DE3710559A1

DE3710559A1 - Verfahren zur ermittlung von hypothesen oder fehlern unter beruecksichtigung unsicherer merkmale

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Publication number: DE3710559A1
Application number: DE19873710559
Authority: DE
Inventors: Peter Liebel
Original assignee: Individual
Current assignee: Liebel Franz-Peter Dr 4800 Bielefeld De
Priority date: 1987-03-30
Filing date: 1987-03-30
Publication date: 1988-10-13

Description

Erläuterungen 1. L-Satz und L-Operator

Den Berechnungen wird der L-Satz

zugrunde gelegt, dessen L-Operator, durch die nachfolgenden Regeln 1-8 definiert wird.

Bezeichnungen

p(E _h/E _h′), h beliebig, gibt die Sicherheit an, mit der die Eigenschaft E _h tatsächlich auftritt.

(. . . E _h . . .) bedeutet, daß das Ereignisprodukt in der runden Klammer an beliebiger Stelle das Ereignis E _h enthält.

Die Anzahl unsicherer Merkmale in einem Ereignisprodukt sei i.

Regel 1

multipliziert, dann zu dem so gebildeten Ausdruck denselben Ausdruck additiv hinzugefügt und schließlich in dem additiv hinzugefügten Ausdruck alle E _h negiert.

Regel 2

Eine Operation ist undefiniert, falls das unter dem Operator stehende Ereignis im Operanden an irgendeiner Stelle negiert auftritt.

Regel 3

Ein Operator ist undefiniert, falls das unter dem Operator stehende Ereignis an keiner Stelle des Operanden vorkommt.

Regel 4

Ist der Operand eine Summe, so wird der Operator auf jeden Summanden angewendet, und die Teilergebnisse werden summiert.

Regel 5

Ist der Operand ein Produkt, so werden die Faktoren, die das unter dem Operator stehende Ereignis nicht enthalten, vor den Operator gezogen. Zur Vereinfachung wird für beliebiges

Regel 6

Das Produkt zweier Operatoren ist die Hintereinanderausführung dieser Operatoren.

Regel 7 (Definitionsbereich)

Der Definitionsbereich eines Operators

enthält 0, 1 und beliebige p(. . . E _h . . .). Hinzu kommen die Ausdrücke, die aus p(. . . E _h . . .) bei Beachtung der Regeln 1 bis 6 durch wiederholte Anwendung beliebiger Operatoren

gebildet werden können.

Regel 8 (Wertebereich)

Der Wertebereich eines Operators

enthält 0, 1 und alle Ausdrücke, die aus beliebigen p(. . . E _h . . .) durch regelgerechte Anwendung des Operators

gebildet werden können.

Weitere Erläuterungen zu L-Satz und L-Operator siehe Beispiel: "Fehlerermittlung am Radargerät".

2. Formeln der Form ∂p(H _j E _k . . . E _h . . . E₁)/∂p(E _h)₊ etc.

Es sei
n die Gesamtzahl der Ausführungen eines Zufalls experiments,
n(H _j E _k . . . E _h . . . E₁) die Anzahl derjenigen Ausführungen, die die Eigenschaft (H _j E _k . . . E _h . . . E₁) besitzen.

Dann bedeutet die Formel

wobei außer n(E _h) alle n(E _k), . . ., n(E _h), . . ., n(E₁) fest gehalten sind, und wobei nur die zunehmende Änderung von n(E _h) zugelassen ist.

Steht im Nenner ein Minuszeichen, also ∂p(E _h)_-, so ist nur die abnehmende Änderung von n(E _h) zugelassen.

Beispiel

Hierbei ist "x" eine Ausführung des Zufallsexperiments mit den darunter aufgeführten Eigenschaften E 1 und E 2. Es werden dafür folgende Werte ermittelt:

Nun sei n(E 2) fest, wogegen n(E 1) - etwa durch einen zufälligen Fehler - um Δ n(E 1) zunehmen kann.

Dann gilt:

Entsprechend gilt:

Die vorliegende Erfindung bezieht sich auf ein Verfahren zur Ermittlung der Wahrscheinlichkeiten von Hypothesen oder Fehlern, die durch charakteristische Mengen von Merkmalen (z. B. Meßgeräteanzeigen bei technischen Geräten o. dgl.) bestimmt sind.

In vielen Wissensbereichen tritt das Problem auf, daß man aus einer Anzahl von Merkmalen auf diejenigen "wis sensbereichspezifische Gegebenheiten" schließen möchte, zu denen diese Merkmale am wahrscheinlichsten gehören. Solche "wissensbereichspezifischen Gegebenheiten", über deren Zutreffen anhand der festgestellten Merkmale entschieden werden soll, sind zum Beispiel Gerätefehler in der Technik. Sie werden im weiteren kurz "Hypothesen" genannt. Merkmale sind dann einfach Meßwerte, Beobachtungen oder sonstige Daten, die zu solchen Hypothesen gehören.

