält man:
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E(Z) = X(Z)-H(Z)·X(Z) (6)
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wobei H(Z) die Transferfunktion der Voraussagevorrichtung
ist:
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H(Z) = - a&sub1;Z&supmin;¹ - . . . apZ-p (6 bis)
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und X(Z) die Z-Transformierte der Abtastwerte x(n) ist.
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Wenn A(Z) eine Funktion der Form
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A(Z) = E(Z)/X(Z) (7)
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ist, die sich unter Berücksichtigung von (6) und (6 bis) in
der folgenden Form darstellt:
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kann man (7) in der folgenden Form darstellen:
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X(Z = E(Z)/A(Z) (9)
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wodurch sich die Spektraldichte S(f) unter Berücksichtigung
von
(5) in der folgenden Form darstellt:
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S(f) = X(f) ² =K²/ A(f) ² (10)
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wobei Z durch ej2πf ersetzt wurde.
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Im Anhang wird eine Methodik gegeben, die ein leichtes
Berechnen von S(f) in Abhängigkeit von den Koeffizienten ai
ermöglicht.
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Es ist nun möglich, ausführlicher die Arbeitsweise der
Vorrichtung gemäß der Erfindung zu beschreiben.
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In Fig. 2 sind bei a die Änderungen der Frequenz des
Ausgangssignals des Oszillators 5 und bei b die Amplitude der
Schwebungswelle am Ausgang der Schaltung 22 dargestellt,
wobei sich die bei a und k dargestellten Signale in
Abhängigkeit von der Zeit "t" ändern. Während einer Zeitdauer T (z. B.
64 us) ändert sich die Frequenz der Welle des Oszillators 5
von f&sub0; = 4,800 GHz zu f&sub1; = 4,825 GHz. Die gleiche Änderung
wiederholt sich nach einer Zeit TR (in der Größenordnung von
z. B. 150 us). Diese Änderungen sind in durchgezogenen Linien
dargestellt. Die Änderungen der Frequenz des empfangenen, um
eine Zeit T verschobenen Signals sind gestrichelt und
übertrieben dargestellt. Es wird daran erinnert, daß die Zeit T
mit der Entfernung "h" gemäß der folgenden Formel
zusammenhängt:
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τ = 2h/c (11)
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wobei c die Lichtgeschwindigkeit ist, und da die Frequenz fb
des Schwebungssignals am Ausgang der Mischschaltung 22 mit
dieser Verzögerung τ gemäß der folgenden Formel verbunden
ist:
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b/τ = f&sub1;-f&sub0;/t (12)
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erhält man die Entfernung "h" durch
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Da alle Parameter der Formel (13) Konstante sind, muß das
Verarbeitungsorgan 35 den Wert "fb" bestimmen, der dann die
Entfernung "h" festlegt. Man sieht, daß aufgrund der
Diskontinuitäten der Sägezähne keine Phasenkohärenz der
Schwebungswelle gewährleistet werden kann. Daher besteht in Fig. 2b
praktisch eine Diskontinuität zwischen der Phase B der vom
zweiten Sägezahn hervorgerufenen Schwebungswelle und der
Phase ΦB der Schwebungswelle am Ende des ersten Sägezahns. Um
diesen nachteiligen Effekt zu verhindern, läßt das Organ 35
ein Programm ablaufen, das die obigen Betrachtungen
berücksichtigt. Dieses Programm ist in zwei Teile unterteilt: in
einen Verarbeitungsprogrammteil, dessen Flußdiagramm in den
Fig. 3, 4 und 5 dargestellt ist, und in einen
Unterbrechungsprogrammteil, der in Fig. 6 dargestellt ist.
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Das Flußdiagramm von Fig. 3 bezieht sich auf die
Initialisierungsphase des Verarbeitungsprogramms. Das Feld KO dieses
Flußdiagramms stellt eine Unterbrechungs-Maskierung dar, was
bedeutet, daß die an den Eingang INT der Baugruppe 50
angelegten Signale diese Initialisierungsphase nicht stören
können; im Feld Kl werden die Anfangswerte der
Voraussagevorrichtung aufgenommen; man identifiziert die Inhalte der
Speicher A(i) leicht mit den ai von Formel (8), und man sieht,
daß die Anfangskoeffizienten alle den Wert "0" besitzen mit
Ausnahme des in A(0) enthaltenen Koeffizienten a&sub0;, der den
Wert "1" aufweist. Das Feld K2 stellt die Initialisierung der
verschiedenen Variablen dar, die im Programmablauf benötigt
werden und hier nicht ausführlicher beschrieben werden. Diese
Initianisierungsphase wird im Feld K3 beendet, welches das
Entfernen der Unterbrechungs-Maskierung darstellt, was
bedeutet, daß die an den Eingang INT angelegten Signale das
Unterbrechungsprogramm auslösen werden, dessen Flußdiagramm in
Fig. 6 dargestellt ist.