Allgemeiner formuliert: Gegeben ist eine Menge von Hypothesen, von denen jede eindeutig durch eine Menge von Merkmalen charakterisiert ist. Gesucht sind diejenigen Hypothesen, die einer vorgegebenen Menge negierter, unnegierter oder unsicherer Merkmale zugeordnet werden können, wobei die Wahrscheinlichkeit der Zugehörigkeit nebst einem mittleren Fehlerintervall für diesen Wahr scheinlichkeitswert anzugeben ist.

Die vorgegebenen Merkmale, für die zugehörige Hypothesen gefunden werden sollen, sind im allgemeinen
* nicht mit Sicherheit vorhanden,
* nicht voneinander stochastisch unabhängig,
* nicht vollzählig in dem Sinn, daß die Merkmalsmuster der tatsächlich zutreffenden Hypothesen nicht vollzählig vorhanden sind.

Für die zu der vorgegebenen Merkmalsmenge gehörenden Hypothesen gilt, daß
* sie sich nicht gegenseitig ausschließen.

Wissensbereiche, in denen die Probleme auftreten, sind unter anderem Technik, Medizin, Computerwissenschaft, Biologie und Sportwissenschaft. Folgende Aufgaben sind in diesen Bereichen zu bewältigen:

- Ermittlung von Fehlern bei elektrischen und elek tronischen Geräten, Motoren, Triebwerken, industriellen Anlagen,
- Ermittlung pathophysiologischer Zustände bei Menschen, Tieren und Pflanzen,
- Erkennung gesprochener Wörter durch die Berechnung der Wahrscheinlichkeit ihres Auftretens unter Verwendung von Wort-Merkmal-Zuordnungen,
- Eignungs- und Leistungsprognose bei beruflichen und sportlichen Betätigungen, usw.

Viele der bisherigen Systeme setzen weitgehende stochastische Unabhängigkeiten der Merkmale und der Merkmalsprodukte voraus. Solche Voraussetzungen sind im allgemeinen nicht erfüllt und führen zu hohem Überwachungsaufwand und/oder falschen Ergebnissen.

Vermeidet man solche Voraussetzungen, so ergibt sich die Schwierigkeit, daß die Anzahl der Merkmalswahrschein lichkeiten unter der Bedingung des Auftretens anderer Merkmale so groß wird, daß das System nicht mehr gehandhabt werden kann.

Einige weitere Systeme versuchen, mittels empirischer Zuweisungsfunktionen eine Zuordnung der zur Auswertung vorliegenden Merkmalsmenge zu den Hypothesen zu erreichen. Hierbei werden Beziehungen eingesetzt, die mit den Erkenntnissen der klassischen Wahrscheinlichkeitstheorie nicht in Übereinstimmung zu bringen sind. In den besonders wichtigen Grenzfällen der jeweils anstehenden Problematik versagen solche Systeme.

Ein großer Mangel existierender Systeme besteht darin, daß nur solche Merkmale in das aktuell zu berücksichtigende Merkmalsprodukt gelangen können, die mit Sicherheit festgestellt werden. Darüber hinaus liefern bestehende Systeme bisher keine exakte Fehlerrechnung.

Mathematisch läßt sich das Problem folgendermaßen formulieren:

1.{E _i|i = 1, . . ., l}, l∈N, ist die Menge der zuge lassenen Merkmale (engl.: Evidence). 2.{H _j|j = 1, . . ., m}, m∈N, ist die Menge der zuge lassenen Hypothesen. Es wird also im weiteren wegen der weitverbreiteten Begriffsbildung stets von den Hypothesen H _j die Rede sein, deren Wahrscheinlichkeit aufgrund aufgetretener Merkmale ermittelt werden soll. 3.Zu jeder Hypothese H _j, 1 j m gehört eine Merk malsmenge T _j, für die gilt:
- T _j⊂{E _i|i = 1, . . ., l},
- T _j enthält alle zu H _j gehörenden Merkmale,
- T _j enthält keine nicht zu H _j gehörenden Merkmale,
- (H _a ≠ H _b) ⇔ (T _a ≠ T _b) für alle 1 a, b m,
- T _j enthält nur nicht-negierte Merkmale.

5.Die Elemente der Menge {H _j|j = 1, . . ., m} schließen sich nicht gegenseitig aus. Insbesondere gilt nicht

6.Die Elemente der Menge {E _i|i = 1, . . ., l} sind im allgemeinen nicht stochastisch unabhängig. Für beliebige E _r, E _s mit 1 r, s l gilt also im allgemeinen nicht:
p(E _r|E _s) = p(E _r).
Ebenso sind Merkmalsprodukte im allgemeinen nicht stochastisch unabhängig. 7.Die zu verarbeitende Merkmalsmenge S ⊂ {E _i|i = 1, . . ., die für die Ermittlung der Wahrscheinlichkeiten der Hypothesen eingesetzt wird, enthält im allgemeinen keine vollständige, einem H _a zugeordnete Merkmalsmenge, 1 a m.