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Bevor die Phase des Verarbeitungsprogramms weiter ausgeführt
wird, wird die Arbeitsweise des Unterbrechungsprogramms
ausführlicher dargestellt.
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Das Feld K10 erinnert daran, daß dieser Programmteil mit dem
Auftreten eines aktiven Signals am Eingang INT beginnt. Das
Feld K11 stellt einen Test des Inhalts des Kippgliedes 80
dar. Man vergleicht diesen Inhalt unter Aktivierung des
Signals TSW mit einem vorher, z. B. während der
Initialisierungsphase, gespeicherten Wert dieses Signals. Für diesen
Test wird eine Exklusiv-ODER-Operation zwischen den Werten SW
und dem Inhalt des Speichers CSW durchgeführt. Der Wert 1
zeigt an, daß es eine Veränderung gegeben hat. Wenn eine
Veränderung vorliegt, geht man weiter zum Feld K12. In diesem
Feld speichert man den neuen Wert von SW, und man setzt den
Unterbrechungszähler ITP auf Null, Feld K13; das nachfolgende
Feld 14 stellt das Ende des Unterbrechungsprogramms dar. Wenn
der Test im Feld K11 negativ ausfällt, also wenn die
Unterbrechungen während desselben Sägezahns auftreten, werden
letztere mittels eines Zählers ITP (Feld 15) so gezählt, daß
die Abtastwerte des Registers 53 in eine Tabelle X(ITP)
eingeordnet werden, deren Adressen von dem Zähler ITP abhängen
(Feld K16). Der im Feld K17 dargestellte Test stoppt den
Prozeß des Einordnens, sobald der Zähler den Wert IMAX erreicht,
z. B. in der Größenordnung von 64; dann wird die Unterbrechung
maskiert (Feld K18), und man kehrt zum Verarbeitungsprogramm
zurück (Feld K14). Wenn der Zählwert IMAX nicht erreicht
wird, geht man direkt zum Feld K14.
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Die in Fig. 4 dargestellte Phase des Verarbeitungsprogramms
bezieht sich auf die Bestimmung der Koeffizienten A(I). Vor
dem Beginn dieser Phase wird getestet, ob im Feld X(I)
ausreichend Abtastwerte vorliegen, es wird also der Inhalt des
Zählers ITP im Vergleich zur Ordnung P der
Voraussagevorrichtung getestet; solange der Zählwert nicht erreicht ist, wird
der Test wiederholt. Sobald der Zählwert erreicht ist, wird
der Prozeß des Berechnens des Fehlers gestartet (siehe Formel
(2) unter Berücksichtigung von (1)). Dieser Fehler wird in
einem Speicher ERR akkumuliert, der vorteilhafterweise der
Akkumulator des verwendeten Prozessors sein kann. Man sieht
das Argument von X: P-I+J, wo das sich inkrementierende I
ermöglicht, immer stärker verzögerte Abtastwerte abzurufen, und
J das Aktualisieren der Formel mit immer neueren Abtastwerten
ermöglicht. Die Felder K22 und K23 bestimmen das Beenden des
Berechnens des Fehlers für P aufeinanderfolgende Abtastwerte.
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Im Feld K24 wird die vom Fehler abhängende Korrekturkonstante
berechnet (um den auf die Koeffizienten A(I) anzuwendenden
Korrekturterm zu berechnen). Man initialisiert (Feld K25)
einen Index I, der zum Adressieren jedes der Koeffizienten A(I)
verwendet wird; die Korrektur ist im Feld K26 dargestellt.
Die Felder K27 und K28 ermöglichen das Steuern des
Korrekturprozesses für alle Koeffizienten A(I). Im Feld K29 wird dann
der Index J um eine Einheit inkrementiert. Man verifiziert
zuerst, in Feld K30, ob die Tabelle der IMAX-Werte von X(I)
in Übereinstimmung mit dem in Feld K17 (Fig. 6) dargestellten
Test verarbeitet wurde; ist dies der Fall, wird getestet, ob
das Argument P + J der Tabelle X(I) einem gespeicherten Wert
entspricht (Feld K31); ist dies nicht der Fall, wird der Test
im Feld K31 in Form einer Schleife wiederholt, und er fällt
durch den Eingriff des Unterbrechungsprogramms positiv aus.
Man gelangt dann zum Feld K21, um den Fehler "en" erneut zu
berechnen. Wenn der Test in Feld K30 positiv ausfällt,
gelangt man zum Feld K35, welches das Maskieren der
Unterbrechungen darstellt. Diese gehen dann nachfolgend nicht mehr in
den Ablauf des Verarbeitungsprogramms ein.