Mit den Festlegungen 1. bis 7. läßt sich die Problemstellung wie folgt formulieren:
Gegeben sei eine beliebige Menge S ⊂ {E _i|i = 1, . . ., l}, wobei voneinander verschiedene Elemente von S negiert, nicht-negiert oder unsicher auftreten können. Gesucht ist eine geordnete Liste der p(H _j|Π_j), j = 1, . . ., m, wobei Π_j das Produkt all der Elemente von S ist, die auch in T _j vorkommen. Gesucht wird darüber hinaus zu jedem p(H _j|Π_j) die Angabe des absoluten mittleren Fehlers Δ p(H _j|Π_j).

Der vorliegenden Erfindung liegt die Aufgabe zugrunde, ein Verfahren zur Ermittlung der Wahrscheinlichkeit des Vorliegens von Hypothesen, Fehlern o. dgl. anzugeben, mit denen in exakter Weise aufgrund einer vorgegebenen Menge von Merkmalen, d. h. Meßwerten, Beobachtungen o. dgl., zunächst eine nach fallenden Wahrscheinlichkeiten geordnete Liste der möglichen Hypothesen aufgestellt werden kann.

Erfindungsgemäß wird diese Aufgabe dadurch gelöst, daß mit Hilfe eines Rechners und einer ersten Datei, die Informationen über die möglichen Hypothesen und die zugehörigen charakteristischen Merkmalsmengen enthält, zunächst für jede mögliche Hypothese aus der charakteristischen Merkmalsmenge und der zur Auswertung vorgegebenen Merkmalsmenge mittels Durchschnittsbildung die jeweils aktuell zu berücksichtigende Merkmalsmenge (E _k . . . E _i+1 E _i′ . . . E₁′) gebildet wird, bei dem die ersten i Merkmale unsicher und die nachfolgenden (k-i) Merkmale auch negiert sein dürfen, wobei k 1 und i 0 ist. Den weiteren Berechnungen wird der L-Satz

zugrunde gelegt, und es werden mit Hilfe des Rechners und einer zweiten Datei, die eine Sammlung real aufgetretener Fälle mit Angaben über die jeweilige Hypothese und über das Vorhandensein oder Nicht-Vorhandensein genau der und nur der gemäß Datei 1 jeweils zugehörigen charakteristischen Merkmale enthält, durch einfaches Abzählen die im L-Satz geforderten Produktwahrschein lichkeiten bestimmt, wobei in der Datei 2 nicht aufgeführte Merkmale als nicht vorhanden gewertet werden, und als Ergebnis wird der Wert p(H _j|E _k . . . E _i+1 E _i′ . . . E₁′), j = 1, . . ., m, nach Maßgabe des L-Satzes berechnet.

Die in der Fallsammlung enthaltenen Fälle besitzen also Angaben über die jeweilige Hypothese und über das Vorhandensein oder Nicht-Vorhandensein der gemäß Datei 1 jeweilig zugehörig charakteristischen Merkmale, wobei die übrigen, nicht-charakteristischen Merkmale als nicht vorhanden gewertet werden. Dies wird so begründet, daß die nicht dazugehörenden Merkmale entweder einem sich überlagernden Fall zuzuordnen sind, über dessen Aufnahme in die Datei 2 entsprechend der Kriterien für die Erhebung von Stichproben gesondert entschieden werden muß, oder daß diese Merkmale fälschlicherweise festgestellt worden sind. Für die als Ergebnis ermittelten p(H _j|E _k . . . E _i+1 E _i′ . . . E₁′), j = 1, . . ., m wird also still schweigend die Voraussetzung zugrunde gelegt, daß überhaupt eine Hypothese vorliegt; das Nicht-Vorhandensein von Hypothesen trotz beobachtbarer Merkmale wird ausge schlossen.

Für das Ergebnis R := p(H _j|E _k . . . E _i+1 E _i′ . . . E₁′) wird schließlich der absolute mittlere Fehler Δ R angegeben nach der Formel

Hierbei werden p(E₁), . . . p(E _k) und p(E₁|E₁′), . . ., p(E _i|E _i′) als die Größen betrachtet, die mit zufälligen Fehlern behaftet sein können; es sind also jeweils

zu bilden. Dabei ergibt sich die Schwierigkeit, Ausdrücke der Form

etc. herzustellen.

Hierzu werden dann die Formeln

verwendet.

Das vorgeschlagene Verfahren hat zunächst den Vorteil, daß es keine Voraussetzungen über die stochastische Unabhängigkeit der Merkmale benötigt. Auch vermeidet es die Benutzung großer Mengen bedingter Merkmalswahr scheinlichkeiten.

Des weiteren hat es den Vorteil, daß es unsichere Merkmale zuläßt, und daß für jede ermittelte Hypothesenwahr scheinlichkeit eine Fehlerrechnung möglich ist.

Für das Verfahren wird der leicht berechenbare L-Satz benutzt, dessen geforderte Produktwahrscheinlichkeiten aus einer Fallsammlung durch einfaches Abzählen gewonnen werden. Hierbei werden alle Fälle gezählt, die mindestens die Merkmale enthalten, die durch das zur Diskussion stehende Merkmalsprodukt angegeben sind.

Durch die erfindungsgemäße Vorgehensweise ergeben sich weitere Vorteile:

- Grundsätzlich alle (bekannten) Hypothesen werden für eine Bewertung herangezogen, so daß keine Hypothese, deren Wahrscheinlichkeit einen Schwellenwert übersteigt, vergessen werden kann.
- Jeder benutzte Wahrscheinlichkeitswert ist ein be rechneter Wert; er basiert auf statistischem Material, das im Rechner verfügbar gehalten wird und fortlaufend erweitert werden kann.
- Eventuell erforderliche zusätzliche Merkmale werden nur für die wahrscheinlichsten Hypothesen nachgefordert, so daß richtungslose Befunderhebung entfällt.

Anhand eines Beispieles, und zwar der Fehlerermittlung an Radargeräten, soll das erfindungsgemäße Verfahren näher erläutert werden. Es wird jedoch explizit darauf hingewiesen, daß es sich um die Darstellung des Ver fahrensablaufs handelt. Die aus Übersichtlichkeitsgründen angegebene geringe Anzahl von Fällen erlaubt keine Aussage über die Wahrscheinlichkeit von Ereignissen oder Ereignisprodukten.

Folgende Situation sei angenommen:
Eine größere Anzahl von Radargeräten desselben Typs ist unter vergleichbaren Bedingungen im Einsatz. Auftretende Störfälle werden zentral dokumentiert.

Bezeichnungen

H _j: Fehler (Hypothesis);
E _i: Merkmal (Evidence);
_i: gesuchtes, jedoch nicht bestätigtes Merkmal.

CodeBeschreibung

H 1Kondenswasser in Hohlleiter HL 102 H 2Widerstand R 65 oberhalb Toleranzgrenze H 3Spannungsabfall durch Kriechströme über C 14 .
.
.
E 1Bildschirmanzeige Radarecho verwaschen E 2Bildschirmanzeige in x-Richtung gedehnt E 3Bildschirmanzeige oszilliert E 4Antennendrehung ungleichmäßig E 5Warnlampe L 208 flackert E 6Rauch aus Power Supply E 7Reibegeräusche aus Antennengetriebe .
.
.

Hilfsmittel 1 Kartei der möglichen Fehler mit zugehörigen charakteristischen Merkmalsmustern

Grundsätze für den Aufbau der Kartei:

1. Alle Merkmale sind Folgen von Fehlfunktionen, d. h. Normalwerte sind keine Merkmale.
2. Für jeden Fehler wird eine zunächst ungeordnete Sammlung von Merkmalen aufgestellt, wie sie aus Konstruk tionsunterlagen und aufgrund theoretischer Überlegungen gewonnen werden kann. Jedes Merkmal steht in einem kausalen Zusammenhang zu dem zugehörigen Fehler.
3. Für jedes auf diese Weise gesicherte Merkmal E _i, i ∈ {1, . . ., 7} werden für alle Hypothesen H _j, j = 1, . . ., 3, die Wahrscheinlichkeiten p(E _i|H _j) bestimmt.
Hierzu wird Hilfsmittel 2 (s. u.) verwendet.
4. Jedem Fehler H _j, j ∈ {1, . . ., 3} wird seine nach ab nehmenden p(E _i|H _j), i = 1, . . ., 7 sortierte Merkmalsmenge zugeordnet.
5. Negierte Merkmale sind nicht enthalten; für beliebige i, j ist _j mit p( _i|H _j) gleichbedeutend zu E _i mit 1 - p( _i|H _j). (Merkmale mit p(E _i|H _j) < 1 werden ignoriert).

Hilfsmittel 2 Kartei der dokumentierten Störfälle

Grundsätze für den Aufbau der Kartei:

1. Die dokumentierten Störfälle werden nach Fehlern H _j, j = 1, . . ., 3 sortiert.
2. Die bei einem Störfall festgestellte Merkmalsmenge muß Angaben über das Vorhandensein oder Nicht- Vorhandensein all jener Merkmale enthalten, die gem. Hilfsmittel 1 zum jeweiligen Fehler gehören.
(Charakteristische Merkmalsmenge).
3. Darüber hinaus können bei jedem Störfall beliebige Merkmale auftreten. Sie gehören entweder zu einem sich überlagernden Fall, über dessen Aufnahme in die Datei 2 anhand der Kriterien für die Erhebung der Stichprobe gesondert entschieden werden muß, oder sie sind fälschlicherweise bestimmt worden. Solche nicht zur Hypothese gehörenden Symptome werden grundsätzlich als nicht vorhanden gewertet.

Verfahren

Es sei das Merkmalsprodukt (E 7 E 3′ E 1′) gegeben. Aus (E 7 E 3′ E 1′) sollen dann die p(H _j|E 7 E 3′ E 1′), j = 1, . . ., 3 bestimmt werden.
Außerdem seien bekannt:
p(E 1) = 11/15; p(E 3) = 8/15; p(E 1|E 1′) = 7/10; p(E 3|E 3′) = 8/10.