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Die in Feld K50 dargestellte Operation zeigt das
Vorhandensein einer Variable FR an, die sich auf die Analysefrequenz
bezieht. Im Feld K51 wird ein Wert PHI bestimmt, der dem Wert
"2πf" insbesondere der Formel A11 gleichgesetzt wird (siehe
Anhang), wobei der dargestellte Wert FRE mit fe/N
gleichgesetzt wird, während FR mit m gleichgesetzt wird, dann wird
von diesem Wert der Cosinus berechnet (Feld K52), was
vorzugsweise durch Tabulation geschieht: dies bedeutet, daß
verschiedene
Werte von cos PHI im voraus bestimmt wurden und daß
der berechnete Wert PHI die Adresse des tabellierten
Cosinuswerts ergibt. Dann wird dieser Wert mit Zwei multipliziert
(Feld K53), was eine Konstante KP ergibt, die nachfolgend in
den Berechnungsablauf eingeht. Im Feld K54 wird ein Index I
auf Null gesetzt, bevor die im Feld K55 dargestellte
Berechnung durchgeführt wird, die in der Anwendung der Formel A13
besteht. Die in den Feldern K56 und K57 dargestellten
Operationen ermöglichen das Berechnen der Formel A13 für alle
Koeffizienten A(I). Das Feld K58 erläutert das Berechnen der
Formel A14. Der Wert S des Feldes K59 ist näherungsweise dem
Wert X(f) der Formel A15 gleichzusetzen. Dieser Wert S stellt
die Amplitude einer Spektrallinie dar, deren Ordnungszahl
durch den Wert FR gegeben ist. Es wird ein mit SM
bezeichneter Speicher verwendet, um die Maximalwerte der Amplituden
der Frequenzlinien aufzunehmen, deren Ordnungszahlen zwischen
(FR, . . . FN) liegen, sowie ein Speicher FRM, um den Wert der
Ordnungszahl aufzunehmen, den dieser Maximalwert gibt (siehe
Felder K60 und K61). Der im Feld K62 dargestellte Test
unterbricht die Schleife zum Feld K50, wenn FR > FM, und der Wert
FM wird über das Register 75 an die Anzeigevorrichtung 40
angelegt. Dazu wird das Signal OUT aktiviert (Feld K63), dann
gelangt man gemäß einer ersten Ausführungsform der Erfindung
zum Feld K1 zurück (Pfeil VAR1), um eine weitere Verarbeitung
von anderen Abtastwerten unter Verwendung immer noch der
Werte 1 oder 0 für die Voraussagekoeffizienten zu beginnen.
Gemäß einer weiteren Ausführungsform gelangt man zum Feld K2
(Pfeil VAR2), was bedeutet, daß die Voraussagekoeffizienten
durch die vorher bestimmten Werte initialisiert werden.
ANHANG
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Berechnung von:
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wobei Z = ej2πf mit f = m fe/N.
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Erster Schritt: Berechnung von A(Z)
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Dann setzt man
ri = ri-1 Z + ai (A3)
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mit r&sub0; = a&sub0;.
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(A3) kann geschrieben werden als:
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ri =ri-1ej2πf+ai (A4)
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oder
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ri-1=ri-2ej2πf+ai-1 (AS)
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oder auch
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ri-1e-j2πf=ri-2+ai-1e-j2πf (A6)
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Durch Bilden der Differenz der Beziehungen (A4) und (A6)
erhält man:
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ri-ri-1e-j2πf = a&sub1;-ai-1e-j2πf +ri-1ej2πf-ri-2 (A7)
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wobei:
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ri=ai-ai-1·e-j2πf+ 2 cos (2πf)ri-1-ri-2 (A8)
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Wenn man:
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ri-v&sub1;-e-j2πfvi-1 (A9)
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setzt, erhält man:
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Durch Identifizierung erhält man:
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vi=ai+2 cos(2πf)vi-1-vi-2 (A11)
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und folglich rp=vp-e-j2πfvp-1
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sowie A(Z)
= rp
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was zu den folgenden Formeln führt:
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A(Z) ² = (vp- cos(2πf)vp-1)² + (sin 2πf·vp-1)²
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A(Z) ² = v²p + v²p-1 - 2 cos(2πf)·vp·vp-1 (A12)
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Der Algorithmus kann für jede gesuchte Linie f mit
Ordnungszahl m in zwei Abschnitte zusammengefaßt werden:
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- erster Abschnitt: man nimmt als Anfangszustände:
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V&submin;&sub1; = 0
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v&submin;&sub2; = 0
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- zweiter Abschnitt: für die p Koeffizienten, also für
i=0, . . . p, bildet man:
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vi ai + 2cos(2πm) vi-1 - vi-2 (A13)
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A(f) ² = v²p + v²p-1 - 2 cos(2πf)·vp-vp-1 (A14)
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Zweiter Schritt:
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Für jede Linie f mit Ordnungszahl m wird die nachfolgende
Operation durchgeführt:
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X(f) ² = 1/ A(f) ²