Grundsätze für den Ablauf des Verfahrens:

1. Für jedes p(H _j|E 7 E 3′ E 1′), j = 1, . . ., 3 werden in der Bedingung diejenigen Merkmale entfernt, die gem. Hilfsmittel 1 nicht zu H _j gehören.
2. Die erforderlichen Produktwahrscheinlichkeiten werden durch Abzählen in Hilfsmittel 2 bestimmt. Hierbei werden alle Fälle gezählt, die mindestens die durch das Ereignisprodukt angegebenen Merkmale enthalten. Nicht-charakteristische Merkmale werden grundsätzlich als nicht vorhanden gewertet.
3. Sind die p(H _j|E 7 E 3′ E 1′), j = 1, . . ., 3 bestimmt, so können für die Hypothese mit der höchsten Wahrscheinlichkeit weitere, noch nicht untersuchte Merkmale abgefragt werden (Priorität gem. Hilfsmittel 1, gewählt wird das Merkmal, das in Hilfsmittel 1 möglichst weit oben steht).

Es ergibt sich:

Für die wahrscheinlichste Hypothese H 3 ist E 2 das nächste, noch nicht untersuchte Merkmal, da
p(E 2|H 3) < p(E 6|H 3) und p(E 2|H 3) < p(E 4|H 3).

Je nach Vorliegen, Nicht-Vorliegen oder unsicherem Vorliegen wird dann E 2, 2 oder E 2′ zu (E 7 E 3′ E 1′) hinzugefügt. Es werde angenommen, daß E 2′ gelte. Dann wird für das Merkmalsprodukt (E 7 E 3′ E 2′ E 1′) erneut auf dieselbe Weise verfahren, d. h. es wird z. B. für H 1 bestimmt:

usw.

Das Verfahren kann bei jeder beliebigen Merkmals-Anzahl abgebrochen werden. Die Wahrscheinlichkeiten beziehen sich dann auf den mit dieser Anzahl erreichten Wissensstand.

Das Verfahren muß abgebrochen werden, wenn die Anzahl der im Bedingungsprodukt enthaltenen Merkmale so groß wird, daß für die Bestimmung der benötigten Produktwahr scheinlichkeiten nur eine "zu kleine" Anzahl von Fällen gezählt werden kann. Eine statistische Aussage ist dann nicht mehr möglich. Hierbei wird die Grenze für "zu klein" von der Beschaffenheit der gestellten Aufgabe abhängen und unter Umständen nur durch Probeläufe zu ermitteln sein.

Die Erfindung soll weiterhin anhand der Figuren erläutert werden. Es zeigen:

Fig. 1 ein Gerät zur Durchführung des erfindungsgemäßen Verfahrens,

Fig. 2 ein Flußdiagramm zur Berechnung der Hypo thesenwahrscheinlichkeiten,

Fig. 3 ein Flußdiagramm zur Berechnung des absoluten mittleren Fehlers.

Das in Fig. 1 dargestellte Gerät umfaßt den Rechner 2 für den gesteuerten Verfahrensablauf entsprechend den in Fig. 2 und Fig. 3 dargestellten Flußdiagrammen. Über die Eingabe 3 wird einmalig die zu verarbeitende Merkmalsmenge eingegeben. Mit 4 ist die Steuer-Eingabe bezeichnet, die jeweils nach einer Aufforderung erfolgt. An sich bekannte Kommunikationsmittel 5 sind zwischen der Eingabe 4 und dem Rechner 2 vorgesehen. Während des Verfahrensverlaufs greift der Rechner 2 auf die in den Baueinheiten 6 und 7 gespeicherten Informationen zurück. Die Datei 1 (Bezugszeichen 6) enthält Informationen über die möglichen Hypothesen bzw. Fehler und die zugehörigen charakteristischen Merkmalsmengen. In der Datei 2 (Bezugszeichen 7) befindet sich eine Sammlung real aufgetretener Störfälle mit Angaben über die jeweilige Hypothese und über das Vorhandensein oder Nicht-Vorhandensein genau der gemäß Datei 1 jeweilig zugehörigen charakteristischen Merkmale. Der Ausgang des Rechners 2 ist mit 8 bezeichnet. Über an sich bekannte Kommunikationsmittel 9 liefert er eine nach abnehmender Wahrscheinlichkeit sortierte Liste von Hypothesen oder Fehlern. Über Eingabe 4 können dann für einzelne Hypo thesenwahrscheinlichkeiten Fehlerrechnungen veranlaßt werden, deren Ergebnis ebenfalls über Ausgang 8 übermittelt wird.

Der Rechner vermag aus Datei 2 die a-priori-Wahrschein lichkeiten der Einzelmerkmale zu berechnen; ebenso vermag er aus Datei 2 für beliebiges E _k den Wert von Δ p(E _k) aus den Grenzen eines Konfidenzintervalls für p(E _k) zu ermitteln. Erforderlich sind dann noch über Eingabe 4 die Wertangaben von p(E _k|E _k′) und Δ p(E _k|E _k′) für alle unsicheren Merkmale E _k′.

Der Ablauf des Verfahrens zur Bestimmung der Hypothesen wahrscheinlichkeiten ist aus dem in Fig. 2 dargestellten Flußdiagramm ersichtlich.

Um Weitläufigkeiten zu vermeiden, werden die benutzten Bezeichnungen an einem Beispiel demonstriert.

Sei (E 3 E 2′ E 1′) das aktuell zu berücksichtigende Merk malsprodukt.

Die mit ′ gekennzeichneten Merkmale E 1′ und E 2′ sind unsicher. Zur Vereinfachung wird vereinbart, daß die unsicheren Merkmale möglichst weit rechts stehen, d. h. möglichst niedrige Indizes besitzen.

Die auf die unsicheren Merkmale folgenden sicheren Merkmale, hier: E 3, können negiert oder unnegiert auftreten. Die Anzahl unsicherer und sicherer Merkmale ist theoretisch beliebig; in der Praxis ergeben sich jedoch konkrete Grenzen durch die an das Ergebnis gestellten Ge nauigkeitsanforderungen.

Dann wird für ein beliebiges H _j der Wert p(H _j|E 3 E 2′ E 1′) wie folgt berechnet:

wobei die Z _ν und N _ν, ν = 0, . . ., 3 die in obiger Gleichung dargestellten Ausdrücke sind, z. B.

Die Durchführbarkeit des Verfahrens für (theoretisch) beliebig viele unsichere und beliebig viele negierte oder unnegierte Merkmale wird mit dem Flußdiagramm in Fig. 2 erreicht.

Bezeichnungen:

VERMERK Zu verarbeitendes Merkmalsprodukt HYPMENG Menge in Betracht gezogener Hypothesen AKTMERK Aktuell zu berücksichtigendes Merkmalsprodukt, hier: (E 3 E 2 E 1). RECMERK Rechnerisch benötigtes Merkmalsprodukt,
hier: (E 3 E 2 E 1), (E 3 E 2 1), (E 3 2 E 1), (E 3 2 1) j Index der Hypothese H _j j-te Hypothese G Gesamtzahl der Hypothesen ZÄHLER Zähler auf der rechten Seite der obigen Gleichung NENNER Nenner auf der rechten Seite der obigen Gleichung X Anzahl unsicherer Merkmale, hier: X := 2 ν Index eines Zähler- oder Nennerterms mit 0 ν 2^X - 1, hier: 0 ν 3 Z _ν Zählerterm, hier z. B.:

N _ν Nennerterm, hier z. B.:

k Index der Merkmale, hier: 1 k 3 E _ZUS Zusätzliches, noch nicht untersuchtes Merkmal H _BEST Beste Hypothese

Erläuterung der Blöcke

1)VERMERK ist vorgegeben. 2)HYPMENG enthält initial alle bekannten Hypothesen. 3)j wird auf den kleinsten Index der in HYPMENG enthaltenen Hypothesen gesetzt. 4)Nicht zu H _j gehörende Merkmale werden nicht berücksichtigt. 5)Das erste rechnerisch benötigte Merkmalsprodukt RECMERK entsteht aus AKTMERK durch Entfernung der Unsicherheitsstriche. 6)Für die anstehende Hypothese werden die Variablen ZÄHLER, NENNER und ν initialisiert. 7)Für die anstehende Hypothese und das anstehende ν werden die für Zähler- und Nennerterme erforderlichen Produktwahrscheinlichkeiten berechnet. Dies geschieht dadurch, daß in der Datei der gesammelten Fälle alle diejenigen Fälle gezählt werden, die die geforderten Ereignisse mindestens aufweisen; Division durch die Gesamtzahl aller Fälle ergibt die gesuchte Wahrscheinlichkeit. 8)Merkmal E 1 wird abgefragt. 9)-13)Vervollständigung der Zähler- und Nennerterme durch X-fache Multiplikation mit
p(E _k|E _k′)/p(E _k) oder p( _k|E _k′)/p( _k) 14)Vervollständigung des Zählers und des Nenners. 15) 16)Interpretiert man die Negierung eines ur sprünglich unsicheren Merkmals als eine binäre 1 und die Nicht-Negierung als eine binäre 0, so liefern die ursprünglich unsicheren Merkmale eine binäre Zahl, deren Wert gleich ist zum Wert von ν.

17)Falls ν = 2^X - 1 erreicht ist, sind alle ur sprünglich unsicheren Merkmale negiert. 18)Für die anstehende Hypothese wird das Ergebnis notiert. 19)-21)j wird so lange hochgezählt, bis ein Index aus HYPMENG gefunden oder G überschritten wird. 22)Die Hypothesen werden nach abnehmender Wahr scheinlichkeit sortiert und bis zum Erreichen eines vorab gesetzten Schwellenwertes an HYPMENG zugewiesen. Für den nächsten Durchlauf mit vergrößertem VERMERK müssen dann nur Hypothesen berechnet werden, die noch eine Chance besitzen. 23)Das Verfahren kann abgebrochen werden. 24)Eine Verbesserung ist nur möglich, wenn beim letzten Durchlauf die jeweilige Anzahl der für Block 7) gezählten Fälle so groß war, daß eine statistische Aussage erfolgen konnte. 25)-30)Die Erkenntnisse über ein neues Merkmal werden zu VERMERK hinzugefügt.

Aus dem Flußdiagramm, letzter Teil, ist neben den bereits erwähnten Vorteilen ein weiterer Vorteil der Erfindung ersichtlich. Soll das Ergebnis verbessert werden, kann die Hypothesenermittlung gezielt bei der Hypothese fortgesetzt werden, die am wahrscheinlichsten vorliegt.

Der Benutzer entscheidet an dieser Stelle anhand der erreichten Hypothesenliste über die unter Umständen ausreichende Aussagefähigkeit der bis dahin ausgewerteten Merkmalsmenge. Er entscheidet anhand der Zahlen der bisher gezählten Fälle, ob der Umfang des verfügbaren statistischen Materials eine Verbesserung des Ergebnisses zuläßt, und er entscheidet anhand von Hilfsmittel 1, welches Merkmal im Sinne einer Bestätigungsstrategie am ehesten dazu beitragen wird, die Wahrscheinlichkeit der besten Hypothese weiter zu erhöhen.

Eine Hypothesenermittlung dieser Art führt schnell und mit einfachen Mitteln dazu, die in Frage kommenden Hypothesen entscheidend einzugrenzen.

Der Ablauf der Fehlerrechnung ist aus Fig. 3 ersichtlich. Für die einfachere Darstellung werden die Bezeichnungen und die eigentliche Fehlerrechnung an einem Beispiel dargestellt. Eventuell erforderliche Verallgemeinerungen können dann direkt gefolgert werden.

Es sei (E 3 E 2′ E 1′) das aktuell zu berücksichtigende Merk malsprodukt. Dann gilt:

Seien Z und N der bereits berechnete Zähler bzw. Nenner der obigen Gleichung und R := Z/N. Dann gilt nach Gauß für den absoluten mittleren Fehler Δ R:

Damit folgt:

Hierbei bedeutet : Das Ereignis H _j wird in der direkt vorangehenden runden Klammer gestrichen und der so veränderte Inhalt nach übernommen.

Abgekürzt gilt:

wobei die U _ν⁺, ν = 0, . . ., 3 für die ( ν + 1)-ten Zeilen auf der rechten Seite der obigen Gleichung stehen.

Die Berechnung der Zahlenwerte wird nicht mehr explizit vorgeführt, da es offensichtlich ist, wie dies zu geschehen hat:
Z und N sind Zähler bzw. Nenner der Ausgangsgleichung; die Bestimmung ihrer Zahlenwerte wurde bereits dargestellt.

Die Werte von p(E₁), . . ., p(E₂) und p(E₁|E₁′), . . ., p(E₂|E₂′) sind grundsätzlich gegeben.

Die Produktwahrscheinlichkeiten, z. B. p(H 1 E 3 2 1) oder p(E 3 2 1) werden durch Abzählen in Datei 2 ermittelt.

Somit ist die Handhabung der Zahlenwerte ohne Probleme; einer weiteren Klärung bedarf allerdings der allgemeine Fall.

Zu diesem Zweck werden die bisher gewonnenen Beziehungen verallgemeinert und dann zusätzlich im Flußdiagramm der Fig. 3 anschaulich zusammengestellt.

Es sei:

AKTMERK Aktuell zu verarbeitendes Merkmalsprodukt, im Beispiel: (E 3 E 2′ E 1′). RECMERK Rechnerisch benötigtes Merkmalsprodukt,
im Beispiel: (E 3 E 2 E 1), (E 3 E 2 1), (E 3 2 E 1) usw. REDMERK reduziertes Merkmalsprodukt, es entsteht aus RECMERK durch Entfernung von E _k, wobei E _k das Merkmal ist, das in im Nenner steht. X Anzahl unsicherer Merkmale, im Beispiel X = 2. ν Zählindex mit 0 ν 2^X - 1;
interpretiert man in RECMERK die Negierung eines ursprünglich unsicheren Merkmals als eine binäre 1 und die Nicht- Negierung als eine binäre 0, so liefern die ursprünglich unsicheren Merkmale eine binäre Zahl, deren Wert gleich ν ist;
im Beispiel:

Y Gesamtzahl zu verarbeitender Merkmale, im Beispiel: Y = 3.

Damit ergibt sich folgende Verallgemeinerung für U _ν⁺ und beliebiges p(E _k), k X:

Damit ergibt sich dann das Flußdiagramm für die Ermittlung von Δ R. Vorab bekannt sind dabei:
AKTMERK,
Z, N,
Δ p(E _k) für k = 1, . . ., Y,
Δ p(E _k|E _k′) für k = 1, . . ., X.

Claims

1. Verfahren zur Ermittlung der Wahrscheinlichkeit des Vorliegens von Hypothesen H _j, j = 1, . . ., m, m 2, die durch charakteristische Merkmalsmengen bestimmt sind, anhand eines aktuell zu berücksichtigenden Merkmalsprodukts (E _k . . . E _i+1 E _i′ . . . E₁′), k 1, i 0, von denen die ersten i Merkmale unsicher und die nachfolgenden (k-i) Merkmale auch negiert sein dürfen, dadurch gekennzeichnet, daß der sogenannte L-Satz verwendet wird; das Verfahren ist weiter gekennzeichnet dadurch, daß mit Hilfe eines Rechners und einer ersten Datei, die Informationen über die möglichen Hypothesen H _j und die zugehörigen charakteristischen Merkmalsmengen enthält, zunächst für jede mögliche Hypothese H _j aus der charakteristischen Merkmalsmenge und der zur Auswertung vorgegebenen Merkmalsmenge mittels Durchschnittsbildung die jeweils aktuell zu berücksichtigende Merkmalsmenge (E _k . . . E _i+1 E _i′ . . . E₁′) gebildet wird, daß danach mit Hilfe des Rechners und einer zweiten Datei, die eine Sammlung real aufgetretener Fälle mit Angaben über die jeweilige Hypothese und über das Vorhandensein oder Nicht- Vorhandensein genau der und nur der gemäß Datei 1 jeweilig zugehörigen charakteristischen Merkmale enthält, durch einfaches Abzählen die im L-Satz geforderten Produktwahrscheinlichkeiten bestimmt werden, wobei in der Datei 2 nicht aufgeführte Merkmale als nicht vorhanden gewertet werden, und daß als Ergebnis der Wert p(H _j (E _k . . . E _i+1 E _i′ . . . E₁′), j = 1, . . ., m nach Maßgabe des L- Satzes berechnet wird; das Verfahren ist weiter gekennzeichnet dadurch, daß für jedes Ergebnis R der absolute mittlere Fehler Δ R angegeben wird nach der Formel wobei die Formeln für die Berechnung der Ausdrücke verwendet werden.

2. Verfahren zur Ermittlung eines Fehlers H _j, j = 1, . . ., m, m 2, an einem technischen Gerät, an einer industriellen Anlage oder dergleichen anhand eines aktuell zu berücksichtigenden Merkmalsprodukts (E _k . . . E _i+1 E _i′ . . . E₁′), k 1, i 0, von denen die ersten i Merkmale unsicher und die nachfolgenden (k-i) Merkmale auch negiert sein dürfen, dadurch gekennzeichnet, daß der sogenannte L-Satz verwendet wird; das Verfahren ist weiter gekennzeichnet dadurch, daß mit Hilfe eines Rechners und einer ersten Datei, die Informationen über die möglichen Fehler H _j und die zugehörigen charakteristischen Merkmalsmengen enthält, zunächst für jeden möglichen Fehler H _j aus der charakteristischen Merkmalsmenge und der zur Auswertung vorgegebenen Merkmalsmenge mittels Durchschnittsbildung die jeweils aktuell zu berücksichtigende Merkmalsmenge (E _k . . . E _i+1 E _i′ . . . E₁′) gebildet wird, daß danach mit Hilfe des Rechners und einer zweiten Datei, die eine Sammlung real aufgetretener Störfälle mit Angaben über die jeweiligen Fehler und über das Vorhandensein oder Nicht- Vorhandensein genau der und nur der gemäß Datei 1 jeweilig zugehörigen charakteristischen Merkmale enthält, durch einfaches Abzählen die im L-Satz geforderten Pro duktwahrscheinlichkeiten bestimmt werden, wobei in der Datei 2 nicht aufgeführte Merkmale als nicht vorhanden gewertet werden, und daß als Ergebnis der Wert p(H _j (E _k . . . E _i+1 E _i′ . . . E₁′), j = 1, . . ., m nach Maßgabe des L- Satzes berechnet wird; das Verfahren ist weiter gekennzeichnet dadurch, daß für jedes Ergebnis R der absolute mittlere Fehler Δ R angegeben wird nach der Formel wobei die Formeln für die Berechnung der Ausdrücke verwendet werden.

3. Verfahren nach Anspruch 1 oder 2, dadurch gekennzeichnet, daß - für den Fall, daß die bedingten Wahr scheinlichkeiten der Hypothesen bzw. Fehler sich nicht deutlich unterscheiden - nach zusätzlichen Merkmalen gesucht wird, und zwar beginnend bei der Hypothese bzw. dem Fehler H _j, j∈ {1, . . ., m}, mit der höchsten bedingten Wahrscheinlichkeit, und da wiederum beginnend bei dem noch nicht untersuchten Merkmal mit der höchsten Auftrittswahrscheinlichkeit unter der Bedingung H _j, wobei je nach Vorliegen, Nicht-Vorliegen oder unsicherem Vorliegen des Merkmals das unnegierte bzw. negierte bzw. durch Strichkennung als unsicher markierte Merkmal zu der zur Auswertung vorliegenden Merkmalsmenge hinzugefügt wird.